Probleme de geometrie metrica

7/31/2019 Probleme de geometrie metrica

1/23


2/23

19295* - G.M. 7/1982

Fie [ ] AD n l imea triunghiului dreptunghicl

( )( )90 ABC m A = , iar E i F proiec iilepunctului D pe catetele [ ] AB , respectiv [ ] AC . Notnd BE u= i CF v= , s se

demonstreze c lungimea ipotenuzei este dat de formula

32 2 23 3 BC u v

= +

.

Gh. Szllsy, profesor, Sighetu Marma iei

Solu ie.

Se aplic succesiv teorema catetei (nota iile fiind cele cunoscute ntr-un triunghi):

- n triunghiul ABC :2 2 AB c

BD BC a

= = ,2b

CDa

=

- n triunghiurile ADB i ADC :4

2 32

2

c BD cau BE AB c a

= = = = ;

4

2 32

2

bCD bav CF AC b a

= = = =

Se calculeaz acum expresia

3 33 3

2 22 2 22 2 22 23 3 3

4 4 4

3 3 3

c b au v a a BC

a a a

+ = + = = = = , ceea

ce ncheie rezolvarea.


3/23

26539 G.M.B. 12/2011

Se consider un triunghi ABC dreptunghic n A i punctul D BC astfel nct AD BC .Cercul de diametru

[ ] AD intersecteaz laturile AB i AC n E , respectiv F . Fie G punctul de

intersec ie al segmentelor [ ] AD i [ ] EF . S se arate c dac 2 AG AE AF = , atunci2 4 BC AB AC = .

Lucian Dragomir, O elu Ro u

Solu ie.

Folosim notaiile standard , , BC a AB c AC b= = = .

Teorema catetei n ABC se scrie2 2

2 AB c AB BC BD BD BC a

= = = .

Deoarece BC AD , BC este tangent la cercul de diametru[ ] AD .

Puterea lui B fa de cercul de diametru[ ] AD se scrie2 3

2

2

BD c BD BE AB BE

AB a= = =

Calcul m ( )2 23 2

2 2 2

c a cc cb AE AB BE c

a a a

= = = = . n mod analog, obinem

2

2

bc AF

a= .

ntruct [ ] AD este diametru n cerc, unghiurilen

AED in

AFD sunt drepte, deci patrulaterul AEDF este dreptunghi. Diagonalele[ ] AD i [ ] EF ale acestuia se intersecteaz n mijloculcomun G , punct care este centrul cercului( ) AEDF

A adar1

2 2

bc AG AD

a= = ; egalitatea din ipotez 2 AG AE AF = se scrie

2 2 3 3

2 44

b c b c

a a=

2 4a bc = , sau 2 4 BC AB AC = , q.e.d.


4/23

E:14305 G.M.B. 2/2012

Fie triunghiul ABC dreptunghic n (, A BX bisectoarea unghiuluin

ABC i CD BX ,

( D BX . Demonstrai c 2 2 BD CD AB BC = .Ion Safta, Pite ti

Solu ie.

Teorema bisectoarei n ABC se scrieCX BC a

AX AB c= = . Cu ajutorul proporiilor derivate,

calcul m ,CX a ab bc

CX AX AC a c a c a c

= = =+ + +

Triunghiurile dreptunghiceCDX i BAX sunt asemenea, avnd unghiurile ascuite din X

opuse la vrf. Rezult 2 2 2

2 2 2 2

CD CX CD CX CX

AB BX AB BX AB AX = = =

+(am folosit teorema lui

Pitagora n BAX pentru a exprima pe 2 BX ). Deducem c 2 2

2

2 2

AB CX CD

AB AX

=+

Din triunghiul dreptunghic BDC , avem 2 2 2 2 2 2 22 BD BC CD BD CD BC CD= = = 2 2

2

2 2

2 AB CX BC

AB AX

= +

nlocuimCX i AX cu expresiile stabilite mai susi obinem :

( )

( )

( )

( )( )

2 2 2 2 22

2 2 2 22 2 2 2 2

2 2 2222

22

2

22

2

1

a b a b cc

a c a c a b BD CD a a a

b c b a cbc ca c a c

+ + = = = =

+ ++

+ + +

( )( )

( )

2 22 2 2 2

2 2 22 2 2 2 22 2

2 212

a c bb a c ac ba a a

b a c acb a c b a c

+ + + = = = + + ++ + + +

La num r torul fraciei obinute, nlocuim 2 2 2a b c = , iar la numitor scriem 2 2 2b c a+ = ,conform teoremei lui Pitagora n ABC . Scopul este s elimin m pe 2b . Rezult :

( )( )

22 2 2 2 2

2

22 2

2 2 2

c c ac ac c BD CD a a a ac BC AB

a ac a a c a

++ = = = = =

+ +, q.e.d.


5/23

21012* - G.M. 2/1987

Fie n l imea AH dus n triunghiul , ABC H BC . Cercurile cu centrele n B i C i de raze BH , respectiv CH , intersecteaz dreptele AB , respectiv AC n M , respectiv N . S searate c :

2

2

AM AC AN

AN AB AM

=

.

Laura Constantinescu, profesoar , Sibiu

Solu ie.

Presupunem c triunghiul ABC are unghiurilel

B il

C ascu ite. Ra ionamentul este ns similarcnd unul dintre aceste unghiuri este obtuz.n triunghiurile dreptunghice AHB i AHC au loc inegalit ile :

( ) BH AB BM AB M AB< < ( )CH AC CN AC N AC < <

Rezult AM AB BM AB BH = = i AN AC CN AC CH = = . Se scrie teorema luiPitagora n triunghiurile AHB i AHC :

( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 AH AB BH AC CH AB BH AB BH AC CH AC CH = = + = + ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 AB BH AB AB BH AC CH AC AC CH =

( ) ( )2

2 22

AM AC AN AM AB AM AN AC AN

AN AB AM

= =

Studiem separat cazul n care unul dintre unghiurilel

B il

C (de exemplu, unghiull

B ) estedrept. n acest caz, H B M AM AB= = = .n triunghiul ABC are loc inegalitatea ( )CH BC AC CN CH AC N AC = < = < . Se

calculeaz AN AC CN AC CH AC BC = = = .

Teorema lui Pitagora n triunghiul ABC se scrie 2 2 2 AB AC BC AB AB= = ( )( ) ( ) ( )( )2 2 AC BC AC BC AM AB AB AN AC AC BC = + =

( ) ( )2

2 22

AM AC AN AM AB AM AN AC AN

AN AB AM

= =

Rela ia se verific deci i n acest caz.


6/23


7/23

22496* G.M.10/1991

Se consider un dreptunghi ABCD avnd laturile de lungimi ,a b . Dac ( ), M AB N

( ) ( ) ( ), , BC P CD Q DA astfel nct2 2 2 2 2 2

MN NP PQ QM a b+ + + = + , atunci MNPQ este romb.

Marian Ionescu, profesor, Motru

Solu ie.

Fie , , , , , , AM x BN y CP z DQ t MB a x CN b y DP a z AQ b t = = = = = = = = .Cu teorema lui Pitagora n triunghiurile dreptunghice formate, calculm suma :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 MN NP PQ QM MB BN CN CP DP DQ AQ AM + + + = + + + + + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 1 x a x y b y z a z t b t = + + + + + + + Consider m trinomul de gradul al doilea :

[ ] ( ) ( )22 2 21 1: 0, , 2 2 f a f x x a x x ax a = + = +\ . Acesta are pentru 12ma

x =

valoarea minim ( )2

1 1

2m

a f x = .

n mod analog, trinomul [ ] ( ) ( )22 2 22 2: 0, , 2 2 f b f x x b x x bx b = + = +\ are un minim

egal cu ( )2

2 22m

b f x = pentru 2

2mb

x = .

Observ m c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 22 2m m MN NP PQ QM f x f y f z f t f x f x+ + + = + + + + =

2 22 22

2

a ba b

+= = +

Egalitatea are loc cnd2

a x z= = i

2

b y t = = . n acest caz, punctele , , , M N P Q sunt

mijloacele laturilor dreptunghiului ABCD ; patrulaterul MNPQ este paralelogram, dar

2 2

AC BD MN NP= = = , deci MNPQ este romb, q.e.d.


8/23

E:10343 G.M. 10/1991

S se arate c dac 1 1 1, , AA BB CC sunt n l imile triunghiului ascuitunghic ABC , atunci:2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 AA BB CC BA A C CB AB AC C B+ + > + + .Eugenia Besoiu i Ioan Besoiu, profesori, Sebe

Solu ie.

ntruct triunghiul ABC este ascu itunghic, ( )1 1 1 A BC BA CA BC a + = = . Teorema luiPitagora n triunghiurile dreptunghice 1 AA B i 1 AA C se scrie :

( )

( )( )

2 2 21 1

2 2 21 1

2 22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1

AA BA c

AA CA b

c b BA CA c b BA CA BA CA c b BA CA

a

- + =

+ =

= + = =

Se scrie un sistem de ecua ii cu necunoscutele 1 1, BA CA :2 2

1 1

1 1

c b BA CA

a

BA CA a

-

= + =

Rezolv m sistemul i obinem2 2 2 2 2 2

1 1,2 2

a b c a b c BA CA

a a

+ + = =

Scriem inegalitatea2 2 2

2 2 2 2 2 2 21 2

2

a b c BC BA a a a b c b a c

a

+> > > + + > .

Analog se arat c 2 2 2b c a+ > i 2 2 2a c b+ >

Se calculeaz produsul( )

24 2 2

1 1 2

4

a b c BA CA

a

= i cu teorema lui Pitagora n 1 AA B ,

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 21 1 2 2

4

4 4

a b c a c a b c AA c BA c

a a

+ += = =

ncerc m s demonstr m inegalitatea 21 1 1 AA BA CA> ; aceasta revine la :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4a c a b c a b c a c a a b c b c + > > +

( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4a c a a b c b c a b c b c a c a > + + + + > ( )2 2 2 22 2a c b a> +


9/23

Dup simplificarea cu 2a , aceast ultim inegalitate revine la 2 2 2 2 24 2 2c a c b a > +

2 2 2 2 2 22 2 2c b a c b a+ > + > , inegalitate justificatanterior.

La fel, avem i2 2

1 1 1 1 1 1, BB CB AB CC AC BC > > . Prin nsumarea acestor trei inegaliti seob ine inegalitatea de demonstrat.

Solu ie alternativ .

Fie D mijlocul lui( ) BC . ntruct 2 2 2b c a+ > , avem( )2 2 2 2 222

4 4 4

b c a a a AD

+ > >

2

a AD > .

Presupunem, f r a restrnge generalitatea, c b c .

Se calculeaz 2 2 2 2 2

1 12 2 2a a b c b c DA BD BA

a a

+ = = = . Deoarece 2 2 2b a c< + , rezult

2 22 2 2

12 2 2

b c a ab c a DA

a

< < < . Cercul de centru D i de raz

2

ataie pe ( )1 AA ntr-

un punct P . Triunghiul BPC este dreptunghic n P , deci conform teoremei nl imii avem2 2

1 1 1 1 BA CA A P AA = <


10/23

17524* - G.M. 12/1978

n interiorul unui cerc de centruO i raz R se ia un punct P , prin care se duc dou coarde

perpendiculare [ ] AB

i [ ]CD

. S se arate c dac ( )2 22 2 AB CD R OP

, atunci AB CD= .

Marcel Chiri , profesor, Bucure ti

Solu ie.

Se duc ,OM AB ON CD . Punctele M i N sunt mijloacele coardelor[ ] AB i [ ]CD ,iar patrulaterulOMPN este dreptunghi. Teorema lui Pitagora n triunghiurileOMB i OND sescrie :

22 2 2 2

4

ABOM OB MB R= =

;

22 2 2 2

4

CDON OD ND R= =

Aceea i teorem n triunghiul MON d 2 2

2 2 2 224

AB CD MN OM ON R

+= + = ; dar

OP MN = , deci2 2

2 224

AB CD R OP

+ =

Inegalitatea din enun devine ( )2 2

20

2

AB CD AB CD AB CD

+ . Deducem imediat

c AB CD= , q.e.d.


11/23

22441* - G.M. 8/1991

Fie D un punct oarecare pe latura ( ) BC a triunghiului ABC i O centrul cercului circumscris,

de raz R . S se arate c 2 2 2

4 4 BC OD R+ Laura Constantinescu, profesoar , Sibiu

Solu ie.

Fie ,1 1 1

BD BD k ak BD ak BD DC

DC BC k k k k = = = = =

+ + +

Se scrie rela ia lui Stewart n triunghiul BOC pentru ceviana [ ]OD :

( )( )

32 2 2 2 2

21

a k OB CD OC BD OD BC BD CD BC R CD BD OD a

k + = + + = +

+

Se mparte cu a BC = rela ia ob inut :

( )2 2 2

21

k OD R a

k =

+

Calcul m expresia( ) ( )

2 2 2 2 2 2 22 2

4 44 4 4 1

1 1

k k BC OD a R a R a

k k

+ = + = + = + +

( )( )

2

2 2 22

14 4

1

k R a R

k

= +

+(fiind evident c

( )( )

2

22

10

1

k a

k

+).

Cazul de egalitate corespunde valorii 1k = , adic pozi iei lui D la mijlocul laturii ( ) BC .


12/23

14005 G.M.B. 4/1974

S se arate c ntr-un trapez ABCD , neisoscel, cu AB CD& , exist rela iile:

a)2 2

2 2

AC BD AB CD

AD BC AB CD

+=

;

b) 2 2 2 2 2 AC BD AD BC AB CD+ = + + .Dorin Andrica, elev, Deva

Solu ie. a) Se proiecteaz vrfurileC i D ale bazei mici pe baza mare AB n E , respectiv F .Fie h CE DF = = distan a dintre bazele trapezului. n func ie de ordonarea punctelor

, , , A B E F pe dreapta AB apar mai multe cazuri. Vom efectua demonstra ia n dou dintreacestea.

Scriem teorema lui Pitagora n triunghiurile dreptunghice , , AEC BEC AFD i BFD :

( )( )( )( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

2

3

4

AC h AE

BC h BE

AD h AF

BD h BF

= +

= +

= +

= +

Din rela ia ( )1 se scade ( )4 , iar din ( )3 se scade ( )2 , efectund apoi raportul:( )( )( )( )

( )2 2 2 2

2 2 2 25

AE BF AE BF AC BD AE BF

AD BC AF BE AF BE AF BE

+ = =

+

i) Dac ( ), E F AB , ca n figura 1, atunci AE AF EF = + i BF BE EF = + , deci AE BF AF BE = .

Pe de alt parte, AE BF AF EF BE EF AB EF AB CD+ = + + + = + = + i AF BE AB EF AB CD+ = = . Rela ia ( )5 devine:

( )( )( )( )

2 2

2 2

AE BF AE BF AC BD AB CD

AD BC AF BE AF BE AB CD

+ += =

+


13/23

ii) Fie ( ) ( ), , E A BF E AF , ca n figura 2. n acest caz, avem: AE BF AE AB AE EF AB CD = = AF BE AE EF AB AE CD AB = + =

2 AE BF AE AB AE EF AE AB CD+ = + + + = + + 2 AF BE AE EF AB AE AE AB CD+ = + + + = + +

n rela ia ( )5 , factorul care se simplificeste ( )2 AE AB CD+ + i r mne:( )( )( )( )

( )2 22 2

AE BF AE BF AB CD AC BD AB CD

AD BC AF BE AF BE CD AB AB CD

+ + += = =

+

b) Efectu m i aici demonstra ia pe cele dou cazuri distincte analizate la punctul a). Scriemteorema lui Pitagora generalizat n triunghiurile ABC i ABD pentru a exprima 2 AC ,respectiv 2 BD .

i)2 2 2

2 2 2

2

2

AC BC AB AB BE

BD AD AB AB AF

= +

= +

Adun m cele dou rela iii ob inem: ( )2 2 2 2 2 AC BD AD BC AB AB BE AF + = + + , dar AB BE AF EF CD = = ,deci:

2 2 2 2 2 AC BD AD BC AB CD+ = + +

ii)2 2 2

2 2 2

2

2

AC BC AB AB BE

BD AD AB AB AF

= +

= + +

Prin adunarea acestor egalit i, rezult :( )2 2 2 2 2 AC BD AD BC AB AB BE AF + = + + + . ns n acest caz avem:

AB BE AF BF BE EF CD + = = = , de unde ob inem imediat:2 2 2 2 2 AC BD AD BC AB CD+ = + + , q.e.d.

Observa ie. Cerina punctului b) apare i n problemele9308 din G.M.B. 12/1968 (autor IonApolozan, Medgidia)i 11422 din G.M.B. 9/1971 (autor Nicolae Pun, Rm. Vlcea)


14/23

21010 G.M. 2/1987

Fie un triunghi isoscel [ ] [ ]( ) ABC AB AC astfel nct 2 BC AB> i punctele , M N

situate pe latura [ ] BC . S se arate c :n

( ) 2 2 290m MAN AB AC MN BM MC BN NC = + = + Ion Safta, profesor, Pite ti

Solu ie.

Fie D mijlocul laturii[ ] BC ; avem AD BC . Rela ia 2 BC AB> este echivalent cu2 2

2 2 224 2

BC AB BC AB BD> = > . Din teorema lui Pitagora n triunghiul ADB ,

2 2 2 AD AB BD= , rezult c 2 2

2 2 2

2 2

AB AB AD AB BD AD BD< = < < . n triunghiul

ADB , avemn

( )n

( )n

( )n

( )n

( )l

( )90 90 2m ABD m BAD m BAD m BAD m BAD m A< < < = Unghiul

l

A fiind a adar obtuz, pot exista puncte [ ], M N BC astfel nctn

( ) 90m MAN = . Sescrie relaia lui Stewart n triunghiul ABC pentru cevienele[ ] AM , respectiv [ ] AN :

( )2 2 2 2 AB MC AC MB AM BC BM MC BC AB MC MB + = + + =

( ) ( )2 2 2 BC AM BM MC AB BC BC AM BM MC = + = + 2 2 BM MC AB AM =

2 2 2 2 2 AB NC AC NB AN BC BN NC BC BN NC AC AN + = + = Prin adunarea celor dou egalit i obinem :

( ) ( )2 2 2 2 1 BM MC BN NC AB AC AM AN + = + +

Dac n

( ) 90m MAN = , teorema lui Pitagora n triunghiul MAN d 2 2 2 AM AN MN + = ; din( )1 rezult 2 2 2 BM MC BN NC AB AC MN + = + , q.e.d.Reciproc, dac are loc relaia din enun, prin comparaie cu ( )1 rezult 2 2 2 AM AN MN + = .

Reciproca teorema lui Pitagora ne asigur c triunghiul MAN este dreptunghic nn

( ) 90 A m MAN = , q.e.d.


15/23

E:14279 G.M.B. 12/2011

Pe diagonala ( ) AC a p tratului ABCD se consider punctul P i fie ,QP DP Q AB .

a) Demonstrai c [ ] [ ] DP PQ .b) Dac Q este mijlocul laturii[ ] AB , calculai raportul AP

PC .

Maranda Lin i Dorin Lin , Deva

Solu ie.

a) Patrulaterul ADPQ este inscriptibil, avnd unghiurile opusen

DAQ in

DPQ drepte.

Rezult c n

( )n

( ) 45m DQP m DAP= = , deci triunghiul DPQ este dreptunghic isoscel.A adar, [ ] [ ] DP PQ .

b) Fie a AB= lungimea laturii ptratului.Q fiind mijlocul lui[ ] AB , teorema lui Pitagora n

DAQ ne d 2

2 2 2 5

4 2

a a DQ AD AQ a= + = + = . n triunghiul dreptunghic

isoscel DPQ avem5 10

42 2 2

DQ a a DP PQ= = = = .

Se scrie rela ia lui Stewart n triunghiul dreptunghic isoscel ADC pentru ceviana [ ] DP :( )2 2 2 2 2 2 AD PC CD AP DP AC AC AP PC a AP PC DP a + = + + = +

2a AP PC +

Dar 2 AP PC AC a+ = = ; simplificm rela ia ob inut cu 2a i nlocuim DP de

mai sus; rezult 2 2

2 10 6

16 16

a aa AP PC AP PC = + = .

n concluzie, 22

6

16

AP PC a

a AP PC

- + =

=; lungimile AP i PC verific a adar ecua ia:

22 62 0

16

a x a x + = .


16/23

Rezolv m ecua ia:2 2

21,2

2224 8 22

16 16 2

aaa a

a x

= = = . Deci,

1 2

2 3 2,

4 4

a a x x= =

Dac 1 AP x= i 2PC x= , avem1

3

AP

PC = ; invers, avem 3 AP

PC = .

A adar, cnd Q este mijlocul laturii[ ] AB , avem 1 , 33

AP

PC

-


17/23

21850 G.M. 8/1989

Fie ABC un triunghi oarecare i M un punct n interiorul triunghiului. Semidreptele

((( , , AM BM CM taie laturile triunghiului n punctele , N P respectiv Q , iar cercul circumscristriunghiului n punctele , R S , respectiv T . S se arate c are loc inegalitatea:9

AN BP CQ

NR PS QT + + .

C lin Naghi, elev, Satu-Mare

Solu ie.

Not m cu , , BC a CA b AB c= = = lungimile laturilor triunghiului ABC . Fie

, , BN CP AQ NC PA QB

= = = . Conform teoremei lui Ceva, are loc rela ia:

( )1 1 =

Calcul m1

,1 1 1

BN BN a NC a

BC

= = =

+ + +.

Scriem rela ia lui Stewart pentru ceviana AN :

( ) ( )( )

2 2 2

3 2 2 22 2 2 2

2 2 21 1 11 1

AB NC AC BN AN BC BN NC BC

a a a c b ac b AN a AN

+ = +

+ + = + =

+ + ++ +

Puterea punctului N fa de cerc se scrie: BN NC AN NR = . Raportul AN NR

se exprim ca

2 2 AN AN AN

NR AN NR BN NC = =

. nlocuim 2 AN din ( )2 i rezult :

( )( )

( )( )

( ) ( )

2 2 22 2 2

22 2

2 2

2 2

111

1 1

11 1 3

c b AN c b a

NR a a

AN c b

NR a a

+ ++ += = + + +

+= + + +


18/23

Se nsumeaz rela ia ( )3 cu alte dou rela ii analogei ob inem:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 13 1 1 1 4

AN BP CQ c b a c b a

NR PS QT a a b b c c

+ + ++ + = + + + + + + + + +

Se scrie inegalitatea mediilor pentru numerele:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1, 1 , , 1 , , 1

c b a c b a

a a b b c c

+ + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2

62 2 2 2 2 2

1 1 11 1 11 1 1 6 5

c b a c b a

a a b b c c

+ + ++ + + + + + + + + + +

Dar ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2 2

361 1 1

6 6 1 1 1

+ + += + + +

Se scriu inegalit ile 1 2 , 1 2 , 1 2 + + + . Prin nmul irea acestora,ob inem:

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )

3

3

1 1 1 8 8 1 1 1 2

6 1 1 1 12 6

+ + + = + + +

+ + +

Din rela iile ( ) ( )4 , 5 i ( )6 , ob inem 3 12 9 AN BP CQ NR PS QT

+ + + = , q.e.d.

Egalitatea are loc dac i numai dac 1 = = = i a b c= = , adic n cazul n caretriunghiul ABC este echilateral, iar M este centrul s u de greutate.


19/23

26488 G.M.B. 7-8-9/2011

Fie ABC un triunghi nscris n cercul ( ),C O R i fie , , M N P puncte pe laturile ( ), BC

( ) AC , respectiv ( ) AB . Dreptele , , AM BN CP retaie cercul C n 1 1 1, , M N P respectiv. S sedemonstreze c :

a) 21

1 2 bc MA Ra

; b)1 1 1

1 1 1 6

MA NB PC R+ +

Dan tefan Marinescu i Viorel Cornea, Hunedoara

Solu ie.

a) Puterea punctului M fa de cerc se scrie 1 MA MA MB MC = ; folosim inegalitatea

cunoscut ( )2

4

x y xy

+ pentru , x MB y MC = = :

( )2 2

4 4

MB MC a MB MC

+ =

Rezult c 21

1 4 MA MA a

; aceasta se nmul e te cu inegalitatea a MA h i se ob ine

2 3 3 21

41 8 2 2ah S abc bc MA a a Ra Ra

= = =

b) Prin nsumarea inegalit ii de la punctul a) cu alte dou ob inute prin permut ri circulare,

rezult ( )2 2 21 1 1

1 1 1 21

bc ca ab MA NB PC R a b c

+ + + +

R mne s scriem inegalitatea mediilor pentru numerele 2 2,bc caa b

i 2abc

:

32 2 2 2 2 2

3 3bc ca ab bc ca aba b c a b c

+ + = ; din ( )1 ob inem imediat1 1 1

1 1 1 6 MA NB PC R

+ + ,

q.e.d.


20/23

14531 G.M. 10/1974

Fie M un punct oarecare pe cercul circumscris unui triunghi echilateral ABC , iar N un punct

pe cercul nscris. S se arate c 2 2 2

2 2 2

8

5

MA MB MC

NA NB NC

+ +=

+ + .tefan Musta, Bucure ti

Solu ie.

Se folose te rela ia lui Leibniz : fiind dat un punct M n planul unui triunghi oarecare ABC cucentrul de greutateG , are loc relaia :

2 2 22 23

3

a b c MA MG

+ += + , unde , ,a b c sunt lungimile laturilor triunghiului ABC .

n cazul particular al triunghiului echilateral de latur a , rela ia devine :

( )2 2 23 1 MA MG a= +

Se particularizeaz rela ia ( )1 pentru puncte , M N situate pe cercul circumscris, respectiv pecercul nscris triunghiului ABC , innd seama c G O I = = (centrul de greutate i centrelecercurilor circumscrisi nscris coincid ) :

( )2 2 23 2 MA R a= + ( )2 2 23 3 NA r a= +

R mne s nlocuim2 3 1 3

;3 3 3 6

a a

a a R h r h= = = = n rela iile ( )2 i ( )3 :

22 2 23 2

3

a MA a a= + =

2 22 2 53

12 4

a a NA a= + =

A adar,2 2

22

2 85 54

MA a

NAa

= =

, q.e.d.


21/23

16227 G.M. 12/1976

n triunghiul ascuitunghic ABC ducem mediana AM i n l imile 1 BB i 1CC . Not m cu

H ortocentrul triunghiului. Sse arate c 2

12 4 HM BC HC HC = I. Dumitru, Hotarele, Ilfov

Solu ie.

Conform teoremei medianei n triunghiul BHC :( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2 22

4 2 14

BH CH BC HM HM BH CH BC

+ = = +

Din asem narea triunghiurilor dreptunghice 1 HC B i 1 HB C , avem :

( )1 1 1 1 1 11

4 2 2 2 HC HB

HB HB HC HC HC HC HB HB HC HC HB HC

= = = +

Se calculeaz ( )

2 2

12 4 BH CH HC HC + + ; adun m i sc dem 2 21 1 HB HC + i inem seama

de rela ia ( )2 i de teorema lui Pitagora mai nti n triunghiurile dreptunghice 1 HC B i 1 HB C ,apoi i n 1 BB C i 1CC B :

( )2 2 2 2 2 21 1 1 1 12 4 2 2 BH CH HC HC BH HB HB HB CH HC HC HC + + = + + + + + + 2 2 2 2

1 1 BH BC CH HB+ + = ( ) ( )

2 2 2 2

1 1 1 1 BH HB CH HC BC CB+ + + + + =

( )2 2 2 2 21 1 1 1 2 3 BB CB CC BC BC = + + + =

Din relaia ( )3 sc dem 2 14 BC HC HC + i rezult

( ) ( )2 2 2 2 12 4 4 BH CH BC BC HC HC + = n fine, n relaia ( )1 se ine seama de ( )4 i obinem 2 2 14 4 HM BC HC HC =

2

12 4 HM BC HC HC = , q.e.d.


22/23

16228* - G.M. 12/1976

Fie ABC i DBC dou triunghiuri echilaterale de latur a simetrice fa de dreapta BC . FieP un punct oarecare pe cercul de centruO , circumscris trunghiului DBC . S se arate c avem:

2 22PA PB PC a = sau 2 22PA PB PC a+ = , n funcie de poziia punctului P pecercul de centru O .

Eliferie Rogai

Solu ie.

Fie E mijlocul lui[ ] BC . ntruct AE BC i DE BC , punctele , , A E D sunt coliniare;

mai mult, A este simetricul lui D n raport cu3

2

a E AE DE

= =

. Calcul m

3 AD AE DE a= + = .Teorema medianei n triunghiurilePBC i PAD se scrie :( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2

4 4

PB PC BC PD PA ADPE

+ + = =

( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 3PB PC a PD PA a+ = + ( )2 2 2 2 2 1PB PC PD PA a+ = +

Analiz m n continuare mai multe cazuri posibile, n funcie de poziia lui P pe cercul ( ) DBC .i) Dac

p

P BC , scriem teorema lui Ptolemeu n patrulaterul inscriptibil DBPC :PD BC PB CD PC BD PD PB PC = + = +

nlocuimPD n ( )1 i obinem ( )22 2 2 2PB PC PB PC PA a+ = + + 2 2 2 2 2 22PB PC PB PC PB PC PA a + = + + + 2 22PA PB PC a + =

ii) Dac p

P CD , scriem teorema lui Ptolemeu n patrulaterul inscriptibil DBCP :PB CD PD CB PC BD PD PB PC = + =

iii) Dac p

P BD , aceea i teorem se scrie n patrulaterul inscriptibil DCBP :PC BD PD CB PB CD PD PC PB = + =


23/23

n cazurile ii) i iii), putem scrie ( )22PD PB PC PD PB PC = = ; nlocuind n( )1 , rezult 2 2 2 2 2 22PB PC PB PC PB PC PA a+ = + +

2 22PA PB PC a = A adar, avem :

2 22PA PB PC a+ = , dac P apar ine arcului micp

BC 2 22PA PB PC a = , dac P apar ine arcului mare

p

BC

Date post:	05-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	bogdan-pisai
View:	237 times
Download:	3 times

Probleme de geometrie metrica

Documents