Polinoame 1) Forma algebric a unui polinom Prin forma algebric sau forma canonic nelegem

11 1 0...

n nn nf a X a X a X a

. Prescurtat putem scrie

0.

nk

kk

f a X

0 1, ,..., na a a sunt coeficienii polinomului cu 0na , na se numete coeficient dominant i nna X termen dominant 1na atunci polinomul se numete monic sau unitar 0a termen liber . 0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficieni compleci i scriem f X , unde

X este mulimea polinoamelor cu coeficieni compleci. 0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficieni reali i scriem f X ,

unde X este mulimea polinoamelor cu coeficieni reali. 0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficieni raionali i scriem f X , unde

X este mulimea polinoamelor cu coeficieni raionali . 0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficieni ntregi i scriem f X , unde X

este mulimea polinoamelor cu coeficieni ntregi . X X X X .

2) Gradul unui polinom Dac 11 1 0...n nn nf a X a X a X a i 0na atunci spunem c polinomul f are gradul

n . Notaie grad f sau gr f Dac 0f a atunci polinomul se numete constant i 0grad f . Dac 0f atunci polinomul se numete nul i grad f .

3) Egalitatea polinoamelor Fie 11 1 0...n nn nf a X a X a X a i 11 1 0...m mm mg b X b X b X b . Polinoamele f i g sunt egale i scriem f g dac n m i , 1,i ia b i n adic au grade egale iar coeficienii corespunztori egali.

4) Valoarea unui polinom Fie 11 1 0...n nn nf a X a X a X a i . Numrul 11 1 0...n nn nf a a a a se numete valoarea polinomului n i se obine din calculul nlocuirii nedeterminatei X cu .

Dac 0f atunci numrul se numete rdcin a polinomului f Suma coeficienilor se obine calculnd valoarea polinomului n 1

adic 1 1 01 ...n nf a a a a

2

Termenul liber 0a se obine calculnd valoarea polinomului n 0 adic 00f a 5) Operaii cu polinoame Fie , [ ],f g X

0

ni

ii

f a X

i 0

,m

jj

jg b X n m

.

Suma polinoamelor f i g este polinomul definit prin: 0

,n

kk

kf g c X

unde ,

,k k

kk

a b k mc

a m k n

i grad( ) max grad ,gradf g f g .

Suma se efectueaz prin adunarea termenilor(monoamelor) asemenea Produsul polinoamelor f i g este polinomul definit prin:

1 0... ,n m

n mf g c X c X c

unde

kji

jik bac , .,0 mnk i grad( ) grad gradf g f g .

produsul se efectueaz prin desfacerea parantezelor i apoi prin reducerea termenilor(monoamelor) asemenea

mprirea polinoamelor f i g se efectueaz aplicnd algoritmul pentru aflarea ctului i a restului.

Nu este indicat s aplicm algoritmul la mprirea cu binomul X Restul mpririi unui polinom f prin binomul X este egal cu valoarea

polinomului n adic ( )f deci reinem c r f Ctul i restul mpririi unui polinom f prin binomul X se pot afla cu schema

lui Horner Teorema mpririi cu rest.

Oricare ar fi polinoamele , [ ],f g X grad f grad g , ,0g exist i sunt unice polinoamele , [ ]q r X care au proprietile: ;f g q r i grad r grad g . Avem evident c grad q grad f grad g

Dac efectiv nu putem aplica algoritmul la mprirea cu X X atunci determinarea restului se va face astfel:

Aplicm T.I.R i obinem f X X q mx n Calculm f i f n dou moduri i obinem un sistem n m i n

Rezolvm sistemul i obinem , ,f a f b af b bf am n a ba b a b

6) Divizibilitatea polinoamelor Fie , [ ]f g X . Polinomul f este divizibil cu polinomul g dac exist un polinom

[ ]q X astfel nct f g q . Notm gf sau .| fg gf dac i numai dac f mprit la g d restul 0 f g dac f mprit la g nu d restul 0 Dac gf atunci grad f grad g

3

Dac gf dac i numai dac rdcinile lui g sunt i rdcini pentru f. f g dac o rdcin a lui g nu este rdcin i pentru f.

7) Rdcinile polinoamelor Numrul este rdcin pentru polinomului f dac i numai dac 0f . Teorema lui Bzout. Fie [ ]f X un polinom nenul i . Polinomul f este divizibil cu binomul X dac i numai dac 0f adic a este rdcin.

Dac este rdcin pentru polinomul f atunci ( )f X Dac i sunt rdcini pentru polinomul f atunci ( )f X i ( )f X Dac ( )f X i ( )f X atunci ( ) ( )f X X

Spunem c este rdcin multipl de ordin p pentru polinomul [ ]f X , dac ( ) pf X i f 1( ) pX . Dac 2p atunci se mai numete rdcin dubl pentru

polinom, iar dac 3p atunci se mai numete rdcin tripl pentru polinom.

este rdcin dubl pentru polinomul [ ]f X , dac

000

l

ll

fff

adic este

rdcin pentru f, pentru f l i nu e pentru f l l

este rdcin tripl pentru polinomul [ ]f X , dac

0000

l

ll

lll

ffff

adic este

rdcin pentru f, pentru f l , pentru f l l i nu e pentru f l l l . Polinomul care are o infinitate de rdcini este polinomul nul

8) Rdcinile polinoamelor cu coeficieni reali Fie [ ]f X i numerele , 0a bi b respectiv , ,a bi a b Dac f are rdcina complex , 0a bi b atunci i a bi este rdcin i

amndou au acelai ordin de multiplicitate. Dac f are rdcina complex , 0a bi b atunci ( ) ( )f X X . Numrul rdcinilor din \ adic pur complexe ale polinomului f este par. Dac gradul lui f este impar atunci polinomul are cel puin o rdcin real Dac gradul lui f este impar atunci polinomul are un numr impar de rdcini

reale. Dac gradul lui f este par atunci polinomul are un numr par de rdcini reale sau

deloc Dac 0f a f b atunci polinomul f are cel puin o rdcin real n intervalul

, , , ,a b a b a b

4

9) Rdcinile polinoamelor cu coeficieni raionali Fie [ ]f X i numerele , 0,a b d d d respectiv , , ,a b d a b d Dac f are rdcina iraional , 0,a b d d d atunci i a b d este

rdcin i amndou au acelai ordin de multiplicitate. Dac f are rdcina iraional , 0 ,a b d d d atunci ( ) ( )f X X .

10) Rdcinile polinoamelor cu coeficieni ntregi Fie [ ]f X i numrul p

q unde , , , 1p q p q

Dac f are rdcina fracia ireductibil pq

atunci p 0a i q na adic p divide

termenul liber i q divide coeficientul dominant. Rdcinile ntregi sunt divizori ai termenului liber Un polinom nu admite rdcini ntregi dac valorile polinomului n divizori ntregi

ai termenului liber sunt nenule. Dac f este monic(unitar) atunci rdcinile raionale sunt numai ntregi Un polinom monic nu admite rdcini raionale dac nu are nici ntregi. f x f y x y

11) Descompunerea n factori Fie f X , 11 1 0...n nn nf a X a X a X a cu rdcinile distincte 1 2, ,..., nx x x . Formula de descompunere este :

1 2 ...n nf a X x X x X x Dac rdcinile nu sunt distincte atunci:

1 21 2 ... kpp p

n kf a X x X x X x unde 1 2, ,..., kp p p sunt ordinele de multiplicitate a rdcinilor 1 2, ,..., kx x x

Orice polinom de grad 1n cu coeficieni reali poate fi descompus ntr-un produs de polinoame de gradul I sau gradul II cu coeficieni reali.

Pentru descompuneri cutm rdcini ntregi printre divizorii termenului liber aplicnd schema lui Horner.

Dac cunoatem rdcinile 1 2, ,..., nx x x putem afla polinomul desfcnd parantezele 1 2 ...n na X x X x X x .

n formula de descompunere 1 2 ...n nf a X x X x X x putem da valori particulare pentru nederminata X i vom obine diverse relaii.

12) Polinoame reductibile-ireductibile Polinomul f cu , 1grad f n n se numete reductibil peste mulimea de numere M dac exist polinoamele g,h din M X de grade strict mai mici dect gradul lui f, astfel nct f g h . n caz contrar polinomul f este ireductibil peste mulimea M.

5

Orice polinom de grad 1 este ireductil Orice polinom de grad 2 este reductil peste Dac un polinom f M X este ireductibil peste o mulime de numere M atunci

nu are rdcini n M dar invers nu adic dac f M X nu are rdcini n M nu nseamn c este ireductibil peste M

Polinoamele ireductibile peste sunt de forma f ax b sau 2 , 0f ax bx c unde , ,a b c

Un polinom f poate fi ireductibil peste o mulime dar reductibil peste alt mulime. 13) Relaii ntre rdcini i coeficieni-Relaiile lui Vite.

Fie f X , 11 1 0...n nn nf a X a X a X a cu rdcinile 1 2, ,..., nx x x . Relaiile lui Vite sunt :

11 1 2 ... nn

n

aV x x xa

2

3

22 1 2 1 3 1

33 1 2 3 1 2 4 2 1

...

...

n

n

nn n

nC termeni

nn n n

nC termeni

aV x x x x x xa

aV x x x x x x x x xa

....; 0

1 2... ( 1) .n

n nn

aV x x xa

Suma inverselor rdcinilor 11 2

1 1 1... nn n

Vx x x V

Suma ptratelor rdcinilor 2 2 2 21 2 1 2... 2nx x x V V Dac 2 2 21 2 ... 0nx x x atunci polinomul nu are toate rdcinile reale Dac aplicm definiia rdcini pentru fiecare n parte atunci prin adunarea

relaiilor putem obine informaii despre alte sume de puteri de rdcini Dac cunoatem 1 2, ,..., nV V V atunci ecuaia care are soluiile 1 2, ,..., nx x x este :

1 21 2 ... ( 1) ... ( 1) 0.

n n n k n k nk nx V x V x V x V

14) Teorem. Orice ecuaiei polinomial de grad n are exact n rdcini complexe nu

neaprat distincte. 15) Teorema fundamental a algebrei (teorema DAlembert Gauss). Orice ecuaie

polinomial de grad mai mare sau egal cu 1 are cel puin o rdcin complex. 16) Teorema Abel-Ruffini . Orice ecuaie polinomial de grad mai mare dect 4 nu

este rezolvabil prin radicali. 17) Rezo