STATISTIC CUPRINS: 1. Statistica instrument de cunoatere i
conducere n economie 1.1. Obiectul statisticii 1.2. Noiuni
fundamentale ale statisticii 1.3. Scale de msurare folosite n
statistic 2. Observarea statistic 2.1. Culegerea datelor statistice
2.2. Sistematizarea datelor statistice i prezentarea lor 2.3.
Indicatorii statistici 3. Analiza statistic a seriilor
unidimensionale 3.1. Indicatorii tendinei centrale 3.1.1. Mrimile
Medii 3.1.2. Indicatorii de poziie 3.2. Indicatorii variaiei 3.3.
Analiza variaiei ntr-o serie de repartiie bidimensional 3.4.
Analiza asimetriei repartiiilor empirice 4. Cercetarea prin sondaj
4.1. Sondajul aleator simplu 4.2. Sondajul tipic (stratificat) 5.
Analiza statistic a seriilor multidimensionale 5.1. Tipuri de
legturi dintre fenomenele social-economice 5.2. Metode parametrice
de msurare i analiz a legturilor dintre fenomenele i procesele
economice 5.3. Metode neparametrice de msurare a intensitii
legturilor dintre fenomene 6. Analiza statistic a seriilor
cronologice 6.1. Concepte i particulariti ale seriilor cronologice
(SCR) 6.2. Sistemul de indicatori statistici ai seriilor
cronologice 6.3. Ajustarea seriilor cronologice 6.4. Previzionarea
indicatorilor prin extrapolare 7. Metoda indicilor STATISTICA
TEORETIC Tema 1. Statistica instrument de cunoatere i conducere n
economie Ca disciplin tiinific, statistica, n funcie de scopul
cunoa-terii, se subdivide n: Statistica descriptiv vizeaz
descrierea strii i variabilitii colectivitii statistice, dup una
sau mai multe caracteristici. Realizarea acestui obiectiv
presupune: culegerea datelor statistice; prelucrarea i prezentarea
lor sintetic, fie sub form numeric, prin indicatori statistici, fie
sub form grafic, prin diagrame i tabele statistice. n funcie de
numrul caracteristicilor, exist: - Statistic descriptiv
unidimensional (pentru o variabil); - Statistic descriptiv
multidimensional (pentru dou sau mai multe variabile). Statistic
inferenial vizeaz estimarea caracteristicilor unei colectiviti
pornind de la cunoaterea unui eantion i presupune msurarea
incertitudinii rezultatelor i calcularea riscurilor pe care le
implic luarea unor decizii fundamentale pe baza unei informaii.
Analiza statistic urmrete descoperirea a tot ceea ce este
permanent, esenial, logic n variaia proceselor statistice i
msurarea influenei factorilor care le determin variaia n timp, n
spaiu i din punct de vedere calitativ. Pentru aceasta se folosesc:
analiza de regresie, analiza de core-laie, analiza seriilor de
timp. 1.1. Obiectul statisticii Obiectul de studiul al statisticii
l reprezint fenomenele de mas. Spre deosebire de cele din natur,
fenomenele de mas sunt fenomene complexe, atipice, rezultate din
aciunea combinat i repe-tat a unui numr mare de factori de influen.
Conceptul de fenomen de mas, presupune luarea n considerare a
raporturilor: necesitate i ntmplare; legea statistic i legea
dinamic; model statistic i model determinist. Legea statistic nu
poate fi cunoscut dect dac se ia n studiu un numr mare de cazuri
individuale, care sunt legate ntre ele datorit aciunii diferite a
acelorai factori de influen. Legile statistice se manifest sub form
de tendin i sunt vala-bile pentru un ansamblu de uniti individuale.
n esen, rolul statisticii este de-a determina, pe baza datelor
empirice, informaii ct mai precise asupra legii statistice de
repartiie a fenomenelor individuale, a fenomenelor de mas ce ne
intereseaz. Statistica este tiina care studiaz aspectele
cantitative ale determinrilor calitative ale fenomenelor de mas,
fenomene care sunt supuse legilor statistice ce se manifest n
condiii concrete, variabile n timp, spaiu i organizare
socio-economic. Cercetarea statistic trebuie s in seama n mod
obiectiv de principiile teoriei probabilitilor i de cerinele legii
numerelor mari. Aceast lege a statisticii arat c, ntr-un numr
suficient de mare de cazuri individuale, influenele factorilor se
pot compensa, astfel nct s ajung la o anumit valoare tipic pentru
ntreg ansamblul. 1.2. Noiuni fundamentale ale statisticii
Statistica folosete, n studiul fenomenelor de mas, un numr mare de
concepte i noiuni. Dintre acestea, unele au caracter general i
formeaz vocabularul de baz al statisticii. 1. Colectivitatea
statistic (populaia statistic) desemneaz totalitatea elementelor de
aceeai natur, ce sunt supuse studiului sta-tistic, au o serie de
trsturi eseniale comune i sunt generate de acelai complex de cauze
eseniale. Colectivitile statistice au un caracter obiectiv i finit,
delimi-tarea lor presupune definirea elementelor din punctul de
vedere al coninutului, spaiului, timpului i formei de organizare.
Ele pot fi privite ca: a) colectiviti statice cele ce exprim o
stare i au o anumit ntindere n spaiu, formnd un stoc la un moment
dat; b) colectiviti dinamice cele ce exprim un flux, o devenire n
timp, caracterizarea lor presupunnd nregistrarea elementelor
compo-nente pe un interval de timp. 2. Unitile colectivitii sunt
purttoare de informaii, reprezen-tnd elementele componente ale
colectivitii statistice. Unitile colectivitii statice exist la un
moment dat, iar unit-ile colectivitii dinamice desemneaz
evenimente, procese sau flu-xuri i se produc n decursul perioadei,
sau intervalului de timp n care au loc evenimentele statistice.
Unitile statistice pot fi: a) uniti simple reprezentnd elemente
constitutive specifice naturii fenomenului (ex. angajatul, produsul
etc.), care formeaz aceeai colectivitate; b) uniti complexe - sunt
formate din mai multe uniti simple, organizate n funcie de criterii
social economice (ex. familie, echipe de lucru, grupe de studeni
etc.). 3. Caracteristica statistic desemneaz nsuirea, proprietatea,
trstura comun unitilor unei colectiviti statistice, reinut n
programul statistic pentru a fi nregistrat i care are valori
diferite de la o unitate la alta (exemple de caracteristici pot fi:
vrsta, greutatea, sexul, naionalitatea, ocupaia, cifra de afaceri
etc.). Formele concrete de manifestare a caracteristicilor
statistice la nivelul fiecrei uniti se numesc variante sau valori.
Caracteristica statistic se mai numete variabil statistic, deoarece
are proprietatea de a-i modifica valoarea n timp i spaiu, de la o
unitate la alta, iar numrul de apariii ale unei variante ntr-o
colectivitate se numete pondere, frecven. Caracteristicile
statistice se pot clasifica: a) dup coninut: - caracteristici de
timp: arat apartenena la un moment sau in-terval de timp; -
caracteristici de spaiu: exprim teritoriul cruia i aparin; -
caracteristicile atributive care pot fi caracteristici numerice ce
se refer la cantiti, note obinute, vrste etc., caracteristici
calitative, exprimate n cuvinte cum ar fi: naionalitate, studii,
meserii etc. b) dup modul de manifestare: - caracteristici
alternative, care presupun numai dou valori individuale,
complementare (ex. sexul (F.M), produsul (bun, rebut)); -
caracteristici nealternative se prezint cu variante numerice sau
calitative distincte la nivelul unitilor colectivitii. c) dup
gradul de esenialitate: - caracteristici eseniale care rspund
scopului propus n pro-gramul de observare; - caracteristici
neeseniale, care sunt considerate ajuttoare, aduc un plus de
informaie. d) dup modul de obinere i caracterizare a fenomenului: -
caracteristici primare, obinute direct prin nregistrare; -
caracteristici derivate, care rezult n urma prelucrrii celor
primare. e) dup natura variaiei, caracteristicile numerice: -
caracteristici cu variaie continu, care pot lua orice valoare
ntr-un interval dat. Valorile unei caracteristici numerice se
stabilesc prin msurare, numrare sau calcul; - caracteristici cu
variaie discontinu sau discret, care pot lua numai valori ntregi.
4. Date statistice. Sunt mrimi concrete obinute din experi-mente,
observaii, numrare, msurare sau calcule. Prin date statistice se
nelege o caracterizare numeric, cantitativ, obinut de statistic,
despre unitile colectivitii observate. Datele statistice cuprind
urmtoarele elemente: - noiunea care precizeaz fenomenul sau
procesul la care se refer; - identificare (de timp, de spaiu,
organizatoric); - valoarea numeric (datele statistice pot fi
absolute, relative, primare, derivate). 5. Informaia statistic
reprezint coninutul specific (semnifi-caia, mesajul datelor).
Pentru nelegerea legitilor de manifestare ale fenomenelor
economice, informaia statistic trebuie structurat n funcie de
coninutul i organizarea lor. Datele statistice cu ajutorul crora se
cerceteaz un fenomen economic sau social, sub raportul structurii,
interdependenelor, al modificrii lor n timp sau n spaiu, se numesc
indicatori statistici. Conceptul de indicator statistic este strns
legat de conceptul de model statistic. Acesta exprim sub forma unei
construcii logice sau matematice (funcie, sistem de ecuaii etc.)
trsturile, momentele, corelaiile eseniale din manifestrile reale
ale fenomenelor i proceselor. 1.3. Scale de msurare folosite n
statistic Datele cu care se opereaz n statistic se deosebesc n
funcie de scala lor de msurare, cu ajutorul creia se stabilesc
valorile observate. Scala se poate reprezenta printr-un ir de
numere, valori, simboluri care se succed progresiv pentru a arta
gradul n care un fenomen posed o caracteristic sau o proprietate.
Activitatea de formare a scalelor se numete scalare. n practica
statistic se folosesc patru niveluri de msurare, gradate dup
creterea nivelului lor de eficien: Scala nominal se utilizeaz
pentru reprezentarea variabilelor, ale cror variante sunt exprimate
n cuvinte i codificate prin numere naturale (ex. sexul are dou
variante (M i F) ce pot fi codificate M = 0 i F=1). Scala ordinal
se folosete pentru reprezentarea variabilelor ale cror variante
sunt ordonate. Valorile de pe aceast scal indic doar poziia unitii
ntr-un ir ordonat, fr s acorde importan diferenei ce exist ntre
poziii succesive. Relaiile tipice ntre clase sunt: mai mare (mic);
mai dificil (uor); primul, al doilea etc. Scala de interval. Cnd o
scal are toate caracteristicile unei scale ordinale i n plus
distana sau diferena dintre dou numere ale scalei are semnificaie,
spunem c msurtoarea s-a fcut pe o scal de interval. Se folosete
pentru reprezentarea numerelor cardinale, la care valoarea zero nu
semnific absena complet a caracteristicii urmrite. Scala de raport.
Cnd o scal are toate caracteristicile unei scale de interval i n
plus punctul zero este dat n mod natural, spunem c msurarea se
realizeaz pe o scal de raport. Pe aceast scal valoarea zero indic
absena complet a caracteristicii urmrite. Variantele obinute pot fi
supuse operaiilor matematice. Cuvinte cheie: statistica-obiect,
colectivitate statistic, unitate statistic, caracteristic
statistic, date statistice, scal. Teste gril: 1. Punctajul obinut
de 10 concureni la un test de cultur general este o scal nominal?
Adevrat/Fals Rspuns: Fals 2. Pentru urmtoarele afirmaii, precizai
unitatea statistic i variabila statistic: a) Timpii de execuie, a
100 de programe BASIC; unitate statistic: programul BASIC; variabil
statistic: timpul de execuie cantitativ; b) Profesiile salariailor
dintr-o firm; unitate statistic: salariatul; variabil statistic:
profesia calitativ. 3. Precizai pentru urmtoarele afirmaii, scala
lor de msurare i tipul datei statistice [numerice (cantitative) i
nenumerice (calitative)]; a) marca de calculator cea mai nou
cumprat de 10 familii; Rspuns: scala nominal calitativ; b)
cheltuieli cu reclama fcut de 5 firme selectate aleatoriu; Rspuns:
scala de raport cantitativ. Tema 2. Observarea statistic 2.1.
Culegerea datelor statistice Cunoaterea fenomenelor i proceselor
economico-sociale se realizeaz prin lucrri complexe, de mare
amploare, bazate pe un numr mare de operaii temeinic organizate ce
poart denumirea de cercetare statistic. Cercetarea statistic
cuprinde totalitatea operaiilor de culegere, observare,
sistematizare, prelucrare, stocare, analiz, interpretare a
infor-maiilor necesare pentru cunoaterea, conducerea proceselor
social-economice. Etapele cercetrii statistice sunt: Observarea
statistic, reprezentnd culegerea datelor primare; Prelucrarea
statistic: - sistematizarea datelor, prin gruparea statistic; -
calculul indicatorilor statistici; - prezentarea datelor: tabele
statistice, serii statistice, grafice statistice. Analiza i
interpretarea statistic: - confruntarea, compararea datelor; -
verificarea ipotezelor; - formularea concluziilor, asupra
cercetrilor; - fundamentarea calculelor de prognoz. Observarea
statistic, const n culegerea de informaii, dup o metodologie
unitar, pentru toate unitile colectivitii. Planul obser-vrii
statistice poate cuprinde: Scopul observrii, care este legat de
scopul general al cercetrii statistice. Trebuie bine precizat
pentru c n funcie de el se deli-miteaz obiectul observrii, erorile
de observare etc. Colectivitatea statistic reprezint elementele
colectivitii investigate. Unitile de observare reprezint elementele
colectivitii investigate. Caracteristicile statistice reprezint
rspunsurile la ntrebrile puse prin chestionare (ex. salariu,
vechime etc.). Timpul observrii vizeaz dou momente eseniale: timpul
la care se refer datele i timpul n care se efectueaz culegerea
datelor. Locul observrii are ca scop stabilirea facil a unitilor de
observare. Msurile organizatorice asigur condiiile favorabile
pentru desfurarea observrii statistice. Felurile observrii
statistice observare direct se face prin contactul direct cu
unitile de observat. observare pe baz de documente presupune
prelucrarea de date din evidena tehnico-operativ, contabil,
statistic. Metodele de observare statistic sunt n funcie de natura
feno-menelor observate, agenilor economici, de posibilitile tehnice
de prelucrare de care se dispune. Criterii de grupare a metodelor
de observare pot fi: a) dup modul de organizare a activitii
social-economice: - observaii permanente, care se efectueaz prin
intermediul sistemului informatic statistic; - observaii
special-organizate ca: recensminte, anchete, monografii. b) dup
timpul la care se refer datele: - observaii curente, ca: rapoarte
statistice; - observaii periodice, care se efectueaz la un anumit
interval de timp (recensmntul); - observaii unice, care se fac
pentru consemnarea statistic a unui eveniment nerepetabil. c) dup
numrul unitilor nregistrate: - observaii totale, prin care se culeg
date de la toate unitile colectivitii (recensmnt, rapoarte
statistice); - observaii pariale, prin care se realizeaz nregistrri
numai la o parte a unitilor colectivitii (sondajul). 2.2.
Sistematizarea datelor statistice i prezentarea lor Datele culese
sunt colectate la un centru de prelucrare i sunt supuse unor
prelucrri primare, destinate sistematizrii lor i desprin-derii unor
concluzii generale. Etapele sistematizrii implic: 1. Centralizarea
datelor statistice necesit ca datele utilizate s fie comparabile i
aditive, pentru a putea totaliza unitile statistice sau valorile
unei caracteristici, la nivelul grupelor tipice sau a
colectivit-ilor observate. Totalizarea valorilor se face prin
nsumare direct sau cu ajuto-rul unor coeficieni de echivalen. n
urma centralizrii, se obin indi-catori statistici de nivel (ex.
producia de antibiotice ntr-un interval dat). Centralizarea pe
subcolectiviti omogene are ca scop o cunoa-tere mai detaliat a
fenomenului, ceea ce este o centralizare pe grupe i permite analiza
fenomenului pe elemente structurale. 2. Gruparea datelor statistice
este o centralizare pe grupe omogene a unitilor unei colectiviti
dup variaia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare.
Tehnica gruprii necesit parcurgerea urmtoarelor etape: a) Alegerea
i folosirea caracteristicilor de grupare Caracteristica de grupare
este aceea nsuire care st la baza mpririi colectivitilor n grupe
omogene. Drept caracteristic de grupare se alege o caracteristic
esenial cu un caracter stabil pentru unitile colectivitii, care
exprim natura fenomenului cercetat i corespunde scopului urmrit. n
funcie de numrul caracteristicilor de grupare putem avea: - grupe
simple cu o singur caracteristic de grupare; - grupe combinate se
realizeaz prin luarea n considerare a dou sau mai multe
caracteristici de grupare, ce se gsesc n relaii de interdependen.
Dup natura caracteristicilor de grupare pot fi: - grupri
teritoriale, n care caracteristica de spaiu este defini-torie
(grupare pe ri, judee etc.); - grupri cronologice, ce se fac dup
caracteristica de timp; - grupri dup caracteristici atributive,
exprimate numeric sau prin cuvinte. b) Stabilirea numrului de grupe
(r). Notm cu r numrul de grupe ce se va stabili n funcie de
amplitudinea variaiei i de numrul de unitii ale colectivitii.
Astfel dac gruparea se va folosi ca metod de sistematizare a
datelor pentru calcularea indicatorilor derivai i aplicarea
analizei statistice, este indicat s se foloseasc un numr suficient
de mare de grupe (pentru a surprinde corect forma variaiei
caracteristicilor). Dac se va analiza structura, mutaiile de
structur n raport cu tipurile calita-tive, este indicat s se
foloseasc un numr restrns de grupe. n funcie de mrimea variaiei,
caracteristicilor studiate pot fi: - grupri pe variante (se
folosete cnd numrul variantelor este redus i amplitudinea mic); -
grupri pe intervale de variaie (cnd numrul unitilor colec-tivitii
este mare i amplitudinea variaiei este mare). c) Alegerea
intervalului de grupare. Intervalul de variaie este un grup omogen
de variante, desprit de restul colectivului prin cele dou limite
ale grupei: inferioar i superioar. Mrimea intervalului de grupare
(h) se afl n funcie de amplitudinea variaiei (A) i num-rul de grupe
(r). A = Xmax Xmin, unde: Xmax = limita superioar a caracteristicii
Xmin = limita inferioar a caracteristicii h = rA, h mrimea
intervalului de grupare; r numrul de grupe. Pentru determinarea
mrimii intervalului de grupare, n cazul colectivitilor de
dimensiuni relativ mari se poate utiliza i formula lui Sturges: h =
n lg 322 , 3 1A+; n = numrul de uniti statistice ale colectivitii
analizate. Intervalele de grupare pot fi: egale i inegale, nchise i
deschise, cu variaie continu i cu variaie direct. Cnd intervalele
de grupare sunt deschise, ele trebuiesc nchise n funcie de mrimea
intervalului alturat. n intervalele cu variaie continu, limita
superioar a fiecrui interval se repet ca limit inferioar a
intervalului urmtor. Pentru a se evita includerea dubl a unor
uniti, ce au valoarea egal cu una din limitele intervalului, se
stabilete o convenie (limit inferioar sau limit superioar inclus n
interval) prin care se precizeaz limita inclus n interval. La
intervalele cu variaie discret, limita inferioar este depla-sat cu
o unitate de msur fa de limita superioar a intervalului precedent.
3. Prezentarea datelor statistice se utilizeaz pentru perceperea i
nelegerea manifestrilor dintr-o colectivitate, pentru a decide
prelucrarea ei ulterioar, pentru popularizarea datelor, ct i pentru
informarea opiniei publice. Aceste metode sunt folosite i ca
mijloace auxiliare, dar eficiente de investigare a legturilor
dintre fenomene i a formelor de evoluie n timp. Prezentarea se
poate face sub form de: Serii statistice. Ca rezultat al
sistematizrii, seria statistic definete corespondena dintre dou
iruri de date statistice, n care primul reprezint variaia
caracteristicii urmrite, iar al doilea ir cu-prinde frecvenele de
apariie a variantelor caracteristicii. Seria trebuie s ofere
informaii cu privire la succesiunea, mrirea valorilor nre-gistrate
i a frecvenelor corespunztoare. ntre cele dou iruri exist o legtur
univoc, n sensul c unei valori individuale oarecare i corespunde o
anumit frecven, respec-tiv un numr care arat de cte ori se repet
valoarea individual respectiv. Grafice statistice. Graficul este o
imagine spaial, cu caracter convenional, care, prin diferite
mijloace plastice de reprezentare, reliefeaz ceea ce este
caracteristic, esenial pentru obiectul cercetrii. Graficele
reprezint datele i proporiile dintre ele cu ajutorul unor lungimi,
suprafee, volume. Principalele metode de reprezentare sunt: figuri
geometrice; grafice ntr-un sistem de coordonate (cadranul I, din
sistemul de axe rectangulare); reprezentri cu ajutorul hrilor.
Utilizarea graficelor presupune cunoaterea elementelor
con-structive i respectarea unor reguli i principii referitoare la
proporii. Principalele tipuri de grafice statistice: Diagrame prin
benzi i coloane. Se folosesc n scopul popula-rizrii unor aspecte
din viaa social-economic, pentru a reda imaginea unui fenomen n
evoluia lui n timp, cnd distanele dintre perioade sunt mari i
inegale; Diagrame prin figuri geometrice: Diagrame de suprafa -
Grafice prin areale - Diagrame de structur Diagrame de volum
(piramid, cilindru, stereograme) Graficele prin areale. Se
construiesc sub forma unor figuri geometrice n plan, a cror suprafa
este proporional cu mrimea caracteristicii. Diagrame de structur.
Presupun un raport de proporionalitate ntre suprafaa figurii
geometrice i totalul structurii de 100%. Fiecare figur geometric se
va mpri n attea pri cte are colectivitatea cercetat, prile se vor
distinge prin haurarea sau colorarea suprafe-elor respective.
Diagramele seriilor de timp: diagrame prin coloane, crono-grama,
diagrame polare. Cronograma se folosete pentru a desprinde tendina
de dezvol-tare a fenomenelor pentru fiecare etap dat. n seria
dinamic, valo-rile indicatorilor sunt reprezentate n succesiunea
lor n timp. Diagrama polar ajut la interpretarea gradului i formei
de variaie sezonier ce este datorat schimbrii anotimpurilor,
nceperii colilor etc. Diagramele seriilor de repartiie de frecvene.
- Pentru seriile de frecven unidimensionale se folosesc:
histo-grama, poligonul frecvenelor, curba cumulativ a frecvenelor
(ogiv). - Pentru seriile de frecven bidimensionale se folosesc:
corelo-grama (diagrama norului de puncte). Diagramele seriilor de
spaiu: cartogramele (hri ale terito-riului), cartodiagramele
(combinaie ntre cartogram i diagrame de suprafa), pictogramele
(folosesc figuri naturale i convenionale, fotografii asociate cu
diagrame prin areale pentru a mri efectul). Tabele statistice
constituie un ansamblu de judeci prezentat ntr-o form succint, n
cuvinte i expresii numerice, referitoare la fenomenele i procesele
studiate. Se folosesc att pentru prezentarea rezultatelor
cercetrii, ct i n cadrul analizei indicatorilor derivai. Tabelul
trebuie s respecte elementele de coninut (subiectul i predi-catul
tabelului) i cele de form (macheta tabelului). Tabelele statistice
sunt variate i se folosesc n etapa culegerii datelor, n cursul
pre-lucrrii sau al analizei statistice. 2.3. Indicatorii statistici
Indicatorul statistic este expresia numeric a unor fenomene,
procese, activiti sau categorii economice i sociale, delimitate n
timp, spaiu i structur organizatoric. Pentru cunoaterea
fenome-nelor de mas, indicatorii statistici ndeplinesc mai multe
funcii: de msurare, de comparare, de analiz sau sintez, de
estimare, de verifi-care a ipotezelor, de testare a semnificaiei
parametrilor utilizai. Dup etapa n care apar n procesul cercetrii
statistice, indicatorii statistici sunt: Indicatori primari, ce se
obin n procesul prelucrrii primare, prin centralizarea datelor
provenite din observare total sau parial. Indicatori derivai, ce se
obin prin comparri, abstractizri, generalizri, prin aplicarea unor
procedee specifice de prelucrare a mrimilor absolute a
indicatorilor primari. Ei pun n eviden aspec-tele calitative ale
fenomenelor analizate: - relaia dintre prile colectivitii, dintre
caracteristici; - legturile de interdependen dintre fenomene sau
valori tipice; - contribuiile diverilor factori la variaia unui
fenomen etc. Comparaiile dintre date pot fi fcute prin raportare
(mrimile relative) sau prin diferen (modificare absolut). Mrimea
relativ (M.R.) este rezultatul comparrii, sub form de raport, a doi
indicatori statistici, i arat printr-un singur numr cte uniti din
indicatorul raportat revin la o unitate a indicatorului baz de
raportare. Se poate exprima sub form de: Coeficieni care arat cte
uniti din indicatorul de raportat revin unei singure uniti baza de
raportare. Procente, care arat cte uniti din indicatorul baz de
raportare revin la 100 de uniti din indicatorul de baz de
raportare. n analiza statistic se utilizeaz n funcie de scopul
analizei: Mrimi relative de structur (MRS) sunt numite ponderi sau
greuti specifice, frecvene relative, exprimnd raportul dintre parte
i ntreg i se calculeaz ca raport ntre fiecare element sau grup de
elemente ale colectivitii, fa de volumul ntregii colectiviti.
Ponderea sau greutatea specific: 100xxgn1 iiii ==, unde: gi =
ponderea xi = elementul sau grupul de elemente xi = totalul
colectivitii Frecvene relative: 100nnnn1 iii *i ==, unde: ni* =
frecvena relativ ni = frecvena absolut ni = suma frecvenelor
absolute Proprietate: Suma frecvenelor relative *in = 1, dac se
exprim n coeficieni/ Suma frecvenelor relative *in = 100, dac este
n procente. Mrimi relative de intensitate (MRI) evideniaz gradul,
intensitatea de rspndire a fenomenului , n raport cu variabila la
care se raporteaz. Sunt considerate caracteristici derivate ce se
obin prin raportarea a doi indicatori absolui, de natur diferit ce
se afl ntr-un raport de interdependen cu semnificaie economic
concret. Se poate calcula sub form de raport: iiizyx = unde: xi=
mrimea de intensitate z i yi= cei doi indicatori absolui ex. W = TQ
unde W = productivitatea muncii, Q = producia, T = nr. de salariai
Mrimi relative de coordonare (MRC) caracterizeaz raportul n care se
afl doi indicatori de acelai fel, aparinnd unor grupe ale aceleai
colectiviti statistice, sau unor colectiviti de acelai fel, dar
situate n spaii diferite. Astfel M.R.C.: BABAXXk = sau ABABXXk =
Mrimi relative ale prevederii (MRPL) fiind specifice oric-rei
economii moderne n economia de pia, se calculeaz numai la nivelul
fiecrei uniti sau firme, n funcie de programele elaborate privind
aprovizionarea, producia, desfacerea de mrfuri. Noiuni: X0 =
nivelul fenomenului realizat n perioada de baza Xpl = nivelul
fenomenului programat pentru perioada curent X1 = nivelul
fenomenului realizat n perioada curent n funcie de aceste notaii
putem calcula: a) Mrimi relative ale sarcinii de plan : 100
.XXK0pl0pl = b) Mrimi relative ale realizrii planului: 100 *
.XXKpl1pl1 = c) Gradul de realizare a produciei n perioada curent
fa de baz 100 *XXK0101 = Toi aceti coeficieni ne arat dac
activitatea firmei s-a desf-urat conform planului stabilit, sau dac
s-au constatat pierderi, ca s se poat interveni n mod util pentru
recuperarea lor. Adesea reinem numai valoarea ce depete sau este
sub 100%. Acest procent se mai numete ritm de cretere sau scdere,
sau ritm de depire sau realizri a planului. Cuvinte cheie:
observare statistic, grupare statistic, numr de grupe (r), interval
de grupare (h), serii statistice, grafice, indicator, mrimi
relative. Teste gril: 1. Recensmntul ca metod de observare
statistic: a) este o metod de observare total; b) este o metod de
observare total, cu caracter periodic; c) are exclusiv un caracter
demografic; d) este o observare total cu caracter permanent.
Rspuns: b) 2. Formula lui Sturges se poate aplica pentru
determinarea: a) amplitudinii variaiei unei caracteristici; b)
mrimea intervalului de grupare; c) numrul de grupe; d) numrul de
caracteristici. Rspuns: b) 3. Avnd urmtoarea distribuie statistic:
Grupe de salariai dup vechime 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total
Numr salariai 3 5 16 10 2 36 calculai frecvenele relative ( )*% in
procentuale corespunztoare acestei distribuii (rotunjire la ntreg).
Rspuns: : n*% i8; 14; 44; 28; 6. Remarc: calculul se va face cu
formula: 100nnnii *% i =; exemplu pentru intervalul (5-10): 8
100363n*% i = = etc. 4. Un ef de serviciu studiaz munca a 30 de
angajai n legtur cu timpul de munc pierdut (min) ntr-o lun: 20 26
26 30 35 35 37 37 37 37 39 41 45 45 45 48 48 48 50 50 54 55 57 57
60 60 65 65 69 70 Grupai aceste date statistice pe 5-6 intervale
egale de variaie i calculai frecvena absolut corespunztoare.
Rspuns: [20-30] : 3; [30-40] : 8; [40-50] : 7; [50-60] : 6; [60-70]
: 6; Model de lucru 10550520 70rX XrAhmin max= === = Grupe de
salariai dup timp (min) Numrul salariai (ni) 20-30 3 30-40 8 40-50
7 50-60 6 60-70 6 Total ni = 30 Not: Limita inferioar inclus n
interval (excepie valoarea 70 fiind una singur nu influeneaz
puternic distribuia astfel se va include n ultimul interval
(60-70)). Tema 3. Analiza statistic a seriilor unidimensionale 3.1.
Indicatorii tendinei centrale Analiza tendinei centrale, n seriile
de repartiie, presupune luarea n consideraie, nu numai a valorilor
individuale, ci i a formei n care se repartizeaz frecvenele de
apariie a acestor valori. 3.1.1. Mrimile Medii sunt instrumente
statistice ce exprim, n mod sintetic i generalizat, ceea ce este
normal esenial, tipic i general n evoluia fenomenelor. Pentru
aplicarea corect a mediilor este necesar s se respecte urmtoarele
condiii: a) calculul mediilor s se bazeze pe folosirea unui numr
mare de cazuri individuale diferite, sub care s-a nregistrat
caracteristica, a cror variaie este ntmpltoare n raport cu
fenomenul n totalitatea lui; b) valorile din care se va calcula
media s fie omogene; c) alegerea acelei forme de medie care
corespunde cel mai bine formei de variaie a caracteristicii
cercetate i informaiilor de care se dispune. Media valorilor
individuale ale unui fenomen de mas este expresia sintetizrii
ntr-un singur nivel reprezentativ, ceea ce este esenial, tipic n
apariia, manifestarea i dezvoltarea lui. Mediile cele mai frecvent
ntlnite: Media aritmetic ( X ). Se folosete n general cnd fenomenul
supus cercetrii nregistreaz modificri aproximativ constante ntr-o
progresie aritmetic. Poate fi: Media aritmetic simpl: nxXn1 ii= = ,
unde: X = media aritmetic n = nr. variantelor individuale ix = suma
valorilor individuale ale caracteristicii Media aritmetic ponderat:
se folosete pentru seriile de distri-buie, cnd variante ale
caracteristicii se nregistreaz de mai multe ori. ip1 iip1 iinn
xX=== unde: x1, x2,..., xp niveluri individuale, ni frecvena
grupelor Formula de calcul a mediei simplificate: a h *nn *ha
XXiiiii+ ||
\| = unde a = valoarea caracteristicii cu frecven maxim
Observaii: sensibilitatea ei, fa de valorile extreme ale seriei;
devine nereprezentativ, dac termenii seriei sunt foarte mprtiai;
omogenitatea colectivitii este o condiie a reprezentativitii,
pentru orice tip de mrime medie; este indicat a se calcula cnd
frecvenele maxime sunt n cen-trul seriei. Media armonic (hX ) Se
calculeaz din valorile inverse ale ter-menilor seriei, ca medie
simpl sau ponderat. Pentru serii simple: =i ihx1nX i = 1,p Pentru
serii de frecven: =iiiiihn *x1nX Observaii: pentru distribuiile de
frecven este indicat a se folosi cnd n serie predomin valorile
mici, seria fiind asimetric ctre valorile minime ale
caracteristicii (frecvena maxim este n prima grup). Media ptratic
(pX ) Se calculeaz prin extragerea rdcinii ptrate din media
aritmetic a ptratelor termenilor seriei, ca medie simpl sau
ponderat: Pentru seriile simple: nxX2ip = Pentru seriile de
frecven: ii2ipnn xX= Observaii: Se folosete cnd dm o importan mare
termenilor mari ai seriei sau n cazul n care termenii seriei au
valori pozitive i negative. Frecvena maxim va fi la ultima grup a
seriei. Media geometric (gX ). Se bazeaz pe relaia de produs a
ter-menilor seriei i se mai numete i medie logaritmic. Pentru seria
simpl: n , 1 i , x Xni g = = Pentru seria frecvenelor: n , 1 i , x
Xiining = = Dac logaritmm rezult: Pentru seria simpl: lggX = nx lgi
Pentru seria frecvenelor: lggX = ii inx lg n. Media (gX ) se afl
prin antilogaritm. Observaii: nu poate fi folosit dac n cadrul
seriei exist cel puin un termen negativ, expresia devine imaginar;
sau dac exist un termen zero, anuleaz produsul termenilor; mai este
denumit i medie de ritm, fiind folosit pentru cal-culul ritmului
mediu de cretere. Relaiile existente ntre aceste medii sunt date de
inegalitile: pghX X X X . 3.1.2. Indicatorii de poziie Sunt denumii
i medii de structur, iar dintre acetia amintim: quantile de ordinul
K: pentru K = 2mediana (Me); pentru K = 4 quartilele (Q1, Q2 = Me,
Q3); pentru K = 10decilele (D1, .,D5 = Me, .., D9) modul (Mo) Aceti
indicatori evideniaz tendina de aglomerare sau con-centrare a
valorilor individuale, ctre anumite valori tipice. Se folosesc
pentru: estimarea nivelului mediu; evaluarea asimetriei seriei
etc.; Mediana (Me) reprezint acea valoare a caracteristicii situat
n mijlocul seriei dup ce termenii seriei au fost aranjai cresctor
sau descresctor. Cazul seriei simple numr impar de termeni: 1 5 9
12 16 20 25 Me =12 numr par de termeni: 1 5 8 12 16 20 10220212 8Me
= =+= Cazul seriei de distribuie de frecven Seria statistic fr
intervale (ex. distribuia loturilor de pro-duse dup numrul
rebuturilor) Nr. rebuturi din lot xi Nr. de loturi ni Frecvene
cumulate 0 10 10 1 20 30 2 40 70 3 15 85 4 10 95 5 5 100 TOTAL 100
Pentru aceast serie valoarea Me va fi acea valoare a
caracteris-ticii corespunztoare primei frecvene cumulate ascendent
ce dep-ete valoarea lui 21 ni + . Aceast relaie ne d locul medianei
pen-tru seriile de frecven cu intervale. ex. 21 ni + = 21 100 + =
50,5 prima frecven mai mare este 70, Me = 2 Cazul seriei statistice
cu intervale: Pentru calculul Me se urmresc etapele: cumularea
cresctoare a frecvenelor determinarea locului Me cu relaia 21 ni +
; calculul medianei cu formula: MepMei0nn21 nh X Me + + = 21 ni + =
locul Me, unde: X0 limita inferioar a intervalului median h mrimea
intervalului pMen = suma frecvenelor cumulate, precedente
intervalului median Men = frecvena absolut a intervalului median.
Exemplu: Gruparea muncitorilor dup vechime Numr muncitori Frecvene
cumulate 0-5 5 5 5-10 7 12 10-15 10 22 15-20 12 34 20-25 18 52
25-30 15 67 30-35 7 74 TOTAL 74 Locul Me = ) 25 , 20 ( 5 , 3721
7421 ni =+= + Me = 20+5 97 , 201834 5 , 37= Me = 20,97 Quartile
sunt acele valori ale caracteristici ce mpart seria ordo-nat n
patru pri egale. Sunt n numr de trei (Q1, Q2, Q3) i se calculeaz cu
relaiile: 1 Q1 pQi0 1nn41 nh X Q ++ = X0 = limita inferioar a
intervalului Q1, h = mrimea intervalului 41 ni + = locul primei
quartile Q1 1 pQn = frecvene cumulate precedente ale intervalului
Q1 1 Qn = frecvena absolut a intervalului Q1 Q2 = Me Q3 = ( )3 Q3
pQ i0nn 1 n43h X ++ X0 = limita inferioar a intervalului Q3, ( ) +1
n43i = locul Q3 3 pQn = frecvene cumulate precedente intervalului
Q3 3 Qn = frecvena absolut a Q3 Valoarea modal. Reprezint acea
valoare a caracteristicii, care are cea mai mare frecven de
apariie. Se calculeaz numai n distri-buie de frecven. Pentru o
repartiie de frecven pe variate M0 se identific pe calea simplei
examinri a irului de frecvene. Mo = 2 Numr rebuturi xi 0 1 2 3 4 5
TOTAL Numr loturi ni 10 20 40 15 10 5 100 Pentru o serie de frecven
pe intervale, determinarea M0 se face pe etape: - determinarea
intervalului modal, fiind intervalul de variaie al caracteristicii
cu frecven maxim - estimarea valorii modale cu relaia: 2 11h Xo Mo
+ + = unde: 0X = limita inferioar a intervalului modal 1 = diferena
dintre frecvena intervalului modal i frecvena intervalului
precedent 2 = diferena dintre frecvena intervalului modal i
frecvena intervalului urmtor h = mrimea intervalului. Exemplu:
Calculul M0 pe exemplul seriei de frecvene pe intervale de la Me cu
intervalul modal (20,25) Mo = 20 +5 ( )( ) ( )33 , 2315 18 12 1812
18= + 20 < 23,33 < 25 Observaii: M poate nlocui media cnd ea
nu se poate calcula sau nu are sens a fi calculat: industria
confeciilor: nu exist mrime medie, ci talia cea mai cutat (la fel
la nclminte) M este util pentru seria de repartiie asimetric M i M
se exprim n aceleai unitate de msur ca i variabila studiat. 3.2.
Indicatorii variaiei Cu ct gradul de complexitate al unui fenomen
este mai mare, cu att gama factorilor de influen este mai larg i
implicit cu att mai mare este variabilitatea termenilor unei serii
de repartiie. Indicatorii tendinei centrale nu dau nici o explicaie
asupra mprtierii, respectiv a modului n care termenii seriei se
abat ntre ei sau de la medie. Astfel, apare necesitatea calculrii
indicatorilor statistici ai variaiei, care rezolv: - verificarea
reprezentativitii mediei ca valoare tipic a seriei de distribuie; -
verificarea gradului de omogenitate al seriei; - verificarea
sistematizrii informaiilor prin gruparea statistic; -
caracterizarea gradului i formei de variaie a unei variabile
statistice. Clasificarea indicatorilor variaiei: 1. Dup numrul
variantelor cuprinse n metodologia lor de calcul: - indicatori
simpli; - indicatori sintetici ai variaiei. 2. Dup metodologia de
calcul i forma de exprimare, deosebim: - indicatori ai mprtierii,
calculai ca mrimi absolute; - indicatori de variaie calculai ca
mrimi relative, n raport cu valoarea unui indicator al tendinei
centrale (media). 3. Dup modul de sistematizare a datelor complexe:
- indicatori ai variaiei, calculai pentru serii de distribuie
unidi-mensionale. - indicatori ai variaiei, calculai pentru serii
de distribuie multidimensionale. Indicatorii simpli ai variaiei se
caracterizeaz prin acea c se calculeaz n cifre absolute sau
relative, prin compararea valorilor individuale extreme, sau prin
compararea fiecrei valori individuale cu valoarea lor medie.
Amplitudinea mprtierii este expresia cantitativ a domeniului de
variaie al unui fenomen i se calculeaz ca mrime absolut sau
relativ. Amplitudinea absolut: A = Xmax - Xmin Amplitudinea
relativ: A% = 100XA Se utilizeaz la alegerea numrului de grupe (r),
la stabilirea mrimii intervalului de grupare (h), la dirijarea
statistic a procesului de fabricaie. Abaterile individuale (di) ne
arat cu cte uniti de msur, sau de cte ori valoarea individual a
caracteristicii este mai mare sau mai mic dect mrimea unui
indicator al tendinei centrale. Abaterile individuale se calculeaz
n cifre absolute sau relative: Abaterile individuale absolute (di):
di = Xi - X , pentru i = n , 1 Abaterile individuale relative
(di%): di% = 100xdi , pentru i = n , 1 Indicatorii simpli ai
variaiei permit o caracterizare parial i aproximativ a variaiei:
pentru c se calculeaz pe baza relaiei ntre doi termeni ai seriei,
sau ntre fiecare termen i media lor. Indicatorii sintetici ai
mprtierii caracterizeaz gradul de va-riaie lund n considerare toi
termenii seriei. Indicatorii sintetizeaz ntr-o singur expresie
numeric, variaia valorilor individuale, fa de tendina central a
caracteristicilor urmrite ntr-o populaie statistic. n funcie de
metodologia de calcul n statistic se calculeaz: Abaterea medie
absolut ( ) d reprezint media aritmetic sim-pl sau ponderat a
abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendina lor
central. Pentru serii simple: nx xidi = pentru i = 1, k Pentru
serii de frecven: =ii2iinin * x xd pentru i = 1, k unde: k = numrul
de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvene
absolute Observaii: Pentru seriile de distribuie pe intervale se
iau centrele de interval. Este concludent numai pentru seriile cu
grad mare de omogenitate. Dispersia ( )2 se calculeaz ca o medie
aritmetic simpl sau ponderat a ptratelor abaterilor termenilor de
la media lor. Pentru seria simpl: ( )2ii2nx x = pentru i = p , 1
Pentru seria de frecven : ( ) = ii2ii2nin * x x Pentru serii de
frecvene relative : ( )100n * x x*i2ii2% = Formula de calcul
simplificat al dispersiei : ( )22ii2ii2a x h *nin *ha x ||
\| = unde: a = centrul de interval al caracteristicii cu frecven
maxim. Observaii: 2 i x calculate pe baza seriilor de repartiie pe
intervale, sunt mai puin exacte dect dac s-ar folosi date
individuale negrupate. cu ct intervalele de grupare sunt mai mari,
cu att 2 i x sunt mai puin semnificative. 2 este un indicator
abstract, fr coninut economic. 2 msoar variaia total a
caracteristicilor studiate, datorate cauzelor eseniale i
ntmpltoare. Abaterea medie ptratic (abaterea standard). Se definete
ca medie ptratic simpl sau ponderat, a abaterilor valorilor
individuale de la tendina central, sau ca rdcin ptrat a dispersiei.
Astfel: 2 = , unde 2 = dispersia, calculat prin orice metod.
Observaii: abaterea medie ptratic se exprim n unitatea de msur a
caracteristicii studiate iar valoarea sa este cu att mai mare cu ct
variaia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare;
comparnd cu d , calculate pentru aceeai serie: d ; n analizele
statistice, se prefer , ca fiind un parametru al legii normale
(majoritatea metodelor statistice au la baz ipoteza normalitii); se
preteaz mai bine la calculul algebric; n analizele
financiar-bursiere poate fi utilizat ca o msur a riscului.
Coeficientul de variaie (v). Este o msur a dispersiei relative care
descrie abaterea medie ptratic ca procent din media aritmetic.
Permite compararea mprtierii valorilor individuale a mai multor
caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate n aceeai UM. Se
calculeaz cu relaia: 100 *xV = Observaii: coeficientul de variaie
ia valori n intervalul 0-100%; dac tinde spre 0, este o variaie
slab, o colectivitate omogen i o medie cu un grad mare de
reprezentativitate; dac tinde spre 100%, variaia este intens,
colectivitatea eterogen; practica a stabilit pragul de trecere de
la omogenitate la etero-genitate: - dac v 35%, colectivitate este
omogen, media reprezen-tativ, gruparea bine efectuat. - dac v 35%,
colectivitate este eterogen, media nerepre-zentativ, gruparea
trebuie refcut. 3.3. Analiza variaiei ntr-o serie de repartiie
bidimensional Analiza detaliat a fenomenelor social-economice, cu
grad mare de complexitate, necesit structurarea colectivitii pe
grupe relativ omogene, n funcie de variaia uneia sau a mai multor
caracteristici de grupare. Astfel, studiul mprtierii unei
caracteristici n ntreaga colecti-vitate trebuie s se completeze cu
analiza mprtierii din fiecare grup i dintre grupe, identificndu-se
astfel, rolul diferiilor factori de influen asupra variaiei
caracteristicii n colectivitatea respectiv. Msurarea influenei
factorilor asupra variaiei colectivitii se realizeaz cu un sistem
de indicatori factoriali ai variaiei ce se calcu-leaz la nivelul
fiecrei grupe, dar i pe ntreaga colectivitate. Se poate calcula:
Media de grup (cte una pentru fiecare grup dup (x) =ijij iinn yy ,
m . 1 i = Media general a colectivitii = =iiii i0nn yy y i = p , 1
Dispersia fiecrei grupe (dispersie parial) se calculeaz ca o medie
aritmetic ponderat a ptratelor abaterilor variantelor
caracte-risticii, de la media de grup. ( ) = jijjij2i ji2nn y y -
arat msura n care factorii ntmpltori, n interiorul fiecrei grupe
influeneaz variaia valorilor individuale ale caracteristicii. - Cu
ct dispersia din interiorul fiecrei grupe este mai mare, cu att
grupa este mai puin omogen. - Media dispersiilor pariale se
calculeaz ca medie aritmetic ponderat a dispersiilor de grup i
sintetizeaz influena factorilor ntmpltori pe toat colectivitatea:=
iiii2i2nn unde: i2 = dispersii de grup ni = volumul grupelor -
Dispersia dintre gupe se calculeaz ca o medie aritmetic ponderat, a
ptratelor abaterilor, mediilor de grup, fa de media caracteristicii
generale. ( ) = iiii20 i2nn y y - reflect variaia caracteristicii
dependente, datorat aciunii cauzelor eseniale, pe ntreaga
colectivitate, deci influena factorului de grupare asupra
caracteristicii rezultative (y). - Dispersia total msoar ntreaga
mprtiere a valorilor caracteristicii rezultative (y), care este
produs, att de aciunea facto-rilor eseniali, ct i a celor
neeseniali, variabili de la o grup la alta, sau n cadrul aceleai
grupe. ( ) = jjjj20 j20nn y y - cu ct dispersia total (20 > 0)
cu att colectivitatea, are un caracter mai eterogen. Regula de
adunare a dispersiilor arat relaia dintre dispersia total i cele
dou dispersii factoriale, cu formula: 2 2 20 + = unde: 20 =
dispersia total; 2 = media dispersiilor pariale; = dispersia dintre
grupe. Pe baza ei se calculeaz: Coeficientul de determinaie 100
R2022= - arat care este ponderea factorului principal de grupare n
variaie total a caracteristicii. Coeficientul de nedeterminaie 100
K2202= - arat care este ponderea factorilor ntmpltori n variaia
total a caracteristicii. ntre cei doi coeficieni exist urmtoarea
relaie: 1 K R2 2= + Dac: 2 2K R > , factorul principal de
grupare acioneaz hot-rtor asupra variaiei caracteristicii
rezultative. 2 2K R < , variaia caracteristicii rezultative se
datoreaz influen-ei exercitate de alte cauze, aceasta fiind
independent de variaia caracteristicii factoriale. 3.4. Analiza
asimetriei repartiiilor empirice n urma prelucrrii informaiilor se
obin serii de repartiie de frecven empirice, ce se pot compara cu
repartiii teoretice, a cror form de repartiie este cunoscut. Cea
mai frecvent serie de repar-tiie, ctre care tind seriile empirice,
este distribuia normal sau funcia GAUSS-LAPLACE, ale crei frecvene
se distribuie simetric, de-o parte i de alta a frecvenei maxime,
plasat n centrul seriei. Graficul acestei distribuii are form de
clopot, n raport cu ordonata maxim, iar Mo Me X = = . Noiunea de
asimetrie se refer la felul n care frecvenele unei distribuii
empirice se abat de la curba normal a frecvenelor. Sunt cunoscute
distribuii empirice: uor asimetrice; pronunat asimetrice. Serii n
form de U apar atunci cnd frecvenele maxime sunt la capetele
intervalului de variaie, iar frecvena minim n centrul intervalului.
Reprezentrile grafice ne ofer o imagine asupra asimetriei, dar
gradul de asimetrie este msurat cu indicatori specifici, din care
amintim pe cel mai important: Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui
PEARSON - se calculeaz ca raport ntre asimetria absolut (AS) i
aba-terea medie ptratic. ; Mo X As = =Mo XCas - Cas are o valoare
abstract, artnd mrimea i felul asime-triei, iar valorile lui sunt
cuprinse n intervalul (-1, 1). - Dac: Cas = 0, seria este simetric;
Cas 0, asimetrie mic Cas (+/- 1), asimetrie pronunat Cas n
intervalul (0,1) asimetrie pozitiv Cas n intervalul (-1,0)
asimetrie negativ. Cuvinte cheie: tendin central, media aritmetic (
X), media armonic ( h X ), media ptratic ( p X ), media geometric (
g X ), mediana (Me), modul (Mo), quantile (Q), amplitudine (A),
abateri individuale (di), dispersie (2 ), abaterea standard (),
coeficientul de variaie (v), coeficientul de determinaie (R2),
coeficientul de nedeterminaie (K2), coeficientul lui Pearson. Teste
gril: 1. ntr-un tand de nclminte s-au vndut ntr-o zi 11 perechi de
pantofi cu urmtoarele mrimi: 38, 39, 35, 36, 37, 38, 38, 39, 37,
38, 39. Denumii mrimea medie cea mai indicat a se calcula n acest
caz i precizaii valoarea. Rspuns: Modul; Mo = 38 Model de rezolvare
n industria de nclminte nu se poate calcula media, ea se nlocuiete
cu numrul mrimii nclmintei cea mai cutat. Ordonm seria: 35, 36, 37,
37, 38, 38, 38, 38, 39, 39, 39. Observm c numrul nclmintei cel mai
cutat este 38, a crei frecven de apariie este 4, fiind cea mai
mare. 2. Dinamica produciei realizate de o firm n primele 6 luni
ale anului a fost: 111%, 118%, 108%, 116%, 121%, 130%. Tipul de
medie cel mai ridicat a se calcula n acest caz: a) aritmetic; b)
armonic; c) ptratic; d) geometric. Rspuns: d). Observaie. Media
geometric este o medie de ritm. 3. Distribuia studenilor dintr-o
serie de studiu dup nota la disciplina statistic este: Nota 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 Total Numr studeni 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20
Valoarea median (Me) va fi: Me =? Rspuns: Me =5. Model de rezolvare
Avem cazul seriei de distribuie de frecven fr intervale. Valoarea
Me va fi acea valoare a caracteristicii corespunztoare primei
frecvene cumulate ascendent ce depete valoarea lui 21 ni +, care ne
d locul Me. Nota Numr studeni 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82
6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120 =+=+5 , 6021 12021 ni
prima valoare mai mare este 82 i corespunztor ei este valoarea
variabilei nota egal cu 5. Deci 5 Me = . Total 120 4. Se cunosc
urmtoarele date referitoare la repartiia salariailor dup vechimea n
munc: Gruparea salariailor dup vechime 5-15 15-25 25-35 35-45 45-55
Total Numr salariai 5 9 16 7 3 40 Calculai vechimea medie a
salariailor i verificai reprezen-tativitatea ei. Rspuns: X = 28,5;
v = 38,07% (medie nereprezentativ). Model de rezolvare: h = 10, a =
30 Gruparea salariailor dup vechime Numr salariai ni xi ha xi iinha
x||
\| in2haix|||
\| 5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0
35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48 5 , 28 30 10406a
hnnha xXiii= + = +||
\| = 75 , 117 ) 30 5 , 28 ( 1004048) a x ( hnnha x2 2 2iiii2i2=
= ||
\| = 85 , 10 75 , 1172= = = 07 , 38 1005 , 2885 , 10100xV = = =
>35% medie nereprezentativ. 5. La o firm se analizeaz situaia
angajailor dup vechime: Gruparea salariailor dup vechime 5-10 10-15
15-20 20-25 25-30 Total Numr salariai 5 7 15 10 8 45 Verificai
asimetria seriei (Cas). Rspuns: Cas = 0,0687 (uoar asimetrie
pozitiv). Model de rezolvare: h = 5, a = 17,5 Gruparea salariailor
dup vechime Numr salariai ni xi ha xi iinha x||
\| in2haix|||
\| 5-10 5 7,5 -2 -10 20 10-15 7 12,5 -1 -7 7 15-20 17 17,5 0 0 0
20-25 10 22,5 1 10 10 25-30 8 27,5 2 16 32 Total ni = 45 9 69 5 ,
18 5 , 17 5459a hnnha xXiii= + = +||
\| = 33 , 37 ) 5 , 17 5 , 18 ( 254569) a x ( hnnha x2 2
2iiii2i2= = ||
\| = 11 , 6 33 , 372= = = ( )( ) ( )08 , 181385 15 Mo10 15 7 157
155 15 h x Mo 20 , 15 Mo2 110= + = + + = + + = ( ) 1 , 1Mo xCas =
== 0687 , 011 , 608 , 18 5 , 18Casseria este uor asimetric pozitiv
(0,1) Tema 4. Cercetarea prin sondaj ntr-o economie de pia,
sondajul este o form preponderent de obinere a datelor statistice,
datorit operativitii i economicitii obinerii lor. Sondajul este o
procedur prin care se caracterizeaz o populaie, n baza cercetrii
unei pri a acesteia, deci a unui eantion prelevat din populaia de
origine. Rezultatul obinut pe baza sonda-jului se extrapoleaz, la
dimensiunea ntregii populaii. Extinderea rezultatelor de la parte,
la ntreg, nu are caracter determinist, ci probabilist, fiind supuse
unui risc de-a fi eronate. Principalele erori de sondaj sunt
erorile de reprezentativitate, ce se pot msura: Absolut, ca
dimensiune a deplasrii paramentului de sondaj ( X) de la mrimea
adevrat a lui n populaie general (0X ) respectiv: 0X X x d =
Relativ, se poate exprima 00XX Xx d = * 100. O astfel de eroare sub
5%, permite a se aprecia c sondajul este reprezentativ, deci arat o
imagine aproximativ fidel a realitii. Statistica ofer variante de
prelevare a unitilor i alctuirea eantioanelor, astfel nct s asigure
un grad ridicat de reprezentativitate prin: sondaje aleatoare;
sondajul simplu; sondajul tipic (stratificat); sondajul de serii;
sondaje dirijate; sondaje sistematice. Fiecare din aceste tipuri de
sondaj se poate efectua: - repetat, cnd unitatea prelevat este
restituit populaiei de origine i are anse s reintre n eantion; -
nerepetat, cnd unitile nu sunt restituite n populaia general.
Modelul teoretic al acestor dou variante de prelevare se afl n URNA
LUI BERNOULLI, cu bila revenit i nerevenit. 4.1. Sondajul aleator
simplu Este varianta aleatoare elementar, celelalte tipuri putnd fi
nelese ca soluii obinute prin particularizarea unor elemente ale
acestui tip de sondaj. Simboluri de baz Media caracteristicii
Dispersia caracteristicii Indicatori din: Nr. de uniti Numeric
Alternativ Numeric Alternativ Populaia generala N 0X p 20 ( ) p 1
p2p = Eantion n X w 2x ( ) w 1 w2w = Indicatorii sondajului aleator
simplu sunt: Indicatori Caracteristic numeric Caracteristic
alternativ Selecie repetat Selecie nerepetat Selecie repetat
Selecie nerepetat 1. Eroarea medie de sondaj n2xx= ||
\| = Nn1n2xx ( )= = nw 1 ww n2w= = = ||
\|Nn12w w( )||
\| =Nn1nw 1 w 2. Eroarea limit xZx = xZx = wZw = wZw = 3.
Volumul eantionului (n) x22x2Zn = N2x2Zx22x2Zn + = = =w22w2Zn (
)w2w 1 w2Z = = + =N2w2Zw22w2Zn ( )( )Nw 1 w2Zw2w 1 w2Z + = 4.
Intervalul de ncredere pt. media general xx0xxx + < < ww pww
+ < < Observaie: Dac se ajunge la situaia ca n = N, atunci
factorul ||
\| Nn1 devine nul i dispare, pentru c cercetarea parial s-a
transformat n cercetare total. Dac N volumul colectivitii este
ridicat, iar n al sondajului este redus atunci ||
\| Nn1 1, practic coincide n ambele tipuri de sondaj. Z este
argumentul funciei de probabilitate Gauss-Laplace (Z), care are o
repartiie normal, fiind o valoare tabelar (Tabelul cu valorile
funciei Gauss-Laplace). Intervalul de ncredere delimiteaz zona
probabil n care se va plasa valoarea adevrat dar necunoscut a
mediei populaiei generale ) x ( 0 . 4.2. Sondajul tipic
(stratificat) Sondajul tipic se aplic cel mai frecvent n cercetarea
fenomenelor social-economice de mas. Acest sondaj se aplic
colectivitilor neomogene, care au grupe omogene (tipuri de uniti)
dup o caracteristic esenial notate cu N1, N2,..., Nr i reprezentate
n sondaj prin volumul subeantioanelor n1, n2,..., nr. Dac grupele
colectivitii sunt omogene, mediile de grup ( )ix au valori
apropiate de valorile individuale din care s-au calculat, abaterile
lor sunt mici, iar gradul de variaie este mic. Variaia mediilor de
selecie posibile va fi n funcie de variaia fiecrei grupe msurat
prin dispersiile de grup ( )2i i sintetizat prin media dispersiilor
pariale ( )2 . Remarc: Din regula de adunare a dispersiilor tim c
202 < , de aici rezult c vom avea erori mai mici n selecia
tipic. Media de selecie ( ) x se va calcula ca o medie aritmetic
ponderat a mediilor subeantioanelor respective: =ii inn xx, pentru
r , 1 i = . Media dispersiilor de grup ||
\|2 se calculeaz ca o medie aritmetic ponderat a dispersiilor de
grup: = ||
\|ii2i2nn . Eantionul se obine prin extragerea de subeantioane
din nivelurile populaiei totale folosind procedee de selecie
aleatoare. Repartizarea eantionului pe subeantioane se poate face
prin trei procedee: 1. Selecia tipic simpl Repartizarea n mod egal
a eantionului pe subeantioane, indiferent de numrul unitilor ce
compun straturile populaiei totale: rnni = , unde: r = numrul de
straturi n populaia total. 2. Selecia tipic proporional Formeaz
subeantioanele n raport de ponderea fiecarei grupe n colectivitatea
total i se respect proporia de selecie n/N. Volumul fiecrui
subeantion va fi: r , 1 i unde ,NNn niiip = = . 3. Selecia tipic
optim La formarea subeantioanelor se are n vedere att ponderea
fiecrei grupe n colectivitatea general, ct i gradul de omogenitate
al fiecrei grupe msurat prin abaterea standard: r , 1 i pentru ,NNn
ni ii iio = = unde: Ni = numrul unitilor pe grupe din
colectivitatea total; i = abaterea standard pe grupe ale
colectivitii totale. Observaie: Selecia tipic d cele mai mici
erori, dar n activitatea practic este greu de aplicat. Indicatorii
seleciei tipice: Indicatori Caracteristic numeric Caracteristic
alternativ Selecie repetat Selecie nerepetat Selecie repetat
Selecie nerepetat Eroarea medie de sondaj n2xx= ||
\| = Nn1n2xx ( )= = nw 1 ww n2w= = = ||
\|Nn1n2ww( )||
\| =Nn1nw 1 w Eroarea limit xZx = x xZ = wZw = w wZ = Volumul
eantionului x22x2Zn = N2x2Zx22x2Zn + = = =w22w2Zn ( )w2w 1 w2Z = =
+ =N2w2Zw22w2Zn ( )( )Nw 1 w2Zw2w 1 w2Z + = Intervalul de ncredere
pentru media colectivitii generale xx0xxx + < < ww pww + <
< Intervalul de ncredere pentru nivelul totalizat al
caracteristicii ( ) ( )NxxN1 iixxx N + < =< ( ) + < <
)ww ( NiMww N Observaie: pentru caracteristica alternativ vom
calcula: media mediilor de sondaj ( w ):=ii inn ww media
dispersiilor de selecie: ( ) [ ] == ii i iii2iw2wnn w 1 wnn Cuvinte
cheie: sondaj, eroare medie, eroare limit, volumul eantion,
interval de ncredere, sondaj tipic, selecie tipic optim, selecie
tipic proporional. Teste gril: 1. Pentru determinarea volumului
eantionului n varianta tipic nerepetat caracteristic alternativ, se
folosete relaia: a) x22x2Zn = b) =2i i2i i2NN nn c) NZZn2x2x22x2+ =
d) NZZn2w2x22w2+ = e) N ZZn2x2x22x2 + = Rspuns: d) 2. Determinai
numrul de piese ce trebuie extrase aleator i nerepetat, dac se
cunosc urmtoarele date: ntregul lot de piese: N = 3.000; diametrul
mediu al pieselor din eantion nu trebuie s difere mai mult de 1 cm
fa de diametrul mediu al ntregului lot: 1x = cm; variaia
caracteristicii studiate 2x = 20 cm; probabilitatea garantrii
rezultatelor Z = 2,9. Rspuns: n = 160 piese. Model de rezolvare: N
= 3.000 1x = 2x = 20 Z = 2,9 160000 . 32029 , 212029 ,
2N2x2Zx22x2Zn =+=+ = piese 3. Pentru o unitate economic se cunosc
datele referitoare la un sondaj de 10% selectat aleator i repetat:
Grupe angajai dup mrimea produciei 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18
18-20 Total Numr angajai 2 6 12 22 18 6 66 Estimai limitele ntre
care se va ncadra producia medie a colectivitii totale pentru o
probabilitate (Z) = 0,9545 pentru care Z = 2. Rspuns: . 68 , 15 x
32 , 14 0 < < Model de rezolvare: h = 2, a = 15 Grupe angajai
dup producie Numr angajai ni xi ha xi iinha x ||
\| i2inha x ||
\| 8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12
14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24 Total = 66
ni 0 96 15 15 2660a hnnha xxiii= + = + ||
\| = ( ) 82 , 5 ) 15 15 ( 46696a x hnnha x222ii2i2= = ||
\| = 68 , 06682 , 52nZ2x = = = + < < xoxx x x15-0,68 <
o x < 15 + 0,68; 14,32 < o x 0, legtura este direct b< 0,
legtura este invers. Estimarea parametrilor se realizeaz prin
metoda celor mai mici ptrate, pe baza valorilor (x,y) observate
ntr-un eantion de volum n. Studiul fenomenelor i proceselor
economico-sociale se face pe baza unui numr mare de date
statistice, ce impune folosirea urm-torului sistem: na + bxi = yi
axi+ bx2i= xiyi Astfel, cu ajutorul determinanilor sau cu orice alt
metod se calculeaz cei doi parametri. ==2i2ii iii2i) x ( x ny x x y
xpaa ==2i2iiiii) x ( x ny x y x npbb , unde: a, b, p =determinantul
lui a, b i principal. Cu valorile coeficienilor a i b se calculeaz
valoarea ecuaiei de regresie, pentru fiecare mrime a lui x.
Valorile ecuaiei de regresie se mai numesc i valori teoretice ale
caracteristicii y n funcie de x, iar operaia de nlocuire a
termenilor reali (y) cu valorile ecuaiei de regresie, se numete
ajustare ( bx a yx + = ). Corelaia liniar simpl Scopul analizei de
corelaie este s msoare gradul, intensitatea legturii dintre cele
dou variabile (x, y). Coeficientul de corelaie msoar intensitatea
legturii dintre cele dou variabile (x,y) i se calculeaz ca o medie
aritmetic a produsului abaterilor normale normate a celor dou
variabile. ( )( )y xxyny y x xr = , iar n practic se folosete
urmtoarea relaie: ( ) [ ] ( ) [ ] =2 2 2 2xyy y n x x ny x xy nr
Coeficientul xyr ia valori n intervalul (-1,1), artnd intensitatea
i direcia legturii. Observaie. Coeficientul xyr se calculeaz doar
pentru legturile liniare. Raportul de corelaie. Este un indicator
al intensitii legturii ce poate fi aplicat, att n cazul regresiei
liniare, ct i n cazul regresiei neliniare. Pentru un numr mic de
date negrupate prezentate ca serii paralele independen-ele raportul
de corelaie se determin: ( )( ) =22xxyy yy y1 R , unde: xy =
valorile ajustate ale lui y, n funcia de regresie y = media
caracteristicii y. Raportul de corelaie ia valori n intervalul (0,
1), Rxy = 0 variabilele sunt independente astfel: Rxy 0 legtur slab
Rxy 1 legtur puternic Dei Rxy ia valori n intervalul (0,1) semnul
pentru Rxy, se stabilete n concordan cu semnul coeficientului b din
funcia de regresie. Observaie. Se calculeaz n cazul oricrui tip de
legturi. n cazul legturii liniare Rxy = rxy. Dac cei doi nu sunt
egali, nseamn c legtura nu este liniar i trebuie determinat
raportul de corelaie. 5.3. Metode neparametrice de msurare a
intensitii legturilor dintre fenomene Metodele neparametrice se
folosesc dac variabilele se exprim prin cuvinte, sau o variabil
este calitativ i alta cantitativ, sau am-bele sunt cantitative, dar
nu exist suficiente date pentru a se cunoate forma distribuiei.
Dintre metodele neparametrice amintim: Coeficientul de asociere.
Presupune ntocmirea unui tabel de asociere, care prezint
colectivitatea dup dou caracteristici corelate logic, sau de forma
caracteristicilor alternative, cu dou posibiliti. Tabelul de
asociere a variabilelor (x,y) x\y Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d
TOTAL a+c b+d n Coeficientul de asociere msoar intensitatea
legturii a dou caracteristici liniare i se deduce din tabelul de
asociere pe criteriul dependen/independen, cu formula propus de
YULLE: [ ] 1 , 1) bc ad () bc ad (Q += Coeficienii de corelaie ai
rangurilor se folosesc pentru: - analiza legturilor dintre
caracteristici calitative; - sau cantitative pentru care nu se
dispune de informaii sufi-ciente pentru a stabili forma legturii; -
sau o caracteristic calitativ i una cantitativ; - valorile
caracteristicilor sunt nlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale
acestor valori, cnd sunt ordonate ntr-o serie cresctoare sau
descresctoare. Msurarea intensitii legturii se realizeaz utili-znd
aceste ranguri. Dintre coeficienii utilizai, amintim: -
Coeficientul de corelaie a lui SPEARMAN: ] 1 , 1 [) 1 n ( nd 61
r2is = Cu ct sr +/- 1, cu att legtura este mai puternic. -
Coeficientul de corelaie KENDALL Se calculeaz astfel: - se ordoneaz
cresctor sau descresctor perechile de valori (x, y) dup
caracteristica x;. - se stabilesc rangurile celor dou
caracteristici (Rx i Ry); - pentru fiecare rang a lui y, Ry se
calculeaz: Pi numr de ranguri superioare ale lui Ry i Qi numr de
ranguri inferioare ale lui Ry i se calculeaz scorul Si=Pi-Qi. S =
Si Coeficientul KENDALL se determin: ] 1 , 1 [) 1 n ( nS 2rk = Cu
ct sr +/- 1, cu att legtura este mai puternic. Cuvinte cheie:
regresia, corelaia, corelogram, coeficient de corelaie (rxy),
raport de corelaie (Rxy), coeficient de asociere (Q), coeficienii
rangurilor Spearman i Kendall. Teste gril: 1. Legtura dintre dou
variabile este foarte slab sau inexistent dac valoarea
coeficientului de corelaie este n intervalul: a) [0-0,2); b)
[0,2-0,5); c) (075-1]; d) (-0,2-0); e) (0,5-0,75). Alegei combinaia
corect: A(a, e); B(a, d); C(b, c, e); D(a, b, e). Rspuns: B. 2.
Coeficientul de corelaie calculat pentru o legtur invers poate lua
valori n intervalul: a) [-1, 0); b) (0, 1); c) [-1, 1]; d) mulimea
numerelor reale. Rspuns: a). 3. Pentru opt salariai care efectueaz
aceleai operaii s-au nregistrat: Nr. curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp
nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Numr operaii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8
Artai tendina legturii dintre cele dou variabile printr-o funcie
matematic. Rspuns: i xx 99 , 0 3 , 11 y = Timp nelucrat yi Numr
operaii xi x2 xy 1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30
5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T yi = 36 xi = 55
419 207 analizm graficul celor dou variabile (corelogram) yi 8 7 6
5 4 3 2 1cm OX: 1 um 1cm OY: 1 um 1 4 5 6 7 8 9 10 xi 171 8OX
diviziuni . nrAKOY=== = ntre cele dou variabile exist o legtur
puternic invers (b va avea o valoare negativ). na + bx = y ax + bx2
= x y ( ) == == 222i22x x nxy x yx xx nx xyx ypaa ( )3 ,
11327369955 419 8207 55 36 4192 = = = ( )32732432736 55 207 8x x ny
x xy npbb22= === = 0,99 Rezult c funcia va fi: i xx 99 , 0 3 , 11 y
= 4. Rezultatele unei grupe de studeni au fost urmtoarele: Student
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5
10 1 8 7 3 4 2 6 Dependena dintre cele dou variabile se msoar cu
coeficientul de corelaie al rangurilor a lui SPEARMAN: rS. Rspuns:
rS = 0,855. Model de rezolvare: Student Marketing RY Statistica RX
1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4
4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6 Rx Ry di=Rx-Ry di2 1 2 -1 1 2
1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1 ( )( )855
, 099014411 100 1024 611 n nd 61 r22iS= == == = 9 8 1 1 10 9 1 1
Total 24 Tema 6. Analiza statistic a seriilor cronologice 6.1.
Concepte i particulariti ale seriilor cronologice (SCR) O SCR se
prezint sub forma unui ir sistematizat de valori, ale unei
caracteristici realizate la momente sau intervale de timp
succe-sive. Curgerea timpului se msoar n succesiune cu ajutorul
unei scale de intervale. Unitile de timp utilizate sunt: anul,
trimestrul, luna, sptmna, ziua. Caracterizarea evoluiei n timp a
unui fenomen, presupune ca timpul s fie variabil, iar spaiu i
structura organizatoric s fie constante. Astfel, variabila timp (t)
este legat funcional de variabila y (y = f(t)). Particularitile SCR
Variabilitatea termenilor arat procesul de dezvoltare n timp a unui
fenomen. Omogenitatea termenilor nseamn dispersia minim a
terme-nilor, presupune existena n perioada analizat a unor termeni
cu aceeai esen calitativ. Asigurarea omogenitii determin implicit
comparabilitatea acestora. Interdependena termenilor presupune c
fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior, c sunt
valori succesive ale aceluiai fenomen, care se petrec n aceeai
unitate de timp i spaiu. Clasificarea SCR Dup natura
caracteristicilor studiate i perioada la care se refer: - SCR de
intervale (serii de flux) n care observarea statistic se face
continuu n decursul unui interval de timp; - SCR de momente (mrimi
de stoc), cnd observarea se face la momente de timp distincte.
Termenii acestei SCR nu sunt nsumabili, ei conin elemente ale
stocului care coexista n momente diferite de timp. Reprezenterea
grafic. Se folosete CRONOGRAMA, care se bazeaz pe cadranul I din
sistemul de axe rectangulare, unde: - pe OX se reprezint timpul -
pe OY se reprezint termenii SCR. 6.2. Sistemul de indicatori
statistici ai seriilor cronologice Pentru caracterizarea evoluiei n
timp a unui fenomen de mas, n complexitatea sa, din termenii unei
serii cronologice se calculeaz un sistem de indicatori statistici,
analitici i sintetici. Indicatorii SCR sunt: - indicatori absolui
(de nivel, de volum, modificarea absolut); - indicatori relativi (
indicele de dinamic, ritmul relativ, valoarea absolut a unui
procent din ritmul sporului); - indicatori medii (nivel mediu, spor
mediu, indicele mediu de dinamic, ritmul mediu). Alegerea bazei de
comparare, impune ca indicatorii unei SCR, care se obin prin
raportare, s se determine folosind: - baz fix, adic un nivel de
referin neschimbat pentru ntreaga perioad analizat; - baz n lan
presupune ca nivelul de referin s fie mobil, avansnd n timp
simultan cu perioada la care se refer indicatorul. De regul, baza
de comparare este nivelul din perioada imediat anterioar. Astfel Yt
se compar cu Yt-1. Indicatori absolui Aici se includ acele mrimi
numerice, care exprim starea feno-menului, n uniti de msur
specifice acestuia. - Indicatorul de nivel (yt) exprim mrimea
fenomenului analizat n uniti de timp t. - Indicatorul de volum (yt)
reprezint suma termenilor SCR de intervale. - Modificarea absolut
(t/t) arat cu cte uniti s-a modificat valoarea individual ntr-o
perioad t, fa de o perioad t , luat ca baz de comparaie. Avem cazul
gen: T , 1 t , t , y yt tyt / t = = Modificare absolut cu baz fix T
t y ytyt, 1 ,1 1 / = = Modificare absolut cu baz mobil T , 1 t , y
y11 t ty1 t / t = = Proprietate: Suma modificrilor absolute cu baza
n lan, reprezint sporul cu baz fix: y1 / Ty1 t / t = Indicatori
relativi. Pot fi utilizai n analiza comparativ a evoluiei mai
multor fenomene. Ei redau proporia sau decalajul, din nivelurile
realizate, ale unei caracteristici n perioade distincte.
Indicatorii relativi exprim de cte ori valoarea unei variabile este
mai mare sau mai mic, fa de cea aleas baz de comparaie. Indicele de
dinamic T . 1 t , 100 *yyI' tt y' t / t = = Indice de dinamic cu
baz fix T . 1 t , 100 *yyI1t y1 / t = = Indicele de dinamic cu baz
mobil T . 1 t , 100 *yyI1 tt y1 t / t = = Proprietate: Produsul
indicilor cu baz mobil este egal cu indicele cu baz fix YTyt tI I1
/ 1 / = Ritmul de modificare relativ exprim cu ct la sut s-a
modificat nivelul nregistrat de caracteristic analizat, ntr-o
anumit perioad fa de perioada baz de comparaie. T . 1 ' t , t , 100
I 100 *yRYt / t' tyt / t y' t / t = == - Ritmul cu baz fix. T . 1 t
, 100 I RY1 / ty1 / t = = - Ritmul cu baz mobil. T . 1 t , 100 I
RY1 t / ty1 t / t = = Valoarea absolut a 1% din ritmul de cretere
arat cte uniti revin la 1% de cretere sau scdere, ct i repartizare
uniform a modificrii absolute pe procentele ritmului de modific
relativ. 100y100 * RA' tyt / tyt / t y' t / t == - Valoarea absolut
a unui procent din ritmul cu baz fix: 100yA1 y1 / t = - Valoarea
absolut a 1% din ritmul relativ100yA1 t y1 t / t = Indicatorii
medii ai SCR se exprim sub form de medie, deci se ia n considerare
ntregul interval al SCR. Nivelul mediu se calculeaz numai pentru
SCR omogene. Se cal-culeaz difereniat pentru SCR de intervale i
pentru SCR de momente. Pentru serii cronologice de intervale:Tyyt=
Pentru serii cronologice de momente: medie cronologic simpl, dac
momentele sunt echidistante 1 n2y..... y2yyn21cr+ + += medie
cronologic ponderat, dac momentele sunt inegal distanate:
2t.......2t t2t2ty .....2t ty2tyy1 n21 11 nn2 1211cr+ ++++ +++=
Modificarea medie absolut reflect creterea sau scderea medie
nregistrat ntr-o perioad de timp. Se calculeaz ca o medie aritmetic
simpl a modificrilor absolute cu baz n lan. 1 T 1 TY1 / Ty1 t / t==
Observaie. Reprezentativitatea modificrilor medii absolute este
asigurat, numai dac modificrile absolute cu baza mobil sunt
omogene. Indicele mediu de dinamic arat de cte ori s-a modificat n
medie fenomenul analizat. Se determin ca o medie geometric a
indicilor de dinamic cu baz mobil. 1 TY1 / T1 T1T y1 t / t1 TIyyI I
= = = Observaie. Este reprezentativ pentru evoluia fenomenului
studiat, numai dac indicii de dinamic cu baza mobil sunt
aproxi-mativ egali. Ritmul mediu al dinamicii exprim cu cte
procente, fenome-nul analizat s-a modificat n medie, de la un
interval de timp la altul, i se calculeaz pe baza indicelui mediu
de dinamic. 100 100 * I R = 6.3. Ajustarea seriilor cronologice
Evoluia unui fenomen de mas prezentat ntr-o serie cronolo-gic, ca
urmare a diverilor factori de influen, oglindete schim-barea,
transformarea, dezvoltarea. ntr-o SCR suficient de mare se
identific mai multe componente: trendul, variaii periodice, variaii
reziduale. TRENDUL sintetizeaz variaiile sistematice desfurate de
fenomenul analizat pe ntreg orizontul SCR. Mrimea componentei de
trend este determinat, de influena factorilor eseniali, care
acioneaz n ntreaga perioad analizat. Estimarea tendinei centrale,
aflarea termenilor ajustai se efectueaz prin nlocuirea termenilor
reali yt, n cadrul operaiei de ajustare a SCR. Ajustarea se face
prin metode mecanice i analitice. Metode mecanice de ajustare a
SCR: - metoda grafic; - metoda mediilor mobile; - metoda modificrii
absolute medii; - metoda indicelui mediu. Dintre metodele mecanice
prezentm: Metoda modificrilor absolute medii se utilizeaz cnd
modi-ficrile absolute cu baz mobil sunt aproximativ egale, sau irul
terme-nilor SCR se aseamn cu o progresie aritmetic. T . 1 t , t y
y0 t = + = Observaie. Primul i ultimul termen ajustat, sunt egali
cu primul i ultimul termen real al seriei. Metoda indicelui mediu,
se recomand dac indicii de dina-mic cu baz mobil sunt aproximativ
egali sau dac irul termenilor SCR, este asemntor unei progresii
geometrice. Relaia de calcul: t0 tI * y y = Observaie. Primul i
ultimul termen ajustat sunt egali cu primul i ultimul termen real
al SCR. Avantajul celor dou metode mecanice, l reprezint
operativitatea cu care se desprinde o tendin central. Metode
analitice de determinare a trendului Aceste metode estimeaz mai
exact tendina general din evoluia unui fenomen, pentru c ia n
considerare toi termenii seriei. Metodele analitice se bazeaz pe
funciile matematice, ( ) t f y = , numite i funcii de ajustare a
trendului, de estimare a tendinei centrale. Variabila t timp este
folosit pentru ordonarea termenilor unei SCR. Funciile de ajustare
sunt funcii matematice uzuale, ce se stabilesc n raport cu
traiectoriile reale ale evoluiei n timp a fenomenelor. Dup alegerea
funciei de ajustare n baza unor criterii fundamentale, este necesar
estimarea parametrilor, care se face cu metoda celor mai mici
ptrate. n locul variabilelor cauzale, se ia variabila timp t,
pentru care se face o simplificare n care = 0 t ce face
translatarea punctului de origine t = 0 n mijlocul seriei. Astfel
sistemul de ecuaii normale, n cazul trendului liniar: y = a + bt,
va fi: = + y t b Ta = + y * t t b t a2 Simplificarea sistemului se
face dnd lui t valori astfel nct = 0 t Ta =y = y * t t b2unde: Tya
= si =2ty * tb Astfel funcia de ajustare devine: bt a yt + = 6.4.
Previzionarea indicatorilor prin extrapolare Extrapolarea, implic
operaia de stabilire a unor termeni vii-tori, situai n afara
orizontului de analiz. Presupune adoptarea unui model de analiz: y
= f(t) i introducerea n model a variabilei timp, corespunztoare
momentului pentru care se face extrapolarea. Presupune: - Condiiile
de manifestare ale fenomenului s rmn neschim-bate i n orizontul de
prognoz. - Lungimea SCR trebuie s fie suficient de mare, peste 10
ani. - Orizontul de prognoz, s nu depeasc o treime din lungimea SCR
analizate. Elaborarea variantelor de prognoz prin extrapolare
presupune, prelungirea variabilei timp t, cuprins n modelul de
ajustare: Metoda modificrii medii: ( ) prognoza de orizontul K K T
, 1 T ' t , ' t y y0 t = + + = + = Metoda indicelui mediu:t0 tI * y
y = Metode analitice: t b a yt + = Observaie. Gradul de
complexitate al evoluiei fenomenelor necesit, pentru prognoz,
elaborarea mai multor variante de calcul, fundamentate pe o
riguroas analiz economic. Cuvinte cheie: serie cronologic (SCR),
SCR de intervale, SCR de momente, cronogram, indicatori absolui,
relativi, medii; trendul, MSM metoda sporului mediu, MIM metoda
indicelui mediu, MA metoda analitic, extrapolarea. Teste gril: 1.
Nu este posibil nsumarea termenilor unei SCR: a) de momente; b) de
intervale; c) de fluxuri; d) exprimat n uniti fizice. Rspuns: a).
2. O firm a nregistrat n semestrul I, urmtoarele stocuri de mrfuri:
Data 1.01.04 1.02.04 1.03.04 1.04.04 1.05.04 1.06.04 1.07.04 Stoc
(kg) 120 210 185 148 110 160 80 S se calculeze stocul mediu al
semestrul I, al acestei serii de momente: cry =? Rspuns: cry =
152,17 Model de rezolvare: 17 , 15269131 7280160 110 148 185
21021201 T2yy y y y y2yy76 5 4 3 21cr= =+ + + + + +==+ + + + + +=
3. Numrul de abonamente telefonice particulare n perioada 2000-2004
se prezint astfel: Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Numr abonamente
205 217 230 240 246 Calculai sistemul de indici medii ce
caracterizeaz SCR dat: R , I , , y . Rspuns: % 66 , 4 R %; 66 , 104
I ; 25 , 10 ; 6 , 227 y = = = = Model de rezolvare = + + + + = 138
. 1 246 240 230 217 205 yt 1. 6 , 22751138yTy= = = 2. 25 , 104205
2464y y1 T1 Ty1 T=== = 3. 0466 , 1205246YyI I41 TTT1 Ty1 T = = = =
sau 104,66 4. 66 , 4 100 66 , 104 100 100 I R = = = % 4. Numrul de
abonai la cablu dintr-un ora, n perioada 2000-2004 a fost de: Anii
2000 2001 2002 2003 2004 Numr abonai 20 50 78 91 120 Considernd c
fenomenul evolueaz liniar, calculai valorile teoretice (ty ) de
estimare a tendinei centrale a SCR analizat. Rspuns: ty : 23,6;
47,7; 71,8; 95,9; 120. Model de rezolvare Anii yt t t2 t y ty =
71,8 + 24,1 t 2000 20 -2 4 -40 71,8 + 24,1 (-2) = 23,6 2001 50 -1 1
-50 71,8 + 24,1 (-1) = 47,7 2002 78 0 0 0 71,8 + 24,1 0 = 71,8 2003
91 1 1 91 71,8 + 24,1 1 = 95,9 2004 120 2 4 240 71,8 + 24,1 2 =120
Total yt =359 10 241 ty =359 ty = a +bt = === = =1 , 2410241ty tb8
, 715359Tya2 Observaie: Din compararea yt =ty se observ c am ales o
funcie matematic corect. Tema 7. Metoda indicilor Metoda indicilor
este o metod de analiz factorial a modific-rii unui fenomen
complex, n funcie de modificarea factorilor de influen. Indicii se
calculeaz sub form de raport, deci sunt mrimi relative
adimensionale, pentru c au la numrtor i la numitor, dou valori ale
aceluiai indicator. Fiind o metod factorial, se folosete pentru
msurarea influenei factorilor asupra modificrii unui fenomen
complex. Astfel: y = x . f; y este o variabil complex, analizat n
funcie de: - un factor calitativ (x); - un factor cantitativ (f).
Ex. V = p.g (valoarea = preul + cantitatea) Clasificarea indicilor
1) Dup sfera de cuprindere a fenomenului: indici simpli sau
individuali; indici compui sau de grup. 2) Dup caracteristica a
crui variaie se urmrete: indici ai volumului fizic; indici ai
preurilor; indici valorici; indici ai productivitii muncii; indici
ai salariului mediu. 3) Dup modul de calcul: indici agregai; indici
sub form de medii; indici ca raport a dou medii. 4) Dup felul
structurii pot fi: indici cu structur variabil; indici cu structur
fix; indici ai modificrilor structurale. Indici individuali se
calculeaz la nivelul unei uniti a colecti-vitii analizate astfel:0
01 101 y0 / 1f xf xyyi = = Cei doi factori, n funcie de care se
exprim Y, indicii indivi-duali vor fi: ( )01 f y0 / 1ffi = si ( )01
x y0 / 1xxi = Indici sintetici se calculeaz la nivelul unor grupe
sau al ntregii colectiviti analizate, sintetiznd variaia medie a
fenomenului anali-zat. Se calculeaz ca raport ntre suma mrimilor
absolute ale indicato-rilor, de la nivelul colectivitii studiate
din perioada curent i suma mrimilor absolute ale acelorai
indicatori pentru perioada luat ca baz de comparaie. ==0 01 101y0 /
1f xf xyyI Pentru msurarea modificrii fiecruia din cei 2 factori,
se utili-zeaz ca punct de plecare indicele lui y, considernd
constant un factor i variabil factorul a crui modificare ne
intereseaz. Factorul constant se numete pondere, are rol de
comsurtor general i poate fi la nivelul perioadei curente sau de
baz. Regula general a sistemului de ponderare: Cnd se modific
factorul cantitativ, ponderea rmne con-stant n baz. Cnd se modific
factorul calitativ, ponderea, de regul, r-mne constant n perioada
curent. Indici calculai ca medie a indicilor individuali VAR1. =0
00 0yy0 / 1f xf x iI Observaie. Se cunosc indicii individuali i
nivelul indicatorului complex n baz. Se folosete pentru calculul
indicelui volumului fizic, indicele valorii. VAR2. =1yi1y0 / 1y1yI
Observaie. Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ i
nivelul indicatorului complex n perioada curent. Se folosete pentru
calculul indicelui preurilor. Indici calculai ca raport a dou
medii. Pentru msurarea variaiei unei caracteristici calitative,
care se formeaz ca mrime medie la nivelul unei grupe de uniti, pe
total colectivitate se folosesc indici calculai ca raport a dou
medii. Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizeaz cu
ajutorul unui indice sintetic, ca raport a dou medii care, datorit
faptului c surprinde modificarea structurii, se numete indicele cu
structur variabil. = =00 011 101 x0 / 1ff x:ff xxxI Msurarea
influenei celor 2 factori se realizeaz cu urmtorii indici: Indicele
cu structur fix arat influena factorului calitativ x asupra lui x
pstrnd ponderea constant: ( )=11 011 1 x x0 / 1ff x:ff xI Indicele
modificrilor structurale: ( )==f0 0f1 000 011 0 gf x0 / 1g xg xff
x:ff xI Exprim influena factorului cantitativ (f) asupra lui x .
Relaia dintre indici: ( ) ( ) gf x0 / 1x x0 / 1x0 / 1I I I = n
statistic indicii se folosesc sub form de sisteme, n vederea
caracterizrii evoluiei n timp i spaiu a fenomenelor
social-economice. Sisteme concrete de indici Indicii se folosesc
sub form de sistem pentru caracterizarea evoluiei n timp i spaiu a
fenomenelor social-economice. Printre cele mai uzuale sisteme de
indici sunt: indicii valorii, volumului fizic i preurilor
produselor sau mrfurilor; indicii productivitii muncii; indicii
salariului mediu etc. Indicii valorii, volumului fizic i preurilor
Cunoaterea modificrii preurilor, a cantitilor (produse vndute sau
consumate) i a valorii constituie o cerin principal a analizelor
privind modificarea produciei, a consumului, caracterizarea
nivelului inflaiei. Analiza se bazeaz pe faptul c valoarea, ca
indicator complex, poate fi exprimat n funcie de cantitatea de
produse (q) i de pre (p): V = p q , unde: p preul, factor
calitativ; q cantitatea, factor cantitativ. Indicii individuali:
Indicii valorii: 0 01 1010 / 1q pq pvviv= = Indicii preurilor: ( )1
01 10 / 1010 / 1sau q pq pippip v p= = Indicii volumului fizic: (
)0 01 00 / 1010 / 1sau q pq piqqiq v q= = Relaia dintre indicii
individuali: ( ) ( ) q v p v vi i i0 / 1 0 / 1 0 / 1 = La nivelul
individual al unitilor ce compun colectivitatea se pot calcula i
modificrile absolute: 0 0 1 1 0 1 0 / 1q p q p v v dv = = ( )0 1 1
1 0 1 1) (0 / 1p p q q p q p dp v = = ( )0 1 0 0 0 1 0) (0 / 1q q p
q p q p dq v = = Relaia dintre modificrile absolute: ) (0 / 1) (0 /
1 0 / 1q v p v vd d d + = Pentru o analiz complex la nivel
sintetic, evoluia general a valorii cantitilor vndute, a preurilor
pentru produsele vndute se analizeaz cu ajutorul indicilor
sintetici. Indicele sintetic al valorii ( vI0 / 1)se poate calcula
astfel: = =0 01 1010 / 1q pq pvvIv cu modificarea absolut aferent:
=0 0 1 1 0 / 1q p q pv Indicele sintetic al valorii se poate
calcula i ca medie aritmetic ponderat a indicilor individuali ai
valorii (iv), atunci cnd este cunoscut numai valoarea total din
perioada de baz: =0 00 0 0 / 10 / 1q pq p iIvv iar modificarea
absolut aferent: =0 0 0 0 0 / 10 / 1q p q p ivv Preurile i
cantitile sunt de obicei nensumabile. Pentru sintetizarea
modificrii la nivelul ntregii uniti, att a preurilor, ct i a
cantitilor vndute, se vor utiliza indicii valorii, considernd
constant un factor i variabil numai factorul a crui modificare ne
intereseaz. Astfel, obinem urmtorii indici sintetici: Indicele
sintetic al volumului fizic ( ( )q vI0 / 1), care exprim
modificarea medie a calitii vndute. n practic, indicele volumului
fizic se calculeaz numai ca indice de tip Laspeyres: ( )=0 01 00 /
1q pq pIq v iar modificarea absolut aferent: ( ) =0 0 1 0 0 / 1q p
q pq v Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca
o medie aritmetic ponderat a indicilor individuali ai volumului
fizic (iq): ( )=0 00 0 0 / 10 / 1q pq p iIqq v iar modificarea
absolut aferent: ( ) =0 0 0 0 0 / 10 / 1q p q p iqq v Indicele
sintetic al preurilor ( ( )p vI0 / 1) Exprim modificarea medie a
preurilor i se poate calcula ca indice de tip Laspeyres: ( )=0 00
10 / 1q pq pIp v cu modificarea absolut aferent: ( ) =0 0 0 1 0 /
1q p q pp v Observaie: Acest indice este utilizat pentru calculul
indicelui preurilor de consum. Indicele sintetic al preurilor mai
poate fi calculat ca un indice de tip Paasche: ( )=1 01 10 / 1q pq
pIp v cu modificarea absolut aferent: ( ) =1 0 1 1 0 / 1q p q pp v
Observaie: Acest indice este utilizat pentru calculul preurilor cu
ridicata ale produselor industriale sau pentru preurile produsului
intern brut (PIB). Indicele sintetic al preurilor poate fi calculat
ca o medie armonic ponderat a indicilor individuali ai preurilor
(ip): ( )=1 10 / 11 10 / 11q piq pIpp v cu modificarea absolut: ( )
=1 10 / 11 1 0 / 11q piq ppp v Deoarece indicele valorii totale
reprezint rezultatul variaiei raportului de combinare a factorilor
intensivi i extensivi ce determin un ansamblu de manifestri, ntre
cei trei indici exist relaia: ( ) ( )+=q v p v vI I I0 / 1 0 / 1 0
/ 1 i relaia dintre modificrile absolute: ( ) ( ) + =q v p v v0 / 1
0 / 1 0 / 1 Indicele preului mediu Preul mediu se stabilete ca
medie arit
