1. Miscarea Oscilatorie Armonica Sabou Paula Chiribisan Diana Dragos Rafael Hosu Catalin Cls a XI-a C

2. Miscarea oscilatorie armonica def

• Def : Miscarea oscilatorie armonica este miscarea oscilatorie cu amplitudine liniara si constanta in care acceleratia este proportionala cu elongatia si de semn contrar ei.

3. Ecuatiile miscarii oscilatorie armonice

• Consideram ca punctul material porneste din A.

= / t => = t = t R = A sin = y / A => y = A sin t Conditia de maxim : y y max = A sin ( t + 0 ) = +-1 t + 0 = /2 => t = /2 0 t = ( /2 0 ) / Generalizare : t = [(2k+1) /2 0] /

4.

• Ecuatia vitezei

v = ve cos Masa circulara = / t (relatie de definitie) = v / R (modul) => v = R R = A v = A cos ( t + 0) Conditia de maxim v --> vmax = t pt.cos (wt + 0) = 1 t+0 = 2k => t = (2k 0)

5.

• Ecuatia acceleratiei

sau => Conditia maxima : pentru sin( t + ) = 1 Asin ( t + 0) = y

6.

• Def : Miscarea oscilatorie armonica este o miscare periodica care se repeta identic la intervale egale de timp.Ea este reprezentata printr-o functie periodica.

• T = 2 /

Perioada miscarii oscilatorii armonice

7. Perioada pentru un resort elastic Fe = - Ky ; - Ky = ma ; = K / m ; 2 / t = K / m = 2 / T ; T = 2 m/K Legi : perioada depinde direct proportional de m perioada depinde invers proportional de K Observatie : perioada resortului nu depinde de marimi variabile si nu poate fi influentata.

8. Grupari resorturi :

• a) Serie

y = y1 + y2 ; Constanta echivalenta : 1/Ks = 1/K1 + 1/K2 Ks =K1K2 / (K1 + K2) Ts = 2 m/Ks b) Paralel Kp =K1 + K2 Tp = 2 m /Kp

9. Perioada pentru pendul matematic Unghiul care corespunde elongatiei : = elongatie unghiulara y a 0 = amplitudine unghiulara 0 A G n = G cos ; G t = G sin Gn la pozitia de extrem este anulata de tensiunea in fir. G t = mg sin ; ma=mg y / l m 2y = - mg y /l 2 = g /l ; = g / l ; T = 2 l / g

10. Energia in miscarea oscilatorie armonica

• E t = E c + E p

• Obs : In miscarea oscilatorie armonica energia se conserva.

• E t = Epmax ( V = 0 )

• E t = Ecmax ( y = 0 )

• Scop E t = ?

• ; y = A sin t ; v = A cos t

• =>

11.

• Energia in miscarea oscilatorie armonica pentru resort elastic

• ; ; ; Obs. Daca nu se cunoaste viteza si se da in ipoteza valoarea lui A respectiv y se aplica conservarea energiei.

• E c = E t + E p ; ;

• Energia in miscarea oscilatorie armonica pentru pendul matematic

• H = l l cos ; H = l (1- cos ) ; E p = mgh ;

• E p = mgl (1- cos )

12. Oscilaiile unui sitem cu un singur grad de libertate

• Cazul cel mai simplu de micare oscilatorie este acela al unui sistem cu un singur grad de libertate, adic al unui sitem a crui micare este descris complet dac se cunoate modul n care variaz, n funcie de timp, o singur mrime de stare, liniar.

• Ecuaia micrii este

• Unde :

• - m masa punctului material,

• - s elongaia micrii

• -ks fora elastic

• -hs fora de rezisten a mediului vscos .

t F ks s h s m

13.

• • • • • Oscilaii amortizate

• Dac n ecuaia de micare h 0 micarea oscilatorie este amortizat, adic

• sau

• unde i i integrala acestei ecuaii este

• unde r 1 i r 2 fiind rdcinile ecuaiei caracteristice

• iar C 1 i C 2 dou constante.

• Se deosebesc urmtoarele cazuri:

0 ks s h S+ m 0 2 s s s

14.

• 1. Fora de frnare are intensitate mic, deci . n acest caz r 1 i r 2 sunt imaginare conjugate i integrala ecuaiei devine

• unde

• S m i fiind dou constante ale cror valori se determin din condiiile iniiale ale micrii. Pseudoperioada de micare este n acest caz

• Relaia lui T ne arat c perioada micrii

• amortizate este mai mare dect cea a unei

• micri neamortizate.

• Dou amplitudini care se succed la intervale

• de o perioad au valori care sunt n raportul

• al crui logaritm

• se numete decrementul

• logaritmic al micrii oscilatorii amortizate

• graficul variaiei lui S n funcie de timp

• fiind de tipul celei din figur.

15. 1. Fora de frecare are intensitatea mare, deci n acest caz r 1 i r 2 sunt reale i se poate scrie Cnd timpul crete, elongaia tinde ctre zero fr ca micarea s aib un caracter oscilator. Mobilul tinde asimptotic ctre poziia de repaus, care corespunde lui S=0. Graficul variaiei lui S n funcie de timp, are o form care depinde de valoarea vitezei iniiale v 0.

16. 1. Cazul intermediar = . n acest caz ecuaia caracteristic are o rdcin dubl i deci unde C 1 i C 2 sunt dou constante ale cror valori se deduc din condiiile iniiale ale micrii. Micarea este aperiodic i S tinde spre zero cnd timpul crete fr ca mobilul s oscileze.

17. Fenomenul de bti Fie dou micri oscilatorii de aceeai amplitudine i frecvene foarte apropiate 1 i 2 i Oscilaia rezultant se va efecua dup o lege care se obine scriind c n orice moment elongaia rezultant este suma elongaiilor componente, deci Sau Ralaia arat c oscilaia rezultant are o amplitudine Care variaz n timp, intervalul ntre dou maxime sau dou minime fiind , iar pulsaia micrii rezultante fiind 0 A cest fenomen poart numele de bti.

18. Probleme rezolvate

• . De un resort elastic , a crui constant elastic este de k = 103 Nm-1, este suspendat un corp de mas m = 0,1 kg. Pendulul elastic astfel format oscileaz . Impulsul pendulului la distana y 1 = 3 cm de poziia de echilibru este p 1 = 0,3 3 kgms-1. Se cer :

• legea de micare (faza iniial este nul) ;

• energia cinetic i potenial n momentul n care y 2 = 2 cm.

• Rezolvare :

• a) Pulsaia se afl din relaia k = m2 => = k / m =102 rad/s.

• Pentru a calcula amplitudinea , folosim condiiile date :

• elongaia y 1= A sin t 1 (I)

• i impulsul p 1 , cnd elongaia este y 1 ;

• p 1 = mv1 = mA cos t1 sau p1 / m=A cos t1. (II)

19.

• Ridicnd (I) i (II) la ptrat i adunndu-le se obine :

• A = y12 + p12 / m22 = 6 10-2 m.

• Legea de micare se scrie :

• y = 6 10-2 sin 102 t .

• Cnd y2= 2 cm energia potenial este :

• Ep = ky22 / 2 = 103 4 10-4 / 2 = 0,2 J.

• Energia cinetic poate fi aflat fie prin calcularea n prealabil a ptratului vitezei v22 cnd y2 = 2 cm , fie prin scderea energiei poteniale din energia total , ceea ce este mai simplu. Vom proceda n ambele feluri .

• I. Ptratul vitezei este :

• v22 = A22cos2t ,

• dar sin t = y2 / A i nlocuind n relaia precedent obinem :

• v22 = A22(1 y22 / A2) = 36 10-4 104 ((36 10-4 4 10-4) / 36 10-4 ) = 32 m2 / s2.

• Deci Ec = mv22 = 1,6 J.

• II. Folosind legea conservrii energiei,

• Ec = E Ep = kA2 ky2 = k(A2 y2) = 1,6 J.

20. Biblografie

• http://images.google.ro/imgres?imgurl=http://www.fizica.ro/textbooks/fizica11/html/img/1a5_4.jpg&imgrefurl=http://www.fizica.ro/textbooks/fizica11/html/1a5.html&usg=__gMS8TJqy9jjtuLeTE_6QaPnBQa0=&h=400&w=401&sz=12&hl=ro&start=12&um=1&tbnid=ZsOCi1zquxcCtM:&tbnh=124&tbnw=124&prev=/images%3Fq%3Dmiscarea%2Boscilatorie%2Barmonica%26hl%3Dro%26lr%3Dlang_ro%26sa%3DN%26um%3D1

• http://www.referatele.com/referate/fizica/online5/Miscarea-oscilatorie---perioada-miscar