MODULUL 5 CAPACITATEA DE PRODUCIE. PARTEA IV

Profesor:dr. ing. Bungau Constantin*Ingineria sistemelor de productie

Ingineria sistemelor de productie

Se caut determinarea volumului anual al produciei ce poate fi realizat cunoscnd nzestrarea cu maini i utilaje astfel nct s rezulte satisfacerea unui anumit criteriu economic. Definim:i= 1I - nr. utilaj de care dispunem;j = 1..J - produse;tij timpul normat al produsului j pe utilajul I; Ftdj fondul de timp disponibil al utilajului j.Se cere stabilirea volumului anual de producie pe fiecare produs astfel nct se asigur ncrcarea maxim a utilajelor. Unde:xj volumul anual de producie din sortimentul j;

timpul necesar prelucrrii complecte a unui produs j.

Ingineria sistemelor de productie*

Ingineria sistemelor de productie

Funcia obiectiv Z: (5.1)

Condiii (5.2)

(5.3) (5.4)

Dac apar i alte impuneri se vor crea noi restricii.Ex:emplu Se cere o cantitate minim obligatorie xj, i totodat se cunoate din studii de marketing posibilitatea maxim de absorbie max j.xj max j, j = 1.J (5.5)xj min j, j = 1.J (5.6)

Ingineria sistemelor de productie*

Ingineria sistemelor de productie

MatLab (MATrix LABotory) este un pachet de programe de nalt performan. Facilitile de lucru deosebite i timpul de instruire redus fac din acest pachet de programe unul dintre cele mai agreate, fiind folosit de o mare diversitate de utilizatori. 5.2.1. Introducere n lucrul cu MatLab Instalarea programului, o dat cu lansarea n execuie a produsului, ajut utilizatorul s afle principalele comenzi de ajutor n lucrul cu MatLab: - intro, demo, help help; - help, whatsnew, info, subscribe. Pe lng aceste modaliti de informare, MatLab are i meniul Help, organizat att dupconinut, ct i alfabetic. n plus, exist posibilitatea de cutare prin Find a tuturor apariiilor unui cuvnt n toate paginile de Help. Setarea afirii datelor. Afiarea numerelor se face implicit n formatul scurt, adiccu cinci cifre. Modificrile dorite se fac din meniul Options, selectnd una dintre variantele oferite de submeniul Numeric Format: short, long, short e, long e, hex, .a. Pentru detalii despre aceste variante, comanda este Help format.

Ingineria sistemelor de productie*

Ingineria sistemelor de productie

Variabile i constante speciale n MatLab MatLab lucreazcu cteva constante care au semnificaii speciale. Aceste constante au nume predefinite. Cele mai ntlnite sunt prezentate n tabelul 5.1Afiarea valorii curente a unei variabile, special sau nu, se face prin editarea numelui acelei variabile urmat de comanda Enter. Tab.5.1. Constante cu semnificaii speciale utilizate n MatLabIngineria sistemelor de productie*

ConstantaSemnificaieansAceasta variabila se creeaza automat pentru memorarea rezultatului unui calcul, atunci cnd nu se precizeaz alt variabil.epsEste o variabila permanenta, n care este memorata eroarea relativa pentru calculele n virgula mobila. Implicit este 2.2204E-16, dar poate fi redefinit la orice valoare.piConstanta egal cu 3.14159265358iVariabila folosita pentru unitatea imaginara n lucrulcu numere complexe. Orice alta variabila iniializat cu sqrt (-1) poate fi folosit a ca unitate imaginar!infConstanta folosita pentru reprezentarea lui plus infinit.realmaxCea mai mare valoare pozitiv care se poate folosi n calculele n virgula mobila: 1.7997E+308realminCea mai mica valoare pozitiv ce se poate folosi n calculele n virgula mobila: 2.2251E-308

Ingineria sistemelor de productie

MatLab lucreaz cu un singur tip de obiecte. Astfel, vectorii sunt matrici cu un indice, iar scalarii sunt matrici cu o linie si o coloan. Pentru folosirea matricilor, nu este necesar a nici declararea, nici dimensionarea lor. Aceste operaii sunt efectuate automat, atunci cnd se lucreaz cu o nou variabil de tip matrice. Mai mult, dimensiunea unei matrice se modifica automat n timpul utilizarii variabilei ce identific acea matrice. Crearea unei matrice se face de obicei prin iniializarea componentelor sale. Elementele matricei se trec ntre paranteze drepte, folosind caracterul ,, ; pentru separarea componentelor pe linii. Transpusa unei matrice se determin prin folosirea operatorului apostrof dup variabila ce identific matricea de transpus. Operaiile cu matrici (adunarea, nmulirea) sunt directe, n sensul ca MatLab cunoaste sintaxa de forma A*B pentru determinarea produsului matricelor A si B. Daca se doreste efectuarea unei operaii pe componente, atunci caracterul operatorului va fi precedat de .. Comenzile si caracterul ,,, ; O comand ncheiata far ,, ; va fi interpretat, iar rezultatul ei va fi afiat pe ecran. Daca nu se doreste afiarea lui imediat, comanda trebuie ncheiata cu,, ; .

Ingineria sistemelor de productie*

Ingineria sistemelor de productie

Mai multe comenzi scrise pe acelasi rnd trebuie separate prin ,,;.Funcii utilizatorSintaxa unei funcii MatLab este:Function [var_iesire] = nume_funcie (var_intrare)% prima linie de informii auxiliare;% a doua linie de informaii auxiliare;% ultima linie de informatii auxiliare.linie vid;corpul funciei.De obicei, funciile se descriu n fisiere separate, avnd numele identic cu numele funciei i extensia .m. Astfel, pentru execuia unei funcii se va da numai numele ei, n linie de comanda.

Ingineria sistemelor de productie*

Ingineria sistemelor de productie

O linie de comand se poate continua pe linia urmatoare, dac este ncheiata cu ,,. MatLab este case sensitive. Acesta se poate schimba cu ajutorul comenzii casesen on / off. Optimizare cu MatLab Produsul MatLab este compus dintr-o serie de programe standard, scrise pentru calcule matematice, modelare si simulare numerica, prelucrari de date statistice, reprezentari grafice asistate de calculator. Pe lnga acestea, versiunile Matlab s-au extins si cu un grup (toolbox) de programe pentru optimizarea matematic, numit Optim. Fiecare componenta a setului de programe Optim este o funcie MatLab (fisier.m) . Acestea sunt: - programe pentru minimizarea funciilor neliniare.

Ingineria sistemelor de productie*

Ingineria sistemelor de productie

Ingineria sistemelor de productie*- programe pentru probleme de minim date matricial

AttgoalProbleme multi obiectivConstrMinimizare cu restriciiFminMinimizare fara restricii, cazul unidimensionalFminuMinimizarea fara restricii cu metode de tip gradientFminsMinimizarea fara restricii cu metode de tip simplexFsolveRezolvarea ecuaiilor neliniareLeastsqAplicarea metodei celor mai mici patrateMinimaxCautarea soluiei minimaxSeminfMinimizare semi-infinita

lpProgramare liniarqpProgramare patraticnnlsAplicarea metodei celor mai mici patrate n condiii de nenegativitate

Ingineria sistemelor de productie

Setarea opiunilor implicite de lucru pentru MatLAb, precum si stabilirea configuraiei dorite de utilizator, se realizeaza cu funcia foptions. Aceasta este apelata de funciile MatLab fmin si fmins, precum si de funciile de optimizare: fminu, constr, attgoal, minimax, leastq, fsolve. Funcia foptions returneaza vectorul options. Componentele acestuia sunt folosite de funciile de mai sus n totalitate sau parial. Pentru funciile pe care le luam n discuie, vom preciza n fiecare caz care sunt parametrii folosii.Minimizarea cu restricii Rezolvarea problemelor de minimizare cu restricii se face cu funciile fmin sau constr. Funcia fmin se utilizeaza pentru determinarea punctului de minim pentru o funcie de o variabil, cu restricii de marginire asupra variabilei. Funcia constr determina punctul de minim pentru o funcie de mai multe variabile ntr-o problem a cu restricii asupra variabilelor. Pentru introducerea restriciilor de tip egalitate se procedeaza astfel: se stabileste numarul de restricii de tip egalitate prin parametrul options (13) si se ine cont ca membrul stng al acestora trebuie sa fie primul component din vectorul G al restriciilor. Implicit, restriciile de rang mai mare dect valoarea lui options (13) vor fi de tip mai mic sau egal.

Ingineria sistemelor de productie*

Ingineria sistemelor de productie

Minimizarea fr restricii Pentru cazul particular n care problema cere determinarea minimului unei funcii de mai multe variabile, fara sa impuna restricii asupra variabilelor, se pot folosi si funcii fmins sau fminu.Funcia fmins admite sintaxele: x = fmins (functie, x0) x = fmins (functie, x0, options) [x. options] = fmins (functie, x0, options)

Semnificaiile sunt preluate de la funcia fmin, dar trebuie observat ca nu sunt admise valori de marginire pentru variabile. Vectorul x0 conine valorile iniiale necesare declansarii generarii soluiei.

Ingineria sistemelor de productie*

Ingineria sistemelor de productie

Observaie:De data aceasta, variabila x reprezinta un vector de variabile si nu o singura variabila ca n cazul funciei fmin. Algoritmul folosit de aceasta funcie este bazat pe metoda de cautare simplex.Funcia fminu admite sintaxele:x = fminu (functie, x0) x = fminu (functie, x0, options)[x. options] = fminu (functie, x0, options)Semnificaia parametrilor este cea de la funcia fmins. Cele doua funcii difera numai prin metoda de determinare a soluiei. Astfel, fminu foloseste o metoda de tip quasi-Newton cu o combinaie ntre procedurile de cautare patratica si cubica. Minimizarea funciilor liniare cu restricii date matricialFuncia MatLab pentru rezolvarea problemelor de programare liniara este lp.

Ingineria sistemelor de productie*

Ingineria sistemelor de productie

ntr-un atelier mecanic, se prelucreaza 5 repere (A, B, C, D, E); fiecare dintre acestea necesit prelucrarea prin 5 operaii (pe 5 tipuri de masini diferite). Prima operaie se poate desfasura pe un grup de trei masini de acelasi fel, a doua operaie dispune de o singura masina, a treia operaie necesita un grup alcatuit din doua masini, a patra - o singura masina si operaia a cincea are loc pe un grup de masini format din 5 maini de acelasi fel.Se cunoaste ca fondul de timp de lucru pentru un utilaj, ntr-un an de zile, este de 255 zile lucratoare/an, n doua schimburi, cu o marime a schimbului de 8 ore. Timpii necesari prelucrrii fiecarui produs la fiecare operaie n, precum si planul de producie este prezentat n tabelul 5.2. Se cere un calcul de optimizare a capacitaii de producie, astfel nct fondul de timp de lucru al utilajelor sa fie ocupat la maxim. nti= norma de timp aferenta fiecarei operaii [min], i = 1 5. Ingineria sistemelor de productie*

Ingineria sistemelor de productie

Tabelul.5.2 Mixtul de producie

Transpunerea sub forma de fisier MatLab se prezinta n figura 5.1. Fondul de timp disponibil al tuturor utilajelor este: Ingineria sistemelor de productie*Fig.5.1 Fiier de lucru n Matlab

ProdusPlan deproducienti1nti2nti3nti4nti5ntA1280269421859B3400812621644C290162252752D2200113611233E840379752381

Ingineria sistemelor de productie

n figura 5.2 este prezentat calculul numeric n MatLab, utiliznd funcia constr. Se obine o utilizare a fondului de timp disponibil Ftutilizat=2232000 min/an, avnd o capacitate de producie pentru fiecare produs n parte, dupa cum urmeaz:CPA=1280 buc, CPB=3857 buc, CPC=290buc, CPD=5768 buc, CPE=840bucFig.5.2 Calculul de optimizare n Matlab

Ingineria sistemelor de productie*

Ingineria sistemelor de productie