PS Semnale Analogice

8/12/2019 PS Semnale Analogice

http://slidepdf.com/reader/full/ps-semnale-analogice 1/33

Prelucrarea semnalelor



DSP (Digital Signal Processing) este una dintre cele mai puternice tehnologii carevor forma domeniul ştiinţei şi inginerie în secolul al XXI-lea.

Schim!ri revoluţionare au fost de"a f!cute într-o larg! gam! larg! de domenii#

1. Telecomunicatii (telefonie)• Multiplexare• Compresie• Controlul ecoului

2. Audio

• Muzica• Generare si recunoastere voce

3. ocatoare cu ecou !adar "onar "eismolo#ie

$. Procesare de ima#ini• Medical• %ma#erie comerciala• spatiale





&ucla de automatizare



Prelucrarea analo#ica a semnalelor

Clasificarea semnalelor 'n spaiul (timp frecven* amplitudine)

- planul ( A,t ) - corespunde studiului evoluţiei semnalelor în domeniul timp

- planul ( A,f ) - corespunde studiului evoluţiei semnalelor în domeniul frecvenţă,

Necesitatea studiului semnalelor, atât în domeniul timp cât şi în domeniul frecvenţă este evidentă:

• numai studiul în domeniul timp neoferind informaţii asupra compoziţiei spectrale a semnalelor

• studiul în domeniul frecvenţă neoferind informaţii asupra formei semnalului.



"emnale 'n domeniul timp

Această caracterizare presupune următoarele definiţii ale proprietăţilor semnalelor în raport cu timpul:

+ nestaţionare - cu proprietăţi medii dependente de timp

+ staţionare - cu proprietăţi medii invaria!ile în timp, măsurarea unei astfel de proprietăţinedepinzând de momentul ales pentru măsurare

+ tranzitorii - cu o anumită le"e de evoluţie în timp (e#: semnalul treaptă, descărcarea unui condensator etc.)

+ deterministe - cu valoarea instantanee predicti!ilă în fiecare moment (e#: semnalul sinusoidal)



+ aleatoare - cu proprietăţi statistice cunoscute (e#: valoare medie , varianţa etc.)

+ periodice - frecvenţele ce compun aceste semnale sunt toate multiplii unei frecvenţe fundamentale

- cvasiperiodice - semnale la care raportul a cel puţin două frecvenţe componente este un număr iraţional (e#:

compunerea a două seturi independente de armonici

"emnale periodice

x(t ) este periodic dacă satisface relaţia:

)()( kT t xt x += unde: ℜ∈k , iar T =$ /f

frecvenţa f % $&T şi pulsaţia ω % '&T .



,scilaia armonic* ( ) ( )θ ω += t X t x cos

sau:

( ) ( )θ π += ft X t x 'cos

sau in comple#

( ) ( )θ ω += t j Xet x

Acest lucru se verifică uşor folosind identitatea lui uler:ϕ ϕ

ϕ sincos je j ±=±

frecvenţe negative . *entru a vedea acest lucru reamintim că un semnal sinusoidal poate fi e#primat astfel:

( ) ( ) ( ) ( )θ ω θ ω θ ω

+−+ +=+= t jt j e X

e X

t X t x''

cos

"emnalele pot fi studiate 'n domeniul timp f*c-nd apel la intervalele de periodicitate. +nteresează:• perioada,

•valoarea medie,

•valoarea medie pătratică (),



n prelucrarea semnalelor procesul de mediere conduce la diferite moduri utile de tratare a

semnalelor/

( )dt t xT

x

T

T

nn

∫

+

−=

'

'

$

/n cazul semnalelor neperiodice definiţia devine:

( ) ( )dt t xT

t x

T

T

n

T

n

∫ +

−∞→

='

'

$lim

Pentru n 0 1 rezultatul este valoarea medie a lui x (t ) (sau componenta continu*)/

( ) ( )dt t xT t x

T

T ∫

+

−=

'

'

$

semnalele aleatoare (de exemplu z#omotul al) au valoarea medie tinz-nd la zero. Medierea devine

astfel o soluie de separare a semnalului util 'necat 'n z#omot

Pentru n 0 2 din ecuaia rezult* ( )t x '

(!M" !oot Mean "4uare)

( )∫ +

−

='

'

'$ T

T

RMS dt t xT

x

!elaiile de mediere sunt suclase ale unui proces mai #eneral de corelare.



Produsul de convolutie

*entru două semnale independente x(t ) şi y(t ) produsul de convoluţie este definit de e#presia:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τ τ τ τ τ τ d yt xd t y xt yt x ∫ ∫

+∞

∞−

+∞

∞−

−=−=∗

0âteva proprietăţi ale produsului de convoluţie:

- comutativitatea: ( ) ( ) ( ) ( )t xt yt yt x ∗=∗

- asociativitatea: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )t z t yt xt z t yt x ∗∗=∗∗

- distri!utivitatea: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]t z t xt yt xt z t yt x ∗+∗=+∗

- element neutru ( )t δ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t xd t xt t x =−=∗ ∫ τ τ δ τ δ

5uncia de corelare

( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ τ τ −=−=Ψ ∫ +

−∞→

t yt xdt t yt xT

T

T T

xy'

$lim

5unctia de autocorelare/



( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ τ τ −=−=Ψ ∫ +

−∞→

t xt xdt t xt xT

T

T T

xx

'

'

$lim

autocorelarea este o variantă a procesului de mediere 111

*rocesul de autocorelare este strâns le"at de detecţia semnalelor utile înecate în z"omot. e sta!ileşte funcţia

de autocorelare a unui semnal provenit de la o anumită sursă cu acelaşi semnal detectat la al moment de timp.2acă un semnal deterministic este prezent, acesta va avea o valoare ma#imă în rezultat

Cazul semnalului electric



0onsiderând că semnalul y(t ) este o tensiune electrică aplicată unui rezistor R ( y(t ) % u(t ) ) ,

puterea instantanee se defineşte ca fiind:

( ) ( )

R

t ut p

'

=

0onsiderând că se face o normare prin ale"erea valorii rezistorului R % $3 se o!ţine o e#presie acceptată ca putere normată momentană a semnalului:

( ) ( )t xt p '=

*e !aza acestei e#presii se poate defini şi ener"ia normată a semnalului:

( ) ( )dt t xdt t p E ∫ ∫ +∞

∞−

+∞

∞−

== '

4ie un semnal 5(t) continuu în timp astfel încât dt t y

'

)(∫

+∞

∞− e#istă şi este conver"entă. Acest semnal se spune căare ener"ie finită iar valoarea inte"ralei este numită ener"ia semnalului:

dt t y E y

'

)(∫ +∞

∞−

≡

*entru acelaşi tip de semnal se defineşte puterea semnalului ca fiind:

dt t y P y

'

)('

$lim ∫

+

−+∞→

≡θ

θ θ θ

2e remarcat faptul că pentru un semnal periodic integrala energiei nu este convergentă.

puterea semnalului periodic ca fiind:



dt t yT

P T

y

'

)(

)($∫ ≡

2e remarcat că e#istă semnale neperiodice, fără ener"ie finită, pentru care puterea nu poate fi definită. 2e

e#emplu, semnalul rampă.

. /n practică, un semnal de măsurare nu are niciodată un interval de timp infinit. 2e aceea, nu se pot utiliza

limitele de inte"rare ∞+ şi ∞− în inte"rala şi tre!uie limitat la a scrie de forma dt t yobsT '

6

)(∫ .

Metode de prelucrare (analiza) a semnalelor

Analiza 5ourier a semnalelor periodice



7n semnal varia!il x(t ) este periodic dacă satisface relaţia:

x(t ) % x(t 8T )

în care T reprezintă perioada.

vident, semnalele reale au durate finite şi, de aceea, relaţia este satisfăcută într-un interval de timp finit.

e consideră că semnalul este periodic dacă durata sa este mult mai mare decât perioada T . *erioadei T îi

corespunde frecvenţa f % $&T şi pulsaţia ω % '&T .

7n semnal periodic de frecvenţă f şi de formă oarecare poate fi o!ţinut prin însumarea la o sinusoidă de

frecvenţă f (fundamentala) de sinusoide ale căror frecvenţe sunt multiplii între"i de f . /n mod asemănător, se

poate descompune un semnal periodic într-o sumă de sinusoide (fundamentala şi armonici). Analza se!nalulu constă în Descompunerea semnalului prin sume de semnale elementare:

( ) ( )t f at x n

"

nn∑

=

=6

în care an sunt coeficienţi, iar f n(t# sunt e#presiile analitice ale semnalelor elementare. Numărul " poate fi finit

sau infinit. 0alculele sunt comode când " este finit şi de o valoare mică.

Analiza semnalului constă în determinarea coeficienţilor an atunci când este dat semnalul x(t# şi când este

precizat setul f n (t) de funcii ce se ucur* de proprietatea de orto#onalitate:

( ) ( )= →

≠→∫ n%m nm6

'$n

b

a ! dt t f t f



unde $ este norma funcţiilor.

Totalitatea coeficienilor an eventual reprezentat* pe o ax* constituie spectrul semnalului iar

coeficienii 'n6i6i sunt amplitudinile componentelor spectrale.

4uncţiile tri"onometrice cos n t ω şi sin n t ω sunt orto"onale şi au norma $'%T/ '.

7tilizând aceste funcţii se e#primă semnalul printr-o se%e &ou%e% şi implicit se face analza &ou%e% a

semnalului

5orma sin cos pentru seria 5ourier

x t A A n t ' n t n

n

n

n

( ) cos sin= + +=

∞

=

∞

∑ ∑6

$ $ ω ω

9alorile coeficienţilor seriei 4ourier sunt date de relaţiile:



dt t xT

A T

∫ =66 )(

$ ∫ =

T

n tdt nt xT

A

6

cos)('

ω

∫ =T

n tdt nt xT

'

6

sin)('

ω .

7n aspect important le"at de reprezentarea unui semnal periodic x(t# printr-o serie 4ourier este acela alconver"entei seriei 4ourier către x(t# pentru orice valoare a lui t , adică în ce măsură semnalul x(t# şi

reprezentarea sa prin seria 4ourier sunt e"ale pentru fiecare valoare a lui t . Criteriul 7iric8let arată că

semnalul x(t ) tre!uie să fie monoton pe porţiuni şi să ai!ă un număr finit de puncte de discontinuitate. Toate

semnalele periodice de interes practic satisfac aceste condiii.

Teoreme (utile pentru calcul)/

T1. 2acă x(t ) % x(-t ), dezvoltarea în serie 4ourier are forma:

( ) t n A At x

n

n ω cos

$

6 ∑∞

=

+=

( )dt t xT

A

T

∫ ='

6

6'

( )∫ =

'

6

cos: T

n tdt nt xT

A ω

#emplu. emnalul redresat du!lă alternanţă x(t ) % t sin are dezvoltarea în serie 4ourier:



( )( )∑∞

=

⋅

+−⋅−+=

$

cos$'$'

$:')(

n

t nnn

t x ω π π

T2. 2acă x(t ) % - x(-t ), dezvoltarea în serie 4ourier are forma:

( ) t n 't x

nn ω sin

$∑∞=

= , ( )∫ ='

6

sin: T

n tdt nt xT

' ω

#emplu. 4uncţia de comutaţie definită ca:

( )

( )

( )

−∈−

=

∈

=

6,',$

6,6

',6,$

T t

t

T t

t x

are dezvoltarea în serie 4ourier:

( ) ( )∑ +⋅

+= t n

nt x ω

π

$'sin$'

:)(

5orma restr-ns* a dezvolt*rii 'n serie 5ourier are expresia/

( )nn

n t n X X t x γ ω ++= ∑∞

=

sin)(

$6

+dentificând armonicile de ran" n rezultă:

n

nnnn

'

A ' A X A X arct" n

'''66 =+== γ



5orma complex* a seriei 5ourier are expresia/t jn

ne (t x

ω

∑

+∞

∞−=)(

unde:

( ) dt et xT

j' A (

T t jnnnn ∫ −=

−=

6

$

'

ω

"emnale aperiodice. Analiza impulsurilor.



Transformata 5,9!%:!

ă studiem şi situaţia semnalelor aperiodice, în speţă a impulsurilor, care sunt semnale deterministe, de

durată finită.Analiza în frecvenţă se realizează cu a;utorul transformatei 4ourier:

( ) ( ) dt et x j X t jω

ω −+∞

∞−∫ =

unde x(t# este funcţia a cărui spectru de frecvenţă este căutat. 5uncia X(j###) este numit* funcţie spectrală

sau densitate spectrală de amplitudine complexă.

<recerea inversă se realizează pe !aza relaţiei :

( ) ω ω π

ω d e j X t x t j∫ ∞+

∞−=

'

$)(

2ensitatea spectrală de amplitudine este, în "eneral, o funcţie comple#ă. odulul:

( ) ( )[ ] ( )[ ]ω ω ω j X j X j X ''

+m,e +=

reprezentat "rafic în funcţie de ω, conduce la o cur!ă simetrică



odulul densităţii spectrale.

diferena esenial* 'ntre seria 5ourier 6i transformata 5ourier const* 'n aceea c* la aceasta din urma

spectrul este continuu iar sinteza unei funcii aperiodice se realizeaz* printr+o operaie de inte#rare 6i nu

de sumare.

0orespondenţa !iunivocă dintre transformata X ( jω) şi ori"inalul x(t ) este indicată prin scrierea:

x(t ) = X ( jω)

Teoremele transform*rii 5ourier/

- teorema întârzierii x(t)t *) = X ( jω)e- jωt

- teorema derivării în raport cu timpul ( )

( )ω ω j X jdt

t dx↔



- teorema inte"rării în raport cu timpul ( ) ( )ω ω

j X j

dt t xt $

↔∫ ∞−

- teorema convoluţiei în domeniul timp ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λ ω ω d t x x j X j X −↔∫ +∞

∞− '$'$

ner"ia impulsului este dată de %ela+a lu Pa%seal : ( ) ( )ω π

d j X dt t x E '

6

' $∫ ∫

∞++∞

∞−

==

4uncţia ( ) 'ω j X este o denstate spe$t%al- de ene%.e pe a#a frecvenţei f . *e !aza ei se poate concluziona că

impulsurile au ener"ia distri!uită în domenii de frecvenţă finite.

:xemplu. +mpulsul dreptun">iular din are densitatea spectrală de amplitudine:

( ) ( )t jt je

j

X dt Xe j X ω τ ω

ω ω

−−== ∫ $6

odulul rezultă:

( ) ( ) 'sin

'

cos$'

ωτ

ω ωτ

ω ω

X X

j X =−=

2ensitatea spectrală de ener"ie are e#presia:

( )'

sinc'

sin: ''''

'

'' ωτ

τ ωτ

ω

ω X X

j X ==



4uncţia sinc0

4uncţia sinc %α

α sin are forma din e poate deduce că densitatea spectrală de ener"ie are valorile cele mai

importante în domeniul frecvenţelor ;oase, care satisfac ine"alitatea: π ωτ

≤'

sauτ

π ω

'≤

Analiza polinomial* a semnalelor

-a arătat că un semnal oarecare x(t# este e#prima!il printr-o sumă de funcţii orto"onale, într-un domeniu

T de variaţie a timpului. 0ând aceste funcţii sunt polinoame 1n(t# rezultă :

( ) ( )t 1at x n "

nn

6

∑=

=



"emnale analo#ice de test

Aceste semnale sunt util pentru verificarea şi re"la;ul su!ansam!lurilor constructive ale sistemelor de

măsurare. 0unoscând parametrii caracteristici ai semnalului de test aplicat la intrarea unui !loc funcţional şifuncţiile acelui !loc, se pot determina parametrii mărimii de ieşire şi sta!ili dacă funcţionarea este corectă.

*rincipalele semnale elementare de test utilizate în studiul comportării sistemelor sunt:

• semnalul dreptunghiular / ( )

⟩

⟨

T t

T t t p

pentru6

pentru$

• semnalul treaptă unitate / ( )

⟨

⟩= 6 pentru6

6 pentru$

t

t

t u

Acest semnal este interesant din mai multe puncte de vedere :

- permite studiul re"imurilor tranzitorii, modelând sta!ilirea unui re"im continuu la aplicarea !ruscă a

semnalului de intrare

- este un mod comod de a e#prima discontinuităţile de speţa întâia ale unei funcţii. 2e e#emplu, dacă o funcţie f (t ) este continuă în afară de punctele t în care suferă salturi finite, se poate scrie f (t ) ca fiind suma:

( ) ( ) ( )t f t f t f s$ +=

unde ( )t f $ este o funcţie continuă iar ( )t f s este o funcţie cu salturi.



*rintre altele, multiplicarea unei funcţii f (t ) cu u(t)t *) permite ca un semnal să devină cauzal, adică să fie nul în

afara unui interval. ste cazul semnalelor fizice care nu e#istă decât începând de la un anumit timp t o.

; semnalul impuls Dirac (t )

*rovine din funcţia semnal dreptun">iular, dacă se consideră durata ca fiind foarte scurtă şi aria unitară. ?

astfel de funcţie prezintă următoarele proprietăţi

( ) $=∫ +∞

∞−

dt t p

=∞

≠=

→ 6 pour

6 pour 6lim

6 t

t

T

( )t pt uT

lim)(6→

= ∫ +∞

∞−

=$)( dt t u



emnale test.



"emnale e6antionate

T e, numită eşantionare periodică (coerentă).

produsul dintre semnalul analo"ic x(t ) şi funcţia pieptene notată δ <e(t ),

reprezentată printr-o suită de impulsuri:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑+∞

−∞=

−=⋅=k

eTee kT t t xt t xt x δ δ

*entru studiul spectrului de frecvenţă al semnalului eşantionat se apelează la transformata 4ourier (<4).



( ) ( ) f xt x <4→ , ( ) ( ) f t x

T&

e e#→ , ( ) ( ) f T

t fee

Te δ δ $

=

unde:

( ) ( )∑+∞

−∞=

−=k

eTe kT t t δ δ , ( ) ( )∑+∞

−∞=

−=k

e fe kf f f δ δ

undee

eT

f $

= este frecvenţa de eşantionare.

( ) ( ) f X f X f e fe δ ⊗= ( ) ( ) ∑∑ +∞

−∞=

+∞

−∞=

−=−=

k eek e

ee

T

k f X

T kf f X

T f X

$$

pectrul semnalului e!antionat este deci periodic" de perioadă f e .

"+a presupus c* f e 2 f max. <=4uist

#emplu. pectrul X e( f ) al unui semnal sinusoidal t f At x 6'cos)( π = eşantionat cu o perioadă T e



#emplul '. pectrul X e ( f ) al unui impuls de durată τ " numit şi fereastră temporală



<ransformata 4ourier a semnalului x(t ) este :

τ π

τ π

τ π τ

f je f

f f X

sin)( =

iar a semnalului eşantionat X e ( f ): ( ) ( )

( )

∑+∞

−∞= −

−=

k e

e

e

e

kf f

kf f

T

f X τ π

τ π τ

sin

pectrul de frecvenţă al acestui impuls nu este măr"init, de aceea conduce la o suprapunere a spectrului X e ( f ) a

semnalului eşantionat xe(t ), ceea ce va conduce la o distorsionare a semnalului reconstituit x (t ), pornind de la

semnalul eşantionat xe(t ).



pectrele de frecvenţă: a) semnal iniţial (impuls de durată τ #

!) semnal eşantionat cu frecvenţa f e

"emnale aleatoare



0aracteristica definitorie a acestui tip de semnal rezidă în faptul că pentru el nu poate fi "ăsită o e#presie

matematică x(t ) care să permită determinarea e#actă a evoluţiei viitoare. Asupra semnalului aleatoriu se fac cel

mult aprecieri pro!a!ilistice.

? variailă aleatoare ($nt%mplătoare) X este o mărime care în e#perienţe repetate poate lua valori

oarecare, necunoscute anticipat. *ro!a!ilitatea ca X să fie mai mic decât o valoare dată x este e#primată prin

funcţia de repartiţie & ( x)% P ( X ≤ x) cu a;utorul căreia se deduce pro!a!ilitatea ca X a ≤ @b:

P (a≤ X @b)% & (b)- & (a)

2erivata funcţiei de repartiţie reprezintă densitatea de proailitate ( )

( ) x f dx

xd& = .

ezultă:

P (a ≤ X @b)% ( )dx x f b

a∫

&edia pe ansamlu a varia!ilei X este definită de relaţia:

( )dx x xf X ∫ +∞

∞−=



Dispersia (variana) este:

[ ] ( )dx x f X x X ( ')(∫ +∞

∞− −=

'aterea medie pătratică se defineşte prin relaţia:

[ ] [ ] X ( X =σ

2e la noţiunea de variailă aleatoare se poate trece uşor la cea de funcţie aleatoare. senţial este faptul că

această funcţie este studiată în timp nu mai interesează e#clusiv rezultatul unor e#perienţe ci întrea"a evoluţie

a funcţiei într-un interval de timp finit sau infinit.

4uncţia întâmplătoare reprezintă pentru noi un semnal întâmplător. tudiind această funcţie pe intervale de

timp succesive (t $,t '), (t ',t ) etc. se "ăsesc diferite realizări ale sale, pe care le notăm x$(t ), x'(t )B.

#presia mediei $n timp a unei realizări oarecare xk (t ):

( ) ( )dt t xT

t xT

k T

k ∫ ∞→

=6

$lim

uterea semnalului $nt%mplător :

( ) ( )dt t xT

t xT

k T

k ∫ ∞→= 6'' $lim

şi cea a funcţiei de corelaţie $n timp a realizării xk (t ):

[ ] ( ) ( )dt t xt xT

R k

T

k T

xk τ τ += ∫

∞→ 6

$lim



/ntr-o secţiune de timp dată valorile luate de diferitele realizări reprezintă o variailă aleatoare căruia i

se pot asocia funcţia de repartiţie, densitatea de pro!a!ilitate, dispersia etc. *entru caracterizarea semnalului

tre!uie luate şi alte secţiuni ale realizărilor sale, urmărindu-se pentru fiecare în parte sau corelat cu secţiunile

anterioare, caracterizările pro!a!ilistice menţionate.

Notând funcţia de repartiţie cu (x"t) se deduce densitatea de proailitate ca fiind:

( ) xt x & t x f

∂∂= ,),(

şi în mod asemănător se definesc media pe ansam!lu, dispersia şi a!aterea medie pătratică.

emnalele întâmplătoare sunt denumite staţionare dacă toate caracteristicile lor sunt invariante faţă de o

translaţie pe a#a timpului.

Date post:	03-Jun-2018
Category:	Documents
Upload:	laurentiu-tanase
View:	252 times
Download:	0 times

PS Semnale Analogice

Documents