Miscarea Oscilatorie Miscarea Oscilatorie Armonica Armonica

Miscarea Oscilatorie Miscarea Oscilatorie Armonica Armonica

Sabou Paula Chiribisan Diana Dragos Rafael Sabou Paula Chiribisan Diana Dragos Rafael Hosu Catalin Hosu Catalin Cls a XI-a CCls a XI-a C

Miscarea oscilatorie armonica def

• Def : Miscarea oscilatorie armonica este miscarea oscilatorie cu amplitudine liniara si constanta in care acceleratia este proportionala cu elongatia si de semn contrar ei.

Ecuatiile miscarii oscilatorie armonice

• Consideram ca punctul material porneste din A.

= Δα / Δt => Δα = Δtα = tR = A

sin α = y / A => y = A sin tConditia de maxim :

y ymax = Asin (t + φ0) = +-1 t +φ0 = π/2 => t =

π/2 – φ0

t = (π/2 – φ0) / Generalizare : t = [(2k+1)π/2 – φ0] /

Ecuatia vitezei

v = ve cos α Masa circulara

= Δα / Δt (relatie de definitie) = v / R (modul) =>

v = R

R = A v = A cos (t + φ0)Conditia de maxim

v --> vmax =t pt.cos (wt + φ0) = 1 t+φ0 = 2kπ => t =

(2kπ – φ0)

Ecuatia acceleratiei

Racp 2 sau => Conditia maxima :

pentru sin(t + φ) = 1

Asin (t + φ0) = y

Aacp 2 )sin(2 OtAa

Aaa 2max

ya 2

• Def : Miscarea oscilatorie

armonica este o miscare periodica care se repeta identic la intervale egale de timp.Ea este reprezentata printr-o functie periodica.

• T = 2π /

Perioada pentru un resort elastic

tAmKy sin2

tAmtAK sinsin 2

Fe = - Ky ; - Ky = ma ;

= √ K / m ; 2π / t = √ K / m

= 2π / T ;T = 2π • √ m/K

Legi : • perioada depinde direct proportional de √ m

• perioada depinde invers proportional de √ KObservatie : • perioada resortului nu depinde de marimi variabile si nu poate fi influentata.

mK 2

Grupari resorturi :

• a) Serie y = y1 + y2 ;

Constanta echivalenta :

1/Ks = 1/K1 + 1/K2Ks =K1K2 / (K1 + K2)

Ts = 2π √ m/Ks

b) Paralel

Kp =K1 + K2Tp = 2π √m

/Kp

Perioada pentru pendul matematic Unghiul care corespunde elongatiei :

α = elongatie unghiulara α ya0= amplitudine unghiulara α0 A

Gn = G cos α ; Gt = G sin α Gn – la pozitia de extrem este anulata de tensiunea in fir.

Gt = mg sin α ; ma=mg • y / l

m2y = - mg • y /l

2 = g /l ; = √g / l ; T = 2π √ l / g

Energia in miscarea oscilatorie armonica

• Et = Ec + Ep

• Obs : In miscarea oscilatorie armonica energia se conserva.

• Et = Epmax ( V = 0 )• Et = Ecmax ( y = 0 )• Scop Et = ?• ; y = A sin t ; v = A cos t

=>

22

2

1

2

1KyvmEt

tAKtmEt 2222 sin2

1sin

2

1

)cos(sin2

1 222 ttAKEt

2

2

1AKEt

• Energia in miscarea oscilatorie armonica pentru resort elastic

• ; ; ;Obs. Daca nu se cunoaste viteza si se da in ipoteza valoarea lui A respectiv y se aplica conservarea energiei.

• Ec = Et + Ep ; ;•• Energia in miscarea oscilatorie armonica

pentru pendul matematic• H = l • l cos α ; H = l (1- cos α) ; Ep =

mgh ;• Ep = mgl (1- cos α)

2

2

1 Ec vm 2yKEp

2

2

1AKEt

22

2

1

2

1yKAKEc

)(2

1 22 yAKEc

Oscilaţiile unui sitem cu un singur grad de

libertate• Cazul cel mai simplu de mişcare oscilatorie este acela

al unui sistem cu un singur grad de libertate, adică al unui sitem a cărui mişcare este descrisă complet dacă se cunoaşte modul în care variază, în funcţie de timp, o singură mărime de stare, liniară.

• Ecuaţia mişcării este• Unde: • -m masa punctului material, • -s elongaţia mişcării• -ks forţa elastică• -hs’ forţa de rezistenţă a mediului vâscos.

tFksshsm

 

Oscilaţii amortizateDacă în ecuaţia de mişcare h0 mişcarea oscilatorie este amortizată, adică

sau

unde şi şi integrala acestei ecuaţii este unde r1 şi r2 fiind rădăcinile ecuaţiei caracteristice

iar C1 şi C2 două constante.

Se deosebesc următoarele cazuri:

m

h2

m

k2

trtr eCeCS 2121

02 22 rr

0ksshS+m

02 sss

1. 1. Forţa de frânare are intensitate mică, deci . În acest caz r1 şi

r2 sunt imaginare conjugate şi integrala ecuaţiei devine

2.unde Sm şi fiind două constante ale căror valori se determină din condiţiile iniţiale

ale mişcării. Pseudoperioada de mişcare este în acest caz

Relaţia lui T ne arată că perioada mişcării amortizate este mai mare decât cea a unei mişcări neamortizate. Două amplitudini care se succed la intervale de o perioadă au valori care sunt în raportul

al cărui logaritm se numeşte decrementul logaritmic al mişcării oscilatorii amortizate

graficul variaţiei lui S în funcţie de timp fiind de tipul celei din figură.

22

teSS tm sin22 i

22

22

T

T

Ttm

tm eeS

eS

T

1. Forţa de frecare are intensitatea mare, deci în acest caz r1 şi r2 sunt reale şi se poate scrie Când timpul creşte, elongaţia tinde către zero fără ca mişcarea să aibă un caracter oscilator. Mobilul tinde asimptotic către poziţia de repaus, care corespunde lui S=0. Graficul variaţiei lui S în funcţie de timp, are o formă care depinde de valoarea vitezei iniţiale v0.

 

tttm eCeCeSS

2222

21

1.  Cazul intermediar =. În acest caz ecuaţia caracteristică are o rădăcină dublă şi deci unde C1 şi C2 sunt două constante ale căror valori se deduc din condiţiile iniţiale ale mişcării. Mişcarea este aperiodică şi S tinde spre zero când timpul creşte fără   

teCCS 21

ca mobilul să oscileze.

Fenomenul de bătăiFie două mişcări oscilatorii de aceeaşi amplitudine şi frecvenţe foarte apropiate 1 şi 2 şi

Oscilaţia rezultantă se va efecua după o lege care se obţine scriind că în orice moment elongaţia rezultantă este suma elongaţiilor componente, deci

Sau Ralaţia arată că oscilaţia rezultantă are o amplitudine  Care variază în timp, intervalul între două maxime sau două minime fiind , iar pulsaţia mişcării rezultante fiind 0 Acest fenomen poartă numele de bătăi.

d01 d02

tAS 11 sin tAS 22 sin

tdtdASSS 0021 sinsin

ttdAS 0sincos2

tdAA rez cos2

d

2

Probleme rezolvate • . De un resort elastic , a cărui constantă elastică

este de k = 103 N•m-1, este suspendat un corp de masă m = 0,1 kg. Pendulul elastic astfel format oscilează . Impulsul pendulului la distanţa y1 = 3 cm de poziţia de echilibru este p1 = 0,3 √3 kg•m•s-1. Se cer :

• legea de mişcare (faza iniţială este nulă) ;• energia cinetică şi potenţială în momentul în care

y2 = 2 cm.• Rezolvare :• a) Pulsaţia se află din relaţia k = mω2 => ω=

k / m =102 rad/s.• Pentru a calcula amplitudinea , folosim condiţiile

date :• elongaţia y1=A sin ωt1

(I)• şi impulsul p1 , când elongaţia este y1 ;• p1 = mv1 = mA ω cos ωt1 sau p1 /

mω=A cos ωt1. (II)

• Ridicând (I) şi (II) la pătrat şi adunându-le se obţine :

• A = y12 + p12 / m2ω2 = 6 • 10-2 m.

• Legea de mişcare se scrie :• y = 6 • 10-2 • sin 102t.• Când y2= 2 cm energia potenţială este :• Ep = ky22 / 2 = 103 • 4 • 10-4 / 2 = 0,2 J.• Energia cinetică poate fi aflată fie prin calcularea în

prealabil a pătratului vitezei v22 când y2 = 2 cm , fie prin scăderea energiei potenţiale din energia totală , ceea ce este mai simplu. Vom proceda în ambele feluri .

• I. Pătratul vitezei este : • • v22 = A2ω2cos2ωt ,• dar sin ωt = y2 / A şi înlocuind în relaţia precedentă

obţinem :• v22 = A2ω2(1 – y22 / A2) = 36 • 10-4 • 104 •((36 • 10-4

– 4 • 10-4) / 36 • 10-4 ) = 32 m2 / s2.• Deci Ec = ½ • mv22 = 1,6 J.• II. Folosind legea conservării energiei, • Ec = E – Ep = ½ kA2 – ½ ky2 = ½ k(A2 – y2) = 1,6 J.

Biblografie

• http://images.google.ro/imgres?imgurl=http://www.fizica.ro/textbooks/fizica11/html/img/1a5_4.jpg&imgrefurl=http://www.fizica.ro/textbooks/fizica11/html/1a5.html&usg=__gMS8TJqy9jjtuLeTE_6QaPnBQa0=&h=400&w=401&sz=12&hl=ro&start=12&um=1&tbnid=ZsOCi1zquxcCtM:&tbnh=124&tbnw=124&prev=/images%3Fq%3Dmiscarea%2Boscilatorie%2Barmonica%26hl%3Dro%26lr%3Dlang_ro%26sa%3DN%26um%3D1

• http://www.referatele.com/referate/fizica/online5/Miscarea-oscilatorie---perioada-miscarii-oscilatorie-armonica-referatele-com.php

• http://referat.clopotel.ro/Miscarea_oscilatorie_armonica-6860.html• http://www.calificativ.ro/referate/referat-Fizica___Miscare_oscilatorie-ri

d4304.html• http://www.referatele.com/referate/fizica/online7/Miscarea-

oscilatorie---Ecuatiile-miscarii-oscilatorie-armonice-Ecuatia-vitezei-Ecuatia-acceleratiei-.php

Componenta

• Sabou Paula• Dragos Rafael• Hosu Catalin• Chiribisan Diana • cls a-XI-a C