+ All Categories
Home > Documents > N I A - tcotfas.files.wordpress.com · xxx xx x ux daca u x xux ... fD: are derivată la dreapta...

N I A - tcotfas.files.wordpress.com · xxx xx x ux daca u x xux ... fD: are derivată la dreapta...

Date post: 30-Jun-2018
Category:
Upload: vominh
View: 217 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
25
T R A I A N 1 LIMITE -reguli de calcul cu , x : 1) x si ; 2) x si 3) 0 0 dacă x x dacă x ; 4) 0 0 dacă x x dacă x ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 0 0; 0 x ; 10) 0 0 0 dacă x x dacă x ; ; 0 0 11) 0 0 0 dacă x x dacă x ; ; 0 0 12) 2 k 13) 2 1 k 14) , 1 log , 0,1 b b x b 15) 0 0 16) ; dacă 0 n n 17) 0; 0 dacă 0 n n 18) 0 1 x dacă x 19) 0 ( 1,1) 1 1 dacă x x dacă x dacă x -nedeterminări: 1) ; 2) 0 ; 0 3) ; 4) 0 ; 5) 0 0 ; 6) 0 ; 7) 1 ; -reguli de calcul pentru limite - * 0 , 0 , lim N k a a a x a k k k k k x - * 0 0 , lim , , , 0; , 0, k p k p k k k k p p n p p a k p b ax a a k p a b kp N bx b b k p - Daca 0 b lim , b lim 1 , 0 b x x x x . - Daca x x x x b lim , 0 b lim 1 b . - Daca x log lim , x log lim 1 , 0 b b x b 0 x 0 x . - Daca x log lim , x log lim 1 b b x b 0 x 0 x deci 0 0 lim ln , lim ln x x x x x - 2 2 lim , lim x x tg x tg x - 0 0 lim , lim x x ctg x ctg x
Transcript

T R

A I A

N

1

LIMITE

-reguli de calcul cu , x : 1) x si ; 2) x si

3) 0

0

dacă xx

dacă x

;

4) 0

0

dacă xx

dacă x

;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ;

9) 0

0; 0x

;

10)0

00

dacă xx

dacă x

;

;0 0

11)0

00

dacă xx

dacă x

;

;0 0

12) 2k

13) 2 1k

14) , 1

log, 0,1b

bx

b

15) 0 0 16) ; dacă 0n n

17) 0; 0 dacă 0n n

18) 0 1x dacă x

19)

0 ( 1,1)

1

1

dacă x

x dacă x

dacă x

-nedeterminări: 1) ;

2)0

;0

3) ; 4) 0 ; 5) 00 ; 6) 0 ; 7) 1 ;

-reguli de calcul pentru limite

- *0 ,0,lim Nkaaaxa k

kk

kk

x

-

*0

0

,

lim , , , 0; ,

0,

k pk

p

kk k

k ppnp p

ak p

b

a x a ak p a b k p N

b x b b

k p

- Daca 0blim,blim1,0b x

x

x

x

.

- Daca

x

x

x

xblim,0blim1b .

- Daca

xloglim,xloglim1,0b bx

b

0x0x

.

- Daca

xloglim,xloglim1b bx

b

0x0x

deci 0

0

lim ln , lim lnx xx

x x

- 2 2

lim , limx x

tg x tg x

- 0 0

lim , limx x

ctg x ctg x

T R

A I A

N

2

- 2

xarctglim,2

xarctglimxx

-

xarcctglim,0xarcctglimxx

-

0 00

sinsinlim 1; lim 1, lim 0x x x x x

u xxdaca u x

x u x

-

0 00lim 1; lim 1, lim 0x x x x x

tg u xtgxdaca u x

x u x

-

0 00

arcsinarcsinlim 1; lim 1, lim 0x x x x x

u xxdaca u x

x u x

-

0 00

lim 1; lim 1, lim 0x x x x x

arctg u xarctgxdaca u x

x u x

- 0 0

11lim 1 ; lim 1 , lim 0

x

u x

x x x x xe u x e daca u x

x

-

0 00

ln 1ln 1lim 1; lim 1, lim 0x x x x x

u xxdaca u x

x u x

-

0 00

1 1lim ln , 0 ; lim ln , lim 0

u xx

x x x x x

a aa a a daca u x

x u x

.

-

0 00

(1 ) 1 (1 ( ))lim ; lim , lim 0

a a

x x x x x

x u xa a daca u x

x u x

.

- ( ) log , , 1xba P x x dacă a b si x deci

loglim 0 lim 0b

xx x

xpolinomsi

b polinom

-nedeterminări: 1) ;

2)0

;0

3) ; 4) 0 ; 5) 00 ; 6) 0 ; 7) 1 ;

- nedeterminările de forma 00 şi

folosim factor forţat dominant sau regula lui l’Hospital

-nedeterminarea folosim factor forţat dominant sau folosim conjugata

sau reducem la 0

0 dacă scriem f g =

1 1

1g f

fg

-nedeterminarea 0 se reduce la0

0 dacă scriem fg=

1g

f

sau la

scriind fg=1f

g

-nedeterminările 00 , 0 se rezolvă folosind relatia lng g ff e

-nedeterminarea 1 se rezolvă folosind relaţia

lim ( ) ( )( )lim 1 ,dacă lim ( ) 0 lim ( )x a

u x v xv x

x a x a x au x e u x v x

şi

- limita produsului dintre o funcţie mărginită şi o funcţie de limita zero este zero.

-important: )(')()(

lim afax

afxfax

Teorie asimptote

T R

A I A

N

3

-Dreapta y n se numeşte asimptotă orizontală spre a functiei f dacă lim ( ) ,x

f x n n

-Dreapta nmxy se numeşte asimptotă oblică spre a functiei f dacă

lim , , 0,x

f xm m m

x

şi lim ,x

f x mx n n

-Dreapta ax se numeşte asimptotă verticală la stanga a functiei f dacă

xflimsauxflimaxax

axax

-Dreapta ax se numeşte asimptotă verticală la dreapta a functiei f dacă

xflimsauxflimaxax

axax

-funcţiiile polinomiale, sin, cos nu admit asimptote -nu putem avea asimptotă orizontală şi oblică în acelaşi timp spre sau -asimptotele verticale se calculează de regulă în punctele de acumulare care nu aparţin domeniului de definiţie DERIVATE .D1 Se spune că funcţia :f D are derivata în 0x D dacă limita

0

00

0

lim există în x x

f x f xnotaţie f x

x x

.

Dacă

0

0

0

limx x

f x f x

x x

, f se numeşte derivabilă în 0x .

.D2 a) :f D are derivată la stânga în 0x D pentru care 0,D x dacă

0

0

0

0

limx xx x

f x f x

x x

există în . 0snotaţie f x

b) :f D are derivată la dreapta în 0x D pentru care 0 ,D x dacă

0

0

0

0

limx xx x

f x f x

x x

există în . 0dnotaţie f x

.T1 Functia f are derivată în 0x 0 0s df x f x .

.2T Orice funcţie derivabilă într-un punct este continuă în acel punct adică orice funcţie derivabilă este

continuă. Obs. Dacă funcţia nu este continuă atunci nu este derivabilă deci când studiem derivabilitatea prima dată se verifică continuitatea. -Derivatele functiilor elementare

1) 1 *,n nu nu u n

2) 2

1 1, , 0u u u

u u

3) ln , 0, 1u ua a a u a a

4) 1ln , 0u u u

u

5) sin cosu u u

6) cos sinu u u

7) 2

1, cos 0

costg u u u

u

8) 2

1, sin 0

sinctg u u u

u

9) 2

1arcsin , 1

1u u u

u

T R

A I A

N

4

10) 2

1arccos , 1

1u u u

u

11) 2

1

1arctg u u

u

12) 2

1

1arcctg u u

u

-Reguli de derivare

1) gfgf

2) *, Rff

3) gfgfgf

4) 0g,g

gfgf

g

f2

5) ffgfg

'1

00

16) ,f y

f x

7) 0u,ulnvuuuvu v1vv

4.D Un punct a D se numeşte punct de maxim local al funcţiei :f D , dacă există o vecinatate V a

lui a astfel încât ,f x f a x V D . Un punct b D se numeşte punct de minim local al funcţiei

:f D , dacă există o vecinatate V a lui b astfel încât ,f b f x x V D . Un punct de

minim local sau de maxim local pentru o funcţie :f D se numeşte punct de extrem local al funcţiei.

Valorile funcţiei în punctele de extrem se numesc extremele funcţiei (valori extreme). .FermatT3 Fie :f I , I-interval iar 0x un punct de extrem din interiorul intervalului. Dacă f este

derivabilă în 0x , atunci 0( ) 0f x .( punctele de extrem local se află printre punctele critice adică soluţiile

ecuaţiei f’=0)

.RolleT4 Fie : ,f a b , , , , ,a b a b a b . Dacă:

1) f este continuă pe b,a ;

2) f este derivabilă pe b,a ;

3) bfaf

atunci există b,ac astfel încât 0cf .

.LagrangeT5 Fie : ,f a b , , ,a b a b . Dacă:

1) f este continuă pe b,a ;

2) f este derivabilă pe b,a

atunci există b,ac astfel încât f b f a

f cb a

.

6 .ConsecintaLagrangeT Fie :f I , I-interval și 0x I . Dacă:

1) f este continuă în 0x

2) f este derivabilă pe 0\I x

3) există 0

lim l

x xf x l

,

atunci f are derivată în 0x și 0lf x l . Dacă l , atunci f este derivabilă în 0x și 0

lf x l .

Reţinem: -ecuaţia tangentei într-un punct: 0 0( )y y m x x unde 0 0y f x şi 1

0m f x

T R

A I A

N

5

-f crescătoare pe I f’0 x I si f strict crescătoare pe I f’0 x I -f descrescătoare pe I f’0 x I si f strict descrescătoare pe I f’0 x I -f convexă pe I f”0 x I -f concavă pe I f”0 x I -derivata întâi determină intervalele de monotonie şi punctele de extrem ale funcţiei şi procedăm astfel: calculăm f’ şi aflăm zerourile derivatei adică soluţiile ecuatiei f’=0, stabilim semnul derivatei (eventual prin valori). Un zerou al derivatei este punct de extrem dacă de o parte şi de alta are semne contrare.Valoare funcţiei în acest zerou al derivatei va fi valoare extremă pentru funcţie. -derivata a doua determină intervalele de convexitate-concavitate şi punctele de inflexiune ale funcţiei şi procedăm astfel: calculăm f” şi aflăm zerourile derivatei secunde adică soluţiile ecuaţiei f”=0, stabilim semnul derivatei secunde(eventual prin valori). Un zerou al derivatei a doua este punct de inflexiune dacă de o parte şi de alta are semne contrare. EXERCIŢII

1. Se consideră funcţia 2 1

: 0; , ( ) .x

f f xx

a) Să se verifice că 2

2

1'( ) ,

xf x

x

pentru 0.x

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. c) Să se arate că f este convexă pe 0; .

2. Se consideră funcţia :f , .)( xexxf a) Să se calculeze '( ),f x x . b) Să se arate că f este descrescătoare pe ]0;( şi crescătoare pe );0[ . c) Să se determine ecuaţia asimptotei oblice către la graficul funcţiei f.

3. Se consideră funcţia :f , .)( 2xexf x

a) Să se calculeze .1

)1()(lim

1

x

fxfx

b) Să se demonstreze că funcţia f nu are asimptotă către . c) Să se demonstreze că funcţia f este convexă pe .

4. Se consideră funcţia : 0; \ ,f e .ln1

ln1)(

x

xxf

a) Să se calculeze .1

)1(

eff

b) Să se verifice că

,ln1

2)('

2xxxf

.\;0 ex

c) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funcţiei f.

5. Se consideră funcţia : \ 1f definită prin .1

)(

x

exf

x

a) Să se verifice că

2'( ) , \ 1

1

xxef x x

x

.

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. c) Să se demonstreze că ,1)( xf pentru .1x

T R

A I A

N

6

6. Se consideră funcţia : 0;f definită prin .ln

)(x

xxf

a) Să se calculeze ).(' ef b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale spre a graficului f. c) Să se demonstreze că xe ex pentru 0x .

7. Se consideră funcţiile :nf date prin 1)(0 xexf şi '1( ) ( )n nf x f x pentru Nn .

a) Să se calculeze ),(1 xf x . b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către a graficului funcţiei .0f

c) Să se calculeze .1)(

lim2

2

0 x

xxfx

8. Se consideră funcţia : \ 1f defintă prin 1

2)(

2

x

xxxf

a) Să se calculeze '( ), \ 1f x x .

b) Să se demonstreze că funcţia f admite două puncte de extrem. c) Să se determine ecuaţia asimptotei oblice către la graficul funcţiei f.

9. Se consideră funcţia :f , xexf x )( . a) Să se calculeze '( ), .f x x b) Să se demonstreze că 1)( xf pentru .x c) Să se scrie ecuaţia asimptotei oblice către la graficul funcţiei f.

10. Se consideră funcţia, : 0;f , x

xxf

ln)( .

a) Să se calculeze ;0),(' xxf . b) Să se studieze monotonia funcţiei f. c) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale la graficul funcţiei f.

11. Se consideră funcţia :f de forma

1,ln

1,11

)(xx

xeexf

x

.

a) Să se studieze continuitatea funcţie f în punctul .10 x

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. c) Să se arate că funcţia f este concavă pe ;1 .

12. Se consideră funcţia :[0; )f , x

x

ex

exf

21)( .

a) Să se verifice că

212

)('x

x

ex

xexf

, pentru );0[ x .

b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funcţiei f.

c) Să se arate că e

exf

1

1)(1 , 0x .

13. Se consideră funcţia : 0;f defintă prin x

xxf

1

1)( .

a) Să se verifice că 21

1)('

xxxf

, pentru 0x .

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f.

T R

A I A

N

7

c) Să se demonstreze că pentru ]2;0(x este adevărată inegalitatea )(' xfxfx .

14. Se consideră funcţia :f 2( ) 3 3 xf x x x e .

a) Să se calculeze '( ), .f x x b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. c) Să se arate că tangenta la graficul funcţiei f, dusă în punctul de coordonate 00 ; xfx , unde

20 x , este paralelă cu axa Ox.

15. Se consideră funcţia :[1; )f definită prin xx

xxxf

ln

ln)(

.

a) Să se verifice că e

eeff

1

2)()1( .

b) Să se arate că

2ln

1ln2)('

xx

xxf

, );1[ x .

c) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei :[1; )g defintiă prin

21)(

)(')(

xf

xfxg .

16. Se consideră funcţia :f , 1

1)(

2

2

xx

xxxf .

a) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f.

b) Să se arate că

,

1

12)('

22

2

xx

xxf pentru .x

c) Să se demonstreze că x avem 4)(3

2 2 xfxf .

17. Se consideră funcţiile , :f g , xexxf 1)( şi .)( xxexg a) Să se verifice că )()(' xgxf pentru .x b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei g. c) Dacă I este un interval, să se demonstreze că funcţia g este crescătoare pe I dacă şi numai

dacă funcţia f este convexă pe I.

18. Se consideră funcţia1 , 0

: , ( ) ., 0x

x xf f x

e x

a) Să se studieze continuitatea funcţiei f în punctul 0 0.x b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. c) Să se deomnstreze că funcţia f este concavă pe intervalul (0; ) .

19. Se consideră funcţia3 1, 1

: , ( ) .2, 1

x xf f x

ax x

a) Să se determine valoarea parametrului real a astfel încât funcţia f să fie continuă în punctul

0 1.x b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. c) Să se calculeze lim ( ) 1 .

xf x x

20. Se consideră funcţia 1: \ 1 , ( ) .

1

xf f x

x

a) Să se calculeze '( ), \ 1 .f x x

T R

A I A

N

8

b) Să se calculeze1

( ) ( 1)lim .

1x

f x f

x

c) Să se determine asimptota orizontală către la graficul funcţiei f.

21. Se consideră funcţia 1: \ 3 , ( ) .

3

xf f x

x

a) Să se calculeze '( ), \ 3 .f x x

b) Să se calculeze4

( ) (4)lim .

4x

f x f

x

c) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funcţiei f.

22. Se consideră funcţiile 2

, :[0; ) , ( )1

xf h f x

x

şi 2( ) ( ).h x f x

a) Să se verifice că 22

2'( ) , 0.

1

xh x x

x

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. c) Să se demonstreze că funcţia h este crescătoare pe intervalul [0; ).

23. Se consideră funcţia

2 3, 0

2: , ( )3

, 02

xx

xf f x

x x

.

a) Să se studieze continuitatea funcţei f în punctul 0 0.x

b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funcţiei f.

c) Să se arate că 3( ) ;2 , [0; ).

2f x x

24. Pentru n se consideră funcţiile 0: 0; , ( ) lnnf f x x şi '1( ) ( ).n nf x f x

a) Să se determine funcţia 1f .

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei 2.f

c) Să se arate că funcţia 01

1( ) 1, 0;

( )f x x

f x .

25. Se consideră funcţia

2

2

2

3, 1

1: , ( )2

, 12

xx

xf f xx a

xx

, unde .a

a) Să se determine numărul real a astfel încât funcţia f să fie continuă în punctul 0 1x . b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funţciei f. c) Să se determine numărul real a astfel încât panta tangente la grafic în punctul 0 2x să fie

egală cu 1.

26. Se consideră funcţia 1

: , ( ) .x

xf f x

e

a) Să se verifice că '( )x

xf x

e pentru .x

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. c) Să se arate că ( ) 1f x pentru .x

T R

A I A

N

9

27. Se consideră funcţia2

2: , ( ) .

1

xf f x

x

a) Să se verifice că 22

2'( ) 0

1

xf x

x

pentru .x

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f.

c) Să se arate că 3 32010 2011 .f f

28. Se consideră funcţia : , ( ) 2 3 .x xf f x a) Să se calculeze '( ), .f x x b) Să se determine asimptotei către la graficul funcţiei f. c) Să se arate că funcţia f este convexă pe .

29. Se consideră funcţia 1: \ 1 , ( ) 1 .

1f f x x

x

a) Să se arate că

2

2

2'( )

1

x xf x

x

pentru \ 1 .x

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. c) Să se demonstreze că pentru \ 1x avem 1 4.xf e

30. Se consideră funcţia 2 1

: , ( ) .x

x xf f x

e

a) Să se verifice că 2 3 2

'( ) ,x

x xf x

e

pentru x .

b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funcţiei f.

c) Să se arate că 1

( ) ,f xe

pentru 2x .

31. Se consideră funcţia : 0; , ( ) .xe

f f xx

a) Să se verifice că

2

1'( ) ,

xe xf x

x

pentru 0.x

b) Să se determine asimptota verticală la graficul funcţiei f. c) Să se demosntreze că xe ex pentru 0.x

32. Se consideră funcţia : , ( ) .xf f x xe a) Să se verifice dacă '( ) 1 xf x x e pentru x .

b) Să se determine intervalele de convexitate şi de concavitate ale funcţiei f. c) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funcţiei f.

33. Se consideră funcţia 2

: 1; , ( ) .1

xf f x

x

a) Să se verifice dacă

2

2

2'( )

1

x xf x

x

pentru 1x .

b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funcţiei f.

c) Să se arate că 3 32 3f f .

34. Se consideră funcţia ln: 1; , ( ) .

xf f x

x

T R

A I A

N

10

a) Să se verifice dacă 2

1 ln'( )

xf x

x

pentru 0x .

b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funcţiei f. c) Să se arate că (2010) (2011)f f .

35. Se consideră funcţia2

2

1: , ( ) .

1

x xf f x

x x

a) Să se verifice dacă

2

22

2 2'( )

1

xf x

x x

pentru x .

b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funcţiei f. c) Să se arate că 3 3( 2010) ( 2011)f f .

36. Se consideră numărul 0a şi funcţia : , ( ) xf f x e ax . V1 a) Să se determine asimptota oblică la graficul funcţiei f către . b) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f. c) Să se determine 0,a , ştiind că 1,f x x .

37. Se consideră șirul *n na

dat 1 0,1a şi *

1 01 ,n na a a n . V2

a) Să se arate că *0,1 ,na n

b) Să se demonstreze că șirul *n na

este descrescător .

c) Să se arate că șirul *n nb

, dat de 2 2 2 2 *

1 2 3 ... ,n nb a a a a n este mărginit superior de

1a .

38. Se consideră funcţia 2: 0, , ( ) 18 lnf f x x x . V3

a) Să se determine intervalele de monotonie ale funcției f. b) Să se determine a pentru care , 0,f x a x .

c) Să se determine numărul de rădăcini reale ale ecuației f x m , unde m este un parametru

real..

39. Se consideră funcţia 22

2 1: \ 1,0 , ( ) .

1

xf f x

x x

V4

a) Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f b) Să se demonstreze că funcţia f nu are puncte de extrem local.

c) Să se calculeze 2

*lim 1 2 3 ... ,n

nf f f f n n

.

40. Se consideră funcţia 2 1: 0, , ( ) ln .

1

xf f x x

x

V5

a) Să se calculeze derivata funcției f . b) Să se determine punctele graficului funcţiei f în care tangenta la grafic este paralelă cu

dreapta de ecuație 9 2y x .

c) Să se arate că dacă 1x , atunci 2 1

ln1

xx

x

..

41. Se consideră funcţia ln: 0, , ( ) x xf f x e V6

a) Să se arate că 1 ln , 0lf x f x x x .

b) Să se determine valoarea minimă a funcției f.

T R

A I A

N

11

c) Să se arate că funcția f este convexă pe 0, .

42. Se consideră funcţia : 0; , ( ) lnf f x x şi şirul

**1 1 1

, 1 ... ln ,2 3n nn

x x n nn

. V7

a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f

b) Să se arate că, pentru orice 1 10, 1

1k f k f k

k k

.

c) Să se arate că şirul *n nx

este descrescător şi are termenii pozitivi.

43. Se consideră funcţia : , ( )f f x x cosx și șirul 0 1, 0 , ,n n nnx x x f x n

.

V8 a) Să se arate că funcția f este crescătoare pe .

b) Să se arate că *0 ,2nx x

.

c) Să se arate că şirul *n nx

este convergent la

2

.

44. Se consideră funcţia : , ( ) sinf f x x x . V9 a) Să se arate că funcția f este crescătoare . b) Admitem că pentru fiecare n ecuația f x n are o soluție unică nx . Să se arate că șirul

*n nx

este nemărginit.

c) Să se calculeze lim n

x

x

n , unde şirul 1n n

x

a fost definit la punctul b).

45. Se consideră funcţia 2: , ( ) ln 1f f x xarctgx x . V10

a) Să se arate că funcția f este convexă pe . b) Să se arate că funcția f este mărginită. c) Să se demonstreze că 0 ,f x x .

46. Se consideră funcţia 1: 2 , ( )

2xf f x e

x

. V11

a) Să se derivabilitatea funcției f în punctul 0 0x . b) Să se determine punctele de extrem local ale funcției f . c) Să se determine numărul de rădăcini reale ale ecuației ,f x m m .

47. Se consideră funcţia ln 1: 0, , ( )

xf f x

x

. V12

a) Să se arate că șirul 1n nx

unde 1 1 1 1 1 1

1 ...2 2 3 3nx f f f f

n n

este divergent..

b) Să se calculeze limx

f x

.

c) Să se arate că funcția f este descrescătoare .

48. Se consideră funcţia 3 3 2: , ( ) 3 4,f f x x x x . V13 a) Să se determine asimptota oblică a graficului funcţiei f spre . b) Să se arate că 2 2' 2 , \ 2,1f x f x x x x .

T R

A I A

N

12

c) Să se determine derivatele laterale ale funcţiei f în punctul 0 2x .

49. Pentru * , 3n n se consideră funcţia : , ( ) sinnn nf f x x și se notează cu nx abscisa

punctului de inflexiune din intervalul 0,2

al graficului funcției nf . V14

a) Să se arate că 2 2 *1 sin sin , , 3 , .ll n nnf x n n x n x n n x .

b) Să se arate că 1

sin , 3n

nx n

n

.

c) Să se calculeze lim n nnf x

.

50. Pentru , 3n n se consideră funcţia : 0, , ( ) 1nn nf f x x nx . V15

a) Să se arate că nf este strict descrescătoare pe 0,1 și strict crescătoare pe 1, .

b) Să se arate că ecuația 0, 0nf x x are exact două rădăcini 0,1na și 1,nb .

c) Să se calculeze lim nna

, unde na a fost definit la punctul b).

51. Se consideră funcţia 2

2

1sin , \ 0

: , ( )0 , 0

x xf f x x

x

. V16

a) Să se arate că funcţia f este derivabilă pe . b) Să se calculeze lim l

xf x

.

c) Să se demonstreze că f este mărginită pe .

52. Se consideră șirul &n nx

, unde 1 0,1x și

5*

1

3,

4n n

n

x xx n

. V17

a) Să se arate că *0,1 ,nx n .

b) Să se arate că șirul *n nx

este convergent.

c) Să se arate că 2 9lim

16n

xn

x

x

.

53. Se consideră funcţia 2 1: 0; 0; , ( )

2

xf f x

x

şi şirul n n

x

dat de

0 12, ,n nx x f x n . V18

a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f b) Să se arate că şirul n n

x

, are limita 1.

c) Să se arate că şirul n ny

dat de 0 1 ...n ny x x x n este convergent.

54. Se consideră funcţia 2: 2, 2 , ( ) ln

2

xf f x

x

. V19

a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f b) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei f.

c) Să se calculeze 1

lim a

xx f

x

, unde a este un număr real.

55. Se consideră funcţia 2: , ( ) 2 3 2 5xf f x e x x . V20 a) Să se demonstreze că funcţia f este crescătoare pe 0, .

b) Să se arate că funcţia f nu este surjectivă .

T R

A I A

N

13

c) Să se calculeze

liml

x

f x

f x.

56. Se consideră funcţia : , ( ) 1 3 5 7f f x x x x x V21

a) Să se calculeze

4limx

f x

x.

b) Calculaţi 1

lim xx

f x

.

c) Arătaţi că ecuaţia 0lf x are exact trei rădăcini reale.

57. Se consideră funcţia4

: , ( )3

xf f x

x

V22

a) Să se calculeze ,lf x x .

b) Să se determine mulțimea valorilor funcției f .

c) Să se arate că , ,f x f y x y x y .

58. Se consideră funcţia 3: , ( ) 1f f x x x V23

a) Să se arate că pentru orice n , ecuația 13

1f x

n

are o unică soluție nx .

b) Să se arate că lim 1nnx

, unde nx este soluția reală a ecuației 1

3 ,1

f x nn

.

c) Să se determine lim 1nnn x

, unde nx este soluția reală a ecuației 1

3 ,1

f x nn

.

59. Se consideră funcţia : , ( ) sinf f x x x . V24 a) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare . b) Să se arate că graficul funcţiei nu are asimptote .

c) Să se arate că funcţia 3: ,g g x f x este derivabilă pe .

60. Se consideră funcţia 21: 0, , ( ) ln

2f f x x . V25

a) Să se arate că funcţia este convexă pe intervalul 0,e .

b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei .

c) Să se arate că şirul 3n na

dat de ln 3 ln 4 ln 5 ln

...3 4 5n

na f n

n , este descrescător.

61. Se consideră funcţia : , ( )f f x arctgx arcctgx . V26 a) Să se determine asimptota la graficul funcţiei f spre . b) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare pe . c) Să se arate că şirul 1n n

x

dat de *1 ,n nx f x n şi 1 0x , este convergent.

62. Fie funcţia : 1,1 , ( ) 1 arcsinf f x x x . V27

a) Să se calculeze

20limx

f x

x x .

b) Să se determine punctele în care funcția f nu este derivabilă. c) Să se arate că funcția f este convexă.

63. Fie funcţia : 0,3 , ( ) 1f f x x x , unde x este partea fracționară a numărului x .

V28

T R

A I A

N

14

a) Să se calculeze 0

0

limxx

f x

.

b) Să se determine domeniul de continuitate al funcției f . c) Să se determine toate punctele în care funcția f nu este derivabilă.

64. Se consideră *n și funcţiile 2 2 1 2 2 1, : , ( ) 1 ... , 1n n nn n n nf g f x x x x x g x x .

V29

a) Să se verifice că arate că

2 , \ 11 1

ln nl

n

g x g xf x x

x x

.

b) Să se calculeze 1

lim2

lnn

f

.

c) Să se demonstreze că nf are exact un punct de extrem local .

65. Se consideră funcţia3

: , ( ) sin6

xf f x x x . V30

a) Să se determine limx

f x

.

b) Să se calculeze derivata a doua a funcției f .

c) Să se demonstreze că 0 , 0f x x .

66. Se consideră funcţia 2: , ( )f f x x x . V31

a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptota spre . b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcţiei f. c) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f.

67. Se consideră funcţia : , ( ) 2f f x arctg x arctgx . V32

a) Să se calculeze ,lf x x .

b) Să se demonstreze că 0 ,2

f x x

.

c) Să se demonstreze că 21

: , ( )2

xg g x f x arctg

este constantă.

68. Se dă funcţia 1: 0, , ( )f f x

x și șirul

*

1

1 1 1 1, ... ,

1 2 2 3 3n nn

a a nn n

V33

a) Să se arate că lf este strict crescătoare pe intervalul 0, .

b) Să se demonstreze că

*1 1 1 1,

2 1 1 1 2k

k k k k k k

.

c) Să se demonstreze că șirul 1n na

este convergent .

69. Se consideră funcţia 1 3 1: 0, , ( ) ln ln

1 2 2f f x x x

x

și șirul

**1 1 1 1

, 1 ... ln ,2 3 2n nn

a a n nn

. V34

a) Să se demonstreze funcția f este strict crescătoare pe intervalul 0, .

T R

A I A

N

15

b) Să se arate că 0 , 0,lf x x .

c) Să se demonstreze șirul *n na

este strict descrescător .

70. Se consideră funcţia : , ( ) ln 1xf f x x e . V35

a) Să se arate că funcţia 'f este strict descrescătoare pe .

b) Să se arate că lim 0,a

xx f x a

.

c) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f .

71. Fie funcţia 3 1: \ 3 , ( )

3

xf f x

x

şi şirul 1n n

a

definit prin

*1 12, ,n na a f a n . V36

a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare pe , 3 şi pe 3, .

b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f c) Să se arate că şirul 1n n

a

, nu este convergent.

72. Se consideră funcţia 3: , ( ) 3 3f f x x x arctgx . V37 a) Să se arate că funcţia f este crescătoare pe . b) Să se arate că f este bijectivă.

c) Să se determine a pentru care

limax

f x

x există, este finită și nenulă.

d) 73. Se consideră funcţia 2: , ( ) 2 ln 1f f x x x x . V38

a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare. b) Să se arate că funcţia f este bijectivă. c) Să se arate că graficul funcţiei f nu are asimptotă oblică spre .

74. Se consideră funcţia : 0, , ( ) lnf f x x x . V39

a) Să se monotonia funcţiei f . b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f. c) Să se demonstreze că orice şir n n

x

cu proprietatea 0 10,1 , nf x

nx x e , este convergent.

75. Fie funcţia 2 2: , ( ) 2 1f f x x x . V40 a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare pe ,0 .

b) Să se arate graficul funcţiei f are exact două puncte de inflexiune. c) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre .

76. Se consideră funcţia : 0, ,0 , ( ) ln 1f f x x x . V41

a) Să se demonstreze că funcţia f este strict descrescătoare pe 0, .

b) Să se arate că funcţia f este surjectivă. c) Să se arate că graficul funcţiei f nu admite asimptote.

77. Se consideră funcţia : , ( )f f x xarctgx şi şirul *n nx

dat de

*1 11, ,n nx x f x n . V42

a) Să se demonstreze că funcţia 'f este strict crescătoare pe . b) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre . c) Să se arate că şirul *n n

x

este convergent.

T R

A I A

N

16

78. Se consideră funcţia : , ( ) xf f x x e . V43 a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare pe intervalul 0, .

b) Să se arate funcția f admite exact un punct de extrem local. c) Să determine numărul de soluții reale ale ecuației ,f x m unde m este un număr real

oarecare..

79. Se consideră funcţia 2

: , ( ) , ,1

ax bf f x a b

x x

. V44

a) Să se calculeze ' ,f x x .

b) Să se arate funcția f este strict crescătoare pe .dacă și numai dacă 2 0a b . c) Pentru 2a și 1b să se determine mulțimea valorilor funcției .

80. Se consideră funcţia 2

2

5: , ( ) ,

1

x axf f x a

x

. V45

a) Să se calculeze ' ,f x x .

b) Ştiind că 0a , să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre . c) Să se determine toate numerele reale a astfel încât funcţia f să aibă trei puncte de extrem

local.

81. Se consideră funcţia 1

: , ( )x

xf f x

e

. V46

a) Să se arate că f nu este dcerivabilă în punctul 0

1x .

b) Să se determine numărul soluțiilor reale ale ecuației f x m , unde m .

c) Să se calculeze lim 1 2 ...n

f f f n

.

82. Se consideră funcţia 2

1: \ 1,1 , ( )

1f f x arctg

x

. V47

a) Să se calculeze 1

1

limxx

f x

.

b) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptote f spre . c) Să se demonstreze că funcţia f admite un singur punct de extrem local.

83. Se consideră funcţia 2

2: , arcsin

1

xf f x

x

. V48

a) Să se calculeze limx

f x

b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcției f . c) Să se demonstreze că funcția f are două puncte de extrem.

84. Se consideră funcţia 2

3

4 3: 1, , ( )

xf f x

x

. V49

a) Să demonstreze că graficul funcţiei f admite asimptota spre . b) Să se determine valorilor funcţiei f. c) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcţiei : 2, , arccosg g x f x

85. Se consideră funcţia * 1: , ( ) sinf f x x

x . V50

a) Să se calculeze 0

limx

f x

.

b) Să se calculeze *' ,f x x

T R

A I A

N

17

c) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre .

86. Se consideră funcţia 2 1

: 1, 1, ( )x x

f f xx

. V51

a) Să se calculeze 2

0limx

x f x

.

b) Să se arate că funcția f este strict crescătoare. c) Să se arate că funcția f este bijectivă.

87. Se consideră funcţia sin , 0,1: 0,1 ( )

0. 0

x xf f x x

x

. V52

a) Să se arate că funcția f este continuă pe 0,1 .

b) Să se determine domeniul de derivabilite al funcției f .

c) Să se arate că, dacă *n , atunci ecuația cosf xx

are cel puțin o soluție în intervalul

1 1,

1n n

.

88. Se consideră funcţia 3: , ( ) 3f f x x x și un număr real n din intervalul 2, . V53

a) Să se determine punctele de extrem ale funcției f .

b) Să se demonstreze că ecuația 3 3x x m , are soluției unică în mulțimea 1. .

c) Să se determine numărul punctelor de inflexiune ale graficului funcției 2: ,g g x f x .

89. Se consideră funcţia : , ( ) xf f x e x . V54 a) Să se determine punctul în care tangenta la graficul funcției f este paralelă cu prima

bisectoare. . b) Să se arate că valoarea minimă a funcției f este 1 .

c) Să se arate că funcția : , 1g g x f x nu este derivabilă în 0 0x .

90. Se consideră funcţia 3 3: , ( ) 3 2f f x x x . V55

a) Să se calculeze

01

lim1x

x

f x

x

..

b) Să se determine punctele de extrem ale funcției f . c) Să se determine domeniul de derivabilite al funcției f .

91. Se consideră funcţia4 2 5

: \ , ( )3 3 4

xf f x

x

. V56

a) Să se determine asimptota la graficul funcţiei f spre . b) Să se determine limita şirului 1

, 1 2 ...n nna a f f f n

.

c) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei : , xg g x f e

92. Fie funcţia 2: , ( ) 1f f x x V57

a) Să se arate că șirul 1n nx

definit prin 1

1

2x și 1 , 1n nx f x n are limită.

T R

A I A

N

18

b) Să se arate că funcția , 0: ,

, 0

xf x xg g x

arctgx x

este derivabilă pe ..

c) Să se determine cel mai mare număr real a care are proprietatea 2ln , 0,f x a x x .

93. Se consideră funcţia 2

: , ( )1

xf f x

x

și : , ( )g g x arctgx . V58

a) Să se calculeze limx

f x g x

.

b) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f . c) Să se arate că , 0,f x g x x .

94. Se consideră funcţia 3: , ( )f f x x x . V59

a) Să se calculeze

lim

1x

f x

f x

b) Să se demonstreze că funcţia f este inversabilă.

c) Să se calculeze 1

3limx

f x

x

95. Se consideră funcţia 2: , ( ) 1f f x x . V60 a) Să se arate că mulțimea valorilor funcției f este 0,

b) Să se arate că dacă : , lng g x f x atunci 1 ,lf x x g x x .

c) Să se demonstreze că g x x ., pentru orice 0x , unde g este funcția definită la punctul

b).

96. Se consideră funcţia ln

, 1: 0, , ( ) 1

1 , 1

xx

f f x xx

. V61

a) Să se demonstreze că funcția f este continuă.

b) Să se calculeze

1

1lim

1x

f x

x

.

c) Să se arate că funcția f este strict descrescătoare.. 97. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră funcția : 0, , ( ) lnn

n nf f x x x .

V62 a) Să se arate că funcția 2f este strict crescătoare pe intervalul 0. .

b) Să se arate că , pentru orice *n , ecuația 0nf x are exact o rădăcină.reală în intervalul

1,1

e

.

c) Să se calculeze 1

2

3 1lim

1 1x f x x

.

98. Se consideră funcţia 2

,: , ( )

\

x xf f x

x

. V63

a) Să se arate că , 1,1f x x x

b) Să se arate că funcția f este continuă în origine. .

T R

A I A

N

19

c) Să se arate că funcția f nu este derivabilă în origine

99. Se consideră funcţia 2: , 2 0, , ( ) ln 1f f x

x

. V64

a) Să se arate că funcția f este concavă pe intervalul , 2

b) Să se calculeze limita șirului 1

1, 1 2 .... lnn nn

n na a f f f n

n

.

c) Să se arate că există un punct 1, 2c astfel încât 1 2lc f c f c f

100. Se consideră funcţia 2: , ( ) 1 1f f x x . V66

a) Să se calculeze derivata funcţiei pe intervalul 1,1 .

b) Să se determine ecuaţia asimptotei spre la graficul funcţiei f . c) Să se arate că funcţia 2: 0, ,g g x x f x este mărginită.

101. Se consideră funcţia 3 23: , ( )

2f f x x . V69

a) Să se studieze derivabilitatea funcţiei f în origine.

b) Să se arate că, pentru orice 0,k , există , 1c k k astfel încât 3

11f k f k

c .

c) Să se arate că şirul 1n na

,

3 3 3

1 l l...

1 2na f n

n , este strict descrescător.

102. Se defineşte funcţia 20 0: , ( ) xf f x e şi pentru fiecare *n se defineşte funcţia

'1: , ( )n n nf f x f x . V70

a) Să se arate că 23 8 ,xf x e x .

b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei nf .

c) Să se calculeze

1 2 1...

lim n

nn

f a f a f a

f a

, unde a este un număr real.

103. Se consideră funcţia 2 1

: \ 1 , ( )1

x xf f x

x

. V72

a) Să se determine ecuaţia asimptotei spre la graficul funcţiei f . b) Să se calculeze ' , \ 1f x x .

c) Să se demonstreze că funcţia f este concavă pe intervalul , 1 .

104. Fie a şi funcţia 2

2: \ 1,1 , ( )

1

x x af f x

x

. V73

a) Să se calculeze limx

xf x

.

b) Să se determine valoarea numărului a ştiind că 3 este punct de extrem local al funcţiei f. c) Să se determine valoarea numărului a ştiind că graficul funcţiei f are exact o asimptotă

verticală.

105. Se consideră funcţia 2: 2, 2 , ( ) ln

2

xf f x

x

. V74

a) Să se determine ecuaţiile asimptotelor la graficul funcţiei f. b) Să se studieze monotonia funcţiei .

T R

A I A

N

20

c) Să se calculeze 1

limx

x fx

.

106. Se consideră , 1 și funcţia : 1, , ( ) 1f f x x x . V75

a) Să se studieze monotonia funcţiei . b) Să se demonstreze că 1 1 , 1, \ 0 , 1,x x x

c) Să se demonstreze că 2 2 2 , , 0,f x y f x f y x y .

107. Se consideră funcţia : 0, , ( ) lnf f x x x . V76

a) Să se arate că graficul funcţiei f nu admite asimptotă spre .

b) Să se arate că ecuaţia 0f x are o soluţie unică 0

1,1x

e

.

c) Să se demonstreze că funcţia 0

'0

0

1lim

x

x x

xef x

x x

, unde 0x este numărul definit la punctul b).

108. Se consideră funcţia 2 2: , ( ) 1 1f f x x x x x . V76- vechi a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre . b) Să se studieze monotonia funcţiei f.

c) Să se calculeze 1 2 ...

lim

n

n

f f f n

n

.

109. Se consideră o funcţie :f astfel încât ( ) 1 ,xxf x e x . V77 a) Să se determine ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x . b) Să se arate că funcţia f este continuă în 0 0 1x f

c) Să se arate că dacă funcţia f este continuă în 0x , atunci ea este derivabilă pe

110. Se consideră funcţia 3 3 2: , ( ) 3 4,f f x x x x . V78 a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre . b) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f. c) Să se calculeze lim 2

xx arctg f x

.

111. Se consideră funcţia 3: , ( ) 2 1xf f x e x . V79 a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0x , situat pe graficul

funcţiei f . b) Să se demonstreze că funcţia f este inversabilă. c) Să se calculeze 2lim 1 2 3 ...

nf f f f n n

.

112. Se consideră funcţia 2: , ( ) 1f f x x . V80 a) Să se studieze monotonia funcţiei .

b) Să se arate că 2 21 '' ' 1 ,x f x x f x x x .

c) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre .

113. Se consideră funcţia 1

*: , ( ) 1 xf f x x e

. V81

a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x , situat pe graficul funcţiei f .

b) Să se arate că funcţia admite două puncte de extrem . c) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre .

T R

A I A

N

21

114. Se consideră funcţia 1: \ 1 , ( )

1

xf f x x

x

. V83

a) Să se arate că dreapta de ecuaţie 1x este asimptotă verticală la graficul funcţiei f . b) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre . c) Să se studieze derivabilitatea funcţiei f .

115. Se consideră funcţia *: , ( )xe

f f xx

. V84

a) Să se studieze monotonia funcţiei . b) Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f . c) Să se calculeze 2lim 1

nn f n f n

.

116. Se consideră funcţia 1

*: , ( ) xf f x e . V85 a) Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f . b) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei f . c) Să se calculeze 2lim 1

xx f x f x

.

117. Se consideră funcţia 3

3

1: 1 , ( )

1

xf f x

x

. V86

a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0x , situat pe graficul funcţiei f .

b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f .

c) Să se calculeze 2

3lim 2 3 ...

2

n

nf f f n

.

118. Se consideră funcţia 2: , ( ) ln 1f f x x x . V87

a) Să arate că funcţia f este strict crescătoare . b) Să se studieze convergența șirului 1n n

x

definit prin 1 1x și *1 ,n nx f x n .

c) Să se demonstreze că 1 1 ,f x f x x .

119. Pentru fiecare 0a se consideră funcţia 1: 0, , ( ) ln 1a af f x x a

x

. V89

a) Să se calculeze ' , 0af x x

b) Să se determine a astfel încât af să fie convexă .

c) Să se arate că graficul funcţiei af admite asimptotă spre .

120. Se consideră funcţiile *: 0, , ( ) ln ,nn nf f x x x n . V90

a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei 1f

b) Să se demonstreze că funcţiile 1: 0, , ( ) ( ) ( )n n n ng g x f x f

x sunt convexe.

c) Admitem că ecuaţia ( ) 2nnf x are soluţia unică nx . Să se arate că şirul 1n n

x

converge la 2.

121. Se consideră funcţia3

2

2: , ( ) .

1

xf f x

x

V91

a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre . b) Să se arate că funcţia f este inversabilă.

T R

A I A

N

22

c) Să se calculeze 1

lim x x

xf e

.

122. Se consideră funcţia : 1, , ( ) ln lnf f x x V92

a) Să se determine ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x e , situat pe graficul funcţiei f .

b) Să se demonstreze că funcţia f este concavă.

c) Să se calculeze

1

limx

f x f x

f x

.

123. Pentru fiecare t , se consideră funcţia 3 2: , ( )t tf f x x t x . V93

a) Să se calculeze ,ltf x x .

b) Să se demonstreze că fiecare funcţie tf este inversabilă.

c) Să se arate că funcţia 1: , ( ) 1tg g t f este continuă în punctul 0.

124. Se consideră funcţiile 1 *: 0, , ( ) 2 ,nn nf f x x n x n n . V94

a) Să se arate că graficele funcţiilor nf nu admit asimptotă spre .

b) Să se arate că, pentru oricare *n , nf are exact un punct de extrem nx .

c) Să se calculeze 2

lim nnn

x

, unde nx este definit la punctul b).

125. Se consideră funcţia : , ( )f f x arctgx şi

2

1: , ( ) 1

1g g x f x f x f

x x

. V95

a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre . b) Să se arate că 0g x .

c) Să se calculeze 2 2 2 2

1 1 1 1lim ...

1 1 1 1 2 2 1 3 3 1narctg arctg arctg arctg

n n

.

126. Fie mulţimea \ 1, 2,3,..., 2009A şi funcţia : ,f A

1 1 1 1( ) ...

1 2 3 2009f x

x x x x

. V96

a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f .

b) Ştiind *a , să se determine numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei f x a .

c) Să se determine numărul punctelor de inflexiune ale graficului funcţiei f . 127. Se consideră funcţia : , ( )f f x arctgx . V97

a) Arătaţi că funcţia f este concavă pe intervalul 0, .

b) Să se calculeze 2lim 1x

x f x f x

.

c) Să se rezolve inecuația 3

,3

xf x x x .

128. Pentru fiecare , 2n n se definește funcţia : 0, , ( ) 1nn nf f x x nx . V98

a) Să se arate că, pentru fiecare , 2n n , funcţia nf este convexă .

b) Să se arate că, pentru fiecare , 2n n , ecuația 0nf x are soluție unică.

c) Să se calculeze lim nnx

, unde nx este unica soluție a ecuației 0nf x

T R

A I A

N

23

129. Se consideră funcţia 3 3 2 3 3: , ( ) 3 2 1 1f f x x x x x x . V99 a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0x , situat pe graficul

funcţiei f . b) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre .

c) Să se calculeze 1 2 ...

lim

n

n

f f f n

n

.

130. Se consideră funcţia 3 2: , ( ) xf f x e x x x . V100 a) Arătaţi că funcţia f este strict crescătoare pe . b) Să se demonstreze că funcţia f este inversabilă.

c) Să se calculeze 1

limlnx

f x

x

.

131. Se consideră funcţia : , ( ) 1 ,nxf f x e nx n . V100 vechi a) Arătaţi că funcţia f este strict crescătoare. b) Să se demonstreze că funcţia f este inversabilă. c) Să se calculeze derivata inversei funcției f în punctul 2.

132. Se consideră funcţia 2: , ( ) 1 2f f x x x . Bac2010 a) Arătaţi că funcţia f este strict crescătoare pe . b) Determinaţi ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre . c) Arătaţi că funcţia f este concavă pe .

133. Se consideră funcţia : \ 1 , ( )1

xf f x arctg

x

. Bac2010

a) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre la graficul funcţiei f . b) Studiaţi monotonia funcţiei f. c) Determinaţi punctele de inflexiune ale funcţiei f

134. Se consideră funcţia 3 3: , ( ) 2 1 2 1f f x x x . Bac2010 a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0x , situat pe graficul

funcţiei f . b) Determinaţi ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre .

c) Să se calculeze

3 2

3

1 2 ...lim

2 1

n

n

f f f n

n

.

135. Se consideră funcţia 3 3: , ( ) 3 2f f x x x . Bac2010 a) Arătaţi că dreapta y x este asimptota oblică a graficului funcţiei f spre . b) Studiaţi derivabilitatea funcţiei f în punctul 2x .

c) Să se calculeze ln

limlnx

f x

x.

136. Se consideră funcţia : , ( ) 2 3 4 5 1f f x x x x x Bac2011 model

a) Calculaţi 5lf .

b) Calculaţi

1 1lim

1

n

n

f n

f n

.

c) Arătaţi că ecuaţia 0lf x are exact trei soluţii reale distincte.

T R

A I A

N

24

137. Se consideră funcţia : 1, , ( ) ln 1 ln 1f f x x x . Bac1 2011 var5 v

a) Arătaţi că funcţia f este strict descrescătoare pe 1, .

b) Să se determine ecuaţiile asimptotelor la graficul funcţiei f. c) Să se calculeze lim

xx f x

.

138. Se consideră funcţia 5: , ( ) 5 4f f x x x . Bac1 2011 var2 t

a) Calculaţi

2

2lim

2x

f x f

x

.

b) Arătaţi că graficul funcţiei f are un punct de inflexiune. c) Arătaţi că, pentru orice 0,8m ecuaţia f x m are exact trei soluţii reale distincte.

139. Se consideră funcţia 3 2: , ( ) 3xf f x x x x . Bac2 2011 var2 t a) Calculaţi 0lf .

b) Arătaţi că funcţia f este crescătoare pe . c) Arătaţi că 3 2 3 2 3 3b aa a a b b b oricare ar fi numerele reale , ;a b a b .

140. Se consideră funcţia 1: 1, , ( ) xf f x e

x . Bac2 2011 var5 v

a) Calculaţi

2

2lim

2x

f x f

x

.

b) Arătaţi că 0f x oricare ar fi 1,x .

c) Să se arate că graficul funcţiei f nu admite asimptotă spre 141. Se consideră funcţia 3: , ( ) 3 2f f x x x . Bac1 2012 model

a) Calculaţi

limx

f x

f x .

b) Demonstrați că funcția f este descrescătoare pe intervalul 1,1

c) Determinați m pentru care ecuaţia f x m are trei soluţii reale distincte.

142. Se consideră funcţia : 0, , ( ) 1 lnf f x x x . Bac1 2012 simulare

a) Calculaţi derivata funcției f . b) Demonstrați că graficul funcţiei f admite o singură asimptotă . c) Demonstrați că 2 1 , 1f x x x .

143. Se consideră funcţia : , ( )2

x xe ef f x

. Bac1 2012 olimpici

a) Calculaţi

limx

x

f x

b) Demonstrați că funcţia f este convexă pe . c) Arătați că funcția : 0, , ( )g g x f x este strict crescătoare pe 0, .

144. Se consideră funcţia 3: , ( ) 12f f x x x . Bac1 2012 vara a) Arătați că funcția f este crescătoare pe intervalul 2,

b) Calculaţi

limx

x

e

f x.

T R

A I A

N

25

c) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care ecuaţia f x a are trei soluţii

reale distincte.

145. Se consideră funcţia 2: 0, , ( ) 1f f x x x . Bac1 2012 toamnă

a) Calculaţi

0

1limx

f x

x

.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre la graficul funcţiei f . c) Demonstrați că pentru orice număr real 0m , ecuaţia f x m are soluţie unică în .

146. Se consideră funcţia : , ( ) xf f x e x . Bac1 2013 model a) Calculaţi 0lf .

b) Arătați că, pentru fiecare număr natural 2n , ecuaţia f x n are exact o soluție în

intervalul 0,

c) Fie nx unica soluție din intervalul 0, a ecuaţiei f x n , unde n este număr natural și

2n . Arătați că lim nnx

147. Se consideră funcţia : , ( ) xf f x e x . Bac1 2013 simulare 1 a) Să se determine punctul în care tangenta la graficul funcției f este paralelă cu prima bisectoare b) Arătați că 1 ,f x x

c) Să se studieze derivabilitatea funcției : , 1g g x f x în punctul 0 0x

148. Fie a şi funcţia 2

2: \ 1,1 , ( )

1

x x af f x

x

. Bac1 2013 simulare 2

a) Să se calculeze limx

xf x

.

b) Să se determine valoarea numărului a ştiind că 3 este punct de extrem local al funcţiei f. c) Să se determine valoarea numărului a ştiind că graficul funcţiei f are exact o asimptotă

verticală.

149. Se consideră funcţia 1: 1,1 , ( ) ln

1

xf f x

x

. Bac olimpici 2013

a) Calculaţi lf x .

b) Verificați dacă funcția f este descrescătoare pe intervalul 1,1

c) Determinați punctele de inflexiune a funcției f


Recommended