Mecânica Analítica Capítulo 9: Sistemas contínuos e introdução à … · 9.1 Sistemas cont...

9.1 Sistemas contınuos 9.2 Leis de conservacao 9.3 Simetrias internas 9.4 Campo electromagnetico

Mecanica AnalıticaCapıtulo 9: Sistemas contınuos e introducao a teoria de campo

(Parte I)

H. Tercas

Instituto Superior Tecnico(Departamento de Fısica)


9.1 Sistemas contınuos

9.2 Leis de conservacao

9.3 Simetrias internas

9.4 Campo electromagnetico


9.1 Sistemas contınuos

Ate aqui, concentramo-nos na formulacao Lagrangeana e Hamiltoneanapara sistemas discretos

L = L(qi, qi, t), H = H(qi, pi, t).

Neste capıtulo, usaremos as tecnicas da Mecanica Analıtica para formularsistemas contınuos, descritos em termos de funcoes contınuas ediferenciaveis ψ(qi, t), tambem definidas como campos

qi → ψ(qi, t).

Grande parte da fısica moderna esta construıda sobre o conceitode campo, sejam estes classicos ou quanticos!


Consideremos uma rede infinita composta por osciladores harmonicosacoplados, com distancia de equilıbrio a (constante de rede)

a

. . .ηi ηi+1ηi−1

a

T =1

2

∑i

mη2i , V =1

2

∑i

k (ηi+1 − ηi)2

L =1

2

∑i

[mη2i − k (ηi+1 − ηi)2

]


Consideremos uma rede infinita composta por osciladores harmonicosacoplados, com distancia de equilıbrio a (constante de rede)

a

. . .ηi ηi+1ηi−1

a

Podemos escrever o Lagrangeano na seguinte forma

L =1

2

∑i

a

[m

aη2i − ka

(ηi+1 − ηi

a

)2]

=∑i

aLi.


A equacao do movimento correspondente e (ver serie 5)

m

aηi − ka

(ηi+1 − ηi

a2

)+ ka

(ηi − ηi−1

a2

)= 0.

Estamos interessados no limite em que a→ 0, de tal forma que m/a→ µe ka→ Y , onde Y e o modulo de Young. Nesse mesmo limite,

lima→0

ηi+1 − ηia

= lima→0

η(x+ a, t)− η(x, t)

a=∂η

∂x.

Finalmente, percebemos que (decomposicao de Riemann)

lima→0

∑i

a =

∫dx,

o que permite escrever

L =

∫1

2

[µη2 − Y

(∂η

∂x

)2]

︸︷︷︸L(η,η,∂xη)

dx


A funcao L(η, η,

∂η

∂x

)da-se o nome de densidade Lagrangena

A equacao do movimento obtem-se no limite contınuo observando que

lima→0

[ka

(ηi+1 − ηi

a2

)− ka

(ηi − ηi−1

a2

)]= Y

∂2η

∂x2,

o que conduz a equacao das ondas (cs =√Y/µ)

∂2η

∂t2− c2s

∂2η

∂x2= 0


De uma forma geral, para um campo ϕ = ϕ(x, t) definimos oLagrangeano a custa da integracao da densidade Lagrangeana,

L =

∫d3xL

(ϕ,∂ϕ

∂t,∇ϕ;x, t

).

Precisamos de obter a equacao de Euler-Lagrange para L. Para tal,usamos o princıpio de Hamilton

δS = δ

∫ t2

t1

Ldt = δ

∫ t2

t1

∫ x2

x1

L d3xdt = 0.

Agora, as variaveis sao ϕ, ϕ e ∇ϕ, enquanto x = (x, y, z) e t saoparametros.

δS =

∫ t2

t1

∫ x2

x1

[∂L∂ϕ

δϕ+∂L∂ϕ

δϕ+∂L∂∇ϕ

δ∇ϕ

]d3xdt = 0


Aplicamos a condicao de extremos fixos

δϕ(t1) = δϕ(t2) = 0, δϕ(x1) = δϕ(x2) = 0

•∫ t2

t1

∂L∂ϕ

δϕ dt =

��∂L

∂ϕδϕ

∣∣∣∣t2t1

−∫ t2

t1

∂

∂t

(∂L∂ϕ

)δϕ dt,

•∫ x2

x1

∂L∂∇ϕ

δ∇ϕ d3x =��

��∂L∂∇ϕ

δϕ

∣∣∣∣x2

x1

−∫ x2

x1

∇ · ∂L∂∇ϕ

δϕ d3x.

∴ δS =

∫ t2

t1

∫ x2

x1

[∂L∂ϕ− ∂

∂t

(∂L∂ϕ

)−∇ · ∂L

∂∇ϕ

]δϕd3xdt = 0.

Como as variacoes δϕ sao infinitesimais e arbitrarias

∂

∂t

(∂L∂ϕ

)+ ∇ · ∂L

∂∇ϕ− ∂L∂ϕ

= 0


Aplicando ao problema das “cordas vibrantes”,

L(ϕ,∂ϕ

∂t,∂ϕ

∂x

)=

1

2µ

(∂ϕ

∂t

)2

− 1

2Y

(∂ϕ

∂x

)2

,

temos

• ∂L∂ϕ

= 0,

• ∂

∂t

∂L∂∂tϕ

=∂

∂t

(µ∂ϕ

∂t

)= µ

∂2ϕ

∂t2,

• ∂

∂x

∂L∂∂xϕ

= − ∂

∂x

(Y∂ϕ

∂x

)= −Y ∂

2ϕ

∂x2.

A equacao do movimento e, portanto, a equacao das ondas

∂2ϕ

∂t2− c2s

∂2ϕ

∂x2= 0


Podemos resolver a equacao das fazendo a decomposicao em ondasplanas

ϕ(x, t) =∑k,ω

ϕk,ωeikx−iωt

e introduzindo na equacao do movimento, obtemos∑k,ω

(−ω2 + c2sk

2)ϕk,ωe

ikx−iωt = 0.

Para coeficientes ϕk,ω arbitrario, obtemos a relacao de dispersao

ω = csk

As ondas propagam-se sem dispersao (velocidade de fase=velocidade degrupo)

vf ≡ω

k= cs, vg ≡

∂ω

∂k= cs.


Tal como na relatividade, em teoria de campo as coordenadas temporaise espaciais podem tratar-se de forma indiferenciada. Torna-seconveniente introduzir os quadri-vectores contravariantes1

xµ ≡ (x0,x) = (t, x1, x2, x3) = (t,{xi}

).

Assim,

∂

∂t=

∂

∂x0, ∇ =

∂

∂x=

∂

∂xi.

Em termos dos quadri-vectores, a equacao de Euler-Lagrange e

3∑µ=0

d

dxµ∂L

∂

(∂ϕ

∂xµ

) − ∂L∂ϕ

= 0,

ou, ainda, ∂µ ≡∂

∂xµe dµ ≡

d

dxµ(soma nos ındices repetidos)

dµ∂L∂∂µϕ

− ∂L∂ϕ

= 0

1Em relatividade, x0 = ct.


Caso o Lagrangeano descreva a dinamica de varios campos,ϕ1, ϕ2, . . . ϕn,

L = L (ϕk, ∂µϕk;xµ)

entao cada um deles obedece a uma equacao do tipo2

dµ∂L

∂∂µϕk− ∂L∂ϕk

= 0,

resultando em n equacoes diferenciais parciais (k = (1, 2, . . . n)). Emalguma literatura, costuma-se usar a notacao ∂µϕk = dµϕk ≡ ϕk,µ,resultando na forma compacta da equacao de Euler-Lagrange3

dµ∂L∂ϕk,µ

− ∂L∂ϕk

= 0.

2Nota: para L 6= L(xµ), nao ha diferenca entre dµ e ∂µ no primeiro termo daequacao de Euler-Lagrange.

3No nosso curso, deveremos evitar esta notacao por ser demasiado compacta...


Tal como no caso discreto, as teorias de campo tambem contem leis deconservacao que podemos retirar directamente da densidadeLagrangeana4 L e das equacoes de Euler-Lagrange.

Por razoes de clareza e simplicidade, consideremos uma teoriadescrevendo um so campo5

L = L (ϕ, ∂µϕ;xµ) .

Como sabemos, para retirar significado fısico das quantidades, calculamosas suas derivadas totais 6

dLdxµ

≡ dµL =∂L∂ϕ

dϕ

dxµ+

∂L∂∂νϕ

d(∂νϕ)

dxµ+

∂L∂xµ

=∂L∂ϕ

dµϕ+∂L∂∂νϕ

dµ(∂νϕ) + ∂µL

4Rapidamente, vamos comecar a chamar L de “Lagrangeano”, tout-court.5A generalizacao para multiplos campos ϕk e obvia.6Aqui distinguimos dµ e ∂µ, pois L pode depender de xµ.


Eliminamos∂L∂ϕ

na equacao anterior usando a equacao de Euler-Lagrange

dµL = dα∂L∂∂αϕ

dµϕ+∂L∂∂νϕ

dµ(∂νϕ) + ∂µL.

Como ϕ e apenas funcao de xµ, entao ∂νϕ = dνϕ. Alem disso, podemosmudar o ındice mudo, α→ ν,

dµL = dν

(∂L∂∂νϕ

dµϕ

)+ ∂µL.

Usamos o δνµ para mudar o ındice do lado esquerdo e escrever em termosde dν ,

dν

(∂L∂∂νϕ

dµϕ− Lδνµ)

= −∂µL = −∂νLδνµ.

Quando L 6= L(xµ), entao

dν

(∂L∂∂νϕ

dµϕ− Lδνµ)

= dνTνµ = 0


A quantidade T νµ e um tensor de ordem 2 que recebe o nome de tensorde energia-momento

T νµ =∂L

∂(∂νϕ)∂µϕ− Lδνµ

Esta quantidade e o equivalente da energia para o caso dos sistemasdiscretos, e e conservada caso a densidade Lagrangeananao dependa explicitamente das coordenadas xµ.

Como nao ha dependencia explicita de L nas coordenadas, a lei deconservacao tambem pode ser escrita na forma7

dνTνµ = ∂νT

νµ = 0, (∇ ·T = 0)

Afinal, qual o porque do nome “tensor de energia-momento” para T νµ ?

7Evitamos o uso de duas derivadas diferentes que resultam na mesma coisa.


Vejamos as suas componentes

T 00 =

∂L∂(∂0ϕ)

∂0ϕ− L =∂L∂ϕ

ϕ− L.

Se L = T − V e T ∼ ϕ2, entao T 00 e a densidade de energia.

• Exemplo: a corda vibrante. L =1

2µ

(∂ϕ

∂t

)2

− 1

2Y

(∂ϕ

∂x

)2

,

T 00 =

∂L∂ϕ

ϕ− Lδ00 =1

2µ

(∂ϕ

∂t

)2

+1

2Y

(∂ϕ

∂x

)2

= E

Quanto as outras componentes,

T 11 = T xx =

∂L∂(∂xϕ)

∂ϕ

∂x− L = −1

2Y

(∂ϕ

∂x

)2

− 1

2µ

(∂ϕ

∂t

)2

= −E

Tr(T) = Tµµ = T00 + T1

1 = 0


Quanto as componentes nao-diagonais,

T 10 =

∂L∂∂xϕ

ϕ = − Y∂ϕ

∂x︸︷︷︸tensao

vel.︷︸︸︷ϕ = corrente de densidade energia,

T 01 =

∂L∂ϕ

∂ϕ

∂x= µϕ

∂ϕ

∂x= densidade de momento linear.

De uma forma geral, para 4 dimensoes espacio-temporais(µ = {0, 1, 2, 3}), podemos decompor o tensor energia-momento em

T νµ = T 00 + T j0 + T 0

j + T ij , onde

T 00 ≡ E = densidade de energia

T i0 ≡ ji = densidade de corrente energia

T 0i ≡ pi = densidade de momento linear

T ji ≡ T ij = tensor de estresse8

8Detalhes na cadeira de Fısica dos Meios Contınuos.


Podemos aproveitar, entao, para verificar se no caso da corda vibranteexiste, ou nao, conservacao do tensor energia-momento9

∂νTν1 = ∂0T

01 + ∂1T

11

=∂

∂t

(µ∂ϕ

∂t

∂ϕ

∂x

)+

∂

∂x

[−µ

2

(∂ϕ

∂t

)2

− Y

2

(∂ϕ

∂x

)2]

= µ

(∂2ϕ

∂t2∂ϕ

∂x+∂ϕ

∂t

∂2ϕ

∂x∂t

)− µ

(∂ϕ

∂t

∂2ϕ

∂t∂x+ Y

∂ϕ

∂x

∂2ϕ

∂x2

)

=∂ϕ

∂x

(µ∂2ϕ

∂t2− Y ∂

2ϕ

∂x2

)︸︷︷︸

=0

X

9recorde: t = 0, x = 1


O mesmo para a outra componente,

∂νTν0 = ∂0T

00 + ∂1T

10

=∂

∂x

(−Y ∂ϕ

∂t

∂ϕ

∂x

)+∂

∂t

[µ

2

(∂ϕ

∂t

)2

+Y

2

(∂ϕ

∂x

)2]

= . . .

=∂ϕ

∂t

(µ∂2ϕ

∂t2− Y ∂

2ϕ

∂x2

)︸︷︷︸

=0

X


A. Simetrias discretas

Como vimos no caso dos sistemas discretos, as simetrias estavamintimamente relacionadas com leis de conservacao. O teorema de Notherestabelece uma maneira de calcular as cargas conservadas dada umadeterminada simetria contınua.

Antes disso, vejamos que algumas teorias de campo L(ϕ, ∂µϕ;xµ)contem simetrias discretas.


A inversao de paridade, P, corresponde a uma reflexao nascoordenadas espaciais (mantendo o tempo inalterado)

P(x, y, z, t) = (−x,−y,−z, t).

O Lagrangeano da corda vibrante e simetrico para esta transformacao?

P {L (ϕt, ϕx;x, t)} = L (ϕt, ϕ−x;−x, t)

=1

2µ

(∂ϕ

∂t

)2

− 1

2Y

(∂ϕ

∂(−x)

)2

=1

2µ

(∂ϕ

∂t

)2

− 1

2Y

(∂ϕ

∂x

)2

= L (ϕt, ϕx;x, t)

Isto reflecte a isotropia do espaco!


A inversao no tempo, T , corresponde a inversao do sentido do tempo(mantendo o espaco inalterado)

T (x, y, z, t) = (x, y, z,−t).

O Lagrangeano da corda vibrante e simetrico para esta transformacao?

T {L (ϕt, ϕx;x, t)} = L (ϕ−t, ϕx;x,−t)

=1

2µ

(∂ϕ

∂(−t)

)2

− 1

2Y

(∂ϕ

∂x

)2

=1

2µ

(∂ϕ

∂t

)2

− 1

2Y

(∂ϕ

∂x

)2

= L (ϕt, ϕx;x, t)

Isto reflecte a homogeneidade do tempo!


A chama transformacao de inversao paridade-tempo, PT , correspondea aplicacao conjunta das transformacoes P e T .Podemos verificar que, para o caso do Lagrangeano em estudo,

PT {L (ϕ, ∂µϕ;xµ)} = T P {L (ϕ, ∂µϕ;xµ)} = L (ϕ, ∂µϕ;xµ) .

Daqui conclui-se

PT − T P = [P, T ] = 0.

As transformacoes discretas P e T comutam. Este resultado temimplicacoes importantes sobre a natureza do espectro (i.e. relacao dedispersao) das teorias de campo (real ou complexa).


A simetria discreta variacional, V, consiste na inversao do sinal docampo,

Vϕ = −ϕ.

Rapidamente, podemos ver que o Lagrangeano da corda vibrantetambem contem esta simetria:

V{L (ϕ, ∂xϕ, ∂tϕ;xµ)} = L (−ϕ,−∂xϕ,−∂tϕ;xµ) = L (ϕ, ∂xϕ, ∂tϕ;xµ) .

Esta invariancia reflecte a isotropia das vibracoes na rede (de formagrosseira, indica que deformar a rede para “para a esquerda” custa amesma energia que a deformar “para a direita”.)


As teorias de campo relativistas gozam de outra simetria discreta, para achamada conjugacao de carga, C. Se ψ(xµ) designar um camporelativista de uma partıcula e ψ(xµ) o da sua anti-partıcula,

Cψ(xµ) = ψ(xµ).

As simetrias PT , CP e CPT sao requeridas na maioria das teorias decampo descrevendo partıculas elementares.

As suas violacoes sao problemas muito importantes e actuais naFısica Moderna (em geral, requerem mecanismos que levam a ne-cessidade de introduzir novas partıculas no Modelo Standard)

Embora as discussoes em torno das simetrias discretas sejamextremamente interessantes, ainda surgem muito fora do contexto daMecanica Analıtica.


B. Simetrias contınuas

Leis de conservacao, como contempladas pelo teorema de Nother, saoconsequencia de simetrias contınuas.

As simetrias contınuas sao caracterizadas por um parametro λ, de talforma que para λ = 0 temos a transformacao indentidade.

A transformacao de escala

ϕ(xµ)→ ϕλ(xµ) ≡ eλϕ(xµ),

a translacao no tempo

ϕ(x, t)→ ϕλ(x, t) = ϕ(x, t+ λ)

e a translacao no espaco

ϕ(x, t)→ ϕλ(x, t) = ϕ(x + λ, t)

sao exemplos importantes de transformacoes contınuas.


C. Transformacoes infinitesimais

Consideremos a classe de transformacoes infinitesimais de parametro λdefinidas como

δϕ ≡ ∂ϕλ∂λ

∣∣∣∣λ=0

.

Alguns exemplos:

• Transformacao de escala infinitesimal, ϕλ = eλϕ

δϕ = ϕ

• Translacao infinitesimal no tempo, ϕλ(x, t) = ϕ(x, t+ λ)

δϕ =∂ϕ

∂t

• Translacao de campo, ϕλ = ϕ+ λf

δϕ = f


Um Lagrangeano diz-se invariante ou simetrico para uma transformacaocontınua se

∂λL (ϕλ, ∂µϕλ;xµ) |λ=0 = 0.

Para a corda vibrante, e o que acontece para o caso das translacoes detempo e espaco (invariancia de Galileu).

Na verdade, ser invariante para transformacoes infinitesimais correspondea satisfazer a condicao variacional para essa transformacao

∂L∂λ

∣∣∣∣λ=0

=

∂L∂ϕ

δϕ︸︷︷︸∂µϕ|λ=0

+∂L

∂(∂λϕ)∂µδϕ︸︷︷︸

∂λ∂µϕ|λ=0

= δL = 0.


D. Transformacoes de divergencia

Invariancias continuam a verificar-se se adicionarmos uma “derivadatotal” no espaco-tempo, i.e. uma divergencia

L′ = L+ dµWµ,

pois o Lagrangeano satisfaz as mesmas equacoes de Euler-Lagrange

EL[L′] ≡ ∂L′

∂ϕ+ dµ

∂L′

∂(∂µϕ)= 0 =

∂L∂ϕ

+ dµ∂L

∂(∂µϕ)≡ EL[L]

Dizemos que o Lagrangeano dispoe de simetria de divergencia caso atransformacao infinitesimal ϕ→ ϕλ = δϕ resulte em

δL = dµWµ.

∴ Assim, a simetria variacional δL surge como um caso particular dasimetria de divergencia.


Podemos ver que a simetria para translaccao no tempo e uma simetria dedivergencia para o caso da teoria de campo da corda,

L =1

2µ

(∂ϕ

∂t

)2

− 1

2Y

(∂ϕ

∂x

)2

.

Sob a accao de δϕ ≡ ∂λϕ(x, t+ λ)|0 = ∂tϕ,

0 = δL =∂L∂ϕ

∂ϕ

∂t+

∂L∂(∂µϕ)

∂(∂µϕ)

∂t= dtL = dµ (Lδµt ) ≡ dµWµ.

Ou seja, a quantidade Wµ = Lδµt = Lδµ0 e conservada10

d0L δ00︸︷︷︸=1

+��d1Lδ10 = 0.

Neste caso, L = constante em virtude da simetria para translacaotemporal.

10Recorde: xµ = (x0, x1) = (t, x)


Teorema de Nother

Consideremos uma teoria de campo

L(ϕ, ∂µϕ;xµ).

Sob a transformacao infinitesimal de parametro λ definida porδϕ ≡ ∂λϕλ|0, a variacao no Lagrangeano e entao 11

δL =∂L∂ϕ

δϕ+∂L

∂(∂µϕ)δ∂µϕ

=∂L∂ϕ

δϕ−dµ∂L

∂(∂µϕ)δϕ+ dµ

∂L∂(∂µϕ)

δϕ+∂L

∂(∂µϕ)δ∂µϕ

= −EL[L]δϕ+ dµjµ,

onde jµ =∂L

∂(∂µϕ)δϕ.

11Nota: EL[L] e um operador que devolve ∂ϕL+ dµ[∂∂µϕL]


Teorema de Nother

Caso o Lagrangeano seja simetrico para a transformacao, entao

δL = 0 =⇒ dµjµ = EL[L]δϕ.

Por condicao, EL[L] = 0, entao jµ pode ser vista como uma correnteconservada

δL = 0 =⇒ jµ =∂L

∂(∂µϕ)δϕ =

∂L∂(∂µϕ)

∂ϕλ∂λ

∣∣∣∣0

= const.

E importante perceber que a corrente jµ depende da forma especıfica datransformacao ϕλ. Esta e a versao do Teorema de Nother paracampos.


Teorema de Nother

De uma forma mais geral, suponhamos que a transformacao infinitesimaldefine uma simetria de divergencia,

δL = dµVµ.

Usando a deducao anterior, temos que

dµVµ = −EL[L]δϕ+ dνj

ν .

Mudando o ındice mudo (ν → µ) para colocar tudo em evidencia,

dµ (jµ − V µ) = EL[L]δϕ = 0,

o que implica que a corrente conservada seja definida como

jµ = jµ − V µ =∂L

∂(∂µϕ)

∂ϕλ∂λ

∣∣∣∣0

− V µ


Teorema de NotherComo exemplo, podemos tentar recuperar a conservacao da energia.Consideremos a simetria de translacao no tempo

δϕ =∂ϕλ(x, t+ λ)

∂λ

∣∣∣∣0

=∂ϕ

∂t= ∂0ϕ.

Para uma teoria de campo que seja simetrica para esta transformacao,podemos introduzir uma divergencia

δL = 0 =⇒ dµ(Lδµ0 ) = 0,

pelo que a corrente conservada e

jµ =∂L

∂(∂µϕ)∂0ϕ− Lδµ0 = Tµ0 ,

Assim, dµjµ = ∂µj

µ implica a equacao da continuidade12

∂ρ

∂t+ ∇ · j = 0

12jµ = (ρ, j)


9.3 Simetrias internas

Ate aqui, consideramos Lagrangeanos para campos ϕ reais. Assim, asunicas simetrias que podemos observar sao simetrias externas. Teoriasde campo complexas contem simetrias adicionais, chamadas simetriasinternas.

• Exemplo: Teoria de Klein-Gordon. Seja ψ(xµ) = ψ(ct,x) um camporelativista complexo,

L(ψ,ψ∗, ∂µψ, ∂µψ∗) = −

√−g(gµν∂µψ

∗∂νψ +m2c2

~2ψ∗ψ

).

Para o caso de interesse, usamos a metrica de Minkowskii (espaco-tempoplano13) gµν = diag(1,−1) tal que ds2 = gµνdxµdxν = c2dt2 − dx2

L = ∂µψ∗∂µψ − m2c2

~2ψ∗ψ.

13Nota: gµν = g−1 = diag(−1, 1)


L = ∂µψ∗∂µψ − m2c2

~2ψ∗ψ.

A equacao de Euler-Lagrange e14

∂ν∂L

∂(∂νψ)− ∂L∂ψ

= 0.

• ∂L∂ψ

= −m2c2

~2ψ∗

• ∂ν∂L

∂(∂νψ)= ∂ν

[∂(∂µψ)

∂(∂νψ)∂µψ

∗]

=

gµν︷︸︸︷∂xµ

∂xν∂ν∂µψ

∗ = ∂ν∂νψ∗ ≡ �ψ∗

(�+

m2c2

~2

)ψ∗ = 0 ,

onde � = ∂µ∂µ =

1

c2∂2

∂t2−∇2 e o d’Alembertiano.

14Como L 6= L(xµ), dµ = ∂µ.


Como o operador de Klein-Gordon (�+m2c2/~2) e real, podemos tomaro complexo conjugado (

�+m2c2

~2

)ψ = 0.

Procurando solucoes do tipo ψ(x, t) =∑k,ω

ψk,ωe−iωt+ik·x, obtemos a

seguinte relacao de dispersao

~ω = E =√m2c4 + ~2k2c2.

Trata-se da energia de uma partıcula livre de momento p = ~k, i.e.

p =h

λ.

Esta e uma das formas da famosa relacao de de Broglie, revelando adualidade onda-partıcula em mecanica quantica.


Uma das simetrias internas do Lagrangeano de Klein-Gordon e a famosasimetria de fase, ou simetria para o grupo unitario de dimensao 1,U(1)15

ψ → ψλ = eiλψ, ψ∗ → ψ∗λ = e−iλψ∗.

E facil observar que

L(ψλ, ψ∗λ, ∂µψλ, ∂µψ

∗λ) = L(ψ,ψ∗, ∂µψ, ∂µψ

∗),

pelo que δψ = ∂λψλ|λ=0 = iψ (δψ∗ = −iψ∗). Uma vez que, porsimetria δL = 0, e que, por definicao

δL =∂L∂ψ

δψ +∂L∂ψ∗

δψ∗ +∂L

∂(∂µψ)δ∂µψ +

∂L∂(∂µψ∗)

δ∂µψ∗,

repetimos a tecnica para eliminar os termos ∂µψ e ∂µψ∗ para obter

δL =��EL[L]δψ +��EL∗[L]δψ∗ − dµ(

∂L∂(∂µψ)

δψ +∂L

∂(∂µψ∗)δψ∗

)15O grupo U(n) e o grupo das transformacoes unitarias das matrizes n× n.


Daqui retiramos imediatamente que dµjµ = 0, onde a corrente

conservada e

jµ = i

(∂L

∂(∂µψ)ψ − ∂L

∂(∂µψ∗)ψ∗)

= i (ψ∂µψ∗ − ψ∗∂µψ) .

Em componentes, jµ = (cρ, j), temos16

ρ = i

(ψ∂ψ∗

∂t− ψ∗ ∂ψ

∂t

),

j = −i (ψ∇ψ∗ − ψ∗∇ψ) ,

que satisfazem a equacao da continuidade

∂ρ

∂t+ ∇ · j = 0.

16Atencao: Por causa da metrica de Minkowskii, ∂µ = (c−1∂t,∇) e∂µ = (c−1∂t,−∇)


Outra simetria interna interessante e a invariancia para o grupo SU(2),que acontece para campos vectoriais Ψ = (ψ1, ψ2)T . As entradas ψ1 eψ2 podem ser graus de liberdade de spin, por exemplo.

Um Lagrangeano para partıculas relativistas com spin pode ser construıdoa partir do Lagrangeano de Klein-Gordon17,

L(Ψ,Ψ†, ∂µΨ, ∂µΨ†) = ∂µΨ†∂µΨ− m2c2

~2Ψ†Ψ,

onde Ψ† = (ψ∗1 , ψ∗2). Consideremos a transformacao unitaria

Ψ(xµ)→ Ψλ(xµ) = U(λ)Ψ.

A transformacao infinitesimal correspondente e

δΨ =∂U(λ)

∂λ

∣∣∣∣λ=0

Ψ ≡ iτΨ.

17Como verao em MQ II, este Lagrangeano nao e o adequado...


De uma forma generica, uma transformacao infinitesimal representadapelas matrizes τ e

δΨ = iτΨ, δΨ† = −iτ †Ψ†.

Pode-se demonstrar que, para transformacoes unitarias,

U(λ)†U(λ) = I =⇒ τ † = τ ,

i.e. a matriz infinitesimal τ e hermıtica. Nao nos queremos alongarmuito neste aspecto; pretendemos apenas calcular qual a correnteconservada para estes casos. Para isso, comecamos por observar que

L(Ψλ,Ψ†λ, ∂µΨλ, ∂µΨ†λ) = L(Ψ,Ψ†, ∂µΨ, ∂µΨ†),

ou seja, δL = 0. Usando a definicao, podemos demonstrar (fica comoexercıcio)

jµ = i(Ψτ∂µΨ† −Ψ†τ∂µΨ

)e uma corrente conservada, dµj

µ = ∂µjµ = 0.


9.4 Campo electromagnetico

Como ja viram em Electromagnetismo, as equacoes que governam aevolucao dos campos E e B sao as celebradas equacoes de Maxwell

∇ ·E =ρ

ε0, ∇ ·B = 0,

∇×E +∂B

∂t= 0, ∇×B− 1

c2∂E

∂t− µ0j = 0.

Os campos “fısicos” E e B sao obtidos a partir dos potenciais padrao18

E = −∇φ− ∂A

∂t, B = ∇×A.

Questao: Como (e para que) e que podemos usar as tecnicas deMecanica Analıtica neste caso?

18Em ingles, potenciais de gauge.


A esperanca e que, tratando os campos de forma covariante, poderemoschegar retirar algumas propriedades gerais do electromagnetismo19.

Usamos xµ = (ct,x) (e, portanto, xµ = gµνxν = (ct,−x)) e definimos o

quadrivector potencial Aµ = (φ/c,−A) e o tensor de Faraday Fµν

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ =

0 Ex/c Ey/c Ez/c−Ex/c 0 −Bz By−Ey/c Bz 0 −Bx−Ez/c −By Bx 0

A “subida” e a “descida” de ındices e feita recorrendo a metrica,

Aµ = gµνAν = (φ/c,A), Fµν = gµαFαν , Fµν = gµαgνβFαβ , onde

Fµν =

0 −Ex/c −Ey/c −Ez/cEx/c 0 −Bz ByEy/c Bz 0 −BxEz/c −By Bx 0

19Trabalharemos com a metrica de Minkowskii, gµν = diag(1,−1,−1,−1)


Definimos ainda o quadrivector densidade de corrente

jµ = (cρ,−j), jµ = gµνjν = (cρ, j).

Assim, o Lagrangeano para o campo electromagnetico e definido como20

L(Aµ, ∂νAµ) = − 1

4µ0FµνF

µν + jµAµ,

cujas equacoes de Euler-Lagrange sao (para cada componente α)

∂L∂Aα

− ∂β∂L

∂(∂βAα)= 0.

Usando a propriedade

∂(∂µAν)

∂(∂βAα)= δβµδ

αν ,

retiramos (apos alguma algebra...) que a equacao do movimento e

−∂βFαβ = ∂βFβα = µ0j

α.

20Nota: jµ aparece como termo de fonte; nao como variavel!


Podemos obter as equacoes de Maxwell percorrendo os ındices livres α21.

∂βFβα = µ0j

α.

F βα =


• α = 0:

1

c

∂F 00

∂t+∂F 10

∂x+∂F 20

∂y+∂F 30

∂z= µ0ρ,

⇔ ∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

= c2µ0ρ

∴∇ ·E =ρ

ε0

21Nota: c−1 =√ε0µ0.


Podemos obter as equacoes de Maxwell percorrendo os ındices livres α22.

∂βFβα = µ0j

α.

F βα =


• α = 1:

1

c

∂F 01

∂t+∂F 11

∂x+∂F 21

∂y+∂F 31

∂z= µ0j

1,

⇔ − 1

c2∂Ex∂t

+∂Bz∂y− ∂By

∂z= µ0jx.

Repetindo o procedimento para α = 2 e α = 3 e somando, temos

∇×B− 1

c2∂E

∂t= µ0j.

22Nota: c−1 =√ε0µ0.


F βα =


As restantes equacoes de Maxwell (sem fontes) obtem-se recorrendo aseguinte propriedade da permutacao cıclica dos ındices23

∂αFµν + ∂νF

αµ + ∂µFνα = 0.

• α = 0, µ = 1, ν = 2:

∂0F12 + ∂2F

01 + ∂1F20 = 0

⇔ 1

c

∂Bz∂t− 1

c

∂Ex∂y

+1

c

∂Ey∂x

= 0.

Repetindo para as diferentes permutacoes µ 6= ν e somando,

∴∇×E = −∂B∂t

23A demonstracao, que e imediata, fica para exercıcio...


F βα =


As restantes equacoes de Maxwell (sem fontes) obtem-se recorrendo aseguinte propriedade da permutacao cıclica dos ındices24

∂αFµν + ∂νF

αµ + ∂µFνα = 0.

• α = 2, µ = 1, ν = 3:

∂2F13 + ∂3F

21 + ∂1F32 = 0

⇔ ∂By∂y

+∂Bz∂z

+∂By∂x

= 0.

∴∇ ·B = 0

24A demonstracao, que e imediata, fica para exercıcio...


Simetria padrao (ou de gauge)Explicitamente, a equacao ∂βF

βα = µ0jα escreve-se

∂β(∂βAα − ∂αAβ

)= µ0j

α

�Aα − ∂α∂βAβ = µ0jα

�Aα − ∂α(

1

c2∂φ

∂t+ ∇ ·A

)= µ0j

α.

Existem varias maneiras de fixar a relacao entre φ e A. A esseprocedimento da-se o nome de fixacao de padrao (ou gauge fixing).

No padrao de Lorentz, o ultimo termo e nulo,

1

c2∂φ

∂t+ ∇ ·A = 0,

pelo que �Aα = µ0jα, i.e.25

1

c2∂2φ

∂t2−∇2φ =

ρ

ε0,

1

c2∂2A

∂t2−∇2A = µ0j.

25Recorde: Aµ = (φ/c,A), jµ = (cρ, j), ∂µ = (c∂t,∇), ∂µ = (c∂t,−∇)


Simetria padrao (ou de gauge)

Explicitamente, a equacao ∂βFβα = µ0j

α escreve-se

∂β(∂βAα − ∂αAβ

)= µ0j

α

�Aα − ∂α∂βAβ = µ0jα

�Aα − ∂α(

1

c2∂φ

∂t+ ∇ ·A

)= µ0j

α.

Existem varias maneiras de fixar a relacao entre φ e A. A esseprocedimento da-se o nome de fixacao de padrao (ou gauge fixing).

No padrao de Coulomb,∇ ·A = 0,

pelo que �Aα − ∂α∂0A0 = µ0jµ, i.e.26

∇2φ = − ρ

ε0,

1

c2∂2A

∂t2−∇2A− 1

c

∂∇φ

∂t= µ0j.

26Recorde: Aµ = (φ/c,A), ∂µ = (c∂t,∇), ∂µ = (c∂t,−∇)


Assim sendo, qual o padrao a adoptar? Quais as consequencias deescolhermos uma ou outra gauge?

Consideremos a seguinte mudanca de padrao

Aµ = Aµ + ∂µΛ,

onde Λ = Λ(xµ) e um escalar arbitrario.

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ

= ∂µ(Aν + ∂νΛ)− ∂ν(Aµ + ∂µΛ)

= Fµν .

∴ A teoria livre (L ∼ F 2), i.e., para jµ = 0 (sem correntes, ou termos defonte) e automaticamente invariante para a transformacao padrao!


Na presenca de fontes, o Lagrangeano no novo padrao e

L = − 1

4µ0FµνF

µν + jµAµ + jµ∂µΛ,

o que, a primeira vista, parece indicar quebra da invariancia de padrao.Contudo, das equacoes do movimento,

jµ =1

µ0∂νF

νµ =1

µ0∂ν (∂νAµ − ∂µAν) ,

∂µjµ =

1

µ0(∂µ�A

µ − ∂ν�Aν) = 0.

Assim, o ultimo termo no Lagrangeano pode ser escrito como

∂µ(jµΛ)− Λ��∂µjµ = ∂µj

µ.

Este ultimo termo e uma divergencia, que deixa a accao S =

∫Ldxµ

invariante, como tao bem sabemos.


Na presenca de fontes, o Lagrangeano no novo padrao e

L = L + dµjµ

jµ =1

µ0∂νF

νµ =1

µ0∂ν (∂νAµ − ∂µAν) ,

∂µjµ =

1

µ0(∂µ�A

µ − ∂ν�Aν) = 0.

A teoria de campo electromagnetica e simetrica para trans-formacoes de padrao. E, portanto, um exemplo de uma teoriapadrao (ou teoria de gauge).

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