Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

1

Modulul 3 - Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

GEOGEBRA

1. Instalarea şi introducerea GeoGebra

Activitatea 1: Instalarea GeoGebra

Preparare

Creaţi un folder nou, denumit GeoGebra_Introducere pe desktop.

Sugestie: În timpul workshop-ului, salvaţi toate fişierele în acest folder, astfel încât acestea sunt uşor de găsit

mai târziu.

Instalare cu acces la Internet

Instalaţi GeoGebra WebStart

• Deschideţi browser-ul dvs. de Internet şi mergeti la www.geogebra.org/WebStart.

• Faceţi clic pe butonul numit GeoGebra WebStart.

Notă: Software-ul este instalat automat pe computer. şi necesită confirmarea mesajelor care ar putea apărea cu

DA sau OK.

Sugestie: Folosirea GeoGebra WebStart are mai multe avantaje, cu condiţia să aveţi o conexiune la Internet

disponibil pentru instalarea iniţială:

• Nu trebuie să ne confruntăm cu diferite tipuri de fisiere, deoarece GeoGebra este instalat automat pe

computer.

• Nu trebuie să avem permisiuni speciale de utilizator în vederea utilizării GeoGebra WebStart, care este utilă

în special pentru laboratoare de informatica şi calculatoare laptop în şcoli.

• Odată ce GeoGebra WebStart a fost instalat puteţi utiliza de asemenea şi software-ul off-line.

• Cu condiţia să aveţi conexiune la Internet după instalarea iniţială, GeoGebra WebStart verifică frecvent

actualizările disponibile şi le instalează în mod automat. Astfel, putem lucra întotdeauna cu cea mai nouă

versiune de GeoGebra.

Instalare fără acces la Internet

• Se vor oferi fişierele de instalare GeoGebra prin USB drive-uri sau CD-uri.

• Copiaţi fişierul de instalare de pe dispozitivul de stocare în create Folder GeoGebra_Introducere de pe

computer.

Sugestie: Asiguraţi-vă că aveţi versiunea corectă pentru sistemul dvs. de operare

Exemple: MS Windows: GeoGebra_3_0_0_0.exe; MacOS: GeoGebra_3_0_0_0.zip

• Faceţi dublu clic pe fişierul de instalare GeoGebra şi urmaţi instrucţiunile asistentului de instalare.

Introducere: Ce este GeoGebra şi Cum funcţionează?

Informaţii generale despre GeoGebra

GeoGebra este un software dinamic de matematică pentru şcolile în care se studiază geometria, algebra şi

evident, calcule.

Pe de o parte, GeoGebra este un sistem interactiv de geometrie. Puteţi face construcţii cu puncte, vectori,

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

2

segmente, linii şi secţiuni conice, precum şi funcţii schimbându-le dinamic după aceea.

Pe de altă parte, ecuaţiile şi coordonatele pot fi introduse direct. Astfel, GeoGebra are capacitatea de a lucra

cu variabile de numere, vectori şi puncte.

Două puncte de vedere sunt caracteristice GeoGebra: o expresie din vizualizarea algebrică corespunde unui

obiect din fereastra de geometrie şi invers.

Activitatea 2:

Noţiuni de bază cu GeoGebra – Fereastra GeoGebra (Window)

A. Start GeoGebra

1. Pe desktop, dublu-clic pe icoana GeoGebra

B. Atunci când începem GeoGebra

Fereastra implicită pentru GeoGebra arată ca aceasta.

A. Părţile principale ale ferestrei GeoGebra

1. Bara de titlu

2. Bara de Meniu

3. Bara de instrumente

4. Vizualizare algebrica Algebra Vezi

5. Vizualizare grafică

6. Bara de intrări

B. Ce vom explora aici

• Bara de titlu

• Bara de meniu (sau Meniu Bar Command)

o Fişier

Salvare

Close (Ieşire)

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

3

• Bara de instrumente

Instrumente de mutare

un nou punct

• Vizualizare algebrică

o obiecte independente

C. Pasi

1. Accesaţi Grid

a. Mutaţi indicatorul mouse-ului în Drawing pad şiclick dreapta.

b. Va apare următorul meniu (a se vedea figura de mai jos - stânga):

c. Mutaţi indicatorul mouse-ului la reţea (Grid) şi faceţi clic pe (a se vedea figura de mai sus dreapta).

2. Desenarea unui nou punct

a. Click pe unealta New Point

b. Mutaţi indicatorul mouse-ului în Drawing pad şi observaţi că, atunci când indicatorul este "aproape" de un

punct de reţea, coordonatele arată un punct de reţea (număr întreg coordonate).

c. Mutaţi indicatorul mouse-ului la punctul de reţea (1,1) şi faceţi clic.

i. Un punct este redactat la (1,1) şi este etichetat A. Este ALBASTRU.

ii. Uită-te în vizualizarea Algebrică la stânga. Sub Obiecteindependente ar trebui să vedeţi A = (1,1)

3. Mutarea unui punct

i. Faceţi clic pe Instrumentul Mutare

ii. Click & drag punctul (nu eticheta A) la (3,1). Observaţi că vizualizarea algebrică s-a schimbat.

4. Să desenăm un alt punct

a. Faceţi clic pe Instrumentul Point New

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

4

b. Mutaţi indicatorul mouse-ului pentru a (1,2) şi faceţi clic.

i. Un punct este redactat la (1,2) şi este etichetat B. Este, de asemenea, ALBASTRU.

ii. Uită-te în vizualizarea algebrică la stânga.

5. Salvaţi fişierul nostru

a. Selectaţi comanda File -> Save. Faceţi clic pe File, apoi pe Salvare.

b. În caseta de dialog, scrieţi 2puncte şi faceţi clic pe Salvare.

c. Observaţi că numele fişierului este 2puncte.ggb

D. Când am terminat

Aceasta este ceea ce arată fişierul GeoGebra după paşii A-C.

E. Ieşire GeoGebra

Selectaţi comanda File -> Close. Asta este, faceţi clic pe File, apoi pe Close.

• Activaţi un instrument făcând clic pe butonul care indică pictograma corespunzătoare.

• Deschideţi un set de instrumente, făcând clic pe partea inferioară a unui buton şi selectaţi un alt

instrument din acest set de instrumente.

Sugestie: Nu trebuie să deschideţi caseta de instrumente de fiecare dată când doriţi să selectaţi un

instrument. Dacă pictograma instrumentului dorit este deja indicată pe buton, acesta poate fi activat în mod

direct.

Sugestie: Caseta de instrumente conţin instrumente similare sau instrumente care generează acelaşi tip de

obiect nou.

• Verificaţi bara de instrumente - ajutor pentru a afla care instrument este în prezent activat şi cum operează

el.

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

5

Activitatea 3: Desenarea figurilor geometrice şi a altor obiecte

Preparare:

• Ascunde fereastra algebra şi axele de coordonate (meniul Vizualizare).

• Afişare coordonare grila (meniul Vizualizare).

Desenăm cu GeoGebra

Folosim mouse-ul şi următoarea selecţie de instrumente pentru a desena (de exemplu, pătrat, dreptunghi, casa,

copac, ...).

Cum vom proceda:

• pentru a selecta un obiect deja existent.

Sugestie: Atunci când indicatorul pluteste deasupra unui obiect, el scoate în evidenţă şi indicatorul sub forma

unei săgeţi. Dacă faceţi click, se selectează obiectul corespunzător.

• pentru a crea un punct care se referă la un obiect.

Sugestie: punctul este afişat într-o culoare albastru deschis. Verificaţi întotdeauna dacă într-adevăr punctul

este dependent de obiect prin tragere cu mouse-ul.

• pentru a corecta greşelile pas-cu-pas folosim butoanele Undo şi Redo.

Observaţie: mai multe instrumente permit crearea de puncte de "on the fly". Prin urmare, nu toate obiectele

existente sunt necesare în scopul de a utiliza instrumentul.

Exemplu: Instrumentul Segment între două puncte pot fi aplicat la două puncte deja existente sau direct.

Făcând click pe foaia de desen, punctele corespunzătoare sunt create şi un segment este trasat între ele.

Punct nou

Muta

Dreapta determinata de 2 puncte

Segment determinat de 2 puncte

Sterge obiectul

Inapoi/inainte

Glisati obiectele

Marire/micsorare

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

6

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

7

Activitatea 4: Salvarea fişierelor GeoGebra

Salvarea unui desen

• Deschideţi meniul File şi selectaţi Salvare.

• Selectaţi Folderul GeoGebra_Introducere în fereastra de dialog care apare.

• Scrieţi un nume pentru fişierul GeoGebra.

• Faceţi clic pe Salvare pentru a termina acest proces.

Sugestie: Un fişier cu extensia ". ggb" este creat. Această extindere identifică fişierele GeoGebra şi indică

faptul că acestea pot fi deschise numai cu GeoGebra.

Sugestie: Denumiţi-vă fişierele în mod corespunzător: Evitaţi utilizarea spatiilor sau a simbolurilor speciale

într-un nume de fişier, deoarece acestea pot cauza probleme inutile când se va transfera la alte computere. În

schimb puteţi folosi sublinierea sau litere majuscule în numele fişierului (de exemplu, Primul_Desen.ggb).

Cum procedăm:

• Cum se deschide o fereastră nouă GeoGebra (meniul File - New window).

• Cum se deschide o nouă interfaţă GeoGebra în aceeaşi fereastră (meniu File -> New)

• Cum de a deschide un fişier deja existent GeoGebra (meniul File - Open).

o Navigaţi prin structura de foldere în fereastra care apare.

o Selectaţi un fişier GeoGebra (extensia "ggb.").

Faceţi clic pe o Open.

Activitatea 5: constructia dreptunghiului Preparare

• Reamintiţi-vă proprietăţile unui dreptunghi înainte de a începe construcţia.

Sugestie: Dacă nu intuiesc pasii de construcţie necesari pentru un dreptunghi putem să deschidem fişierul

Dreptunghi.ggb. Utilizaţi butoanele din bara de navigare pentru a relua procesul de construcţie.

• Deschide un nou fişier GeoGebra.

• Ascunde fereastra de vizualizare algebrică, câmpul de intrare şi axele de coordonate (meniul Vizualizare).

• Modificaţi setarea etichetare numai a punctelor noi (meniul Options – etichetare Options – Labeling). New points only

Introducerea de noi instrumente

• Drepte perpendiculare şi drepte paralele

Sugestie: Faceţi clic pe o linie deja existentă şi un punct pentru a crea o dreată perpendiculară / dreaptă

paralela prin acest punct.

• Intersecţia a două obiecte

Sugestie: Faceţi clic pe punctul de intersecţie a două obiecte pentru a obţine aceasta punctul de intersecţie.

Click succesiv pe ambele obiecte pentru a obţine toate punctele de intersecţie.

• Poligon

Sfaturi: Faceţi click pe pagina de desen sau pe puncte deja existente în scopul de a crea vârfurile unui poligon.

Uniţi primul şi ultimul vârf pentru a închide poligonul! Uniţi întotdeauna vârfurile în sens invers acelor de

ceasornic!

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

8

Sugestie: Nu uitaţi să citiţi ajutorul din bara de instrumente, dacă nu ştiţi cum să folosiţi un instrument.

Sugestie: Încercaţi toate instrumentele noi înainte de a începe construcţia.

Procesul de constructie

Verificaţi construcţia dvs.

1. Aplicaţi testul drag pentru a verifica dacă este

corectă construcţia.

2. Arataţi bara de navigare (meniul Vizualizare)

pentru a examina dvs. de construcţie pas cu pas

folosind butoanele.

3. Arataţi protocolul de construcţie (meniul

Vizualizare) şi să-l utilizaţi pentru a revedea pas cu

pas procedeul de construcţie a dreptunghiului.

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

9

Activitatea 6: Constructia triunghiului echilateral

Preparare

• Reamintiţi proprietăţile triunghiului echilateral, înainte de a începe construcţia.

• Deschidem un fisier GeoGebra.

• Ascundeţi fereastra de algebra, câmpul de intrare şi axe de coordonate (meniul Vizualizare).

• Modificaţi setarea de etichetare a noi puncte de numai (meniul Options - etichetare).

Introducerea de noi instrumente

• cerc cu centrul într-un punct

Sugestie: faceţi clic pe Primul creează centru, al doilea clic determină raza cercului.

• Afişare / ascunde instrument obiect

Sugestii: Evidenţiaţi toate obiectele care ar trebui să fie ascunse, apoi treceţi la un alt instrument pentru a

aplica modificările vizibilitatea!

• Unghi instrument

Sugestie: Faceţi clic pe puncte în direcţia acelor de ceasornic! GeoGebra creează întotdeauna unghiuri cu

orientare matematic pozitiv.

Sugestie: Nu uitaţi să citiţi ajutorul din bara de instrumente, dacă nu ştiţi cum să folosiţi un instrument..

Sugestie: Încercaţi toate noile instrumente înainte de a începe construcţia.

• Utilizaţi bara de navigare pentru a revizui construcţia

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

10

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

11

Verificaţi construcţia dvs.

1. Aplicaţi testul drag pentru a verifica dacă este corectă construcţia.

2. Arataţi bara de navigare (meniul Vizualizare) pentru a examina dvs. de construcţie pas cu pas folosind

butoanele.

3. Arataţi protocolul de construcţie (meniul Vizualizare) şi să-l utilizaţi pentru a revedea pas cu pas

procedeul de construcţie a dreptunghiului.

Utilizarea casetei de dialog Proprietăţi.

Există mai multe moduri diferite de a accesa caseta Proprietăţi:

• Faceţi clic dreapta (MacOS: Ctrl-clic) un obiect

• Selectaţi Properties ... din meniul Edit

• Faceţi dublu clic pe un obiect în mod Mutare

În practica ...

• Selectaţi diferite obiecte din lista de pe partea stângă şi puteţi face modificări

• Selectaţi mai multe obiecte, în scopul de a schimba o proprietate anumită pentru toate acestea, în acelaşi

timp

Sugestie: Ţineţi Ctrl-cheie (MacOS: Open Apple-click), apăsat şi selectaţi toate obiectele dorite.

• Selectaţi toate obiectele de un singur tip dând click pe titlul corespunzător.

• Afişaţi valoarea diferitelor obiecte şi încercaţi diferite stiluri de etichetă.

• Modificaţi proprietăţile anumitor obiecte (de exemplu, culoare, stil, ...)

Activitatea 7: Construcţia pătratului

În această activitate aveţi de utilizat următoarele instrumente.

Asiguraţi-vă că ştiţi cum trebuie folosit fiecare instrument înainte de a începe construirea propriu-zisă a

pătratului:

Procesul de construcţie

1. Desenaţi un segment AB = între punctele A şi B

2. Construiţi o dreaptă b perpendiculară pe segmentul AB prin punctul B

3. Construiţi un cerc c cu centrul în B care trece prin punctul A

4. Intersectaţi cercul c cu dreapta perpendiculară b pentru a obţine punctul de intersecţie C

5. Construiţi dreapta perpendiculară d pe segmentul AB prin punctul A

6. Construiţi cercul e cu centrul în A care trece prin punctul B

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

12

7. Intersectare dreapta perpendiculară d cu cercul e pentru a obţine punctul de intersecţie D

8. Creaţi poligonul ABCD.

Sugestie: Nu uitaţi să închideţi poligonul dând click pe punctul A, după selectarea punctului D.

9. Ascundeţi cercurile şi dreptele perpendiculare

10. Efectuarea testului drag pentru a verifica dacă este corectă construcţia dumneavoastră

Activitatea 8: Construcţia hexagonului regulat

În această activitate aveţi de utilizat următoarele instrumente.

Asiguraţi-vă că ştiţi cum trebuie folosit fiecare instrument înainte de a începe construirea propriu-zisă a

hexagonului regulat:

Procesul de construcţie 1. Desenati un cerc cu centrul in A care trece prin punctul B

2. Construiti un alt cerc cu centrul in B care trece prin punctul A

3. Intersectati cele două cercuri, pentru a obţine punctele C şi D.

4. Construiti un nou cerc cu centrul in C care trece prin punctul A.

5. Intersectati noul cerc cu primul, pentru a obţine punctul E.

6. Construiti un nou cerc cu centrul in D care trece prin punctul A.

7. Intersectati noul cerc cu primul, pentru a obţine punctul F.

8. Construiti un nou cerc cu centrul in E care trece prin punctul A.

9. Intersectati noul cerc cu primul, pentru a obţine punctul G.

10. Desenati hexagonul FGECBD.

11. Creati unghiurile hexagonului.

12. Efectuarea testului drag pentru a verifica dacă este corectă construcţia dumneavoastră

Activitatea 9: Centrul cercului circumscris unui triunghi

În această activitate aveţi de utilizat următoarele instrumente.

Asiguraţi-vă că ştiţi cum trebuie folosit fiecare instrument înainte de a începe construirea propriu-zisă a

Centrului cercului circumscris unui triunghi:

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

13

Procesul de construcţie

1. Construiti un triunghi oarecare ABC

2. Construiti mediatoarea pentru fiecare latură a triunghiului.

3. Creati punctul D de intersecţie a două dintre mediatoare

4. Construiti un cerc cu centrul in D care trece printr-un vârf al triunghiului ABC

5. Efectuarea testului drag pentru a verifica dacă este corectă construcţia.

Tema: Modificati construcţia pentru a răspunde la următoarele întrebări:

1. Se poate afla centrul cercului circumscris unui triunghi în afara triunghiului? Dacă da, pentru ce

tipuri de triunghiuri este adevărat?

2. Încerca să găsească o explicaţie pentru utilizarea mediatoarelor laturilor, în scopul de a construi

centrul cercului circumscris unui triunghi.

Activitatea 10: Centrul de greutate al unui triunghi Procesul de construcţie

1. Construiti un triunghi oarecare ABC

2. Construiti mijlocul pentru fiecare latură a triunghiului.

3. Construiti medianele triunghiului ABC

4. Creati punctul G de intersecţie a două dintre mediane

5. Efectuarea testului drag pentru a verifica dacă este corectă construcţia.

6. Calculati rapoartele AG/AF; BG/BE; CG/CD

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

14

Activitatea 11: Translatia imaginilor

Procesul de construcţie

1. Deschideţi un nou fişier GeoGebra. Bifati fereastra de vizualizare algebrica, câmpul de intrare a

datelor, axele de coordonate şi grila. În meniul Opţiuni stabiliti punctul de captare pe (Grid).

2. Inserati picture A_3b_Bart.png în primul cadran.

3. Creaţi punctele A = (1, 1), B (3, 1), şi D (1, 4).

4. Setaţi punctul A ca primul, B al doilea, şi D, ca punct colţ al patrulea imagine (de dialog Proprietăţi,

Poziţia fila).

5. Creaţi triunghi ABD.

6. Creaţi punctul O (0, 0) şi punctul P = (3, -2).

7. Creaţi U = vector Vector [O, P].

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

15

8. Translateza imaginea prin vectorul u folosind instrumentul Translatie de vector.

9. Translateza cele trei puncte A, B, D de vector u.

10. Creaţi triunghi A'B'D ".

11. Ascunde punctul O astfel încât să nu poată fi deplasate în mod accidental. Schimba culoarea şi

dimensiunea de obiecte pentru a imbunatati construcţia.

Activitatea 12: Explorind Piramida de la Muzeul Luvru

Determinarea pantei piramidei din Muzeul Luvru

1. Salvati imaginea piramidei din http://en.wikipedia.org/wiki/Louvre,

2. Introduceţi imaginea A_3d_Louvre.jpg în primul cadran al sistemului de coordonate ]ncepand din colţul

din stânga jos.

3. Reduceti vizibilitatea imaginii (aproximativ 50%) şi setaţi-o ca imagine de fundal (de dialog

Proprietăţi).

4. Trasaţi o dreapta prin două puncte unul la baza si al doilea punct de la vârful piramidei.

Sugestie: Modificati proprietăţile dreptei pentru a îmbunătăţi vizibilitatea ei.

5. Utilizaţi instrumentul Slope (panta.

Sugestie: Modificati proprietăţile pantei pentru a îmbunătăţi vizibilitatea acesteia.

6. Sarcina: Determinaţi panta feţelor piramidei în procente.

7. Creati unghiul dintre axa ox şi dreapta.

Sarcina: Determinaţi unghiul de înclinare pentru fata piramidei.

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

16

Meniul de instrumente

Modulul 3 – Construcţii geometrice utilizând softul GeoGebra

17

Bibliografie:

www.geogebra.org

GeoGebra–getthefreesoftware www.geogebra.at

GeoGebraWiki–poolof freematerials www.geogebra.at/en/wiki

GeoGebra User Forum www.geogebra.at/forum

eTwinning Ideas for Maths – www.etwinning.net