1. Definiti procesul de optimizareOptimizarea, n general este definit ca fiind operaia de studiere a unei probleme, finalizat cu un rezultat care, n comparaie cu alte rezultate posibile este cel mai bun, iar n baza acestuia se poate lua o decizie cu caracter tehnic i economic.Optimizarea este un proces de prim ordin al activitii umane i se realizeaz printr-o alegere, atribut al omului de a decide asupra soluiei celei mai bune dintre dou sau mai multe soluii posibile. Subiectivismul ns i pune amprenta asupra cutrii soluiei optime i este cu att mai pronunat cu ct numrul soluiilor posibile este mai mare. Cum domeniul soluiilor posibile crete odat cu progresul tehnico-economic, alegerea optimului se face tot mai greu. n aceste condiii se impune obiectivizarea soluiei optime, mai ales atunci cnd domeniul soluiilor posibile crete nelimitat. In cele mai multe situaii, domeniul soluiilor posibile este infinit, iar din infinitatea acestor soluii una este cea mai bun pentru un anumit scop, adic optim.

2. Care sunt elementele care definesc o problema de optimizare

n prezent, se consider c o soluie raional pentru o problem de optimizare poate fi obinut doar dac se ine cont n egal msur de multitudinea factorilor ce o condiioneaz. n acest sens, se remarc faptul c, elementele de optimizat nu pot fi privite independent de construcia din care fac parte, deoarece exist o interdependen evident ntre acestea i restul construciei, interdependen ce trebuie exprimat n procesul optimizrii. De asemenea, se constat c, cel puin n etapa actual, nu este posibil efectuarea unei optimizri de ansamblu care s conduc la o soluie general, capabil s satisfac toate aspectele i cerinele impuse, i de aceea cercetrile care se ntreprind vizeaz doar optimizarea anumitor aspecte tehnice, tehnologice i economice.Dei rezolvarea strict matematic a problemei de optimizare ofer avantaje remarcabile, o astfel de abordare nu este ns ntotdeauna acceptabil, deoarece presupune considerarea a numeroi factori obiectivi i subiectivi. Acetia pot avea caracteristici i influene contradictorii asupra optimizrii, funcie de condiiile n care se gsete structura respectiv, iar din acest motiv, la ora actual, se accept i metode de optimizare mai puin riguroase. Simplificarea problemei optimizrii const, n etapa actual, n aceea c se recurge la schematizarea situaiilor reale prin introducerea unor ipoteze simplificatoare cu caracter acoperitor. Avnd n vedere acest aspect, o parte din studiile efectuate pn n prezent i-au gsit aplicarea n practic, datorit faptului c au fost finalizate sub form de algoritmi i programe de calcul.

3. Definii variabilele de proiectare

n general, dei variabilele de decizie sunt parametri independeni, exist situaii n care variabilele nu pot fi considerate independente. Acestea din urm corespund cazului cnd variabilele satisfac fie anumite ecuaii de condiie (specifice metodei eforturilor sau a deplasrilor), fie relaii ce exprim echilibrul mecanic n diferite stadii de lucru. n situaiile menionate, variabilele de proiectare reprezint practic condiii restrictive i vor fi considerate n procesul de optimizare ca atare.Aa cum se arat n literatura de specialitate pentru structurile de rezisten variabilele de proiectare se refer la:- configuraia geometric a structurii;- distribuia materialului n cuprinsul structurii.

4. Care pot fi variabilele de proiectare n cayul optimizarii: structurilor de rezisten, a unor organe de maini sau a unui proces de achiere

Variabilele de decizie reprezint cantiti numerice reale care trebuie determinate la proiectarea unei structuri de rezisten. Acestea sunt mrimi independente care descriu anumite aspecte specifice problemei, cum ar fi: caracteristicile geometrice ale elementelor componente, configuraia structurii (mrimea deschiderilor, raportul dintre nlime i deschidere), proprietile fizico - mecanice ale materialelor din care este confecionat structura. Procesul de optimizare urmrete att concepia, alctuirea de ansamblu a structurii de rezisten i stabilirea formei ei, ct i dimensionarea elementelor care o compun. Pentru a simplifica rezolvarea problemei, modul de alctuire a structurii i parametri ei geometrici generali se fixeaz n prealabil, rmnnd de optimizat doar parametrii fizico-mecanici, ca de exemplu distribuia materialului n elementele componente ale structurii de rezisten. n aceast situaie, drept parametri de optimizare intervin anumite dimensiuni ce definesc seciunile transversale ale elementelor, precum i caracteristicile geometrice ale acestora.Parametri menionai pot varia, fie prin valori continue, fie discrete, conducnd astfel la un numr infinit, respectiv finit de combinaii posibile. Reducerea volumului problemei de optimizare este posibil prin folosirea n alctuirea structurilor de rezisten a unor elemente standardizate i tipizate, precum i prin impunerea anumitor consideraii constructive. Astfel, se elimin variaia numrului acestor parametrii care caracterizeaz seciunile transversale ale elementelor de rezisten, ei putnd avea un numr restrns de valori, ceea ce duce la micorarea numrului combinaiilor acestora.n general, dei variabilele de decizie sunt parametri independeni, exist situaii n care variabilele nu pot fi considerate independente. Acestea din urm corespund cazului cnd variabilele satisfac fie anumite ecuaii de condiie (specifice metodei eforturilor sau a deplasrilor), fie relaii ce exprim echilibrul mecanic n diferite stadii de lucru. n situaiile menionate, variabilele de proiectare reprezint practic condiii restrictive i vor fi considerate n procesul de optimizare ca atare.

b. Variabile de decizie n cazul optimizrii unui proces de achiere

Achierea metalelor, const n ndeprtarea unor straturi de material dintr-un semifabricat sub form de achii, procedeu ce se realizeaz pe maini unelte, folosindu-se scule achietoare, dispozitive i lichide de achiere.Sculele achietoare folosite la achiere au geometrii difinite prin mai muli parametrii, ce pot lua valori ntre anumite limite.Maina unealt influeneaz procesul de achiere prin gama de turaii i avansuri, prin momentele i forele admisibile, rigiditatea diferitelor ansamble, prin precizia micrilor.Lichidul de achiere are influen direct asupra frecrii din zona de lucru, asupra evacurii cldurii, depunerilor pe ti.Dimensiunile, forma, toleranele, uniformitatea structurii sau alte date despre semifabricat, influeneaz procesul de achiere.

Aadar se consider c procesul de achiere este o funcie y care ia n considerare toate aspectele procesului prin variabilele ,, unde variabilele pot fi: unghiurile sculei, parametrii regimului, rigiditatea mainii i a dispozitivului.

c. Variabile de decizie n cazul optimizrii unor organe de maini

n cazul organelor de maini se au n vedere urmtoarele variabile de proiectare:Vectorul geometric, avnd drept componente dimensiunile organului de main (lungimi, unghiuri); X = (x1, x2,xn)- Vectorul materialului ale crui componente sunt caracteristicile acestuia, adic: rezistene, module de elasticitate, greuti specifice, etc.Y = (y1, y2,yn)Vectorul solicitrilor determinat de componentele forelor i momentelor n diferite seciuni ale organului de main; Z = (z1, z2,zn)

5. Definii restriciile de proiectare

Funcii de tip egalitate sau inegalitate care stabilesc domeniile admise n care variabilele de decizie pot lua valori poart numele de restricii. Restriciile deci, delimiteaz astfel domeniul soluiilor admisibile al problemei de optimizare, iar n urma rezolvrii lui, soluia optim se alege din acest domeniu. Avnd n vedere acest aspect, condiiile restrictive trebuie stabilite, pentru fiecare problem de optimizare, cu mult discernmnt.Aceste restricii pot provenii din natura fizic a variabilelor, din natura intern a sistemului, fie datorit unor reglementri dup nite norme, cerine sau stri de fapt externe sistemului, dar pe care sistemul trebuie s le respecte.

6. Sub ce forme pot fi definite restriciile de proiectare n cazul optimizrii unor structuri de rezisten, organe de maini sau a unui proces de aschiere

a. n practica optimizrii structurilor de rezisten se ntlnesc n general, dou tipuri de restricii: 1. Restricii de comportament;2. Restricii de mrginire. 1. Restriciile de comportament provin din cerinele de rezisten i rigiditate ale structurii de rezisten i determin domeniul n care se realizeaz optimizarea. De exemplu, restriciile de comportament pot fi formulate pentru o comportare a materialului structurii n domeniul elastic, n aceste condiii optimizarea fcndu-se n domeniul elastic, iar dac restriciile formuleaz condiii de plasticitate, procesul de optimizare se conduce n domeniul plastic.2. Restriciile de mrginire provin din condiiile de limitare a unor variabile de proiectare.Restriciile exprimate analitic prin egaliti ori inegaliti, impun anumite limitri unei singure variabile sau unui grup de variabile i decurg din analiza situaiilor limit ce apar n etapa de realizare sau n cea de exploatare a structurii de rezisten respective.Se trece apoi la formularea condiiilor restrictive care deriv din condiionrile referitoare la anumite situaii limit n comportarea structurii. b. Restricii impuse n cazul optimizrii procesului de achiere

1. Puterea consumat n cadrul acestei operaii , s nu depeasc puterea maxim a mainii:

(1.10)2. S fie respectat condiia de rezisten a sculei:

(1.11)3. S nu fie depit ncrcarea maxim admis de ctre mecanismul de avans al mainii:

(1.12)4. S nu fie depit temperatura maxim admis n zona de achiere:

(1.13)

S fie respectate condiiile legate de cinematica mainii-unelte:

(1.14a)

(1.15b)

c. Restricii impuse n cazul optimizrii organelor de mainiPrin restricii se definesc condiiile ce se impun organelor de maini privind:portana, care implic limitarea rezistenei n seciune (la contact i la oboseal), limitarea rigiditii privind deformaiile liniare i unghiulare, limitarea privind vibraiile pentru evitarea turaiilor critice sau a uzurii cuplelor cinematice cu ntregul complex tribologic de protecie, ungere i rcire;structura, care implic satisfacerea dezideratelor referitoare la: gabarit impus de structura cinematic, montaj n lanul cinematic astfel nct s asigure accesul, toleranele i operaiile necesare legrii organului n ansamblu, tehnologia de fabricaie i transportul intern i extern al uzinei.Aceste restricii se exprim matematic prin inecuaii de forma:

i = 1,2,3,

7. Definii funcia obiectiv

Funcia obiectiv exprim dependena criteriului de optimizare de variabilele de decizie i se obine pe baza ecuaiilor modelului matematic al sistemului supus optimizrii:

mpreun cu sistemul de restricii, funcia obiectiv formeaz reprezentarea analitic a problemei de optimizare.

8. Care sunt proprietiile funciei obiectiv

Din punctul de vedere al metodologiei de optimizare, adic de determinare a extremului, cele mai importante proprieti ale funciei de performan (obiectiv) sunt:a. Continuitatea sau discontinuitatea funcieib.Funcii unimodale i multimodalec.Domeniul admis pentru cercetare funciei de performand. Variaia aleatoare a funciei de performan

9. Definii criteriile de optimizare

Esena optimizrii unui sistem const n alegerea din mulimea de soluii posibile ale sistemului pe cea care este cea mai bun n raport cu un criteriu de optimizare definit iniial. Acest criteriu se numete criteriu de optimizare. Soluia problemei este dependent de optimizare ales. Dac se schimb criteriul, se va schimba i soluia de optimizare.ntr-o problem de optimizare se pot definii o mulime de criterii de optimizare. Criteriile de optimizare se pot grupa n dou grupe:criterii de natur tehnic;criterii de natur economic;

10. Care sunt principalele criterii de optimizare utilizate n mod frecvent la ora actual

Principalele criterii economice folosite n optimizare sunt:beneficiul definit ca diferena dintre preul de producie i costurile de producie, raportai la o durat de un an.Acest criteriu se aplic n cazul sistemelor existente, la care investiia este fixat, cerndu-se maximizarea lui. n cazul particular n care preul produciei anuale este fix, maximizarea beneficiului anual revine la minimizarea costurilor anuale de producie.durata de recuperare a investiiei, definit ca raportul dintre valoarea investiiei i beneficiul anual.Acest criteriu se folosete n faza de proiectare, adic atunci cnd investiia este o variabil i se cere minimizarea acestui criteriu. O form echivalent a acestui criteriu este raportul dintre beneficiul anual i valoarea investiiei, raport care se cere maximizat.investiia total care reprezint suma cheltuielilor ce se fac pentru crearea de noi capaciti de producie sau pentru modernizarea celor existente.Investiia total sau componentele acesteia pot fi utilizate drept criteriu de optimizare i acestea pot fi: volumul cheltuielilor pentru utilaje; volumul cheltuielilor necesare pentru montaj.Din acest motiv un element important l constituie calculul i estimarea costurilor utilajelor i a costurilor de montaj.Pe lng aceste criterii mai pot fi utilizate i urmtoarele: investiia de minimizat; cheltuieli materiale - de minimizat; costuri de exploatare de de minimizat.

Criterii de optimizare de natur tehnic

Criteriile tehnice n ingineria mecanic sunt foarte multe i se pot referi la:greutatea unui organ de main minim;volumul unui recipient dintr-o instalaie maxim;timpul pentru realizarea unei prelucrri prin achiere minim;Alegerea unui criteriu tehnic sau economic este dependent de scopul urmrit. Practic, ns, orice criteriu tehnic i are corespondent n optimizarea unui criteriu economic.

11. Care sunt elementele de care se ine cont atunci cnd se ine cont atunci cnd se decide asupra unei metode de optimizare

Etapa de alegere a metodei de optimizare implic identificarea unei metode sau a unei tehnici de optimizare care poate fi aplicat innd cont de urmtoarele:numrul variabilelor de decizie;forma funciei obiectiv;forma i numrul restriciilor.

12. Precizai principalele categorii de metode de optimizare i n ce situaii pot fi aplicate?

Metodele de optimizare se pot grupa n trei categorii:Metode analitice sau clasice de optimizare care se pot aplica la funcii obiectiv definite, continue i variabile. Aceste metode devin imposibil de aplicat pe msur ce variabilele de decizie sunt restricii de tip egalitate sau inegalitate i crete dimensiunea problemei. Din acest motiv, metodele analitice se aplic doar pentru rezolvarea problemelor simple de optimizare cu numr mic de variabile de decizie.Metode numerice de optimizare sau metode de cutare direct sunt aplicabile pentru probleme de optimizare cu funcii obiectiv i restricii de forme complexe i numr mare de variabile de decizie. Metodele din aceast clas se bazeaz pe experimente numerice planificate prin care se nainteaz pas cu pas spre extremul cutat al funciei obiectiv, prin mbuntiri succesive ale valorilor funciei.La rndul lor aceste metode se mpart n dou categorii:metode de eliminare - sunt metode numerice pentru funcii obiectiv de o variabil;metode de urcare-coborre - sunt metode numerice pentru funcii obiectiv de dou sau mai multe variabile de decizie.Metode de programare sunt metode care se aplic n situaia n care funcia obiectiv i restriciile au forme de prezentare specifice. Principalele metode de programare sunt: programarea liniar se aplic n cazul n care funcia obiectiv i restriciile au expresii liniare n raport cu variabilele de decizie;programarea neliniar- se aplic n cazul n care funcia obiectiv i restriciile au expresii neliniare n raport cu variabilele de decizie.

13. Ce informaii ne ofer soluia optim a unei probleme de optimizare

Odat ce metoda de optimizare adecvat funciei obiectiv din problema de optimizare a fost identificat, etapa urmtoare este cea de aplicare a algoritmului respectiv i de identificare a soluiei optime.n cazul metodelor analitice de optimizare nu este necesar utilizarea calculatorului IBM PC, pe cnd n toate celelalte metode calculatorul este indispensabil.n cazul utilizrii calculatoarelor IBM PC etapele necesare n rezolvare sunt:pregtirea i introducerea datelor;apelarea funciei de rezolvare;preluarea rezultatelor furnizate de funcii.Mediile de programare care sunt utilizate n cadrul problemelor de optimizare sunt: Matlab http://www.mathworks.com mediu de calcul numericMathematica - http://www.wolfram.com - mediu de calcul numericMatchcad - http://www.mathsoft.com - mediu de calcul numericGAMS - http://www.gams.com aplicaie dezvoltat direct pentru optimizarePrograme dedicate de calcul cu module de optimizare care sunt utilizate n probleme de proiectare optimal: Catia, Cosmos, Algor etc.Aplicarea soluiei optime: Dei aceast etap reprezint finalizarea procesului de optimizare al unui sistem, nu ntotdeauna soluia matematic gsit poate fi aplicat practic. Chiar n cazul n care soluia matematic nu poate fi aplicat, ea ne d informaii despre potenialul maxim al sistemului i putem aprecia ct de aproape sau ct de departe ne aflm de acest ideal.

14. Definii modelarea matematic i precizai care este rolul acesteia

Modelarea matematic este o etap important n cadrul algoritmului procesului de optimizare.Modelarea matematic are drept scop identificarea unor relaii matematice care descriu procesul ce urmeaz a fi optimizat. Etapa de modelare matematic nu este necesar atunci cnd se face o optimizare experimental prin modificarea dup un anumit plan a factorilor care influeneaz parametrii sistemului ce este optimzat cu scopul identificrii soluiei optime.Necesitatea elaborrii unui model matematic al sistemului n cazul rezolvrii unei probleme de optimizare deriv din faptul c, indifferent de criteriul de optimizare ales, expresia acestuia depinde de variabilele sistemului. Variabilele sistemului pot fi grupate, din punct de vedere al problemei de optimizare n variabile de decizie i variabile de stare care nu apar n expresia funciei obiectiv. Eliminarea variabilelor de stare nu este posibil dect pe baza modelului mathematic al procesului, model ce reprezint legturi funcionale dintre aceste variabile.

15. Precizai care sunt mrimile care caracterizeaz structura unui sistem mecanic

Sistemele mecanice sunt caracterizate prin:mrimi de intrare;mrimi de stare;mrimi de ieire.

16. Definii factori de influen i precizai care sunt criteriile care stau la baza alegerii lor

Factorii de influen reprezint metode i mijloace de influen a funciilor obiectiv.Criteriile care se impun factorilor de influen i care stau la baza alegerii lor ca variabile independente sunt:s poat fi influeni asupra sistemului analizat, adic prin schimbarea valorii lor numerice, sistemul s fie schimbat;s fie compatibili, adic aducerea valorilor factorilor dintr-un sistem la orice nivel de variaie s asigure funcionalitatea sistemului n condiii de securitate deplin;s aib influen univoc i direct asupra funciilor obiectiv;s poat fi meninui la o valoare dorit cu o precitie suficient de mare;

17. Scopul ntocmirii modelelor matematice i domeniile de utilizare

Modul n care are loc modelarea sitemului este dependent de scopul pentru care respectivul model matematic va fi utilizat. n funcie de acest scop nivelul de descriere al sistemului pe care dorim s l modelm va fi complet diferit.Principalele scopuri i domenii de utilizare ale modelelor matematice n ingineria mecanic sunt:Proiectare pentru determinarea parametrilor modelului cunoscnd intrrile sistemului i impunnd ieirile dorite (dimensionarea utilajelor, determinarea valorilor parametrilor de lucru, etc. )Simulare static determinarea comportrii sistemului n regim staionar, determinat de punctul de operare nominal a sistemului;Simulare dinamic descrierea comportrii n timp a sistemului i evaluarea dinamicii lui;Conducere sistem determinarea structurii sistemului de reglare a procesului, identificarea comportrii procesului, etc.

18. Proprietiile modelului matematic

Proprietile modelului matematic sunt:Nonsimetria: Modelarea se face ntr-un singur sens, astfel dac A modeleaz B, atunci B nu poate modela A.Reflexivitatea: Orice sistem este propriul su model (proprietate rezultat din cele patru condiii ale modelului);Tranzitivitatea: Dac A este un model a lui B i B este un model a lui C, atunci A este un model i a lui C;Nontransferabilitatea (neidentificarea) modelelor :Dou sau mai multe modele ale unei baze nu sunt n mod obligatoriu echivalente sau comparabile, ele putnd s reprzinte diferite aspecte ale bazei;Reducerea complexitii se face fie prin grupare unor elemente similare sau cu aceleai proprieti, fie prin eliminarea elementelor irelevante sau a proprietilor irelevante.Nonpartiionarea: un sistem nu poate fi divizat n subsisteme fr a ine cont, pe de o parte de conexiunile stabilite ntre aceste subsisteme i, pe de alt parte de conexiunile ntre subsisteme i sistemul n ansamblu. Un model al unui subsistem nu este un model al ntregului sistem.

19. Principalele tipuri de modele matematice utilizate n optimizare. Avantaje. Dezavantaje

Principalele tipuri de modele utilizate n optimizare sunt:Modele analitice bazat pe ecuaii corespunztoare sistemului;Modele statistice bazate exclusiv pe observaii i msurtori efectuate n cadrul sistemului modelat;Modele mixte bazat pe ecuaii analitice dar i pe ecuaii rezultate din msurtori experimentale efectuate n sistemFiecare dintre aceste modele prezint avantaje i dezavantaje.Avantajele modelelor matematice analitice:domeniu de valabilitate restrns;flexibilitate sprit, adic poate fi aplicat i la modelarea sistemelor similare cu sistemul optimizat iniial.Dezavantajele modelelor matematice analitice:necesit o bun cunoaterea a fenomenelor, proceselor i a funcionalitii sistemului modelat;necesit o pregtire special pentru scrierea ecuaiilor specifice sistemului modelat;modelul matematic obinut este complex i greu de utilizat n optimizare;necesit o etap de validare/verificare a modelului ce implic obinerea unor date experimentale pe sistemul modelat. Avantajele modelelor matematice statistice:sunt simple din punct de vedere matematic;nu necesit cunotine despre sistem dau despre fenomenele i procesele ce au loc n interiorul lui;necesit cunoaterea unui algoritm de calcul minimal.Dezavantajele modelelor matematice:necesit un set estins de date experimentale rezultate din msurtori efectuate pe sistemul pentru care se elaboreaz modelul matematic;modelele matematice obinute nu sunt valabile dect pe domeniul datelor experimentale utilizate n elaborarea lor.Modele matematice mixte preia din avantajele celorlalte dou modele.

20. Modele matematice analitice. Dai exemple de o ecuaie care poate fi folosit n obinerea unui model matematic analitic

Modelele matematice analitice se bazeaz pe aplicarea principiilor de conservare a masei, energiei i a momentului. Conform acestor principii ale fizicii, masa, energia i momentul nu pot fi niciodat distruse i nici create, ci doar i schimb forma. Aplicarea acestor principii duce la obinerea unor relaii ce includ conservarea masei, a energiei i a momentului.Ecuaii de conservare a energiei

Ecuaia de conservare a energiei ntr-un sistem poate fi redat sub forma:Viteza de acumulare a energiei n sistem = fluxul de energie intrat n sistem - flux de energie ieit din sistem

viteza de consum sau de formare a energiei Energia total a unui sitem este alctuit din trei componente:energie intern, U;energie cinetic, KE;energie potenial, PE.

Astfel putem scrie: Fluxurile de energie pot intra sau iei din sistem prin trei componente distincte:fluxul de energie convectiv;fluxuri termice convective i radiante;lucru mecanic.

21. Ce este un model matematic statistic? Ce implic obinerea unui model matematic statistic? Cnd se realizeaz un model matematic statistic?

Caracteristica cea mai important a unui model matematic este aceea de a putea reda corect interdependena variabilelor procesului n domeniu dorit.Elaborarea unui model statistic implic efectuarea unor msurtori cu scopul acumulrii de date experimentale suficiente pentru obinerea unui model utilizabil. Astfel, un model matematic statistic nu poate fi obinut n situaia n care nu se pot face msurtori experimentale. Realizarea unui model statistic se face atunci cnd:sistemul este suficient de bine cunoscut, acest fapt duce la imposibilitatea creerii unui model analitic;sistemul este foarte complex.Un model matematic statistic se compune sintr-un numr de ecuaii egal cu numrul variabilelor dependente, existente n sistem. Fiecare dintre aceste relaii trebuie s exprime dependena observat funcie de variabilele independente.Algoritmul matematic utilizat pentru determinarea acestor ecuaii poart numele de analiz de regresie, iar ecuaiile se numesc ecuaii de regresie.

22. Definii analiza de regresie. Cerine impuse analizei de regresie. Structura analizei de regresie

Analiza de regresie reprezint un algoritm pe baza creia se poate determina o ecuaie de corelaie a unui parametru (variabil dependent n cadrul sistemului) n funcie de variabilele independente ale sistemului. Pentru a putea aplica analiza de regresie, trebuie ndeplinite urmtoarele cerine:variabila dependent exprimat prin ecuaia de regresie trebuie s fie o variabil aleatoare de repartiie normal, iar variabilele independente s nu fie aleatoare;s nu fie interdependene ntre variabilele independente;sistemul modelat s fie n regim staionar.Schema de baz a analizei de regresie este prezentat n fig.2.2.

Fig.2.2 Structura algoritmului analizei de regresie

23. Forma generala a ecuaiei analizei de regresie. Coeficenii de regresie.

Forma general a ecuaiei de regresie este:

x1, x2, ...xn variabile independente n sistemul studiat;y mrimea independentDeci coeficienii dreptei de regresie sunt:

, (2.21)

. (2.22)n practic, cunoscnd expresiile mediilor de selecie i a abaterilor medii ptratice de selecie

,, (2.23)

,, (2.24)coeficienii dreptei de regresie se calculeaz utiliznd formulele echivalente:

, (2.25)

, (2.26)

unde este coeficientul de corelaie dintre variabilele x i y.

Coeficientul de corelaie exprim intensitatea dependenei liniare dintre cei doi parametrii.Acest coeficient de corelaie variaz ntre -1 i +1. O valoare pozitiv a coeficientului de corelaie indic o legtura direct ntre cei doi parametrii, adic la o cretere a parametrului independent parametrul dependent crete, sau invers, o valoare negativ a coeficientului de corelaie indic o relaie invers ntre cei doi parametrii, adic la o cretere a parametrului independent, parametrul dependent va scdea liniar .

Cu ct valorile coeficienilor de corelaie sunt mai apropiate de 1 interdependena dintre cei doi parametrii este mai puternic din punct de vedere statistic. Pentru stabilirea valorii absolute a acestei legturi se utilizeaz coeficientul de determinare

. (2.27)Formula de calcul a coeficientului de corelaie este

, (2.28)sau

.(2.29)

24. Principiul metodei celor mai mici ptratePentru a msura mprtierea punctelor n jurul dreptei de regresie se utilizeaz abaterea medie ptratic de la dreapta de regresie:

, (2.30)care rezult din metoda celor mai mici ptrate. Aceasta formul este echivalent cu:

. (2.31)

25. Etapele procesului de modelare

Indiferent de tipul modelului care se elaboreaz etapele procesului de modelare sunt: formularea modelului; stabilirea ecuaiilor modelului i a funciei obiectiv; verificarea modelului

26. Care sunt paii parcuri n formularea unui model matematic

Formularea modelului cuprinde urmtorii pai:a) stabilirea scopului modelului, Scopul modelului condiioneaz alegerea variabilelor care vor fi luate n considerare, precizia care va fi impus modelului i metodele de stabilire a ecuaiilor modelului.b) delimitarea procesului analizat deriv din scopul modelului i va condiiona parametrii (variabilele) de intrare i de ieire luate n considerare.c) stabilirea parametrilor independeni i dependeni luai n considerare d) stabilirea tipului de model necesare) formularea unui model preliminar ce const n formularea, pe baz teoretic i a unor cunotine experimentale anterioare, unui set de presupuneri necesare explicrii procesului i obinerii unor concluzii preliminare care se refer, n general, la natura calitativ a relaiilor ntre paramatrii procesului.

27. Care sunt etapele de verificare a unui model matematic?

Etapele verificrii modelului sunt:a) Analiza erorilor n cadrul creia se va stabili influena preciziei de msur a diferitelor variabile asupra precizei modelului determinat.b) Testarea preliminar a modelului care const n testarea modelului utiliznd aceleai date care au fost utilizte la stabilirea modelului. Probabilitatea invalidrii modelului n acast etap este relativ redus, fiind posibil doar n cazul unor erori grosolane aparute n stabilirea procesului. Totui aplicarea acestei testri preliminare poate economisi timp, prin modficarea i retestarea imediat a modelului. Deci, n aceast etep sunt eliminate erorile grosolane.c) Simularea procesului - n aceast etap se introduc date de intrare din proces i se compar ieirile reale cu cele ce sunt stabilite din model, n cazul unor neconcordane se efectueaz corecii n model. n aceast etap vor fi eliminate erorile mari.d) ncercarea modelului n aceast etap sunt eliminate micile erori ale modelului i se stabilete forma final a modelului.

28. Criterii de evaluare a modelelor matematice

Cele mai importante criterii de evaluare a modelelor sunt:1) Valoarea ateptat a modelului arat ct de valoros se ateapt s fie modelul i beneficiile pe care urmeaz s le aduc implementarea modelului, prin creterea rapiditii i corectitudinii deciziilor ce se iau pe baza modelului.2) Costul modelului reprezentat de costul de proiectare, costul de implementare i costul de exploatare.

29. Care sunt metodele analitice de optimizare utilizate la testarea funciilor obiectiv cu restricii de tip egalitate

Metoda substituiei

Fie funcia obiectiv cu restricia (3.6)Dac din restricia anterioar explicitm una din variabilele funciei, obinem:

(3.7)nlocuind variabila de de decizie x2 din funcia obiectiv cu expresia anterioar substituit obinem:

(3.8)

Se obine o problem echivalent cu cea iniial, n sensul c are aceeai soluie i este o problem de optimizare fr restricii. Prin rezolvarea ei obinem soluia i cu aceasta din substituia fcut putem determina . Se obine astfel soluia problemei iniiale.n afar de eliminarea restriciilor, metoda substituiei permite reducerea dimensiunii problemei de optimizare, prin reducerea numrului variabilelor de decizie. Aceast metod este aplicabil doar n situaia n care numrul de restricii este mai mic.

3.2.2 Metoda multiplicatorilor lui Lagrange

Fie o funcie real definit pe o mulime i un sistem de ecuaii:

, (3.9)

funciile reale fiind definite pe mulimea . Fie mulimea soluiilor sistemului (3.9). Extremele funciei cnd se numesc extremele funciei condiionate de sistemul (2.4) sau extremele funciei supuse la legturile (3.9). Punctele staionare ale funciei cnd se numesc puncte staionare cu legturi sau puncte staionare condiionate ale funciei . Punctele de extrem condiionat sau punctele staionare condiionate se definesc la fel ca punctele de extrem sau punctele staionare obinuite (libere) cu condiia ca punctele respective s aparin mulimii .

n continuare se presupune c funciile sunt independente i derivabile pe , cu determinantul funcional, de exemplu:

pe .n cele ce urmeaz se prezint metoda de determinare a extremelor legate, numit metoda multiplicatorilor lui Lagrange:1) se formeaz funcia ajuttoare

, (3.10)

cu parametri.

2) se anuleaz derivatele pariale ale funciei n raport cu ; (n numr de )

, , , , (3.11)

i se rezolv acest sistem de ecuaii cu necunoscute ; .

3) dac este o soluie a acestui sistem, punctul este un punct staionar legat al funciei .

Punctele de extrem legat ale funciei se gsesc printre punctele staionare legate.

Se nlocuiesc cu i se calculeaz difereniala a doua a funciei astfel obinut, n punctul . Difereniind sistemul legturilor

, (3.12)i innd cont c prin ipotez

,

fiind independente, din sistemul (2.5) se obine, cu ajutorul regulii lui Cramer, n funcie de . Dac se nlocuiesc n , rezult, fcnd formal o schimbare de indici:

.

Metoda Iacobianului

Metoda se bazeaz pe faptul c, n punctul de tangent dintre hipersuprafata functiei de performant si hipersupra fata restrictiilor de tip egalitate, acestea au aceeasi pant. Un astfel de punct din hiperspatiu corespunde optimului si poate fi stabilit prin metoda iacobianului. n figura 2.1 e reprezentat familia de curbe F(x1,x2) = const. si o restrictie de tip egalitate g(x1,x2) = 0. n punctul de tangent T se poate spune c pantele celor dou curbe sunt egale

30. Care sunt metodele analitice de optimizare utilizate la testarea funciilor obiectiv cu restricii de tip inegalitate

Metoda bazat pe ignorarea inegalitilor

n cadrul acestei metode, abordarea identificrii soluiei se face parcurgnd urmtoarele etape:Se trateaz funcia obiectiv ca o funcie fr restricii;Se verific dac punctele staionare gsite astfel sunt n interiorul domeniului admis, respectiv dac verific sistemul de restricii;Dac acest lucru este adevrat, soluia problemei cu restriciile inegalitate este identic cu soluia problemei fr restricii;Dac acest lucru este fals, optimul cutat se poate gsi pe frontiera impus de restricii. Identificarea soluiei n acest caz are loc prin impunerea respectrii la limit a inegalitilor ce nu sunt satisfcute prin transformarea lor n restricii de tip egalitate. n acest caz rezolvarea problemei se reia de la primul punct al algoritmului, ncluznd n calcul i restriciile egaliate obinute astfel.

3.3.2 Metoda transformrii variabilelor

Transformarea variabilelor se utilizeaz pentru restrictiile de forma :

sau :

(3.16) sau :

n cazul restrictiilor (3.16) se foloseste una din transformrile de variabile care s asigure ca variabila xk s ia valori pozitive :

(3.17)

(3.18)Pentru restrictiile (3.16) se poate folosi una din urmtoarele schimbri de variabile:

Pentru restrictiile (3.18) se prefer transformarea de variabil :

(3.20)

2.3.3. Metoda transformrii restrictiilor

Transformarea restrictiilor inegalitate n restrictii egalitate se realizeaz prin introducerea n fiecare restrictie de tip inegalitate a unei variabile fictive pozitive de compensare, astfel nct restrictia inegalitate gk(x1, x2,..., xn) 0 devine o restrictie egalitate gke(x1, x2,..., xn, xn+1) = 0.Astfel se obtine o problem de optim cu restrictii egalitti.

31. Care sunt metodele analitice de optimizare utilizate la testarea funciilor obiectiv de o singur variabil

3.1.1 Metoda testrii echidistante

Metoda testrii echidistante const din mprtirea intervalului de cutare (restrictie: a x b) prin N puncte, rezultnd N+1 intervale egale, puncte n care se testeaz optimul.Metoda testrii echidistante se poate utiliza prin mai multe variante, cea mai cunoscut fiind metoda njumttirii sau metoda celor 5 puncte. Ea const din mprtirea intervalului de testare n 4 subintervale, deci plasarea a 5 puncte echidistante din care dou la capetele intervalului. Se calculeaz valorile functiei de performant n cele 5 puncte F(xi); i = 1 5. Din cele 5 puncte se alege optimul (maxim sau minim) mpreun_ cu subintervalele care-l delimiteaz.

Fig.3.1 Reprezentarea grafic a

De exemplu n figura 3.1, dac F(x1) este maximul (sau minimul) se alege in continuare intervalul [x1, x3] care se mparte la rndul lui n 4 subintervale, se calculeaz functia de performant n fiecare din cele 5 puncte rezultate. Se continu pn la obtinerea unei erori de aproximare acceptabile.

3.2.2. Metoda testrii bazat pe sirul lui Fibonacci

Metoda const din mprtirea intervalului de cutare n 3 subintervale prin plasarea a 4 puncte, din care dou la capetele intervalului, celelalte dou puncte plasate n interior la distanta :

unde:i - numrul pasului (i = 1 n);n - numrul total de pasi;a - al n-lea numr din sirul lui Fibonacci :

n cele 4 puncte se calculeaz functia de performant, se alege punctul de maxim (sau minim) mpreun cu intervalele alturate ce formeaz noul interval de testare de lungime di. Se continu pn la pasul n propus (fig.3.2). Dup pasul n rezult c optimul se gseste ntre punctele xn1 si xn4 fcnd media acestora se poate aproxima punctul de optim.

3.2.3. Metoda testrii bazat pe sectiunea de aur

Metoda testrii bazat pe sectiunea de aur este asemntoare metodei anterioare cu precizarea c distantele de divizare sunt

Fig.3.2 Reprezentarea grafic a metodei seciunii de aur

unde 0.618 este sectiunea de aur sau raportul (1 - x) / x = x / 1 care conduce la ecuatia x2 + x - 1 = 0.Numrul n de pasi de testare nu trebuie predeterminat, testarea oprindu-se dac se obtine o eroare de aproximare acceptabil.

32. Care sunt metodele analitice de optimizare utilizate la testarea funciilor obiectiv de n variabile

Toate metodele opereaz asemntor. Se porneste de la un punct de start format dintr-un set de conditii initiale, cu care se calculeaz valoarea de start a functiei de performant, apoi prin una din metode se testeaz o nou valoare a functiei de performant, dup care se compar valoarea curent cu cea anterior. Dac valoarea curent este mai bun se continu cu testarea de la punctul curent, dac nu, se reia testarea din punctul anterior.Testarea se opreste cnd s-a atins extremul functiei de performant cnd, pentru 1 si 2 suficient de mici, trebuie s fie indeplinite conditiile lui Himmelblau :

Metodele de testare difer ntre ele, mai ales prin alegerea directiei si pasului de testare care se includ n vectorul xk :

unde indicii k-1 si k evidentiaz dou secvente succesive de testare.3.3.1. Metoda testrii succesive a variabilelor3.3.5. Metode de gradient3.3.6. Metode de tip Newton

33. Care sunt condiiile necesare i suficiente ca o funcie obiectiv de o variabil s admit un optim

Fie o funcie obiectiv unidimensional, continu i de mai multe ori derivabil pe un domeniu D. Pentru aceast funcie obiectiv de o singur variabil y = f(x), condiia necesar ca funcia s prezinte un maxim sau un minim n punctul x = a este ca derivata de ordinul nti s fie nul:

(3.1)Aceast condiie nu este ns suficient i din acest motiv este necesar s fie evaluate i un numr de derivate de ordin superior.

Dac: 0, punctul a este un minim local;

Dac 0 , punctul a este un maxim local;

Dac , i 0, atunci punctul a nu este optim local , ci un punct de inflexiune ( ordinul primei derivate nenule fiind impar).Dac ordinul primei derivate este par, punctul a este un punct extrem i anume un maxim dac derivata este negativ sau un minim dac derivata este pozitiv.

34. Care sunt condiiile necesare i suficiente ca o funcie obiectiv de o variabil s admit un minim local, respectiv un maxim local

Fie o funcie obiectiv unidimensional, continu i de mai multe ori derivabil pe un domeniu D. Pentru aceast funcie obiectiv de o singur variabil y = f(x), condiia necesar ca funcia s prezinte un maxim sau un minim n punctul x = a este ca derivata de ordinul nti s fie nul:

(3.1)Aceast condiie nu este ns suficient i din acest motiv este necesar s fie evaluate i un numr de derivate de ordin superior.

Dac: 0, punctul a este un minim local;

Dac 0 , punctul a este un maxim local;

35. Care sunt condiiile conform crora o funcie obiectiv de o variabil nu admite un punct de optim

Dac , i 0, atunci punctul a nu este optim local , ci un punct de inflexiune ( ordinul primei derivate nenule fiind impar).

36. Care sunt condiiile conform crora o funcie obiectiv de 2 variabile s admit un optim

37. Care sunt condiiile necesare i suficiente ca o funcie obiectiv de 2 variabile s admit un minim local, respectiv un maxim local

Dac funcia obiectiv este o funcie real de dou variabile definit pe o mulime , avem urmtoarele situaii:

Un punct se numete punct de minim al funciei dac exist o vecintate a lui astfel nct pentru orice , are loc ;

Un punct se numete punct de maxim al funciei dac exist o vecintate a lui astfel nct pentru orice are loc .Maximele sau minimele unei funcii, aa cum sunt definite, sunt maxime sau minime locale sau relative i se mai numesc i extreme relative.

38. Care sunt condiiile necesare i suficiente ca o funcie obiectiv de n variabile s admit un minim local, respectiv un maxim local

Teorem. Fie o funcie definit pe , derivabil parial de ori pe . Fie un punct staionar al funciei .1. Dac numerele

,, , ,unde

,

sunt pozitive, atunci funcia are n punctul un minim.

1) Dac numerele , , , sunt pozitive atunci funcia are n punctul un maxim.

39. n ce const metoda substituiei

Fie funcia obiectiv cu restricia (3.6)Dac din restricia anterioar explicitm una din variabilele funciei, obinem:

(3.7)nlocuind variabila de de decizie x2 din funcia obiectiv cu expresia anterioar substituit obinem:

(3.8)

Se obine o problem echivalent cu cea iniial, n sensul c are aceeai soluie i este o problem de optimizare fr restricii. Prin rezolvarea ei obinem soluia i cu aceasta din substituia fcut putem determina . Se obine astfel soluia problemei iniiale.n afar de eliminarea restriciilor, metoda substituiei permite reducerea dimensiunii problemei de optimizare, prin reducerea numrului variabilelor de decizie. Aceast metod este aplicabil doar n situaia n care numrul de restricii este mai mic.

40. n ce const metoda iacobianului

Metoda se bazeaz pe faptul c, n punctul de tangent dintre hipersuprafata functiei de performant si hipersupra fata restrictiilor de tip egalitate, acestea au aceeasi pant. Un astfel de punct din hiperspatiu corespunde optimului si poate fi stabilit prin metoda iacobianului. n figura 2.1 e reprezentat familia de curbe F(x1,x2) = const. si o restrictie de tip egalitate g(x1,x2) = 0. n punctul de tangent T se poate spune c pantele celor dou curbe sunt egale :

(3.13)Se mai poate scrie :sau :

(3.14)

Fig.3.2 Reprezentarea grafic a funciei obiectiv i a restriciilor

care se numeste determinant functional sau iacobian. Conditia anterioar se scrie concentrat :

care, mpreuna cu restrictia g(x1,x2) = 0, permite determinarea valorilor punctelor stationare (x10,x20).Pentru cazul general n care functia de performant are n variabile F = F(x1, x2,...,xn) la care se ataseaz m restrictii de tip egalitate gk(x1, x2,...,xn) = 0 ; k = 1 m trebuie s se anuleze un numr de n - m determinani funcionali :

(3.15)la care se adaug cele m ecuatii ale restrictiilor de tip egalitate. Se formeaz un sistem de n ecuatii cu n necunoscute din care, prin rezolvare, rezult punctele stationare (x10,x20,...,xn0).

41. n ce const metoda multiplicatorilor lui Lagrange

Fie o funcie real definit pe o mulime i un sistem de ecuaii:

, (3.9)

funciile reale fiind definite pe mulimea . Fie mulimea soluiilor sistemului (3.9). Extremele funciei cnd se numesc extremele funciei condiionate de sistemul (2.4) sau extremele funciei supuse la legturile (3.9). Punctele staionare ale funciei cnd se numesc puncte staionare cu legturi sau puncte staionare condiionate ale funciei . Punctele de extrem condiionat sau punctele staionare condiionate se definesc la fel ca punctele de extrem sau punctele staionare obinuite (libere) cu condiia ca punctele respective s aparin mulimii .

n continuare se presupune c funciile sunt independente i derivabile pe , cu determinantul funcional, de exemplu:

pe .

1) se formeaz funcia ajuttoare

, (3.10)

cu parametri.

2) se anuleaz derivatele pariale ale funciei n raport cu ; (n numr de )

, , , , (3.11)

i se rezolv acest sistem de ecuaii cu necunoscute ; .

3) dac este o soluie a acestui sistem, punctul este un punct staionar legat al funciei .

Punctele de extrem legat ale funciei se gsesc printre punctele staionare legate.

Se nlocuiesc cu i se calculeaz difereniala a doua a funciei astfel obinut, n punctul . Difereniind sistemul legturilor

, (3.12)i innd cont c prin ipotez

,

fiind independente, din sistemul (2.5) se obine, cu ajutorul regulii lui Cramer, n funcie de . Dac se nlocuiesc n , rezult, fcnd formal o schimbare de indici:

.4) n continuare se aplic consideraiile privitoare la extremele libere ale unei funcii de mai multe variabile.

42. n ce const metoda inegalitiilor

n cadrul acestei metode, abordarea identificrii soluiei se face parcurgnd urmtoarele etape:Se trateaz funcia obiectiv ca o funcie fr restricii;Se verific dac punctele staionare gsite astfel sunt n interiorul domeniului admis, respectiv dac verific sistemul de restricii;Dac acest lucru este adevrat, soluia problemei cu restriciile inegalitate este identic cu soluia problemei fr restricii;Dac acest lucru este fals, optimul cutat se poate gsi pe frontiera impus de restricii. Identificarea soluiei n acest caz are loc prin impunerea respectrii la limit a inegalitilor ce nu sunt satisfcute prin transformarea lor n restricii de tip egalitate. n acest caz rezolvarea problemei se reia de la primul punct al algoritmului, ncluznd n calcul i restriciile egaliate obinute astfel.

43. n ce const metoda transformrii variabilelor

Transformarea variabilelor se utilizeaz pentru restrictiile de forma :

sau :

(3.16) sau :

n cazul restrictiilor (3.16) se foloseste una din transformrile de variabile care s asigure ca variabila xk s ia valori pozitive :

(3.17)

(3.18)Pentru restrictiile (3.16) se poate folosi una din urmtoarele schimbri de variabile:

Pentru restrictiile (3.18) se prefer transformarea de variabil :

44. n ce const metoda transformrii restriciilor

Transformarea restrictiilor inegalitate n restrictii egalitate se realizeaz prin introducerea n fiecare restrictie de tip inegalitate a unei variabile fictive pozitive de compensare, astfel nct restrictia inegalitate gk(x1, x2,..., xn) 0 devine o restrictie egalitate gke(x1, x2,..., xn, xn+1) = 0.Astfel se obtine o problem de optim cu restrictii egalitti.

45. Cnd se utilizeaz procedeele numerice de optimizare

Procedeele numerice de optimizare se folosesc cnd procedeele analitice sunt fie inoperante (lipsesc conditiile analitice de continuitate pentru functia de performant si derivatele ei), fie laborioase si dificile (rezolvarea unui numr mare de ecuatii implicate). De asemenea, procedeele numerice de testare a optimului sunt utile cnd nu se cunoaste expresia analitic a functiei de performant, dar exist posibilitti experimentale, putndu-se msura functia de performant n prezenta unor restrictii cunoscute.Testarea numeric a optimului conduce la localizarea aproximativ a punctului de optim, eroarea de aproximare fiind dependent de expresia functiei de performant, de pasul de testare si de metoda de testare care implic diferite grade de convergent.

46. n ce const metoda testrii echidistante

Metoda testrii echidistante const din mprtirea intervalului de cutare (restrictie: a x b) prin N puncte, rezultnd N+1 intervale egale, puncte n care se testeaz optimul.Metoda testrii echidistante se poate utiliza prin mai multe variante, cea mai cunoscut fiind metoda njumttirii sau metoda celor 5 puncte. Ea const din mprtirea intervalului de testare n 4 subintervale, deci plasarea a 5 puncte echidistante din care dou la capetele intervalului. Se calculeaz valorile functiei de performant n cele 5 puncte F(xi); i = 1 5. Din cele 5 puncte se alege optimul (maxim sau minim) mpreun_ cu subintervalele care-l delimiteaz.

Fig.3.1 Reprezentarea grafic a

De exemplu n figura 3.1, dac F(x1) este maximul (sau minimul) se alege in continuare intervalul [x1, x3] care se mparte la rndul lui n 4 subintervale, se calculeaz functia de performant n fiecare din cele 5 puncte rezultate. Se continu pn la obtinerea unei erori de aproximare acceptabile.

47. n ce const metoda de optimizare bazat pe seciunea de aur

Metoda testrii bazat pe sectiunea de aur este asemntoare metodei anterioare cu precizarea c distantele de divizare sunt

Fig.3.2 Reprezentarea grafic a metodei seciunii de aur

unde 0.618 este sectiunea de aur sau raportul (1 - x) / x = x / 1 care conduce la ecuatia x2 + x - 1 = 0.Numrul n de pasi de testare nu trebuie predeterminat, testarea oprindu-se dac se obtine o eroare de aproximare acceptabil.

48. Care este scopul programrii matematice