Matematica

Bodea AndreeaPROPRIETATI:

FUNCTIE: relatia care asociaza fiecarui element din prima multime un singurelement din cea de a doua multime.F:ABA= domeniul ( multimea in care functia ia argumente)B=codomeniul(multimea in care functia ia valori)Codomeniu nu inseamna imaginea functiei!MONOTONIE: O functie este monotona daca este crescatoare sau descrescatoare. O functie este strict monotona daca este s. crescatoare sau s. descrescatoare.

Functie crescatoare: f:A B, , x1 f(x1) f(x2)

Functie strict crescatoare: f:A B, , x1 f(x1 ) < f(x2)

Functie descrescatoare: f:A B, , x1 f(x1) f(x2)

Functie strict descrescatoare: f:A B, , x1 f(x1) > f(x2)

Graficul unei functii crescatoareGraficul unei functii descrescatoare

Graficul funciei: este o multime de perechi ordonateGf= { (x,y) | f(x)=y}

Imaginea funciei:Imaginea unei funcii este o submulime a lui B alctuit din toate valorile . Se noteaz Im sau .Im sauIm

Multime simetrica:

A simetrica : x exista -xParitatea functiei:

Exemplu: Funcia par f(x)=x2

Definitie : O funcie cu valori reale, unde , se numete par dac . Graficul unei funcii pare este simetric fa de axa Oy.

Exemplu: Funcia impar f(x)=x3

Definitie : O funcie cu valori reale se numete impar

dac sau , f(-x) = -f(x), x

Graficul unei funcii impare este simetric fa de origine.

Functie periodica:

f:AR(Ase numete periodic de perioad T avem x+T i f(x+T)=f(x). Cea mai mic perioad strict pozitiv se numete perioada principal.Daca o functie admite o perioada T atunci ea admite ca perioada orice multiplu intreg de T.INJECTIVITATE- asociaz elementelor diferite din domeniu elemente diferite din codomeniu

1. cu x

2. cu f(xInterpretare geometric: O funcie f este injectiv dac i numai dac orice paralel la axa Ox intersecteaz graficul funciei f n cel mult un punct.

SURJECTIVITATE- i se asociaz elemenului din codomeniu un element din domeniu1.Funcia este surjectiv, dac , atunci astfel nct f(x)=y.Interpretare geometric: O funcie f este surjectiv dac orice paralel la Ox printr-un punct de pe Oy intersecteaz graficul funciei f n cel puin un punct.

BIJECTIVITATE- dac este i injectiv i surjectiv1.

Funcia este bijectiv dac pentru orice y B exist un singur x A a.. (x) =y (ecuaia (x)=y,are o singur soluie,pentru orice y din B)Interpretare geometric: O funcie f este bijectiv dac i numai dac orice paralel la axa Ox printr-un punct de pe Oy intersecteaz graficul funciei f n exact un punct.

COMPUNEREA A DOUA FUNCTII:Fie f:AB, g:BC

Inversa unei funcii:O functie este inversabila daca si numai daca este bijectiva.

f:AB => :BA, (fof -1)(x)= (f -1of)(x)= x

FUNCTIA DE GRADUL I

Definiie: f:RR,f(x)=ax+b,a, a,b

Monotonie: Dac a>0 f este strict cresctoare Dac a0; ax+b0;,0, a1. Funcia se numete funcie exponenial de baz a.Monotonia: dac a>1, atunci f este strict cresctoare dac 00 atunci f(x)>1; x0 funcia logaritmic este strict cresctoare; 01, atunci ; 0 xn

Monotonia funcieix

- -1 0 1 +x

- -1 0 1 +

x2k

+ 1 0 1 +x2k+1

+ - 1 0 1 +

Strict descr. pe (-,0)

Strict cresc. pe [0,+)Strict cresctoare pe R

Semnul funcieix

- 0 +x

- 0 +

x2k

+ + + + + 0 + + + + +x2k+1

+ - - - - 0 + + + + +

BijectivitateNuDa

Functia putere cu exponent pozitiv, impar, nenulFunctia putere cu exponent natural, par, nenul

Functia putere cu exponent intreg negativ, par

Functia putere cu exponent intreg negativ, impar

FUNCTIA RADICALDefiniie:

a) Funcia f: R R, f(x)= , nN*, se numete funcia radical de ordin impar.

b) Funcia f: [0,+) [0,+), f(x)= nN*, se numete funcia radical de ordin par.Funcia

f: [0,+) [0,+), f(x)= n N*

f: R R, f(x)= , n N*

Intersecia cu axele de coordonate Ox i OyO(0,0)O(0,0)

ParitateNuf(-x)=-f(x) funcie impar

Simetria graficului GfNuGf simetric fa de O

Monotonia funcieix

- 1 +x

- -1 0 1 +

0 1 +

- - 1 0 1 +

Strict cresctoare pe [0,+)Strict cresctoare pe R

Semnul funcieix 0 +x

- 0 +

0+ + + + + + + + +

- - - - - 0 + + + + +

BijectivitateDa Da

Funcia invers

f-1: [0,+) [0,+), f-1(x) = x2nf: R R,f-1(x) = x2n+1

FUNCTIA RADICAL DE ORDIN PAR

FUNCTIA RADICAL DE ORDIN IMPAR

CERCUL TRIGONOMETRIC

FUNCTIA SINUS

Definitie: Functia sinus este functia definita pe R cu valori in R prin care apartine lui R I se asociaza un numar notat sin.

Grafic:Periodicitate: Functia sinus este o functie periodica de perioada 2k unde k apartine lui Z sin (+2k) =sinxParitate: Functia sinus este o functie impara adica sin(-x)= -sin(x)Semnul functiei sinus:CaranulIIIIIIIV

Functia sinus++--

Monotonia functiei sinus:CadranulIIIIIIIV

Functia sinus

Intersectia cu axele : Intersectia cu axa ox se face in punctele x=k ( k Z ). Intersectia cu axa oy se face in punctul 0(0;0). Functia sin:R[-1;1] nu este injectiva pe R , deci nu este bijectiva si prin urmare nu este inversabila pe R. In schimb , functia f:[-/2 , /2][-1 ,1] ,f(x) = sin x este bijectiva , deci este inversabila si inversa ei este arcsinus.

FUNCTIA COSINUS

Definitie: Functia cosinus este functia definita pe R cu valori in R prin care apartine lui R i se asociaza un numar notat cos.Grafic:

Periodicitate: Functia cosinus este o functie periodica de perioada 2k unde k apartine lui Z cos(+2k) =cosxParitate: Functia cosinus este o functie para adica cos (-x)= cos(x)Semnul functiei cosinus:CaranulIIIIIIIV

Functia cosinus+--+

Monotonia functiei cosinus:CadranulIIIIIIIV

Functia cosinus

Intersectia cu axele: Intersectia graficului cu axa ox se face in punctele x=/2+k , k Z.Intersectia cu axa oy se face in punctul (0,1).Functia cos:R[-1,1] nu este injectiva pe R , deci nu este bijectiva si nu este inversabila pe R. In schimb , functia f:[0,][-1,1] , f(x) = cos x este bijectiva si deci inversabila si inversa ei este arccosinus.

FUNCTIA TANGENTA

Definitie: Tangenta unui unghi notata tg este raportul dintre sinusul unghiului si cosinusul acestuia.

Grafic:

Periodicitate: Functia tangenta este o functie periodica de perioada k tg(+k) =tg pt. oricare apartine lui R din care scadem Paritate: Functia tangenta este o functie impara tg(-x)=-tg(x)Semnul functiei tangenta:CadranulIIIIIIIV

Functia tangenta+-+-

Monotonie: Functia tangenta este strict crescatoare pe intervale de forma Intersectia cu axele: Intersectia graficului cu axa ox se face in punctele de abscisa x= k(k Z).Intersectia cu axa oy se face in punctul 0(0,0).Functia tg :R\{(2k+1)/2}R nu este bijectiva si deci nu este inversabila.In schimb f: (-/2,/2)R , f(x)=tg(x) este bijectiva si este inversabila si inversa ei este arctangenta.

FUNCTIA COTANGENTA

Definitie: Cotangenta unui unghi notata ctg este raportul dintre cosinusul unghiului si sinusul acestuia.

Grafic:

Periodicitate: Functia cotangenta este o functie periodica de perioada k ctg(+k)=ctg unde oricare apartine lui R|{k| k apartine lui Z}Paritate: Functia cotangenta este o functie impara ctg(-x)=-ctg(x)Semnul functiei cotangenta:CadranulIIIIIIIV

Functia cotangenta+-+-

Monotonie: Functia cotangenta este strict descrescatoare pe intervale de forma (o;)Intersectia cu axele: Intersectia cu ox se face in punctele de abscisa x=(2K+)/2 ,k Z. Intersectia cu oy nu se face. Functia ctg:R\{k| k Z}R nu este bijectiva si deci nu este inversabila , in schimb f: (0,)R este inversabila si inversa ei este arccotangenta.

FUNCTIA ARCSINUS

Definitie: Functia inversa a restrictiei bijective a functiei sinus la intervalul[-/2;+/2] , anume f:[-/2;+/2] - > [-1;+1], f(x) = sin x, se numeste arcsinus. Deci:

Grafic:

Paritate: Functia arcsin este impara.

Monotonia: F.strict cresctoare pe

Valori extreme: Min f(x)= Max f(x)=

Semnul : arcsinx0 pentru

arcsinx0 pentru Functia arcsinus este bijectiva si deci inversabila si inversa sa este functia

sinx:

FUNCTIA ARCCOSINUS

Definitie: Functia inversa a restrictiei bijective a functiei cosinus la intervalul [0;] , anume f:[0;] - > [-1;+1], f(x) = cos x,se numeste arccosinus. Deci:

Grafic:

Paritate: Functia arccos este impara.

Monotonia: F.strict descresctoare pe

Valori extreme: Min f(x)= 0 Max f(x)=

Semnul : arccos x0 pentru x [-1,1] Functia arccos este bijectiva si deci inversabila si inversa sa este functia

cosx:

FUNCTIA ARCTANGENTA

Definitie: Functia inversa a restrictiei bijective a functiei tangentala intervalul (-/2;+/2) , anume f:(-/2;+/2) - > R, f(x) = tgx, se numeste arctangenta. Deci:

Grafic:

Paritate: Functia arctg este impara.Monotonia: Functie strict cresctoare pe R.

Valori extreme:

Semnul: arctgx < 0 pentru x (-,0)

arctgx > 0 pentru x (0, ) Functia arctg este bijectiva si deci inversabila si inversa sa este functia

tgx:

FUNCTIA ARCCOTANGENTA

Definitie: Functia inversa a restrictiei bijective a functiei cotangenta la intervalul (0;) , anume f:(0;) - > R, f(x) = ctgx, se numeste arccotangenta. Deci:

Grafic:

Paritate: Functia arcctg este impara.Monotonia: Functie strict descresctoare pe R.

Valori extreme:

Semnul: arcctgx > 0 pentru x R Functia arcctg este bijectiva si deci inversabila si inversa sa este functia

ctgx:

FORMULE ALGEBRAFormule de calcul prescurtat a

(a+b)

(a-b)

a

aPuteri:Radicali:

Formule logaritmi:

log log alogax=x

loga x= log anxn , x,a>0, a1, n

Schimbarea bazei: log, logProgresii aritmetice

Definiie: Se numete progresie aritmetic un ir de numere reale a n care diferena oricror doi termeni consecutivi este un numr constant r, numit raia progresiei aritmetice: a

Se spune c numerele a sunt n progresie aritmetic dac ele sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Teorem: irul este progresie aritmetic

Termenul general: a

Proprietate: Numerele a,b,c sunt n progresie aritmetic

Suma primilor n termeni: SProgresii geometrice:

Definiie : Se numete progresie geometric un ir de numere reale b n care raportul oricror doi termeni consecutivi este un numr constant q, numit raia progresiei geometrice:, q

Se spune c numerele b sunt n progresie geometric dac ele sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice.

Teorem: irul este progresie geometric

Termenul general: b

Proprietate: Numerele a,b,c sunt n progresie geometric

Suma primilor n termeni: S,q sau S q = 124