Aplicatii la cap.METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE, ANALIZA COMBINATORIE,BINOMUL LUI NEWTON,SUME Inducţie matematică 1. Inducţie a) 1 3 + 3 3 + 5 3 + ... + (2n - 1) 3 = n 2 (2n 2 - 1) b) 1 2 - 2 2 + 3 2 - 4 2 + ... + (-1) n-1 n 2 = 1 1 2 1 n nn c) 1 14 1 47 1 3 23 1 3 1 n n n n d) 7 18 7 8 15 7 7 67 1 1 7 1 1 n n n e) 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 x x x x x n n n n .2. Inducţie a) x Î Z a.î. 3x + 1 < 2log 2 (x + 4) b) 1 1 1 2 1 3 1 5 2 2 ! ! ! n! n n c) n ³ 2, 4 1 2 2 n n n n! ! d) a, b Î R, a + b > 0, a ¹ b, n ³ 1 2 1 n n n n a b a b ³ e) sin sin nx n x f) 1 1 1 2 1 2 13 24 n n n ³ n 2 , g) 1 1 1 2 1 3 1 1 n n n ³ + n 1 , h) 1 2 3 4 1 2 1 ³ 2n -1 2n n 1 n , i) n + 1 n n 2 ³ 1 1 2 1 3 2 n, j) n ³ 2 a a a a a n 1 2 1 2 +a n 1
Transcript
Aplicatii la cap. METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE, ANALIZA COMBINATORIE, BINOMUL LUI NEWTON, SUME
d) a, b Î R, a + b > 0, a ¹ b, n ³ 1 2 1n n n na b a b ³
e) sin sinnx n x
f) 1
11
21
21324n n n
³ n 2 ,
g) 1
11
21
3 11
n n n
³ + n 1 ,
h) 12
34
12 1
³ 2n -1
2n n 1
n,
i) n +1n
n 2 ³112
13
2 n,
j) n ³ 2a a a a a n1 2 1 2 + a n
3 Inducţiea) a a b b a b a b bn1
222
12
22
1 1 2 2
2 ³ + a + b + an
2n2
n , a1 an & b1
bnÎ R
b) n ³ 2, a1 ... an > Æ şi a1 a2 ... an = 1, atuncia1 + a2 + ... + an ³ nc) 2n ³ n2 + 1, n ³ 5d) n ³ 3, nn+1 > (n + 1)n
1
n ³ 2, 21 2 3 1 n n!e) 32n+1 + 2n+2 7, n Î N*f) 9n+1 + 8n - 9 16, n Î N*g) n3 + 11n 6 , n Î N*
4 Să se calculeze:
aA
AP
CP P
dP A
P
eA
n k A
fC CC
g C
n
n
n
nn
k k
k n kk
k
nk
nk
nk
nk
nk
n
)
)
)!!
)
) ?
A
b) A
c) A
P
C
2n + 1
C
n a.î . C
n5
nn-1
n2
k+1
n+kk
nk
20n
7
6 11
2
2 11
2 22
21
202
2
2
5 Să se rezolve ecuaţiile:
a P P
b A P
c n
d C
e C C
f C C
g A
h C n n
i A
j A
n n
n n
n n
n n
n
n
n
n
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
A
P
C
C
C
C
30C
C
C
C
n4
n+2
n+2
7nn
n-22
n1
n-3n-9
n3
4n+94n+4
n+8n+3
2
4 2
1111
4 2
10282
23
24
2 3
44
4
4 73
63
42
182
1
19
2 3 55
19
2
5
5
6 Să se rezolve ecuaţiile:
2
aC C
bP P
xP
cA n k
d x
e C
x x
x x x
nk
x
x
)
)
)!
!
)
)
1
C
n + 2
C
C
4x
x+3
xx-3
1 1
1 1 1
132
4
2
5 6
1
3
1
1 2
2
7 a) Fie f: D ® R, f(x) = C xx8
122 .
Dacă A f xx D
Î
max ( ), atunci A = ?
b) Să se determine x pentru care nr. C xx x5 4
3 42
este definit; x Î Z.
c) Să se rezolve ecuaţiile:c
c
c
c
c A
nn n
nn n
nn n
nn n
nn
nn n
1 3 42 4
2 4 23
3 13 2
4 3 21
5 710
5 43
2
2
2
2
2 2
210
20
45
56
4 379
)
)
)
)
)
C
C
C
C
C
8. Rezolvaţi:
an
n kC
bnk
C
cn kk
C
bn k
kC
nk
nk
nk
nk
)
)
)
)
C
C
C
C
n+1k
n+1k+1
nk+1
n+1k+1
11
11
11
1 1
e) C C C2n+11
2n+12
2n+12n este pătrat perfect
f) Să se demonstreze că " n ³ 2 avem 2 1n! nn
9 a) Să se rezolve ecuaţia:A A Ax
nxn
xn 1 13 21
b) 1. Să se rezolve ecuaţia:12 555
13
2C Axx
x
2. Să se arate că C1000
500 nu se divide cu 7. 3. Să se arate că " a, b Î N, a!b! divide pe (a + b)!c) 1. Să se rezolve în c ecuaţia:
C xnk n k
k
n2 1 2
0
Æ
c2. Să se arate că:
3
a) C C C CC C C C
nn
nn
21
42
63
2
11
32
53
2 1
2
+ +
b) C C C CC C C C
nn
nn
n21
42
63
2
11
32
53
2 12
c) C C Ckk
kk
n kk
1 11 + Ck+n
k d) C C2
232 + Cn
2 ? e) C C2
2 2
32 2 2
+ Cn2 ?
f) C C Cnk
nk
nk
2 22+ 2Cn-2
k-1
c3. Să se arate că pentru n par atunci:
112
13
14
12
14
+
1n -1
1n + 2
+1
2n
n n c4. Să se calculeze, pentru n ³ 2:
Pn
1
14
119
1-1n2
c5. Să se calculeze:
k kkk
n
21 2
1
c6. Să se arate că:
k k
kk
n 2
1
11
2
!d) 1. Rezolvaţi ecuaţia: C k Cn
xn kx , n, k Î N
2. Să se arate că numerele
Nnn! n1
2
! şi
N
pnn! p2
1
!
sunt numere naturale " n, p Î N
10 Să se determine:1. a) T8 al dezvoltării (2x + a)10
b) T mijloc al dezvoltării x x3 141
c) Tk al dezvoltării x a x3 20 care îl conţine pe x0 (în care nu apare x)
d) rangul termenului din dezvoltarea xy
yx
3
43
în care x şi y au puteri
egale2. Se consideră dezvoltarea x a3 100
. Să se determine:a) termenul care conţine pe x5
b) termenul care conţine pe a20
c) termenul în care x şi a au puteri egaled) termenul care nu conţine pe xe) termenul care conţine pe af) termenul din mijloc al dezvoltării
4
3. În dezvoltarea ax
xa
n
suma coeficienţilor binomiali de rang par este
4096. Să se calculeze:a) termenul care nu conţine pe xb) termenul care nu-l conţine pe ac) termenul în care x şi a au puteri egaled) termenul care conţine pe ae) termenul care conţine pe x4. a) Să se determine n, dacă coeficientul binomial al termenului de rang 3 al
dezvoltării ax
xa
n
este 190.
b) În dezvoltarea aa
n
323
1
suma coeficienţilor binomiali de rang impar este
egală cu 256. Să se găsească termenul care conţine pe 1/a.
c) Să se determine m.m.p. a.î. în dezvoltarea x
xm
p
n1
termenii de rang 12 şi 24 să conţină pe x, respectiv pe x5 şi, această dezvoltare să aibă termen liber.
d) Fie dezvoltarea x xx1
1 12
6
lg . Să se afle x ştiind că al patrulea termen al
dezvoltării este egal cu 200.
e) Să se determine n şi x dacă, în dezvoltarea 3 321
2xx n
suma coeficienţilor
binomiali ai primilor 3 termeni este egală cu 22, iar suma dintre termenul al treilea şi termenul al cincilea este 420.
5. Să se găsească rangul termenului cel mai mare:
a
b
c
)
)
)
1 1
2 d)
16
13
e) 67
14
256
23
17
34
50 1000
150 500
250
6. Fie dezvoltarea (2 + m)m, m Î N, m ³ 2. Să se determine m astfel încât termenul:
a) T3 să fie cel mai mare din dezvoltareb) T10 să fie cel mai mare din dezvoltarec) T50 să fie cel mai mare din dezvoltare7. Să se găsească suma coeficienţilor din dezvoltarea:
a (9x2 - 6y2)50 d (5x2 - 4y2)100
b (18x - 8y)50 e (7x2 - 6y2)n
c (7x3 - 6y)1000 f (9x - 6y)n
11 1. Să se determine termenii raţionali ai dezvoltărilor următoare:
5
a
b
)
)
2
3
5
3
7
7 2
10
2. Să se determine termenii raţionali ai dezvoltărilor:
a
b
)
)
5 3 2
3 2
3 30 20
4 25 36
c) 3
7 d) 53
e
f
)
)
3
6
5
2
3 200
4 100
3. Să se determine x, y, n Î N dacă în dezvoltarea:a) x y T
T
n
avem T2 240
7201080
3
4
b) 2 260160240
4
5
x y nTT
avem T3
c) 140802
4
log xT
n avem
T3
d) 2 22
1351
1 2
3 5
x xn n
nnnC C
T T
avem Cn
n
e) 2 212160
1
4
x x n
T
avem T2
4. Să se găsească coeficienţii lui:a) x3 din dezvoltarea (1 + x + x2)10
b) x6 din dezvoltarea (2 - 3x + x2)6
c) x10 din dezvoltarea (1 - x + x2 - x3)10
d) x8 din dezvoltarea (1 - 2x + 3x2 - 4x3)4
5. Să se determine coeficienţii termenului care conţine pe:a) x3 în produsul (1 + x)4(1 - x)7
b) x4 în produsul (1 + x)5(1 - x)3
c) x5 în produsul (2 - 3x)4(5 - 7 x2)10
6. Să se determine termenii care nu conţine pe a, din dezvoltarea:
a aa
a
b aa
a
aa
aa
a
)
)
)
a
a
3 20
3
10
3 3415
2316
33
30 20
1
1
1 1
7. Să se determine x dacă în dezvoltarea:a) x xx1 1 12
16 lg avem T4 = 200
b) x x x lg 5 avem T3 = 106
c) 123
9
xx x
lg avem T3 = 36000
8. a) Să se determine termenul care nu-l conţine pe x din dezvoltarea:
11 5
x
x
b) Se consideră 1 45
xx
p
, p Î N, x > 0. Să se determine termenul care nu
conţine pe x.c) Să se determine termenii iraţionali ai dezvoltării 3 25 7 24
6
d) Să se determine numărul termenilor raţionali ai dezvoltării a b7 14 77
e) În dezvoltarea a a an4 1 suma coeficienţilor binomiali de rang par este
egală cu 128. Să se determine termenul care conţine pe a3.f) Să se afle T10 al dezvoltării x x 1 3 1 8 100 .9. a) Să se determine n, dacă în dezvoltarea (1 + x)n coeficienţii lui x5 şi x12
sunt egali.b) Să se arate că " n ³ 2 şi x 1avem (1 + x)n + (1 - x)n 2n
c) Să se arate că C nk k
k
nn
62
0
363 2
Progresii aritmetice şi geometrice
1. Să se scrie primii 5 termeni ai (an) dacă:a) a1 = 2, r = - 3b) a10 = 131, r = 12c) a5 = 27, a27 = 60d) a3 = 11, a5 = 19Să se scrie formula pentru (an)n³1
2. a) Să se determine a1, a3, a5, a6 pentru următoarea ordine a1, - 7, a3, -1, a5, a6, 8, ...b) Să se găsească a1 şi r dacă:· a a a
a a a2 6 4
8 7 4
72
· a a aa a a
1 3 2
1 2 3
12015
c) Se dă (a + b)n, ax
2 10 3lg şi b x 2 2 35 lg .Să se determine x ştiind că termenul dezvoltării care conţine pe b5 este 21, iar
coeficienţii binominali ai celui de-al doilea, al treilea şi al patrulea termen al dezvoltării binomului sunt în .3. Cunoscând suma Sn, să se determine:
a) primii S termeni ai , dacă Sn
nn 2
4b) primul termen şi raţia , dacă Sn = 2n2 + 3nc) raţia şi an, dacă Sn = 3n2 + 4n
4. a) Fie (an)n³1, Sn = a1 + a2 + ... + an, " n > 0. Să se arate că dacă Sn = an2 + bn unde a, b sunt numere reale date atunci şirul an formează .
b) Fie Sn = a1 + a2 + ... + an, n ³ 1. Să se arate că Sn = an2 + bn + c, unde a, b, c Î R atunci (an), Û c = Æ.
c) Fie (an), . Dacă am = n şi an = m, m ¹ n să se calculeze ap, p Î N*
d) Dacă a 5
110
15
, , a10 an , să se calculeze ap, Sp, p Î N
5. a) Fie (an) n ³ 1 , Sk suma primilor k termeni ai săi. Dacă Sm = m şi Sn = n, m ¹ n
atunci: Sp = p, " p Î N.
b) Într-o (an)n³1, a1 = 1 şi Sm
Sn
m n2 2 . Să se determine progresia.
7
c) Fie (an)n³1, , Sk suma primilor k termeni ai săi. Să se arate că dacă Sm
Sn
m n2 2
atunci am
an
m n
2 1 2 1
, m ¹ n.
d) Să se găsească suma primilor 20 termeni ai unei dacă: a6 + a9 + a12 + a15 = 20.e) Într-o progresie aritmetică avem S10 = 100, S30 = 900. Să se determine S50.f) Să se rezolve ecuaţiile:1 + 7 + 13 + ... + x = 280(x + 1) + (x + 4) +(x + 7) + ... + (x + 28) = 155
6. A. Să se demonstreze că numerele sunt în
a) ax
ax x
¹1
11
, , , x + a -1
2x x
x 1,02
b) a ab b b ab b2 2 2 2 2 2 22 2 , , a a2 2
B. Să se demonstreze că dacă a, b, c atunci şi numerele următoare sunt în
a) a2 - bc, b2 - ca, c2 - abb) b2 + c2 + bc, c2 + ac + a2, a2 + ab + b2
Să se arate că dacă a + b + c ¹ Æ atunci este adevărată şi reciproca.c. Să se demonstreze că dacă a2, b2, c2
atunci:
a) 1
b c, ,
1c + a
1
a + b
b) a
b c, ,
ba + c
c
a + b sunt în
C.a) Fie x1, x2, ... , xn un şir de numere reale nenule. Să se arate că acest şir este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă pentru
" n ³ 2 avem relaţia:1 1 1 1
1 2 1 2 1 1x x x x x xnx xn n n
+
b) Să se arate că dacă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic sunt în atunci ele sunt proporţionale cu numerele 3, 4, 5.
c) Fie (an) şi (bn) astfel încât a1 + a2 + ... + a10 = 155, b1 + b2 = 9. Să se determine progresiile, dacă a1 este raţia
iar b1 este raţia .d) Fie (an) şi (bn)
astfel încât a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3 - 8. Să se determine progresiile.
e) Să se arate că dacă n şi k sunt numere naturale cu n ³ k + 3 atunci Cnk ,
Cnk+1, Cn
k2 , Cnk3 nu pot fi termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.
7. A. Să se găsească primul termen şi raţia unei (an)n³1, dacă:
Dacă termenii al 5-lea, al 8-lea şi al 11-lea ai acestei progresii sunt primul, al 2-lea şi al 10-lea termen pentru o progresie ˜, să se găsească primul termen al
.b) Fie a, b, c ai a + b + c = 124 astfel încât să fie termenii consecutivi a.î.
. Dacă a, b, c sunt al 3-lea, al 13-lea şi al 15-lea termen al , să se determine a, b, c.
c) Fie a1 + a2 + ... + a13 = 130, a1, a2, ..., a13 .Presupunem că termenii: al 4-lea, al 10-lea, al şaptelea sunt 3 termeni
consecutivi ai unei , să se determine primul termen al .
d) Fie (an) cu termeni pozitivi a.î. 212 aaa . Să se demonstreze că a4, a6, a9
. Să se determine raţia.
e) Fie a1, a2, …, a2n+2 descrescătoare. Să se demonstreze că:
n2
1n2
4
3
2
1
aa
aa
aa
2n2
1
aa
.
f) Fie yn a.î. suma Sn = 2(5n – 1). Să se determine Sn, y1, y2.
g) Nr. a, b, c cu raţia r iar nr. a, b + 1, c + 6 cu raţia r + 2. Să se
determine , .
9.A) Dacă a1, a2, …, an de raţie r, să se calculeze:
a) n21211 aaaaaaS b) n21n212
21 aaaaaaaaS
c) 1nn3221 aa
1aa1
aa1
S
d) n1n3221 aa
1aa
1aa
1S
e) 21n
2n
1nn23
22
3222
21
21
aaaa
aaaa
aaaaS
B) Să se determine a1, a2, …, an a. î.
a)
21n3n
aaa n21
b) 2
1n3n6naaa
222n
22
21
C) Dacă a1, a2, …, an de raţie r, are loc egalitatea:
12
r1nnaaa
n1
aaa22
2n21
2n
22
21
D) Dacă a0, a1, a2, …, ak să se calculeze:
9
a) S = a2 + a4 + a6 + … + a2n
b) n242 a1
a1
a1S
c) 10n
n
12
2
01
1
aaa
aaa
aaa
S
10. 1. a) Fie a1, a2, …, an
şi S1 = a1+ a2+ …+ an
n212 a
1a1
a1
S . Să se determine, în funcţie de S1 şi S2, produsul
P = a1 a2 … an.b) Dacă a1, a2, …, an
, să se arate că: nn1n321 aaaaaa
c) Fie nr. pozitive a1, a2, …, an , p Î N*.
Să se arate că raportul sumelor:
pn
p1n
p2
p3
p1
p2
n aa1
aa1
aa1
S
şi
pn
p1n
p2
p3
p1
p2
n aa1
aa1
aa1S
nu depinde de n.d) Să se rezolve ecuaţia:1 + x + x2 + … + x99 = 0e) Să se determine x a.î. nr. a + x, b + x, c + x să fie în
. 2. Se dau nr. a şi b. Să se determine x, y, z a.î. să fie satisfăcute simultan condiţiile:
a) x, y, z
b) x, y + a, z
c) x, y + a, z + b
Caz particular: a = 4, b = 82. 3. a) Aflaţi x, y a. î. y
xy
1x1y1x C ,C ,C
1y1x
1yx
yx A ,A ,A
b) Arataţi că :
3kn
2kn
2kn
2kn
1kn
1kn
1kn
kn
kn
CCC
,CC
C ,
CCC
c) Daca a, b, c atunci abcd + (b – a)4 este pătrat perfect.d) Fie
a1, a2, …, a5. Aflaţi a1 dacă:
2alogS5
1ii3
si 2
aa
log3
53
e) Fie x, y, z . Ştiind că suma lor este 30 şi că succesiunea x – 5, y – 4, z ,
să se determine x, y, z.f) Fie a, b, c nr. . Ştiind că a – 2, b – 6, c – 7, d – 2
, determinaţi a, b, c, d.g) Determinaţi egalitatea:
r4
aaaaaaa
201
21nn3
n32
31
.
10
Calculul sumelor
I. Folosind sumele elementare (S1, S2, S3, S4)
Să se calculeze S şi să se verifice prin inducţie:
a)
n
1k
2kk2nn4231S
b)
n
1k
k
1p
n
1k
pk1n21321211S
c) 1n...1n2n1S 222
d)
n
1k
1k21n2531S
e) 3n
1k
3333 1k21n2531S
f) 2n
0k
22 2k42n462S
II. Folosind metoda desfacerii în fracţii simple
1. Să se calculeze S şi să se verifice prin inducţie
a)
n
1k 1kk1
1nn1
321
211S
b)
n
1k 1k21k21
1n21n21
531
311S
c)
n
1k 2k1kk1
2n1nn1
4321
3211S
d)
n
1k
2222
1k21k2k
1n21n2n
532
311S
e)
n
1k33
2
1kk1k3k3S
f)
n
1k pk1pk1
nk1nk1
2k1k1
1kk1S
2. a) Să se calculeze:
n
1k2
232
n 3k4k1k6k8k3nnS
11
b) Să se calculeze:
n
1kn 2kk
1S
III. Folosind artificii de calcul
1. Să se calculeze:
a)
n
1k
k!kS
b)
n
1k
2 !k1kS
c)
n
1k
2 !k1kS
d)
n
1k
2 !k1k
e)
n
1k
22 !k1kk
f)
n
1k !1kk
g)
n
1k
2
!2k1kk
h)
n
1k !2k!1k!k2k
i)
n
1k 1kkk1k1
2. Să se calculeze sumele următoare:
a)
n
1k
k
!2k2kS
b) Nk,2k,!kp
!pS1n
0p
γ
c)
n
1k
2kk1arctgS
d)
n
1k2 1kk
1arctgS
e)
n
2k
2
!k2k
!n2nS
f)
n
1k4 1k4k4S
12
IV. Folosind derivate pentru sume de combinări
1. Să se calculeze sumele următoare:
a) kn
n
0k
nn
2n
1n
0n C1kC1nC3C2CS
b) kn
n
0k
nn
2n
1n
0n C1k2C1n2C5C3CS
c) pn
n
0p
nn
1n
0n CkpCknC1kkCS
d) pn
n
0p
nn
1n
0n C1k2pC1k2nC3k2C1k2S
e) kn
n
1k
nn
2n
1n C1kC1nC3C2S
f) pn
n
1p
nn
2n
1n C1kpC1knC1kkCS
2. Să se calculeze:a) n
nn3
n2n
1n nC1C3C2CS
b) nn
n2n
1n
0n C1CCCS
c) kmn
k2n
k1n
kn CCCCS
d) 2nn
22n
21n
20n CCCCS
e) nn
nn2n2
n1n
nn2 C2C4C2CS
f) 2nn
23n
22n
21n CnC3C2CS
V. Folosind integrale pentru sume de combinări
Să se calculeze:
a) 1n
C13
C2
C1
CSnnn
2n
1n
0n
b) 2n
C4
C3
C2
CSnn
2n
1n
0n
c) 1n
C13
C2
C1
CSnnn
2n
1n
0n
d)
n
0k
kn
nn
2n
1n
0n
2k1kC
2n1nC
43C
32C
21CS
13
e) S1n
Ck3Ck
2CkkC
nn
1n2n
31n
20n
VI. Folosind nr. complexe sub formă trigonometrică şi identitatea a două nr. complexe
![Al 3-Lea Caz [1.0]](https://static.documente.net/doc/80x56/55cf8a9c55034654898c4222/al-3-lea-caz-10.jpg)
