MUNTEAN ADELIA MARIA - bibliotecascolara.ro · Rezolvarea de probleme, şi în mod deosebit...

MUNTEAN ADELIA MARIA

Valenţe formative

ale activităţii de rezolvare şi

compunere de probleme

în direcţia cultivării creativităţii

elevilor

Editura Sfântul Ierarh Nicolae

2010

ISBN 978-606-577-114-7

Coordonator ştiinţific,

Conf. Dr. LUCIA CĂBULEA

CUPRINS

Rezumat .........................................................................................................................1

Introducere ............................................................................................... ...................3

CAPITOLUL I: Rolul şi importanţa predării matematicii în contextul celorlalte

arii curriculare de învăţământ.....................................................................................5

I.1 Locul şi rolul matematicii în şcoală.............................................................. 5

I.2 Sarcinile ce revin cadrelor didactice în scopul educării creativităţii elevilor

în procesul de învăţământ................................................................................... 6

I.3 Proiectarea didactică- latură împortantă a optimizării procesului de

învăţământ ..........................................................................................................8

CAPITOLUL II: Creativitatea-trăsătură a gândirii umane ..................................12

II.1 Conceptul de creativitate ...........................................................................12

II.2 Factorii creativităţii şi interrelaţia dintre ei ...............................................18

II.3 Stimularea creativităţii elevilor în ciclul primar ........................................20

CAPITOLUL III: Valenţe formative ale activităţii de rezolvare şi compunere de

probleme.......................................................................................................................23

III.1 Importanţa rezolvării şi compunerii problemelor......................................23

III.2 Noţiunea de problemă...............................................................................24

III.3 Clasificarea problemelor şi etapele de rezolvare a acestora .....................27

III.4 Strategii didactice folosite în procesul de rezolvare şi compunere de

probleme ........................................................................................................35

III.5 Utilizarea metodelor de învăţare activă …………………………………40

CAPITOLUL IV: Activitatea de compunere şi rezolvare a problemelor- cadru

optim de dezvoltare a capacităţilor creatoare ........................................................47

IV.1 Dezvoltarea flexibilităţii şi creativităţii gândirii elevilor din ciclul primar

prin rezolvarea şi compunerea de exerciţii………………………………...…47

IV.2 Cultivarea creativităţii elevilor în activitatea de rezolvare şi compunere

de probleme.......................................................................................................71

IV.3 Dezvoltarea gândirii creative prin rezolvarea de probleme tipice ............75

IV.4 Rolul revistelor de specialitate şi a culegerilor de probleme în scopul

dezvoltării gândirii creatoare ............................................................................82

CAPITOLUL V: Dezvoltarea creativităţilor elevilor prin rezolvarea şi

compunerea de probleme ( studiu experimental).....................................................73

V.1 Metoda experimentală şi particularităţile folosirii ei în învăţământul

primar………………………………………………………………………...84

Concluzii.....................................................................................................................100

Bibliografie ................................................................................................................101

1

REZUMAT

,,Copiii sunt creativi în mod natural şi doar aşteaptă atmosfera propice pentru a-şi

manifesta creativitatea’’(Gowan, Demos).

Activitatea de rezolvare şi compunere a problemelor oferă terenul cel mai fertil din

domeniul activităţilor matematice pentru cultivarea şi educarea creativităţii şi inventivităţii. În

clasele primare se formează noţiunile elementare, cu care omul va lucra pe tot parcursul vieţii,

noţiuni pe care se clădeşte întregul sistem de achiziţii imperios necesare.

Factorul esenţial în stimularea spiritului creator este cadrul didactic prin

caracteristicile personalităţii sale, prin conduita sa profesională, prin atitudinile manifestate în

clasă sau în afara ei faţă de personalitatea şi comportamentul copiilor. El asigură climatul

favorabil pentru exprimarea ideilor proprii, creează oportunităţi pentru autoînvăţare,

încurajează gândirea divergentă.

Creativitatea este cea mai înaltă formă de manifestare a conduitei umane care implică

antrenarea unei multitudini de factori subiectivi şi obiectivi în vederea producerii noului cu

finalitate socială, în plan concret sau abstract.

O condiţie fundamentală a creativităţii este inteligenţa, ea fiind una dintre cele mai

generale aptitudini umane şi un atribut al tuturor proceselor cognitive, având particularităţi

specifice. Inteligenţa este o condiţie necesară, dar nu şi suficientă a creativităţii. Realizarea

acţiunii de creaţie solicită fantezia, unele aptitudini speciale, implicarea factorilor

motivaţionali: curiozitate, interes pentru cunoaştere precum şi anumite trăsături ale

personalităţii. Creativitatea este combinată cu capacitatea gândirii umane de a găsi metode,

soliţii, idei noi.

La nivelul copiilor din ciclul primar, orice rezolvare de situaţii problematice constituie

în acelaşi timp o manifestare a creativităţii gândirii lor. Principala caracteristică a gândirii

creative la elevi este noutatea sau originalitatea soluţiei găsite, a ideii emise. Personal,

consider că în ciclul primar se formează premisele pentru dezvolatrea ulterioară a creativităţii.

Gândirea creatoare are nevoie de un material bogat cu care să opereze şi să faciliteze

generalizarea.

Rezolvarea de probleme, şi în mod deosebit compunerea de probleme matematice,

prezintă o mare importanţă pentru dezvoltarea flexibilităţii gândirii elevilor.

Deosebit de importantă în rezolvarea problemelor este înţelegerea structurii problemei

şi a logicii rezolvării ei. Elevul trebuie să cuprindă în sfera gândirii sale întregul ,,film’’ al

desfăşurării raţionamentului, etapele acestuia: analiza datelor problemei şi orientarea şirului

2

de judecăţi către rezolvarea problemei; esenţializarea rezolvării problemelor într-un exerciţiu

cu datele numerice ale acesteia, apoi cu simboluri, reprezintă modalităţi de exersare a gândirii

în generalizarea algoritmului de rezolvare a problemelor; elaborarea unei probleme cu text pe

baza unor scheme grafice reprezintă un efort de analiză şi sinteză logică a situaţiei date în

problema iniţială.

În scopul cultivării creativităţii în activitatea de rezolvare a problemelor, se folosesc

variate procedee: complicarea problemei prin introducerea de noi date sau prin modificarea

întrebării; rezolvarea prin mai multe procedee; scrierea rezolvării problemei printr-un

exerciţiu; transformarea şi compunerea din 2-3 probleme simple a uneia compuse şi invers;

compunere de probleme după exerciţii, cu început dat,etc.

Am căutat să folosesc modalităţi de rezolvare a problemelor astfel sistematizate prin

care elevii au ajuns să cunoască principiul general de rezolvare valabil pentru întreaga

categorie de probleme în care se încadrează o multitudine de probleme.

S-au rezolvat nu numai probleme independente ci şi categorii de probleme în care se

încadrau fiecare problemă rezolvată. Astfel, fiecare categorie a constituit obiect de studiu în

sensul că în activitatea de rezolvare a problemelor, elevii au fost ajutaţi să sesizeze structura

raţionamentului şi diversitatea problemelor care se pot constitui pe acea structură.

Stimularea creativităţii presupune favorizarea unui mediu de învăţare dinamic –

incitator, care să facă din elev un coparticipant la propria formare.

,,Una din cele mai importante premise ale creativităţii constă în disponibilitatea de a

relua totul de la capăt, de a considera că nimic nu este definitiv, că nici un proces nu este

încheiat o dată pentru totdeauna’’(E.Landan)

3

INTRODUCERE

Marele progres pe care l-a cunoscut şi îl cunoaşte ştiinţa, tehnica şi cultura impune o

pregătire cât mai riguroasă a viitorilor profesionişti, în aşa fel încât aceştia să facă faţă

cerinţelor mereu crescânde ale societăţii. În această postură, în faţa instituţiilor şcolare se

pune cu atât mai mult sarcina dezvoltării flexibilităţii şi creativităţii gândirii.

După Al.Roşca (,,Creativitate, modele, programe’’- Ed.Ştiinţifică, Bucureşti 1967)

,,principala componentă a gândirii creatoare este flexibilitatea prin care se înţelege

modificarea rapidă a gândirii când situaţia o cere, restructurarea cu uşurinţă a vechilor

legături corticale în conformitate cu cerinţele noii situaţii, pe bază de analiză şi sinteză,

realizarea transferului în rezolvarea problemelor,,.

Actualmente se motivează tot mai mult că fundamentul culturii moderne îl constituie

matematica, că indiferent de domeniul în care activează, omul nostru modern trebuie să

posede o bună pregătire matematică pentru a putea soluţiona multiplele şi variatele probleme

ale vieţii. Se ştie că gândirea se dezvoltă în mare măsură prin matematică şi că ea a stat

întotdeauna la baza progresului constituind impulsul dinamicii sociale. Contemporaneitatea

are nevoie de gândire, critică, divergenţă, gândire originală şi creatoare.

Învăţământul primar nu este nivelul la care se predau cunoştinţele elementare, cum se

consideră de obicei, ci nivelul însuşirii cunoştinţelor de bază pe care se clădesc restul

cunoştinţelor.

Aplicarea noului Curricul-um Naţional oferă învăţătorului posibilitatea de a se

desprinde definitiv de modelul uniform şi rigid al perioadei de dinainte. Proporţiile ariilor

curriculare şi ale disciplinelor în planul cadru de învăţământ sunt stabilite în funcţie de

ciclurile curriculare astfel încât clasele I-II sunt definite ciclul achiziţiilor fundamentale.

Aceasta permite o mai bună consolidare a cunoştinţelor şi competenţelor asociate acestor

achiziţii: scrisul, cititul, socotitul, diminuându-se riscul eşecului şcolar cauzat de o prea slabă

formare a acestor competenţe fundamentale la începutul şcolarităţii.

Planul cadru propune o nouă viziune privind predarea–învăţarea în şcoală în

perspectivă interdisciplinară şi în perspectiva corelării între teorie şi practică. Este nevoie de

mai multă reflecţie asupra ceea ce este sau ar trebui să fie învăţarea şcolară; este nevoie ca

formele şi procedeele de evaluare să susţină evaluarea formativă; e necesară şi perfecţionarea

metodelor interactive la clasă prin utilizarea creativă a tuturor surselor şi resurselor de

învăţare aflate la dispoziţie.

Şcoala nu poate nici să ofere totul, nici să ceară totul de la elevi. Şcoala, ca loc ideal,

ar trebui să fie în zilele noastre acel spaţiu în care copiii se socializează în acord cu

4

standardele de convieţuire într-o societate democratică, învăţând în mod plăcut lucruri

serioase şi profunde, care îi ajută să se cunoască mai bine şi să înţeleagă lumea.

Pregătirea tehnică şi ştiinţifică a tinerei generaţii nu se poate face fără o viguroasă

fundamentare matematică. În acest scop m-am hotărât să privesc cu mai mult interes această

disciplină. În permanenţă am fost preocupată de găsirea acelor strategii de lucru care să-i

determine pe elevi să participe activ şi conştient la lecţii, să-şi formeze o plăcere faţă de

această disciplină, să-şi însuşească în mod conştient toate noţiunile matematice, să-şi dezvolte

în permanenţă gândirea creatoare pentru a putea aplica în practică cele învăţate.

În urma experienţei la clasă, precum şi în urma informării pedagogice, am căutat să

folosesc cât mai multe strategii activ participative ca: exerciţiul, învăţarea prin descoperire,

problematizarea, algoritmizarea, munca independentă, activitatea diferenţiată, toate acestea

ducând la o pregătire cât mai eficientă a elevului în domeniul matematicii.

Considerând că principalul factor psihic-cognitiv al creativităţii este flexibilitatea

gândirii, am urmărit să creez o ambianţă plăcută de muncă în timpul orei, să trezesc interesul

şi dorinţa elevilor de a participa activ în rezolvarea exerciţiilor şi problemelor atât în munca

directă cât şi în munca independentă.

Am considerat ca o latură creativă şi gândirea acelui elev care a găsit soluţia problemei

sau exerciţiului pe cale diferită decât cea din manual sau decât cea care a fost prezentată de

învăţător, deşi calea de rezolvare descoperită de către elev nu este nouă pentru ştiinţa

matematicii. Rezolvarea exerciţiilor şi a problemelor prevăzute de programă precum şi

exerciţiile şi problemele nonstandard mi-au dat posibilitatea să urmăresc permanent gradul de

operaţionalizare al gândirii, a flexibilităţii şi mobilităţii ei.

Prin predarea şi învăţarea cunoştinţelor matematice am reuşit să formez la elevi

priceperi şi deprinderi de calcul oral şi scris, deprinderi de a rezolva şi compune probleme

după exemplul dat contribuind astfel la dezvoltarea capacităţilor mintale, la educarea

creativităţii elevilor.

Privind din acest unghi predarea şi învăţarea matematicii m-am hotărât să mă opresc

asupra acestui subiect în întocmirea lucrării.

5

CAPITOLUL I

ROLUL ŞI IMPORTANŢA PREDĂRII MATEMATICE ÎN CONTEXTUL CELORLALTE ARII CURRICULARE DE ÎNVĂŢĂMÂNT

LOCUL ŞI ROLUL MATEMATICII ÎN ŞCOALĂ

În perioada actuală, omenirea traversează o revoluţie ştiinţifico-tehnică, ca urmare a

exploziei ştiinţei şi tehnicii, care modifică vertiginos modul şi mijloacele noastre de viaţă

cotidiană, punându-ne în faţa unei multitudini de obiecte şi instrumente, maşini, instalaţii

tehnice, de mijloace şi forme de energie şi de transmitere de energie şi a informaţiei.

În această postură societatea nu se mai poate dispensa de învăţământ, nu mai poate

funcţiona fără a folosi pregătirea tuturor membrilor ei prin învăţământ la diverse nivele,

tendinţa fiind vizibil, de a se ridica întreaga masă a popoarelor la un nivel de instruire cât mai

ridicat. Învăţământul a căpătat o funcţie socială cu atât mai importantă cu cât stadiul de

dezvoltare al unui popor este mai înalt.

În ceea ce priveşte matematica, ramură venerabilă prin apariţia ei timpurie în viaţa

omenirii, tulburătoare prin rădăcinile ei concrete în necesităţi străvechi ale vieţii sociale,

aceasta a ştiut să se înalţe printr-un proces natural şi intim legat de actul cunoaşterii ştiinţifice,

prin clasificare, de la particular la general, de la concret la abstract, atingând chiar în

antichitate culmi la care nici o altă ramură nu putea respira.

Evoluţia rapidă a matematicii a dus-o de la calitatea de ştiinţă a formelor spaţiale şi ale

raporturilor cantitative ale lumii reale la un conţinut şi o orientare mai vastă, care o

caracterizează, în stadiul ei actual de dezvoltare, ca ştiinţă a structurilor. Astfel, matematica,

văzută prin prisma modelării, apare ca o furnizoare de modele şi limbaje ale realităţii.

Actualmente, necesitatea învăţământului matematic a devenit atât de necesară încât

aproape că nu mai există profesiune în care aceasta să nu figureze ca un factor important în

pregătirea viitorilor specialişti. Aria acoperită de aplicaţiile matematice s-a lărgit continuu ca

o irigaţie fertilă terenuri nebănuite până în prezent, că ar putea primi fluxul fertilizat al

gândirii matematice.

Despre importanţa studiului învăţării matematicii sau atracţia pe care o prezintă

aceasta, puterea de penetraţie şi iradiere a raţionamentului matematic în straturile intime, în

străfundurile adânci ale alcătuirii lumii nu se mai indoieşte nimeni.

Matematica românească a fost şi este prezentă la toate marile cuceriri ale gândirii

ştiinţifice prin contribuţii directe ale marilor matematicieni: Spiru Haret, Octav Onicescu,

Ghe.Mihoc, Traian Lalescu, Ghe.Ţiţeica, Grigore Moisil,etc. Prin înaltul său grad de

6

generalizare şi abstractizare, prin capacitatea de sinteză a esenţelor şi de exprimare a lor cu

ajutorul simbolurilor, dobândeşte tot mai mult atributele pluridisciplinarităţii.

Prin problematica diversă şi complexă care-i formează obiectul, prin solicitările la care

obligă pe elev, prin metodologia extrem de bogată pe care o propune, prin antrenarea şi

stimularea tuturor forţelor intelectuale, psihice şi fizice ale elevilor, matematica contribuie la

dezvoltarea personalităţii umane şi la perfecţionarea structurilor cognitive şi a metodelor de

cunoaştere a lumii precum şi la diversificarea căilor de acţiune a omului în natură şi societate.

Este obiectul de învăţământ care acţionează asupra tuturor trăsăturilor definitorii ale

gândirii moderne: practică, globală, probalistică, modelatoare operatoare, pluridisciplinară,

prospectivă,etc.

De aceea matematica are un rol deosebit în dezvoltarea intelectuală a omului.

Înglobată în îndeplinirea obiectivelor fundamentale ale fiecărei etape de şcolaritate,

matematica îndeplineşte şi funcţii umaniste, contribuie la autoperfecţionarea omului.

Şcoala are obligaţia, aşadar, să facă din studiul matematicii, nu un scop în sine, ci un

instrument de acţiune eficientă, constructivă şi modelatoare asupra personalităţii elevului. Prin

inremediul matematicii, elevul trebuie să ajungă la descoperirea existentului, dar şi să

formuleze şi să prefigureze stări esenţiale în perspectiva devenirii universale şi eterne a lumii.

SARCINILE CE REVIN CADRELOR DIDACTICE

ÎN SCOPUL EDUCĂRII CREATIVITĂŢII ELEVILOR ÎN PROCESUL DE

ÎNVĂŢĂMÂNT

În societatea contemporană, problema formării omului ca subiect creator, capătă o

importanţă considerabilă, iar primii paşi în făurirea acestui profil îi revine dascălului care

îndrumă activitatea copilului spre o devenire adecvată. Învăţătorului îi revine importanta

misiune ca, în procesul instructiv- educativ, să dezvolte, să valorifice toate resursele de

creativitate de care dispune fiecare şcolar.

Creativitatea a devenit astăzi un indicator în mai multe domenii de activitate, un

indiciu al calităţii activităţii în diferite profesiuni, de aceea educarea ei trebuie să stea în

atenţia fiecărui cadru didactic. În ciclul primar şi gimnazial, elevul trebuie să-şi însuşească

cunoştinţele de bază pe care apoi le îmbogăţeşte permanent.

Ceea ce este important e că învăţătorul trebuie să-i trezească elevului setea de

cunoaştere, de a şti cât mai mult, punând bazele unei gândiri creative, ajutându-l pe elev să

cunoască prin propria experienţă cum să învingă dificultăţile în pătrunderea tainelor

matematicii.

7

Sarcina educatorului din şcoală, cu nuanţă democratică, revine la a educa tânăra

generaţie în spiritul moral sănătos, al pasiunii pentru tot ceea ce este nou şi valoros în cultură

şi ştiinţă. În prisma acestei sarcini deosebit de importante, se impune un învăţământ activ,

capabil să răspundă nevoilor sociale şi dezvoltării capacităţilor intelectuale ale elevilor. O

importantă sarcină ce ne revine nouă este de a depune noi eforturi pentru a ridica şi mai mult

nivelul calitativ al învăţământului din ţara noastră.

Dacă învăţământul tradiţional- modern tinde să formeze o serie de mecanisme de

calcul, cu preţul unui efort susţinut, matematica modernă, deşi aparent, pledează pentru un

învăţământ abstract, cere să fie abordată într-un mod cu totul nou, creativ, legat de o

aplicabilitate practică.

Calitatea învăţământului matematic, ridicarea ei, este o preocupare majoră, a tuturor

cadrelor didactice, preocupare cerută de contextul modernizării predării matematicii actuale şi

mai ales a modernizării învăţământului matematic. Cercetările experimentale au condus la

ideea că cele trei structuri fundamentale ale matematicii: algebrice, de ordine şi topologice

corespund structurilor elementare ale inteligenţei umane, prin urmare didactica

învăţământului matematic trebuie să se bazeze tocmai pe organizarea progresivă a acestor

structuri operatorii.

O structură asupra ideilor călăuzitoare în predarea matematicii ne permite să distingem

trei tendinţe principale determinate de preponderenţa unora sau altora din factorii procesului

de învăţare:

a) Învăţământul verbal, care acordă o importanţă primordială cuvintelor, simbolurilor,

ele se manifestă sub aspectul învăţământului mecanic, cu accent deosebit pe formarea

mecanismelor de calcul, fie sub aspect formal, bazat pe aplicarea mecanică a regulilor

şi teoremelor;

b) Învăţământul intuitiv, care are în vedere cunoaşterea primelor calcule aritmetice şi de

geometrie prin contactul direct cu obiectele sau imaginile acestora, fără a face apel la

raţionametul matematic riguros; acest învăţământ, deşi aplicat în primul stadiu al său,

mai târziu devine o piedică în dezvoltarea intelectuală;

c) Învăţământul prin acţiune, care acordă un rol mai dinamic intuiţiei, punând accent pe

caţiunea copilului asupra obiectelor, folosirea materialului didactic conduce mai rapid

şi mai eficient la formarea percepţiilor, grăbind astfel formarea structurilor operatorii

ale gândirii.

Pentru atingerea acestora este necesar să depăşim, la toate nivelele, preocupările

excesive de deprindere a copiilor cu tehnica de calcul, a rezolvării de probleme, a memorării

logaritmilor şi aplicării lor în situaţii mai mult sau mai puţin asemănătoare, în folosul

8

flexibilităţii gândirii, subtilizării ei, accelerării procesului de ridicare a gândirii de la concret

la abstract, a capacităţii ei de surprindere şi exprimare a esenţelor, de utilizare a limbajului

matematic în tot procesul de cunoaştere.

Instituţia şcolară are menirea de a-i învăţa pe elevi cum să rezolve probleme, să

construiască probleme, să elaboreze probleme, punând accent pe originalitate. Să căutăm să-l

deprindem pe elev să găsească şi alte căi şi modalităţi de rezolvare a problemelor, să-l facem

să înţeleagă că la aceleaşi rezultate se poate ajunge pe mai multe căi, însă numai una dintre ele

este mai economică din punct de vedere al consumului de energie.

În condiţiile unei predări moderne a matematicii, în ciclul primar apar unele probleme

fie de pregătire a învăţământului, fie de organizare, de conţinut, de tehnologia didactică cum

ar fi:

- Pregătirea permanentă a învăţătorului în vederea predării matematicii;

- Însuşirea de către factorul educaţional, a unor noţiuni fundamentale de didactică, de

psihologie a învăţării, noţiuni fundamentale de logică, de informatică, de teorie a

mulţimilor, a relaţiilor, a celor mai importante structuri algebrice, a elementelor de

aritmetică şi teoria numerelor;

- Însuşirea şi aplicarea unor strategii didactice moderne în predarea matematicii ţinând

cont de particularităţile de vârstă şi individuale ale copilului şcolar;

- O proiectare didactică bună, adecvată tuturor cerinţelor didactice;

Factorul educaţional trebuie să devină cunoscător dar şi cercetător în ramura

matematicii. Acest lucru, după ce-l deprinde şi- l cunoaşte bine, trebuie să- l deprindă şi pe

elev de a- l face. Un rol important îl are preocuparea pentru perfecţionarea bazei didactice

necesare şcolii în vederea progresului în pregătirea la matematică a elevilor.

PROIECTAREA DIDACTICĂ,

COMPONENTĂ A OPTIMIZĂRII PROCESULUI DE ÎNVĂŢĂMÂNT

Un obiectiv important al politicii şcolare este ridicarea calităţii, perfecţionarea şi

modernizarea învăţământului. Realizarea sa concretă se particularizează în raport cu cerinţele

fiecărei etape de dezvoltare. Un aspect important al procesului de învăţământ îl constituie

proiectarea pedagogică care are drept scop optimizarea învăţării şi creşterea gradului de

participare a elevilor la propria instruire. Este o activitate de conducere ştiinţifică a procesului

de învăţământ, de planificare, organizare, dirijare şi control al modalităţilor prin care elevii

asimilează, dobândesc, reproduc şi produc cunoştinţe.

În elaborarea unui proiect didactic, factorul educaţional trebuie să ţină seama de cele

9

patru etape ale proiectării didactice care se rezumă la cele patru întrebări:

1. Ce voi face? Răspund precizând obiectivele operaţionale.

2. Cu ce voi face? Răspunsul este analiza resurselor educaţionale de care dispunem,

calitatea materialului uman de care dispunem şi alegerea strategiilor didactice cele mai

adecvate.

3. Cum voi face? Răspunsul se referă la:

-alegerea strategiei educaţionale potrivite pentru realizarea obiectivelor;

-selectarea mijloacelor de instruire de care avem nevoie;

-combinarea strategiilor didactice, a materialelor, a mijloacelor, mărirea eficacitpţii;

-notarea în amănunte a scenariului activităţii;

4. Cum voi şti dacă s-a realizat ceea ce mi-am propus? Răspunsul se va obţine evaluând.

Se ştie că o noutate apărută în teoria educaţiei şi a practicii şcolare este concepută de

tehnologia didactică ce cuprinde: proiectarea, organizarea, alegerea mijloacelor, tehnicilor,

formelor de desfăşurare a activităţii şi evaluarea rezultatelor.

Esenţa proiectării didactice o constituie precizarea unor elemente de conţinut ca:

- obiectivele pedagogice;

- resursele didactice ( strategii şi mijloace);

- strategia didactică;

- modalitatea de evaluare.

Informaţiile preliminare pe care trebuie să le luăm în considerare se referă la:

- conţinutul curriculum-ului naţional şi al manualului;

- particularităţile psiho-pedagogice ale elevilor şi nivelul lor de pregătire;

- condiţiile concrete de desfăşurare a procesului de învăţământ.

Obiectivele educaţionale şi operaţionale sunt termeni mult folosiţi şi se cere o

cunoaştere corectă a conţinutului lor.

În general, obiectivele educaţionale sunt intenţionalităţi ale acţiunii procesului

instructiv-educativ concretizat în tipuri de schimbări urmărite ale personalităţii umane,

schimbări care se vor produce în procesul de învăţare ( achiziţie).

Din punct de vedere al generalităţii lor s-au adoptat trei nivele de formulare a

obiectivelor:

Obiective cadru ale educaţiei, care sunt obiective cu un grad înalt de generalitate şi de

complexitate. În calitatea lor de dominante disciplinare ele se referă la formarea unor

capacităţi şi atitudini specifice disciplinei şi sunt urmărite de-a lungul mai multor ani de

studiu.

Obiective de referinţă, care specifică rezultatele aşteptate ale învăţării pe fiecare an de

10

studiu şi urmăresc progresia în achiziţia de competenţe şi de cunoştinţe de la un an de studiu

la altul.

Obiective operaţionale, care sunt concrete, ele exprimă comportamente observabile şi

măsurabile; ele devin ceea ce ne aşteptăm să apară, să se formeze şi să se achiziţioneze la

elevi ca rezultat al învăţării. Obiectivele operaţionale se clasifică în:

a) cognitive, care vizează latura intelectuală, instructivă, informativă, formativă;

b) afectiv-voliţionale, care se referă la dezvoltarea convingerilor, sentimentelor,

voinţei, caracterului, gustului estetic;

c) psiho-motorii, ce vizează dezvoltarea unor aparate, organe, părţi ale corpului.

Un obiectiv operaţional trebuie să cuprindă o serie de indicaţii precise:

- să descrie acţiunea pe care o desfăşoară elevii;

- să precizeze situaţia în care are loc acţiunea respectivă;

- să descrie performanţa aşteptată din partea elevului;

- să arate ce tip de activitate umană este implicată.

Pentru a descrie corect şi complet un obiectiv operaţional trebuie să găsim verbe care

definesc acţiunea, verbe care identifică capacitatea sau volumul învăţat. Ex.: să efectueze, să

completeze, să scrie, să aleagă, să rezolve, să compare,etc.

Proiectarea impune învăţătorului operaţionalizarea obiectivelor pe care urmează să le

realizeze într-o secvenţă educaţională. L arândul său această operaţionalizare este un demers

analitic ce presupune exprimarea rezltatelor învăţării sub formă de manifestări

comportamentale observabile şi măsurabile, în acelaşi timp, aşa cum se prezintă ele la finele

acelei secvenţe educaţionale.

De felul cum agentul educaţional reuşeşte să îndrume şi să urmărească învăţarea elevilor,

depinde calitatea conducerii procesului didactic în predarea şi învăţarea matematicii, în

educarea creativităţii elevilor. Educaţia, instrucţia, învăţarea trebuie să fie utile şi rodnice

pentru personalitatea celui ce învaţă. Toată strategia didactică trebuie să fie îndreptată spre

acest scop şi, dacă acesta se realizează, atunci putem afirma că ea a fost bine concepută şi

aplicată.

Ceea ce se dobândeşte prin efort propriu şi prin învăţare creatoare are şanse mari de a se

întipări şi de a deveni operaţional, prin transfer, în alte situaţii de învăţare. Recurgerea la un

învăţământ de tip euristic, focalizarea puternică a procesului formativ pe dimensiunea

instrumentală a cunoaşterii, sunt direcţii impuse şi de principiul didactic ce stipulează

necesitatea asigurării legăturii dintre teorie şi practică.

,,În vederea realizării unui învăţământ euristic, pedagogia creativităţii recomandă în

special utilizarea metodei problematizării, a abordării euristice, a învăţării prin descoperire

11

şi cercetare; datorită valenţelor lor formative şi informative, acestea au fost ridicate chiar la

rang de principiu didactic’’(Miron Ionescu- ,,Demersuri creative în predare şi învăţare’’- Ed

Presa Universitară Clujeană, 2000, pag132).

Creativitatea, ca aptitudine a omului, în general şi a cadrelor didactice în special,

reprezintă pentru omenire o reală problemă, care necesită abordări multiple, dar în acelaşi

timp şi o mare speranţă. Trebuie ca fiecare dintre noi să încercăm să ne evaluăm cu maximă

responabilitate misiunea formativă pe care o deţinem şi să regândim relaţiile cu semenii şi

întreaga existenţă din perspectiva creativităţii.

12

CAPITOLUL II

CREATIVITATEA,

TRĂSĂTURĂ A GÂNDIRII UMANE

CONCEPTUL DE CREATIVITATE

Gândirea- factor cognitiv-intelectual al învăţării

În urma studiilor efectuate de oamenii de specialitate s-a dovedit că formele

cunoaşterii senzoriale,deşi necesare, singure nu sunt suficiente pentru a-i permite omului

cunoaşterea însuşirilor esenţiale ale obiectelor, fenomenelor, precum şi a relaţiilor intime

dintre acestea, a legilor fenomenelor.

Prin urmare, procesul cunoaşterii nu se opreşte la conţinutul informaţional asigurat de

nivelul senzorial. Ele se continuă şi se realizează la un nivel calitativ superior de reflectare a

realităţii, nivelul reflectării logico-abstracte, conceptuale, esenţiale a obiectelor şi

fenomenelor.

Această formă de reflectare este realizată de gândire prin noţiuni, judecăţi şi

raţionamente.

Gândirea este, deci, procesul psihic, specific uman de reflectare a însuşirilor generale

şi esenţiale ale obiectelor şi fenomenelor realităţii obiective precum şi a relaţiilor esenţiale

între ele. Gândirea este prin excelenţă o reflectare relaţională; funcţia gnoseologică a gândirii

constă în a surprinde esenţa fenomenelor, legile realităţii. Cunoaşterea acestora asigură

posibilitatea omului de a prevedea desfăşurarea lor, modificarea şi transformarea realităţii în

conformitate cu trebuinţele sale.

Cunoaşterea prin gândire este o cunoaştere generalizată, deoarece gândirea reflectă

ceea ce este general stabil, esenţial în obiecte şi fenomene, are un caracter simbolic, abstract.

Simbolurile sunt substitute ale obiectelor şi fenomenelor materiale, sunt forme

purtătoare de informaţii despre acestea.Simbolul poate fi un cuvânt, o cifră, o literă, un semn,

tot ce se poate constitui un cod de semnificaţii generalizate.

Gândirea, ca reflectare procesuală abstractă, se realizează prin următoarele operaţii

logice fundamentale: analiza, sinteza, comparaţia, abstractizarea, generalizarea, concretizarea,

clasificarea şi sistematizarea.

Analiza- presupune operaţia de descompunere mintală a obiectelor sau fenomenelor în

elementele lor componente.

13

Sinteza- este operaţia inversă analizei; ea constă în unificare mintală într-un tot unitar

al elementelor componente ale obiectivului sau fenomenului urmărit.

Comparaţia- constă în confruntarea şi evidenţierea, în stabilirea mintală a seriei de

asemănări şi deosebiri dintre obiecte şi/sau fenomene supuse confruntării.

Prin descoperirea a ceea ce este asemănător, comun, se descoperă, în fapt, însuşirile

generale şi esenţiale ale obiectelor şi fenomenelor şi totodată, neglijarea însuşirilor

neesenţiale.

Generalizarea- constă în operaţia de distribuire, de repartizare a obiectelor sau

fenomenelor în grupe sau subgrupe în funcţie de însuşirile comune şi esenţiale care le

diferenţiază.

Sistematizarea- este operaţia logică de normare, de organizare în sens ierarhic a

informaţiilor, obiectelor, fenomenelor în concepte şi sisteme de abstracţiuni, în specii, clase,

genuri, categorii.

Omul utilizează în procesul gândirii, nu noţiuni izolate, ci sisteme, lanţuri de noţiuni.

Legătura dintre noţiuni, care reflectă relaţiile obiective dintre ele, constituie judecata. Aceasta,

ca formă a cunoaşterii raţionale, a gândirii, reprezintă afirmarea sau negarea a ceva despre un

lucru, fenomen. Judecăţile legate între ele formează raţionamente.

Raţionamentul, ca formă a cunoaşterii logice, abstracte, constă în relaţia dintre două

sau mai multe judecăţi care, confruntate, duc la obţinerea unei judecăţi noi. Felul

raţionamentelor sunt: inductive, deductive sau prin analogie.

Inducţia reprezintă operaţia de obţinere, din câteva judecăţi particulare, a unei

judecăţi generale, iar deducţia este operaţia inversă şi anume trecerea de la general la

particular. Raţionamentele prin analogie se realizează pornind tot de la judecăţi particulare.

Înţelegerea este o formă a gândirii, de pătrundere, de descoperire a relaţiilor esenţiale

dintre obiectele şi fenomenele realităţii. Înţelegerea se realizează prin relaţionarea noilor

informaţii de cele anterioare şi includerea noilor date în sisteme de referinţă pe care elevul le

stăpâneşte.

În procesul de învăţământ, înţelegerea se manifestă în două moduri:

- prin cuvânt, prin expunerea orală a unei teme cu cuvinte proprii şi prin capacitatea elevului

de a da diferite exemple legate de această temă;

- prin acţiune, adică prin aplicare în practică a cunoştinţelor noi;

Calităţile gândirii creative sunt:

- lărgimea gândirii- capacitatea elevului de a cuprinde mintal un ansamblu mare de date,

acţiuni ce vor servi la rezolvarea problemelor;

- rapiditatea- care constă în rezolvarea imediată a problemei;

14

- flexibilitatea- presupune capacitatea elevului de a modifica, de a restructura uşor şi rapid,

eficient mersul gândirii, vechile sisteme de legătură în diverse situaţii care solicită acest lucru,

în capacitatea de a opera uşor, rapid, transferul în situaţii care solicită acest lucru, în

capacitatea de a opera uşor, rapid, transferul în situaţii variabile de a renunţa la vechile

strategii depăşite şi de a adopta altele noi;

- fluiditatea- este calitatea care exprimă bogăţia, uşurinţa şi rapiditatea cu care se realizează şi

se succed asociaţiile între imagini şi idei;

- ingeniozitatea- reprezintă putinţa elevului de a rezolva probleme inedit;

- originalitatea- reprezintă putinţa elevului de a produce imagini, idei, soluţii noi;

- criticismul( caracterul critic)- se manifestă în modul cu sunt apreciate anumite fapte,

rezolvarea diferitelor probleme;

- productivitatea- reprezintă capacitatea elevului de a materializa, de a concretiza diverse idei,

soluţii elaborate mintal.

Consider că este necesar să mă refer la gândire ca o formă superioară a cunoaşterii

umane, precum şi la operaţiile gândirii, calităţile ei în scopul de a motiva procesul educaţional

în formarea gândirii creative, de valenţele formative ale acesteia în acelaşi timp apare implicit

motivaţia alegerii acestei teme de rezolvare a problemelor.

În continuare voi analiza pe scurt conceptul de creativitate, natura ei, factorii

creativităţii precum şi interrelaţia factorilor creativităţii tot ca noţiuni şi relaţii fundamentale şi

esenţiale în prezenta lucrare. Mai întâi ma voi referi la procesul formării noţiunilor.

Noţiunile se însuşesc şi se formează în procesul dezvoltării istorice a societăţii

omeneşti şi se însuşesc în procesul dezvoltării individuale a omului.Însuşirea noţiunilor de

către individ se realizează pe două căi: activitate directă a oamenilor, tactul spontan empiric al

acestora cu date ale realităţii şi cealaltă în însuşirea ştiinţei prin intermediul disciplinelor de

învăţământ studiate în şcoală.

Individul acumulează zilnic experienţă ceea ce are ca rezultat, mai ales până la intrarea

copilului în şcoală, formarea unor noţiuni empirice numite preştiinţe. Noţiunile ştiinţifice se

formează în procesul de învăţământ prin studierea sistematică şi logică a diferitelor obiectelor

de învăţământ. Noţiunile ştiinţifice sistematizează informaţia necesară, utilă, detaşată net de

aspectele secundare ale lucrărilor.

Aceste noţiuni exprimă esenţialul şi generalul obiectelor şi fenomenelor realităţii.

Totuşi noţiunile empirice rămân fundamentale în procesul cunoaşterii.În geneza gândirii nu se

poate debuta cu noţiunile ştiinţifice, acestea trebuind anticipate şi pregătite operaţional prin

noţiunile empirice.

Noţiunile ştiinţifice se însuşesc fie urmând o cale dominant inductivă fie o cale

15

dominant deductivă. Conceptualizarea datelor realităţii se realizează pe parcursul acţiunii

individului cu obiectele şi fenomenele în procesul general al practicii sale sociale, cu obiectele

şi fenomenele realităţii.

Pornind de la principiul acţiunii ca principiu explicativ, J.Piaget (,, Psihologia

copilului’’ - Întreprinderea Poligrafică-Oradea-1974), formulează ,,teoria operaţională’’ sau

stadiată a gândirii, potrivit căreia activitatea intelectuală se dezvoltă treptat şi în etape prin

constituirea de scheme operative funcţionale care sunt legate de activitate. Fiecare stadiu

reprezintă o unitate relativ închegată cu un specific calitativ propriu fiecare stadiu reprezintă

un salt însemnat.

În dezvoltarea mintală a copilului, Piaget distinge:

- un intelect senzorio-motor (de la 0 la 2 ani) când copilul realizează numai acţiuni motorii;

- un intelect reflexiv;

Structura inteligenţei:

- preoperatorie:

- senzorio - motorie (0- 2 ani);

- preconceptuală (2- 4 ani);

- intuitivă (4- 6/7 ani);

- operatorie:

- concretă (6/7- 11/12 ani);

- formală (11/12- 14/16 ani);

Mă voi opri la stadiile care se referă la vârsta de pregătire a elevului pentru şcoală şi

cea a şcolii primare.

Gândirea intuitivă (4- 7 ani)

În această fază gândirea copilului nu s-a eliberat de percepţie, ea este predominant intuitivă,

este o gândire prin imagini. Gândirea intuitivă este, pe de o parte o gândire imagistică, iar pe

de altă parte, o acţiune executată în gând. În felul acesta se trece de la faza preconceptuală şi

se ajunge în pragul operaţiilor.

Gândirea concretă (7- 11 ani)

Este stadiul operaţiilor concrete, al acţiunilor mintale interiorizate, în care procesul gândirii

este logic dar nu este total disociat de datele concrete, generalizarea conceptuală completă

nefiind realizată. În această fază, copilul este capabil să compună operaţii mintale în prezenţa

obiectelor. Copilul poate să înţeleagă raporturile spaţiale şi temporale în mod obiectiv. El are

noţiunea de număr şi măsură.

Analiza diverselor teorii relevă că oricare ar fi procedeul didactic ales pentru formarea

noţiunilor ştiinţifice sunt necesare anumite momente şi verigi intelectuale conştiente pe care le

16

enumera A.Truincov Bogdan, psiholog român, în lucrarea sa ,,Psihologia generală şi

psihologia generală’’:

- familiarizarea activă cu obiectele şi fenomenele realităţii;

- desprinderea esenţialului de neesenţial pe baza desprinderii notelor principale de cele

secundare;

- formarea prin reguli, principii, legi ale aspectelor principale;

- includerea noţiunii în sistem, stabilirea raporturilor de asemănare, subordonare,

supraordonare;

- operarea practică cu noţiunea nouă, introducerea ei în rezolvarea de probleme,

generalizarea.

În psihologie, termenul de creativitate a fost introdus abia în deceniul al V-lea al

secolului nostru. Reprezentanţi de seamă ai şcolii româneşti de psihologie- cu deosebire

profesorul Al.Roşca de la Universitatea ,,Babeş-Bolyai’’ din Cluj-Napoca- a abordat cu mult

succes această temă.

Pentru a defini termenul de creativitate s-a pornit de la constatarea că orice individ

dispune de un potenţial creativ evident, în forme şi grade diferite. Caracteristic creativităţii

este calitatea ei de a produce şi de a descoperi noul, originalul măsurat prin distanţa dintre

noul produs ţi cel cunoscut şi uzual.

Conceptul de creativitate este complex şi este exprimat prin mai mulţi termeni:

fluiditate, originalitate, elaborare, capacitatea de a rezolva probleme, sensibilitatea la

implicaţii şi asociativitatea, intuiţie, profunzime intelectuală, capacitatea evoluativă şi de a

forma ipoteze.

Putem afirma despre un individ că are o gândire creatoare dacă respectivul ajunge să

descopere noi relaţii, noi rapoarte între obiectele fenomenele studiate, noi metode şi procedee

de investigaţie. Tot creatoare poate fi şi gândirea unei persoane care ajunge să descopere

lucruri deja cunoscute dar ajunge la ele pe o cale necunoscută până atunci.

În caracterizarea creativităţii accentul poate fi pus pe produsul creat sau pe procesul

creator. În situaţia în care accentul este pus pe persoană, creativitatea este definită fie ca o

caracteristică a performanţei personale, fie ca o capacitate de a inventa, de a descoperi sau

crea, deci de a realiza un produs nou, valoros.

Marele psiholog Al.Roşca în lucrarea sa ,,Creativitatea generală şi specifică’’afirmă că

unii autori definesc creativitatea ca fiind aptitudinea sau capacitatea de a produce ceva nou şi

de valoare. Pentru alţii creativitatea nu este aptitudine sau capacitate ci proces prin care se

realizează produsul. Pentru tot mai mulţi, creativitatea implică realizarea unui proces nou sau

original şi de valoare pentru societate.

17

Alţi psihologi cum ar fi: Sinon, Newel, consideră gândirea creatoare ca o formă aparte

a comportamentului, de rezolvare de probleme. Totodată afirmă că rezolvarea de probleme

este socotită creativă în măsura în care satisface următoarele condiţii:

- produsul gândirii reprezintă unitate şi valoare;

- gândirea cere modificarea sau respingerea ideilor concepute anterior;

- gândirea implică inovaţii.

În lucrarea pe care o elaborez urmăresc creativitatea manifestată de elev în şcoală la

orele de matematică.

Consider despre un elev că are o gândire creatoare, dacă acesta a reuşit să rezolve

problema de matematică pe o altă cale decât cea prezentată în manual sau de profesor. Spre

deosebire de alte domenii de activitate unde conceptul de creativitate exprimă produsul

realizat, în educaţie el se referă la procesul prin care se formează personalitatea creatoare. În

acest sens, învăţătorul are un rol foarte important în formarea unor elevi foarte creativi,

interesaţi pentru ceea ce este nou, capabili în viitor să contribuie la progresul social.

Prin urmare, învăţătorul trebuie să fie el însuşi creativ prin ideile lui, pregătirea lui

profesională, prin crearea de material didactic variat şi atractiv, originalitate în prezentarea

unor teme, informarea lui cu tot ceea ce apare nou şi la zi.

Procesul de învăţământ, având o activitate educativă bine organizată, oferă dascălilor

numeroase posibilităţi şi condiţii pentru educarea creativităţii elevilor. Dar nu orice activitate

desfăşurată de învăţător cu elevii poate contribui la stimularea spiritului creativ, ci numai

acelea care vizează originalitatea în munca didactică, bazate pe un conţinut deosebit, pe

strategii şi tehnici diferite, de stimulare a creativitaţii.

Învăţarea creatoare, după Ioan Nicola (,,Tratat de pedagogie şcolară’’- pag.147, Edit.

Aramis, 2000) ,,...se întâlneşte în toate situaţiile care se subsumează strategiei generale a

rezolvării de probleme’’.

Utilizarea celor învăţate în noi contexte ridică întotdeauna anumite obstacole care

urmează să fie depăşite.

,,Rezolvarea de probleme este uzual definită ca formulare de noi răspunsuri, mergând

de la simpla aplicare a unor reguli învăţate la crearea soluţiei’’(Ioan Nicola- ,,Tratat de

pedagogie şcolară’’- pag.147, Edit. Aramis, 2000).

Deducem de aici că gradul de implicare creatoare este diferit de la aplicarea unei

reguli la o situaţie asemănătoare până la crearea unei noi soluţii pentru o problemă dată.

Învăţarea creatoare presupune cu precădere acest din urmă aspect, descoperirea unei soluţii

originale pentru rezolvarea situaţiilor problematice. Ea intervine atunci când simpla aplicare a

unor răspunsuri automatizate sau algoritmi nu este suficientă pentru descoperirea soluţiei.

18

Mecanismul psihologic intern implicat în acest proces este prea puţin cunoscut. De

cele mai multe ori intervine operaţia de combinare într-o structură cognitivă nouă a regulilor

învăţate anterior. Acest fapt este genrat şi întreţinut de un fond motivaţional, stimulat din

exterior sau autostimulat. Prin acces de combinare a vechilor reguli în altele noi, omul rezolvă

probleme noi pentru el şi formează astfel mai multe capacităţi noi. Soluţiile sunt, deci,

originale sau creatoare doar pentru cei care învaţă şi nicidecum pentru cunoaşterea umană în

general.

,, Soluţia creatoare poate rezulta nu numai din combinarea unor reguli învăţate, ea

poate fi expresia unui transfer nespecific, a deschiderii pe care o oferă un principiu, un

concept general sau o idee relevantă pentru un ansamblu mai larg de situaţii.

Comportamentul creator include cu predilecţie asemenea strategii. De fapt, ele nici nu pot fi

predate în mod organizat, prin specificul lor se opun schematizării sau algoritmizării. Într-o

expresie mai mult metaforică decât ştiinţifică, ele izbucnesc în mod spontan şi aruncă o rază

de lumină asupra problemei, prin soluţia ce se întrezăreşte.’’( Ioan Nicola ,,Tratat de

pedagogie şcolară’’, Ed.Aramis, 2000).

FACTORII CREATIVITĂŢII ŞI INTERRELAŢIA DINTRE EI

Factorii care determină creativitatea sunt numeroşi şi variaţi. Ei pot fi clasificaţi astfel:

a) factori subiectivi:

- intelectuali: fluiditatea, flexibilitatea, originalitatea;

- nonintelectuali: motivaţionali, temperamentali, de caracter;

b) factori obiectivi:

- condiţii sociale;

- condiţii educative.

Componenta principală a gândirii este flexibilitatea prin care înţelegem modificarea

rapidă a mersului gândirii când situaţia o cere, restructurarea cu uşurinţă vechilor legături

corticale în raport cu cerinţele noii situaţii, pe bază de analiză şi sinteză, realizarea transferului

în rezolvarea unei probleme.

Opusul flexibilităţii este rigiditatea gândirii sau inerţia ei.

Fluiditatea exprimă bogăţia şi uşurinţa actualizării asociaţiilor şi desfăşurarea uşoară a

ideilor. Ea nu poate fi însă o componentă a creativităţii; dacă elementele asociative nu

exprimă şi un conţinut de idei. Este implicată atât în gândirea reproductivă, cât şi în gândirea

creatoare, pentru că indicatorul principal al fluidităţii este bogăţia şi uşurinţa asociaţiilor. De

exemplu, subiectului i se cere să scrie mai multe numere ce se pot forma cu un număr de

19

date; el trebuie să găsească mai multe obiecte ce aparţin unei clase date.

Originalitatea constă în capacitatea subiectului de a produce imagini, idei, soluţii noi

neuzuale, rare în raport statistic.

Unii autori mai introduc ca factori ai creativităţii: ingeniozitatea, criticismul (Hilgard),

productivitatea (Taylor).

Se ştie că gândirea operează pe baza informaţiei stocate prin procesul de memorare.

Gândirea creatoare are nevoie de material bogat cu care să opereze şi să faciliteze

generalizarea. O memorie bună, bine stocată şi organizată aduce o contribuţie indirectă şi de o

mare importanţă la realizarea unor performanţe creatoare. Învăţătorul are datoria să încurajeze

şi să ajute elevul pentru a dobândi cunoştinţe cât mai bogate cu care să opereze şi pe care să le

aplice în condiţii cât mai variate.

Pentru atingerea unor performanţe creatoare, pe lângă factorul intelectual, trebuie să

fie prezenţi şi factori nonintelectuali, cum ar fi, aptitudinile speciale pe lângă implicaţia unor

factori motivaţionali sau a unor însuşiri şi trăsături de personalitate.

Aptitudinile speciale sunt de mare importanţă în actul creaţiei, totuşi corelaţia între

inteligenţă şi aptitudini, este ridicată. Sunt persoane cu înzestrare intelectuală superioară dar şi

cu aptitudini speciale scăzute sau invers. Pentru a fi creativ într+un anumit domeniu de

activitate, trebuie să existe o corelaţie bună între factorul intelectual şi aptitudinile din acel

domeniu.

Mă voi opri pe scurt asupra rolului factorilor motivaţionali şi de personalitate, ca

factori nonintelectuali.

Prin motivaţii se înţelege tot ceea ce dezlănţuie, susţine şi orientează activitatea.

Motivaţia extrinsecă îşi are condiţii în surse exterioare învăţării, cum ar fi dorinţa de a

obţine o recompensă, ambiţia,etc.

Motivaţia intrisecă operează din interior, care se exprimă prin dorinţa de a cunoaşte,

având satisfacţia succesului propriu. În procesul de creaţie, motivaţia intrisecă este decisivă.

Trăsăturile de temperament şi caracter, care sunt şi aceştia factori nonintelectuali şi

nonaptitudinali, au o influenţă marcantă asupra creativităţii individului. Sensibilitatea faţă de

obiectul creaţiei, iniţiativa, tenacitatea şi atitudinea activă în faţa greutăţilor, încrederea în

forţele proprii au o mare importanţă în actul creaţiei.

Personalitatea creatoare este influenţată de mediul social în care trăieşte individul, de

mediul familial, ştiinţific, prieteni, colectivul de muncă,etc.

Toţi aceşti factori amintiţi pot duce la performanţe creatoare dacă activează simultan

în direcţia gradientului creativităţii. Nu este suficientă prezenţa unor factori intelectuali sau

aptitudinali dacă factorii motivaţionali sunt deficitari sau dacă lipsesc condiţiile sociale

20

educative minime. Pentru a putea vorbi de o performnaţă creatoare, combinaţia tuturor

factorilor trebuie să fie optimă, deci are un caracter dinamic, adică unii dintre ei putându-se

schimba în timp.

STIMULAREA CREATIVITĂŢII ELEVILOR DIN CICLUL PRIMAR

Învăţătorul are o sarcină importantă, că prin felul cum conduce activitatea de învăţare

a elevilor, să le stimuleze interesele de cunoaştere în declanşarea unei activităţi investigatoare

şi în orientarea ei spre obţinerea unor rezultate optime pe plan informaţional şi formativ.

În predarea matematicii, învăţământul trebuie să sesizeze mai mult capacitatea de a

forma noţiunile, decât facultatea de a le produce. Copilul se dezvoltă prin exerciţii şi

probleme pe care le face şi nu prin acelea care se fac în faţa lui.

Există o serie de trăsături care definesc personalitatea creatoare de vârstă şcolară. În

urma experienţei mele la catedră am ajuns la concluzia că prin orele de matematică putem

dezvolta următoarele însuşiri care pot facilita performanţele creatoare ale copilului de mai

târziu:

- flexibilitatea gândirii, care permite posibilitatea de a renunţa la algoritmii normali şi

de a îndrepta pe o altă direcţie de căutare, cu totul diferită;

- stimularea gândirii şi îndemnul învăţătorului adresat elevului de a găsi o altă cale de

rezolvare a problemei sau toate răspunsurile posibile;

- fluiditate sau capacitatea de a înşira într-un timp scurt a unui cât mai mare număr de

candidaţi; este o abilitate deosebit de însemnată în actul creaţiei deoarece una dintre

asociaţiile imediate, poate constitui rezolvarea ingenioasă a unei situaţii problematice.

Creativitatea, constă în capacitatea de a compune şi recompune din datele cunoscute, a

unor structuri şi sisteme de funcţionalităţi noi.

Dând elevilor scurte exerciţii individuale, în timp limitat, putem antrena fluiditatea

gândirii.

Gândirea divergentă, care nu înseamnă altceva decât găsirea mai multor răspunsuri la

aceeaşi întrebare, orientarea efortului la diferite nivele şi tipuri, este atât de importantă în

procesul creativ, încât unii nu mai vorbesc de pedagogia creativităţii, ci de pedagogia

divergenţei.

Dacă reuşim să dezvoltăm la elevi tipul divergent de gândire ca abilitate dar şi ca

atitudine constantă, putem spune că am obţinut succese în actul creaţiei.

Cu cât gama de strategii didactice este mai variată la clasele mici, cu atât modalităţile

de înclinare a acestor procedee sunt mai variate, cu atât potenţialul psihic devine mai viguros

21

şi mai bogat în posibilităţi de devenire. În activitatea la clasă pot fi incluse acele tehnici

didactice care antrenează cu precădere gândirea euristică.

Euristica orientează şi stimulează efortul de gândire al elevilor în direcţii divergente

contribuind astfel la dezvoltarea flexibilităţii gândirii.

Se consideră că la ora actuală, în şcoală, s-a format un curent de interes faţă de

învăţarea creativă şi dezvoltarea creativităţii la elevi, pornind de la ideea că nu se poate obţine

o calitate nouă în învăţământ folosind în continuare strategiile de învăţare tradiţionale. Astăzi

se pune problema unui învăţământ dominant formativ. Acumularea vertiginoasă de noi

cunoştinţe, determină nu numai creşterea calităţii acestora dar şi o primenire permanentă a

planurilor şi programelor de învăţământ.

Se pune accent tot mai mare pe găsirea modalităţilor optime de transmitere a

cunoştinţelor şi de transformare a acestora în capacităţi intelectuale, morale şi estetice, etc.

Pe treapta de învăţământ a claselor I- IV au loc cele mai intense procedee de

constituire a structurilor şi particularităţilor acestora care sunt determinate de natura şi

particularităţile acţiunii pedagogice ce se exercită asupra lor.

Lecţiile de matematică exercită o imensă influenţă formativă dacă tehnica didactică pe

care se sprijină exerciţiul euristic este folosită cu pricepere.

Aşa cum am spus, procedeele euristice au un rol prioritar, dar şi alte metode cum sunt:

problematizarea, algoritmizarea, activitatea de muncă independentă, etc.oferă posibilităţi

multiple. Folosind metode participativ active, gândirea elevului este solicitată sistematic şi

progresiv în direcţia formării unor capacităţi intelectuale de calitate. Un rol deosebit de

important îl are folosirea materialului didactic atât în faza de predare cât şi în faza de

consolidare şi evaluare. Chiar în cadrul exerciţiilor problematizate la clasele mici, mijloacele

intuitive trebuie să fie prezente acolo unde e cazul şi în momentul când acestea sunt necesare.

Referitor la această temă, în scopul stimulării şi cultivării creativităţii adică a gândirii,

inteligenţei, imaginaţiei elevilor în activitatea de compunere şi rezolvare a problemelor se pot

folosi o gamă variată de strategii didactice cum ar fi:

- complicarea problemei prin introducerea de noi date sau modificarea întrebării;

- rezolvarea problemei prin două sau mai multe procedee;

- scrierea rezolvării într-o singură expresie;

- alegerea celei mai scurte căi de rezolvare;

- determinarea schemei generale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-o

anumită categorie şi încadrarea unei probleme într-o anumită categorie;

- transformarea problemelor compuse în exerciţii, astfel încât ordinea operaţiilor să fie

în succesiunea judecăţilor şi a relaţiilor corespunzătoare conţinutului problemei;

22

- transformarea problemelor compuse în exerciţii cu paranteze care să indice ordinea

operaţiilor;

- transformarea şi compunerea din două-trei probleme simple, a uneia compuse.

Compunerea problemelor este una din modalităţile principale de dezvoltare şi

stimulare a gândirii independente şi originale, de educare şi cultivare a creativităţii. În toată

această activitate trebuie să se ţină seama de posibilităţile elevilor, prin sarcini gradate,

trecându-se treptat de la compunerea liberă la cea care trebuie să respecte anumite cerinţe care

vor fi din ce în ce mai restrictive.

În procesul educării creativităţii copilului şcolar, învăţătorul trebuie să aibă în vedere

atât stimularea factorilor intelectuali cât şi a factorilor nonintelectuali. Tot acest proces

depinde de o metodologie adecvată şi de o tehnică didactică corect aplicată la care se adaugă

creativitatea învăţătorului.

Aceasta se manifestă în următoarele condiţii:

- proiectarea activităţilor instructiv- educative;

- organizarea şi conducerea activităţilor didactice, respectiv realizarea activităţilor de

învăţare;

- desfăşurarea procesului de evaluare a randamentului şcolar al elevilor;

- reglarea demersurilor didactice proprii pe baza informaţiilor obţinute prin feed- back;

- realizarea de cercetări ştiinţifice teoretice şi practic aplicative în domeniul specialităţii

sale şi în cel al psihopedagogiei, introducerea şi valorificarea unora din rezultatele

acestor cercetări în practica şcolară curentă.

23

CAPITOLUL III

VALENŢELE FORMATIVE ALE ACTIVITĂŢII DE REZOLVARE ŞI

COMPUNERE A PROBLEMELOR

IMPORTANŢA REZOLVĂRII ŞI COMPUNERII PROBLEMELOR

Predarea şi rezolvarea problemelor la clasele I- IV reprezintă sarcina cea mai dificilă a

însuşirii matematicii, atât prin caracterul ei specific, cât şi prin funcţia pe care o exercită

asupra gândirii elevilor în scopul formării şi perfecţionării atât al algoritmilor de recunoaştere

cât şi al algoritmilor de calcul, dezvoltarea capacităţii elevilor de a gândi logic.

Se consideră că rezolvarea problemelor presupune o activitate extrem de complexă

având un caracter de analiză şi sinteză superioară. Această activitate complexă de rezolvare a

problemelor îmbină cunoştinţele însuşite anterior cu structura logică impusă de fiecrae

problemă şi aplicarea algoritmilor necesari rezolvării ei. Toate aceste faze se declanşează şi se

desfăşoară prin eforturi mintale creative şi inventive, uneori totul bazându-se pe un repertoriu

de cunoştinţe şi deprinderi matematice însuşite anterior.

Vasile Ştefănescu afirmă că rezolvarea şi compunerea problemelor în care elevul

îmbină şi numere exprimând relaţii între cantităţi, stimulează gândirea la o activitate internă şi

de creaţie.

Din punct de vedere instructiv, rezolvarea problemelor constituie aplicarea

cunoştinţelor dobândite în legătură cu operaţiile aritmetice şi proprietăţile lor, consolidarea şi

aprofundarea acestor cunoştinţe. Valoarea formativă a rezolvării problemelor sporeşte pentru

că participarea şi mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară

altor demersuri, elevii fiind puşi în situaţia de a descoperi ei înşişi modalităţile de rezolvare şi

soluţia, să formuleze ipoteze şi apoi să le verifice, să facă asociaţii de idei şi corelaţii inedite

etc. Se poate considera că activitatea de rezolvare a problemelor este cel mai potrivit mijloc

pentru realizarea sarcinilor pe care le urmăreşte matematica pentru stimularea creativităţii.

Prin rezolvarea de probleme, formăm la elevi priceperi şi deprinderi de a analiza

situaţia dată în problemă, de a intui şi de a descoperi calea prin care se obţine răspunsul

întrebării problemei. În acest mod, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea şi

dezvoltarea capacităţilor creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilităţii, la educarea

perspicacităţii şi spiritului de iniţiativă la dezvoltarea încrederii în forţele proprii.

Totodată rezolvarea şi compunerea problemelor oferă terenul cel mai fertil în

domeniul activităţilor matematice pentru cultivarea şi educarea creativităţii şi a inventivităţii

elevilor.

24

Noi, învăţătorii, trebuie doar să le favorizăm independenţa de a compune problemele

uneori chiar din proprie iniţiativă sau experienţă. Un aport deosebit îl aduc şi rezolvarea

problemelor complexe, probalistice, nonstandard care oferă de asemenea teren propriu şi

stimulatoriu pentru creativitate.

Educatorul trebuie să aibă atitudine de sfătuitor sau îndrumător pentru noi investigaţii,

pentru a stimula dorinţa elevului de a lucra probleme variate din gazeta de matematică, din

numeroasele culegeri şi probleme apărute, de a rezolva probleme din ce în ce mai dificile,

prilej de educare a creativităţii. Pe lângă altele, această muncă duce la formarea unei atitudini

corecte şi conştiente faţă de muncă şi învăţătură, la dezvoltarea voinţei şi perseverenţei, la

răspunderea faţă de îndeplinirea sarcinilor.

NOŢIUNEA DE PROBLEMĂ

Prin rezolvarea şi compunerea de probleme se manifestă în esenţial activitatea

gândirii. Noţiunea de problemă are un conţinut larg, cuprinzând o gamă variată de preocupări

şi acţiuni din diferite planuri de activitate. În sens psihologic ,,o problemă’’ este o situaţie,

dificultate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu

există un răspuns gata formulat. Dificultatea se prezintă subiectului ca o lacună cognitivă,

constând dintr-o necunoscută.

În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică, ce necesită o rezolvare, o

soluţionare, poartă numele de problemă.

O problemă există doar dacă soluţia posibilă şi depăşirea obstacolului se face prin

mijloace intelectuale, soluţia problemei fiind rezultatul elaborării prin gândire şi nu al

aplicării standard a unui algoritm.

Pe parcursul vieţii, gândirea individului uman este în permanenţă confruntată cu

diverse probleme de diferite grade de dificultate, care necesită să fie rezolvate. O problemă

devine cu atât mai dificilă cu cât aceasta diferă de acelea rezolvate anterior de subiect.

Confruntarea individului cu o problemă implică scopul de a rezolva, conştiinţa

dificultăţilor de rezolvare şi a motivaţiei corespunzătoare.

Procesul gândirii, arată S.L.Rubinstein, începe cu analiza unei situaţii problematice.

Analiza descompune datele stabilind cunoscutul şi necunoscutul, rezultatul cerut. Prin aceasta

începe formularea problemei. Analiza datelor conduce la stabilirea condiţiilor şi a cerinţelor

problemei. Prin condiţiile problemei, se înţeleg datele care determină soluţionarea ei şi sunt

incluse ca premise indispensabile în mersul raţionamentelor care conduc la soluţie.

Schema generală a rezolvării oricărei probleme constă în corelarea condiţiilor

25

problemei cu cerinţele ei. Între ceea ce se dă şi ceea ce se cere există o concordanţă relativă.

În procesul rezolvării unei probleme au loc ample fenomene de transfer, de transpunere, de

aplicare a cunoştinţelor şi proceselor dobândite în rezolvările anterioare la problema nouă.

Rezolvarea de probleme este un proces multifazic.

În rezolvarea unei probleme, subiectul, arată R.Gagne, procedează la reactualizarea

conceptelor disponibile şi a regulilor cunoscute anterior, la evaluarea conceptelor pe baza

experienţei, la formarea de ipoteze specifice, la demersul de descoperire orientat spre soluţie,

la verificarea soluţiei alese drept optimă.

Pe baza înţelegerii datelor şi a condiţiei problemei, raportând datele cunoscute la

valoarea necunoscută, elevul trebuie să construiască şirul de judecăţi care conduce la găsirea

soluţiei problemei. Prezentarea de enunţuri, la care elevii să completeze întrebarea şi invers, a

întrebării pe baza căreia elevul să formuleze răspunsul, întăresc convinegrea acestora despre

unitatea celor două componente dar le dezvoltă şi gândirea creatoare, căutând răspunsul la

întrebare sau reflectând asupra a ce întrebare sau enunţ să formuleze, în legătură cu cerinţa

problemei.

În general, pentru formularea noţiunii de problemă se parcurg câteva etape:

a) rezolvări de probleme simple cu date din mediul înconjurător:

Ex. Într-un coş sunt două mere roşii şi unul galben. Câte mere sunt în coş?

b) rezolvări de probleme după date desenate:

+ = ?

c) completarea de către elevi a datelor care lipsesc dintr- o problemă astfel ca să se

poată rezolva, urmând apoi rezolvarea ei:

Ex. 1) Într-o livadă s-au plantat 30 de pomi fructiferi. Meri ... , peri ... , şi restul pruni. Câţi

pruni s-au plantat?

2) Pe un lac erau ... bărci dintre care 5 erau galbene, 3 roşii, restul albastre. Câte bărci

albastre erau?

d) compuneri de probleme de către elevi după un dicţionar de întrebări, de produse sau

alte elemente orientative:

Ex.1) ... 2 cărţi ... 3 caiete

Câte cărţi şi caiete sunt în ghiozdan?

2) ... 2 banane şi ... portocale a mâncat Irina.

Câte fructe a consumat Irina?

26

e) completarea de către elevi a întrebărilor la o problemă, apoi rezolvarea ei :

Ex. ,,Un vânător a vânat 3 fazani iar iepuri cu 3 mai mulţi.’’

Puneţi întrebarea şi rezolvaţi problema.

În majoritatea acestor etape, elevii sunt puşi în situaţia de a gândi creator. La

rezolvarea problemelor după datele desenate, imaginaţia elevului şi analiza situaţiilor posibile

îl ajută în stabilirea corespondenţei dintre datele schiţate şi realitate. La completarea datelor

care lipsesc dintr- o problemă, astfel ca să se poată rezolva, elevul este pus în situaţia să caute

situaţii posibile şi eventual optime, realizându-se astfel educarea flexibilităţii gândirii în acest

proces continuu de autocontrol. La completarea întrebării care lipseşte de la problemă, în

acest caz elevii sunt puşi în situaţia de a lua decizii legate de practica vieţii, precum şi în

situaţia realizării unei concordanţe între cele două componente ale problemei ( enunţ şi

întrebare).

În ultima etapă de probleme, când elevul are sarcina de a compune probleme după un

,,dicţionar’’ de date sau întrebări, aici elevii sunt puşi în situaţia de a formula problema în

complexul şi unitatea ei, creativitatea având un câmp deschis, astfel compoziţia fiind

direcţionată de nişte termeni care lămuresc sfera şi conţinutul noţiunii de problemă şi este

dublat de procesul de dezvoltare a gândirii creatoare.

Prin activitatea de compunere a problemelor, elevul îşi dă seama de corelaţia dintre

exerciţii şi probleme. În lipsa acestei corelaţii, elevii ar rămâne cu ideea că exerciţiile şi

problemele sunt activităţi fără legătură. Etapa pregătitoare muncii de compunere a

problemelor este aceea de formare a noţiunii de problemă. Etapele pătrunderii complete în

activitatea de compunere a problemelor pot fi clasificate astfel:

a) compuneri de probleme după date numerice indicate, iar tema la libera alegere;

Ex. Să compună o problemă cu numerele 8, 9, 10.

b) Compuneri de probleme după tema indicată, iar datele numerice la liberă alegere;

Ex. Să se compună o problemă cu datele dintr-o şcoală.

c) Compuneri de probleme după un exerciţiu numeric dat;

Ex. Să compună o problemă sub forma exerciţiului:

32 + 28 – 16 = R

d) Compuneri de probleme după exerciţiul literal dat;

Ex. Să compună o problemă după exerciţiul:

( a+ b) x 2= ?

Maria are 5 lei. Fratele ei are 3 lei. Bunica le dublează suma.

Câţi lei au împreună cei doi fraţi?

Activitatea de compunere a problemelor le solicită elevilor un efort de muncă

27

independentă şi de creaţie, de analiză şi sinteză, de confruntare a cunoştinţelor teoretice cu

cele practice.

Gheorghe Polya în lucrarea sa ,,Euristica rezolvării problemelor’’ spune: ,,A rezolva o

problemă înseamnă a găsi o ieşire dintr-o dificultate, înseamnă a găsi o cale de a ocoli un

obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A găsi soluţia unei probleme

este o performanţă specifică inteligenţei, iar inteligenţa este apanajul specific speciei umane;

se poate spune că dintre toate îndeletnicirile omeneşti cea de rezolvare a problemelor este

cea mai caracteristică’’(Ghe.Polya ,,Cum rezolvăm o problemă’’, E.D.P.Buc.1971,pag73).

Deprinderile de muncă intelectuală care se formează prin activitatea de rezolvare a

problemelor, se vor reflecta pozitiv şi la celelalte discipline de învăţământ. Tocmai în acest

scop este bine ca fiecare elev să rezolve probleme de logică matematică.

CLASIFICAREA PROBLEMELOR ŞI ETAPELE DE

REZOLVARE A ACESTORA

În funcţie de conţinutul problemelor, în funcţie de domeniul de aplicabilitate, de

metoda sau algoritmul de rezolvare a complexităţilor, există mai multe posibilităţi de

clasificare a problemelor.

Dacă problema este rezolvată prin procedee şi metode standardizate, atunci această

problemă poate fi numită o problemă standard, dar dacă problema prezintă situaţii noi pentru

care nu se aplică algoritmul de rezolvare însuşit anterior, aceasta se numeşte o problemă

nonstandard care poate fi: recreativă, de perspicacitate şi rebusistică.

În funcţie de dificultaţile care apar, clasificarea noţiunilor matematice se poate face în

exerciţii şi probleme.

Exerciţiul în general nu conţine text, ci numai o formulă numerică, iar sarcina constă

în efectuarea calculelor după tehnici şi metode cunoscute:

- Ordinea operaţiilor;

- Calcule cu paranteze;

- Relaţii între termeni şi rezultat, etc.

Problema impune în rezolvarea ei o activitate de descompunere şi analiză. Textul

problemei conţine datele ( valorile numerice), condiţia problemei ( relaţii dintre date şi

necunoscute) şi întrebarea problemei care se referă la valoarea necunoscutelor.

Problema presupune un efort de rezolvare spre deosebire de exerciţiu. Elevul sau cel

care rezolvă o problemă trebuie ca, pe baza înţelegerii datelor, a relaţiilor dintre ele, să

alcătuiască un plan de rezolvare care să cuprindă judecăţile, apoi rezolvarea şi în final găsirea

28

soluţiei problemei.

Dinstincţia dintre exerciţiu şi problemă trebuie făcută după natura rezolvării ei şi nu

după forma exterioară a acesteia.

Din punct de vedere didactic, este necesară o clasificare a problemelor după diferite

criterii, mai ales că termenii acestei clasificări sunt destul de folosiţi în limbajul metodologic.

Astfel, se poate face următoarea clasificare:

După algoritmul de lucru:

- Probleme standard

- Probleme nonstandard: -recreative; de perspicacitate; rebusistice.

După gradul de dificultate al rezolvării:

- Exerciţii

- Probleme

După sfera de aplicabilitate sau finalitate a lor:

- Probleme teoretice

- Probleme practice

După conţinutul lor:

- Probleme de geometrie

- Probleme de mişcare

- Probleme de amestec şi de aliaj

- Procente şi dobândp,etc

După numărul operaţiilor folosite în rezolvarea lor:

- Probleme simple ( care cuprind o singură operaţie)

- Probleme de adunare

- Probleme de scădere

- Probleme de înmulţire

- Probleme de împărţire

- Probleme compuse ( care cuprind mai multe operaţii)

După generalitatea metodei folosite:

- Probleme rezolvate prin metode generale:

- Sintetice

- Analitice

- Analitico-sintetice

- Probleme rezolvate prin metode particulare:

- Teoretice

- Practice: algebrice şi aritmetice

29

Problemele de aritmetică folosesc ca metodă de rezolvare:

- Metoda grafică (figurativă)

- Metoda comparaţiei

- Metoda falsei ipoteze

- Metoda mersului invers

- Metoda înlocuirii

- Metoda reducerii la unitate

- Metoda rapoartelor şi proporţiilor

- Metoda regulii de trei simplă

- Metoda regulilor amestecurilor.

Etapele rezolvării problemelor

Introducerea în activitatea de rezolvare şi compunere a problemelor se face progresiv

punându-i pe elevi la eforturi din ce în ce mai mărite pe măsură ce înaintează în studii şi pe

măsură ce experienţa lor se îmbogăţeşte. Varietatea şi complexitatea problemelor sporeşte

efortul mintal al elevilor şi eficienţa formativă a activităţilor de rezolvare a problemelor. Se

delimitează două situaţii care solicită în mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor.

a) când elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior sau

o problemă tip (care se rezolvă prin aceeaşi metodă);

b) când elevul are de-a face cu probleme noi, necunoscute, unde nu se mai poate aplica

o schemă mintală cunoscută şi unde elevul trebuie să găsească o cale nouă de rezolvare, de

găsire a soluţiei problemei.

Activitatea de rezolvare a unei probleme presupune deducerea şi formularea unor

ipoteze şi verificarea lor. Aici intervin o serie de tehnici, procedee, moduri de acţiune,

deprinderi de muncă intelectuală independentă. Astfel sunt necesare unele deprinderi şi

abilităţi de muncă cu caracter mai general cum sunt: orientarea activităţii mintale asupra

datelor problemei, punerea în legătură logică a datelor, capacitatea de a separa ceea ce este

cunoscut de ceea ce este necunoscut, extragerea acelor cunoştinţe care ar putea servi la

rezolvarea problemei şi formarea unei deprinderi de calcul.

În rezolvarea unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un

proces de reorganizare a datelor şi de formulare a problemei, pe baza activităţii de orientare a

rezolvării, pe drumul de găsire a soluţiei.

Etapele rezolvării unei probleme simple sunt:

- cunoaşterea enunţului problemei;

- înţelegerea enunţului problemei care cuprinde:

30

- repetarea problemei de către învăţător şi schiţarea datelor pe tablă,

- explicarea cuvintelor sau expresiilor mai dificile;

- repetarea problemei de către elevi;

- ilustrarea problemei prin material concret sau prin imagini.

- separarea întrebării de conţinut, astfel încât să se precizeze clar ce se cere;

- alegerea operaţiilor respective şi efectuarea calculului;

- formularea răspunsului problemei, arătarea semnificaţiei lui,scrierea lui.

Etapele rezolvării problemelor compuse sunt:

- cunoaşterea conţinutului problemei;

- înţelegerea şi însuşirea enunţului problemei;

- analiza problemei şi întocmirea planului logic sau graficul ei ( schema logică).

Aceasta este faza în care se constituie raţionamentul prin care se rezolvă o problemă,

drumul de la datele problemei la necunoscută.

Examinarea unei probleme compuse se poate face prin două metode: metoda analitică

sau metoda sintetică.

A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta atenţia elevilor asupra

a două din acele date ale problemei şi a formula cu acestea o problemă simplă, al cărei

rezultat să constituie o dată cunoscută pentru o nouă problemă simplă şi tot aşa până se ajunge

la ultima problemă simplă al cărei rezultat răspunde la întrebarea problemei compuse.

Uneori datele problemei sunt în concordanţă cu ordinea de alcătuire a problemelor

simple, alteori însă ele trebuie culese şi grupate convenabil.

A examina o problemă prin metoda analitică înseamnă a porni de la întrebarea

problemei, a stabili datele, în general necunoscute, cu ajutorul lor să se formuleze prima

problemă simplă a cărei întrebare să coincidă cu întrebarea finală din problemă, apoi a stabili

alte probleme simple a căror întrebări să-i folosească din problema anterioară. Succesiunea de

probleme simple, astfel eşalonate, vor duce la ultima problemă simplă care se poate rezolva

cu ajutorul datelor cunoscute.

Aceste două metode se pot folosi simultan sau una cu preponderenţă mai mare.

Ambele metode constau în descompunerea problemei date în probleme simple, care, prin

rezolvarea lor succesivă, duc la găsirea soluţiei finale. Deosebirea dintre cele două metode de

rezolvare constă în punctul de plecare al raţionamentului.

Se utilizează şi denumirea de metodă analitico- sintetică, atunci când în unele

probleme compuse nu este evidentă delimitarea problemelor simple, nu este indicată

succesiunea lor şi atunci în primă fază, apare o descompunere a problemei în probleme

compuse a căror rezolvare se efectuează prin metoda sintetică.

31

În urma experienţei, am obesrvat că metoda sintetică este mai acceptabilă copiilor,dar

ea nu solicită atât de mult gândirea, pe când metoda analitică este mai grea deoarece

presupune un proces de gândire continuu şi de profunzime. Se poate remarca totuşi că cele

două metode nu sunt izolate complet şi nici nu putem folosi în exclusivitate numai una dintre

ele.

Odata cu analiza şi sinteza problemei, se întocmeşte schema logică ( graficul

problemei) şi planul de rezolvare. Acest moment caracterizează judecata problemei şi constă

în desenarea de blocuri ( în cazul graficului) sau formularea şi scrierea succesivă a

problemelor simple interogativ sau enunţiativ, sub formă de propoziţii.

Rezolvarea problemelor simple

Copilul vine în contact cu probleme simple chiar în familie, la joacă, în activitatea

zilnică de la şcoală. Toate aceste probleme sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Problema

simplă este aceea care necesită pentru rezolvarea ei o simplă operaţie.

Rezolvarea primelor probleme se realizează la un nivel concret, ca acţiuni de viaţă

ilustrate prin imagini sau chiar de acţiuni executate de copil. În rezolvarea problemelor simple

se respectă cele cinci etape enunţate anterior. Pentru ca elevul să memoreze cu uşurinţă

cuprinsul problemei se pot utiliza următoarele procedee:

- repetarea problemei de către învăţător cu scrierea datelor pe tablă;

- explicarea cuvintelor sau a expresiilor mai dificile;

- repetarea problemei de către elevi;

- ilustrarea problemei prin material concret sau prin imagini;

În categoria problemelor simple intră următoarele tipuri de probleme:

- probleme de adunare:

- de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unităţi sau zeci şi unităţi decât un

număr dat;

- probleme de scădere:

- de aflare a restului(diferenţei);

- de aflare a unui număr care să aibă cu un număr de unităţi mai puţine sau zeci şi

unităţi mai puţine decât numărul dat;

- de aflare a unui termen atunci când se cunoaşte suma sau unul din termeni;

probleme de genul,,cu atât mai puţine’’;

- probleme de înmulţire:

- de repetare de un număr de ori a unui număr dat;

- de aflare a produsului;

32

- de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât numărul dat;

- probleme de împărţire:

- de împărţire a unui număr dat în părţi egale,

- de împărţire prin cuprindere a unui număr prin altul;

- de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat;

- de aflare a unei părţi dintr-un întreg;

- de aflare a raportului dintre două numere;

- de aflare a unui factor când se cunoaşte produsul şi unul din factori;

Pentru a lucra cu cât mai mare uşurinţă la rezolvarea problemelor simple se impune:

- rezolvarea unui număr mare de probleme;

- analiza temeinică în rezolvarea fiecărei probleme;

- abordarea unei mari varietăţi de probleme şi enunţuri;

- prezentarea unor probleme cu date incomplete pe care elevii să le completeze;

- prezentarea datelor unor probleme şi elevii să pună întrebarea şi invers;

- prezentarea unor povestiri care nu sunt decât probleme latente,

-completarea unui test dat cu valori numerice conforme cu realitatea;

- compunerea de probleme după anumite date sau formule;

- alcătuirea unor probleme de către copii în care nu se impune nici o cerinţă.

Rezolvarea problemelor simple constituie primii paşi spre exersarea flexibilităţii şi

Fluenţei gândirii. În acest context ei ajung să opereze cu numere în mod real, fără să facă

operaţii de compunere şi descompunere, să folosească strategii şi metode mintale anticipative.

Rezolvarea problemelor compuse

Rezolvarea problemelor compuse solicită într-o măsură mai mare gândirea logică

decât în cazul rezolvării problemelor simple. Pe lângă rezolvarea fiecărei probleme simple, ce

intră în componenţa problemei compuse, cu stabilirea operaţiilor corespunzătoare este

necesară punerea în corespondenţă a datelor problemei compuse, sesizarea legăturilor dintre

ele, a dependenţei lor reciproce, în aşa fel încât copilul să poată stabili succesiunea

problemelor simple în vederea găsirii rezultatului final. În introducerea problemelor compuse

sunt două posibilităţi:

- să se regizeze o acţiune care cuprinde două faze distincte, formularea problemei care să

cuprindă cele două faze distincte şi apoi rezolvarea ei:

Ex.,, O cloşcă are 5 puişori negri şi doi galbeni. Unul dintre ei s-a rătăcit.

Câţi puişori mai are cloşca?’’

- rezolvarea succesivă a două probleme simple astfel încât rezultatul primei probleme să

33

constituie o dată numerică pentru cea de a doua problemă:

Ex. – prima problemă

,,La un magazin s-au adus 30 de lăzi cu portocale şi 15 lăzi cu banane.

Câte lăzi cu fructe s-au adus?’’

( 30 lăzi +15 lăzi =45 lăzi)

- a doua problemă

,,Din cele 45 de lăzi cu fructe care se aflau în magazin s-au vândut 20 de lăzi cu

fructe.

Câte lăzi cu fructe au rămas nevândute?’’

Unificarea celor două probleme:

,,La un magazin s-au adus 30 de lăzi cu portocale şi 15 lăzi cu banane din care s-au

vândut 20 de lăzi cu fructe.

Câte lăzi cu fructe au rămas nevândute?’’

( 30 lăzi +15 lăzi = 45 lăzi

45 lăzi – 20 lăzi = 25 lăzi)

Etapele de rezolvare a problemelor compuse sunt:

- enunţarea problemei;

- însuşirea enunţului problemei, acre presupune; repetarea enunţului şi completarea datelor pe

tablă, explicarea cuvintelor şi expresiilor dificile, ilustrarea enunţului prin desen sau planşe;

- examinarea problemei;

- stabilirea planului de rezolvare;

- stabilirea operaţiei pentru fiecare judecată din planul de rezolvare, scrierea şi efectuarea

calculelor;

- munca suplimentară;

- epetarea problemei şi a procesului de gândire;

- repetarea operaţiilor şi justificarea lor;

- stabilirea semnificaţiei rezultatelor parţiale ţi al celui din final;

- rezolvare prin alte procedee;

- formularea de probleme asemănătoare.

Aşa cum am mai enunţat anterior, examinarea problemelor compuse se face de obicei

prin metoda analitică sau sintetică. Am observat că metoda sintezei este mai accesibilă dar nu

solicită prea mult gândirea elevului; în schimb, metoda analitică pare mai dificilă dar solicită

mai mult gândirea elevului, îl ajută să privească problema în totalitatea ei, să aibă mereu în

atenţie planul de rezolvare şi întrebarea problemei. O dată cu analiza problemei se formulează

şi planul de rezolvare. Planul trebuie scris de învăţător la tablă şi de elevi în caietele lor. ( la

34

cls.I se face oral).

Ex. ,,Un fermier creşte 95 de oi, porci cu 15 mai puţin, iar vaci de 8 ori mai puţin dcât

porci. Câte animale creşte fermierul?’’

Planul rezolvării:

1) Câţi porci creşte?

2) Câte vaci creşte?

3) Câte animale creşte?

Rezolvare:

1) 95 – 15 = 80 (porci)

2) 80 : 8 = 10 (vaci)

3) 95 + 80 + 10 = 185 (animale)

R: 185 animale

Rezolvarea poate fi scrisă şi prin intercalarea întrebărilor din planul de calcul, astfel:

1) Câţi porci creşte fermierul?

95 – 15 = 80 (porci)

2) Câte vaci creşte fermierul?

80 : 8 = 10 (vaci)

3) Câte animale creşte în total?

95 +80 + 10 = 185 (animale)

R: 185 animale

Trebuie să acordăm o atenţie deosebită problemelor care admit mai multe căi de

rezolvare, datorită faptului că prin rezolvarea unor asemenea probleme se cultivă mobilitatea

gândirii, creativitatea sa, se formează simţul estetic al şcolarului- prin eleganţă, simplitate,

economicitate şi organizarea modului de rezolvare.

Formarea priceperilor de a găsi noi soluţii de rezolvare constituie o adevărată

gimnastică a minţii, educându-se astfel, atenţia, spiritul de investigaţie, perspicacitatea

elevilor. Supun spre exemplificare următoarea problemă:

,,Maria are 80 de beţişoare. Ea îi dă fratelui său 20 de beţişoare şi surorii ei îi dă 25

de beţişoare. Câte beţişoare i- au mai rămas?’’

Scrierea datelor pe tablă:

I 1) Câte beţişoare îi mai rămân după ce îi dă fratelui 20 de beţişoare?

80 – 20 = 60 ( beţişoare)

2) Câte beţişoare îi rămân după ce-i dă şi surorii sale cele 25 de beţişoare?

60 – 25 = 35 ( beţişoare)

II 1) Câte beţişoare a dat Maria?

35

20 + 25 = 45 ( beţişoare)

2) Câte beţişoare i- au mai rămas Mariei?

80 – 45 = 35( beţişoare)

R: 35 beţişoare

STRATEGII DIDACTICE FOLOSITE ÎN PROCESUL DE REZOLVARE

ŞI COMPUNERE A PROBLEMELOR

În vederea obţinerii unor rezultate cât mai bune în procesul de educare a creativităţii

prin activitatea de rezolvare şi compunere a problemelor, cadrele didactice trebuie să

folosească strategii didactice moderne şi variate care să-l determine pe elev să participe

conştient şi activ la întregul proces instructiv educativ. Dacă strategia de tip clasic potenţează

operaţiile memoriei, ale imaginaţiei sau ale gândirii logice, strategia euristică declanşează

procese cu care operează gândirea creatoare la întregul proces instructiv- educativ.

Pus în situaţia de a descoperi adevărul, elevul îşi selecţionează metode proprii de

învăţare, dobândeşte curaj şi perseverenţă, în urmărirea unor obiective, câştigă independenţă

şi originalitate în acţiune.

Modalităţile didactice prin care elevul este pus în situaţia să descopere, să rezolve

situaţii noi neînvăţate anterior, sunt denumite ,,metode euristice’’. N.I.Kulitkin defineşte

metodele euristice ca fiind acele metode cu ajutorul cărora omul descoperă noi mijloace de

rezolvare, construieşte planuri şi programe nestereotipe.

Maria Drăguţ le numeşte ,,modalităţi metodice de activizare a elevilor în procesul

instructiv- educativ sau procedee de activizare a elevilor’’.

Dintre metodele de tip euristic sunt: modelarea, problematizarea, învăţarea prin

descoperire, algoritmizarea,etc.

Problematizarea este o strategie instructivă prin care se recurge la cunoaşterea

realităţii, stimulând elevul să participe conştient şi intensiv la autodezvoltarea sa pe baza unei

probleme, capabile să producă un conflict între experienţa dobândită şi o nouă experienţă care

tinde să restructureze această experienţă.

,,Predarea problematizată presupune un ansamblu de activităţi desfăşurate pentru

formularea de probleme propuse spre rezolvare elevilor, cu acordarea unui ajutor minim şi

coordonarea procesului de găsire a soluţiei, de fixare, sistematizare şi aplicare a noilor

achiziţii inclusiv în rezolvarea altor probleme’’( D.M.Trană ,,Utilizare a problematizării în

predarea matematicii la ciclul primar’’-Înv.Primar 1/2001,pag.47).

În şcoală trebuie să facem totul să stimulăm gândirea creatoare a elevilor, curiozitatea

36

şi să cultivăm tendinţele spre exprimarea originală.

Stimularea spre gândire trebuie să se facă şi atunci când elevul dă un răspuns greşit,

ajutându-l: ,,Cum mai putem socoti?’’, ,,Nu se poate altfel?’’, ,,Cum mai putem spune?’’. În

acest mod, elevul va reuşi şi el să rezolve problema şi nu se vor crea situaţii de punere în

inferioritate faţă de alţi colegi.

Prin problematizare trebuie sa vedem necesitatea orientării gândirii elevului spre

problema a cărei soluţie are un caracter inductiv, pornind de la ideea găsirii soluţiei optime

din mai multe posibile.

În acest scop am folosit exerciţii în care elevii sunt puşi de a găsi mai multe variante

de scriere a unor numere:

Ex. ? + ? = 10

? - ? = 5

Pentru înmulţire şi aprofundarea tablei înmulţirii şi împărţirii, am folosit exerciţii ca:

? x ? = 24 ? x ? = 36 ? x ? = 16

100 – 99 = ? : ? ? : ? = 5 ? : ? = 4

Situaţii problematice pot fi create şi cu ajutorul problemelor, atunci când rezolvarea

lor nu se reduce la simpla aplicare a unui algoritm învăţat.

Spre exemplificare am să dau o problemă în care se cunoaşte suma şi diferenţa a două

numere şi se cere aflarea lor.

,, Ionel şi Vasile au împreună 100 de beţişoare. Ionel are mai mult decât Vasile cu 20

de beţişoare. Câte beţişoare au fiecare?’’

Am lăsat ca fiecare elev să calculeze oral şi au dat răspunsul: unii s-au gândit numai ca

suma numerelor să fie 100, fără să se gândească că, Ionel are mai mult decât Vasile cu 20 de

beţişoare. Au dat răspunsurile 50 şi 50, 70 şi 30, 60 şi 40, 20 şi 80. Am reprezentat datele

problemei folosinf segmente:

Vasile ( I ) ╟────╢

Ionel ( II ) ╟────╢+20╢ 100 beţişoare

I + II = 100

Am făcut astfel ca numerele să fie egale, lăsând la o parte cele 20 de beţişoare, deci

100 – 20 = 80. Dacă sunt egale cele două părţi, putem să aflăm o parte, deci beţişoarele lui

Vasile, împărţind suma la 2: 80 : 2 = 40. Se continuă împreună rezolvarea problemei.

Prin reprezentarea grafică am trecut la rezolvarea problemelor de tipul următor: ,,Într-

un parc de maşini sunt 70 de maşini, iar în altul cu 30 mai mult. Câte maşini sunt în cele

două parcuri?’’

37

Citesc enunţul problemei. Explic cuvintele necunoscute ( parc de maşini). Elevii îşi

pot imagina cele două parcuri de maşini pe baza materialului reprezentativ din memorie.

Pentru a putea rezolva problema, elevii trebuie să înlăture sau să separe detaliile concrete,

matematice şi să ajungă la o reprezentare matematică a conţinutului problemei, care are două

cantităţi inegale: prima mai mică şi a doua mai mare cu 30. Dificultatea principală de depăşit

constă în sesizarea numărului de maşini din parcul al doilea ( cât numărul de maşini din

primul parc şi încă 30). Acest lucru va fi sesizat uşor de către elevi pe baza reprezentării celor

două mărimi:

( I ) ╟─70─╢

( II ) ╟─70─╢30╢

Având această reprezentare simbolică, elevii vor putea rezolva problema fără nici o

dificultate: 70 + 70 + 30 = 170 ( maşini)

Rezolvarea modelului în modalităţi variate ( reprezentarea grafică prin cerculeţe,

dreptunghiuri, litere, segmente) este un instrument ajutător rezolvării problemei. Reuşind să

alcătuiască modelul, elevul parcurge deja o etapă, pătrunde în procesul de rezolvare.

Întocmirea modelului nu este o activitate exterioară judecăţii problemei. Realizând modelul,

elevul probează că a înţeles structura logică a conţinutului problemei, îşi exercită gândirea

creatoare şi iscusinţa compunerii problemelor.

Metoda exerciţiului - metodă mult folosită la matematică pentru formarea

deprinderilor de calcul, a tehnicii efectuării operaţiilor, a celor de scriere şi citire a numerelor,

de rezolvare a problemelor, toate se realizează cu ajutorul unor exerciţii variate, repetate cu

perseverenţă şi reluate periodic. Am căutat să folosesc această metodă în toate categoriile de

exerciţii, atât în calculul oral, mintal, cât şi în scris.

Tot o modalitate de lucru în cadrul orelor de matematică o constituie folosirea fişelor

de muncă independentă, care reprezintă avantajul că acestea pot cuprinde o gamă variată de

întrebări, exerciţii şi probleme, pot fi individualizate, adresându-se fiecărui elev în măsura în

care el trebuie ajutat.

Am să exemplific câteva fişe folosite în orele de matematică:

1) Fişe în predare care au ca scop stimularea gândirii elevilor pentru înţelegerea

noilor cunoştinţe predate. În acest sens am propus exerciţii cu mai multe rezultate şi elevul să

aleagă răspunsul corect. Din analiza răspunsurilor am dedus regula că ceea ce cunosc nu este

suficient pentru siguranţa răspunsului, de aceea este nevoie să înveţe

Ex. Calculaţi cât mai rapid înmulţirile:

46 x 5; 42 x 5; 23 x 11 ; 48 x 25.

38

În urma discuţiilor purtate, am evidenţiat necesitatea unei modalităţi noi de calcul:

46 x 5 = ( 46 x 10 ) : 2 = 230

48 x 25 = (48 x 100 ) : 4 = 1200

23 x 11= ( 23 x 10 ) + 23= 253

2) Fişe pentru consolidarea şi fixarea cunoştinţelor ulterior asimilate. Scopul

fişei este acela de a consolida o anumită temă sau o unitate de învăţare, de a descoperi

eventualele greşeli colective şi individuale pe care le fac elevii precum şi de a fixa mai bine

cazurile dificile.

Pentru studierea înmulţirii şi a împărţirii cu 7 am conceput următoarea fişă:

I 3 x 7 = II 42 : 7 = III 5 x 7 : 5 =

7 x 7 = 56 : 8 = 6 x 4 : 3 =

7 x 9 = 63 : 7 = 21 : 7 x 6 =

3) Fişe de verificare a cunoştinţelor şi testare a greşelilor. Prin acest tip de fişe am

constatat dacă elevii au înţeles conţinutul unui capitol, dacă şi- au făcut temele independent,

dacă au înţeles toate cazurile învăţate.

Ex. 1) Găsiţi numerele:

a) Cu 6 mai mari decât: 10, 6, 8, 9, 7.

b) Cu 6 mai mici decât: 8, 9, 6, 7, 10.

c) De 6 ori mai mari decât: 6, 8, 9, 7, 10.

2) Alina citeşte două poveşti pe zi. Câte poveşti va citi în 9 zile dacă păstrează acelaşi ritm?

3) Aflaţi produsul numerelor: 2 şi 6; 9 şi 7; 4 şi 8; 5 şi 7; 6 şi 9; 8 şi 7.

4) Fişe pentru corectarea unor greşeli prin care am urmărit omogenizarea clasei. În

aceste fişe am cuprins cazurile pe care elevul nu le-a rezolvat bine cu altă ocazie. Uneori

aceste fişe le-am dat numai unui grup de elevi, în timp ce restul clasei rezolva exerciţii

asemănătoare, alteori le-am dat întregii clase, dar cu subiecte individuale.

Jocurile didactice dau posibilitatea elevilor să-şi dezvolte fantezia, modalitatea unor

substituţii satisfăcătoare, emoţional pozitive. Starea de joc devine propice creaţiei. Jocul

răspunde nevoii de libertate spirituală şi de mişcare a copilului, permite angajarea sa pe

măsură în acţiune, participarea de bună voie. Poate fi folosit cu succesul scontat în captarea

atenţiei elevilor pe tot parcursul activităţii didactice în înlăturarea plictiselii, dezinteresului.

Folosirea jocului didactic în procesul instructiv-educativ face ca elevul să înveţe cu

plăcere, să devină interesat faţă de activitatea pe care o desfăşoară, face ca cei timizi să devină

mai volubili, mai activi, mai curajoşi, să capete mai multă încredere în capacităţile lor, mai

multă siguranţă şi tenacitate în răspunsuri şi nu în ultimul rând să-şi dezvolte creativitatea.

La sfârşitul clasei I şi începutul clasei a II-a, problemele compuse sunt deja ,, o

39

problemă’’ pentru elevi. Transpunându-le în versuri, plăcerea este mai mare, iar planul de

rezolvare nu li se mai pare impus:

,, Pe poteca din pădure

Au plecat s-adune mure

Cinci băieţi şi trei fetiţe

Cu găleţi şi coşuleţe.

De un urs s-au speriat,

Patru-n vale- au alergat.

Socotiţi dacă veţi şti

Câţi la număr vor mai fi?’’ (Înv.PRIMAR 1 şi 2, 1996)

La clasa a III-a la capitolul Înmulţire, pentru verificarea cunoştinţelor, flexibilitatea

gândirii, atenţiei, se poate organiza jocul ,,Urmăreşte săgeata’’. Aceasta poate îmbrăca diverse

variante ce pot fi folosite la clasă, la înmulţirea numerelor, rezolvându-se individual pe fişe.

În funcţie de metodele şi procedeele folosite de cadrul didactic în cadrul orelor de

matematică, rezultatele pe linia creativităţii vor fi mai bune sau mai puţin bune. Măiestria

didactică a învăţătorului va influenţa gradul la care va ajunge capacitatea creatoare a elevului.

Prin modalităţi specifice de formare şi dezvoltare a creativităţii, matematica îşi sporeşte

eficienţa formativă. Procesul studierii matematice cultivă curiozitatea ştiinţifică, frământarea

pentru descifrarea necunoscutului şi duce la formarea unor priceperi şi capacităţi ( a gândi

personal şi activ, a analiza o problemă şi a descompune în elementele sale simple);

învăţământul matematic conduce la formarea unor aptitudini pentru matematică ( capacitatea

de a percepe selectiv, de a trece de la aspectul diferenţial la cel integral şi invers, de a asigura

pluralitatea gândirii), formează capacitatea de a depune un efort concentrat indiferent de

solicitările exterioare.

40

UTILIZAREA METODELOR DE ÎNVĂŢARE ACTIVĂ ÎN ORELE DE MATEMATICĂ

Învăţarea activă înseamnă, conform dicţionarului, procesul de învăţare calibrat pe

interesele / nivelul de înţelegere / nivelul de dezvoltare al participanţilor la proces. În cadrul

învăţării active se pun bazele unor comportamente, de altfel observabile:

-comportamente ce denotă participarea (elevul e activ, ia parte la activităţi);

-gândirea creativă (elevul are propriile sale sugestii, propune noi interpretări);

-învăţarea aplicată (elevul devine capabil să aplice o strategie de învăţare într-o

anumită situaţie de învăţare);

-construirea cunoştinţelor( în loc să fie pasiv, elevul îndeplineşte sarcini care îl vor

conduce la înţelegere).

Competenţele generale urmărite în învăţarea activă sunt:

Dezvoltarea capacităţii de abordare sistemică a procesului de învăţământ, prin

evidenţierea interdependenţei dintre funcţiile sale principale (predare, învăţare, evaluare);

Prezentarea principalelor teorii ale învăţării, insistând asupra variabilelor care

argumentează ideea unei învăţări active;

Dezvoltarea capacităţii de aplicare a strategiilor de învăţare activă în procesul de

predare – învăţare a diferitelor discipline de învăţământ;

Dezvoltarea abilităţilor de comunicare şi de lucru în echipă;

Însuşirea unor metode şi tehnici de cunoaştere a elevilor şi de autocunoaştere.

Metodele de învăţare activă fac lecţiile interesante, ajută elevii să realizeze judecăţi

de substanţă şi fundamentate, sprijină elevii în înţelegerea conţinuturilor pe care să fie

capabili să le aplice în viaţa reală.

Printre metodele care activizează predarea – învăţarea sunt şi cele prin care elevii

lucrează unii cu alţii, îşi dezvoltă abilităţi de colaborare şi ajutor reciproc. Ele pot avea un

impact extraordinar asupra elevilor datorită denumirilor, caracterului ludic şi oferă alternative

de învăţare cu priză la copii.

În vederea dezvoltării gândirii la elevi, trebuie să utilizăm, cu precădere unele

strategii activ – participative, creative. Acestea nu trebuie rupte de cele tradiţionale, ele

marcând un nivel superior în spirala modernizării strategiilor didactice.

Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează interacţiunea

dintre minţile participanţilor, dintre personalităţile lor, ducând la o învăţare mai activă şi cu

rezultate evidente. Acest tip de interactivitate determină „identificarea subiectului cu situaţia

41

de învăţare în care acesta este antrenat” ceea ce duce la transformarea elevului în stăpânul

propriei formări.

Brainstorming

Brainstorming-ul este una dintre cele mai răspândite metode în stimularea creativităţii.

Etimologic, brainstorming provine din engleză, din cuvintele brain (creier) şi storm (furtună),

plus desinenţa ing specifică limbii engleze, ceea ce înseamnă furtună în creier, efervescenţă,

aflux de idei, o stare de intensă activitate de imaginativă. Un principiu al brainstorming-ului

este cantitatea generează calitatea. Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei viabile şi

inedite este necesară o productivitate creativă cât mai mare.

Brainstorming-ul este prezent chiar în activitatea de compunere de probleme. În

momentul când în faţa elevului aşezăm două numere şi îi cerem să formuleze o problemă în

care să le integreze, în mintea acestuia apar o avalanşă de idei, de operaţii matematice cărora

le-ar putea asocia enunţul unei probleme. În scopul stimulării creativităţii, trebuie

apreciat efortul fiecărui elev şi să nu se înlăture nici o variantă propusă de aceştia.

Exemplu:

Compuneţi o problemă folosind numerele 20 şi 4.

Prin folosirea acestei metode se provoacă şi se solicită participarea activă a elevilor, se

dezvoltă capacitatea de a trăi anumite situaţii de a le analiza, de a lua decizii în ceea ce

priveşte alegerea soluţiilor optime şi se exersează atitudinea creativă şi exprimarea

personalităţii.

Cvintetul

Metoda se potriveşte orelor de consolidare şi recapitulare sau momentului asigurării

retenţiei şi transferului în orele de predare. Un cvintet este o poezie cu 5 versuri prin care se

exprimă şi se sintetizează conţinutul unei lecţii sau a unei unităţi de învăţare într-o exprimare

concisă ce evidenţiază reflecţiile elevului asupra subiectului în cauză.

Exemplu:

Probleme noi,

Probleme multe,

Încercăm să rezolvăm

Uneori noi mai greşim

Dar ne străduim.

Ciorchinele

Ciorchinele este o tehnică eficienta de predare şi învăţare care încurajează elevii să

gândească liber şi deschis. Ciorchinele este un brainstorming necesar, prin care se stimulează

evidenţierea legăturilor dintre idei; o modalitate de a construi sau realiza asociaţii noi de idei

42

sau de a releva noi sensuri ale ideilor. Este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile

cunoştinţe evidenţiind modul de a înţelege o anumită tema, un anumit conţinut.

Metoda ciorchinelui dă rezultate deosebite şi atunci când elevii lucrează în echipă.

Observând şi aprobând variantele colegilor, copilul îşi dezvoltă imaginaţia şi creativitatea.

Această metodă se poate folosi pentru a sistematiza noţiunile teoretice matematice. Prin

întrebări dascălul dirijează gândirea elevilor, notează şi schematizează cunoştinţele teoretice

matematice.

Exemplu:

Prin această tehnică se fixează mai bine ideile şi se structurează informaţiile

facilizându-se reţinerea şi înţelegerea acestora. Tehnica ciorchinelui poate fi aplicată atât

individual, cât şi la nivelul întregii clase pentru sistematizarea şi consolidarea cunoştinţelor. În

etapa de reflecţie elevii pot fi ghidaţi prin intermediul unor întrebări, în gruparea informaţiilor

în funcţie de anumite criterii.

Metoda cadranelor

adunare

Operaţii

matematic

scădere

termen sumă termen diferenţ

ă

descăzu scăzăt

împărţire înmulţire

deîmpărţi împărţitor produ factor

cât rest

43

Metoda cadranelor urmăreşte implicarea elevilor în realizarea unei înţelegeri cât mai

adecvate a unui conţinut informaţional. Această metodă se poate folosi frontal şi individual, în

rezolvarea problemelor prin metoda grafică.

Prin trasarea a două axe perpendiculare, fişa de lucru este împărţită în patru cadrane,

repartizate în felul următor:

I – textul problemei;

II – reprezentarea grafică a problemei;

III – rezolvarea problemei;

IV – răspunsul problemei

Exemplu:

I.

Pe două ramuri sunt 28 de păsărele. Pe

a doua ramură sunt cu 8 mai multe decât pe

prima.

Câte păsări sunt pe fiecare ramură?

II.

+ 8 28

IV.

R: 10 păsări

18 păsări

Verificare: 10 + 18 = 28

III.

Rezolvare

* suma segmentelor egale:

28 – 8 = 20

*prima ramură:

20: 2 = 10 (păsări)

*a doua ramură:

10 + 8 = 18 (păsări)

Metoda ştiu / vreau să ştiu / am învăţat

Metoda se bazează pe cunoaştere şi experienţele anterioare ale elevilor, pe care le vor

lega de noile informaţii ce trebuie învăţate.

Etape:

Listarea cunoştinţelor anterioare despre tema propusă;

44

Construirea tabelului (învăţător);

Completarea primei coloane;

Elaborarea întrebărilor şi completarea coloanei a doua;

Citirea textului;

Completarea ultimei coloane cu răspunsuri la întrebările din a doua coloană, la care

se adaugă noile informaţii;

Compararea informaţiilor noi cu cele anterioare;

Reflecţii în perechi/ cu întreaga clasă.

Exemplu:

O cloşcă are 15 puişori albi şi 5 puişori negri. Dintre aceştia s-au rătăcit 2 puişori. Câţi

puişori i-au rămas cloştei?

ŞTIU VREAU SĂ ŞTIU AM ÎNVĂŢAT

-numărul puişorilor albi

(15)

- numărul puişorilor negri

(5)

- numărul puişorilor care

s-au rătăcit ( 2)

Câţi puişori i-au rămas

cloştei?

Câţi puişori are cloşca în

total?

15 + 5 = 20

Câţi puişori i-au rămas

cloştei?

20 – 2 = 18

Răspuns: 18 puişori

Rezolvarea sub formă de

exerciţiu:

( 15 + 5 ) – 2 = 18

Metoda instruirii programate

Metoda instruirii programate organizează acţiunea didactică, aplicând principiile

ciberneticii la nivelul activităţii de predare – învăţare – evaluare, concepută ca un sistem

dinamic complex, constituit dintr-un ansamblu de elemente şi interrelaţii..

Metoda instruirii programate dezvoltă propriile sale principii:

Principiul paşilor mici constă în divizarea materiei în unităţi de conţinut care

asigură elevului şansa reuşitei şi a continuităţii în activitatea de predare – învăţare – evaluare;

toate aceste unităţi logice prezentate într-o succesiune univocă constituie programul

activităţii;

Principiul comportamentului activ presupune dirijarea efortului elevului în direcţia

selecţionării, înţelegerii şi aplicării informaţiei necesare pentru elaborarea unui răspuns corect.

45

Elevul este obligat să răspundă fiecărei unităţi logice ce i se prezintă, altfel nu poate trece mai

departe. Întrebările şi răspunsurile sunt prezentate într-o ordine prestabilită.

Principiul evaluării imediate a răspunsului urmăreşte întărirea pozitivă dau

negativă a comportamentului elevului în funcţie de reuşita sau nereuşita în îndeplinirea

sarcinii de învăţare corespunzătoare fiecărui pas. Astfel, după parcurgerea fiecărei unităţi,

elevul este informat dacă a răspuns corect sau nu. Confirmarea răspunsului se face imediat şi

automat după ce a fost dat. Din punct de vedere psihologic, această confirmare sau infirmare

este o întărire. De altfel, părintele modern al instruirii programate. B. F. Skinner, consideră că

„a instrui înseamnă a organiza relaţii de întărire”, relaţii care se manifestă pe două planuri:

intern, prin cunoaşterea imediată de către elev a performanţelor obţinute şi extern, prin

aprecierile cadrului didactic pe baza mesajelor primite prin conexiune inversă. Se elimină

totodată, pericolul fixării unor idei eronate.

Principiul ritmului individual de învăţare vizează respectarea şi valorificarea

particularităţilor elevului, demonstrate prin modul şi timpul de parcurgere a fiecărei secvenţe.

Ca metodă, învăţarea asistată de calculator, recurge la un ansamblu de mijloace care

să-i permită atingerea obiectivelor şi formarea competenţelor specifice. Mijloacele didactice

specifice metodei sunt programele de învăţare sau soft-urile didactice.

Exemplu de soft educaţional pentru matematică:

Softul educaţional „Naufragiaţi pe Insula Calculelor” a fost elaborat de o echipă de

psihologi, metodişti şi programatori cu experienţă de la Facultatea de Psihologie şi Ştiinţe ale

Educaţiei a Universităţii "Babeş-Bolyai" din Cluj-Napoca şi de la Asociaţia de Ştiinţe

Cognitive din România. Acest soft se bazează pe cercetările actuale din psihologia dezvoltării,

pe cele mai noi teorii despre învăţare, pe facilităţile designului multimedia de înaltă calitate şi

pe consultări repetate cu învăţători de mare prestigiu. Softul realizează ceea ce un învăţător

expert face la clasă, pentru a-şi ajuta elevii să înveţe matematica.

Programul elaborat accelerează învăţarea şi consolidarea operaţiilor de adunare şi de

scădere la elevii din clasele I şi a II-a. Exerciţiile propuse respectă prevederile actualului

curriculum şcolar, au un conţinut variat, atractiv şi accesibil elevilor din clasele primare.

Softul poate fi util şi elevilor din clasele primare mai mari, îndeosebi celor din clasele a III-a,

datorită complexităţii unora dintre exerciţii. Rezolvarea exerciţiilor propuse în acest soft,

bazate pe programa şcolară, contribuie la îmbunătăţirea performanţei şcolare a elevilor care îl

utilizează.

În urma parcurgerii programului, elevii vor şti:

46

să utilizeze conceptele matematice învăţate: termeni (numerele care se adună),

descăzut şi scăzător (numerele care se scad), sumă (rezultatul adunării) şi diferenţă

(rezultatul scăderii);

să efectueze corect şi rapid operaţii de adunare şi de scădere în concentrele: 0-10,

0-20, 0-30, 0-100, 0-1000, cu şi fără trecere peste ordin;

să verifice valoarea de adevăr a egalităţilor date;

să completeze semnele de relaţie (<, =, >), astfel încât egalităţile să fie adevărate;

să afle un termen necunoscut dintr-o egalitate sau dintr-o inegalitate pe baza

probei adunării şi a scăderii sau prin încercări;

să stabilească semnele corespunzătoare (+ şi -) unor operaţii ai căror termeni şi

rezultat sunt cunoscuţi;

să efectueze exerciţii formate din mai multe operaţii (adunare-adunare, adunare-

scădere, scădere-scădere), respectând ordinea în care acestea sunt scrise.

47

CAPITOLUL IV

ACTIVITATEA DE COMPUNERE ŞI REZOLVARE A PROBLEMELOR

- CADRU OPTIM DE DEZVOLTARE A CAPACITĂŢILOR

CREATOARE

DEZVOLTAREA FLEXIBILTĂŢII ŞI CREATIVITĂŢII GÂNDIRII ELEVILOR DIN

CICLUL PRIMAR PRIN REZOLVAREA ŞI COMPUNEREA DE EXERCIŢII

Metoda exerciţiului şi algoritmizarea sunt căile principale de formare a deprinderilor

de calcul, a premiselor pentru rezolvarea problemelor. Uneori se apelează şi la

problematizare, metodă care se caracterizează prin faptul că elevul este solicitat să rezolve şi

exerciţii mai dificile, deosebite faţă de cele obişnuite.

La clasele mici, cea mai eficientă formă de organizare a activităţilor matematice este

cea sub formă de joc didactic. Jocul matematic, prin caracterul său atractiv, prin elementele

sale: mişcare ( dinamism, aspect competitiv, stimulativ), prin respectarea regulamentului pe

care îl are, contribuie atât la consolidarea cunoştinţelor matematice, cât şi la însuşirea unor

concepte şi noţiuni.

O modalitate de realizare a flexibilităţii şi creativităţii gândirii elevului este însuşirea

temeinică şi sistematică a unei noţiuni prin exerciţiu, cu care va opera în continuare pentru

rezolvarea problemelor.

Voi prezenta o varietate de exerciţii pe care le putem da spre rezolvare elevilor, în

condiţiile cerute de dezvoltarea creativităţii.

a) Exerciţii numerice:

Exemplul 1 : Desenează pe etichetă atâte puncte câte obiecte vezi în imagine în fiecare grup.

Scrie numărul în casetă.

Exemplul 2: Colorează cu galben căsuţele în care apar cifrele: 3 şi 5.

48

3 4 5 6

1 2 3 4

6 4 5 3

4 5 3 3

Exemplul 3: Completează căsuţele libere astfel încât să apară şiruri de numere consecutive.

1 2 3 ...

... 3 4 5

3 4 ... 6

4 ... 6 7

Exemplul 4: Desenează mărgele pentru a avea pe fiecare şirag câte 7. Scrie în caseta liberă

câte mărgele ai adăugat.

7 3 Exemplul 5: Colorează cu roşu caseta cu numărul care arată câte maşini sunt în fiecare

tablou.

2 6 7 9 3 5 2 Exemplul 6: Scrie în ordine crescătoare numerele:

a) 7; 3; 8; 9; R: 3; 7; 8; 9

b) 1; 7; 5; 2; R: 1; 2; 5; 7

c) 10; 40; 20. R: 10; 20; 40

Exemplul 7: Scrie în ordine descrescătoare numerele:

a) 4; 7; 8; 10; R: 10; 8; 7; 4.

b) 100; 50; 80; R: 100; 80; 50;

c) 11; 19; 13. R: 19; 13; 11.

49

Exemplul 8: Desenează atâtea obiecte în fiecare tablou câte indică numărul scris în etichetă. 2 6 Exemplul 9: Scrie trei numere diferite:

a) mai mici decât 5;

b) cuprinse între 1 şi 5;

c) mai mari decât 5;

d) cuprinse între 5 şi 10.

Exemplul 10: Completează norişorii cu numerele care lipsesc.

3 4 5 10

1 0

Exemplul 11: Completează numerele care lipsesc din şiruri:

9; ... ; 11; ... ; ... ; .. .; ... ; 16; ... ; ... ; ... ; ... ; ... ; 22.

Exemplul 12 : Scrie toate numerele naturale de două cifre care au:

a) Cifra zecilor egală cu 5;

b) Cifra unitaţilor 1;

c) Cifra zecilor să fie cu o unitate mai mare decât cifra unităţilor.

Exemplul 13: Alege dintre numerele următoare: 76, 93, 42, 11, 31, 50, acele numere care:

a) Sunt mai mici decât 50; R: 11, 31, 42

b) Nu sunt mai mici decât 50. R: 76, 93

Exemplul 14: Care este cel mai mic număr natural format din zeci şi unităţi? Dar cel mai

mare?Care este cel mai mare număr natural format din zeci şi unităţi la care cifra zecilor să

fie cu 2 mai mică decât 10?

R: 10, 99, 89

Exemplul 15: Scrieţi toate numerele distincte (diferite) care se pot forma din cifrele 3 şi 5.

R: 35, 53.

50

Exemplul 16: Scrieţi toate numerele naturale de trei cifre distincte care se pot forma cu

cifrele 5, 7, 9.

R: 957, 597, 579,975, 795, 759

Exemplul 17: Observă regula de numărare şi continuă şirul de numere cu încă trei numere:

a) 2, 4, 6, ... R: 8, 10, 12

b) 1, 3, 5, ... R: 7, 9, 11

c) 3, 6, 9, ... R: 12, 15, 18

d) 1, 4, 7, ... R: 10, 13, 16

e) 5, 10, 15, ... R: 25, 30, 35

f) 8, 9, 12, 16, 17, ... R: 20, 21, 24

b) Exerciţii pentru recunoaşterea semnelor de ordine a relaţiilor >, <, =:

Exemplul 1: Completează desenele conform semnelor >, <, =:

< > = Exemplul 2: Desenează pe fiecare etichetă atâtea cerculeţe încât să respecţi condiţia dată:

= 6 < 5

2 < < 4 > 8

Exemplul 3: Pune în căsuţe semnele potrivite >, <, =:

a) 0 2 b) 3 2 c) 8 6 2

1 1 0 3 5 1 9

6 5 7 4 10 5 1

Exemplul 4: Puneţi numere astfel încât să rezulte relaţii adevărate:

40 < = 50 =

90 > > 70 <

50 < > 90 >

Exemplul 5: Scrie în căsuţe unul din semnele >, <, = :

2 + 6 5 + 1

70 + 20 – 10 10 + 40 + 30

51

Exemplul 6: Scrie cifra corespunzătoare sau unul din semnele >, <, = :

Exemplul 7: Aranjează numerele 35, 7, 49, 4, 81, 8, 10 conform schemei:

> > > > >

Exemplul 8: Completează căsuţele în aşa fel încât să fie satisfăcute relaţiile >, <, = :

a) 5 + < 10 b) + = 30 c) 2... > 2...

Exemplul 9: Completează cu numere:

3 = < = < 9; R: 3, 5, 5

14 > = < ; R: 12, 12, 15

30 = > = 27 ; R: 30, 27

> 19 = > ; R: 20, 19, 17

c) Exerciţii pentru recunoaşterea semnului operaţiei:

Exemplul 1: Scrie în căsuţă semnul operaţiei de adunare sau scădere astfel încât să fie

adevărate relaţiile:

5 4 = 3 6

10 20 30 = 40 20

13 4 10 3 = 12 2

Exemplul 2: Completează semnul operaţiei care lipseşte:

15 ... 8 = 23 36 ... 6 > 42 ... 9

38 … 9 = 29 53…8 < 47 … 7

34 … 41… 7 6…47 > 42 … 9

76 = 82 … 6 8…84 > 91 … 6

Exemplul 3: Completează:

25 = 19 + 4 + ...

100 = 40 + ...

80 = ... + 10

52

Exemplul 4: Completaţi cu semnul ,,x’’ sau ,,:’’ astfel încât rezultatul să fie corect:

6 ... 2 = 12 5 ... 7 = 35 5 ... 9 =45

12 ... 4 = 3 21 ... 3 = 7 32 ... 8 = 4

64 ... 8 = 8 30 ... 3 = 10 72 ... 9 = 8

d) Exerciţii cu o singură necunoscută:

Aceste exerciţii au drept obiectiv operaţional aflarea unui termen sau factor

necunoscut dintr- o operaţie dată.

- Adunare: T1 + T2 = S; T1= S – T2; T2 = S – T1;

- Scădere: D – S = R; D = R + S; S = D – R;

- Înmulţire: F1 x F2 = P; F1= P : F2; F2= P : F1;

- Împărţire: D : Î = C; D = C x Î; Î = D : C.

Termenii sau factorii necunoscuţi se notează :

- la început cu semnul întrebării:

? + 3 = 9 ? + ? = 10 11 - ? = 8 3 x ? = 24

- Cu o căsuţă:

+ 7 = 14 3 x = 27

21 + =29 x 6 = 48

54 - =49 : 5 = 9

- Cu o literă:

a + 18 = 18 35 + a = 40

b - 5 = 20 28 - b = 15

c x 4 =32 2 x m = 10

d : 7 = 7 12 : m= 2

- cu un semn.

În fiecare situaţie se analizează exerciţiul şi se stabileşte algoritmul de lucru. Se

porneşte de la simplu la complex.

Exemple: - 5 adunat cu cât face 8?

- 10 plus cât face 15?

- Mă gândesc la numărul 24. Scad un număr şi obţin 19.Ce număr am scăzut?

- Mă gândesc la două numere adunate şi obţin 100. Ce numere pot fi?

Pe parcurs elevii vor cuprinde două sau mai multe operaţii diferite şi se vor aplica

reguli de calcul diferite: izolarea necunoscutei prin comutativitate şi asociativitate sau chiar

aflarea prin metoda mersului invers. În funcţie de gradul de dificultate, exerciţiile se pot

53

eşalona pe clase când vom ţine cont şi de operaţia şi numerotaţia folosite în clasa respectivă.

Exemplu: Înlocuieşte literele cu numere corespunzătoare astfel încât egalităţile următoare

să fie adevărate:

2 x a x 3 = 24

5 x 3 x a = 40

24 : 3 – m = 2

18 : 3 – a = 2 x 2

Pentru aflarea necunoscutei se folosesc proprietăţile operaţiilor:

Exemplu: Aflaţi numerele ,, a’’sau ,, b’’din egalităţile:

1) ( a : 5 – 2 ) : 3 – 260 : 2 = 1

2) ( b – 18) : 5 = 20

3) ( 88 – a ) x 10 = 180

e) Exerciţii cu două sau mai multe necunoscute:

Şi la acest tip de exerciţii în locul necunoscutelor se folosesc literele sau diferite

semne. Acest tip de exerciţii necesită o operaţie complexă a gândirii prin aceea că numerele

necunoscute nu pot fi aflate direct sau apelând la memorie. Trebuie să apară spiritul de

investigaţie. Se apelează la mai multe încercări, tabele, scheme, o parte din exerciţii au mai

multe soluţii.

Exemplul 1: Aflaţi numerele naturale ,,a’’ şi ,,b’’ dacă a + b = 12.

Soluţia:

a) Se poate rezolva prin încercări;

b) Se poate rezolva cu ajutorul unui tabel:

a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b

a + b 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

c) Scriind b = 12 – a.

Exemplul 2: Fiecare din figurile , , reprezintă un anumit număr. Scrieţi

numerele corespunzătoare:

a) + = 5; b) + = 8; c) + = 8;

- = 1 ; - = 3 ; = 3 x ;

+ = ; + = ;

- = ; 8 - = ;

4 + = 10; + = 6.

Pentru primele două exemple,, a’’ şi ,, b’’ recurgem la metoda figurativă, iar celelalte se pot

rezolva folosind proprietăţile operaţiilor, a înlocuitorilor. Analizăm pe ,,a’’ .

54

Se observă că numărul scris în pătrat este mai mare cu 1 decât numărul scris în

triunghi, pentru că patrat minus triunghi egal cu 1. Aceste perechi se scriu uşor (8,7), (6,5),

(4,3), (3,2), (2,1), (1,0). Dar numai perechea (3,2) este soluţia exerciţiului deoarece 3 + 2 = 5.

Mai putem folosi metoda figurativă prin segmente.

╟──────╢ 5 – 1 = 4 4 : 2 = 2

╟────╢ 2 + 1 = 3 = 3; = 2.

Exemplul 3: Aflaţi numerele ,, a’’, ,, b’’, ,,c’’ ştiind că:

a) a + b + c = 70 b) a + b + c = 100

a + b = 60 a + b = 70

b + c = 50 a + c = 80

În acest caz se poate utiliza asociativitatea adunării şi înlocuim:

( a + b ) + c = 70 a + ( b + c ) = 70 a + b + c = 70

( a + b ) = 60 b + c = 50 29 + b + 10 = 70

60 + c = 70 a = 20 b = 4

c = 10

f) Exerciţii de aflare a cifrelor notate cu litere sau steluţe ale unor numere din diferite

operaţii.

Exemplul 1: Înlocuiţi cu cifre corespunzătoare:

45+ 28+ 25+

2* *1 *5

67 49 40

Exemplul 2: Să se afle cifrele din adunarea următoare:

a b c d +

b c d

c d

d

19 8 6

Se observă că a = 1, iar 4d = *6(un număr de 2 cifre care are la unităţi 6 ,ex.-16, 26, 36, 46,...)

De aici rezultă că d = 4 sau d = 9.

Dacă d = 4, atunci 3c + 1 = *8; 3c = *7; c = 9; 2b = 9, deci b nu există.

Dacă d = 9, atunci 3c + 3 = *8; 3c = *5; c = 5; b = 4, deci numărul abcd = 1459.

55

Exemplul 3: Completaţi locul figurilor cu cifre de la o la 9 în aşa fel încât operaţia indicată

să fie corectă: 4 7 2 1 +

3 0 4 5

7 2 3 0

8 2 1 .

2 3 8 5 1 2

Exemplul 4: Completaţi căsuţele cu cifre potrivite astfel încât operaţia să fie corectă:

3 -- 6 -- 8 3 –

1 9 7 3 9 7 3 2 .

4 7 2 1 2 8 3

Exemplul 5: Înlocuiţi semnul steluţă cu cifre corespunzătoare astfel încât să obţineţi

rezultate corecte:

4 8 + 3 5 + * 2 8 +

* * * 1 4 *

6 9 4 6 6 1 9

Exemplul 6: Reconstituiţi următoarea înmulţire:

2 4 x a = 120

g) Exerciţii pentru conştientizarea folosirii proprietăţii operaţiilor la aplicarea

algoritmilor de calcul:

În asemenea exerciţii nu se aplică direct regulile obişnuite de calcul în scris, ci se cere

elevilor să aplice mai întâi proprietăţile operaţiilor în vederea uşurării calculelor.

Exemplul 1:

37 + 24 + 43 + 16 = ( 37 + 43) + ( 24 + 16) = 80 + 40 = 120

25 x 18 x 4 = ( 25 x 4 ) x 18 = 100 x 18 = 1800

În aceste cazuri s-a folosit comutativitatea şi asociativitatea adunării, respectiv a înmulţirii.

305 x 8 = ( 300 + 5 ) x 8 = 300 x 8 + 5 x 8 = 2400 + 40 = 2440

Aici s- a folosit distributivitatea adunării şi asociativitatea înmulţirii.

Exemplul 2: Rezolvaţi exerciţiul de mai jos pentru a obţine pe rând rezultatele: 0, 16, 40.

Folosiţi şi paranteze dacă este nevoie.

4 x 5 : 2 + 8 – 2 = 20 : 2 + 8 – 2 = 10 + 8 – 2 = 18 – 2 = 16

4 x 5 : ( 2 + 8 ) – 2 = 20 : 10 – 2 = 2 – 2 = 0

5 x ( 4: 2 + 8 – 2 ) = 5 x ( 2 + 8 – 2 ) = 5 x (10 – 2) = 5 x 8 = 40

Exemplul 3: Procedeul înmulţirii succesive şi distributivitatea înmulţirii faţă de adunare.

20 x 4 = 20 x 2 x 2 = 40 x 2 = 80

35 x 6 = 35 x 2 x 3 = 70 x 3 = 210

56

Exemplul 4: Procedeul rotunjirii numerelor:

12 x 9 = 12 x ( 10 – 1) = 12 x 10 – 12 x 1 = 120 - 12 = 108

Exemplul 5: Procedeul rapid al înmulţirii cu 11 sau 111.

35 x 11 = 35 x ( 10 + 1)= 35 x 10 + 35 x 1 = 350 + 35 = 285

45 x 111= 45 x ( 100 + 10 + 1)= 45 x 100 + 45 x 10 + 45 x 1 = 4500 + 450 +45=4995

Exemplul 6: Efectuează suma mai multor numere care diferă prin câteva unităţi:

54+ 55+ 57+ 52+ 53= (50 x 5)+ 4+ 5+ 7+ 2+ 3=250+ 21= 271 sau

55+ 54+ 52+ 53+ 57= (55+ 52)+ (54+ 53)+ 57= 107+107+57= 271

h) Exerciţii de perspicacitate. Lanţuri de operatori:

Elevii pot fi antrenaţi în diferite alte forme de jocuri când avem de- a face cu

combinaţii posibile dintre numere şi operaţii. Aceste tipuri de exerciţii stimulează interesul şi

competivitatea echipelor pentru a ajunge la rezultatul corect. Astfel de jocuri pot fi: jocuri de

completare, exerciţii de perspicacitate al căror scop este de a antrena elevii pentru a găsi, prin

procedee subtile de raţionament, semnele operaţiilor care trebuie efectuate cu acelaşi număr

pentru a obţine rezultatul dorit.

Exemplul 1: Realizaţi următoarele egalităţi completând cu semnele operaţiilor aritmetice:

3 ... 3 ... 3 ... 3 = 3 R: ( 3 + 3 + 3 ) : 3 = 3

3 ... 3 ... 3 ... 3 = 4 R: ( 3 x 3 + 3 ) : 3 = 4

3 ... 3 ... 3 ... 3 = 5 R: 3 + 3 – ( 3 : 3 ) = 5

3 ... 3 ... 3 ... 3 = 6 R: ( 3 + 3 )+ ( 3 – 3 ) = 6

3 ... 3 ... 3 ... 3 = 7 R: ( 3 + 3) + ( 3 : 3 ) = 7

3 ... 3 ... 3 ... 3 = 8 R: ( 3 x 3 ) – ( 3 : 3 )= 8

3 ... 3 ... 3 ... 3 = 9 R: ( 3 x 3 )+( 3 – 3 ) = 9

3 ... 3 ... 3 ... 3 = 10 R: ( 3 x 3 ) + ( 3 : 3 ) = 10

Exemplul 2: Completaţi pătratul de mai jos astfel încât suma numerelor de pe fiecare linie

din fiecare coloană şi din diagonală să fie egale cu 15.

8 2

2 8

2

Exemplul 3: După schemă efectuaţi calculele:

3 5 5 Soluţia:

x x ( 3 x 5 ) + ( 5 x 5 ) = 15 + 25 = 40

+

57

Exemplul 4: Continuă şirul şi completează:

19 + 5 : 3 x 2 - 6 + 5

Răspuns: ( 19 + 5 ) : 3 x 2 – 6 + 5 = 15

Exemplul 5: Completează căsuţele:

2 x 6 + 8 Soluţia: 12, 20.

Exemplul 6: Descopera semnul operaţiei:

18 Soluţia: --; : ; x ; +

... 6 ...6

24 3

+6 x6

18

Acest rol de exerciţii au un rol formativ foarte mare.

Modul în care intervin în procesul rezolvării, atenţia, imaginaţia, spiritul de

observaţie, iniţiativa personală, satisfacţia succesului, fac din aceste exerciţii un mijloc de

însuşire conştientă a cunoştinţelor şi de dezvoltare a gândirii creatoare. Aceste tipuri de

exerciţii pregătesc elevii pentru însuşirea mai uşoară a algebrei. Aici se pun bazele ecuaţiei,

funcţiei, etc., noţiuni care vor fi aprofundate şi explicate mai târziu în aritmetică.

Folosirea schemelor logice - mijloc de dezvoltare a creativităţii gândirii:

Urmărind dezvoltarea flexibilităţii şi gândirii elevilor în procesul de rezolvare a

problemelor, un loc deosebit de important îl ocupă şi îl au schemele logice, în special pentru

problemele la examinarea cărora se poate aplica metoda analitică sau sintetică. Schema logică

constituie suportul intuitiv atât pentru enunţul problemei dar în special pentru judecata ei. Ele

nu sunt absolut indispensabile în rezolvarea şi compunerea problemelor dar au un rol

important pentru că focalizează acele calităţi pe care trebuie să le aibă gândirea creativă,

flexibilitatea, fluenţa, divergenţa.

Dacă facem referire la particularităţile de dezvoltare a copiilor la această vârstă,

schema logică este totuşi necesară şi ea începe să fie alcătuită încă din etapa scrierii datelor

problemei. Aceasta face legătura între informaţiile iniţiale şi întrebarea problemei. În

alcătuirea unei scheme logice, la primul nivel apar datele problemei, iar la nivelele următoare

se alcătuiesc inductiv problemele simple până la întrebarea finală.

Scheme logice sunt de mai multe tipuri:

Exemple de scheme logice care se pot alcătui în rezolvarea problemelor:

58

Exemplul 1: Mihai are 50 de lei. El mai primeşte de la fratele lui 100 de lei. Câţi lei va avea

în total Mihai?

Se notează datele problemei pe tablă:

50 lei ...................... 100 lei ...........? lei are în total

Schema logică se poate alcătui astfel:

Sintetic Analitic

50 lei 100 lei ? lei

+

50 lei + 100 lei ? lei 50 lei 100 lei

Judecata problemei se realizează după ce s- au fixat bine datele problemei din enunţ,

separarea de întrebare prin conversaţie euristică.

Se scriu datele problemei. Învăţătoarea desenează schema logică pe tablă, iar elevii în

caiete. Se trece la rezolvarea ei. Se scrie pe tablă şi elevii în caiete rezolvarea problemei.

Tot asemănător, cu ajutorul schemei logice se pot rezolva şi probleme ce conduc la

operaţia de scădere.

Dacă la început schemele logice cuprind valori date ale mărimilor, în pasul următor

vom folosi numere pentru a fi utile în rezolvarea tuturor problemelor de acest tip. Se observă

că în prima problemă aflăm restul şi în problema următoare aflăm diferenţa. Schemele logice

îi ajută pe copii să facă în continuare judecata şi rezolvarea problemelor compuse.

Exemplul 3: O cloşcă are 15 puişori albi şi 5 puişori negri. Dintre aceştia i s- au rătăcit 2

puişori. Câţi puişori i- au rămas cloştei?

Scrierea datelor problemei în ordinea datelor ei: 15, 5, 2 ajută gândirea elevilor sub

îndrumarea învăţătorului, în urma discuţiilor purtate cum am putea rezolva mai întâi problema

dacă cloşca are 15 puişori albi şi încă 5 negri, câţi puişori are şi câţi din ei s- au rătăcit, putem

afla câţi puişori mai are cloşca.

15 5 2

prima acţiune +

20 -- 2

a doua acţiune

18

Urmărind această schemă putem observa că prima acţiune este aceea că ştim câţi pui albi şi

câţi pui negri are cloşca şi putem afla totalul de puişori. Aceasta reprezintă prima problemă

simplă, iar a doua acţiune este aceea că doi pui s- au rătăcit şi putem afla câţi au rămas cu

59

cloşca. Aceasta reprezintă a doua problemă simplă.

În cazul rezolvării problemelor compuse, învăţătorul trebuie să urmărească:

- În primul rând alcătuirea problemei simple; se stabilesc acţiuni ale problemei şi se

constată că fiecare reprezintă o problemă simplă;

- Stabilirea operaţiei de rezolvare a problemei simple; în urma câtorva rezolvări, elevii

deduc cu uşurinţă, din limbajul folosit, operaţia şi semnul pe care trebuie să îl folosească;

- Adunarea, cu semnul ,,+’’, apare în expresiile ,,cu atât mai mult’’, ,,în total’’,

,,sumă’’, ,,mărit cu...’’;

- Scăderea, cu semnul,, -’’, apare în expresiile,, cu atât mai puţin’’, ,, care este

diferenţa’’, ,,micşorat cu...’’, ,, cu cât este mai mult’’;

Cu ajutorul schemelor logice transpuse în formule de rezolvare, putem, de exemplu, clasifica

problemele cu două şi trei operaţii, acre se predau în clasa I. Acestea ar fi de tipul: ( a+ b)+ c;

a+ b+ c; a+( b+ c); a- ( b+ c); a- b- c; a+( a- b); a- (b- c); a- b+ c; a+ b- c.

O parte din aceste probleme se pot rezolva prin mai multe metode, cum ar fi de tipul:

a- (b+ c) = a- b- c.

Exemplu: La un magazin s- au adus 90 kg fructe. Dintre acestea, 30 kg sunt banane, 20 kg

sunt portocale şi restul lămâi. Câte kg de lămâi s- au adus în magazin?

Această problemă are două căi de rezolvare, după cum urmează: În rezolvare vom folosi

scheme logice:

90 30 20 ? kg 90 30 20 ? kg

+ -

50 60

40 kg 40

90kg- (30kg+ 20kg) = ? kg 90kg- 30kg- 20kg = ? kg

Aici am putut ilustra cum contribuie schema logică la stabilirea celor două căi de rezolvare.

În vederea educării creativităţii elevilor, de o mare importanţă este să le formăm

acestora capacitatea de a crea probleme. Această capacitate se realizează numai în urma unei

experienţe anterioare câştigate. După ce copiii sunt familiarizaţi cu schemele logice şi cu

problemele reprezentate sub formă de exerciţii le putem cere acestora să alcătuiască probleme

în mai multe etape:

- Faza concretă, când le prezentăm efectiv obiectivele, iar verbal le prezentăm relaţia dintre

ele şi le cerem problema;

- Faza semiconcretă, când le prezentăm imagini ale obiectelor;

- Faza semiabstractă sau abstractă, când le prezentăm schema logică, o formulă sub formă de

60

exerciţiu şi le cerem să alcătuiască problema;

Exemplu: Alcătuiţi o problemă după schema de mai jos:

a) 63 19 b) 79- 25 = ?

--

c) d)

--

La punctul a) se dă schema logică cu datele ei şi operaţiile( relaţiile dintre ele);

La punctul b) se dă numai exerciţiul de scădere;

La punctul c) nu se dau datele, ele sunt arbitrare, dar se dă relaţia de scădere;

La punctul d) nu se dau nici datele, nici relaţia dintre ele.

În alcătuirea problemelor, copiii pot folosi texte diferite, important este ca din punct

de vedere logic toate enunţurile să prezinte aceeaşi schemă, acelaşi raţionament şi din punct

de vedere matematic să se rezolve prin aceeaşi operaţie, cu acelaşi rezultat.

În continuare voi prezenta câteva enunţuri compuse de elevi:

1) La un aprozar s- au adus 63 lăzi cu cireşe şi s- au vândut 19 lăzi cu cireşe. Câte lăzi cu

cireşe au mai rămas?

2) Bunicul are 63 de ani. Nepoţica lui, Irina, are 19 ani. Cu câţi ani este mai în vârstă

bunicul decât nepoata sa?

3) Aurel a cules 63 kg prune. Ionel a cules cu 19 kg mai puţin decât Aurel. Câte kg de prune

a cules Ionel?

Voi da ca exemplu o problemă care cuprinde şi mai multe operaţii şi care cere mai multe

rezolvări:

La o florărie s- au vândut de dimineaţă 27 garoafe, trandafiri cu 9 mai puţin, iar

gladiole cu 16 mai puţine decât garoafe şi trandafiri. Câte flori s- au vândut?

Pentru a rezolva conştient acesată problemă, elevii vor fi solicitaţi să scrie datele în

căsuţe şi o căsuţă să o rezerve pentru întrebarea problemei.

27 garoafe .........cu 9 mai puţini trandafiri ........... cu 16 mai puţine gladiole decât

garoafe şi trandafiri..................? flori

După ce am completat datele problemei, se repetă enunţul pentru a se fixa datele lui

şi pentru a putea fi memorate pentru etapa următoare, judecata problemei. Această judecată se

stabileşte euristic odată cu completarea schemei pe mai multe variante.

Prima variantă:

61

1) Câţi trandafiri s- au vândut?

2) Câte gladiole s- au vândut?

3) Câte flori s- au vândut?

Varianta a doua:

1) Câţi trandafiri s- au vândut?

2) Câte garoafe şi trandafiri s- au vândut?

3) Câte gladiole s- au vândut?

4) Câte flori s- au vândut?

Am folosit alt procedeu încă din clasa I când elevii au avut ca sarcină compunerea de

probleme (oral) după desene.

Exemplific prin câteva probleme compuse de elevi după imaginile:

Exemplul 1:

În curtea bunicii am văzut 1 raţă care mânca iarbă, iar alte 2 care mâncau făină de

porumb.

Câte raţe erau în curtea bunicii?

Exemplul 2:

Pe frunzele de pe apa unui lac se odihneau 2 broscuţe. Încă o broscuţă obosită a venit

să se odihnească. Câte broscuţe se odihnesc acum?

Exemplul 3:

În curtea noastră erau 5 oameni de zăpadă. 2 dintre ei s-au topit.

62

Câţi oameni de zăpadă mai sunt in curtea noastră?

Exemplul 4:

Pe o creangă erau 3 fluturi. Au mai venit 2 fluturi.

Câţi fluturi sunt acum pe floare?

În clasa III elevii au primit ca sarcină compunerea de probleme după desene, dar în

care erau specificate operaţiile prin care trebuie rezolvată problema.

Probleme de înmulţire:

Exemplul 1: Compune o problemă după imagine, care să se rezolve prin operaţia de

înmulţire.

Câte buline sunt pe aripile a 4 fluturi de acelaşi fel, dacă pe aripile unui singur

fluture sunt 4 buline?


înmulţire.

Câte picioare au cele 7 vaci?

Sau

Câţi litri de lapte dau într-o zi 7 vaci, daca o vacă dă pe zi 5 litri de lapte?

Exemplul 3: Compune o problemă după imagine, care să se rezolve prin operaţii de

înmulţire şi adunare.

Câte picioare au doi câini, două buburuze şi doi păianjeni?

63

Probleme de împărţire:


împărţire.

Mama are 24 mere. Ea le împarte celor doi copii ai ei.

Câte mere primeşte fiecare copil?

Exemplul 2: Compune o problemă după imagine, care să se rezolve prin operaţii de

împărţire şi adunare.

Mama are în grădină 6 garoafe şi 9 trandafiri. Ea face din flori buchete de câte 3

flori.

Câte buchete face mama?

Prin compunerea de probleme după expresii numerice, elevii observă corelaţia dintre

exerciţii şi probleme. Ei trebuie să aleagă domeniul, mărimile potrivite pentru ca datele

numerice să corespundă realităţii. Pentru a compune asemenea probleme, ei trebuie să

stăpânească foarte bine terminologia specifică fiecărei operaţii matematice pentru a formula

exprimarea corespunzătoare operaţiei indicate în formula numerică. Pentru a putea preciza

întrebarea problemei, am obişnuit elevii să studieze exerciţiul numeric, pentru a descoperii

operaţia care duce la rezultatul final. Pentru a putea realiza acest lucru este nevoie ca elevii să

stăpânească foarte bine şi ordinea efectuării operaţiilor.

În clasele I-II am folosit expresii numerice simple, iar pe măsura înaintării în studiul

matematicii, în clasele III-IV, expresiile numerice s-au complicat. Folosind acest procedeu

pentru dezvoltarea creativităţii elevilor, am avut posibilitatea să lucrez diferenţiat cu elevii în

funcţie de capacităţile lor în ceea ce priveşte rezolvarea şi compunerea de probleme.

64

Formulele numerice utilizate au fost cele care se încadrează în cerinţele programei

şcolare pentru ciclul primar. Pentru a demonstra capacitatea creatoare şi caracterul realist al

gândirii, voi da câteva exemple de compunere a problemelor la clasa a-III-a:

3213 + ( 3213 + 342 ) =

Exemplul 1:

O seră a livrat unei florării 3213 trandafiri şi cu 342 mai multe garoafe. Câte fire de

flori a livrat acea seră?

Exemplul 2:

La o croitorie s-au confecţionat în prima zi 3213 cămăşi, iar a doua zi cu 342 mai

multe. Câte cămăşi s-au confecţionat în cele două zile?

Exemplul 3:

La o fabrică de pâine a produs în prima zi 3213 pâini albe şi cu 342 mai multe

franzele. Câte pâini şi franzele a produs fabrica?

3 x 7 – 7 =

Exemplul 1:

Din produsul numerelor 3 şi 7 scade numărul 7.

Exemplul 2:

Într-un parc erau 3 rânduri cu câte 7 lalele. Câte lalele mai sunt în parc dacă 7 s-au

uscat?

Exemplul 3:

La un magazin erau 3 lăzi cu câte 7 kg de roşii. S-au vândut 7 kg. Câte kg de roşii au

mai rămas în magazin?

3 x 2 x 4 =

Exemplul 1:

Află produsul dintre numerele 3, 2 şi 4.

Exemplul 2:

Ionuţ a rezolvat 3 probleme, Dana de două ori mai multe, iar Andrei de 4 ori mai

multe decât Dana. Cîte probleme a rezolvat Andrei?

Exemplul 3:

Într-o clasă sunt 3 rânduri de bănci cu câte 4 bănci pe rând. Câţi elevi sunt în clasă,

dacă toate băncile sunt ocupate?

6 x 9 + 7 x 8 =

Exemplul 1:

Află suma dintre produsul numerelor 6 şi 9 şi produsul numerelor 7 şi 8.

Exemplul 2:

65

Câţi elevi sunt în clasele I şi a-II –a, dacă: elevii clasei I se pot grupa în 6 rânduri a

câte 9 elevi, iar cei din clasa a-II –a în 7 rânduri a câte 8 elevi?

Exemplul 3:

La un magazin s-au adus 6 lăzi a câte 9 kg de mere şi 7 lăzi a câte 8 kg de pere. Câte

kg de fructe s-au adus?

32 x 8 x 7 =

Exemplul 1:

Află un număr de 7 ori mai mare decât câtul numerelor 32 şi 7.

Exemplul 2:

Radu are 32 maşinuţe, de 8 ori mai puţine mingi, iar animale de pluş de 7 ori mai

multe decât mingi. Câte animale de pluş are Radu?

15 : 3 -12 : 3 =

Exemplul 1:

Cu cât este mai mare câtul numerelor 15 şi 3 decât câtul numerelor 12 şi 3?

Exemplul 2:

Mama le-a dat celor 3 copii ai ei 15 mere şi 12 pere. Cu cât a primit fiecare mai

multe mere decât pere?

Compunerea de probleme după un exerciţiu literal oferă un câmp larg educării

creativităţii. În clasele I şi a-II-a se folosesc expresii simple ce presupun compunerea de

probleme ce se rezolvă prin 1-2 operaţii, iar în clasele a-III-a şi a-IV-a se folosesc expresii

literale mai complicate ce presupun compunerea de probleme ce se rezolvă prin mai mult de

două operaţii.

Am dat elevilor posibilitatea să se bucure de reuşită în activitatea de compunere de

probleme după expresii literale, lucrând diferenţiat, pe grupe.

Prezint în continuare câteva expresii literale, folosite în ciclul primar ca punct de

plecare în compunerea de probleme.

Clasele I şi a II-a

a + b a + b + c a – b + c a + ( a + b )

a - b a + b - c a – b -c a + ( a – b )

Clasele a III-a şi a IV-a

a x b a x b + c x d

a : b (a + b) x c

a + (a + b) + c (a – b) x c

a + (a +b) + (a + c) a x b – a x c

a + (a x b) a : b x c

66

a + (a : b) a – (a : b)

a x b –c (a + b) : c

a x b x c (a – b) :c

a x b – a x c a : b + c : b

Prezint câteva exemple de probleme compuse de elevi după un exerciţiu literal dat:

După expresia:

a + b – c

Exemplul 1:

Bunicul a avut 20 de oi albe şi 7 oi negre. A vândut 14 oi. Câte oi i-au mai rămas?

Exemplul 2:

Într-un coş erau 15 mere şi 8 pere. S-au consumat 10 fructe. Câte fructe au mai rămas

în coş?

După expresia:

a + (a + b)

Exemplul 1:

La un magazin s-au vândut dimineaţa 50 de lăzi cu căpşuni, iar după-amiaza cu 30

mmai multe. Câte lăzi cu căpşuni s-au vândut în ziua respectivă?

Exemplul 2:

Într-o livadă s-au plantat 35 de caişi şi cu 15 mai mulţi peri. Câţi pomi s-au plantat

în livadă?

După expresia:

a x c + b x c

Exemplul 1:

Pe un raft sunt 7 pachete de făină a câte 3 kg fiecare şi alte 9 pachete a câte 5 kg

fiecare. Câte kg de făină sunt pe cele două rafturi?

Exemplul 2:

Într-o livadă sunt 6 rânduri cu meri şi 8 rânduri cu peri. Câţi pomi sunt în livadă

ştiind că pe fiecare rând sunt 6 pomi?

După expresia:

(a + a + b) : c

Exemplul 1:

Într-o ladă sunt 56 kg de portocale, iar în alta cu 14 mai multe. Portocalele au fost

ambalate în pungi de câte 10 kg. Câte pungi sunt necesare?

Exemplul 2:

67

În clasa noastră sunt 9 fete şi cu 4 mai mulţi băieţi. Cîte bănci sunt necesare, dacă

stăm câte 2 în bancă?

După expresia:

a – (b + b x c)

Exemplul 1:

La piaţă, mama a plătit pentru cartofi de 15 lei, iar pentru struguri de două ori mai

mult. Ce rest a primit de la 100 lei?

Exemplul 2:

Oana a citit dintr-o carte care avea 190 de pagini în prima zi 34 de pagini, iar a doua

zi de trei ori mai multe. Cîte pagini mai are de citit?

La clasa a III-a am dat spre rezolvare compunerea de probleme după un model

simbolic. Am dat posibilitatea elevilor să lucreze în echipă şi astfel rezultatele au fost mai

variate şi totodată mai interesante. Ofer câteva exemple de cerinţe şi de probleme compuse de

elevi.

Exemplul 1: Compune o problemă care să se rezolve după exerciţul dat:

a + b = 264

a – b = 32

1. Suma a două numere este 264, iar diferenţa 32. Aflaţi numerele.

2. Alin şi Dan au colecţionat împreună 264 timbre. Câte timbre a colecţionat fiecare,

dacă Dan are cu 32 mai multe decât Alin?

3. La o fermă sunt 264 oi albe şi negre. Numărul oilor albe este cu 32 mai mare decât

al oilor negre. Aflaţi numărul oilor de fiecare culoare.


a + b + c = 189

a + b = 147

b + c = 105

1. Suma a trei numere este 189. Suma primelor două este 147, iar suma dintre primul

număr şi al treilea este 105. Care sunt numerele?

2. Dintr-o livadă s-au cules 189 kg de mere, pere şi prune. S-au cules 147 kg mere şi

pere şi 105 kg pere şi prune. Căte kg s-au cules din fiecare fel de fructe?


a + b = 370

b + c = 400

a + c = 340

68

1. Ada, Alina şi Maria colecţionează vederi. Ada şi Alina au 370 vederi, Alina şi

Maria au 400 de vederi, iar Ada şi Maria 340 vederi. Câte vederi au colecţionat fiecare?

2. Trei echipe de muncitori au săpat un şanţ astfel: prima echipăşi a doua au săpat

împreună 370 m, a doua şi a treia 400 m, iar prima şi a treia 340 m. Câţi metri de şanţ a

săpat fiecare echipă?

Exemplul 4: Compune o problemă care să se rezolve după exerciţul dat, ştiind că:

a : b x c = ?

a este cel mai mare număr natural par de două cifre identice;

b este cel mai mic număr par diferit de 0;

c = 2.

Compunerea de probleme după date numerice are largă aplicabilitate, folosind numere

din concentre diferite. Elevii pot compune o varietate de probleme simple sau complexe,

punând în relaţie datele indicate.

Exemplul 1: După datele: 29 flori, 5 narcise, 24 zambile,

-alegând două dintre aceste variante (la clasa I)

1. Monica a cules 5 narcise şi 24 zambile. Câte flori a cules Monica?

2. Alina a sădit 29 de flori, narcise şi zambile. Câte narcise a sădit, dacă zambile a

sădit 24?

Exemplul 2: După datele: 9,13, 32

1. Într-un autobuz erau 32 de călători. La prima staţie au coborât şi s-au urcat 9. Câţi

călători sunt acum în autobuz?

2. Radu a citit într-o zi 13 pagini, a doua zi de 9 ori mai multe, iar a treia zi cu 32

pagini mai multe decât a doua zi. Câte pagini a citit radu în cele trei zile?

Exemplul 3: După datele: 35, 2/5, 20

1. Maria are de parcurs până la bunicii săi 35 km. 2/5 din drum l-a parcurs cu trenul,

20 km cu autobuzul, iar restul pe jos. Câţi km a parcurs Maria?

2. Ioana a rezolvat într-o săptămână 35 probleme, în a doua săptămână 2/5 din

numărul problemelor rezolvate în prima săptămână, iar în a treia săptămână cu 20 de

probleme mai multe decât în săptămâna a doua. Câte probleme a rezolvat Ioana în cele trei

săptămâni?

În compunerea de probleme prin operaţiile matematice indicate, am îndrumat elevii

încă din clasa I. Am pornit de la compunerea de probleme ce presupun în rezolvare o singură

operaţie matematică, ajungând la probleme ce presupun în rezolvare două , trei sau mai multe

operaţii matematice.

69

Exemplul 1: Compunerea unei probleme ce se rezolvă printr-o operaţie de adunare

(clasa I).

1. Ana are 5 baloane verzi şi 4 baloane albastre. Câte baloane are Ana în total?

2. Mara a plantat 12 lalele şi cu 3 mai multe narcise. Câte narcise a plantat Mara?

Exemplul 2: Compunerea unei probleme ce se rezolvă prin o înmulţire şi o adunare

(clasa a III-a)

La un magazin sunt 12 lăzi cu mere şi de 3 ori mai multe lăzi cu pere. Câta lăzi cu

fructe sunt la magazin?

Exemplul 3: Compunerea unei probleme ce se rezolvă prin două înmulţiri şi o adunare

La o librărie s-au adus 5 colete a câte 12 cărţi şi 9 colete a câte 15 cărţi. Câte cărţi s-

au adus la librărie?

Exemplul 4: Compunerea unei probleme ce se rezolvă prin împărţirea unei sume la un

număr

Cătălina are 15 timbre cu animale şi 12 timbre cu flori. Ea a dat celor 3 veri ai ei

câte 3 timbre. Câte timbre a primit fiecare văr?

Exemplul 5: Compunerea unei probleme ce se rezolvă prin împărţirea unei diferenţe la

un număr

Andrei a pus în două sertare, în mod egal, 12 caiete de matematică şi 4 caiete de

limba română. Cu cât sunt mai multe, într-un sertar, caietele de matematică decât cele de

limba română?

Exemplul 6. Compunerea unei probleme ce se rezolvă prin toate operaţiile învăţate

(clasa a IV-a)

Un elev a rezolvat probleme astfel: în prima zi 6 probleme, a doua zi cu 4 mai puţine,

a treia zi de două ori mai multe decât a doua zi, iar a patra zi un sfert din numărul

problemelor rezolvate a treia zi. Câte probleme a rezolvat elevul?

Am solicitat elevii să compună probleme după un plan de rezolvare dat, după ce am

constatat că elevii stăpânesc algoritmul de rezolvare a problemelor compuse. Am pornit de la

compunerea de probleme după un plan de rezolvare ce presupune două întrebări, complicând

sarcinile lucru treptat şi ajungând la compunerea de probleme după un plan de rezolvare cu

trei sau mai multe întrebări.

În etapa de început am lucrat frontal, îndrumându-i pe elevi în activitatea de

compunere a problemelor pornind de la un plan de rezolvare dat.

Ofer spre exemplificare următorul plan de rezolvare:

1. Câte timbre a cumpărat Gina?

2. Câte timbre a pus pe o pagină de clasor?

70

La compunerea problemei s-a lucrat frontal, elevii fiind sprijiniţi prin întrebări de

tipul:

,,Ce trebuie să ştim pentru a afla câte timbre a pus pe o pagină? ( numărul de timbre şi

câte pagini din clasor a ocupat).”

,,Putem preciza în problemă numărul total de timbre? (nu, fiindcă primul punct al

planului cere aflarea numărului total de timbre cumpărate de Gina).”

Elevii sunt sprijiniţi şi în alegerea datelor numerice, pentru a realiza operaţii

corespunzătoare. Se pot alege asfel numere care se împart exact la 10, 5, 2 8mai uşor de

găsit).

Astfel s-a compus problema:

Gina a cumpărat 5 plicuri a câte 40 de timbre fiecare. Câte timbre a pus pe o pagină,

dacă a avut nevoie de 10 pagini în clasor pentru a aşeza toate timbrele?

Procedeele utilizate în activitate de compunere a problemelor şi cerinăele formulate

supun elevii la eforturi intelectuale mari şi de aceea au o valoare formativă deosebită în

direcţia dezvoltării creativităţii.

Analizând problemele compuse de elevi, am constatat că majoritatea elevilor ştiu să

compună probleme date conforme cu realitatea şi respectând cerinţele formulate. O parte din

elevi au nevoie de îndrumare şi de mai mult exerciţiu pentru a înţelege şi a se familiariza cu

un anumit procedeu. Unii elevi au compus şi probleme greşite (sau parţial greşite), aceştia

necesitând acordarea de sprijin pe o perioadă îndelungată şi sarcini diferenţiate de lucru cu un

grad mai scăzut de dificultate.

Făcând analiza problemelor compuse de elevi, întotdeauna stabileam dacă problema

respectă cerinţele formulate, iar în cazul în care constatăm greşeli ale elevilor îi îndrumam să-

şi recompună problema Este foarte important să depistăm dificultăţile întâmpinate de elevi şi

să le corectăm la timp.

În activitatea de rezolvare şi compunere de probleme am urmărit, pe lângă dezvoltarea

creativităţii elevilor, îmbogăţirea continuă a exprimării orale şi scrise a elevilor, atât din punct

de vedere matematic, cât şi gramatical; îmbogăţirea vocabularului lor matematic şi a

vocabularului lor de cunoştinţe; dezvoltarea capacităţii de corelare a lor şi mai ales de transfer

şi folosire a acestora în practică; nuanţarea exprimării orale a copiilor înexpunerea

problemelor propuse pentru a scoate în evidenţă atât datele cât mai ales relaţiile dintre ele şi

întrebarea problemei.

Dacă elevii vor fi stimulaţi şi în acordarea calificativelor se va ţine seama şi de originalitatea

soluţiilor, de capacitatea de a interpreta şi aplica cunoştinţele, atunci şi rezultatele pe linia

dezvoltării creativităţii vor fi mai bune.

71

CULTIVAREA CREATIVITĂŢII ELEVILOR ÎN ACTIVITATEA DE

REZOLVARE ŞI COMPUNERE A PROBLEMELOR

Formarea noţiunilor de problemă şi a celor două componente ale ei

Noţiunea de problemă are un conţinut larg şi cuprinde o gamă largă de preocupări şi

acţiuni în domenii variate. Din punct de vedere psihologic ,,o problemă’’ este orice situaţie,

dificultate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu

există răspuns gata formulat şi deci, cere găsirea unui răspuns.

În sens larg, orice chestiune de natură practică sau teoretică care cere o soluţionare, o

rezolvare, poartă numele de problemă.

În ceea ce priveşte matematica, prin problemă se înţelege o situaţie a cărei rezolvare,

soluţionare se poate obţine esenţial prin procese de gândire şi calcul. Deci problema de

matematică reprezintă transpunerea unei situaţii practice sau a unui şir de situaţii practice în

relaţii cantitative în care, pe baza valorilor numerice date şi aflate într-o anumită dependenţă

unele faţă de altele şi faţă de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere

determinarea acestor valori numerice necunoscute.

Orice problemă presupune cel puţin o necunoscută pentru că, dacă n-ar fi

nescunoscuta, nu am avea nimic de rezolvat, de soluţionat. Pe de altă parte, în orice problemă

trebuie să fie ceva cunoscut, ceva ce este dat ( cunoscutele se numesc datele problemei).

De asemenea, în orice problemă trebuie să existe o condiţie care arată în ce fel

necunoscut este legată de date. Condiţia constituie o parte esenţială a problemei.

Pentru a putea rezolva o problemă cu succes, este important şi necesar să înţelegem

conţinutul ei şi să delimităm de la început ceea ce ştimşi ceea ce nu ştim pe baza textului

problemei(a datelor şi condiţiilor) precum şi direcţia în car etrebuie să se desfăşoare gândirea

pentru a ajunge să se găsească soluţia, adică răspunsul la întrebarea problemei.

Primele probleme simple sunt acelea pe care şi le pun copii zilnic, la şcoală, în

familie, la joacă şi care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-l putea face pe elev,

începând cu clasa I, să vadă importanţa activităţii de rezolvare a problemelor, este necesar ca

aceşti mici şcolari să înţeleagă faptul că în viaţa de toate zilele sunt o mulţime de situaţii când

trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări.

În clasele mici, activitatea d erezolvare şi compunere a problemelor se face numai pe

cale intuitivă. De aceea primele probleme se introduc sub formă de joc şi au un caracter de

problemă acţiune. Acestora trebuie să li se asocieze un bogat şi variat material didactic

ilustrativ.

72

Rezolvarea primelor probleme se realizează la nivel concret, ca acţiuni de viaţă ( au

mai venit...băieţi, s-au spart...baloane, au plecat...căţei, au mâncat...mere, au

zburat...păsărele,etc) ilustrate prin imagini sau chiar prin acţiuni regizate de elevi. În această

fază, activitatea de rezolvare a problemelor se află foarte aproape de cea de calcul.

O mare dificultate ce o întâmpină elevii este aceea de a transpune acţiuni concrete în

relaţii matematice. În enunţul problemei redat de învăţător nu se spune,,3b + 2b’’ ci ,,erau trei

băieţi şi au mai venit trei băieţi’’. Pe baza experienţei pe care elevii o au încă din perioada

preşcolară şi din primele lecţii de matematică, în efectuarea operaţiilor cu mulţimi ei reuşesc,

în general ,,să traducă’’ în operaţii matematice acţiunile cerute în enunţul unei probleme.

Treptat ei vor fi familiarizaţi cu noţiunea de ,,problemă, întrebarea problemei, rezultatul

problemei’’.

Strategii didactice folosite pentru dezvoltarea creativităţii elevilor prin rezolvări şi

compuneri de probleme.

Munca de rezolvare şi compunere a problemelor oferă posibilităţile cele mai bune din

domeniul activităţilor matematice pentru cultivarea şi educarea creativităţii şi inventivităţii.

Diferenţa dintre ,,a învăţa’’ rezolvarea unei probleme şi ,,a şti’’ să rezolvi o problemă nouă

înseamnă, în esenţă, creativitate dar de niveluri diferite. Aceasta nu înseamnă însă că în

activitatea de rezolvare a problemelor avem de-a face numai cu aspecte creative şi să

renunţăm total la cele reproductive. Cultivarea şi educarea creativităţii, mişcarea ei liberă, nu

se poate realiza decât pe baza unor deprinderi corect formate, stabilizate şi eficient transferate.

În această activitate de rezolvare de probleme, deprinderile şi abilităţile se referă în

special la analiza datelor, a condiţiei, la capacitatea de a înţelege întrebarea problemei şi a

orienta desfăşurarea raţionamentului în direcţia descoperirii soluţiei problemei.

Pentru a cultiva şi educa creativitatea, adică gândirea, inteligenţa, imaginaţia elevilor

prin rezolvarea de probleme se folosesc o serie de strategii didactice, adică metode şi

procedee.

Din aceste motive voi enumera câteva pe care le-am folosit şi eu la clasă:

- Complicarea problemei prin introducerea de noi date sau modificarea întrebării problemei:

Exemplu: Două echipe de muncitori au sarcina să construiască 30 km de şosea. După 7 zile

de muncă, prima echipă de muncitori a construit 8 km de şosea, iar cealaltă echipă a

construit 10 km de şosea. Câţi km de şosea mai are de construit fiecare echipă? Sau Câţi km

de şosea mai au de construit cele două echipe?

- Rezolvarea problemei prin două sau mai multe procedee:

I

1) Câţi km de şosea au de construit fiecare echipă?

73

30 km : 2 = 15 km

2) Câţi km de şosea mai are de construit prima echipă?

15 km – 8 km = 7 km

3) Câţi km de şosea mai are de construit a doua echipă?

15 km – 10 km = 5 km

R: 7 km, 5 km.

Pentru a doua întrebare planul de rezolvare va fi puţin diferit:

I III

30 : 2 – 8 = 7 ( km ) 8 km + 10 km = 18 km

30 : 2 – 10 = 5 ( km ) 30 km – 18 km = 12 km

7 km + 5 km = 12 km

- Scrierea rezolvării problemei într-o singură expresie:

Pentru problema precedentă expresia de rezolvare ar fi:

30 km – ( 8 km + 10 km ) = 12 km

- Alegerea celei mai simple şi mai economicoase căi de rezolvare.

- Determinarea schemei generale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-o

anumită categorie şi încadrare sau nu, a unei probleme într-o anumită categorie de probleme.

- Transformarea problemei compuse în exerciţiu cu paranteze care să indice ordinea

operaţiilor.

- Transformarea problemei compuse în exerciţii, astfel încât ordinea operaţiilor să

fie în succesiunea judecăţilor şi relaţiilor corespunzătoare conţinutului problemei.

- Transformarea şi compunerea din 2-3 probleme simple a uneia compuse

Activitatea de compunere a problemelor este una din modalităţile principale de

dezvoltare a gândirii independente şi originale a copiilor, de cultivare şi educare a creativităţii

gândirii lor. Se pot compune şi crea probleme în următoarele forme pe care eu le-am utilizat

la clasă:

- Problemă- acţiune sau cu punere în scenă;

- Compuneri de probleme după tablouri şi imagini;

- Compuneri de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior;

- Probleme cu indicarea operaţiilor matematice cu trebuie efectuate;

- Compuneri de probleme după un plan stabilit;

- Compuneri de probleme cu mai multe întrebări posibile;

- Compuneri de probleme cu o întrebare dată şi cu mai multe conţinuturi date precum şi

relaţiile date ale conţinutului;

- Compuneri de problemă cu întrebare probabilistică;

74

- Compuneri de problemă cu început dat, cu sprijin de limbaj;

- Compuneri de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date;

- Compuneri de probleme după model simbolic;

- Compuneri de probleme după exerciţiu simplu şi compus;

- Compuneri de probleme cu modificarea conţinuturilor şi a datelor;

- Crearea liberă de probleme;

- Probleme de perspicacitate, rebusistice.

În elaborarea unei probleme este necesar ca învăţătorul să utilizeze date şi expresii

reale, mijloace şi procedee din natură, să le ofere împrejurări de viaţă corespunzătoare.

Conţinutul problemei ce urmează a fi propus, trebuie astfel formulat încât să permită elevului

formarea de reprezentări ale acţiunii veridice să-şi fixeze date care să fie în concordanţă cu

realitatea, să utilizeze între aceste date matematice corespunzătoare. În acest sens, elevii vor fi

ajutaţi sugerându-le cadrul în care se desfăşoară acţiunea, să identifice datele problemei şi să

descopere judecăţile şi operaţiile care conduc la rezolvarea problemei.

În această activitate de compunere de probleme, trebuie să ţinem seama în primul rând

de posibilităţile elevilor, prin sarcini gradate, trecându-se treptat de la compunerea liberă la

cea care impune anumite cerinţe, din ce în ce mai restrictive.

Sarcina învăţătorului este să conducă această activitate prin indicaţii clare, prin

exemple sugestive folosite ca modele, prin cerinţe raţionale, să canalizeze gândirea şi

imaginaţia copiilor spre asociaţii din ce în ce mai întâmplătoare. De asemenea, trebuie să-i

facem pe elevi să aibă încredere în ei, să le stimulăm eforturile intelectuale, să le formăm şi

educăm calităţile moral volitive, să le dezvoltăm interesul şi sensibilitatea în direcţia

rezolvării şi compunerii de probleme noi, să fie receptivi la situaţii problematice cu conţinut

matematic.

Voi prezenta în continuare câteva probleme compuse de elevi:

-pentru problemele cu indicarea operaţiilor matematice ce trebuie efectuate am dat sarcina

elevilor să compună o problemă a cărei rezolvare se poate scrie ,,17 + ( 17 + 10 ) =’’

Exemple compuse:

1) Ionuţ are 17 creioane. Sora lui are cu 10 creioane mai mult. Câte creioane au

împreună cei doi fraţi?

2) Mama a cumpărat de la piaţă 17 kg de gogşari şi vinete cu 10 kg mai mult. Ce

cantitate de legume a cumpărat mama?

Tot la clasa a II-a am prezentat următoarea problemă:

La un aprozar s-au vândut într-o zi 30 kg roşii, cu 12 kg mai puţin fasole verde, iar

castraveţi cu 15 kg mai mult decât fasole verde.’’

75

Elevii au primit sarcina de a pune întrebarea problemei. S-au formulat următoarele întrebări:

- Câte kg de castraveţi s-au vândut?

- Câte kg de legume s-au vândut?

Compunerea acestor probleme cât şi rezolvarea lor, este recomandat să se facă în

situaţii de joc didactic. Jocul creează o atmosferă de competiţie şi astfel se contribuie nu

numai la activitatea intelectuală a copiilor dar şi la formarea personalităţii elevilor, la

manifestarea unei conduite atitudinale pozitive faţă de muncă.

Totodată se va avea în vedere creşterea mobilităţii gândirii, a capacităţilor sale

divergente, capacitatea de control şi autocontrol, dezvoltarea calităţilor, atenţiei, rapiditatea şi

operativitatea elevilor. În acest scop se pot găsi şi crea o mulţime de forme şi procedee. Am să

prezint câteva exemple pe care le-am folosit la clasă:

- Care echipă compune mai corect şi mai frumos o problemă după următoarea cerinţă...;

- Să se rezolve problema compusă de o echipă;

- Rezolvaţi problema compusă de ...;

- O grupă să formuleze conţinutul problemei, iar cealaltă grupă să găsească întrebarea

problemei şi ambele grupe să rezolve problema;

- Care grupă găseşte mai multe întrebări la o problemă dată;

- Găsiţi mai multe căi de rezolvare;

- Eliminaţi din conţinutul problemei datele de prisos;

- Corectaţi un enunţ formulat intenţionat greşit.

Activitatea de compunere de probleme la clasele mici poate constitui o premisă reală şi

eficientă pentru munca de cercetare, pentru activitatea ulterioraă de creaţie şi, cu certitudine o

modalitate sigură de sporire a rolului formativ al învăţământului matematic din ciclul primar.

DEZVOLTAREA GÂNDIRII CREATIVE PRIN REZOLVĂRI

DE PROBLEME TIPICE

Prin problemă tipică se înţelege acea construcţie matematică a cărei rezolvare se

realizează pe baza unui algoritm specific fiecărui tip. O problemă tipică se consideră teoretic

rezolvată în momentul în care i- am stabilit tipul şi suntem în posesia algoritmului de

rezolvare. Prin identificarea metodei algoritmului voi rezolva model unele dintre cele mai

semnificative probleme apartinând unui anumit tip şi pentru unele dintre ele voi aborda o

discuţie introductivă care să coboare la nivelul de înţelegere şi de cunoştinţe al elevilor din

ciclul primar.

Deşi există stabilit algoritmul de rezolvare pentru anumit tip de probleme totuşi noi nu

76

trebuie să fim adepţii unor şabloane pentru că în acest caz rezolvatorul devine un robot,

posesor al unei cartele, pe care sunt imprimaţi algoritmii şi atunci sarcina lui ar fi doar să

stabilească tipul, ,,să tragă’’ cartela corespunzătoare şi să o adapteze datelor problemei.

Rezolvatorul trebuie să caute să fie un bun specialist al obiectului şi un tip creator, novator,

întreprinzător, calităţi disjuncte cu ale robotului în sensul clasic al cuvântului.

Din categoria problemelor tipice am să mă opresc doar la câteva care sunt mai semnificative:

- Probleme ale căror rezolvare necesită metoda figurativă;

- Probleme de aflare a două numere cunoscând suma sau diferenţa şi raportul lor;

- Probleme de egalare a datelor ( metoda reducerii la unitate);

- Probleme gen rest din rest; (metoda mersului invers).

Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă:

Deseori, cel care rezolvă probleme de aritmetică simte nevoia să-şi apropie datele problemei,

precum şi relaţiile dintre acestea şi textul enunţului. În acest sens el realizează un desen, o

figură, un model care să oglindească fidel cele de mai sus. Aceste probleme figurative se pot

împărţi în două categorii:

- Cu date sau mărimi ,,discrete’’, înţelegând prin aceasta că mărimile pot fi

numărate câte una şi că se pot pune în corespondenţe după anumite criterii;

- Cu date sau mărimi continue, caz în care le figurăm prin segmente sau desn;

Exemplul 1: Un gospodar are io şi raţe, în total 30 de capete şi 96 de picioare. Câte oi şi

câte raţe are gospodarul?

Se figurează raţele şi oile prin ovale:

...........

30 capete

Pentru că fiecare vietate are cel puţin două picioare, se figurează la fiecare oval câte două

linioare reprezentând două picioare, adică

30 x 2 = 60 ( picioare)

..........

60 picioare

Dar sunt 96 de picioare, deci mai rămân 96 – 60 = 36 ( picioare)

Cele 36 de picioare sunt de la oi ( care au în total 4 picioare), deci cele 36 de picioare se pot

77

figura la 36 : 2 = 18 ( oi). Aşadar, 18 ovale reprezintă animale cu patru picioare, adică oi:

................

18 capete

Deducem că 18 vietăţi au câte 4 picioare, deci sunt oi, iar restul raţe.

30 – 18 = 12 ( raţe)

Deci 12 vietăţi au 2 picioare şi sunt raţe.

Verificare: 18 oi.............72 de picioare

12 raţe..........24 de picioare

30 capete......96 de picioare

Exemplul 2: Trei grupe de elevi au cules mere. Într-o oră o grupă a umplut 5 lăzi a câte 25

kg, a doua grupă 4 lăzi a câte 30 kg, iar a treia grupă 3 lăzi a câte 50 kg. Câte kg de mere au

cules în 4 ore cele trei grupe de elevi?

-reprezentare prin desen:

-prima grupă: 25kg 25kg 25kg 25kg 25kg

-a doua grupă: 30 kg 30 kg 30 kg 30 kg

-a treia grupă: 50 kg 50 kg 50 kg

1) Câte kg de mere a cules prima grupă într-o oră?

25 kg x 5 = 125 kg

2) Câte kg de mere a cules a doua grupă într-o oră?

30 kg x 4 = 120 kg

3) Câte kg de mere a cules a treia grupă într-o oră?

50 kg x 3 = 150 kg

4) Câte kg de mere au cules într-o oră toate grupele?

78

125 kg + 120 kg + 150 kg =395 kg

5) Câte kg de mere au cules în 4 ore toate grupele?

395 kg x 4 = 1580 kg

R: 1580 kg de mere

Exemplul 3:

Un colet de 64 de abecedare se repartizează la două clase I, astfel încât clasa I B să

primească cu 5 abecedare mai puţin decât dublul cărţilor pe care le primeşte clasa I A. Câte

abecedare primeşte fiecare clasă?

Rezolvare

Dacă la clasa I B s-ar repartiza încă 5 abecedare, atunci numărul de abecedare ar fi :

64 + 5 = 69 ( abecedare), iar clasa I B ar primi un număr dublu de abecedare faţă de

clasa I A.

I A 5 cărţi

I B

În acest caz se poate considera că pentru clasa I A se vor da o parte, iar pentru clasa I B două

părţi, în total 3 părţi, adică:

69 : 3 = 23 ( cărţi) I A

23 x 2 – 5 = 41 ( cărţi) I B

Probleme de aflare a două numere cunoscând suma şi diferenţa:

Pentru acest tip de probleme notăm unul din numere cu ,,a’’, iar celălalt cu ,,b’’, suma

cu S, iar diferenţa cu D. Atunci avem:

a + b = S

a - b = D

Adunând cele două egalităţi, obţinem:

2a = S + D

a = S + D

2

Scăzând cele două egalităţi, obţinem:

2b = S – D

b = S – D

2

Ex.: a + b = 1634

a – b = 884

2a = 1634 + 884 a = 2518 : 2 a = 1259 b = 1259 – 884 b= 375

2b = 1634 – 884 b = 750 : 2 b = 375 a = 375 + 884 a = 1259

79

Pentru acest tip de problemă se poate aplica şi metoda figurativă care este mai uşor de înţeles

de copii.

Exemplu: La un centru de legume s-au adus 64 kg de legume, unele cu roşii, altele cu ardei.

Ştiind că numărul kg de roşii este cu 14 mai mare decât cel al ardeilor, să se afle câte kg de

roşii şi câte kg de ardei s-au adus.

Rezolvare

Notăm cu a ( ) numărul kg de roşii ...+ 14. 64 kg legume

Notăm cu b ( ) numărul kg de ardei

Avem: a + b = 64 sau + = 64

a – b = 14 sau -- = 14

a = S+ D sau = S+D 2 2 b = S – D sau = S – D 2 2 Înlocuim şi avem:

64 + 14 = 78 = 39 ( kg roşii) 2 2

64 – 39 = 25 ( kg ardei)

R: 39 kg, 25 kg.

Probleme de egalare a datelor:

Acest tip de probleme se poate clarifica după numărul mărimilor sau necunoscutelor

care apar în text cu două, trei sau mai multe necunoscute, numărul relaţiilor fiind în mod

necesar egal cu numărul mărimilor respective.

De asemenea, problemele de eliminare prin reducere, se pot clasifica şi după faptul

dacă conţin sau nu valori egale pentru una din mărimi. Dacă una din mărimi ia valori egale,

reducerea se face direct. Aşezarea datelor într-o problemă de eliminare prin reducere, se face

prin respectarea relaţiilor stabilite între mărimi şi astfel încât comparaţia dintre valorile

aceleiaşi mărimi să fie pusă în evidenţă în mod direct aşezând valorile de acelaşi fel unele sub

altele. Rezolvarea se face prin eliminarea succesivă a necunoscutelor până se ajunge la o

relaţie cu o singură necunoscută.

Exemplul 1:

Maria a cumpărat de la cofetărie 4 prăjituri şi 6 sucuri plătind 36 lei. În altă zi a

cumpărat tot cu aceleaşi preţuri, 4 prăjituri şi 8 sucuri plătind 44 lei. Câţi lei costă o

prăjitură şi câţi lei costă un suc?

Rezolvare

Aşezarea datelor:

80

4 prăjituri ..........................6 sucuri ..................... 36 lei

4 prăjituri ..........................8 sucuri ......................44 lei

Observăm că de fiecare dată s-au cumpărat aceleaşi număr de prăjituri.

De ce nu a plătit aceeaşi sumă de bani?

Pentru că nu a cumpărat acelaşi număr de sucuri. Făcând diferenţa numărului de

sucuri, rezultă: 8 sucuri – 6 sucuri = 2 sucuri şi acestea costă: 44 lei – 36 lei = 8 lei.

Putem afla că un suc costă: 8 lei : 2 = 4 lei

În continuare aflăm:

1) Cât costă 6 sucuri?

4 x 6 = 24 ( lei)

2) Cât costă 4 prăjituri?

36 – 24 = 12 ( lei )

3) Cât costă o prăjitură?

12 : 4 = 3 ( lei ) R: 3 lei, 4 lei

Probleme gen rest din rest:

Rezolvarea unui exerciţiu sau a unei probleme prin metoda mersului invers, presupune

refacerea calculului în sens invers celor indicate de text până se ajunge la elementul de bază

pe care s-a construit exerciţiul sau problema. Pentru a înţelege această metodă, trebuie să

folosim cât mai multe exerciţii de aflare a unui număr considerat necunoscut, dar asupra

căruia s-au efectuat anumite operaţii al căror rezultat este dat.

Exemplul 1:

Se consideră un număr ,,a’’ la care se adaugă 7. Rezultatul se înmulţeşte cu 6, din

produsul obţinut se scade 10, rezultatul se împarte la 4, apoi se adaugă 5, obţinându-se 25.

Care este numărul ,,a’’?

Această problemă se scrie sub forma unui exerciţiu:

[( a + 7 ) x 6 – 10]: 4 + 5 = 25

Pornim de la ultima operaţie, adică adunarea lui 5 cu un termen necunoscut. Termenul

necunoscut îl aflăm astfel:

[( a + 7 ) x 6 – 10]: 4 = 20 (25- 5=20)

Acum exerciţiul este o împărţire în care cunoaştem împărţitorul şi câtul şi nu cunoaştem

deîmpărţitul. Deîmpărţitul îl găsim astfel:

( a + 7) x 6- 10 = 20 x 4

( a + 7) x 6- 10 = 80

Acum ultima operaţie reprezintă o diferenţă în care cunoaştem scăzătorul şi nu cunoaştem

descăzutul. Îl aflăm astfel:

81

( a + 7 ) x 6 = 80 + 10

( a + 7 ) x 6 = 90

Exerciţiul reprezintă un produs unde nu cunoaştem unul din factori şi, pe care îl aflăm astfel:

a + 7 = 90 : 6

a + 7 = 15

Ultimul exerciţiu rămas este o sumă în care primul termen este necunoscut şi îl aflăm astfel:

a = 15 – 7

a = 8

Pentru a fi convinşi că soluţia este corectă, a = 8, vom face verificarea:

8 + 7 = 15; 15 x 6 = 90; 90 – 10 = 80; 80 : 4 = 20; 20 + 5 = 25

Exemplul 2:

Raluca are cu 15 bomboane mai mult decât Oana. Ana are de două ori mai multe

bomboane decât Oana, Ina are cu 40 mai multe decât Ana, adică 70. Câte bomboane are

Raluca?

Rezolvare

Din enunţ se constată că Ina are 70 de bomboane. Dacă Ana are cu 40 mai puţine

decât Ina, atunci ea va avea:

70 – 40 = 30 ( bomboane)

Ana are de două ori mai multe bomboane decât Oana. Atunci Oana are:

30 : 2 = 15 ( bomboane)

Raluca are cu 15 mai multe decât Oana. Deci Raluca are:

15 + 15 = 30 ( bomboane)

Sub formă de exerciţiu avem: a- bomboanele Ralucăi

( a – 15 ) x 2 + 40 = 70

Ultima operaţie este o adunare unde nu cunoaştem primul termen:

( a – 15 ) x 2 = 70 – 40

( a – 15 ) x 2 = 30

Ultimul exerciţiu este o înmulţire în acre nu cunoaştem primul factor:

a – 15 = 30 : 2

a – 15 = 15

Exerciţiul rămas este o scădere în care trebuie să aflăm descăzutul:

a = 15 + 15

a = 30

82

ROLUL REVISTELOR DE SPECIALITATE ŞI A CULEGERILOR DE PROBLEME

ÎN DEZVOLTAREA GÂNDIRII CREATOARE A ELEVILOR

Atracţia şi plăcerea copilului pentru obiectul de matematică, depinde în mare măsură

de felul în care învăţătorul reuşeşte să transmită cunoştinţele. Multe persoane adulte poartă cu

ele gustul amar al eşecului şcolar în matematică. Dincolo de aceste sentimente este un

sentiment care persistă şi rămâne în memorie până târziu de-a lungul vieţii.

Activităţile de rezolvare de probleme şi exerciţii din culegeri diferite şi reviste de

specialitate, în afara orelor de curs, sub îndrumarea învăţătorului sau a unui profesor de

specialitate, au drept scop completarea şi consolidarea pregătirii realizate în timpul lecţiilor,

dezvoltarea intereselor pentru ştiinţă şi tehnică, posibilitatea aplicării în practică a

cunoştinţelor, a priceperilor şi deprinderilor dobândite.

Toate aceste activităţi suplimentare, matematice, permit învăţătorului sau

specialistului să descopere pe acei elevi care au înclinaţii deosebite şi preferinţe pentru acest

domeniu matematic, ajutându-i în felul acesta să- şi formeze o pregătire suplimentară

diferenţiată şi chiar individualizată.

Modul de desfăşurare a acestei activităţi este unul particular, în sensul că pot fi

desfăşurate fie cu întreaga clasă, fie pe grupe de elevi sau cu cei care dovedesc înclinaţii

deosebite pentru matematică.

Felul de desfăşurare a acestor activităţi poate fi sub formă de jocuri, cercuri de elevi

sau concursuri. În acest sens am organizat concursul ,,Cel mai rapid calcul mintal’’,

,,Rezolvăm repede şi corect problema’’, ,,Cel mai bun matematician’’ şi altele. Cu elevii cu

înclinaţii spre matematică am rezolvat multe exerciţii şi probleme în cadrul cercului de

matematică, pregătindu-i în felul acesta pentru concursurile matematice viitoare.

Culegerile de probleme şi exerciţiile mi-au fost de un real folos pentru că mi-au dat

posibilitatea să aleg o gamă variată de tipuri de probleme şi exerciţii pe care le-am rezolvat cu

elevii introducându-i într-o sferă largă a matematicii. Aceste culegeri au apărut din necesitatea

de a fixa cunoştinţele de teorie matematică şi de a stimula descoperirile.

Ele nu se adresează numai unei singure categorii de elevi- cei mai buni sau cei mai

puţini buni- ci, tuturora, exerciţiile şi problemele fiind de toate categoriile urmărind să ajute la

fixarea cunoştinţelor dar şi la dezvoltarea deprinderilor de calcul, la înţelegerea conceptelor

numerice, a operaţiilor şi proprietăţii lor. În ultimii ani au apărut manualele alternative şi

alături de ele caietele speciale pentru fiecare manual, de edituri diferite. Aceste caiete speciale

vin şi în ajutorul copiilor şi al învăţătorului pentru că, în primul rând îl scuteşte pe elev de

atâta scris care devine plictisitor şi îi dă posibilitatea să lucreze cât mai multe exerciţii şi

83

probleme într-o oră. Tipurile de exerciţii şi probleme din aceste caiete sunt multe şi variate şi

sunt prezentate sub formă de jocuri ceea ce îi atrage mai mult pe elevi pentru rezolvarea şi

găsirea soluţiei. Totodată caietul este mai estetic şi scrisul mai ordonat.

În activitatea la clasă folosesc culegeri de matematică de autori: Ion Petrică şi Vasile

Ştefănescu, Mădălina Bogdan, Mihaela Neahu şi Constantin Petrovici, Viorica Pârâială,

Dumitru Pârâială, Marcela Peneş, Lucia Predeţeanu, Florentina Munteanu, Maria Gardin,

Constanţa Badea, etc.

84

CAPITOLUL V

DEZVOLTAREA CREATIVITĂŢII ELEVILOR

PRIN REZOLVAREA ŞI COMPUNEREA DE PROBLEME

(STUDIU EXPERIMENTAL)

METODA EXPERIMENTALĂ ŞI PARTICULARITĂŢILE FOLOSIRII EI

ÎN ÎNVĂŢĂMÂNTUL PRIMAR

Experimentul este o metodă de cercetare care presupune intervenţia controlată şi

planificată a cercetătorului asupra fenomenelor studiate în scopul evaluării consecinţelor

acestei intervenţii. În experiment se aduc modificări ale conţinutului şi metodelor didactice

folosite pentru a investiga modalităţile de lucru mai eficiente. Experimentul psiho-pedagogic

este o formă a experimentului natural, în sensul că presupune păstrarea condiţiilor fireşti ale

activităţilor didactice şi studierea fenomenului educaţional în fluxul normal al desfăţurării lui.

Este evident că nu pot fi experimentate orice modalităţi de lucru, ci numai acelea care prezintă

certitudinea că vor produce rezultate mai bune decât cele anterioare. De aceea experimentul

psiho-pedegogic presupune studierea atentă a activită-ilor şi modului de lucru ce vor fi

experimentate şi punerea lor în acord cu obiectivele pedagogice ale procesului de învăţământ.

Faţă de alte metode, experimentul prezintă avantajul că permite un control şi o evaluare mault

mai riguroasă ale metodelor de cercetare cum sunt: observarea sistematică, convorbirea,

probele de cunoştinţe, analiza produselor activităţii şi altele.

Structura unui experiment cuprinde următoarele elemente:

1. Variabilele sunt acele aspecte ale procesului instructiv-educativ care sunt studiate în

cadrul experimentului. Aceste variabile sunt, din punctul de vedere al funcţiei lor în

experibent, de două feluri:

Variabile independente- sunt acele aspecte ale procesului de învăţământ pe care

cercetătorul le modifică, cu care el acţionează, intervine în situaţia pe care o studiază în scopul

de a evalua aspectele (metode didactice, forme de organizare);

Variabile dependente- sunt acele aspecte care apar drept consecinţă a acţiunii

variabilelor independente. Din acest punct de vedere, experimentul implică o operaţie de

evaluare pe baza căreia se va putea aprecia eficienţa modalităţilor de lucru experimentate.

În cazul experimentului prezentat în continuare, variabila independentă o constituie

procedeele de rezolvare şi compunere a problemelor în mod creativ, mai precis valenţele

85

cognitiv-formative ale acestora în procesul de învăţare. Variabilele dependente sunt, în acest

caz, nivelul cunoştinţelor elevilor din clasa a II-a.

2. Grupul pe care am realizat experimentul l-a constituit elevii clasei a II-a.

3. Etapele experimentului. Un experiment are un caracter procesual, deci implică o

desfăşurare în timp. Aceste etape sunt:

Etapa iniţială - este etapa prin care se determină nivelul iniţial al variabilei

dependente. În cazul acestui experiment, aceasta s-a făcut prin aplicarea unei probe de

cunoştinţe la matematică.

Etapa experimentală - este acea etapă în care se utilizează noul mod de lucru, etapă în

care am desfăşurat lecţii experimentale, folosind diverse procedee de rezolvare şi compunere

a problemelor de matematică în mod creativ şi aplicând teste pentru a verifica periodic

eficienţa acestora.

Etapa finală - post-experimentală sau post-test este etapa în care se măsoară nivelul

final al variabilelor dependente. În experimentul organizat am aplicat o probă de evaluare a

cunoştinţelor elaborată pe baza aceloraşi tipuri de sarcini cu ale probei iniţiale, fiind modificat

conţinutul concret al probelor în funcţie de ceea ce elevii au dobândit în etapa experimentală.

Ipoteza şi obiectivele cercetării

Conform Programei şcolare pentru ciclul primar, unul din obiectivele de referinţă

aparţinând obiectivului cadru „dezvoltarea capacităţii de explorare / investigare şi rezolvare

de probleme” este ,,să rezolve şi să compună probleme de tipul: ?±a=b sau ?±a<b, a şi b

numere mai mici ca 1 000, sau de tipul ?c=d; ?:c=d unde c 0, d este multiplu al lui c, în

intervalul de numere naturale de la 0 la 100”. Între exemplele de activităţi de învăţare prin

intermediul cărora se poate atinge acest obiectiv se numără şi crearea de probleme utilizând

tehnici variate şi recunoaşterea situaţiilor concrete sau a expresiilor care presupun efectuarea unor

operaţii de adunare, scădere, înmulţire, împărţire.

În realizarea studiului experimental am pornit de la ipoteza că gândirea creatoare a şcolarilor

mici poate fi stimulată prin utilizarea unor procedee diverse în rezolvarea şi compunerea problemelor

de matematică. Obiectivele cercetării vizează rezolvarea exerciţiilor respectând ordinea efectuării

operaţiilor; cunoaşterea şi utilizarea corectă a terminologiei matematice; rezolvarea problemelor în

două moduri, utilizând procedee variate; compunerea de probleme după diferite cerinţe.

Experimentul s-a desfăşurat pe parcursul unităţii de învăţare Operaţii cu numere în concentrul

0 - 1000. Durata experimentului a fost de 28 ore, pe parcursul a şase săptămâni.

86

DETERMINAREA NIVELULUI INIŢIAL

Primul pas al cercetării în metoda experimentală este determinare nivelului de plecare

în realizarea experimentului. Pentru realizarea acestui pas pot fi folosite trei metode

principale:

Observarea sistematică a comportamentului elevilor în lecţiile desfăşurate;

Analiza produselor activităţii elevilor;

Probe de cunoştinţe şi deprinderi.

Pe baza obiectivelor şi a ipotezei cercetării am conceput şi aplicat următoarele probe de

evaluare. Prezint, de asemenea, şi rezultatele înregistrate pentru fiecare probă în parte.

Proba 1 - Etapa iniţială

Capacitatea: Cunoaşterea şi utilizarea conceptelor specifice matematicii

Explorare / investigare şi rezolvare de probleme

Subcapacitatea: Adunarea, scăderea în concentrul 0-100

Obiective operaţionale:

La sfârşitul lecţiei, elevii vor fi capabili:

O1. să efectueze corect adunari, scăderi în concentrul 0-100;

O2. să rezolve probleme ce presupun cunoaşterea terminologiei matematice;

O3. să rezolve în două moduri probleme cu trei operaţii;

O4: să compună probleme care să se rezolve prin două operaţii.

Itemii:

I1. Rezolvă exerciţiul, aplicând regula învăţată:

20 + (16 +3 – 14) =

I2. Cu cât este mai mare suma numerelor 108 şi 351 decât 139? (Scrie rezolvarea şi sub formă

de exerciţiu).

I3. La un magazin sunt 18 mingi şi 40 păpuşi. S-au vândut 7 mingi şi 6 păpuşi. Câte jucării au

rămas nevândute?(Rezolvă problema în două moduri).

I4. Compune o problemă care să se rezolve printr-o scădere şi o adunare.

87

Descriptorii de performanţă

Calificativ

Itemi

I1 I2 I3 I4

Suficient Efectuează

o operaţie

Efectuează

o operaţie

Rezolvă cel

puţin o operaţie

Compune parţial

problema

Bine Efectuează

două operaţii

Rezolvă problema

cu mici erori

Rezolvă corect

problema cel

puţin într-un

mod

Compune

problema cu mici

erori

Foarte bine Rezolvă corect

exerciţiul

Rezolvă corect

problema, scriind

rezolvarea şi sub

formă de exerciţiu

Rezolvă corect

problema în

două moduri

Compune corect

problema

Rezultate obţinute în etapa iniţială

Nr. Crt. Numele I1 I2 I3 I4

Calificativ final

1 B.R. FB B FB FB FB

2 J.N. FB B B B B 3 M.K. FB FB FB FB FB 4 M.R. S S S I S 5 O.A. B S S S S 6 S.S. B B B B B 7 T.C. B B B B B

88

ETAPA EXPERIMENTALĂ

Procedee de stimulare a creativităţii prin rezolvarea şi compunerea de probleme

Proba 1 - Etapa experimentală


Explorare/ investigare şi rezolvare de probleme

Subcapacitatea: Probleme care se rezolvă prin operaţii de adunare şi scădere fără

trecere peste ordin

Terminologia specifică adunării şi scăderii

Itemi:

I1. Rezolvă exerciţiul, respectând ordinea efectuării operaţiilor:

120 + (657 – 127 + 312) =

I2. Cu cât este mai mare suma numerelor 452 şi 430 decât diferenţa lor.

I3.La o fermă sunt 120 vaci, cu 305 mai multe oi, iar porci sunt cât vaci şi oi la un

loc. Câte animale sunt la fermă?

I4.Compune o problemă după expresia:

a + (a –b) = c

Proba 2 - Etapa experimentală



Subcapacitatea: Probleme care se rezolvă prin operaţii de adunare şi scădere cu

trecere peste ordin

Terminologia specifică adunării şi scăderii

Itemi:

I1. Află numărul cu 22 mai mare decât rezultatul exerciţiului:

(463 + 152 – 301) -269 =

I2. Cu cât este mai mare suma numerelor 294 şi 328 decât diferenţa numerelor 447 şi

218. Scrie rezolvarea şi sub formă de exerciţiu.

89

I3. Într-o livadă s-au plantat în prima zi 328 meri şi 296 peri.A doua zi s-au plantat 259

meri şi 178 peri. Câţi pomi mai trebuie plantaţi? (Rezolvă problema în două moduri.)

I4. Compune o problemă după schema:

328 6

+

328

+

REZULTATE OBŢINUTE


PROBA

CALIFICATIV PROBA 1 PROBA 2

FOARTE BINE 2 3

BINE 3 2

SUFICIENT 2 2

INSUFICIENT - -

CENTRALIZATOR REZULTATE


CALIFICATIV

ETAPA

INIŢIAL

Ă

P1 P2

FOARTE BINE 2 2 3

BINE 3 3 2

SUFICIENT 2 2 2

INSUFICIENT - - -

90

Prelucrarea datelor

Prelucrarea rezultatelor brute ale probelor de evaluare s-a făcut prin gruparea acestora

în tabele centralizatoare. Tabelele reunesc rezultatele din etapa iniţială şi finală pentru a face

posibilă comparaţia între cele două etape. La sfârşitul acestui capitol sunt prezentate tabelele

cu rezultatele înregistrate la probele de cunoştinţe şi grafice ce ilustrează ponderea

calificativelor obţinute.

EVALUAREA DATELOR FINALE

Respectând raţionamentul metodei experimentale, evaluarea rezultatelor finale ale

experimentului s-a făcut prin aplicarea unei probe de evaluare finale asemănătoare cu cea

iniţială, în scopul efectuării de comparaţii şi desprinderii tendinţelor de evoluţie între cele

două etape ale experimentului.

Consemnarea rezultatelor s-a realizat prin fişe care menţionează iniţialele numelui şi

prenumelui elevilor şi rezultatele grupate în calificative.

Sunt prezentate în continuare proba de evaluare finală, tabelele analitice şi cele

centralizatoare pe baza cărora am realizat evaluare rezultatelor finale.

Proba - Etapa finală



Subcapacitatea: Adunarea şi scăderea în concentrul 0-1000

Obiective operaţionale:

La sfârşitul lecţiei, elevii vor fi capabili:

O1. să efectueze corect adunări şi scăderi în concentrul 0-1000;

O2. să rezolve probleme ce presupun cunoaşterea terminologiei matematice;

O3. să rezolve în două moduri probleme cu trei operaţii;

O4: să compună probleme care să se rezolve prin două operaţii.

91

Proba - Etapa finală

Itemii:

I1. Rezultatul exerciţiului următor reprezintă un număr cu 72 mai mic decât numărul căutat.

Află numărul.

560 – (365 - 278 + 349) =

I2. Află suma dintre dublul numărului 12 şi cel mai mare număr de două cifre. (Scrie

rezolvarea şi sub formă de exerciţiu).

I3. Un vânzător a aşezat pe raft 24 pachete de făină şi 18 pachete de mălai. Ştiind că pentru

fiecare fel de făină are câte două rafturi, aflaţi câte pachete suntîn total aranjate? (Rezolvă

problema în două moduri).

I4. Compune o problemă care să se rezolve prin trei operaţii: o adunare, o scădere şi o

adunare.

Descriptorii de performanţă

Calificativ

I1

I2

I3

I4

Suficient Efectuează

o operaţie

Efectuează

o operaţie

Rezolvă cel puţin

o operaţie

Compune

parţial

problema

Bine Efectuează

două operaţii

Rezolvă problema

cu mici

erori

Rezolvă corect

problema cel

puţin într-un mod

Compune

problema cu

mici erori

Foarte bine Rezolvă corect

exerciţiul

Rezolvă corect

problema,

scriind rezolvarea şi

sub

formă de exerciţiu

Rezolvă corect

problema în două

moduri

Compune

corect

problema

92

Rezultate obţinute în etapa finală

REZULTATE OBŢINUTE ÎN ETAPA INIŢIALĂ ŞI FINALĂ

I1 I2 I3 I4 Calificativ Nr.

crt.

Numele şi

prenumele i f i f i f i f i f

1. B.R. FB FB B FB FB FB FB FB FB FB

2. J.N. FB FB B FB B FB B FB B FB

3. M.K. FB FB FB FB FB FB FB FB FB FB

4. M.R. S B S S S S I S S S

5. O.A. B B S B S B S B S B

6. S.S. B FB B B S B B B B B

7. T.C. B FB B FB B FB B FB B FB

Nr.

Crt. Numele I1 I2 I3 I4

Calificativ

final

1 B.R. FB FB FB FB FB

2 J.N. FB FB FB FB FB

3 M.K. FB FB FB FB FB

4 M.R. B S S S S

5 O.A. B B B B B

6 S.S. FB B B B B

7 T.C. FB FB FB FB FB

93

CENTRALIZATORUL REZULTATELOR OBŢINUTE ÎN ETAPA INIŢIALĂ ŞI FINALĂ

I1 I2 I3 I4 Calificative Calificativul

i f i f i f i f i f

Foarte bine 3 5 1 4 2 4 2 4 2 4

Bine 3 2 4 2 2 2 3 2 3 2

Suficient 1 - 2 1 3 1 1 1 2 1

Insuficient - - - - - - 1 - - -

REZULTATE

94

FB B

S

I 0

1

2

3

4

5

6

7

NUMAR ELEVI

FB B S ICALIFICATIVE

ETAPA INIŢIALĂ

FB B S I

4

2 1

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

NUMĂR ELEVI

FB B S I CALIFICATIVE

ETAPA FINALĂ

FB B S I

95

ETAPA INIŢIALĂ

29%

42%

29%

0%

FBBSI

ETAPA FINALĂ

FB 57% B

29%

S14%

I 0%

FB B S I

96

REZULTATE

I3. REZOLVAREA DE PROBLEME ÎN DOUĂ MODURI

ETAPA INIŢIALĂ

29%

29%

42%

0%

FB B S I

EVALUARE FINALĂ

57% 29%

14% 0; 0%

FB BSI

97

I4. COMPUNEREA DE PROBLEME

ETAPA INIŢIALĂ

29%

42%

14%

14%

FB BSI

ETAPA FINALĂ

57%

29%

14% 0%

FB BSI

98

INTERPRETAREA DATELOR

În realizarea cercetării am pornit de la ipoteza că diversele procedee utilizate în

activitatea de rezolvare şi compunere de probleme contribuie la dezvoltarea cretivităţii. Dintre

procedeele utilizate, cea mai mare valoare formativă o au rezolvarea problemelor de

matematică prin două sau mai multe moduri şi compunerea problemelor de matematică.

În lecţiile desfăşurate de-a lungul întregii cercetări experimentale am urmărit

rezolvarea şi compunerea problemelor de matematică în mod creativ.

Din datele centralizate în uram aplicării probelor de cunoştinţe, am realizat

următoarele concluzii:

-Activitatea de rezolvare şi compunere de probleme contribuie la dezvoltarea

creativităţii elevilor, fapt dovedit de rezultatele obţinute de elevi în etapa finală la itemii 3 şi

4.

-Analizând pe ansamblu rezultatele testelor se poate observa eficienţa procedeelor

utilizate în rezolvarea şi compunere problemelor de matematică în mod creativ. Dacă în etapa

iniţială 2 elevi (29%) au obţinut calificativul foarte bine, 3 elevi (42%) au obţinut calificativul

bine şi 2 elevi (29%) au obţinut calificativul suficient, în etapa finală rezultatele au fost mult

mai bune: 4 elevi (57%) au obţinut foarte bine, 2 elevi (29%) au obţinut calificativul bine şi

doar 1 elev (14%) au obţinut calificativul suficient.

-Am supus analizei itemii 3 şi 4 care aveau ca sarcină rezolvarea de probleme în două

moduri, respectiv compunerea de probleme deoarece au vizat direct gândirea creatoare a

elevilor.

-În ceea ce priveşte itemul 3, elevii au avut de rezolvat o problemă în două moduri,

rezultatele au fost mai bune în etapa finală, elevii atingând un nivel de performanţă mai

ridicat. Dacă la început doar 2 elevi (29%) rezolvă corect problema în două moduri şi 2 elevi

(29%) rezolvă parţial corect problema, 3 elevi ( 42%) nereuşind să o rezolve, în etapa finală 4

elevi (57%) rezolvă corect problema în două moduri şi 2 elevi (29%) rezolvă parţial corect,

doar un singur elev(14%) nereuşind să o rezolve.

-Analizând rezultatele obţinute la itemul 4 care avea ca sarcini compunerea unei

probleme respectând cerinţele date, se observă că dacă în etapa iniţială 29% dintre elevi

reuşesc să compună corect problema, 42% compun problema parţial şi 14% nu reuşesc să

compună problema, în etapa finală elevii obţin rezultate cu mult mai bune şi progresul este

evident: 57% compun corect problema iar 29% compun parţial corect problema.

Analizând din punct de vedere calitativ munca desfăşurată de elevi în perioada

experimentală am observat schimbări în atitudinea lor faţă de învăţare. Elevii au devenit mai

99

activi, mai dornici să-şi afirme şi să-şi susţină ideile, au avut mai multă iniţiativă şi au fost

mai dezinvolţi. Pentru că în sarcinile de învăţare s-a utilizat mult munca în echipă am observat

la elevi o mai bună colaborare, o mai mare implicare şi mai mult sprijin din partea tuturor în

realizarea sarcinilor primite.

Toate aceste analize duc la concluzia că datoria noastră, a celor ce-i îndrumăm pe elevi

pe drumul cunoaşterii, este de a organiza activităţi de învăţare atractive, variate, care să

solicite şi să implice fiecare elev pentru dezvolte capacităţilor intelectuale ale elevilor.

Analizând rezultatele testelor se poate concluziona că elevii clasei a II-a au capacitatea

de a rezolva şi de a compune probleme de matematică în mod creativ, iar varietatea metodelor

şi procedeelor utilizare contribuie la dezvoltarea creativităţii elevilor.

100

CONCLUZII

Consider că cele mai bogate valenţe formative le are activitatea de rezolvare şi

compunere a problemelor. În cadrul acestei activităţi se pot valorifica atât cunoştinţele

matematice de care dispune elevul la un moment dat, cât şi dezvoltarea intelectuală a acestuia.

Tocmai în acest sens, această activitate nu trebuie luată în considerare ca fiind o activitate

auxiliară ci ea trebuie să constituie o preocupare permanentă şi o preocupare independentă.

În vederea formării şi dezvoltării la elevi a capacităţilor necesare şi utile activităţii de

rezolvare a problemelor, se impune ca şi aici, ca şi în întreaga activitate matematică să

gradăm efortul la care supunem gândirea elevilor. Trebuie să avem grijă ca să nu predomine

problemele cu rol de exerciţiu care nu solicită elevului decât un efort de calcul. De asemenea

să ţinem seama de clasificarea problemelor în categorii după gradul de efort la care este

supusă gândirea în procesul rezolvării.

Am căutat să folosesc modalităţi de rezolvare a problemelor astfel sistematizate prin

care elevi au ajuns să cunoască principiul general de rezolvare valabil pentru întreaga

categorie de probleme în care se încadrează o multitudine de probleme.

Am rezolvat cu elevii nu numai probleme independente ci şi categorii de probleme în

care se încadrau fiecare problemă rezolvată. În acest sens fiecare categorie a constituit obiect

de studiu în sensul că în activitatea de rezolvare a problemelor cu elevii au fost ajutaţi să

sesizeze structura raţionamentului şi diversitatea problemelor care se pot constitui pe acea

structură. I-am ajutat pe elevi să generalizeze principiul de rezolvare pentru întreaga categorie

de probleme.

Acest mod de lucru nu a permis elevilor să rezolve fragmentar sau să încerce nişte

legături întâmplătoare între datele cunoscute ale problemei, principiul de rezolvare, întregul

şir de judecăţi şi raţionamente care duc la soluţie ci să realizeze întâi formula numerică şi apoi

să generalizeze într-o formulă literală.

Prin antrenarea gândirii elevilor la un efort gradat, prin însuşirea matematicii prin efort

propriu putem spori eficienţa formativă a învăţământului matematic, contribuind cu precădere

la dezvoltarea mobilităţii gândirii şi la sporirea interesului elevilor pentru studiul matematicii.

Creativitatea gândirii nu se poate produce decât pe baza unor deprinderi corect

formate, deprinderi de a stabili raţionamente logice, un volum bogat de cunoştinţe.

Compunerea de probleme constituie o premisă reală şi eficientă pentru viitoarea muncă în

domeniul cercetării şi pentru activitatea viitoare de creaţie.

Este datoria noastră, a cadrelor didactice, să imprimăm elevilor dragoste faţă de muncă, să le

formăm cunoştinţe şi deprinderi practice, folositoare în pregătirea pentru viaţă.

101

BIBLIOGRAFIE

1. BUNESCU, V., 1971, ,,Lecţia –activitate de reacţie,condiţie esenţială de educare

a creativităţii elevilor’’-Revista de pedagogie nr.10

2. BOGDAN, M., 1998, ,,Culegere de exerciţii şi probleme de matematică pentru

cilcul primar’’- Ed. Coresi, Bucureşti

3. CĂLIMAN, T., 1975, ,,Învăţarea, inteligenţa, problematizarea’’- E.D.P. Bucureşti

4. CERGHIT, I., 1976, ,,Metode de învăţământ’’-, E.D.P. Bucureşti

5. CHIRCEV, A., 1975, ,,Psihologia generală’’- E.D.P.Bucureşti

6. CONSTANTINESCU, E., 1977, ,,Modalităţi de lucru în cadrul orei de aritmetică

în scopul dezvoltării gândirii creatoare şi independente la elevii din cls.I’’- Revista de

pedagogie nr.3

7. FLOREA,N., MĂRGELATU,D., 1997, ,,Exerciţii şi probleme pentru clasa a II-a’’-

Ed. Andrada

8. GÂRLOVEANU, M., 1981, ,,Stimularea creativităţii elevilor în procesul de

învăţământ’’- E.D.P Bucureşti

9. GURAN, E., LUMINA, E., 1991, ,,Probleme şi exerciţii de matematică creativă’’

10. IONESCU, M., 2000, ,,Demersuri creative în predare şi învăţare’’- Ed.Presa

Universitară Clujeană

11. IONESCU, M., RADU, I., 1995, ,,Didactica modernă’’- Ed. Dacia Cluj- Napoca

12. IONESCU, M., RADU, I., 1995, ,,Experienţa didactică şi creativitatea’’- Ed.

Dacia Cluj- Napoca

13. MATEI, C., 1982, ,,Educarea capacităţilor creatoare în procesul de învăţământ’’-

E.D.P. Bucureşti

14. MUCICA, T., 1987, ,,Educaţie şi creativitate’’- Revista de pedagogie nr.3

15. NEAGU, M., PETROVICI, C., ,,Aritmetica prin exerciţii şi probleme’’- Ed.Gama

16. NICOLA, I., 2000, ,,Tratat de pedagogie şcolară’’- Ed.Aramis

17. OPRESCU, N., 1974, ,,Modernizarea învăţământului matematic la ciclul

primar’’- E.D.P. Bucureşti

18. PÂRÂIALĂ, V., PÂRÂIALĂ, D., 1999, ,,Caiet de evaluare pentru cls.I’’-

Ed.Polirom

19. PREDEŢEANU, L., ,,Fişe matematice’’-aprofundare, dezvoltare, evaluare’’-

Ed.Petion

20. POLYA, G., 1971, ,,Cum rezolvăm o problemă?’’- E.D.P. Bucureşti

21. ROŞCA, A., 1972, ,,Creativitatea’’- E.E.R. Bucureşti

22. ROŞCA, A., STOIAN, I., RADU, I., MUNTEANU, C., 1967, ,,Creativitate,

102

modele, programare’’- Ed.Ştiinţifică, Bucureşti

23. STOICA, A., 1983, ,,Creativitatea elevilor’’- E.D.P. Bucureşti

24. ŞCHIOPU, U., ,,Dezvoltarea creativităţii gândirii’’- E.D.P. Bucureşti

25.***, 1997, ,,999 exerciţii şi probleme pentru clasele I-IV’’, Ed. Porto-Franco-

Galaţi

26. ***, 1998, Metodica predării aritmeticii pentru clasele I-IV

27. ***, 1998, Probleme de matematică pentru clasele II-IV, E.D.P Bucureşti

28. ***, 1996, Revista Învăţământul Primar nr.1 şi 2- Ed.Discipol

29. ***,2000, Revista Învăţământul Primar nr.4- Ed.Discipol

30. ***,2001, Revista Învăţământul Primar nr.1- Ed.Discipol

31. ***, Manuale alternative cls.I şi cls.a II-a

Date post:	03-Sep-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	18 times
Download:	3 times

MUNTEAN ADELIA MARIA - bibliotecascolara.ro · Rezolvarea de probleme, şi în mod deosebit...

Documents