Mihai TARCOLEA

1

Capitolul 3 - Modelarea matematic prin experiment activ

Metodele de modelare empiric analizate anterior presupun analiza statistic a datelor experimentale, obinute prin variaia factorilor la niveluri stabilite intuitiv, pe baza experienei anterioare a cercettorului. Aceste metode de cercetare (denumite generic experiment pasiv) presupun modificarea pe rnd a fiecrui factor, meninndu-i constani pe toi ceilali, precizia metodei crescnd cu creterea numrului observaiilor efectuate. Modalitatea de experimentare menionat presupune o serie de inconveniente:

- necesit un volum mare de munc (de exemplu, pentru a analiza influena compoziiei chimice a unui oel asupra clibilitii sale, considernd doar 5 elemente chimice principale, ce variaz doar pe trei niveluri - minim, mediu, maxim -, fr a modifica temperatura de nclzire n vederea clirii, durata de meninere sau viteza de rcire, numrul de experiene necesare este: N = mk = 35 = 243);

- are eficacitate relativ, deoarece evoluia procesului nu poate fi apreciat dect n limitele modificrii parametrilor;

- analiza de regresie poate fi aplicat abia dup efectuarea tuturor experienelor; - modelul matematic obinut are o utilitate redus pentru problemele de optimizare,

cci, avnd valabilitate doar n limitele modificrii parametrilor, uneori nu poate fi folosit pentru gsirea condiiilor optime de desfurare a procesului, acestea putndu-se gsi n afara limitelor n care au fost efectuate experienele.

Experimentul activ, care presupune planificarea experienelor, utilizeaz metodele statistice n toate fazele cercetrii:

- naintea desfurrii experienelor, prin stabilirea numrului necesar i suficient (minim) de experiene i a condiiilor de desfurare a acestora;

- n timpul desfurrii experimentului. pentru prelucrarea datelor experimentale n vederea obinerii ecuaiei de regresie ce reprezint, cu un grad de aproximaie cunoscut i acceptat, modelul procesului;

- dup efectuarea experimentului, prin determinarea condiiilor de realizare a valorii optime a performanei procesului analizat. 3.1. Programarea experimentului pentru rezolvarea problemelor extremale

Cele mai eficace metode de programare a experimentului sunt cele de rezolvare a problemelor extremale, care presupun determinarea nivelurilor factorilor de influen x1, x2, ..., xk pentru care funcia obiectiv y = f(x1,x2,...,xk) are o valoare extrem (maxim sau minim), precum i calculul acestei valori. Astfel, n cazul experimentului activ, modelarea nu mai poate fi separat de optimizare.

Relaia de regresie y = f(x1,x2,...,xk) va descrie n spaiul factorial (multidimensional) aa numita suprafa de rspuns. Forma general a acestei dependene, bazat pe acceptarea ideii c efectele factorilor i a interaciunilor lor sunt cumulative, este:

y b b x b x x b x b x x x b xi ii

k

i j i j i i ii

k

i ji j

k

i j l ii j li j l

k

j l i i i i i ii

k= + + + + + +

= == = = 0

1

2

11 1

3

1, , ,K

Deoarece metoda pe care o analizm nu presupune determinarea unui model general, valabil pe domenii largi de variaie a factorilor, ci doar gsirea extremului funciei, pe baza aprecierii relativ exacte a suprafeei de rspuns n zona acestuia, din forma general de mai sus se utilizeaz doar termeni n cel mult xi2, pe considerentul c aproximaia cu o form parabolic este deplin satisfctoare pe domenii mici de variaie a factorilor. Un alt argument n utilizarea acestei aproximri este i acela c extremul cutat va fi foarte lesne de determinat pentru o form de tip parabolic. Ca urmare, modelul de mai sus este utilizat n forma:

Mihai TARCOLEA

2

x1 ()

x2 (T)

S6

S14 S13

S12 S11

S10 S9

S8 S7

S5

S4 S3

S2

S1 A

C

B

1

1211

109

6

8

5

4 3

2 1

2 7

y b b x b x x b xi ii

k

i j i ji ji j

k

i i ii

k= + + +

= = = 0

1 1

2

1,

Gsirea extremului funciei obiectiv se realizeaz prin parcurgerea ctorva faze succesive:

- n prima etap se efectueaz o serie de experiene, variind dintr-o dat toi factorii (ceea ce micoreaz numrul total de determinri), cercettorul cutnd doar direcia de deplasare ctre extrem, prin stabilirea, cu o anumit aproximaie, doar a prii liniare a funciei:

y b b x b x b xk k= + + + + 0 1 1 2 2 K ; - utiliznd n continuare modelul liniar determinat, se realizeaz deplasarea ctre

extrem (pe direcia gradientului acestuia), prin experiene intuitive (calcule) i verificri reale, att timp ct valorile calculate cu aproximaia liniar corespund ca evoluie cu verificrile experimentale reale;

- atunci cnd verificrile experimentale arat c modelul aproximativ nu mai corespunde, se efectueaz o nou serie de experiene, de asemenea prin modificarea simultan a tuturor factorilor, determinndu-se un nou model liniar aproximativ:

y b b x b x b xk k= + + + + 0 1 1 2 2 K ; urmnd o nou serie de deplasri pe gradientul noii aproximri liniare a funciei y;

- procesul de cutare nceteaz n vecintatea optimului (extremului) cutat, unde se formuleaz o nou serie de experiene, din care se va determina o aproximaie neliniar a funciei y (un model de ordinul II, satisfctor pe domenii restrnse), dup care se vor determina condiiile de atingere a extremului funciei obiectiv (valorile corespunz-toare ale variabilelor x1, x2, ..., xk) i valoarea acestui extrem.

n cazul acestei metode este remarcabil faptul c, n toate momentele n care trebuie fcut vreo alegere n privina programului de experimentare, exist criterii obiective prin care decizia poate fi luat cu o eroare minim, acceptat i cunoscut. Avantajele metodei experimentului programat vor fi puse mai uor n eviden printr-o

comparaie cu experimentul clasic, n cazul rezolvrii a-celeiai probleme: determi-narea extremului (minimului) funciei obiectiv y a unui proces metalurgic (rezistena la deformare a unui material supus deformrii plastice la cald), ce depinde de dou variabile x1 (gradul de deformare aplicat) i x2 (temperatura la care se realizeaz deformarea plastic). Forma real a dependenei y = f(x1,x2), necunoscut iniial cercettorului, apare n figur sub forma unor curbe

de nivel. Pentru a rezolva problema prin experiment pasiv, cercettorul, pornind din punctul S1, va modifica pe rnd cte un factor, meninndu-l constant pe cellalt, stabilind intuitiv

Mihai TARCOLEA

3

deplasrile ce urmeaz a fi efectuate. Va parcurge, spre exemplu, traseul S1S2, efectund experiene succesive, oprindu-se atunci cnd constat c modificarea n continuare a variabilei x2 l ndeprteaz de scopul urmrit (obinerea unor valori ct mai mici ale funciei y). Apoi parcurge traseul S2S3, cnd modific variabila x1, dup care urmeaz succesiv traseele: S3S4, S4S5, S5S6, ..., S12S13, S13S14, cutarea ncetnd aproximativ n zona extremului.

Rezolvarea aceleiai probleme prin experiment activ este mult mai rapid. n punctul iniial A (identic cu S1) se efectueaz o singur serie de experiene (n numr de 4, pentru acest caz cu dou variabile independente), din care devine posibil determinarea unei aproximri liniare ce furnizeaz direcia de deplasare ctre zona extremului (1):

y b b x b x b xk k= + + + + 0 1 1 2 2 K . Se efectueaz apoi deplasri succesive pe aceast direcie, prin calcul i cu

verificri experimentale, pn cnd se constat c deplasarea, pe gradientul aproximrii liniare 1, nu mai corespunde scopului urmrit (valorile experimentale ncep s creasc, n timp ce cele calculate scad continuu). n acest nou punct, B, se efectueaz o nou serie de 4 experiene, care vor determina noua aproximaie liniar:

y b b x b x b xk k= + + + + 0 1 1 2 2 K pe al crei gradient (2) se realizeaz o nou serie de deplasri prin calcul i cu verificri experimentale. i n acest caz deplasarea nceteaz cnd valorile calculate cu modelul liniar nu mai evolueaz similar cu cele experimentale. n noul punct de oprire, C, urmeaz efectuarea unei noi serii de experiene. Dac nu s-a ajuns nc n zona extremului, modelul liniar care se va determina va putea fi folosit pentru o nou deplasare pe direcia gradientului su. Dac ns punctul C este situat chiar n zona extremului funciei y, modelul liniar nu va mai fi compatibil cu datele experimentale (nu se va mai testa statistic), de unde se trage imediat concluzia poziionrii corecte n zona dorit. Pentru gsirea cu precizie a coordonatelor extremului i a valorii sale va fi necesar completarea ultimei serii de experiene cu cteva condiii suplimentare, devenind astfel posibil determinarea modelului neliniar (de ordinul II), ce reflect forma suprafeei de rspuns n zona limitrof extremului cutat. 3.2. Modele liniare (de ordinul l )

Stabilirea clar a scopului urmrit constituie primul pas n rezolvarea unor astfel de probleme de optimizare. Funcia obiectiv aleas trebuie s aib sens fizic, s poat fi exprimat numeric i s aib valori extreme. Alegerea factorilor de influen este de asemenea extrem de important, cci neglijarea unora din factorii cu influene determinante poate altera complet sensul optimului gsit.

Pentru fiecare factor de influen (variabil) se determin nivelul de baz X i o, care reprezint de fapt coordonatele punctului iniial A (sau S1) din spaiul factorial. De

asemenea se stabilesc intervalele de variaie Xi, cu ajutorul crora se vor determina coordonatele punctelor 1, 2, 3, 4 (vezi figura anterioar). Prin adugarea i scderea, la i respectiv din nivelul de baz, a valorii intervalului de variaie, se obin nivelurile superior i inferior ale fiecrui factor, care depind n mod evident de unitile de msur ale factorului analizat.

Pentru abstractizarea problemei, lucru care va conduce la avantaje n privina

uurinei calculelor, se prefer eliminarea influenei unitilor de msur, folosindu-se

X 2

X 1

A

X 0 2

X 0 1

4

2

3

1

Mihai TARCOLEA

4

variabile adimensionale: variabilele codificate xi. Acestea se calculeaz cu relaia:

xX X

Xii i

i= 0 ,

unde Xi ia respectiv valorile: X Xi i0 + = nivelul superior, X i0 = nivelul de baz i X Xi i0 = nivelul inferior.

Ca urmare, variabila codificat xi va avea valorile adimensionale corespunztoare: +1, 0, -1, iar poziionarea experienelor se face acum n colurile unui ptrat.

Intervalul de variaie trebuie s aib o valoare ct mai mic, deoarece probabilitatea unei aproximri liniare ct mai corecte crete cu micorarea intervalului de variaie. Pe de alt parte, intervalul de variaie trebuie s fie mai mare ca eroarea de msur a factorului respectiv. Se recomand ca valoarea X s nu depeasc dublul erorii medii (abaterii medii ptratice) n determinarea factorului respectiv. 3.2.1. Experiene factoriale complete (E.F.C.)

n stabilirea planului de experimentri trebuie s se in seama de necesitatea ca numrul de experiene s fie cel puin egal cu numrul de coeficieni ce trebuiesc determinai. Ca urmare, deoarece n prima faz scopul cercetrii este gsirea doar a unui model liniar:

y b b x b x b xk k= + + + +0 1 1 2 2 K , pentru care trebuiesc stabilite valorile celor (k+1) coeficieni de regresie, numrul de experiene efectuate va fi: N = mk k+1, unde m este numrul nivelurilor pe care variaz factorii, iar k numrul factorilor analizai. Variind fiecare factor la nou niveluri, +1 i -1, se vor efectua: N = 2k experiene, numr ce respect condiia impus. Se poate constata ns c, o dat cu creterea numrului factorilor, numrul experienelor ce trebuiesc efectuate crete mult n raport cu numrul coeficienilor ce trebuiesc determinai:

22 = 4 > 2+1, 23 = 8 > 3+1, 24 = 16 > 4+1, 25 = 32 > 5+1. Experimentul care realizeaz toate combinaiile de niveluri ale factorilor se numete

Experiment Factorial Complet (EFC). Desfurarea experienelor este ilustrat de matricea experimentului programat.

Aceasta este compus din linii ce corespund condiiilor de realizare a fiecrei experiene i respectiv coloane ce corespund valorilor codificate ale factorilor de influen, la care se adaug coloana rezultatelor experimentale (valorile corespunztoare y).

Matricea experimentului factorial complet 22 este: Nr. exp. x1 x2 y

1 +1 +1 y1 2 -1 +1 y2 3 +1 -1 y3 4 -1 -1 y4

Coeficienii modelului matematic sunt denumii efecte, ei putnd fi de mai multe feluri: - efecte de baz (liniare): b1, b2, ..., bk, - efecte de interaciune: - binar: b12, b13, b23, ..., - ternar: b123, b124, b234, ...,

1

1

O

x 2

x 1

4

2

3

1 (+1,-1)

(0,0)

(-1,+1) (-1,-1)

(+1,+1)

Mihai TARCOLEA

5

- cuaternar: b1234, b1235, ..., etc., - efecte de ordin superior: - ptratice: b11, b22, b33, ..., - cubice: b111, b222, ..., etc.

Aa cum s-a menionat anterior, metoda de cercetare prezentat presupune determinarea cel mult a unor modele ce conin efecte ptratice. n afara acestor efecte, n modelul matematic apare i b0, termenul liber.

Condiia de stabilire a numrului necesar i suficient de experiene poate fi interpretat i prin consecina sa: numrul maxim de coeficieni ai modelului matematic care pot fi determinai prin EFC este cel mult egal cu numrul experienelor efectuate.

Deoarece ntotdeauna N > k +1, rezult imediat concluzia c devine posibil calcularea i a unor alte efecte, dect cele liniare, nc din prima faz a cercetrii, acestea fiind tocmai efectele de interaciune. O verificare pe doar cteva situaii va evidenia c EFC 2k permite determinarea tuturor efectelor de interaciune dintre factori:

EFC 22: N - (k+1) = 1 b12;

EFC 23: N - (k+1) = 4 b12, b13, b23, b123;

EFC 24: N - (k+1) =11 b12, b13, b14,b23, b24, b34, b123, b124, b134, b234, b1234.

Pentru calculul modelului complet (cu interaciuni) se utilizeaz matricea lrgit a experimentului factorial complet:

Nr. exp. x1 x2 x1x2 y 1 +1 +1 +1 y1 2 -1 +1 -1 y2 3 +1 -1 -1 y3 4 -1 -1 +1 y4

Coloana corespunztoare interaciunii reprezint tocmai valoarea produsului corespunztor nivelurilor celor doi factori i ea nu afecteaz n nici un fel desfurarea experienelor.

Matricea lrgit a unui experiment EFC 23 va avea aspectul urmtor: Nr. exp. x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1x2x3 y

1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y1 2 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 y2 3 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 y3 4 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y4 5 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 y5 6 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y6 7 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y7 8 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 y8

Caracteristic experimentului factorial complet este faptul c n fiecare experien situaiile sunt distincte, att din punctul de vedere al factorilor, ct i din cel al interaciunilor dintre acetia, fiecare condiie de desfurare a experienelor fiind diferit de toate celelalte.

Mihai TARCOLEA

6

3.2.2. Proprietile matricelor factoriale Datorit modului n care sunt construite, matricele factoriale au urmtoarele

proprieti (i, j = 1, .., k; i j): 1. Simetria fa de centrul experimentului: xi u

u

N

= =

10 ;

2. Normalitatea: x Ni uu

N2

1= = ;

3. Ortogonalitatea: x xi u ji uu

N =

=

10 ;

4. Rotabilitatea, determinat de celelalte trei proprieti, conform creia modelul matematic obinut permite determinarea funciei obiectiv cu aceeai precizie, la distane egale de centrul experimentului, indiferent de direcie.

Considernd un model liniar de forma:

y b b x b x b xk k= + + + +0 1 1 2 2 K , acesta poate fi scris n form matriceal:

Y X B= unde: Y = matricea rezultatelor experimentale - Y(N,1);

B = matricea coeficienilor de regresie - B(k+1,1); X = matricea condiiilor experimentale - X(N, k+1).

Dac modelul matematic liniar este compatibil cu datele experimentale, el va trebui s verifice aceste date i deci:

y b b x b x b xy b b x b x b x

y b b x b x b x

k k

k k

N N N k kN

1 0 1 11 2 21 1

2 0 1 12 2 22 2

0 1 1 2 2

= + + + += + + + +

= + + + +

KK

LK

Pentru a putea determina i coeficientul b0 se introduce o variabil artificial x0, care se afl n toate experienele pe acelai nivel (+1), astfel nct modelul liniar devine:

y b x b x b x b xk k= + + + +0 0 1 1 2 2 K . Sistemul de ecuaii de mai sus, transcris n form matriceal, devine:

yyy

y

x x x xx x x xx x x x

x x x x

bbb

bN

k

k

k

N N N kN k

1

2

3

01 11 21 1

02 12 22 2

03 13 23 3

0 1 2

0

1

2

L

LLL

L L L L LL

L

=

Pentru calculul vectorului B, care conine valorile coeficienilor de regresie, se aplic urmtorul algoritm:

1. ( )X Y X X BT T = - prin amplificarea la stnga cu transpusa XT obinem o matrice diagonal simetric, cu dimensiunile (k+1, k+1).

2. ( ) ( ) ( ) ( )X X X Y X X X X BT T T T = 1 1 - prin amplificarea la stnga cu inversa matricei (XTX), se obine n membrul drept matricea unitate E:

Mihai TARCOLEA

7

( ) ( )X X X X ET T = =

1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

0 0 0 1

LLL

L L L L LL

.

3. Se obine astfel rezultatul:

( ) ( )X X X Y BT T =1 . Semnificaiile notaiilor de mai sus sunt explicate n continuare, pentru o matrice

ptratic ( )A ai j= . ( )A aT j i= este transpusa matricei A.

A AA

=1det

este inversa matricei A.

( )A Ai j = este adjuncta matricei A. Ai j este complementul algebric al elementului ai j . det A este determinantul matricei A.

Calculul coeficienilor de regresie este exemplificat pentru un model liniar cu doi factori (k=2). Modelul cutat este n aceast situaie:

y b b x b x= + +0 1 1 2 2 . Pe baza algoritmului prezentat anterior, se obine succesiv:

X =+ + ++ ++ + +

1 1 11 1 11 1 11 1 1

Bbbb

=

0

1

2

Y

yyyy

=

1

2

3

4

XT =+ + + ++ + + +

1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

X XT =+ + + ++ + + +

+ + ++ ++ + +

=

1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1 1 11 1 11 1 11 1 1

4 0 00 4 00 0 4

( )det X XT = 64 ( )X XT =

16 0 00 16 00 0 16

( ) ( )( )X XX X

X XT

T

T = =

11 4 0 00 1 4 00 0 1 4det

Mihai TARCOLEA

8

( ) ( )( )( )X Yyyyy

y y y yy y y yy y y y

T =+ + + ++ + + +

=

+ + + + +

1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1

2

3

4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

( )( )( )

( )( )( )

By y y yy y y yy y y y

y y y y

y y y y

y y y y

=

+ + + + +

=

+ + +

+

+

1 4 0 00 1 4 00 0 1 4

4

4

4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

i deci coeficienii de regresie sunt:

b y y y y0 1 2 3 44= + + + b y y y y1 1 2 3 44=

+ b y y y y2 1 2 3 44=+

Relaiile de calcul pentru cazul general cu k factori se deduc astfel:

( )

20u

u21u

u1T 2

2uu

2ku

u

1 x 0 0 01N 0 0 0

0 1 x 0 00 1N 0 0

X X 0 0 1N 0 0 0 1 x 0

0 0 0 1N0 0 0 1 x

= =

LL

LLL L

L L L L LL L L L LL L

Aceast relaie reflect de fapt condiia de ortogonalitate, care face ca matricea (XTX)-1 s fie o matrice diagonal i ca urmare calculul coeficienilor de regresie se face, pentru fiecare din acetia, n mod independent.

n consecin, dac s02 este dispersia rezidual (experimental), dispersia n calculul oricrui coeficient de regresie va fi:

s sx

sNb i u

u

i2 0

2

202

= = i, datorit condiiei de ortogonalitate, rezult c toi coeficienii sunt determinai cu aceeai precizie. De aici apare proprietatea de rotabilitate a modelului.

( )X Yx y

x y

x y

x y

T

u uu

u uu

u uu

k u uu

=

0

1

2

L

i deci: B

bbb

b

x y x

x y x

x y x

x y xk

u uu

uu

u uu

uu

u uu

uu

k u uu

k uu

=

=

0

1

2

0 02

1 12

2 22

2

L L

sau:

Mihai TARCOLEA

9

bx y

x

x y

Nii u u

u

N

i uu

N

i u uu

N

=

=

=

=

=

1

2

1

1 , unde i k= 0 1, , ,K .

n concluzie se poate afirma c experimentul programat (experienele factoriale) ofer posibilitatea efecturii unui numr minim de determinri, din care se pot calcula, printr-o procedur extrem de simpl, coeficienii de regresie ai unui model liniar. Este evident c, pentru a putea beneficia de avantajele prezentate, trebuiesc ndeplinite i anumite condiii, fr de care modelul matematic nu va satisface condiia de compatibilitate:

- valorile experimentale y trebuiesc determinate cu precizia maxim posibil de realizat cu aparatele de msur existente;

- condiiile experimentale x1, x2, ..., xk trebuiesc riguros respectate, deoarece orice abatere n condiiile experimentale implic pierderea sensului modelului matematic determinat, calculul coeficienilor de regresie neinnd n nici un fel seama de eventualele nerespectri ale nivelurilor de variaie a factorilor. 3.2.3. Experiene factoriale fracionate (E.F.F.)

Cu creterea numrului factorilor, numrul experienelor ce trebuiesc efectuate crete foarte mult n raport cu numrul coeficienilor modelului liniar, necesar n prima faz a cercetrii. La nceputul cercetrii nu se cunoate zona n care suprafaa de rspuns atinge optimul (extremul), motiv pentru care sunt necesare informaii generale asupra evoluiei fenomenului, fr o precizie deosebit (modelul liniar). Deoarece EFC permite i calculul efectelor de interaciune, apare posibilitatea reducerii numrului de experiene, eliminndu-le pe acelea care poart efectele interaciunilor factorilor.

Considernd cazul EFC 22, putem plasa n matricea de experimentare un la treilea factor x3, care n privina nivelurilor de variaie se va identifica cu interaciunea x1x2, ceea ce ne permite determinarea unui model liniar de forma:

y b b x b x b x= + + +0 1 1 2 2 3 3 , prin efectuarea a 4 = 23-1 experiene n loc de 8 = 23.

Matricea corespunztoare acestui experiment se numete semireplica experimentului factorial fracionat (EFF) 23-1 i este prezentat n tabelul urmtor:

Nr. exp. x1 x2 x3 = x1x2 y 1 +1 +1 +1 y1 2 -1 +1 -1 y2 3 +1 -1 -1 y3 4 -1 -1 +1 y4

Factorul independent x3 se modific de aceast dat la niveluri impuse de variaia interaciunii x1x2. Dac vom analiza interaciunile x1x3 i x2x3, vom constata c ele evolueaz ca i factorii x2, respectiv x1.

Din acest motiv prin EFF 23-1 nu se vor putea obine valorile coeficienilor modelului liniar ca reprezentri ale influenei separate ale fiecrui factor, ci fiecare coeficient se va compune din efectul de baz al factorului respectiv i efectul de interaciune al celorlali doi factori:

b1=1+23 b2=2+31 b3=3+12 i, mai mult, aceste efecte nu vor putea fi separate. Avnd ns n vedere c efectele de baz sunt preponderente n raport cu cele de interaciune, pentru prima faz a cercetrii aproximarea este satisfctoare.

Mihai TARCOLEA

10

Caracterizarea EFF se face cu ajutorul contrastului determinant, care deriv din raportul generator.

Astfel, pentru semireplica EFF 23-1, raportul generator este: x x x3 1 2= .

Dac aceast relaie se amplific cu x3, innd cont i de faptul c n orice experien x3

2 1= , rezult expresia contrastului determinant al EFF 23-1: 1 1 2 3= x x x

Contrastul determinant este cel care ne permite s identificm ce efecte sunt combinate, prin amplificare pe rnd cu fiecare factor:

x x x x x x b1 12

2 3 2 3 1 1 23= = = + x x x x x x b2 1 2

23 1 3 2 2 31= = = +

x x x x x x b3 1 2 32

1 2 3 3 12= = = + Folosind un EFF pentru a gsi un model cu 4 factori, putem efectua doar N=24-1=8

experiene, n loc de 24=16 experiene necesare n cazul EFC. Semireplicile posibil de utilizat sunt dou n acest caz, n funcie de rapoartele

generatoare folosite, factorul x4 putnd evolua fie pe nivelurile interaciunii ternare, fie pe cele ale unei interaciuni binare:

1) x x x x x x x x4 1 2 3 1 2 3 41= = 2) x x x x x x4 1 2 1 2 41= = Cele dou semireplici sunt prezentate n tabelele urmtoare:

EFC 24-1, 1= x1x2x3x4 EFC 24-1, 1= x1x2x4 Nr.

exp. x0 x1 x2 x3 x4 y Nr.

exp. x0 x1 x2 x3 x4 y

1 +1 +1 +1 +1 +1 y1 1 +1 +1 +1 +1 +1 y1 2 +1 -1 +1 +1 -1 y2 2 +1 -1 +1 +1 -1 y2 3 +1 +1 -1 +1 -1 y3 3 +1 +1 -1 +1 -1 y3 4 +1 -1 -1 +1 +1 y4 4 +1 -1 -1 +1 +1 y4 5 +1 +1 +1 -1 -1 y5 5 +1 +1 +1 -1 +1 y5 6 +1 -1 +1 -1 +1 y6 6 +1 -1 +1 -1 -1 y6 7 +1 +1 -1 -1 +1 y7 7 +1 +1 -1 -1 -1 y7 8 +1 -1 -1 -1 -1 y8 8 +1 -1 -1 -1 +1 y8

Rezultatele utilizrii acestor matrice sunt prezentate n continuare: Contrastul:

1= x1x2x3x4 1= x1x2x4

b1=1+234 b1=1+24 Efecte b2=2+134 b2=2+14 Liniare: b3=3+124 b3=3+1234 b4=4+123 b4=4+12 Efecte b12=12+34=b34 b31=31+234 Binare: b23=23+14=b14 b32=32+124 b31=31+24=b24 b34=34+123 Modelul y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4 y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+ b4x4+ obinut: +b31x1x3+b32x2x3+ b34x3x4Concluzii: - model liniar; - model cuprinznd interaciunile binare

ale factorului x3; - efectele liniare sunt relativ precise (se

combin cu efecte ternare mai slabe); - efectele liniare 1, 2, 4 au precizie mai mic;

- efectele binare nu pot fi separate. - efectul liniar 3 are o precizie deosebit.

Mihai TARCOLEA

11

Deci n cazul n care avem la dispoziie informaii suplimentare despre influena unuia din factorii analizai, l vom plasa n poziia x3, putnd astfel determina i interaciunile sale binare. Pe baza modelului neliniar obinut, este posibil tragerea unor concluzii ce conduc ulterior la simplificarea cercetrii.

n cazul creterii numrului factorilor este indicat utilizarea matricelor EFF 2k-p, la care diferena k-p (k este numrul factorilor analizai, iar p este numrul celor care evolueaz pe niveluri impuse) trebuie astfel aleas nct:

2 1k p k + .

Dac vom considera cazul EFF 27-3, avnd deci trei factori ce evolueaz pe niveluri impuse, devin posibile mai multe construcii ale semireplicii, dup cum sunt plasai cei trei factori. Astfel este posibil ca factorii x5, x6, x7 s fie plasai:

a) toi trei pe niveluri unor interaciuni binare; b) doi pe nivelurile unor interaciuni binare, iar cel de-al treilea pe cele ale unei

interaciuni ternare; c) doi pe nivelurile unor interaciuni binare, iar cel de-al treilea pe cele ale

interaciunii cuaternare; d) unul pe nivelurile unei interaciuni binare, ceilali doi pe cele ale unei interaciuni

ternare; e) unul pe nivelurile unei interaciuni binare, al doilea pe cele ale unei interaciuni

ternare, iar cel de-al treilea pe cele ale interaciunii cuaternare. f) toi trei pe niveluri interaciunilor ternare; g) doi pe nivelurile a dou interaciuni ternare, iar cel de-al treilea pe cele ale

interaciunii cuaternare. De exemplu, poziionrile se pot face aa cum sunt prezentate n continuare:

a) x5=x1x2, x6=x2x3, x7=x3x4; b) x5=x1x2, x6=x2x3, x7=x1x2x3; c) x5=x1x2, x6=x2x3, x7=x1x2x3x4; d) x5=x1x2, x6=x1x2x3, x7=x2x3x4; e) x5=x1x2, x6=x1x2x3, x7=x1x2x3x4; f) x5=x1x2x3, x6=x1x2x4, x7=x2x3x4; g) x5=x1x2x3, x6=x1x2x4, x7=x1x2x3x4.

Aa cum se poate lesne observa, de aceast dat avem la dispoziie mai multe contraste determinante pentru aceeai semireplic (numrul acestora fiind egal cu p, numrul variabilelor ce evolueaz pe niveluri impuse): a) 1 = x1x2x5 = x2x3x6 =x3x4x7; b) 1 = x1x2x5 = x2x3x6 = x1x2x3x7; c) 1 = x1x2x5 = x2x3x6 = x1x2x3x4x7; d) 1 = x1x2x5 = x1x2x3x6 = x2x3x4x7; e) 1 = x1x2x5 = x1x2x3x6 = x1x2x3x4x7; f) 1 = x1x2x3x5 = x1x2x4x6 = x2x3x4x7; g) 1 = x1x2x3x5 = x1x2x4x6 = x1x2x3x4x7.

Pentru a caracteriza complet semireplicile de acest tip se utilizeaz contrastul determinant generalizat. Acesta se obine din expresiile contrastelor determinante nmulite ntre ele cte dou, apoi cte trei, ... i n final cte p: a) 1 = x1x2x5 = x2x3x6 =x3x4x7= x1x3x5x6 = x2x4x6x7 = = x1x4x5x6x7 = x1x2x3x4x5x7; b) 1 = x1x2x5 = x2x3x6 = x3x5x7 = x1x6x7 = x1x2x3x7 = = x1x3x5x6 = x2x5x6x7; c) 1 = x1x2x5 = x2x3x6 = x1x3x5x6 = x3x4x5x7 = x1x4x6x7 =

Mihai TARCOLEA

12

= x1x2x3x4x7 = x2x4x5x6x7; d) 1 = x1x2x5 = x3x5x6 = x1x2x3x6 = x2x3x4x7 = x1x4x6x7 = = x1x3x4x5x7 = x2x4x5x6x7; e) 1 = x1x2x5 = x3x5x6 = x4x6x7= x1x2x3x6 = x3x4x5x7 = = x1x2x3x4x7 = x1x2x4x5x6x7; f) 1 = x1x2x3x5 = x1x2x4x6 = x2x3x4x7 = x3x4x5x6 = x1x4x5x7 = = x1x3x6x7 = x2x5x6x7; g) 1= x4x5x7 = x3x6x7 = x1x2x3x5 = x1x2x4x6 = x3x4x5x6 = = x1x2x3x4x7 = x1x2x5x6x7.

Aceste contraste generalizate sunt cele care definesc toate combinaiile de efecte ce apar n expresiile coeficienilor de regresiei. Analiznd aceste combinaii de efecte se poate apoi alege varianta cea mai potrivit scopului urmrit. Pentru situaiile analizate, combinaiile de efecte ce apar n coeficienii de regresie sunt respectiv: a) b1=1+25+356+1236+1347+4567+12467+23457; b2=2+15+36+467+2347+12356+13457+124567; b3=3+26+47+156+1235+23467+12457+134567; b4=4+37+267+1245+1567+2346+12357+13456; b5=5+12+136+1467+2356+3457+12347+24567; b6=6+23+135+247+1256+1457+3467+1234567; b7=7+1257+1467+2356+3457+12347+13567+24567; b) b1=1+25+67+237+356+1236+1357+12567; b2=2+15+36+137+567+1267+2357+12356; b3=3+26+57+127+156+1235+1367+23567; b4=4+1245+1467+2346+3457+12347+13456+24567; b5=5+12+37+136+267+1567+2356+12357; b6=6+17+23+135+257+1256+3567+12367; b7=7+16+35+123+256+1257+1356+2367; c) b1=1+25+356+467+1236+2347+13457+124567; b2=2+15+36+1347+4567+12356+23457+12467; b3=3+26+156+457+1235+1247+13467+234567; b4=4+357+167+1245+1237+2346+2567+13456; b5=5+12+136+347+2467+2356+14567+123457; b6=6+23+135+147+1256+2457+34567+123467; b7=7+146+345+1234+1257+2367+2456+13567; d) b1=1+25+236+467+1356+12347+23457+124567; b2=2+15+136+347+2356+4567+12467+123457; b3=3+56+126+247+1235+1457+13467+234567; b4=4+167+237+1245+1357+2567+3456+12346; b5=5+12+36+1347+2467+12356+14567+23457; b6=6+36+123+147+1256+2457+23467+134567; b7=7+146+234+1257+1345+2456+3567+12367; e) b1=1+25+236+1356+1467+2347+13457+24567; b2=2+15+136+1347+2356+2467+14567+23457; b3=3+56+126+457+1235+1247+3467+1234567; b4=4+67+357+1237+1245+3456+12346+12567; b5=5+12+36+347+4567+12356+12467+123457; b6=6+35+47+123+1256+12457+34567+123467; b7=7+46+345+1234+1257+3567+12367+12456; f) b1=1+235+246+367+457+12347+12567+13456;

Mihai TARCOLEA

13

b2=2+135+146+347+567+12367+12457+23456; b3=3+125+167+247+456+12346+13457+23567; b4=4+126+157+237+356+12345+13467+24567; b5=5+123+147+257+346+12456+13567+23457; b6=6+124+137+257+345+12356+14567+23467; b7=7+136+145+234+256+12357+12467+34567; g) b1=1+235+246+1367+1457+2347+2567+13456; b2=2+135+146+1347+1567+2457+2367+23456; b3=3+67+125+456+1247+3457+12346+123567; b4=4+57+126+356+1237+3467+12345+124567; b5=5+47+123+346+1267+3567+12456+123457; b6=6+37+124+345+1257+4567+12356+123467; b7=7+36+45+1234+1256+12357+12467+34567.

Dup cum se poate remarca din relaiile de mai sus, precizia cu care sunt calculai coeficienii de regresie difer de la o variant de experimentare la alta. De exemplu n cazul (a) coeficientul b7 este determinat cu o precizie bun, iar b2 i b3 cu una ceva mai slab dect restul coeficienilor, n cazul (b) coeficientul b4 este singurul determinat cu precizie deosebit de bun, ceilali fiind determinai cu o precizie egal, dar mai slab, n timp ce n cazul (f) toi coeficienii sunt calculai toi cu aceeai precizie.

n mod evident i matricele de experimentare vor avea aspecte diferite pentru fiecare situaie, aa cum se poate remarca din exemplele urmtoare: a) x5=x1x2, x6=x2x3, x7=x3x4; b) x5=x1x2, x6=x2x3, x7=x1x2x3;

Nr x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Nr x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 2 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 2 -1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 3 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 3 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 4 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 4 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 5 +1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 5 +1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 6 -1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 6 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 7 +1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 7 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 8 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 8 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 9 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 9 +1 +1 +1 -1 +1 +1 +1

10 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 10 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 11 +1 -1 +1 -1 -1 -1 -1 11 +1 -1 +1 -1 -1 -1 -1 12 -1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 12 -1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 13 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 13 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 14 -1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 14 -1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 15 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 15 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 16 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 16 -1 -1 -1 -1 +1 +1 -1

c) x5=x1x2, x6=x2x3, x7=x1x2x3x4; d) x5=x1x2, x6=x1x2x3, x7=x2x3x4; Nr x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Nr x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 2 -1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 2 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 3 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 3 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 4 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 4 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 5 +1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 5 +1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 6 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 6 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 7 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 7 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 8 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 8 -1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 9 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 9 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1

Mihai TARCOLEA

14

10 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 10 -1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 11 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 11 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 12 -1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 12 -1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 13 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 13 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 14 -1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 14 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 15 +1 -1 -1 -1 -1 +1 -1 15 +1 -1 -1 -1 -1 +1 -1 16 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 16 -1 -1 -1 -1 +1 -1 -1

e) x5=x1x2, x6=x1x2x3, x7=x1x2x3x4; f) x5=x1x2x3, x6=x1x2x4, x7=x2x3x4; Nr x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Nr x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 2 -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 2 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 3 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 3 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 4 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 4 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 5 +1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 5 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 6 -1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 6 -1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 7 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 7 +1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 8 -1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 8 -1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 9 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 9 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1

10 -1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 10 -1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 11 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 11 +1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 12 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 12 -1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 13 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 13 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 14 -1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 14 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 15 +1 -1 -1 -1 -1 +1 -1 15 +1 -1 -1 -1 -1 +1 -1 16 -1 -1 -1 -1 +1 -1 +1 16 -1 -1 -1 -1 +1 -1 -1

g) x5=x1x2x3, x6=x1x2x4, x7=x1x2x3x4. Nr x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 2 -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 3 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 4 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 5 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 6 -1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 7 +1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 8 -1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 9 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1

10 -1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 11 +1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 12 -1 -1 +1 -1 -1 -1 -1 13 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 14 -1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 15 +1 -1 -1 -1 -1 +1 -1 16 -1 -1 -1 -1 +1 -1 +1

Mihai TARCOLEA

15

3.3. Conducerea experimentului i analiza rezultatelor obinute Dup stabilirea matricei de experimentare i realizarea experienelor la nivelurile

stabilite, este necesar determinarea dispersiei reziduale a datelor obinute s02, elementul care st la baza tuturor testrilor necesare pentru analiza efectuat. Aceasta se apreciaz pe baza rezultatelor unor experiene realizate, toate, n condiii identice (experiene paralele). Dac se efectueaz n experiene paralele n fiecare condiie experimental din matrice, se determin dispersii reziduale n fiecare punct cu relaia:

( )s

y y

nu

uj uj

n

02

2

1

1=

=

,

unde: u este numrul experienei din matrice, iar j numrul determinrii repetate. Dac dispersiile obinute n toate cele N condiii experimentale sunt omogene (statistic egale), dispersia rezidual se determin ca media lor:

ss

N

uu

N

02

02

1= =

.

Testarea omogenitii dispersiilor se poate face, de exemplu, cu testul F, dar se pot aplica i alte variante (testul de rang Crochan, etc.).

De obicei se prefer ns determinarea erorii cauzate de factorii aleatori (eroarea experimental sau rezidual) prin efectuarea unui numr de n experiene paralele ntr-un singur punct, ales, din motive de simetrie, n centrul experimentului. Aceast variant reduce semnificativ numrul experienelor paralele i ca urmare:

( )s

y y

n

jj

n

02

2

1

1=

=

.

3.3.1. Calculul coeficienilor modelului i verificarea statistic a acestora

Coeficienii modelului matematic se determin cu relaia:

bx y

xi

iu uu

N

iuu

N=

=

=

1

2

1

, n care: i k= 0 1, , ,K .

n cazul n care sunt determinate i efecte de interaciune, acestea se calculeaz cu o relaie similar:

( )( )bx x y

x xi j

iu ju uu

N

iu ju uu

N=

=

=

1

2

1

, n care: ( )i j k i j, , , , ,= 0 1 K .

Aa cum a fost deja semnalat, dispersia n calculul coeficienilor este aceeai (cci fiecare coeficient este calculat independent de toi ceilali):

s sx

sNb iu

u

i2 0

2

202

= = .

Mihai TARCOLEA

16

Pentru ca un coeficient s fie statistic determinat trebuie ca valoarea sa s fie mare ca intervalul de ncredere corespunztor:

b bi i> , unde: b t si N bi= 2 1, , sau: t

bs

t tcalc ii

biT N= > = 2 1, .

Dac aceast condiie nu este ndeplinit, coeficientul n cauz este statistic nedeterminat i valoarea sa va fi 0, factorul sau interaciunea respectiv fiind deci neglijat n continuare (nu mai apare n expresia modelului matematic). 3.3.2. Verificarea compatibilitii modelului matematic

Aceast etap este necesar pentru a stabili dac modelul matematic determinat este satisfctor pentru studiul optimizrii procesului sau dac este necesar determinarea unui model de ordin superior.

Concordana (compatibilitatea) modelului cu datele experimentale se verific cu testul F, a crui valoare se determin cu:

F sscalcconc=2

02

,

unde: s2conc este dispersia de concordan a modelului cu datele experimentale (erorile de estimare ale modelului matematic liniar), iar s02 este dispersia rezidual (generat de erorile experimentale i factorii aleatori).

Dispersia de concordan se calculeaz cu:

( )s

y y

N lconcu u

u

N

2

2

1=

= ~

,

n care: ~yu este valoarea calculat cu modelul matematic n experiena u, yu este valoarea experimental corespunztoare, N este numrul experienelor din matrice, iar l este numrul coeficienilor de regresie statistic determinai. Este evident c valorile calculate ~yu se determin cu modelul rezultat dup testarea coeficienilor de regresie (deci dup eliminarea celor statistic nedeterminai).

Modelul matematic este compatibil cu datele experimentale dac i numai dac erorile introduse de acesta sunt mai mici sau cel mult egale cu cele experimentale. Altfel spus, modelul este compatibil doar dac dispersia de concordan este cel mult egal cu dispersia rezidual, sau:

F Fcalc , ,1 2 , unde: este pragul de semnificaie (eroarea admis, de regul 5%), iar 1 = N l i 2 1= n sunt respectiv gradele de libertate ale celor dou dispersii analizate.

Dac modelul concord cu datele experimentale, el va fi folosit n explorarea suprafeei de rspuns a procesului pentru identificarea zonei extremului. Pentru aceasta se va realiza deplasarea dup direcia dreptei de pant maxim.

Dac ns modelul nu este concordant, concluzia este c ne aflm deja n zona extremului, testarea compatibilitii modelului liniar fiind tocmai factorul obiectiv de luarea a deciziei n acest sens. n aceast situaie va fi necesar formularea unei matrice experimentale mai complexe (care va conine experiene suplimentare, dar va folosi i experienele deja efectuate) pentru a putea fi determinat un model de ordin superior (II).

Evident, sensul acestor concluzii poate fi alterat dac experienele nu au fost realizate cu acuratee, n acest caz nefiind sigure nici dispersia rezidual s02, nici valorile

Mihai TARCOLEA

17

experimentale yu, ca de altfel nici modelul matematic. Dup ce a fost determinat i modelul neliniar, care descrie forma suprafeei de

rspuns n zona extremului cutat, coordonatele acestuia (y, x1, x2, ..., xk)extrem pot fi gsite simplu, prin condiia de anulare a derivatelor pariale de ordinul I:

yxi

=0, unde i =1,2, ..., k,

i respectiv utilizarea modelului de ordinul II pentru a calcula valoarea yextrem. Modelul ptratic poate fi folosit ns i pentru diferite reprezentri grafice, de exemplu sub forma unor curbe de nivel, care creeaz premizele unor analize i interpretri asupra posibilitilor de reglare a parametrilor procesului n vederea optimizrii sale. 3.4. Explorarea suprafeei de rspuns conform dreptei de pant maxim

Pentru deplasarea, pe drumul cel mai scurt, ctre domeniul extremului cutat, trebuie folosit gradientul modelului matematic determinat:

grad y yx

i yx

j yx

mk

= + + +

1 2

r rK r ,

unde: ri ,

rj , ...,

rm sunt versorii axelor de coordonate din spaiul factorial.

Fiind vorba de o form liniar, derivatele pariale sunt chiar coeficienii de regresie:

yx

bi

i= . Pentru a asigura deplasarea pe gradient (direcia de pant maxim), va fi deci

necesar ca valorile variabilelor xi s fie modificate proporional cu mrimea i semnul coeficienilor bi, innd cont de asemenea i de semnificaia extremului cutat (maxim sau minim). Acest lucru va fi posibil prin alegerea corespunztoare a unor pai de deplasare pentru fiecare variabil. Pentru una dintre ele, x1, pasul de deplasare 1 se alege arbitrar ca valoare (de obicei egal cu unitatea), dar cu semnul corespunztor semnului coeficientului b1, corelat cu extremul cutat. Astfel dac deplasarea se face ctre un maxim, iar semnul coeficientului b1 este +, atunci se alege 1=+1, iar dac este - rezult c 1 = -1. Dac ns deplasarea se face ctre un minim, semnul pasului 1 se va alege opus, n mod corespunztor. Paii de deplasare pentru celelalte variabile se vor determina prin calcul cu relaia:

i ibb= 1 1.

Deplasarea pe gradient se face pas cu pas, pornind din centrul experimentului (punctul pentru care toate variabilele au valoarea 0), prin nsumarea (algebric) succesiv a cte unui pas i fiecrei variabile, rezultnd astfel coordonatele unui nou punct n spaiul factorial. Valorile xi corespunztoare permit deci calculul valorii y, prin folosirea modelului matematic liniar, iar pe de alt parte definesc condiiile n care poate fi realizat o determinare experimental, valoarea msurat a variabilei y devenind criteriul de decizie pentru continuarea deplasrii.

Deplasarea pe gradientul aproximrii liniare nceteaz atunci cnd valorile calculate cu modelul matematic i cele determinate experimental nu mai evolueaz n acelai mod. De exemplu, dac deplasarea se face ctre un maxim, paii succesivi vor implica valori ycalc tot mai mari, n timp ce verificrile efective vor releva la un moment dat c fenomenul nu mai are aceeai tendin, valorile yexp ncepnd s scad.

Atunci cnd deplasarea pe gradient nceteaz, se formuleaz o nou matrice de experimentare pentru determinarea unui nou model liniar, care va servi unei noi deplasri pe gradientul su, dac se va dovedi compatibil.

Mihai TARCOLEA

18

3.5. Programe de ordinul II

Atunci cnd modelul de ordinul I nu mai verific ipoteza privind concordana sa cu datele experimentale, este necesar stabilirea unui model de ordin superior, cci a fost identificat zona extremului cutat.

n general modelul de ordinul II satisface, pe domenii restrnse, majoritatea fenomenelor:

y b b x b x x b xi ii

k

ij i ji ji j

k

ii ii

k= + + +

= = = 0

1 1

2

1,

.

Numrul coeficienilor de regresie necunoscui din aceast expresie este ( )( )k k+ +1 2 2, iar pentru determinarea lor vor trebui efectuate N = mk experiene. Pentru respectarea condiiei: ( )( )

mk kk + +1 2

2,

numrul nivelurilor de variaie va trebui majorat la m = 3. Cele trei niveluri de variaie vor fi: -1, 0, +1.

Aceast soluie se va dovedi ns neeconomic dac numrul factorilor crete, fiind i n acest caz gsite variante de reducere a numrului de experiene. 3.5.1. Experiene factoriale complete 32

Considernd cazul a k = 2 factori, pentru determinarea modelului matematic neliniar:

y b b x b x b x x b x b x= + + + + +0 1 1 2 2 12 1 2 11 12 22 22 vor fi necesare cel puin 6 experiene i deci utilizarea unei matrice 32, care necesit N = 9 experiene, este convenabil.

Matricea lrgit a experimentului factorial complet EFC 32 este: Exp. x0 x1 x2 x1x2 x12 x22 yexp

1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y1 2 +1 0 +1 0 0 +1 y2 3 +1 -1 +1 -1 +1 +1 y3 4 +1 +1 0 0 +1 0 y4 5 +1 0 0 0 0 0 y5 6 +1 -1 0 0 +1 0 y6 7 +1 +1 -1 -1 +1 +1 y7 8 +1 0 -1 0 0 +1 y8 9 +1 -1 -1 +1 +1 +1 y9

Condiiile de desfurare a experienelor sunt reflectate doar de coloanele x1 i x2. Se poate constata c matricea nu mai respect condiiile de simetrie (pentru coloanele x12 i x22) i respectiv cele de normalitate i ortogonalitate, cci:

x x x xuu

uu

u uu

1 2 1 2 0 = = = , dar: x xu

uu

u12

22 6 = = .

Din acest motiv dispersia n calculul coeficienilor nu va mai fi aceeai. Coeficienii bii nu vor mai putea fi calculai independent de ceilali, iar nerespectarea proprietilor matricelor factoriale nu mai permite aplicarea relaiilor de calcul de la modelele liniare.

Mihai TARCOLEA

19

Totui, condiia de ortogonalitate a matricei poate fi respectat prin schimbri de variabile, care nu afecteaz condiiile de desfurare a experienelor. Respectarea acestei condiii va permite utilizarea acelorai relaii de calcul a coeficienilor de regresie ca i n cazul modelelor liniare. Pentru realizarea ortogonalizrii matricei n locul variabilelor x2i se vor considera variabilele xi, determinate cu relaia:

= = =

x x x xx

Ni i i iiu

u

N

2 2 2

2

1 .

n cazul EFC 32 valorile corespunztoare sunt:

xi2 6= , N = 9 i xi2 69 23= = ,

i deci noile variabile vor fi: = x x1 12 2 3 i = x x2 22 2 3 ,

astfel fiind respectat i condiia: = = x xu

uu

u1 1 0 .

Matricea lrgit EFC 32 devine n aceast situaie: Exp. x0 x1 x2 x1x2 x1=x12-2/3 x2=x22-2/3 yexp

1 +1 +1 +1 +1 +1/3 +1/3 y1 2 +1 0 +1 0 -2/3 +1/3 y2 3 +1 -1 +1 -1 +1/3 +1/3 y3 4 +1 +1 0 0 +1/3 -2/3 y4 5 +1 0 0 0 -2/3 -2/3 y5 6 +1 -1 0 0 +1/3 -2/3 y6 7 +1 +1 -1 -1 +1/3 +1/3 y7 8 +1 0 -1 0 -2/3 +1/3 y8 9 +1 -1 -1 +1 +1/3 +1/3 y9

Modelul neliniar obinut va avea n acest caz forma: ( ) ( )y b b x b x b x x b x b x= + + + + + 0 1 1 2 2 12 1 2 11 12 22 222 3 2 3 , coeficienii si putnd fi calculai cu relaii similare celor de la modelele liniare:

=

bx y

ux

u u

uu

0

0

02 , b

x yu

xi

iu u

iuu

=

2 ,

( )( )bx x y

ux x

ij

iu ju u

iu juu

=

2 , ( )( )( )b

x yu

x

x x yu

x xii

iu u

iuu

iu i u

iu iu

=

=

2

2 2

2 22 .

Pentru a aduce modelul la forma standard vom scrie c:

( )b b b b b b b0 0 11 22 0 11 222323

23

= = + sau n cazul general:

Mihai TARCOLEA

20

b b x b b x bii

k

ii i iii

k

0 02

10

2

1= =

= = .

Dispersiile n calculul coeficienilor de regresie vor fi n acest caz:

s sxb'0

2 02

02= , s

sxbi i

2 02

2= ,

( )ss

x xbij

i j

2 02

2= , ( )ss

x xbii

i i

2 02

2 22=

,

avnd valori diferite cci numitorii sunt diferii. Testarea coeficienilor modelului se face similar, cu testul t, orice coeficient b fiind statistic determinat (b 0 ) dac i numai dac:

b t sb N b> = 2 1, sau t bs t tcalc b T N= > = 2 1, .

Testarea concordanei modelului de face de asemenea cu testul F, modelul fiind concordant cu datele experimentale doar dac:

F ss

F Fcalc conc T N l n= = 2

02 1, , ,

unde: ( )

sy y

N lconcu u

u

N

2

2

1=

= ~

i

( )s

y y

n

jj

n

02

2

1

1=

=

.

Mihai TARCOLEA

21

3.5.2. Alte tipuri de programe de ordinul II Dac numrul factorilor crete (k 3), utilizarea EFC devine neeconomic. Din acest motiv s-au stabilit diferite tipuri de matrice care necesit un numr mai mic de experiene. Nici aceste matrice nu respect condiia de ortogonalitate, motiv pentru care fiecare variant se rezolv diferit. Principial se pot defini dou tipuri de matrice: matrice compoziionale i matrice necompoziionale. Matricele compoziionale se obin prin completarea matricei factoriale 2k sau 2k-p (folosit anterior pentru determinarea modelului liniar care s-a dovedit a fi necompatibil) cu un anumit numr de experiene suplimentare. Matricele necompoziionale ns nu mai folosesc scheletul 2k sau 2k-p, fiind organizate dup principii de simetrie. 3.5.2.1. Matrice compoziionale Numrul experienelor efectuate n acest caz se determin cu:

N N n n= + +0 1 0 unde: N k0 2= sau N k p0 2= , dup cum experimentul anterior a fost complet sau fracionat. Alegerea numrului experienelor suplimentare n1 i a celor efectuate n punctul central n0 determin tipul programrii. Astfel programarea central - compoziional - ortogonal (PCCO) implic:

n k1 2= i n0 1= . Experienele n1 se efectueaz prin modificarea pe rnd a fiecrui factor la dou niveluri , ceilali factori aflndu-se n aceste experiene pe nivelul de baz (0). Stabilirea valorii se face astfel nct matricea s fie ortogonal i simetric. Pentru k=2, PCCO va implica urmtoarea matrice lrgit:

Exp. x0 x1 x2 x1x2 x12 x22 Obs. 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 2 +1 -1 +1 -1 +1 +1 (EFC 2k) 3 +1 +1 -1 -1 +1 +1 N0 = 2k 4 +1 -1 -1 +1 +1 +1 5 +1 + 0 0 +2 0 6 +1 - 0 0 +2 0 7 +1 0 + 0 0 +2 n1 = 2k 8 +1 0 - 0 0 +2 9 +1 0 0 0 0 0 n0 = 1

n acest caz xi2 22 4 = + i dac vom considera = 1 rezult:

xNi

2 6 23

= = , pentru ortogonalizarea matricei fiind folosite variabilele: = x x1 12 2 3 i = x x2 22 2 3 . Deoarece nu este ndeplinit i condiia de normalitate:

x xi0 0 = , dar x xi j 0 , coeficientul b0 se va calcula de asemenea n funcie de coeficieniibii .

Se poate observa c valoarea xi2 depinde de (vom nota x ci2 = ), ea calculndu-se cu:

Mihai TARCOLEA

22

( )x

N

Ni2 0

22= + Pentru k=3, PCCO va avea urmtoarea matrice lrgit, dup schimbrile de variabile:

Exp. x0 x1 x2 x3 x1x2 x2x3 x3x1 x1 x2 x3 Obs. 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 1-c 1-c 1-c 2 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 1-c 1-c 1-c 3 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 1-c 1-c 1-c 4 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 1-c 1-c 1-c EFC 2k 5 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 1-c 1-c 1-c N0=8 6 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 1-c 1-c 1-c 7 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 1-c 1-c 1-c 8 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 1-c 1-c 1-c 9 +1 + 0 0 -1 0 0 2-c -c -c 10 +1 - 0 0 -1 0 0 2-c -c -c 11 +1 0 + 0 +1 0 0 -c 2-c -c 2k 12 +1 0 - 0 0 0 0 -c 2-c -c n1=6 13 +1 0 0 + 0 0 0 -c -c 2-c 14 +1 0 0 - 0 0 0 -c -c 2-c 15 +1 0 0 0 0 0 0 -c -c -c n0=1

Realizarea condiiei de normalitate presupune ca suma: ( ) ( ) ( ) = + + x x N c c c k c n ci j 0 2 2 2 0 21 4 2 4 s se anuleze. Altfel spus, va trebui rezolvat ecuaia ce rezult din punerea acestei condiii. Pentru k = 2 este convenabil alegerea: = 1 i deci c = 2/3. Pentru k 3 ns, trebuie rezolvat ecuaia de mai sus, exprimat n forma ce rezult dup rearanjarea termenilor: ( ) ( )N N c N k n c0 0 2 0 0 22 2 2 0 + + + + = . innd cont c: ( )c N N= +0 22 i N N n n= + +0 1 0 , rezult succesiv:

( ) ( )N N N N N N N0 0 2 02 0

2 2

22 22 2 0 + + + + = ,

( )N

N

N00

2 220 + = ,

sau: ( )4 4 04 0 2 0 1 0 + + =N N n n . Soluiile reale ale acestei ecuaii sunt:

( )( ) = + + N N n n N02 0 1 0 0 2 sau: ( ) = N N N0 0 2 .

Mihai TARCOLEA

23

Cteva valori, corespunztoare situaiilor menionate mai jos, sunt: - pentru k = 2, n0 = 1 = 1; - pentru k = 3, n0 = 1 = 1,215; - pentru k = 4, n0 = 1 = 1,414; - pentru k = 5, p = 1, n0 = 3 = 1,547. (1 = x1 x2 x3 x4 x5) Modelul matematic va avea ca urmare forma:

( )y b b x b x x b x xi ii

k

ij i ji ji j

k

ii i ii

k= + + +

= = = 0

1 1

2 2

1,,

coeficienii de regresie calculndu-se cu relaiile:

=

bx y

ux

u u

uu

0

0

02 , b

x yu

xi

iu u

iuu

=

2 ,

( )( )bx x y

ux x

ij

iu ju u

iu juu

=

2 , ( )( )( )b

x yu

x

x x yu

x xii

iu u

iuu

iu i u

iu iu

=

=

2

2 2

2 22 ,

iar pentru a aduce modelul la forma standard:

y b b x b x x b xi ii

k

ij i ji ji j

k

ii ii

k= + + +

= = = 0

1 1

2

1,,

vom calcula coeficientul b0 cu:

b b x bi iii

k

0 02

1=

= .

Dup cum se poate observa, relaiile de calcul utilizate sunt aceleai ca n cazul EFC 3k. La fel ca n situaia EFC 3k i n cazul PCCO, dup efectuarea EFC 2k, dac modelul liniar nu este concordant, se completeaz experienele cu cele suplimentare, putnd astfel determina un model de ordinul II. Pe de alt parte ns, modelul de ordinul II nu mai este rotabil, el depinznd de direcie, iar dac nu au existat informaii iniiale privind unele direcii prefereniale ale procesului, modelul se poate dovedi incompatibil. O alt variant de matrice compoziional corespunde aa numitei programri central - compoziional - rotabile (PCCR). Aceasta se mai numete i programare uniform, ea rezolvnd dezavantajul menionat anterior pentru PCCO: lipsa rotabilitii modelului de ordinul II. n acest caz nu se mai impun n1 i n0, pentru a fi determinat valoarea , ca n cazul PCCO, ci, dimpotriv, se impun valorile i n1, urmnd a fi determinat valoarea n0. Valoarea este n acest caz:

= 2 4k sau = 2 4k p , dup cum s-a folosit anterior un schelet 2k sau 2k-p, n1 este din nou egal cu 2k, pentru c matricea de experimentare se construiete n acelai mod (fiecare factor este modificat pe

Mihai TARCOLEA

24

nivelurile , ceilali rmnnd n aceste experiene suplimentare pe nivelul de baz 0), iar n0 se determin astfel nct para-metrul s fie ct mai apropiat i cel mult egal cu unitatea ( 1):

( )( ) =

+ k N

k N n21

0.

Deci i n acest caz: N = N0 + n1 + n0, cu N0 = 2k sau 2k-p i n1 = 2k. Din explicitarea expresiei vom obine c n0 trebuie s fie ct mai apropiat ( ), dar mai mic dect ( ) valoarea de mai jos: ( )

nN n

k00 12 + .

Nici matricea PCCR nu este ortogonal, dar i aceasta poate fi ortogonalizat pe baza condiiei:

( ) = = + += x x N c N c Niuu

N

ju1

20

200 2 2 ,

de unde rezult valoarea:

( )c

N N N N

N=

+ + 0 2 0 22

02 2

Este interesant de notat aici c soluiile c sunt n unele cazuri confundate, alteori difer, dar sunt apropiate i ambele pozitive, iar de multe ori sunt imaginare. Rezultate convenabile se obin atunci cnd numrul factorilor analizai este relativ mic (k 5) pentru scheletul 2k sau cnd se folosesc schelete 2k-p pentru k > 5. Oricum, varianta de construcie a matricei PCCR poate fi decis abia dup determinarea valorilor n0 i c. Pentru modele avnd pn la 10 factori, matricele PCCR, posibil de folosit, au caracteristicile descrise n tabelul de mai jos (atunci cnd p = 0 este vorba de experiment factorial complet):

k p N0 n1 n0 N c 2 0 4 4 8 16 1,414 0,500 0,500 3 0 8 6 9 23 1,682 0,663 0,525 3 1 4 6 6 16 1,414 0,500 0,500 4 0 16 8 12 36 2,000 0,667 0,667 5 0 32 10 16 58 2,378 0,824 0.670 5 1 16 10 10 36 2,000 0,667 0,667 6 1 32 12 14 58 2,378 0,824 0.670 7 1 64 14 22 100 2,828 0,800 0,800 8 2 64 16 19 99 2,828 0,889 0,727 9 3 64 18 18 100 2,828 0,800 0,800

10 3 128 20 29 177 3,364 0,833 0,819 10 4 64 20 16 100 2,828 0,800 0,800

Pentru o anumit situaie trebuie decis dac utilizarea PCCR este economicoas, deci dac ea conduce la mai puine experiene dect alte variante de lucru.

Dup stabilirea valorii x ci2 = , noile variabile se vor determina cu:

Mihai TARCOLEA

25

= x x xi i i2 2 , unde: xx

Niiu

u

N

2

2

1= =

.

Ca urmare se vor putea utiliza aceleai relaii de calcul pentru determinarea coeficienilor de regresie. 3.5.2.2. Matrice necompoziionale Aceste matrice nu mai folosesc scheletul 2k sau 2k-p, fiind folosite mai ales atunci cnd avem la dispoziie unele informaii despre domeniul optim i deci nu mai suntem interesai n determinarea unui model liniar i de deplasarea pe gradientul su. Schema de experimentare, n cazul a doi factori (k=2), utilizeaz colurile unui pentagon sau hexagon regulat centrat i punctul su central, efectundu-se suplimentar n0=3 experiene n punctul central (pentru determinarea s02). Matricea pentru cazul pentagonului regulat centrat este:

Exp. x1 x2 Punctul 1 0 +0,85 A 2 +0,808 +0,263 B 3 +0,5 -0,688 C 4 -0,5 -0,688 D 5 -0,808 +0,263 E 6 0 0 O 7 0 0 O 8 0 0 O 9 0 0 O

n cazul hexagonului regulat centrat matricea are forma:

Exp. x1 x2 Punctul 1 +0,5 +0,87 A 2 +1 0 B 3 +0,5 -0,87 C 4 -0,5 -0,87 D 5 -1 0 E 6 -0,5 +0,87 F 7 0 0 O 8 0 0 O 9 0 0 O

10 0 0 O Calculul coeficienilor modelului se poate face prin rezolvarea sistemului de ecuaii normale, obinut prin aplicarea legii celor mai mici ptrate, sau mult mai lesne cu relaii de tipul celor prezentate anterior, dup ortogonalizarea matricei i aplicarea schimbrilor de variabile. Pentru k 3 factori, matricele necompoziionale se obin prin selectarea anumitor linii din matricea 3k, deci cu modificarea factorilor la nivelurile -1, 0, +1. Acestea se obin variind pe rnd cte doi factori la nivelurile 1, ceilali aflndu-se pe nivelul 0. Matricea se completeaz cu n0 experiene n punctul central, numrul acestora alegndu-se n funcie de numrul factorilor astfel:

Mihai TARCOLEA

26

k = 3, 4 n0 = 3, k = 5 ...10 n0 = 6, k > 10 n0 = 12. k = 3 x1 x2 x3 Nr. exp.

1 1 0 Schimbarea de 4 1 0 1 variabile: 4

(33 = 27) 0 1 1 xi = xi2 - 8/15 4 N = 15 0 0 0 3

k = 4 x1 x2 x3 x4 Nr. exp.

1 1 0 0 4 1 0 1 0 4 1 0 0 1 Schimbarea de 4 0 1 1 0 variabile: 4 0 1 0 1 xi = xi2 - 12/27 4

(34 = 81) 0 0 1 1 4 N = 27 0 0 0 0 3

k = 5 x1 x2 x3 x4 x5 Nr. exp.

1 1 0 0 0 4 1 0 1 0 0 4 1 0 0 1 0 4 1 0 0 0 1 Schimbarea de 4 0 1 1 0 0 variabile: 4 0 1 0 1 0 xi = xi2 - 16/46 4 0 1 0 0 1 4 0 0 1 1 0 4 0 0 1 0 1 4

(35 = 243) 0 0 0 1 1 4 N = 46 0 0 0 0 0 6

Matricele experimentale vor avea structurile prezentate n tabelul de mai sus. Calculul coeficienilor modelului matematic se face i n acest caz, dup ortogonalizarea matricei i aplicarea schimbrilor de variabile, cu relaii de tipul celor prezentate anterior. Evident i n aceste situaii dispersiile n calculul coeficienilor de regresie vor fi diferite, cci numitorii relaiilor de calcul ale acestora vor fi diferii. Dup testarea coeficienilor calculai, se procedeaz n mod similar la testarea compatibilitii modelului, iar n caz de compatibilitate sunt determinate i coordonatele extremului. Numrul total al experienelor N se determin n acest caz cu:

( ) ( )N N n C nk

kn k

knk= + = + = + = +0 0

20 0 04 4 2 2

22

!! !

!!

,

iar pentru ortogonalizarea matricei schimbarea de variabile se face dup regula:

= = x x x x kNi i i i

2 2 2 4 1

O ilustrare a modului de selectare a experienelor, pentru cazul k = 3, este realizat n figura alturat. Dac EFC 33 presupune efectuarea experienelor n colurile cubului, la jumtatea laturilor i pe centrele feelor (27 de condiii experimentale), matricea necompoziional corespunztoare va necesita efectuarea doar a experienelor reprezentate de punctele marcate pe planurile care se intersecteaz n figur (13 condiii experimentale).

x3

x2

x1