+ All Categories
Home > Documents > Reactia Dupa Stare

Reactia Dupa Stare

Date post: 24-Dec-2015
Category:
Upload: leulinaripat
View: 104 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
Description:
sisteme numerice de reglare
44
41 Cap.4.Proiectarea regulatoarelor în spaţiul stărilor În acest subcapitol ne vom referi în principal la sisteme de reglare unde vom considera performanţele de regim tranzitoriu determinate în principal de locaţia polilor. Cerinţa de proiectare se va traduce în mutarea polilor sistemului (în circuit deschis >>polii părţii fixe) în locaţiile dorite (corespunzătoare sistemului în circuit închis) prin folosirea reacţiei negative. Practic, vom folosi metode specifice spaţiului stărilor ce permit plasarea polilor în locaţiile dorite în circuit închis. 4.1.Reacţia după stare În abordarea în spaţiul stărilor a problemei reglării se presupune într -o primă instanţă că toate componentele vectorului de stare sunt accesibile prin măsurare. În aceste condiţii, intrarea în elementul de comparaţie(de pe reacţie) se consideră proporţională cu vectorul de stare: x k u . În acest caz se ridică câteva întrebări: ->Cum şi de ce se pretează acest tip de reglare? ->Se poate aplica acest tip de reacţ ie pentru toate tipurile de sisteme şi dacă nu, care sunt condiţiile de aplicare? Datorită faptului că starea se defineşte ca fiind cantitatea minimă de informaţie necesară pentru descrierea completă a sistemului, reacţia după stare este deosebit de eficientă. Valabilitatea acestui lucru derivă din faptul că sistemul foloseşte toată cantitatea de informaţie de care dispune pentru reglare, în comparaţie cu compensarea clasică, în care numai ieşirea(de obicei ultima variabilă de stare) este întoarsă prin reacţie negativă la intrarea sistemului de reglare. Mai mult decât aceasta, cum reacţia după stare se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuaţii, soluţiile nu sunt întotdeauna unice şi deci putem folosi şi criterii optimale pentru alegerea unei soluţii unice. Considerăm în cazul general un sistem liniar, descris prin ecuaţiile de stare: t Du t x C t y t Bu t Ax t x T şi funcţia de transfer: D B A sI C s H T F 1 . Se spune că sistemul este controlabil dacă, prin aplicarea unor anumite secvenţe de intrare, stările se pot muta oriunde în spaţiul stărilor. Acest fapt este echivalent cu posibilitatea de a muta polii sistemului oriunde în planul complex. Controlabilitatea este determinată de perechea ) , ( B A şi se verifică cu ajutorul matricii P de controlabilitate: perechea ) , ( B A este controlabilă dacă şi numai dacă rangul matricii de controlabilitate P este n (unde n este ordinul sistemului, dimensiunea matricei A )
Transcript
Page 1: Reactia Dupa Stare

41

Cap.4.Proiectarea regulatoarelor în spaţiul stărilor

În acest subcapitol ne vom referi în principal la sisteme de reglare unde vom

considera performanţele de regim tranzitoriu determinate în principal de locaţia

polilor. Cerinţa de proiectare se va traduce în mutarea polilor sistemului (în circuit

deschis >>polii părţii fixe) în locaţiile dorite (corespunzătoare sistemului în circuit

închis) prin folosirea reacţiei negative. Practic, vom folosi metode specifice spaţiului

stărilor ce permit plasarea polilor în locaţiile dorite în circuit închis.

4.1.Reacţia după stare

În abordarea în spaţiul stărilor a problemei reglării se presupune într-o primă

instanţă că toate componentele vectorului de stare sunt accesibile prin măsurare. În

aceste condiţii, intrarea în elementul de comparaţie(de pe reacţie) se consideră

proporţională cu vectorul de stare:

xku .

În acest caz se ridică câteva întrebări:

->Cum şi de ce se pretează acest tip de reglare?

->Se poate aplica acest tip de reacţie pentru toate tipurile de sisteme şi dacă nu,

care sunt condiţiile de aplicare?

Datorită faptului că starea se defineşte ca fiind cantitatea minimă de informaţie

necesară pentru descrierea completă a sistemului, reacţia după stare este deosebit de

eficientă. Valabilitatea acestui lucru derivă din faptul că sistemul foloseşte toată

cantitatea de informaţie de care dispune pentru reglare, în comparaţie cu compensarea

clasică, în care numai ieşirea(de obicei ultima variabilă de stare) este întoarsă prin

reacţie negativă la intrarea sistemului de reglare. Mai mult decât aceasta, cum reacţia

după stare se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuaţii, soluţiile nu sunt

întotdeauna unice şi deci putem folosi şi criterii optimale pentru alegerea unei

soluţii unice.

Considerăm în cazul general un sistem liniar, descris prin ecuaţiile de stare:

tDutxCty

tButAxtx

T

şi funcţia de transfer:

DBAsICsH T

F 1 .

Se spune că sistemul este controlabil dacă, prin aplicarea unor anumite secvenţe

de intrare, stările se pot muta oriunde în spaţiul stărilor. Acest fapt este echivalent cu

posibilitatea de a muta polii sistemului oriunde în planul complex.

Controlabilitatea este determinată de perechea ),( BA şi se verifică cu ajutorul

matricii P de controlabilitate: perechea ),( BA este controlabilă dacă şi numai dacă

rangul matricii de controlabilitate P este n (unde n este ordinul sistemului,

dimensiunea matricei A )

Page 2: Reactia Dupa Stare

42

BAB ........B AB AP n-12

Dacă sistemul este controlabil, atunci se poate folosi reacţia după stare pentru a

plasa polii sistemului în circuit închis oriunde în semiplanul complex. (Presupunem

că toate stările sunt măsurabile).

Din practică rezultă însă că o noţiune mai slabă decât cea de controlabilitate

este suficientă pentru majoritatea scopurilor. Această noţiune se numeşte

„stabilizabilitate” şi se referă la posibilitatea de a putea deplasa numai modurile

instabile ale sistemului. Se poate spune că un sistem este stabilizabil dacă modurile

instabile sunt controlabile, sau, echivalent, dacă modurile necontrolabile sunt stabile

(prin moduri întelegem rădăcinile polinomului caracteristic al sistemului).

Se mai poate sublinia faptul că în cazul sistemelor monovariabile, lipsa

controlabilităţii duce la simplificări poli-zerouri în funcţia de transfer a sistemului. Reciproca nu este valabila: simplificări poli-zerouri în funcţia de transfer nu duc

neeapărat la necontrolabilitate.

Există mai multe formule pentru calculul matricei k de reacţie după stare. Formula

lui Ackermann este un exemplu pentru sistemele monovariabile. În primul rând

trebuie reţinut faptul că reacţia după stare nu duce la mărirea ordinului sistemului în

circuit închis faţă de cel în circuit deschis. Dacă ordinul sistemului este n , atunci

putem alege n valori, ce pot fi reale sau complexe, pentru polii funcţiei de transfer în

circuit închis.

Acestea vor duce la ecuaţia caracteristică „dorită” pentru sistemul în circuit închis

de forma:

nnn

d sss ........11

Atunci formula lui Ackermann ne oferă k sub forma:

APk d 11,0,........,0,0 unde IAAA n

nn

d ........1

1

Formula de mai sus nu se pretează întotdeauna pentru implementarea numerică,

dar există numeroşi alţi algoritmi mai siguri din punct de vedere al preciziei de calcul.

Obs.:

&&-În Matlab avem funcţia „acker” care calculează matricea de reacţie după stare k

prin plasarea polilor în locaţiile dorite.

>>help acker

ACKER Pole placement gain selection using Ackermann's formula.

K = ACKER(A,B,P) calculates the feedback gain matrix K such that the single

input system.

x = Ax + Bu

with a feedback law of u = -Kx has closed loop poles at the

values specified in vector P, i.e., P = eig(A-B*K).

Note: This algorithm uses Ackermann's formula. This method is NOT numerically

reliable and starts to break down rapidly for problems of order greater than 10, or

for weakly controllable systems. A warning message is printed if the nonzero

closed-loop poles are greater than 10% from the desired locations specified in P.

Page 3: Reactia Dupa Stare

43

&&-Funcţia Matlab „place” implementează un algoritm înbunătăţit, care, la fel,

calculează matricea de reacţie după stare k , prin plasarea polilor sistemului în circuit

închis în locaţiile dorite.

>> help place

PLACE Pole placement technique

K = PLACE(A,B,P) computes a state-feedback matrix K such that

the eigenvalues of A-B*K are those specified in vector P.

No eigenvalue should have a multiplicity greater than the

number of inputs.

[K,PREC,MESSAGE] = PLACE(A,B,P) returns PREC, an estimate of how

closely the eigenvalues of A-B*K match the specified locations P

(PREC measures the number of accurate decimal digits in the actual

closed-loop poles). If some nonzero closed-loop pole is more than

10% off from the desired location, MESSAGE contains a warning

message.

OBS: Aceasta functie se poate aplica si pentru calculul matricei de reactie dupa stare

pentru sistemele multivariabile

În principiu, prin proiectarea folosind metoda locului rădăcinilor se consideră o

funcţie de transfer în circuit închis cu 2 poli complex conjugaţi care poate duce la

răspunsul tranzitoriu dorit. Se poate aplica şi în cazul reacţiei după stare o variantă a

acestei metode, adică se selectează în planul complex o pereche de poli care să

satisfacă specificaţiile răspunsului tranzitoriu, şi restul de (n-2) poli se aleg reali în

semiplanul complex stâng şi depărtaţi de originea planului complex, astfel încât

influenţa lor în răspunsul tranzitoriu să fie neglijabilă. Locului rădăcinilor este o metodă destul de folosită de analiză şi sinteză a SRA liniare fără

timp mort. Prin modificarea poziţiei rădăcinilor polinomului caracteristic(în circuit închis) în planul

complex se pot obţine performanţele dorite pentru o structură dată de sistem de reglare automată

(SRA). Practic, prin modificarea valorilor unor parametrii ai sistemului de reglare, se asigură diferite

poziţionări ale rădăcinilor polinomului caracteristic şi deci se ajustează performanţele. Astfel,

metoda locului rădăcinilor oferă un procedeu simplu de stabilire a rezultatului modificării unui

anumit parametru al SRA liniar asupra spectrului polinomului său caracteristic, conducând la câte

un loc geometric pentru fiecare rădăcină. Pentru a construi locul rădăcinilor, considerăm un SRA-

liniar şi continuu al cărei funcţie de transfer pe calea directă este de forma:

)(

)()(

2

1

sP

sPKsH dd (3.57)

Funcţia de transfer în circuit închis corespunzătoare unei structuri cu reacţie negativă unitară este:

)()(

)(

)(

)(1

)(

)(

)(1

)()(

12

1

2

1

2

1

0sPKsP

sPK

sP

sPK

sP

sPK

sH

sHsH

d

d

d

d

d

d

(3.58)

Polinomul caracteristic al sistemului în circuit închis devine:

Page 4: Reactia Dupa Stare

44

)()()( 12 sPKsPsP d (3.59)

În această abordare polii sistemului în circuit închis sunt rădăcinile următoarei ecuaţii caracteristice,

ceea ce arată că amplificarea Kd de pe calea directă, afectează rădăcinile polinomului caracteristic:

0)()( 12 PKP d (3.60)

Prin definiţie, locul rădăcinilor reprezintă ansamblul locurilor geometrice descrise în planul

variabilei complexe(frecvenţa complexă) “s” de rădăcinile ecuaţiei caracteristice din relaţia (3.60),

atunci când factorul de amplificare pe calea directă Kd, în raport cu care se face analiza sau sinteza

SRA, variază, luând valori într-un domeniu specificat. Pentru Kd=0, rădăcinile ecuaţiei (3.60) sunt

rădăcinile polinomului )(2 P , care sunt aceleaşi cu polii sistemului în circuit deschis. Dacă

amplificarea Kd este foarte mare )( dK , rădăcinile ecuaţiei caracteristice coincid cu zerourile

sistemului în circuit deschis(zerourile funcţiei de transfer Hd(s)). Astfel, atunci când Kd este crescut

de la 0 la , locul rădăcinilor este iniţiat de polii pj ai sistemului în circuit deschis şi se termină în

zerourile zi ale sistemului în circuit deschis.

Locul rădăcinilor permite analiza stabilităţii SRA, aprecierea informativă a calităţii SRA, şi

determinarea aproximativă a răspunsului la diverse semnale de intrare. Stabilitatea unui SRA liniar

poate fi analizată prin poziţia rădăcinilor ecuaţiei caracteristice în raport cu frontiera domeniului de

stabilitate(axa imaginară). Dacă pentru o valoare dată a parametrului Kd rădăcinile polinomului

caracteristic sunt în semiplanul complex stâng C , spunem că sistemul este asimptotic stabil.

Ţinând seama de incertitudinile ce caracterizează modelul procesului şi în consecinţă şi valorile

parametrilor de acord ai regulatorului, se consideră o frontieră de stabilitate modificată cu

dreapta d paralelă cu axa imaginară ca în Fig.3.15

Valoarea a este stabilită de proiectant în funcţie de aplicaţia concretă, în funcţie de gradul

de adecvanţă al modelului matematic al procesului la realitate. Pornind de la definiţia locului

rădăcinilor şi ţinând seama de importanţa informaţiei de factură calitativă asupra regimurilor libere

ale SRA oferite în faza de analiză, locul rădăcinilor poate fi utilizat pentru rezolvarea unor probleme

de proiectare formulate astfel:

Dându-se modelul matematic al obiectului condus şi indicatorii de calitate impuşi SRA, se

cere determinarea structurii SRA şi a parametrilor algoritmului de reglare(regulatorului) care

asigură cerinţele impuse.

În cele mai multe aplicaţii, locul rădăcinilor oferă informaţii dacă rădăcinile polinomului

caracteristic pot fi plasate într-un domeniu al planului complex numit „domeniu admisibil”. În cazul

sistemelor continue, domeniul admisibil rezultă din intersecţia a 3 domenii, ca în Fig.3.17.

Considerând un sistem de ordinul doi: 22

2

2)(

nn

n

sssH

cu factorul de amortizare 1,0 ,

rădăcinile ecuaţiei caracteristice şi evident polii sistemului sunt:

σ

C-

C+

Fig.3.15.Domeniul admisibil

de plasare a polilor sistemului

d

a

Page 5: Reactia Dupa Stare

45

dnn jjp 2

2,1 1 (3.61)

unde d , sunt partea reală, respectiv partea imaginară a celor 2 poli complex conjugaţi.

Semnificaţia fizică a parametrilor d ,,, se poate pune în evidenţă folosind răspunsul indicial al

sistemului de ordinul II, sub forma:

)sin(1)(

tety d

t

d

n unde )cos( şi 21)sin( (3.62)

Ţinând cont de relaţia (3.62) se poate considera că frecvenţa de oscilaţie a răspunsului este dată de

partea imaginară a polilor d , prin termenul )sin( td . Anvelopa oscilaţiilor este dată de partea

reală a polilor , prin termenul te .

Considerând ca parametrii de performanţă pentru răspunsul indicial suprareglajul, timpul de

răspuns, numărul maxim de oscilaţii până se stabilizează răspunsul, se poate stabili un „domeniu

admisibil” pentru plasarea rădăcinilor polinomului caracteristic al sistemului.

Astfel, pentru .ct şi n variabil, locul rădăcinilor este format din 2 semidrepte situate

în C şi care pornesc din origine(notate d şi 'd în Fig.3.17) simetrice cu axa reală. Considerând

relaţia pentru calculul suprareglajului în cazul răspunsului indicial 21

ejsupraregla , se obţine în

cazul limitării valorii suprareglajului la maxim %5 , o valoare minimă a factorului de amortizare

7.0 . În condiţiile acestea, cele 2 drepte d şi 'd din Fig.3.17 sunt dreptele pentru 7.0 .

Timpul de răspuns al sistemului de ordinul II este dat în cazul răspunsului indicial de relaţia

n

rt

4 , ceea ce înseamnă că pentru impusrr tt _ , avem că partea reală a polilor an unde

impusr

at _

4 şi este reprezentat de dreapta d din Fig.3.15. Dacă considerăm acceptabil un timp

maxim de răspuns pentru sistemul “Ball on Beam” de valoarea 10_ impusrt secunde, vom

avea 4.010

4a .

Numărul de oscilaţii până când se stabilizează răspunsul sistemului este dat de frecvenţa d

din relaţia (3.62). Dacă impunem ca răspunsul să se stabilizeze într-un număr n-maxim de oscilaţii,

Im(p)

Re(p)

C-

C+

Fig.3.16.Poziţionarea polilor complex conjugaţi ai sistemului de ordinul II

ωn

-ωn

n

d

0

1

1

Page 6: Reactia Dupa Stare

46

vom avea valabilă relaţia d

oscimpusr nTnt

2_ , de unde obţinem o valoare maximă pentru

frecvenţa de oscilaţie M

impusr

impusddt

n

_

_

2, obţinându-se 2 semidrepte paralele cu axa

reală situate în C (notate d şi 'd în Fig.3.17). Dacă considerăm ca acceptabil un număr de

maxim 10n oscilaţii şi 10_ impusrt secunde, vom avea

28.610

210

2

_

_

M

impusr

impusddt

n

În această abordare, domeniul admisibil poate fi definit astfel:

-semiplanul situat în stânga dreptei d care este definită de parametrul a ce reprezintă

“abscisa de amortizare absolută”

-punctele de pe laturile şi interiorul unghiului format de semidreptele d şi 'd definite de

valoarea minimă admisibilă a factorului de amortizare .

-fâşia din semiplanul Re(s)<0, delimitată de semidreptele d şi 'd împreună cu punctele de

pe acestea asociate cu pulsaţia M , care asigură limitarea superioară a frecvenţei de oscilaţie a

componentelor sinusoidale ale răspunsului indicial.

Prin delimitarea acestui domeniu se asigură satisfacerea unor cerinţe de performanţă cum ar

fi suprareglajul, gradul de amortizare, şi durata regimului tranzitoriu.

Revenim la ideea că, prin proiectarea folosind metoda locului rădăcinilor, se consideră o

funcţie de transfer în circuit închis cu 2 poli complex conjugaţi care poate duce la răspunsul

tranzitoriu dorit. Aceasta se poate aplica şi în cazul reacţiei după stare, adică se selectează în planul

complex o pereche de poli care să satisfacă specificaţiile răspunsului tranzitoriu, şi restul de (n-2)

poli se aleg reali în semiplanul complex stâng şi depărtaţi de originea planului complex, astfel încât

influenţa lor în răspunsul tranzitoriu să fie neglijabilă.

σ

σa

C-

C+

Fig.3.17.Domeniul admisibil pentru plasarea rădăcinilor polinomului caracteristic

jωM

-jωM

dξ’

dω’

Page 7: Reactia Dupa Stare

47

Structura unui sistem cu reacţie după variabilele de stare este prezentată în Fig.4.1:

Pentru a reliefa modalitatea de funcţionare a structurii de reglare cu reacţie după

variabilele de stare din Fig.4.1., se poate face o echivalare cu o structură simplă de

reglare monocontur(schema clasică de reglare) ca în Fig.4.2, punând condiţia ca să

aibă acelaşi răspuns.

Funcţia de transfer în circuit închis pentru structura din Fig.4.2. este:

sHsH

sHsH

sH

sHsH

FR

FR

d

dSRA

1)(1

)()(0 (4.1)

Considerăm că sHF - partea fixă a procesului ce este descrisă în spaţiul stărilor de

ecuaţiile:

sUsHsUBsCsYtxCty

sBUssXtButAxtx

F

TT

Laplace formataprin trans

unde 1 AsIs este matricea de tranziţie a stărilor

Schema bloc a structurii sistemului cu reacţie după variabilele de stare considerând

partea fixă un sistem strict propriu )0( D , este prezentată în Fig.4.3.

HR(s)

HF(s) R(s) +

-

U(s) Y(s)

Fig.4.2. Sistem de reglare automată(SRA) monocontur

E(s)

A,B,C,D

U(t)=-kx(t) y(t)

Fig.4.1. Structură de reglare cu reacţie după variabilele de stare

k1

k2

k3

kn

x1

x2

x3

y(t)

xn

0)( tR +

Y0= R(t) State Feed-back

- -

- - +

+

Page 8: Reactia Dupa Stare

48

skXsRsusRsU k )()(

Funcţia de transfer a sistemului cu reacţie după după variabilele stare conform

schemei-bloc din Fig4.3, se obţine: Bsk

BsCsH T

k

1)(0 (4.2)

Prin echivalarea funcţiilor de transfer din relaţia (4.1) şi (4.2) pentru cele 2 structuri

de reglare, impunând să aibă acelaşi răspuns, vom avea:

Bsk

BsC

BsCsH

BsCsH

Bsk

BsC

sHsH

sHsHsHsH

T

T

R

T

RT

FR

FRkSRA

1111)()( 00

1)(1

1

1

1

1

BsCksHBsk

BsCsH

T

RT

R

(4.3)

Astfel, dacă vom construi funcţia )(sHR conform relaţiei (4.3), atunci structura

sistemului clasic şi structura sistemului cu reacţie după stare vor avea acelaşi răspuns

tranzitoriu. Folosind această relaţie se poate realiza o corespondenţă între funcţia de

transfer a compensatorului )(sHR -echivalent, obţinut în conformitate cu vectorul de

reacţie după stare k folosit la plasarea polilor sistemului în locaţiile dorite. În

principiu, la un SRA nu este suficientă numai amplificarea de pe calea directă pentru

plasarea polilor în locaţiile dorite, şi astfel este nevoie de a introduce poli şi zerouri

suplimentare. Prin echivalarea răspunsului celor două structuri se obţine

compensatorul complet )(sHR ce conţine şi poli şi zerouri plasate corespunzător prin

reacţia după stare astfel încât să se realizeze plasarea polilor în locaţii din domeniul

admisibil. Considerăm în continuare sistemul cu reacţie după mărimile de stare unde

avem comanda de forma:

trtkxtu (4.4)

vom avea ecuaţiile de stare ale sistemului în circuit închis:

tBrtxBkAtx (4.5)

Prin aplicarea transformatei Laplace în condiţii iniţiale nule, obţinem:

sBRBkAsIsX1

sBRBkAsICsXCsY TT 1)(

)(

)(1

0sR

sYBBkAsICsH T

k (4.6)

B

s

CT

-k

+

+

U(s)

Fig.4.3. Structura sistemului cu reacţie după variabilele de stare

X(s) Y(s)

)(suk

R(s)

Page 9: Reactia Dupa Stare

49

Revenind la relaţia (4.3) vom avea:

1)(

11

1T

R

T

RCk

BA

sHbsCk

sH (4.7)

Factorizarea realizată la formula anterioară este de fapt o scriere compactă a

următorului rezultat:

Dacă avem: DBAsICsH T 1)()( , putem scrie forma compactă

DC

BAsH

T)( .

Se poate demonstra că

11

11

1 )(DCD

BDCBDAsH (4.8)

Conform relatiilor (4.8), vom avea:

1)(

)()(

1)()(

1T

T

RT

R Ck

BCkBAsH

Ck

BA

sH (4.9)

În concluzie, dacă vom construi sHR după formula de mai sus, atunci sistemul

proiectat clasic şi cel cu reacţie după stare vor avea acelaşi răspuns tranzitoriu.

Funcţia de transfer a sistemului cu reacţie după stare se obţine conform schemei

din Fig.4.4, unde constanta N se poate calcula ca şi un factor de scalare pentru a

obţine o eroare staţionară nulă a răspunsului sistemului în circuit închis.

tBNrtxBkAtx

tBNrtkBxtAxtButAxtxdar

tNrtkxtu

)()()()()( (ec. de stare in circuit inchis)

Prin aplicarea transformatei Laplace, obţinem:

sBNRBkAsIsX1

sBNRBkAsICsY T 1

sBNRBkAsICsH T 1

0

N

B

s

-k

R(s) +

+

U(s) X(s)

Fig.4.4

uk(s)

Page 10: Reactia Dupa Stare

50

Studiu de caz: Sistemul “Ball on Beam”

Considerăm ecuaţiile de stare liniarizate în jurul unui punct staţionar de funcţionare pentru

sistemul „Ball on Beam”:

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

1000

0

0

0100

0

0001

0

x

x

x

x

yl

u

bdab

af

bdab

bf

x

x

x

x

bdab

ac

bdab

cd

bdab

ae

bdab

bc

bdab

cb

bdab

be

x

x

x

x

l

lx

(3.40)

unde 0;1000;

0

0;

0100

0

0001

0

DC

bdab

af

bdab

bf

B

bdab

ac

bdab

cd

bdab

ae

bdab

bc

bdab

cb

bdab

be

A T

Folosind funcţiile Matlab ”ctrb()”, “rank()”, vom avea pentru sistemul din relaţia (3.40):

P_matricea_de_controlab = 1.0e+007 *

0.00000101831210 -0.00013791561867 0.01868785157294 -2.53224192818174

0 0.00000101831210 -0.00013791561867 0.01868785157294

-0.00000000458240 0.00000062062028 -0.00008908506138 0.01207087520831

0 -0.00000000458240 0.00000062062028 -0.00008908506138

rangul_matricii_controlabilitate = 4

rangul_A = 4

Pentru realizarea de stare din relaţia (3.40) s-a obţinut rangul matricii P de controlabilitate 4

egal cu rangul matricii A, deci sistemul este controlabil. Dacă sistemul este controlabil se poate

folosi reacţia după stare pentru a plasa polii sistemului în circuit închis oriunde în semiplanul

complex stâng(presupunem că toate stările sunt măsurabile).

În conformitate cu prelucrările anterioare vom realiza plasarea polilor în domeniul admisibil

cu satisfacerea următoarelor performanţe pentru sistemul „Ball on Beam”:

-suprareglaj<5%, vom avea 7.0 , şi vom considera 7.0

-timpul de răspuns 5rt secunde, vom avea frecvenţa naturală sec]/[14.1 radn şi astfel,

partea reală a celor 2 poli complex conjugaţi este 8.0 n , respectiv partea imaginară

82.01 2 nd .

Deoarece sistemul este de ordinul 4, pe lângă cei 2 poli dominanţi complex conjugaţi selectaţi

pentru respectarea performanţelor, vom considera încă 2 poli pe axa reală şi în semiplanul stâng

depărtaţi de axa imaginară, astfel încât efectul lor să nu fie dominant. Astfel vom încerca plasarea

polilor prin reacţia după stare în următoarele locaţii:

p1 = -11

p2 = -0.80000000000000 + 0.81616324897633i (3.73)

p3 = -0.80000000000000 - 0.81616324897633i

p4 = -5

Page 11: Reactia Dupa Stare

51

Pentru polii stabiliţi anterior, se poate trece la calculul vectorului k de reacţie după stare folosind

funcţia Matlab “place()”:

k =

-11.58147071800683 8.91810664681767 -2.18244222374010 -2.32095517955238 (3.74)

Prin prelucrarea cu ajutorul mediului Matlab a modelului matematic al părţii fixe, se obţine

următoarea configuraţie de zerouri, poli şi factor de amplificare:

zf = 1.0e+011 *

-2.01536279609938

0.00000000000000 + 0.00000000032998i

0.00000000000000 - 0.00000000032998i

pf =

-135.502053231339 (3.75)

-0.321181543720 + 0.595493736320i

-0.321181543720 - 0.595493736320i

0.708906635242

kf =

-2.273736754432321e-013

HF=

Zero/pole/gain:

-2.2737e-013 (s+2.015e011) (s^2 - 5.424e-009s + 1089)

---------------------------------------------------------------------

(s+135.5) (s-0.7089) (s^2 + 0.6424s + 0.4578)

Prin prelucrarea relaţiei (4.9) care furniza compensatorul )(sHR al unui SRA echivalent cu structura

cu reacţie după variabilele de stare, se obţine următoarea configuraţie de zerouri, poli şi factor de

amplificare pentru )(sHR :

zr =

-135.502053231339

-0.321181543720 + 0.595493736320i

-0.321181543720 - 0.595493736320i

0.708906635242

pr =

-10.90892873995004

-5.41747202141412 (3.76)

-0.63679961931794 + 1.28620563162677i

-0.63679961931794 - 1.28620563162677i

kr =

1

HR=

Zero/pole/gain:

(s+135.5) (s-0.7089) (s^2 + 0.6424s + 0.4578)

---------------------------------------------------------

(s+10.91) (s+5.417) (s^2 + 1.274s + 2.06)

Se poate observa că funcţia de transfer a compensatorului echivalent )(sHR este de ordinul 4, şi

astfel, cele 4 zerouri vor compensa cei 4 poli ai părţii fixe, adăugând alţi 4 poli care vor fi polii

proiectaţi ai sistemului în circuit închis. Configuraţia de zerouri, poli şi factor de amplificare pentru

structura clasică )(0 sH SRA , obţinută fără simplificările poli-zerouri, preluată de pe diagrama locului

rădăcinilor din Fig.3.21 este:

Page 12: Reactia Dupa Stare

52

z0sra = 1.0e+011 *

-2.01536279609938

-0.00000000135502

0.00000000000000 + 0.00000000032998i

0.00000000000000 - 0.00000000032998i

0.00000000000709

-0.00000000000321 + 0.00000000000595i

-0.00000000000321 - 0.00000000000595i

p0sra = 1.0e+002 *

-1.35502053231339

-0.11000000000000

-0.05000000000000

-0.00800000000000 + 0.00816163248976i

-0.00800000000000 - 0.00816163248976i

0.00708906635242

-0.00321181543720 + 0.00595493736320i

-0.00321181543720 - 0.00595493736320i

k0sra =

-2.273736754432321e-013

H0SRA=

Zero/pole/gain:

-2.2737e-013 (s+2.015e011)(s+135.5)(s-0.7089)(s^2+0.6424s+0.4578)(s^2 - 5.38e-009s + 1089)

----------------------------------------------------------------------------------------------------

(s+135.5) (s+11) (s+5) (s-0.7089) (s^2 + 0.6424s + 0.4578) (s^2 + 1.6s + 1.306)

În Fig.3.21 este reprezentat locul geometric al rădăcinilor polinomului caracteristic al

structurii de SRA echivalent cu structura cu reacţie după stare, unde se poate observa modalitatea de

plasare a polilor în locaţiile dorite(cu respectarea performanţelor cerute) şi totodată compensarea

polilor sistemului real.

Page 13: Reactia Dupa Stare

53

La nivel de proiectare teoretică şi eventual simulare folosind mediul de dezvoltare

Matlab/Simulink, compensarea polilor modelului matematic al procesului şi plasarea unor alţi poli

în locaţiile cerute pentru respectarea unor performanţe, se realizează în totalitate. În cazul sistemului

real, compensarea polilor nu este foarte precisă, ceea ce poate conduce la nerespectarea

performanţelor şi chiar la instabilitate. Inadecvanţa modelului matematic faţă de procesul real,

alături de perturbaţiile ce acţionează în proces, la care se adaugă şi faptul că orice proces real este

neliniar, conduc la concluzia că valabilitatea algoritmului de reglare proiectat este limitată la o

vecinătate relativ mică a punctului staţionar de funcţionare. Practic, într-o vecinătate foarte mică

a punctului staţionar, modelul matematic liniarizat folosit în proiectare coincide cu modelul

matematic neliniar şi totodată modelul matematic neliniar tinde să se apropie foarte mult de

modelul real al procesului.

Revenind la structura sistemului cu reacţie după variabilele de stare obţinută prin proiectarea

anterioară se poate observa plasarea polilor în locaţiile dorite specificate în relaţiile (3.73) prin

vectorul de reacţie după stare din relaţia (3.74), testând valorile proprii ale matricei sistemului

BkA cu funcţia Matlab “eig()”:

valorile_proprii_A_Bk =

-11.00000000000006

-0.80000000000000 + 0.81616324897633i

-0.80000000000000 - 0.81616324897633i

-4.99999999999996

Fig. 3.21. Locul geometric al rădăcinilor polinomului caracteristic al structurii de reglare

monocontur obţinută ca echivalenţă cu structura de reacţie după stare

Poli_proces

Compensaţi de

zerouri_HR

Zerouri

proces

Domeniu Admisibil

Poli plasaţi conform performanţelor pentru

structura de reglare cu reacţie după stare

echivalată cu SRA-monocontur

Page 14: Reactia Dupa Stare

54

În Fig.3.22. se prezintă simularea în mediul Matlab ce realizează o reprezentare în planul

fazelor a sistemului în circuit închis cu reacţie după stare(poziţia bilei 4x în funcţie de celelalte

variabile de stare: 3x -viteză bilă, 2x -poziţie unghiulară tijă, 1x -viteză de rotaţie tijă), pornind din

diferite condiţii iniţiale. Totodată, se prezintă şi răspunsul în timp, corespunzător fiecărei variabile

de stare 1x , 2x , 3x , 4x . Se poate observa în planul a două faze, evoluţia spre un nod stabil a

variabilelor de stare din diferite condiţii iniţiale plasate în jurul punctului staţionar de funcţionare.

Programul de simulare cu ajutorul pachetului de programe Simulink al funcţionării modelului

matematic este prezentat în Fig.3.23, unde s-a încercat realizarea cât mai exactă a tuturor limitărilor

mărimilor de stare în concordanţă cu limitările reale, astfel încât simularea să fie cât mai aproape de

realitate.

În Fig.3.24. se prezintă răspunsul simulat cu mediul Matlab/Simulink al structurii sistemului

cu reacţie după variabilele de stare la modificarea referinţei de poziţionare a bilei de-a lungul barei.

În cazul sistemului nostru descris prin ecuaţiile de stare în relaţia (3.40), lucrăm cu variaţii faţă de un

punct staţionar de funcţionare şi astfel mărimea de referinţă 0)( tlll refref , adică dorim să

readucem sistemul într-un punct staţionar caracterizat de l(t)=lref. Graficele de culoare mov

reprezintă mărimile de pe reacţie, adică )(tkx , iar graficele de culoare galbenă reprezintă chiar

evoluţia mărimilor de stare )(tx . Cel puţin la nivel de simulare, se poate observa convergenţa

sistemului către punctul staţionar.

Fig. 3.22. Răspunsul simulat al sistemului cu reacţie după var. de stare din diferite cond. iniţiale

Page 15: Reactia Dupa Stare

55

Fig.3.23.Programul de simulare cu limitarea mărimilor de stare în concordanţă cu procesul real

Page 16: Reactia Dupa Stare

56

Δlref

Δl(t)

u(t)= - k x

x1(t) k1 x1(t)

x2(t)

x3(t)

x4(t)

k2 x2(t)

k3 x3(t)

k4 x4(t)

Fig. 3.24. Răspunsul simulat al sistemului cu reacţie după variabilele de stare

Page 17: Reactia Dupa Stare

57

Folosind aceste date de proiectare, a fost implementat pe sistemul real structura descrisă

anterior în Fig.3.18., unde toate stările se consideră măsurate. Astfel, au fost realizate următoarele

operaţii pentru implementare:

-S-a considerat matricea de reacţie după stare din relaţia (3.74):

k =

-11.58147071800683 8.91810664681767 -2.18244222374010 -2.32095517955238

-Se măsoară poziţia bilei )(tl , se setează de pe interfaţa grafică referinţa refl , după care se

calculează:

)()()(4 tlltltx ref

-Viteza bilei măsurată este de fapt calculată ca derivată a poziţiei:

)())(()( 43 tltxdt

dtx

-Se măsoară poziţia unghiulară )(t a tijei care este variabila de stare:

)(0)()()( 02 ttttx

-Viteza unghiulară a tijei măsurată este de fapt calculată ca derivată a poziţiei unghiulare:

)())((

)( 21 t

dt

txdtx .

Funcţionarea în timp real al sistemului „Ball on Beam” cu menţinerea constantă a referinţei

refl şi destabilizarea bilei din poziţia de echilibru este prezentată în Fig.3.25

Page 18: Reactia Dupa Stare

58

În Fig.3.26. se prezintă răspunsul sistemului în timp real la variaţia treaptă a referinţei de

poziţie a bilei spre partea dreaptă a barei. Se poate observa pe primul grafic, la momentul

modificării, că apare un “vârf” în semnalul măsurat, datorat faptului că bara este coborâtă brusc de

capătul de acţionare pentru a crea un plan înclinat pentru rostogolirea bilei spre noua poziţie, iar

bila, din cauza inerţiei rămâne puţin în aer şi nu mai face contact ferm cu bara.

Fig.3.25. Funcţionare în timp real cu setarea referinţei în mijlocul tijei şi destabilizarea bilei

)(tl -poziţie bilă

refl -referinţă poziţie bilă

)(tu -comanda calculată

)(tu -comandă aplicată motorului

histerezis la comutarea de sens

)()( 444 tlktxk -poziţie bilă

motorului

)()( 333 tlktxk -viteză bilă

motorului

)()( 222 tktxk -poziţie unghiulară tijă

motorului

)()( 111 tktxk -viteză unghiulară tijă

motorului

Page 19: Reactia Dupa Stare

59

Se poate observa(chiar dacă au fost alese cele mai bune răspunsuri) în ambele cazuri

existenţa unei erori staţionare, datorată faptului că, în momentul când viteza bilei devine 0 în

apropierea punctului de echilibru, apare o neliniaritate în deplasarea bilei pe tijă datorită

traductorului de poziţie. Aşa cum a fost descris în subcapitolul 3.1, traductorul de poziţie bilă este

realizat dintr-o tijă filetată pe care s-a bobinat un conductor de nichelină. Atunci când bila se opreşte

aproape de punctul de referinţă(punctul staţionar), comanda primită datorată reacţiei după stare este

foarte mică şi nu poate mişca bila dintre 2 spire, ca în Fig.3.27

Datorită acestui lucru, s-a încercat realizarea unei destabilizări a bilei din această poziţie[61] prin

cuplarea unei bucle suplimentare cu un element integrator numai atunci când viteza bilei devine 0 şi

eroarea este mare. Când eroarea devine foarte mică, bucla suplimentară cu integrator nu mai este

cuplată, iar în rest, când viteza bilei este diferită de 0 bucla suplimentară este tot decuplată şi

funcţionează numai reacţia după stare.

Această structură modificată este prezentată în Fig.3.28.

Fig.3.26.Funcţionare în timp real cu modificarea referinţei în partea dreaptă a tijei

)(tl -poziţie bilă

refl -referinţă poziţie bilă

)(tu -comanda calculată

)(tu -comanda aplicată motorului

histerezis la comutarea de sens

)()( 444 tlktxk -poziţie bilă

motorului

)()( 333 tlktxk -viteză bilă

motorului )()( 222 tktxk -poziţie unghiulară tijă

motorului

)()( 111 tktxk -viteză unghiulară tijă

motorului

Fig. 3.27.

Page 20: Reactia Dupa Stare

60

Funcţionarea în timp real a acestei structuri este prezentată în Fig.3.29. Se poate observa că

eroarea staţionară devine mult mai mică şi este obţinută la fel în toate experimentele testate cu

această structură, dar se prelungeşte foarte mult regimul tranzitoriu, deoarece bila nu se va stabiliza

până când nu se obţine o eroare staţionară mică. Totodată se pot observa salturi foarte mari ale

comenzii aplicate, datorate buclei suplimentare.

Cu ajutorul acestei ultime structuri de reglare se poate realiza şi calibrarea poziţiei de “0”

pentru unghiul tijei, deoarece, chiar dacă se stabilizează mai greu bila în poziţia de echilibru, în

momentul când s-a realizat stabilizarea, este de aşteptat ca tija să fie în poziţie orizontală. În acest

moment se afişează pe interfaţa grafică valoarea numerică citită de la sistemul de achiziţie şi

repetând testul pentru mai multe valori ale mărimii de referinţă se obţine o valoare medie cât mai

aproape de realitate. Detectarea poziţiei orizontale a tijei este o problemă destul de importantă

pentru funcţionarea corectă a sistemului.

A,B,C,D

U(t)=-kx(t) L(t)

Fig.3.28.Structura de reglare cu reacţie după variabilele de stare modificată

K1

K2

K3

K4

x1

)(t

x2

)(t x3

)(tl

)(tl

x4

)(tl

refl

Lref=l0

State Feed-back

-

Lref +

L(t) -

PI

0)(

tl 01.0)( tLLref

0 refl

Page 21: Reactia Dupa Stare

61

Obs:Problema majoră a reacţiei după stare este că nu poate fi în general aplicată în

practică. În primul rând, într-un sistem cu mai multe stări, nu este posibil sau nu este

practic să se măsoare toate stările după care se face reacţia.

În acelaşi timp, reacţia după stare pretinde senzori ideali (cu bandă de frecvenţă

infinită) pentru toate stările măsurate, ceea ce nu este posibil. O altă problemă ar fi că

există stări ce nu sunt variabile fizice ale sistemului şi nu pot fi măsurate. Chiar în

situaţia în care stările ar fi variabile fizice măsurabile, s-ar putea să nu fie tehnologic

posibilă măsurarea lor sau chiar să nu fie rentabilă măsurarea.

În afara problemei măsurării stărilor, fiecare buclă de reacţie după o componentă

de stare ar necesita hardware adiţional (sau software şi CAN complexe în sistemul de

achiziţie) ce ar duce la creşterea costului şi complexităţii sistemului dar şi reducerea

fiabilităţii. Prin defectarea unui traductor de stare s-ar putea ajunge chiar la

pierderea stabilităţii buclei de reglare.

Fig.3.29.Funcţionare în timp real cu destabilizarea bilei

)(tl -poziţie bilă

refl -referinţă poziţie bilă

)(tu -comanda calculată

)(tu -comanda aplicată motorului

histerezis la comutarea de sens

)()( 444 tlktxk -poziţie bilă

motorului

)()( 333 tlktxk -viteză bilă

motorului )()( 222 tktxk -poziţie ungh. tijă

motorului

)()( 111 tktxk -viteză ungh. tijă

motorului

Page 22: Reactia Dupa Stare

62

4.2 Estimator total de stare

După cum s-a văzut în subcapitolul precedent, sistemul de reglare cu reacţie după

stare, când toate stările sunt măsurabile, este greu de implementat din considerentele

enunţate. O soluţie la această problemă ar fi să încercăm să estimăm stările procesului

şi nu să le măsurăm, lucru care este posibil de realizat în practică datorită faptului că

dispunem în prezent de sisteme cu microprocesoare (echipamente de automatizare)

rapide şi cu putere mare de calcul.

Problema care se pune este că, dacă nu avem acces la măsurarea stărilor

sistemului, în ce măsură este posibil să folosim intrările şi ieşirile din sistem pe care le

măsurăm, pentru estimarea lor.

Luenberger a numit acest estimator „observer” şi a dezvoltat teoria sa. Ideea

constă în faptul că dacă cunoaştem parametrii sistemului se poate simula întotdeauna

modelul pe un calculator numeric. Chiar dacă nu avem acces la stările sistemului,

avem acces total la stările obţinute prin calcul, deci estimate.

Notând cu tx , starea estimată, avem:

0

0

0x avand

0x avand

xtButxAtx

xtButAxtx

Notăm txtxtx ˆ~ eroarea observerului.

0000~tx~ ˆ~0x~ ;~~ xexxxtxAx At

Eroarea observerului definită anterior tinde către zero atât timp cât sistemul

original este stabil sau condiţiile iniţiale ale sistemului şi observerului sunt aceleaşi. În

general nu se cunoaşte starea iniţială a sistemului(procesului). Dacă am cunoaşte

această stare, cunoscând şi parametrii sistemului am putea calcula starea exactă la

orice moment de timp şi în felul acesta am putea face o reglare după starea estimată ce

coincide „aproape” cu starea sistemului. În această situaţie, problema principală ar fi

cunoaşterea stării iniţiale ale sistemului.

Eroarea observerului definită anterior tinde către zero atât timp cât sistemul

original este stabil sau condiţiile iniţiale ale sistemului şi observerului sunt aceleaşi. În

general nu se cunoaşte starea iniţială a sistemului(procesului). Dacă am cunoaşte

această stare, cunoscând şi parametrii sistemului am putea calcula starea exactă la

orice moment de timp şi în felul acesta am putea face o reglare după starea estimată ce

coincide cu starea sistemului. În această situaţie, problema principală ar fi cunoaşterea

stării iniţiale ale sistemului.

Pe lângă problema cunoaşterii stării iniţiale, mai apare o problemă legată de

faptul că modelul matematic caracterizează cu un anumit grad de precizie procesul

real(ce prezintă neliniarităţi în dinamica sa), şi totodată modelul matematic nu este

afectat de perturbaţii.

În condiţiile expuse, estimarea stării se face în circuit deschis şi astfel nu se

foloseşte informaţia oferită de ieşirea sistemului. De aceea este normal să se facă o

Page 23: Reactia Dupa Stare

63

comparaţie între ieşirea sistemului şi ieşirea estimatorului şi astfel să se implementeze

un mecanism de corecţie a acestei erori care să ducă şi la stabilizarea erorii dinamice

în caz că sistemul este instabil. Acest lucru se face prin introducerea unei matrici L de

reacţie după eroarea de estimare. Ecuaţia estimatorului în circuit închis va fi:

00x ;ˆˆˆ xxCyLtButxAtx T

Ecuaţia de stare a erorii se obţine folosind ecuaţiile de stare ale procesului

tButAxtx şi vom avea:

txCtyLtButxAtButAxtxtxtx T ˆˆˆ~

txLCtxAtxtxLCtxtxAtxCtxCLtxtxA TTTT ~~ˆˆˆˆ

00x~ ;~~ xtxLCAtx T

Prin alegerea adecvată a matricei L astfel încât valorile proprii ale matricei )( TLCA

să poată fi plasate arbitrar în semiplanul complex stâng, problema estimării stării este

rezolvată. Se poate astfel garanta că eroarea estimatorului tinde la zero pentru orice

valoare iniţială.

Proprietatea care este folosită mai sus este duala proprietăţii de controlabilitate şi

se numeşte observabilitate. Ea reprezintă posibilitatea de a estima starea sistemului

cunoscând ieşirea măsurată a sistemului.

În contextul celor de mai sus, observabilitatea se traduce în capacitatea de a plasa

arbitrar valorile proprii ale matricei )( TLCA cu ajutorul matricei L . Observabilitatea

poate fi testată matematic cu ajutorul rangului matricei de observabilitate Q . Dacă

rangul este egal cu n (dimensiunea matricei A ) atunci sistemul este observabil

TnTT ACAACQ 12TT ..........C C

Am afirmat că observabilitatea şi controlabilitatea sunt proprietăţi duale. Prin

aceasta înţelegem că prin transpunerea matricei de controlabilitate P (rangul rămâne

acelaşi) şi înlocuind TA cu A şi B cu TC se obţine matricea de observabilitate Q .

Noţiunea duală stabilizabilităţii se numeşte „detectabilitate”. Spunem că un

sistem este detectabil dacă modurile instabile sunt observabile sau, echivalent,

modurile neobservabile sunt stabile. Ca o consecinţă a dualităţii se poate folosi acelaşi

algoritm ca la calculul matricei k de reacţie după stare:

L=acker opCA TT ,, sau L=place opCA TT ,, (în Matlab), unde prin „op” înţelegem

vectorul în care sunt plasaţi polii doriţi ai observerului. Astfel, vom obţine în cazul

sistemelor monovariabile L ca un vector linie, iar prin transpunerea sa vom obţine

vectorul L necesar (pentru a se putea realiza operaţia xCyL T ˆ ).

Se pot face aceleaşi comentarii despre plasamentul polilor observerului ca la

plasamentul polilor la reacţia după stare.

OBS:

-O specificaţie importantă pe care o facem, este că prin alegerea polilor

observerului, trebuie să obţinem o convergenţă rapidă a procesului de estimare. El

trebuie să fie de câteva ori mai rapid decât procesul de reglare (de minim 3...4 ori)

Page 24: Reactia Dupa Stare

64

astfel încât estimarea va fi percepută în evoluţia sistemului ca o perturbaţie de scurtă

durată.

-Totodată, dacă polii sunt situaţi departe în semiplanul complex stâng(către

), atunci vom obţine pentru k (matricea de reacţie după stare) şi L(matricea

estimatorului) valori mari ce pot cauza probleme de saturaţie sau chiar instabilitate.

-Plasarea polilor estimatorului departe în semiplanul complex, creşte lărgimea

de bandă a estimatorului şi vom avea probleme cu zgomotele din sistem.

CONCLUZIE:Trebuie mare atentie din partea proiectantului

Starea astfel estimată se poate folosi în locul celei reale pentru realizarea structurii

reglării după stare. Vom avea astfel o reglare după starea estimată, şi schema de

principiu a sistemului de reglare este prezentată în Fig.4.5.

Posibilitatea estimării stării face reacţia după starea estimată o metodă practică

de reglare. Principiul separării ne permite să calculăm matricea k de reacţie după

stare presupunând stările măsurabile şi apoi să proiectăm estimatorul pentru aceste

stări şi să folosim reacţia după stările estimate.

În Fig.4.6 avem schema sistemului de reglare după starea estimată cu ajutorul unui

estimator total, care estimează totalitatea componentelor de stare ale sistemului.

Sistem

A,B,CT,D

Estimator de

stare total -k

Intrare

sistem +

+

Starea

estimată

Ieşire

sistem

Fig.4.5. Schema de principiu a sistemului de reglare cu reacţie după stare şi estimator total

de stare

Ref.

Page 25: Reactia Dupa Stare

65

În acest context, ecuaţia compensatorului este o combinaţie între reacţia după variabilele de

stare şi observer şi este obţinută ţinând seama că instalaţiei iniţiale i se adaugă ecuaţia ce descrie

estimatorul de stare:

)()(ˆˆˆˆˆ tButxLCtxLCAtxxCyLtButxAtx

tButAxtx

TTT

)(ˆ)(ˆ

ˆ0

tButxLCAtxLCtx

tButxtAxtx

TT

(3.82)

Vectorul de stare al sistemului extins este compus din vectorul

tx

tx

ˆ şi deci sistemul extins va avea

următoarea formă de reprezentare a ecuaţiilor de stare:

tx

txCty

tuB

B

tx

tx

LCALC

A

tx

tx

T

TT

ˆ0

ˆ

0

(3.83)

Sistemul extins(proces +estimator) va fi reprezentat de matricile de stare extinse:

0C ; B; 0

T

ee

T

TTe CB

B

LCALC

AA

(3.84)

Considerăm reacţia după starea estimată de forma txktu ˆ , ceea ce înseamnă că reacţia după

starea extinsă va fi obţinută prin vectorul kke 0 . În această situaţie, se poate observa că

vectorul de reacţie după stare rezultant ek nu a fost calculat astfel încât să plaseze polii pentru

matricea rezultantă eA , ci numai pentru A şi astfel se poate observa, că deşi BkA şi TLCA

B Integrator

C

T y(t) x(t) tx u(t) R(t)

+

x(0)

A

+

+

L

Integrator CT

B

A

0x

tx tx +

+

+

-k

+

-

ty

Fig.4.6.Structura de reglare cu reacţie după stare şi estimator total de stare

+ )(tuk

Page 26: Reactia Dupa Stare

66

sunt stabile(din proiectare), matricea compensatorului poate fi instabilă. Principalele probleme

legate de compensatoarele bazate pe observer sunt robusteţea scăzută, adică o mare sensibilitate la

variaţiile parametrilor sau la incertitudini în ceea ce priveşte valoarea lor, deoarece întreaga teorie se

bazează pe faptul că se cunoaşte un model cât mai exact al instalaţiei (ca urmare a identificării cât

mai precise a procesului), adică reprezentarea DCBA T ,,, .

Dacă modelul procesului diferă mult de cel real, atunci funcţionarea sistemului va fi departe de

ceea ce prevedem. De asemenea, astfel de bucle de reglare au margini reduse de stabilitate şi duc la

compensatoare destul de complexe.

Punând txktRtu ˆ)( vom obţine ecuaţiile care descriu funcţionarea în circuit închis a

sistemului:

txktRtu

tx

txCty

tRB

B

tx

tx

LCBkALC

BkA

tx

tx

T

TT

ˆ)(

ˆ 0

ˆ

(3.85)

În acest fel rezultă următoarea reprezentare de stare a sistemului de reglare în circuit închis, cu

precizarea că avem k -vector linie şi L- vector coloană:

0;; 000

TT

TTCC

B

BB

LCBkALC

BkAA

(3.86)

Comparativ cu cazul ideal, când presupuneam accesul(prin măsurare) la toate stările sistemului

aveam o structură mult mai simplificată: TT CCBBkBAA 000 ];[; (3.87)

Ecuaţiile (3.85) au următoarea reprezentare de stare compactă a sistemului de

reglare în circuit închis:

00

)(0

T

T

C

B

B

LCBkALC

BkA

sH

În comparaţie cu cazul ideal, când presupuneam accesul la toate stările sistemului,

aveam o structură mult simplificată:

0)(0 TC

BBkAsH

Analiza cu funcţii de transfer

Ecuaţia compensatorului, o combinaţie între reacţia de stare şi observer, este

obţinută ţinând seama că instalaţiei iniţiale i se adaugă ecuaţia ce descrie estimatorul

de stare. Conform formulei obţinute în subcapitolul anterior în legătură cu funcţia de

transfer a regulatorului sHR - clasic, calculat încât sistemul să se comporte identic în

regim tranzitoriu cu sistemul cu reacţie după stare, vom avea:

1)()(

11

1T

ee

ee

R

e

T

ee

RCk

BA

sHBsCK

sH unde 1

eAsIs

Page 27: Reactia Dupa Stare

67

Continuarea exemplului „Ball on Beam” Implementarea la nivel de simulare în Matlab s-a realizat alegând pentru polii sistemului cu

reacţie după stare locaţiile din relaţiile (3.73) vectorul de reacţie după stare k din(3.74):

p1 = -11

p2 = -0.80000000000000 + 0.81616324897633i (3.88)

p3 = -0.80000000000000 - 0.81616324897633i

p4 = -5

k =

-11.58147071800683 8.91810664681767 -2.18244222374010 -2.32095517955238

Ţinând cont ca procesul de estimare să fie de minim 3..4 ori mai rapid decât procesul de

reglare, am considerat timpul de răspuns al estimatorului sec5.010

sec5

10__ estr

restr t

tt , unde

sec5rt a fost considerat ca parametru de proiectare pentru timpul de răspuns al sistemului cu

reacţie după stare. Considerând 84

)Re(4

_

_

_

_ estr

estnest

estnest

estrt

pt

şi pentru

7.0est vom avea configuraţia polilor complex conjugaţi dominanţi ai estimatorului sub forma

-8+8i, respectiv -8-8i. Ceilalţi poli vor fi plasaţi în semiplanul complex stâng astfel încât efectul lor

să fie neglijabil:

pest1 = -150

pest2 = -8 + 8i (3.89)

pest3 = -8 - 8i

pest4 = -90

Folosind funcţia din mediul Matlab „L=place(A',C,[pest1,pest2,pest3,pest4])” se

obţin următoarele valori pentru vectorul L al observerului:

L = 1.0e+006 *

-2.11382754742813 0.01557209206114 0.01012721179395 -0.00006503550968 (3.90)

Prin prelucrare cu mediul Matlab, configuraţia polilor sistemului în circuit închis cu reacţie

după variabilele de stare estimată şi estimator total de stare, conform sistemului din relaţia (3.85),

este o configuraţie de sistem stabil:

cofiguratia_polilor_K_L =

-150.000000000000 <----------------pol estimator

-90.000000000000 <----------------pol estimator

-7.999999999999 + 0.07.999999999999i <----------------pol estimator

-7.999999999999 - 0.07.999999999999i <----------------pol estimator

-10.999999999996 <--------------------pol reacţie după stare

-5.000000000016 <--------------------pol reacţie după stare

-0.799999999996 + 0.00816163248983i <--------------------pol reacţie după stare

-0.799999999996 - 0.00816163248983i <--------------------pol reacţie după stare

În continuare s-a realizat o simulare prin integrarea ecuaţiilor de stare ale sistemului în

circuit închis cu reacţie după variabilele de stare şi estimator total de stare, din relaţia (3.85),

folosind funcţia din Matlab “ode45” unde s-au considerat condiţii iniţiale diferite pentru starea

estimată şi cea reală(starea reală este cea provenită din modelul matematic al procesului). Codul

pentru integrarea ecuaţiilor este:

Page 28: Reactia Dupa Stare

68

x0=[0.1;0.17;0.3;0.02; 0;0;0;0]; ecdif_bila=@(t,x)((A0*x)+B0); [tek,yek]=ode45(ecdif_bila,[0,10],x0);

În Fig.3.32, Fig.3.33, Fig.3.34, Fig.3.35, se prezintă rezultatele simulării:

x1-proces

x1-estimat

Fig.3.32.Estimarea stării x1 – viteză unghiulară tijă

sec5.0_ estrt

Page 29: Reactia Dupa Stare

69

Fig.3.34.Estimarea stării x3 – Viteză bilă

x3-proces

x3-estimat

sec5.0_ estrt

Fig.3.33.Estimarea stării x2 – poziţie unghiulară tijă

x2-estimat

x2-proces

sec5.0_ estrt

Page 30: Reactia Dupa Stare

70

În Fig.3.32, Fig.3.33, Fig.3.34, Fig.3.35, se prezintă la nivel de simulare în mediul Matlab evoluţia

mărimilor de stare 1x -viteză unghiulară tijă, 2x -poziţie unghiulară tijă, 3x -viteză bilă, 4x -poziţie

bilă, la variaţia treaptă a mărimii de referinţă 2.0 refl [m], conform structurii de reglare cu reacţie

după starea estimată din relaţia (3.85). Se poate observa pentru toate cele 4 mărimi de stare că stările

estimate converg către stările procesului(la nivel de model matematic) şi totodată timpul de răspuns

al procesului de estimare este apropiat de valoarea proiectată sec5.0_ estrt . Comparativ cu timpul

de răspuns al reacţiei după stare de aproximativ sec5rt , se poate considera, cel puţin la nivel de

simulare că procesul de estimare este perceput în dinamica structurii de reglare ca o perturbaţie de

scurtă durată.

Fig.3.35.Estimarea stării x4 – poziţie bilă

x4-proces

x4-estimat

sec5.0_ estrt

Page 31: Reactia Dupa Stare

71

În Fig.3.36. este prezentat la nivel de simulare în mediul Matlab al funcţionării structurii

sistemului folosind reacţia după starea estimată(estimator total) plecând din aceleaşi condiţii iniţiale.

În continuare, pentru a vedea cu adevărat cum funcţionează bucla de reglare cu reacţie după

stare cu estimator total pornind din condiţii iniţiale diferite pentru stările modelului matematic al

procesului şi stările estimate, s-a realizat o simulare a structurii în circuit închis cu reacţie după

Fig.3.36.Simularea funcţionării structurii sistemului folosind reacţia după starea estimată

(estimator total) plecând din aceleaşi condiţii iniţiale

Page 32: Reactia Dupa Stare

72

starea estimată folosind mediul de dezvoltare Labwindows/CVI_8.1, iar răspunsurile sunt prezentate

în Fig.3.37. şi Fig.3.38

Fig.3.37.Simularea funcţionării structurii sistemului folosind reacţia după starea măsurată şi

în paralel se calculează şi evoluţia stărilor cu estimator total plecând condiţii iniţiale diferite

Page 33: Reactia Dupa Stare

73

4.3 Estimator de stare parţial

Estimatorul proiectat anterior are acelaşi ordin ca şi sistemul şi îl vom numi

estimator de ordin maxim(sau total). Dacă sistemul are n stări din care m sunt

măsurabile, pare inutil să estimăm stările cunoscute. Teoretic, este necesară estimarea

stărilor nemăsurate. De aici rezultă un observer )( mn dimensional, introdus prima

oară de Luenberger în 1964, numit observer de ordin redus. Acest tip de compensator

duce la proiectarea unor regulatoare mai simple şi mai economice, iar beneficiile sunt

cu atât mai mari cu cât numărul stărilor măsurate este mai mare.

Pentru proiectarea unui asemenea tip de observer începem prin definirea subsetului

z al stărilor nemăsurabile în număr de )( mn şi a unei transformări liniare T astfel că

z=Tx, unde n (n-m)(T) dim iar (n-m)(z) 1dim unde matricea de transformare este

orice matrice pentru care ET

C

mn

m T

este nesingulară. Definim inversa matricei

E de dimensiune nxn: MPE 1 dacă mrangCT . Combinând y cu z, vom obţine:

MzPyz

yMP

z

y

T

Cxx

T

C

z

y TT

1

(4.10)

Fig.3.38.Continuarea la o rezoluţie de afişare mult mai mică a graficului anterior

Page 34: Reactia Dupa Stare

74

Cu aceste operaţii am reuşit să exprimăm starea reală a sistemului în funcţie de

ieşirile (STARILE)măsurate şi de stările nemăsurate. În acest mod, starea estimată va

fi o combinaţie între starea măsurată (y(t)) şi o estimare a stărilor nemăsurabile tz

zMPyx ˆˆ

De aceea, pentru a estima pe x, tot ce avem de făcut este să estimăm pe z, lucru

posibil în momentul în care îi cunoaştem dinamica, adică ecuaţia diferenţială ce

generează comportamentul lui z. Se poate obţine o ecuaţie diferenţială înmulţind la

stânga cu E ecuaţia diferenţială a lui x:

tEButEAxtxE

BuT

C

z

yMPA

T

CBu

T

CAx

T

C

z

yx

T

CxE

TTTTT

uB

B

z

y

AA

AAu

TB

BC

z

y

TAMTAP

AMCAPC

z

y TTT

2

1

2221

1211

Obţinem:

uB

B

z

y

AA

AA

z

y

2

1

2221

1211

Ecuaţia diferenţială corespunzătoare lui z va fi:

ubyAzAz 22122

Pornind de la ecuaţia de mai sus se proiectează după metoda cunoscută cu observer

de ordin maxim pentru z. Practic, se copiază ecuaţia diferenţială pentru z, se

înlocuieşte z prin

z şi se adaugă un termen pentru corecţie:

xCyLubyAzAz T ˆˆˆ22122

Prima paranteză conţine termeni cunoscuţi şi se consideră ca intrare în observer, iar a

doua paranteză reprezintă corecţia ce stabilizează eroarea observerului.

Se face observaţia că 0C ;C TT1

MIPMP

T

CIEE

T

Deci, vom avea:

00ˆˆˆ yyzMCPyCyzMPyCyxCy TTTT

Page 35: Reactia Dupa Stare

75

Se observă că, de fapt, termenul de corecţie nu produce nici un fel de corecţie. De

aceea se va încerca o corecţie după derivata ieşirii care, teoretic, dacă y este

măsurabilă, este şi ea măsurabilă.

Ecuaţia diferenţială pentru y este şi ea disponibilă sub forma: tubtzAtyAty 11211

Grupând toate mărimile cunoscute de o parte şi folosindu-le ca ieşiri din observer

pentru termenul de corecţie, vom obţine ecuaţia observerului de ordin redus:

uBzAyAy

yyLuByAzAz

11211

22122

ˆˆ

ˆˆˆ

Deci vom avea:

uBzAyAyLuByAzAz 1121122122ˆˆˆ

ˆˆ1211211222 yLuLBByLAAzLAAz (4.11)

Pentru a arăta că acest observer funcţionează bine, vom studia ecuaţia care

generează evoluţia sistemului în erori:

]ˆˆ~121121122222122

yLuLBByLAAzLAAuByAzAzzz

uBzAyALuLBByLAAzLAAuByAzAz 11211121121122222122ˆ~

Rezultatul final va fi:

zLAAz ~~1222

Problema care se pune este dacă matricea L(de la sisteme multivariabile) sau

vectorul L (la sisteme monovariabile) poate plasa valorile proprii ale observerului

arbitrar sau măcar stabiliza sistemul în erori (sistemul de ecuaţii diferenţiale în z~ ).

Luenberger a arătat că observabilitatea perechii ACT , este echivalentă cu

observabilitatea perechii 2212, AA . Deci, prin dualitate, L se poate alege să plaseze

valorile proprii ale sistemului în erori arbitrar în planul complex.

Se poate utiliza comanda Matlab->place : OPAAplaceL ,, 1222

Se poate elimina termenul y din ecuaţia estimatorului, observând că:

uLBByLAAzLAAyLz 1211211222ˆˆ

Se face schimbarea de variabilă: Lyzw ˆ şi se obţine ecuaţia:

uLBByLAALyLAALyLAAzLAAw 121121122212221222

ˆ

Page 36: Reactia Dupa Stare

76

uLBByLAALLAAwLAAw 12112112221222

Notăm:

1222 LAAF

1121 LAAFLD

12 LBBG

Astfel obţinem ecuaţia:

GuDyFww

Considerand: -z dconsideran si ;MzPyx mărimile de stare estimate vom avea:

MwyMLPLywMPyzMPyx

Notând MLPN , vom avea: NyMwx ˆ

Obs.:Din ecuaţia de mai sus se poate observa că măsurătorile apar direct la ieşirea

observerului: NyMwx ˆ şi deci zgomotul de măsură trece de observer. În felul

acesta este bine să alegem cu grijă observerul în cazul în care zgomotul de măsură

devine o problemă.

După această prezentare se vor reliefa etapele de proiectare a observerului de ordin

redus.

În primul rând se foloseşte o reacţie după starea estimată de forma: xku ˆ , dar în

care x nu este starea estimată în totalitate, şi este sub forma următoare: zMPyx ˆˆ , cu

1

T

CMP

T

în care z este vectorul ce se estimează, de dimensiuni evident mai

mici decât x .

Ecuaţia dinamicii stării estimate este:

yLuLBByLAAzLAAz 1211211222ˆˆ

Pentru ca să nu apară derivata ieşirii se face o nouă transformare de stare de forma:

Lyzw ˆ , din care rezultă o dinamică de forma:

GuDyFww

1211211222 bG ;AFLD ; LbLALAAF

TAMTAP

AMCAPC

AA

AA TT

2221

1211

Starea estimaă x după care se face reacţia va fi:

Page 37: Reactia Dupa Stare

77

MLP ;ˆ NNyMwx

Schema de reglare cu reacţie după starea estimatorului de ordin redus va fi prezentată

în Fig.4.7.

S-este un bloc de adaptare pentru mărimea de referinţă.

Analiza cu funcţii de transfer.

La fel ca în subcapitolele precedente, vom calcula matricile de stare ale sistemului

global (cu observer) în circuit închis, după care vom găsi funcţia de transfer a

regulatorului echivalent.

Ecuaţiile sistemului în circuit închis cu estimator redus de stare sunt următoarele:

xCy

NyMwx

xkSru

GuDyFww

buAxx

T

ˆ

ˆ

Făcând toate înlocuirile în sistemul de sus, adică:

S

Instalaţia

tehnologică

A,b,CT,d

r + u y

D

K

N

G

M

Integrator

+

+

+ +

+

w

0w

w

x

Fig.4.7

F

Page 38: Reactia Dupa Stare

78

xBkBSrAxx ˆ BkNyBkMwBSrAxx

BkMwBSrxBkNCAxx T

BSrBkMwxBkNCAx T

xGkGSrxDCFww T ˆ

xGkNCGkMwGSrxDCFww TT

GSrwGkMFxGkNCDCw TT

Obţinem următorul sistem de ecuaţii în circuit închis:

xCy

GSrwGkMFxGkNCDCw

BSrBkMwxBkNCAx

T

TT

T

Sistemul de mai sus se poate scrie în formă matriceală:

w

xCy

rGS

BS

w

x

GkMFGkNCDC

BkMBkNCA

w

x

T

TT

T

0

În continuare vom calcula expresia regulatorului clasic ce conduce la acelaşi

răspuns. Instalaţia extinsă, adică instalaţia iniţială + observerul de ordin redus va fi:

xCy

GuxDCFww

buAxx

T

T

Din sistemul de sus scris în formă matriceală:

xCy

uG

B

w

x

FDC

A

w

x

T

T

0

Se pot identifica matricile extinse în circuit deschis (care cuprind instalaţia

tehnologică şi estimatorul parţial).

Page 39: Reactia Dupa Stare

79

0D ;0C ;B ;0

eee

T

Te CG

B

FDC

AA

Funcţia de transfer a regulatorului se va calcula după formula din subcapitolul

anterior:

1

1 e

T

e

R

BsCksH

Ca şi la estimatorul total de stare, operaţia de estimare este percepută ca o

perturbaţie de scurtă durată în evoluţia procesului. În mod normal, la estimatorul

redus, timpul estimării ar trebui să fie mai scurt decât în cazul estimatorului total, dar

nu este obligatoriu.

4.4.Metoda directa de calcul a matricii de reactie dupa stare

Există mai multe modalităţi pentru calculul matricei k de reacţie după stare. În

primul rând trebuie specificat faptul că reacţia după stare nu duce la mărirea ordinului

sistemului în circuit închis faţă de cel în circuit deschis. Dacă ordinul sistemului este

n, atunci putem alege n valori (reale sau complexe) pentru polii funcţiei de transfer în

circuit închis. Acestea vor duce la ecuaţia caracteristică dorită pentru sistemul în

circuit închis de forma:

01

1

10 ....)(

n

n

n

Ap (4.12)

O metodă simplă constă în modificarea modelului procesului, prin schimbarea bazei

realizării de stare, definită printr-o matrice P : *Pxx (4.13)

astfel încât se obţine o nouă reprezentare de stare sub o formă canonică standard

controlabilă pentru sistemul în circuit deschis(procesul), ca în relaţia:

)()(

)()()(

)()(

)()()(

**

****

txCty

tuBtxAtx

tCxty

tButAxtx (4.14)

în care: A*=P

-1AP, B

*=P

-1B, C

*=CP,

În continuare folosim relaţiile cunoscute pentru forma canonică companion

standard controlabilă a realizării de stare pentru o funcţie de transfer în cazul general,

considerând coeficientul 1na , de forma:

1,)(

)(

...

...

)(

)()(

01

01

nn

n

n

n asU

sY

asasa

bsbsb

sN

sMsH

Page 40: Reactia Dupa Stare

80

,

...

10...000

01...000

..................

00...100

00...010

12310

*

nn aaaaa

A

1

0

...

0

*B (4.15)

Sub această formă, apar pe ultima linie a matricei A*, coeficienţii polinomului

caracteristic pA(λ) corespunzători şi matricei A(deoarece cele 2 transformări sunt

echivalente, adică caracterizează acelaşi proces), ale cărui rădăcini sunt valorile

proprii ale sistemului iniţial:

01

1

1 ....)det()( aaaAIp n

n

n

A

(4.16)

În cazul structurii cu reacţie după stare, comanda aplicată sistemului este dată de

relaţia:

*kPxRu (4.17)

sau sub forma:

**xkRu (4.18)

expresii în care k şi k*=kP reprezintă vectori liniari, iar în cazul unui sistem real cu

ecuaţiile de stare exprimate cu stări liniarizate în variaţii faţă de un punct staţionar de

funcţionare )()( 0 txXtx , avem: **0 xkuRdorit .

Înlocuind relaţia (4.18) în relaţia (4.14), sistemul devine în circuit închis şi este

descris de ecuaţiile:

),()()()()()()()( ************ tRBtxkBAtxtxktRBtxAtx (4.19)

ecuaţie ce pune în evidenţă matricea A*-B

*k* ce caracterizează regimul liber.

Notându-se cu:

k*=[k*

1,k*

2,…,k*

n ], (4.20)

se obţine:

,

...

10...000

01...000

..................

00...100

00...010

1

*

2

*

13

*

31

*

20

*

1

***

nnnn akakakakak

kBA

matrice care admite polinomul caracteristic următor:

*

10

*

21

1*

1 )(....)()(*** kakakap n

nn

n

KBA

(4.21)

Astfel se pot impune valorile dorite pentru polii sistemului în circuit închis, cea ce se

reduce la impunerea coeficienţilor i ai polinomului din (4.12),

01

1

10 ....)(

n

n

n

Ap , după care, prin echivalenţa celor două polinoame

caracteristice )(*** kBA

p

şi )(0 Ap , prin identificarea coeficienţilor, se obţin relaţiile:

Page 41: Reactia Dupa Stare

81

*

11

*

122

*

211

*

100

nnn

nnn

ka

ka

ka

ka

(4.22)

de unde rezultă factorul de amplificare k* de forma :

)](,),(),[( 111100

*

nn aaak (4.23)

sau pentru sistemul iniţial k, fără formă canonică:

1* Pkk (4.24)

O metodă destul de folosită de analiză şi sinteză a SRA liniare fără timp mort

este metoda locului rădăcinilor. Prin modificarea poziţiei rădăcinilor polinomului

caracteristic în planul complex se pot obţine performanţele dorite pentru o structură

dată de sistem de reglare automată(SRA). Practic, prin modificarea valorilor unor

parametrii ai sistemului de reglare, se asigură diferite poziţionări ale rădăcinilor

polinomului caracteristic şi deci se ajustează performanţele. Astfel, metoda locului

rădăcinilor oferă un procedeu simplu de stabilire a rezultatului modificării unui

anumit parametru al SRA liniar asupra spectrului polinomului său caracteristic,

conducând la câte un loc geometric pentru fiecare rădăcină. Pentru a construi locul

rădăcinilor, considerăm un SRA-liniar şi continuu al cărei funcţie de transfer pe calea

directă este de forma:

)(

)()(

2

1

sP

sPKsH dd (4.25)

Funcţia de transfer în circuit închis corespunzătoare unei structuri cu reacţie negativă

unitară este:

)()(

)(

)(

)(1

)(

)(

)(1

)()(

12

1

2

1

2

1

0sPKsP

sPK

sP

sPK

sP

sPK

sH

sHsH

d

d

d

d

d

d

(4.26)

Polinomul caracteristic al sistemului în circuit închis devine:

)()()( 12 sPKsPsP d (4.27)

În această abordare, polii sistemului în circuit închis sunt rădăcinile următoarei ecuaţii

caracteristice, ceea ce arată că amplificarea dK de pe calea directă, afectează

rădăcinile polinomului caracteristic:

0)()( 12 PKP d (4.28)

Prin definiţie, locul rădăcinilor reprezintă ansamblul locurilor geometrice descrise în

planul variabilei complexe “s” de rădăcinile ecuaţiei caracteristice din relaţia (4.28),

atunci când factorul de amplificare pe calea directă dK , în raport cu care se face

analiza sau sinteza SRA, variază, luând valori într-un domeniu specificat. Pentru

Page 42: Reactia Dupa Stare

82

0dK , rădăcinile ecuaţiei (4.28) sunt rădăcinile polinomului )(2 P , care sunt aceleaşi

cu polii sistemului în circuit deschis. Dacă amplificarea dK este foarte mare )( dK ,

rădăcinile ecuaţiei caracteristice coincid cu zerourile sistemului în circuit

deschis(zerourile funcţiei de transfer )(sHd ). Astfel, atunci când dK este crescut de la

0 la , locul rădăcinilor este iniţiat de polii pj ai sistemului în circuit deschis şi se

termină în zerourile zi ale sistemului în circuit deschis.

Locul rădăcinilor permite analiza stabilităţii SRA, aprecierea informativă a

calităţii SRA, şi determinarea aproximativă a răspunsului la diverse semnale de

intrare. Stabilitatea unui SRA liniar poate fi analizată prin poziţia rădăcinilor ecuaţiei

caracteristice în raport cu frontiera domeniului de stabilitate(axa imaginară). Dacă

pentru o valoare dată a parametrului Kd rădăcinile polinomului caracteristic sunt în

semiplanul complex stâng C , spunem că sistemul este asimptotic stabil. Ţinând

seama de incertitudinile ce caracterizează modelul procesului şi în consecinţă şi

valorile parametrilor de acord ai regulatorului, se consideră o frontieră de stabilitate

modificată cu dreapta d paralelă cu axa imaginară ca în Fig.4.8

Valoarea a este stabilită de proiectant în funcţie de aplicaţia concretă, în

funcţie de gradul de adecvanţă al modelului matematic al procesului la realitate.

Pornind de la definiţia locului rădăcinilor şi ţinând seama de importanţa informaţiei

de factură calitativă asupra regimurilor libere ale SRA oferite în faza de analiză, locul

rădăcinilor poate fi utilizat pentru rezolvarea unor probleme de proiectare formulate

astfel:

Dându-se modelul matematic al obiectului condus şi indicatorii de calitate

impuşi SRA, se cere determinarea structurii SRA şi a parametrilor algoritmului de

reglare(regulatorului) care asigură cerinţele impuse.

În cele mai multe aplicaţii, locul rădăcinilor oferă informaţii dacă rădăcinile

polinomului caracteristic pot fi plasate într-un domeniu al planului complex numit

„domeniu admisibil”. În cazul sistemelor continue, domeniul admisibil rezultă din

intersecţia a 3 domenii, ca în Fig.4.9.

Considerând un sistem de ordinul doi: 22

2

2)(

nn

n

sssH

cu factorul de

amortizare 1,0 , rădăcinile ecuaţiei caracteristice şi evident polii sistemului sunt:

σ

C-

C+

Fig.4.8.Domeniul admisibil de

plasare a polilor sistemului

d

a

Page 43: Reactia Dupa Stare

83

dnn jjp 2

2,1 1 (4.29)

unde d , sunt partea reală, respectiv partea imaginară a celor 2 poli complex

conjugaţi.

Semnificaţia fizică a parametrilor d ,,, se poate pune în evidenţă folosind

răspunsul indicial al sistemului de ordinul II, sub forma:

)sin(1)(

tety d

t

d

n unde )cos( şi 21)sin( (4.29)

Ţinând cont de relaţia (4.29) se poate considera că frecvenţa de oscilaţie a răspunsului

este dată de partea imaginară a polilor d , prin termenul )sin( td . Anvelopa

oscilaţiilor este dată de partea reală a polilor , prin termenul te .

Considerând ca parametrii de performanţă pentru răspunsul indicial

suprareglajul, timpul de răspuns, numărul maxim de oscilaţii până se stabilizează

răspunsul, se poate stabili un „domeniu admisibil” pentru plasarea rădăcinilor

polinomului caracteristic al sistemului.

Astfel, pentru .ct şi n variabil, locul rădăcinilor este format din 2

semidrepte situate în C şi care pornesc din origine(notate d şi 'd în Fig.4.10)

simetrice cu axa reală. Considerând relaţia pentru calculul suprareglajului în cazul

răspunsului indicial 21

ejsupraregla , se obţine în cazul limitării valorii

suprareglajului la maxim %5 , o valoare minimă a factorului de amortizare 7.0 . În

condiţiile acestea, cele 2 drepte d şi 'd din Fig.4.10 sunt dreptele pentru 7.0 .

Timpul de răspuns al sistemului de ordinul II este dat în cazul răspunsului

indicial de relaţia n

rt

4 , ceea ce înseamnă că pentru impusrr tt _ , avem că partea reală

a polilor an unde impusr

at _

4 şi este reprezentat de dreapta d din Fig.4.8.

Numărul de oscilaţii până când se stabilizează răspunsul sistemului este dat de

frecvenţa d din relaţia (4.29). Dacă impunem ca răspunsul să se stabilizeze într-un

Im(p)

Re(p)

C-

C+

Fig.4.9.Poziţionarea polilor complex conjugaţi ai sistemului de ordinul II

ωn

-ωn

n

d

0

1

1

Page 44: Reactia Dupa Stare

84

număr n-maxim de oscilaţii, vom avea valabilă relaţia d

oscimpusr nTnt

2_ , de unde

obţinem o valoare maximă pentru frecvenţa de oscilaţie M

impusr

impusddt

n

_

_

2,

obţinându-se 2 semidrepte paralele cu axa reală situate în C (notate d şi 'd în

Fig.4.10).

În această abordare, domeniul admisibil poate fi definit astfel:

-semiplanul situat în stânga dreptei d care este definită de parametrul a ce

reprezintă “abscisa de amortizare absolută”

-punctele de pe laturile şi interiorul unghiului format de semidreptele d şi 'd

definite de valoarea minimă admisibilă a factorului de amortizare .

-fâşia din semiplanul Re(s)<0, delimitată de semidreptele d şi 'd împreună cu

punctele de pe acestea asociate cu pulsaţia M , care asigură limitarea superioară a

frecvenţei de oscilaţie a componentelor sinusoidale ale răspunsului indicial.

Prin delimitarea acestui domeniu se asigură satisfacerea unor cerinţe de

performanţă cum ar fi suprareglajul, gradul de amortizare, şi durata regimului

tranzitoriu.

Revenind la reacţia după variabilele de stare, proiectarea folosind metoda

locului rădăcinilor se realizează prin considerarea unei funcţii de transfer în circuit

închis cu 2 poli complex conjugaţi care poate duce la răspunsul tranzitoriu dorit. Se

poate aplica şi în cazul reacţiei după stare o variantă a acestei metode, adică se

selectează în planul complex o pereche de poli compecşi conjugaţi care să satisfacă

specificaţiile răspunsului tranzitoriu, şi restul de (n-2) poli se aleg reali în

semiplanul complex stâng şi depărtaţi de originea planului complex, astfel încât

influenţa lor în răspunsul tranzitoriu să fie neglijabilă.

σ

σa

C-

C+

Fig.4.10.Domeniul admisibil pentru plasarea rădăcinilor polinomului caracteristic

jωM

-jωM

dξ’

dω’


Recommended