+ All Categories
Home > Documents > PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

Date post: 16-Apr-2015
Category:
Upload: andrea-papp
View: 594 times
Download: 15 times
Share this document with a friend
Description:
PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU
31
PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU ,, Un elev nu este un vas pe care trebuie să-l umpli, ci o flacără pe care trebuie să o aprinzi...” Societatea prezentului,dar mai ales a viitorului se circumscrie unui timp al informaţiei, al complexităţii. De aceea, investiţia în inteligenţa,creativitatea şi capacitatea de inovare a indivizilor, a grupurilor va fi extrem de rentabilă in viitor. Copilul este un proiect “aruncat” în lume, aflat într-o stare de “facere”, pentru ca apoi,devenit adult,să se formeze continuu de-a lungul vieţii . Rolul învăţătorului în procesul de modelare a omului este poate cel mai important.Punându-şi elevii in situaţii variate de instruire,el transformă şcoala “într-un templu şi un laborator”(M. Eliade ). Şcoala nu trebuie înţeleasă ca fiind locul unde profesorul predă şi elevii ascultă. Învăţarea devine eficienta doar atunci când elevii participă în mod activ la procesul de învăţare. Matematica este obiectul care generează la marea majoritate a elevilor eşecul şcolar.De aceea profesorul de matematica trebuie să creeze un climat instituţional favorabil folosind diverse metode moderne care să-l determine pe elev să se implice activ în procesul instructiv - educativ. Toate situaţiile şi nu numai metodele active propriu-zise în care elevii sunt puşi şi care îi scot pe aceştia din ipostaza de obiect al formării şi-i transformă în subiecţi activi,
Transcript
Page 1: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

,, Un elev nu este un vas pe care trebuie să-l umpli, ci o flacără pe care trebuie să o aprinzi...”

Societatea prezentului,dar mai ales a viitorului se circumscrie unui timp al informaţiei, al complexităţii. De aceea, investiţia în inteligenţa,creativitatea şi capacitatea de inovare a indivizilor, a grupurilor va fi extrem de rentabilă in viitor. Copilul este un proiect “aruncat” în lume, aflat într-o stare de “facere”, pentru ca apoi,devenit adult,să se formeze continuu de-a lungul vieţii . Rolul învăţătorului în procesul de modelare a omului este poate cel mai important.Punându-şi elevii in situaţii variate de instruire,el transformă şcoala “într-un templu şi un laborator”(M. Eliade ). Şcoala nu trebuie înţeleasă ca fiind locul unde profesorul predă şi elevii ascultă. Învăţarea devine eficienta doar atunci când elevii participă în mod activ la procesul de învăţare. Matematica este obiectul care generează la marea majoritate a elevilor eşecul şcolar.De aceea profesorul de matematica trebuie să creeze un climat instituţional favorabil folosind diverse metode moderne care să-l determine pe elev să se implice activ în procesul instructiv - educativ. Toate situaţiile şi nu numai metodele active propriu-zise în care elevii sunt puşi şi care îi scot pe aceştia din ipostaza de obiect al formării şi-i transformă în subiecţi activi, coparticipanţi la propria formare, reprezintă forme de învăţare activă. Învăţarea activă înseamnă,conform dicţionarului,procesul de învăţare calibrat pe interesele /nivelul de înţelegere /nivelul de dezvoltare al participanţilor la proces.

De ce vorbim despre „învăţare activă“?

Cercetări efectuate în ultimii 25 de ani arată că pasivitatea din clasă (înţeleasă ca rezultat al predării tradiţionale, în care profesorul ţine o

Page 2: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

prelegere, eventual face o demonstraţie, iar elevii îl urmăresc) nu produce învăţare decât în foarte mică măsură. Iată câteva rezultate ale acestor studii:• Elevii sunt atenţi numai 40% din timpul afectat prelegerii. (Pollio, 1984)• Elevii reţin 70% din conţinuturile prezentate în primele 10 minute şi numai 20% din cele prezentate în ultimele 10 minute ale prelegerii. (McKeachie, 1986)• Elevii care au urmat un curs introductiv de psihologie bazat pe prelegere au demonstrat că ştiunumai cu 8% mai mult decât elevii din clasa de control care NU au făcut cursul deloc! (Rickardet al., 1988)• Un studiu vizând implicaţiile predării centrate pe discursul magistral (Johnson, Johnson, Smith,1991) relevă că: atenţia elevilor descreşte cu fiecare minut care trece pe parcursul prelegerii; prelegerea se potriveşte numai celor care învaţă eficient prin canal auditiv; prelegerea promovează învăţarea de nivel inferior a informaţiilor factuale; prelegerea presupune că toţi elevii au nevoie de aceleaşi informaţii în acelaşi ritm; elevilor nu le place să fie supuşi unei prelegeri.

De ce vorbim despre „învăţare interactivă“?

Fără îndoială, este adevărat că acela care învaţă trebuie să-şi construiască cunoaşterea prin intermediul propriei înţelegeri şi că nimeni nu poate face acest lucru în locul său. Dar nu este mai puţin adevărat că această construcţie personală este favorizată de interacţiunea cu alţii care, la rândul lor, învaţă.Altfel spus, dacă elevii îşi construiesc cunoaşterea proprie, nu înseamnă însă că fac acest lucru singuri, izolaţi. Să nu uităm că omul este o fiinţă fundamental socială. Promovarea învăţării active presupune şi încurajarea parteneriatelor în învăţare. În fapt, adevărata învăţare, aceea care permite transferul achiziţiilor în contexte noi, este nu doar simplu activă (individual activă) ci INTERACTIVĂ!

Aspectul social al învăţării a fost reliefat de Jerome Bruner încă din anii ‘60. El avansează conceptul de reciprocitate definit ca „o nevoie umană profundă de a da o replică altcuiva şi de a lucre împreună cu alţii pentru atingerea unui obiectiv”. Reciprocitatea este un stimulent al învăţării: „Când acţiunea comună este necesară, când reciprocitatea este activată în cadrul unui grup în vederea obţinerii unui rezultat, atunci par să existe procese care stimulează învăţarea individuală şi care conduc pe fiecare la o competenţă cerută de constituirea grupului.” (Bruner, 1966) Nu numai cercetarea, dar şi experienţele cadrelor didactice cu metodele colaborative evidenţiazăefectul benefic al interacţiunii elevilor. Gruparea şi sarcinile în care membrii grupului depind unul de

Page 3: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

celălalt pentru realizarea rezultatului urmărit arată că: elevii se implică mai mult în învăţare decât în abordările frontale sau

individuale; odată implicaţi, elevii îşi manifestă dorinţa de a împărtăşi celorlalţi

ceea ce experimentează, iar aceasta conduce la noi conexiuni în sprijinul înţelegerii;

elevii acced la înţelegerea profundă atunci când au oportunităţi de a explica şi chiar preda

celorlalţi colegi ceea ce au învăţat. Printre metodele care activizează predarea-învăţarea sunt şi cele prin care elevii lucreaza productiv unii cu altii ,îşi dezvoltă abilităţi de colaborare şi ajutor reciproc.Ele pot avea un impact extraordinar asupra elevilor datorită denumirilor foarte uşor de reţinut,caracterului ludic şi oferind alternative de învăţare cu “priză” la copii. Metodele active necesită o pregătire atentă: ele nu sunt eficiente decât in condiţiile respectării regulilor jocului. Avantajul major al folosirii acestor metode provine din faptul că ele pot motiva şi elevii care au rămâneri în urmă la matematică. Exemple de activităţi desfăşurate cu elevii pe baza aplicării metodelor de învăţare activ-participative în lecţiile de matematică din gimnaziu:

MATRICEA CONCEPTUALĂ

Se împarte tabla în 4 părţi egale; se propune o temă în primul cadran;se cere definiţia noţiunii din primul cadran, în al doilea cadran;se cere o proprietate a noţiunii din primul cadran, în cadranul al treilea; se cere să ilustreze într-un desen tema din primul cadran , în cadarnul al patrulea;se evaluează rezultatele.

EXEMPLU:

O PROPRIETATE:

DEFINITIE: DESEN:

Avantaje:stimulează atenţia şi gândirea,scoate în evidenţă modul propriu de înţelegere,conduce la sintetizare/esenţializare.

ESEUL DE CINCI MINUTE

Page 4: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

Acesta se foloseşte la sfârşitul orei, pentru a-i ajuta pe elevi să-şi adune ideile legate de tema lecţiei şi pentru a-i da profesorului o idee mai clară despre ceea ce s-a întamplat, în plan intelectual, în acea oră.Acest eseu le cere elevilor două lucruri: să scrie un lucru pe care l-au învăţat din lecţia respectivă şi să formuleze o intrebare pe care o mai au în legătură cu aceasta. Profesorul strânge eseurile de îndată ce elevii le-au terminat de scris şi le foloseşte pentru a-şi planifica la aceeaşi clasă lecţia.

Se scrie un cuvânt/tema în mijlocul tablei; Se cere elevilor să noteze toate ideile /sintagmele care le vin în minte legate de cuvânt/tema şi se trasează linii între acestea şi cuvântul/tema iniţială;

EXEMPLU: “Trunchiul de piramidă regulată - clasa a VIII-a.

Feţe laterale- trapeze isoscele

baze- poligoane regulate muchii laterale

egaleElementele trunchiului

de piramidă regulată

Page 5: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

apoteme

apotema bazei mici

inaltimea trunchiului

apotema apotema bazei mari trunchiului

Avantaje: nu se critică ideile propuse;poate fi utilizată ca metodă liberă sau cu indicare prealabilă a categoriilor de informaţii aşteptate de la elevi.

METODA ,,SCHIMBĂ PERECHEA Se împarte clasa în două grupe egale ca număr de participanţi. Se formează două cercuri concentrice, copiii fiind faţă în faţă pe perechi. Învăţătorul dă o sarcină de lucru. Fiecare pereche discută şi apoi comunică ideile. Cercul din exterior se roteşte în sensul acelor de ceasornic, realizându-se astfel schimbarea partenerilor în pereche. Avantaje:copiii au posibilitatea de a lucra cu fiecare membru al grupei,fiecare se implică în activitate şi îşi aduce contribuţia la rezolvarea sarcinii, stimulează cooperarea în echipă,ajutorul reciproc,întelegerea şi toleranţa faţa de opinia celuilalt.

EXEMPLU: Tema: ,, Proporţionalitate directă/proporţionalitate inversă”, clasa a VI-a. Etapele activităţii: se organizează colectivul în două grupe egale. Fiecare copil ocupă un scaun, fie în cercul din interior, fie în cercul exterior. Stând faţă în faţă, fiecare copil are un partener. Profesorul comunică cerinţa: ,, Verifică dacă numerele următoare sunt direct/invers proportionale cu următoarele numere!”. Lucru în perechi. Copiii lucrează doi câte doi pentru câteva minute. Copilul aflat în cercul interior spune soluţia de rezolvare iar celălalt aduce completări încercând să rezolve cerinţa. Apoi copiii din cercul exterior se mută un loc mai la dreapta pentru a schimba partenerii, realizând astfel o nouă pereche. Jocul se continuă până când se ajunge la partenerii iniţiali sau se termină. Analiza ideilor şi a elaborării concluziilor. În acest moment, copiii se regrupează şi se vor analiza pe rând rezolvările problemelor.

Page 6: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

METODA CUBULUI

Este o metodă folosită în cazul în care se doreşte explorarea unui subiect, a unei situaţii din mai multe perspective. Se realizează un cub pe ale cărei feţe se notează: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează; Se anunţă tema / subiectul pus în discuţie; Se împarte grupul în şase subgrupuri, fiecare subgrup rezolvând una dintre cerinţele înscrise pe feţele cubului; Se comunică forma finală a scrierii, întregului grup (se pot afişa/ nota pe caiet).

EXEMPLU:Tema: Prisma regulată deaptă : triunghiulară , patrulateră , hexagonală ; cubul , paralelipipedul dreptunghic,clasa a VIII-a. Descrierea activităţii elevilor:Elevii care primesc fişa cu verbul descrie vor avea - de definit prisma regulată şi prisma dreaptă , cubul şi paralelipipedul dreptunghic; - de enumerat prismele studiate; - de realizat reprezentarea în spaţiu a corpurilor studiate şi desfăşurările lor plane; - de identificat elementele acestora. Elevii care primesc fişa cu verbul compară vor stabili asemănări şi deosebiri între prisma oblică şi prisma dreaptă , paralelipiped şi paralelipiped drept , paralelipiped drept şi paralelipiped dreptunghic , paralelipiped dreptunghic şi cub . Elevii care vor avea fişa cu verbul asociază vor asocia fiecărei prisme studiate formulele de calcul pentru volum şi arie ( laterală, totală), aria bazei , perimetrul bazei , apoi vor identifica obiecte cunoscute care au forma obiectului respectiv.Elevii pot primi un obiect practic/desen pe care să-l „descompună” în corpuri geometrice cunoscute. Pentru grupa care va avea de analizat, sarcina de lucru va cere ca elevii să analizeze diferite secţiuni în corpurile studiate.(diagonale, secţiuni cu un plan paralel cu baza).Se vor realiza desene corespunzătoare în care se vor pune în evidenţă toate planele de secţiune şi forma secţiunii rezultate,prin markere sau carioci colorate. Elevii ce vor primi o fişă cu verbul argumentează vor avea de analizat şi justificat în scris valoarea de adevăr a unor propoziţii , ce vor conţine şi chestiuni „capcană”.Li se poate cere să realizeze şi scurte demonstraţii sau să descopere greşeala dintr-o redactare a unei rezolvări.

Elevii din grupa verbului „aplică” vor avea un set de întrebări grilă în care vor aplica formulele pentru calculul ariei sau volumului prismei regulate drepte in contexte variate.

După expirarea timpului de lucru (20-25 min) se vor evalua răspunsurile din fişe.

Page 7: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

Avantaje: permite diferenţierea sarcinilor de învăţare,stimulează gândirea logică,sporeşte eficienţa învăţării(elevii învaţă unii de la alţii).

METODA ,,TURUL GALERIEI’’ .

Materialele realizate, posterele, vor fi expuse în clasă în 6 locuri vizibile.Elevii din fiecare grup îşi vor prezenta mai întâi sarcina de lucru şi modul de realizare a ei, apoi, la semnalul dat de profesor, vor trece, pe rând pe la fiecare poster al colegilor de la altă grupă şi vor acorda acestora o notă.După ce fiecare grup a vizitat „galeria” şi a notat corespunzător productiile colegilor,se vor discuta notele primite şi obiectivitatea acestora, se vor face aprecieri şi se vor corecta eventualele erori. Avantaje: elevii oferă şi primesc feed-back referitor la munca lor,şansa de a compara produsul muncii cu al altor echipe şi de a lucra în mod organizat şi productiv.

METODA „ŞTIU / VREAU SĂ ŞTIU / AM ÎNVĂŢAT”

Metoda se bazează pe cunoaştere şi experienţele anterioare ale elevilor, pe care le vor lega de noile informaţii ce trebuie învăţate.

Listarea cunoştinţelor anterioare despre tema propusă; Construirea tabelului (Profesor);

Ceea ce ştim / credem că ştim

Ceea ce vrem să ştim

Ceea ce am învăţat

Completarea primei coloane; Elaborarea întrebărilor şi completarea coloanei a doua; Citirea textului; Completarea ultimei coloane cu răspunsuri la întrebările din a

doua coloană, la care se adaugă noile informaţii; Compararea informaţiilor noi cu cele anterioare; Reflecţii în perechi / cu întreaga clasă.

EXEMPLU: Tema: Calculul elementelor în triunghiul echilateral, clasa a VII-a.

ŞTIU VREAU SĂ ŞTIU AM ÎNVĂŢAT-definiţia poligonului regulat;-construcţia poligonului regulat( triunghi echilateral,

-formula de calcul pentru apotemă, raza cercului circumscris şi înscris ;

L3 = R√3

a3 =

R2 sau a3 = L√3 / 6

Page 8: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

pătrat, hexagon regulat);-identificarea elementelor poligonului regulat;

- A = L2√3 / 4- P = 3L .

- alte formule de calcul pentru arie ;

A = L2√3 / 4

A = 3R2√3 / 4

Avantaje:schimb de idei,stimularea gândirii critice,dezvoltarea vocabularului / capacităţii de exprimare,elevii caută căi de acces spre propriile cunoştinţe / convingeri.

METODA MOZAICUL Metoda mozaicul presupune învăţarea prin cooperare la nivelul unui grup şi predarea achiziţiilor dobândite de către fiecare membru al grupului unui alt grup.Are avantajul că implică toţi elevii în activitate şi că fiecare dintre ei devine responsabil atât pentru propria învăţare, cât şi pentru învăţarea celorlalţi. De aceea, metoda este foarte utila în motivarea elevilor cu rămâneri în urmă: faptul că se transformă pentru scurt timp, în ‚, profesori” le conferă un ascendent moral asupra colegilor. Se împarte clasa în grupe eterogene de 4 elevi,fiecare primind câte o fişă numerotate de la 1 la 4,ce conţine părti ale unui material ce urmează a fi înţeles şi discutat de către elevi.Elevii sunt regrupaţi în funcţie de numărul fişei primite şi încearcă să înţeleagă conţinutul informativ de pe fişe şi stabilesc modul în care pot preda ceea ce au înţeles colegilor din grupul lor original.Se revine în gruparea iniţială şi are loc predarea secţiunii pregătite celorlalţi membri.

Şi în final are loc trecerea în revistă a materialului dat prin predarea orală cu toată clasa/ cu toţi participanţii.

EXEMPLU: Tema: Propoziţii compuse, clasa: a V-a.

Cele patru fişe de lucru sunt paragrafe prezentate în manual cu titlurile: Când obţinem propoziţii adevărate folosind ,,şi”/ ,,sau”/ ,,nu”/ ,,dacă…atunci…” Avantaje: anihilarea “efectului Ringelmann”(lenea socială,când individul îsi imagineaza că propria contribuţie la sarcina de grup nu poate fi stabilită cu precizie),dezvoltă interdependenţa dintre membrii grupuluik,ameliorează comunicarea.

METODA BRAINSTORMING

Metoda Brainstorming înseamnă formularea a cât mai multe idei – oricât de fanteziste ar părea- ca răspuns la o situaţie enunţată, după

Page 9: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

principiul cantitatea generează calitatea. Obiectivul fundamental constă în exprimarea liberă a opiniilor elevilor aşa cum vin ele în mintea lor ,indiferent dacă acestea conduc sau nu la rezolvarea problemei. Alegerea sarcinii de lucru.Solicitarea exprimării într-un mod cât mai rapid a tuturor ideilor legate de rezolvarea problemei. Înregistrarea pe tablă si regruparea lor pe categorii,simboluri , cuvinte cheie,etc. Selectarea şi ordonarea ideilor care conduc la rezolvarea problemei.

EXEMPLU:O problemă de geometrie din manualul de clasa a VII-a în care se aplică teoremele învăţate:teorema lui Pitagora,a înălţimii şi a catetei.Problema este scrisă pe tablă apoi elevii propun idei care duc la rezolvarea problemei, cum ar fi:-construim figura,aplicăm teorema lui Pitagora apoi teorema catetei,etc.

POVESTIRI CU SUBIECT DAT

Se alege un concept matematic: triunghiul dreptunghic şi se cere elevilor să creeze o povestire în care personajul principal este conceptul ales, iar alte personaje sunt ,,rudele” acestuia-cum ar fi triunghiul oarecare şi dreptunghiul. În acest fel elevii ajung în mod natural la caracterizarea unei noţiuni sesizând asemănările şi deosebirile dintre noţiunea nouă şi alte noţiuni studiate anterior.EXEMPLU:,,Salut! Sunt un triunghi şi am un prieten cu care ma înţeleg foarte bine. Să vă spun cum ne-am împrietenit: Era o familie de patrulatere. Unul din ei era paralelogramul, fratele pătratului şi verişorul dreptunghiului…Intr-o zi, ne-am dus să ne înscriem într-un club de matematică. Ca să fim acceptaţi trebuia să ne desenăm şi să ne aflăm perimetrele şi aria. El a reuşit eu nu! Aşa că vreau să mă ajutaţi voi.

JOC DE ROL

Jocul de rol se realizează prin simularea unei situaţii, care pune participanţii în ipostaze care nu le sunt familiare, pentru a-i ajuta să înţeleagă situaţia respectivă şi să înţeleagă alte persoane care au puncte de vedere

EXEMPLU:Un joc de rol poate fi : liniile importante din triunghi discută între ele-ce îsi spun?

Se împart rolurile,se stabileşte modul de desfăşurare al jocului,se pregătesc fişele cu descrierile de rol şi sunt instruiţi elevii cu desfăşurarea propriu-zisă.Fişele pot puncta câteva dintre proprietăţile pe care,,actorii” le pot invoca:,, noi,înălţimile suntem mai importante,pentru că ajutăm la calcularea ariilor” şi să ajungă la asemănări:,, de fapt în triunghiul isoscel suntem surori gemene”,etc.

După desfăşurarea jocului sunt utile următoarele întrebări:A fost o interpretare conformă cu realitatea?

Page 10: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

Ce ar fi putut fi diferit în interpretare?Ce alt final ar fi fost posibil?Ce aţi învăţat din această experienţă?

DIAGRAMA VENN

O “diagramă Venn” este formată din două cercuri secante mari. Ea poate fi folosită pentru a arăta asemănările şi diferenţele între două idei sau concepte. EXEMPLU: Tema-Dreptunghiul, clasa a VII-a.

Metodele active acordă valoare activismului subiectului: valorifică gândirea critică / creativitatea; presupun complementaritate – relaţii; sistematizează experienţe subiective; presupun colaborare – cercetare comună.

Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează interacţiunea dintre minţile participanţilor, dintre personalităţile lor, ducând la o învăţare mai activă şi cu rezultate evidente. Acest tip de interactivitate determină „identificarea subiectului cu situaţia de învăţare în care acesta este antrenat” ceea ce duce la transformarea elevului în stăpânul propriei formări.

METODE ŞI PROCEDEE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE GEOMETRIE ÎN

GIMNAZIU

Page 11: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

1. METODE PEDAGOGICE DE REZOLVARE PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR

Cunoaşterea unor metode de raţionament în studiul geometirei este necesară, deoarece acestea înlesnesc înţelegerea demonstraţiilor şi constituie mijloace de cercetare în rezolvarea problemelor. Îl ajută pe elev să-şi dea seama ce înseamnă un raţionament logic, ce însemnă adevăr probabil, bănuit prin intuiţie, sau ghicit, sau conturat prin schiţe provizorii de raţionament şi ce înseamnă a-l pune sub semnul dubiului pentru a-l stabili ferm, sau pentru a-l infirma, ce înseamnă o metoda sigură şi generală, un algoritm, ce este stereotip şi ce este nou în aplicarea unei astfel de probleme concrete.

Problemele au: Rol informativ

Direct utile din practică – matematica aplicată în viaţa curentă, calcul, măsură, în studiul fizicii, studii tehnice.

Matematica privită ca obiect de cultură generală. Rol formativ

Exerciţiul gândirii logice şi atracţia pentru problematic, educarea gândirii creatoare. O problemă cu rol formativ însemnă că soluţia ei are interes şi în sine, ca rezultat ce trebuie reţinut: ceva ce vom folosi ulterior în alte probleme.

Rolul formativ constituie un exerciţiu al gândirii logice şi al gândirii inventive.

Metode de rezolvare a problemelor de geometrieMetoda este legată de conţinut în sensul că fiecare din cele trei moduri

de a face matematică: euristică, logică şi aplicată, îşi are stilul său, un mobil psihic specific.

Elementul intuitiv îşi are rolul lui în înţelegerea acţiunii de a construi acest sistem care este substituit cu rigoarea raţionamentului logic. Nu numai pentru legătura lui cu practica, ci şi psihologic, ca suport al investigaţiei euristice, elementul intuitiv îşi are rolul lui. De aceea nu trebuie să eliminăm complet justificările intuitive, limitându-ne la demonstraţii complet riguroase. Demonstraţia riguroasă este mai bine prinsă în rostul ei când vine după o critică a justificării intuitive, înlocuind-o în fundamentarea logică, dar păstrând-o ca element activ în cercetarea euristică.

Problema de a întelege un text matematic este mai grea decât o problemă propriu-zisă. Pentru a citi şi întelege un text matematic, cititorul trebuie să aibă o vastă experienţă în rezolvări de probleme, să-şi dea seama

Page 12: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

că descifrarea textului este în fond rezolvarea unei probleme. Deşi textul este complet din punct de vedere logic el este incomplet din punct de vedere psihologic.

Însuşirea enunţului problemei presupune cunoşterea problemei în aşa măsură încât să distingă clar ce se dă şi ce se cere în problemă.

Cunoşterea unor anumite procedee şi metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie care să aibă semnificaţia lui cum gândim, deci semnificaţia strategiei punerii şi rezolvării problemelor mari şi mici.

Esenţa activităţii matematice este dezvăluirea implicaţiilor logice ascunse, iar actul de cunoaştere pe viu este o îmbinare între informaţii dobândite senzorial şi cele care inzvorăsc din acestea pe cale logică, în ambele cazuri vizându-se cunoştinţe neevidente.

Discuţiile metodice menite să ducă la descoperirea prin gândire, privită nu numai prin prisma scopului educativ de dezvoltare a puterii de gândire ci şi a celui instructiv: nu se poate înţelege şi asimila cu adevărat un enunţ matematic sau o demonstraţie dacă se învaţă pasiv şi se recepţionează gata făcută, ci numai atunci când ea se redescoperă. Cunoştinţele matematice nu sunt statice, un material depozitat în memorie, ci un instrument de lucru. În acest sens valenţele educative ale matematicii (prin rezolvarea de probleme) se extind în sfera personalităţii elevului (prezente şi ulterioare) dezvoltând şi influenţând pozitiv structuri psihice operaţionale, aptitudini, laturi motivaţionale şi atitudinale, componente voluntariste, ingeniozitate, flexibilitatea gândirii, imaginaţie, spontaneitate, spiritul critic.

Rezolvarea de probleme în grup înlătură tendinţa de subordonare, frica de a domina, dezvoltă receptivitatea, interrelaţii sănătoase prin lipsa unei rivalităţi dăunătoare.

Învăţarea noţiunilor prin probleme este conştientă pentru că elevul nu poate construi un raţionament dacă nu posedă itemurile necesare în structura sa cognitivă.

Călăuzirea gândirii prin întrebări trebuie astfel făcută încât să se aibă mereu în atenţie problema întreagă şi ori de câte ori se rezolvă o secvenţă a ei, să fie prezentată şi legătura acesteia cu întregul. După parcuregerea analitică a demonstraţiei, care durează mai mult pentru că trebuie rezolvate aspectele ei parţiale, este necesar să se facă o privire sintetică a ei care să sublinieze ideea demonstraţiei.

Elevul nu trebuie să reţină demonstraţia în desfăşurarea ei analitică; el trebuie să înţelegă şi să reţină ideea demonstraţiei, şi în funcţie de ea s-o poată reconstitui singur în detaliu.

Page 13: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

Principul însuşirii temeinice a cunoştinţelor: cunoştinţele descoperite prin efort propriu sunt fixate mai bine în memorie, sunt uşor de reprodus, identificat şi utilizat.

Prin investigarea figurii, corelarea între ce ştiu şi ce nu ştiu, învăţarea se înscrie în cele trei procese ce generează temeinicia învăţării: însuşirea informaţiei noi; transformarea cunoştinţelor pentru a le folosi în rezolvarea sarcinilor noi; evaluarea (adecvarea) informaţiei la noile sarcini.

Observaţia didactică constă în urmărirea atentă a figurii din problemă sub îndrumarea profesorului, observare sistematică sau autonomă, observare independentă, în scopul depistării unor aspecte ale realităţii, a unor relaţii între elementele ce se dau şi ce se cer. Poate contribui la operaţii logice corecte, exprimarea unor deosebiri de relaţii cu alte figuri.

Este util pentru valenţele educative ale acestei metode să zăbovim şi în sensul ei întrucât este util să cultivăm calităţi moral – psihice precum imaginaţia, răbdarea, perspicacitatea, spiritul de observaţie şi evitarea confuziilor, mai ales la corpurile geometrice.

Exerciţiul didactic este util în cadrul problemelor de geometrie, la clasele III – V, unde este predominant caracterul intuitiv: măsurări de arii, volume şi mai puţin la problemele tip geometrie preeuclidiană, unde totuşi predomină intuiţia adevărului cu mai puţin accent pe demonstraţii riguroase. Ca orice acţiune motrice are valenţe formative: adâncirea înţelegerii algoritmului de rezolvat, dezvoltarea operaţiilor mintale şi constiuirea lor în structuri operaţionale, sporirea capacităţii operatorii a cunoştinţelor, priceperilor, deprinderilor, prevenirea uitării, evitarea confuziilor, dezvoltarea unor calităţi morale ca voinţa.

Pentru a beneficia de consecinţele psihologice şi de ordin mental ale metodelor intuitive, profesorul trebuie să confrunte elevul cu materialul concret, nemijlocit exersându-i priceperea, contemplarea, creând mutaţii ca intuiţii superioare, subtile, ajutând şi la generalizări şi abstractizări. Şi aici supralicitarea riscă să transforme matematica în „ lucru manul”.

Descoperirea didactică este o metodă euristică; presupune crearea condiţiilor de reactualizare a experienţelor, capacităţilor individuale şi desluşirea unor relaţii. Se pleacă cu delimitarea a ceea ce este util, oportun să sesizeze elevul dirijat de profesor, lăsându-i acestuia să descopere prin proprie iniţiativă restul.

Raţionamentele euristice sunt importante deşi nu dovedesc nimic. De asemenea, este important să ne clarificăm raţionamentele euristice, deşi în spatele fiecărui raţionament clarificat există multe altele care rămân obscure şi sunt uneori poate şi mai importante.

Page 14: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

În rezolvarea problemelor se ţine cont de câteva reguli elementare: citirea (corectă) a enunţului problemei şi construirea corectă a figurii

despre care este vorba în problemă (ipoteză, concluzie); însuşirea enunţului problemei (eventual toate noţiunile şi teoremele în

legătură cu problema, ţinând cont de date şi relaţii); cunoaşterea unor anumite procedee şi metode pentru rezolvarea

problemelor de geometrie; construirea de raţionamente noi pe baza axiomelor, definiţiilor şi a altor

raţionamente învăţate anterior; stabilirea de relaţii între diferite elemente ale figurilor şi scrierea lor cu

ajutorul simbolurilor din matematică, pe baza raţionamentelor construite, ce permit urmărirea lanţului de judecăţi ce formează demonstraţia problemei;

discutarea problemei (în unele probleme de geometrie, o soluţie nu încheie rezolvarea ei, ci trebuie examinate şi condiţiile care ne arată existenţa altor soluţii, numărul lor, precum şi diferite cazuri particulare ce pot apărea, sau generalizarea ei);

verificarea soluţiilor problemei (trebuie facută mai ales în problemele de construcţii geometrice; ea constă dintr-o demonstraţie care trebuie să arate că figura obţinută corespunde cu cea cerută în enunţul problemei).

2. METODE FOLOSITE ÎN GEOMETRIE PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR

În matematică, prin metodă se înţelege calea raţională care trebuie folosită pentru a demonstra o teoremă sau pentru rezolvarea unei probleme.

Metodele pentru rezolvarea problemelor de geometrie se împart în două grupe principale: generale şi particulare.

Metodele analizei şi sintezei sunt singurele metode generale care se aplică în demonstrarea unui număr foarte mare de teoreme şi probleme.

Metodele folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor sunt următoarele: metoda sintezei

metoda sintezei în rezolvarea problemelor de calcul metoda sintezei în rezolvarea problemelor de demonstraţie

metda analizei medota analizei în rezolvarea problemelor de calcul metoda analizei în rezolvarea problemelor de demonstraţie

metoda contrucţiilor geometrice medota reducerii la absurd în problemele de geometrie metoda analitico – sintetică în problemele de geometrie

metoda analitico – sintetică în rezolvarea problemelor de demonstraţie

Page 15: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

metoda analitico – sintetică în rezolvarea problemelor de calcul metode de rezolvarea a problemelor de coliniaritate metode de rezolvarea a problemelor de concurenţă

2.1. Metoda sintezei 2.1.1. Metoda sintezei în rezolvarea problemelor de calcul

Problemele de calcul se împart în: exerciţii, probeleme cu conţinut geometric, dar pentru rezolvarea cărora se cere conoaşterea unor probleme de tip aritmetică şi probleme care, pentru rezolvarea lor, cer folosirea mai multor propoziţii legate într-un raţionament. Exerciţiile sunt probleme uşoare, formulate prin propoziţii scurte prin a căror rezolvare se urmăreşte aplicarea directă a unor reguli sau teoreme. Rezolvarea lor nu necesită un efort mare de gândire, construcţia unor raţionamente complicate, ci numai cunoaşterea temeinică a regulilor, formulelor, a teoremelor studiate. Deşi rezolvarea lor nu dezvoltă prea mult gândirea logică, ele au o mare importanţă, contribuind la formarea priceperilor şi deprinderilor pentru a aplica cunoştinţele teoretice în rezolvarea problemelor, constituind primul pas în aplicarea teoriei în practică.

Prin sinteză, o problemă de calcul se rezolvă astfel: se iau două date cunoscute ale problemei între care există o legătură şi cu ajutorul lor se formulează o problemă ce ne dă posibilitatea să calculăm valoarea unei a treia mărimi, care devine astfel cunoscută. Se iau apoi alte două date cunoscute (fie date prin enunţul problemei, fie calculate anterior) şi cu ajutorul lor se formulează altă problemă, care rezolvată ne dă valoarea unei noi mărimi. Se procedează astfel până găsim toate valorile mărimilor ce se cer în problemă.

2.1.2. Metoda sintezei în rezolvarea problemelor de deomonstraţie

Problemele de demonstraţie sunt problemele prin rezolvarea cărora se urămăreşte stabilirea sau verificarea unei relaţii, găsirea unor proprietăţi noi ale figurilor date sau să se justifice dacă o afirmaţie referitoarea la o proprietate a unei figuri geometrice este adevărată sau nu. Ele ajută la însuşirea temeinică a cunoştinţelor de geometrie, la dezvoltarea gândirii logice, constituind primi paşi spre o gândire creatoare.

Page 16: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

La rezolvarea unei probleme de demonstraţie prin sinteză se porneşte de la propoziţia A (ipoteza) şi se caută o altă ipoteză C pe care o implică propoziţia A. Prin urmare, ţinând cont că figura F are proprietăţile α, căutăm să vedem ce alte proprietăţi δ mai are, iar proprietatea care afirmă că figura F are proprietăţile δ o notăm cu C. Căutăm mai departe o propoziţie D pe care s-o implice propoziţiile A şi C, până când propoziţiile astfel găsite implică propoziţia B (cerută de concluzie).

2.2. Metoda analizei 2.2.1. Metoda analizei în rezolvarea problemelor de calcul

Se pleacă de la întrebarea problemei, deci de la necunoscut spre cunoscut. Se formulează o problemă astfel încât răspunsul ei să fie acelaşi ca şi la problema propusă.

Datele problemei formulate pot fi unele cunoscute, altele necunoscute. Cu alte date se formulează o a doua problemă, a cărei întrebare să fie astfel pusă încât prin rezolvarea ei să ducă la găsirea valorilor mărimilor necunoscute din problema formulată. Se poate întâmpla ca şi în cea de-a doua problemă formulată unele date să nu fie cunoscute, şi atunci se formulează o a treia problemă, a cărei întrebare trebuie să ducă la găsirea datelor necunoscute din problema a doua ş.a.m.d. Acest proces se continuă până când se ajunge la o problemă ale cărei date sunt cunoscute. Din acest moment operaţiile se desfăşoară pe calea sintezei.

În practică se mai foloseşte o alta formă de aplicare a analizei. Se pleacă tot de la întrebarea problemei. Presupunem că ea cere să se găsească valoarea mărimii A. Atunci se caută mărimile cu ajutorul cărora putem calcula valoarea mărimii A, fie acele mărimi E şi F. Dacă valorile acestor mărimi sunt date în problemă, atunci se fac calculele indicate, se găseşte valorea lui A şi cu aceasta problema dată este rezolvată. Dacă valorile lor (ale lui E şi F) nu sunt cunoscute, atunci trebuie calculate. Astfel, problema propusă se reduce la rezolvarea altor probleme mai puţin complicate. Fie M, N mărimile care ne ajută să găsim pe E şi P, Q mărimile cu ajutorul cărora vom calcula mărimea F. Acest procedeu continuă până când

Page 17: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

valorile mărimilor căutate se pot calcula cu ajutorul unor date din problema propusă. Din acest moment, folosim calea inversă, din aproape în aproape, ajungem să găsim valoarea mărimii A. Deci în forma a doua nu se mai formulează în mod special problemele intermediare, ci numai se menţionează mărimile pe care le-ar cuprinde ele în cazul în care s-ar fromula.

2.2.2. Metoda analizei în rezolvarea problemelor de demonstraţie

La rezolvarea unei probleme prin analiză se porneşte de la concluzia B şi se caută o propoziţie C care să implice B. Căutăm o altă propoziţie D din care să deducem pe C, apoi o propoziţie E din care s-o deducem pe D ş.a.m.d. până găsim o propoziţie A din care să deducem propoziţia precedentă. Se procedează astfel: Se presupune că propoziţia de demonstrat este adevărată. Se pune următoarea întrebare: de unde reiese imediat concluzia

teoremei? Răspunsul la această întrebare duce la formularea unei noi propoziţii cu mai puţine necunoscute decât cea dată de problemă; s-o numim C.

O întrebare asemănătoare se pune şi pentru propoziţia C: de unde reiese imediat concluzia propoziţiei C? Răspunsul la această întrebare duce la formularea unei noi propoziţii cu mai puţine necunoscute decât C, s-o numim D.

O dată ajuns la acest adevăr, raţionamentul se continuă prin metoda sintezei.

Din felul cum se desfăşoară se poate vedea că fiecare etapă nu se aplică prin încercări, ci este legată de propoziţiile precedente, aşadar raţionamentele sunt motivate.

2.3. Metoda contrucţiilor geometrice

Problemele de construcţii geometrice sunt acele probleme de geometrie în care se cere să se construiască o anumită figură cu ajutorul unor elemente date sau construirea unei figuri astfel încât elementele ce o compun să aibă anumite proprietăţi, folosind numai rigla şi compasul.

Problemele de construcţie pot fi privite ca o aplicare practică a problemelor de geometrie.

Page 18: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

Într-o problemă de construcţie se cere să contruim o figură F care să posede anumite proprietăţi α. La unele probleme mai simple putem executa construcţii imediat pe baza condiţiilor α, dar la problemele mai complicate această construcţie imediată nu este posibilă. În aceste cazuri mai complicate presupunem problema rezolvată cu figura construită, adică figura construită care posedă proprietăţile α şi căutăm să descoperim şi alte proprietăţi ale figurii pe baza cărora putem executa construcţia figurii. Fie β aceste proprietăţi. Cu alte cuvinte, am demonstrat propoziţia: i) Dacă figura F are proprietăţile α, atunci figura F are proprietăţile β.

Când trecem la construcţia figurii folosim proprietăţile β şi o parte din proprietăţile α. Să numim α’ acele proprietăţi α pe care l-am folosit în construcţia figurii. Figura construită posedă deci proprietăţile β şi α’, însă nouă ni s-a cerut să construim o figură cu proprietăţile α. Este deci necesar să demonstrăm că figura construită îndeplineşte condiţiile iniţiale α.

Pentru aceasta se demonstrează propoziţia: ii) Dacă figura F are proprietăţile β şi α’, atunci ea posedă şi proprietăţile

α. Condiţiile iniţiale α ale problemei pot prezenta diferite cazuri şi uneori construcţia şi numărul soluţiilor diferă între ele de la un caz la altul.

În general, se pot deosebi patru etape în rezolvarea unei probleme de construţie:1. Aflare soluţiei – în acestă etapă se presupune figura construită şi se caută

alte proprietăţi pe baza cărora se poate efectua construcţia (se demonstrează propoziţia i).

2. Construcţia3. Demonstraţia – se arată că figura construită în etapa a doua îndeplineşte

condiţiile iniţiale (se demonstrează propoziţia ii).4. Discuţia - se consideră toate cazurile pe care le pot prezenta condiţiile

iniţiale α şi se arată cum se efectuează constucţia şi câte soluţii sunt în fiecare caz.

În cazul în care pe baza cunoştinţelor pe care le avem putem executa construcţia, atunci rezolvarea necesită numai ultimele 3 etape. Se spune că s-a făcut rezolvarea prin metoda sintezei. Când rezolvarea cuprinde şi prima etapă se spune că s-a făcut prin metoda analizei.

2.4. Metoda reducerii la absurd în problemele de geometrie

Metoda reducerii la absurd este o metodă veche folosită în geometrie, încă din antichitate pentru demonstrarea unor teoreme sau probleme care au un caracter teoretic. Ea constă în a admite în mod provizoriu ca adevărată propoziţia contradictorie a teroremei date, apoi în baza unei asemenea

Page 19: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

presupuneri se deduc o serie de consecinţe care duc la un rezultat absurd, deoarece ele contrazic ipoteza problemei sau un adevăr stabilit mai înainte.

Practic, această metodă se aplică astfel:Se presupune că tot ce trebuie demonstrat nu este adevărat, adică se

neagă concluzia teoremei date, apoi pe baza presupunerii făcute se fac o serie de deducţii logice, care scot în evidenţă faptul că presupunerea făcută duce la o absurditate. Aceasta duce la concluzia ca presupunerea făcută nu este posibilă şi rămâne ca adevărată concluzia teoremei (problemei) date.

Metoda reducerii la absurd se întrebuinţează de multe ori în demonstrarea teoremelor reciproce.

2.5. Metoda analitico – sintetică în problemele de geometrie 2.5.1. Metoda analitico – sintetică în rezolvarea problemelor cu demonstraţie

În rezolvarea problemelor de geometrie, de obicei se folosesc cele două metode generale: analiza şi sinteza, în stânsă legătură, neputând fi separate.

Într-adevăr, atunci când rezolvăm o problemă prin sinteză, plecăm de la anumite date sau de la unele cunoştinţe învăţate înainte, însă avem mereu în minte întrebarea problemei la care trebuie să răspundem.

De asemenea, când rezolvăm o problemă prin analiză, plecăm de la întrebarea problemei, însă trebuie să ţinem cont şi de ceea ce cunoaştem în problemă şi de multe ori aceasta ne sugerează întrebarea pe care trebuie să o punem problemei noi pe care o formulăm.

Practic, se procedează astfel: folosim calea sintezei atât cât reuşim, după care, mai departe, folosim metoda de raţionament a analizei.

În unele probleme sau teoreme putem începe demonstrarea lor prin metoda analizei până găsim elementele de care trebuie să ne folosim în demonstraţie, după care apoi se aplică metoda sintezei.

2.5.2. Metoda analitico – sintetică în rezolvarea problemelor de calcul

Page 20: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

În practică, rar se întâmplă ca o problemă să fie rezolvată numai prin metoda sintezei sau numai prin metoda analizei; ele se aplică adesea începând prin sinteza cât reuşim, după care se recurge la analiză, sau se începe cu analiza şi urmează sinteza. Se apelează la analiză până când se găsesc două date care pot determina o mărime, iar pentru a afla necunoscuta, mai departe, calculele merg în ordine sintetică.

2.6. Metode de rezolvarea a problemelor de coliniaritate

Problemele de coliniaritate şi concurenţă prezintă deseori dificultăţi pentru elevi. Varietatea şi multitudinea situaţiilor în care apar astfel de probleme ca şi a modalităţilor de soluţionare nu permit încadrarea lor într-un număr finit de scheme sau tehnici de lucru. Există totuşi posibilitatea evidenţierii unor căi de rezolvare, de demonstrare a propoziţiilor despre coliniaritate:1. Folosind unicitatea paralelei printr-un punct la o dreaptă. Dacă[BA || d şi

[BC ||d, atunci A, B, C sunt coliniare.

2. Arătând că măsura unghiului format de punctele A, B, C este de 180° ,

sau că există un punct M astfel încât m(∠ ABM )+m(∠MBC )=180∘ , A şi C fiind în semiplane diferite determinate de dreapta BM.

3. Folosind unicitatea semidreptei ce formează cu aceeaşi semidreaptă, în acelaşi semiplan două unghiuri congruente. Dacă ∠DAB≡∠DAC şi punctele B şi C sunt în acelaşi semiplan determinat de dreapta AD, atunci punctele A, B, C sunt coliniare.

Page 21: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

2.7. Metode de rezolvarea a problemelor de concurenţă

Între problemele de concurenţă şi coliniaritate există o strânsă legătură. Astfel, pentru a demonstra că dreptele d1, d2 şi d3 sunt concurente putem considera punctul A comun dreptelor d1 şi d2 şi punctele B şi C situate pe d3 şi arătăm că punctele A, B, C sunt coliniare.

Există şi căi specifice pentru a demonstra concurenţa unor drepte. Iată câteva metode specifice ilustrate prin probleme:1. Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile

unghiului şi reciproc orice punct egal depărtat de laturile unui unghi aparţine bisectoarei unghiului respectiv.

2. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului şi reciporc orice punct din planul unui segment este egal depărtat de capetele unui segment aparţine mediatoarei segmentului.

3. În plan două drepte distincte sunt sau paralele sau concurente.4. Într-un triunghi două mediatoare sunt concurente.5. Într-un triunghi două mediane sunt concurente.6. Într-un triunghi două bisectoare sunt concurente.7. Diagonalele unui paralelogram sunt concurente.8. Dacă avem ordinea A – E – M, B – E – N, C – E – P, atunci dreptele AM, BN

şi CP sunt concurente.9. Două puncte interioare unui segment ce formează anumite rapoarte egale

coincid.

Page 22: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

Metoda analitico – sintetică

Problemă:

Laturile unui Δ ABC sunt AB=c, BC=a, AC=b. O paralelă la latura BC a triunghiului intersectează laturile AB şi AC respectiv în M şi N. Se cere:

a) Să se afle lungimea segmentului MN astfel încât perimetrul

Δ AMN să fie egal cu perimetrul trapezului BMNC.

b) Să se afle aria Δ AMN .

Rezolvare:

a) Aplicăm metoda analizei.

Presupunem că perimetrul Δ AMN este egal cu perimetrul trapezului BMNC ⇒

Page 23: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

⇒AM + MN + AN = BM+MN+ CN+BC⇒

⇒ AM + AN = BM + CN + BC (1)

Se observă că, dacă în membrul drept al egalităţii (1) adunăm membrul

stâng obţinem perimetrul Δ ABC . Adunăm ambii membrii din (1) cu AM + AN ⇒

⇒ 2(AM + AN) = a+b+c ⇒

⇒AM+AN=a+b+c

2⇔ AM+AN=p

De aici mai departe aplicăm metoda sintezei.

MN||BC⇒Δ AMN asemnea cu Δ ABC⇒ ⇒

AMAB

= ANAC

=MNBC

⇔ AM+ANAB+AC

=MNBC

⇔ pb+c

=MNa

⇔MN= a⋅pb+c

b) Începem tot cu analiza.SΔ AMN=

MN⋅AF2 .

Problema s-a redus la aflarea lui AF. Aplicăm metoda sintezei:

AFAE

=MNBC

⇔AFh

=

a⋅pb+ca

⇒ AF=h⋅pb+c

⇒S ΔAMN=

a⋅pb+c

⋅h⋅pb+c

2=a⋅h⋅p2

2(b+c ),

unde h=2a√ p( p−a)( p−b )( p−c ) .

Page 24: PREDAREA INTERACTIVĂ A MATEMATICII IN GIMNAZIU

Bibliografie:

1. Singer,M.,Voica,C. Învăţarea matematicii. Elemente de didactică aplicată.Ghidul Profesorului,Ed. Sigma,2002.

2. Păcurari, O. (coord) – Învăţarea activă, Ghid pentru formatori, MEC-CNPP, 2001

3. Costică Lupu, Dumitru Săvulescu, Metodica predării geometriei. Editura Paralela 45 – 2003


Recommended