+ All Categories
Home > Documents > Metodica Matematicii in Primar

Metodica Matematicii in Primar

Date post: 14-Jul-2015
Category:
Upload: alexandra-alex
View: 2,932 times
Download: 174 times
Share this document with a friend

of 137

Transcript

Mihail Rou

Unitatea 1 PROBLEME GENERALE ALE PREDRII MATEMATICII N CLASELE I IV

Obiectivefamiliarizarea cu obiectivele i coninuturile matematicii colare a claselor I IV; cunoaterea condiionrilor psihologice ale formrii noiunilor matematice; contientizarea continuitii n nvarea matematicii, n ciclul achiziiilor

fundamentale din grdinia de copii i coala primar.

Coninuturi Obiectul metodicii predrii matematicii; Obiectivele predrii-nvrii matematicii n clasele I IV; Coninuturi ale matematicii colare a claselor I IV; Formarea conceptelor matematice; Continuitatea dintre grdinia de copii i coal n nvarea matematicii.

Resurse

Unitatea 1;

MEN, CNC, Curriculum naional, Programe colare pentru nvmntul primar,Bucureti, 1998;

MEN, Programa activitilor instructiv educative n grdinia de copii, Bucureti,2000; Manuale (n vigoare) de matematic pentru clasele I IV.

3

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie

1.

Obiectul

metodicii

predrii

matematiciin sistemul tiinelor pedagogice, didactica are ca obiect procesul de nvmnt, studiind ntr-un mod sistemic componentele acestuia i principiile didactice care guverneaz predarea-nvarea, coninuturile, strategiile de nvare i evaluare. Ca ramur a pedagogiei colare, didactica se ocup cu studiul conceperii, organizrii i desfurrii eficiente a procesului de nvmnt. Didacticile speciale sau metodicile sunt particularizri interdisciplinare ale didacticii la anumite discipline de nvmnt. Astfel, metodica predrii matematicii are ca obiect studierea legitilor i conturarea celor mai eficiente modaliti utilizabile n procesul de predare nvare - evaluare al acestei discipline. Ea ncorporeaz achiziii din domeniul matematicii, pedagogiei, psihologiei, sociologiei, statisticii, care au o semnificaie de natur metodic. Zona de interes a metodicii matematice se plaseaz n dou planuri: teoretic, de fundamentare logicotiinific i didactic a procesului nvrii matematice; practic-aplicativ, de stabilire a normelor privind organizarea i desfurarea activitii de nvare a matematicii, de creare i ameliorare a demersurilor didactice specifice acestei activiti. Ca intersecie a matematicii cu pedagogia, metodica predriinvrii matematicii abordeaz problematica obiectivelor, coninuturilor, strategiilor didactice (metode i procedee, mijloace de nvmnt, forme de activitate i de organizare a elevilor) menite s conduc fiecare elev n zona proximei dezvoltri, prin cultivarea motivaiei pentru nvarea matematicii. Funcie de nivelul sistemului de nvmnt vizat, se contureaz cte o metodic specific fiecrui palier: al activitilor matematice din grdinia de copii, al predrii-nvrii matematicii la clasele I-

4

Mihail Rou IV, n ciclul gimnazial, liceal sau n nvmntul superior. Fiecare dintre ele se conecteaz cu celelalte, condiionndu-se reciproc. Metodica de fa i propune nivelul claselor I IV, urmrind s ofere alternative metodologice i modele posibile de lucru, care s asigure optimizarea nvmntului matematic n ciclul primar. Cum predarea-nvarea matematicii este o activitate cu dubl determinare, organizare tiinific i realizare eficient, termenul de metodic nu trebuie neles ca o sum de metode pe care le folosete nvtorul n procesul de nvmnt. n acest sens, n locul termenului de metodic poate fi folosit cel de metodologie a didacticii matematicii, cu sensul de structur tiinific i normativ, care studiaz demersurile de cunoatere n domeniul respectiv. Reuita asimilrii i aplicrii metodologiei predrii-nvrii matematicii la clasele I IV este condiionat de nivelul cunoaterii matematicii colare, a fundamentelor acesteia, precum i a psihopedagogiei procesului instructiv-educativ. Notie

2.

Obiectivele

predrii-nvrii

matematiciiObiectivele educaionale sunt induse de idealul educaional i de finalitile sistemului de nvmnt, care contureaz, ntr-o etap istoric dat, profilul de personalitate dorit la absolvenii sistemului de nvmnt. Finalitile sistemului se concretizeaz n finalitile pe niveluri de colaritate (precolari, primar, gimnazial i liceal), care descriu specificul fiecrui nivel de colaritate din perspectiva politicii educaionale. Finalitile nvmntului primar sunt:

5

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie asigurarea educaiei elementare pentru toi copiii; formarea dezvoltare; nzestrarea copilului cu acele cunotine, capaciti i atitudini care s stimuleze raportarea efectiv i creativ la mediul social i natural i s permit continuarea educaiei. Curriculum-ul naional, elaborat n anul 1998, realizeaz o periodizare a colaritii prin gruparea mai multor niveluri de clase, care au n comun anumite obiective. Aceste cicluri curriculare au scopul de a evidenia obiectivul major al fiecrei perioade colare i de a regala procesul de nvmnt din acea perioad. Astfel, s-a format ciclul achiziiilor fundamentale, ce cuprinde copiii de 6-8 ani, aflai n grdini i n clasele I II, ciclul de dezvoltare, cuprinznd copiii de 9-12 ani, corespunztor claselor II VI i ciclul de observare i orientare, ce include copiii de 13-14 ani, din clasele a VII-a i a VIII-a. La acomodarea nivelul la nvmntului cerinele primar, ciclul i achiziiilor fundamentale are ca obiective majore sistemului colar alfabetizarea iniial. Acest ciclu urmrete: asimilarea elementelor de baz ale principalelor stimularea limbaje copilului convenionale n vederea (scris, citit, calcul); perceperii, cunoaterii i adaptrii la mediul apropiat; formarea motivrii pentru nvare. personalitii copilului respectnd nivelul i ritmul su de

6

Mihail Rou Ciclul de dezvoltare are ca obiectiv major formarea capacitilor de baz necesare pentru continuarea studiilor. Acest ciclu urmrete: dezvoltarea achiziiilor lingvistice, a competenelor de folosire a limbii romne, a limbii materne i a limbilor strine, pentru exprimarea corect i eficient n situaii variate de comunicare; dezvoltarea capacitii de a comunica, folosind diferite limbaje specializate; dezvoltarea gndirii autonome i a responsabilitii fa de integrarea n mediul social. Studiul matematicii n ciclul primar urmrete ca toi elevii s-i formeze competenele de baz viznd: numeraia, calculul aritmetic, noiuni intuitive de geometrie i msurarea mrimilor. n acest context, obiectivele cu cel mai mare grad de generalitate, numite obiective cadru, sunt: 1. cunoaterea i utilizarea conceptelor specifice matematicii; 2. dezvoltarea problemelor; 3. formarea i dezvoltarea capacitii de a comunica utiliznd limbajul matematic; 4. dezvoltarea interesului i a motivaiei pentru studiul i aplicarea matematicii n contexte variate. La nivelul fiecrei clase, aceste obiective sunt detaliate i precizate prin obiectivele de referin. Astfel, la clasa I, primul obiectiv cadru se materializeaz n urmtorul set de obiective de 7 capacitilor de explorare/investigare i de rezolvare a Notie

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie referin, exprimate n termeni de capaciti dorite la elevi: 1.1 s neleag sistemul poziional de formare a numerelor din zeci i uniti; 1.2 s scrie, s citeasc i s compare numerele naturale de la 0 la 100; 1.3 s efectueze operaii de adunare i scdere n concentrul 0-30, fr trecere peste ordin; Cel de-al doilea obiectiv cadru se regsete n urmtoarele obiective de referin: 2.1 s stabileasc poziii relative ale obiectelor n spaiu; 2.2 s recunoasc forme plane i forme spaiale, s sorteze i s clasifice dup form, obiecte date; 2.3. s sesizeze asocierea dintre elementele a dou categorii de obiecte, desene sau numere mai mici ca 20, pe baza unor criterii date, s continue modelele repetitive reprezentate prin obiecte, desene sau numere mai mici dect 10; 2.4. s se continue modelele repetitive reprezentate prin obiecte, desene sau numere mai mici dect 10; 2.5. s exploreze modaliti de a descompune numere mai mici ca 30, n sum sau diferen folosind obiecte, desene sau numere; 2.6. s rezolve probleme care presupun o singur operaie dintre cele nvate; 2.7. s compun oral exerciii i probleme cu numere de la 0 la 30. 2.8. s msoare dimensiunile, capacitatea sau masa unor obiecte folosind uniti de msur nestandard aflate la ndemna elevilor; 2.9. s recunoasc orele fixe pe ceas;

8

Mihail Rou 2.10. s estimeze numrul de obiecte dintr-o mulime i s verifice prin numrare estimarea fcut; Al treilea obiectiv cadru se reflect n obiectivul de referin 3.1. s verbalizeze n mod constant modalitile de calcul folosite n rezolvarea unor probleme practice i de calcul; Cel de-al patrulea obiectiv cadru se regsete n obiectivele de referin 4.1. s manifeste o atitudine pozitiv i disponibilitate n a utilizarea numerelor; 4.2. s contientizeze utilitatea matematicii n viaa cotidian. Toate aceste obiective sunt valabile pentru curriculum-ul nucleu, trunchiul comun ce corespunde numrului minim de ore din planul de nvmnt. Notie

3.

Coninuturi

ale

matematicii

colareCurriculum-ul nucleu prevede urmtoarele coninuturi ale nvrii la clasa I: elemente pregtitoare pentru nelegerea conceptului de numr natural; numere naturale de la 0 la 100: citire, scriere, comparare, adunare; adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-30, fr trecere peste ordin; figuri geometrice: triunghi, dreptunghi, ptrat, cerc; msurri cu uniti nestandard pentru lungime, capacitate, mas; msurarea timpului (uniti

9

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie de msur: ora, ziua, sptmna, luna;

recunoaterea orelor fixe pe ceas) La clasa a II-a sunt prevzute urmtoarele noi coninuturi ale nvrii: numere naturale pn la 1000 (formare, scriere, citire, comparare, ordonare); adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-100, fr i cu trecere peste ordin; nmulirea numerelor naturale n concentrul 050; mprirea dedus din tabla nmulirii (se transfer n clasa a III-a ncepnd cu anul colar 2004-2005); elemente intuitive de geometrie: punct, segment, linie dreapt, linie frnt, linie curb; interiorul i exteriorul unei figuri geometrice; exerciii de observare a obiectelor cu form de paralelipiped dreptunghic; msurarea mrimilor i unitilor de msur pentru lungime (metrul), capacitate (litrul), mas (kilogramul), timp (minutul); monede; utilizarea instrumentelor de msur adecvate: metrul, rigla gradat, cntarul, balana; Clasa a III-a are urmtoarele noi coninuturi ale nvrii: numere naturale pn la 1000000; adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul naturale ordinea n 0-1000; nmulirea 0-100; i numerelor mprirea folosirea concentrul

(inclusiv cea cu rest) n acelai concentru; efecturii operaiilor parantezelor rotunde; elemente intuitive de geometrie: poligon; exerciii de observare a obiectelor cu forme de cilindru sau de con;

10

Mihail Rou msurarea mrimilor i a unitilor de msur pentru litrului), bancnote. n clasa a IV-a sunt urmtoarele noi coninuturi ale nvrii: numere naturale: clase (uniti, mii, milioane, miliarde); caracteristicile sistemului de numeraie folosit (zecimal i poziional); scrierea cu cifre romane; adunarea i scderea numerelor naturale fr i cu trecere peste ordin; nmulirea cnd un factor are cel mult dou cifre sau este 10, 100, 1000; mprirea la un numr de o cifr (diferen de 0) sau la 10, 100, 1000 ( a numerelor a cror scriere se termin cu cel puin unul, dou sau trei zerouri); ordinea efecturii operaiilor i folosirea parantezelor; fracii: noiunea de fracie; fracii egale, reprezentri prin desene; fracii echiunitare, subunitare, supraunitare; compararea fraciilor; adunarea i scderea fraciilor cu acelai numitor; aflarea unei fracii dintr-un ntreg; elemente intuitive de geometrie: unghi, drepte paralele; rombul; perimetrul (dreptunghiului i ptratului); aria; msurarea mrimilor i uniti de msur, cu transformri ale multiplilor i submultiplilor unitilor principale pentru lungime, capacitate, mas; uniti de msur pentru timp (deceniul, secolul, mileniul); monede i bancnote lungime mas ), (multiplii (multiplii timp i submultiplii i submultiplii monede i metrului), capacitate (multiplii i submultiplii kilogramului (anul), Notie

11

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie

4.

Formarea

conceptelor

matematiceFiecare disciplin de nvmnt construiasc n structurile mintale disciplinei respective. Matematica colar se fundamenteaz pe logica intern a tiinei matematice, dar se construiete innd seama de particularitile psihice ale elevilor. 4.1. Baza formrii matematice Specificul dezvoltrii stadiale a inteligenei se manifest printr-o proprietate esenial: aceea de a fi concret-intuitiv. Conform concepiei lui Piaget, la vrsta colar mic, copilul se afl n stadiul operaiilor concrete, ce se aplic obiectelor cu care copilul acioneaz efectiv. colarul mic (mai ales n clasa I) gndete mai mult opernd cu mulimile de obiecte concrete, dei principiile logice cer o detaare progresiv de baza concret, iar operaiile cer o interiorizare, o funcionare n plan mintal. Desigur, nu obiectele n sine poart principiile matematice, ci operaiile cu mulimi concrete. n acest cadru, se nscrie necesitatea ca proiectarea ofertei de cunotine matematice pentru colarul mic s ia n considerare particularitile psihice ale acestei vrste. Dintre principalele caracteristici ale dezvoltrii cognitive specifice acestei vrste, reinem: gndirea este dominat de concret; perceperea lucrurilor este nc global; este perceput ntregul nc nedescompus; psihopedagogic a trebuie s

ale elevului un

sistem de cunotine, care s se apropie de logica

noiunilor

12

Mihail Rou lipsete dubla aciune de disociererecompunere; comparaia reuete pe contraste mari, strile intermediare fiind greu sau deloc sesizate; domin operaiile concrete, legate de aciuni obiectuale; apare ideea de invarian, de conservare (a cantitii, masei, volumului); apare reversibilitatea, sub forma inversiunii i compensrii; puterea de deducie imediat este redus; concretul imediat nu este depit dect din aproape n aproape, cu extinderi limitate i asociaii locale; intelectul are o singur pist; colarul mic nu ntrevede alternative posibile; posibilul se suprapune realului. Spre sfritul micii colariti se pot ntlni, evident difereniat i individualizat, manifestri ale stadiului preformal, simultan cu meninerea unor manifestri intelectuale situate la nivelul operaiilor concrete. Caracteristicile acestui stadiu determin i variantele metodologice destinate formrii noiunilor matematice. n acest sens, prioritate va avea nu att stadiul corespunztor vrstei, ct, mai ales, zona proximei dezvoltri a capacitilor intelectuale ale elevilor. nainte de a se aplica propoziiilor logice, operaiile logice (negaia, disjuncia, conjuncia, implicaia, echivalena), se exerseaz n planul Notie

13

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie aciunilor obiectuale, ale operaiilor concrete. De aceea, procesul de predare-nvare a matematicii n ciclul primar implic mai nti efectuarea unor aciuni concrete, operaii cu obiectele, care apoi se structureaz i se interiorizeaz, devenind operaii logice abstracte. Formarea noiunilor matematice se realizeaz prin ridicarea treptat ctre general i abstract, la niveluri succesive, unde relaia dintre concret i logic se modific n direcia esenializrii realitii. n acest proces, trebuie valorificate diverse surse intuitive: experiena empiric a copiilor, matematizarea realitii nconjurtoare, limbajul grafic. Un material didactic foarte potrivit pentru a demonstra conceptele matematice de baz (mulime, apartenen, incluziune, intersecie, reuniune .a.), care conduc la conceptul de numr natural i apoi la operaii cu numere naturale, este constituit din trusa de piese geometrice (blocurile logice ale lui Dienes, Logi I, Logi II). Datorit faptului c atributul dup care se constituie mulimile (proprietatea caracteristic) de piese geometrice este precis determinat (form, culoare, mrime, grosime), structurile logice se pot demonstra riguros. n operarea cu aceste piese, copiii se gsesc foarte aproape de operarea cu structuri logice. Limbajul grafic, materializat n reprezentrile grafice, este foarte apropiat de cel noional. El face legtura ntre concret i logic, ntre reprezentare i concept, care reprezint o reflectare a proprietilor relaiilor eseniale ale unei categorii de obiecte sau fenomene. ntre aceste niveluri, interaciunea este legic i continu. Ea este mijlocit de formaiuni mixte de tipul conceptelor figurale, al imaginilor

14

Mihail Rou esenializate sau schematizate, care beneficiaz de aportul inepuizabil al concretului. Imaginile mintale, ca modele parial generalizate i reinute ntr-o form figurativ, de simbol sau abstract, i apropie pe copii de logica operaiei intelectuale, devenind astfel sursa principal a activitii Pentru gndirii elevul i clasei imaginaiei, I, primele mediind noiuni cunoaterea realitii matematice. matematice sunt cele de numr natural i operaii cu numere naturale (adunare i scdere). Formarea acestor noiuni parcurge urmtoarele etape : sesizarea mulimilor i a relaiilor dintre acestea n realitatea obiectiv (mulimi de obiecte din mediul ambiant, experiena de via a elevilor, imagini ale mulimilor de obiecte concrete); operaii cu mulimi de obiecte concrete (cu mulimi de obiecte reale, cu mulimi de obiecte simbol, cu piesele geometrice, cu rigletele .a.); operaii cu simboluri ale mulimilor de obiecte (imagini i reprezentri grafice); operaii cu simboluri numerice (cifre, semne de operaie, de egalitate i inegalitate). 4.2. Formarea limbajului matematic Se tie c nvarea oricrei tiine ncepe, de fapt, cu asimilarea limbajului ei noional. Studiul matematicii urmrete s ofere elevilor, la nivelul lor de nelegere, posibilitatea explicrii tiinifice a noiunilor matematice. Exist o legtur strns ntre coninutul i denumirea noiunilor, care trebuie respectat inclusiv 15 Notie

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie n formarea noiunilor matematice. Orice denumire trebuie s aib acoperire n ceea ce privete nelegerea coninutului noional; altfel, unii termeni apar cu totul strini fa de limbajul activ al copilului care, fie c-l pronun incorect, fie c i lipsesc din minte reprezentrile corespunztoare, realiznd astfel o nvare formal. Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor celor mai abstracte, se introduce la nceput cu unele dificulti. De aceea, trebuie mai nti asigurate nelegerea noiunii respective, sesizarea esenei, de multe ori ntr-un limbaj acesibil copiilor, fcnd deci unele concesii din partea limbajului matematic. Pe msur ce se asigur nelegerea noiunilor respective, trebuie prezentat i denumirea lor tiinific. De altfel, problema raportului dintre riguros i accesibil n limbajul matematic al elevilor este permanent prezent n preocuprile nvtorilor. Unul dintre obiectivele generale ale leciilor de matematic se refer la cunoaterea i folosirea corect de ctre elevi a terminologiei specifice. Noile programe de matematic prevd explicit obiective legate de nsuirea unor depreinderi de comunicare, ce presupun stpnirea limbajului matematic i vizeaz capaciti ale elevului cum sunt: folosirea i interpretarea corect a termenilor matematici; nelegerea formulrii unor sarcini cu coninut matematic, n diferite contexte; verbalizarea realizate; comunicarea n dublu sens (elevul s fie capabil s pun ntrebri n legtur cu sarcinile matematice primite i s aciunilor matematice

16

Mihail Rou rspund la ntrebri n legtur cu acestea). 4.3. Conotaii contactului psihologice colarului ale mic Notie

cu noiuni de matematic Contactul cu unele noiuni de matematic are o contribuie major la elaborarea planului abstractcategorial n evoluia colarului mic, cu condiia s nu fie ntreinut nvarea mecanic, neraional. Pe parcursul unor semnificative uniti de timp, colarii mici sunt antrenai n rezolvarea unor sarcini de relaionare a cunoscutului cu necunoscutul care, ca structuri matematice, au o sfer logic asemntoare. Pe fondul unor structuri de baz, pot fi prroiectate construcii operaionale particulare, schimbnd dimensiunile numerice ale mrimilor sau chiar numrul mrimilor puse n relaie. Elevii sunt familiarizai cu deplasarea n sens cresctor sau descresctor n irul numerelor naturale, ca i cu tehnica primelor dou operaii aritmetice (adunarea i scderea). Ei i mbogesc nomenclatorul noional, aflnd c unele numere se cheam termeni, sum desczut, scztor, sau rest, cunosc proprietile de comutativitate i asociativitate ale adunrii, constat c peentru a soluiona ? + b = c trebuie s scad, iar pentru a soluiona ? b = c trebuie s adune. Este un gen de operativitate care cultiv flexibilitatea, concur la cretereea vitezei de lucru, stimuleaz descoperirea, nelegerea i raionamentul matematic. Este vorba de o strategie care-l pune pe elev n situaia de a contientiza de fiecare dat semnificaia necunoscutei i de a ajunge la ea prin intermediul raionamentului, care i asociaz ca tehnic operaional, cnd adunarea, cnd scderea. Aceast

17

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie strategie are avantajul de a pregti terenul

achiziionrii de ctre colarul mic a capacitii de a rezolva problema, nvndu-l s diferenieze ntre ce se d i ce se cere. Unul dintre riscurile introducerii defectuoase a elevului n clasa I n noiunile matematice este cel al separrii n timp i spaiu, a exerciiului practic de cunotinele teoretice generalizatoare (regula, principiul de rezolvare), plasate n actul nvrii ca aciuni neasociate, ca tipuri de cunotine autonome, succesive, fr a se crea prilejul de a se fonda una pe alta i de a se ilustra una prin alta. Momentul iniial al ptrunderii colarului mic n relaiile matematice este nsoit i de alte dificulti, ntre care: persistena unei orientri fixate eronat (ex.: plus, minus, mai mare, mai mic), contientizarea inadecvat a operaiilor matematice, insuficienta cultivare a sensului matematic al operaiei de scdere (condiia ca desczutul s fie mai mare sau cel puin egal cu scztorul), diferenierea nesatisfctoare n probleme a planului datelor de planul necunoscutelor. n matematic, prestaiile colarului mic sunt puternic dependente de model, datorit capacitii lui reduse de a-i autodirija disponibilitile i procesele pshice n sensul dorit de nvtor. De aici, rezult necesitatea raportrii la prestaiile micului colar nu doar ca la nite rezultate finite, ci ca la nite procese susceptibile de a fi optimizate pe parcursul lor. Pentru aceasta este necesar didactic ca al n n structura s comportamentului nvtorului

precumpneasc sugestiile, explicaiile, lmuririle, sprijinul, ndrumarea, ncurajarea.

18

Mihail Rou 4.4. Repere orientative n Notie

strategia didactic a predriinvrii matematicii Stabilirea unor repere metodologice n

predarea-nvarea matematicii presupune o anticipare concret a direciilor de evoluie a nvmntului matematic n ciclul primar. Considerm c acestea ar putea fi: contientizarea obiectivelor formative i creterea apropierea sensul acestea; nvarea structural modular a i coninuturilor, ce ar permite exploatri n concentre numerice succesive unor deprinderi de calcul; accentuarea caracterului interdisciplinar al cunotinelor i priceperilor matematice, precum i o mai eficient conectare la cotidian, la realitatea nconjurtoare; dobndirea unor strategii de rezolvare a problemelor, n extensia activitilor suplimentare post-rezolvare i a compunerii de probleme. Metodica predrii matematicii acord un loc prioritar parametrilor metodologici ai aciunii educaionale, n spe complexului de metode, tehnici i procedee didactice, precum i utilizrii mijloacelor de nvmnt. Nu se poate vorbi de metode reducerea timpului destinat formrii ponderii formativului colare n de ntreaga activitate didactic; matematicii matematica tiin contemporan, n reducerii decalajului dintre

19

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie universale, eficiente sau ineficiente, bune sau rele, active sau pasive. Fiecare situaie de nvare poate admite una sau mai multe variante metodice, opiunea pentru o variant sau alta fiind condiionat de un complex de factori. Specifice analogic. n predrii-nvrii strategia inductiv matematice la clasele I- IV sunt strategia inductiv i strategia se ntreprind experimente asupra situaiei date, efectund aciuni reale cu obiecte sau concepte. Pe baza observaiilor fcute n cadrul acestor concretizri, elevii sunt condui progresiv la conceptualizri. Strategia analogic are ca temei o caracteristic a gndirii matematice i anume, relevana ei logic-analogic. Se pot ntlni analogii ntre noiuni, ntre idei, ntre teoreme, ntre domenii. Punctul de plecare l constituie faptul c analogia reprezint forma principal sub care se manifest procesele de abstractizare. Coninutul tiinific al conceptelor matematice nu exclude, ci, dimpotriv, presupune utilizarea unor metode i procedee bazate pe intuiie, dat fiind faptul c colarul mic are o gndire care se plaseaz la nivelul operaiilor concrete. nvtorul trebuie s asigure un echilibru ntre metodele de tip intuitivobservativ, cele acionale problematizatoare, pentru a nu ajunge la abuz de intuiie, dar nici la nvmnt formal, fr suport modelator i n care multe noiuni matematice rmn fr o suficient acoperire intuitiv.

20

Mihail Rou

5. Continuitatea dintre grdinia de copii i coal n nvarea matematicii5.1. Obiective ale activitilor

Notie

matematice din grdini Pentru activitile matematice din grdinia de copii, Programa activitilor instructiv-educative intelectuale precizeaz urmtoarele obiective-cadru: dezvoltarea operaiilor prematematice; dezvoltarea capacitii de a nelege i utiliza numerele i cifrele; dezvoltarea capacitii de recunoatere, denumire, construire i utilizare a formelor geometrice; dezvoltarea capacitii de a utiliza corect unitile de msur, ntrebuinnd un vocabular adecvat; dezvoltarea capacitii de rezolvare de probleme prin achiziia de strategii adecvate. Obiectivele de referin subordonate primului obiectiv-cadru vizeaz: cunoaterea relaiilor spaiale, capacitatea de a plasa diferite obiecte ntr-un spaiu dat i plasarea corect a precolarului n raport cu un reper dat; perceperea desfurrii n timp a unor evenimente, n raport cu propriile activiti ale copilului; clasificarea (dup unul sau mai multe criterii) unor obiecte/ fiine;

21

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie serierea obiectelor pe baza unor criterii date sau inventate; stabilirea de relaii ntre obiecte/ grupuri de obiecte, dup diferite criterii; construirea de structuri dup un model dat. Formrii capacitii de a nelege i de a utiliza numere naturale i cifre i corespund urmtoarele obiective de referin: precolarul s poat numra de la 1 la 10, raportnd corect cantitatea la numr i cifr, precum i numrul/ cifra la cantitate; utilizarea aspectului ordinal al numrului natural n precizarea poziiei unui obiect ntr-un ir; efectuarea unor operaii de adunare i scdere cu 1 2 uniti, n limitele 1-10. Obiectivul-cadru viznd formele geometrice se materializeaz n obiective de referin formelor geometrice: cerc, ptrat, triunghi. Obiectivul-cadru ce vizeaz capacitatea precolarilor de a utiliza corect unitile de msur implic urmtoarele obiective de referin: msurarea, utiliznd uniti de msur nestandardizate, a lungimii, a masei i a timpului; nelegerea msurrii valorii unui obiect cu ajutorul banilor; Pentru formarea capacitii de rezolvare a problemelor, obiectivele de referin impun: exprimarea coninuturilor problemelor n simboluri matematice; utilizarea unor strategii adecvate pentru a rezolva o problem dat; ce impun recunoaterea, denumirea, construirea i utilizarea

22

Mihail Rou compunerea de probleme simple, implicnd adunarea/ scderea n limitele 1-10. 5.2. Continuitatea precolar primar n nvmnt nvmnt pregtirea Notie

matematic a elevilor Cercetrile pe tema relaiei dintre grdini i coal arat c, pentru copiii provenii din rndul precolarilor, clasa I nu a mai constituit o noutate stresant, iar statutul de elev a fost asimilat fr dificulti majore i ntr-un timp mult mai scurt dect copiii provenii din alte medii. i n domeniul nvrii matematicii, aceast continuitate dintre nvmntul precolar i cel primar este necesar i posibil. Desigur, un prim argument al acestei continuiti este constituit de obiectivele nvrii matematicii n cele dou trepte ale sistemului de nvmnt, obiective anterior prezentate. Un alt argument al acestei continuiti este dat de coninuturile matematice ale activitilor din grdini ce pregtesc leciile din clasele primare, coninuturi pe care le prezentm n cele ce urmeaz: Coninutul matematic la grupa pregtitoare cuprinde: I. Mulimi (grupe) 1. Formarea de grupe avnd proprietatea caracteristic dat de unul sau mai multe criterii, cu: obiecte (jucrii), piese geometrice, imagini (jetoane) i plasarea lor n diferite poziii spaiale. 2. Apartenena/neapartenena unui element la o grup dat. 3. Operaii cu grupe i elemente de logic matematic.

23

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie 4. Corespondene (formare de perechi). 5. Mulimi echipotente (compararea cantitativ a dou sau mai multe grupe i constituirea unor grupe cu "tot attea" elemente). 6. Ordonarea cresctoare/descresctoare a elementelor unei grupe sau ordonarea unor grupe date, dup criteriile: mrime, lungime/lime, cantitate. II. Numere naturale 1-10. 1. Cunoaterea numeraiei este realizat n mai multe etape, n fiecare dintre acestea urmrindu-se: a) raportarea numrului la cantitate; b) raportarea cantitii la numr; c) formarea "scrii numerice" secvene a sa; d) stabilirea locului unui numr n secvena numeric nvat; e) cunoaterea cifrelor; f) raportarea cifr-numr-cantitate i cantitatenumr-cifr; g) aspectul ordinal al numrului natural; h) descompunerea/compunerea unei mulimi cu un numr dat de elemente. 2. Adunarea i scderea cu o unitate. III. Msurarea mrimilor: lungime, mas, volum (capacitatea vaselor), valoare (uniti monetare), timp. Pregtirea pentru coal n precolaritate vizeaz att latura informativ, ct i pe cea formativ, cu tendina, n general valabil pentru orice nivel de nvmnt, de accentuare a laturii formative. Pregtirea copilului precolar pentru coal trebuie fcut n sensul unei dezvoltri dirijate a acelor nsuiri i capaciti care vor permite o uoar i rapid adaptare a copiilor la cerinele clasei I i nu ca o 24 sau a unei

Mihail Rou instruire timpurie, ca o coborre mecanic a sarcinilor didactice ale colii ctre grdini. O deosebit importan trebuie s se acorde pregtirii n grdini a nelegerii unor noiuni matematice. nainte de etapa cunoaterii i nsuirii numeraiei, este necesar realizarea unei pregtiri, care s nlesneasc nelegereea ulterioar a unor relaii i structuri matematice. Aceast pregtire trebuie s cuprind, printre altele, sesizarea invarianei cantitii indiferent de poziia ocupat de obiecte n spaiu, ordonarea acestora cresctor sau descresctor, formarea priceperii de a alctui mulimi de obiecte dup diverse criterii (form, mrime, culoare, grosime, poziie spaial). Compararea cantitativ a dou mulimi date se poate realiza fr a folosi numeraia, punnd elementele celor dou mulimi n coresponden biunivoc (element la element), prin formare de perechi, stabilind astfel c una dintre ele are mai multe elemente dect cealalt sau cele dou mulimi au tot attea elemente. O preocupare special n procesul pregtirii pentru coal trebuie s constituie dezvoltarea gndirii copiilor, care la aceast vrst se ridic treptat de la forma de gndire intuitivacional, la forme de gndire intuitivimaginative i verbale. Activitile matematice din grdini pot contribui ntr-o mare msur la formarea i dezvoltarea unor caliti ale gndirii, la exersarea unor operaii ale acestora. De exemplu, o activitate cum este Jocul celor dou cercuri, n care copiii trebuie s plaseze n interiorul a dou cercuri secante, mulimi de piese geometrice cu o proprietate caracteristic dat, astfel ca n intersecie s apar toate elementele comune celor dou mulimi, pune n faa copiilor probleme de analiz, comparaie, abstractizare. 25 Notie

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie n domeniul comunicrii, particularizat la activitile matematice, copilul trebuie s gseasc motivri logice n justificarea unei aciuni, s neleag semnificaia unei obligaii i s poat verbaliza sarcina rezolvat.

Activiti practicestudierea programelor de matematic

pentru clasele I IV i a celei pentru activitile matematice din grdinia de copii; analiza prezentrii coninuturilor n cel puin cte un manual (n vigoare) de matematic pentru I - IV fiecare dintre clasele

Puncte cheie identificarea obiectivelor

predrii matematicii n clasele I IV; distingerea coninuturilor

matematicii colare a claselor I IV; remarcarea psihopedagogice a matematice; sesizarea deosebirilor ntre asemnrilor i formrii bazei noiunilor

nvmntul

preprimar i cel primar n nvarea matematicii.

26

Mihail RouStudiu individual

27

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori NotieStudiu individual

28

Mihail Rou

Unitatea 2 FORMAREA CONCEPTULUI DE NUMR NATURALObiectivefamiliarizarea cu metodologia introducerii unui numr natural, n clasa I; cunoaterea modului n care se pred numeraia n clasele II IV; contientizarea relaiilor de egalitate i de ordine n mulimea numerelor naturale.

Coninuturi Elemente pregtitoare pentru nelegerea conceptului de numr natural; Introducerea numrului natural la clasa I; Predarea numeraiei n clasele II IV; Relaii n mulimea numerelor naturale.

Resurse

Unitatea 2;

MEN, CNC, Curriculum naional. Programe colare pentru nvmntul primar,Bucureti, 1998 (obiective de referin i exemple de activiti de nvare viznd numeraia);

SNEE, CNC, Descriptori de performan pentru nvmntul primar, Editura ProGnosis (matematic, numeraia); Manuale (n vigoare) de matematic pentru clasele I- IV, (capitolele viznd numeraia).

29

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie

1.

Elemente

pregtitoare

pentru

nelegerea conceptului de numr naturalParcurgerea acestui capitol se va face dup o necesar evaluare predictiv a elevilor n primele zile de coal. Vor fi evaluate acele cunotine, priceperi i deprinderi ale elevilor ce se regsesc n structura unitii i vor fi explicitate mai jos. n funcie de rezultatele evalurii, va fi luat o decizie didactic privind ritmul parcurgerii acestui capitol i implicit, timpul afectat: cu ct rezultatele sunt mai bune, cu att timpul va fi mai scurt. Nu trebuie uitat c acest capitol reprezint doar o pregtire a elevilor pentru asimilare adaptare, o modalitate de egalizare a anselor, de a oferi tuturor copiilor o necesar baz comun de pornire. De aceea, activitatea nvtorului va fi difereniat i individualizat, oferind fiecrui copil un program personal de compensare sau dezvoltare. Dup parcurgerea acestui capitol i evaluarea sumativ corespunztoare, nvtorul va avea informaii i va putea decide i asupra tipului de curriculum pe care l va putea aborda cu clasa: trunchiul comun, aprofundare sau extindere. Coninutul Unitateaui are un vizibil caracter interdisciplinar, cu trimiteri nu numai n interiorul, ci i n afara ariei curriculare. Se conecteaz cu zona limbii i comunicrii att prin activizarea unui limbaj specific, ct i prin solicitrile de verbalizare a aciunilor n exprimri corecte, complete, clare. Cu zona arte se leag prin cunotine (ex.: culorile), priceperi i deprinderi ce in de grafie (trasare de linii, ncercuiri, barri), desenare i colorare. De zona educaie fizic se leag prin intermediul priceperilor i deprinderilor motrice, de care depinde realizarea unor aciuni directe de manipulare a obiectelor. n interiorul ariei curriculare din care face parte matematica, se conecteaz cu tiinele naturii prin cunotinele despre plante i animale, necesare interpretrii unor imagini, n vederea stabilirii unor proprieti caracteristice.

30

Mihail Rou Prezentm n continuare un tablou al cunotinelor, priceperilor i deprinderilor pe care trebuie s le posede un elev pentru abordarea cu succes a problematicii conceptului de numr natural. Pentru a contura i mai bine lucrurile, exemplificm cu posibile tipuri de sarcini didactice i situaii de nvare n care vor putea fi antrenai elevii. Cunotine - culori (rou, albastru) Priceperi i deprinderi Tipuri de sarcini didactice -precizarea culorii unui obiect -Se arat elevului un obiect, galben, sau a unei imagini date; culoare precizat apoi o imagine, cerndu-se - Elevul trebuie s coloreze interiorul unui contur cu o culoare -forme geometrice -recunoaterea plane (cerc,triunghi, geometrice obiecte din unei precizate, nvtor forme -Se cere pe denumeasc cu formele cunoscute; denumirea unei prezentate forme - Se arat elevului o pies de geometric, cerndui-se precizarea formei acesteia poziiilor -Se cere elevului s unor obiecte precizeze date; -plasarea departe, unor obiecte n -Se cere elevului s aeze un obiect ntr-o poziie indicat fa de un alt obiect dat; -Elevul trebuie s gseasc ntr-o poziie precizat fa de aezat ntr-o poziie poziii relative indicate; poziiile unor obiecte fa de alte obiecte geometrice nvtor -poziii relative ale -recunoaterea obiectelor pe/sub dedesubt, stnga/dreapta, aproape/ interior/exterior, blic ) -mrimea obiectelor deasupra/ relative ale (sus/jos,fa/spate, indicate de nvtor; mediul seamn precizat elevului obiecte una de s ce - colorarea unei imagini cu o precizarea culorii; Notie

dintre

ptrat, dreptunghi) nconjurtor;

geometrice

orizontal/vertical/o -gsirea unor obiecte aezate i s denumeasc obiectul un reper precizat de nvtor -stabilirea mrimii relative a -Sunt prezentate dou dou obiecte comparate; 31 obiecte ce difer doar prin

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie (mare/mic, lung/scurt, lat/ngust, nalt/scund ) -alegerea obiect dat. unui obiect mrime i se cere precizarea mrimii fiecruia; care -Se prezint un obiect i se altul care s aib doar mrimea diferit; -Se -ordonarea obiecte mrime (sau cresctoare descresctoare a dou/ trei ordine cere elevului s apoi / ordoneze dup mrime, n cresctoare, difer doar prin mrime de un cere elevului s gseasc un

imagini),dup descresctoare dou, apoi trei obiecte (sau imagini) de acelai fel, preciznd, de fiecare dat, mrimea primului/ultimului obiect

-elemente (fr

de utilizarea

logic matematic terminologiei) a) propoziie logic i negaia ei -sortarea obiectelor care au/nu -Se cere aezarea ntr-un loc au o proprietate dat; b) conjuncia a dou propoziii c) d) disjuncia dou propoziii d) implicaia -alegerea simultan; precizat a obiectelor care au o proprietate dat (form, mrime, culoare) i caracterizarea celor rmase; obiectelor -Se cere separarea i (ex.: mari i roii) ; -Se cere separarea a caracterizate prin dou atribute obiectelor care sunt i

-trierea obiectelor care au unul obiectelor care sunt sau sau altul dintre dou atribute sau (ex.: mari sau roii); date; -ntr-un scule sunt dou una roie, cealalt -utilizarea unui raionament de bile: situaie practic ;

tipul dac atunci, ntr-o verde; dac se extrage o bil (ex.:cea roie), atunci bila rmas are culoarea

32

Mihail Rou -Se -descoperirea regulii prezint i un se model cere Notie

de repetitiv

formare a unei secvene dintr- continuarea acestuia (ex.: un ir de obiecte/imagini i cerc, ptrat, cerc, ptrat, construirea n continuare a cerc, ptrat, ) irului -mulimi utilizarea terminologiei) a) determinare -formarea unor mulimi de -Operare direct cu obiecte obiecte avnd o proprietate din imediata apropiere a caracteristic dat; elevilor (ex.: mulimea prin creioanelor de pe banc) -Determinarea, ncercuire, a imaginilor ce formeaz o mulime, de pe o fi dat -formarea unor mulimi de -Analog obiecte pentru sarcinilor care precedente, cu implicarea (ex.: i creioane i roii) prezint elevului o (fr

proprietatea caracteristic este simultan a dou atribute o conjuncie de dou atribute; -recunoaterea date proprietii mulime de obiecte/imagini i se cere s o caracterizeze prin b) apartenen / neapartenen sesizarea apartenenei enunarea (ex.: unei toate proprieti

caracteristice a unei mulimi -Se

obiectele au aceeai form) / -Dat fiind o mulime de / imagini, plasarea se n intenioneaz neapartenenei unui element la obiecte o mulime dat

mulime a unui alt obiect care poate/ nu poate face parte din mulime; se care elevului s decid, motivnd c) operaii cu 33 -Date fiind dou mulimi

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie mulimi -construirea reuniunii a dou disjuncte de obiecte, se cere mulimi de obiecte formarea din ele a unei singure acesteia disjuncia) reuniunea a -precizarea dou intersecia mulimi, -Date fiind dou mulimi cu proprietii elemente comune, se cere folosind intersecie caracteristice a interseciei a caracterizarea obiectelor din a conjuncia dou mulimi mulimi i caracterizarea obiectelor (folosind

dou mulimi

complementara -precizarea caracteristice complementarei submulimi, folosind negaia;

-Dat fiind o mulime (ex. proprietii fructe), se cere separarea a unei submulimi (ex. fructe unei dulci) i caracterizarea acesteia complementarei

unei submulimi

-construirea mulimii diferen (ex. fructe care nu sunt dintre o mulime dat i o dulci) submulime a sa -coresponden a)compararea mulimi -formarea de perechi ntre -Date fiind dou mulimi de prin coresponden unu la elevului s formeze perchi unu cu un obiect dintr-o mulime i cellalt din cea de-a doua mulime -stabilirea unei relaii de -Verbalizarea de ctre elev a dac mulimilor toate au ordine ntre cele dou mulimi, concluziei: exprimat prin tot att, mai obiectele puin/mult cantitativ a dou elementele a dou mulimi, obiecte/ imagini se cere

intrat n perechi, atunci mulimile au tot attea obiecte; dac unul sau mai

34

Mihail Rou multe obiecte dintr-o Notie

mulime nu intr n perechi, atunci aceast mulime are mai multe obiecte dect cealalt (sau, a doua are mai puine obiecte dect prima) b)ordonarea sau mai -aezarea n ordine cresctoare -Date fiind dou mulimi multe mai multe mulimi obiecte/imagini, dup cantitativ a dou / descresctoare a dou sau avnd un numr diferit de mulimi stabilirea celei care are mai puine, elevul va trebui s o aeze pe primul loc n ordonarea invers -Analog, pentru mai mult de -invariana cantitii -sesizarea faptului c dou mulimi o -Se prezint o mulime de aezate pe ntr-o se cresctoare; ordonarea descresctoare

mulime rmne cu tot attea obiecte spaial a acesteia; grupate schimb obiectelor

obiecte, indiferent de poziia anumit poziie spaial (ex. catedr); amplasarea (prin

distanare/mprtiere) i se cere elevului s precizeze dac n noua situaie sunt mai multe/puine sau tot attea obiecte ct la nceput -sesizarea faptului c mrimea -Se prezint dou mulimi, obiectelor din dou mulimi nu dintre multe obiecte care una avnd decide care dintre ele are mai obiecte mai mici, dar mai multe; se aeaz obiectele fiecrei mulimi unul lng altul, pe dou iruri i se 35

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie cere elevului s precizeze care mulime are mai puine/multe obiecte

2. Introducerea numrului natural la clasa INumrul natural reprezint cea mai cunoscut i utilizat entitate matematic, pe care copilul o ntlnete nc din perioada precolaritii. Cunotinele empirice, particulare, dobndite la aceast vrst, se vor lrgi treptat, generalizator, n sensul formrii conceptului de numr natural, n clasele I-IV. Introducerea numrului natural se realizeaz pe baza corespondenei ntre mulimi finite. Suportul tiinific este dat de noiunea de mulimi echipotente: dou mulimi sunt echipotente dac exist o bijecie de la una la cealalt. Relaia de echipoten mparte mulimile n clase disjuncte, ntr-o clas aflndu-se toate mulimile echipotente ntre ele. O astfel de clas poart numele de cardinal. Orice numr natural este cardinalul unei mulimi finite. De exemplu, numrul 3 este clasa de echipoten a tuturor mulimilor ce au 3 elemente. Este evident c problema nu poate fi abordat astfel la colarii mici. Calea cea mai utilizat pentru introducerea unui numr natural oarecare n (de exemplu, 4) trece prin urmtoarele etape: se construiete o mulime de obiecte avnd attea elemente ct este ultimul numr cunoscut (n exemplul menionat, 3); se construiete o alt mulime, echipotent cu prima; se adaug n cea de a doua mulime nc un obiect; se face constatarea c noua mulime are cu un obiect mai mult dect prima mulime; se afirm c noua mulime, format din n-1 obiecte i nc un obiect are n obiecte (deci, 3 obiecte i nc un obiect nseamn 4 obiecte);

36

Mihail Rou se construiesc i alte mulimi, echipotente cu noua mulime, formate din alte obiecte, pentru a sublinia independena de alegerea reprezentanilor; se prezint cifra corespunztoare noului numr introdus. Exist i alte modaliti posibile de introducere a numrului natural: una prezint numrul natural definit prin axiomele lui Peano (cale inaccesibil elevilor), alta consider numrul natural ca rezultat al msurrii unei mrimi cu ajutorul unui etalon. n practica didactic a colii romneti nu se utilizeaz nici una dintre aceste dou modaliti. Obiectivele leciilor viznd numeraia la clasa I, pentru secvena 0-10, sunt: a) raportare cantitate numr cifr (se d o mulime de obiecte i se cere s se determine numrul acestora i s se ataeze cifra corespunztoare); b) raportare cifr numr cantitate (se prezint cifra i se cere s se precizeze numrul corespunztor, apoi s se construiasc o mulime avnd acel numr de obiecte); c) d) e) f) g) natural; h) i) compunerea i descompunerea unor mulimi estimarea numrului de obiecte dintr-o avnd drept cardinal numrul nou nvat; mulime dat i verificarea prin numrare. nsuirea contient de ctre copii a numrului natural este condiionat de: 37 scrierea i citirea numerelor naturale nvate; stabilirea locului numrului nvat, n irul compararea numrului nou nvat cu Notie

numerelor naturale; celelalte numere cunoscute; ordonarea cresctoare/ descresctoare a unor evidenierea aspectului ordinal al numrului numere naturale date;

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie nelegerea aspectului cardinal al acestuia (ca proprietate comun a mulimilor echipotente: acelai numr de elemente); nelegerea aspectului ordinal al acestuia (stabilirea locului unui element ntr-un ir); capacitatea de a compara numere naturale, preciznd care este mai mic/ mare i de a ordona cresctor/ descresctor mai multe numere date; cunoaterea, citirea i scrierea cifrelor corespunztoare numerelor naturale. n formarea conceptului de numr natural se parcurg urmtoarele etape: aciuni cu mulimi de obiecte (etapa acional); schematizarea aciunii i reprezentarea grafic a mulimilor (etapa iconic); traducerea simbolic a aciunilor (etapa simbolic). Trecerea de la concentrul 0-10 la numere naturale mai mici dect 100 constituie pasul decisiv pentru nelegerea de ctre elevi a structurii zecimale a sistemului nostru de numeraie, ce va sta la baza extinderii continue a secvenelor numerice. Pentru leciile viznd secvena 10 100, n lista obiectileor urmrite se adaug: j) k) l) nelegerea zecii ca unitate de numeraie, formarea, citirea i scrierea unui numr relaia de ordine n secvena numeric baz a sistemului utilizat; natural mai mare dect 10; respectiv (compararea i ordonarea numerelor nvate). nelegerea procesului de formare a numerelor mai mari dect 10 i mai mici sau egale cu 20 este esenial pentru extrapolarea n urmtoarele concentre numerice. Studiul concentrului 10 20 i ajut pe elevi s-i consolideze cunotinele anterioare i s le transfere n contexte noi, s-i mbogeasc gndirea cu metode i procedee ce vor fi folosite frecvent n nvarea, n continuare, a numeraiei. 38

Mihail Rou Introducerea numrului 11 se poate realiza astfel: se formeaz o mulime cu 10 elemente; se formeaz o mulime cu un element; se reunesc cele dou mulimi, obinndu-se o mulime format din zece elemente i nc un element; se spune c aceast mulime are unsprezece elemente i c scrierea acestui numr este 11, adic dou cifre 1, prima reprezentnd zecea i cea de a doua, unitatea. Pentru a evidenia structura unui numr mai mare dect 10 i mai mic dect 20, este util ca zecea s apar ca unitate de numeraie, prin utilizarea compact a acesteia (de exemplu, mnunchiul de 10 beioare legat). La aceast zece legat se pot ataa unul sau mai multe elemente: unu vine spre zece, formnd numrul unsprezece, doi vin spre zece, formnd numrul doisprezece .a.m.d. O asemenea imagine dinamic este sugestiv pentru colarul mic, ajutndu-l s-i formeze reprezentri ce vor sta la baza nelegerii conceptului de numr natural. Cu introducerea numrului 20, ca o zece i nc alte 10 uniti, adic dou zeci, se ncheie secvena esenial pentru elevi, ce condiioneaz nelegerea ulterioar a modului de formare, scriere i citire a oricrui numr natural . Dac aceast etap este corect parcurs, nu vor fi ntmpinate dificulti metodice n introducerea numerelor pn la 100. Prin cunoaterea unor astfel de numere, elevii iau contact cu sistemul zecimal, ntlnind , pentru prima dat, o nou semnificaie a cifrelor, dat de locul pe care-l ocup n scrierea numerelor. Notie

3. Predarea numeraiei n clasele II - IVn etapa urmtoare, predarea-nvarea numerelor naturale mai mari dect 100 se caracterizeaz prin introducerea noiunilor de ordin i clas. Pn acum, elevii au cunoscut 3 uniti de calcul: unitatea (simpl), zecea i suta. Pentru a ordona i sistematiza

39

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie secvenele numerice urmtoare, fiecrei uniti de calcul i va fi ataat un ordin, ce reprezint numrul de ordine n scrierea numrului: unitile (simple) vor fi numite uniti de ordinul nti; zecile, uniti de ordinul doi; sutele, uniti de ordinul trei. n acest fel, unitile de mii vor fi uniti de ordinul patru, zecile de mii uniti de ordinul cinci, sutele de mii uniti de ordinul ase .a.m.d. Pe msur ce cunosc ordinele, elevii constat c grupuri de trei ordine consecutive, ncepnd cu primul, conin uniti care se numesc la fel: uniti, uniti de mii, uniti de milioane .a.m.d. Dat fiind aceast periodicitate, este firesc ca un grup de trei ordine consecutive s formeze o nou structur, numit clas. Ordinele 1, 2, 3 formeaz clasa unitilor; ordinele 4, 5, 6 formeaz clasa miilor; ordinele 7, 8, 9 clasa milioanelor .a.m.d. Se poate sugera astfel c procedeul poate fi aplicat n continuare la nesfrit ic, implicit, exist numere naturale orict de mari. n scrierea unor astfel de numere, evidenierea claselor se realizeaz prin plasarea unui spaiu liber ntre ele. O atenie deosebit n scrierea unui numr trebuie s fie acordat cifrei 0 (zero), care semnific absena unitilor de un anumit ordin. La citirea unui numr n scrierea cruia apar zerouri, acestea nu se rostesc. De altfel, edificatoare n evaluarea deprinderii elevilor de a scrie/citi corect un numr natural orict de mare sunt probele ce conin numere n care lipsesc unitile de diverse ordine. Urmtoarele extensii secveniale (numere naturale mai mari dect 100) realizate n clasele II-IV , urmresc, n plus, obiectivul general: m) contientizarea caracteristicilor sistemului de numeraie: zecimal (zece uniti de un anumit ordin formeaz o unitate de ordinul imediat urmtor) i poziional (o cifr poate reprezenta diferite valori, n funcie de poziia pe care o ocup n scrierea unui numr). Metodologia formrii conceptului de numr natural se bazeaz pe faptul c elevii de vrst colar mic se afl n stadiul operaiilor concrete, nvnd ndeosebi prin intuire i manipulare 40

Mihail Rou direct a obiectelor. Pe msur ce ne deplasm ctre clasa a IV-a, are loc ridicarea treptat ctre general i abstract, n direcia esenializrii realitii. Pentru alegerea unor strategii didactice eficiente i organizarea unor situaii de nvare cu randament sporit, la clasele I II trebuie s se aib n vedere urmtoarele sugestii metodice: 1. necesitatea ca fiecare elev s opereze direct cu un material didactic bogat, variat i atractiv; 2. gradarea solicitrilor, cu orientare spre abstractizare (de la operare cu obiecte concrete, la folosirea jetoanelor cu imagini, a figurilor simbolice i a schemelor); 3. antrenarea mai multor analizatori (vizual, auditiv, tactil) n nvarea i fixarea unui numr; 4. matematizarea realitii nconjurtoare, ce ofer multiple posibiliti de exersare a numratului; 5. realizarea frecvent de corelaii interdisciplinare (ex.: solicitarea de a gsi, ntr-un text dat, toate cuvintele ce au un anumit numr de litere sau de cte ori apare o liter dat); 6. utilizarea frecvent a jocului didactic matematic sau introducerea unor elemente de joc. La clasele III IV se va urmri: sublinierea necesitii de a lrgi secvena numeric cunoscut (de exemplu, elevii pot fi motivai pentru nvarea numerelor mari, trezindu-li-se interesul prin ntrebri de tipul: Vrei s tii cum se scriu i se citesc numerele care arat cte fire de nisip sunt pe o plaj, cte kg are Pmntul, ce distane strbate o nav cosmic ?); exersarea, pn la formarea unor deprinderi corecte i contiente, a citirii i scrierii numerelor naturale orict de mari, ndeosebi a celor n care lipsesc una sau mai multe uniti de un anumit ordin; sugerarea, n timp, a ideii c irul numerelor naturale este nemrginit superior (exist numere naturale 41 Notie

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie orict de mari, deci nu exist un cel mai mare numr natural).

4. Relaii n mulimea numerelor naturale4.1. Relaia de egalitate Prima relaie intuit de elevi n nvarea numeraiei este cea de egalitate. Aceast relaie a fost ntlnit n procesul introducerii numerelor mai mici dect 10, n momentul costruirii unei mulimi cu tot attea elemente (echipotente ) cu cea reprezentnd numrul anterior nvat (constatnd, de exemplu, c 6=6). Apoi, elevii au contientizat c 6 elemente i nc un element este egal cu 7. Aceast constatare poate conduce la descompunerea/ compunerea unui numr natural (de fapt, a mulimii avnd attea elemente ct arat numrul): 7 se poate descompune n 6 i 1, dar i n 5 i 2 .a.m.d., respectiv 6 i 1, 5 i 2 .a.m.d. l compun pe 7. Este locul n care elevii pot nva prin descoperire, prin aciune direct cu obiecte sau cu reprezentri ale acestora. Mai mult dect att, este locul n care este antrenat flexibilitatea gndirii, chemat s gseasc mai multe soluii pentru o problem dat. Se poate, de asemenea, cultiva spiritul de ordine al elevilor, dup descoperirea inventarului integral de soluii, ordonndu-le, chiar i pentru a nu pierde vreuna dintre ele. Acest tip de antrenament al gndirii n descompunerea/ compunerea numerelor i va ajuta pe elevi n efectuarea operaiilor de adunare i de scdere, evideniind n plus, simetria relaiei de egalitate (dac a = b, atunci b = a). O alt proprietate a relaiei de egalitate, aceea de a fi reflexiv (a = a, pentru orice a numr natural), este ntlnit de elevi n situaia n care trebuie s compare numere naturale, stabilind c orice numr este egal cu el nsui. Cea de a treia proprietate caracteristic a egalitii, tranzitivitatea (dac a = b i b = c atunci a = c), va fi ntlnit de elevi mai trziu, n raionamente legate de rezolvarea problemelor.

42

Mihail Rou 4.2. Relaia de ordine nc de la primul concentru numeric abordat (0 10), elevii nva s compare cantitativ dou mulimi, prin formare de perechi ntre elementele lor, stabilind care dintre ele are mai puine/ multe elemente, respectiv pentru numerele corespunztoare acestora, care este mai mic/ mare. Relaia astfel introdus va permite formarea unui ir ordonat cu numerele naturale nvate, precum i precizarea locului i a vecinilor oricrui numr natural. Relaia mai mic sau egal ordoneaz total mulimea numerelor naturale: pentru oricare dou numere a i b, sau a este mai mic sau egal cu b, sau b este mai mic sau egal cu a. Elevii trebuie s neleag c dac un numr natural este mai mic dect un al doilea numr, atunci al doilea este mai mare dect primul (dac a < b atunci b > a ). Este printre primele situaii n care gndirea elevilor este condus spre o operaie logicomatematic: implicaia a dou propoziii. Observaia de mai sus va facilita ordonarea descresctoare a unei secvene numerice ordonat iniial cresctor ( se va porni de la numrul cel mai mare, ultimul, parcurgnd n sens invers secvena, pn la numrul cel mai mic, primul din ordonarea cresctoare). Problema ordonrii unor numere date se regsete n orice concentru numeric i este reductibil la cea a comparrii acestora. Fie de comparat numerele naturale a, b i c. Se consider nti dou numere, stabilind care este cel mai mic (de exemplu, a < b), apoi se compar al treilea numr cu celelalte dou: c ar putea fi mai mic dect a; mai mare dect a, dar mai mic dect b; mai mare dect b. Este de subliniat efortul de gndire cerut elevilor de acest proces: dac c este mai mic dect a, compararea celor 3 numere s-a terminat (avem relaia: c 1/3 i prin abordarea altor cazuri particulare, c 1/2 > 1/3 > 1/4 >, adic, dintre dou uniti fracionare diferite este mai mare cea cu numitorul mai mic. n acest context este mai uor pentru elevi s ordoneze descresctor mai multe uniti fracionare diferite. Dup asimilarea faptului c 1/2 > 1/3, se deduce imediat c 1/3 < 1/2 i prin inducie, se ajunge la regula ce permite ordonarea cresctoare a unitilor fracionare: dintre dou uniti fracionare este mai mic cea care are numitorul mai mare. n etapa urmtoare se consider nu cte o unitate fracionar, ci mai multe (dar tot attea din fiecare ntreg!), adic fracii cu numrtori egali. Cunoscnd faptul c o ptrime reprezint mai mult dect o cincime (din acelai ntreg sau din doi ntregi egali), elevii intuiesc cu uurin c dac se iau cte 3 asemenea pri, 3 ptrimi nseamn mai mult dect 3 cincimi. Dup prezentarea mai multor asemenea cazuri particulare, se poate obine regula: dintre dou fracii cu acelai numrtor este mai mare cea cu numitorul mai mic. Sarcinile care urmeaz vizeaz: stabilirea celei mai mari fracii dintre mai multe fracii cu acelai numrtor, compararea i ordonarea descresctoare a mai multor astfel de fracii, urmat de ordonarea lor cresctoare. mai mic, deoarece se iau mai puine uniti

5. Operaii cu fraciiAdunarea i scderea fraciilor cu acelai numitor) nu ridic probleme metodice deosebite deoarece, n aceast etap, elevii pot discrimina cu uurin tipul de problem simpl ntlnit, iar partea 102

Mihail Rou Notie calculatorie este corect intuit, dup utilizarea unui desen sugestiv i a unor exprimri neformalizate (de tipul: dou cincimi + o cincime =?, trei cincimi dou cincimi =?). Se ajunge astfel la regulile cunoscute: pentru a aduna/scdea dou fracii cu acelai numitor se adun/scad numrtorii, numitorul rmnnd neschimbat. n perspectiva simetriei relaiei de egalitate, pentru cultivarea reversibilitii gndirii elevilor este necesar abordarea unor sarcini de tipul scrierii unei fracii ca o sum/diferen de fracii avnd acelai numitor (ex. 3/5 = 1/5 + ; 6/7 = + ; 5/6 = /6 + i analog pentru scdere). Mai menionm c, la

nivelul trunchiului comun al programei, este suficient s se opereze cu fracii subunitare, deoarece utilizarea celorlalte tipuri de fracii (echiunitare, supraunitare) ar atrage dup sine o alt problem: scoaterea ntregilor din fracie. O eventual extindere la cazul adunrii/scderii fraciilor cu numitori diferii este posibil doar n situaia n care elevii au capacitatea de a obine fracii egale cu o fracie dat (vezi amplificarea) i de a o alege pe cea util. Poate fi abordat cazul n care unul dinte numitori este numitorul comun al fraciilor date (de exemplu, 2/5 + 1/10, 3/4 1/2, 2/3 4/9)

6. Aflarea unei fracii dintr-un ntregAflarea unei fracii dintr-un ntreg trebuie realizat metodic n dou etape: a) aflarea unei (singure) uniti fracionare dintr-un ntreg; b) aflarea unei fracii (mai multe uniti fracionare) dintr-un ntreg. Prima etap se parcurge apelnd mai nti la intuiie, prin utilizarea unui material didactic tridimensional (obiecte) i plan (imagini, figuri). Problema aflrii unei doimi dintr-un astfel de ntreg este transpus cu uurin de ctre elevi n plan operaional, la mprirea acestuia n dou pri egale. Prin inducie se ajunge la

103

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie concluzia c aflarea unei uniti fracionare dintr-un ntreg este reductibil la mprirea acestuia n attea pri egale ct arat numitorul. Apoi se afl uniti fracionare din ntregi ce reprezint mase, lungimi, volume, cantiti (ex.: 1/2 din 10 kg, 1/3 din 9m, 1/4 din 12 l), reinnd ideea: mprire (n pri egale). De aici, se trece la aflarea unei uniti fracionare dintr-un numr (1/2 din 10, 1/3 din 9, 1/4 din 12), subliniind procedeul: mprire. Parcurgerea celei de-a dou etape (aflarea unei fracii dintrun ntreg) presupune doi pai: aflarea unei singure uniti fracionare de tipul indicat de numitor i apoi aflarea fraciei respective din ntreg. De exemplu, problema aflrii a 3/4 din 12 este reductibil la: aflarea unei ptrimi din 12 (ceea ce elevii tiu) i constatarea c 3 astfel de pri (ptrimi) nseamn de 3 ori mai mult dect una singur (deci nmulire cu 3). Dup rezolvarea mai multor cazuri particulare se sintetizeaz modul de lucru n regula: pentru a afla ct reprezint o fracie dintr-un numr (natural), mprim numrul la numitorul fraciei i nmulim rezultatul cu numrtorul. Din punct de vedere metodic, aceast ultim etap poate fi parcurs, funcie de particularitile clasei, trecnd prin fiecare dintre fazele concret, semiconcret i abstract sau numai prin ultimele/ultima. Considerm c elevii i-au nsuit procedeul aflrii unei fracii dintr-un ntreg, dac vor avea capacitatea s gndeasc i s exprime (oral sau scris) de tipul 3/4 din 12 = 12:4x3.

Activiti practice

104

Mihail Rou Notie studierea, din documentele colare, a obiectivelor de referin, a exemplelor de activiti de nvare i a coninuturilor viznd fraciile; vizionarea n direct sau nregistrare video a unei lecii de matematic, la clasa a IV-a, avnd ca obiectiv predarea fraciilor; simularea demersului didactic dintr-o alt lecie de acelai tip.

Puncte cheie identificarea obiectivelor i a coninuturilor viznd predarea fraciilor; distingerea strategiilor didactice specifice leciilor avnd ca obiectiv predarea fraciilor; sesizarea performanelor ateptate de la elevii clasei a IV-a, n zona fraciilor; formarea priceperii de a proiecta, desfura i evalua o lecie de matematic viznd fraciile.

Studiu individual

105

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutoriStudiu individual

106

Mihail Rou

Unitatea 7 METODOLOGIA REZOLVRII PROBLEMELOR

Obiectivefamiliarizarea cu metodologia rezolvrii problemelor de matematic n clasele I- IV; cunoaterea modului n care pot fi activizate, la colarii mici, capacitile de explorare/investigare i rezolvare de probleme; contientizarea valenelor formative ale activitilor de rezolvare i compunere de probleme.

Coninuturi Conceptul de problem; Rezolvarea problemelor simple; Rezolvarea problemelor compuse.

Resurse Unitatea 7 MEN, CNC, Curriculum naional. Programe colare pentru nvmntul

primar, Bucureti, 1998 (obiective de referin i exemple de activiti de nvarecorespunztoare obiectivului cadru 2);

SNEE, CNC, Descriptori de performan pentru nvmntul primar,

Editura Pro Gnosis (matematic, obiectivul cadru 2); Manuale (n vigoare) de matematic pentru clasele I- IV, (elemente

viznd rezolvarea de probleme);

Mihail Rou, 111 probleme rezolvate pentru clasele III IV, Editura,

Meteor Press, 2002.

107

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie

1. Conceptul de problemNoiunea de problem, n sens larg, se refer la orice dificultate de natur practic sau teoretic ce necesit o soluionare. n sens restrns, problema din matematic vizeaz o situaie problematic a crei rezolvare se obine prin procese de gndire i calcul. Ea presupune o anumit situaie, ce se cere lmurit n condiiile ipotezei (valori numerice date i relaii ntre ele) enunat n text, n vederea concluzionrii, prin raionament i printr-un ir de operaii, a cror efectuare conduce la rezolvarea problemei. Problema implic n rezolvarea ei o activitate de descoperire, deoarece exclude preexistena, la nivelul rezolvitorului, a unui algoritm de rezolvare, care ar transforma-o ntr-un exerciiu. Un exerciiu ofer elevului datele (numerele cu care se opereaz i precizarea operaiilor respective),sarcina lui constnd n efectuarea calculelor dup tehnici i metode cunoscute. Distincia dintre o problem i un exerciiu se face, n general, n funcie de prezena sau absena textului prin care se ofer date i corelaii ntre ele i se cere, pe baza acestora, gsirea unei necunoscute. Dar din punct de vedere metodic, aceast distincie nu trebuie fcut dup forma exterioar a solicitrii, ci dup natura rezolvrii. Clasificarea unor enunuri matematice n exerciii sau probleme nu se poate face n mod tranant, fr a ine seama i de experiena de care dispune i pe care o poate utiliza cel care rezolv. Un enun poate fi o problem pentru un elev din clasa I, un exerciiu pentru cel din clasa a V-a sau doar ceva perfect cunoscut pentru cel din liceu. O prim clasificare a problemelor conduce la dou categorii: probleme simple (cele operaii). rezolvabile printr-o singur operaie) i probleme compuse (cele rezolvabile prin cel puin dou

108

Mihail Rou

2. Rezolvarea problemelor simpleSpecific clasei I este primul tip de probleme, a cror rezolvare conduce la o adunare sau scdere n concentrele numerice nvate. Rezolvarea acestora reprezint, n esen, soluionarea unor situaii problematice reale, pe care elevii le ntlnesc sau le pot ntlni n via, n realitatea nconjurtoare. Pe plan psihologic, rezolvarea unei probleme simple reprezint un proces de analiz i sintez n cea mai simpl form. Problema trebuie s cuprind date (valori numerice i relaii ntre ele) i ntrebarea problemei (ce se cere a fi aflat). La cea mai simpl analiz a ntrebrii problemei se ajunge la date i la cea mai simpl sintez a datelor se ajunge la ntrebarea problemei. A rezolva n mod contient o problem simpl nseamn a cunoate bine punctul de plecare (datele problemei) i punctul la care trebuie s se ajung (ntrebarea problemei), nseamn a stabili ntre acestea un drum raional, o relaie corect, adic a alege operaia corespunztoare, impus de rezolvarea problemei. Predarea oricrui nou coninut matematic trebuie s se fac, de regul, pornind de la o situaie- problem ce l presupune. i din acest motiv, abordarea problemelor n clasa I trebuie s nceap suficient de devreme i s fie suficient de frecvent pentru a sublinia (implicit, dar uneori i explicit) ideea c matematica este impus de realitatea nconjurtoare, pe care o reflect i pe care o poate soluiona cantitativ. n momentul n care elevii cunosc numerele naturale dintrun anumit concentru i operaiile de adunare/ scdere cu acestea, introducerea problemelor ofer elevilor posibilitatea aplicrii necesare i plauzibile a tehnicilor de calcul, capacitatea de a recunoate i discrimina situaiile care implic o operaie sau alta, precum i exersarea unei activiti specific umane: gndirea. Elevii din clasa I ntmpin dificulti n rezolvarea problemelor simple, din pricina nenelegerii relaiilor dintre date (valori numerice), text i ntrebare. Valorile numerice sunt greu 109

Notie

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie legate de coninut i de sarcina propus n problem i pentru c numerele exercit asupra colarilor mici o anumit fascinaie, care i face s ignore coninutul problemei. Un alt grup de dificulti apare din pricina limbajului matematic, pe care colarii mici nu l neleg i, n consecin, nu pot rezolva o anumit problem. De aceea, una dintre sarcinile importante ale nvtorului este aceea de a nva pe elevi s traduc textul unei probleme n limbajul operaiilor aritmetice. S vedem ce se poate face pentru depirea acestor dificulti, astfel nct colarii mici s poat rezolva corect i cu uurin problemele simple. Avnd n vedere caracterul intuitiv-concret al gndirii micului colar, primele probleme ce se rezolv cu clasa vor fi prezentate ntr-o form ct mai concret, prin punere n scen, prin ilustrarea cu ajutorul materialului didactic i cu alte mijloace intuitive. Contientizarea elementelor componente ale problemei, ca i noiunile de problem, rezolvarea problemei, rspunsul la ntrebarea problemei le capt elevii cu ocazia rezolvrii problemelor simple, cnd se prezint n faa lor probleme vii, probleme-aciune, fragmente autentice de via. colarii mici trebuie mai nti s triasc problema, ca s nvee s o rezolve. Prezentm n continuare o modalitate posibil la clasa I dup introducerea operaiei de adunare n concentrul 0-10. nvtoarea d unei fetie (s-i spunem Mihaela) 5 flori i unui bieel (s-i spunem Mihai) 3 flori. Ea cere fetiei s pun florile n vaza de pe catedr. Apoi dialogheaz cu clasa. Ce a fcut Mihaela? (A pus 5 flori n vaza de pe catedr.) Acum, nvtoarea cere bieelului s pun florile sale n vaz. Ce a fcut Mihai? (A pus i el cele 3 flori ale sale n vaz.)

110

Mihail Rou Cte flori a pus Mihaela i cte flori a pus Mihai n vaza de pe catedr? (Mihaela a pus 5 flori i Mihai a pus 3 flori.) Cte flori sunt acum n vaz? (Elevii rspund cu uurin, deoarece vd cele 8 flori n vaz.) Cum ai aflat? (Lng cele 5 flori pe care le-a pus Mihaela, a mai pus i Mihai 3 flori i s-au fcut 8 flori. Deci 5 flori i nc 3 flori fac 8 flori, adic aflarea numrului total de flori s-a realizat prin adunare: 5+3=8.) Un elev expune aciunea fcut de colegii si i formuleaz ntrebarea problemei: Mihaela a pus n vaz 5 flori, iar Mihai a pus 3 flori. Cte flori sunt n total, n vaz? Cu acest prilej, nvtoarea i familiarizeaz pe elevi cu noiunile de problem i rezolvarea a problemei, difereniind i prile componente ale problemei. Nu este inutil ca, n aceast etap, s se strecoare elevilor ideea verificrii rezultatului (aici, vizual, prin numrare), ca o ntrire imediat a corectitudinii soluiei. Dac n problema anterioar rezultatul era vizibil (la propriu!), nu acelai lucru se ntmpl n etapa urmtoare. Fii ateni la Mihaela i vei spune ce a fcut ea! (La indicaia nvtoarei, Mihaela arat 4 caiete pe care le pune ntr-un ghiozdan gol, aflat pe catedr.) Ce a fcut Mihaela? (A pus 4 caiete n ghiozdan.) Observai ce face ea acum ! (Mihaela mai pune nc dou caiete n ghiozdan.) Ce a fcut acum Mihaela? (A mai pus dou caiete n ghiozdan.) Spunei tot ce ai vzut c a fcut Mihaela de la nceput! (A pus n ghiozdan 4 caiete i nc dou caiete.) Dar vedei voi cte caiete sunt acum n ghiozdan? (Nu.) Notie

111

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie Atunci, ce nu tim noi sau ce trebuie s aflm? (Cte caiete sunt acum n ghiozdan.) S spunem acum problema! (Mihaela a pus n ghiozdan mai nti 4 caiete i apoi nc dou caiete. Cte caiete a pus Mihaela, n total, n ghiozdan?) Aceast problem este format din dou pri: o parte ne arat ce cunoatem sau ce tim n problem. Spunei ce tim noi n aceast problem! (C Mihaela a pus n ghiozdan mai nti 4 caiete i apoi nc dou caiete.) O alt parte a problemei ne arat ce nu cunoatem, adic ce trebuie s aflm. Aceasta se numete ntrebarea problemei. Ce nu cunoatem noi n aceast problem? (Nu cunoatem cte caiete a pus Mihaela, n total.) Deci, care este ntrebarea problemei? (Cte caiete a pus Mihaela, n total, n ghiozdan?) S rezolvm acum problema! Cum vom gndi? ( La 4 caiete pe care le-a pus nti, am adugat cele dou pe care le-a pus apoi i s-au fcut 6 caiete, pentru c 4+2=6.) Ce am aflat? (C Mihaela a pus n total 6 caiete n ghiozdan.) Acesta este rspunsul la ntrebarea problemei. S vedem acum dac am rezolvat corect problema! Mihaela, ia ghiozdanul de pe catedr, scoate caietele i numr-le, s vad toi copiii! (Acetia se conving de corectitudinea rezolvrii problemei.) S mai ilustrm printr-un exemplu, etapele pe care le parcurge un elev ce rezolv o problem simpl. 1. Copilul pune mpreun, n aceeai cutie, dou cantiti ( dou creioane i 3 creioane). 2. Traducerea oral: Am avut dou creioane ntr-o mn, 3 n cealalt i le-am pus pe toate n aceeai cutie; deci, n aceast cutie sunt 5 creioane. De altfel, aici putem distinge

112

Mihail Rou dou etape: copilul vorbete n timp ce execut aciunea, apoi vorbete fr s mai execute aciunea. 3. Traducerea n desen: Notie

ntlnim aici o dificultate de ordin psihologic: condensarea ntr-un singur desen a uneia sau mai multor aciuni care au o anumit durat. Efortul de depire a acestei dificulti oblig copilul s nu deseneze dect lucrurile importante i l obinuiete treptat s nu mai ia n consideraie amnuntele, ci s rein ceea ce este esnial. 4. Traducerea cu introducerea simbolismului elementar: + =

Aici ncepe introducerea primelor convenii, care nu sunt altceva dect un rezumat al experienei. Este important s se explice elevilor c semnul +, n acest caz, nu face dect s rezume o aciune (am pus mpreun, n aceeai cutie) sau s transpun o aciune. 5. n decursul etapei precedente poate s apar o alt traducere: 2 creioane + 3 creioane = 5 creioane, ntr-un prim stadiu i 2 + 3 = 5, n stadiul al doilea. Evident c aspectele enumerate nu corespund unor etape rigide; ele doar indic linia general de evoluie. 6. Am putea s continum astfel i s spunem c traducerea a + b = c se nscrie n aceast evoluie, care pleac de la

113

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie concret i care se purific tot mai mult de-a lungul diferitelor etape. Pe aceeai linie, a nvrii traducerilor, nvtorul trebuie s-i conduc pe elevi spre recunoaterea n probleme a principalelor categorii de situaii care conduc la o anumit operaie aritmetic. De exemplu: a) probleme care se rezolv prin adunare: - suma obiectelor analoage (3 bile + 4 bile = 7 bile); - reuniunea unor obiecte care trebuie s fie regrupate ntr-o categorie general (3 mere + 4 pere = 7 fructe, 3 gini + 4 rae = 7 psri); - suma valorilor negative (s-au spart 3 baloane i nc 4 baloane, am pierdut 3 nasturi i nc 4 nasturi). b) probleme care se rezolv prin scdere - se caut un rest (Am avut 8 bomboane; din ele am mncat 2. Cte au mai rmas?); - se caut ceea ce lipsete unei mrimi pentru a fi egal cu alta (Am dou caiete n ghiozdan i trebuie s am 5 caiete. Cte caiete mi lipsesc?); - se compar dou mrimi (Raluca are 3 timbre i Mihaela 8 timbre. Cu cte timbre are mai mult Mihaela dect Raluca?). Condiie necesar pentru rezolvarea unei probleme simple, cunoaterea elementelor sale de structur nu trebuie s realizeze numai cu prilejul rezolvrii primelor probleme, ci este necesar o permanent consolidare. Pentru aceasta, se pot folosi diferite procedee: prezentarea unor probleme cu date incomplete, pe care elevii le completeaz i apoi le rezolv. De exemplu: Raluca a avut 9 nasturi i a pierdut civa dintre ei. Ci nasturi i-au rmas?

114

Mihail Rou prezentarea datelor problemei, la care Notie

elevii pun ntrebarea. De exemplu: Un copil avea 5 creioane. El a dat 2 creioane fratelui su. Prezentarea ntrebrii, la care elevii completeaz datele. De exemplu: Cte cri au rmas? n manualul clasei I, introducerea problemelor se face relativ devreme, din motivele menionate anterior. Prezentarea acestora se face gradat, trecnd prin etapele: probleme dup imagini; probleme cu imagini i text; probleme cu text.

Introducerea problemelor cu text este condiionat i se nvarea de ctre elevi a citirii/scrierii literelor i cuvintelor componente. Manualul sugereaz i modalitatea de redactare a rezolvrii unei probleme, urmnd ca, n absena unui text scris, nvtorul si obinuiasc pe elevi s scrie doar datele i ntrebarea problemei. Dup rezolvarea problemei, menionarea explicit a rspunsului i determin pe elevi s contientizeze finalizarea aciunii, fapt ce va deveni vizibil i n caietele lor, unde acest rspuns va separa problema separat de alte sarcini ulterioare de lucru (exerciii sau probleme).

3. Rezolvarea problemelor compuseRezolvarea unei probleme compuse nu este reductibil doar la rezolvarea succesiv a unor probleme simple. Dificultatea unor astfel de rezolvri este dat de necesitatea descoperirii legturilor dintre date i necunoscute, de construirea raionamentului corespunztor. De aceea, primul pas n realizarea demersului didactic l constituie rezolvarea unor probleme compuse, alctuite din succesiunea a dou probleme simple, unde cea de a doua problem are ca una dintre date, rspunsul de la prima problem.

115

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie De exemplu, se prezint i se rezolv, pe rnd, urmtoarele dou probleme simple: 1. Pe o ramur a unui pom erau 5 vrbii, iar pe alta, 3 vrbii. Cte vrbii erau n pom? 2. Dou dintre vrbiile din acel pom au zburat. Cte vrbii au rmas n pom? Se reformuleaz apoi, construind din cele dou o singur problem: Pe o ramur a unui pom erau 5 vrbii, iar pe alta, 3 vrbii. Dou dintre vrbiile din acel pom au zburat. Cte vrbii au rmas n pom? n urma unor astfel de activiti, elevii sesizeaz paii raionamentului i nva s redacteze rezolvarea problemei, pe baza elaborrii unui plan i efecturii calculelor corespunztoare. Pentru rezolvarea unei probleme compuse este necesar parcurgerea urmtoarelor etape: a) nsuirea enunului problemei; b) examinarea (judecata) problemei; c) alctuirea planului de rezolvare; d) rezolvarea propriu-zis; e) activiti suplimentare dup rezolvarea problemei. n fiecare etap, activitile ce se desfoar sunt variate, unele obligatorii, altele doar dac este cazul. Astfel, pentru nsuirea enunului problemei, activitile necesare sunt: expunerea/citirea textului problemei Se poate realiza prin modaliti diferite, dup cum textul problemei poate fi vizualizat de elevi n manual, pe tabl, pe o plan, ntr-un auxiliar didactic, iar citirea acestuia poate fi fcut de ctre de nvtor, de ctre unul sau mai muli elevi, de ctre fiecare elev (fr voce). Este o activitate necesar i obligatorie n aceast etap. explicarea cuvintelor/expresiilor necunoscute

116

Mihail Rou Reprezint o activitate necesar doar dac textul problemei conine cuvinte necunoscute elevilor. nvtorul are avantajul cunoaterii, de la limba romn, a cuvintelor ce intr n vocabularul activ al elevilor si i este n msur s decid cnd este cazul s se opreasc asupra explicrii unor cuvinte din text. Nenelegerea de ctre elevi a unor cuvinte conduce la incapacitatea acestora de a-i imagina contextul descris n problem i, n consecin, la imposibilitatea elaborrii unor raionamente. problemei Sunt necesare doar n cazul n care nu toi elevii reuesc s contientizeze i s-i reprezinte contextul descris n problem. concretizarea enunului problemei prin diferite mijloace intuitive Dac activitatea precedent nu a condus la nelgerea textului, pot fi utilizate diverse mijloace materiale, care s ilustreze textul, fcndu-l accesibil oricrui elev. scrierea datelor problemei Este o activitate necesar, obligatorie, pentru c repreint un pas spre esenializarea textului i pstrarea doar a informaiilor cantitative i a ntrebrii problemei. Se poate realiza prin scrierea datelor pe orizontal (cu puncte, puncte) sau pe vertical (ca la geometrie, cu se d, se cere). Alegerea unuia sau altuia dintre procedee se face n funcie de particularitile clasei, complexitatea problemei, inteniile, dar i personalitatea fiecrui nvtor. schematizarea problemei Se poate realiza atunci cnd elevii ntlnesc un nou tip de problem, pentru a facilita vizualizarea legturililor dintre datele problemei sau dup ce elevii au rezolvat o clas de probleme de un acelai tip, n vederea reinerii schemei generale de rezolvare. Este o activitate repetarea problemei de ctre elevi necesar, obligatorie care ofer discuii privitoare la coninutul Notie

nvtorului feed-back-ul privind nsuirea de ctre elevi a enunului problemei, iar elevilor ntririle imediate pentru a putea

117

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie accede la urmtoarele etape ale rezolvrii. Numrul elevilor care repet enunul problemei este variabil (nu unul singur, dar nici fiecare elev din clas) i se stabilete de fiecare nvtor, n funcie de complexitatea problemei i de particularitile clasei. Repetarea se poate realiza urmrind datele deja scrise pe tabl (i n caietele elevilor), n ordinea apariiei acestora n enun sau enunnd, la ntmplare, cte una dintre date i cernd elevilor s spun ce reprezint ea. Nu trebuie neglijat repetarea ntrebrii problemei, ce va sta la baza urmtoarei etape de rezolvare. Examinarea (judecata) problemei se poate realiza pe cale sintetic sau pe cale analitic. Ambele metode constau n descompunerea problemei date n probleme simple, care prin rezolvarea lor succesiv duc la gsirea rspunsului problemei. Deosebirea ntre ele const n punctul de plecare al examinrii: prin metoda sintetic se pornete de la datele problemei spre determinarea soluiei, iar prin metoda analitic se pornete de la ntrebarea problemei spre datele ei i stabilirea relaiilor pentru acestea. Cum mersul gndirii rezolvitorului nu este liniar n descoperirea soluiei, ntmpinarea unei dificulti sau un blocaj n rezolvare poate conduce la schimbarea cii de examinare. De aceea, cele dou metode se pot folosi simultan sau poate predomina una dintre ele. La vrsta colar mic, metoda sintetic de examinare a unei probleme este mai accesibil, dar nu solicit prea mult gndirea elevilor , mai ales dac ne mrginim s le prezentm probleme n care datele se leag ntre ele n ordinea apariiei n enun. n acest fel, exist riscul depistrii i rezolvrii unor probleme simple care nu au legtur cu ntrebarea problemei. Metoda analitic, mai dificil, dar mai eficient n dezvoltarea gndirii elevilor poate fi utilizat la clasele a III-a i a IV-a, ajutndu-i pe elevi s vad problema n totalitatea ei, s aib mereu n centrul ateniei ntrebarea problemei. Alctuirea planului de rezolvare se face ncepnd cu prima problem simpl ce se obine din descompunerea problemei date i continu cu celelalte probleme simple, ce au putut fi depistate prin 118

Mihail Rou examinarea sintetic. ntrebrile acestor probleme simple constituie planul de rezolvare, ce poate fi redactat sub aceast form interogativ sau poate fi prezentat prin exprimri concise, nuniative. Prima modalitate este mai la ndemna colarului mic, dar sporirea n timp a experienei de rezolvitor l va conduce spre a accepta, ba chiar a prefera, cea de-a doua modalitate. Rezolvarea propriu-zis a problemei este separat de cealalt etap doar din raiuni legate de timpul demersului implicat: dac examinarea are la baz raionamente i implic o aactivitate de descoperire, rezolvarea este de natur calculatorie i implic o activitate executorie. Aceast etap const n alegerea operaiilor corespunztoare ntrebrilor problemei, justificarea alegerii i efectuarea calculelor. n mod obinuit, se realizeaz n acelai timp cu stabilirea ntrebrilor, prin alternarea acestora cu calculele corespunztoare. Se realizez astfel o unitate ntre ceea ce a gndit elevul i ceea ce calculeaz. Rezolvarea se ncheie, cu menionarea rspunsului la ntrebarea problemei. Activitile suplimentare, dup rezolvarea problemei, reprezint o etap foarte bogat n valene formative, ce trebuie s stea permanent n atenia nvtorului i a elevilor. Desigur, dup rezolvarea unor probleme nu se pot realiza toate aceste activiti posibile, dar i desfurarea ctorva reprezint mult pentru dezvoltarea intelectual a copilului. Fr pretenia prezentrii unei liste exhaustive, printre aceste activiti se afl: revederea planului de rezolvare Nu nseamn o recitire mecanic a acestuia, ci sublinierea pailor realizai n rezolvare. Mai mult, dac examinarea problemei s-a realizat sintetic, acum poate fi activat calea analitic, marcnd necesitatea realizrii fiecrui pas din rezolvare. Revederea planului de rezolvare contribuie la formarea i dezvoltarea capacitilor de sistematizare, generalizare i abstractizare ale gndirii elevilor. verificarea soluiei 119 Notie

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie Poate conine dou componente, dintre care prima, grosier, permite eliminarea soluiilor neplauzibile (nu poate constitui un rspuns corect, soluia 3 muncitori i jutate!), cu un ordin de mrime complet diferit de datele problemei (dac acestea sunt mai mici dect 10, nu se poate obine o soluie de ordinul miilor). Spre deosebire de aceast modalitate de verificare a plauzibilitii soluiei, bazat pe raionament, cea de-a doua modalitate este calculatorie, constnd n introducerea soluiei n enunul problemei i verificarea tuturor conexiunilor menionate n enun. Verificarea soluiei confer rezolvitorului siguran, i sporete ncredeea n forele proprii i se constituie ntr-un instrument de autocontrol utilizabil nu numai la matematic, o adevrat deprindere de munc intelectual. alte ci de rezolvare De multe ori, o problem dat admite mai multe ci de rezolvare. Dup gsirea uneia dintre ele, se poate lansa solicitarea de a rezolva problema astfel. n momentul gsirii tuturor cilor de rezolvare, acestea pot fi analizate, alegnd-o pe cea mai frumoas (mai elegant, mai neobinuit sau mcar mai scurt). n felul acesta este activat capacitatea de explorare/investigare a elevilor, implicai ntr-o activitate de descoperire, care nu numai c i motiveaz pentru nvarea matematicii, ci i contribuie la dezvoltarea gndirii divergente a acestora. Sunt depite astfel nivelurile inferioare de cunoatere, nelegere, aplicare ajungndu-se n zonele analizei, sintezei i evalurii. scrierea expresiei numerice corespunztoare rezolvrii problemei Reprezint una dintre modalitile uzuale de seriere condensat a rezolvrii problemei, aa numitul exerciiu al problemei. Numai c scopul su nu este legat de calcul, ci de a evidenia, ntr-o manier sintetic, ntreaga rezolvare a problemei. Deci, dup scrierea acestei expresii numerice, nu se cere efectuarea acesteia, ci se analizeaz fiecare operaie component, identificnd ntrebarea problemei ce a condus la aceasta (de exemplu, un produs 120

Mihail Rou de doi factori poate reprezenta un cost al unui produs, unul din factori reprezentnd cantitatea, iar cellalt preul unitar). Scrierea expresiei numerice reprezint un pas spre descoperirea claselor de probleme, pregtete introducerea algebrei i le poate fi de folos elevilor n activitatea de compunere a problemelor. n acest fel, sunt antrenate operaii ale gndirii ca abstractizarea i generalizarea, contribuind la cultivarea calitilor acesteia. acelai tip Se poate realiza schimbnd valorile numerice ale datelor, schimbnd mrimile ce intervin n problem sau schimbnd i valorile i mrimile. Realizarea acestei activiti d consiten claselor de probleme introduse de nvtor i i apropie pe elevi de activitatea de compunere a problemelor. complicarea problemei Nu nseamn a face ca problema dat s devin mai complicat, ci a gsi i alte ntrebri posibile pentru aceasta, particularizri ale soluiei sau extinderi, eventual prin introducerea de date noi. Poate contribui la dezvoltarea gndirii divergente a elevilor, precum i la cultivarea inventivitii i creativitii acestora. generalizri Un prim pas spre generalizare s-a realzat chiar prin scrierea expresiei numerice corespunztoare rezolvrii. Urmtorul pas l constituie expresia literal, ce stabilete tipul de problem i i pregtete pe elevi pentru nvarea algebrei. Prentru copiii ce reuesc s ajung n aceast zon, acest tip de activitate contribuie la sporirea capacitii de abstractizare. acelai tip Este categoria de activiti ce cultiv la elevi imaginaia creatoare, ce i transform din rezolvitori n autori de probleme. Dei imaginaia lor nu trebuie ngrdit, nvtorul trebuie s-i compuneri de probleme de rezolvarea unor probleme de Notie

121

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie atenioneze asupra plauzibilitii problemei alctuite, care trebuie s fie concordant cu realitatea nconjurtoare.

Activiti practice studierea, din documentele colare, a obiectivului cadru viznd dezvoltarea capacitilor de explorare /

investigare i rezolvare de probleme, a obiectivelor de referin, a exemplelor de activiti de nvare i a coninuturilor corespunztoare acestui obiectiv cadru; rezolvarea tuturor problemelor din manualele n vigoare ale claselor III IV, cu mijloacele i la nivelul elevilor; simularea demersului didactic dintr-o lecie de

matematic avnd ca dominant activitatea de rezolvare a problemelor.

Puncte cheie identificarea obiectivelor i a coninuturilor viznd rezolvarea de probleme; distingerea strategiilor didactice specifice acestui tip de activitate; sesizarea performanelor ateptate de la elevii claselor I IV, n privina rezolvrii de probleme; formarea priceperii de a rezolva orice problem de matematic din manualele colare i de a expune metodic aceast rezolvare.

122

Mihail RouStudiu individual

123

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori NotieStudiu individual

124

Mihail Rou

Unitatea 8 JOCUL DIDACTIC MATEMATIC

Obiectivefamiliarizarea cu metodologia organizrii i desfurrii jocului didactic matematic; cunoaterea locului i rolului jocului didactic n lecia de matematic; contientizarea avantajelor oferite de jocul didactic matematic n clasele I IV.

Coninuturi Conceptul de joc; Jocul didactic; Jocul didactic matematic.

Resurse Unitatea 8

Gheorghe Iftimie, Jocuri logice pentru precolari i colari mici, EDP, Bucureti,1977;

MEN, CNC, Curriculum naional. Programe colare pentru nvmntul primar,Bucureti, 1998 (obiective de referin i exemple de activiti de nvare corespunztoare obiectivului cadru 4);

SNEE, CNC, Descriptori de performan pentru nvmntul primar, Editura ProGnosis (matematic, obiectivul cadru 2); Manuale (n vigoare) de matematic pentru clasele I- IV, (elemente de joc didactic matematic);

125

Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori Notie

1. Conceptul de jocn viaa de fiecare zi a copilulu


Recommended