MSSE_Curs5

5/26/2015 prof. Radu TIRNOVAN

CALCULUL REGIMULUI

PERMANENT DE FUNCŢIONARE AL

SEE. MODELE DE REGIM

PERMANENT. METODE DIRECTE

(METODA IMPEDANŢELOR

NODALE)

CURS 5

Modelarea şi simularea SEE

5/26/2015 prof. Radu TIRNOVAN 2

Matricea admitanţelor nodale în reţele cu transformatoare în

laturi !!!


Fig.!.1. Schema echivalentă cu transformator

ideal reprezentat prin cuplaj magnetic.

i kziIiIk

ViVk

Nik=Ni/Nk zk

Trafo. ideal

Vk0Vi0



yikSik Ski

Vi

Ik

Vk

i k

Ii

V’i

Nik

yi0

Sik

Vi

i yki Ski

Ik

Vk

k

Ii

V’k

Nki

a) b)

Fig.I.2. Schema echivalentă cu operatorul Nik:

a) transformator ridicător; b) transformator coborâtor.


Pentru un transformator ideal se poate scrie:

*

'

i

k

k

iik

I

I

V

VN

kiki

iikk

VNV

INI

'

*

Căderea de tensiune pe latura ik:

ikikkikiik IzVNVV

Sub formă matriceală:

k

i

ik

k

i

ikikV

VA

V

VNV 1



unde [Aik] este matricea de cvasiincidenţă a laturii ik cu operatorul de

transformare la nodul k:

latura orientată de la i la k - transformator conectat la nodul k:

ikik NA 1

Curentul prin latura ik:

k

i

iktikik

ik I

IIAI

N

*

*

1

sau

k

i

ikiktikikiktikiktikV

VAyAVyAIA

***



cu

ikikikik

ikikik

ik

ikik

ikikik

ik

ikiktikik

yNyN

yNy

NyN

yNy

NAyAY

2*

**

*11

1

[Yik] pentru transformatoare cu raport complex de transformare (Nik) nesimetrică!

kiik YY

Nik este real:

ikikikik

ikikikik

yNyN

yNyY 2



[Yik] pentru transformatoare cu raport real de transformare (Nik) simetrică:

identici:

kiik YY

Latura orientată de la nodul k la nodul i - transformator conectat la nodul i:

1kiki NA

ikikki

ikkiikkiik

yyN

yNyNY

*2



!!! Reguli generale de scriere a matricei [Ynn]

dacă transformatorul ideal se află conectat la nodul k:

trafo

kiki

linii

ikikii NyyyY 2

0

dacă admitanţa longitudinală a transformatorului este legată galvanic la

nodul i:

0ikikii yyY


Termenii nediagonali în cazul laturii cu transformator se exprimă astfel:

dacă operatorul de transformare Nik se află la nodul k:

*; ;ki kiki kiki ki

Y y N Y y N

dacă operatorul de transformare Nki se află la nodul i:

;;*

ikikikikikik NyYNyY


Aplicatie

Reţea radială – schema monofilară.

G

D 32

L

C

110/22kV

60 MVA

X%=12%

X/R=26

7,9+j20,5 Ω

S

33 MW; 20 MVAr

ZS=23,38 Ω

XS/RS=0,60 Ω

T2

1

10,5/121kV

63 MVA

X%=16,5%

X/R=29

T1

DC

10,5 kV

60 MVA

XG%=32%



Sistemul se consideră normal. Se cere:

1. Să se aleagă şi să se calculeze mărimile de bază;

2. Să se calculeze constantele elementelor de sistem în unităţi relative;

3. Să se calculeze circulaţia curenţilor în regim permanent simetric.

Soluţie:

1.

- Se alege Sb = 100 MVA;

- Se aleg tensiunile de bază şi se calculează celelalte mărimi de bază:

Ub [kV] Ib [kA] Zb [ Ω]

Ub1 Ub2 Ub3 Ib1 Ib2 Ib3 Zb1 Zb2 Zb3

Obs.

10,5 121121·22/110=

24,25,5 0,477 2,388 1,105 146,41 5,856 corect

110·10,5/121=

9,546110 22 6,055 0,525 2,627 0,911 121 4,84 corect

10,5 121 110 - - - - - - incorect



2. Se consideră mărimile de bază (culoarea roşie) din tabelul 1:

Sursa 533,05,10

5,10

60

100

100

32,0R

2

,puG,

puGX

T1

2618,0009,0262,0

009,0291

262,0,262,0

63

100

100

5,16

22

,1

2,2,2

puT

puTpuT

X

RZ

T2

1998,000768,02,0

00768,0261

2,0,2,0

60

100

100

12

22

,2

2,2,2

puT

puTpuT

X

RZ

L 14,041,146

5,20,05395.0

41,146

9,7,, puLpuL XR

S

06,243,30,4

43,36,01

0,4,0,4

856,5

38,23

22

,

2,,

puS

puSpuS

X

RZ



3. Schema echivalentă

Reţea radială – schema

echivalentă.

kAIII

kAIIIkAIII

ZIXRZ

XX

RR

bpu

bpubpu

puech

puechechpuech

i

puipuech

i

puipuech

160,1211,05,5

10,0211,00,477503,0211,02,388

211,0738,4

11,738,4

1946,306,214,01998,02618,0533,0

5,343,305395,000768,0009,0

11

2233

,

22

,

,,

,,

1

j0,533

j0,2618

0,05395

j0,1998

j0,140

3,43

j2,06

0,009 0,00768

0

1 2 34



1

-j1,876

-j3,815

2,396

-j4,997

-j6,220

0,214

-j0,128

0,131 0,192

0

1 2 34

0

1

2 3

4Graful reţelei.

Reţea radială – schema

echivalentă cu admitante in

pu



876,110

128,0214,040

997,4192,043

220,6396,232

815,3131,021

1040433221

j

j

j

j

j

Y

011004

001103

000112

100011

1040433221

A

Soluţie:

1. Se scriu matricea [A] de incidenţă noduri/laturi, matricea [Y] a impedanţelor

laturilor şi a curenţilor de scurtcircuit la bornele laturilor [J]:



876,110

040

043

032

021

j

YE

J



2. Se calculează matricea admitanţelor nodurilor [Ynn]:

0 0 0 1-

1- 0 0 0

1- 1 0 0

0 1- 1 0

0 0 1- 1

876,1

128,0214,0

997,4192,0

220,6396,2

815,3131,0

01100

00110

00011

10001

j

j

j

j

j

AYAY tnn



5,1250j - 0,4060 4,9970j 0,1920- 0 0

4,9970j 0,1920- 11,2170j- 2,5880 6,2200j 2,3960- 0

0 6,2200j 2,3960- 10,0350j- 2,5270 3,8150j 0,1310-

0 0 3,8150j 0,1310- 5,6910j - ,13100

3. Se calculează matricea curenţilor injectaţi in noduri [Jn]:

0

0

0

j1,876 -

876,1

0

0

0

0

01100

00110

00011

10001

j

JAJ n



4. Se calculează matricea potenţialelor nodurilor [Vn]:

0,1669j - 0,8282

0,1368j - 0,8577

0,1226j - 0,8860

0,0831j - 0,9245

0

0

0

j1,876 -

0,9280j 0,2478 0,7637j 0,2081 0,6568j 0,1401 0,4415j 0,0889

0,7637j 0,2081 0,7932j 0,1819 0,6805j 0,1165 0,4572j 0,0729

0,6568j 0,1401 0,6805j 0,1165 0,7031j 0,1054 0,4723j 0,0654

0,4415j 0,0889 0,4572j 0,0729 0,4723j 0,0654 0,4928j 0,0443

1

nnnn JYV



5. Se calculează curenţii in laturi:

0,207puImRe

0,1417j - 0,1559128,0214,000,1669j - 0,82824004

0,1417j - 0,1559876,10,0831j - 0,924511011

22

,04,43,32,21,10

pupuef

pupupupupupu

III

pujyV

jyV

IIIIII



j0,588Ω

j0,289Ω

7,9Ω

j0,968Ω

j20,5Ω

20,04Ω

j12,02Ω

0,01Ω 0,0372Ω

0

1 2 34

N12=0,0867

N43=0,2

-j1,700S

-j3,337S

0,0163Ω

-j1,031S

-j0,0424S

0,0367S

-j0,022S

0,116S 0,0396S

0

1 2 34

N12=0,0867

N43=0,2



y0-1=-1,70j S; y1-2=0,116-3,337j S; y2-3=0,0163-0,0424j S;

y3-4=0,0396-1,031j S; y4-0=0,0367-0,022j S;

Y11= y0-1+ y1-2= -1,70j + (0,116-3,337j)= 0,116 – 5,037j S;

Y22= y1-2N122+y2-3= (0,116-3,337j)0,08672+(0,0163-0,0424j)=0,0172 –

0,0675j S;

Y33= y2-3+y4-3N432= (0,0163-0,0424j) + (0,0396-1,031j) 0,22=0,0178-

0,08364j S;

Y44= y4-3+y4-0= (0,0396-1,031j)+ (0,0367-0,022j)=0,0763 – 1,053j S;

Y12= Y21=-y1-2N12= -(0,116-3,337j)0,0867= -0.019 + 0,289j S;

Y23= Y32=-y2-3= -(0,0163-0,0424j)= -0,0163+0,0424j S;

Y34= Y43=-y3-4N43= -(0,0396-1,031j) 0,2=-0,00792+0,206j S;



J1=E∙y1-0; J2=0; J3=0; J4=0;

1,0530j - 0,0763 0,2060j 0,0079- 0 0

0,2060j 0,0079- 0,0836j - 0,0178 0,0424j 0,0163- 0

0 0,0424j 0,0163- 0,0675j - 0,0172 0,2890j 0,0190-

0 0 0,2890j 0,0190- 5,0370j - 0,1160

nnY

0

0

0

10305j- 0

nJ

563j- 11753

843j- 60254

294j 62118

122j 5612

1

nnnn JYV


I2=I2-3=(Vn(2)-Vn(3))y2-3=(78,5810 -60,5379j) A;

A195,995379,605810,78 22

2 I


1. Tipuri de modele

1. modele liniare: modelul ecuaţiilor nodale liniare – injecţie de

curenţi;

2. modele neliniare:

modelul ecuaţiilor nodale neliniare (în mărimi complexe);

modelul bilanţului de curenţi în noduri (în mărimi reale);

modelul bilanţului de puteri în noduri (în mărimi reale).




Nod generator

Pgi = cst.

│Ugi│= cst.

Qgimin ≤ Qgi ≤ Qgi

max

θgi = var.

~

a)

Nod consumator

Pci = cst.

Qci = cst.

│Uci│= var.

θci = var.b)

Nod mixt (hibrid)

Pi = Pgi – Pci

│Ui│= cst.

Qgimin ≤ Qgi – Qci ≤ Qgi

max

θ = var.c)

~

Nod de echilibru

│Ue│= cst.

θe = cst.

Pe = var.

Qe = var.d)

Fig.2. Caracterizarea nodurilor unui SEE (convenţia de semn a injecţiilor):

a) nod generator; b) nod consumador; c) nod mixt (hibrid); d) nod de echilibru.


1.2. Modelul liniar

Ecuaţiile care descriu funcţionarea staţionară a reţelei în sistemul de referinţă

al nodurilor, respectiv al buclelor independente:

(1)

(2)

(indicele ‘ specifică includerea ecuaţiei nodului de echilibrare). Matricile

[Y’nn] şi [ZCC] pot fi formate pentru reţeaua cuprinzând nodul de referinţă –

pământul, sau pentru reţeaua (longitudinală) care nu include acest nod. În a

doua variantă (reţea longitudinală) legăturile liniare ale nodurilor cu pământul

(elemente şunt) sunt înlocuite prin curenţi nodali:

(3)

care formează elementele unui vector Jno al curenţilor nodali suplimentari.

nnnn ''' JUY

CCCC EZ I

n0,1..., i ,UY- J ii0i0



Modelul matematic de baza este un model liniar:

(4)

După determinarea vectorului tensiunilor nodale [Un], se evaluează

circulaţiile de puteri prin elementele reţelei.

0nnn JJ'J

Yik

Yi0

ΣSik

Ui Uk

i k

Ji

Yi1

1

Yin

n

Sik

Iik



1

1n

ii iki i k

kk i

J Y U Y U i n

0 ,01

1n

i ikkk i

Y y i n

0 ,01 1 1

, 1n n n

ii i ik ik ikk k kk i k i k i

Y Y Y y y i n

*

*

i

ii

U

SJ

iknkyY

yY

ikik

n

ikk

ikii

,1,

1



Sisteme Electroenergetice

1.3. Modele neliniare [Gavrilas]

1.3.1. Modelul ecuaţiilor nodale neliniare

Termenul liber al ecuaţiilor (1) se calculează cu formula:

(5)

*

n

n *

n

SJ'

U

*' , i 1,...,n (6)i ii

i

P jQJ

U

Transformarea elementelor şunt caracterizate prin admitanţele Yi0 în curenţi

nodali, conduce la următoarea exprimare

0*' -Y (7)i i

i ii

i

P jQJ U

U


1.3.2. Modelul bilanţului de curenţi în noduri

Dacă se separă nodul de echilibrare:

*

* *1,

Y (8)n

ii iii ik iei k e

k i ik i e

P jQ SY U Y U U

U U

*

* *1

Y (9)n

ee eee ek iee k e

k e ek e

P jQ SY U Y U U

U U

*1

0 1 , (10)n

i iii iki k

k ik i

P jQY U Y U i n i e

U

Se exprimă tensiunile în coordonate carteziene sau polare (relaţiile lui Euler):

kkk

j

kkkk

iii

j

iiii

jUeUjUUU

jUeUjUUU

k

i

sincos

sincos

"'

"'



cu θ argumentul tensiunii.

Admitanţele longitudinală şi transversală, în coordonate carteziene sau polare:

0000

sincos

ikikkiik

ikikik

j

ikikikik

jbgyy

jyeyjbgy ik

cu γ faza.

Expresia puterii Sik tranzitate de la nodul „i” către nodul „k” devine:

ikik

ikkiikkiikki

ikikikikiki

ikkiikiki

ikkiikiiikiik

jQP

jyUU

jbgjyU

yUUyyU

yUUyUUIUS

sincos

sincos 00

2

***

0

2

*

0

*



Pentru admitanţe pot fi scrise următoarele relaţii

n

k

ikikikii

n

k

ikikikii

n

k

ikikikikikik

j

iiiiii

ikikikii

ybB

ygG

ybjygeYjBGyyY ii

1

0

1

0

1

00

)(0

sin

cos

sincos

ikikik

ikikik

ikikikik

j

ikikik

j

ikikik

YB

YG

jYYeYjBGeyyY ikik

sin

cos

sincos



Reprezentarea in coordonate carteziene:

eini

UU

UQUP

UBUGUBUG

ii

iiii

n

ikk

kikkikiiiiii

,1,02"2'

"'

1

"'"'

Reprezentarea in coordonate polare:

eini

UU

UQUP

UBUGUBUG

ii

iiii

n

ikk

kikkikiiiiii

,1,02"2'

'"

1

'"'"

(11) (12)

einiU

QP

UYUY

i

iiii

n

ikk

ikkkikiiiiii

,1,0sincos

coscos1

einiU

QP

UYUY

i

iiii

n

ikk

ikkkikiiiiii

,1,0cossin

sinsin1

(13) (14)



A. O primă formă a ecuaţiilor de bilanţ de putere în noduri in coordonate

carteziene

einijQP

UBUGUUBUGUBUUj

UBUGUUBUGUGUU

jUUjBGjUUjBGjUUS

ii

n

k

kikkiki

n

k

kikkikiiiii

n

k

kikkiki

n

k

kikkikiiiii

n

ikk

kkikikiiiiiiiii

,1,

1

"'"

1

'"'2"2'

1

'""

1

"''2"2'

1

"'"'"'

1.3.2. Modelul bilanţului de puteri în noduri

Puterea întrun nod:

einiUYUYUJUSn

ikk

kikiiiiiii

,1,1

***** (15)

(16)



2 2' " ' ' " " " '

1 1

2 2' " ' " ' " ' "

1 1

0

0

1 ,

n n

i i i ii i ik k ik k i ik k ik k

k k

n n


k k

P U U G U G U B U U G U B U

Q U U B U G U B U U G U B U

i n i e

(17)

B. Bilanţ de putere în noduri in coordonate polare

einijQPeYUUeUY

eUeYeUeYeUS

ii

n

ikk

j

ikki

j

iii

n

ikk

j

k

j

ik

j

i

j

ii

j

ii

ikkiii

kikiiii

,1,1

2

1

(18)

einiYUUUYQ

YUUUYP

n

ikk

ikkiikkiiiiiii

n

ikk

ikkiikkiiiiiii

,1,0sinsin

0coscos

1

2

1

2

(19)



C. Ecuaţiile bilanţului de puteri utilizând coordonatele polare pentru tensiuni şi

coordonatele carteziene pentru admitanţele nodale

einijQPeUjBGUUjBUG

eUjBGeUjBGeUS

ii

n

ikk

j

kikikiiiiiii

n

ikk

j

kikik

j

iiiii

j

ii

ki

kii

,1,1

22

1

(20)

einiUBUGUUBQ

UBUGUUGP

n

ikk

kikikkikikiiiii

n

ikk

kikikkikikiiiii

,1,0cossin

0sincos

1

2

1

2

(21)



2. METODE DE SOLUŢIONARE

1. Transformarea problemei neliniare într-o succesiune de probleme liniare şi

rezolvarea acestor probleme. Metodele de rezolvare:

directe (sau exacte): metode care folosesc inversa matricilor de coeficienţi,

sau procedee de factorizare a acestor matrici de tipul eliminării Gauss, Gauss –

Jordan etc. După determinarea soluţiei, aceasta se foloseşte succesiv pentru

corectarea termenului liber;

iterative: metoda curenţilor reziduali, Gauss – Jacobi, Gauss – Seidel,

relaxaţiei;

2. Corectarea soluţiei problemei neliniare în funcţie de erorile comise la puterile

nodale Sp: metodele „variaţionale” Newton – Raphson (inclusiv varianta

propusă de Hale şi Goodrich) şi Ward.



3. SOLUŢIONAREA PROBLEMEI LINIARE

3.1. INTRODUCERE

Sistem de ecuaţii algebrice liniare:

mibxa i

n

j

jij ,...,1,1

unde sunt coeficienţi, xj sunt necunoscutele sistemului, iar bj sunt termenii

liberi.

Forma matriceală:

Rija

BxA

1) m < n, în acest caz pentru a obţine o soluţie trebuie aleşi n – m parametri;

2) m > n, caz în care se caută o soluţie care să minimizeze expresia următoare

m

i

n

j

jiji xab1

2

1



3) m = n

dacă atunci sistemul (1, 2) are o soluţie unică;

dacă atunci sistemul (1, 2) poate avea o infinitate de soluţii sau

poate să nu aibă nici o soluţie.

Există două tipuri de metode de rezolvare:

directe (sau exacte) în care soluţia este obţinută după un număr de operaţii

dinainte cunoscut;

iterative, care utilizând o aproximaţie iniţială o îmbunătăţeşte de la o etapă la

alta.

0A det

0A det



3.2. METODE DIRECTE

(Folosirea matricei impedanţelor nodale)

Se evidenţiază în sistemul ecuaţia nodului de echilibrare:

ee en e e

ne nn n n

Y Y U J

Y Y U J

1

nn nnZ Y

nn nen n eU Z J Y U

Pentru matricile [Znn] simetrice ale reţelelor, fără nodul de referinţă:

nnn n eU Z J J



n

i

kikimi UYUIQ0

**

*

i

iii

U

jQPJ

Algoritmul de calcul este:

1. Se atribuie valori iniţiale tensiunilor nodale;

2. Se determină puterile reactive la nodurile de tip P, |U|:

Dacă se constată depăşiri ale limitelor de variaţie permise (Qimin, Qimax) Qi

se fixează după caz la una din ele;

3. Se calculează curenţii injectaţi în noduri:

4. Se soluţionează sistemul de ecuaţii. Dacă valorile noilor tensiuni sunt

suficient de apropiate de valorile corespunzătoare iteraţiei precedente se trece

la pct.6;



impuse

icor

i i

i

UU U

U

Se revine la pasul 2.

6. Se calculează circulaţiile de puteri prin elementele reţelei, respectiv puterea la

nodul de echilibrare.

DIFICULTATE ESENŢIALĂ: constă în numărul mare de coeficienţi ce trebuie

păstraţi în memoria calculatorului (în principal elementele matricei “pline” [Znn]).

5. Tensiunile nodurilor de tip P, |U| se corectează în aşa fel încât să se respecte

condiţia de modul constant:



Test autoevaluare

1. În cazul transformatoarelor cu raport de transformare un număr complex matricea

admitanţelor nodale este simetrică.

Răspuns: Adevărat sau Fals

2. Modelul bilanţului de curenţi în noduri (în mărimi reale) este un model neliniar.


3. Modelul ecuaţiilor nodale liniare (injecţie de curenţi) este un model liniar.


4. Modelul bilanţului de puteri în noduri (în mărimi reale) este un model liniar.


5. Metoda Gauss – Seidel este o metodă iterativă de soluţionare a unor probleme neliniare,


6. Metoda Gauss – Jordan este o metodă directă de soluţionare a unor probleme liniare.


7.Metoda Newton – Raphson este o metodă variaţională de soluţionare a unor probleme

neliniare.



Test autoevaluare

Răspunsuri corecte

1. Fals

2. Adevărat

3. Adevărat

4. Fals

5, Fals

6. Adevărat

7. Adevărat

Test evaluare

1. Relaţia

reprezintă termenul diagonal al matricei admitanţelor nodale în cazul în care:

a. transformatorul ideal se află conectat la nodul k;

b. transformatorul ideal se află conectat la nodul i;

c. transformatorul ideal se află conectat între nodurile i şi k.

trafo

kiki

linii

ikikii NyyyY 2

0


reprezintă termenii nediagonali ai matricei admitanţelor nodale dacă:

a. operatorul de transformare Nki se află la nodul i;

b. operatorul de transformare Nki se află la nodul k;

c. operatorul de transformare Nki se află la între nodul i şi k.

2. Relaţia *

; ;ki kiki kiki kiY y N Y y N

3. Ecuaţiile următoare reprezintă:

a. ecuaţiile de bilanţ de putere în noduri in coordonate carteziene;

b. modelul bilanţului de curenţi în noduri în coordonate carteziene;

c. ecuaţiile bilanţului de puteri utilizând coordonatele polare pentru tensiuni şi coordonatele

carteziene pentru admitanţele nodale.

2 2' " ' ' " " " '

1 1

2 2' " ' " ' " ' "

1 1

0

0

1 ,

n n


k k

n n


k k

P U U G U G U B U U G U B U

Q U U B U G U B U U G U B U

i n i e


Răspunsuri corecte

1.a

2.b

3.a

Date post:	14-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	bogdan
View:	220 times
Download:	1 times

MSSE_Curs5

Documents