Oscilatiile navei

7/21/2019 Oscilatiile navei

http://slidepdf.com/reader/full/oscilatiile-navei 1/37

CAPITOLUL 5

OSCILAŢIILE NAVEI

5.1. CONSIDERAŢII GENERALE

Prin oscilaţie se înţelege mişcarea periodică executată de navă (considerată un corprigid) aflată în stare de plutire pe mare calmă sau agitată. În mod teoretic nava consideratăun corp rigid poate executa şase mişcări oscilatorii pe direcţia celor şase grade de libertate,trei rotaţii şi trei mişcări liniare. Pe apă liniştită nava oscilează dacă este scoasă din poziţiade ecilibru de către forţe exterioare. Pe valuri nava oscilează sub acţiunea forţelor datoratemaselor de apă aflate în mişcare.

Pentru studiul oscilaţiilor, se utilizează două sisteme de coordonate (fig. !.")#− un sisteme de coordonate fix $%&', ataşat suprafeţei de plutire, avnd originea pe

verticala centrului de greutate a navei *− un sistem de coordonate mobil x+z, ataşat corpului navei aflat în mişcare

relativă faţă de sistemul fix.xele sistemului mobil sunt axe centrale, principale de inerţie. -ava, considerată un solid rigid, liber, are şase grade de libertate, efectund mişcări

pe toate cele trei direcţii#− " deplasarea longitudinală (avansul)*− deplasarea laterală (deriva)*

− / deplasarea verticală*− 0 rotaţia în 1urul axei x (ruliu)*− ! rotaţia în 1urul axei + (tanga1)*− 2 rotaţia în 1urul axei z (pivotare).3upă direcţiile ", şi 2, nava nu mai revine în poziţia iniţială de ecilibru, aceste

mişcări fiind obiectul studiului altor calităţi ale navei.

$ ) x

ξ

y

η z ζ

"

! 2 0

/

Fig. 5.13e mare interes pentru comportarea navei şi mai ales pentru consecinţe îl reprezintă

următoarele tipuri de oscilaţii#

"45



• $scilaţii transversale (ruliu) date de mişcarea de rotaţie periodică a navei în 1urulaxei longitudinale. 6e prezintă sub forma unor deplasări ungiulare alternative, periodice,în planul cuplului maestru.

• $scilaţii longitudinale (tanga1) date de mişcarea de rotaţie periodică a navei în 1urulaxei transversale. 7eprezintă deplasări ungiulare alternative, periodice, în planul

longitudinal al navei.• $scilaţii verticale date de deplasarea liniară periodică a navei în direcţie verticală în 1urul poziţiei de ecilibru.

• $scilaţii cuplate rezultate din compunerea a cte două sau trei oscilaţii de tipuridiferite.

Pentru ca cele trei mişcări periodice, necuplate, să fie exprimate prin ecuaţiidiferenţiale liniare se vor face următoarele ipoteze#

− amplitudinile mişcărilor sunt considerate mici, bordurile fiind verticale în limiteleamplitudinilor, iar caracteristica de stabilitate corespunde stabilităţii iniţiale*

− suprafaţa valului se consideră plană, efectund mişcări periodice de translaţie şide rotaţie*

− se negli1ează efectul variaţiei presiunii în val, în limita pesca1ului, datoritămodificării caracteristicilor valului cu adncimea.

8işcările oscilatorii influenţează negativ calităţile nautice ale navei, siguranţamărfurilor la bord (mişcările produc deplasări, rostogoliri) şi rezistenţa structurii.

ceste mişcări dau naştere unor fenomene dăunătoare cu consecinţe mai mult sau mai puţin grave pentru navă şi încărcătură, cum sunt#

• introducerea de forţe şi momente ale căror efecte pot provoca răsturnarea navei, caurmare a pierderii stabilităţii*

• apariţia forţelor de inerţie şi a loviturilor puternice de val, care pot duce ladistrugerea parţială sau totală a navei*

• micşorarea vitezei de marş a navei, deoarece bordurile, pupa şi prova se afundă înapă (se măreşte suprafaţa de frecare cu apa, rezultnd creşterea rezistenţei la înaintare)*• înrăutăţirea condiţiilor de viaţă la bordul navei, etc.8işcările oscilatorii, în special pe mare agitată, nu pot fi înlăturate, ci numai atenuate

cu a1utorul unor instalaţii speciale de amortizare a amplitudinii mişcărilor. 3ată fiindinfluenţa dăunătoare a oscilaţiilor, se iau o serie de măsuri att la proiectarea navelor ct şiîn timpul exploatării lor în scopul micşorării efectelor acestor oscilaţii, astfel înctstabilitatea să nu fie afectată.

supra caracterului mişcărilor oscilatorii influenţează în mare măsură tipul navelor şimodul de încărcare. Perioadele oscilaţiilor depind de dimensiunile valurilor, dimensiunile principale ale navei, dispunerea încărcăturii la bord, viteza navei, drumul navei în raport cu

direcţia valurilor, diferenţa de fază dintre oscilaţiile navei şi oscilaţiile valurilor, etc.

"49



5.2. OSCILAŢIILE TRANSVERSALE SAU DE RULIU

7uliul reprezintă mişcarea de rotaţie transversală a navei care are loc în 1urul axului

longitudinal care trece prin centrul de greutate. :ste o oscilaţie forţată produsă de forţele periodice exercitate de valuri şi căreia i se opun forţele de rezistenţă ale mediului, de inerţieşi de redresare.

6tudiul mişcării de ruliu prezintă interes practic atunci cnd oscilaţiile sunt provocate,întreţinute şi amplificate de ulă. În cazul ruliului de ulă, s;a constatat experimental că perioada oscilaţiilor este în general egală cu perioada oscilaţiilor de ruliu în apă liniştită,ceea ce 1ustifică studierea iniţială a ruliului în apă calmă.

6tudiul ruliului navei este necesar pentru a cunoaşte eforturile la care este supuscorpul navei datorită forţelor de inerţie mari produse de mişcarea oscilatorie şi influenţa luiasupra mărfurilor încărcate.

6e alege ca sens pozitiv al ungiurilor de înclinare ϕ ale navei, al vitezelor

ungiulare d dt

ϕ şi al acceleraţiilor ungiulare.

.d dt

ϕ sensul orar, cnd observatorul priveşte

de la pupa spre prova.

< =

> =< φ

> φ φ

-α

y

η

z ζ

iV M RV M

PV M

$ )

ia M

R M s M iN M φ

φ

φ

Fig.5.2În cazul general, asupra navei vor acţiona momentele (fig. !.)# ϕ iN M momentul forţelor de inerţie al navei

ϕ ϕ ⋅= xxiN I M * (!.")

s M momentul de stabilitate statică

ϕ ⋅⋅∆= T s GM M * (!.) ϕ R M momentul forţelor de rezistenţă ale apei antrenată în mişcare

ϕ ϕ ϕ ⋅= N M R * (!./) ϕ ia M momentul forţelor de inerţie ale apei antrenată în mişcare

ϕ δ ϕ ⋅= xxia I M * (!.0) PV M momentul perturbator dat de val.

α ⋅⋅∆−= T PV GM M * (!.!)

"4?



RV M momentul forţelor de rezistenţă suplimentar din valα ϕ ⋅−= N M RV . * (!.2)

iV M momentul forţelor de inerţie suplimentar din valα δ ⋅−= xxiV I M . (!.5)

@unoscndu;se expresiile şi sensurile celor şapte momente ce acţionează asupra naveieste uşor să se formuleze matematic mişcarea, aplicnd principiul lui 3Alembert şi maideparte să se determine caracteristicile mecanice influente din ecuaţia diferenţială amişcării#

4=++++++ PV s RV RiV iaiN M M M M M M M ϕ ϕ ϕ . (!.9)3acă se fac înlocuirile cu expresiile momentelor se obţine ecuaţia diferenţială a

mişcării de ruliu a navei pe valuri#( ) α α α δ ϕ ϕ ϕ δ ϕ ϕ ⋅⋅∆+⋅+⋅=⋅⋅∆+⋅+⋅+ T xxT xx xx GM N I GM N I I , (!.?)

unde− xx I este momentul de inerţie al masei navei faţă de axa longitudinală .tm *− xx I δ este momentul de inerţie al masei de apă antrenată în mişcare faţă de axa

longitudinală .tm *− ϕ N . este coeficient de amortizare.8işcarea navei se studiază att în coordonate absolute pentru determinarea

înclinărilor absolute, vitezelor şi acceleraţiilor faţă de suprafaţa apei calme iniţială, ct şi încoordonate relative faţă de suprafaţa valului, necesare pentru evaluarea gradului deinundare a punţii.

5.2.1. Studiul mişc!ii d" !uliu# $"%m&!ti'%t (" %( li$iştit

Borţele care se iau în consideraţie la studiul oscilaţiilor libere al navei sunt#• deplasamentul navei*• forţa de flotabilitate*• forţele de inerţie ale apei şi navei. Deplasamentul navei rămne constant în timpul ruliului (încărcătura nu variază), deci

poziţia a centrului de greutate al navei rămne nescimbată. Forţa de flotabilitate variază ca poziţie, datorită faptului că nava supusă mişcării de

ruliu îşi modifică volumul şi forma operei vii, faţă de plutirea dreaptă. 6e va scimba poziţia centrului de carenă B, punct în care se aplică forţa de flotabilitate.

Borţa de flotabilitate şi deplasamentul creează momentul de redresare al navei,moment ce se opune mişcării de ruliu, pe care o atenuează treptat, îmbunătăţind astfelflotabilitatea navei.

8omentului de redresare s M în cazul mişcării de ruliu în apă calmă, pentru oscilaţiimici executate de navă, este dat de relaţia (!.)#ϕ ⋅⋅∆= T s GM M

-ava aflată în mişcare de ruliu antrenează o masă oarecare de apă, care în virtutea principiului inerţiei se va opune acestei mişcări printr;un moment ϕ ia M a cărui expresie(!.0) este#

ϕ δ ϕ ⋅= xxia I M

unde#

""4



C xx I tm

este momentul de inerţie masic al apei antrenate, faţă de axa

longitudinală x a navei.

=aloarea momentului de inerţie al apei antrenate de navă xx I δ , depinde de forma şi

dimensiunile navei. ceste momente se determină de obicei pe cale experimentală.

În cazul mişcării de ruliu intervine şi momentul de inerţie al navei ϕ iN M , care seopune acestei mişcări şi a cărui expresie (!.") este#

ϕ ϕ ⋅= xxiN I M

unde#

xx I este momentul de inerţie masic al navei faţă de axa longitudinală x.

8omentul de inerţie xx I nu trebuie confundat cu momentul de inerţie al suprafeţei de plutire în raport cu axa longitudinală x a navei. =aloarea momentului de inerţie masic alnavei se determină cu a1utorul unor formule empirice, dintre care se foloseşte în mod curentformula#

4,/9 xx xx

I i B g g

∆ ∆

= × = × × , (!."4)unde#

xxi ; este raza de inerţie DmE*

∆ ; deplasamentul navei în DF-E* g ; acceleraţia gravitaţională în DmGsE* H I lăţimea navei la cuplu maestru în DmE.

7aza de inerţie a corpului navei faţă de axa x se calculează cu relaţia#

( )

∆+⋅

= ∑ xxiii xx

ir m g i

, (!."")

unde#− im reprezintă masele componente de la bord*

− ir este distanţa de la axa de rotaţie x la centrul masei componente*

− xxii este momentul de inerţie al masei i în raport cu axa proprie paralelă cu x.3in ecuaţia (!.?) se obţine#

( ) 4=⋅⋅∆+⋅+ ϕ ϕ δ T xx xx GM I I . (!.")3acă se împarte cu momentul de inerţie masic, se obţine ecuaţia diferenţială de

ordinul doi, incompletă, omogenă cu coeficienţi constanţi

4=⋅+

⋅∆+ ϕ

δ ϕ

xx xx

T

I I

GM (!."/)

3acă notăm.

"

T T

xx xx xx

GM GM p

I I I ϕ

δ

∆ × ∆ ×= =

+ (!."0)

pulsaţia oscilaţiilor transversale libere, neamortizate, ecuaţia (!."/) devine#4 =⋅+ ϕ ϕ ϕ p (!."!)

a cărei ecuaţie caracteristică este# 4 pϕ + = ,

"""



cu rădăcinile imaginare# F ", I J i pϕ

şi soluţia#" .cos sin! p t ! p t ϕ ϕ ϕ = × + × (!."2)

@onstantele @" şi @ se determină din condiţiile iniţiale.stfel, în momentul iniţial, pentru t I 4, avem#

4ϕ ϕ = şi 4ϕ ϕ = , adică#

4 " ." 4! ! ϕ = × + × din care rezultă " 4! ϕ = iar din

" sin cosd

! p pt ! p p t dt

ϕ ϕ ϕ ϕ = − × × + × × ,

4 " 4 "! p ! pϕ ϕ ϕ = − × × + ×& rezultă4

! pϕ

ϕ =

&

3eci, ecuaţia (!.") se mai poate scrie, după înlocuire#

4

4 cos sin p t p t p

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ = × +

&

, (!."5)

sau sub formă armonică( )cos " p t ϕ ϕ ϕ ϕ β = − , (!."9)

în care s;au notat#

44 "

pϕ

ϕ ϕ ϕ

= + ÷ ÷

&, amplitudinea mişcării, (!."?)

4

4ar#tg

pϕ

ϕ

ϕ β

ϕ =

×&

, (!.4)

faza iniţială a oscilaţiei libere neamortizată.

$#uaţia mi%#&rii os#ilatorii 'n #a(ul ruliului liber al navei)mplitudinea ruliului liber este teoretic constantă, fiind egală cu înclinarea iniţială 4ϕ anavei faţă de poziţia sa de ecilibru static.Pulsaţia ungiulară a oscilaţiilor libere transversale este pϕ şi are expresia#

. p

T ϕ

ϕ

π =

) (!.")unde T ϕ este perioada oscilaţiilor libere de ruliu.3in ecuaţia (!.") se obţine

.T

pϕ ϕ

π =

, (!.)în care dacă se înlocuieşte relaţia pulsaţiei

"

"

T

xx

GM p

I ϕ

∆ × = ÷

, se obţine următoarea expresie pentru calculul perioadei#

""



"

"

"

"

⋅

=

⋅∆=

T

xx

T

xx

GM g

i

GM

I T π π ϕ (!./)

Perioada de ruliu T ϕ depinde de valoarea T GM a înălţimii metacentrice transversale.

3acă această înălţime este mare (stabilitate bună), atunci T ϕ va fi mică, iar oscilaţiile au

loc în mod brusc (dure), şi ca atare vitezele ungiulare vor atinge valori mai mari.3epinznd şi de " xx I deci şi de raza de inerţie " xxi , perioada de oscilaţie poate creşte lanave prin distribuirea corespunzătoare a încărcăturii şi ecipamentelor diverse, şi prinutilizarea cilelor de ruliu, care măresc momentul de inerţie al masei de apă..

Practic, perioada proprie T ϕ , se determină direct ţinndu;se seama că raza de inerţie

este proporţională cu lăţimea navei folosind următoarea formulă empirică#

( )

"

T

! BT

GM ϕ

×=, (!.0)

unde# ! * este coeficient de proporţionalitate şi reprezintă influenţa distribuţiei greutăţilor la

bord şi variază între 4,2 K 4,9 în raport de tipul navei* B ; lăţimea navei, în DmE.În baza formulei (!.0) a fost posibil să se traseze curbele universale de variaţie ale

înălţimii metacentrice T GM în funcţie de perioada proprie şi de lăţimea navei.

5.2.2. Studiul mişc!ii d" !uliu# cu %m&!ti'%!" (" %( li$iştit

În realitate amplitudinea ruliului nu este constantă, deoarece oscilaţiile se amortizează

datorită rezistenţei pe care o întmpină corpul navei din partea apei. ceastă rezistenţă este proporţională cu viteza ungiulară

d

dt

ϕ de înclinare a navei şi se poate exprima printr;un

moment ϕ R M r care se opune mişcării de ruliu, dat de relaţia (!./)#

ϕ ϕ ϕ ⋅= N M R ,

unde N ϕ este coeficient de proporţionalitate (coeficient de amortizare).@oeficientul de amortizare datorat efectului apei în timpul oscilaţiei transversale, secalculează cu metoda fşiilor. stfel coeficientul de amortizare pe unitatea de lungime sedetermină cu relaţia#

/ n e n

ne

B B g

N d g ϕ ϕ

ω ρ

ω

= ÷ ÷ ÷ , (!.!)

unde#− ρ este densitatea apei de mare*

− eω pulsaţia de întlnire dintre navă şi valuri*

− n B lăţimea maximă a navei la secţiunea n+

""/



− d ϕ factor ce se determină grafic funcţie de coeficientul de fineţe al suprafeţei

transversale şi raportul

n

n

B

T .

Pulsaţia de întlnire dintre navă si valuri se determină cu relaţia#

−= µ ω ω cos" #

ve , (!.2)

unde− v este viteza de deplasare a navei*− # este viteza aparentă a valului*− ω pulsaţia absolută a valului*− µ ungiul de întlnire dintre direcţia de propagare a valului şi direcţia de

deplasare a navei, măsurat de la direcţia valului în sensul acelor de ceas spre direcţia dedeplasare a navei.

@oeficientul total de amortizare, utiliznd teoria fşiilor se determină din expresia#

n

N N dxϕ ϕ

=

∫ . (!.5)

În acest caz ecuaţia de ecilibru a navei va fi# 4=+++ ϕ ϕ ϕ ia R siN M M M M . (!.9)

Înlocuind expresiile acestor momente se obţine ecuaţia diferenţială a mişcăriii#( ) 4 =⋅⋅∆+⋅+⋅+ ϕ ϕ ϕ δ ϕ T xx xx GM N I I , (!.?)

iar după împărţire cu xx xx I I δ +

4T

xx xx xx xx

N GM

I I I I

ϕ ϕ ϕ ϕ δ δ

∆ ×+ × + × =

+ +&& & ) (!./4)

6e introduc notaţiile (!."0) şi

xx xx

N

I I

ϕ ϕ υ δ =+ , (!./")

factorul de amortizare, astfel înct ecuaţia (!./4) devine#. 4 =⋅+⋅+ ϕ ϕ ν ϕ ϕ ϕ p (!./)

6oluţia ecuaţiei (!./) depinde de natura rădăcinilor ecuaţiei sale caracteristice#

4 pϕ ϕ υ + × × + = . (!.//)

ceste rădăcini sunt#

( ) "

. . .",. pϕ ϕ ϕ υ υ = − ± − , (!./0)

dar pϕ ϕ υ << , pentru că T N GM ϕ << ∆ × , rezultnd că rădăcinile sunt complexe.

3acă se notează#

( ) "

. . .r p pϕ ϕ ϕ υ − = , (!./!)

pulsaţia oscilaţiei transversale amortizată, liberă, rădăcinile ecuaţiei (!.//) sunt#

", r i pϕ ϕ υ = − ± × . (!./2)

6oluţia ecuaţiei diferenţiale (!./) este#

""0



( )" cos sint

r r e ! p t ! p t ϕ υ ϕ ϕ ϕ

−= × × + × . (!./5)

@onstantele @" şi @ se determină din condiţiile iniţiale. stfel, în momentul iniţialcnd t I 4 înclinarea 4ϕ ϕ = şi viteza ungiulară a navei aflată în mişcare de ruliu este

4

d

dt

ϕ ϕ = & .

3in prima condiţie rezultă " 4! ϕ = .=iteza ungiulară se obţine prin derivarea în raport cu timpul a expresiei (!./5).

" "

cos sin

sin cos

t t r r r

t t r r r

d ! e p t ! e p p t

dt

! e p t ! e p p t

ϕ ϕ

ϕ ϕ

υ υ ϕ ϕ ϕ ϕ

υ υ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ υ

υ

− −

− −

= − × × × − × × ×

− × × × + × × ×. (!./9)

În momentul iniţial, avem#

4 4 r ! pϕ ϕ ϕ ϕ υ = − × + ×&

de unde rezultă4 4

.r

!

p

ϕ

ϕ

ϕ υ ϕ × +=

&

Lntroducnd valorile lui @" şi @ în relaţia (!./5) se obţine#

4 44 cos sin

t r r

r

e p t p t p

ϕ υ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ υ ϕ ϕ

− + ×= × × + × ÷ ÷

&, (!./?)

sau sub forma armonică

( )M cost

"r r r e p t ϕ υ ϕ ϕ ϕ ϕ β

−= × − . (!.04)

În relaţia (!.04) s;au notat expresiile#.

4 4M .4 "r

r p

ϕ

ϕ

ϕ ϕ υ

ϕ ϕ

+ ×= +

&

* (!.0"

4 4

4r

r

ar#tg p

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ υ β

ϕ

+ ×=

&

, (!.0)

amplitudinea iniţială a mişcării şi faza iniţială a oscilaţiilor transversale amortizate pe apăliniştită.

>egea de mişcare de ruliu cu amortizare devine#

( )( )

"

4 44

cost

r r

r

e p t

p

ϕ ϕ υ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ υ ϕ ϕ ϕ β

− + × = × + × −

&. (!.0/)

sau sub forma

( )cos "r r r p t ϕ ϕ ϕ ϕ β = × − , (!.00)

unde# Mt "r "r e ϕ ν

ϕ ϕ −= este amplitudinea oscilaţiilor transversale amortizate, libere, care

descreşte după o lege exponenţială în timp (fig. !./).

""!



t

Nφr

φ"

φ

0

Nφ/2 Nφ /Nφ/2

e- νΦ t φ

A

r

φ

Fig.5.)

3in ecuaţia (!.0/) se observă că mişcarea de ruliu este o mişcare oscilatorie armonică

amortizată, avnd pulsaţia ( ) "

. . .r p pϕ ϕ ϕ υ = −

şi perioada.

.

.

"

r r

T T

p

p

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

π

υ = =

−. (!.0!)

Oinnd seama că valoarea maximă a coeficientului de amortizare este#

,max 4,. xx xx

N

I I

ϕ ϕ υ

δ = ≅

+

se poate remarca că rezistenţa mediului nu exercită o influenţă esenţială asupra perioadei proprii de ruliu a navei şi că pentru nevoile navigaţiei ea poate fi negli1ată, cantitativ

nedepăşind erorile metodelor de determinare a perioadei T ϕ , şi r T T ϕ ϕ ≅ )

Decrementul logaritmic ( )∆ , ce reprezintă logaritmul natural al raportului dintre

două amplitudini succesive, ne arată de cte ori amplitudinea descreşte la o perioadă detimp#

"

.ln

"

"T ϕ ϕ

ϕ

ν ϕ

∆ = = ÷ ÷ . (!.02)

3acă se determină experimental decrementul logaritmic, utiliznd relaţia (!.02), se poate calcula factorul de amortizare ϕ ν

"

∆+

=π

ν ϕ

ϕ

p

. (!.05)

""2



Nimpul de amortizarea a oscilaţiilor t , dacă se adoptă o valoare pentru raportul

" , " " " nϕ ϕ − şi se calculează ϕ ϕ ν ϕ

ϕ T n

n "

"n ⋅=

=∆

−",

"ln , se determină cu relaţia#

ϕ

ϕ ν

nT nt ∆

=⋅= . (!.09)

5.2.). O*cil%+i% d" !uliu (" ,%lu!i !"gul%t" -$ c&&!d&$%t" %*&lut"

6e consideră o navă pe valuri avnd ungiul de întlnire µ .>a un moment dat t este definită poziţia relativă dintre navă şi val#• ϕ * 'n#linarea relativ& a navei K ungiul dintre axa z a navei şi normala n la ulă*• α , ung-iul de pant& al -ulei K care este egal cu ungiul de înclinare al normalei n

cu verticala $'*• ϕ , 'n#linarea absolut& a navei K ungiul dintre axele z şi $'.

Înclinarea relativă este dată de relaţiaα ϕ ϕ −= . (!.0?)

În raport cu acest ungi se studiază mişcarea de ruliu relativă.6uprafaţa liberă a valului considerată simplu armonică, raportată la sistemul fix $%&',

este dată de ecuaţia( )cosV "V V e t λ ζ ζ η ω = × × − × . (!.!4)

3acă se consideră că originea sistemului fix se deplasează odată cu nava 4=η , ecuaţia(!.!4) devine#

t e "V V ⋅⋅= ω ζ ζ cos . (!.!")Panta ulei se obţine prin derivarea expresiei (!.!4).în raport cu &#

( ) ( )sin sin ,V "V V e " V eV

d tg t t d

λ λ ζ α α ζ η ω α η ω η ≅ = = − × × − × = − × × −

(!.!)Băcnd aceeaşi ipoteză ca la relaţia (!.!"), panta valului se determină cu expresia#

t e " ⋅⋅= ω α α sin . (!.!/)6;au făcut următoarele notaţii#

eω este pulsaţia de întlnire (!.2)*.

" "V "V λ π

α ζ ζ λ

= × = ×%

, unde

"V ζ este amplitudinea valului regulat*

λ este pulsaţia formei valului*λ P este lungimea valului.

3erivatele pantei valului în raport cu timpul sunt date de relaţiile#t ee " ⋅⋅⋅= ω ω α α cos * (!.!0) sin " e e t α α ω ω = − × ×&& . (!.!!)

3upă înlocuirea expresiilor (!.!/), (!.!0) şi (!.!!) în (!.?) rezultă ecuaţia#

""5



( )

.cos

sin

t N

t I GM GM N I I

e "e

ee xxT "T xx xx

⋅⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅−⋅∆⋅=⋅⋅∆+⋅+⋅+

ω α ω

ω ω δ α ϕ ϕ ϕ δ

ϕ

ϕ

(!.!2)

sau sub forma

( ) ( ) ( )V eee xxT "

T xx

t N I GM

GM N I

ϕ ϕ

ϕ

β ω ω ω δ α

ϕ ϕ ϕ

+⋅⋅⋅+⋅−⋅∆⋅=

=⋅⋅∆+⋅+⋅

sin

...

"

, (!.!5)

în care V ϕ β reprezintă diferenţa de fază dintre momentul perturbator şi oscilaţia ungiuluide pantă al valului

eV

T xx e

N tg

GM I

ϕ ϕ

ω β

δ ω

×=

∆ × − ×, (!.!9)

iar expresia

( ) ( ) ee xxT " " N I GM M ω ω δ α ϕ ϕ ⋅+⋅−⋅∆⋅= (!.!?)

reprezintă amplitudinea momentului perturbator.@u aceste notaţii ecuaţia (!.!5) devine#

( )V e "

T xx

t M GM N I ϕ ϕ ϕ

β ω ϕ ϕ ϕ +⋅⋅=⋅⋅∆+⋅+⋅ sin"

. (!.24)6e împarte ecuaţia cu " xx I şi obţine forma

( )V e xx

"t

I

M p ϕ

ϕ ϕ ϕ β ω ϕ ϕ ν ϕ +⋅⋅=⋅+⋅+ sin

"

. (!.2")

3acă se consideră valul travers la navă şi de amplitudine mică, pulsaţia de întlniredevine ciar pulsaţia valului ω ω =e si termenii din ecuaţia (!.!2) care conţin α şi α senegli1ează, 6e obţine ecuaţia mişcării de ruliu în forma simplificată

( ) .sin t GM GM N I I T "T xx xx ⋅⋅⋅∆⋅=⋅⋅∆+⋅+⋅+ ω α ϕ ϕ ϕ δ ϕ (!.2)sau sub forma

sin " p p t ϕ ϕ ϕ ϕ ν ϕ ϕ α ω + × + × = × ×&& & . (!.2/)

:cuaţia (!.2/) admite soluţia " ϕ ϕ ϕ += , unde "ϕ este soluţia ecuaţiei omogene, iar .ϕ este soluţia particulară.

@onsiderăm membrul doi egal cu zero şi procednd ca în cazul ruliului în apăliniştită, se obţine soluţia de forma#

( )t p! t p! e r r t

ϕ ϕ ν ϕ ϕ sincos "" ⋅+⋅⋅= ⋅− . (!.20)

@nd se ţine cont şi de membrul doi al relaţiei (!.2/) soluţia particulară .ϕ este deforma#

ϕ δ ω ϕ ϕ −⋅⋅= t " sin . (!.2!)

Punem condiţia ca .ϕ

să verifice ecuaţia (!.2/) şi se obţine.( ) ( ) ( )

t p

t pt t

"

" " "

ω α

δ ω ϕ δ ω ω ϕ υ δ ω ω ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

sin

sincossin

⋅⋅=

=−⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅ (!.22)

6oluţia particulară satisface ecuaţia diferenţială pentru orice valori t ⋅ω . 6e iau două valori

π ω =⋅ t şi 4=⋅ t ω , obţinndu;se sistemul de ecuaţii cu necunoscutele "ϕ şi ϕ δ #

( sincos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α δ ω ϕ υ δ ω ϕ p p " " " ⋅=⋅⋅⋅⋅+⋅−⋅ * (!.25)

""9



( ) 4cossin =⋅⋅⋅⋅+⋅−⋅− ϕ ϕ ϕ ϕ δ ω ϕ υ δ ω ϕ " " p . (!.29)

7idicnd la pătrat cele două ecuaţii şi adunndu;le rezultă expresia amplitudiniimişcării

( )

0

" "

p

p

ϕ

ϕ ϕ

α ϕ

ω ν ω

×=

− + ×. (!.2?)

3in a doua ecuaţie se obţine expresia defaza1ului dintre mişcarea de oscilaţie şiexcitaţie

ω

ω ν δ

ϕ

ϕ ϕ

−

⋅=

ptg . (!.54)

3acă se fac notaţiile

#ϕ

ϕ ϕ

υ µ

p= ; coeficient de amortizare şi

ϕ

ϕ ω

p

x = ; pulsaţia relativă a valului sau factor de acorda1,

expresiile (!.2?) şi (!.54) devin#

( ) " 0

" "

x xϕ ϕ ϕ

α ϕ

µ

=− + ×

* (!.2?A)

şi "

ϕ

ϕ ϕ ϕ

µ δ

x

xtg

−

⋅⋅= . . (!.54A)

. 3in expresiile legilor de mişcare (!.20) şi (!.2!) se poate observa că oscilaţia naturalăare pulsaţia de la mişcarea amortizată pe apă liniştită şi amplitudinea variabilă după o legeexponenţială, iar oscilaţia forţată are pulsaţia valului şi amplitudinea constantă dată de

relaţia (!.2?).3eoarece oscilaţia naturală se amortizează în timp, legea oscilaţiei forţată stabilizată

este#

( ) sin " t ϕ ϕ ϕ ϕ ω δ = = × × − . (!.5")

Pentru a analiza variaţia amplitudinii oscilaţiei stabilizate funcţie de factorul deacorda1 ϕ x se introduce noţiunea de factor de amplificare ϕ Λ dat de relaţia

( )

"

" 0

"

" x x

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

α µ

Λ = =− + ×

. (!.5)

În activitatea practică, interesează în mod deosebit amplitudinea şi defaza1ul mişcăriioscilatorii. În acest sens se vor reprezenta graficele de variaţie ale mărimilor ϕ ϕ xΛ (fig.

!.0) şi ϕ ϕ δ x (fig. !.!)

a) Pentru 4=ϕ x rezultă "=Λϕ . -ava oscilează pe un val cu lungime foarte mare,sau are un moment de inerţie foarte mic. În acest caz nava urmăreşte în permanenţă suprafaţa valului, avnd înclinarea maximă egală cu amplitudineaungiului de pantă al valului.

""?



b) Pentru ∞→ϕ x rezultă 4→Λϕ . :ste cazul real de exploatare pe valuri cu perioade mici, sau nava are o stabilitate foarte mică sau o inerţie foarte mare.

c) Pentru "=ϕ x , cazul de rezonanţă,ϕ

ϕ µ

"=Λ . Bactorul de amplificare depinde de

coeficientul de amortizare al navei. mplitudinea oscilaţiei este cu att mai mare

cu ct coeficientul de amortizare este mai mic

Λφ

Xφ

"

"

µ =0φ

µφ1

µφ3

µφ2

µφ2 µφ3µφ1< < <

Xφ

< <µφ1 µφ2 µφ3

Fig. 5./Punctele de extem ale factorului de amplificare se obţin din egalarea cu zero a

primei derivate a funcţiei ( ) x x .

0"

"

ϕ µ +−= în raport cu x/ introducndu;se

notaţiile . ϕ = Λ şi .ϕ x x = .

( )

( )[ ] 4

0"

0"

=+−

+−−−=

x x

x

dx

d.

ϕ

ϕ

µ

µ ,

din care rezultă( ) 40". . =−− ϕ µ x şi

.." ϕ µ −= x , sau dacă se revine la mărimile iniţiale, considernd numai soluţia

pozitivă.

. ." ϕ ϕ µ −= x . (!.5/)3in această relaţie se observă că factorul de amplificare este maxim la valori maimici dect ", valoare ce corespunde rezonanţei fără amortizare. @unoscnd poziţiade maxim, prin înlocuire în relaţia (!.5) se obţine

( )[ ] ( ).

"

"

"0""

"

max,

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ µ µ µ µ µ −

=−+−−

=Λ(!.50)

"4



În figura !.0 sunt reprezentate mai multe curbe de variaţie a factorului de amplificarefuncţie de factorul de racorda1, pentru diverşi coeficienţi de amortizare.3eoarececoeficientul de amortizare este foarte mic în comparaţie cu unitatea, se consideră că poziţiasi valoarea maximă a factorului de amplificare se află în zona de rezonanţă.

π

π2

0xφ1

µφ1 µφ2 µφ3

δφ

Fig. 5.5

3in reprezentarea grafică a defaza1ului (fig. !.!) se pot observa următoarele cazuri#a) Pentru 4=ϕ x , ⇒ 4=ϕ δ tg şi 4=ϕ δ . 8omentul perturbator este în fază cu

ungiul de pantă al valului*

b) Pentru "=ϕ x ⇒ ∞=ϕ δ tg şiπ δ ϕ = *

c) Pentru "4 << ϕ x ⇒ ∞<< ϕ δ tg 4 şi

4 π

δ ϕ << *

d) Pentru ∞<< ϕ x" ⇒ 4<<∞− ϕ δ tg şi π δ π

ϕ <<

.

5.2./. O*cil%+i% t!%$*,"!*%l 0&!+%t -$ c&&!d&$%t" !"l%ti,"

$scilaţia transversală forţată în coordonate relative este dedusă din ecuaţia generală

(!.?), folosind coordonata relativă α ϕ ϕ −= şi considernd valul travers la navă

=

π µ #

( ) α ω α ϕ ϕ ϕ δ ϕ sin

...

⋅⋅⋅=⋅⋅∆+⋅+⋅+ " xxT xx xx I GM N I I . (!.5!)

Prin împărţire cu momentul de inerţei xx xx xx I I I δ +=" , se obţine o altă formă a

ecuaţiei (!.5!), în care s;a folosit notaţia" xx

xx

I

I 0

δ ϕ = #

""



( ) α ω α ϕ ϕ ν ϕ ϕ ϕ ϕ sin" ...

⋅⋅⋅−=⋅+⋅+ "0 p . (!.52)

@onsidernd că oscilaţia este amortizată, soluţia are numai componenta particulară,caracteristică oscilaţiei forţată stabilizată#

( )ϕ δ ω ϕ ϕ −⋅⋅= t " sin , (!.55)

în care "ϕ şi ϕ δ reprezintă amplitudinea oscilaţiei în coordonate relative şidefaza1ul , date de expresiile#

( )

( )

"*

0

"

"

0 p

p

ϕ ϕ

ϕ ϕ

α ϕ

ω ν ω

− × ×=

− + ×(!.59)

ω

ω ν δ

ϕ

ϕ ϕ

−

⋅=

ptg . (!.5?)

3acă se folosesc mărimile adimensionale de la oscilaţiile în coordonate absolute, cu

specificaţia că factorul de amplificare este "

"

α

ϕ ϕ =Λ , relaţiile (!.59) şi (!.5?) devin#

( )

( )

"

" 0

"

"

0 x

x x

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

α µ

− ×Λ = =

− + ×* (!.94)

"

ϕ

ϕ ϕ ϕ

µ δ

x

xtg

−

⋅⋅= . (!.9")

Λφ

"

"

µ =0φ

µφ1

µφ3

µφ2

µφ2 µφ3µφ1< < <

Xφ

< <µφ1 µφ2 µφ3

";Qφ

Fig. 5.

"



3in anliza expresiei soluţiei ecuaţiei diferenţiale în coordonate relative, se pot trageurmătoarele concluzii#

a) mplitudinea oscilaţiei în coordonate relative "ϕ este proporţională cuamplitudinea ungiului de pantă "α *

b) mplitudinea oscilaţiei în coordonate relative "ϕ se poate micşora prin mărireamomentului de inerţie a masei de apă antrenată în mişcare care intervine înfactorul ϕ 0 , şi prin creşterea coeficientului de amortizare ϕ µ *

c) Pentru 4=ϕ x rezultă 4=Λϕ . -ava oscilează în fază cu valul. ceasta este posibil în următoarele două situaţii#

− 4=ω respectiv ∞→λ (val foarte lung)*− ∞→ϕ p respectiv ∞→T GM (stabilitate excesiv de mare)*

d) Pentru "=ϕ x rezultăϕ

ϕ ϕ

µ

" 0−=Λ . pare fenomenul de rezonanţă.3in relaţie se

poate observa că coeficientul de amortizare ϕ µ influenţează valoarea maximă a

amplitudinii. ceastă influenţă se stabileşte studiind extremităţile funcţiei (!.94).6e procedează în mod asemănător ca la oscilaţiile în coordonate absolute şi se obţin poziţiile valorii maxime

4" =ϕ x *

"

"

ϕ

ϕ µ −

= x , (!.9)

şi valoarea maximă a factorului de amplificare

max

"

"

ϕ ϕ

ϕ ϕ

µ µ −

−=Λ

0

. (!.9/)

3in cele două relaţii şi din graficul din figura !.2 se poate vedea că valoarea maximăa factorului de amplificare scade cu creşterea coeficientului de amortizare şi se deplasează

spre dreapta în raport cu "=ϕ x .e) Pentru ∞→ϕ x rezultă ϕ ϕ 0−→Λ " . Pentru pulsaţii mari ale valului sau pulsaţii

proprii ale navei foarte mici, nava tinde să oscileze cu amplitudini apropiate deamplitudinea valului.

În ceea ce priveşte defaza1ul, discuţia şi graficul de variaţie cu factorul de acorda1 ϕ x

sunt similare ca la oscilaţia în coordonate absolute (fig. !.!).

5.). OSCILAŢIILE LONGITUDINALE SAU DE TANGA

8işcarea de rotaţie periodică a navei în 1urul axei transversale +, sub acţiuneamomentelor exercitate de ulă, se numeşte oscilaţie longitudinală ,sau de tanga1.

Pentru amplitudini mici, axa de rotaţie în 1urul căruia se produce mişcarea se găseşteaproximativ la intersecţia planului transversal care trece prin centrul de plutire şi planulorizontal care trece prin centrul de greutate. În cazul mişcărilor induse de valul de întlnire,oscilaţia longitudinală nu poate fi separată de oscilaţia verticală, datorită puternicelor interacţiuni dintre acestea.

"/



În baza ipotezelor adoptate în studiul oscilaţiilor necuplate, se consideră că asupranavei acţionează un moment perturbator de formă armonică t M M " P P ⋅⋅= ω θ θ cos , careacţionează în planul longitudinal al navei

< =

> =< θ

> θ

- α

x

ξ

z ζ

P M

$ )

i a M

R M

s M

i N M θ

θ

θθ

θ

θ

Fig. 5.3 -ava oscilează sub acţinea următoarelor momente(fig. !.5)# θ iN M momentul forţelor de inerţie al navei

θ θ ⋅= ..iN I M * (!.90)

θ s M momentul de stabilitate staticăθ θ ⋅⋅∆= 1 s GM M * (!.9!)

θ R M momentul forţelor de rezistenţă ale apei antrenată în mişcareθ θ θ

⋅= N M R * (!.92) θ ia M momentul forţelor de inerţie ale apei antrenată în mişcare

θ δ θ

⋅= ..ia I M * (!.95) θ P M momentul perturbator dat de val.

t M M " P P ⋅⋅= ω θ θ cos * (!.99)@unoscndu;se expresiile şi sensurile celor cinci momente ce acţionează asupra navei

este uşor să se formuleze matematic mişcarea, aplicnd principiul lui 3Alembert# 4=++++ θ θ θ θ P s RiaiN M M M M M . (!.9?)3acă se fac înlocuirile cu expresiile momentelor se obţine ecuaţia diferenţială a

mişcării de tanga1 a navei pe valuri#( ) t M GM N I I " P 1 .. .. ⋅⋅=⋅⋅∆+⋅+⋅+ ω θ θ θ δ θ θ cos , (!.?4)

unde

− .. I este momentul de inerţie al masei navei faţă de axa transversală.

tm *− .. I δ este momentul de inerţie al masei de apă antrenată în mişcare faţă de axa

transversală .tm *− θ N . este coeficient de amortizare.8işcarea navei se studiază în coordonate absolute şi se determină înclinările absolute,

vitezele şi acceleraţiile faţă de suprafaţa apei calme iniţială.

"0



5.).1. Studiul mişc!il&! d" t%$g%4# $"%m&!ti'%t"# (" %( li$iştit

:cuaţia diferenţială a mişcării este

( ) 4 1 .. .. I I GM δ θ θ + × + ∆ × × =&& . (!.?")

8omentul de inerţie masic " .. I se determină cu a1utorul unor formule empirice,dintre care se foloseşte în mod curent formula#

" .. .. .. .. .. I I I i I

g δ δ

∆= + = × + , (!.?)

unde# ..i ; este raza de inerţie DmE ( pentru nave cu forme normale

4,0 4,2 ..i 1 1= − )*

∆ ; deplasamentul navei în DF-E* g ; acceleraţia gravitaţională în DmGsE*

7aza de inerţie a corpului navei faţă de axa + se calculează cu relaţia#

( )

∆

+⋅= ∑ ..iii

..

ir m g i

, (!.?/)

unde#− im reprezintă masele componente de la bord*

− ir este distanţa de la axa de rotaţie + lai centrul masei componente*

− ..ii este momentul de inerţie al masei i în raport cu axa proprie paralelă cu +.8omentul de inerţie a masei de apă antrenată în mişcare se calculează cu relaţia

∫ − ⋅=

1

1a .. dx xm I δ , (!.?0)

unde am este masa de apă specifică antrenată de navă, care se calculeză cu relaţia

.! ma ⋅⋅=

π ρ , (!.?!)

în care ρ este densitatea apei, . semilăţimea navei la linia de plutire în dreptul abscisei x şi

@ coeficient, ce depinde de raportulT

. şi coeficientul de fineţe al secţiunii transversale

imerse.8omentul de ineţie al masei navei mai poate fi estimat cu relaţia

dx x " I

1

1

x ...

.

.

∫ −

⋅⋅≅ ρ . (!.?2)

unde x " este aria secţiunii transversale imerse.3in ecuaţia (!.?4) se obţine#

4" =⋅⋅∆+⋅ θ θ 1 .. GM I . (!.?5)

"!



3acă se împarte cu momentul de inerţie masic, se obţine ecuaţia diferenţială deordinul doi, incompletă, omogenă cu coeficienţi constanţi#

4"

=⋅⋅∆

+ θ θ ..

1

I

GM (!.?9)

6e notează

"θ p

I

GM

..

1 =⋅∆ (!.??)

pulsaţia oscilaţiilor longitudinale libere, neamortizate, iar (!.?9) devine# 4 =⋅+ θ θ θ p (!."44)

a cărei ecuaţie caracteristică este 4 =+ θ p ,

cu rădăcinile imaginare# θ piF ",. ⋅±=

şi soluţia ecuaţiei diferenţialăt p! t p! θ θ θ sincos " +⋅= (!."4")

@onstantele @" şi @ se determină din condiţiileiniţiale.stfel, la momentul iniţial, pentru t I 4, se obţine#

4" θ =! şiθ

θ

p! 4

=

3upă înlocuire în (!."4") se obţine expresia

t p p

t p θ θ

θ θ

θ θ sincos 44 ⋅+⋅=

, (!."4)

sau sub formă armonică( )θ θ β θ θ −⋅= t p " cos , (!."4/)


4

4

+=

θ

θ θ θ

p "

, amplitudinea mişcării, şi (!."40)

θ θ

θ

θ β

par#tg

⋅=

4

4

, (!."4!)

faza iniţială a oscilaţiei libere neamortizată.Perioada oscilaţiilor libere de tanga1 se calculează cu relaţia#

"

"

"

"

⋅=

⋅∆=

1

..

1

..

GM g

i

GM

I T π π θ (!."42)

şi depinde de valoarea înălţimii metacentrice transversale 1GM . 3eoarece această înălţimeeste mare (stabilitate bună), atunci perioada va fi mică, iar oscilaţiile vor fi dure, cu viteze

ungiulare şi acceleraţii mai mari.Perioada oscilaţiilor de tanga1 θ T se estimează cu relaţia empirică#

"

!, T T ⋅≅θ , (!."45)

unde T este pesca1ul navei corespunzător situaţiei de încărcare)

5.).2. Studiul mişc!ii d" t%$g%4# %m&!ti'%t (" %( li$iştit

"2



$scilaţiile se amortizează datorită rezistenţei pe care o întmpină corpul navei din partea apei. ceastă rezistenţă este proporţională în acest caz de oscilaţie cu vitezaungiulară θ de înclinare a navei, şi se poate exprima printr;un moment θ R M care seopune mişcării de tanga1, dat de relaţia (!.92)#

θ θ θ

⋅= N M R , (!."49)unde θ N . este coeficient de proporţionalitate (coeficient de amortizare).@oeficientul de amortizare datorat efectului apei în timpul oscilaţiei longitudinale, secalculează cu metoda fşiilor sau cu relaţii empirice. stfel coeficientul de amortizare secalculează cu formula lui =an;der;Bleet #

G. I N ⋅⋅= !,4θ , stm G. (!."4?)unde#

− G. I este momentul de inerţie al suprafeţei plutirii, în raport cu axa transversalăG. *

− . smt .G este factor de proporţionalitate care se calculează cu relaţia#

2 " M # G. !. ⋅= γ , (!.""4)− γ este greutatea specifică a apei*− M masa navei*− !# coeficient adimensional ",4! =# pentru amplitudini mici şi ..!,4! =#

pentru amplitudini mari.În acest caz ecuaţia de ecilibru a navei va fi# 4=+++ θ θ θ ia R siN M M M M . (!.""")

Înlocuind expresiile acestor momente se obţine ecuaţia diferenţială a mişcăriii#( ) 4 =⋅⋅∆+⋅+⋅+ θ θ θ δ θ 1 .. .. GM N I I , (!."")

iar după împărţire cu .. .. I I δ + ,

4

=⋅+⋅+ θ θ ν θ θ θ p

, (!.""/)

unde s;a notat factorul de amortizare .. ..

N

I I

θ θ υ

δ =

+, (!.""0)

3in rezolvarea ecuaţiei caracteristice corespunzătoare# 4 =+⋅⋅+ θ θ ν p (!.""!)

rezultă rădăcinile#

( ) ."

...," θ θ θ ν ν p −±−= , (!.""2)

3acă se notează#

( ) r p p θ θ θ ν =− ."

.. , (!.""5)

pulsaţia oscilaţiei longitudinale amortizată, liberă, rădăcinile ecuaţiei (!.""!) sunt#r pi θ θ ν ⋅±−=," . (!.""9)

6oluţia ecuaţiei diferenţiale (!.""/) este#

( )t psin@t pcos@e r r "t

θθθ ν− ⋅+⋅⋅=θ (!.""?)

"5



@onstantele @" şi @ se determină din condiţiile iniţiale. stfel, în momentul iniţialcnd t I 4 înclinarea 4θ θ = şi viteza ungiulară a navei aflată în mişcare de tanga1 este

4θ θ = , obţinndu;se 4" θ =! şir p

! θ

θ θ ν θ 44

+⋅=

Lntroducnd valorile lui @" şi @ în relaţia (!.""?) se obţine legea de mişcare sub

forma armonică#( )r r

Mr

tt pcose θθ

θ ν− β−⋅θ⋅=θ , (!."4)

În relaţia (!."4) s;au notat expresiile#.

M . 4 44 "r

r p

θ

θ

θ θ υ θ θ

+ ×= +

&* (!."")

4 4

4r

r

ar#tg p

θ θ

θ

θ θ υ β

θ

+ ×=

×

&

, (!.")

amplitudinea iniţială a mişcării şi faza iniţială a oscilaţiilor longitudinale amortizate pe apăliniştită.>egea de mişcare de tanga1 cu amortizare, devine#

( )( )

"

4 44

cost r r

r

e p t p

θ θ υ

θ θ θ

θ υ θ θ θ β −

+ × = × + × −

&. (!."/)

sau#

( )cos "r r r p t θ θ θ θ β = × − , (!."0)

unde# Mt "r "r e θ ν θ θ −= este amplitudinea oscilaţiilor longitudinale amortizate, libere,

care descreşte după o lege exponenţială în timp (fig. !.9).

"9



t

Nθr

θ"

θ

0

Nθ/2 Nθ /Nθ/2

e- νθ t

θA

r

θ

Fig.5.3in ecuaţia (!."/) se observă că mişcarea de tanga1 este în realitate o mişcare

oscilatorie armonică amortizată, avnd pulsaţia ( ) "

. . .r p pθ θ θ υ = −

şi perioada .

.

.

"

r r

T T

p

p

θ θ

θ θ

θ

π

υ = =

−. (!."!)

3ecrementul logaritmic ( )∆ , ce reprezintă logaritmul natural al raportului dintre

două amplitudini succesive, este# "

.

ln "

"

T θ θ

θ ν

θ ∆ = = ÷ ÷

factorul de amortizare θ ν se calculează cu relaţia

"

pθ θ ν

π =

+ ÷∆

. (!."2)

Nimpul de amortizare a oscilaţiilor t , se determină cu relaţia#

nt n T θ θ ν

∆= × =

. (!."5)

5.).). O*cil%+i% d" t%$g%4 (" ,%lu!i !"gul%t" -$ c&&!d&$%t" %*&lut"

:cuaţia mişcării de ruliu în forma simplificată, în coordonate absolute este

"?



( ) cos 1 .. .. " I I N GM M t θ θ δ θ θ θ ω + × + × + ∆ × × = ×&& & (!."9)

sau sub forma

"

cos "

..

M p t

I

θ θ θ θ ν θ θ ω + × + × = ×&& &

. (!."?)

6oluţia particulară este de forma#( )cos " t θ θ θ ω δ = × × − . (!."/4)

Punem condiţia ca să verifice ecuaţia (!."?) şi se obţine.

( ) ( ) ( )

"

cos sin cos

cos

" " "

"

..

t t p t

M t

I

θ θ θ θ θ

θ

θ ω ω δ υ θ ω ω δ θ ω δ

ω

− × × − − × × × × − + × × −

= × (!."/")

6oluţia particulară satisface ecuaţia diferenţială pentru orice valori t ⋅ω . 6e iau două valori

π ω =⋅ t şi 4=⋅ t ω , obţinndu;se sistemul de ecuaţii#

( )

"

cos sin " " "

..

M p

I

θ θ θ θ θ θ ω δ υ θ ω δ × − × + × × × × = * (!."/)

( ) sin cos 4 " " pθ θ θ θ θ ω δ υ θ ω δ × − × − × × × × . (!."//)


( )

"

0

"

.. "

M

I

p

θ

θ θ

θ

ω ν ω

=− + ×

. (!."/0)

3in a doua ecuaţie se obţine expresia defaza1ului dintre mişcarea de oscilaţie şiexcitaţie

tg

p

θ θ

θ

ν ω δ

ω

×=

−. (!."/!)

3acă se fac notaţiile

# p

θ θ

θ

ν µ = ; coeficient de amortizare adimensional şi

x p

θ

θ

ω = ; pulsaţia relativă a valului sau factor de acorda1,

expresiile (!."/0) şi (!."/!) devin#

( ) " 0

"

1 " st

M

GM

x x

θ

θ

θ θ θ

θ θ

µ

∆ ×= = ×Λ− + ×

* (!."/0A)

"/4



şi

"

xtg

x

θ θ θ

θ

µ δ

× ×=

−, . (!."/!A)

unde " st

1

M

GM

θ θ =∆ ×

reprezintă ungiul de înclinare sub acţiunea statică a amplitudinii

momentului perturbator, iar .( )

" ,

" 0 x x

θ

θ θ θ µ

= Λ− + ×

este factorul de amplificare

În activitatea practică, interesează în mod deosebit amplitudinea şi defaza1ulmişcăriioscilatorii. În acest sens se vor reprezenta graficele de variaţie ale mărimilor

( ) xθ θ Λ (fig. !.?) şi ( ) xθ θ δ (fig. !."4).

Λθ

"

"

µ =0θ

µθ1

µθ3

µθ2

< <

Xθ

< <µθ1 µθ2 µθ3

Fig.5.6a) Pentru 4 xθ = rezultă "θ Λ = . -ava oscilează pe un val cu lungime foarte mare

sau are un moment de inerţie foarte mic. În acest caz nava urmăreşte în permanenţă suprafaţa valului, avnd înclinarea maximă egală cu amplitudineaungiului de pantă al valului.

b) Pentru xθ → ∞ rezultă 4θ Λ → . :ste cazul real de exploatare pe valuri cu perioade mici sau are o inerţie foarte mare.

c) Pentru " xθ = , cazul de rezonanţă,"

θ θ µ

Λ = . >a rezonanţă factorul de

amplificare depinde de coeficientul de amortizare al navei. mplitudineaoscilaţiei este cu att mai mare cu ct coeficientul de amortizare este mai mic

"/"



Punctele de extem ale factorului de amplificare se obţin din egalarea cu zero a

primei derivate a funcţiei( )

"

" 0 .

x xθ µ =

− + în raport cu x/ introducndu;se

notaţiile . θ = Λ şi x xθ = .

( )

( )

" 0 4" 0

xd.

dx x x

θ

θ

µ

µ

− − += − = − +

,

din care rezultă

" xθ θ µ = − . (!."/2)

3in această relaţie se observă că factorul de amplificare este maxim la valori maimici dect ", valoare ce corespunde rezonanţei fără amortizare (Big. ). @unoscnd poziţia de maxim prin înlocuire în relaţia (!."/0A)

,max

".

"

θ

θ θ µ µ

Λ =

−

(!."/5)

π

π2

0xθ1

µθ1 µθ2 µθ3

δθ

Fig. 5.173in reprezentarea grafică a defaza1ului (fig. !."4) se pot observa următoarele cazuri#a) Pentru 4 xθ = , ⇒ 4θ δ = . 8omentul perturbator este în fază cu ungiul de pantă

al valului*

b) Pentru " xθ = ⇒ θ π

δ = *

c) Pentru 4 " xθ < < ⇒ 4θ π

δ < < *

d) Pentru " xθ < < ∞ ⇒ θ π

δ π < < .

"/



6tudiul tanga1ului pe ulă este asemănător cu cel al ruliului. @onsiderăm cazul cndnava intră cu prova în val, iar lungimea ulei este de două ori mai mare dect lungimeanavei.

>a tanga1ul pe mare agitată prezintă interes oscilaţiile forţate, deoarece oscilaţiile

libere se amortizează rapid datorită rezistenţei mari opusă de masa de apă antrenată. xa deoscilaţie la tanga1 nu coincide, de regulă, cu axa transversală .G . Poziţia axei de tanga1depinde de formele navei. 3acă nava are o pupă lată şi plată, axa de tanga1 se va găsi maispre pupa şi invers.

3eplasarea axei de tanga1 de;a lungul navei se explică prin faptul că rezistenţa apeieste diferită din cauza formelor diferite ale navei la prova şi pupa. 3ar de obicei, în urmatanga1ului, pupa se afundă mai mult fiind avanta1os din punct de vedere al funcţionăriielicei.

@nd lungimea navei este mare în raport cu lungimea ulei oscilaţiile mişcării detanga1 pot fi mari, viteza relativă a navei în raport cu ula fiind astfel importantă.

3acă nava merge cu valuri din prova şi cu viteză mare, tanga1ul va creşte. -ava

înaintează în acest caz mai încet, cu variaţii bruşte de viteză. 3acă nava este mult ieşită dinapă, scade periculos stabilitatea transversală, iar cnd se afundă se pot produce şocuriviolente ce pot provoca avarii serioase corpului navei şi încărcăturii din navă.

3acă nava merge cu valuri din pupa, efectele de mai sus sunt atenuate, însă poziţiarelativă a navei în raport cu ula variază mai încet.

@nd viteza v a navei este egală cu viteza # a ulei, nava rămne mult timp în aceeaşi poziţie faţă de ulă, situaţie periculoasă privind stabilitatea transversală şi guvernareanavei.

@nd nava se găseşte pe două creste de val, este un caz destul de periculos deoareceapar eforturi mari ce acţionează asupra corpului navei şi care solicită excesiv materialul.

5./. OSCILAŢIA VERTICAL8 A NAVEI

$scilaţia pe verticală este o mişcare periodică de translaţie pe verticală a naveiconsiderată corp rigid, sub acţiunea forţelor idrostatice, idrodinamice din ulă şi a forţeide inerţie a navei.

@onsiderăm o navă pe plutire dreaptă (fig. !."") asupra căreia acţionează o forţăverticală orientată de sus în 1os. 6ub acţiunea acestei forţe creşte pesca1ul navei cu T δ ,

linia de plutire devine " "3 1 şi este paralelă cu plutirea iniţială. Ri în acest caz rămnvalabile ipotezele admise la studiul mişcărilor de ruliu şi tanga1

3acă această forţă încetează atunci nava începe să execute oscilaţii verticale, de o parte şi de alta a liniei de plutire iniţială 31.

"//



<=

>=<1 >1

y

η

z ζ

ia F

iN F

W L

G

O

zzV

B p

Bg

B7

Fig. 5.11supra navei, în timpul oscilaţiilor, acţionează următoarele forţe#

• Borţa de greutate, aplicată în centrul de greutate g F = ∆ * (!."/9)

• Borţa de flotabilitate, aplicată în centrul de carenă H

( ) p 3 V F V " ( ( γ = − × + − * (/."/?)

• Borţa de inerţie care acţionează asupra masei navei, care se aplică în centrul degreutate G

iN F M ( = − ×&* (!."04)

• Borţa de inerţie a masei de apă antrenată,

( )ia V F M ( ( δ = − −&& && * (!."0")

• Borţa de rezistenţă a apei, proporţională cu viteza relativă de afundare.( ) R ( V F N ( ( = − × −& & . (!."0)

6;a notat cu ( N coeficientul de proporţionalitate / M masa navei, M δ masa apeiantrenată în mişcare

6criind ecuaţia ecilibrului dinamic al forţelor ce acţionează asupra navei aflată înmişcare oscilatorie verticală, se obţine#

( ) ( ) ( ) 4V ( V 3 V M ( M ( ( N ( ( " ( ( δ γ × + × − + × − + × × −&& && && & & , (!."0/)

sau dacă se separă variabilele( ) ( 3 V ( V 3 V M M ( N ( " ( M ( N ( " ( δ γ δ γ + × + × + × × = × + × + ×&& & && & . (!."00)

8işcarea navei se studiază att în coordonate absolute (!."00) pentru determinareadeplasărilor, vitezelor şi acceleraţiilor absolute faţă de suprafaţa apei calme iniţială, ct şi încoordonate relative faţă de suprafaţa valului.

3acă în ecuaţia (!."0/) se notează..

V ( ( ( = −&& && ,.

V ( ( ( = −& & şi V ( ( ( = − acceleraţia,

viteza şi deplasarea relative, se obţine#

( ).. .

( 3 V M M ( N ( " ( M ( δ γ + × + × + × × = − && . (!."0!)

"/0



:cuaţia valului raportat la sistemul x+z este de forma#cosV " e ( - t ω = × ×, (!."02)

iar primele două derivate în raport cu timpul sunt#sinV " e e ( - t ω ω = − × ×& , (!."05)

cosV " e e

( - t ω ω = − × ×

&& , (!."09)

unde "- este amplitudinea valului, iar eω frecvenţa de întlnire a valului.3acă se înlocuiesc relaţiile (!."02), (!."05) şi (!."09) în (!."00) şi (!."0!) se obţine#

( )" cos sin ( 3 " e 3 e ( " e e M ( N ( " ( - M " t N - t γ δ ω γ ω ω ω × + × + × × = × − × + × − × ×&& & (!."00A)

şi.. .

" cos ( 3 " e e M ( N ( " ( M - t γ ω ω × + × + × × = × × (!."0!A)

ceste două ecuaţii diferenţiale ale oscilaţiei verticale, în coordonate absolute şi relative sescriu în final sub forma#

( )" cos ( 3 P" e (V M ( N ( " ( F t γ ω β × + × + × × = × +&& & , (!."0?).. .

" M cos ( 3 P" e M ( N ( " ( F t γ ω × + × + × × = × , (!."!4)unde#

− ( ) ( ) P" " 3 e ( e F - " M N γ δ ω ω = × × − × + × , este amplitudinea forţei

perturbatoare la oscilaţiile în coordonate absolute*

− M P" " e F M - ω = × × , este amplitudinea forţei perturbatoare, la oscilaţiile în

coordonate relative*− "- este amplitudinea valului*

−

( e (V

3 e

N tg

" M

ω β

γ δ ω

×× =

× − ×, reprezintă defaza1ul dintre forţa perturbatoare şi

mişcarea valului.

5./.1. Studiul &*cil%+iil&! ,"!tic%l"# $"%m&!ti'%t" (" %( li$iştit

În baza ipotezei făcute, că deplasările pe verticală sunt mici, termenii din membruldoi ai ecuaţiei (!."00) ce conţin pe V ( & şi V ( && se negli1ează şi se obţine ecuaţia de mişcare înforma simplificată

" cos ( 3 " 3 e M ( N ( " ( - " t γ γ ω × + × + × × = × × ×&& &

. (!."!")3in ecuaţia (!."!") se obţine#

" 3 M ( " ( oγ × + × × =&& . (!."!)

3acă se împarte cu " M , se obţine ecuaţia diferenţială de ordinul doi, incompletă,omogenă cu coeficienţi constanţi

"

3 " ( ( o

M

γ ×+ × =&& (!."!/)

"/!



3acă se notează.

"

3 (

" p

M

γ ×= (!."!0)

pulsaţia oscilaţiilor verticale libere, neamortizate, ecuaţia (!."!/) devine#

( ( p ( o+ × =&& (!."!!)

a cărei ecuaţie caracteristică este# 4 ( p+ = ,cu rădăcinile imaginare# F ", I J i ( p

şi soluţia#" .cos sin ( ( ( ! p t ! p t = × + × (!."!2)

@onstantele @" şi @ se determină din condiţiile iniţiale.stfel, în momentul iniţial, pentru t I 4, avem#

4 ( ( = şi 4 ( ( =& &, din care rezultă " 4! ( = şi4

(

( !

p=

&

6oluţia(!."!2) se mai poate scrie, după înlocuire#

4

4 cos sin ( ( (

(

( ( p t p t p= × +

&

, (!."!5)sau sub formă armonică

( )cos " ( ( ( ( p t β = − , (!."!9)


44 "

(

( ( (

p

= + ÷

&, amplitudinea mişcării, (!."!?)

4

4 (

(

( ar#tg

( pβ =

×&

, (!."24)

faza iniţială a oscilaţiei libere neamortizată.8asa apei antrenată în mişcare se poate calcula cu formule empirice, aproximative#.

( )

1

1

M ! . x dxπ

δ ρ

−

= × ×∫ , (!."2")

unde + este semilăţimea la plutirea navei în secţiunea x, @ este coeficient pentru secţiunile

>eSis, determinat grafic funcţie de raportul x B

T , coeficientul de fineţe al secţiunii

transversale şi funcţie de frecvenţa de întlnire a valului, prin expresia

e x B

g

ω ×

Pulsaţia oscilaţiilor libere verticale este ( p şi are expresia#

"

3 (

" p

M

γ ×=

)Pentru determinarea pulsaţiei se utilizează şi formule aproximative#

4,0 ( 3

B p !

T = × , (!."2)

"/2



unde 3 ! este coeficientul de fineţe al suprafeţei de plutire.Perioada oscilaţiilor verticale este#.

".. (

( 3

M T

p "

π π

γ = =

×, (!."2/)

Perioada oscilaţiei verticale ( T depinde de valoarea " M a masei navei şi apeiantrenată în mişcare şi invers proporţional de aria suprafeţei de plutire. Practic, perioada

proprie ( T se determină direct folosind formula empirică#

( ( T T = × , (!."20)

unde factorul ( este dat de expresia

0,4 ,!/"

3 B (

3 3

! ! B

! ! T = + ×

+, (!."2!)

iar B! este coeficientul bloc.

5./.2. Studiul &*cil%+iil&! ,"!tic%l"# cu %m&!ti'%!" (" %( li$iştit

mplitudinea oscilaţiei verticale nu este constantă, deoarece oscilaţiile seamortizează datorită rezistenţei pe care o întmpină corpul navei din partea apei. ceastărezistenţă este proporţională cu viteza liniară ( de oscilaţie a navei, şi se poate exprima prinrelaţia#

R ( F N ( = × , (!."22)

unde ( N este coeficient de proporţionalitate (coeficient de amortizare).

@oeficientul de amortizare datorat efectului apei în timpul oscilaţiei verticale, se calculeazăcu metoda fşiilor. stfel, coeficientul de amortizare pe unitatea de lungime se determinăcu relaţia#

/ , (n

e

g " N

ρ

ω

× ×= , (!."25)

unde#− ρ este densitatea apei de mare*

− eω pulsaţia de întlnire dintre navă şi valuri*

− " factor ce se determină grafic funcţie de coeficientul de fineţe al suprafeţei

transversale, raportul n

n BT şi pulsaţia de întlnire prin relaţia

e n B

g ω × . cest factor este

invers factorului de amplificare a mişcării şi reprezintă raportul dintre amplitudinea valuluişi amplitudinea mişcării.

@oeficientul total de amortizare, utiliznd teoria fşiilor, se determină din expresia# ( (n N N dx= ∫ . (!."29)

:cuaţia diferenţială a mişcării devine#

"/5



( ) 4 ( 3 M M ( N ( " ( δ γ + × + × + × ×&& & , (!."2?)

iar după împărţire cu M M δ + 4 ( ( ( ( pν ϕ + × + × =&& & ) (!."54)

6;a introdus notaţia

( ( N

M M υ

δ =+

, (!."5")

ce reprezintă factorul de amortizare.6oluţia ecuaţiei diferenţiale (!."54) este#

( )" cos sin ( t (r (r ( e ! p t ! p t υ −= × × + × . (!."5)

@onstantele @" şi @ se determină din condiţiile iniţiale. stfel, în momentul iniţialcnd t I 4, înclinarea 4 ( ( = şi viteza ungiulară a navei 4 ( ( =& & .

7ezultă " 4! ( = şi4 4

. (

(r

( ( !

p

υ × +=

&.

Lntroducnd valorile lui @" şi @ în relaţia (!."5) se obţine#4 4

4 cos sin ( t ( (r (r

(r

( ( ( e ( p t p t

p

υ υ − + ×= × × + × ÷

&, (!."5/)

sau sub forma armonică

( )M cos ( t "r (r (r ( e ( p t υ β −= × − . (!."50)

În relaţia (!."50) s;au notat expresiile#.

M . 4 44

( "r

(r

( ( ( (

p

υ + ×= +

&* (!."5!)

4 4

4

( (r

(r

( ( ar#tg p (

υ β + ×= × ×& , (!."52)

amplitudinea iniţială a mişcării şi faza iniţială a oscilaţiilor verticale amortizate pe apăliniştită.

>egea de mişcare a oscilaţiilor verticale cu amortizare devine#

( )( )

"

4 44

cos ( ( t (r (r

(r

( ( ( e ( p t

p

υ υ β −

+ × = × + × −

& ,. (!."55)

sau sub forma

( )cos "r (r (r ( ( p t β = × − , (!."59)unde# M ( t

"r "r ( e ( ν ′−= × este amplitudinea oscilaţiilor verticale amortizate, libere, care

descreşte după o lege exponenţială în timp (fig. !.")

"/9



t

Nzr

z"

z

0

Nz/2 Nz /Nz/2

e- νz t

zA

r

z

Fig. 5.123in ecuaţia (!."59) se observă că oscilaţia verticală este o mişcare oscilatorie

armonică amortizată, avnd pulsaţia ( ) "

. . . (r ( ( p p υ = −

şi perioada .

.

.

"

( (r

(r (

(

T T

p

p

π

υ = =

− . (!."5?)

mplitudinea descreşte la o perioadă de timp cu valoarea decrementului logaritmic#

"

ln "

( ( "

( T

( ν

∆ = = × ÷ . (!."94)3acă se determină experimental decrementul logaritmic, utiliznd relaţiile (!."5?) şi

(!."94), se poate calcula factorul de amortizare ( ν

"

( (

pν

π =

+ ÷∆

. (!."9")

Nimpul de amortizarea a oscilaţiilor t , dacă se adoptă o valoare pentru raportul

" , " " " n ( ( − şi se calculează "

, "

ln "n ( (

" n

( n T

( ν

−

∆ = = × ÷ ÷

, se determină cu relaţia#

n (

(

t n T ν

∆= × = . (!."9)

În figura !." este reprezentat graficul de variaţie în timp a elongaţiei mişcăriioscilatorii a navei, dată de legea (!."59).

"/?



5./.). O*cil%+i% ,"!tic%l (" ,%lu!i !"gul%t" -$ c&&!d&$%t" %*&lut"

6e consideră o navă pe valuri avnd ungiul de întlnire µ .:cuaţia diferenţială a mişcării în forma simplificată este#

( ) cos ( 3 3 " e M M ( N ( " ( " - t δ γ γ ω + × + × + × × = × ×&& & (!."9/)

6e împarte ecuaţia cu M M δ + şi obţine forma cos ( ( ( " e ( ( p ( p - t ν ω + × + × = × ×&& & . (!."90)

:cuaţia (!."90) admite soluţia " ( ( ( = + , unde " ( este soluţia ecuaţiei omogene, iar

( este soluţia particulară.@onsiderăm membrul doi egal cu zero şi se obţine soluţia ecuaţiei omogene de forma

( )" " cos sin ( t (r (r ( e ! p t ! p t

ν − ×= × × + × . (!."9!)

6oluţia particulară ( este de forma#

( ). cos " e (

( ( t ω δ = × × − . (!."92)

Punem condiţia ca ( să verifice ecuaţia (!."90) şi se obţine#.

( ) ( ) ( )

cos sin cos

cos

" e e ( ( " e e ( ( " e (

" ( e

( t ( t p ( t

- p t

ω ω δ υ ω ω δ ω δ

ω

− × × × − − × × × × − + × × ×

= × × ×(!."95)

6oluţia particulară satisface ecuaţia diferenţială pentru orice valori e t ω × . 6e iau două valori

e t π

ω × = şi 4e t ω × = , obţinndu;se sistemul de ecuaţii cu necunoscutele " ( şi ( δ #

( )

cos sin

" ( e ( ( " e ( " ( ( p ( - pω δ υ ω δ × − × + × × × × = (!."99)

( ) sin cos 4 ( e ( ( e ( p ω δ υ ω δ − × − × × × . (!."9?)


( )

0

" ( "

( e ( e

- p (

p ω ν ω

×=

− + ×. (!."?4)

3in ecuaţia (!."9?) se obţine expresia defaza1ului dintre mişcarea de oscilaţie şiexcitaţie

( e (

( e

tg p

ν ω δ ω

×=−

. (!."?")

3acă se notează

# ( (

( p

υ µ = ; coeficient de amortizare şi

e (

(

x p

ω = ; pulsaţia relativă a valului sau factor de acorda1,

"04



expresiile (!."?4) şi (!."?") devin#

( ) " 0

" "

( ( (

- (

x x µ

=− + ×

* (!."?4A)

şi

"

( ( (

(

x

tg x

µ

δ

× ×= − . (!."?"A)

. 3in expresiile legilor de mişcare (!."9!) şi (!."92) se poate observa că oscilaţianaturală are pulsaţia de la mişcarea amortizată pe apă liniştită şi amplitudinea variabilădupă o lege exponenţială, iar oscilaţia forţată are pulsaţia valului şi amplitudinea constantădată de relaţia (!."?4).

3eoarece oscilaţia naturală se amortizează în timp, legea oscilaţiei forţată stabilizatăeste

( ) cos " e ( ( ( ( t ω δ = = × × − . (!."?)

6e analizează variaţia amplitudinii oscilaţiei stabilizate funcţie de factorul de acorda1

( x . 6e introduce noţiunea de factor de amplificare ( Λ dat de relaţia

( )

"

" 0

" (

" ( ( (

(

- x x µ

Λ = =− + ×

. (!."?/)

În activitatea practică, interesează în mod deosebit amplitudinea şi defaza1ul mişcării

oscilatorii. În acest sens se vor reprezenta graficele de variaţie ale mărimilor ( ) ( ( xΛ (fig.

!."/) şi ( ) ( ( xδ (fig. !."0)

Λz

"

"

µ =0z

µz1

µz3

µz2

< << <µz1 µz2 µz3

"

< << <

xz

Fig.5.1)

"0"



a) Pentru 4 ( x = rezultă " ( Λ = . -ava oscilează pe un val cu lungime foarte maresau are o masă foarte mică. În acest caz nava oscilează odată cu suprafaţa valului.

b) Pentru ( x → ∞ rezultă 4 ( Λ → . :ste cazul real de exploatare pe valuri cu perioade mici sau nava are o arie a suprafeţei de plutire foarte mică sau o masăfoarte mare.

c) Pentru " ( x = , cazul de rezonanţă, " (

( µ Λ = . Bactorul de amplificare depinde de

coeficientul de amortizare al navei. mplitudinea oscilaţiei este cu att mai marecu ct coeficientul de amortizare este mai micPunctele de extem ale factorului de amplificare se obţin din egalarea cu zero a

primei derivate a funcţiei( )

"

" 0 (

. x x µ

=− +

în raport cu x/ introducndu;se

notaţiile ( . = Λ şi

( x x= .

( )

( )

" 0

4" 0

(

(

xd.

dx x x

µ

µ

− − +

= − = − +

,

din care rezultă

( ) " 0 4 ( x µ − − = şi" ( x µ = − sau dacă se revine la mărimile iniţiale, considernd numai soluţia

pozitivă

" ( ( x µ = − . (!."?0)

3in această relaţie se observă că factorul de amplificare este maxim la valori maimici dect ", valoare ce corespunde rezonanţei fără amortizare. @unoscnd poziţia

de maxim, prin înlocuire în relaţia (!."?/), se obţine

( ) ( ),max

" ".

"" " 0 " (

( ( ( ( (

µ µ µ µ µ

Λ = =− − − + −

(!."?!)

În figura !."/ sunt reprezentate mai multe curbe de variaţie a factorului de amplificarefuncţie de factorul de racorda1, pentru diverşi coeficienţi de amortizare.3eoarececoeficientul de amortizare este foarte mic în comparaţie cu unitatea, se consideră că poziţiaşi valoarea maximă a factorului de amplificare se află în zona de rezonanţă.

"0



π

π2

0

xz1

µz1 µz2 µz3

δz

π

π2

0

1

Fig.5.1/3in reprezentarea grafică a defaza1ului (fig. !."0) se pot observa următoarele cazuri#a) Pentru 4 ( x = , ⇒ 4 ( tg δ = şi 4 ( δ = . 8omentul perturbator este în fază cu

ungiul de pantă al valului*

b) Pentru " ( x = ⇒ ( tg δ = ∞ şi (

π δ = *

c) Pentru 4 " ( x< < ⇒ 4 ( tg δ < < ∞ şi 4 (

π δ < < *

d) Pentru " ( x< < ∞ ⇒ 4 ( tg δ ∞ < < şi ( π δ π < < .

"0/

Date post:	10-Mar-2016
Category:	Documents
Upload:	avramescu-alexandru
View:	54 times
Download:	4 times

Oscilatiile navei

Documents