În fiecare zi, Cofetaria Sweet face tarte. Ea produce tarte numai in loturi de 8 bucăţ i. Pentru simplificare, vom presupune că cererea zilnică este tot multiplu de 8. Datele din trecut arată că cererea variază de la 40 la 80 tarte pe zi. Fiecare tarta are costul de producţie de 4 unităţi monetare (u.m.) şi se vinde cu 6 u.m. Produsele rămase la sfârşitul zilei sunt vândute unei terţe societăţii la un preţ de recuperare de 2 u.m/buc. Dacă cererea depăşeşte oferta, se presupune că există o pierdere de profit de 1,5 u.m./bucată determinată de diverşi factori (concurenţa etc.). Din datele înregistrate în evidenţele cofetariei rezultă că cererea zilnică de tarte prin distribuţia discretă de probabilitate prezentată in tabelul 1. Tabelul 1 Ce re rea (l oturi/ zi) Pr obab il it at ea 5 0,10 6 0,15 7 0,25 8 0,30 9 0,15 10 0,05 Proprietarul Cofetariei Sweet a hotărât sa utilizeze simularea Monte Carlo pentru: A. Ob ţ inerea di str ibuţ iei de pr obabilitate a pr of itu lui total ca re se po at e real iza în tr- o lună calendaristică în cazul în care ar produce in fiecare zi 8 loturi de produse. B. Anali za rezulta telor car e se pot obţine pent ru difer ite varian te decizio nale de prod ucţie şi anume : 5, 6,7,8,9 sau 10 loturi pe zi.
În fiecare zi, Cofetaria Sweet face tarte. Ea produce tarte numai in loturi de 8 bucăţi. Pentrusimplificare, vom presupune că cererea zilnică este tot multiplu de 8. Datele din trecut arată că cerereavariază de la 40 la 80 tarte pe zi.
Fiecare tarta are costul de producţie de 4 unităţi monetare (u.m.) şi se vinde cu 6 u.m. Produselerămase la sfârşitul zilei sunt vândute unei terţe societăţii la un preţ de recuperare de 2 u.m/buc. Dacăcererea depăşeşte oferta, se presupune că există o pierdere de profit de 1,5 u.m./bucată determinată dediverşi factori (concurenţa etc.).
Din datele înregistrate în evidenţele cofetariei rezultă că cererea zilnică de tarte prin distribuţia discretăde probabilitate prezentată in tabelul 1.
Tabelul 1
Cererea (loturi/zi) Probabilitatea
5 0,10
6 0,15
7 0,25
8 0,30
9 0,15
10 0,05
Proprietarul Cofetariei Sweet a hotărât sa utilizeze simularea Monte Carlo pentru:
A. Obţinerea distribuţiei de probabilitate a profitului total care se poate realiza într-o lunăcalendaristică în cazul în care ar produce in fiecare zi 8 loturi de produse.
B. Analiza rezultatelor care se pot obţine pentru diferite variante decizionale de producţie şi anume:5, 6,7,8,9 sau 10 loturi pe zi.
1. Sistemul analizat este din categoria sistemelor de producţie cu cerere probabilistiă şi cu stoc pentruo singură perioadă.
Obiectivul sistemului este maximizarea profitului mediu lunar.
Pentru indicarea factorilor care influenţează profitul se poate folosi diagrama de influenţa din Figura 1care arată descompunerea factorilor până la nivelul la care se pot defini valorile variabilelor de intrarenecesare pentru determinarea profitului.
Figura 1
Profit
Venit total Cost total
Venit din Venit din Cost total Cost totalvanzări recuperare producţie penalizare
Pret unitar Preţ unitar Cantitatea Cererea Cost unitar Cost unitar de vânzare de recuperare produsă de producţie penalizare
Pentru simplificare în această diagramă au fost incluşi numai factorii care influenţează profitul înaintede plata taxelor.
La ultimul nivel al diagramei din Figura 1 se pot identifica urmatoarele date de intare:
Variabila decizională: cantitatea de tarte produse în fiecare zi. Valorile variabilei de decizie au foststabilite de decident : 5, 6 7, 8, 9 sau 10 loturi pe zi.
Variabila probabilisă independentă: cererea zilnică de tarte. Din cauza cererii probabiliste, profitulzilnic rezultat va fi asemenea o variabilă probabilistă.
Parametri consideraţi cerţi pentru perioada analizată: costul unitar de producţie, costul unitar de
penalizare, preţul unitar de vânzare şi preţul unitar de recuperare.
2. Construirea modelului pentru calcularea profitului zilnic şi profitului total realizat într-o lunăcalendaristică.
Pentru determinarea profitului care se poate obţine într-o zi, pe baza diagramei de influenţă se potdefini următoarele ecuaţii:
Venit din vânzări = ( MIN ( Cantitatea produsă, Cerere)) x Preţ unitar de vânzareVenit din recuperare = (MAX (0, ( Cantitatea produsă – Cerere ))) x Preţ unitar de recuperareCost total de producţie = Cantitatea produsă x Cost unitar de producţieCostul total de penalizare = ( MAX (0, ( Cerere – Cantitatea produsă))) x Costul unitar de penalizare
Cost total = Cost total de producţie + Cost total de penalizareVenit total = Venit din vânzări + Venit din recuperareProfit/zi = Venit total – Cost total
Profit/zi =( MIN(Cantitatea produsă, Cerere)) x Preţ unitar de vânzare + ( MAX (0, ( Cantitatea produsă – Cerere ))) x Preţ unitar de recuperare – Cantitatea produsă x Cost unitar de producţie – ( MAX(0, ( Cerere – Cantitatea produsă ))) x Cost unitar de penalizare.
Profitul total realizat într-o lună calendaristică va fi obţinut prin însumarea profitului zilnic realizat în30 de zile:
3. Modelul profitului conţine o singură variabilă probabilistă independentă şi anume cererea zilnică detarte. Această variabilă este descrisă de distribuţia discretă de probabilitate cu şase valori prezentată inTabelul 1.
4. Pentru generarea selecţiilor artificiale se va aplica procedura pentru distribuţii de probabilitatediscrete. Tabelul 2 prezintă funcţia F(x) de distribuţie cumulativă şi intervalele de numere aleatoareasociate fiecarei valori a cererii de brioşe exprimate în număr de loturi de câte 8 bucăţi.
Tabelul 2
Cererea(loturi/zi)
Probabilitatea
P( X = )
Funcţiadistribuţieicumulative
F( )= P(X≤ )
Intervalele
[F( ), F( )]
5 0.10 0.10 [0.00 0.10]
6 0.15 0.25 [0.10 0.25]
7 0.25 0.50 [0.25 0.50]
8 0.30 0.80 [0.50 0.80]
9 0.15 0.95 [0.80 0.95]
10 0.05 1.00 [0.95 1.00]
Pentru rezolvarea cerinţei (A) şi anume obţinerea distribuţiei de probabilitate a profitului total carese poate realiza într-o lună calendaristică în cazul în care cofetaria ar produce în fiecare zi 8 loturi de tarte,se deschide o nouă foaie de calcul în EXCEL şi se introduc datele şi formulele ca şi in Figura 2.
Determinarea distribuţiei de probabilitate a profitului
Simularea se poate realiza conform următoarei proceduri:
Pasul 1. Partea de sus conţine datele de intrare. În zona B5:B8 sunt introduse costurile şi preţurile pe bucată, iar în zona C5:C8 sunt calculate costurile şi preţurile pe lot de 8 bucaţi. În zona E9:E14 este
introdusă distribuţia de probabilitate a cererii. Acest mod de descriere a distribuţiei discrete de probabilitate este necesar pentru generarea în EXCEL a valorilor cererii zilnice. În celula B11 esteintrodusă valoarea variabilei de decizie referitoare la cantitatea de produse care se va produce într-o zi: 8loturi/zi.
În continuare, se va trece la introducerea funcţiilor pentru generarea cererii şi calcularea profituluizilnic. Fiecare zi va fi o simulare independentă, deoarece se presupune că cererea dintr-o zi nu esteinfluenţată de cererea din alte zile. Pentru a obţine profitul care poate fi realizat într-o lună oarecare se vor simula 30 de zile în care decizia este de a produce pe zi 8 loturi de câte 8 produse.
Pasul 2. În zona A21:A51 se vor introduce zilele de la 1 la 30 pentru care se face simularea. În acestscop se introduce numarul 1 în celula A21 şi se revine în celula A21. Apoi, din meniu de selectează Edit,
Fill, Series şi din casuţa dialog care apare se selectează Columns, Linear, se introduce numărul 30 în
dreptul lui Stop Value şi apoi se selectează OK.
Pasul 3. În celula B21 se introduce =RAND() pentru a genera un număr aleator uniform distribuit între0 şi 1 pentru primul experiment.
Pasul 4. În celula C21 se va genera cererea de tarte pentru ziua 1 pe baza numărului aleator generat încelula B21 şi a funcţiei de distribuţie cumulativă. În EXCEL, realizăm acest lucru cu funcţia VLOOKUP .
=VLOOKUP(B21,$F$9:$G$14,2)
Zona F9:G14 conţine limitele inferioare ale intervalelor [F( -1), F( )) asociate valorilor ale cererii
zilnice. Aceste intervale au fost calculate în Tabelul 2.Valoarea 2 introdusă în funcţia VLOOKUP arată că valorile care se generează (în acest caz cerereazilnică de loturi de produse) se găsesc în coloana a doua a zonei F9:G14.
Pe baza numărului aleator generat în celula B21 se va determina ce valoare a cererii va fi selectată.Deoarece în celula B21 s-a generat numărul aleator 0,968 care este mai mare decât 0,95, dar mai micdecât 1 se obţine cererea de 10 loturi pentru ziua 1. Pentru a vedea cum se modifică cererea pentru altenumere aleatoare se poate folosi tasta de recalculare F9.
Pasul 5. În celula D21 se determină venitul din vânzari cu formula:
=MIN(C21,$B$11)*$C$6
Deoarece cantitatea care poate fi vândută la preţul de 48 u.m./lot este egală cu minimul dintre cerereaşi oferta din ziua respectivă. Se poate verifica faptul că cererea generată în celula C21 este de 10 loturi,deci mai mare oferta de 8 loturi, astfel că venitul care poate fi realizat din vânzarile din ziua 1 este egal cu8*48=384u.m.
Pasul 6. Dacă oferta este mai mare decât cererea, produsele ramase se vând cu 16 u.m./lot, deciveniturile din recuperare se determină în celula E21 cu formula:
=MAX(0,($B$11-C21))*$C$7 În ziua 1, MAX(0, -2) = 0, deci veniturile din recuperări sunt de 0 u.m.
se determină costul total de producţie a cantităţii stabilite ca valoare a variabilei decizionale pentrufiecare zi. Pentru decizia de a produce 8 loturi/zi, costul total de producţie va fi de 8*32 = 256 u.m. pe zi.
Pasul 8 . În celula G21, cu formula:
=MAX(0,(C21-$B$11))*$C$8
se calculează pierderea posibilă de profit în cazul în care cererea este mai mare decât oferta.În ziua 1, MAX(0, 2) = 2, deci costul total de penalizare este de 2*12 = 24 u.m.
Pasul 9. În celula H21 se calculează profitul pentru ziua 1:
=D21+E21-F21-G21
Pasul 10. Se copiază celulele B21:H21 în zona B22:H50. Prin copiere, numerele aleatoare din celulecoloanei B se modifică, generând variabilitatea cererii din fiecare zi, astfel că se obţin 30 de simulariindependente.
Pasul 11 . Se calculează profitul total care poate fi obţinut într-o lună calendaristică de 30 zile prinintroducerea în celula H51 a formulei:
=SUM(H21:H50)
De fiecare dată, prin recalcularea foii de calcul se generează noi valori ale cererii zilnice şi sedetermină o nouă valoare a profitului total care se poate realiza într-o lună. Prin utilizarea tastei F9 rezultădiferite valori ale profitului total, dar pentru a descrie distribuţia de probabilitate a profitului total va fi
necesar sa se genereze un număr mare de valori (de exemplu 500) şi să se reţină aceste valori.În EXCEL, pentru a realiza automat simularea profitului total şi pentru a capta rezultatele în vedereaanalizei lor se va folosi comanda Data/Table.
Pasul 12. Se alege zona în care vor fi captate rezultatele celor 500 de execuţii ale modelului desimulare a profitului total lunar. În Figura 3 se observă că s-a ales zona A55:B555. Se introduce numărul1 în celula A56 şi se revine în celula A56. Apoi, din meniu de selectează Edit, Fill, Series şi din căsuţadialog care apare se selectează Columns, Linear, se introduce numărul 500 în dreptul lui Stop Value şiapoi se selectează OK.
Pasul 13. În celula B55 se introduce =H51, adică se creează legătura cu celula în care se determină prin simulare profitul total realizat într-o lună.
Pasul 14. Se selectează zona A55:B555 şi apoi din meniul EXCEL se alege Data, iar din submeniuTable. În căsuţa dialog care apare, se lasă necompletat câmpul alăturat lui Row Input Cell , se introduceC55 în câmpul alăturat lui Column Input Cell şi apoi se selectează OK .
Profitul total depinde de cererea zilnică generată de funcţia RAND() de tip „hot”, astfel că celula deintrare C55 trebuie să fie liberă deoarece profitul total se va recalcula automat ori de câte ori are loc omodificare a foii de calcul.
După realizarea Pasului 14, în zona B56:B555 se află 500 de valori posibile ale profitului total lunar.Dar toate aceste valori sunt de tip „hot” şi se vor recalcula după fiecare modificare a foii de calcul. Pentrutransformarea lor în valori fixe se va trece la Pasul 15.
Pasul 15. Se selectează zona B56:B555. Din meniu se selectează Edit şi apoi Copy. Se revine în meniuşi se selectează din nou Edit şi apoi Paste Special . În fereastra dialog care apare se marchează Values şiapoi OK. Acum se pot analiza rezultatele celor 500 de simulări.
Pasul 16. Analiza rezultatelor simulării cu EXCEL. Din meniu se selectează Tools şi apoi Data Analysis. Dacă nu apare aceasta opţiune se selectează Add-ins, iar din dialogul care apare se alege Analysis ToolPak . Din fereastra generată de Data Analysis se selectează Descriptive Statistics. În câmpulalăturat lui Input Range se va introduce $B$56:$B$555. În câmpul alăturat lui Output Range se vaintroduce adresa unei celule de unde începe o zonă liberă, de exemplu $E$56, iar dintre opţiuni se vaalege Summary statistics. După OK va apare un tabel de forma celui din Figura 3 care coţine media,eroarea standard, mediana, valoarea modală, deviaţia standard, dispersia, coeficientul de aplatizare adistribuţiei, coeficientul de asimetrie a distribuţiei, domeniul de variaţie, valoarea minimă, valoareamaximă, suma tuturor valorilor, numărul de valori analizate.
Figura 33016
1 3240 Profit/luna
2 2896
3 2692 Mean 2943,48
4 3028 Standard Error 7,503753182
5 3092 Median 2964
6 3184 Mode 29807 2864 Standard Deviation 167,789022
8 2880 Sample Variance 28153,15591
9 3028 Kurtosis -0,168397266
10 3060 Skewness -0,193639136
11 2860 Range 944
12 3124 Minimum 2460
13 2800 Maximum 3404
14 3004 Sum 1471740
15 2844 Count 500
16 2840
17 2884
18 2980
497 2700498 2908
499 3104
500 3032
Dacă oferta este de 8*8=64 produse pe zi, profitul mediu care poate fi realizat într-o lună este de2943,48 u.m., valoarea minimă a profitului este de 2460 u.m. iar valoarea maximă este de 3404 u.m.
Pasul 17. Reprezentarea grafică a distribuţiei profitului care poate fi realizat într-o lună. Din meniu seselecteaza Tools, Data Analysis şi apoi Histogram. În câmpul alăturat lui Input Range se va introduce$B$56:$B$555. În câmpul alăturat lui Output Range se va introduce adresa unei celule de unde începe o
zonă liberă, de exemplu $E$75, iar dintre opţiuni se vor alege Cumulative Percentage şi Chart Option.Se obţine un tabel de forma Tabelului 3 şi un grafic de forma celui din Figura 4.În coloana Bin a Tabelului 3 se află limitele superioare ale intervalelor egale în care a fost împarţit
Analiza rezultatelor diferitelor variante decizionale de producţie
Pentru rezolvarea cerinţei (B) de analiză a rezultatelor care se pot obţine pentru diferite variantedecizionale de producţie se va realiza o altă foaie de calcul de tipul celei prezentate în Figura 5.
Proprietarul Cofetariei Sweet doreşte să utilizeze simularea pentru a analiza rezultatele care se pot
obţine pentru diferite variante decizionale de producţie şi anume: 5, 6, 7, 8, 9 sau 10 loturi pe zi.Pentru a se compara rezultatele diferitelor variante, va fi necesar să se genereze aceeaşi cerere de tarte
pe zi, deci să se utilizeze acelaşi şir de numere aleatoare uniform distribuite în [0, 1].În acest scop, mai întâi se va obţine profitul total care poate fi obţinut într-o lună pentru fiecare
variantă şi apoi se va utiliza comanda Data/Table pentru a realiza un număr mare de experimente desimulare pentru obţinerea profitului mediu lunar corespunzător fiecărei variante de producţie.
Figura 5
Simularea vanzarilor de tarte (B)
parametrii u.m./bucatau.m./lot
Cost unitar de productie 4 32
Pret unitar de vanzare 6 48 Distributia cererii
Pret unitar de recuperare 2 16 Limita inf a functiei F(X) Cererea
Cost unitar de penalizare 1,5 12 Probabilitate de distributie cumulativa loturi/zi
0,10 0 5,00
Variabila de decizie 0,15 0,1 6,00
Cantitatea produsa Q: 5 loturi/zi 0,25 0,25 7,00
6 loturi/zi 0,30 0,5 8,00
7 loturi/zi 0,15 0,8 9,00
8 loturi/zi 0,05 0,95 10,00
9 loturi/zi
10 loturi/zi
Functia obiectivProfit/zi =Venit din vanzari +Venit din recuperare - Cost total de productie - Cost de penalizare
Profit/luna =Suma profitului zilnic realizat in 30 de zile
Simulare numar zile Nr aleator Cererea loturi/zi Profitul Net
Pe baza rezultatelor, decidentul va alege varianta care ar putea conduce la cel mai bun profit mediulunar.
În Tabelul 4 sunt prezentate formulele utilizate pentru simularea cu EXCEL.
Tabelul 4
CELULA FORMULA COPIERE IN
B22 =RAND() B23:B51
C22 =VLOOKUP(B21,$F$9:$G$14,2) C23:C51
D22 =MIN(C22,$B$11)*$C$6+MAX(0;D23:D51
E22 =MIN(C22,$B$12)*$C$6+MAX(0;E23:E51
F22 =MIN(C22,$B$13)*$C$6+MAX(0;F23:F51
G22 =MIN(C22;$B$14)*$C$6+MAX(0;G23:G51
H22 =MIN(C22;$B$15)*$C$6+MAX(0;H23:H51
I22 =MIN(C22;$B$16)*$C$6+MAX(0;I23:I51
D52 =SUM(D22:D51)
E52 =SUM(E22:E51)
F22 =SUM(F22:F51)
G22 =SUM(G22:G51)
H22 =SUM(H22:H51)
I22 =SUM(I22:I51)
Pentru simularea automată cu Data/Table se va proceda astfel:
1. Se alege zona pentru realizarea a 500 de execuţii ale modelului de simulare a profitului total lunar pentru cele şase variante. În Figura 6 se observă că s-a ales zona C58:I558. Se introduce numărul 1 încelula C59 şi se revine în celula C59. Apoi, din meniu de selectează Edit, Fill, Series şi din casuţa dialogcare apare se selectează Columns, Linear, se introduce numărul 500 în dreptul lui Stop Value şi apoi seselectează OK .
2. În celulele D58, E58, F58, G58, H58, I58 se introduce =D52, =E52, =F52, =G52, =H52 şirespectiv =I52, adică se creează legatura cu celulele în care se determină prin simulare profitul totalrealizat într-o lună pentru cele şase variante de producţie.
3. Se selectează zona C58:I558 şi apoi din meniul EXCEL se alege Data, iar din submeniu Table. Încasuţa dialog care apare, se lasă necompletat câmpul alăturat lui Row Input Cell , se introduce B54 încâmpul alăturat lui Column Input Cell şi apoi se selectează OK .
Profitul total depinde de cererea zilnică generată de funcţia RAND()de tip „hot”, astfel că celula deintrare B54 trebuie să fie liberă deoarece profitul total se va recalcula automat ori de câte ori are loc omodificare a foii de calcul.
4. În celulele D559, E559, F559, G559, H559, I559 se calculează media profitului lunar pentru fiecarevariantă. Se observă că cel mai mare profit mediu lunar se realizează în cazul variantei de producţie Q=9loturi pe zi, urmată de varianta de producţie Q=8 loturi pe zi (Figura 7).
![Conservarea Prin Frig C4 [Repaired]](https://static.documente.net/doc/80x56/55cf8de6550346703b8c7119/conservarea-prin-frig-c4-repaired.jpg)
