+ All Categories
Home > Documents > MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted...

MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted...

Date post: 21-Mar-2020
Category:
Upload: others
View: 23 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
17
Analele Universit ăţ ii “Constantin Brâncu ş i” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012 Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012 131 MODELAREA MATEMATICĂ A PROCESULUI “PENDUL INVERS ROTATIV” Popescu Ion Marian, Şef.Lucr.dr.ing., Universitatea “Cosntantin Brâncuşi” din Târgu- Jiu ABSTRACT: În această lucrare se prezintă dezvoltarea unui model matematic ce aproximează procesul real “Pendul Invers Rotativ”. Această dezvoltare va fi utilă în proiectarea şi implementarea unui sistem de control a procesului real, plecând de la realizarea practică a părţii mecanice, a sistemului de achiziţie şi comenzi, a modelării procesului şi proiectarea structurii şi algoritmului de reglare. Acest sistem prezintă restricţii puternice de timp real şi totodată precizia comenzii calculate trebuie să fie cât mai mare, datorită faptului că sistemul are în plan vertical_Up un singur punct de echilibru care este şi instabil. 1.Descrierea structurii procesului “Pendul Invers Rotativ” Pendulul invers rotativ este utilizat în domeniul sistemelor de control pentru a ilustra idea tehnologiei controlului automat. Ca şi construcţie[1], este format dintr-un braţ acţionat de un motor de c.c. ce se roteşte în plan orizontal şi are ataşat la capăt pendulul propriu-zis care se roteşte într-un plan vertical perpendicular pe braţul de acţionare, ca în Fig.1 şi Fig.2 MATHEMATICAL MODELING OF THE PROCESS “ROTARY INVERSED PENDULUM” Popescu Ion Marian, Lecturer PhD. Eng. University “Cosntantin Brâncuşi” of Târgu-Jiu ABSTRACT: In this paper is presents the development of a mathematical model that approximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a real process control, based on the practical realization of mechanical part of the data acquisition system and control, process modeling and design of structure and control algorithm.This system has strong restrictions also real time and command precision calculated to be as high, because the system is in vertical plane vertical_Up one equilibrium point which is unstable. 1. The description process structure "Rotary Inversed Pendulum" The rotary inversed pendulum is used in control systems to illustrate the idea of automatic control technology. As construction [1], consists of an arm driven by a DC motor which rotates horizontally and has attached itself to the end pendulum that rotates in a vertical plane perpendicular to the drive arm as in Fig.1 and Fig.2 Fig.1. Pendulul în poziţie vertical_Up Fig.1.Vertical_Up position of pendulum
Transcript
Page 1: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

131

MODELAREA MATEMATICĂ A PROCESULUI “PENDUL INVERS

ROTATIV” Popescu Ion Marian, Şef.Lucr.dr.ing., Universitatea “Cosntantin Brâncuşi” din Târgu-Jiu ABSTRACT: În această lucrare se prezintă dezvoltarea unui model matematic ce aproximează procesul real “Pendul Invers Rotativ”. Această dezvoltare va fi utilă în proiectarea şi implementarea unui sistem de control a procesului real, plecând de la realizarea practică a părţii mecanice, a sistemului de achiziţie şi comenzi, a modelării procesului şi proiectarea structurii şi algoritmului de reglare. Acest sistem prezintă restricţii puternice de timp real şi totodată precizia comenzii calculate trebuie să fie cât mai mare, datorită faptului că sistemul are în plan vertical_Up un singur punct de echilibru care este şi instabil. 1.Descrierea structurii procesului “Pendul Invers Rotativ” Pendulul invers rotativ este utilizat în domeniul sistemelor de control pentru a ilustra idea tehnologiei controlului automat. Ca şi construcţie[1], este format dintr-un braţ acţionat de un motor de c.c. ce se roteşte în plan orizontal şi are ataşat la capăt pendulul propriu-zis care se roteşte într-un plan vertical perpendicular pe braţul de acţionare, ca în Fig.1 şi Fig.2

MATHEMATICAL MODELING OF THE PROCESS “ROTARY INVERSED

PENDULUM” Popescu Ion Marian, Lecturer PhD. Eng. University “Cosntantin Brâncuşi” of Târgu-Jiu

ABSTRACT: In this paper is presents the development of a mathematical model that approximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a real process control, based on the practical realization of mechanical part of the data acquisition system and control, process modeling and design of structure and control algorithm.This system has strong restrictions also real time and command precision calculated to be as high, because the system is in vertical plane vertical_Up one equilibrium point which is unstable. 1. The description process structure "Rotary Inversed Pendulum" The rotary inversed pendulum is used in control systems to illustrate the idea of automatic control technology. As construction [1], consists of an arm driven by a DC motor which rotates horizontally and has attached itself to the end pendulum that rotates in a vertical plane perpendicular to the drive arm as in Fig.1 and Fig.2

Fig.1. Pendulul în poziţie vertical_Up

Fig.1.Vertical_Up position of pendulum

Page 2: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

132

Mişcarea este iniţiată de rotirea braţului faţă de un capăt fix, iar în punctul O şi punctul P sunt plasate 2 traductoare potenţiometrice care furnizează pe cursor o tensiune proporţională cu valoarea unghiului α -unghiul de rotaţie a braţului în plan orizontal, şi β -unghiul de rotaţie în plan vertical şi perpendicular pe braţ, al pendulului. Datorită faptului că pendulul invers rotativ are 2 grade de libertate rotaţionale şi numai un element de execuţie, acest sistem intră în categoria sistemelor subacţionate. Motorul care realizează acţionarea este conectat mecanic la braţul pendulului printr-un mecanism de roţi dinţate ca în Fig.3.

Movement is initiated by rotating the arm from one end fixed, and the point O and point P are placed two potentiometric transducers that deliver a voltage proportional to the cursor angle α -the angle of rotation of the arm in the horizontal plane and the angle of rotation vertical and perpendicular to the arm of the pendulum. Because reverse rotating pendulum has 2 rotational degrees of freedom and only one element of execution, the system falls into the category underactuated systems. D.C.motor that performed the operation is mechanically connected to the arm with a gear mechanism as in Fig.3.

Datele constructive ale sistemului sunt: Structural data of the system are: ][radα -angle

Fig.3.Structura sistemului: 1-motorul de acţionare, 2-reductorul mecanic,3-traductor poziţie braţ, 4-mecanismul de conectare motor-potenţiometru-braţ,5-braţul de acţionare, 6-potenţiometrul pentru poziţie pendul, 7-rulmenţi de susţinere pendul(2buc.), 8-pendul Fig.3. System structure: 1 the drive motor. 2 mechanical gear. 3-position transducer arm. 4-connection mechanism motor potentiometer arm. 5-arm drive, 6-potentiometer for position pendulum. 7-pendulum support bearings (2buc.), 8-pendulum

Fig.2.Pendulul în poziţie vertical_Down

Fig.2. Vertical_Down position of pendulum

Page 3: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

133

][radα -unghiul dintre braţ şi axa orizontală ][radβ -unghiul dintre pendul şi axa verticală

pentru poziţia vertical_Up ][radθ -unghiul dintre pendul şi axa verticala

pentru poziţia vertical-Down [ ]20.006831 mkgJb ⋅= -momentul de inerţie al

braţului faţă de punctul de acţionare [ ]20.002273 mkgJ p ⋅= -momentul de inerţie al

pendulului faţă de punctul de sprijin ]/[0.008438 2 smkgCb ⋅= -coeficient de

frecare vâscoasă pentru braţul pendulului ]/[0.007193 2 smkgCp ⋅= -coeficient de

frecare vâscoasă pentru pendul ][0.12 kgmp = -masa pendulului

][32.0 ml = -lungimea pendulului ][25.0 mL = -lungimea braţului

]/[8.9 2smg = -acceleraţia gravitaţională

uK -factor de amplificare pt. comanda PWM

0.11[Nm/A]=tK -constanta cuplului motor

d]0.11[Vs/ra=bK -const. electromagnetică Ω= 3.2aR -rezistenţa rotorică

between arm and the horizontal axis ][radβ - angle between the pendulum and the

vertical axis for vertical_Up position ][radθ - angle between the pendulum and the

vertical axis for vertical position_Down [ ]20.006831 mkgJb ⋅= - moment of inertia of the

actuator arm to the point [ ]20.002273 mkgJ p ⋅= - moment of inertia of the

pendulum to support ]/[0.008438 2 smkgCb ⋅= - Viscous friction

pendulum arm ]/[0.007193 2 smkgCp ⋅= - Viscous friction

pendulum ][0.12 kgmp = - pendulum mass

][32.0 ml = - pendulum length ][25.0 mL = - arm's length

]/[8.9 2smg = - acceleration of gravity

uK - amplification factor for PWM command

0.11[Nm/A]=tK - constant torque d]0.11[Vs/ra=bK - electromagnetic constant

Ω= 3.2aR - rotor resistance

Fig.4.Poziţionarea potenţiometrelor pentru Braţ a)-vedere de sus, si pentru Pendul b)-vedere din faţă

Fig.4. Potentiometers for positioning arm. a)-top view, and Pendulum. b) front-view

Page 4: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

134

Datorită faptului că măsurarea celor 2 poziţii unghiulare se realizează cu potenţiometre, trebuie ţinut cont de faptul ca acestea au o “zonă de insensibilitate” cu lăţimea de 400, ca în Fig.4. 2.Calibrarea sistemului fizic pentru dezvoltarea corespunzătoare a modelului matematic

Domeniile de măsură pentru poziţia braţului sunt prezentate în Fig.5. unde se prezintă şi convenţia pentru comanda motorului stânga-dreapta.

Because the 2-position angle measurement is achieved by potentiometers should be kept in mind that they have a "dead zone" with a width of 400, as in Fig.4. 2.Physical system calibration for proper development of the mathematical model As for the arm areas are shown in Fig.5. and convention where the left and right engine control.

Formula de calibrare conform măsurătorii, a unghiului format de braţ faţă de o poziţie considerată 0, care va translata domeniul [0..4095]unităţi CAN în domeniul [-2,73...2,73] radiani este următoarea:

As measured calibration formula, the angle formed by the arm to a position to 0, which will translate the [0 .. 4095] units in the CAN[-2.73 ... 2.73] radians is:

73.24095

58.5−= −cititCAN

rad xα

Domeniile de măsură pentru pendul în cazul pendul_Up şi pendul_Down sunt prezentate în Fig.6.

Measuring range for pendulum_Up and pendulum_Down are shown in Fig.6.

Fig.5. Calibrarea domeniilor de măsură pentru poziţia braţului şi convenţia pentru comanda motorului stânga-dreapta

Fig.5. Calibration measurement areas for the arm and convention left and right engine control

Page 5: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

135

Braţul pendulului este acţionat de un motor de curent continuu ce este alimentat cu o tensiune modulată PWM ca în Fig.7. Tensiunea de alimentare a motorului Vm este

VKUKV uum 12⋅=⋅= . Practic, comanda primită de la sistemul de achiziţie şi comandă, este mu VKu =⋅=12 care este transformată în tensiune de alimentare a motorului în domeniul -12V…12V. Aplicând legile lui Kirchoff avem:

The pendulum is actuated at one end by a DC motor that is powered by a voltage modulated PWM as in Fig.7. Voltage of the motor Vm can be considered to be

VKUKV uum 12⋅=⋅= . Basically, the command received from acquisition and control system, is mu VKu =⋅=12 and it is converted into DC voltage to motor in the domain -12V…12V. Applying Kirchoff's laws we have:

Fig.6. Calibrarea domeniilor de măsură pentru poziţia pendulului Fig.6. Measuring range for position calibration pendulum

Page 6: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

136

ba

aaam EdtdILRIV ++= (1)

unde: Ia - curentul în înfăşurarea rotorică; Ra-rezistenţa înfăşurării rotorice; La - inductanţa înfăşurării rotorice; Eb-tensiunea contraelectromotoare Tensiunea contraelectromotoare bE este proporţională cu viteza de schimbare a fluxului electromagnetic şi astfel este proporţională cu viteza unghiulară a motorului, unde ţinem cont şi de relaţia (1):

where: Ia - current in the rotor winding; Ra -rotor winding resistance; La - inductance of rotor winding; Eb - for-electromotive tension

For-electromotive tension bE is proportional to the rate of change of electromagnetic flow and thus is proportional to the angular velocity of the engine, which take into account the relation (1):

αα&bbb K

dtdKE == (2)

unde bK - este constanta electromagnetică a motorului

where bK - is electromagnetic constant of the motor

Cuplul exercitat de motor mτ este direct proporţional cu curentul prin înfăşurare:

If we consider the constant current, the torque motor mτ is directly proportional to current through the motor winding:

atm IK=τ

unde tK - este constanta de cuplu a motorului Presupunând că efectul inductanţei înfăşurării rotorice La este neglijabil, cuplul poate fi scris:

where tK - constant engine torque Assuming that the rotor winding inductance effect La is negligible, the couple can be written:

ατ &a

btm

a

t

a

bmtm R

KKVRK

REVK −=

−= (4)

În relaţia (4), mVu = comandă pentru sistem şi vom avea:

In (4), mVu = is the control signal and we have:

ατ &a

bt

a

tm R

KKuRK

−= (5)

3.Modelarea matematică a procesului Datorită faptului că în foarte multe abordări de principii de reglare a procesului “Pendul Invers” din bibliografie [2], [3], [4], [5] se pleacă direct de la un model matematic considerat cunoscut al procesului, am considerat util să încerc detalierea completă a dezvoltării modelului matematic. Se

3.Mathematical modeling of the process Because in many approaches to process control principles "inverted pendulum" in the bibliography [2], [3], [4], [5] going directly from a mathematical model of the process considered known, we considered useful try full details of the mathematical model development.

Fig.7.Structura sistemului de acţionare

Fig.7. Actuator System Structure

Page 7: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

137

impune precizarea că nu îmi asum faptul că acest model este unul original şi nu a mai fost dezvoltat anterior de alţi autori, iar dezvoltarea proprie vine în sprijinul înţelegerii personale în totalitate a structurii acestui sistem, şi totodată constituie un punct de plecare la dezvoltarea unor modele ulterioare care să ţină cont şi de alte mărimi care în această abordare au fost neglijate, cum sunt diferite tipuri de frecări, jocuri de tip luft la reductorul motorului, etc.

The fact remains that not assume that this model is original and has not been previously developed by other authors, and develop their own personal understanding supports fully the structure of the system, and also is a starting point to develop subsequent models that take into account other sizes which have been neglected in this approach, such as different types of friction type games rebate from the engine gearbox etc.

Pornind de la Fig.1. a pendulului poziţionat în plan vertical-Up, vom avea proiecţia mişcării pendulului în planul XOY ca în Fig.8. Modelarea mişcării pendulului se va realiza folosind ecuaţiile Euler-Lagrange. 3.1.Modelarea pendulului în poziţie vertical-Up Energia cinetică a braţului este:

Based on Fig.1. the pendulum positioned vertically-Up, we have projected motion in the plane XOY as in Fig.8. Pendulum motion modeling will be done using Euler-Lagrange equations. 3.1. Modeling pendulum in a vertical_Up position The kinetic energy of the arm is:

2

21 α&bb JT = (6)

Energia potenţială a braţului este: Potential energy of the arm is: 0=bV (7)

Determinarea energiei cinetice a pendulului, conform Fig.8. presupune următoarele prelucrări pentru coordonatele vârfului pendulului ( )111 ,, zyx :

Determination of the kinetic energy of the pendulum, as Fig.8. processing involves the following tip coordinates of the pendulum ( )111 ,, zyx :

αβα sinsincos1 lLx += ; αβα cossinsin1 lLy −= ; βcos1 lz = (8) Viteza vârfului pendulului de-a lungul axelor X,Y,Z este:

Pendulum peak speed along the axes X, Y, Z is:

βαββαααα cossinsincossin1&&&& llLx ++−=

βαββαααα coscossinsincos1&&&& llLy −+= (9)

ββ sin1&& lz −=

Expresia pătratelor vitezei vârfului este: Peak velocity squared expression is:

(10)cossin2sincossin2cossincossin2cossinsincossin

)cossinsincos(sin2)cossinsincos(sin

22

222222222222

222221

βαβαβααα

ββααβαβαββαααα

βαββααααβαββαααα

&&&

&&&&&

&&&&&&&

LlLllllL

llLllLx

−−

−+++=

=+−++=

Fig.8.Proiecţia mişcării pendulului în planul orizontal XOY

Fig.8. Pendulum motion in the horizontal plane projection XOY

Page 8: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

138

)11(coscos2sincossin2

cossincossin2coscossinsincos

)coscossinsin(cos2)coscossinsin(cos

22

222222222222

222221

βαβαβααα

ββααβαβαββαααα

βαββααααβαββαααα

&&&

&&&&&

&&&&&&&

LlLl

lllL

llLllLy

−+

+−++=

=−+−+=

ββ 22221 sin&& lz = (12)

Astfel vom avea: Thus we have:

ββαβαβα

ββββαβββαα

cos2sin

sincos2cossin2222222

2222222222221

21

21

&&&&&

&&&&&&&&&

LlllL

lLlllLzyx

−++=

=+−++=++ (13)

Energia cinetică a vârfului pendulului este: The kinetic energy of the pendulum peak is:

ββαβαβα

β

cossin21)(

21

21

)(21

21

2222222

21

21

21

2

&&&&&

&&&&

LlmlmlmJLm

zyxmJT

ppppp

ppp

−+++=

=+++= (14)

Energia potenţială a pendulului este: Potential energy of the pendulum is: βcos1 glmgzmV ppp == (15)

Formăm Lagrangeanul sistemului: Lagrangean system: bbb VTL −= ; ppp VTL −= ; pbpbpb VVTTLLL −−+=+= (16)

βββαβαβα

βββαβαβαα

coscossin21)(

21)(

21

coscossin21)(

21

21

21

2222222

22222222

glmLlmlmlmJLmJ

glmLlmlmlmJLmJL

ppppppb

ppppppb

−−++++=

=−−++++=

&&&&&

&&&&&&

Pentru coordonata generalizată α avem: For generalized coordinate α we have:

0=∂∂αL

(17)

βββααα

cossin)( 222 &&&&

LlmlmLmJLpppb −++=

∂∂

(18)

Folosind relaţia (18), vom avea: Using the relation (18), we have:

βββββββαβααα

sincoscossin2sin)( 22222 &&&&&&&&&&

LlmLlmlmlmLmJLdtd

pppppb +−+++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (19)

Ecuaţia Lagrange este: Lagrange equation is:

αταα=

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ LL

dtd

& (20)

unde ατ -este cuplul total care acţionează asupra axei de rotaţie în direcţia creşterii lui α . Acesta reprezintă cuplul exercitat de motor- mτ care trebuie să învingă cuplul de frecare.

where ατ - is the total torque acting on the axis of rotation in the direction of α increasing. This is the torque applied by the mτ -motor torque must win friction.

αττα &bm C−= (21) unde bC - coeficientul de frecare vâscoasă în jurul axei de rotaţie pentru unghiul α . Folosind relaţiile (17),(19),(20),(21), prima ecuaţie de mişcare a braţului pendulului devine:

where bC - coefficient of viscous friction about the axis of rotation angle α . Using relations (17), (19), (20), (21), the first equation of motion of the pendulum arm becomes:

Page 9: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

139

ατβββββαβββαα &&&&&&&&&& bmpppppb CLlmlmLlmlmLmJ −=++−++ sincossin2cossin)( 22222 (22)

Similar, pentru a 2-a coordonată generalizată β -unghiul braţului avem:

Similarly, for a 2nd generalized coordinated β -arm angle we have:

βββαββαβ

sinsincossin22 glmLlmlmLppp ++=

∂∂ &&& (23)

βαββ

cos)( 2 &&&

LlmlmJLppp −+=

∂∂

(24)

ββαβαββ

sincos)( 2 &&&&&&&

LlmLlmlmJLdtd

pppp +−+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

(25)

Ecuaţia Lagrange devine: Lagrange equation becomes:

βτββ=

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ LL

dtd

& (26)

unde βτ -este cuplul total al pendulului care acţionează în jurul axei de rotaţie. Considerăm:

where βτ -is the total torque acting on the pendulum axis of rotation. Consider:

βτβ&

pC−= (27)

unde pC este coeficientul de frecare vâscoasă a

pendulului în jurul axei de rotaţie cu unghiul β . Folosind relaţiile (23),(24),(25),(26),(27), obţinem a 2-a ecuaţie de mişcare:

where pC is the viscous friction coefficient of the

pendulum about the axis of rotation with angle β . Using relations (23), (24), (25), (26), (27), we obtain the equation of motion 2:

βτβββαββαββαβαβ =−−−+−+ sinsincossinsincos)( 222 glmLlmlmLlmLlmlmJ ppppppp&&&&&&&&&

ββββαββα &&&&&& pppppp CglmlmlmJLlm −=−−++−⇒ sincossin)(cos 222 (28) Din relaţiile (22) şi (28) se obţin ecuaţiile de mişcare pentru sistemul “Pendul Invers Rotativ”:

From relations (22) and (28) to obtain the equations of motion for the "Rotary Inversed Pendulum":

(29)

sincossin)(cos

sincossin2cossin)(

222

22222

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−=−−++−

−−=

=++−++

ββββαββα

αα

βββββαβββαα

&&&&&&

&&

&&&&&&&&&

pppppp

ba

bt

a

t

pppppb

CglmlmlmJLlm

CRKKu

RK

LlmlmLlmlmLmJ

3.2.Modelarea pendulului în poziţie vertical-Down Conform Fig.2. unghiul θ este format de pendul şi verticala ce coboară din punctul de sprijin. Acest unghi este folosit pentru modelul matematic atunci când pendulul este în poziţia vertical_Down. Modelul matematic al pendulului în poziţie vertical_Down, prin faptul că nu diferă la nivelul parametrilor faţă de modelul pendulului în poziţie vertical_Up, va fi folosit pentru testarea echivalenţei cu modelul real,

3.2. Pendulum modeling vertical_Down position. According to Fig.2. θ is the angle formed by the vertical pendulum and coming down from anchorage. This angle is used for the mathematical model when the pendulum is in the vertical_Down. The mathematical model of the pendulum in place vertical_Down, by not differ from the model parameters vertical_Up pendulum position will be used to test equivalence with the real model as vertical_Down position, helps balance point

Page 10: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

140

deoarece în poziţia vertical_Down, punctul staţionar de echilibru ajută în sensul că se vor putea vizualiza în paralel cele două evoluţii model şi proces, după o destabilizare, ele tind către punctul staţionar. Relaţiile între θ şi β sunt:

stationary in the sense that they could two parallel view model and process development as the destabilization, they tend to point stationary. Relationship between θ and β are:

πθβ −= ; θπθβ cos)cos(cos −=−= ; θπθβ sin)sin(sin −=−= ; θβ && = ; θβ &&&& = (30) Substituim aceste relaţii în prima ecuaţie de mişcare (29) şi se obţin ecuaţiile de mişcare pentru sistemul “Pendul Invers Rotativ” în poziţia vertical_Down:

Substituting these relations into the first equation of motion (29) and obtain the equations of motion for the "Rotary Inversed Pendulum" in vertical_Down position:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+−++−=−++++

θθθθαθθαατθθθθθαθθθαα

&&&&&&

&&&&&&&&&&

pppppp

bmpppppb

CglmlmlmJLlmCLlmlmLlmlmLmJ

sincossin)(cossincossin2cossin)(

222

22222

unde înlocuim ατ &a

bt

a

tm R

KKuRK

−= : which replace ατ &a

bt

a

tm R

KKuRK

−= :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−=+−++

−−=

=−++++

θθθθαθθα

αα

θθθθθαθθθαα

&&&&&&

&&

&&&&&&&&&

pppppp

ba

bt

a

t

pppppb

CglmlmlmJLlm

CRKKu

RK

LlmlmLlmlmLmJ

sincossin)(cos

sincossin2cossin)(

222

22222

(31)

4.Liniarizarea sistemului în jurul unui punct staţionar de funcţionare Cazul Pendul-Up:Pornind de la relaţiile (29) ce reprezintă ecuaţiile pentru braţ şi pentru pendul în poziţia vertical-Up, vom liniariza aceste ecuaţii în jurul unui punct staţionar de funcţionare 00 , βα , caracterizat de următoarele relaţii:

4.System linearization around a stationary operating point The case Pendul_Up: Starting from relations (29) are the equations for the pendulum arm in vertical_Up position, we linearize these equations around a stationary operating point 00 , βα , characterized by the following relations:

)()( 0 tt ααα Δ+= ; )()( 0 tt βββ Δ+= (32)

Poziţia 0α -este unghiul unde trebuie ţinut braţul în plan orizontal şi implicit pendulul să fie în echilibru vertical_Up. Astfel refαα =0 este chiar mărimea de referinţă pentru sistem. Punctul staţionar reprezentat de unghiul 0β este chiar unghiul reprezentat de verticala ce trece prin punctul de sprijin al pendulului. Astfel avem:

Position 0α -is the angle where the arm should be kept horizontally and thus be in balance vertical_Up pendulum. Such refαα =0 reference

is right size for the system. Stationary point 0β represented the angle is right angle represented by the vertical passing through the fulcrum of the pendulum. Thus we have:

⎩⎨⎧

Δ=Δ=

⇒⎩⎨⎧

Δ=Δ=

⇒⎩⎨⎧

Δ=Δ+=Δ+=

)()()()(

)()()()(

)()()()()(

0

0

tttt

tttt

ttttt

ββαα

ββαα

ββββααα

&&&&&&&&

&&&&

(33)

Pornind de la prima ecuaţie din (29) şi înlocuind relaţiile (33), vom avea:

Page 11: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

141

ααβββββα

βββαα

&&&&&

&&&&&&

Δ−Δ−=ΔΔ+ΔΔΔΔ+

+ΔΔ−ΔΔ+Δ+

ba

bt

a

tpp

pppb

CRKK

uRK

Llmlm

LlmlmLmJ

sin)(cossin2...

...cossin)(

22

222

uRKC

RKKLlmlm

LlmlmLmJ

a

tb

a

btpp

pppb

=Δ+Δ+ΔΔ+ΔΔΔΔ+

+ΔΔ−ΔΔ+Δ+⇒

ααβββββα

βββαα

&&&&&

&&&&&&

sin)(cossin2...

...cossin)(

22

222

(34)

În relaţia (34) facem următoarele aproximări pentru unghiul vertical al pendulului considerând variaţii mici βΔ în jurul punctului staţionar 0β :

In (34) we make the following approximations for the vertical angle of the pendulum considering small variations βΔ around the stationary point

0β :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=ΔΔ=Δ

⇒→Δ1cos

sin0

βββ

β (35)

Introducând relaţia (35) în (34), obţinem pentru prima ecuaţie de mişcare:

Introducing relation (35) in (34), we obtain the first equation of motion:

uRKC

RKKLlmlm

LlmlmLmJ

a

tb

a

btpp

pppb

=Δ+Δ+ΔΔ+ΔΔΔ+

+Δ−ΔΔ+Δ+⇒

ααββββα

ββαα

&&&&&

&&&&&&

22

222

)(2

)()( (36)

Neglijăm produse de forma: ..)(..)( Δ×Δ : Neglect products of the form: ..)(..)( Δ×Δ :

uRK

RKKCLlmLmJ

a

t

a

btbppb =Δ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++Δ−Δ+⇒ αβα &&&&&)( 2 (37)

Analog, pornind de la a doua ecuaţie din (29) şi înlocuind relaţiile (33), vom avea:

Similarly, from the second equation in (29) and substituting relations (33), we have:

ββββαββα &&&&&& Δ−=Δ−ΔΔΔ−Δ++ΔΔ− pppppp CglmlmlmJLlm sincossin)()(cos 222 (38)

Neglijăm produse de forma: ..)(..)( Δ×Δ : Neglect products of the form: ..)(..)( Δ×Δ :

βββα &&&&& Δ−=Δ−Δ++Δ− ppppp CglmlmJLlm )( 2

0)( 2 =Δ−Δ+Δ++Δ−⇒ βββα glmClmJLlm ppppp&&&&& (39)

Ecuaţiile liniarizate în jurul unui punct staţionar de funcţionare pentru sistemul pendul invers considerând poziţia vertical-Up, obţinute prin relaţiile (37) şi (38) sunt:

Equations linearized around a stationary operating point for the system, considering the position vertical_Up obtained by relations (37) and (38) are:

Page 12: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

142

⎪⎩

⎪⎨

=Δ−Δ+Δ++Δ−

=Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++Δ−Δ+

0)(

)(

2

2

βββα

αβα

glmClmJLlm

uRK

RKKCLlmLmJ

ppppp

a

t

a

btbppb

&&&&&

&&&&& (40)

Alegem variabilele de stare astfel încât să reprezinte chiar mărimile fizice măsurate din proces, sub următoarea formă:

Choose state variables to represent physical quantities measured in the process even under the form:

[ ] [ ]TTxxxxx ααββ ΔΔΔΔ== &&4321 (41)

Introducem relaţia (41) în relatia (40): Introducing relation (41) in relation (40):

⎪⎩

⎪⎨

=−+++−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+

0)(

)(

2112

3

3132

glxmxCxlmJxLlm

uRKx

RKKCxLlmxLmJ

ppppp

a

t

a

btbppb

&&

&& (42)

Facem următoarele notaţii: We make the following notations:

glmhCflmJeRKd

RKKCcLlmbLmJa pppp

a

t

a

btbppb −==+==+=−=+= ;;;;;);( 22

Se înlocuiesc aceste notaţii în relaţia (42), şi se explicitează variabilele de stare derivate 1x& şi 3x& în funcţie de celelalte variabile de stare:

Replace these notations in (42), and derived explicit state variables 1x& and 3x& by other state variables:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−−

−+

−−

−−=

−+

−−

−+

−=

⇒u

eabbdbex

eabbcbex

eabbhbx

eabbfbx

ueab

dbxeab

cbxeab

haxeab

fax

)()()()( 23222

2

12

2

3

23222121

&

&

(43)

Ataşăm sistemului (43) încă 2 ecuaţii pentru a obţine ecuaţiile de stare complete:

Attached to the system (43) further 2 equations to get the full state equations:

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

=−

−−

+−

−−

−=

=−

+−

−−

+−

=

34

23222123

12

23222121

xx

ueab

dexeab

cexeab

hbxeab

fbx

xx

ueab

dbxeab

cbxeab

haxeab

fax

&

&

&

&

(44)

Relaţia (44), scrisă vectorial, are forma din relaţia (45) şi reprezintă ecuaţiile de stare liniarizate în jurul punctului staţionar:

Relation (44) has the form of equation (45) and equations of state is linearized around the stationary point:

Page 13: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

143

u

eabde

eabdb

xxxx

eabce

eabhb

eabfb

eabcb

eabha

eabfa

xxxx

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−

−+

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−−

−−

−−

−−=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

0

0

0100

00001

0

2

2

4

3

2

1

222

222

4

3

2

1

&

&

&

&

(45)

Testarea modelării procesului pendul-Up: Testarea modelului matematic presupune simularea răspunsului sistemului liniar şi al celui neliniar raportate la punctul staţionar considerat. Răspunsul simulat al ecuaţiilor neliniare ale sistemului “Pendulul Invers Rotativ” în poziţie vertical-Up, este prezentat în Fig.10.

Testing pendul_Up modeling process: Mathematical model testing involves simulating the system response linear and nonlinear reported to stationary point considered. Simulated response of nonlinear equations of the "Rotary Inversed Pendulum" vertical_Up position is shown in Fig.10.

Cazul Pendul_Down:În acelaşi mod, pornind de la ecuaţiile pentru braţ şi pentru pendul în poziţia vertical_Down, acestea se vor liniariza în jurul unui punct staţionar de funcţionare 00 ,θα :

The case Pendul_Down: Similarly, from the equations for the pendulum arm and vertical_Down position, they will linearize around a stationary operating point 00 ,θα :

Fig.10.Răspunsul simulat al ecuaţiilor neliniare ale sistemului “pendulul invers rotativ” în poziţie vertcal-Up faţă de punctul staţionar { }0;0;0;0 αααββ =Δ=Δ=Δ=Δ && Fig.10. Simulated response of nonlinear equations of the system "Rotary Inversed Pendulum" position vertcal_Up to stationary point { }0;0;0;0 αααββ =Δ=Δ=Δ=Δ &&

Page 14: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

144

⎩⎨⎧

Δ=Δ=

⇒⎩⎨⎧

Δ=Δ=

⇒⎩⎨⎧

Δ=Δ+=Δ+=

)()()()(

)()()()(

)()()()()(

0

0

tttt

tttt

ttttt

θθαα

θθαα

θθθθααα

&&&&

&&&&

&&

&& (46)

Pornim de la prima ecuaţie a pendulului din relaţia (31), şi înlocuind relaţiile (46) avem:

We start from the first equation of the pendulum from the relation (31), and substituting relations (46) we have:

ααθθθθθα

θθθαα

&&&&&

&&&&&&

Δ−Δ−=ΔΔ−ΔΔΔΔ+

+ΔΔ+ΔΔ+Δ+⇒

ba

bt

a

tpp

pppb

CRKKu

RKLlmlm

LlmlmLmJ

sin)(cossin2...

...cossin)(

22

222

(47)

uRKC

RKKLlmlm

LlmlmLmJ

a

tb

a

btpp

pppb

=Δ+Δ+ΔΔ−ΔΔΔΔ+

+ΔΔ+ΔΔ+Δ+⇒

ααθθθθθα

θθθαα

&&&&&

&&&&&&

sin)(cossin2...

...cossin)(

22

222

(48)

În relaţia (48) aproximăm unghiul în poziţie vertical_Down al pendulului:

In (48) vertical_Down approximate position angle of the pendulum:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=ΔΔ=Δ

⇒→Δ1cos

sin0

θθθ

θ (49)

Obţinem prima ecuaţie liniarizată: Obtain the first equation linearized:

uRKC

RKKLlmlm

LlmlmLmJ

a

tb

a

btpp

pppb

=Δ+Δ+ΔΔ−ΔΔΔ+

+Δ+ΔΔ+Δ+⇒

ααθθθθα

θθαα

&&&&&

&&&&&&

22

222

)(2...

...)()( (50)

În relaţia (50), neglijăm produse de forma: ..)(..)( Δ×Δ , prima ecuaţie de mişcare liniarizată pentru pendul în poziţia vertical_Down devine:

In (50), neglecting products of the form: ..)(..)( Δ×Δ , the first linearized equation of

motion for the pendulum position vertical_Down becomes:

uRK

RKKCLlmLmJ

a

t

a

btbppb =Δ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++Δ+Δ+ αθα &&&&&)( 2 (51)

În mod analog, pornim de la a doua ecuaţie: Similarly, we start from the second equation: θθθθαθθα &&&&&& Δ−=Δ+ΔΔΔ−Δ++ΔΔ pppppp CglmlmlmJLlm sincossin)()(cos 222 (52)

Neglijăm produse de forma ..)(..)( Δ×Δ : Neglect products of the form: ..)(..)( Δ×Δ :

θθθα &&&&& Δ−=Δ+Δ++Δ ppppp CglmlmJLlm )( 2

0)( 2 =Δ+Δ+Δ++Δ⇒ βθθα glmClmJLlm ppppp&&&&& (53)

Ecuaţiile liniarizate pentru sistemul “Pendul Invers Rotativ” în poziţia vertical_Down:

Linearized equations for the system vertical_Down position:

⎪⎩

⎪⎨

=Δ+Δ+Δ++Δ

=Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++Δ+Δ+

0)(

)(

2

2

θθθα

αθα

glmClmJLlm

uRK

RKKCLlmLmJ

ppppp

a

t

a

btbppb

&&&&&

&&&&& (54)

Alegem variabilele de stare de forma: Choose state variables of the form:

[ ] [ ]TTxxxxx ααθθ ΔΔΔΔ== &&43

*2

*1

Relaţia (54) devine: The relation (54) becomes:

Page 15: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

145

⎪⎩

⎪⎨

=++++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

0)(

)(

*2

*1

*1

23

3*13

2

glxmxCxlmJxLlm

uRKx

RKKCxLlmxLmJ

ppppp

a

t

a

btbppb

&&

&& (55)

Facem următoarele notaţii: We make the following notations:

glmhCflmJeRKd

RKKCcLlmbLmJa pppp

a

t

a

btbppb ==+==+==+= ;;;;;);( 22

În continuare prelucrarea este identică cu prelucrarea (43), ca şi în cazul pendul_Up.

Next processing is identical to processing (43), as in the case pendul_Up.

⎩⎨⎧

=+++=++

⇒02113

313

hxfxxexbducxxbxa

&&

&&..........

2113

313⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−−=

=++⇒ x

bhx

bfx

bex

ducxxbxa

&&

&&

În urma prelucrării avem ecuaţiile de stare: After processing, we have equations of state:

u

eabde

eabdb

xxxx

eabce

eabhb

eabfb

eabcb

eabha

eabfa

xxxx

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−

−+

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−−

−−

−−

−−=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

0

0

0100

00001

0

2

2

4

3

*2

*1

222

222

4

3

*2

*1

&

&

&

&

(56)

Testarea modelării procesului pendul_Down: În acelaşi mod ca şi la modelul pendulului în poziţia vertical-Up, şi pentru poziţia vertical-Down testarea modelului matematic presupune simularea răspunsului sistemului liniar şi al celui neliniar raportate la punctul staţionar considerat. Răspunsul simulat al ecuaţiilor neliniare ale sistemului “Pendulul Invers Rotativ” în poziţie vertical_Down faţă de punctul staţionar este prezentat în Fig.11.

Testing process modeling pendul_Down In the same way as the pendulum model vertical_Up position, and position vertical_Down testing involves simulating mathematical model of the system response linear and nonlinear reported stationary point considered. Simulated response of nonlinear equations of the "Rotary Inversed Pendulum" vertical_Down position against stationary point is shown in Fig.11.

Page 16: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

146

3.Concluzii Procesul “Pendul Invers Rotativ”, deşi la prima vedere este doar o “jucărie”, datorită faptului că este un proces instabil, neliniar, subacţionat, poate constitui o bază pentru implementarea şi testarea în timp real a multor principii de reglare. Sunt convins că un algoritm de reglare testat pe acest sistem va genera multă experienţă de lucru cu algoritmul de reglare respectiv, experienţă ce poate conduce la implementarea acelui algoritm de reglare pe diverse alte procese reale, procese care nu permit realizarea unei multitudini de teste pentru validarea proiectării. Totodată, pe viitor poate fi continuată dezvoltarea modelului matematic prin introducerea în modelul matematic a unor diferite tipuri de frecări, luftul şi histerezisul de la motor, şi astfel, în proiectarea algoritmului de reglare să se ţină cont şi de aceste perturbaţii, analizându-se gradul de îmbunătăţire a performanţelor. Practic, cea mai bună utilizare a celor 2 sisteme

3.Conclusions The "Rotary Inversed Pendulum", although at first sight is just a "toy", because the process is unstable, nonlinear, underactuated, can provide a basis for implementing and testing real-time control of many principles. I am convinced that a control algorithm tested on this system will generate a lot of experience working with adjustment algorithm respectively, experience can lead to the implementation of this control algorithm on various other real processes, processes which not allow a variety of tests to validate the design. However, the future can be further developed mathematical model by introducing the mathematical model of different types of friction, luft, and hysteresis of the motor, and thus control algorithm design to take account of these disturbances, analyzing the performance level. Basically, the best use of the two systems is the

Fig.11. Simulated response of nonlinear equations of the system "Rotary Inversed Pendulum" vertical_Down position against stationary point

Fig.11.Răspunsul simulat al ecuaţiilor neliniare ale sistemului “pendulul invers rotativ” în poziţie vertical-Down faţă de punctul staţionar { }0;0;0;0 αααθθ =Δ=Δ=Δ=Δ &&

Page 17: MODELAREA MATEMATICĂ A MATHEMATICAL MODELING … POPESCU.pdfapproximates the real 'Rotary inverted pendulum ".This development will be useful in the design and implementation of a

Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2012

Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu, Engineering Series, Issue 2/2012

147

este realizarea practică a unei comparaţii între răspunsurile obţinute prin implementarea unor principii de reglare diferite, ce pot duce la concluzii importante despre aplicabilitatea în diferite clase de procese.

practical realization of a comparison between responses obtained by implementing different control principles that can lead to important conclusions about the applicability of the various classes of processes.

BIBLIOGRAFIE

REFERENCES

[1] C. Ionete, E. Manole, D. Surlea, “xPC MULTITASKING CONTROL FOR TWO QUANSER EXPERIMENTS”, 9th International Carpathian Control Conference- ICCC’2008, Sinaia, România, 25-28 Mai 2008, pag.263-266, ISBN 978-973-746-897-0 [2] H. Niemann, J. K. Poulsen, “Design and analysis of controllers for a double inverted pendulum”, ISA Transactions, Volume 44, Issue 1, January 2005, Pages 145-163 [3] A. Siuka, M. Schöberl, “Applications of energy based control methods for the inverted pendulum on a cart”, Robotics and Autonomous Systems, Volume 57, Issue 10, 31 October 2009, Pages 1012-1017 [4] J. Sieber, B. Krauskopf, “Complex balancing motions of an inverted pendulum subject to delayed feedback control”, Physica D: Nonlinear Phenomena, Volume 197, Issues 3-4, 15 October 2004, Pages 332-345 [5] J. Tang, G. Ren, “Modeling and simulation of a flexible inverted pendulum system”, Tsinghua Science & Technology, Volume 14, Supplement 2, December 2009, Pages 22-26


Recommended