CRETCP – IAŞI

RAPOARTE ȘI PROPORȚII

• Raport - Breviar teoretic ............................................................................................... pag.01 - Probleme rezolvate ......................................................................................... pag.01 - Probleme propuse ........................................................................................... pag.19 - Răspunsuri la probleme propuse .................................................................... pag.24

• Probabilități. Probleme de numărare - Breviar teoretic ............................................................................................... pag.02 - Probleme rezolvate ......................................................................................... pag.02 - Probleme propuse ........................................................................................... pag.20 - Răspunsuri la probleme propuse .................................................................... pag.24

• Raport procentual - Breviar teoretic ............................................................................................... pag.03 - Probleme rezolvate ......................................................................................... pag.03 - Probleme propuse ........................................................................................... pag.20 - Răspunsuri la probleme propuse .................................................................... pag.24

• Proporții - Breviar teoretic ............................................................................................... pag.06 - Probleme rezolvate ......................................................................................... pag.09 - Probleme propuse ........................................................................................... pag.21 - Răspunsuri la probleme propuse .................................................................... pag.25

• Șir de rapoarte egale - Breviar teoretic ............................................................................................... pag.10 - Probleme rezolvate ......................................................................................... pag.11 - Probleme propuse ........................................................................................... pag.22 - Răspunsuri la probleme propuse .................................................................... pag.25

• Mărimi direct și invers proporționale - Breviar teoretic ............................................................................................... pag.13 - Probleme rezolvate ......................................................................................... pag.14 - Probleme propuse ........................................................................................... pag.22 - Răspunsuri la probleme propuse .................................................................... pag.26

Profesor: SILVIU BOGA, silviumath@yahoo.com

Surse bibliografice: 1. Matematică pentru grupele de performanță, clasa a VI-a, vol. I (Teorie și probleme rezolvate) - Vasile Pop și colaboratori, Ed. Dacia Educațional 2. Matematică pentru grupele de performanță, clasa a VI-a, vol. II (Probleme propuse) - Vasile Pop și colaboratori, Ed. Dacia Educațional

Iaşi – 11 decembrie 2010

4. Rapoarte i propor ii Rapoarte

Raportul numerelor ra ionale a i b, 0b , este expresia ba

; a i b se numesc

termenii raportului. Câtul termenilor unui raport se nume te valoarea raportului.

Exemplu: valoarea raportului 75,3

este 0,5.

Termenii unui raport se exprim întotdeauna cu aceea i unitate de m sur . Aplica iile rapoartelor în practic sunt: scara unui plan, scara unei h r i,

probabilitatea realiz rii unui eveniment, procente, titlul unui aliaj. 4.1. Scara unui plan Prin scara unui plan în elegem raportul dintre distan a din plan i distan a din realitate dintre acelea i dou puncte, ambele distan e fiind exprimate cu aceea i unitate de m sur .

Remarc . De obicei, num r torul raportului prin care se exprim scara este 1. Model. Figura de mai jos reprezint planul unui apartament. Acest plan este

realizat la scara 100

1. Aceasta înseamn c la 1 cm din desen corespund, în realitate,

100cm. Cu alte cuvinte, în plan lungimea sufrageriei este de 5cm, iar în realitate este de 500cm, adic de 5m. La planul din figur s se determine: a) l imea, în centimetri, a dormitorului b) dimensiunile, în centimetri, ale buc t riei c) perimetrul, în centimetri, a holului d) aria, în cm2 a sufrageriei. Solu ie. a) L imea dormitorului de 3m, din realitate, este în plan de 3cm. b) Dimensiunile de 2m i 3m ale buc t riei, din realitate, sunt în plan de 2cm, respectiv 3cm. c) Holul are dimensiunile de 8m i 2m, în realitate, deci în plan ele vor fi 8cm i 2cm, rezult c perimetrul holului în plan este de 20cm.

d) Sufrageria are dimensiunile de 5m i 4m, în realitate, deci în plan 5cm i 4cm, rezult c aria sufrageriei în plan este 20cm2. Probleme rezolvate R4.1.1. Care este scara planului unei gr dini, dac o latur a gr dinii, care are 125m, este reprezentat în plan printr-un segment lung de 25cm?

Solu ie. Aplicând defini ia sc rii unui plan, ca fiind raportul dintre distan a din plan i distan a din realitate, ambele exprimate în aceea i unitate de m sur , scara

planului este 12500

25, adic

5001

.

R4.1.2. O gr din în form de dreptunghi, are pe un plan cu scara de 300

1

dimensiunile de 4cm i 5cm. Ce suprafa , în hectare, are gr dina în teren?

Solu ie. În planul cu scara 300

1, lungimea de 1 cm corespunde la 300 cm din

realitate. Dimensiunile gr dinii vor fi 4 300cm i 5 300cm, adic 12m i 15m. Aria gr dinii este de 0,018ha.

R4.1.3. Planul unui parc are scara de 2001

.

a) În plan se afl un loc de form circular , cu raza de 1m, ce reprezint lacul. Câ i centimetri are raza cercului în plan? b) Spa iul de joac pentru copii este, în teren, un p trat cu aria de 100m2. Ce arie are în plan spa iul de joac pentru copii?

Solu ie. a) În planul cu scara de 2001

, lungimea de 1cm corespunde la 200cm

din teren. Dac raza cercului este în teren 1m, adic 100cm, ea corespunde în plan unei lungimi de 0,5cm. b) Latura p tratului din teren are 10m, deci 1000cm, iar în plan latura p tratului are 1000:200=5cm. Rezult c aria p tratului în plan este de 25cm2. 4.2. Scara unei h r i

Prin scara unei h r i în elegem raportul dintre distan a de pe hart i distan a din realitate dintre acelea i dou puncte, distan ele fiind m surate cu aceea i unitate de m sur , iar num r torul raportului prin care se exprim scara este 1.

Model. În figura de mai jos, harta României este realizat la scara 10000000

1,

aceasta însemnând c la 1cm de pe hart corespund 10000000cm=100km în realitate (teren).

- 1 -

De exemplu, distan a pe osea, dintre Bucure ti i Bra ov, pe hart , este 17mm, iar distan a din teren d o determin m astfel:

170kmcm170000007,110000000

1 dd

.

Distan a real dintre ora ele Bac u i Bucure ti este de 300km. Care este

distan a, în centimetri, pe harta cu scara 10000000

1?

Avem cm33000000010000000

1 xx.

4.3. Probabilitate

Defini ie. Probabilitatea realiz rii unui eveniment este raportul dintre num rul

cazurilor favorabile realiz rii evenimentului i num rul cazurilor posibile (ale experien ei).

Remarc . Probabilitatea realiz rii unui eveniment este un num r mai mare sau egal cu 0 i mai mic sau egal cu 1.

Evenimentul imposibil are probabilitatea 0. Evenimentul sigur are probabilitatea 1.

Model. Într-o urn sunt bile numerotate de la 1 la 50. Care este probabilitatea ca extr gând o singur bil num rul ob inut s fie p trat perfect?

Solu ie. În total, exist 50 cazuri posibile i 7 cazuri favorabile (apari ia

num rului 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49) deci probabilitatea cerut este 507p .

Probleme rezolvate

R4.3.1. Care este probabilitatea ca aruncând dou zaruri, s ob inem dou fe e însumând: a) 9 puncte; b) un num r prim de puncte.

Solu ie. La aruncarea a dou zaruri exist 6 6=36 cazuri posibile. a) Num rul cazurilor favorabile ob inerii sumei 9 puncte este 4 (3+6, 4+5, 5+4,

6+3), deci probabilitatea cerut este 364

, adic 91

.

b) Num rul cazurilor favorabile ob inerii sumei un num r prim de puncte este 15 (1+1, 1+2, 2+1, 1+4, 2+3, 3+2, 4+1, 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1, 5+6, 6+5),

rezult c probabilitatea cerut este 3615

, adic 125

.

R4.3.2. Într-un co sunt 6 plicuri albe i 4 plicuri ro ii. Un copil, legat la ochi, extrage dou plicuri. Calcula i probabilitatea evenimentelor: 1E : s extrag dou plicuri de aceea i culoare 2E : s extrag dou plicuri de culori diferite. Solu ie. Num rul cazurilor posibile este 9 10=90. a) Num rul cazurilor favorabile realiz rii evenimentului 1E : 6 5+4 3=42,

probabilitatea realiz rii evenimentului 1E este 9042

, adic 157)( 1Ep .

b) Num rul cazurilor favorabile realiz rii evenimentului 2E : 6 4+4 6=48 (sau

90-42); probabilitatea realiz rii evenimentului 2E este 9048

, adic 158)( 2Ep .

Remarc . Probabilitatea realiz rii evenimentului 2E se putea calcula i

158

157

1 , pentru c singurele situa ii posibile la extragerea a dou plicuri din co

este ca ele s fie de aceea i culoare sau de culori diferite. R4.3.3. O carte cu 270 de pagini este deschis la întâmplare. S se determine probabilitatea evenimentelor urm toare: A: num rul paginii din stânga este num r par B: num rul paginii din dreapta este multiplu de 5 C: num rul paginii din stânga este multiplu de 6 D: num rul paginii din dreapta este divizibil cu 7. Solu ie. Num rul paginii din stânga este întotdeauna par, deci 1)( AP .

Num rul paginii din dreapta este întotdeauna num r impar, deci trebuie s num r m multipli impari ai lui 5, mai mici sau egali cu 265; ei sunt 5 1, 5 3, 5 5,...,

5 53=265, deci în total 2712

153 cazuri favorabile, de unde

51

13527)(BP .

- 2 -

Num rul paginii din stânga este num r par întotdeauna i el trebuie s fie multiplu de 6 mai mic decât 270; ob inem 6 1, 6 2, 6 3,..., 6 45=270, 45 cazuri

favorabile, de unde 31

13545)(CP .

Num rul paginii din dreapta este num r impar, divizibil cu 7 i mai mic decât

270, ob inem 7 1, 7 3, 7 5,..., 7 37, deci în total 1912

137 cazuri favorabile, de

unde 13519)(DP .

4.4. Procente

Defini ie. Un raport de forma 100

p, Qp , 0p , se nume te raport

procentual. Scrierea p% înseamn 100

p i se cite te "p la sut " sau "p procente".

Pentru a afla cât reprezint p% dintr-un num r dat a, calcul m ap100

.

Pentru a afla un num r necunoscut x când tim c p% din x reprezint b,

calcul m 100

: pbx .

Model 1. La faza na ional a olimpiadei de matematic particip 600 de elevi. Din num rul total de participan i 5% primesc premiul I, 10% premiul al II-lea, 15% premiul al III-lea i 20% premii speciale i men iuni. Câ i elevi primesc premiul I, dar premiul al II-lea, dar premiul al III-lea? Ce procent din num rul elevilor care au primit premii speciale i men iuni reprezint num rul elevilor cu premiul I? Solu ie. Pentru a afla câ i elevi au ob inut premii i men iuni, avem:

30600100

5 elevi primesc premiul I, 60600

10010

elevi primesc premiul al II-lea,

9060010015

elevi primesc premiul al III-lea i 12060010020

elevi primesc

premii speciale i men iuni.

Apoi, 30120100

x, de unde 25x , deci 25% din num rul elevilor care au

primit men iuni i premii speciale reprezint num rul elevilor care au primit premiul I. Model 2. Pentru a cump ra un tricou, o persoan pl te te 150000lei, ceea ce reprezint 30% din suma pe care o are. Ce sum are persoana?

Solu ie. tim c 15000010030 s , unde s este suma pe care o are persoana.

De aici rezult c 30

100150000s , deci 500000s , persoana de ine suma de

500000lei. Probleme rezolvate R4.4.1. O suprafa de 150ha este arat în trei zile, astfel: în prima zi 40% din suprafa , a doua zi 30% din rest, iar a treia zi ce a mai r mas. a) Câte hectare s-au arat zilnic? b) Ce procent din întreaga suprafa s-a arat a doua zi? Dar a treia zi?

Solu ie. a) În prima zi s-au arat 6015010040

ha. Restul dup prima zi este

150-60=90ha. În a doua zi s-au arat 279010030

ha, iar a treia zi restul, adic 90-

27=63ha.

b) Avem 27150100

x, de unde rezult c 18x , deci a doua zi s-a arat

18% din suprafa a total .

La fel, 63150100

y, de unde rezult 42y , deci a treia zi s-a arat 42% din

suprafa a total (sau 100%-40%-18%). R4.4.2. Dup ce un turist a parcurs 38% dintr-un drum, constat c i-au mai r mas de parcurs cu 4,8 km mai mult decât a parcurs. Ce lungime are drumul i cât a parcurs turistul? Solu ie. Dac dintr-un drum se parcurg 38%, rezult c r mâne din el de parcurs 62%, deci 4,8km reprezint diferen a dintre partea r mas i partea parcurs ,

deci 24% din drum. Avem 8,410024 x , unde x este lungimea drumului. Rezult

20x , drumul are o lungime de 20km.

Turistul a parcurs 6,72010038

km.

R4.4.3. Dup dou reduceri consecutive de pre uri, prima de 10%, iar a doua de 20%, un obiect cost 153000lei. Care a fost pre ul ini ial al acestui obiect? Solu ie. Not m cu x pre ul ini ial al obiectului. Prima reducere de pre este

x10010

i pre ul obiectului dup prima reducere este de x10090

; a doua reducere este

- 3 -

de xx10018

10090

10020

, iar dup a doua reducere costul obiectului este

xxx10072

10018

10090

, ceea ce reprezint 153000lei.

Avem 15300010072 x , de unde rezult 212500x , deci pre ul ini ial al

obiectului a fost 212500lei. Remarc . Problema poate fi rezolvat i folosind metoda mersului invers. Pre ul final, 153000lei reprezint 80% din pre ul obiectului dup prima ieftinire. Se

poate calcula pre ul dup prima ieftinire 19125010080:153000 lei. Pre ul de

191250lei reprezint 90% din pre ul ini ial. Calcul m pre ul ini ial

21250010090:191250 lei.

R4.4.4. Un autocar are de parcurs un traseu în patru etape, astfel: în prima etap parcurge 30% din traseu, în a doua etap parcurge 20% din rest, în a treia etap 25% din noul rest i îi mai r mân pentru a patra etap 126km de parcurs. Ce lungime are drumul? Solu ie. Se noteaz cu x lungimea drumului. În prima etap se parcurge

x10030

, rest x10070

; în a doua etap se parcurge xx10014

10070

10020

, rest

xxx10056

10014

10070

; în a treia etap se parcurge xx10014

10056

10025

, rest

xxx10042

10014

10056

, ceea ce reprezint 126km. Avem x10042

=126, de unde

42100126x , 300x . Lungimea drumului a fost de 300km.

R4.4.5. Num rul bc reprezint 4% din num rul abc . S se calculeze cba )0(b .

Solu ie. tim c abcbc100

4, deci )100(

251 bcabc , de unde rezult c

bcabc2514 , adic abc 4

2524

. De aici se deduce c 25bc , pentru c 4a este

natural. Dac 25bc rezult c 24=4a, deci a=6, 13cba . Dac 50bc sau

75bc nu se ob ine a cifr .

4.5. Titlul unui aliaj Defini ie. Titlul unui aliaj este raportul dintre masa metalului pre ios con inut de aliaj i masa aliajului.

aliajului masapretios metalului masaaliajului Titlul , deci

MmT .

Observa ie. Asem n tor titlului unui aliaj, se poate defini concentra ia unei solu ii (amestec).

Concentra ia solu iei (amestecului) ui)(amestecul solutiei masa

substantei masa

Model. . Se face un aliaj, topind la un loc, 16g aur i 234g cupru. Care este titlul aliajului?

Solu ie. aliajului masa

pretios metal masaaliajului Titlul , deci 25016

2341616T , de unde

rezult titlul aliajului 0,064. . Concentra ia de sare dintr-o solu ie este 17%. Ce cantitate de sare se g se te în 27,5kg de solu ie? Solu ie. Concentra ia solu iei reprezint raportul dintre masa substan ei i masa

solu iei. Avem 5,27100

17 x, de unde 5,2717100x , deci 675,4x . În 27,5kg

solu ie se afl 4,675g sare. Probleme de amestec i aliaje Frecvent în practic se întâlnesc probleme de acest tip. În func ie de datele i cerin ele lor în general, aceste probleme se împart în dou categorii. Probleme de amestec i aliaj de categoria I În aceste probleme se cunosc: a) cantit ile care se amestec : nmmm ,...,, 21

b) calit ile lor: nccc ,...,, 21 . Se cere: c) calitatea amestecului. Calitatea diverselor produse, substan e, aliaje etc. care se amestec , se exprim prin: grade de temperatur , lei, grade de t rie sau în cazul aliajelor prin titlu. Teorema 4.5.1. Dac amestec m produse de calit ile nccc ,...,, 21 în

cantit ile nmmm ,...,, 21 )( Nn , atunci calitatea amestecului este dat de rela ia: - 4 -

n

nn

mmmcmcmcmC

......

21

2211 (1)

Demonstra ie. Vom demonstra teorema în ipoteza c produsele respective sunt aliaje cu titlurile nttt ,...,, 21 (deci 11 tc , 22 tc ,..., nn tc ) i în cantit ile

nmmm ,...,, 21 . Deci s ar t m c titlul noului aliaj este:

n

nn

mmmtmtmtmT

......

21

2211

Fie 1

'1

1 mmt ,

2

'2

2 mmt ,...,

2

'

mmt n

n , unde ''2

'1 ,...,, nmmm sunt cantit ile de

metal pre ios din fiecare aliaj. Masa total a metalului pre ios din aliajul ob inut prin topire la un loc a aliajelor date este:

nnn tmtmtmmmmm ...... 2211''

2'1

Masa total a aliajului nou ob inut este nmmmM ...21 . Deci titlul noului aliaj este:

n

nn

mmmtmtmtm

MmT

......

21

2211

Observa ii. 1) Expresia (1) exprim media aritmetic ponderat a numerelor nccc ,...,, 21 care au ponderile nmmm ,...,, 21 .

2) Media aritmetic ponderat se ob ine de fapt ca o medie aritmetic obi nuit inând seama c fiecare num r intr în aceast medie cu o anumit pondere.

3) Media aritmetic a unor numere este o medie aritmetic ponderat în care fiecare pondere este egal cu 1. Probleme de amestec i aliaj de categoria a II-a În aceste probleme se cunosc: a) calit ile produselor care se amestec b) calitatea amestecului c) cantitatea total a amestecului. Se cer: d) cantit ile care se amestec . Teorema 4.5.2. Dac amestec m dou produse de calit i 1c , respectiv 2c , în cantit ile 1m , respectiv 2m i ob inem un amestec de calitate c, atunci are loc rela ia:

2

1

1

2

mm

cccc

(2)

Demonstra ie. Din teorema (1) ob inem 21

2211

mmcmcmc , care prin înlocuire

în rela ia (2) conduce la o propozi ie adev rat :

2

1

212

211

22111211

22212211

21

22111

221

2211

1

2

)()(

mm

ccmccm

cmcmcmcmcmcmcmcm

mmcmcmc

cmm

cmcm

cccc

Probleme rezolvate R4.5.1. Se amestec 5kg de bomboane cu pre ul 54000lei/kg cu 2kg de bomboane cu pre ul de 48000lei/kg i cu 3kg de bomboane cu pre ul de 66000lei/kg. Cât este pre ul unui kilogram de bomboane ce rezult în urma amestecului celor trei calit i de bomboane? Solu ie. Folosim rela ia (1) i ob inem pre ul unui kilogram de amestec:

56400325

660003480002540005lei.

R4.5.2. Un aliaj de fier i nichel are titlul de 0,600, iar un alt aliaj din acelea i metale are titlul 0,250. Se topesc aceste aliaje împreun i rezult un alt aliaj cu masa de 14kg. Cât este masa fiec rui aliaj, dac titlul noului aliaj este 0,300? Solu ie. Vom folosi formula (2), unde 300,0c , 600,01c , 250,02c ,

1m este masa primului aliaj, 2m este masa celui de al doilea aliaj. Deci:

2

1

300,0600,0250,0300,0

mm

. Ob inem 61

2

1

mm

. tiind c 1421 mm i 61

2

1

mm

,

ob inem 21m kg i 122m kg. Remarc . Problema se poate rezolva i cu ajutorul formulei (1). Fie 21,mm

masele celor dou aliaje folosite. Vom avea 300,0250,0600,0

21

21

mmmm

i

1421 mm . Dac 12 14 mm , avem 143,025,0)14(6,0 11 mm , de unde 7,025,06,0 11 mm , deci rezult 21m i 122m . R4.5.3. Se topesc împreun dou aliaje formate din acelea i metale, care au masele de 3kg i respectiv 2kg. Titlul primului aliaj este 0,150, iar titlul noului aliaj este 0,400. Afla i titlul celui de al doilea aliaj. Solu ie. Aplic m formula (1), unde 31m kg, 150,01t , 22m kg i

400,0T . Avem: 21

2211

mmtmtmT , iar prin înlocuire se ob ine:

- 5 -

400,023

2150,03 2t . Efectuând calculele 245,02 2t , de unde rezult c

775,02t . Titlul celui de al doilea aliaj este 0,775. R4.5.4. O solu ie de ap cu alcool cânt re te 600g i are concentra ia de 0,250. Cât alcool trebuie s ad ug m pentru a se ob ine o solu ie cu concentra ia de 0,400? Solu ie. Se calculeaz cantitatea de alcool existent în 600g solu ie, inând cont de defini ia concentra iei (raport dintre masa alcoolului i masa solu iei). Avem:

600250,0 a

, de unde 150a g alcool. Not m cu x cantitatea de alcool care se

adaug pentru a ob ine o solu ie de concentra ie 0,400 i avem: xx

600150400,0 , de

unde 2404,0150 xx , deci 906,0 x , iar 150x . Trebuie s ad ug m 150g de alcool pentru a ob ine o solu ie de concentra ie 0,400. R4.5.5. Un inel din aur de 14 carate are 6g. Printr-o nou prelucrare inelul are 18 carate. S se afle masa inelului dup prelucrare. Solu ie. Facem precizarea c în tehnic , atunci când metalul pre ios dintr-un aliaj este aurul, titlul se exprim în carate (k). Aurul pur are titlul 24k, deci dac un aliaj are titlul 18k, înseamn c din întreaga mas a aliajului 18 p r i sunt aur, iar 6

p r i sunt din metal nepre ios; titlul este 750,02418

sau 18k.

În cazul acestei probleme se pot ivi dou situa ii: a) Printr-un procedeu oarecare se separ metalul nepre ios din con inutul inelului i se îndep rteaz din acesta o cantitate, astfel încât aliajul respectiv s aib 18k. Fie x cantitatea de metal nepre ios care se îndep rteaz pentru ca inelul s aib

titlul de 18k. Inelul con ine: 3,5g62414

g aur. Deci, 5,32418)6( x , de unde se

ob ine 311x g. Inelul va cânt ri

324

3116 g.

b) Se adaug aur pur astfel încât aliajul ob inut s aib titlul de 18k. Fie y

cantitatea de aur pur ce trebuie ad ugat . Deci, yy 5,32418)6( . Rezolvând

aceast ecua ie se ob ine 4y . Inelul va avea în final masa 6+4=10g. 4.6. Propor ii Defini ie. Egalitatea a dou rapoarte se nume te propor ie.

Termenii celor dou rapoarte se numesc termenii propor iei. Orice propor ie are patru termeni.

Forma general a unei propor ii este: dc

ba

, Qdcba ,,, , 0b , 0d .

Termenii a i d se numesc extremii propor iei. Termenii b i c se numesc mezii propor iei. Proprietatea fundamental a propor iilor: în orice propor ie produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

Aflarea unui termen necunoscut al unei propor ii: fiind dat propor ia dc

ba

,

conform propriet ii fundamentale a propor iilor cbda , de unde rezult c

dbca ,

abcd ,

cadb i

badc .

Deci: extremcelalalt mezilor produsulextremun

mezcelalalt

extremilor produsulmezun

Defini ie. Unul dintre extremii sau mezii, egali între ei, ai unei propor ii se nume te media propor ional (geometric ) a celorlal i doi termeni. Propor ii derivate cu aceea i termeni Regul . Dac într-o propor ie se schimb extremii între ei l sând mezii neschimba i, se ob ine tot o propor ie, numit propor ie derivat cu aceia i termeni ca propor ia ini ial .

Din propor ia dc

ba

, aplicând regula de mai sus ob inem propor ia ac

bd

cu

aceia i termeni ca propor ia ini ial . Regul . Dac într-o propor ie se schimb mezii între ei l sând extremii neschimba i, se ob ine tot o propor ie, numit propor ie derivat cu aceia i termeni ca propor ia ini ial .

Din propor ia dc

ba

, aplicând regula de mai sus ob inem propor ia db

ca

cu

aceia i termeni ca propor ia ini ial . Regul . Dac într-o propor ie se schimb extremii între ei i mezii între ei, se ob ine tot o propor ie, numit propor ie derivat cu aceia i termeni ca propor ia ini ial .

Din propor ia dc

ba

, aplicând regula de mai sus ob inem propor ia ab

cd

cu

aceia i termeni ca propor ia ini ial . Remarc . Ultima regul de ob inere a propor iilor derivate cu aceia i termeni se mai poate enun a i astfel: dac într-o propor ie se inverseaz rapoartele se ob ine tot o propor ie numit propor ie derivat cu aceia i termeni ca propor ia ini ial .

- 6 -

Observa ie. În general, fiind date patru numere distincte dcba ,,, , care

formeaz propor ia dc

ba

, cu aceste numere se mai pot forma propor iile:

1) ac

bd

, db

ca

. ab

cd

i

2) cd

ab

, bd

ac

, ca

db

, ba

dc

.

Ultimele propor ii sunt identice cu cele de la 1), datorit simetriei rela iei de egalitate. Model. Scrie i toate propor iile cu termenii: 3, 6, 7, 14. Solu ie. Se constat c 3 14=6 7. Dac 3 i 14 sunt extremi, iar 6 i 7 sunt

mezi, avem 147

63

. Ob inem:

37

614

(prin schimbarea extremilor între ei)

146

73

(prin schimbarea mezilor între ei)

36

714

(prin inversarea rapoartelor)

Dac 3 i 14 sunt mezi, iar 6 i 7 sunt extremi, avem 7

1436

. Ob inem:

6

1437

(prin schimbarea extremilor între ei)

73

146

(prin schimbarea mezilor între ei)

63

147

(prin inversarea rapoartelor).

Propor ii derivate cu al i termeni

Fie propor ia dc

ba

. Conform propriet ii fundamentale a propor iilor, avem

cbda . Regula 1. Dac amplific m unul din rapoartele unei propor ii cu un num r, diferit de zero, ob inem o propor ie cu al i termeni.

Avem cbda . Înmul ind ambii membri ai egalit ii cu num rul n, ob inem

bcnadn , de unde rezult dncn

ba

sau dc

bnan

.

Prin procedeul indicat de regula 1 se poate ob ine o infinitate de propor ii cu al i termeni decât cei ai propor iei ini iale.

Exemplu. Fie propor ia 123

205

. Prin amplificarea primului raport cu 2,

ob inem 123

4010

, o propor ie cu al i termeni. Prin amplificarea celui de al doilea

raport cu 10, ob inem 12030

205

, o propor ie cu al i termeni.

Regula 2. Dac simplific m unul din rapoartele unei propor ii cu un num r, diferit de zero, ob inem o propor ie cu al i termeni.

Fie propor ia dd

ba

, avem cbda . Înmul im ambii membri ai egalit ii

cu n1

)0(n , ob inem n

cbnda

, ceea ce se poate scrie cnbd

na

sau

dc

nbna

::

. Asem n tor, ndnc

ba

::

.

Exemplu. Fie propor ia 106

159

. Prin simplificarea primului raport cu 3,

ob inem 106

53

, o propor ie cu al i termeni. Prin simplificarea celui de al doilea

raport cu 2, ob inem 53

159

, o propor ie cu al i termeni.

Regula 3. Dac înmul im ambii num r tori (sau ambii numitori) ai unei propor ii cu un num r, diferit de zero, ob inem tot o propor ie, dar cu al i termeni.

Fie propor ia dc

ba

, avem cbda . Înmul im ambii membri ai propor iei

cu n i ob inem bcnadn , de unde prin înmul irea ambilor membri cu bd1

i

realizarea simplific rilor, ob inem bdbcn

bdadn

, adic dcn

ban

.

Asem n tor din bcad , prin înmul irea ambilor membri cu bdn

1 i

efectuarea simplific rilor, ob inem bdnbc

bdnad

, adic dnc

bna

.

- 7 -

Exemplu. Fie propor ia 2510

52

.

Prin înmul irea num r torilor cu 3, ob inem 2530

56

, iar prin înmul irea

numitorilor cu 4, ob inem 10010

202

, propor ii derivate cu al i termeni.

Regula 4. Dac împ r im ambii num r tori (sau ambii numitori) ai unei propor ii cu un num r, diferit de zero, ob inem tot o propor ie, dar cu al i termeni.

Fie propor ia dc

ba

, avem cbda . Înmul ind ambii membri cu n1

)0(n , ob inem n

bcn

ad, ceea ce se poate scrie

ncbd

na

. Dup înmul irea

ambilor membri cu bd1

i realizarea simplific rilor, ob inem bd

ncb

bd

dna

, adic

dnc

bna ::

.

Asem n tor din bcad , înmul ind ambii membri cu n1

, )0(n , ob inem

cnb

nda . Dup înmul irea ambilor membri cu

nd

nb

1 i efectuarea simplific rilor

ob inem:

nd

nb

cnb

nd

nb

nda

, adic nd

cnb

a::

.

Exemplu. Fie propor ia 128

64

.

Prin împ r irea num r torilor cu 4, ob inem 122

61

, iar prin împ r irea

numitorilor cu 3, ob inem 48

24

, propor ii derivate cu al i termeni.

Observa ii. Cu ajutorul celor patru reguli se pot ob ine o infinitate de propor ii derivate cu al i termeni decât ai propor iei ini iale.

Fie propor ia dc

ba

. Conform celor patru reguli se pot ob ine urm toarele

propor ii derivate cu al i termeni:

dncn

ba

; dc

bnan

; dc

nbna

::

, ndnc

ba

::

, dcn

ban

; dnc

bna

; d

ncb

na ::;

ndc

nba

:: )0(n .

Proprietate. Fiind dat propor ia dc

ba

, din ea se pot deduce urm toarele

propor ii derivate cu al i termeni:

P.1. cd

cab

a

Fie propor ia dc

ba

, avem cbda , conform propriet ii fundamentale a

propor iilor. Adunând la ambii membri produsul ac, rezult acbcacad , de unde sco ând factor comun, )()( abccda . Împ r ind ambii membri cu

))(( cdab avem ))((

)())((

)(cdab

abccdab

cda, adic

cdc

aba

.

P.2. d

dcb

ba. Se demonstreaz asem n tor, adunând produsul bd în

ambii membri ai egalit ii bcad . Avem bdbcbdad , scoatem factor comun

)()( dcbbad , iar dup înmul irea ambilor membri cu bd1

, ob inem

bddcb

bdbad )()(

, adic d

dcb

ba.

P.3. dc

cba

a ( ,0ba 0dc ). Se demonstreaz asem n tor

celorlalte. Se scad din ac ambii membri ai egalit ii bcad , rezult bcacadac , sco ând factor comun ob inem )()( bacdca . Împ r ind

ambii membri cu ))(( badc , avem ))((

)())((

)(badc

bacbadc

dca, adic

dcc

baa

.

P.4. d

dcb

ba. Se demonstreaz sc zând produsul bd din ambii membri ai

egalit ii bcad , rezult bdbcbdad , sco ând factor comun avem )()( dcbbad , iar dup împ r irea ambilor membri cu bd, avem

bddcb

bdbad )()(

, adic d

dcb

ba.

- 8 -

P.5. dcdc

baba

( 0ba , 0dc ). Se demonstreaz împ r ind

membru cu membru egalit ile de la P.2 i P.4, adic :

ddc

ddc

bba

bba

, care se poate

scrie dc

dd

dcba

bb

ba, adic

dcdc

baba

.

P.6. dcdc

baba

( 0ba , 0dc ). Se demonstreaz inversând

rapoartele în propor ia de la P.5.

P.7. dcba

dcba

( ,0dc 0dc ). Se demonstreaz schimbând mezii

între ei în propor ia de la P.5.

Model. Fie propor ia 46

812

. S se ob in propor ii derivate cu al i termeni.

Solu ie.

Aplicând R.1 (n=3), avem 4363

812

i ob inem 1218

812

.

Aplicând R.2 (n=4), avem 46

4:84:12

i ob inem 46

23

.

Aplicând R3. (n=5), avem 456

8512

i ob inem 4

308

60.

Aplicând R.4 (n=2), avem 2:4

62:8

12 i ob inem

26

412

.

Aplicând P.1, avem 64

6128

12 i ob inem

106

2012

.

Aplicând P2., avem 4

468

812 i ob inem

410

820

.

Aplicând P.3, avem 46

6812

12 i ob inem

26

412

.

Aplicând P.4 avem 4

468

812 i ob inem

42

84

.

Aplicând P.5 avem 4646

812812

i ob inem 2

104

20.

Aplicând P.6, avem 4646

812812

i ob inem 102

204

.

Aplicând P.7, avem 46812

46812

i ob inem 24

1020

.

Probleme rezolvate

R4.6.1. Se d 6,0ba

. S se afle b

ba3

32.

Solu ia 1. Din 53

ba

, prin înmul irea num r torilor cu 2, vom avea 562

ba

,

iar prin înmul irea numitorilor cu 3, ob inem 156

32ba

sau 52

32ba

. Adun m

numitorii la num r tor i ob inem 5

523

32b

ba, de unde

57

332

bba

.

Solu ia 2. Din 53

ba

, schimbând mezii între ei ob inem kba53

(s-a notat

prin k valoarea rapoartelor 3a

i 5b

). Din ka3

rezult ka 3 , iar din kb5

rezult

kb 5 . Atunci: 57

1521

535332

332

kk

kkk

bba

.

Solu ia 3. Din 53

ba

rezult 5

3ba i atunci:

57

31

521

3

356

3

35

32

332

b

b

b

bb

bba

.

R4.6.2. S se afle numerele naturale x i y, diferite de 0, astfel ca 32yx

i

324

)(54 yxyx.

Solu ia 1. Din 324

)(54 yxyx, ob inem prin efectuarea calculelor de la

num r tor 324

69 yx sau 3

24)23(3 yx

, adic 38

23 yx, de unde rezult c

2423 yx . Dar 32yx

i conform propriet ii fundamentale a propor iilor

- 9 -

yx 23 , care se înlocuie te în rela ia precedent ob inându-se 2422 yy sau

6y . Dar 3

2yx , deci 4x .

Solu ia 2. Not m kyx32

deci ob inem kx 2 i ky 3 . Atunci

324

)(54 yxyx devine 3

24)32(5324 kkkk

, iar dup efectuarea

calculelor ob inem 324

36k, de unde 2k . Din kx 2 i ky 3 vom ob ine

4x , 6y . R4.6.3. S se afle trei numere, tiind c raportul dintre primul i al doilea este 0,(6), raportul dintre al doilea i al treilea este 0,8(3), iar produsul dintre primul i al treilea num r este 9331,2. Solu ie. Not m în ordine cele trei numere cu x, y, z. Din datele problemei,

ob inem 32

yx

, 65

zy

i 2,9331xz . Din 32

yx

i 56

yz

, prin înmul ire

membru cu membru se ob ine 54

2yxz

, de unde rezult 542,9331

2y, deci

116642y , sau 2322 )32(y . Ob inem 108y sau 108y . Din 32

yx

,

rezult 3

2yx , deci 72x sau 72x . Din 65

zy

, rezult 5

6yz , deci

6,129z sau 6,129z .

R4.6.4. tiind c 523920abba

, s se arate c a este 20% din b.

Solu ie. Din rela ia dat rezult c )23(5920 abba , iar dup efectuarea

calculelor abba 1015920 , de unde ba 630 sau 306

ba

, deci 51

ba

. Se

schimb mezii între ei i se ob ine kba51

, de unde ka i kb 5 . Vom avea:

abx100

, adic kkx 5100

, de unde 20x , deci 20% din a reprezint b.

R4.6.5. S se afle ariile a dou dreptunghiuri, tiind c raportul lungimilor lor

este 34

, raportul l imilor lor este 97

, iar diferen a ariilor este 4.

Solu ie. Not m L i L' lungimile celor dou dreptunghiuri i l, l' l imile celor

dou dreptunghiuri. Avem raportul lungimilor 34

'LL

i raportul l imilor 97

'll

.

Diferen a ariilor celor dou dreptunghiuri este 4''lLLl . Din 34

'LL

i 97

'll

,

prin înmul irea membru cu membru, ob inem 2728

''lLLl

, apoi facem propor ii derivate

272728

''''

lLlLLl

, adic 271

''4lL

, deci 108''lL . Din 4108Ll , rezult

112Ll . Deci ariile celor dou dreptunghiuri sunt 112 i 108.

R4.6.6. Suma a dou frac ii cu acela i num r tor este 1511 . Raportul

numitorilor este 31

. S se afle cele dou frac ii.

Solu ie. Fie ba

i ca

cele dou frac ii )0,( cb . Avem 1516

ca

ba

, de unde

rezult c 1516)(

bccba

. Raportul numitorilor este 31

cb

, de unde propor ia

34

ccb

. Prin înlocuire în rela ia dinainte, avem 1516

34

ba

, de unde 54

ba

. Suma

celor dou frac ii este 1516

, deci 54

1516

ca

, 154

ca

. Frac iile sunt 54

i 154

.

. . ir de rapoarte egale Defini ie. Un ir de rapoarte cu aceea i valoare, scrise sub forma

...fe

dc

ba

, se nume te ir de rapoarte egale.

Observa ii. 1) Orice pereche de rapoarte din ir formeaz o propor ie. 2) Amplificând succesiv un raport cu mai multe numere diferite de zero, se ob ine un ir de rapoarte egale:

...bkak

bnan

ba

Fie irul de rapoarte egale bkak

bnan

ba

. S consider m raportul dintre suma

num r torilor i suma numitorilor bkbnbakana

. Scoatem factorul comun a la

- 10 -

num r tor i b la numitor i ob inem )1()1(

knbkna

, care se simplific i rezult ba

.

Deci, bkbnbakana

bkak

bnan

ba

.

Proprietatea irului de rapoarte egale. Într-un ir de rapoarte egale, raportul dintre suma num r torilor i suma numitorilor este egal cu fiecare din celelalte rapoarte.

În general, dac fe

dc

ba

, atunci fdbeca

fe

dc

ba

.

Model. tiind c 43

fe

dc

ba

, s se calculeze:

a) fdbeca

; b) fdbeca

543543

; c) 222

222

fdbeca

.

Solu ie. a) Dac fe

dc

ba

, atunci fdbeca

fe

dc

ba

, dar 43

ba

,

deci 43

fdbeca

.

b) Dac fe

dc

ba

, atunci prin amplificarea primului raport cu 3, al celui de

al doilea cu 4 i al celui de al treilea cu 5, se ob ine fe

dc

ba

55

44

33

, de unde rezult c

fdbeca

fe

dc

ba

543543

55

44

33

, dar 43

33

ba

ba

, deci 43

543543

fdbeca

.

c) Dac 43

fe

dc

ba

, rezult c 169

2

2

2

2

2

2

fe

dc

ba

, prin ridicarea la

p trat a fiec rui raport. Rezult , aplicând proprietatea irului de rapoarte egale c

222

222

2

2

2

2

2

2

fdbcba

fe

dc

ba

, dar 169

2

2

ba

, deci 169

222

222

fdbcba

.

Remarc . Dac kfe

dc

ba

, atunci kpfpe

ndnc

mbma

, de unde

kpfndmbpencma

, 0,, pnm .

Probleme rezolvate

R4.7.1. tiind c 4

55

33

2 cba i c 119cba , s se afle a, b, c.

Solu ia 1. Dac 4

55

33

2 cba, atunci

54

35

23

cba, de unde rezult aplicând

proprietatea irului de rapoarte egale

3011930119

30119119

54

35

23

54

35

23

cbacba.

Din 30

23a

, rezult a=45, din 30

35b

, rezult b=50 i din 30

54c

, rezult c=24.

Solu ia 2. Not m valoarea comun a rapoartelor cu k i avem:

kcba4

553

32

, de unde 2

3ka , 3

5kb , 5

4kc . Înlocuind în 119cba ,

se ob ine 1195

43

52

3 kkk, de unde se ob ine dup efectuarea calculelor

11930

111k, adic k=30. Atunci 45

2303a , 50

3305b i 24

5304c .

R4.7.2. S se determine numerele x, y, z naturale, tiind c 83yx

, 26zy

i

a) 123zyx ; b) 2585 zyx ; c) 6489222 zyx .

Solu ie. Fiind date propor iile 83yx

i 26zy

se poate forma un ir de

rapoarte egale astfel: înmul im numitorii primei propor ii cu 3 i înmul im numitorii celei de a doua propor ii cu 4, vom ob ine dou propor ii derivate cu al i termeni i

anume, 249yx

i 824zy

, de unde rezult 8249zyx

.

a) Aplicând proprietatea irului de rapoarte egale, ob inem:

341

12382498249zyxzyx

, de unde x=27, y=72, z=24.

- 11 -

b) Avem kzyx8249

, k fiind valoarea comun a fiec rui raport, atunci

kx 9 , ky 24 , kz 8 . Prin înlocuire în 2585 zyx , se ob ine 25642445 kkk , adic 255k , de unde k=5. Avem 4559x ,

120524y i 4058z .

Remarc . Dac 8249zyx

, atunci prin amplificarea primului raport cu 5 i

al celui de al treilea lui 8, ob inem 648

24455 zyx

, de unde aplicând proprietatea

irului de rapoarte egale se ob ine

55

2564244585

648

24455 zyxzyx

.

Avem 59x

, deci x=45, 524y

, deci y=120 i 58z

, deci z=40.

c) Dac 8249zyx

, atunci 6457681

222 zyx i aplicând proprietatea irului

de rapoarte egale 9721

648964576816457681

222222 zyxzyx. Avem 9

81

2x, x

natural, deci 39x

, de unde x=27, 9576

2y, y natural, deci 3

24y

, de unde y=72,

964

2z, z natural, deci 3

8z

, de unde z=24.

Remarc . Dac kzyx8249

, atunci kx 9 , ky 24 , kz 8 . Prin

înlocuire în 6489222 zyx , vom avea 64896457681 222 kkk adic 6489721 2k , de unde k=3. Ob inem x=27, y=72, z=24.

R4.7.3. Fie )3(,0)1(,0

yx i

)7(,0)5(,0zy

cu 0x , 0y , 0z . S se

afle x, y, z, tiind c 123zyx .

Solu ie. Efectuând transform rile, se ob ine

31

91

yx i

97

95

zy. Înmul im

ambii membri ai celor dou egalit i cu 91

i ob inem 91

31

919

1 yx, adic

31yx

i

979

1

959

1 zy, adic

75zy

. În egalitatea 31yx

înmul im fiecare membru cu 51

i

ob inem 35

115

1 yx, adic

155yx

(1).

În egalitatea 75zy

, înmul im fiecare membru cu 31

i ob inem 73

153

1 zy,

adic 2115zy

(2).

Din (1) i (2) rezult irul de rapoarte egale 21155zyx

i aplicând

proprietatea irului de rapoarte egale avem

341

1232115521155zyxzyx

.

Deci, 35x

, de unde x=15, 315y

, de unde y=45 i 321z

, de unde z=63.

R4.7.4. Fie a, b, c trei numere nenule, astfel încât: )(952 cbaxcba .

S se determine valoarea lui x.

Solu ie. Rela ia dat se poate scrie

x

cbacba1

91

51

21 . Aplicând

proprietatea irului de rapoarte egale:

91

51

21

91

51

21

cbacba, rezult c

91

51

211

x, adic

90731

x, de unde

7390x .

R4.7.5. S se afle numere a, b, c, tiind c 643cba

i 576abc .

Solu ie. Not m kcba643

, de unde ka 3 , kb 4 i kc 6 .

Înlocuind în 576abc , se ob ine 576643 kkk , de unde rezult 83k , deci k=2. Avem 623a , 824b , 72126c .

- 12 -

4.8. Propor ionalitate direct . Propor ionalitate invers Defini ie. Între dou mul imi finite de numere exist o propor ionalitate direct , dac se poate forma un ir de rapoarte egale, diferite de zero, astfel încât num r torii rapoartelor s fie elementele unei mul imi, iar numitorii elementele celeilalte mul imi. Exemplu. Între mul imile {2,6,4} i {10,30,20} se stabile te o

propor ionalitate direct , deoarece 204

306

102

.

Observa ie. Dac elementele unei mul imi A finite de numere se pot ob ine prin înmul irea elementelor unei mul imi B cu un num r dat n (n 0), atunci între cele dou mul imi exist o propor ionalitate direct . Într-adev r, fie mul imea B={a,b,c}. Prin înmul irea elementelor ei cu num rul n (n 0), ob inem mul imea A={an,bn,cn}. Cu elementele celor dou mul imi, A i B, se

poate forma un ir de rapoarte egale cnc

bnb

ana

(valoarea rapoartelor este n1

);

deci între cele dou mul imi A i B am stabilit o propor ionalitate direct . Exemple. 1) Între mul imea ciocolatelor i mul imea costurilor lor se stabile te o propor ionalitate direct . 2) Între viteza de deplasare i spa iul parcurs de un mobil în mi care uniform , se stabile te o propor ionalitate direct . 3) Între spa iul parcurs de un mobil cu vitez constant i timpul în care se efectueaz deplasarea se stabile te o propor ionalitate direct . 4) Între num rul de robinete cu acela i debit i volumul de lichid acumulat se stabile te o propor ionalitate direct . Model. S se determine trei numere direct propor ionale cu 3, 9, 12, dac suma lor este 40.

Solu ie. Fie x, y, z cele trei numere. Vom avea 1293zyx

i 40zyx .

Aplicând proprietatea irului de rapoarte egale, avem

35

2440

12931293zyzzyx

. Se deduce c 5353x , 15

359y i

203

512z .

Remarc . Se poate aplica i metoda: kzyx1293

, de unde kx 3 ,

ky 9 , kz 12 i înlocuind în 40zyx , ob inem 4024k , deci 35k .

Rezult 5x , 15y , 20z . Defini ie. Între dou mul imi finite de numere exist o propor ionalitate invers , dac se poate forma un ir de produse egale, diferite de zero, astfel încât

mul imea primilor factori ai produselor s fie una din mul imi, iar mul imea celorlal i factori ai produselor s fie cealalt mul ime. Exemplu. Între mul imile {9,12,18} i {4,3,2} se stabile te o propor ionalitate invers , deoarece 9 4=12 3=18 2. Observa ie. Dac împ r im un num r dat, diferit de zero, cu elementele unei mul imi finite de numere nenule, ob inem o alt mul ime astfel încât între cele dou mul imi s existe o propor ionalitate invers . Într-adev r, num rul n împ r it succesiv la elementele mul imii A={a,b,c}, se

ob ine mul imea cn

bn

anB ,, . Cu elementele acestor dou mul imi putem forma un

ir de produse a c ror valoare este n; deci cnc

bnb

ana (valoarea produselor este

n); deci între cele dou mul imi A i B s-a stabilit o propor ionalitate invers . Exemple. 1) Între num rul robinetelor, cu acela i debit i timpul de umplere al unui rezervor se stabile te o propor ionalitate invers . 2) Între num rul muncitorilor i timpul de realizare a unei anumite lucr ri, se stabile te o propor ionalitate invers . 3) Între viteza constant de parcurgere a unei distan e i timpul de deplasare, se stabile te o propor ionalitate invers . 4) Între num rul de bancnote i valoarea bancnotelor cu care se pl te te o anumit sum , se stabile te o propor ionalitate invers . Remarc . Între elementele mul imilor },,{ cbaA i },,{ pnmB se stabile te o propor ionalitate invers , deci pcnbma . Aceast rela ie este

echivalent cu: p

cn

bm

a 1:1:1: sau

p

c

n

b

m

a111 , de unde rezult c între

elementele mul imilor {a,b,c} i pnm1,1,1

s-a stabilit o propor ionalitate direct .

Model. Dou numere sunt invers propor ionale cu numerele 0,2 i 0,5. Suma dintre dublul primului num r i al doilea num r este 24. S se afle aceste numere. Solu ie. Notând x primul num r i y al doilea num r, rela iile dintre acestea,

conform problemei sunt: 21

51 yx i 242 yx . Avem kyx

25, de unde

kx 5 , ky 2 i prin înlocuire în 242 yx se ob ine 24210 kk , deci 2k . Numerele sunt 10x , 4y .

- 13 -

Probleme rezolvate R4.8.1. Un ir de 5 numere este format astfel încât primele 3 numere sunt direct propor ionale cu 4, 5, 6, iar ultimele 3 numere sunt invers propor ionale cu 4, 5, 6. a) S se afle cele mai mici 5 numere naturale care satisfac cerin ele puse. b) S se afle cele 5 numere care satisfac condi iile cerute, dac suma lor este 476.

Solu ie. a) Fie a, b, c, d, e cele 5 numere. Conform enun ului 654cba

i

61

51

41

edc. În ultimul ir de rapoarte egale înmul im to i numitorii cu 60 i ob inem

101215edc

. Pentru a ob ine un raport comun afl m c.m.m.m.c. al numerelor 6 i 15

(numitorii lui c), care este 30. În rela ia 654cba

, înmul im to i numitorii cu 30:6=5

i în rela ia 101215edc

înmul im to i numitorii cu 30:15=2 i ob inem:

302520cba

i 202430edc

, de unde rezult c : 2024302520edcba

.

Cele mai mici numere naturale care satisfac aceast condi ie, vor fi cele pentru care valoarea comun a rapoartelor este 1; deci numerele c utate sunt 20, 25, 30, 24, 20.

b) Din 4119476

20243025202024302520edcbaedcba

,

rezult a=80, b=100, c=120, d=96, e=80. R4.8.2. S se determine num rul abc , tiind c numerele ab , bc , ca sunt direct propor ionale cu numerele 3, 2, 6, iar suma cifrelor num rului abc este divizibil cu 7. Solu ie. Scriem c ab , bc , ca sunt direct propor ionale cu 3, 2, 6 i apoi aplic m proprietatea irului de rapoarte egale:

11101010

623623accbbacabcabcabcab

cbacba11

)(11. Dar, suma cifrelor este divizibil cu 7 i este un num r

mai mic decât 27 (suma maxim este suma cifrelor num rului 999). Aceast sum poate fi 7, 14 sau 21.

a) Dac 7cba , atunci 21ab , 14bc , 42ca , adic a=2, b=1, c=4, deci 214abc . b) Dac 14cba , atunci 42ab , 28bc , 84ca , adic a=4, b=2, c=8, deci 428abc . c) Dac 21cba , atunci 63ab , 42bc , 126ca , imposibil. VI.R4.8.3. O sum de bani a fost distribuit la trei persoane direct propor ional

cu numerele 31,

51,

61

. În acest mod o persoan constat c prime te cu 46200 lei mai

mult decât dac aceea i sum s-ar fi distribuit invers propor ional cu 12, 10, respectiv 15. a) Care a fost suma de bani? b) Cât a primit fiecare din cele trei persoane? Solu ie. Not m cu s suma total de bani, cu a, b, c sumele ce revin celor trei

persoane distribuite direct propor ional cu 31,

51,

61

i cu x, y, z sumele ce revin celor

trei persoane dac ar fi distribuite invers propor ional cu 12, 10, 15. Avem:

107

31

51

61

31

51

61

scbacba (1) i

41

151

101

121

151

101

121

szyxzyx (2).

Din rela ia (1) rezult c 215sa .

72sb i

2110sc , iar din rela ia (2)

rezult c 3sx ,

52sy i

154sz . Compar m sumele ob inute de fiecare persoan

prin cele dou procedee de împ r ire: 321

5 ss,

52

72 ss

i 154

2110 ss

. Doar a treia

persoan prime te mai mult prin împ r irea sumei direct propor ional cu numerele

31,

51,

61

. Deci, 46200lei reprezint diferen a dintre cele dou sume, avem

46200154

2110 ss

. Efectuând calculele ob inem 462001521

841521

150 ss, de unde

462001521

66s; rezult

66152146200s , deci s=700 21 15, s=220500. Suma

ini ial a fost de 220500lei.

- 14 -

b) Pentru a calcula ce sum revine fiec rei persoane, avem

5250021

2205005a ; 630007

2205002b i 10500021

22050010c .

Cele trei persoane au primit 52500lei, 63000lei i 105000lei. R4.8.4. Numerele xzzyyx ,, sunt direct propor ionale cu numerele 4, 6, 8.

a) Afla i valoarea raportului 222 zyxyzxzxy

.

b) Dac a,b,c {1,2,...,9}, acba , s se determine valorile maxime i

minime ale raportului 222 zyxcyzbxzaxy

.

Solu ie. a) Avem kxzzyyx864

, de unde kyx 4 ,

kzy 6 i kxz 8 , iar prin adunare membru cu membru a celor trei egalit i ob inem kzyx 18222 , deci kzyx 9 . Dac kzyx 9 i

kyx 4 , rezult c kz 5 . Dac kzyx 9 i kzy 6 , rezult c kx 3 . Dac kzyx 9 i kxz 8 , rezult c ky . Se ob ine

3523

2595153

222

222

222 kkkkkk

zyxyzxzxy

.

b) Valoarea maxim a raportului 222 zyxcyzbxzaxy

se ob ine când b=9, c=8 i

a=7 (deoarece xyyzxz ) i este

528

35196

355815937

2

222

kkkk

.

Valoarea minim a raportului 222 cbacyzbxzaxy

se ob ine când b=1, c=2 i a=3

(deoarece xyyzxz ) i este 3534

355215133

2

222

kkkk

.

R4.8.5. Afla i numerele a, b, c naturale, tiind c numerele cba ,, 23 sunt

direct propor ionale cu 8, 4, 2 i cba

2411.

Solu ie. Avem 623

248kcba

, de unde rezult c 63 8ka , 62 4kb i

62kc , deci 22ka , 32kb i 62kc . Prin înlocuire în rela ia cba

2411, se

ob ine 632 224

21

21

kkk. Dup efectuarea calculelor ob inem 63 2

242

1kk

k, de unde

rezult c 24)1(3 kk , dar k fiind num r natural avem 32)1( 33 kk , deci k=2. Se ob ine a=8, b=16, c=128. R4.8.6. Se dau numerele naturale a, b, c, d astfel încât 75 ba , c este 60% din b, iar raportul dintre c i d este 1,5. S se arate c a, b, c, d sunt invers

propor ionale cu numerele 0,(142857); 0,2; 31

; 0,5.

Solu ie. Dac 75 ba , atunci 57ba

. Se tie c c este 60% din b, deci

bc53

, de unde rezult c 35cb

. Avem 23

dc

, de unde 23dc

. Se poate scrie

urm torul ir de rapoarte egale: 2357dcba

. Conform defini iei propor ionalit ii

directe rezult c numerele a, b, c, d sunt direct propor ionale cu 7, 5, 3, 2, de unde

rezult c a, b, c, d sunt invers propor ionale cu numerele 21,

31,

51,

71

. inând cont c

)142857(,071

, 2,051

i 5,021

, avem a, b, c, d sunt invers propor ionale cu

numerele 0,(142857); 0,2; 31

; 0,5.

4.9. Regula de trei simpl . Regula de trei compus Regula de trei simpl

Vom considera probleme în care intervin dou mul imi de câte dou numere între care exist o propor ionalitate direct sau o propor ionalitate invers , iar unul din numerele unei mul imi este necunoscut.

Procedeul care se folose te pentru determinarea num rului necunoscut dintr-una din dou mul imi, alc tuite fiecare din câte dou elemente, între care exist o propor ionalitate direct sau invers , se nume te regula de trei simpl .

Aplicarea acestui procedeu, numit regula de trei simpl , porne te de la a ezarea datelor problemei într-o schem , care conduce la aflarea unui termen necunoscut dintr-o propor ie (în cazul m rimilor direct propor ionale) sau la aflarea unui factor necunoscut al unui produs, când cunoa tem produsul i cel lalt factor (în cazul m rimilor invers propor ionale). Practic, schema conduce la rezolvarea unei ecua ii cu o singur necunoscut .

- 15 -

Model 1. 18kg de mere cost 126000lei. Cât cost 13kg de mere de aceea i calitate? Solu ie. Aceast problem poate fi rezolvat prin metoda reducerii la unitate: 1) Afl m pre ul unui kilogram de mere. 126000:18=7000lei. 2) Afl m pre ul a 13kg de mere. 7000 13=91000lei. Prin regula de trei simpl , datele problemei se a eaz astfel: 18kg mere..............................126000lei 13kg mere.............................. x Aceast schem se cite te: "Dac 18kg de mere cost 126000lei, atunci 13kg de mere vor costa x lei". Stabilim ce fel de propor ionalitate exist între cele dou mul imi: a cantit ilor i a costurilor. Pentru aceasta consider m mul imea cantit ilor {18,13} i mul imea

costurilor {126000,x}. Între aceste dou mul imi exist o propor ionalitate direct ,

deoarece putem forma un ir de rapoarte egale, 1318

126000 x, valoarea lor comun

fiind tocmai pre ul unui kilogram de mere. Apoi afl m termenul necunoscut al

propor iei: 18

13126000x , deci x=91000(lei).

Model 2. 15 muncitori pot termina o lucrare în 20 zile. În câte zile vor termina lucrarea 25 de muncitori? Solu ie. Aceast problem poate fi rezolvat prin metoda reducerii la unitate: 1) Afl m în câte zile termin lucrarea un muncitor. 15 20=300zile. 2) Afl m în câte zile termin lucrarea 25 muncitori. 300:25=12zile. Prin regula de trei simpl datele problemei se a eaz astfel: 15 muncitori..............................20 zile 25 muncitori.............................. x Aceast schem se cite te astfel: "Dac 15 muncitori termin lucrarea în 20 de zile, atunci 25 muncitori o vor termina în x zile". Stabilim ce fel de propor ionalitate exist între cele dou mul imi: a num rului de muncitori i a num rului de zile în care ei pot termina lucrarea. Pentru aceasta consider m mul imile {15,25} i {20,x}. Între aceste dou mul imi exist o propor ionalitate invers , deoarece putem forma un ir de produse egale 15 20=25 x, valoarea lor comun fiind tocmai num rul de zile în care un muncitor poate termina

lucrarea. Apoi, afl m factorul necunoscut: 25

2015x , deci x=12(zile).

În practic , exist obiceiul ca, dup determinarea tipului de propor ionalitate, modul de aflare a necunoscutei s fie indicat, direct pe schem , printr-o s geat care indic înmul irea i scrierea literelor "d.p." (pentru propor ionalitate direct ), respectiv "i.p." (pentru propor ionalitate invers ).

Model 1. d.p. 18kg mere..............................126000lei 13kg mere.............................. x

lei9100018

13126000x

Model 2.

i.p. 15muncitori..............................20zile 25muncitori.............................. x

zile1225

1520x

Probleme rezolvate R4.9.1. Un motociclist mergând cu viteza de 60km/h str bate o distan în 48minute. Cu ce vitez trebuie s mearg pentru a parcurge aceea i distan în 45minute? Solu ie. Efectu m transform rile:

6048min48 h

54

h, 45min=6045

h43

h.

Prin regula de trei simpl , datele problemei se a eaz astfel: i.p.

54

h..............................60km/h

43

h.............................. x

6434

5460

43

5460

x (km/h)

- 16 -

R4.9.2. Un muncitor efectueaz 130 piese în 4 ore 20 min. Câte piese realizeaz muncitorul în 8 ore?

Solu ie. Efectu m transformarea: 4 h 20 min=60204 h

314 h.

Prin regula de trei simpl , datele problemei se a eaz astfel: d.p.

314 h..............................130piese

8h .............................. x

2401338130

313

8130x (piese)

Probleme propuse P4.9.1. Dac din 80kg f in se produc 180 pâini, ce cantitate de f in este necesar pentru ob inerea a 72 de pâini? P4.9.2. Trei robinete, având acela i debit, umplu un rezervor în 6ore. În cât timp vor umple rezervoarele dou robinete cu acela i debit? P4.9.3. Un copil a economisit 15 bancnote de câte 10000lei. Câte bancnote de 50000lei prime te în schimbul lor? P4.9.4. Un muncitor face în 6 ore, 108 piese. Dac lucreaz în acela i ritm câte piese, de acela i fel, face în 5 ore? P4.9.5. La o ferm se planificase o cantitate de furaje pentru 40 vite pe timp de 60 zile. Pentru câte zile va ajunge aceea i cantitate de furaje, dac s-au mai cump rat 8 vite? P4.9.6. Pentru transportul lemnelor de la munte la un depozit s-au comandat 40 de vagoane cu o capacitate de 15t fiecare. S-au folosit, îns , vagoane cu o capacitate de 20t. Câte vagoane au fost necesare? P4.9.7. O brigad de 24 de muncitori trebuia s sape 120m de an . 4 muncitori nu au lucrat. Câ i metri de an au s pat ceilal i muncitori? P4.9.8. La un magazin s-a adus 500 sticle de ulei pentru care trebuia s se încaseze 19.000.000lei. Dup ce s-au vândut 300 sticle, ce sum urmeaz s se încaseze? P4.9.9. La acoperirea unei podele erau necesari 50m linoleum lat de 0,75m. Câ i metri linoleum sunt necesari pentru acoperirea aceleia i podele, dac se folose te linoleum lat de 1,2m? P4.9.10. Din 120kg ap de mare se ob in 300g sare. Ce cantitate de ap de mare este necesar pentru a ob ine 15kg sare?

R spunsuri R: P4.9.1. 32kg f in R: P4.9.2. 9 ore R: P4.9.3. 3 bancnote R: P4.9.4. 90 piese R: P4.9.5. 50 zile R: P4.9.6. 30 vagoane R: P4.9.7. 100m R: P4.9.8. 7.600.000lei R: P4.9.9. 31,25m R: P4.9.10. 6000kg Regula de trei compus

Vom considera acum probleme în care intervin mai multe mul imi de câte dou numere, între unele din ele existând o propor ionalitate direct , iar între altele o propor ionalitate invers .

Regula de trei compus este un procedeu de aflare a unui num r necunoscut, într-o problem în care intervin mai multe m rimi, cu câte dou valori, între unele existând o propor ionalitate direct , iar între altele o propor ionalitate invers . Aplicarea acestui procedeu, numit regula de trei compus , porne te de la a ezarea datelor problemei într-o schem ; apoi, se stabilesc tipurile de propor ionalitate ce exist între m rimea necunoscut i fiecare din celelalte m rimi, indicându-se înmul irea prin s ge i, iar în final se efectueaz înmul irile i împ r irile ce conduc la aflarea num rului necunoscut. La acest procedeu s-a ajuns datorit modului de rezolvare a acestui tip de probleme cu ajutorul aplic rii succesive a regulii de trei simpl . Model. Cinci muncitori pot termina o lucrare în 15zile, dac lucreaz câte 8ore pe zi. În cât timp vor termina aceea i lucrare 10 muncitori, lucrând câte 6ore pe zi? Solu ie. Datele problemei se a eaz dup urm toarea schem :

5 muncitori..............................8h/zi..............................15zile 10muncitori..............................6h/zi.............................. x Pentru a avea doar dou m rimi i a putea aplica, astfel, regula de trei simpl , consider m constant num rul muncitorilor i problema se transform în: i.p. 5 muncitori..............................8h/zi..............................15zile 5 muncitori..............................6h/zi.............................. y

206

815y (zile)

- 17 -

Deci, 5 muncitori, lucrând câte 6 ore pe zi termin lucrarea în 20 de zile. Acum num rul de 6h/zi, fiind constant, trebuie s afl m în cât timp vor termina lucrarea cei 10 muncitori: i.p. 5 muncitori..............................6h/zi..............................20zile 10muncitori..............................6h/zi.............................. x

1010

520x (zile)

Practic, regula de trei compus cuprinde urm toarele etape: 1) A ezarea datelor problemei în schem : 5 muncitori..............................8h/zi..............................15zile 10muncitori..............................6h/zi.............................. x 2) Stabilirea tipului de propor ionalitate ce exist între mul imea ce con ine necunoscuta i, succesiv, celelalte mul imi:

între mul imea zilelor i cea a muncitorilor exist o propor ionalitate invers între mul imea zilelor i cea a orelor de lucru zilnic exist o propor ionalitate invers .

Preciz m aceste propor ionalit i prin s ge i, pe schem : i.p. i.p. 5 muncitori..............................8h/zi..............................15zile 10muncitori..............................6h/zi.............................. x

106108515x (zile)

Remarc . Aceea i problem se poate rezolva prin metoda reducerii la unitate f când urm torul ra ionament: dac 5 muncitori, lucrând câte 8h/zi, termin lucrarea în 15zile, atunci 1muncitor, lucrând câte 8h/zi, termin lucrarea în 5 15zile. Rezult c 1muncitor, lucrând câte o or pe zi, termin lucrarea în 5 15 8zile. Rezult , în

continuare, c un muncitor, lucrând câte 6h/zi, va termina lucrarea în 6

8155zile.

Deci, 10muncitori, lucrând câte 6h/zi, va termina lucrarea în 106

8155zile, adic în

10zile. Acest ra ionament se a eaz sub forma urm toarei scheme: 5muncitori..........................8h/zi..........................15zile 10muncitori........................6h/zi.......................... x 1muncitor...........................8h/zi..........................15 5 1muncitor...........................1h/zi..........................15 5 8

1muncitor...........................6h/zi..........................6

8515

10muncitori.........................6h/zi......................... 10106

8515zile

Probleme rezolvate R4.9.3. Într-o tab r , în 12zile, 150 de elevi consum 900kg pâine. Ce cantitate de pâine este necesar pentru 70 de elevi, pentru 18 zile? Solu ie. 1) A ezarea datelor problemei în schem 150elevi..............................12zile..............................900kg 70elevi................................18zile.............................. x 2) Stabilirea tipului de propor ionalitate ce exist între mul imea ce con ine necunoscuta i, succesiv, celelalte mul imi, precizând aceste propor ionalit i prin s ge i, pe schem : 150elevi..............................12zile..............................900kg d.p. d.p. 70elevi................................18zile.............................. x

63012150

1870900x kg

R4.9.4. 6 muncitori pot termina o lucrare în 12zile. Dup 4zile de lucru echipei de muncitori i se al tur înc 2 muncitori. În cât timp se va executa toat lucrarea? Solu ie. Dac echipa poate termina lucrarea în 12zile, atunci dup 4zile de

lucru echipa a efectuat 124

, adic 31

din lucrare. Deci, trebuie s afl m în câte zile 8

muncitori fac 32

din lucrare.

- 18 -

A ez m datele problemei i stabilim tipul de propor ionalitate ce exist între mul imea ce con ine necunoscuta i, succesiv, celelalte mul imi, precizând aceste propor ionalit i prin s ge i, pe schem : i.p. 6muncitori..............................1lucrare..............................12zile d.p.

8muncitori..............................32

lucrare............................. x

618

32612

x zile

Lucrarea s-a efectuat în 4zile+6zile, deci în 10zile. R4.9.5. O echip de 20 muncitori, lucrând câte 6ore pe zi, pot face 24piese în 10zile. Câte zile sunt necesare pentru ca o alt echip de 15 muncitori s fac 360piese, lucrând câte 8ore pe zi? Solu ie. A ez m datele problemei în schem i stabilim tipul de propor-ionalitate ce exist între mul imea ce con ine necunoscuta i, succesiv, celelalte

mul imi, precizând aceste propor ionalit i prin s ge i, pe schem : i.p. i.p. 20muncitori....................6h/zi....................240piese....................10zile d.p. 15muncitori....................8h/zi....................360piese.................... x

15240815

36062010x zile

- 19 -

- 20 -

- 21 -

- 22 -

- 23 -

- 24 -

- 25 -

- 26 -