I. Structura mecanismelor

Element cinematic. Cuplă cinematică. Mecanism

Mecanismele sunt alcătuite din elemente cinematice, care prin intermediul unor legături (cuple cinematice) preiau şi transmit mişcarea şi forţele. Insă, un element cinematic poate fi format din mai multe piese, dar care îmbinate formează un sistem rigid (ex. biela) (Fig. 1).

Fig. 1 Biela unui motor

Deci, elementul cinematic este un corp / ansamblu de corpuri rigide cu mişcare determinată în structura mecanismului.

Cupla cinematică reprezintă o legătură directă, permanentă şi mobilă dintre două elemente ce permite mişcarea relativă dintre acestea.

Clasificarea cuplelor cinematice

Inainte de clasificarea cuplelor cinematice vom define noţiunile de grad de libertate şi grad de mobilitate.

Gradul de libertate al unui punct material / sistem de puncte materiale / rigid / sistem de rigide este egal cu numărul parametrilor independenţi care poziţionează aceste elemente în raport cu un sistem de referinţă exterior considerat fix. Gradul de libertate (L) corespunde numărului posibilităţilor de mişcări simple ale sistemului. Un punct material în spaţiu are 3 grade de libertate (3 coordonate de poziţionare).

Poziţia unui solid rigid în spaţiu este determinată de 3 puncte care-i aparţin (deci prin 9 coordonate de poziţionare). Intre aceste coordinate pot fi scrise relaţii de legătură care exprimă distanţa dintre 2 puncte în spaţiu, constantă în ipoteza

1

solidului rigid. Ca urmare, din cei 9 parametri care determină poziţia unui solid rigid în spaţiu, numai 6 sunt independenţi.

In concluzie, un corp liber în spaţiu are 6 grade de libertate, cărora le corespund 6 posibilităţi de mişcări (3 rotaţii şi 3 translaţii):

3R + 3T = RT + RT + RT (1)

Gradul de mobilitate (M) al unui sistem de corpuri materiale reprezintă gradul său de libertate în raport cu un element care-i aparţine considerat fix.

Dacă se notează cu litera K numărul condiţiilor de legătură introduse de cupla cinematică şi cu litera M numărul posibilităţilor de mişcare relativă între elemente, rezultă relaţia:

K + M = 6 (2)

Criterii de clasificare a cuplelor cinematice

1) Clasificarea cinematică, care include:a)Criteriul legăturilor – conform acestui criteriu exista 5 clase de cuple cinematice. Clasa unei cuple cinematice este determinată de numărul condiţiilor de legătură introduse de cuplă.

Teoretic K = 0,1,…,6. Excluzând valorile extreme (pentru K= 0 nu există nicio legătură între elemente, iar K= 6 reprezintă existenţa unei îmbinări rigide între elemente). Deci, cuplele cinematice se clasifică în 5 clase de la K= 1 până la 5 (clasificare propusă de savantul rus A.P. Malîşev).

b)Criteriul axelor faţă de care există mişcări relativeMişcările relative dintre elemente pot fi de rotaţie (R) şi / sau de translaţie (T) şi pot avea loc după una, două sau trei axe.

Cuple cu o axă ( R, T, RT= E, RT= C); Cuple cu două axe ( R+R, T+T, R+T, RT+R, RT+T, RT+RT); Cuple cu trei axe ( R+R+R, R+R+T, R+T+T, RT+R+R, RT+R+T, RT+RT+T, RT+RT+R etc ).c)Criteriul traiectoriilor mişcării relative Traiectoriile diferitelor puncte ale unui element aflat în mişcare relativă generală în raport cu celălalt element al cuplei pot fi plane (cupla se numeşte plană) sau spaţiale (cupla se numeşte spaţială).2) Clasificarea geometrică (clasificare după caracteristicile geometrice ale zonelor de contact)

Zonele de contact dintre elemente pot fi suprafeţe (S), curbe (C), puncte (P). Contactul se poate realiza după o suprafaţă, o curbă sau într-un punct. Exemple: SS-S, SS-C, SS-P, SC-C, SC-P, CC-C, CC-P, SP-P, CP-P, PP-P.a) După numărul zonelor de contact

- cuple cu contact simplu ( contactul se realizează într-o singură zonă )

2

- cuple cu contact multiplu (contact are loc în mai multe zone)b) După mărimea zonei de contact

- cuple inferioare (contact are loc după o suprafaţă)- cuple superioare (contact are loc după o curbă sau într-un punct)

Obs: Cuplele superioare sunt avantajoase cinematic şi dezavantajoase cinetostatic, iar cele inferioare sunt avantajoase cinetostatic şi dezavantajoase cinematic.3) Clasificarea constructivăa) După modul de limitare a gradelor de libertate cuplele pot fi:

- cuple deschise (limitarea gradelor de libertate se face prin forţă);- cuple închise (limitarea gradelor de libertate se face prin forma

constructivă a celor 2 elemente)b) După modul de realizare a legăturii dintre elemente:

- cuple simple (există contact direct între elemente, axele pentru studiul mişcării relative putând fi luate arbitrar);

- cuple compuse (legătura dintre elemente se realizează printr-un element intermediar de dimensiuni neglijabile; pentru studiul mişcării relative dintre elemente se va ţine seama de axele geometrice ale elementului de legătură);

- cuple multiple de ordin p (sunt cuple compuse la care acelaşi element de legătură serveşte la îmbinarea a p+1 elemente).

Obs:- La studiul cuplelor cinematice se consideră mişcarea relativă dintre

elemente şi nu mişcarea elementelor în ansamblul mecanismului (ce care poate fi mult mai complex);

- Sistemul de axe pentru studiul mişcarii relative se alege astfel încât să se obţină un numă minim de mişcări relative, eliminându – se astfel posibilitatea apariţiei unor mişcări dependente între ele.

Exemplu:1.a) K=1, M= 5, clasa Ib) 3 axe; 3R+2T=RT+RT+Rc) spaţială

2.a) contact simplu

b) superioară (SP-P)

3. a) deschisă

b) simplă

3

y

z

x

2

1

1

Temă: Să se clasifice cuplele cinematice din Fig. 2.

a

bbb

b4

III

I

II

1 2

y

z

x

2

1

1

c

d

Fig.2 Cuple cinematice

5

III

I II

2 1

III

I

II

1 2

Mecanismul este un lanţ cinematic închis, la care pt. o mişcare dată unuia sau mai multor elemente (elemente conducătoare / elemente motoare), în raport cu un element considerat fix (batiu / bază), toate celelalte elemente posedă mişcări complet determinate. Scopul formulelor structurale este determinarea gradului de libertate al unui lanţ cinematic sau mecanism.

Lanţul cinematic este un ansamblu de elemente legate între ele prin cuple cinematice. Rangul unui element este egal cu numărul de cuple cinematice cu care acesta se leagă cu celelalte elemente. Astfel, există elemente cu 1, 2, 3,…, n elemente. Lanţurile cinematice se clasifică:1) După traiectoriile diferitelor puncte de pe elemente:

- lanţuri plane ( LCp)- lanţuri spaţiale (LCs)

2) După rangurile elementelor componente:- lanţuri cinematice simple (rangul oricărui element este ≤ 2); LCpS, LCsS- lanţuri cinematice complexe ( în structura lor intră cel puţin un element cu rangul ≥ 3); LCpC, LCsC- lanţuri cinematice deschise (au cel puţin un element de rang egal cu1); LCpD, LCsD- lanţuri cinematice închise (toate elementele au rangul ≥ 2 ); LCpI, LCsI

Considerăm un lanţ cinematic format dintr-un număr e de elemente. Inainte de legarea în lanţul cinematic, aceste elemente pot avea toate cele 6 posibilităţi de mişcare în spaţiu, deci au 6e grade de libertate. Pentru obţinerea unui lanţ cinematic elementele se leagă între ele prin cuple cinematice de diferite clase (K = 1,…,5). Notăm cu Ck nr. cuplelor de clasă K şi ţinem seama de faptul că fiecare cuplă cinematică ia un număr K de grade de libertate. Prin urmare, cele Ck

cuple vor lua Σ KCk grade de libertate.

Rezultă gradul de libertate al lanţului cinematic :

L0 = 6e – (3)

Prin fixarea unuia din elementele lanţului cinematic se obţine un mecanism al cărui grad de mobilitate se determină cu relaţia:

M0 = L0 - 6 = 6e - - 6 = 6 (e-1) - (4)

Notăm (e – 1) = n , unde n = nr. elementelor mobile. Rezultă:

M0 = 6n - (formula Somov – Malîşev) (5)

6

Pentru generalizare, se consider impunerea a f condiţii de legătură comune tuturor elementelor ce urmează a fi legate în lanţul cinematic. Astfel, fiecare element cinematic va avea acum (6 – f) grade de libertate, iar cele e elemente vor avea (6 – f)e grade de libertate. Pentru obţinerea unui lanţ cinematic se vor utiliza cuple de clasa K > f (adică cuple de clasa K= f+1,…,5), astfel încât fiecare cuplă cinematică de clasa K va lua ( k – f ) grade de libertate.Gradul de libertate al lanţului cinematic va fi:

Lf = (6 – f ) e - (6)

Fixând un element rezultă un mecanism al cărui grad de mobilitate este:

Mf = Lf - (6 – f ) = (6 – f ) e - - ( 6 – f ) (7)

Prelucrând relaţia (7) se obţine:

Mf = (6 – f ) n - (formula lui Dobrovolski) (8)

Pentru determinarea gradului de mobilitate al unui mecanism, trebuie precizată mai întâi familia lui. Familia unui mecanism este dată de numărul condiţiilor de legătură comune tuturor elementelor mecanismului. Există 5 familii de mecanisme (9):f = 0 M0 = 6n – 5C5 - 4C4 - 3C3 - 2C2 - C1

f = 1 M1 = 5n – 4C5 – 3C4 – 2C3 – C2

f = 2 M2 = 4n – 3C5 – 2C4 – C3 (9) f = 3 M3 = 3n – 2C5 – C4 (formula Cebîşev – Grubler)f = 4 M4 = 2n – C5

Se consider mecanismul din Fig. 3, la care se cere determinarea gradului de mobilitate. Pentru aceasta se determina mai intâi familia acestuia (f) prin analiza mişcarilor elementelor şi apoi se aplică formula corespunzătoare lui f.

7

Fig. 3 Mecanismul unei prese

Numărul de elemente mobile n = 4, numărul cuplelor C1 = C2 = C3 = C4 = 0, iar numărul cuplelor C5 = 5 (I,…,V). Se studiază mişcările elementelor după axe şi în tabel se notează cu 1 existenţa mişcării şi cu zero inexistenţa acesteia. Rezultă familia acestui mecanism: f = 2. Se aplică formula corespunzătoare familiei determinate prin acest procedeu.

Gradul de mobilitate (indică numărul elementelor conducătoare) este: M2 = 4n – 3C5 – 2C4 = 16 – 15 = 1; deci mecanismul are un element conducător (elementul 1).Toate mecanismele spaţiale (mecanisme care au în structură cuple sferice) sunt de famila zero.

In cazul structurilor robotizate (manipulatoare şi roboţi), pentru calculul mobilităţii, se are în vedere existenţa în componenţa acestora a lanţurilor cinematice deschise şi / sau închise. Astfel, daca robotul industrial este alcătuit din lanţuri cinematice deschise (Fig. 4), mobilitatea se calculează cu formula corespunzătoare familiei zero sau cu relaţia (10):M0 = 6n – 5C5 - 4C4 - 3C3 - 2C2 - C1 M = C5 = n (10)

8

Fig. 4 Robot de sudură Kawasaki

Dacă robotul industrial are în componenţă lanţuri cinematice închise, pentru determinarea mobilităţii se aplică relaţia:

Mf = (6 – f ) n -

Dacă roboţii au în structură atât lanţuri cinematice deschise cât şi închise, atunci mobilitatea se determină aplicând relaţia: M = Mi + Md (11)unde Mi este mobilitatea calculată pentru lantul cinematic închis şi Md este mobilitatea calculate pentru lanţul cinematic deschis.

Temă Să se determine gradul de mobilitate al următoarelor mecanisme (Fig.5):

9

a b

c d

Fig. 5 Exemple de mecanisme

10