MODELAREA PROCESELOR FIZICO-CHIMICEmpfc.solidsoftsolutions.com/files/MPFC, C5-v.2_noe.2009-32-...

05.11.09 MPFC, C5_Instrumente de modelare II (continuare): transformatele Laplace, z...1

MODELAREA PROCESELOR FIZICO-CHIMICE

C5, Miercuri, 04.11.2009, 12.00h, anii I (A+ C)


INSTRUMENTE MATEMATICE NECESARE

(C4: 28-10-2009)

1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO) 2. Ecuatii diferentiale cu derivate partiale(EDP) 3. Ecuatii cu diferente (EDt) 4. Transformata Fourier

(C5: 04-11-2009)

5. Transformata Laplace 6. Transformata z 7. Vectori si matrici 8. Algebra lineara 9. Variabile complexe


Transformate, generalitati: Fourier, Laplace, z – baze - Bibliografie

[1] Jury, E.I.,Analysis and synthesis of sampleddata control systems, Communications and Electronics, 1954, 115

[2] Lathi, B.P., Linear Systems and Signals, OUP, Oxford, NY, USA, 2002[3] Levine, W.S., The Control Handbook, CRC Press, Boca Raton, Florida,

USA, 1996[4] Smith,S.W., The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal

Processing, 2nd edition, San Diego: California Technical Publishing, 1999[5] Stanasila, O., Analiza matematica a semnalelor si undinelor, Matrix Rom,

Bucuresti, 1997[6] Duhamel, P. and M. Vetterli, "Fast Fourier Transforms: A Tutorial Review

and a State of the Art," Signal Processing, Vol. 19, April 1990, pp. 259299. [7] FFTW (http://www.fftw.org) [8] Ingle, V.K. and J.K. Proakis, “Digital Signal Processing. Using Matlab V.4”,

PWS Publish. Co., ITP, Boston, MA, USA, 1997[9] Levine, W.S., The Control Handbook, CRC Press, Boca Raton, Florida,

USA, 1996[10] http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_Laplace_Ztransform[11] http://www.fftw.org

http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_Laplace_Z-transform

http://www.fftw.org/

http://www.fftw.org/


Transformata Fourier –Proprietati

TF are o serie de proprietati, cu ajutorul carora se pot determina TF ale multor functii comune:

Linearitate TF a functiilor deplasate in timp la stanga sau la dreapta TF a functiilor scalate in timp Inversarea (semnului) timpului Multiplicarea cu o putere a timpului t Multiplicarea cu exponentiala frecventei exp(jω0t) Multiplicarea cu sinusul frecventei sin(ω0t) Multiplicarea cu cosinusul frecventei cos(ω0t) TF a derivatei unei functii in domeniul timp Inmultirea in domeniul timp Convolutia in domeniul timp Proprietatea de dualitate Teorema lui Parseval s.a….


TRANSFORMATA LAPLACE (TL)

In analiza functionala, TL a unei functii original f(t) definita pentru t ≥ 0, este functia imagine F(s), definita de (TL directa):

Unde s = σ +iω este variabila complexa s, iar limita inferioara a integralei, adica 0 este notatia care reprezinta

si asigura incluziunea intregii functii Dirac delta, adica δ(t), in 0 (origine), daca acolo este un astfel de impuls in f(t), la 0.

Observatie; TL este numita astfel, in onoarea lui PS Laplace (a utilizato in lucrarea sa despre teoria probabilitatilor), dar a fost descoperita de Leonhard Euler.

TL exista pentru toate numerele complexe care au Re{s}>c,, unde c este o constanta reala, numita abscisa de convergenta. La TL bilaterala, deci limitele de integrare intre ∞ si +∞, existenta acesteia (adica unde este ea definita), este intre limitele c < Re{s} > d. Adica, valorile lui s pentru care exista TL, se numeste regiune de convergenta (RDC), sau domeniu de convergenta (DDC).

TL inversa este o integrala complexa tip BromwichWagner:

Unde γ este un numar real a.i. conturul de integrare este in interiorul RDC a lui F(s),

iar i=sqrt(1).

TL bilaterala este definita de relatia:


TRANSFORMATA LAPLACE (TL)Legatura cu transformata Fourier

OBSERVATIE: TF continua (lectia trecuta)este echivalenta cu TL bilaterala, ce are argument complex, s= iω:

Relatia nu are factorul de scalare 1/sqrt(2*π)= ( )de la TF, dar se utilizeaza la determinarea spectrului de frecventa al unui semnal aferent unui sistem dinamic.


TRANSFORMATA LAPLACE (TL)Proprietati si teoreme

Ca si TF, TL are o serie de proprietati si teoreme, cu ajutorul carora se pot determina TL directe sau inverse ale multor functii comune:

Linearitate TL a functiilor deplasate in timp la dreapta (intarziere, retardare) TL a functiilor cu timp scalat Multiplicarea cu o putere a timpului t Multiplicarea cu sinusul frecventei sin(ω0t) Multiplicarea cu cosinusul frecventei cos(ω0t) TL a derivatei unei functii in domeniul timp TL a integralei unei functii in domeniul timp Convolutia in domeniul timp Teorema valorii (limita) initiale Teorema valorii (limita) finale


TRANSFORMATA LAPLACE (TL)Proprietati si teoreme (I)

Linearitate

Derivare (teorema derivarii)

Teorema integrarii in frecventa:

Teorema integrarii in timp:

Teorema valorii initiale:

Teorema valorii finale:

toti polii fiind in SSPD; TVF arata comportarea in regim stationar (SS), fara a face descompunerea in fractii partiale simple etc.


TRANSFORMATA LAPLACE (TL)Proprietati si teoreme (II)

Teorema deplasarii in frecventa:

Teorema deplasarii in timp:

Teorema convolutiei:

Multiplicare cu o putere a timpului t:

unde D este simbolul derivatei [aici, de ordinul n, a functiei F(s)]


TRANSFORMATE LAPLACErationale(i)

TL a unei functii, X(s), se zice este o functie rationala de s, daca poate fi scrisa ca un raport de polinoame in s, ireductibil, adica

X(s) = N(s)/D(s),Unde N(s) si D(s) sunt polinoame in variabila complexa s, date de :

N(s) = bmsm + bm1sm1 +….+b1s + b0

D(s) = sn + an1sn1 +….+ a1s + a0,

puterile m si n fiind intregi pozitivi, iar coeficientii bm, bm1,….,b1, b0 si an1, an2,…, a1, a0 sunt numere reale.


TRANSFORMATE LAPLACErationale(ii-continuare)

Polinomul D(s) se zice ca este monic, daca are coeficientul an, al lui sn, egal cu 1.

Intregul n, gradul lui D(s), se numeste ordinul functiei rationale X(s)

Daca n ≥ m, X(s) se zice ca este o functie rationala proprie.

Daca n > m, X(s) se zice ca este o functie rationala strict proprie

Radacinile polinomului D(s) (ecuatia D(s)=0), se numesc polii lui X(s)

Radacinile polinomului N(s) (ecuatia N(s)=0), se numesc zerourile lui X(s)


TRANSFORMATE LAPLACEirationale

Daca TL X(s) a unei functii x(t) nu este o functie rationala, se zice ca este irationala. Adica, X(s) nu poate fi exprimata ca un raport de polinoame in s.

Exemplu: X(s) = et0s/s este irationala: exponentiala nu poate fi facuta un raport de polinoame


TRANSFORMATA – Z (TZ)generalitati

Transformata Z, in matematica, automatica, modelare, procesarea semnalelor etc., converteste un semnal din domeniul timp discret (deci o secventa de numere reale), intro reprezentare in domeniul frecventa complexa.

Observatii: TZ a fost introdusa, cu acest nume, de catre E.I. Jury in 1958, in

“SampledData Control Systems”, editura John Wiley & Sons. Asa cum transformata Laplace ar trebui sa se numeasca

“transformata s”, transformata Z ar tebui sa se numeasca “transformata Laurent”, intrucat aceasta se bazeaza pe seria Laurent.

TZ unilaterala este pentru semnalele in timp discret, ceea ce este TL unilaterala pentru semnalele in timp continuu.


TRANSFORMATA – Z directa

TZ a unui semnal in timp discret z[n] este, prin definitie, functia imagine X(z), data (definita) de relatia (numita si TZ directa):

Unde n este un intreg, iar z este un numar circular complex de forma z = r ejω.

TZ de mai sus, cu limitele sumei de la + ∞ la ∞, se mai numeste si TZ bilaterala, TZ pe ambele fete, TZ infinit dubla

Atunci cand limitele sumei seriei Laurent sunt de la zero (0) la + ∞, se zice TZ unilaterala, sau TZ pe o singura fata (utilizata la semnale cauzale, adica cele definite pentru t ≥ 0):


TRANSFORMATA – Z inversa

TZ inversa este data de relatia de mai jos, unde C este un contur inchis antiorar ce incercuieste originea, intreaga regiune de convergenta (RDC) si toti polii lui X(z).

Un caz special al acestei integrale de contur este atunci cand conturul C este cerc unitate (disc unitate adica are raza egala cu 1), RDC include cercul unitate, iar integrala de mai sus devine transformata Fourier inversa in timp discret:


TRANSFORMATE – Z rationale

Ca si la TL, TZ poate fi o functie rationala in z, adica:X(z) = N(z)/D(z), unde N(z) si D(z) sunt polinoame in

variabila complexa z, date de:

N(z) = bmzm + bm1zm1 +…..+b1z + b0, D(z) = zn + an1zn1 +….+a1z + a0

Daca se presupune ca X(z) este proprie, atunci avem n ≥ m. X(z) strict proprie, apoi polii si zerourile functiei rationale X(z), au

acelasi inteles ca si la TL. Daca X(z) este sub forma rationala, transformata z inversa x[n] se

poate calcula dezvoltand pe X(z) intro serie de puteri in z 1, impartind pe N(z) la D(z) prin impartire infinita (numita uneori si impartire sintetica, impartire lunga), valorile x[n] fiind coeficientii lui z n


CALCULAREA T.F., T.L. SI T-Z IN MATLAB(i)

In Symbolic Math Toolbox (TL directa si inversa): laplace – calculeaza transformata Laplace directa a unei functii in “t” si rezulta o

functie in “s” (cf. relatiei de definitie); Exemplul 1:

>> syms t % arata ca orice variabila indicata va fi % utilizata simbolic si nu ca o valoare numerica

% aici, f(t) = t (functia original)

>> f = tf =t>> laplace(f)ans =1/s^2


CALCULAREA T.F., T.L. SI T-Z IN MATLAB(ii)

In Symbolic Math Toolbox (TL directa si inversa):

ilaplace calculeaza transformata inversa Laplace a unei functii in “s” si rezulta o functie in “t” (cf. relatiei de definitie);

Exemplul 2:

>> syms s % arata ca orice variabila indicata va fi % utilizata simbolic si nu ca o valoare numerica

>> F=1/(s^2)F =1/s^2>> ilaplace(F)ans =t


CALCULAREA T.F., T.L. SI T-Z IN MATLAB(iii)

In Symbolic Math Toolbox (TF directa si inversa continua): fourier(x)- calculeaza transformata Fourier directa a unei

functii in timp continuu de “x” (variabila simbolica) si returneaza o functie in “w” (w = omega, deci, conform definitiei avem: f = f(x) F = F(w));↔

daca f = f(w), fourier returneaza o functie de “t”: F = F(t).

ifourier calculeaza transformata inversa Fourier a unei functii in “w” si rezulta o functie in “x” (cf. relatiei de definitie: F = F(w) f = f(x)). Aici, x este o variabila simbolica, la fel ↔“t”=timp;

daca functia F = F(x), ifourier returneaza o functie de “t”, adica: f = f(t)


CALCULAREA T.F., T.L. SI T-Z IN MATLAB(iv)

In Matlab (Transformata Fourier Discreta TFD):

Functiile X = fft(x) si x = ifft(X) – implementeaza perechea de transformate Fourier discrete directa si inversa date pentru vectorii de lungime “n” de relatiile (vezi si cursul trecut, unde exp(2πi/n) este a na radacina a unitatii):


CALCULAREA T.F., T.L. SI T-Z IN MATLAB(v)

In Symbolic Math Toolbox (Transformata z directa si inversa): ztrans – este transformata z directa a variabilei scalare simbolice in timp

discret (de variabila independenta n), in functia imagine de z, F(z): f=f(n) F ↔= F(z), conform cu comanda F = ztrans(f), respectiv relatia:

F(z) = f(n)/zn = f(n)*zn

Exemplul 3:>> syms n>> F = 2^n*nF =2^n*n>> ztrans(F)ans =1/2*z/(1/2*z1)^2

∑∞

0∑

∞

0


CALCULAREA T.F., T.L. SI T-Z CU MATLAB (IV)- (Tr-Z)

% Examplul 4. Se da sirul / secventa x(n) = anu(n), 0 < |a| < ∞, secventa numita o secventa in timp pozitiv. Se cere sa se determine transformata Z a secventei utilizand Matlab (calcul simbolic).

% X(z) utilizand ztrans% x(n) = a^nu(n)>> x = 'a^n';>> X = ztrans(x)_______________________________________


CALCULAREA T.F., T.L. SI T-Z IN MATLAB(vi)

In Symbolic Math Toolbox (Transformata z inversa):- iztrans – este transformata z inversa, adica f = iztrans(F) a

obiectului simbolic scalar F de variabila independenta z. Functia returnata este una de variabila independenta n, adica, f = iztrans(F)

Exemplul 5:>> syms z>> f = 2*z/(z2)^2f =2*z/(z2)^2>> iztrans(f)ans =2^n*n


CALCULAREA T.F., T.L. SI T-Z CU MATLAB (II)

Exemplul 6 (Matlabhelp). Sa se gaseasca componentele de frecventa ale unui semnal ‘innecat’(amestecat) cu un semnal zgomot, din domeniul timp. Se considera ca datele sunt esantionate la 1000 Hz.Semnalul contine componente de 50 Hz si 120 Hz si este amestecat cu zgomot aleator de medie zero.

>> zgomot aleator de medie zero: t = 0:0.001:0.6;>> x = sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);>> y = x + 2*randn(size(t));>> plot(1000*t(1:50),y(1:50))>> title('Semnal amestecat cu zgomot aleator de medie zero’)>> xlabel('timp (milisecunde)')_________________________________________________________>> frequency axis: f = 1000*(0:256)/512;>> plot(f,Pyy(1:257))>> title(‘Continutul de frecvente a lui y')>> xlabel(‘Frecventa (Hz)')


CALCULAREA T.F., T.L. SI T-Z CU MATLAB

(IIIc)-implementare Matlab Exemplul 7. Calculul exact si aproximativ al spectrului |F(ω)| (TF

adica), 6 pentru functia impuls de ordinul 2, data de: f(t) = 1 pentru 0 ≤ t ≤ 2 si f(t) = 0, in rest (IIIb).

>> N = 128; % Aproximarea e mai buna daca se mareste N (256,512) si/sau se micsoreaza T

>> T = 0.1;>> N = input (‘ Input N: ‘);>> T = input (‘InputT: ‘);>> t = 0:T:2;>> f = [ones(1, length(t))zeros(1,Nlength(t))]>> Fn = fft(f);>> gam = 2*pi/N/T;>> n = 0:10/gam;>> Fapp = (1exp(j*n*gam*T))/j/n/gam*Fn;>> w = 0:.05:10;>> Fexact = 2*sin(w)./ww;>> plot (n*gam,abs(Fapp(1:length(n))),’og’,w,abs(Fexact),’b’)


CALCULAREA T.F., T.L. SI T-Z CU MATLAB (II) (de refacut)REZERVE

Exemplele 8….13, cele sase date pentru “laborator” (laplace, ilaplace, ztrans, iztrans, fourier, ifourier), care utilizeaza calculul simbolic la calcularea transformatelor Fourier, Laplace si z


MATRICI

MATRICI Algebra matriceala Inversarea unei matrice Determinant, determinanti si matrici inverse Matrici transpuse Matrici bloc Puteri de matrici, polinoame matriceale


ALGEBRA LINEARA(I)

Spatii vectoriale Definitii, exemple, proprietati Functii lineare Norme diverse Produs scalar

Ecuatii lineare (EL) Unicitatea si existenta solutiilor Solutia EL Aproximarea solutiilor Pseudoinversa unei matrice


ALGEBRA LINEARA(II)

Valori proprii si vectori proprii Definitii, proprietati Baze cu vectori proprii, diagonalizare Valori proprii, proprietati

Forma (canonica) Jordan, similaritatea matricelor Descompunerea in valori singulare (DVS) Algebra lineara si Matlab


VARIABILE COMPLEXE Numere complexe (NC) (algebra, conjugarea, modulul si

reprezentare geometrica a NC); Functii complexe (ecuatii diferentiale CauchyRiemann,

poli si zerouri, functii rationale (dezvoltarea in fractii partiale simple, formula lui Lucas, functii meromorfe), dezvoltarea functiilor in serii de puteri)

Integrale complexe (teorema lui Cauchy, principiul argumentului (criteriul de stabilitate Nyquist), teorema reziduurilor).

Aplicatii/ reprezentari/ mapari (=mappings) conforme (transformari bilineare (sau transformari fractionare lineare), exemple)


ULTIMUL SLIDE: TC3 pentru data viitoare

Tema de casa 5 (TC5):

Sa se execute utilizand Matlab, toate exemplele de mai sus (13), date pentru transformatele Fourier, Laplace si z, utilizand atat calculul numeric cat si calculul simbolic)

Multumesc, saptamana viitoare!


Recapitulare titluri teme de casa (TC):

TC1: 5 pag cu 10 functii diferite Matlab, la alegere; cate o functie pe ½ pagina (la imprimanta!), dar, chestiuni diferite cu ACEEASI functie

TC2: 6 pag cu 6 functii simbolice diferite, la alegere, cate o functie pe pagina (la imprimanta!), dar, chestiuni diferite cu ACEEASI functie.

TC3: 10 pag cu functiile fft, ifft (tr. Fourier a unei secvente), si functiile bartlett; blackman; blackmanharis; hann; chebwin; kaiser; tukeywin; rectwin; gausswin; bohmanwin (TF directa si inversa cu ferestre diverse pe timp scurt)

TC4: Modificarea, adaugarea, revizuirea functiei “why” din MATLAB, pentru a se potrivi gusturilor dvs. proprii (elev ajuns student: glumet; serios; neserios; cercetator; informatician; automatist; meticulos; bigot; amic/fiu/ fiica bun/ rau; visator; romantic; educat; cult; civilizat… etc)

TC5: Cele 13 exemple de mai sus, visàvis de transformatele Laplace, Fourier si z

Date post:	06-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	ngothuan
View:	251 times
Download:	0 times

MODELAREA PROCESELOR FIZICO-CHIMICEmpfc.solidsoftsolutions.com/files/MPFC, C5-v.2_noe.2009-32-...

Documents