CAPITOLUL I

CAPITOL INTRODUCTIV

Prezentarea unor elemente de bază din teoria mulţimilor, teoria

relaţiilor binare, funcţii, sisteme de numere ş. a. presupune cunoscute

elemente de logică matematică la nivelul manualelor de matematică din

liceu şi folosind bibliografia indicată ([24] pag. 1- 32; [30]; [36]; [39];

[40]).

1. Elemente de teoria mulţimilor

Matematica modernă s-a constituit ca o ştiinţă unitară cu ajutorul a

trei noţiuni fundamentale: mulţime, relaţie şi structură. Studiul matematicii

şi aplicaţiile sale în alte ştiinţe se referă la obiecte de natură diferită:

puncte, vectori, numere, funcţii, matrici etc. care se grupează în virtutea

unor proprietăţi specifice în colecţii sau mulţimi. Noţiunea de mulţime este

primară (nu se defineşte) şi vom prezenta teoria naivă a mulţimilor după G.

Cantor.

Mulţimile se vor nota prin: A, B, ..., X, Y, ..., obiectele unei

mulţimi, numite elemente ale mulţimii prin: a, b, ..., x, y, z, u, v, ... şi

mulţimile ale căror elemente sunt mulţimi, prin: A, B, ..., P, ....

O mulţime A va fi dată, fie prin enumerarea elementelor sale:

A = {a, b, ..., x, ...}, fie prin indicarea unei proprietăţi P specifică

elementelor sale: A = {x| P(x)} unde P(x) este o proprietate adevărată

pentru toţi indivizii x care sunt elemente din A.

1

Un obiect “x este element al mulţimii A” sau “x aparţine lui A”,

notat prin x A; simbolul “” indică apartenenţa unui obiect la o mulţime

şi exprimă sensul concret al “relaţiei de apartenenţă”. Dacă un obiect “y

nu este element al mulţimii A” sau “y nu aparţine lui A” se notează

prin: yA.

Observaţii:

1. Relaţia de apartenenţă este un predicat binar şi folosind principiul dublei

negaţii, avem:

(I.1.) [xA ⎤(xA)] [xA ⎤(xA)]

2. Pentru un element xA , notăm {x} mulţimea care conţine numai pe x.

În general, dacă x1, ..., xn sunt obiecte distincte notăm:A ={x1, ..., xn}

mulţimea care are ca elemente numai aceste obiecte.

3. A= {nN | n 11}; 3 A; 13 A.

Definiţia I.1. Două mulţimi A şi B sunt egale dacă ele conţin

aceleaşi elemente, notat A = B şi logic echivalent cu:

(I.2.) A = B ( xA xB) (yB yA)

Teorema I.1. Egalitatea mulţimilor are proprietăţile:

(e1) A = A; A (reflexivitate)

(e2) A = B B = A; A, B (simetrie)

(e3) A = B B = C A = C; A, B, C (tranzitivitate)

Demonstraţiile pentru toate propoziţiile, lemele şi teoremele din

acest paragraf se găsesc în bibliografie ([24], pag. 33 – 51; [40]).

Observaţii:

1. Din relaţia (I.2.) se obţine negaţia propoziţiei A = B, notată A B şi

anume:

(I.3) A B [⎤(A = B)][A = B ⎤(A B)].

2

2. În consideraţiile următoare vom folosi mai puţin structura logică

completă a diverselor afirmaţii şi ne vom încadra în stilul matematic

obişnuit de exprimare.

Definiţia I.2. Se numeşte mulţime vidă, notată , mulţimea care

nu conţine nici un element.

Vom admite existenţa mulţimii vide şi ea se poate caracteriza

astfel: x( x) este o proprietate adevărată.

Definiţia I.3. Fie A, B două multimi oarecare; vom spune că “ A

este inclusă în B” sau “A este submulţime a lui B ” sau “A este parte a

lui B” notat AB, dacă orice element din A este element al lui B, logic

echivalent cu:

(I.4.) AB x( xAxB)

unde semnul “” este simbolul pentru relaţia de incluziune.

Observaţii:

1. Relaţia de incluziune este un predicat binar şi de multe ori se scrie B A

citit “B include A”.

2. Relaţia (I.4) este echivalentă cu:

(I.4’) A B ( xA xB).

3. Se poate caracteriza egalitatea mulţimilor prin:

(I.2.’) A = B [(A B) (BA)].

4. Negaţia propoziţiei AB, notată AB este caracterizată prin:

(I.5.) AB x(x A x B)

Pentru a dovedi AB este suficient să arătăm că există un element

x A şi x B.

5. Pentru mulţimile de numere studiate în liceu, avem:

3

N Z QR C

Q Z; R Q; C R etc.

Teorema I.2. Relaţia de incluziune are proprietăţile:

(i1) A A; A (reflexivitate)

(i2) (A B) (B A) A = B; A, B (antisimetrie)

(i3) (A B) (B C) A C; A, B, C (tranzitivitate).

Consecinta I.1. Mulţimea vidă este inclusă în orice mulţime.

Definiţia I.4. Mulţimea “A este strict inclusă în B” notat dacă

AB şi A B, deci:

(I.6.) A B ((AB)(A B)).

Teorema I.2. Relaţia de incluziune strictă are proprietăţile:

(s1) ⎤(A A); A (ireflexivitate)

(s2) A B ⎤(B A); A, B (asimetrie)

(s3) (A B)(B C) (A C); A, B, C (tranzitivitate).

Observaţii:

1. Se poate dovedi cu ajutorul predicatelor binare că ireflexivitatea

incluziunii stricte nu este echivalentă cu negaţia reflexivităţii.

2. În acelaşi mod se arată că asimetria unei relaţii nu este negaţia simetriei

şi că antisimetria de asemenea, nu este negaţia simetriei.

Definiţia I.5. Fie A o mulţime oarecare, A . Mulţimea care are

drept elemente toate mulţimile X incluse în A se numeşte mulţimea

părţilor lui A, notată P(A), cu:

(I.7.) P(A) = {X| XA}[X(XP(A)XA)]

Exemple:

1. A=; P(A) = {}

4

2. A = {x}; P(A) = {; A} = { ; {x}}

3. A={a, b, c}; P(A)={;{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};{a,b, c}}.

Operaţii cu mulţimi

Fie E o mulţime oarecare nevidă şi P(E); E se numeşte mulţime

de referinţă sau mulţime universală.

Definiţia I.6. Fie mulţimile A, B P(E).

1] Reuniunea mulţimilor A şi B, notată A B, este mulţimea care

conţine elementele ce aparţin cel puţin uneia dintre A şi B, deci:

(I.8.) xAB (xA) (xB) [(xA) (xB)].

2] Intersecţia mulţimilor A şi B, notatăA B, este mulţimea ce conţine

elementele care aparţin şi lui A şi lui B, deci:

(I.9.) A B (xA) (xB).

Teorema I.4. Fie A şi B două mulţimi oarecare, atunci au loc

afirmaţiile:

1) AA B; BA B;

2) (AC) (B C) (A BC);

3) A B A; AB B;

4) (C A) (C B) (C A B)

5) AB A B = B;

A B A B = A.

Demonstraţia în bibliografie ([17], [24], [36]).

Teorema I.5. Pentru orice mulţimi A, B, C au loc proprietăţile:

1) A B = BA; A B = BA (comutativitate);

5

2) (A B) C = A (B C); (A B) C = A (B C)

(asociativitate);

3) A (B A) = A; A (B A) = A ( absorbţie);

4) A A = A; A A = A (idempotenţă);

5) A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B)

(A C) (legi de distributivitate);

6) A = A ; A = ;

7) (A B) (CD) A C B D ( este izotonă) A

C B D ( este izotonă)

Demonstraţia în bibliografie ([17], [24], [30], [36]).

Definiţia I.7. 1] Mulţimile A şi B se numesc mulţimi disjuncte

dacă A B = .

2] Diferenţa lui A şi B mulţimi oarecare, notată A – B sau A \ B este

mulţimea care conţine elemente din A care nu se găsesc în B, deci:

(I.10) xA – B (xA) (xB).

Teorema I.6. Diferenţa a două mulţimi are proprietăţile:

8) A – B A;

9) A (B - A) = A B;

10) (A - B) - C = (A - C) – B = A – (B C);

11) (A B) – C = (A - C) (B - C);

12) A – (B C) = (A - B) (A - C);

13) (A B) - C = (A - C) (B - C);

14) A – (B C) = (A - B) (A - C);

15) A - = A; - A = ; A – A = .

Demonstraţia în bibliografie ([17], [30], [41]).

6

Observaţii:

1. Proprietatea 9) exprimă faptul că diferenţa mulţimilor nu este operaţia

inversă a reuniunii mulţimilor.

2. Proprietatea 9) şi proprietăţile de idempotenţă a reuniunii şi intersecţiei

(proprietăţile 4)) arată că proprietăţile operaţiilor cu mulţimi sunt diferite

de proprietăţile operaţiilor cu numere.

3. Cele două tipuri de operaţii, cu mulţimi şi cu numere au unele

proprietăţi comune: comutativitate, asociativitatea, existenţa elementului

neutru.

4. Din comentariile de mai sus rezultă că, nu se poate admite fără

demonstraţie o proprietate pentru mulţimi, motivând că a fost demonstrată

pentru numere.

Definiţia I.8. Fie A P(E), mulţimea E – A se numeşte

complementara lui A faţă de E, notată CEA, deci:

(I.11.) xCEA [(x E) (xA)].

Dacă mulţimea E este fixată atunci CEA se pate nota cA sau A şi se

numeşte complementara lui A.

Teorema I.7. Complementara are următoarele proprietăţi pentru

A, B P(E):

16) c(A B) = cA cB;

17) c(A B) = cA cB;

18) A B cB cA;

19) c(cA) = A;

20) A cA = ; A cA = E;

21) (A B = ) (A B = E) B = cA;

22) c= E; cE = .

7

Demonstraţia în bibliografie ([17], [24], [30], [38]).

Observaţii:

1. Din proprietăţile 16) – 22) rezultă că în teoria mulţimilor este valabil

principiul de dualitate.

2. Principiul de dualitate are următorul enunţ:

Din orice relaţie între mulţimi în care intervin operaţiile , , se

obţine o nouă relaţie, înlocuind mulţimile cu complementarele lor şi

operaţiile precedente prin , , , mulţimea vidă prin E şi reciproc.

Definiţia I.9. Fie a, b două obiecte oarecare distincte.

1] Mulţimea {{a}, {a, b}} se numeşte pereche ordonată a obiectelor

distincte a şi b, notată prin (a, b), deci:

(I.12.) (a, b) = {{a}, {a, b}}

2] Pentru A, B P(E) se numeşte produs cartezian al mulţimilor A şi B,

notat A B, mulţimea tuturor perechilor ordonate (a, b) cu aA şi bB,

deci:

(I.13) A B = {(a, b) | aA, bB}.

Observaţii:

1. Dacă a = b, atunci (a, a) = {a, {a}}.

2. În general (a, b) {a, b}, deoarece dacă a b, avem (a, b) (b, a), dar

{a, b} = {b, a}.

3. Folosind egalitatea mulţimilor se arată că, avem:

(I.14.) (a, b) = (c, d) (a = c) (b = d).

4. Dacă A = B, atunci A B = A A notat A2.

Teorema I.8. Produsul cartezian a două mulţimi are proprietăţile:

23) (A B) (C D)A C B D;

8

24) (A B) C = (A C) (B C)

C (A B) = (C A) (C B)

25) (A B) C = (A C) (B C)

C (A B) = (C A) (C B)

26) (A - B) C = (A C) - (B C)

C (A - B) = (C A) - (C B)

27) A B B A

28) A = .

Demonstraţia în bibliografie ([17], [24], [30], [36]).

Definiţia I.10.

1] Se numeşte triplet ordonat format cu obiectele distincte a, b, c

mulţimea ((a, b), c) notat prin (a, b, c).

Se numeşte n – uplu ordonat format din obiectele distincte a1, a2,

..., an mulţimea ((a1, a2, ..., an - 1), an) notat prin (a1, a2, ..., an).

2] Au loc egalităţile:

⎧(a, b,c) = (d,e, f) (a d ) (b e) (c f )

⎩a ,...,an b ,...,bn ai b pentru i

1,...,n

3] Produsul cartezian a n multimi A1, ..., An este definit, în mod inductiv,

prin:

(I.16) A A ...A a ,...,an | a A ,a

2 A ,...,a

n A

Mulţimile A1, ..., An se numesc factorii produsului cartezian şi

elementele a ,a2...,an se numesc coordonatele sau proiecţiile

elementului a ,a2...,an .

Pentru A A ... A A , se notează A A ...A An .n ori

9

Exerciţii şi probleme asupra aspectelor teoretice din acest paragraf

se găsesc în bibliografia indicată ([24] pag. 30 – 32 şi pag. 47 – 48; [30];

[36]).

2. Relaţii binare

Studiul unor noţiuni fundamentale ale matematicii care are aplicaţii

directe în informatica teoretică şi aplicaţiile informaticii, se realizează cu

ajutorul unor elemente de logică matematică şi de teoria mulţimilor care au

rolul de a pune în evidenţă structuri fundamentale pe mulţimile de lucru.

Noţiunea de relaţie are rolul de unificator al structurilor abstracte pe

diverse mulţimi de obiecte şi conduce la aplicaţii imediate, în modelarea

matematică a unor fenomene din alte ştiinţe şi din realitatea fizică.

Definiţia I.11. Fie A1, ..., An mulţimi oarecare. Se numeşte relaţie

n – ară un sistem ordonat (A1, ..., An; R) unde R este o submulţime a

produsului cartezian A A ...A numită graficul relaţiei n – are.

Observaţii:

1. Dacă, n = 2, relaţia (A1, A2; R) se numeşte relaţie binară.

Dacă n = 3, relaţia (A1, A2, A3; R) se numeşte relaţie ternară.

Se vor nota aceste relaţii prin: = (A1, A2; R); = (A1, A2, A3; R).

2. Dacă A A ... A A relaţia = (A1, ..., An; R) se numeşte relaţie

n-ară omogenă pe A.

3. Mulţimile A1, ..., An se numesc mulţimi de bază ale relaţiei =

=(A1, ..., An; R). Notaţia (x1, ..., xn)R este înlocuită prin R(x1, ..., xn) şi

pentru n = 2 în loc de (x1, x2)R se va nota x1x2 pentru =(A1,A2;R).

4. Graficele relaţiilor n - are sunt mulţimi şi din acest motiv unele rezultate

din teoria mulţimilor se vor transpune în teoria relaţiilor.

10

5. Exemplu: A1 = A2 = Z mulţimea numerelor întregi şi atunci relaţia de

divizibilitate în Z are graficul dat prin:

R = {(x,y)Z| mZ a. î. y = mx}.

Definiţia I.12.1]Relaţia n-ară între elementele mulţimilor A1, ..., An

al cărei grafic este R = A1 A2 ...An se numeşte relaţie universală.

2] Relaţia n –ară (A1, ..., An; R) cu graficul R = se numeşte relaţie vidă.

3] Relaţiile n –are (A1, ..., An; R) şi (B1, ..., Bm; S) sunt egale, notat

(A1, ..., An; R) = (B1, ..., Bm; S), dacă şi numai dacă, avem: n = m;

A1 = B1, ..., An = Bm şi R = S.

4] Relaţia n – ară (A1, ..., An; R1) este inclusă în relaţia (A1, A2, ..., An;

R2) dacă R1 R2 şi se va nota prin (A1, ...,An;R1) (A1,...,An; R2) sau

simplu R1R2.

Definiţia I.13. Fie date relaţiile n-are (A1,...,An;R1) şi (A1,...,An;

R2).

1] Intersecţia relaţiilor n-are este relaţia n-ară (A1, ..., An;R1 R2) unde

R1 R2 este intersecţia graficelor celor două relaţii.

2] Reuniunea relaţiilor n-are date este relaţia n-ară: (A1, ..., An; R1 R2)

unde R1 R2 este reuniunea graficelor celor două relaţii.

3] Complementara relaţiei n-are (A1, ..., An; R) este relaţia n-ară

(A1, ..., An; cR) unde cR este complementara graficului R dată prin:

(I.17) cR a ,a2...,an A A ...A | a ,a2...,an R

Relaţii binare

În cazul n = 2 se obţine clasa relaţiilor binare pentru care rămân

valabile toate definiţiile date pentru relaţii n-are cu observaţia că operaţiile

11

1] – 4] din definiţia I.12 şi 1] – 3] din definiţia I.13 sunt transpuse din

teoria multimilor. Vom nota mulţimile prin A, B, ..., X, Y, ... şi relaţiile

binare prin , , , ..., deci = (A, B; R) cu R graficul relaţiei (RAB).

Fie = (A, B;R) o relaţie binară şi vom nota (a, b)R prin ab,

citit “a în relaţia cu b” şi avem:

(I.18) ab (a, b)R pentru = (A, B;R).

Pentru relaţia binară = (A, B;R) se asociază mulţimile:

(I.19) dom = {aA | bB; bB (a b)}

codom = {bB | aA; aA (a b)}

numite domeniul şi respectiv codomeniul relaţiei .

Definiţia I.14. Fie = (A, B; R1) şi = (B, C; R2) relaţii binare.

1) Produsul sau compunerea relaţiilor şi este o relaţie binară notată

= (A, C; R) unde:

(I.20) R = {(a, c)A C| bB, (a b) (b c)}

2) Inversa relaţiei binare = (A, B; R1) este o relaţie binară notată:

- 1 = (A, B; R1 ) unde:

(I.21) R1 ={(b, a)B A | (a, b) R1}.

Observaţii:

1. Din definiţia I.12. şi relaţia (I.19) rezultă că avem:

(I.22) dom -1 = codom ; codom -1 = dom .

2. Pentru relaţii binare = (A, B; R1) şi = (C, D; R2) se defineşte

compunerea prin:

(I.23) R = {(a, d)AD| bB C; (a, b) R1, (b, d) R2}

deci = (A, D; R); dacă B C = , atunci R = şi este relaţia

vidă.

12

3. Pentru relaţiile binare 1 = (A, B; R1) şi 2 = (A, B; R2) se definesc

operaţiile de reuniune, intersecţie şi complementară, astfel:

(A, B; R1 R2); (A, B; R1 R2); (A, B; cR1)

unde cR1 = {(a, b)A B | (a, b) R1 }.

4. Aceste operaţii binare au aceleaşi proprietăţi ca şi în cazul mulţimilor:

asociativitate, comutativitate, distributivitate şi formulele lui De Morgan.

Teorema I.9. Compunerea relaţiilor binare este o operaţie algebrică

asociativă, adică date: = (A, B; R1), = (B, C; R2) şi = (C, D; R3)

avem:

(I.24) () = () .

Demonstraţia tuturor propoziţiilor, lemelor şi teoremelor din acest

paragraf se poate citi cu uşurinţă din bibliografia indicată ([24] pag. 49 –

79; [36]; [40]).

Observaţii:

1. Compunerea relaţiilor binare nu este în general comutativă, deci:

.

2. Exemplu. Fie A = B = {0, 1} şi = (A, A; R1) cu R1= {(0,0), (1,0)} şi

altă relaţie binară = (A, A; R2) cu R2 = {(0,0), (0,1)} şi avem =

=(A, A; R) cu R = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} iar = =(A, A;R’) unde

R’ = {(0,0)} deci .

Teorema I.10. Oricare ar fi relaţiile binare =(A, B; R1) şi

= (B, C; R2) au loc proprietăţile:

(I.25) 1 −1

(I.26) o−1 1 o1

(I.27) () (X) = ((X)); Xdom ; (X) = {bB| aX; ab}

13

(I.28) (X1 X2) = ( X1) ( X2); X1, X2 dom .

(I.29) (X1 X2) = ( X1) ( X2); X1, X2 dom .

Demonstraţia în bibliografie ([17], [24], [36]).

Observaţie:

1. În formula (I.29) nu are loc totdeauna egalitatea.

2. Exemplu. = (R, R; R) cu R = {(x, y) R R | y = x2} şi X1=(-1, 0]

R, X2 = [0,1) R X1X2= {0} (X1X2)={0}; (X1) = [0,1),

(X2) = [0,1) şi ( X1) ( X2) = [0,1)(X1X2)={0}.

3. Pentru două relaţii binare oarecare =(A, B; R1) şi =(A, B; R2) în

raport cu operaţiile de reuniune, intersecţie şi complementară au loc

formulele:

(I.30) R R2 −1 R1 R1 R R2 −1 R1 R

1 cR −1 c R1 4. Pentru relaţiile binare =(A, B; R1) şi =(A, B; R2), dacă R1R2 şi

considerăm X A, atunci R1(X) R2(X). Dacă X1 X2 A, atunci

R1(X1) R1(X2).

Definiţia I.15. 1] Pentru = (A, B; R) şi XA, mulţimea

(X) ={bB | aX (a b)} se numeşte imaginea directă a mulţimii

X prin relaţia .

2] Pentru YB, mulţimea 1 (Y) = {aA | bB (ab)} se numeşte

imaginea inversă a mulţimii Y prin relaţia .

Teorema I.11. Fie = (A, B; R) o relaţie binară şi Y1, Y2 B

atunci, avem:

(I.31) dacă Y1Y2 1 (Y1) 1 (Y2)

(I.32) 1 ( Y1 Y2) 1 (Y1) 1 (Y2)

(I.33) 1 (Y1 Y2) = 1 (Y1) 1 (X2)

14

(I.34) 1 (B) = A.

Demonstraţia în bibliografie ([17], [24], [36], [40]).

Relaţii binare omogene

O relaţie binară = (A, B; R) este omogenă dacă şi numai dacă

A = B, deci = (A, A; R) = (A; R) cu R A A A2.

Vom pune în evidenţă clase speciale de relaţii omogene pentru

care rămân valabile toate rezultatele teoretice prezentate în celelalte

paragrafe. Relaţia omogenă = (A; R) se numeşte relaţie binară pe

mulţimea A; în acest caz se spune că mulţimea A este înzestrată cu o

relaţie binară .

Observaţii:

1. Elementul (a, b)A2 ((a, b)) se va nota: a b şi se va spune, că “a

este în relaţia cu b”.

2. Egalitatea pe mulţimea A, notată A = {(a, a) | aA} se numeşte

diagonala mulţimii A A şi A este o relaţie binară pe A.

Definiţia I.16. Fie A o mulţime oarecare nevidă şi o relaţie binară

pe A.

1) Relaţia este reflexivă dacă aA, avem (a a).

2) Relaţia este simetrică dacă (a, bA)(a b), atunci (b a).

3) Relaţia este antisimetrică dacă a, b A cu (a b) (b a),

atunci a = b.

4) Relaţia este tranzitivă dacă a, b, cA cu (a b) (b c), atunci

(a c).

15

Exemple:

1. Fie X o multime oarecare, atunci = X este o relaţie binară pe X cu

proprietăţile: reflexivă, simetrică şi tranzitivă care rezultă din definiţia lui

X şi din definiţia I.16.

2. Fie X o mulţime oarecare şi = (X; R) cu R = X X atunci este o

relaţie binară: reflexivă, simetrică şi tranzitivă.

3. Fie X = R mulţimea numerelor reale şi relaţia binară

= {(x, y) | (xR) (yR) (x - y Z)}; aceasta are proprietăţile:

reflexivă, simetrică şi tranzitivă.

4. Fie D mulţimea dreptelor din plan şi relaţia binară

={(d1,d2)D D|d1║d2} care are proprietăţile: reflexivă (dacă se

consideră d1║d1), simetrică şi tranzitivă.

5. Din definiţia I.16. se pot formula condiţii echivalente pentru

caracterizarea relaţiilor binare omogene: reflexive, simetrice, antisimetrice,

tranzitive.

Teorema I.12. Fie = (A; R) o relaţie binară omogenă pe A.

Atunci au loc afirmaţiile:

(i) = (A; R) este reflexivă A R;

(ii) = (A; R) este simetrică 1 (sau R R-1) 1 şi

deci = 1 .

(iii) = (A; R) este antisimetrică R R-1A

1 = (A; R-1)

R-1= {(b, a) A A | (a, b)R}

(iv) = (A; R) este tranzitivă .

Demonstraţia în bibliografie ([17], [24], [36], [42]).

16

Teorema I.13. Dacă relaţia =(A; R) este reflexivă şi antisimetrică,

atunci R R-1 = A.

Teorema I.14. Dacă relaţia = (A; R) este reflexivă şi tranzitivă,

atunci = .

Teorema I.15. Relaţia omogenă pe o mulţime A, = (A;R) este:

reflexivă, simetrică, antisimetrică, tranzitivă, dacă şi numai dacă, 1 =

=(A; R-1) are aceste proprietăţi.

Demonstraţie:

reflexivă AA1 1 reflexivă.

simetrică = 1 1 1 simetrică.

antisimetrică R R-1 A R-1 R A 1 antisimetrică.

tranzitivă ()-1 1 1 tranzitivă.

Demonstraţia în bibliografie ([24], [36], [40]).

Observaţii:

1. Fie =(A; R) o relaţie binară pe A şi X A, atunci X

=(X;R(XX))

este o relaţie pe X numită relaţie indusă de pe X. Relaţia , în acest

caz, se numeşte extensiunea relaţiei X de la X la A.

2. Dacă este reflexivă, simetrică, antisimetrică, tranzitivă atunci relaţia

X

indusă de pe X are aceleaşi proprietăţi.

Vom pune în evidenţă clase speciale de relaţii omogene care intervin

în studiul şi aplicaţiile matematicii în alte ştiinţe.

Definiţia I.17. Relaţia =(A;R) reflexivă şi tranzitivă se numeşte

relaţie de preordine pe A. Mulţimea A împreună cu relaţia de preordine

se numeşte mulţime preordonată.

Exemplu: Relaţia de divizibilitate în Z este o relaţie de preordine pe Z.

17

Observaţii:

1. Inversa unei relaţii de preordine este tot o relaţie de preordine (teorema

I.15).

2. Relaţia indusă de o relaţie de preordine = (A; R) pe X A, deci X

este tot o relaţie de preordine.

Definiţia I.18. 1] O relaţie de preordine = (A, R) simetrică se

numeşte relaţie de echivalenţă pe A.

2] O relaţie de preordine = (A; R) antisimetrică se numeşte relaţie de

ordine pe A.

Relaţii de echivalenţă

O relaţie binară omogenă = (A; R) este o relaţie de echivalenţă pe A,

dacă şi numai dacă, este reflexivă, simetrică şi tranzitivă şi conform

teoremei I.15 se caracterizează prin formulele:

(I.35) (A ) (1 = ) (= )

Dacă = (A; R) este o relaţie echivalentă pe A şi X A, atunci relaţia

indusă X

este tot o relaţie de echivalenţă pe X.

Exemple:

1) Pentru A, relaţia = A este o relaţie de echivalenţă pe A.

2) Fie T mulţimea triunghiurilor din plan şi relaţia binară ={(1, 2)

T T | 1 congruent cu 2} este o relaţie de echivalenţă pe T.

Definiţia I.19. Fie = (A; R) o relaţie de echivalenţă pe A.

1] Dacă xA, se numeşte clasă de echivalenţă a elementului x, mulţimea

notată prin [x] şi care contine toate elementele din A echivalente cu x,

deci:

18

(I.36) [x]= { a| aA (a x)}

2] Se numeşte mulţime factor sau mulţime cât a lui A prin relaţia ,

notată A, mulţimea definită prin:

(I.37) A= {[x] | xA}

Observaţii:

1. Clasele de echivalenţă [x] se mai notează, când nu este pericol de

confuzie, prin: [x] sau ˆ sau Cx etc.

2. Mulţimea A

are ca elemente clasele de echivalenţă ale elementelor

xA în raport cu relaţia de echivalenţă şi elementul x se numeşte

reprezentant al clasei de echivalenţă [x].

Definiţia I.20. Fie F o familie ale cărei elemente sunt mulţimi, notate:

X, Y, Z, ..., adică F este o familie de mulţimi.

1] Se numeşte reuniunea mulţimilor din F, mulţimea:

(I.38) U X {x | X F xX } XF

2] Se numeşte intersecţia mulţimilor din F, mulţimea:

(I.39) I X x | X F xX . XF

Observaţii:

1. Reuniunea mulţimilor din F, U X este mulţimea elementelor x careXF

aparţin cel puţin unei mulţimi XF.

2. Intersecţia mulţimilor din F, I X este mulţimea elementelor x careXF

aparţin tuturor mulţimilor XF.

19

3. Dacă A, B sunt două mulţimi oarecare se poate considera familia

F ={A, B} şi atunci U X , I X sunt chiar mulţimile A B, A B. XF XF

Teorema I.16. Fie A o mulţime şi o relaţie de echivalenţă pe A,

atunci au loc afirmaţiile:

(i) x [x], xA

(ii) [x] = [y] x y; x, y A

(iii) [x] [y] = ⎤(xy); x, yA

(iv) A U[x] .xA

Demonstraţia în bibliografie ([24], [36], [40], [42]).

Exemplu: A = R, definită prin xyx yZ care este

reflexivă, simetrică şi tranzitivă, deci este o relaţie de echivalenţă pe R.

Mulţimea factor R

={[x] | xR} unde [x]={y|yR(yx)}= {y| yR

(x- yZ)} = { x+ m| mZ}.

Definiţia I.21. Fie A o mulţime oarecare şi F o familie de mulţimi

X cu XA, deci F P(A). Mulţimea F se numeşte partiţie a lui A dacă

satisface condiţiile:

(1) X F, X ; (2) X, YF cu XY atunci XY =

(3) A = U X . XF

Exemple:

1. A = Q mulţimea numerelor raţionale şi F ={[n, n+1) | nZ} unde

[n, n+1) = {xQ | nx< n +1} = X. Avem: nX şi X ; pentru n m cu

n,mZ şi X=[n, n +1)Y=[m, m+1), X Y = . Dacă xQ, după axioma

20lui Arhimede există kZ a. î. k

este o partiţie pentru Q.

x < k+1 şi avem xU X = Q, deci F XF

2. Pentru orice mulţime A şi o relaţie de echivalentă pe A, după condiţia

(iv) din teorema I.16, mulţimea A

este o partiţie pentru A.

Teorema I.17. Fie F o partiţie a mulţimii A. Atunci mulţimea

A A dată prin:

(I.40) = {(x, y)A A | X F (xX) (yX)} este o relaţie

de echivalenţă pe A.

Demonstraţia în bibliografie ([24], [40], [42]).

Observaţii:

1. Vom nota prin R(A) = { | relaţie de echivalenţă pe A} mulţimea

relaţiilor de echivalenţă pe A şi prin Part(A) = { F | F partiţie a lui

A} mulţimea partiţiilor lui A.

2. Funcţia dată prin:

(I.41) : R(A) Part (A)

R(A) ⎯⎯() = A

Part(A)

şi funcţia dată prin:

(I.42) : Part (A) R(A)

Part (A) ⎯⎯(F) =

dat prin (I.40)

sunt inverse una celeilalte deoarece sunt bijective.

3. Constatăm astfel, că există o corespondenţă bijectivă între mulţimea

relaţiilor de echivalenţă pe A şi mulţimea partiţiilor lui A, adică: Dată pe

A o relaţie de echivalenţă , ei îi corespunde mulţimea cât A

care este o

21

partiţie pe A şi, reciproc, dată o partiţie F a lui A, se defineşte o relaţie

binară prin (I.40) care este o relaţie de echivalenţă pe A.

Relaţii de ordine

O relaţie de preordine pe A antisimetrică se numeşte relaţie de

ordine pe A şi deci, este o relaţie binară omogenă: reflexivă, tranzitivă şi

antisimetrică. După teorema I.15 o relaţie de ordine pe A este

caracterizată prin formulele:

(I.43) A A; -1 A; = .

O relaţie de ordine pe A se notează prin simbolul “” care se citeşte “mai

mic sau egal” şi inversa relaţiei de ordine “” se notează prin “” care se

citeşte “mai mare sau egal” şi este tot o relaţie de ordine pe A.

Definiţia I.22. 1] Fie A , o relaţie de ordine “” pe A este o

relaţie de ordine parţială, iar cuplul (A, ) se numeşte mulţime

ordonată, mai exact mulţime parţial ordonată.

2] Fie A şi o relaţie de ordine “” pe A. Relaţia de ordine “” este o

relaţie de ordine totală pe A dacă pentru a, bA are loc cel puţin una

dintre situaţiile: a b sau b a. Mulţimea (A, ) se numeşte mulţime total

ordonată sau mulţime liniar ordonată.

Observaţii:

1. (A, ) este total ordonată, dacă şi numai dacă, (A, ) este total ordonată.

2. O relaţie de ordine = (A, R) pe multimea A este o relaţie de ordine

totală pe A, dacă şi numai dacă, R R-1 = A A echivalent cu -1 =

=A A.

22

3. O relaţie de ordine pe A este o relaţie de ordine totală, dacă şi numai

dacă, oricare două elemente din A sunt comparabile prin .

4. Exemple: 1) Pentru A = N relaţia “” definită prin x, yN( x y) def

def k N a. î. y = kx este o relaţie de ordine pe N.

2) Fie E o mulţime oarecare şi P(E) mulţimea părţilor lui E; relaţia “”

definită prin: A, B P(E), A B def A B este o relaţie de ordine

pe

P(E) şi anume o relaţie de ordine parţială.

5. Fie (A, ) o mulţime partial ordonată şi o relaţie de echivalenţă pe A

Relaţia de echivalenţă este compatibilă cu relaţia de ordine "", dacă

şi numai dacă:

(I.44) ⎧x x2 y1y2 x y1 x2 y2

. ⎩ 1 2 1 2

Mulţimea cât A

este ordonată în acest caz cu o relaţie de ordine definită

prin:

(I.45) x yxx, y y a.î. x y

care prin calcul direct se arată că este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă.

Definiţia I.23. 1] Fie (A, ) o mulţime parţial ordonată şi XA.

relaţia binară

(I.46) x, yX , x X yx y pe A.

se numeşte relaţie de ordine parţială indusă pe X de relaţia "" dată pe

A.

2] Dacă "" este o relaţia de ordine totală pe A, atunci "X" este o relaţie

de ordine totală pe X.

23

Teorema I.18. Fie (A, ) o mulţime parţial ordonată oarecare.

Relaţia binară notată "<" citită "mai mic" şi definită prin:

(I.47) x, yA, x yx y x y

are proprietăţile:

(I.48) x x x x (ireflexivitate)

(I.49) x y y x nu au loc simultan (asimetrie)

(I.50) x y y z x z (tranzitivitate)

Definiţia I.24. Relaţia de ordine "<" definită prin (I.47) se numeşte

relaţie de ordine strictă asociată relaţiei de ordine "".

Consecinţa I.2. Fie (A, <) o mulţime strict ordonată, atunci relaţia

binară "" definită prin:

(I.51) x, yA, x yx y (x y)

este o relaţie de ordine parţială pe A.

Definiţia I.25. Fie (A, ) o mulţime parţial ordonată oarecare.

1] Un element aA se numeşte prim element sau cel mai mic element,

dacă pentru xA, avem: xa.

Un element bA se numeşte ultim element sau cel mai mare element,

dacă pentru xA, avem: xb.

2] Un element aA este element minimal dacă xA astfel ca: xa,

avem x = a.

Un element bA este element maximal dacă xA astfel ca: b x,

avem x = b.

24

Observaţii:

1. Elementul aA este prim element pentru (A, ), dacă şi numai dacă,

aA este ultim element pentru (A, ).

Un element aA este element minimal în mulţimea ordonată (A, ) dacă şi

numai dacă, aA este element maximal pentru mulţimea ordonată (A, ). 2.

Dacă aA este prim element pentru mulţimea ordonată (A, ) atunci

aA este element minimal.

Dacă bA este ultim element pentru mulţimea ordonată (A, ), atunci bA

este element maximal.

3. Dacă (A, ) este o mulţime total ordonată, atunci A are cel mult un

element minimal şi respectiv, cel mult un element maximal. Dacă a1,a2A

sunt elemente minimale pentru (A, ) total ordonată, atunci ele sunt

comparabile, deci a1 a2 sau a2 a1 şi din definiţia precedentă rezultă în

ambele cazuri a1 = a2.

4. Exemple: 1) Fie A o mulţime oarecare care conţine cel puţin două

elemente şi X = P(A) - . Pentru mulţimea parţial ordonată (X, ) prin

relaţia de incluziune, elementele minimale sunt submulţimile formate

dintr-un singur element din A; X nu are prim element.

Mulţimea Y = P(A) – {A} este ordonată prin relaţia de incluziune, (Y, )

şi are elemente maximale, mulţimi de forma Z = A – {x} cu xA; Y nu are

ultim element.

2) A = N mulţimea numerelor naturale cu relaţia de ordine uzuală ""

( n m dacă există kN a. î. m = n + k) are un prim element pe x = 0 şi nu

are un ultim element.

25

Definiţia I.26. Fie (A, ) mulţime ordonată şi XA.

1] Un element aA se numeşte minorant pentru mulţimea X dacă

xX, avem a x; X se numeşte mulţime minorată.

2] Un element bA se numeşte majorant pentru mulţimea X dacă

xX, avem x b; X se numeşte mulţime majorată.

3] Mulţimea X se numeşte mulţime mărginită dacă şi numai dacă, X este

simultan minorată şi majorată.

Definiţia I.27. Fie (A,) o mulţime ordonată şi XA.

1) Un element gA se numeşte marginea inferioară a mulţimii X dacă g

este cel mai mare minorant al lui X, notat prin g=inf X sau g= inf{x | xX}

şi X este o mulţime mărginită inferior în A.

2) Un element lA se numeşte marginea superioară a mulţimii X dacă l

este cel mai mic majorant al lui X, notat prin l = sup X sau l= sup{x | xX}

şi X este o mulţime mărginită superior în A.

Observaţii:

1) Dacă (A, ) este o mulţime ordonată şi XA admite inf X A respectiv

sup X A, atunci inf X este ultimul element al mulţimii minoranţilor lui X

şi respectiv sup X este primul element al mulţimilor majoranţilor lui X.

2) Dacă (A, ) este o mulţime ordonată şi X A cu X admite inf X şi

sup X, atunci avem inf X sup X.

3) Fie (A, ) o mulţime ordonată şi X, Y P(A) pentru care există inf X,

sup X, inf Y, sup Y. Dacă X Y, avem:

(I.52) inf Y inf X; sup X sup Y.

4) Fie E o mulţime nevidă dată, P(E) şi relaţia de ordine "", deci

(P(E), ) o mulţime ordonată. Dacă F P(E), deci F ={X|XP(E)}=

26

= {X| XE} atunci majoranţii lui F sunt submulţimi ale lui E care includ

toate mulţimile din F şi F are margine superioară: supF U X. XF

Minoranţii lui F sunt submulţimile lui E care sunt incluse în toate

submulţimile lui F şi F are o margine inferioară : inf F I X. XF

5) Dacă A, B sunt două mulţimi oarecare, atunci X={, A, B} cu relaţia de

ordine "", (X, ) are margine inferioară: inf X = A B şi margine

superioară sup X = AB.

Teorema I.19. Fie (A, ) o mulţime ordonată şi X A. Mulţimea

X este mărginită în A, dacă şi numai dacă, există supXA şi inf X A.

În studiul mulţimilor ordonate, se admite o propoziţie ca făcând

parte din cadrul în care sunt tratate toate problemele folosind teoria

mulţimilor şi anume:

axioma lui Zorn sau

axiomei alegerii:

axioma alegerii sau formulările sale echivalente

axioma lui Zermelo. Vom da următorul enunţ al

Axioma alegerii ([36]). Fie F o familie (clasă) de mulţimi

nevide disjuncte două câte două, atunci există o mulţime A astfel

încât orice mulţime XF are intersecţie nevidă cu A şi mulţimea XA

este formată dintr-un singur element, deci X A = {a}.

Teorema I.20. Dacă (A, ) este o mulţime ordonată, atunci

următoarele condiţii sunt echivalente:

(i) Condiţia minimalităţii. Fiecare submulţime X A are cel

puţin un element minimal în X.

(ii) Condiţia inductivităţii. Orice submulţime X A care are

proprietăţile:

I. X conţine toate elementele minimale ale lui A.

27

II. Dacă ((aA) ({ xA | x< a}X))aX

atunci mulţimea X coincide cu A.

Demonstraţie: Fie X (A, ) care verifică condiţia inductivităţii

(ii) şi X A. Mulţimea A – X are cel puţin un element minimal şi fie

acesta x. Elementul x nu este minimal în A deoarece după (I) din (ii), X

conţine toate elementele minimale din A. Dacă x este minimal pentru

A – X, avem: (yA) (y< x) yX. Mulţimea X verifică şi (II) din (ii),

deci xX, ceea ce contrazice ipoteza: x(A-X). Dacă X are proprietatea

(ii) atunci X are şi proprietatea (i), adică (i)(ii). Pentru a dovedi

implicaţia (ii) (i) se foloseşte axioma alegerii şi nu vom demonstra

această implicaţie care presupune şi cunoaşterea altor noţiuni din teoria

generală a mulţimilor ordonate ([36]).

Definiţia I.28. Fie (A, ) o mulţime parţial ordonată. Mulţimea

(A,) se numeşte mulţime bine ordonată dacă orice submulţime nevidă

X A are un prim element.

Observaţii:

1. Dacă (A, ) este o mulţime bine ordonată, atunci (A, ) este o mulţime

total ordonată.

2. Teorema I. 20 prin condiţia inductivităţii (ii) permite folosirea metodei

de demonstraţie prin inducţie, în cazul mulţimilor ordonate care verifică

condiţia minimalităţii (i).

3. Clasa mulţimilor ordonate care verifică condiţia minimalităţii (i) este o

generalizare a clasei mulţimilor ordonate finite.

4. Mulţimea numerelor naturale N cu relaţia de ordine "" verifică condiţia

minimalităţii (i) şi (N, ) este o mulţime total ordonată.

28

5. O mulţime total ordonată care verifică şi condiţia minimalităţii (i) este o

mulţime bine ordonată, deci (N, ) este bine ordonată.

Metoda de demonstraţie prin inducţie se poate aplica mulţimilor

bine ordonate şi este cunoscută sub numele de inducţie transfinită. Un

caz particular al inducţiei transfinite este metoda inducţiei complete

aplicată în cazul mulţimii A = N (mulţimea numerelor naturale).

Principiul inducţiei transfinite se poate aplica după următorul

algoritm:

Dacă (A, ) este o mulţime bine ordonată infinită şi P este o

proprietate dată, pentru a verifica dacă toate elementele mulţimii A posedă

proprietatea P se arată că:

a) elementul prim x0 a lui A are proprietatea P;

b) dacă pentru xA, toate elementele y A cu y < x au proprietatea

P, atunci şi elementul x are această proprietate P.

Exemple: 1) Fie N mulţimea numerelor naturale şi relaţia de

divizibilitate: = {(n, m) NN | n | m} este o relaţie de ordine parţială pe

N.

2) Relaţia de divizibilitate în mulţimea numerelor întregi Z este numai o

relaţie de preordine deoarece, avem: a | b b | aa b;a b .

3) Mulţimea numerelor reale R cu relaţia de ordine naturală "" (xy dacă

kN a. î. y = x + k) este mulţime total ordonată.

R+ = {xR| x 0} R este total ordonată cu relaţia de ordine indusă,

" " , de ordine naturală "" dată de R. +

29

3. Funcţii

O noţiune fundamentală a matematicii moderne este cea de

"funcţie" care va fi definită cu ajutorul relaţiilor binare.

Definiţia I.29. Fie X, Y două mulţimi şi f = (X, Y;G) o relaţie între

elementele lui X şi elementele lui Y. Relaţia binară f = (X, Y;G) se

numeşte relaţie funcţională sau funcţie sau aplicaţie sau operaţie sau

transformare de la mulţimea X la mulţimea Y dacă G are proprietăţile:

(I) Pentru xX, yY a. î. (x, y) G

(II) Dacă (x, y), (x, y1) G atunci y = y1

Observaţii:

1. Condiţia (I) este condiţia de existenţă şi condiţia (II) este condiţia de

unicitate a elementului y Y a. î. pentru x X să avem (x, y) G.

2. Mulţimea X se numeşte domeniul de definiţie al funcţiei f iar

mulţimea Y se numeşte domeniul valorilor sau codomeniul funcţiei.

Mulţimea G se numeşte graficul funcţiei f.

3. Dacă f = (X, Y;G) este o funcţie şi x X un element oarecare, mulţimea

{y} cu yY a. î. (x, y)G se notează prin simbolul f(x)={y} sau simplu

f(x) = y. Elementul yY se numeşte imaginea lui x prin funcţia f sau y

este asociat lui x prin f sau y corespunde lui x prin f.

4. Folosind convenţia f(x)={y} pentru (x, y) G, graficul funcţiei f este

mulţimea G = {(x, f(x)) | x X}.

5. O funcţie f = (X, Y;G) este determinată de: domeniul de definiţie X,

codomeniul Y şi graficul său G.

6. Graficul lui f : G = {(x, f(x)) | x X} X Y se poate preciza indicând

pentru xX elementul yY a. î. y = f(x) sau prin punerea în evidenţă a

30

unei proprietăţi (reguli sau procedeu) prin care elementului x i se asociază

elementul unic y = f(x). Atunci când nu este pericol de confuzie, funcţia

f se identifică cu proprietatea care face ca elementului xX să-i

corespundă elementul unic yY cu y = f(x) şi se folosesc notaţiile: f :

X Y sau X ⎯⎯Y sau xf(x), xX.

Exemple:

1. Funcţia f = (X, X;G) cu G = X, notată 1X = (X, X; x) se numeşte

funcţie identitate sau funcţie identică a mulţimii X şi avem: xX,

1X(x)= x.

2. Dacă X = funcţia identică a mulţimii , 1 = (,;) se numeşte

funcţie vidă.

3. Fie X o mulţime oarecare, AX şi funcţia i = (A, X;A) cu i(x)=x,

xA se numeşte funcţia (aplicaţia) incluziune a mulţimii A în X. Dacă

A = , avem i = (, X; ). Se mai foloseşte notaţia i : A X cu i(x) = x. 4.

Fie X, Y două mulţimi oarecare cu Y şi y0Y un element fixat.

Relaţia binară f = (X, Y; G) cu G={(x, y0) | xX} este o funcţie numită

funcţia constantă asociată elementului y0 şi avem: f(x)=y0, xX.

5. Fie X o mulţime, A X şi relaţia binară fA = (X,{0,1};G) cu

f (x) ⎩

0;

xA este o funcţie numită funcţia caracteristică a mulţimii

A.

6. Fie f : X Y o funcţie şi se poate da o "interpretare sistemică" acestei

noţiuni prin consideraţiile următoare: elementele xX le numim intrări,

elementele yY le numim ieşiri şi f apare ca procedeul prin care fiecărei

intrări xX îi corespunde ieşirea y=f(x) şi avem un sistem intrare – ieşire:

⎯⎯ f ⎯⎯.

31

Definiţia I.30. Fie date funcţiile f = (X, Y;F) şi g = (A, B;G).

Funcţiile f şi g sunt egale dacă şi numai dacă, avem: X = A, Y = B şi F =G

echivalent cu f (x) = g(x) pentru xX.

Teorema I.21. Dacă f este o funcţie, atunci avem:

(I.53) G = {(x, y) | (xX) (yY) (y = f(x))}.

Demonstraţiile pentru toate propoziţiile, lemele şi teoremele din

acest paragraf se pot consulta din bibliografia indicată ([24] pag 80 – 107,

[36], [42]).

Observaţii:

1. Din teorema precedentă rezultă că pentru a defini o funcţie f este

suficient să se dea: domeniul, codomeniul şi regula după care fiecărui xX

i se asociază un element unic yY cu y = f(x).

2. Din aceeaşi teoremă regăsim "definiţia clasică" a noţiunii de funcţie aşa

cum este prezentată şi în manualele de matematică din liceu.

Teorema I.22. Fie A, B două mulţimi oarecare şi A B produsul

lor cartezian. Atunci relaţiile binare de la A B la A şi respectiv de la A B

la B care asociază fiecărei perechi (x, y) prima componentă x şi respectiv a

doua componentă y sunt funcţii:

⎧ pA : AB Asau x, y⎯⎯x

⎪pB : AB B sau x, y⎯⎯y

Observaţii:

1. Funcţiile pA şi pB date prin (I.54) se numesc proiecţiile canonice ale

produsului cartezian A B pe A respectiv B, notate: pA(x, y) x,

pB (x, y) y .

2. Fie f : A B şi g : X Y două funcţii. Relaţia binară:

(I.55) f g : A X B Y cu (f g)(a, x) = (f(a), g(x))

32

este o funcţie numită produsul cartezian al funcţiilor f şi g.

Definiţia I.31. Fie f : X Y o funcţie şi A X. Relaţia binară fA

care asociază fiecărui element xA elementul f(y) Y este o funcţie

numită restricţia funcţiei f la mulţimea A. Funcţia f în acest caz, este o

prelungire a funcţiei fA de la mulţimea A la mulţimea X cu A X.

Observaţii:

1. Pentru f : X Y şi A X cu fA: A Y funcţie, avem fA(x)= f(x),

xA. Restricţia funcţiei identitate 1X: X Y la submulţimea AX este

funcţia de incluziune (injecţie canonică a lui A în X), i: A X cu

iA= 1X |A .

2. Restricţia unei funcţii f : X Y la o submulţime A X , fA, este unică.

Prelungirea unei funcţii de la A X la mulţimea X nu este unică.

Teorema I.23. Dacă f = (X, Y; F) şi g = (Y, Z;G) sunt două funcţii,

atunci relaţia binară:

⎧g o f X ,Z ,G oF I.56 ⎪

G oF x, z | yY x, yF y, z G⎪g o f x g ⎡f x⎤ , xX

este o funcţie numită compunerea funcţiilor g şi f.

Consecinţa I.3.

(i) Dacă f = (X, Y; F), g = (Y, Z; G), h = (Z, U; H) sunt funcţii atunci

avem: ( h g) f = h (g f) adică, compunerea funcţiior este o operaţie

asociativă.

(ii) Compunerea funcţiilor nu este, în general, o operaţie comutativă,

adică: g f f g.

Teorema I.24. Dacă f = (X, Y; G) este o funcţie atunci următoarele

afirmaţii sunt echivalente:

33

(i) Relaţia binară f 1 (Y , X ;G

1) unde

(I.57) G 1 = {(y, x)| (x, y)G}

este funcţie.

(ii) f o f 1 1 ; f

1 o f 1X .

Observaţii:

1. Dată funcţia f = (X, Y; G), atunci funcţia f 1 (Y , X ;G

1) cu G 1 dată

prin (I.57) se numeşte funcţia inversă a funcţiei f.

2. Fie f : X Y o funcţie şi A X, atunci restricţia lui f la mulţimea A

este dată prin:

(I.58) ⎧f

A f oiA

⎪iA

: A X

compunerea funcţiei f cu funcţia incluziune iA .

Definiţia I.32. Fie f : X Y o funcţie şi A X o submulţime a

domeniului său de definiţie X.

1] Mulţimea:

(I.59) f(A) = {y | (xA) (y = f(x))} sau f(A) ={ f(x)| xA}

se numeşte imaginea directă a submulţimii A a lui X prin funcţia f sau

imagine lui A prin f sau mulţimea valorilor lui f pe A.

2] Mulţimea f(X) se numeşte imaginea funcţiei f sau mulţimea valorilor

funcţiei f, notată prin Imf.

Teorema I.25. Fie f: X Y o funcţie, atunci au loc următoarele

afirmaţii:

(I.60) f () =

(I.61) f (A1 A2) = f (A1) f (A2); A1, A2P(X)

(I.62) f (A1 A2) = f (A1) f (A2); A1, A2P(X)

34

(I.63)A1 A2 f (A1) f (A2); A1, A2P(X)

(I.64) f(X) = {y | (xX) (y = f(x))}.

Demonstraţia în bibliografie ([17], [24], [36], [38]).

Definiţia I.33. Fie f: X Y o funcţie şi BY. Mulţimea

(I.65) f -1(B) = {x | (xX) ( f(x)B)}

se numeşte imaginea inversă a submulţimii B a lui Y prin funcţia f sau

preimaginea lui B prin f sau contraimaginea lui B prin f sau imaginea

reciprocă a lui B prin f.

Teorema I.26. Fie f: X Y o funcţie, atunci au loc următoarele

afirmaţii

(I.66) f - 1() =

(I.67) Dacă B1 B2 f - 1(B1) f - 1(B2); B1, B2P(Y)

(I.68) f - 1(B1 B2) = f - 1(B1) f - 1(B2); B1, B2P(Y)

(I.69) f - 1(B1 B2) = f - 1(B1) f - 1(B2); B1, B2P(Y)

(I.70) f - 1(Y) = X.

Demonstraţia în bibliografie ([24], [36], [40]).

Consecinţa I.4. 1] {Ai | iI}P(X) au loc relaţiile:

(I.71) f ⎛UA ⎞

U f A ;iI iI

f ⎛I A

⎞I f A

iI iI

2] {Bj | jJ}P(Y) au loc relaţiile:

(I.72) f −1 ⎛

B ⎞

f −1 B ; ⎝jJ ⎠jJ

f −1 ⎛

B ⎞

f −1 B⎝jJ ⎠jJ

Demonstraţia în bibliografie ([24], [36], [40]).

Consecinţa I.5. 1] Fie f : X Y şi g: Y Z funcţii şi AX, BY,

atunci au loc egalităţile:

(I.73) (g f)(A) = g[f(A)]

35

2] (I.74) g o f −1 (B) f 1 ⎡g1(B)⎤.

Demonstraţia în bibliografie ([24], [36], [40]).

Teorema I.27. Fie f : X Y atunci au loc relaţiile:

(I.75) f (A) - f (B) f (A- B), A, BP(X)

(I.76) CYf (A) f (CXA), pentru AP(X) şi dacă f (X) = Y;

(I.77) f - 1(A - B) = f - 1(A) - f - 1(B); A, BP(Y);

(I.78) f - 1(CYB) = CX f - 1(B); BP(Y).

Demonstraţia în bibliografie ([24], [36], [40]).

Observaţii:

1. Fie f: X Y o funcţie cu graficul G = {(x,y) | (xX) (y = f(x))}, deci

f = (X, Y;G). Dacă B Y atunci f –1(B) este imaginea inversă a mulţimii

B prin functia f şi nu trebuie confundată cu mulţimea f –1(B) unde f –1este

inversa relaţiei binare f, deci f –1 = (Y,X;G-1) cu G1 = {(y, x)| (x, y)G}.

De asemenea imaginea inversă a lui B prin f, f –1(B) nu trebuie confundată

cu imaginea directă a mulţimii B prin relaţia binară f –1 = (Y, X; G-1)

deoarece nu s-a definit imaginea directă a mulţimii printr-o relaţie binară,

ci numai printr-o funcţie.

2. Dacă f = (X, Y;G) este funcţie astfel încât f –1 = (Y, X; G-1) să fie

funcţie, atunci f –1(B) este imaginea directă a mulţimii B Y prin funcţia

f –1.

Definiţia I.34. Fie f: X Y o funcţie cu graficul G, deci f =

=(X, Y;G).

1] Funcţia f este injectivă sau injecţie, dacă şi numai dacă, x1, x2X cu

x1 x2 rezultă f(x1) f(x2) sau, logic echivalent: x1, x2X cu x1 = x2

rezultă f(x1) = f(x2).

36

2] Funcţia f este surjectivă sau surjecţie, dacă şi numai dacă, pentru

yY există un element xX astfel încât y= f(x) sau logic echivalent

f(X)=Y.

3] Funcţia f este bijectivă sau bijecţie, dacă şi numai dacă, f este simultan

injectivă sau surjectivă.

4] Funcţia f este inversabilă, dacă şi numai dacă, există o funcţie g:Y X

a. î.: g f = 1X, f g = 1Y şi g se numeşte inversa funcţiei f, notată

g = f –1: YX.

Teorema I.28. Fie f: X Y şi g : Y Z, două funcţii atunci au

loc afirmaţiile:

(i)

(ii)

Dacă f şi g sunt injective atunci g f este injectivă.

Dacă f şi g sunt surjective atunci g f este surjectivă.

Dacă f şi g sunt bijective atunci g f este bijectivă.

Dacă g f este injectivă atunci f este injectivă.

Dacă g f este surjectivă atunci g este surjectivă.

Dacă g f este bijectivă atunci f este injectivă şi g este

surjectivă.

Demonstraţia în bibliografie ([12], [24], [36]).

Teorema I.29. Fie f: X Y o funcţie cu f = (X,Y;G) atunci

următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(I) f este inversabilă;

(II) f este funcţie bijectivă;

(III) relaţia binară f –1 = (Y,X;G-1) cu G1 = {(y, x)| (x, y)G} este

o funcţie;

(IV) f o f 1 1 ; f

1 o f 1X .

Demonstraţia în bibliografie ([24], [36], [41]).

37

Observaţii:

1. Funcţia f: X Y este injectivă, dacă şi numai dacă, pentru orice două

elemente distincte din X corespund elemente distincte din Y.

2. Funcţia f: X Y este surjectivă, dacă şi numai dacă, orice element din

Y este imaginea unui element din X sau echivalent: orice element din Y are

o preimagine în mulţimea X.

3. Funcţia f: X Y este injectivă: dacă yY, există cel mult un xX cu

f(x)= y.

Funcţia f: X Y este surjectivă: dacă yY, există cel puţin un xX cu

f(x) = y.

Funcţia f: X Y este bijectivă: dacă yY, există exact un xX cu f(x)=y. 4.

Fie f: X Y o funcţie injectivă şi f(X) = Y0 Y mulţimea valorilor

funcţiei f în Y. Funcţia f -1 : Y0 X cu f -1 (y) = x dacă y =f(x) este

inversa funcţiei f, privită astfel: f: X Y0, Y0 Y.

Teorema I.30. O funcţie f: X Y este bijectivă, dacă şi numai

dacă, pentru yY ecuaţia f(x) = y are soluţie unică, xX.

Observaţii:

1. Funcţia f: N Z cu

⎧n,n par

f (n) ⎨ este bijectivă şi stabileşte

⎪

2 ,n impar

corespondenţă bijectivă (biunivocă) între mulţimile N şi Z, deşi avem:

NZ.

2. Dacă X şi Y sunt mulţimi finite cu XY, nu există o bijecţie de la X la

Y. Dacă X şi Y sunt mulţimi finite şi f: X Y este o funcţie bijectivă,

atunci mulţimile X şi Y au acelaşi număr de elemente.

3. În paragraful "Relaţii binare" s-au definit funcţiile:

38

⎧:R (A) Part(A), A, R (A)

(I.79) ⎨: Part(A) R (A), F

⎩ x, yAA | X F xX yX unde R(A) este mulţimea relaţiilor de echivalenţă pe A şi Part(A) mulţimea

partiţiilor lui A.

Teorema I.31. Funcţiile şi din (I.79) sunt una inversa

celeilalte, adică:

(I.80) o1 A , o 1Part A

Demonstraţia în bibliografie ([24], [36], [42]).

Observaţii:

1. Din teorema precedentă rezultă că avem: 1 şi 1 .

2. În aceste condiţii, există o corespondenţă bijectivă între mulţimea

relaţiilor de echivalenţă pe o mulţime A şi mulţimea partiţiilor lui A.

4. Mulţimi de numere

Problemele de evaluare a determinărilor cantitative în studiul

diverselor fenomene din realitate se realizează cu ajutorul numerelor reale.

În şcoală se studiază operaţiile algebrice cu numere naturale, fracţii

pozitive, numere întregi, numere raţionale, numere reale şi numere

complexe.

Trecerea de le numere raţionale la numere reale se realizează prin

introducerea noţiunii de aproximare şi anume: orice număr real se

aproximează prin şiruri de numere raţionale scrise în forma zecimală.

Mulţimea numerelor reale este o mulţime ale cărei elemente sunt în

anumite relaţii de comparare şi cu care se pot efectua calcule. Această

39

descriere intuitivă a numărului real s-a obţinut prin lărgirea treptată a

noţiunii de număr, determinată de necesitatea rezolvării unor ecuaţii

algebrice şi alte cerinţe, pornind de la numărul natural şi realizând şirul de

incluziuni: NZ Q R C.

Vom prezenta calea inversă şi anume: se defineşte axiomatic

mulţimea numerelor reale R şi apoi se arată că aceasta conţine

submulţimile de numere: N, Z, Q.

În redactarea materialului teoretic şi aplicativ se presupun

cunoscute noţiunile din algebră şi elemente de analiză matematică care

sunt studiate în clasele a XI-a şi a XII-a din liceu.

Definiţia I.35. O mulţime K care conţine cu cel puţin două

elemente, înzestrată cu două operaţii algebrice interne: "+" (adunarea), " "

(înmulţirea) în raport cu care satisface axiomele:

(I) (K, +) grup abelian;

(II) (K*, ) grup abelian (K* = K-{0}, 0 element neutru: "+");

(III) Înmulţirea este distributivă faţă de adunare

se numeşte corp comutativ, notat (K, +, ).

Observaţii:

1. Axiomele (I) – (III) cuprind 9 axiome care caracterizează structura

algebrică de corp comutativ (K, +, ) cu elementele neutre 0 (pentru "+") şi

1 (pentru " ").

2. Consecinţele imediate ale sistemului de axiome (I) – (III) sunt:

unicitatea elementelor neutre 0 şi 1, unicitatea elementelor simetrice: -

x (pentru "+") şi x –1 sau 1

(pentru " ").

40

3. O mulţime (A, ) total ordonată în raport cu relaţia de ordine "" este

mulţime complet ordonată dacă orice submulţime nevidă şi majorată a sa

are margine superioară în A.

4. Nu orice mulţime total ordonată este şi complet ordonată.

Exemplu: (Q, ) cu "" relaţie de ordine uzuală este total ordonată

şi luând AQ cu A = { rQ| r3 < 2} se constată că A este majorată şi

supA = 3 2 Q, deci Q nu este complet ordonată.

Definiţia I.36. Fie (K, +, ) un corp comutativ şi "" o relaţie de

ordine pe mulţimea K.

1] Corpul comutativ K înzestrat cu o relaţie de ordine care verifică

axiomele:

(O1) (K, ) este mulţime total ordonată;

(O2) x, yK cu x y x + z y + z, zK;

(O3) x, yK cu x 0 şi y 0 xy 0

se numeşte corp ordonat, notat (K, +, ; ).

2] Un corp ordonat (K, +, ; ) se numeşte corp complet ordonat dacă

multimea (K, ) este complet ordonată.

Teorema I.32. Într-un corp comutativ ordonat (K, +, ; ) au loc

proprietăţile:

(I.81) x, yK are loc una şi numai una dintre relaţiile: x < y, x = y,

x > y;

(I.82) 0 < 1;

(I.83) 0 < x - x < 0;

(I.84) x, y, z, uK cu (x y) (z u) ( x + z y + u);

(I.85) x, yK cu x 0 şi y 0 xy 0;

(I.86) x, y, zK cu x y şi z 0 xz yz.

41

Demonstraţia în bibliografie ([36], [42]).

Definiţia I.37. Se numeşte "sistem de numere reale" sau

"mulţime de numere reale", notată prin R, orice corp comutativ complet

ordonat. Elementele lui R se numesc numere reale şi R se numeşte

corpul numerelor reale.

Vom studia unele proprietăţi fundamentale ale corpului complet

ordonat R privind: structura algebrică, relaţia de ordine, submulţimi

remarcabile ş.a. Vom preciza existenţa lui R şi unicitatea până la un

izomorfism de corpuri complete ordonate.

Definitia I.38. Fie A R, A . A se numeşte mulţime

inductivă dacă are proprietatea:

(I.87) xA x + 1 A.

Notăm prin A familia tuturor părţilor inductive ale lui R şi avem:

A P(R).

Observaţii:

1. Mulţimea A = {xR| x 0}A, fapt ce rezultă imediat din proprietatea

(I.87).

2. Orice intersecţie de mulţimi din A este un element din A.

Definiţia I.39. Mulţimea (I.88) N I A se numeşte mulţimeAA

de numere naturale din R. Elementele lui N se numesc numere naturale,

notate prin: n, m, ....

Teorema I.33. (Principiul inducţiei complete). Dacă A N are

proprietăţile:

(i) 0 A;

(ii) Pentru xA x + 1A

atunci A = N.

42

Demonstraţie: Condiţiile (i), (ii) din ipoteză implică AA şi

A N. Cum N I A atunci N A şi deci A = N. AA

Teorema I.34. Pentru k N are loc reprezentarea:

(I.89) {t N | t k} = I A . kA

Demonstraţie: Formula de reprezentare (I.89) se poate pune sub

forma unor incluziuni:

(I.90) k N, {t N | t k} A, A A şi kA.

Considerăm mulţimea:

(I.91) B = { kN| k care satisface (I.90)}

şi evident B N. Cum 0B şi B este parte inductivă a lui N după (i), (ii)

din teorema I.33 rezultă B = N şi deci are loc formula de reprezentare

(I.89).

Observaţii:

1. Din teorema I.33 (principiul inducţiei complete) se obţine o metodă de

demonstraţie:

"Fie funcţia propoziţională definită pe N, n P(n) cu proprietăţile:

(I) kN a. î. P(k) adevărată

(II) nN şi P(n) adevărată implică P(n + 1) adevărată, atunci P(n) este

adevărată pentru nN cu n k".

2. Unele proprietăţi ale numerelor naturale din R sunt consecinţe directe

ale teoremei I.33 (principiul inducţiei complete).

Teorema I.35. Suma şi produsul a două numere naturale sunt

numere naturale.

Demonstraţie: Fe AN cu A = {kN| m+ kN; mN} şi avem

0A (i), cum mN şi m + 0 N, mN. Dacă mA, atunci m + n N,

43

mN deci m + n + 1 N; mN avem m + 1 A (ii). Cum 0A

inductivă, A N atunci după principiul inducţiei compete rezultă A = N.

În mod analog considerând B = {kN | mkN, mN} se arată că 0 B,

B este submulţime inductivă a lui N şi avem B = N.

Teorema I.36. În mulţimea numerelor naturale N din R au loc

proprietăţile:

(I.92) Dacă n N şi n 0, atunci n - 1N;

(I.93) Cel mai mic element al mulţimii A = {xN | n< x} este n +1;

(I.94) Dacă n N, nu există x N a. î. n < x < n + 1;

(I.95) Orice submulţime nevidă a lui N are un cel mai mic element;

(I.96) Dacă m, nN şi m n, atunci există kN a. î. mk = n .

Demonstraţiile proprietăţilor (I.92) – (I.96) sunt consecinţe

imediate ale principiului inducţiei complete.

Teorema I.37. Fie R' şi R" două corpuri complete ordonate şi N',

N" submulţimile corespunzătoare de numere naturale, atunci există o

funcţie f: N' N" cu proprietăţile:

(a) f este bijecţie;

(b) f(m + n) = f(m) + f(n); m, nN';

(c) f(m n) = f(m) f(n); m, nN';

(d) Dacă m, nN' cu m < n atunci f(m) < f(n).

Demonstraţie: Fie elementele unitate 1' şi 1", elemenele neutre 0'

şi 0" din R' şi respectiv R", atunci avem: f(0') = 0". Presupunem că pentru

kN' s-a definit f(k) N" şi considerăm f( k + 1') = f( k) + 1". Conform

teoremei I.33 (primcipiul inducţiei complete) f este definită pe N' şi

f(N')=N", deci f este surjectivă. Prin calcul direct se arată că f este injectivă

şi deci f este o bijecţie de la N' la N", (a).

44

Mulţimea A = {n N'| f(m + n) = f(m) + f(n); m N'} are

proprietăţile: 0' A şi din ipoteza n A rezultă n + 1 A, atunci conform

principiului inducţiei complete avem: A = N', (b).

Analog se demonstrează că mulţimea B={nN'| f(mn) = f(m) f(n);

mN'} coincide cu N', B = N', (c).

Proprietatea (d) rezultă din injectivitatea funcţiei f.

Consecinţa I.6. Funcţia f din teorema I.37 este un izomorfism

algebric şi de ordine între N' şi N".

Definiţia I.40. Mulţimea (I.97) Z = N { - n | nN*} se numeşte

mulţime a numerelor întregi din R.

Observaţii:

1. Cum R este corp comutativ rezultă direct că suma şi produsul a două

numere întregi este tot un număr întreg,

2. Operaţiile de adunare şi înmulţire din Z au următoarele proprietăţi:

(I') (Z, +) este grup abelian;

(II') (Z, ) este semigrup abelian;

(III') Înmulţirea este distributivă faţă de adunare

(care sunt induse de proprietăţile (I) , (II), (III) din definiţia lui R).

3. Mulţimea (Z, +, ) este inel comutativ cu element unitate.

Teorema I.38. Fie R' şi R" două corpuri complete ordonate Z' şi

Z" submulţimile corespunzătoare de numere întregi, atunci funcţia

f: N' N" cu proprietăţile (a) – (d) se poate prelungi la Z' prin condiţia:

(e) f( - n) = - f(n), n(N')*, f : Z' Z".

Funcţia f care satisface (a) – (e) este un izomorfism de inele

comutative unitare între Z' şi Z" care păstrează relaţia de ordine.

Definiţia I.41. Mulţimea (I.98) Q = {x = m n-1 | n, m Z, n 0} se

numeşte mulţimea numerelor raţionale din R.

45

Observaţii:

1. Operaţiile de adunare şi înmulţire, relaţia de ordine din R conferă lui Q

structura de corp comutativ ordonat.

2. Perechea ordonată de numere întregi (m, n) cu n 0 defineşte un număr

raţional x = m n-1, notat prin x m

.

3. Două perechi de numere întregi m ,n şi m2 ,n2 definesc acelaşi

număr raţional x dacă şi numai dacă există kZ a. î.

⎧m

km2 ⎩n

kn2

⎧m2

km ⎩n2

kn

sau

Teorema I.39. Fie R' şi R" două corpuri complete ordonate Q' şi

Q" submulţimile corespunzătoare de numere raţionale, atunci funcţia

f: Z' Z" cu proprietăţile (a) – (e) se prelungeşte la o funcţie f : Q' Q"

care satisface în plus condiţia:

(i) xQ' cu x m

f (x) f (m)

.

Funcţia f : Q' Q"care satisface (a) – (e), (i) este o bijecţie care

păstrează operaţiile algebrice şi relaţia de ordine.

Definiţia I.42. Orice număr real care nu este număr raţional se

numeşte număr iraţional.

Vom dovedi că definiţia este consistentă demonstrând că există

efectiv numere iraţionale în R.

Teorema I.40. Pentru orice xR cu x > 0 şi orice nN cu n 2

există şi este unic y R cu y >0 astfel ca:

(I.99) y n = x.

46

Demonstraţie: Fie mulţimea de numere reale:

(I.100) A = {t R| t > 0, t n < x }.

Dacă a R cu 0 < a < 1 şi a < x atunci an a< x, deci aA care

este în acest caz o submulţime nevidă a lui R. Dacă b >1 şi x < b, atunci

t n < x < b b n şi cum tA satisface t< b, rezultă că mulţimea A este o

submulţime majorată din R. Mulţimea R este corp complet ordonat şi

conform definiţiei, există yR a. î. y = sup A. Vom arăta că y n = x şi y este

unic.

Presupunem y n

< x şi alegem R cu 0 < < 1 a. î. 1 x− yyn

.

Avem:

y n C0 yn C1 yn1 ... C nn yn C1 yn1 C2 yn2 ... C n

yn ⎡1yn yn ⎤yn x yn x . Conform definiţiei mulţimii A

prin (I.100) avem y + A şi y = sup A, ceea ce contrazice definiţia

marginii superioare (cel mai mic majorant al lui A), deci nu are loc

inegalitatea y n < x.

Presupunem y n

> x şi alegem R cu 0 < < 1 a. î. 1yn − x y

n .

Avem:

y n C 0 yn C1 yn1 ... (1)n1C n n yn C1 yn1 C 2 yn2 ... C n

yn ⎡1yn yn ⎤yn yn x x . În aceste condiţii avem y - > t,

yA, ceea ce contrzice definitia marginii superioare şi atunci nu are loc

inegalitatea y n > x.

47

Dacă y n < x şi y n > x nu au loc, din proprietăţile fundamentale ale

lui R, rezultă y n = x şi deci există y R care satisface condiţia (I.99).

Dacă 0 < y1< y2, avem yn yn şi deci yR care satisface ecuaţia

(I.99) este unic.

Observaţii:

1. Vom nota y din teorema precedentă prin simbolul: (I.101) y n x

numit rădăcina de ordin n a numărului real x > 0.

2. Pentru n = 2, ecuaţia algebrică cu coeficienţi întregi y2 = 2 (x = 2) are o

rădăcină pozitivă în R, y = 2 . Elementul y = 2 nu este numar raţional;

demonstraţia acestei afirmaţii se obţine prin metoda reducerii la absurd şi

este cunoscută din gimnaziu.

Definiţia I.43.

1] Numerele iraţionale din R care sunt soluţii ale unor ecuaţii algebrice cu

coeficienţi întregi:

⎧a0xn 1x

n1 ... an1x an 0

⎩ai Z, 0 i n

se numesc numere iraţionale algebrice.

2] Un număr iraţional din R care nu este algebric se numeşte număr

iraţional transcendent.

Vom prezenta unele afirmaţii fundamentale din R care pun în

evidenţă proprietăţi ale lui N şi Q ca submulţimi ale lui R.

Teorema I.41. Pentru orice xR cu x > 0 există nN* a. î.

(I.102) x n < x +1

Demonstraţie: Dacă am avea x > n pentru nN, atunci mulţimea

N ar fi marginită superior în R şi ar exista zR cu z = sup N. După

definiţia marginii superioare există nN a. î. z – 1 < n deci z < n +1, ceea

48

ce este absurd. În consecinţă, există mN a. î. xm. Mulţimea A = {mN|

x m} este mărginită inferior în R şi fie yR cu y = inf A; vom arăta că

yN. Fie 0 < < 1, atunci există m0 A a. î. y m0 < y + ; pentru mA

avem m0 m; căci în caz contrar s-ar obţine m < y, ceea ce contrazice

definiţia marginii inferioare. În aceste condiţii avem m0 = y = inf A şi deci,

x m0 < x + 1.

Teorema I.42. (Principiul sau axioma lui Arhimede) Pentru

x, yR cu y > 0 există n N astfel încât:

(I.103) x ny.

Demonstraţie: Vom considera numai cazul x> 0 şi atunci după

teorema precedentă există nN a. î. xy1 n care este echivalentă cu xny.

La fel se obţine demonstraţia pentru cazul x < 0, notând z = -x.

Observaţii:

1. Teorema demonstrată afirmă faptul că R este un corp arhimedian.

2. Aceste două teoreme implică consecinţe importante.

Consecinţa I.7. Pentru aR cu a >0 există nN a. î.

(I.104) 0 < 1

< a.

Consecinta I.8. Dacă aR cu a 0 şi a < 1

pentru nN, atunci

avem: a= 0.

Consecinta I.9. Dacă a, b R şi a < b, atunci există rQ a. î.

a< r < b.

Demonstraţie. Vom considera numai cazul a> 0 şi după (I.104) şi

ipoteza a < b, există nN a. î. 0 < 1

< b - a. După principiul lui Arhimede

49

mulţimea A = { mN| a< m

} este nevidă şi are un prim element cu

proprietatea m

n

1 a

n .

În aceste condiţii avem:m

a 1

a b a b şi deci, există

r m

Q astfel încât a r m

b .

Consecinta I.10. Pentru aR există şi este unic un număr întreg

pZ, astfel încât:

(I.105) p a p 1 .

Demonstraţie: Existenţa numărului întreg p cu proprietatea (I.105)

se demonstrează printr-un raţionament analog celui folosit pentru existenţa

lui rQ din consecinta precedentă. Deoarece nu există q Z a. î.

p q p 1 , rezultă că numărul p Z cu proprietatea (I.105) este unic.

Definiţia I.44.

1] Pentru fiecare aR există pZ cu proprietatea (I.105) p a p 1 şi p

se numeşte partea întreagă a lui a, notată [a] = p.

2] Numarul real a – [a] se numeşte partea fracţionară a lui a, notată

{a} = a - [a].

În corpul ordonat (R, +, , ) se defineşte funcţia modul sau

valoarea absolută, prin:

(I.106) | | : R R, |x| = max{x, -x} = ⎧x dacă x 0

0.

În liceu s-au demonstrat următoarele proprietăţi ale funcţiei modul:

(p1) |x| 0 (|x| = 0 x = 0);

(p3) |xy| = |x| |y|, x, yR;

(p2) |x| = |- x|; xR* ;

(p4) |x + y| |x| + |y|, x, yR;

50

(p5) ||x |- |y|| |x - y|, x, yR; (p6) dacă > 0, |x |- x ;

(p7)x

y

x

y

; x, yR cu y 0.

Vom demonstra unicitatea corpului complet ordonat R definit

axiomatic.

Definiţia I.45. Corpurile ordonate K' şi K" se numesc corpuri

izomorfe dacă există o bijecţie f : K' K" care păstrează operaţiile

algebrice şi relaţia de ordine.

Teorema I.43. Orice două corpuri complet ordonate sunt izomorfe.

Demonstraţie: Fie R' şi R" corpuri complet ordonate, Q' şi Q"

submulţimile corespunzătoare de numere raţionale şi f : Q' Q" un

izomorfism de corpuri ordonate. Vom prelungi funcţia f de la Q' la R' şi în

acest scop dovedim egalitatea:

(I.107) f (a) sup{ f (r) | r Q , r a;aQ } .

Din definiţia marginii superioare, rezultă că avem:

(I.108) sup{ f (r) | r Q , r a;aQ } f (a),aQ

şi dacă am avea numai sup{ f (r) | r Q , r a;aQ } f (a) atunci ar

exista un element q"Q" a. î. sup{ f (r) | r Q , r a;aQ } q f (a)

Considerăm q'Q' a. î. f(q') = q"Q" şi din presupunerea făcută rezultă:

f ⎛a

1

⎞

f (q ) f (a),n N care este echivalentă cu:

a

q a,n N unde 1' şi 1" sunt elementele unitate din N' şi N".

După principiul lui Arhimede rezultă că q' = a, deci q" = f (a) ceea ce este

o contradicţie şi avem:

51

sup{ f (r) | r Q , r a;aQ } f (a),aQ (I.108). Prin relaţia

(I.108) se obţine o prelungire a funcţiei f de la Q' la R' şi folosind regulile

de calcul cu margini rezultă:

(I.109) sup{ f (r) | r Q , r a;aQ } inf{ f (s) | sQ ; a s};aR .

Dacă presupunem că, avem:

sup{ f (r) | r Q , r a;aQ } inf{ f (s) | sQ ; a s},aR atunci,

pe de o parte aQ', iar pe de altă parte din definiţia pentru partea întreagă,

ar exisa qQ' a. î. f(r) < f(q) < f(s), r, sQ' cu proprietatea: r < a < s . In

aceste condiţii: r, sQ' cu r < a < s r < q < s, care arată că a = qQ'

ceea ce este o contradicţie.

Atunci are loc egalitatea:

(I.110) sup{ f (r) | r Q , r a;aQ } inf{ f (s) | sQ ; a s};aR .

Să demonstrăm că funcţia f păstrează operaţiile algebrice din R'.

Fie a, b R' şi p, q Q' a.î. p < a şi q < b, atunci p + q < a + b şi

f ( p) f (q) sup{ f (r) | r Q , r a b} ; din această inegalitate rezultă:

f (a b) f (a) f (b) şi deci f (a b) f (a) f (b) . În mod analog se

arată că f (a b) f (a) f (b) , deoarece pentru a > 0, b > 0 dacă r, q Q'

a.î. 0 < r < a şi 0 < q < b, atunci rq < ab şi rezultă: f (r) f (q)

sup{ f (s) | sQ , s a b} , deci f (a) f (b) f (a b) . Pentru a dovedi că

f (a) f (b) f (a b) se consideră că t, p Q' a.î. t >a şi p > b, deci tp >

>ab şi se obţine f (t) f ( p) inf{ f (r) | r Q , r a b} de unde rezultă

f (a) f (b) f (a b) . Pentru zR' cu z > 0 avem f(z)> 0 şi folosind

proprietatea de aditivitate: f (a b) f (a) f (b) , a, bR' rezultă prin

calcul direct, că: a, bR' cu a< b f(a) < f(b), adică f este injectivă pe

R'. Functia f este injectivă şi vom demonstra că f este surjectivă pe R'. Fie

52

wR" şi A = {tQ'| f(t)< w}, notăm x = sup A şi vom demonstra că f(x)=

= w. Dacă tA, există rQ" a. î. f(t)< r < w . Fie qQ' a. î. f(q) = r,

atunci qA şi t < q, deci t < x care implică: A{rQ'| r< x}. Dacă rQ',

cum r < x, din definiţia marginii superioare rezultă că qA astfel ca:

r < q x, deci f (r) < f(q)< w şi atunci rA. Avem A = {rQ'| r < x} care

împreună cu f(A) = {rQ"| r < w}implică: implică f(x)= sup{f(r)|r < x}=

=sup f(A) = sup{rQ"| r < w}= w şi deci f este o funcţie surjectivă.

Funcţia f este bijectivă şi păstrează operaţiile algebrice, relaţia de ordine,

deci f este izomorfism de corpuri ordonate.

Observaţii:

1. Teorema precedentă dovedeşte unicitatea corpurilor complete ordonate

până la un izomorfism.

2. Corpul complet ordonat R definit axiomatic este unic determinat până la

un izomorfism de corpuri complete ordonate.

3. În literatura matematică, se cunosc cel puţin patru moduri de a defini

corpul numerelor reale: construcţia Dedekind cu tăieturi, construcţia lui

Cantor cu şiruri Cauchy de numere raţionale, construcţia zecimală şi

construcţia axiomatică ([25] pag 24 – 59, [30], [36], [42]). După teorema

precedentă aceste patru metode de definiţe a lui R conduc la sisteme de

numere reale izomorfe din punct de vedere algebric şi al relaţiei de ordine.

4. Vom pune în evidenţa şi un model geometric pentru R.

Fie (d) o dreaptă din plan pe care s-au fixat un punct O numit

origine, o unitate de măsură a lungimii şi un sens pozitiv de la O spre

dreapta pe (d) şi în aceste condiţii (d) se numeşte axă. Se poate stabili o

corespondenţă biunivocă între punctele axei (d) şi elementele lui R.

Punctului O d îi corespunde numărul real x=0 R. Dacă x R şi x > 0,

atunci numărului real x îi corespunde pe dreapta (d) extremitatea din

53

dreapta a segmentului care are lungimea egală cu x unităţi şi are

extremitatea din stânga în O.

Dacă xR şi x< 0, numărului real îi corespunde pe axa (d)

extremitatea din stânga a segmentului care are lungimea egală cu (- x)

unităţi şi care are extremitatea din dreapta în O.

Această corespondenţă arată că: dacă P(d) este dat, lungimea

segmentului OP va defini un număr real x care va fi pozitiv dacă P este la

dreapta lui O şi negativ dacă P este la stânga lui O.

Corespondenţa descrisă mai sus între punctele axei (d) şi

elementele lui R este bijectivă şi atunci se pot identifica numerele reale din

R cu puncte de pe axa (d) şi din acest motiv mulţimea R se mai numeşte:

dreapta reală R sau echivalent axa (d) se mai numeşte dreapta

numerică.

Această relaţie bijectivă între R şi (d) implică realizarea unor

raţionamente geometrice cu ajutorul calculului cu numere în geometria

analitică şi de asemenea, folosirea unui limbaj geometric în prezentarea

unor noţiuni şi afirmaţii din cadrul diverselor discipline de matematică.

Folosind reprezentarea geometrică a corpului numerelor reale R pe

o axă (d) se poate da o interpretare geometrică simplă faptului, că R este

corp ordonat şi complet, proprietate pe care nu o posedă Q care este numai

un corp comutativ ordonat, dar necomplet.

Fie R un număr fixat, atunci există numere reale x şi y astfel ca:

< x şi y< . În realitate există situaţii în care trebuie descris în termenii

matematicii ce se întâmplă "dincolo" sau "dincoace" de orice numar real

fixat: de exemplu, asimptotele de la graficele funcţiilor reale de o variabila

reală, şirurile strict crescătoare şi nemărginite de numere reale etc.

54

Definiţia I.46. Mulţimea:

(I.111) R = R {- , + }

unde s-a notat prin: - , + două obiecte de natură oarecare care nu sunt

numere reale şi care verifică condiţiile (convenţiile):

(I) - < +

- < x < + ; xR

se păstrează ordinea uzuală pe R.

(II) (+ ) + x = + ; xR - {- }

(- ) + x = - ; xR - {+ }

se păstrează adunarea din R.

(III) (+ ) x = + ; dacă xR şi x> 0

- ; dacă xR şi x< 0

se păstrează înmulţirea din R.

(IV) Nu se pot defini în R : (+ ) + (- ); 0 (),

etc. a. î. să fie respectate proprietăţile uzuale de calcul

se numeşte dreapta reală încheiată sau dreapta reală compactificată

sau mulţimea extinsă a numerelor reale.

Observaţii:

1. Din definiţia de mai sus, rezultă că (R , ) este o mulţime ordonată prin

extinderea relaţiei de ordine "" de la R la R prin condiţiile (I). R are

prim element pe (- ) şi un ultim element pe ( + ).

2. Pentru anumite perechi (x, y) R R se definesc elementele x + y şi

xy cu respectarea convenţiilor (II) şi (III). Aplicaţia de la (x, y) (x + y)

este lege internă de compoziţie în R - {- } şi în R - {+ } ca o

prelungire a operaţiei de adunare din R. Aplicaţia de la (x, y) (x y) este

55

lege internă de compoziţie în R* =R - {0} ca o prelungire a operaţiei de

înmulţire din R.

3. Se vor folosi notaţiile: R = (- , + ); R = [- , + ].

Teorema I.44. Orice submulţime nevidă a lui R admite o margine

superioară, respectiv o margine inferioară în R .

Demonstraţie: Fie X R , X . Dacă X R este majorată de

un element bR, cum R este corp complet ordonat, atunci X admite o

margine superioară în R şi deci avem: sup X R R sup X R .

Dacă X nu este majorată de nici un element din R, adică:

(I.112) R xX ( x > )

atunci sup X = + R . Dacă (+ ) X R , atunci (+ ) este cel mai

mare element al lui X şi sup X = + ; la fel se arată că există inf XRR

inf X R , fie inf X = - R .

Observaţii:

1. Elementele ( - ) şi (+ ) din R se numesc: minus infinit şi respectiv

plus infinit sau punctele de la infinit ale dreptei reale sau numere

improprii deoarece după convenţiile (II) şi (III) ele posedă o parte din

proprietăţile de calcul ale numerelor reale.

2. Aceste elemente (+ ), (- ) se folosesc pentru a caracteriza unele

proprietăţi ale unor submulţimi din R:

(I.112') X nemajorată în R def R,x X x

şi notăm, prin convenţie, sup X = + . În dreapta formulei (I.112') sunt

angajate elemente din R.

56

⎪1; x

3. Funcţia (I.113) f: R [-1, 1] , f x ; xR este o bijecţie ⎪

⎩1; x

de la R la intervalul [-1, 1] R. Pentru aceasta este suficient să

demonstrăm că g f (1,1) este o bijecţie a lui R pe (-1, 1). Avem:

g(x) x

1 x

⎧

x2 ; x 0

cu g (x) ⎨1 ; x 0 şi g'(x) > 0, x (-1, 1) deci g

⎪1x2 ; x 0

este strict crescătoare pe R. Funcţia g este atunci injectivă şi cum

g(R) = (-1, 1), rezultă g bijectivă în aceste condiţii, conform definiţiei lui

R şi condiţiilor (I) rezultă că f este bijectivă pe R .

Vom prezenta unele informaţii asupra noţiunii de "putere" sau

"cardinal" al unei mulţimi relativă la numărul de elemente care o

compun; în acest scop vom stabili corespondenţe bijective între două

mulţimi oarecare.

Definiţia I.47.

1] Fie X, Y două mulţimi oarecare. Dacă există o bijecţie f: X Y, prin

definiţie, X şi Y se numesc mulţimi echipotente sau X şi Y au aceeaşi

putere.

2] Dacă X, Y, P(E) se constată direct că relaţia de echipotenţă este o

relaţie de echivalenţă pe P(E) şi o notăm "~", iar [X] = {YP(E)| Y ~ X}

este clasă de echivalenţă numită cardinalul sau puterea mulţimii X,

notat card X sau X .

57

3] O mulţime X se numeşte mulţime finită, dacă conţine un număr finit de

elemente, deci X~ {1, 2, ..., n} şi card X X =n. Dacă X nu este finită se

numeşte mulţime infinită.

4] O mulţime X se numeşte mulţime numărabilă dacă X ~ N. X se

numeşte mulţime nenumărabilă dacă nu este numărabilă (X ~ N).

Exemple:

1. Z mulţimea numerelor întregi este numărabilă deoarece

⎧2n;n 0(I.114) f: Z N, f (n) ⎨0;n 0 este o funcţie bijectivă.

⎩2n 1;n 0

2. (a, b) R este o mulţime nenumărabilă (a, bR; a < b). Vom

considera cazul particular, (a, b)=(0,1) deoarece aplicaţia (*) f:(0,1)(a, b)

cu f(t) = (1 - t)a + tb = a + t( b- a) este bijectivă. Presupunem că x(0, 1)

formează o mulţime numărabilă şi avem, atunci (0,1)={x1, x2, ..., xn, ...}~N.

Folosind reprezentarea zecimală a numerelor reale,

obţinem: x 0,a1a2...ak ...;...; xn 0,anan ...ak ...;... Se arată că se poate

construi un element x(0,1), care este diferit de orice xn cu nN

şi anume: x = 0,a1a2...ak... cu a a1;a2 a2 ;...;ak ak ;... deoarece

reprezentarea zecimală lui x (0,1) este de forma dată. Se constată direct

că x diferă de orice xn cel puţin printr-o zecimală şi deci (0,1) nu

este mulţime

numărabilă. La fel se arată că (a, b) este mulţime nenumărabilă.

Teorema I.45. Mulţimile numărabile au următoarele proprietăţi:

(i) Orice submulţime a unei mulţimi numărabile este cel mult

numărabilă, adică este finită sau numărabilă.

(ii) Orice reuniune finită sau numărabilă de mulţimi numărabile

este o mulţime numărabilă.

58

(iii) Orice mulţime infinită conţine o submulţime numărabilă.

Demonstraţie: (i) Fie X = {x1, x2, ..., xn, ...} o mulţime numărabilă

şi A X o submulţime a sa, deci A = x 1 , xn2

,..., xnk ,... cu n1< n2< ...<nk <

< .... Printre rangurile nk, kN dacă există unul cel mai mare atunci A este

mulţime finită; dacă şirul (nk, kN) de numere naturale nu are un cel mai

mare element, atunci A este numărabilă deoarece se poate indica o bijecţie

între A şi N, folosind numerotarea rangurilor elementelor sale.

(ii) Fie X1, X2, ... mulţimi numărabile şi vom presupune că sunt

disjuncte două câte două: Xi Xj = pentru i j cu i, jN.

Dacă Xi Xj se vor considera mulţimile A1 = X1, A2 = X1 - X2,

A3 = X3 –(X2 X1), ... care sunt finite sau numărabile şi au aceeaşi

reuniune ca mulţimile X1, X2, ...

Vom realiza următorul tablou infinit pe linii şi coloane, punând pe

fiecare linie elementele unei mulţimi şi "numerotând în diagonală", după

sensul săgeţilor:

⎧X1 : 11 12 13 14..........

⎪ [ Z [ Z

⎪X2 : a21 a22 a23 a24..........

(I.115) ⎨ Z [ Z X3 : a31 a32 a33 a34..........

⎪[ Z [

⎩..................................

Prin tabloul (I.115) fiecărui element al fiecărei mulţimi X1, X2, ... îi

corespunde un element bine determinat şi deci există o corespondenţă

bijectivă între N şi UXn

. nN

59

(iii) Fie X o mulţime infinită, dacă X este numărabilă atunci X este

mulţimea din enunţ. Dacă X nu este numărabilă, fixăm un element a1X şi

atunci mulţimea complementară C{a1}=X - {a1} este o mulţime infinită şi

nenumărabilă. Considerăm a2 (X - {a1}) şi obţinem o nouă mulţime

C{a1, a2} care este infinită şi nenumărabilă. Continuând procesul, în mod

inductiv, obţinem {a1, a2, ...} X care este o submulţime numărabilă.

Consecinta I.11. Orice mulţime infinită conţine cel puţin o

submulţime proprie echipotentă cu ea.

Demonstraţie: Fie X o mulţime infinită şi A = {x1, x2, ...} o

submulţime numărabilă, A X. Împărţim A în două submulţimi

numarabile A1= {x1, x3, ... }, A2 = {x2, x4, ... } şi stabilim o bijecţie între A

şi A1. Această bijecţie poate fi extinsă la o bijecţie între A (X - A) = X şi

A1 (X - A) = X – A2 asociind fiecărui element din X – A pe el însuşi.

Avem: X – A X şi X – A X, adică X este echipotentă cu o submulţime

proprie a sa.

Observaţii:

1. Din teoremă şi consecinţă rezultă că mulţimile numărabile sunt "cele

mai mici" printre mulţimile infinite.

2. Nu trebuie confundat un şir de element din X, f : N X cu f(n) = xnX

cu o submulţime numărabilă A, care înseamnă A ~ N şi elementele lui A

pot fi "înşiruite".

3. Cardinalul sau puterea unei mulţimi X, notat card X sau X este ceea ce

are comun mulţimea X cu orice altă mulţime Y şi Y~X.

4. Dacă X este finită atunci card X reprezintă numarul de elemente. Dacă X

este infinită şi X~N, vom nota card X = card N = 0 (alef zero) şi X este

60

atunci o mulţime numărabilă. Dacă X~R vom nota card X = card R =

(alef).

5. Exemple: I] Mulţimea numerelor raţionale Q este numărabilă,

deoarece are reprezentarea:

(I.116) Q = { Xn| nN}; Xn = ⎧m

| mZ; nN* ⎫

şi Z ~ N, deci Q ~N cu card Q = 0 (alef zero).

II] Mulţimea numerelor iraţionale algebrice este numărabilă. Fie

P(x) = a0xn a xn1 ...an1x an cu ai Z (0 i n; a0 > 0; nN*).

Notăm h = n + a0 + | a1| + ...+ | an|, hN* înălţimea polinomului P.

Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi în Z şi de înălţime h este finită şi

atunci mulţimea rădăcinilor Xh ale acestor polinoame este finită. Mulţimea

X = { Xh| hN*} după (ii) este o mulţime numărabilă.

III] Mulţimea numerelor reale R este infinită şi

nenumărabilă. Funcţia: (I.117) f: (0, 1) R, f(x) = tg

(2x - 1) este

o bijecţie, deci

R ~ (0,1) şi mulţimea (0,1) este nenumărabilă aşa cum s-a dovedit în

exemplul (2).

IV] Există numere iraţionale transcendente. Dacă nu ar exista şi

numere iraţionale transcendente, ar rezulta că mulţimea numerelor

iraţionale algebrice nu este numărabilă, ceea ce contrazice exemplul II].

6. Se vor putea indica alte proprietăţi ale mulţimilor echipotente ca de

exemplu:

Teorema I.46. (Teorema Cantor - Bernstein) Fie X şi Y două

mulţimi oarecare. Dacă există o bijecţie f: X B cu BY şi o bijecţie

g:YA cu AX, atunci X şi Y sunt mulţimi echipotente (criteriu de

echipotenţă).61

Teorema I.47. (Teorema lui Cantor). Mulţimea părţilor P(X) a

unei mulţimi X are cardinalul mai mare decât card X (card P(X)>card X).

Consecinţa I.12. Mulţimea cardinalelor este nemajorată.

Consecinţa I.13. Avem:

⎧ 20 cardinalul lui 2N

(I.118)⎪2 0 cardP N = card R

( se numeşte "puterea continuului"; 0 se numeşte "puterea

numărabilului").

7. Fie X o mulţime oarecare. Mulţimea X este infinită, dacă şi numai dacă,

există o funcţie f: X X şi există A X, A astfel încât f(A) A.

Dacă f nu are proprietatea de mai sus şi X este mulţime infinită, atunci X

va fi o mulţime numărabilă.

5. Proprietăţi topologice ale corpului numerelor reale

Vom prezenta unele noţiuni dintr-un spaţiu topologic oarecare

valabile în mulţimea R şi care în "esenţă" sunt proprietăţi generate de

relaţia de ordine "" şi unele consecinţe directe ale faptului că R este un

corp comutativ, complet şi ordonat. Submulţimea lui R care va juca rol

important în aceste consideraţii teoretice este cea de "interval".

Definiţia I.48. O submulţime I R se numeşte interval dacă are

proprietatea:

(I.119) a, b I şi c R cu a c b c I.

Observaţii:

1. Mulţimile R şi sunt intervale.

2. Pentru a, b R cu a < b sunt intervale mulţimile:

62

(a, b) = { xR| a < x < b };

(a, b] = { xR| a < x b };

(a, + ) = { xR| x > a };

(- , b) = { xR| x < b };

(- , + ) = R;

[a, b) = { xR| a x < b };

[a, b] = { xR| a x b };

[a, + ) = { xR| x a };

(- , b] = { xR| x b };

(a, a) = .

3. Intervalele: (a, b), (a, + ), (-, b) sunt intervale deschise din R.

Intervalele [a, b], [a, + ), (- , b] sunt intervale închise în R. Intervalele

(a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (a, a) sunt intervale mărginite din R.

Intervalele (a, + ), (-, b), [a, + ), (- , b], (- , + ) sunt intervale

nemărginite din R.

Vom demonstra proprietăţi remarcabile ale lui R dintre care, unele

sunt valabile şi în R .

Teorema I.48. (Principiul sau Teorema Cantor - Dedekind).

Pentru orice şir de intervale închise descrescător prin incluziune,

In=[an, bn], nN intersecţia lor In este o mulţime nevidă. Dacă şiruln0

lungimilor ln = l(In) = bn - an tinde la zero în R, atunci există un singur

punct x0R a. î. I In = {x0}.

nN

Demonstraţie: Prin ipoteză In+1 In, nN adică extremităţile lor

satisfac inegalităţile:

⎧an an1;bn bn1,nN an1,bn1 an ,bn ⎪an an1 bn1 bn

şi atunci mulţimea A = {a1, a2, ...} este prin construcţie majorată în R şi fie

x = sup A = sup { an|nN}. Cum avem an < bk pentru n, kN rezultă că,

avem: an

x bn,nN xI a

n,b

n nN

63

I an,b

n . Partea a nN

doua a afirmaţiei se va dovedi simplu în capitolul "Siruri de numere

reale".

Consecinta I.14. (Forma generală a teoremei Cantor

-Dedekind). Fie II cu I =[a, b], o familie de intervale închise

mărginite, total ordonată faţă de relaţia de incluziune, atunci I a,b I

, unde I este o mulţime oarecare. Dacă pentru > 0 există 0I a. î.

b a< atunci intersecţia I a,b = {x}, xR ( IR, I). I

Definiţia I.49. 1] Familia de mulţimi {Ai}iI este o acoperire a

mulţimii A dacă avem: A UAi .

iI

2] Dacă pentru JI avem A UAi , atunci {Ai}iJ este o subacoperire a

iJ

acoperirii date {Ai}iI.

3] Subacoperirea {Ai}iJ {Ai}iI este o subacoperire finită dacă

mulţimea J I este finită.

Teorema I.49. Din orice acoperire cu intervale dechise din R a

intervalului închis şi mărginit [a, b]R se poate extrage o subacoperire

finită.

Demonstraţie: Fie o familie de intervale deschise IA

P(R)

cu A o mulţime oarecare şi I A este o acoperire a intervalului

I1 = [a, b]. Presupunem că nu există o subacoperire finită a lui I1, atunci cel

puţin unul din intervalele⎡a,

a b ⎤,

⎡a b,b

⎤nu poate fi acoperit cu o

subfamilie finită din acoperirea I A . Notăm pe acesta cu I2 şi

continuând raţionamentul, în mod inductiv, construim un şir de intervale

64

închise şi marginite: I1 I2 ... In ... cu proprietatea că fiecare dintre

ele nu poate fi acoperit cu o subfamilie finită IA

. Lungimea

intervalului In: l

n = l(I

n) = b

n - a

n = =

b a 0 şi după teorema Cantor

–

Dedekind, există un punct unic xI In . Punctul xI1 şi conform ipotezei

nN*

există A a. î. x I cu I =(c, d). Dacă notăm = min{x- c, d- c}, 0

0

există nN a. î. b a

< şi atunci In=[an, bn] (c, d), ceea ce contrazice

presupunerea făcută în construcţia şirului de intervale In. În concluzie este

valabilă afirmaţia din teoremă.

Definiţia I.50. 1] Se numeşte vecinătate a elementului x0 R

orice submulţime VR pentru care există un interval deschis (a, b) a. î.

x0(a, b) V.

2] V(x0) P(R) este sistemul tuturor vecinătăţilor lui x0 din R

(VV(x0) def V este vecinătate a lui x0).

Teorema I.50. Pentru orice x R sistemul vecinătăţilor lui x, V(x),

are următoarele proprietăţi caracteristice:

(v1) V V(x) x V şi V ;

(v2) V(x) ;

(v3) V, W V(x) V W V(x);

(v4) VV(x) şi W R a. î. V W W V(x).

Demonstraţie: (v1) VV(x) def (a, b)R a. î. x(a, b) V

şi x V V .

(v2) xR R V(x) V(x) .

65

(v3) V, W V(x) def (a, b) V şi (c, d) W. luând = max{a, c},

= min{ b, d} (, ) V W def V W V(x).

(v4) Fie VV(x) şi W R cu V W def (a, b)V W (a, b) W

WV(x).

Teorema I.51. (Proprietatea Hausdorff) Pentru x, yR cu x y

există VV(x) şi există W V(y) a. î. V W = .

Demonstraţie: Cum x y = | x - y| > 0 şi considerăm

V = ( x-

, x +

), respectiv W= ( y -

, y +

), atunci evident, avem:

V W = .

Consecinţa I.15. Dreapta reală R este un spaţiu separat

Hausdorff.

Definiţia I.51. Un element x0R se numeşte punct de acumulare

al mulţimii A R dacă pentru VV(x0), avem (A – {x0})V .

Observaţii:

1. Definiţia precedentă implică faptul că mulţimea V A este infinită.

2. Exemple: 1). A = ⎩

1 nN*

⎭, A R are un singur punct de acumulare

x0 = 0.

2). A = (a, b), A R; atunci x0(a, b) este punct de acumulare al lui A

şi punctele a, b sunt de asemenea puncte de acumulare ale lui A.

3). A = N, A R nu are puncte de acumulare din R.

Teorema I.52. (Teorema Bolzano - Weierstrass). Orice mulţime

infinită şi mărginită din R admite cel puţin un punct de acumulare.

66

Demonstraţie: Fie A R infinită şi mărginită, atunci există

[a, b] R a. î. A [a, b]. Vom demonstra că cel puţin unul dintre punctele

lui [a, b] este punct de acumulare al lui A. În caz contrar, pentru x[a, b]

există un interval deschis notat prin Vx a. î. x Vx şi Vx A este o

mulţime finită. Familia de intervale deschise { Vx | x[a, b]}P(R) este o

acoperire a lui [a, b] şi conform teoremei I.49 se poate extrage o

subacoperire finită Vi | i 1,...,n şi avem A [a, b]

n V i

i1

nA V . Prin această construcţiei

i1

n

în mulţimea V se găsesc doar oi

i1

mulţime finită de elemente din A, ceea ce contrazice faptul că A este o

mulţime infinită. Deci există cel puţin un x[a, b] care este punct de

acumulare al lui A.

Definiţia I.52. 1] Mulţimea AR se numeşte mulţime închisă

dacă orice punct de acumulare al lui A aparţine mulţimii A.

2] Mulţimea DR se numeşte mulţime deschisă dacă cD = R – D = A

este o mulţime închisă.

Observaţii:

1. Familia mulţimilor închise din R are următoarele proprietăţi

caracteristice:n(i1) A1, ..., An închise Ai =A este închisă.

i1

(i2) {A}I, A închise I A = A este închisă. I

(i3) , R sunt mulţimi închise.

2. Exemple: 1] [a, b]R [a, b] este mulţime închisă.

2] Orice submulţime finită a lui R este o mulţime închisă.

67

3] A = ⎧1

nN* ⎫{0} ete o mulţime închisă.

4] Q R nu este o mulţime închisă.

3. Familia mulţimilor deschise din R are următoarele proprietăţi

caracteristice:

(d1) {D}I, Ddeschise D =UD este o mulţime deschisă. I

n(d2) D1, ..., Dn deschise D = Di este o mulţime deschisă.i1

(d3) R şi sunt mulţimi deschise.

4. Orice submulţime deschisă D R se poate reprezenta printr-o reuniune

oarecare de intervale deschise din R ( D =U a,b ; I mulţime de I

indici oarecare).

Teorema I.53. (Teorema Borel - Lebesgue). O submulţime AR

este închisă şi mărginită (compactă) dacă şi numai dacă, din orice

acoperire cu intervale deschise ale lui A se poate extrage o subacoperire

finită.

Demonstraţie: Fie A R mărginita şi închisă cu A [a, b] R.

Notăm prin o familie de intervale deschise care formează o acoperire a

lui A. Prin reducere la absurd, presupunem că nu există o subacoperire

finită din a lui A. În această nouă ipoteză cel puţin una dintre mulţimile:

⎣a,

a b

⎦A,

⎡a b,b

⎤A nu poate fi acoperită cu o submulţime finită

din şi o notăm prin I1. Prin acest procedeu, în mod inductiv, construim

un şir de mulţimi Bn = In A, nN care este descrescător prin incluziune

şi fiecare Bn nu admite o subacoperire finită din . După teorema Cantor –

68

Dedekind există x In şi luând VV(x), atunci există nN a. î.n1

Bn In V. Mulţime Bn este infinită şi deci, x I In este punct de

nN*

acumulare al mulţimii A. Cum A este închisă în R, după teorema Bolzano

– Weierstass, xA şi deci x ∞ In A . În aceste condiţii există un n1

interval I a. î. xI şi pentru n suficient de mare avem:Bn=AInInI,

ceea ce contrazice construcţia efectuată prin care Bn nu admite

o subacoprire finită din . Presupunerea făcută este falsă şi deci mulţimea

A închisă şi mărginită admite o subacoperire finită din .

Presupunem că mulţimea A are proprietatea din enunţul teoremei

Borel – Lebesgue şi deci: din orice acoperire cu intervale deschise a lui A

se poate extrage o subacoperire finită, atunci în mod evident A este

mulţime mărginită din R. Să demonstrăm că A este închisă. Fie xR punct

de acumulare a mulţimii A şi presupunem că x A. În această ipoteză

pentru aA cu a x, conform proprietăţii Hausdorff, există VV(x) şi

există WV(a) astfel încât V W = . Familia {W|WV(a); a A} este o

acoperire cu intervale deschise (W este un interval deschis din R cu a

W; a A) a lui A şi conform ipotezei există o subacoperire finită

n{W1, ..., Wn} {W|WV(a); a A} a. î. A W , unde ai A şii1

Wi V(ai). Cum V W = pentru aA, la fel pentru elementele

{a1, a2, ... an}A există vecinătăţile Vi V(x) (i = 1, ..., n) şi există

Wi V(ai) (i = 1, ..., n) a. î. Vi Wi = pentru i = 1, ..., n.

În aceste condiţii avem:

69

n n n

⎜ V ⎟ ⎜ W ⎟, dar V = V V(x), deci V A = ceea cei0 i1 i0

contrazice faptul că x este punct de acumulare al mulţimii A. Presupunerea

x A este falsă şi deci x A, iar A este mulţime închisă în sensul

definiţiei date.

Definiţia I.53. O mulţime A R este densă în R (în sensul

relaţiei de ordine ""), dacă a, bR cu a < b există xA astfel incât

a< x < b.

Teorema I.54. Mulţimea Q este densă în R (în sensul relaţiei de

ordine).

Demonstraţie: Fie a, bR cu a < b şi a, b fixaţi. Evident există

nN cu a + n > 0 şi notăm a'= a + n, b'= b + n. Avem: b' – a'= b - a, şi

după o proprietate demonstrată în R, există mN cu m(b' – a') > 1 şi deci

1 + ma'< mb'. Fie p cel mai mic număr natural cu proprietatea p> ma', deci

p – 1 ma'. Evident, avem: p 1 + ma' mb', deci ma' < p < mb' de unde

rezultă: a p

b care implică a p

n b cu p

n Q.

Definiţia I.54. O mulţime A R se numeşte mulţime convexă

dacă x, yA şi [0, 1] atunci:

(I.120) (1 - )x + y A.

Consecinţa I.16. Coresponedenţa R (1 - )a + b este o

funcţie strict crescătoare şi surjectivă a intervalului (0, 1) pe (a, b)

(respectiv a intervalului [0, 1] pe [a, b]).

Teorema I.55. Fie A R, atunci următoarele afirmaţii sunt

echivalente:

(I) A interval; (II) x, yA, x< y [x, y] A;

70

(III) A convexă; (IV) x1, x2, ...xnA şi 1, 2, ...nR+ cu

n i 1 n i xi A. i1 i1

Demonstraţie:

(I)(II) A fiind interval din R este de forma: [a, b], [a, b), (a, b],

(a, b), (- , b), (- , b], (a, + ), [a, + ), R unde a, bR cu a< b.

Considerăm A = (a, b] şi x,yA cu x<y, atunci z[x, y], avem

a<x z y < b z(a, b] = A [x, y]A ((I)(II)).

(II)(III) Fie x,yA, 0 1, şi z = (1- )x + y. Ipoteza x < y şi z

= (1- )x + y z[x, y] [x, y] A, deci z = (1- )x + y [x, y] Adef

A este mulţime convexă.

(III)(I) Fie a = inf A, b = sup A şi să demonstrăm că (a, b) A

[a, b], deci A este interval. Fie x(a, b) fixat, atunci după proprietatea

din R: "a, bR cu a < b, avem [a, b]={xR| x=(1- )a + b; 0 1}"

(x=(1- )a + b = a + (b - a) şi cum 0 (b - a) b - a avem a x a + +

(b - a) = b deci x [a, b]. Dacă x [a, b], luăm = x a

; atunci 0 1

1 - = b x

şi (1- )a + b = b x

a + x a

b = x) există x1, y1 A cu

a x1 < x y1b deci x=(1- )x1 + y1 cu 0 < <1. Cum A este mulţime

convexă, atunci x A, deci (a, b) A. Cum inf A = a x sup A = b,

xA atunci A [a, b] (I) adevărată şi A este interval.

(IV)(III) Fie 0 1 şi x, y A fixaţi. Considerăm 1 = 1 - ,

2 = şi atunci (1- )a + b = 1x + 2y A deci A este mulţime convexă.

71

(III)(IV) Fie x1, x2, ..., xn A şi 1, 2, ...n 0 cu n i 1 i1

nfixaţi, atunci m i xi Mi1

cu m min x , M max x . Cum m, M A 1in 1in

şi mM n i xi m,M A. i1

În studiul unor probleme din R se consideră şi mulţimea R = R

{- , + } în care se pot extinde o parte din considerăţiile teoretice

prezentate în R.

Definiţia I.55. Se numeşte interval în R o mulţime I R de

forma: [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) unde a, bR cu a < b.

Consecinta I.17. Dacă I este un interval din R , atunci I R este

un interval din R şi orice interval din R este de această formă.

Definiţia I.56.

1] O submulţime V R este vecinătate a elementului (+ ) dacă există

aR astfel ca: (a,+ ]={xR |a<x+ }V.

2] O submulţime W R este vecinătate a elementului (- ) dacă există

aR astfel ca: [- , a)={xR | - x < a}W.

3] Dacă x0R, V este vecinătate a lui x0 dacă există (a, b)R astfel ca:

x0(a, b) V.

Observaţii:

1. În R sunt valabile proprietăţile caracteristice ale sistemului de

vecinătăţi ale lui x0R , proprietatea de separaţie în sens Hausdorff,

definiţia unui punct de acumulare cu observaţia că (+ ) ete punct de

acumulare în R pentru A dacă şi numai dacă, A este nemărginită în R (la

fel pentru (- )).

72

2. Teorema Bolzano – Weierstass este valabilă în R sub forma:

" În R orice mulţime infinită are cel puţin un punct de acumulare".

73