Mircea Selariu - Despre Radicali Si Exponentiale

Mircea Eugen elariu, DESPRE RADICALI I EXPONENIALE

1

Motto 1:Semnele aritmet ice sunt figuri scrise i figurile geometrice sunt formule desenate

David Hilbert

Motto 2: Algebra nu este dect o geometrie scris, geometria nu este dect o algebr figurat Sophie Germain

DESPRE RADICALI I EXPONENIALE

1. INTRODUCERE

n matematic, radicalul poate s fie al unui numr sau al unei funcii matematice. Radicalul unui numr reprezint un alt numr, care ridicat la o putere (exponent denumit ordinul radicalului) este egal cu numrul dat. Dac ordinul unui radical nu este precizat, atunci este vorba implicit de radicalul de ordinul 2,

denumit i rdcin ptrat. Fiecare numr real pozitiv x > 0 are dou rdcini ptrate: , iar fiecare numr real negativ x < 0 are dou rdcini ptrate complexe conjugate: , x > 0 i = . Radicalul unei funcii sunt alte dou funcii, care difer ntre ele doar prin semn ( + i ), a cror ridicare la ordinul radicalului, puterea indicat de radical, exprim (este egal / d) chiar funcia de sub radical. Rezolvarea / soluionarea radicalilor poate fi fcut analitic / algebric sau grafic. Deoarece metodele analitice sunt arhicunoscute, mai puin cea care poate utilizeaza n acest scop matematica atomic, prezentm n continuare, o metod grafic din lucrarea SUPERMATEMATICA. FUNDAMENTE, Vol I, Ediia a 2-a, Editura POLITEHNICA, Timioara, 2012, Cap.3 COMPLETRI I REDEFINIRI CORECTE N MATE-MATICA CENTRIC, 3.8 Forma geometric a expresiilor exponeniale de forma xn i x1/n, pag.106 110.

2. FORMA GEOMETRIC A EXPRESIILOR EXPONENIALE DE FORMA xn I x1/n

Fie triunghiul dreptunghic OSW (Fig. 1,a) cu unghiul drept n S i de unghi n centrul O(0,0). Astfel,

latura OW, numit de noi segmentul subunitar al semidreaptei exponenialelor, poate fi exprimat prin relaia

(1) i, pentru R = 1, rezult

(2) ale cror proiecii pe direciile x i y, ale unui reper cartezian drept, sunt

(3) ,

de modul x = cos i , n care, i = rad00 este fazorul direciei x i j = este fazorul direciei y.

Rotindu-l pe cu + , n sens trigonometric / levogin (sinistrorum), latura OS se suprapune peste latura OW i proiectndu-l din nou pe axa x rezult

(4) ,

a crui modul este x2 = cos2.

Rotindu-l, acum, pe x2 cu + i proiectndu-l, din nou, pe direcia x n x3 rezult

(5) .

Repetnd n mod analog operaiile , vor rezulta, n continuare, diversele puteri ale lui x: x4, x5, xn, .. n acest fel, a rezultat una din multiplele metode grafice de exprimare a diverselor puteri x

n ale unui

numr oarecarei x < 1.

Pentru X = 1/x > 1, se consider vectorul ca proiecie a vectorului , de pe axa x, pe direcia OW, n care X rezult

(6)

.

Rotindu-l pe acesta cu + peste OW i considerndu-l proiecie a lui X2 pe OW rezult


2

Fig. 1,a Reprezentarea grafic a exponenialelor xn i x n = 1/xn , x < 1

(7)

.

Repetnd operaiile, vom obine, n continuare, diferitele puteri ale unui numr oarecare X: X3, X4, ... , X

n,, ..n care X = 1/x >1.

Pentru exprimarea radicalilor de diverse ordine dintr-un numr 0 < x < 1, se consider vectorul (Fig.1,a),

R.rad care, pentru R = 1, este versorul direciei (rad), a crui proiecie pe axa x este

(8) Procedeul grafic, prezentat n figura anterioar, se aseamn foarte mult cu instrumentul XYZ al lui Ren Descartes [Ren Descartes, La Gometrie].

O vertical, ridicat din vrful lui , intersecteaz cercul CE[R = 0.5; C(0,5; 0)], ntr-un punct M (x, y) de

raz polar din O(0,0). Cerc denumit n continuare cercul exponenialelor, care trece prin centrul O(0,0) al cercului unitate orientat CU[R=1,O(0, 0)] i prin originea lui A(1,0),

Demonstraie: Triunghiul OMA (Fig.2,a) este dreptunghic, cu unghiul drept n M, deoarece M se afl pe cercul

exponenialelor CE i latura opus acestui unghi este un diametru al cercului CE i ipotenuz a triunghiului OMA. Se tie, din teorema nlimii, c nlimea unui triunghi dreptunghic, care este perpendicular pe ipotenuza acestuia (y), este egal cu produsul segmentelor determinate de ea pe ipotenuza OA, adic (9) y

2 = x (1- x) = x x 2

Pe de alt parte, modulul razei polare din O a lui M este

(10) , ceea ce era de demonstrat (QED).


3

Fig. 1,b Reprezentarea grafic separat a exponenialelor xn , x2n, x2n-1 i , x < 1

Reprezentarea grafic a exponenialelor, separat pe tipuri de exponeniale x2n, x2n-1, xn i , adic

pentru exponeni pari, impari, oarecare i exponeniali, este redat n figura 1,b.

3. SOLUIONAREA / REZOLVAREA GRAFIC A RADICALILOR

n concluzie, repetnd, dac pe cercul unitate CU [O(0,0), R = 1] (Fig.2,a) se alege un punct W(1, ) W (cos, sin), pe aceeai vertical cu M(x, y), a cror proiecii pe axa Ox sunt aceleai i egale cu x = cos, atunci modulul vectorul OM este egal cu radicalul lui x, adic

(11) .


4

Fig. 2,a Reprezentarea radicalului de ordinul n (

= x1/n

)

i a exponenialelor de forma

Rotind vectorul pn ce se suprapune peste axa x, obinem, pe aceast ax, valoarea radicalului din x i vectorul

(12) .rad00.

Ridicnd o perpendicular din vrful acestui vector, ea intersecteaz pe CE ntr-un punct M1 a crui raz polar r1 este

(13) .rad

, n care cos1 = x

, .a.m.d. pentru urmtorii exponeni.

Se observ imediat c, pentru n , punctul Mn XE tinde pe cercul exponenialelor spre originea

cercului unitate A(1,0), adic OMn 1, oricare ar fi x < 1. Altfel spus,

=

1.

Deci, ridicnd o perpendicular n x < 1, = cos.rad00, pe axa Ox, aceasta intersecteaz cercul exponen-ialelor n M i OM = .

Dac-l rabatem pe OM = pe axa Ox obinem, pe ax, punctul de modul x1 = . Ridicnd din nou o perpendicular pe Ox n x1 i intersectnd-o cu CE, obinem punctul M1 E i raza

polar centric, din O, OM1 al crei modul este , .a.m.d.

Prin urmare, prin creterea lui n, din exponentul 1/n, punctele Mi se deplaseaz pe CE din M spre A(1, 0) i proieciile acestor puncte pe Ox sunt diversele puteri ale radicalului lui x.

Procednd n mod invers, nti rotindu-l pe x, pn ce vrful vectorului ajunge pe CE, se vor obine succesiv, pe CE, punctele P2, P4, P6 P2n, apoi, proiectndu-le pe Ox, obinem succesiv o parte din puterile pare


5

ale lui lui x2

: x

2, x

4, x

8, x

16 ... , (n = 1, 2, ) i, pentru n , P2n O(0, 0) i x

n ca i

0, pentru x

< 1. Rezult c, cercul exponenialelor CE ofer, de la M (x,y) spre A(1, 0), exponenii radicalilor de diverse

ordine 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/n 2, iar de la M spre O(0,0), exponenii puterilor 2, 4, 8, 16, lui pentru x < 1.

Aa cum s-a prezentat anterior, prin rotirea lui OS peste OW, pe segmentul subunitar al semidreptei exponenialelor OW se obin diverse puncte Pi, (i = 0, 1, 2 n) ale cror proiecii pe axa x au abscisele x

1 = x, x

2,

x3, x

4, .. .a.m.d.; punctele Pi tinznd, pe aceast segmentul subunitar al semidreptei exponenialelor , din P0 W(x,

y) sper O(0, 0), pentru x < 1. Razele polare ale punctelor Pi, de pe segmentul exponenialelor, au toate acelai argumet i au razele

polare de modul care exprim pe x la exponenialele n, xn : x

0 = 1, x

2, x

3, x

4 ,, xn = 0, pentru x < 1.

Punctul iniial al segmentul subunitar, al semidreptei exponenialelor, este P0 W (x = cos , y = sin )

iar punctul final este Pn O , pentru n . Pentru x > 1, punctele Pi se deplaseaz tot pe semidreapta exponenialelor, dar evolueaz pe segmentul supraunitar, de la P0 W spre infinit. Dac nu rabatem segmentele de pe axa x pe segmentul subunitar al semidreptei exponenialelor, ci coborm perpendiculare pe ea din punctele x ale axei Ox, ncepnd din S(s = x, 0) se obin punctele a cror reproiectri pe axa x dau exponenialele exponenilor impari x3, x5, x5, x2n+1, n = 1, 2, 3, .. .

Cu aceast observaie, se pot obine exponeniale cu exponeni fracionari. De exemplu, plecnd din S(x, 0) prin dou rotaii, proiectri pe x i rabateri pe semiaxa x, obinem valoarea lui x3.

Ridicnd o perpendicular n x, ea intersecteaz semicercul exponenialelor ntr-un punct a crui raz polar este

(14) r =

= . Dac repetm operaia, pe semicercul exponenialelor, obinem

(15) r1 =

i procesul poate continua, pentru a obine i ali exponeni fracionri. Rezult c numrtorul exponentului este obinut prin rotire (+) pe semidreapta exponenialelor, pe segmentul subunitar, iar numitorul par, prin rotaii () de pe semicercul exponenialelor.

Pentru valorile lui x = 0, 1 i , procesul nu poate fi antamat, i spre norocul nostru, pentru aceste valori ale lui x, nici nu sunt necesare astfel de operaii. Se tie c inversul unui cerc, ce trece prin centrul de inversiune, este o dreapt i inversa unei drepte arbitrare este un cerc, care trece prin centrul de inversiune. Astfel, inversa cercului exponenialelor CE, cu O(0,0)

CE ca centru de inversiune, este dreapta tangent la acesta n punctul A(1, 0). Vom denumi aceast dreapt DI - dreapta inverselor, deoarece inversa unui punct de pe CE este un punct pe

DI la intersecia prelungirii razei polare, ce trece prin punctul de pe cerc i aceast dreapt. Ea servete la determinarea inverselor lui x pentru a determina valorile X = 1/x, att pentru determinarea exponenialelor supraunitare ct i a celor fracionare.

4. REZOLVAREA GRAFIC A UNOR SUME DE SERII GEOMETRICE

Cadrul natural de studiu i de definire a conceptului de serie, a limitelor de funcii, precum i a continuitii este spaiul liniar normat, privit ca spaiu metric (M. Frechet) complet, denumit spaiu Banach.

n matematic, o serie este nsumarea unui ir infinit de elemente (16) S =

O serie este convergent dac irul sumelor pariale S1, S2, .SN,.. este convergent. Pentru o serie convergent, se definete suma seriei S ca fiind limita irului sumelor pariale:

(17) SN = + xN

(18) S =


6

Fig. 2,b Exponeniale diverse

Elementele seriei pot fi numere reale, numere complexe, vectori, funcii avnd ca valori numere reale ,

complexe sau vectori, etc.

Seria geometric este o serie de tipul . ntr-o manier echivalent, poate fi definit ca limita irurilor sumelor pariale (18).

n figura 2,b sunt reprezentai termenii diferitelor sume de numere subunitare exponeniale, printre care i seria geometric, n care elementele seriei sunt excentricitile numeirce s (x s) a crei sum este

(19)

Suma acestei serii a fost determinat n felul urmtor :

Seria geometric a + aq + aq2 + aq2 + + aqn + = are suma parial

Sn = a + aq + aq2 + aq

3 + + aq

n =

, pentru q 1.

Dac |q| < 1, atunci = 0 i exist lim n Sn =

.

Prin urmare, dac |q| < 1 seria geometric este convergent i suma sa este S = a

i este convergent

pentru s < 1 (a R, q s entricitatea liniar numeric). Pentru cercul unitate, cu R = 1, din figura 2,b, seria geometric este

(19)

Grupnd termenii pari i cei impari rezult suma a dou serii geometrice: seria numerelor pare


7

(20) =

Dac s s2 se obine seria cu termeni pari a crei suma este

(21) +...=

.a.m.d. pentru ali exponeni, astfel c pentru s sm rezult

(22) =

Seria cu termenii de puteri impare are suma

(22) =

Se verific imediat c suma lor este cea aseriei geometrice (19)

(23)

+

=

(QED)

Suma unei serii cu termeni alternativi de tipul

(24)

=

Segmentul (1- s) ca i (1- s2), (1- s3) ... .a.m.d sunt reprezenate n figura 2b. Punnd aceste segmente pe axa x, din O i ridicnd o perpendicular, ea intersecteaz cercul unitate CU(O,1) ntr-un punct Wi, a crui

tangent la cerc n acest punt Wi taie / intersecteaz axa Ox ntr-un punct Pi, ale cror abscise xPi = reprezint, la scar, tocmai suma seriei respective.

n figura 2b se pot deduce operaiile prin care se pot obine serii de tipul , adic cu termeni

exponeniali su ( s, s2, s4, s8, s16 la puteri exponeniale u = k2 ).

5. RADICALII UNOR FUNCII MATEMATICE

Cel mai renumit radical matematic provine din faimoasa relaie trigonometric cum este ea numit, n la fel de faimosul tratat n 6 volume CURSUL DE FIZIC Berkeley Vol.I, EDP, Buc. 1981, la pag. 52.

Ea este, de fapt, teorema cosinus sau teorema lui Pitagora generalizat la un triunghi oarecare de la un triunghi dreptunghic, adic de la A2 + B2 = C2 la A2 + B2 2ABcos(AB) = C2 (2.8) din care rezult, la fel de faimosul radical, denumit de regretatul i reputatul Prof Dr. Math. Octav Em. Gheorgiu, fostul ef al Catedrei de Matemnatica a Universitii POLITEHNICA din Timioara, n tineree asistent al i mai cunoscutului Prof.Dr. Math. Grigore C. Moisil, funcia rege a supermatematicii (Rex i rex) care este funcia supermate -matic circular excentric (FSM-CE), denumit radial excentric i care, n funcie de variabilele centrice 1,2 este radicalul

Rex1,2 = , cu semnul plus pentru indicele 1 (sau fra indice) al determinrii principale i cu semnul minus pentru indicele 2, al determinrii secundare iar, n funie de variabila excentric , este o sum a unui la fel de faimos radical, ce va fi prezentat n continuare, cu o funcie cosinus, adic

rex1,2 = s.cos( ) = s.cos( ) cos[()]. Cte funcii matematice exist, tot atia radicali din aceste funcii pot s fie , adic o infinitate. Dintre acetia,

numai civa au i cte o denumire. Astfel, pe lng cei amintii anterior, din noul domeniu al FSM-CE, n domeniul matematicilor speciale,

exist funcia delta (del), definit de radicalul pe care-l numim i obinuit

(26) , [- , +] iar n domeniul funciilor eliptice Jacobi este definit funcia amplitudine (amplitudinus) sau delta amplitudinii (Rjik I.M. i Gradtein I.S., Tabele de INTEGRALE, SUME i PRODUSE, Editura Tehnic, Buc.1955 pag. 308), care are aceeai form ca i radicalul obinuit anterior, dar are cu totul alt semnificaie i, bineneles i alte grafice (Fig. 3a, Fig.3b1 i Fig 3,b2).


8

Radicalul, pe care-l numim, a lui Jacobi, este funcia eliptic Jacobi dn(u, k) sau dn(u, m = k2).

Principalele funcii eliptice Jacobi sunt

Fig.3,a Funciile del obinuite stnga i funciile eliptice Jacobi dn(u, m) dreapta de m = k

2, n care

t =

am(u, m) reprezentate prin ecuaii diferite sus ijos

Plot[JacobiDN[x,2/3],{x,-4,4}]

Fig.3,b1 Funcii eliptice Jacobi dn(u, m), m = k2 n care

t =

am(u, m)

este funcia eliptic amplitudine Jacobi, pentru m =2/3sus i k = [0, 1] jos

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

4 2 2 4

0.7

0.8

0.9

1.0

4 2 2 4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

4 2 2 4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0


9

Fig.3,b2 Funcii eliptice Jacobi dn(u, m), m = k2 n care

t =

am(u, m)

este funcia eliptic amplitudine Jacobi, pentru m [0, 1] sus i de k = [0, 1] jos

(27)

n care = am(u, k), iar u = arg(u, k). n programele comerciale de matematic (Mathematica 9 a lui Stephan Wolfram) funcia dn(u, m = k2) este reprezentat de seriile: (28) Series[JacobiDN[z,m],{z,0,6}] = 1-(m z2)/2+1/24 (4 m+m2) z4+1/720 (-16 m-44 m2-m3) z6+O[z] ca i de seria trigonometric (29) Series[JacobiDN[z,m],{m,0,2}]= 1-1/2 Sin[z]2 m+1/32 (8 z Cos[z] Sin[z]-5 Sin[z]2-Sin[z] Sin[3 z])

m2+O[m]

3

cu graficele din figura 3,b1 dreapta () sus i jos, de modul m [0,+1], iar n stnga () este reprezentat radicalul obinuit (16) pentru modul s = k [ 0, +1].

Pentru o anumit valoare a modulului, i anume m = 2/3 = graficele sunt reprezentate n partea superioar a figurii 3,b1: prin serii n stnga-sus i cu ajutorul radicalului

(30) DN(z,m) dn(u, m) =

n dreapta- sus , iar ca funcii de k = =

= n partea inferioar a figurii.

n figura 3,b2 sunt prezentate aceleai funcii, n cele dou moduri diferite, pentru m = k2 [ 0, 1], iar n

partea inferioar ca funcii de k [0, 1].

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


10

Comparnd graficele celor dou tipuri de funcii eliptice, de module m i de modul k s , se observ o uoar diferen ntre ele, aa cum era de ateptat / normal.

FUNCII ELIPTICE I FUNCII SUPERMATEMATICE

Modulul m i modulul k ale functiilor eliptice Jacobi pot fi interpretate i ca excentriciti numeice s2 i, respectiv, s din teoria funciilor supermatematice circulare excentrice (FSM-CE), aa cum se poate deduce din figura 4, n care segmentul FW poate fi exprimat prin radicalul (26).

Fig. 4,a Funcia special del = = cos = cos{arcsin[s.sin()]}

La rndul su, segmentul FW poate fi exprimat ca o proiecie de unghi a razei R = 1, situat pe dreapta

centrica D, cea care trece prin centrul O(0, 0) al cercului unitate, care face unghiul ( 1) cu axa Ox, pe direcia dreptei excentrice d, care trece prin excentrul S(s, 0) i face unghiul cu axa Ox, unghiul fiind dat de relaia (23) = arc sin[s.sin( )], adic

(24) FW = del = = cos = cos{arcsin[s.sin()]} Alte reprezentri ale funciilor eliptice Jacobi, impreun cu funiile circulare centrice i cele circulare

excentrice corespondente sunt prezentate n figura 4,b.

Elipsa Uy, denumit elips unitate pe directia y, are semiaxa mic b = 1 i semiaxa mare a =

, iar

elipsa unitate pe direxia x, notat cu Ux este rotit cu +

i are semiaxa mic pe axa x de lungime a = 1, iar axa

mare pe direcia y, de lungime b =

. Aceast elips se utilizeaz (Fig.4,c ) pentru exprimarea unghiului /

variabilei pe cerc i a unghiului / variabilei u pe elipsa unitate pe direcia x, Ux


11

Fig.4,b Funcii eliptice Jacobi cn(u,m), sn(u,m) i dn(u, m), reprezentate pe cercul unitate i pe elipsa unitate de a = 1 i b = 0,6

www.SuperMathematica.com www.SuperMatematica.ro

Fig.4,c Funcii eliptice centrice (FEC) i funcii supermatematice circulare excentrice FSM - CE


12

Cu CU(O, 1) este notat cercul unitate, n figura 4,b.

n figura 4,c este reprezentat funcia eliptic complet de prima spea K(m) = F(

, m) pentru m =

0,64, respectiv, k = 0,8, cu reprezentarea poziiei (punctul K) / valorii ei corespondente pe cercul unitate, pentru

poziia B(0, ) de variabil / unghi u =

pe elipsa Ux.

Funciile eliptice Jacobi au fost denumite i centrice deoarece, odat cu apariia matematicii excentrice (ME) i, totodat, a supermatematicii (SM), la o excentric eliptic (adic o anumit elips din matematica centric (MC), de o anumit excentricitate centric i corespund o infinitate de alte elipse de aceeai excentricitate centric, numite excentrice eliptice , datorit infinitii de puncte din plan n care poate fi dispus / poziionat punctul / polul denumit excentrul S(s, ) i, totodat, a infinitaii de valori ale excentricitii liniare numerice s i / sau a excentricitii unghiulare , dimensiuni de formare i de deformare din spaiul ME.

Prin multiplicarea la infinit a elipselor a fost multiplicat la infinit i familia funciilor eliptice centrice , denumite funcii eliptice excentrice (cnex[u,k,S(s,)], snex[u,k,S(s,)], dnex[u,k,S(s,)]).

n lucrarea elariu Mircea, DETERMINAREA UNEI RELAII, ORICT DE EXACTE, DE CALCUL A INTEGRALEI ELIPTICE COMPLETE DE PRIMA SPE K(k) Bul. VIII-a Conf. de Vibr. Mec., Timioara, 1996, Vol III, pag.15 ... 24, este determinat relaia de calcul cu ajutorul creia se obin 15 (cincisprezece !) zecimale exacte, dup numai 5 pai / iteraii.

(25) K(k) =

n care R5 ( k ) =

cu notaiile

A =1 1

2

2 k=

1

2

4G , pentru media aritmetic

i

G = 1 28 k = k '4 = 1 24 k , pentru media geometric.

Aceleai precizii ridicate s-au obinut i pentru integrala eliptic complet de spea a 2-a E(k). Prin continuare pailor / iteraiilor preciziile pot fi mult mbuntite. Totodat, metod numeric Landen, a mediei aritmetico-geometrice (AGM) a fost transformat ntr-o

nou metod, unic n literatura de specialitate, care d funcii / relaii de calcul i nu numere. Se observ ca i A i G sunt ali doi redicali extrem de importani ca i exponeiala R5(k), care d raza

unui cerc dup 5 pai.

Timioara, mai 2014 Lucrare supervizata i corectata de Prof. ing. Ioan Ghiocel.

www.supermatematica.ro;

www.supermathematica.org;

www.supermathematica.com; www.supermatematicaonline.blogspot.ro.

Date post:	23-Nov-2015
Category:	Documents
Upload:	stroie-claudiu-cristian
View:	68 times
Download:	10 times

Mircea Selariu - Despre Radicali Si Exponentiale

Documents