Proiecte Economice Si Jocuri de Intreprindere

CTLIN ANGELO IOAN

Editura Universitar Danubius, Galai 2011

UNIVERSITATEA DANUBIUS DIN GALAI DEPARTAMENTUL DE NVMNT LA DISTAN

SI FRECVENTA REDUSA FACULTATEA DE TIINE ECONOMICE

PROIECTE ECONOMICE I JOCURI DE NTREPRINDERE Anul III, semestrul II

Matematic aplicat n Economie 2

Toate drepturile pentru aceast lucrare sunt rezervate autorului. Reproducerea ei integral sau fragmentar este interzis.

Editura Universitar Danubius este recunoscut de Consiliul Naional al Cercetrii tiinifice din nvmntul Superior (cod 111/2006)

ISBN 978-606-533-038-2

Tipografia Zigotto Galai Tel.: 0236.477171

Proiecte economice i jocuri de ntreprindere 3

CUPRINS

1. Teoria jocurilor Elemente de baz ale teoriei jocurilor 10 Metoda de rezolvare, prin programare liniar, a jocurilor cu sum nul, de dou persoane

17

Jocuri statistice 23

Criterii pentru alegerea deciziilor optime n situaii de incertitudine

26

Alegerea deciziilor optime n situaii de certitudine 41 Obiectivele specifice unitii de nvare Rezumat 48

Teste de autoevaluare 48 Bibliografie minimal 49

2. Teoria stocurilor

Teoria stocurilor 51

Obiectivele specifice unitii de nvare

Rezumat 57

Teste de autoevaluare 58

Bibliografie minimal 58


3. Teoria grafurilor

Introducere 60

Drumuri de lungime minim sau maxim ntr-un graf - algoritmul Bellman-Kalaba

65

Drumuri de lungime minim sau maxim ntr-un graf - metoda Pert

72


Rezumat 81



Lucrare de verificare 82

4. Alocarea optim a angajailor din punctul de vedere al minimizrii timpului total de execuie

Metoda lui Little 84

Metoda algoritmului Simplex 98

Obiectivele specifice unitii de nvare Rezumat 105

Teste de autoevaluare 105 Bibliografie minimal 105

5. Succesiunea a dou utilaje fr termene de eliberare iniial Algoritmul lui Johnson 108

O nou metod 111

Obiectivele specifice unitii de nvare Rezumat 121

Teste de autoevaluare 121 Lucrare de verificare 121 Bibliografie de elaborare a cursului 122


Bibliografie de elaborare a cursului

Rspunsuri la testele de autoevaluare

INTRODUCERE Modulul intitulat Proiecte economice i jocuri de ntreprindere se studiaz n anul III i vizeaz dobndirea de competene n domeniul matematicii aplicate. Dup ce se va nva modulul, vor fi dobndite urmtoarele competene generale:

- Cunoaterea i utilizarea adecvat a noiunilor specifice disciplinei, explicarea i interpretarea unor idei specifice acesteia, precum i proiecte teoretice i/sau practice de aplicare a noiunilor specifice.

- Proiectarea i evaluarea activitilor practice specifice disciplinei; utilizarea unor metode, tehnici i instrumente de investigare i aplicare.

- Manifestarea unor atitudini pozitive i responsabile fa de domeniul tiinific n care se regsete disciplina , cultivarea unui mediu tiinific centrat pe valori i relaii democratice, valorificare optim i creativ a propriului potenial n activitile tiinifice, participarea la propria dezvoltare profesional.

Obiectivele cadru pe care i le propun sunt urmtoarele:

selectarea informaiilor eseniale din curs i din bibliografie; realizarea de corelaii cu informaii din alte domenii (discipline) conexe

i aplicarea acestora n evaluarea i optimizarea soluiilor unor situaii-problem legate de modelarea matematic

abordarea cu metode specifice din punct de vedere matematic a unor situaii concrete, practice

Coninutul este structurat n urmtoarele uniti de nvare: - Teoria jocurilor - Teoria stocurilor - Teoria grafurilor - Alocarea optim a angajailor din punctul de vedere al minimizrii

timpului total de execuie - Succesiunea a dou utilaje fr termene de eliberare iniial

n prima unitate de nvare intitulat Teoria jocurilor se va regsi operaionalizarea urmtoarelor obiective specifice:


- s transformi o situaie practic ntr-una de joc de dou persoane cu sum nul;

- s aplici corect metodele minimax i maximin; - s aleagi decizia optim n situaii de incertitudine i de certitudine.

toate aceastea dup ce se va studia coninutul cursului i se va parcurge bibliografia recomandat. Pentru aprofundare i autoevaluare se propun exerciii i teste adecvate. Dup ce se parcurge informaia esenial, n a doua unitate de nvare Teoria stocurilor se vor achiziiona, odat cu cunotinele oferite, noi competene evaluabile prin obiective specifice astfel nct vei avea capacitatea:

- s explici corect noile concepte; - s alctuieti un plan optim de aprovizionare n scopul diminurii

cheltuielilor cu stocurile

care-i vor permite s aplici n probleme concrete de natur economic cunotinele nvate. Ca s se poat evalua gradul de nsuire a cunotinelor, va fi rezolvat o lucrare de verificare, care, dup corectare, va fi primit cu observaiile adecvate i cu strategia corect de nvare pentru modulele urmtoare.

n a treia unitate de nvare, intitulat Teoria grafurilor, se va regsi operaionalizarea urmtoarelor obiective specifice:

- s determini drumul de lungime minim ntr-un graf; - s determini drumul de lungime maxim ntr-un graf

dup ce se va studia coninutul cursului i se va parcurge bibliografia recomandat. Pentru aprofundare i autoevaluare se propun exerciii i teste adecvate. Dup ce se parcurge informaia esenial, n a patra unitate de nvare, Alocarea optim a angajailor din punctul de vedere al minimizrii timpului total de execuie se vor achiziiona, odat cu cunotinele oferite, noi competene evaluabile prin obiective specifice. La sfritul capitolului vei avea capacitatea:

- s defineti noile concepte; - s aloci n mod optim un numr de angajai pentru executarea unui

maximum de lucrri posibile, care vor permite s se aplice n probleme concrete de natur economic cunotinele nvate. Ca s se poat evalua gradul de nsuire a cunotinelor, va fi rezolvat o lucrare de verificare, care, dup corectare, va fi primit cu observaiile adecvate i cu strategia corect de nvare pentru modulele urmtoare.

n ultimul modul intitulat Succesiunea a dou utilaje fr termene de eliberare iniial se vor achiziiona, odat cu cunotinele oferite, noi competene evaluabile prin obiective specifice. La sfritul capitolului vei avea capacitatea:

- s aplici algoritmul lui Johnson de optimizare a intrrii n aciune a unor utilaje

ce va permite s se aplice n probleme concrete de natur economic cunotinele nvate.


Pentru o nvare eficient este nevoie de urmtorii pai obligatorii: S se citeasc modulul cu maxim atenie; S se evidenieze informaiile eseniale cu culoare, s fie notate pe

hrtie, sau adnotate n spaiul alb rezervat; S se rspund la ntrebri i s se rezolve exerciiile propuse; S se simuleze evaluarea final, autopropunndu-v o tem i

rezolvnd-o fr s apelai la suportul scris; S se compare rezultatul cu suportul de curs i s v explicai de ce ai

eliminat (eventual) anumite secvene; n caz de rezultat nesatisfctor s se reia ntreg demersul de nvare. Se vor primi, dup fiecare capitol parcurs, lucrri de verificare, cu cerine clare, care vor trebui rezolvate, imediat ce vei fi anunai prin intermediul platformei de nvmnt n termen de o sptmn; n acest fel vor fi ndeplinite obiectivele pe care le-am formulat. Se va rspunde n scris la aceste cerine, folosindu-v de suportul de curs i de urmtoarele resursele indicate n curs. Vei fi evaluat dup gradul n care ai reuit s operaionalizai competenele. Se va ine cont de acurateea rezolvrii, de modul de prezentare i de promptitudinea rspunsului. Pentru neclariti i informaii suplimentare vei apela la tutorele indicat. 40% din not va proveni din evaluarea continu (cele dou lucrri de verificare) i 60% din evaluarea final.


1. TEORIA JOCURILOR

Obiective specifice:

La sfritul capitolului, vei avea capacitatea:

s transformi o situaie practic ntr-una de joc de dou persoane cu sum nul;

s aplici corect metodele minimax i maximin; s aleagi decizia optim n situaii de incertitudine i de certitudine.

Timp mediu estimat pentru studiu individual: 4 ore

Elemente de baz ale teoriei jocurilor 10 Metoda de rezolvare, prin programare liniar, a jocurilor cu sum nul, de dou persoane

17

Jocuri statistice 23

Criterii pentru alegerea deciziilor optime n situaii de incertitudine

26

Alegerea deciziilor optime n situaii de certitudine 41


Rezumat 48



Ctlin Angelo Ioan Teoria jocurilor


1.1. Elemente de baz ale teoriei jocurilor 1.1.1. Noiuni introductive

Teoria jocurilor este una dintre teoriile de mare actualitate practic. Apariia acesteia se datoreaz lui J. Von Neumann i O. Morgenstern care n lucrarea Theory of Games and Economic Behaviour, Princeton, Princeton University Press din 1947 au pus bazele teoriei jocurilor. Ea apare ori de cte ori ntre dou sau mai multe persoane exist conflicte de interese. Astfel, dac mai muli ageni economici urmresc un acelai scop este evident c fiecare dorete maximizarea profitului din aciunile ntreprinse de el.

Definiie Se numete joc un ansamblu (J,R,A,U) unde J reprezint o mulime de juctori, R o mulime de reguli, A o mulime de aciuni i U o mulime de utiliti sau ctiguri astfel nct fiecare juctor din J, acionnd n limitele impuse de regulile R, alege ntr-un numr de etape succesive, n mod independent de ceilali o aciune din A urmrind maximizarea sau minimizarea unui element din U.

Este evident c alegerea unei aciuni trebuie s fie fcut n mod raional deoarece, n caz contrar, jocul ar avea un caracter haotic (imaginai-v jocul de fotbal, cu reguli de altfel precise, n care fiecare juctor ar pasa efectiv la ntmplare). Fie g:JA, g(j)=AjA funcia care asociaz juctorului j mulimea de aciuni Aj. Vom mai numi o astfel de aciune i strategie pur a juctorului j. n situaia repetrii unui joc, dac juctorul alege cu o anumit frecven una sau alta dintre strategii vom numi o astfel de situaie strategie mixt. Strategia aleas de un juctor n scopul maximizrii unui ctig sau minimizrii unei pierderi se numete strategie optim.

De asemenea o strategie pur poate fi liber dac utilizarea ei poate fi fcut n orice moment al desfurrii jocului (de exemplu jocurile de ah, fotbal, tenis etc.) sau aleatoare dac ea este aleas la ntmplare (de exemplu jocurile de table, zaruri etc.). Dup cantitatea de informaie aflat la dispoziia juctorilor, jocurile se pot clasifica n jocuri cu informaie complet atunci cnd fiecare juctor cunoate totalitatea strategiilor pure ale celorlali juctori i jocuri cu informaie incomplet atunci cnd exist un juctor care nu cunoate n totalitate mulimea strategiilor pure ale cel puin unuia dintre ceilali juctori. Dac mulimea A este finit vom spune c jocul este finit n caz contrar numindu-se infinit. Este evident c n cazul jocurilor finite i numrul juctorilor este finit deoarece, n caz contrar, dac fiecare juctor ar avea cel puin o strategie ar rezulta c i A este infinit.



1.1.2. Jocuri de dou persoane cu sum nul Vom considera n cele ce urmeaz numai jocuri finite. Avem deci card(Aj)



=

n

1jn1j )a,...,a(f

=

n

1jn1j )a,...,a(f cij=

n,...,1jmin=

ckj

altfel spus acea strategie pentru care se obine cel mai bun ctig n condiiile cele mai defavorabile. O astfel de strategie se numete strategie maximin. Analog, cea mai bun strategie a lui este bp astfel nct:

n,...,1jmin= m,...,1i

max=

cij=m,...,1i

max=

cip

sau, altfel spus, cea care ofer lui cel mai mic ctig n condiiile cele mai bune de aciune (corespunztor celei mai mici pierderi ale lui n condiiile cele mai defavorabile). Strategia lui se numete strategie minimax.

Observaie Pentru a limita dimensiunile matricei plilor se investigheaz aceasta de dou ori. Mai nti, se cerceteaz liniile matricei. Dac i,k=1,...,m, ik astfel nct:

cijckj j=1,...,n atunci, cum juctorul urmrete s-i maximizeze ctigul, rezult c strategia i va fi dezavantajoas fa de strategia k. Prin urmare, aceasta va putea fi eliminat din matricea plilor. Dac j,k=1,...,n, jk astfel nct:

cijcik i=1,...,m atunci, cum juctorul urmrete s-i minimizeze pierderea, rezult c strategia j va fi dezavantajoas fa de strategia k. Prin urmare, aceasta va putea fi eliminat din matricea plilor.

Scopul acestui demers este de a elimina pentru aplicaiile viitoare acele strategii perdante n faa altora, economisind astfel timp (pentru derularea strategiei), bani (pentru implementarea acesteia), personal (pentru ntreinerea ei i/sau actualizarea de date) etc. Avem acum: cij

m,...,1imax=

cij i=1,...,m j=1,...,n de unde:

n,...,1jmin=

cijn,...,1j

min= m,...,1i

max=

cij i=1,...,m.

Dar acum este evident c:

m,...,1imax= n,...,1j

min=

cijn,...,1j

min= m,...,1i

max=

cij

Ca urmare a acestei inegaliti, rezult c avem dou situaii:

1) ckp=m,...,1i

max= n,...,1j

min=

cij=n,...,1j

min= m,...,1i

max=

cij. Avem deci: ckp=n,...,1j

min=

ckjckj j=1,...,n i ckp=

m,...,1imax=

cipcip i=1,...,m. Altfel spus, valoarea ckp este mai mic sau

egal dect orice valoare de pe linia respectiv i mai mare sau egal dect orice valoare de pe coloana n cauz. Perechea de strategii (ak,bp)



corespunztoare lui ckp se numete punct de echilibru al jocului, iar valoarea ckp - valoarea jocului. n acest caz, strategia ak este strategie maximin, iar bp - strategie minimax. Dac cei doi juctori vor utiliza aceste strategii, atunci nici unul dintre ei nu i poate maximiza ctigul prin aflarea strategiei oponentului. De asemenea, dac unul dintre juctori va utiliza strategia rezultat din aplicarea teoriei, iar cellalt nu, atunci ctigul (n cazul lui ), respectiv pierderea (n cazul lui ) va fi mai mic, respectiv mare dect valoarea prezumat. ntr-adevr, dac va aplica strategia ak, iar o alt strategie dect bp atunci, cum ckpckj, rezult c va pierde ckj deci mai mult dect ceea ce scontase n raport cu . Reciproc, dac nu va aplica strategia ak, iar va utiliza strategia bp atunci, cum ckpcip rezult c va ctiga mai puin dect scontase . Situaia este deci stabil i cele dou strategii vor fi considerate bune. Metoda aceasta de rezolvare se numete metoda maximin (pentru ) sau metoda minimax (pentru ).

2) Dac m,...,1i

max= n,...,1j

min=

cij0

Avem deci: ckp=cqs+v. n principiu, ar putea opta pentru strategia bs care, n situaia alegerii de ctre a strategiei ak i-ar aduce lui o pierdere cqscqs. Este astfel evident c fiecare dintre cei doi juctori va putea adopta, cu riscul aferent, o strategie ale crei ctiguri pentru , respectiv pierderi pentru , s fie situate n intervalul: [cqs,ckp]. Problema nu se poate deci rezolva, ntr-un mod rezonabil, dect probabilistic.

Exemplu: Fie jocul cu sum nul, de dou persoane, ale crui mulimi de strategii pentru primul i al doilea juctor sunt A={a1,a2,a3,a4,a5,a6}, respectiv B={b1,b2,b3,b4,b5}. Matricea plilor este:



C=

892316161386153

1032385130265021

1) S se reduc dimensiunile matricei plilor; 2) S se studieze dac jocul are punct de echilibru. Soluie 1)Cum linia 1 este mai mic sau egal dect linia 4 iar linia 2 este mai mic sau egal dect linia 5 rezult c liniile 1 i 2 pot fi eliminate. Obinem

deci C=

892316161386153

103238

. n noua matrice, coloana 5 este mai mare sau

egal dect coloana 1 iar coloana 4 dect coloana 2. Prin urmare, coloanele 4

i 5 pot fi eliminate. Rezult deci matricea C=

231613153238

. Mulimile

strategiilor care rmn de luat n considerare sunt deci: A={a3,a4,a5,a6} respectiv B={b1,b2,b3}. 2)Avem acum:

b1 b2 b3 min

a3 8 3 2 2

a4 3 5 1 1

a5 3 1 6 1

a6 1 3 2 1

max 8 5 6 min=5 / 2=max

Cum 2=m,...,1i

max= n,...,1j

min=

cij0 n caz contrar nmulind cu (-1) i adugnd eventual 1 dac v=0.

Sarcina de lucru 3

S se dea un exemplu practic de aplicare a strategiilor mixte.

Aceast sarcin de lucru va fi verificat de ctre tutore n cadrul ntlnirilor tutoriale



1.2.2. Rezolvarea problemei

Pentru rezolvarea concret a problemei va fi util s facem cteva transformri.

Fie deci: xi=v

x i i yj=

v

y j i=1,...,m j=1,...,n. Din condiiile:

==

==

=

=

n1,...,j 0y ,1y

m1,...,i 0 x,1x

jn

1jj

i

m

1ii

obinem:

Sarcina de lucru 4

Considernd jocul: b1 b2 b3

a1 -4 3 -2

a2 -3 5 0

a3 3 -5 6

a4 1 0 2

s se transforme acesta conform regulilor de la punctele i) i ii).




==

==

=

=

n1,...,j 0y' ,v

1'y

m1,...,i 0 x',v

1'x

jn

1jj

i

m

1ii

Cum funcia obiectiv pentru juctorul este max v rezult c ea poate fi nlocuit de min

=

m

1ii'x i analog pentru de max

=

n

1jj'y . Avem deci o

pereche de probleme duale:

++

++++

++

0'x,...,'x1'xc...'xc

...

1'xc...'xc1'xc...'xc

)'x...'xmin(

m1

mmn1n1

m2m112

m1m111

m1

i

++

++++

++

0'y,...,'y1'yc...'yc

...

1'yc...'yc1'yc...'yc

)'y...'ymax(

n1

nmn11m

nn2121

nn1111

n1

Soluiile acestor probleme furnizeaz att valoarea optim a jocului ct i strategiile mixte ale celor doi juctori. Avem:

v= )'x...'xmin(1

m1 ++= )'y...'ymax(

1n1 ++

, xi=vxi, yj=vyj

i=1,...,m j=1,...,n Exemplu: S se rezolve cu ajutorul programrii liniare jocul cu sum nul, de dou persoane, a crui matrice a plilor este:

C=

231213123321

mulimea strategiilor primului juctor fiind A={a1,a2,a3,a4}, iar a celui de-al doilea juctor: B={b1,b2,b3}. Soluie Avem

b1 b2 b3 min

a1 1 2 3 1

a2 3 2 1 1

a3 3 1 2 1

a4 1 3 2 1



max 3 3 3 3/1

Cum 1=m,...,1i

max= n,...,1j

min=

cij==

, determinm: k=p

n,1pp

n,1p

kpn,1p

minmax

max

==

=

, k= n,1 i, n final:



k=

=

n

1pp

k,k= n,1 . Avem deci: k=

=

==

==

===

==

==

===

n

1pm

1tts

n,1s

m

1tts

n,1s

m

1ttp

m

1tts

n,1s

m

1tts

n,1s

m

1tts

n,1s

m

1ttk

m

1tts

n,1s

cmincmax

ccmax

cmincmax

ccmax

, k= n,1 . Pentru

q=m rezult: g(v)=f(v), v= m,1 .

Grupa de strategii ctigtoare va fi acea ar pentru care g(r)= )v(gmaxmv1

.

Criteriul ponderat proporional al lui Laplace propune o alegere (credem noi) raional a probabilitilor de aciune ale lui deoarece, cu ct valorile coloanei unei strategii ale lui vor fi mai mici (ele desemnnd pierderi ale acestuia) cu att valorile lui k vor fi mai mari i, implicit, cele ale lui k. 4. Criteriul ponderat proporional cu regretele al lui Laplace

Pentru p=n i Rj= ijmi1

cmax

, j= n,1 , rezult: f(i)==

n

1kikkk )cR( cu

=

p

1kk =1.

Vom calcula ponderile k urmrind un demers asemntor ca n cazul criteriului anterior, de data aceasta ns, pentru tabelul regretelor lui . Vom calcula deci, mai nti, regretele Si= )c(max ij

nj1

=- ij

nj1cmin

, i= m,1 i apoi

vom construi tabelul regretelor lui , avnd elementele dik=-cik-Si= ijnj1cmin

-cik,

i= m,1 , k= n,1 . Calculm apoi: k==

m

1ttkd , k= n,1 adic suma ctigurilor

coloanei k.

Dac pn,1p

pn,1p

minmax ===

atunci k=constant, k= n,1 . n acest caz, vom aplica

criteriul lui Laplace cu toate ponderile egale k=n

1.



Dac pn,1p

pn,1p

minmax >==

, determinm: k=p

n,1pp

n,1p

pn,1p

k

minmax

min

==

=

, k= n,1 i, n final:

k=

=

n

1pp

k,k= n,1 . Avem deci: k=

=

==

==

==

=

==

==

==

=

n

1pm

1tts

n,1s

m

1tts

n,1s

m

1tts

n,1s

m

1ttp

m

1tts

n,1s

m

1tts

n,1s

m

1tts

n,1s

m

1ttk

dmindmax

dmind

dmindmax

dmind

, k= n,1 . Pentru

q=m rezult: g(v)=f(v), v= m,1 .

Strategia ctigtoare va fi acea ar pentru care g(r)= ( ))v(gminmv1

.

5. Criteriul cu regrete al lui Laplace

Pentru p=n i Rj= ijmi1

cmax

, j= n,1 , rezult: f(i)==

n

1kikkk )cR( cu

=

p

1kk =1.

Vom considera k=n

1, iar apoi pentru q=m rezult: g(v)=f(v), v= m,1 .

Strategia ctigtoare va fi acea ar pentru care g(r)= ( ))v(gminmv1

.

6. Criteriul nostalgiei

Acest criteriu (pe care-l vom numi astfel n virtutea celor ce vor urma) se refer, de fapt, la selecia final a strategiei. Dup aplicarea oricrui criteriu din cele de mai sus obinem o serie de valori ale funciei f care n situaia absenei regretelor va fi maximizat, iar n prezena acestora - minimizat. De multe ori ns, putem grupa strategiile lui n categorii, clase dup satisfaciile create acestuia n trecut. De asemenea, se mai pot grupa aceste strategii i dup cheltuielile de implementare a acestora (de exemplu, cheltuieli de publicitate dac este vorba de lansarea unui nou produs). Astfel, vom asocia fiecreia din cele q grupe de strategii ale lui cte un coeficient de importan v, v= q,1 . Vom determina apoi funcia de selecie: g(v)=

)s(fmin)1()s(fmaxv1vv1v is1i

vis1iv ++

+ , v= q,1 procednd apoi ca n partea introductiv.

Grupele de strategii sunt determinate, de regul, arbitrar. Putem grupa n strategii bune, medii sau slabe dup suma ctigurilor fiecreia. Coeficienii v vor fi determinai apoi dup metoda aplicat la criteriul ponderat proporional al lui Laplace, aplicat ns pe liniile grupelor. Astfel:

Calculm mai nti: v, v= q,1 - suma ctigurilor grupei v.



Dac pq,1p

pq,1p

minmax ===

atunci v=constant, v= q,1 . n acest caz, rezult c nu poate exista o preferin mai mare sau mai mic pentru una din grupe, iar algoritmul se ncheie conform celui iniial.

Dac pq,1p

pq,1p

minmax >==

, determinm: v=p

q,1pp

q,1p

pq,1p

v

minmax

min

==

=

, v= q,1 i, n final:

v=

=

q

1pp

v, v= q,1 .

Exemplu:

Fie jocul cu sum nul, de dou persoane, ale crui mulimi de strategii pentru primul i al doilea juctor sunt A={a1,a2,a3,a4} respectiv B={b1,b2,b3,b4}. Matricea plilor este:

C=

4951466284235153

S se determine strategia optim folosind: 1) Criteriul Hurwicz-Savage pentru =0,6; 2) Criteriul ponderat proporional al lui Laplace; 3) Criteriul ponderat proporional cu regretele al lui Laplace; 4) Criteriul cu regrete al lui Laplace; 5) Criteriul nostalgiei dup cel al lui Wald. Soluie 1) Tabelul regretelor este:

b1 b2 b3 b4 ci= ijn,...,1jcmin

=

Ci= ijn,...,1jcmax

=

0,6Ci+0,4ci

a1 0 1 3 3 0 3 1,8

a2 0 4 0 0 0 4 2,4

a3 5 0 10 4 0 10 6,0

a4 2 1 13 4 1 13 8,2

Minimul elementelor de pe ultima coloan este corespunztor strategiei a1 deci ea este cea optim din punctul de vedere al criteriului Hurwicz-Savage.



2) n tabelul plilor: b1 b2 b3 b4

a1 3 5 1 5 a2 3 2 4 8 a3 -2 6 -6 4 a4 1 5 -9 4

calculm, mai nti k, k= 4,1 . Avem:

b1 b2 b3 b4 a1 3 5 1 5 a2 3 2 4 8 a3 -2 6 -6 4 a4 1 5 -9 4 k 5 18 -10 21

max k 21 min k -10

k 16/31 3/31 1 0 k 16/50 3/50 31/50 0

Obinem deci tabelul:

16/50 3/50 31/50 0

b1 b2 b3 b4 =

n

1kikkc

a1 3 5 1 5 94/50 a2 3 2 4 8 178/50 a3 -2 6 -6 4 -200/50 a4 1 5 -9 4 -248/50

Maximul elementelor de pe ultima coloan corespunde strategiei a2.

4) Tabelul plilor este: b1 b2 b3 b4 ij

nj1cmin

a1 3 5 1 5 1 a2 3 2 4 8 2 a3 -2 6 -6 4 -6 a4 1 5 -9 4 -9

ijmi1

cmax

3 6 4 8

Tabelul regretelor lui (n termeni de ctiguri ale lui ) se obine scznd din minimul calculat pentru fiecare linie, elementul aflat n celula corespunztoare de pe linia respectiv:



b1 b2 b3 b4 a1 -2 -4 0 -4 a2 -1 0 -2 -6 a3 -4 -12 0 -10 a4 -10 -14 0 -13 k -17 -30 -2 -33

max k -2 min k -33

k 16/31 3/31 1 0 k 16/50 3/50 31/50 0

n tabelul regretelor lui avem:

16/50 3/50 31/50 0 b1 b2 b3 b4

=

n

1kikkk )cR(

a1 0 1 3 3 96/50 a2 0 4 0 0 12/50 a3 5 0 10 4 390/50 a4 2 1 13 4 438/50

Minimul elementelor din ultima coloan este obinut pentru a2.

4) Tabelul regretelor este: b1 b2 b3 b4

=

n

1jijj )cR(4

1

a1 0 1 3 3 7/4 a2 0 4 0 0 4/4 a3 5 0 10 4 19/4 a4 2 1 13 4 20/4

Minimul elementelor din ultima coloan este obinut pentru a2.

5) Tabelul de maximin este:

b1 b2 b3 b4 ijn,...,1jcmin

=

a1 3 5 1 5 1 a2 3 2 4 8 2 a3 -2 6 -6 4 -6 a4 1 5 -9 4 -9

i grupm strategiile a1 cu a4 i a2 cu a3 (cu totul arbitrar, dar s convenim c este nostalgic dup ctigurile mari realizate, la un moment dat n a2 i a3 de 8, respectiv 6).



Rearanjm tabelul i obinem:

v b1 b2 b3 b4 ijn,...,1jcmin

=

15 a1 3 5 1 5 1 a4 1 5 -9 4 -9

19 a2 3 2 4 8 2 a3 -2 6 -6 4 -6

Calculm v, v= 2,1 i obinem: 1=0, 2=1 i, n final: 1=0, 2=1.

Funcia de selecie este deci:

g(1)= )s(fmin)1()s(fmax4,1s14,1s1 ==

+ = )s(fmin4,1s=

=min{1,-9}=-9. g(2)= )s(fmin)1()s(fmax

3,2s23,2s2 ==+ = )s(fmax

3,2s==max{2,-6}=2.

Grupa de strategii ctigtoare va fi aceea pentru care: g(r)= ( ))v(gmax2v1

=max{g(1),g(2)}=2. Calculnd apoi diferenele: f(i)-g(r) i=2,3 avem: f(2)-g(2)=2-2=0 i f(3)-g(2)=-6-2=8 de unde rezult c strategia aleas va fi a2. Din cele de mai sus, rezult c strategia a1 satisface 2 criterii, iar a2 - 6 criterii, deci, n final, strategia aleas de va fi: a2.

Sarcina de lucru 9

Fie jocul cu sum nul, de dou persoane, ale crui mulimi de strategii pentru primul i al doilea juctor sunt A={a1,a2,a3,a4} respectiv B={b1,b2,b3,b4}. Matricea plilor este:

C=

1872851340126582

S se determine strategia optim folosind criteriul Hurwicz-Savage pentru =0,7.




1.5. Alegerea deciziilor optime n situaii de certitudine 1.5.1. Metoda Electre

n unele situaii practice exist o multitudine de informaii referitoare la aciunile care trebuie desfurate ns pentru fiecare variant de acune exist o multitudine de posibiliti. Problema care se pune este de a gsi o cale prin care s putem discerne ntre diversele variante posibile.

n acest sens, o metod clasic este metoda Electre. Fie deci un numr n de variante de aciune V1,V2,...,Vn pentru un decident. S considerm, de asemenea, un numr de m criterii C1,C2,...,Cm care au cte un coeficient de importan (de regul, stabilit n mod subiectiv) k1,k2,...,km. Pentru fiecare pereche (Vi,Cj) stabilim o valoare numeric vij (dac este o apreciere calitativ de genul: slab, bun, foarte bun etc. o convertim n numere de ierarhie). Problema const n determinarea variantei optime de aciune. = q,1 .

Exemplu:

ntr-o ntreprindere se propune fabricarea unui produs. Pentru aceasta sunt posibile mai multe variante de proces tehnologic V1, V2, V3, V4 i V5, iar drept criterii se consider: profitul (C1), calitatea (C2) i durata ciclului de fabricaie (C3). Vom aprecia numeric calitile slab cu 0, medie cu 1 i bun cu 2. Tabelul obinut este:

Criteriu Variant

C1 C2 C3

V1 1000 0 50 V2 800 1 56 V3 600 2 60 V4 700 1 54 V5 500 2 58

Vom acorda celor trei criterii cte un coeficient de importan astfel: k1=0,4, k2=0,4 i k3=1,2.

Pasul 1 Se stabilete, mai nti natura metodei (de maximizare sau de minimizare). Se adaug dou linii sub tabel pe care se calculeaz minimul i maximul elementelor de pe fiecare coloan Cj. Trebuie inut seama, la acest pas, ca toate criteriile s conduc la o aceeai natur a problemei. Astfel, dac problema este, de exemplu, de maximizare (minimzare), iar unul sau mai multe criterii urmresc minimizarea (maximizarea) se vor nlocui valorile vij corespunztoare criteriului Cj - n cauz, cu valorile (-vij).



Normalizm apoi coeficienii de importan prin relaia: i=

=

m

1pp

i

k

k, i= m,1 i

avem deci:=

m

1ii =1.

n cazul problemei noastre, este evident c vom urmri maximizarea variantelor de proces. Cum durata ciclului de fabricaie trebuie s fie ct mai mic, vom transforma tabelul astfel:

Criteriu Variant

C1 C2 C3

V1 1000 0 -50 V2 800 1 -56 V3 600 2 -60 V4 700 1 -54 V5 500 2 -58

i, de asemenea: 1=2,14,04,0

4,0++

=0,2; 2=2,14,04,0

4,0++

=0,2; 3=

2,14,04,02,1

++=0,6.

Pasul 2 Se determin utilitile Uij corespunztoare perechilor (Vi,Cj) astfel:

pentru problema de maximizare: Uij=kj

n,...,1kkjn,...,1k

kjn,...,1kij

vminvmax

vminv

==

=

;

pentru problema de minimizare: Uij=kj

n,...,1kkjn,...,1k

ijkjn,...,1k

vminvmax

vvmax

==

=

.

i se construiete tabelul acestora.

Utilitile sunt deosebit de importante din dou puncte de vedere. Pe de o parte, se observ c acestea sunt adimensionale (fiind obinute ca rapoarte ntre mrimi de aceeai natur) ceea ce va permite compararea unor mrimi de naturi diferite.

De exemplu, n problema de mai sus, observm c profitul se exprim ntr-o unitate monetar, calitatea printr-un indicator de ierarhie invers (cel mai bun are numrul cel mai mare), iar durata ciclului de fabricaie printr-o unitate temporal. Pe de alt parte, utilitile ofer o privire de ansamblu asupra cantitilor fiecrui criteriu i anume cu ct acestea se afl mai aproape de cerina problemei (maximizare sau minimizare) cu att utilitatea este mai apropiat de 1. Cu ct o cantitate este mai ndeprtat de cerina problemei, utilitatea este mai aproape de 0. De asemenea, trebuie remarcat c utilitile sunt cantiti situate ntotdeauna n intervalul: [0,1].



Pentru problema noastr avem:

Criteriu Variant

C1 C2 C3

V1 1000 0 -50 V2 800 1 -56 V3 600 2 -60 V4 700 1 -54 V5 500 2 -58

min 500 0 -60 max 1000 2 -50

max-min 500 2 10 Tabelul utilitilor este:

Criteriu Variant

C1 (1=0,2)

C2 (2=0,2)

C3 (3=0,6)

V1 1 0 1 V2 0,6 0,5 0,4 V3 0,2 1 0 V4 0,4 0,5 0,6 V5 0 1 0,2

Pasul 3 Se calculeaz indicatorii de concordan astfel:

c(Vi,Vj)=

=

=

m

1rr

UUm,...,1p

p

k

kjpip

=

=

jpip UUm,...,1p

p

Practic, indicatorul de concordan al variantei Vi cu Vj se determin, comparnd liniile corespunztoare lui Vi i Vj, iar acolo unde utilitatea unei variante corespunztoare unui criteriu este mai mare sau egal dect utilitatea celeilalte variante pentru acelai criteriu se adun coeficientul de importan normalizat.

ntotdeauna, vom avea: c(Vi,Vi)=1, i= m,1 i c(Vi,Vj)[0,1], i,j= m,1 . Observm, de asemenea, c indicatorul de concordan c(Vi,Vj) este mai aproape de 1, dac un numr ct mai mare de utiliti ale lui Vi sunt mai mari sau egale dect utilitile corespunztoare ale lui Vj (deci, altfel spus, varianta Vi se apropie mai mult dect Vj de cerinele problemei) i invers pentru valorile concordanei apropiate de 0.

Pasul 4 Se calculeaz indicatorii de discordan astfel:

d(Vi,Vj)= )0,UU(max ipjpm,...,1p

=

Practic, indicatorul de discordan al variantei Vi cu Vj se determin, comparnd liniile corespunztoare lui Vi i Vj, iar acolo unde utilitatea variantei Vj corespunztoare unui criteriu este mai mare sau egal dect



utilitatea celeilalte variante Vi pentru acelai criteriu se calculeaz diferena acestora, iar n final, se determin cea mai mare valoare furnizat de acestea. ntotdeauna, vom avea: d(Vi,Vi)=0, i= m,1 i d(Vi,Vj)[0,1], i,j= m,1 . Observm, de asemenea, c indicatorul de discordan d(Vi,Vj) este mai aproape de 0, dac un numr ct mai mare de utiliti ale lui Vi sunt mai mari sau egale dect utilitile corespunztoare ale lui Vj (deci, altfel spus, varianta Vi se apropie mai mult dect Vj de cerinele problemei) i invers pentru valorile discordanei apropiate de 1.

Observaie Din definiiile indicatorilor de concordan i a celor de discordan se pot deduce formulele generale ale acestora:

c(Vi,Vj)==

+m

1ppjpip )1)UUsgn(sgn( , i,j= m,1

d(Vi,Vj)= ( ))UU)(1)UUsgn(sgn(max jpipjpipm,1p

=

, i,j= m,1

unde funcia sgn (signum - lat., semn) este binecunoscut:

=

0 xdaca 10; xdaca 00; xdaca 1

)xsgn(

ntr-adevr, pentru indicatorul de concordan avem:

c(Vi,Vj)==

+m

1ppjpip )1)UUsgn(sgn( =

>=

+

jpip UUm,...,1p

pjpip )1)UUsgn(sgn( +

=

=

+

jpip UUm,...,1p

pjpip )1)UUsgn(sgn( +

=

jpip UUm,...,1p

p)2sgn( + =

=

jpip UUm,...,1p

p)1sgn( +

=

jpip UUm,...,1p

p + =

=

jpip UUm,...,1p

p =

=

jpip UUm,...,1p

p ,

i,j= m,1 , iar pentru cel de discordan: d(Vi,Vj)= ( ))UU)(1)UUsgn(sgn(max jpipjpip

m,1p

=

=

( ) ( )

( ) =

=

)UU)(1)UUsgn(sgn(max

,)UU)(1)UUsgn(sgn(max,)UU)(1)UUsgn(sgn(maxmax

jpipjpipUU

m,1p

jpipjpipUU

m,1pjpipjpip

UUm,1p

jpip

jpipjpip



( ) ( ) ( ) =

=

)UU)(2sgn(max,)UU)(1sgn(max,)UU)(0sgn(maxmax jpipUU

m,1pjpip

UUm,1p

jpipUU

m,1pjpipjpipjpip

( )0),UUmaxmax( ipjpUU

m,1pjpip

Date post:	12-Nov-2015
Category:	Documents
Upload:	laura-mihailescu
View:	253 times
Download:	44 times

Proiecte Economice Si Jocuri de Intreprindere

Documents