AoRntt ZANoscttt, GueoReHr Iur,Hnou Savn, VASTLE NEcHrrR,
SrwnruR IoNESrr, MrHRrm CnruGR,
Coontru Pnrcupnuu, BEMus NrcH[R,
SuRnnruoa MlHoN, Guroneu[A Nrsron
Probleme de aritmeticdpentru performan!5:
metode de rezolvare, teste gisubiecte de concurs
clasele lll-lVeditia a V-a
CUPRINS
METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE ARITMETICA.......5
Metoda comparatiei ...........5
Metoda figurativ[ ...............8
Metoda falsei ipoteze ................ ..........13
Metoda mersului invers ...................... 15
Metoda reducerii la absurd .................. 18
Probleme de numirare ........................21
Principiul cutiei ......... .......26
Probleme de perspicacitate ...,....... ......29
Probleme cu caracter geometric ..........33
Operatii aritmetice ...........38
Adunarea gi sclderea numerelor naturale ...............38
inmullirea qi impdrfirea numerelor naturale ............40
Ordinea efectudrii operaliilor gi folosirea parantezelor ...............43
Teorema impirfirii cu rest ...................47
TESTE ..........52
SUBIECTE DE CONCURS ............. .....................98
rNDrcATrr $r RASPUNSURT ......... ...................109
MnTODE DE REZoLVARB APROBLEMELOR DE ARITMETICA
Mnrooa coMPARATTET
1. Radu cumplri cu 14 lei trei caiete de matematici gi doui de desen.Dac[ ar fi cumpirat trei caiete de matematicl gi patru de desen, ar fipliltit22lei. Cflt costl un caiet de fiecare fel?
Solulie:Notdm preful unui caiet de matematic[ cu m qi ct d cel al unui caiet dedesen.
Avem rela{iile:3m+2d=14lei3m * 4d = 22 lei.Scdzdnd membru cu membru cele doud rela{ii, ob{inem cL 2d = 8 lei.Deci un caiet de desen costE 4 lei, iar pre{ul unui caiet de matematicd este(14-8):3:2lei.
2. Dacil 2 kg de mere qi 3 kg de portocale costi 23 lei, cflt costi 6 kg demere gi 9 kg de portocale de aceeagi calitate?
Solulie:Dacd 2m a 3P = 23 * 3' (2m + 3p) : 23' 3 : 69 lei, unde m esteprefulunui kilogram de mere, iar p, cel al unui kilogram de portocale.
3. intr-o zi din vacanfa de vari t2 bilie[i qi 6 fete din clasa a IV-a aucules 150 kg de cireqe. A doua 2i,24 de biiefi qi 13 fete au cules305 kg de cireqe. C0te kilograme de cirege culege zilnico in medie, ofati qi c0te un biliat?
Solulie:Fie/numirul de kilograme pe care il culege zilnic o fate $i b num[ru] dekilograme culese de un b[iat. Atunci:6f+ 12b: 150 kg I^t3f+ 24 . b:30sks)-tzf+24b = 300 kg I -l3f+24b=305kg I'1,f= 5 kg.Se ob{ine apoi c[ lD = 10 kg.
4. Dacil preful unei clr(i este c0t pre{ul unui stilou 9i a doui caiete la unloc, iar 3 stilouri costi c0t 7 caiete, afla{i cAte c[r[i se pot curnplra inlocul unui stilou gi 15 caiete la un loc.
Solulie:Fie ct: preful unei cirfi, sl: preful unui stilou, iar c: pre{ul unui caiet.
Atunci:lct: lst + 2c1.3 * 3ct:3st + 6cDar 3st:7c qi oblinem cd3ct: 13c. Din prima rela{ie obfinem, adundnd
membru cu membru, cd4ct: lsl * 15c. Rdspunsul este: 4 cdtli'
5. Se gtie c5 8 pixuri qi 20 de CD-uri costd 36 lei. CAt vor costa 2 pixuri gi
5 CD-uri?
6. Suma a dou6 numere este 65, iar suma dintre dublul primului numirqi triptul celui de-al doilea este 170. Care sunt cele dou[ numere?
7. La o cofetdrie 1 kg de tort costi c6t 3 kg de fursecuri. Maria cumpir[4 kg de fursecuri qi un tort de 2 kg, pl[tind in total 70 lei. C6t cost[ unkilogram de fursecuri? Dar un tort de 3 kg?
8. 5 c6r{i gi 3 albume foto costl 195 lei, iar 3 cdrliqi 5 albume costd 165 lei.Aflafi cdt costi o carte gi c0t costi un album.
9. 11 bile albe qi 7 bile negre cdntdresc 166 g, iar 15 bile albe 9i 10 bile negre
cdnt[resc 230 g. Cdt cdntbregte o cutie cu 5 bile albe gi 5 bile negre, dacd
cutia goal6 are200 g?
10. Pentnr 5 kg de roqii gi 7 kg de castraveti s-au pldtit 58 lei, iar pentru
3 kg de roqii gi 8 kg de casffaveli s-au plEtit 50 lei. $tiind ci penfu 16 kg
de roqii qi castraveli la un loc s-au pl[tit in total 78 lei, sb se afle c6te
kilograme de fiecare fel s-au cumpdrat.
11. Numerele naturale a, b, c indeplinesc condiliile: 2a + b * 5c = 305,a + 2b + 10c : 550. DacS IOb : 3c, care sunt cele trei numere?
12. 4 kg de mere costl cu 16 lei mai pu{in decdt 6 kg de portocale. $tiind clpentru 2 kg de mere gi 5 kg de portocale s-au plitit 24 lei, aflalicdt cost6 un kilogram din fiecare.
13.
14.
15.
16.
t7.
18.
L9.
20.
Fetilele au dou6 acadele gi patru pere fiecare, iar bIiefii au cinci acadeleqi trei pere fiecare. Toti copiii au 12 acadele. C6te pere au in totalcopiii?
3 stilouri costd c6t 5 creioane, iar pre{ul unei c[r[i este cAt preful unuistilou qi al unui creion la un loc. Afla{i c6te cdrfi pot fi cumpirate cupreful unui stilou qi a noul creioane la un loc.
Determinafi valoareaexpresiei: E : a + 2b + 3c + 4d, qtiind cd a + b ++ s + fl :36, b + c * d = 20, c * d = 15,iar d: a: 2 + b: 5.
Simona are 7 bomboane, o ciocolatl gi 5 napolitane care cdntdresc 235 g,
iar Robert are o bornboand, 7 ciocolate qi 3 napolitane in greutate de 445 g.
Cdt cdntiresc irnpreund 3 ciocolate gi o napolitan[?
2 perechi de pantofi gi 3 cdmdqi costd 230 lei, iar 3 perechi de pantofi qi
2 cimlqi costd270lei. CAt costi 7 perechi de pantofi qi o c[maq[?
Pentru confeclionarea unui pardesiu se folosesc tot a$\ia metri de stofbcit pentru un sarafan qi dou[ fuste la un loc. La confec{ionarea uneifuste se foloseqte jumitate din num[rul de metri necesari pentru unsarafan. Cdte pardesie se pot obline din stofa destinat[ pentru 6 sarafaneqi 12 fuste?
Pentru o biblioteci s-au cumpdrat 9 dulapuri, 16 mese qi 64 de scaune.O masi, un scaun qi un dulap costb 2808 lei. $tiind c[ o mas6 cost[ c6tftei scaune, iar un dulap costd c6t trei mese, afla(i valoarea mobilieruluiachizifionat.
2 trandafri costd cdt 3 crizanteme sau c6t 5 garoafe, iar 6 trandafiri gi
5 crizanteme costi 56 lei. Cdt apldtit Radu pentru 5 crizanteme, 5 tran-dafiri qi 5 garoafe?
Mnrool ncunarrvA
1. Suma a doul numere naturale impare este 24, iar diferen{a lor este o
cifri. Si se afle numerele.Solutie:
Not6m cu a gi b cele dou[ numere gi cu d diferenla lor. O reprezentaregraficd este:
a
Din enunf reniltd: a * b : 24, b : a * d Si,ca ufinare, 2' a * d : 24 += a: ea _ e:2.Diferenfa a doud numere impare este un numdr par. Deci d este o cifrSpard, adic5- d poate lua valorile 0, 2, 4,6 sau 8. Distingem urm6toarelesituatii:l. d: 0 = a: 12, b : 12, solu{ie care nu convine (a qi b trebuie s5 fieimpare!).IL d : 2 = a : 11, b : 13, o primE solufie.IlI. d: 4 = a = 10, b: 14, solu{ie care nu convine.lY. d:6 * a:9, b:15, a doua solutie.
Y. d:8 = a:8, b: 16, solutie care nu convine.
2. intr-un coq se aflI 24 de fructe: mere qi pere. $tiind cI numlrul mereloreste de trei ori mai mare decflt numlrul perelor, str se afle in cf,temoduri putem lua din coq o pari qi un mlr?
Solulie:Notim ot m rumdrul merelor gi cup numIrul perelor. Din enun{ rezlttltd
cL m + p : 24 Si m = 3 . p. O reprezentare grafic[ este:
p& l
*,, P , P , P ,J24
Obfinem: 4 . p : 24 > p = 24 :4 : 6 pere qi 18 mere. Un m6r se poatealege ln 18 moduri, iar o par6 in 6 moduri. Ca urmare un m6r gi o parl se
pot lua din cop ln 6 . 18 = 108 moduri.
3. Perimetrul unui dreptunghi este de 96 cm. Daci lifimea se micgo-reazd ca 8 cm, ea devine de trei ori mai mici decAt lungimea. Si se
afle dimensiunile dreptunghiului.Solulie:
Not[m cu Z lungimea qi cu / l6fimea. Din datele problemei rezult[ L + l::48 $i L:3' 0- 8).CumI + (/- 8):40, sugerimreprezentareagrafrcd:
l-8 t-l
]-,
Ob(inem:4'(l- 8):40 = /- 8 = 40:4 = /: 10 + 8: 18 cm ;iZ:48- 18:30 cm.
4. Un vas plin cu apl cAntlregte 32 kg, Vasul umplut cu apl doar lajumltate din capacitatea sa cAnt[reqte 17 kg. Cfft cflntireqte vasul gol?
Solulie:Notdm cu v greutatea vasului gol gi cu a jtmdtate din greutatea apei ce
incape in vas. Din enun{ ren;Jtd: v * 2a: 32, v + a: 17. O reprezentaregrafrcd poate fi:
= ct = 15 = v : 32 -2' 15 : 2kg.
5. Un zugrav stI pe o scari gi observtr ci sub treapta pe care st[ sunttotatitea trepte cAte sunt deasupra sa. Ztgravul coboarl trei trepte gi
constati cI, acum, deasupra treptei pe care stI sunt de trei ori maimulte trepte decf,t sub aceasta. Cflte trepte are scara?
Solulie:Ini{ial, zugravul are un numlr egal de trepte sub el qi deasupra sa. Not6m
cu a acest num[r. Scara are deci 2 . a * I trepte. Dup[ ce coboar6 treitrepte, din datele problemei rezultd cd a t 3 :3 ' (a -3).
l-8 l-8 t-8
32
T7
a*3 a*3 a*3#
