Un prim pas în analiza oricărei serii de timp este de a privi graficul valorilor observate în raport cu timpul. Figura 1 prezintă graficele seriilor PIB, VPD, CCP, Profituri şi Dividende.
Figura 1. Graficele seriilor de timp PIB, VPD, CCP, Profituri şi Dividende.Prima impresie pe care o obtinem din graficele seriilor este aceea că ele au o tendintă crescătoare, deşi trendul nu este neted, mai ales în cazul seriei Profiturilor. Se observă că media, varianta şi autocovariantele fiecărei serii nu par a fi invariante în raport cu timpul. Aceste serii sunt serii de timp nestationare.
2. Testarea stationaritătii seriei de timp, pe baza corelogrameiUn test simplu al stationaritătii seriei este bazat pe functia de autocorelatie (ACF).Graficul functiei de autocorelatie în raport cu decalajul k, se numeşte corelogramă.În figura ? avem corelograma seriei cu date trimestriale privind PIB-ul , realizată în EViews.Cum interpretăm corelograma? Observăm că începe cu valori foarte mari (0,969 la lagul 1) şi scade treptat. Chiar la lagul 14, coeficientul de autocorelatie are o valoare destul de mare ( 0,5). Acest tip de corelogramă reprezintă un indiciu că seria este nestationară. Deci, pentru serii
nestationare coeficientii de autocorelatie scad foarte încet. Prin contrast, dacă un proces stochastic este pur aleator, autocorelatia la orice lag k 0 , va fi zero.
Semnificatia statistică a oricărui coeficient de autocorelatie de selectie rk
ˆ k
ˆk
ˆ0
poate fi
apreciată prin eroarea sa standard. Bartlett a arătat că, dacă o serie de timp este pur aleatoare, coeficientii de autocorelatie de selectie sunt aproximativ normal distribuiti, cu media 0 şi varianta1/ n , unde n este volumul selectiei.
ˆ k
~ N (0,1/ n) .
Putem determina un interval de încredere 95% în care se află k .
k (1,96 * se(ˆ k );1,96 * se(ˆ k )) , deci
k (1,96 *1/ n ; 1,96 *1/
n ) .
În exemplul dat, deoarece n=88, varianta lui ˆ k
este 1/88, iar eroarea standard este
1/ 88 0,1066 . Conform proprietătilor distributiei normale standard, intervalul de încredere 95%pentru orice k va fi 1,96(0,1066) 0,2089 . Astfel, dacă un
k
estimat se află în intervalul
(0,2089;0,2089) , nu respingem ipoteza că k real este zero. Dacă k estimat se află în afaraintervalului (0,2089;0,2089) , atunci putem respinge ipoteza că k real este zero. Intervalul deîncredere 95% este marcat prin două linii punctate. În corelogramă se observă că toti coeficientiiˆ k
până la lagul 23 sunt semnificativi statistic, adică sunt statistic diferiti de 0.
Pentru a testa ipoteza că toti coeficientii de autocorelatie sunt simultan nuli, se foloseşte statistica Ljung-Box:
k
n k
mQ LB nn 2 ˆ 2
~ 2 . m
k 1
H 0 :toti k
0
(seria este stationară)
H1 :exista k 0 (seria este nestationară)În selectiile de volum mic, statistica LB s-a dovedit a avea proprietăti mai bune decât statistica Box-Pierce.Pentru seria de date PIB, statistica Q bazată pe 25 de laguri are valoarea 891, deci estesemnificativ diferită de 0; probabilirarea de a obtine o astfel de valoare 2 este zero. Concluziaeste că nu toti coeficientii k sunt zero. Deci concluzia finală, bazată pe corelogramă, este că seriade timp PIB este nestationară.
3. Testul pentru stationaritate sau pentru o rădăcină egală cu 1yt yt 1
t
Dacă 1, spunem că variabila
yt are o rădăcină unitară.
yt ( 1) yt 1 t
yt 1 t
Ipoteza de rădăcină unitară-Unit RootH 0 : seria are rădăcină unitară şi este nestationarăH1 : seria este stationară
Testul Dickey-Fuller(Unit Root Test)Dacă 1 sau 0 , atunci seria nu este stationară.
Dacă1, atunci seria este stationară
DF ˆ
se(ˆ) . Dacă |
calc| | crt | respingem H 0 şi acceptăm că seria este stationară.
Dacă | calc || crt | acceptăm că seria este nestationară. Dickey şi Fuller au propus trei ecuatii de regresie diferitei) yt yt 1 t
ii) yt yt 1 t
iii) yt yt 1 t t
Dacă 0 , seria contine o rădăcină egală cu 1.Pentru a permite posibilitatea de a exista o corelatie serială în t folosim testul ADF. Testul ADFinclude termeni AR(p) ai termenului yt în cele trei modele alternative. Dacă termenul eroare este
p
autocorelat, ultimul din cele trei modele va fi: yt yt 1 t i yt i t .i1
În cazul când avem interceptie dar nu avem trend obtinem:
t = (1,2143) (-0,5472) (3,0888)R2=0,1047 DW=d=2,0405
Pentru scopul nostru este importantă statistica t ( =tau) a variabilei PIBt-1. Ipoteza nulă este că 0 , echivalent cu
1, sau există o rădăcină unitară. Pentru modelul nostru, valorile critice
sunt -3,508326, -2,895512 şi -2,584952, corespunzătoare nivelurilor de semnificatie de 1%, 5% şi 10%. Valoarea calculată pentru statistica este -0,547205, care în valoare absolută este mai mică decât valorile critice. Nu putem respinge ipoteza nulă, că există o rădăcină unitară, deci seria PIB este nestationară.În cazul când avem interceptie şi trend obtinem următoarele rezultate (figura ):PˆIB 234,9729 1,892199 t 0,078661PIBt 1 0,355794 PIBt 1
t = (2,383391) (2,152260) (-2,215287) (3,464708) R2=0,152615 DW=d=2,085875
Pentru scopul nostru este importantă statistica t ( =tau) a variabilei PIBt-1. Ipoteza nulă este că 0 , echivalent cu
1, sau există o rădăcină unitară. Pentru modelul nostru, valorile critice
sunt -4,06829, -3,462912 şi -3,157836, corespunzătoare nivelurilor de semnificatie de 1%, 5% şi 10%. Valoarea calculată pentru statistica este -2,215287, care în valoare absolută este mai mică decât valorile critice. Nu putem respinge ipoteza nulă, că există o rădăcină unitară, deci seria PIB este nestationară.
4. Seria de timp PIB devine serie stationară după aplicarea operatorului de diferentierePentru a aplica operatorul de diferentiere, în EViews scriem: series DPIB=D(PIB)Pentru seria transformată realizăm graficul şi comparăm graficul seriei PIB cu cel al seriei DPIB. Seria diferentiată, DPIB nu mai prezintă trend.
t
t
Am aplicat testul ADF seriei diferentiate şi am obtinut următoarele rezultate:DPˆIB
16,00498 0,682762 DPIBt 1
t = (3,640211) (-6,630339) R2=0,343552 DW=d=2,034425
Pentru modelul nostru, valoarea calculată pentru statistica este -6,630339, care în valoare absolută este mai mare decât valorile critice. Respingem ipoteza nulă, că există o rădăcină unitară, deci seria diferentiată, DPIB, este o serie stationară.
5. Serii nestationare de tip DS (Difference-Stationarity) şi de tip TS (Trend-Stationarity).Datele de tip serii cronologice, de foarte multe ori, tind să se modifice în aceeaşi directie, din cauza trendului care este comun tuturor.Cum putem şti dacă trendul dintr-o serie precum PIB este determinist sau stochastic?Dacă o serie de timp are o rădăcină unitară, atunci seria prezintă un trend stochastic şi este de tip DS. Trendul de tip stochastic şi se elimină prin calculul diferentelor de ordinul 1 sau de ordin 2 .yt yt yt 1 , 2 y (
yt
yt 1 ) yt
y
t 1 ) ( yt
yt 1 ) ( y t 1 yt 2 ) yt
2 y
t 1 yt 2 .
O variabilă cu trend determinist poate deveni stationară introducând variabila timp în orice regresie a sa, sau efectuând o regresie preliminară în raport cu timpul şi scăzând trendul estimat din valorile variabilei.Care este semnificatia practică a celor două tipuri de procese? Din punctul de vedere al prognozelor, predictiile pe termen lung, efectuate din procese TS sunt mai de încredere, comparativ cu cele efectuate prin procese DS. Prezenta unui trend stochastic arată că fluctuatiile
din acea serie de timp sunt rezultatul unor şocuri asupra componentei de trend. Şocurile sau perturbatiile aplicate seriilor de tip DS vor afecta permanent nivelul acestora.6. Regresii îndoielnice sau aparenteNe propunem să regresăm Cheltuielile de Consum Personal (CCP) în raport cu Venitul Personal Disponibil (VPD), pentru a determina legătura dintre cele două variabile. Am obtinut următoarele rezultate:
Avem R2 = 0,994, deci foarte aproape de 1, iar înclinatia marginală spre consum este pozitivă şi panta este semnificativă. Singura problemă o ridică statistica D-W.Dacă R2>DW, există suspiciunea că regresia este îndoielnică.Dacă efectuăm testul Dickey-Fuller pentru fiecare din cele două serii (CCP şi VPD) găsim că fiecare are o rădăcină unitară, adică sunt serii nestationare.Diferentiem aceste două serii şi obtinem seriile stationare CCP şi VPD.Deoarece seriile CCP şi VPD sunt stationare, este bine să regresăm CCP în raport cu VPD? Răspunsul este NU!, deoarece, luând diferentele de ordinul întâi ale seriilor, putem pierde relatia pe termen lung dintre variabile, relatie care este dată prin nivelurile variabilelor.O teorie economică este stabilită ca o relatie pe termen lung între variabilele date sub formă de niveluri şi nu sub formă de diferente de ordinul întâi. Şi în acest caz particular, nivelul consumului este o functie de nivelul venitului; relatia nu este enuntată în termeni de diferente de ordinul 1 ale acestor variabile.Din graficele celor două serii se vede că, deşi au o tendintă crescătoare stochastică, totuşi, cele două serii par a se modifica împreună, în acelaşi ritm, fiind pe aceeaşi lungime de undă. Cele două serii sunt serii cointegrate.Combinatia liniară a celor două serii CCP şi VPD ar putea fi stationară. Putem scrie modelul:t CCPt 1 2VPDt .Găsim că t ~ I (0) sau stationar.
t
În concluzie, dacă reziduurile, dintr-o regresie cu date serii de timp, reprezintă o serie I(0), adică stationară, metodologia de regresie clasică, ce include testele t şi F, este valabilă şi aplicabilă şi datelor de tip serii cronologice. O asfel de regresie se numeşte regresie de cointegrare, iarparametrul 2 este numit parametru de cointegrare.Pentru a testa cointegrarea putem folosi două metode:1) aplicăm unul din testele DF sau ADF seriei reziduurilor estimate din regresia de cointegrare.2) testul Durbin-Watson din regresia de cointegrare (CRDW).Numim Serii cointegrate seriile integrate de acelaşi ordin, ce admit o combinatie liniară care este I(0) sau integrată de un ordin mai mic decât ordinul de integrare al seriilor initiale.Estimarea unui model de regresie cu serii cronologice nestationare, prin MCMMP, duce la valori foarte mari atât ale coeficientului de determinatie, cât şi ale statisticilor t, chiar dacă nu există nici o relatie între variabile. Granger şi Newbold au sugerat următoarea regulă de a stabili regresiileîndoielnice: dacă R 2
DWsau R 2 1, atunci regresia este una îndoielnică (spurious regression).
Revenim la modelul CCPt
1 2VPDt t . Estimatiile modelului sunt în ultimul tabel
EViews. Aplicăm reziduurilor obtinute din această regresie testul DF de rădăcină unitară. Am obtinut rezultatele următoare:
2
ˆt 0,2753ˆt
1
R 0,142205
t = (-3,7791)Deoarece valoarea absolută a statisticii este 3,7791 şi este mai mare decât valorile critice (- 2,5918, -1,9446 şi -1,6143, corespunzătoare nivelurilor de semnificatie de 1%, 5% şi 10%), concluzia ar fi că seria reziduurilor este stationară, adică nu există rădăcină unitară. Rezultă că seriile CCP şi VPD sunt cointegrate.
7. Cointegrarea şi mecanismul de corectare utilizând erorileAm arătat că seriile CCP şi VPD sunt cointegrate, adică există o relatie de echilibru pe termen lung între ele. Desigur că, pe termen scurt ar putea exista dezechilibru. Se poate trata termenul eroaret CCPt 1 2VPDt ca „eroarea de echilibru”. Se poate folosi acest termen eroare pentru apune în legătură comportamentul pe termen scurt al lui CCP cu valoarea lui pe termen lung. Folosim modelulCCPt 0 1VPDt 2ˆt 1 t .ˆt 1
este estimatia empirică a termenului eroare de echilibru. Această ultimă regresie leagă
modificarea din CCP de modificarea din VPD şi eroarea de echilibru din perioada anterioară. Înaceastă regresie VPD captează perturbatiile pe termen lung din VPD, iar termenul ˆt 1 capteazăajustarea către echilibrul pe termen lung. Dacă 2 este semnificativ statistic, el arată ce proportie a dezechilibrului din CCP într-o perioadă, este corectată în perioada următoare.
CCˆP
11,69183 0,2906VPDt 0,0867ˆt 1
t = (5,324936) (4,171715) (-1,600311) R2=0,171727, DW=d=1,923381
Aceste rezultate arată că modificările pe termen scurt din VPD au efect pozitiv semnificativ asupra CCP şi că 0,0867 din discrepanta dintre valoarea actuală şi cea de echilibru, sau pe termen lung, a lui CCP este eliminată sau corectată pe fiecare trimestru.Dar, pentru că p-value pentru coeficientul 2 este 0,1133, acest coeficient nu este semnificativ.Dacă privim regresia de cointegrare, înclinatia marginală spre consum era 0,96725, care sugerează
că există practic o relatie unu la unu între CCP şi VPD şi că CCP se ajustează la creşterea pe termen lung destul de rapid, urmând o perturbatie.
Procedee de stationarizareCum inducem stationaritatea în medie?-Prin diferente de ordinul 1 sau 2.-Prin diferentiere sezonieră. De exemplu dacă ACF la lagul 12 tinde foarte greu la 0, avem o sezonalitate de ordinul 12 şi vom calcula diferente de ordinul 12: Yt – Yt-12Cum inducem stationaritatea în dispersie?-Dacă dispersia seriei initiale nu este constantă, atunci seria se logaritmează.-Dacă şi după logaritmare există un trend în date, se iau diferente de ordinul 1. Atentie: NU se logaritmează după ce s-au efectuat diferente de ordinul 1.
