Modelarea a a Dispersiei Poluantilor in Acvifere

8/2/2019 Modelarea a a Dispersiei Poluantilor in Acvifere

1/10

Modelarea matematidi a dispersiei poluantilor in acvifere

Descrierea fizica a fenomenului de dispersie poate fi facuta prin suprapunerea unuifenomen de difuzie rnoleculara a substantei poluante eu un fenornen de convectie (advectie),datorat existentei unui camp de viteze in domeniul in care are loc poluarea. Vom studia dispersiaunui poluant in apa aflata intr-un mediu poros, prin determinarea concentratiei substanteipoluante intr-un punet din domeniul de eurgere, la un moment dat. Aceasta concentratie esteinfluentata de natura mediului poros (prin porozitate, conduetivitate hidraulica, tortuozitate), deregimul de curgere (prin campul vitezelor) si de natura poluantului (prin eoefieientul de difuziemoleculara).

In literatura de specialitate sunt prezentate trei categorii de modele matematice alefenomenului de dispersie a unui poluant In apa aflata intr-un mediu poros:

modele geometrice; modele geometrice- statistice; modele probabiliste.

Modele geornetrice ~icele geometrice - statistiee au la baza reprezentarea mediului 'porosprintr-o retea geornetrica, care sa permits exprimarea matematica a fenomenului, Astfel demodele necesita un numar mare de parametri, caracteristici geometriei date. Reprezentareamediului poros printr-o retea geornetrica constituie 0 idealizare a conditiilor reale.

Pentru a face numarul cel mai rnic de presupuneri eu privire la geometria locala a mediuluiporos s-a cautat un model general, 0 reprezentare generala a dispersiei. Aceasta a conduslarealizarea unor modele probabilistice, bazate pe ideea ca datele privitoare la mediul poros suntaleatorii si ca cea mai potrivita reprezentare a unei situatii este aceea de a reprezenta mediulprintr-un set de variabile aleatorii.

De asemenea, exista deduceri deterministe ale ecuatiei dispersiei. Acestea se bazeaza pelegea conservarii masei si pe cele doua legi ale lui Fick,

1 Ecuatia dispersieiEcuatia care descrie fenomenul de transfer de masa, intr-un fluid care circula printr-un

rnediu poros, in forma generala este:aC(x,y,z,t). .. [ = ( ) ( . ( dC(X,y,z,t))~=+div D x,y,z,t P x,Y,z,t gra ( ) ~at p x, y,z,t~ d i v [ li (x , y, z,t )c(x ,y , z,t )]+ S,

(3.1)

respectiv:aC(x,y,z,t) = T.C.+T.D,+Sr

at (3.2)in care:


2/10

Ctx.y.z.t) este concentratia poluantului intr-un punct din domeniu la un moment dat;v(x,y ,z , t ) este viteza apei in porii mediului saturat;p(x , y, z , t ) - densitatea amestecului;O(x,y,z,t) - coeficientul de dispersie a poluantului In apa din rnediul poros;Sr - reprezinta 0 sursa de substanta poluanta, intr-un punct sau intr-o zona din domeniu;T.O. reprezinta transportul difuzional si se realizeaza prin rniscarea neincetata a

moleculelor care se ciocnesc ~ischimba astfel intre ele energia sau mornentul;T.C. este transportul convectiv (advectiv) si corespunde deplasarii particulelor antrenate de

miscarea generala a fluidului. In acest caz, deplasarile au un caracter determinist.In multe lucrari din literatura de specialitate se face referire la aceasta ecuatie atunci cand

se doreste exprimarea maternatica a fenomenului de dispersie.Din analiza fenomenului de dispersie a unui poluant intr-un mediu poros rezulta existenta a

trei mecanisme principaie, de migratie a substantelor poluante: convectia (advectia);

difuzia rnoleculara;dispersia mecanica sau cinematica,

Pornind de la definirea fenomenului, se va Incerca exprimarea maternatica a celor trei

mecanisme.Prin convectie (advectie) se intelege antrenarea elementelor In solutie, in rniscarea fluidului

care se deplaseaza.Oifuzia moleculara este un fenomen fizic legat de agitatia rnoleculara. Tntr-un fluid in

repaus, miscarea browniana provoaca deplasarea particulelor in toate directiile spatiului. Dacaconcentratia fluidului este ornogena in spatiu, doua puncte vecine trimit, in medie, acelasi numarde particule unuI spre celalalt, iar agitatia moleculara nu modifica concentratia solutiei, Dacaexista un gradient de concentratie intre doua punete vecine, punetul eu concentratie mai ridicatava trimite, in medie, mai multe particule in toate directiile dedit punetele cu concentratie maislaba. Rezultatul acestei agitatii moleculare va fi un transfer de partieule dinspre zona ellconcentratie mai ridicata spre eea eu concentratie mai scazuta.

Dispersia cinematica (rnecanica) este un fenomen de amestec, legat de eterogenitateavitezelor macroscopice.

Dispersia cinematica ar putea fi rezumata prin urmatoarele aspecte: a propagare rnai rapida a elementelor transportate in axa pori lor; 0 diferenta a vitezelor medii intre pori diferiti; liniile de curent se intrepatrund, provocand 0 dilutie neuniforma a concentratiei.Oeci, dispersia cinematica este rezultatul existentei unui camp de viteze real, complex si

necunoscut, pe care il neglijam in fenomenul de convectie cand utilizam viteza medie, fictiva,Darcy.

2


3/10

Coeficientul D (x , y, z , t ) din ecuatia (3.1) se numeste coeficient de dispersiesi coniine Inel atat efectul difuziei moleculare a poluantului In apa cat si pe cel al vitezei apei In poriimaterialului poros. Acest parametru este caracteristic unei situatii date ~i este, in general untensor. Daca se exprima tensorul dispersiei In directiile principale de anizotropie, else reduce latrei componente:

DL 0 0D= 0 Dr b (3.3)

0 0 Drunde:

DL este numit coeficient de dispersie longitudinala (in sensu I curgerii);DT este numit coeficient de dispersie transfersala (In doua directii ortogonale la directia decurgere).

Acesti coeficienti se pot exprima sub forma:DL = Do + a L l v lD ]' = Do + a 1 ' l v l

(3.4)(3.5)

In care:aL se numeste coeficient de dispersie intriseca longitudinala sau d ispersivitatelongitudinala;ar - coeficient de dispersie intriseca transversals sau dispersivitate transversala;Do - coeficient de difuzie moleculara efectiva a poluantului In mediul poros;I v l - modulul vitezei reale In pori.Viteza real a a solutiei fermata din apa si poluant prin porii solului se poate ealeula in

functie de viteza Darcy $i de porozitatea mediului poros.

Dad se considera ca dispersia poluantului se face In tot spatiul porilor $ i ea toata apa dinpori participa la curgere, atunei:

_ Uv =-n (3.6)unde:

n - porozitatea mediului poras;U - viteza Darcy.I n cazulin eare dispersia poluantului se faee in tot spatiul pori lor, dar nu toata apa din pori

participa la eurgere ci numai apa libera (existand apa legata In jurul partieulelor solide) atuneiviteza reala se calculeaza In functie de porazitatea cinematica n, (eficaee sau efectiva):

3


4/10

_ uV=-ne (3.7)Coeficientul de difuzie rnoleculara efectiva a poluantului in mediul poros, Do este

proportional cu coeficientul de difuzie rnoleculara al poluantului in apa, Dm ~i depinde detortuozitatea materialului poros.

Prin tortuozitate (1) se intelege raportul dintre distanta dintre capetele traiectoriei parcursede poluant (in linie dreapta) ~i distanta reala, parcursa prin pori (mai mare decat cea reala).

2 Schema dispersieiFenomenul de dispersie a unui poluant in apa care circula printr-un mediu poras poate fi

modelat matematic printr-un sistem de ecuatii cu derivate partiale dupa cum urrneaza:Ecuatia dispersiei:

(3.8)

In care:R - factor de intarziere

Ecuatia de continuitate:Daca mediul poros este alimentat de 0 sursa exterioara, debitul masic primit sau cedat din

exterior fiind C e q ) , ecuatia de eontinuitate se serie sub forma:(3.9)

Ecuatia Darcy:=t J = - ' 5 _ . (gradp + pggradz)T J

(3.10)

In care:t J - viteza Darcy;k

i- coefieientul de permeabilitate intrinseca al mediului poros;

T ] - coefieientul de vascozitate dimanica a l apei;p - presiunea apei din pori;z - cota fata de un nivel de referinta;

Ecuatiile de stare ale amesteculuiDensitatea solutiei care circula prin pori, p, vascozitatea dinamica a acesteia, '1 $1

coeficientul de difuzie moleculara Dill) a poluantului in apa interstitiala, variaza II I fuctie deconcentratia poluantului:

4


5/10

p = j (C)7 J = g ( C )D m = D J C )

(3.11 )(3.12)(3.13)

Toate marimile eare intervin In aceste ecuatii sunt functie de x.y.z.t. In forma generala,eoefieientii ecuatiei dispersiei depind de concentratia C.

Pentru a obtine solutii ell semnificatie fizica , ecuatiilor I i se irnpun conditii initiale ~Iconditii pe frontiere, numite conditii de unicitate.

RezoJvarea unei probleme concrete de poluare a solului sau a acviferelor consta Inintegrarea simultana a ecuatiilor (3.8 - 3.13).

Pentru acvifere prin introducerea vitezelor Darcy in ecuatia de continuitate se obtine 0relatie numita ecuatia de difuzivitate a acviferelor. Aceasta este diferita 1 1 1 cazul acviferelor cusuprafata libera, fata de cazul celor sub presiune. Deci pentru acvifere se integreaza mai inta:ecuatia de difuzivitate, rezultand vitezele in tot domeniul analizatsi apoi ecuatia de dispersie apoluantului.

Ecuatia de dispersie se scrie pentru fiecare componenta poluanta, din solutia care circulapnn pon.

Nu exista metode directe care sa perrnita rezolvarea sisternului de ecuatii rnentionat.

3. Integrarea analitica a ecuatiei dispersiei unidimensionale pentru un stu diu de cazSe analizeaza dispersia unui poluant in apa dintr-un acvifer aflat in legatura cu un lac poluat,D ,-- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - , C

x=OV , . " ,~L

x=350m

p

H=35m H=30m

A -- - .- . -~"" .- . . . ~- .- .- ..- .- . - ..-..- - ..~-- -~~--- - - - - ' B100050

5


6/10

Vom calcula marimile caractenstice curgeru In lungul liniei de curent LP=pantahidraulica, viteza de infiltratie, viteza realain pori, timpul de parcurgere a acviferului pe distantaLP.

1 = M ! = 30-35= _001428III Ax 350'

U/II = -k .111=-30(-0,01428)=0,4285 [ m / z i ]V r m = Um - = > V r m = 0,4285 = 2,1428 [mlzi]. nc 0, 2

Ax 350t m =-= =63,33[z iZe]r: 2,1428Sa se calculeze variatia concentratia unui poluant in acviferul din partea dreapta a lacului

mare din figura in lungul liniei de curent LP.

Se cunosc: conductivitatea hidraulica a acviferului k=30 [m/zi ]

porozitatea cinematica nc =0 ,2nivelul in lac, HL =35 E m ]nivelul in corpul de apa B, H B =30 [m]lungimea liniei de curent LP; Ax =350 [m]

Curgerea se face dinspre lac spre acvifer:

Se determina: Coeficientul de difuzie moleculara efectiva, daca coeficientul de difuzie moleculara a

poluantului in apa este D" , =1 0-9 [m2 / s), iar coeficinetu1 de tortuozitate este t= 0,7 Coeficientul de dispersie longitudinala In [m 2 / z i ] , daca se considera dispersivitatea

longitudinal a al = _ 1 L- 10 Calculati valorile concentratiei poluantului pe linie LP folosind solutia analitica a ecuatiei

dispersiei Faceti un tabel ell valorile concentratiei poluantului la distantele 1m, 10m, 100m, 350m,

la diferite momente de timp: 1, 10,20,40, 100, 150,200 zile de la inceperea poluarii Desenati curba C(x=350m, t) Cat este valoarea concentratiei In punctul p la x=350m, dupa 163 zile?

Ecuatia de dispersie unidimensionalea c = D a 2 C _ v a ca t L a x 2 a x

6


7/10

Conditii: - initiate C( x 2: 0, t""O)""Osipe frontiera C(x""O, t>O)= C o = Im g II; C(x=oo, t2 : 0)=0

C C o - x~vt ] C o . ( V . X ] _ r ; [ x+vt ]= -erJc ( ) 1 1 2 +-exp - e1jC . ( )1/22 2DL 't 2 DL 2DL,t2 x ,erf ( x ) " " Ce - I dt

"\Iff 0

erfc ( x )=l-erf ( x ) = ;_ f e - I ' dt"\Iff x

Do = r' Dill ~ Do = 0,7 ,10-9 [m 2/s]=0,7 ,10-9.24. 3 60 0[ m 2 / z iJ =6 ,0 48 .10-5 [m 2 I z iJD L = Do +aL I V " " I-coeficient de d ispersie longitudinala

1 1 3 0a =-L~al =_. 5 =35"10 "10DL =6,048, 10-5 + 352,1428 =7S[m 2 I z i]

Regimul de dispers ie se d eterm ina In functie de valoarea numarului Peelet:p = v .d; d-diametrul porilor; d= fke D I/It ,

III

Valoarea permeabilitatii intrinseci k , se deterrnina din tabele in functie de tipul soluluiLa k=30 [r n/z ij- nis ip g ro sie r, a tu ne ! k, = 10-1 0 [m 2]

p = Vrm ,d ~ pe D eIII

2,1428 .10-5 = 0 24810-9 243600 'Solutia analities a aecuatiei dispersiei este:

C o l x ~ v t j Co ( v . x ] [ x + v t ]C = -eifc ( ) ' 1 ' +-exp -. erfc ( T'2 2D 1_ t 2 DL 2D LtCo = lmg l l

7


8/10

v=2,1428 [m/zi]

C 05 ,r,[X-2,1428t] 05 (2,1428) ,r ,[X+2,1428.t]= , efjc + , exp erjc -------=-17,32.,Ji 75 17,32.,JiExemplu de calcul:

x=lm; t=1 ziC = 0,5er!c[1- 2,14211l + 0,5exp (2,1428)er!c[1 + 2,14211] =0,946[mgll]17,32 1 J 75 17,32 1

x=lm; t=IO zileC = 0,5er!c[l- 2,1428.10] + 0,5ex (2,1428)erjJ 1+ 2,14281 0]=0,972[m g /J ]17,32 ..flo p 75 l7,32 . . f l O x=lm; t=20 zileC = 0,5er!c[1- 2,1428.20] + 0,5 exp (2,1428)er!c[1 + 2,1428.20] =0,991 [mg/I]17,32Eo 75 17,32Eo x=lm; t=40 zileC = 0,5er!c[1- 2,1428.40] + 0,5exp(2,1428)eifc[1 +2,1428.40] =0,993 [mg/l]17,32.J40 75 17,32140 x=lm; t=l 00 zileC = 0,5er!c[1- 2,1428.100] + 0,5exp( 2,1428)er!c[1 + 2,1428'100: ==1mg!l]17,32.JiOO 75 17,32-J16Q x=lm; t=150 zileC = 0,5er!c[1- 2,1428 ,151 + 0,5exp(2,1428)er!c[1 + 2,1428 .150] =1[mg/I]17,32 . .Jj50 75 17,32.Ji5Q x=1m; t=200zileC = 0,5er!c[1- 2,1428.200] + 0,5exp(2,1428)er!c[J + 2,1428.200] =1[mg/I]17,32 0,./200 75 17,32 .J200

8


9/10

Tabel cu valorile concentratiei C In [mg/I]:

A 1 10 20 40 100 150 200011 0 0,946 0,972 0,991 0,993 1,000 1,000 1,00010 0 0,484 0,881 0,939 0,981 0,996 0,998 0,998100 0 0,025 0,237 0,578 0,912 0,982 0,971150 0 0 0 0,025 0,21 0,703 0,871 0,945200 0

0 0,002 0,070 0,540 0,790 0,900

350 0 0 0 0 0,005 0,135 0,425 0,672

C(x=350m,t= I3,4zile)=1 ,(350-2,14280163,4J 1 (35002,1428) ,(350+2,14280163,4J-erjC +-exp 0 erjC =2 20~75163,4 2 75 2~75.163,4=0,5 [mg/I]

1,21

0,8. . . . . .: : : :CD. s 0,6o 0,4

0,20

2 3 4 5 6x [m]

--+-- t=20zile_t=40zile:, t= 100zile

'.-7


10/10

3.4 Programe de calcul pentru analiza dispersiei

Cele mai utilizate programe de calcul pe plan mondial sunt: MODFLOW, The modular finite-difference groundwater flow model, [McDonald andHarbaugh, 1988]. Programul consta il l integrarea ecuatiei de difuzivitate in conditii defrontiera impuse, prin metoda diferentelor finite. Poate fi utilizat pentru diferite tipuri deacvifere, atat In regim permanent cat si nepermanent. Programul nu permite simulareacurgerii In mediu poros nesaturat si nici transportul de caldura sau de poluant. MT3D [Zheng, 1990], MOC3D [Konikov si colab., 1996] completeaza MODFLOW cumodelarea transportului de poluant In zona saturata. Aqua Chern - Aqueous Geochemistry Analysis, Plotting and Modeling este folositpentru analiza geochimica a probelor.

10

Date post:	06-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	syberya
View:	234 times
Download:	0 times

Modelarea a a Dispersiei Poluantilor in Acvifere

Documents