Modelarea deciziei financiare şi monetare
Teoria consumatorului (introducere)
Alexandru Leonte
Departamentul de Monedă şi Bănci
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE FINANȚE, ASIGURĂRI, BĂNCI ŞI BURSE DE VALORI
Structura cursului
1. Teoria consumatorului – discuţie generală
2. Funcţii de utilitate
1. Teoria consumatorului – discuţie generală
Avem în centrul preocupărilor o persoană pe care o vom numi ˶agent consumator˝
Agentul dispune de venituri şi are cheltuieli legate de procurarea unor bunuri de consum
Consumul bunurilor îi aduce satisfacţie agentului; obiectivul său este resimţirea unei stări de satisfacţie cât mai intense
Vor exista situaţii în care satisfacţia resimţită va depinde şi de alte elemente (timpul liber, cantitatea de bani deţinută etc.)
Ne interesează să studiem modul în care agentul adoptă decizii în vederea îndeplinirii obiectivului său.
Modelul static al consumatorului
Modelul dinamic al consumatorului
Modelul cu 2 perioade (generalizare: m perioade) Modelul cu o infinitate de perioade
Decizia de consum în condiţii de risc şi incertitudine
Teoria consumatorului – aspecte abordate
2. Funcţia de utilitate
De citit: Varian (1992), cap. 7, Utility maximization , pag. 94-98 Mankiw (2008), cap. 21, The Theory of Consumer Choice, pag. 441-445
Funcţia de utilitate este folosită pentru cuantificarea stării de satisfacţie resimţită de agent, forma ei depinde de modelul teoretic utilizat
Presupunem că pe piaţă sunt disponibile n bunuri, şi vom nota:
0iq cantitatea consumată din bunul i, i=1,2,…,n
',...,, 21 nqqqq vector de consum
Q mulţimea tuturor vectorilor de consum
Q = orinde __
),0[...),0[
Pe mulţimea vectorilor de consum definim relaţia preferat sau indiferent
Dacă agentul resimte o satisfacţie mai mare sau egală consumând vectorul q comparativ cu vectorul r , vom spune că vectorul q este preferat sau indiferent lui r, notând
Similar putem defini relaţia strict preferat şi respectiv relaţia de indiferenţă
Cu ajutorul funcţiei de utilitate, noi realizăm o ˶corespondenţă˝ între relaţia de preferat sau indiferent şi relaţia ˶mai mare sau egal˝, definită pe mulţimea numerelor reale
rq
~
:U Q rUqUrq
Exemplu: pe piaţă, consumatorul are disponibile un număr de 3 bunuri, anume apă (îmbuteliată), sandvişuri şi mere. Vectorul de consum (2 3 1)’ semnifică faptul că agentul consumă 2 sticle cu apă, 3 sandvişuri şi un măr.
Exemplu: Agentul preferă să consume 1 sticlă de apă, 3 sandvişuri şi 1 măr, decât o jumătate de sticlă de apă, 2 sandvişuri şi 3,3 mere
3,325,0131
3,3
2
5,0
1
3
1
UU
Dacă lucrăm cu utilităţi cardinale, putem avea, de exemplu 3,325,01,24,2131 UU
Exemple de funcţii de utilitate: Funcţia de tip Cobb-Douglas: Funcţia de tip CES (Constant Elasticity of Substitution)
n
nn qqqqqqU ...,..., 2
2
1
121
n
i
i
i
1
1
1,0
1
2121 1, qqqqU
Utilitatea marginală – arată raportul dintre surplusul de utilitate dobândit şi surplusul de cantitate consumată dintr-un anumit bun, celelalte cantităţi fiind constante
Utilitatea marginală calculată într-un punct – pentru calculul ei, se presupune că modificarea cantităţii consumate este infinitezimală
i
imgq
UU
,
0 iq
qi
i
img Udq
dUU ',
De obicei, vom utiliza ipotezele conform cărora bunuri sunt ˶bune˝ iar consumatorul este nesăţios, prin urmare, utilitatea marginală va fi mereu pozitivă
0, i
imgdq
dUU
Totuşi, surplusul de utilitate generat de consumul adiţional dintr-un anumit bun va fi mai redus comparativ cu surplusul generat de o creştere similară realizată anterior – utilitatea marginală va fi o funcţie descrescătoare.
Exemplu: Pe piaţă există un singur bun, iar
qqU 2
01
q
qUmg
02
12
3
2
2
qqdq
Udq
dq
dUmg
Umg este descrescătoare şi pozitivă U este crescătoare şi concavă
Dacă agentul poate consuma doar cantităţi discrete (spre exemplu întregi) din bunul disponibil, profilul funcţiei de utilitate este asemănător.
q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U 0.00 2.00 2.83 3.46 4.00 4.47 4.90 5.29 5.66 6.00 6.32
U mg - 2.00 0.83 0.64 0.54 0.47 0.43 0.39 0.37 0.34 0.32
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U
q
De obicei, vom presupune că agentul poate consuma cantităţi infinit divizibile, astfel încât U să fie definită pe o mulţime de puterea continuului. Putem astfel vorbi despre continuitate, derivabilitate etc.
Proprietăţile funcţiei de utilitate
U: continuă, de 2 ori derivabilă, cu a doua derivată continuă
U: crescătoare în fiecare argument (Umg este pozitivă pentru fiecare bun)
U: concavă ( negativ definită este negativ definită)
În unele cazuri, sunt utilizate în aplicaţii funcţiile de utilitate cvasiconcave (q-concave), care alcătuiesc o clasă mai largă De asemenea, mai pot fi ˶ataşate˝ proprietăţi suplimentare, aparţinând aşa-numitului grup de condiţii Inada.
0,..,,.., 11,
n
i
nimg qqq
UqqU
Ud 2UH
i
qiimg
qi q
UU
0,
0limlim 0limlim ,
i
qiimg
qi q
UU
4,0
2
4,0
121, qqqqU Exemplu: graficul funcţiei
Reprezintă locul geometric al vectorilor de consum care furnizează acelaşi nivel de utilitate
Vom fixa utilitatea la un anumit nivel
(*)
De asemenea, relaţia poate fi privită ca o reprezentare (implicită) a unei funcţii care indică cât trebuie consumat dintr-un anumit bun pentru obţinerea unei anumite utilităţi , celelalte cantităţi fiind cunoscute.
(**)
Soluţiile ecuaţiei (*), sau echivalent, funcţia (**) formează o curbă (suprafaţă) de indiferenţă, care are reprezentare în planul n-dimensional în care pe fiecare axă este reprezentat consumul dintr-un bun.
Curbe (suprafeţe) de indiferenţă (de izoutilitate)
uqqU n ,...,1
uqqquqqU nnn ,,...,,..., 111
Exemplu: n=2, utilitate de tip Cobb-Douglas 4,0
2
4,0
121, qqqqU
1
2
5
2
4,0
2
4,0
121,q
uquqquqqU
Exemplu: n=3, utilitate de tip Cobb-Douglas 3,0
3
3,0
2
3,0
1321 ,, qqqqqqU
21
3
10
3
3,0
3
3,0
2
3,0
1321 ,,qq
uquqqquqqqU
(figura din stânga)
(figura din dreapta)
Consumatorul preferă curbele de indiferenţă superioare celor inferioare
Curbele de indiferenţă sunt descrescătoare
Curbele de indiferenţă nu se intersectează
Curbele de indiferenţă sunt convexe
Rata marginală de substituţie a bunului i cu bunul j – arată cu cât se va modifica cantitatea consumată din bunul j la o modificare a cantităţii consumate din bunul i, astfel încât utilitatea resimţită să rămână aceeaşi
RMS măsurată într-un punct – porneşte de la presupunerea că modificările sunt infinitezimale
Proprietăţile curbelor de indiferenţă
0
.
constUi
j
ijq
qRMS
.constUi
j
ijdq
dqRMS
are interpretarea derivatei curbei de indiferenţă
Exemplu (discuţie privind caracterul convex)
Considerăm curba de indiferenţă
Calculăm RMS a bunului 1 cu bunul 2 în
următoarele puncte situate pe curbă:
(4,512), (64,128) şi (256,64) şi obţinem:
4,0
2
2,0
121, qqqqU
1111161
212
5121024
qqqdq
d
dq
dqRMS
U
1
221
102416,
qqqqU
Punct 4,512 64,128 256,64
RMS1,2 -64 -1 -0.125
(4,512)
(64,128)
(256,64)
Discuţie
În primul punct, agentul beneficiază de o cantitate mică de bun 1, ˶echilibrată˝ de o cantitate mare de bun 2. ˶Rata de schimb ˝ dintre cele două bunuri , adică rata marginală de substituţie, prevede că o scădere foarte mică din cantitatea consumată din bunul 1 va trebui să fie compensată de o creştere de 64 de ori mai mare a consumului din bunul 2.
În al doilea punct, cele două bunuri sunt consumate în cantităţi mai apropiate, iar rata marginală de substituţie a bunului 1 cu bun 2 a scăzut (în modul).
În cel de-al treilea punct, cantitatea din bunul 1 este mult mai mare decât cea consumată din bunul 2, o scădere din prima va fi compensată la un raport mai mic
Rata marginală de substituţie (1 cu 2) este descrescătoare în modul dar crescătoare în valori (deoarece este negativă).
02
1
2
2
1
2
dq
qd
dq
dqcurba de indiferenţă este convexă
Exemplul anterior sugerează că bunurile consumate în cantităţi mari se substituie mai ˶uşor˝...
...un motiv ar putea fi legat de faptul că aceste bunuri au în punctul respectiv o utilitate marginală redusă, ceea ce înseamnă că dacă vom consuma ceva mai puţin din ele, nu pierdem cine ştie ce utilitate...spre deosebire de bunul alternativ, de care se beneficiază într-o cantitate mai mică şi care are o utilitate marginală mai mare...un surplus mic de consum din acest bun aduce un surplus mai consistent de utilitate...
Este intuitiv prin urmare să legăm RMS de utilităţile marginale ale celor două bunuri calculate în punctul respectiv, mai precis, de raportul utilităţilor marginale
Demonstraţia – pe baza dezvoltării în serie Taylor de ordin I
jmg
img
j
i
constUi
j
ijU
U
q
U
q
U
dq
dqRMS
,
,
.
Am văzut anterior că RMS măsoară panta curbei de indiferenţă
Elasticitatea de substituţie măsoară gradul de curbură al acesteia
Elasticitatea de substituţie reprezintă raportul dintre modificarea procentuală a raportului cantităţilor consumate din două bunuri şi modificarea procentuală a RMS. Pentru modificări infinitezimale:
ij
i
j
constU
ij
ij
i
j
i
j
ijRMSd
q
qd
RMS
dRMS
q
q
q
qd
ln
ln
...
.
Exemplu: Considerăm funcţia de utilitate CES
...şi curba de indiferenţă
Elasticitatea de substituţie va fi:
Obs: Pe grafic NU avem 3 curbe care fac parte
din aceeaşi familie! Lucrăm cu 3 funcţii CES
diferite!
Cu cât elasticitatea de substituţie va fi mai mare, cu atât bunurile vor fi mai substituibile, iar curba de indiferenţă se va apropia mai mult de o dreaptă
Pentru bunuri perfect substituibile, curba de indiferenţă este o dreaptă iar
(studiaţi exemplul funcţiei de utilitate liniare )
Cu cât elasticitatea de substituţie va fi mai mică, cu atât bunurile sunt mai complementare (bunuri perfect complementare, )
(studiaţi exemplul funcţiei de utilitate de tip Leontieff )
1
2121 5,05,0, qqqqU
10, 21 qqU
12
1
112
2121, qqqqU
012
2121 ,min, qqqqU
Temă
Demonstraţi că, pentru funcţia de tip CES, elasticitatea de substituţie ia forma indicată în slide-ul anterior.
Calculaţi acelaşi indicator pentru o funcţie Cobb-Douglas de 2 argumente,
Ce observaţie puteţi face legat de cele două tipuri de funcţii de utilitate?
1
2121, qqqqU
