Referat Optimizarea Sist Hidro - Gheorghe Cristian

8/16/2019 Referat Optimizarea Sist Hidro - Gheorghe Cristian

1/21

Specializare : Optimizarea Sistemelor Hidrotehnice – anul II

Indrumator : ş.l.dr.ing. Beilicci Erika

Student : Gheorghe Florian Cristian

TEORIA FENOMENELOR DE ASTEPTARE

1 | P a g e ! " # $ ! " %

REFERAT

OPTIMIZAREA

SISTEMELOR DE

GOSPODARIRE A APELOR


2/21




Generalitati . Teoria asteptarii constituie un ansamblu unitar, reprezentand din punct

de vedere mathematic o aplicare a calculului probabilitatilor si statisticii matematice la oanumita clasa de fenomene.

In general, caracteristicile fenomenelor de asteptare sunt :

Sosirile unitatilor la interval de timp neregulate sau regulate intr-un punct dat, denumit

centrul de servire ( unitatile sunt denumite sosiri sau intrari )

!nul sau mai multe canale de servicre sau statii reunite intr-un centru de servire

Sosirile pot fi :

• Separate prin interval de timp egale

• Separate prin interval de timp neegale, dar determinate

• Separate prin interval de timp neegale, cunoscute ca probabilitate ( interval aleatorii ).

"urata sau timpul de servire poate fi de asemenea :

#onstant $ariabil, dar determinat %leatoriu ( deci cunoscut ca probabilitate )

&oate fi avut in vedere si cazul in care intervalele intre sosirile succesive si timpul de servire

sunt neregulate si cu probabilitate necunmoscuta ( in caest caz nu se poate face nicio

previziune sau estimatie).

&entru a avea un fir de asteptare este suficient ca intrarile si'sau servirea sa se produca

la interval neregulate ( un fir de asteptare se mai poate manifesta si in cazul unor durate

constant ale intrarilor si ale timpilor de servire, daca durata deservirii este mai mare decat

intervalul de timp dintre sosiri, atunci firul de asteptare creste in mod regulat la nesfarsit ).

%nsamblul firelor de astepare si al statiilor constituie sistemul de asteptare. %nsamblul

relatiilor de ordines au al prioritatilor care intervin in firele de asteptare formeaza disciplina de

asteptare.

Fenomenele de asteptare cu elemente individualizate. &rin urmare in forma lor cea

mai simpla, fenomenele de asteptare se produc in cadrul unmor sisteme spre care eista un

aflu de elemente dupa o lege oarecare a afluului. lementele intrare in sistem sunt supuse

unui anumit proces de deservire care necesita timp, in urma caruia apare un deflu de

2 | P a g e ! " # $ ! " %


3/21




elemente din sistem : daca afluul si'sau deservirea se supun unor legi probabilistice, atunci

intre aflu si deservire se creaza o acumulare a elementelor afluente care nu au putut fi inca

deservite ( fenomenele de asteptare pot apare si daca afluul si defluul sunt guvernate de legi

deterministe, problemele de acest tip prezentand insa un interes practice redus ).

"in punct de vedere fizic, fenomenele de asteptare pot fi grupate in doua mari

categorii :

*enomene cu elemente individualizate de care se ocupa teoria asteptarii elementelor

individuale ( e. %steptarea avioanelor deasupra unui aeroport prin gasirea unei piste libere +

nu este indiferent care din avioane intra pe o pista libera )

*enomene cu elemente neindividualizate ( e. "imensionarea depozitelor de marfuri ). Teoria

asteptarii care se ocupa cu aceasta categorie de fenomene denumindu-se teoria stocurilor.

In functie de timp, problemele in care probabilitatile se impart in :

Stationare + problem in care probabilitatile cautate sunt independente de timp estationare + problem in care probabilitatile cautate sunt dependente de timp .

eprezentand in mod schematic structura unui fenomen de asteptare in cazul general

(fig.), se poate scrie :

n/0 daca n 1 S ( )

n/v20 daca n 3 S ( 4 )

5arimile n, v, 0 sunt variabile in timp si aleatorii ( cee ace caracterizeaza asa-numitele

procese stochastice ), adica variaza la intamplare dupa o lege de probabilitate pe care ne

propunem sa o aflam.

3 | P a g e ! " # $ ! " %


4/21




*ig. Structura unui fenomen de asteptare t :

m + numarul de unitati aflat in ansamblul fenomenului

n + numarul de unitati de sistem

+ numarul de unitati din fir ʋ

0 + numarul de unitati in curs de servire

6 + numarul de statii neocupate

S + numarul de statii .

*enomenele de asteptare constituie defapt o clasa particulara de fenomene stochastice. "aca

se noteaza cu pn probabilitatea sa eiste n unitati in sistem, media sau speranta matematica a

numarului acestor unitati va fi :

ń=0 ∙ p0+1 ∙ p

1+2 ∙ p

2+3 ∙ p

3+ ...+m∙ pm=∑

n=0

m

n∙ pn ( 7 )

in care m poate fi infinit.

In cazul unui singur fir de astepare si al unui numar S de statii de servire, numarul

mediu de unitati in fir va fi :

ʋ́=1 ∙ pS+1+2 ∙ pS+2+3 ∙ pS+3+ ...+(m−S) ∙ pm= ∑n=S+1

m

(n−S)∙ pn ( 8 )

relatia se aplica astfel : incep sa eiste unitati care asteapta indata ce n depasteste pe S , adica

4 | P a g e ! " # $ ! " %


5/21




pentru n = S 2 , n / S 2 4, 9, probabilitatile corespunzatoare fiind pS+1 , pS+2 , …

umarul mediu de statii neocupate :

´ ρ=S ∙ p0+(S−1 ) p1+ ...+1 ∙ pS−1=∑n=0s

(S−n) pn ( )

Intre marimile ń , ʋ́ , si ´ ρ eista relatia :

ń=ʋ́+S−´ ρ ( ; )

elatia ( ; ) rezulta imediat :

ʋ́−´ ρ= ∑n= p=1

m

(n−S ) pn−∑n=0

S

(S−n ) pn= ∑n=S+1

m

(n−S ) pn+∑n=0

S

(n−S ) pn=∑n=0

m

(n−S ) p n=∑n=0

m

n∙ pn−S∑n=0

m

pn

( < )

"eoarece :

ń=∑n=0

m

n ∙ pn si ∑n=0

m

pn=1 ( = )

ezulta din relatia ( < )

ʋ́−´ ρ=ń−S ( > )

&entru a caracteriza sosirile nu este suficient sa se enunte numai ca unitatile sosesc la

intamplare, ci trebuie sa se cuoasca fenomenul din punct de vedere statistic, deducandu-se o

lege de probabilitate .

otiunea de probabilitate da un sens concret notiunii de intamplare. Se pot concepe o

infinitate de legi de probabilitate. nuntarea lor duce la descrierea a cee ace se numeste

process de tip &oisson.

Sa reamintim ce se intelege intai prin lant 5ar?ov .

!n sir de incercari cu rezultatele posibile , 4, 9este lant 5ar?ov daca probabilitatile

referitoare la succesiuni sunt definite prin :

5 | P a g e ! " # $ ! " %


6/21




Pr {( E j0

, E j1

, … E jn) }=a j

0

∙ p j0 j

1

∙ p j1 j2

… ∙ p jn−2

jn−1

∙ p jn−1

jn (@)

in care incercarea initiala este numerotata cu zero, iar incercarea a doua cu , in functie de o

distributie de probabilitate initiala ak pentru starile E k in momentul @ si de probabilitatile

conditionate p j,k ale lui E k conditionate de realizarea lui Ej in incercarea precedent. #u late

cuvinte se considera un ansamblu de rezultate posibile independente E 1, E 2 ( in numar finit

sau infinit ) fiecarui rezultat ii asociem o probabilitate pk . &robabilitatea unei succesiunide

rezultate se defineste prin proprietatea multiplicativa

Pr {( E j0

, E j1

, … E jn) }= p j

0

∙ p j1

… ∙ p jn ()

In teoria lanturilor 5ar?ov se considera cea mai simpla generalizare posibila a relatiei

de mai sus care consta in a face ca rezultatul oricarei incercari sa depinda de rezultatul

incercarii care o precede direct si numai de aceasta.

In consecinta, fiecarei perechi ( E j , E k ) i se asociaza probabilitatea conditionata p jk

(probabilitatea de trecere E j → E k , de la starea E j la starea E k ), adica daca se realizeaza E j,

probabilitatea lui E k este p jk . 5ai trebuie sa intervina cu probabilitatea a j a rezultatului

E j a incercarii initiale. In acest caz, de eemplu, probabilitatea unei succesiuni de doua , trei

incercari va fi :

Pr {( E j , E k )}=a j ∙ p j , k (4)

Pr {( E j , E k , Er )}=a j ∙ p j , k ∙ pk , r (7)

&robabilitatile de trecere sunt reprezentate, de obicei, sub forma unei matrici patratice,matricea de trecere sau matrice stochastica

[ P ]=| p

11 p

12 p

13…

p21

p22

p23

…

p31

p32

p33

…|care poate fi finite sau infinita, cu toate elementele evident nenegative si suma tuturor

elementelor unei aceleiasi linii este egala cu .Arice lant 5ar?ov este definit complet prin matricea sa stochastica B&C si prin

distributia initiala ak .

6 | P a g e ! " # $ ! " %


7/21




Procese Poisson. Sa consideram un sir de evenimente E care rezulta din repetarea aceleiasi

eperiente si care se succed in timp. umarul n de eperiente care se produc in intervalul de

timp t este o variabila aleatorD, pe care o notam cu N probabilitatea ca N=n o vom nota cu

pn(t). $om face urmatoarele ipoteze :

pn(t) nu depinde decat de intervalul t si nu depinde de momentul initia

(EomogenitateF sau EstationarF in timp )

probabilitatea ca evenimentul E sa se produca mai mult decat o singura data in

intervalul de timp d teste infinit mica fata de dt ( probabilitatea ca dpua evenimente sa

se produca in acelasi timp este foarte redusa )

probabilitatea ca E sa se produca o data in intervalul de timp infinitesimal d teste

proportional cu dt , adica λdt ( marimea λ inseamna numarul mediu de sosiri in

unitatea de timp ).

$ariabila aleatorie N este considerate astfel incat : N ramane constant cand E nu se

produce, N creste cu o unitate cand E se produce, N este initial nul.

*ig.4 *unctia de timp a variabilei aleatorii N=f(t)

$ariabila aleatorie N este deci o functie de t care poate lua valorile @, , 4, 7,9n,9 la

momentele aleatorii t 1 , t 2 , t 3 … t n , ea sare brusc de la @ la , de la la 4 ( vezi fig.4 ).

#resterea variabilei N intr-un interval de timp t este egala cu numarul n de evenimente

care s-au produs in acest interval. "aca se cunoaste valoarea N (t 0 ) a lui N (t) in momentul t 0 ,

valoarea N (t 0 +ζ )=N(t 0 )+n in momentul ts2 ζ este aleatorie. #resterea n are probabilitatea

pn(ζ) si este independenta de valorile lui N(t) inainte de t 0 .

"eci, daca se cunoaste valoarea lui N(t 0 ), viitorul lui N(t) depinde eclusive de legea

de probabilitate a cresterii n a lui N(t), incepand de la N(t 0 ). In niciun moment nu se poate

prevedea cu certitudine ce va fi N(t) mai tarziu ( intamplarea intervine in fiecare moment ).

*unctia aleatorie N(t) defineste atunci un process &oisson si constituie un eemplu de lant

5ar?ov. a este complet definita prin probabilitatea pn(t) si se poate demonstra ca pn(t)

asculta de legea lui &oisson :

7 | P a g e ! " # $ ! " %


8/21




pi ( t )=( λ t )ne− λt

n! n/@, , 4, 79 (8)

cu densitatea ( distributia ) de probabilitate

f ¿ (a )=a

ne−a

n ! n/@, , 4, 79 ()

#and evenimentele se produc in asa fel incat sunt satisfacute cele trei conditii enuntate,

fenomenul constituie un process &oisson a caui lege de probabilitate este a lui &oisson

(conditiile enuntate se gaseesc practice verificate in fenomenele in care intervin sosiri

aleatorii).

epartitia &osson data de relatia ( ) , are urmatoarele proprietati :

5edia

ń=0 ∙ p0+1 ∙ p

1+2 ∙ p

2+3 ∙ p

3+ ...+n∙ pn+...=a= λ t (;)

este tocmai numarul mediu de evenimente E observate in intervalul t.

$ariatia

σ N 2 =a− λt (


9/21




*ig.7 "istributia &oisson pentru diferite valori a= λt

epartitia eponentiala a intervalelor dintre doua evenimente. Sa consideram un

process &oisson si sa determinam legea de probabilitate a intervalelor care separa doua

evenimente succesive. Sa cautam densitatea de probabilitate a variabilei aleatorii care

reprezinta aceste interval fie f (θ) aceasta functie.

&robabilitatea de a nu se produce niciun eveniment in intervalul de timp θ este :

p0 (θ )=

( λ θ )0 e− λθ

0 ! =e− λθ (=)

&robabilitatea de a nu se produce niciun eveniment in intervalul∆ θ

este :

p0 (∆ θ )=e− λ∆ θ

(>)

&robabilitatea sa se produca cel putin un eveniment in intervalul ∆ θ este :

1− p0 (∆ θ )=1−e− λ ∆θ

(4@)

#and ∆ θ →0

lim∆ θ →0

(1−e− λ∆ θ

∆ θ )❑

= λ

9 | P a g e ! " # $ ! " %


10/21




(4)

&robabilitatea f (θ)dθ ca, din momentul realizarii unui eveniment E, sa nu se mai

produca niciun eveniment in intervalul θ care ii urmeaza imediat si ca un eveniment sa se

produca in

intervalul ∆ θ care urmeaza imediat dupa θ va fi deci :

f ( θ ) dθ=e− λ ∆ ×( lim∆θ →0

1−e∆ θ

− λ ∆ θ

)× dθ= λ e− λ ∆ θ dθ (44)

"ensitatea de probabilitate a lui θ este :

f (θ )= λ e− λθ , cu θ>0 (47)

Sa calculam functia de repartitie complementara corespunzatoare :

P (θ )= Pr ( H >θ )=∫0

∞

λ e− λt

dt =e− λθ cu θc0

(48)

&robabilitatea ca intervalul dintre doua evenimente consecutive sa fie mai mare decat o

durata θ data este deci egala cu probabilitatea sa nu se produca niciun eveniment in

intervalul θ ( &r ( @3 θ ) / e− λθ

). %ceasta repartitie se numeste repartitie

eponentiala (fig.8).

*ig.8 "istributia eponentiala

epartitia &oisson da probabilitatea numarului de evenimente n intr-un interval de

timp , in timp ce repartitia eponentiala da probabilitatea ca doua evenimente

consecutive sa fie separate de un interval de timp mai mare decat θ .

10 | P a g e ! " # $ ! " %


11/21




5edia patraticala repartitia eponentiala

θ́= E (θ )=∫−∞

∞

θf ( θ ) dθ=∫0

∞

θ λ e− λθ

d θ=1

λ∫0

∞

( λθ ) e− λθ

d ( λθ )= λ−1

(2 )=1

λ (4)

( " ) este functia gamma, adica functia euleriana de speta a doua

λθ¿¿

¿− 1

λ2=

1

λ2 (3 )−

1

λ2=

2

λ2−

1

λ2=

1

λ2

1

λ2∫

0

∞

¿

σ 02=∫

−∞

∞

θ2

f ( θ ) dθ−[ E ( H ) ]2

=[∫0

∞

θ2 λ e

− λθdθ]− 1 λ2=¿

(4;)

"eci, daca un fenomen stochastic se distribuie dupa legea lui &oisson cu o valoare

λ , intervalele dintre evenimente urmeaza legea eponentiala cu aceeasi valoare λ .

"urata servirii poate fi constanta sau variabila, determinate sau aleatoare.#and este

aleatoare, legea ei de probabilitate se prezinta adeseori sub forma unei curbe eponentiale

Pr (0>θ )=e− #θ

(4


12/21




asteptarea clientului si a statiilor.

#onsiderand un interval de timp T in care ne propunem sa calculam costul mediu total

Γ al asteptarii. Timpul mediu pierdut de client are epresia ϑ́ $ , iar cel de deservire

´ ρ $ .

otand cu c costul unei unitati de timp a unui client si cu c 4 costul unei unitati de timp

a unei statii, costul total va fi :

(S )=(c1∙ ϑ́ +c2 ´ ρ )$ =$ [c1 ∑n=S+1

S

(n−S ) pn+∑n=0

S

( S−n) pn] (4=)

$ariabila este in general S, dar in anumite cazuri s-ar putea alege n.

"aca costurile c si c4 sunt constant in intervalul de timp T, se poate allege la fel de

bine costul total pe unitate de timp .

In general se minimizeaza costul total pe unitatea de timp. "eterminarea solutiei

optime se face obisnuit prin calculul numeric al lui % (S) pentru diferite valori ale lui S.

In anumite problem functia economica poate face sa intervina valori proportionale cu

ń sau cu p (3n ) sau poate lua aspectul unei functii neliniare de diferite marimi

considerate in teoria fenomenelor de asteptare. %deseori pe langa functia economica se

introduc in calcul si restrictii.

PROBLEME ALE TEORIEI ASTEPTARII APLICATE IN CA!L

GOSPO"ARIRII APELOR

"in insasi definirea fenomenelor de asteptare se poate constata ca ele cuprind, in

esenta lor, procese de gospodarire a apelor. Se ia ca model un sistem simplu de gospodarire

format dintr-un lac de acumulare pe un curs de apa, avand ca destinatie de a regularize

debitele acestuia astfel incat sa satifsaca cerintele unui consummator ( fig. ).

12 | P a g e ! " # $ ! " %


13/21




*ig. Sistem de asteptare de gospodarire a apelor

In lacul de acumulare intra ca afluuri, debitele cursului de apa care au un character

aleatorD. "in lacul de acumulare ies defluurile determinate de cerintele de apacare pot avea

fie un character determinist, fie unul aleatorD. econcordanta dintre afluurile si defluuri

determina retinerea anumitor volume in lacul de acumulare, volume care reprezinta sirul de

asteptare. 5odelul se incadreaza intru totul in modelul general al fenemonelor de asteptare.

Se poate constata ca procesul simplu epus anterior poate atinge grade de compleitate mult

mai mari.

emple

a) in analiza pot intervene mai multe folosinta de apa, in teoria asteptarii aceste situatii

reprezinta problem cu mai multe statii de service.

b) Hacul de acumulare poate fi alimentat de mai multe cursuri ( prin derivatii de

eemplu ).

&robleme de teoria asteptarii cu mai multe surse.

c) %nsambluri formate din mai multe lacuri de acumulare problem de retele de

sisteme de asteptare.

Se poate spune ca teoria asteptarii poate reprezenta baza matematica de studio a tuturor

proceselor de gospodarire pentru folosinte, procese care se incadreaza in categoria

fenomenelor cu elemente neindividualizate ( este evident ca in momentul inregistrarii unei

cerinte este indiferent care metro cub fizic de apa se livreaza folosintei ). S-a vazut ca

elementele de baza care intervin in orice problema de teorie a asteptarii sunt : afluurile

13 | P a g e ! " # $ ! " %


14/21




( sosirile ), deservirea, sirul ( firul ) de asteptare si disciplina de servire.

*unctiile de aflu reprezinta distributia probabilistica a debitelor afluente in diferite

sectiuni de clacul ale unui sistem de gospodarire a apelor.

In cazul afluurilor discontinue, functia de aflu se introduce sub forma variatiei

probabilistice a intervalului de timp dintre doua elemente care a0ung la sirul de asteptare sau

in cazul problemelor cu sosiri in grup, a intervalului de timp dintre doua grupuri care a0ung

la sirul de asteptare.

$ariabilele fiecarei functii de aflu ( in general debitele afluente in sectiunea

respective ) se considera fie variabile aleatoare independente ( procese 5ar?ov ), fie

variabile aleatoare autocorelate ( cand debitele dintr-un interval de timp de calcul sunt

correlate cu debitele din intervalul sau intervalele de timp anterioare ). "iferite functii de

aflu pot fi independente sau legate intre ele prin corelatii spatiale.

*unctiile de deservire reprezinta in general, legile de variatie a debitelor defluente. #a

si in cazul afluurilor, in ma0oritatea problemelor se lucreaza cu defluuri continui si

discontinue eista o deosebire doar metodologica.

#aracterul de continuitate al marimilor care intervin oblige la adoptarea uneia din

solutiile:

a) %doptarea unei scheme cu interval de timp foarte mici, astfle incat in fiecare

interval sa nu poata aparea decat cel mult un aflu sau deflu elementar

b) %doptarea unei scheme cu sosiri sau plecari in grup

c) Inversarea problemei uzuale a teoriei asteptarilor, prin inlocuirea notinuii de timp

necesar pentru tranzitarea unei cantitati elementare ( de eemplu, al unui mc de

apa ) cu notiunea inversa a numarului de unitati elementare deservite in unitatea

de timp.

*unctiile de deservire pot fi definite astfel :

a) &rin epresii deterministe, in cazul in care debitul defluent este constant ( de

eemplu, cazul unor alimentarD cu apa prelevand debitele directe din acumulare )

sau este legat printr-o epresie algebrica de uul sau mai multi parametric (volumul

lacului, debitul afluent )

b) &rin epresii probabilistice independente ( de eemplu, debotele necesare

irigatiilor care pot fi eprimate printr-o curba de probabilitate ) sau dependente >de eemplu, in cazul in care se admite ca, in afara de curba de probabilitate a

debitelor necesare irigatiilor, trebuie tinut seama si de o conditie suplimenatra a

unei corelatii cu debitele afluente, care sa eprime faptul ca este mai frecvent ca

14 | P a g e ! " # $ ! " %


15/21




perioadele cu debite mari sa coincide cu perioadele de ape mici per au ).

umarul functiilor de deservire care intervin intr-o problema de gospodarire este legat

de numarul statiilor de service, o acumulare putand avea una sau mai multe asmenea statii.

Statiile de service sunt reprezentate de fiecare folosinta sau gru de folosinte care

impune acumularilor o anumita conditie ( de eemplu, in cazul unei acumulari deservindalimentarile si irigatiile, fiecare din aceste folosinte poate fi considerate o statie de service ).

Sirurile de asteptare sunt reprezentatem de volumele retinute in lacurile de acumulare.

Sirurile de asteptare sunt caracterizate prin relatii probabilistice, reprezentand probabilitatea

ca la un momentdat volumul in uul din lacuri sa depaseasca o anumita valoare.

In problemele curente de asteptare se supune studiului foarte adesea durata de

asteptare a unui element al sirului pana in momentul in care intra in statia de service sau

pana in momentul in care paraseste sistemul. In gospodarirea apelor ( ca si in alte problem

de stocuri ) se analizeaza repartitia probabilistica a lungimii de asteptare.

"isciplina de deservire reprezinta descrierea conditiilor care trebuie indeplinite de

functiile de deservire, cuprinzand in general :

- #onditiile limitative ale sirurilor de asteptare sirul de asteptare reprezentat de

volumul retinut in lacul de acumulare nu poate fi mai mic decat zero ( lac gol ) si

nu poate fi mai mare decat volumul maim al fiecarei acumulari ( lac plin )

- egulile de deservire a statiilor care contin :- Hegile de repartitie a statiilor de service lacuri de acumulare ( de eemplu, la doua

lacuri de acumulare vor eista folosinte, statii de service, care pot fi deservite

numai de unul sau altul dintre lacuri, iar altele care pot fi deservite de oricare din

cele doua lacuri )

- Hegile de prioritate care se refera fie la prioritatea sirului de asteptare care va fi

deservit in momentul in care o statie deserveste mai multe siruri ( de eemplu,

prioritatea de golire a doua acumulari situate in paralele ), fie la prioritatea unei

statii de deservire asupra alteia ( de eemplu, prioritatea unui grup de folosinta

asupra altuia) .

&e langa problemele amintite, avand o aplicare larga, teoria asteptarii se mai ocupa de

anumite aspect care se utilizeaza mai rar in gospodarirea apelor, fara ca abordarea lor sa fie

teoretic eclusa si anume :

- studiul sistemelor inchise, in care numarul de unitati vechi calculate in cadrul

sistemului este constant. &robleme de acest tip ar putea fi applicate in cadrul in

studiul sistemelor de gospodarire interna ale anumitor consumatori, cu instalatiide

recirculare pentru dimensionarea rezervoarelor de compensare in cazurile in care

trebuie asigurata o anumita durata de retinere a apei in aceste rezervoare in scopul

realizarii unui anumit efect de decantare sau de racire

- studiul sistemelor cuprinzand prioritati de deservire a anumitor elemente ale

15 | P a g e ! " # $ ! " %


16/21




sistemului unitatile sistemelor de gospodarire a apelor nefiind individualizate,

asemenea prioritati sunt aproape lipsite de sens, pot fi imaginate situatii, cum ar fi

cele in care se creaza curenti de densitate in lacurile de acumulare, in care apar

diferentieri intre grupele de elemente ale sirului, cand si caste problem si-ar putea

gasi o aplicare.

Tinand seama de definitiile anterioare, problema de baza a gospodaririi poate fi

enuntata in modul urmator : se cere determinarea functiilor de probabilitate ale volumelor

retinute in diferitele lacuri de acumulare ale sistemului de gospodarire pentru functii de

aflu, functii de deservire si discipline de deservire date.

*ata de aceasta definitie cu character general pot intervene grade de compleitate mai

mari. %stfel, daca se pune problema modului de eploatare a unui lac de acumulare

( determinat, de eemplu, de graficul dispecer ), functia de deservire nu mai este considerate

data, ci se pune problema determinari functiei ( sau gfunctiilor ) de deservire care,

respectand anumite conditii impuse de specificul folosintei, duc la o minimizare a lungimii

sirului de asteptare corespunzand unei anumire probabilitati de calcul normate.

In cursul unei eploatari curente ( de regim ) ma0oritatea problemelor de gospodarire

a apelor se incadreaza in domeniul celor de stationare ( se admite de eemplu, ca

probabilitatea de depasire a unui anumit volum de lac este aceeasi in oricare din anii

perioadei de regim ). In cursul insa al perioadelor de eploatare initiala sau al perioadelor de

modificare a regimului de eploatare, problemele de asteptare din domeniul gospodaririi

apelor devin nestationare, conditia invariantei probabilitatilor in timp nemaifiind admisibila

( de eemplu, in cazul perioadei de umplere initiala a unui lac de acumulare cu regularizare

multimanuala, nu se poate admite ca probabilitatea ca volumul in lac sa depaseasca o

anumita valoare data $ este aceeasi in primul si in al diulea an de eploatare ). &robleme cu

character nestationar apar si in cazurile in care folosintele de apa se etend in timpul

eploatarii.

Se admite de obicei, ca fenomenele natural determinante pentru gospodarirea apelor,

au un ciclu annual, cee ace poate constitui insa o aproimare prea grosiera, ducand defapt

numai la determinarea componentei superanuale a volumului acumulat. "e aceea se are in

vedere posibilitatea de a introduce in calculsi subdiviziuni ale unu an efectuandu-se calculi

pe trimester, semester, luni decade etc. sau chiar perioade ploaie si secetoase de lungime

variabila (in aceste cazuri perioadele de calcul reprezinta subdiviziuni ale ciclului de an si

nu se considera cilcuri aparte ). "iferentierile sunt specific gospodaririi apelor si ca ataremarea ma0oritate a metodelor generale ale teoriei asteptarii ar putea fi applicate numai

pentru studiul ciclurilor intregi. &entru studiul subciclurilor apare necesara o etindere a

teoriei generale, luandu-se in considerare un ansamblu de fenomene de asteptare ale carui

16 | P a g e ! " # $ ! " %


17/21




componente (corespunzand subciclurilor ) sunt nestationare, dar care in totalitatea lui este

stationar.

#onsiderand ca diametrul characteristic al unei problem de asteptare il constituie

(factorul de serviciu ) J, definit de ".G. Kendall prin raportul & (s) & (t ) , acesta trebuie sa

indeplineasca conditia : ' = & (s) & (t )

(1 altfel lungimea sirului de asteptare creste nedefinit.

In relatia de mai sus :

- 5(t) este valoarea medie a timpului de acces dintre doua elemnte afluente - 5(s) este valoarea medie a timpului de serviciu .

!tilizarea semnificatiei date de Kendall factorului de serviciu este incomoda in

gospodarirea apelor deoarece semnificatia fizica a timpului de acces dintre particulele

afluente, precum si cea a duratei de serviciu sunt mai putin evidente.

"e aceea se tine seama de urmatoarele :

- daca pe o durata T eista un aflu de elemente, valoarea medie 5(t) reprezinta

limita raportului T' cand T tinde la infinit.

- daca dintr-o durata T analizata statia de serviciu functioneaza o durata TL, iar

numarul de elemente deservite este L valoarea medie a timpului de serviciu 5(s)

reprezinta limita raportului TM'M, cand T( respective TM) tinde catre infinit.

"eoarece, pentru echilibrul raportul 'M tinde catre unitaterezulta ca factorul de

serviciu poate fi definit prin :

' = lim$ → ∞

$

$

*iind egal cu limita raportului dintre timpul de functionare a statiei de serviciu si

durata totala analizata.

In cazul gospodaririi apelor, in eploatarea unui lac de acumulare se poate face

distinctive intre 4 perioade :

- &erioade de functionare fara restrictii, cand debitele defluente sunt egale cu cele

necesare ( se admite ca statia de serviciu este acoperita la intreaga ei capacitate )

- &erioadele de functionare cu restrictii, cand debitele defluente sunt mai mici decat

cele necesare ( o parte din capacitatea statiei de serviciu nu este acoperita din cauza

afluurilor insuficiente ).ezulta ca factorul de serviciu poate fi inlocuit cu :

17 | P a g e ! " # $ ! " %


18/21




' = & ()a)

& ()m)

"ebitul necesar Nn sic el affluent Na pot fi luate in considerare in 4 moduri :

a) In debitele necesare se cuprind strict debitele utilizabile de folosinte in acest cazin debitele afluente trebuie incluse numai debitele ce intervin in fenomenul de

asteptare, ecluzandu-se debitele deversate ( elemente care nu se aseaza in sirul

de asteptare ) .

b) In debitele afluente se cuprin totalitatea afluurilor in acest caz, in debitele

necesare se cuprin si debitele deversate .

In concluzie, metodele de rezolvare a problemelor de asteptari in gospodarirea apelor

sunt cele generale indicate si anume :

a) metode alegbrice sau directe care rezolva prblemele de asteptari prin rezolvarea

directa a ecuatiilor probabilistice, caracterizand elementele de baza ale calculului

( functiile de aflu, functiile de serviciu etc. )

b) metodele prin simulare care rezolva problemele de asteptari prin simularea

procesului de asteptare pe anumite succesiuni de afluuri, defluuri etc care pot

fi :

b.) metode de simlare pe siruri reale in cadrul carora se pleaca de la datele asupra

afluurilor inregistrate pe un sir de ani reali din trecut, analizandu-se modul in care s-ar fi

comportat sistemul de gospodarire a apelor daca ar fi eistat in aceasta perioada ( metoda

ippe-Oazen )

b.4) metode de simulare pe siruri generate. In aceste metode se pleaca de la date

asupra afluurilor si cerintelor generate astfel incat sa se respecte anumite distributii

probabilistice, anumite corelatii temporale sau spatiale sau alte conditii date ( metode demodelare statistica sau metode 5onte-#arlo ) .

ST!"I!H !A SIST5 " GAS&A"%I % %&I #! %P!TA!H

TAII %ST&T%II

#azul unei singure acumulari si a unei folosinte ( fig. ; ) cand afluenta are loc dupa

legea lui &oisson, iar cerintele de apa sunt distribuite dupa o lege eponentiala.

5odelul matematic al sirului de asteptare in cazul statiei unice cand sosirile sunt

poissoniene, iar servirile eponentiala.

18 | P a g e ! " # $ ! " %


19/21




d

dt pn (t )= λ pn−1 ( t )+ # pn& ( t )−( λ+ # ) pn(t ) (4>)

d

dt p0 ( t )=− λ p0 (t )+ # p1 ( t ) , n 3 @ (7@)

unde :

λ + este numarul mediu de sosiri

# + este numarul mediu de serviri

*unctiile pn(t) constituie solutia sistemului diferential format din aceste ecuatii.

*ig.; Sistem de gospodarirea apelor cu o acumulare si o folosinta.

In cazul particular al unui proces stationar si permanent in care probabilitatile pn sunt

independente de t , ecuatiile (4>) si (7@) devin :

λ pn−1+ # pn+1−( λ+ # ) pn=0 , n 3 @ (7)

− λ p0+ # p

1=0

λ

#


20/21




sau se utilizeaza formula de recurenta

pn=* ∙ pn−1 (7)

In care : p0=1−*

umarul mediu de unitati in sistem este :

ń=0 ∙ p0+1 ∙ p

1+2 ∙ p

2+...n ∙ pn+...=

*

1+* (7;)

umarul mediu de unitati din fir : +́=ń−1+ p0= *

1−* (7


21/21




i!lio"ra#ie

. *ilotti %. , !ospo"arirea ape#or pri$ita ca o pro%#ema "e teorie a asteptarii.

Oidrotehnica nr.7, >

Date post:	06-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	cristigheorghe
View:	220 times
Download:	0 times

Referat Optimizarea Sist Hidro - Gheorghe Cristian

Documents