PROPRIETATILEPROPRIETATILEDETERMINANTILORDETERMINANTILORCUPRINSProprietatea 1 Proprietatea 2 Concluzii Proprietatea 3 Aplicatie practicaProprietatea 4 Proprietatea 5 Test Proprietatea 6 Rezolvare testProprietatea 7Proprietatea 8Proprietatea 9

Competenţe specifice vizate:C3.1Aplicarea proprietăţilor în

probleme de calculC3.2Rezolvarea unor ecuaţii

utilizând algoritmii de calcul

PROF. BLAGA CORNELIA

PROPRIETATEA 1

Determinantul matricei pătratice Determinantul matricei pătratice A A este egal cu este egal cu determinantul matricei transpuse ;determinantul matricei transpuse ;

ObsObs.. Acesta proprietate ne arata ca orice Acesta proprietate ne arata ca orice proprietate proprietate

valabila pentru linii este valabila si pentru coloane.valabila pentru linii este valabila si pentru coloane.

EXEMPLU

110221

1621

121126012

PROPRIETATEA 2

exemplu

0132

221132

0100211

122

L1 = L3 C1=C2

PROPRIETATEA 3

Dacă matricea B se obţine din matricea A permutand două linii (coloane), atunci det B=- det A;

EXEMPLU

150525153

A

150153525

B

In matricea B am schimbat liniile 1si 2 din matricea A.

detA = -19

Det B=19

PROPRIETATEA 4• Dacă toate elementele unei linii

(coloane) ale unei matrice se înmulţesc cu un număr a, atunci se obţine o matrice al cărei determinant este egal cu produsul dintre a şi determinantul matricei;

EXEMPLU

150525153

A

Inmultim elementele liniei 2 cu nr. 4 obtinem matricea :

15020820153

B

Det B = -76 = 4(-19) = 4 det A

OBSERVATIE

•ESTE O PROPRIETATE IMPORTANTA PENTRU CA NE PERMITE SA SCOATEM FACTOR COMUN DE PE LINII SI/SAU

COLOANE ASTFEL INCAT DETERMINANTUL CARE RAMANE ESTE

MAI USOR DE CALCULAT.

exemplu

132

221401624

132221523

8

PROPRIETATEA 5

•Dacă toate elementele unei linii (coloane) dintr-o matrice pătratică sînt egale cu zero, atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;

EXEMPLU

0132

000132

0130

220130

PROPRIETATEA 6

•Dacă o matrice conţine două linii (coloane) proporţionale, atunci determinantul ei este egal cu zero;

exemplu

0131396132

Observam ca liniile 1 si 2

sunt proportionale pentru ca elementele liniei 2 se obtin din elementele liniei1 prin inmultire cu 3

L2= 3L1

PROPRIETATEA 7

•Dacă o linie (coloana) a unei matrice este o combinaţie liniară a altor două linii (coloane), atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;

EXEMPLU

150353153

A

Observam ca elementele liniei 2 se obtin prin adunarea elementelor liniei 1 cu elementele liniei 3 inmultite cu 2. deci linia 2 este o combinatie liniare a liniilor 1si 3.

L2=L1+2L3Det A =0

Proprietatea 8

•Daca elementele unei linii (coloane)se pot scrie ca suma de doi termeni atunci determinantul matricei de poate scrie ca suma de doi determinanti in care elementele liniilor(coloanelor) sunt aceleasi cu exceptia liniei (coloanei) scrisa ca suma.

exemplu

131324132

131411122132

131112132

131412132

PROPRIETATEA 9

•Dacă la elementele unei linii (coloane) a matricei A adunăm elementele ale altei linii(coloane) înmulţite cu unul şi acelaşi număr a,atunci se obţine o matrice, al cărei determinant este egal cu determinantul matricei A;

concluzii

•CAND UN DETERMINANT ESTE ZERO?

Dacă matricea A are două liniiDacă matricea A are două linii(coloane)(coloane) egale, atunci egale, atunci determinantul ei este egal cu zero;determinantul ei este egal cu zero;

Dacă toate elementele unei liniiDacă toate elementele unei linii(coloane)(coloane) dintr-o matrice dintr-o matrice pătraticăpătratică

sunt egale cu zero, atunci determinantul acestei matrice este sunt egale cu zero, atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;egal cu zero;

Dacă o linieDacă o linie(coloana)(coloana) a unei matrice este o combinaţie a unei matrice este o combinaţie liniară a altor două liniiliniară a altor două linii(coloane)(coloane), atunci determinantul , atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;acestei matrice este egal cu zero;

Dacă o matrice conţine douăDacă o matrice conţine două liniilinii(coloane)(coloane) proporţionale, proporţionale, atunci determinantul ei este egal cu zero;atunci determinantul ei este egal cu zero;

Aplicatie practicaAplicatie practica

acbcabxxabxacxbc

xxcxbxaxxcxbcxxxbx

a

cxxxx

bcxxxbx

acxxx

bxxx

cxxxxxxxxx

cxxxxbxx

a

cxxxxbxxxxx

cxxxxbxxxxax

2222

00

00

TestTest1. Daca o linie a unui determinant este inmultita cu 2

determinantul se modifica ?2. Daca la coloana a doua adaug prima coloana obtin un

determinant mai mare decat primul ?3. La linia a doua a unui determinant scad prima linie inmultita

cu doi. Ce se intampla ?

4. Fie determinantul el va fi egal cu sau cu

explicaţi răspunsul ales.

5. Daca inversez liniile cu coloanele intr-un determinant atunci se obtine un determinant nul?

3 2

1

xxxxxxxxx

3 0 00 2 00 0 1

xxxxxxxxx

3 2

0 0 1

3 2

xxxxxx

xxxxxxxxx

TestTest

6. Daca toate elementele unui determinant sunt pozitive determinantul este pozitiv?7. Un determinant este nul daca toate elementele sale sunt nule?8. Daca o linie este egala cu o coloana determinantul este nul?9. Daca o coloana a unei matrici patratice este o combinatie liniara de celelalte coloane atunci determinantul este egal cu ?10. Exista proprietati valabile doar pentru linii sau pentru coloane?11. Se poate calcula determinantul unei matrici de doua linii si trei coloane?12. Daca inmultesc cu zero o linie si o adun la alta se obtine un determinant nul?

TestTest

13. Care este mai mare:- determinantul care are elementele de pe doua linii egale

cu 10 sau altul care are elementele de pe ultimele doua coloane egale cu 100?

14. Este corect urmatorul calcul ?

15. Este corect urmatorul calcul ?

16. Motivati de ce determinantul este egal cu 0, fara a face calcule.

I7. Daca Det(A) > Det(B) atunci Det(A*B) > Det(A) * Det(B) ?

1005613241

123312321

1123312321

123312321

2246624642

TestTest

18. Fie .

a) Ce proprietati au fost aplicate?b) Sunt corect aplicate?c) Unde este greseala?

19. Daca schimb doua linii intre ele determinantul obtinut este opusul determinantului initial.

20. Cand inmultim un determinant cu un numar vom inmulti toate elementele determinntului cu acel numar ?

cbabac

cbabcbaacbaccba

bacacbcba

111111

)(111

111

Rezolvare testRezolvare test

1. Da2. Nu3. Se obtine acelasi determinant.4. Corect este al doilea calcul.5. Nu6. Nu7. Nu8. Nu9. Nu10.Proprietatile sunt valabile atat pentru linii cat si pentru

coloane.

Rezolvare testRezolvare test11. Determinantul se calculeaza numai pentru matrici

patratice.12. Nu13. Ambii determinanti sunt nuli.14. Nu, Factorul comun se scoate de pe o linie sau de pe o

coloana.15. Nu, Factorul comun se scoate de pe o linie sau de pe o

coloana.16. Da deoarece una din linii este combinatie liniara a

celorlalte doua.17. Nu18. a) Proprietatile 2, 9. b) Nu c) Ultimul determinant este

nul datorita proprietatii 2 deci rezultatul este 0.19. Da20. Nu