CAPITOLUL

7ANALIZA STATISTIC A PORTOFOLIILOR

7.1 Portofolii eficiente i portofolii optime 7.2 Modelul Markowitz 7.2.1 Rentabilitatea i riscul unui portofoliu format din dou titluri 7.2.2 Rentabilitatea i riscul unui portofoliu cu n titluri 7.3 Modelul diagonal de selecie a portofoliului 7.3 Modelul CAPM 7.4 Modelul APT

Statistic financiar-bancar i bursier

7.1 PORTOFOLII EFICIENTE I PORTOFOLII OPTIMEUn portofoliu este definit ca o combinaie de titluri, avnd avantajul reducerii riscului prin diversificare. n prim plan n cadrul teoriei portofolilui se afl porofoliul optim. Acesta reprezint portofoliul care ofer cea mai bun rentabilitate posibil pentru un anumit nivel al riscului sau prezint cel mai sczut risc posibil pentru o anumit rat de rentabilitate. Cu alte cuvinte, portofoliul optim are o dispersie minim i satisface funcia de utilitate a unui investitor cu aversiune fa de risc. Porofoliu optim se va afla pe frontiera de eficien. Ipoteza pieelor eficiente1 este una din ideile centrale n finanele moderne. Conceptul de eficien a pieei poate suporta interpretri diferite n ceea ce privete piaa de capital. Pe o pia perfect sunt reunite urmtoarele condiii2: nici un investitor nu domin piaa i nu poate de unul singur s influeneze cursul titlurilor; informaia circul liber, toi agenii au acces gratuit i imediat la toate informaiile privind titlurile; se face abstracie de impozite, taxe i costuri de tranzacii; titlurile sunt infinit divizibile. O pia care ndeplinete aceste condiii este eficient. Toate informaiile privind un titlu sunt imediat i total rsfrnte n cursul acestuia, care furnizeaz n orice moment cea mai bun expresie a valorii titlului. Apariia unei informaii favorabile va incita investitorii s devin cumprtori, antrennd o cretere a cursului i tranzaciile se vor desfura la un pre n care va intra i informaia nou. Opusul se va produce n cazul informaiei defavorabile. Nu este deci posibil pentru un investitor oarecare s obin un profit pornind de la o informaie particular privind o societate. Deoarece informaiile noi apar n mod ntmpltor, i cursurile titlurilor fluctueaz n mod aleator. Un mod de a msura eficiena pieei este de a vedea care din tipurile de informaii din setul total de informaii existente se regsesc n preul titlurilor. Pornind de la aceasta, se disting trei forme ale ipotezei pieei

1 2

efficient market hypothesis EMH n limba englez ignescu, E., Dobre, I., Roman, M.- Macroeconomie. Decizii strategice, Editura ASE, 2000

Analiza statistic a portofoliilor

eficiente3. n cadrul fiecreia se presupune c n preul titlurilor se reflect tipuri specifice de informaii. Forma slab a eficienei n cadrul formei slabe a ipotezei pieei eficiente, preurile titlurilor reflect orice informaie coninut n istoricul acestora. n concluzie, nu poate fi obinut nici un profit -n ceea ce privete previzionarea cursurilor bursiere- doar examinnd evoluia titlurilor respective n trecut. Forma semitare a eficienei Forma semitare a EMH presupune c toate informaiile cu caracter public disponibile snt reflectate n preurile titlurilor. Setul de informaii cuprinde pe lng datele cu caracter istoric informaii din rapoartele contabile ale companiei, rapoartele companiilor concurente, informaii publice cu privire la starea economiei i orice alt informaie cu caracter public disponibil cu privire la evaluarea firmei n cauz. Se presupune astfel c imediat ce o informaie devine public, este absorbit i reflectat de preuri. Chiar dac aceast ajustare nu este cea corecta, va fi n foarte scurt timp analizat de ctre pia. Astfel analitii financiari vor avea mari dificulti ncercnd s profite prin utilizarea analizei fundamentale. Aadar, forma semitare a ipotezei pieei eficiente are un caracter mult mai general dect forma slab. Forma tare a eficienei Forma tare a EMH duce noiunea de eficien a pieei la limita extrem. n acest caz, preurile titlurilor reflect toate informaiile existente. Acestea includ i informaiile private i ale insider-ilor, pe lng ceea ce este disponibil la nivel public. Potrivit acestei definiii, cei ce achiziioneaz informaii private vor aciona n conformitate cu ele, vnznd sau cumprnd. Aciunea lor va afecta preul titlurilor, iar preul se va ajusta cu repeziciune la informaii, pentru a le reflecta.

Statistic financiar-bancar i bursier

7.2 MODELUL MARKOVITZ DE DIVERSIFICARE A APORTOFOLIULUIMarkovitz atrage atenia n 1952 n lucrarea Portfolio Selection4 asupra faptului c investitorii ar trebui s trateze cu interes nu numai rentabilitatea plasamentelor ci i volatilitatea sau riscul acestora pentru a determina o investiie optim n funcie de titlurile alese. n condiii de certitudine, Markovitz a demonstrat c alegerea portofoliului se poate reduce la analizarea a dou mrimi: rata de ctig ateptat a portofoliului i dispersia sau abaterea medie ptratic, ca msur a riscului. Riscul unui portofoliu diversificat depinde nu numai de dispersiile individuale ale rentabilitilor titlurilor ci i de micrile adverse ale tuturor activelor. Descoperirea cea mai important este c un investitor i poate reduce volatilitatea portofoliului su (adic riscul acestuia) i poate (n acelai timp) s-i creasc rentabilitatea. Dezvoltarea teoretic ulterioar este cea a lui William Sharpe care creeaz modelul CAPM (engl. Capital Assets Pricing Model) la mijlocul anilor 1960, n lucrarea Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk. Acest model definete riscul ca fiind volatilitatea relativ la pia i susine c rata de ctig ateptat de investitor i costul de capital al titlului de valoare sunt proporionale cu riscul titlului n relaia cu mulimea tuturor titlurilor de valoare. Teoria portofoliilor este teoria alegerii ntre proiectele riscante i include explicit riscul n formularea sa: ea este teoria riscului. Fa de ansamblul de proiecte riscante existente pe pia, cea mai bun alegere pentru individ nu este concentrarea investiiilor sale ctre un singur proiect, ci repartizarea averii sale n mai multe proiecte. Interesul su este s practice diversificarea i s constituie un portofoliu de proiecte. Acest comportament i este dictat de aversiunea pentru risc. Diversificarea permite reducerea riscului, dar nu permite niciodat eliminarea complet a acestuia. Procesul de reducere a riscului

4

articolul lui Harry Markowitz, - "Portofolio selection. Efficient Diversification of Investiments", 1959 este publicat n volumul Articole fundamentale ale teoriei financiare, coordonator I. Stancu, Editura ASE Bucureti

Analiza statistic a portofoliilor

prin diversificare este simplu, dar implicaiile sale sunt considerabile i este meritul lui Markowitz5 care le-a descoperit. Teoria portofoliilor privete, de regul, activele fizice i financiare existnd cel puin trei motive care impun necesitatea de a fi tratate ca active financiare: - activul financiar (aciune, obligaiune) are exact caracteristicile ntregului proiect redus la aspectul su financiar. Decizia de cumprare a unui titlu este n ntregime descris n fraza urmtoare: cheltuind n t0 o sum cert n vederea obinerii unei sume viitoare nesigure, adic a preului de revnzare a titlului n t1 i a dividendelor (pentru aciuni) sau a dobnzilor (pentru obligaiuni) percepute pe perioada t0-t1. - exist serii istorice de date (cursurile titlurilor, dividendelor i dobnzilor) ce permit studiile empirice i verificarea unor teste teoretice. - piaa acestor titluri este suficient de aproape de condiiile ideale postulate de ipotezele teoriei. 7.2.1 Rentabilitatea i riscul unui portofoliu format din dou titluri 1. 2. 3. 4. 5. Ipotezele modelelui Markovitz sunt6: Investitorii consider fiecare alternativ de investiie ca fiind reprezentat prin distribuia probabilitilor de profit sperat ntr-o perioad de timp; Investitorii maximizeaz utilitatea sperat ntr-o perioad de timp, iar curba utilitii maximizeaz utilitatea marginal a bunstrii lor. Investitorii estimeaz riscul pe baza modificrilor n profiturile sperate; Investitorii iau decizii numai pe baza riscului i a profitului sperat, deci curba utilitii este exprimat ca o funcie de profit ateptat i varian a profitului; Pentru un nivel dat al riscului, investitorii prefer un profit mare; pentru un nivel dat al profitului ateptat, investitorii prefer riscul mai mic.

Considerm un investitor care are de ales ntre dou titluri T1 i T2 sau are n mod egal posibilitatea constituirii unui portofoliu P repartiznd suma pe care dorete s-o investeasc ntre cele dou titluri. Anticiprile sale privind comportamentul titlurilor n perioada viitoare sunt rezumate n varianta urmtoare:5 6

Harry Markowitz, - "Portofolio selection. Efficient Diversification of Investiments", 1959. Huidumac, C., Stancu, S.- Teoria portofoliului cu aplicaii pe piaa financiar, Editura didactic i pedagogic, Bucureti 1999

Statistic financiar-bancar i bursier

E E 2 T1 1 T 2 , Co 12 = 12 1 2 1 2 Reamintim semnificaia notaiilor utilizate, i i j fiind cele dou titluri oarecare: Ei - sperana matematic a ratei rentabilitii titlului i; i - abaterea standard a ratei rentabilitii titlului i; ij - coeficientul de corelaie ntre ratele rentabilitii titlurilor i i j; Covij - covariana ntre ratele rentabilitii titlurilor i i j. Portofoliul P este obinut combinnd cele dou titluri n proporia X1 i X2. Totalitatea sumei disponibile este investit n T1 i T2. Avem relaia: X1 + X2 = 1 cu X1, X2 0 sau 0 X1 1; 0 X2 1.

Sperana matematic a ratei randamentului portofoliului P(Ep):Ep = X1E1 + X2E2 Sperana randamentului este media ponderat a speranei randamentelor titlurilor, ponderea fiind proporiile.

Dispersia ratei randamentului portofoliului P (Vp):2 Vp = X1 V1 + X 2 V2 + 2X1X 2Cov12 2 2 Vp = X1 V1 + X 2 V2 + 2X1X 2121 2 2

Dispersia portofoliului este funcie de dispersia fiecrui titlu, de proporiile n care sunt combinate i de covariana ntre cele dou titluri. Potrivit gradului sau de corelaie ntre T1 i T2,. se disting trei cazuri: 1) Dac 12 = 1: titlurile T1 i T2 sunt perfect i pozitiv corelate ceea ce semnific anticiparea pentru randamentul acestor titluri a unor micri perfect concordante n timp, dar cu amplitudini diferite. n acest caz:2 V p = X 12V1 + X 2V2 + 2 X 1 X 2Co1v2

se scrie2 2 2 = X1 1 + X 2 2 + 2X1X 21212 cu 12 = 1 . p 2 2

Analiza statistic a portofoliilor

Adic:2 2 X1 1 + X 2 2 + 2X1X 21 2 = (X11 + X 2 2 ) si p = X11 + X 2 2 2 2 2

Abaterea standard a portofoliului este media abaterilor standard ale titlurilor care l compun. Reunind cele dou ecuaii i raportnd la randamentul i la riscul portofoliului P,Ep = X1E1 +X2E2

i p = X11 + X 2 2

obinem ecuaia E p = f ( p ) , ca spaiu al combinrilor titlurilor T1 i T2 n planul E - . tim c X1 + X2 = 1, adic X2 = 1 - X1. Din ecuaiaE p = X1E1 + (1 X1 )E 2 , obinem

X1 =

Ep E2 E1 E 2

dac E1E2 pe care l nlocuim cu ecuaia lui p. Obinem:

2 p = Ep 1 E E 2 1

E 1 2 E 2 1 + E1 E 2

2) Dac 12 = -1, titlurile T1 i T2 sunt perfect i negativ corelate. Anticipm pentru randamentul acestor titluri fluctuaii perfect opuse. n acest caz2 Vp = X1 V1 + X 2 V2 + 2X1X 2Cov12 2

se scrie:2 2 2 = X1 1 + X 2 2 2X1X 2 1 2 p 2 2

Statistic financiar-bancar i bursier

adic:

2 = (X11 X 2 2 ) p

2

Abaterea standard fiind totdeauna pozitiv, se face discuie pentru semnul expresiei ( X11 X 22 ) care variaz n funcie de X1 i X2. PentruX1 > 2 1 + 2 avem X11 X 2 2 > 0 si p = X11 X 2 2

Aceast relaie, mpreun cu relaia Ep = X1E1 + X2E2, permite determinarea ecuaiei de legtur ntre Ep i p. + 2 E + E1 2 p = Ep 1 2 1 (E1 E 2 ) (E1 E 2 ) . Obinem Este vorba de o relaie liniar reprezentat grafic de o dreapt. Partea, din aceast dreapt, corespunztoare la:

X1 >

2 1 + 2

este locul portofoliilor obinute plecnd de la titlurile T1 i T2.. Pentru

X1