Pag. 1

1. CINEMATICA

1.1. SISTEME DE REFERIN

Nimic mai frumos dect Bucuretiul ! Chiar i cu macarale n prim plan i cu o Dmbovi care nu prea aduce cu Sena sau Tamisa Totui, v sugereaz ceva aceast imagine ? Nu m refer la ideea de justiie pentru c am surprins n imagine cldirea Tribunalului. M refer la noiunea de per-spectiv. Da ! Perspectiva care face apel la trei dimensiuni spaiale : lime, nlime i profunzime reprezentate aici prin trei sgei.

PROBLEMA DE LA PAGINA 1 Poate fi posibil ca privind o fotografie s estimai nl-imea unui obiect aflat ntr-un plan ndeprtat ? Indicaie :Ar fi bine s v amintii unele noiuni elementare de geo-metrie i vei constata c misiunea este realizabil !

Pag. 2

Cele trei dimensiuni spaiale se regsesc i n fiina noastr superba fiin uman pe care ne-o nfieaz creatorii de art. Pentru noi toi exist diferena ntre sus-jos, fa-spate, stnga-dreapta. Pe scurt, simurile noastre ne spun c existm n spaiu i spa-iul are trei dimensiuni. Au existat i exist ndelungi dezbateri filosofice i chiar tiinifice asupra existenei sau neexistenei spaiului i, dac acesta exis-t, asupra proprietilor sale. Ceea ce ne inte-reseaz n lucrarea de fa nu sunt aceste dis-cuii i ipoteze, ci doar o simpl abordare pragmatic a realitii nconjurtoare, care s ne permit s extragem concluzii i legi folo-sitoare n activitatea noastr de fiecare zi. Prin urmare, ne vom mrgini s afirmm ur-mtoarele :

David, sculptur a lui Michelangelo

# Spaiul este infinit n toate direciile. Spaiul este omogen i izotrop, adic proprietile sale sunt aceleai n orice punct i n orice direcie. Spaiul are trei dimensiuni.

O alt percepie a simurilor noastre este aceea a tre-cerii timpului. Cu alte cuvinte, trim n timp. Se pot spune multe i despre timp. Pot exista controverse. Chiar i n fizic teoria relativitii face afirmaii despre timp, care multora li se pot prea curioase. Restrngndu-ne la abordarea pragmatic despre care discutam, vom afirma urmtoarele :

# Timpul se scurge liniar de la trecut spre viitor, uniform n spaiu i independent de prezena corpurilor care se afl n spaiu.

PRECIZAREA DE LA PAGINA 2 Afirmaiile pe care le facem aici despre spaiu i timp sunt strict valabile n cazul mecanicii clasice. Aceste afir-maii nu sunt probate experimental, ba chiar exist dovezi experimentale i teoretice care le contrazic.

Pag. 3

Spaiul din jurul nostru este populat cu corpuri materiale, mobile sau imobile. Cu alte cuvinte, unele dintre aceste corpuri i modific poziia n raport cu celelalte.

# Ceea ce-i propune CINEMATICA ca tiin este s studieze micrile i s gseasc legile dup care se desfoar acestea.

# Legile micrii pot fi enunate calitativ, n cuvinte, sau cantitativ, sub form de expresii matematice.

Forma matematic a legilor de micare poate fi stabilit numai definind mrimi fizice msurabile, msurndu-le experimental i gsind astfel corelaiile cutate.

CUGETAREA DE LA PAGINA 3 Tot ceea ce se gsete n spaiu se supune legilor fizicii. Dac cunoti i asculi aceste legi, spaiul te va trata cu bln-dee. i nu-mi mai spunei c omul nu are ce cuta acolo. Lo-cul omului este acolo unde vrea el s fie; i va face multe lu-cruri bune cnd va ajunge acolo.

Werner von Braun (19121977)

Pag. 4 Referitor la spaiu i t DISTANA DURATA

# Msurarea discare mai sunt denumite u

n Sistemul Internaional de Uniti de Msur, distanele se msoar n metri, iar duratele n secunde. Distana (lungimea) i durata (timpul) sunt mrimi fizice fundamentale ale Sistemului Internaional de Uniti de Msur. Ca i orice alte m-rimi fizice fundamentale, distana i durata au uniti de msur stabilite arbitrar.

cademia Francez l-a defi-ului terestru care trece prin uri i Greuti a definit me- o bar confecionat dintr-domeniul opticii au condus 1.650.763,73 mai mare de-ocalii a atomului de kripton la ora actual, dateaz din tana parcurs de lumi-

ntr-o secund.

Istoria metrului ncepe n 1791, cnd Anit ca 1/ 40.000.000 din lungimea meridianParis. n 1889, Biroul Internaional de Mstrul drept distana ntre dou linii trasate peun aliaj de platin i iridiu. Progresele n n 1960 la o nou definiie : metrul este dect lungimea de und a radiaiei rou-port86, n vid. Ultima definiie, n vigoare i1983 i este urmtoarea : metrul este disn n vid n a 299.792.458-a parte di

# Putem remarctre cele mai vechi, defintemporane, efectuate n

Iniial, secunda a fost definlare medii. La mijlocul secoluprecis a unitii de msur ade Msuri i Greuti a ado1/31.556.925,9747 din duratadefiniie nu era operaional (aa fost propus o nou definiiei este nc n vigoare. Aceastimp n care se efectueaztranziiei ntre dou nivela atomului de cesiu 133.

secunanumsiunigstroparseimp, se pot defini dou mrimi fizice msurabile :

tanelor i duratelor se face cu ajutorul unor etaloane, niti de msur. a faptul c dei etaloanele de timp i lungime sunt prin-irea lor precis se face pe baza studiilor de fizic con-

domenii care nu au nici-o legtur cu mecanica clasic.

it ca a 86400-a parte a duratei zilei so-lui XX a fost necesar o definire mai

timpului. n 1960, Biroul Internaional ptat definiia dup care secunda este anului tropic 1900. Deoarece aceast nul 1900 fiind de mult trecut), n 1964

a secundei, care a fost adoptat n 1967 ta este : secunda este intervalul de 9.192.631.770 oscilaii asociate e hiperfine ale strii fundamentale

PRECIZAREA DE LA PAGINA 4 Dei legislaia n vigoare impune folosirea metrului i

dei ca uniti de msur, acestea nu pot fi adecvate unor ite situaii. Dou cazuri, s spunem extreme, ar fi dimen-

le specifice lumii atomilor care se pot msura n an-mi (1 = 10-10 m) sau cele cosmice ce se pot estima n ci (1 parsec = 3,26 ani-lumin = 3,091013 km).

Pag. 5 Dup ce am definit micarea ca modificarea poziiei relative a corpurilor n spa-iu, pe msura trecerii timpului, am vorbit despre cinematic ca despre tiina care urmrete s stabileasc forma cantitativ a legilor de micare, am precizat c forma cantitativ a legilor fizicii se poate stabili numai n urma msurtorilor experimentale i c msurtorile se pot face doar avnd la ndemn etaloanele adecvate, mai rm-ne o singur ntrebare : dar care sunt corpurile care nu se mic i care sunt corpuri-le n micare ? Rspunsul la aceast ntrebare, aparent simpl, este foarte complicat ! Vom ncerca gsirea unei explicaii ct de ct satisfctoare ntr-unul din capitolele urmtoare. Pentru nceput s ncercm o definiie operaional a ceea ce nseamn starea de micare.

Privind sculptura din imaginea alturat, putem observa c indiferent unde ar fi dus chiar dac s-ar afla pe puntea unui vapor care traverseaz oceanul, sau ntr-o navet cosmic distanele ntre cele patru coluri ale ei nu se modifi-c n timp. Putem trage concluzia c respectivele patru coluri formeaz un sistem de corpuri de refe-rin, imobile unele n raport cu celelalte.

q

po n Fa de corpul 1, corpurile 2, 3, 4 au vectorii de poziie r1,2, r1,3 i r1,4.

r1,4

r1,3

r1,2

q

p

o

n

# Matematic vorbind, aceti trei vectori de poziie alctuiesc o baz de vectori n spaiul tridimensional. Prin operaii matematice relativ simple aceast baz poate fi transformat ntr-o baz de trei vectori ortonormai ex, ey, i ez care indic direciile i sensurile a trei axe de coordonate carteziene.

INFORMAIA DE LA PAGINA 5 Versorii unui baze ortonormate verific relaiile :

ex2 = 1, ey2 = 1, ez2 = 1 exey = 0, eyez = 0, ezex = 0

ex ey = ez, ey ez = ex, ez ex = eyOrice vector este o combinaie liniar a celor trei versori :

A = Ax ex + Ay ey + Az ez

Pag. 6

Construirea sistemului de axe de coordonate ca i afirmaia c modulul unui versor este unitar nu presupun doar aspecte matema-tice ci i aspecte fizice. Rezultatul final este bazat pe cunoaterea ra-poartelor ntre modulele celor trei vectori de poziie iniiali. De ase-menea, matematic vorbind, coor-donatele x, y i z sunt simple nu-mere, incapabile s exprime prin ele nsele poziia unui corp. De aceea, sensul fizic al noiunii de sistem de axe de coordonate pre-supune existena unui etalon de lungime. Coordonatele x, y, z sunt numerele care arat de cte ori se cuprinde etalonul de lungime n distanele Ox, Oy sau Oz msurate n lungul axelor de coordonate fi-zice. De altfel, chiar i axele de coordonate din desenul alturat sunt de natur fizic i nu abstrac-t (adic sunt trasate pe un suport material, au anumite dimensiuni spaiale .a.m.d.)

O ex

z

y

x

ez ey

q

p

o

n

O ex

y

x

ey ez

z

r

Vectorul de poziie al unui punct din spaiu se exprim n funcie de proieciile ortogo-nale ale punctului pe cele trei axe de coor-donate (adic, pe scurt, coordonatele punctu-lui) i versorii axelor de coordonate :

r = x ex + y ey + z ez n practic, coordonatele nu sunt simple numere, ci mrimi fizice msurate cu etalo-nul de lungime ales.

PROBLEMA DE LA PAGINA 6

Calculai distana dintre punctele A i B ale cror vec-tori de poziie sunt :

rA = 2 ex + 4 ey + 3 ez (m) rB = 300 ex + 200 ey + 500 ez (cm)

Pag. 7 Cu trecerea timpului, poziia ocupat de un corp se poate modifica n raport cu corpurile de referin i, im-plicit, n raport cu sistemul de coordonate. Imaginea al-turat v prezint poziiile succesive ale unei mingi de baschet, sugerndu-v trece-rea timpului prin intensitatea tonurilor de gri. Evoluia de

la un ton de gri la altul este o modalitate grafic de a marca trecerea unor durate ega-le, sau, cu alte cuvinte, simbolizeaz indicaiile unui ceas.

Acestea fiind spuse, ajungem n sfrit la ceea ce denumeam la pa-gina 5 drept o definiie operaional a ceea ce nseamn starea de micare. Potrivit acesteia, micarea reprezint modificarea n timp a poziiei unui corp n cadrul unui SISTEM DE REFERIN.

# Sistemul de referin este un concept fizic care include urmtoare-le elemente : Un ansamblu de corpuri de referin considerate fixe

Un sistem de axe de coordonate, ataat corpurilor de referin

Un etalon de lungime, adic o unitate de msur a distanelor i un

instrument cu care se poate face msurtoarea de lungime (rigl)

Un etalon de timp, adic o unitate de msur a duratelor de timp i un instrument cu care se poate face msurtoarea de timp (ceas)

Msurarea experimental a strii de micare a unui corp nseamn n acest con-text determinarea simultan a valorilor coordonatelor mobilului i a momentelor de timp corespunztoare.

NTREBAREA DE LA PAGINA 7 Galileo Galilei a descoperit c perioadele micilor oscila-ii ale unui pendul gravitaional nu depind de amplitudinea de oscilaie a acestuia urmrind oscilaiile unui candelabru, n timp ce participa la o slujb religioas. ntrebarea este : cum a reuit aceasta fr a avea un ceas sau alt instrument de msur a timpului ?

Pag. 8

1.2. RELATIVITATEA MICRII I A REPAUSULUI

Nu vom vorbi aici despre relativitatea percepiilor umane, ci ne vom ntreba despre ceva mult mai concret : sunt micarea sau repausul noiuni absolute sau nu ?

Dac a afirma c ba-ronul von Mnchhausen, clare pe o ghiulea n zbor, este n repaus, n

vreme ce melcul se deplaseaz cu o vitez de aproximativ 30 km/s, m-ai crede pro-babil la fel de sincer ca i pe celebrul mincinos-baron, sau la fel de inteligent ca pe melc. Cu toate acestea s-ar putea s am dreptate, firete omind s v fi spus ceva de la bun nceput. Ce ar fi trebuit s v comunic era c atunci cnd m refeream la starea de micare a baronului, corpul de referin era ghiuleaua, iar cnd pomeneam melcul, corpul de referin era Soarele. Cei care m-ar fi contrazis ar fi fcut-o, firete, cu bun credin, dar se lsau ei nii nelai de o prejudecat, i anume c pmntul pe care ne desfurm existena este n repaus absolut. Prin urmare, raionamentul lor, bazat pe ideea (i ea preconceput) c o ghiulea n zbor se mic fa de pmnt mai repede dect un melc, li s-ar fi prut perfect valabil. i, ca s ntregesc irul de ciudenii din acest paragraf, v voi mai spune c s-ar putea s am dreptate i atunci cnd, pstrnd pmntul ca sistem de referin, afirm c exist un interval de timp, chiar i dac este aparent mic, n care ghiuleaua se mic mai ncet dect melcul (de exemplu, dac ghiuleaua este lansat vertical n sus, n punctul de nlime maxim pe care-l atinge ea este o clip n repaus).

CUGETAREA DE LA PAGINA 8 Apropo de relativitate : Nu msura niciodat nlimea unui munte pn nu ai ajuns n vrful lui. Atunci vei vedea ct de scund este.

Dag Hammarskjld, fost secretar general al ONU

Pag. 9 CE CONCLUZII TREBUIE S TRAGEM DIN CELE SPUSE ?

NU SE POATE VORBI N MOD ABSOLUT DESPRE

STAREA DE MICARE SAU DE REPAUS A UNUI CORP

NAINTE DE A SPUNE DAC UN CORP ESTE N

REPAUS SAU N MICARE TREBUIE S STABILIM CARE ESTE SISTEMUL DE REFERIN FA DE CARE STUDIEM EVOLUIA CORPULUI

PRIN URMARE, AFIRMM C MICAREA SAU

REPAUSUL SUNT NOIUNI RELATIVE, NELEGND PRIN ACEASTA C OBSERVATORI APARINND UNOR SISTEME DE REFERIN DIFERITE POT AVEA PERCEPII DIFERITE N CEEA CE PRIVETE STAREA DE MICARE A ACELUIAI CORP

Spernd c lucrurile au fost lmurite i nu ncurcate din acest punct de vedere, nu putem, totui, s nu ne punem i unele ntrebri :

? Ce utilitate mai poate avea cunoaterea legi-

lor de micare ntr-un referenial dat, dac acestea pot avea o cu totul alt form n alt referenial ?

Exist oare vreo legtur ntre legile de micare ale aceluiai corp n sisteme de re-ferin diferite ?

Cauzele care conduc la o anumit form a legii de micare depind i ele de sistemul de referin ales sau nu ?

O parte din rspunsurile la aceste ntrebri o vei gsi n capitolele urmtoare.

CUGETAREA DE LA PAGINA 9 Apropo de relativitate : Cnd faci curte unei fete frumoase, o or pare o secun-d. Dac stai pe un grtar ncins, o secund pare o or. Aceasta este relativitatea.

Albert Einstein

Pag. 10

1.3. PRINCIPALELE MRIMI CINEMATICE

S privim fotografia din figura al-turat. Aceasta nfieaz o serie de obiecte imobile, dar i o lebd care se poate deplasa pe suprafaa apei. Dac am fi repetat fotografierea la anumite intervale de timp, am fi surprins lebda ocupnd succesiv poziiile marcate prin cruciulie, n vreme obiectele imobile nu i-ar fi modificat locul. Fiecare dintre fotografii surprinde o stare prin care trece obiectul.

Datele cantitative despre aceste stri sunt coordonatele poziiei obiectului i momentele de timp corespunztoare. Ast-fel, prima stare surprins n fotografie es-te caracterizat (vezi figura din dreapta) de coordonatele spaio-temporale :

x1 = 10 m y1 = 2 m

t1 = 10 h 21 min 14 s

x (m)

10:21:14

10:21:17 10:21:20

O

y (m)

2,42

7 8,5 10

A doua stare este caracterizat de datele :

x2 = 8,5 m y2 = 2,4 m

t2 = 10 h 21 min 17 s

# Schimbarea de stare este rezultatul procesului de micare mecanic.

CUGETAREA DE LA PAGINA 10 Timpul este ca un ru alctuit din ceea ce se ntmpl, curgerea sa fiind iute ; nu trece mult de cnd ceva apare pn cnd piere, iar noul se ivete pentru a disprea i el.

Marcus Aurelius (121180), mprat roman

Pag. 11 Cele dou stri sunt caracterizate de vectorii de poziie ( )111 y,xr , respectiv ( )222 y,xr , i de momentele de timp t1, respectiv t2, iar deplasarea obiectului este caracterizat prin vectorul deplasare : 12 rrr = i prin durata deplasrii: t = t2 - t1.

S privim figura alturat, cazul a. Observm c vectorii de-plasare alctuiesc o linie frnt, care unete poziiile ocupate de obiect n fiecare dintre fotografii-le succesive. njumtind in-tervalele de timp dup care se re-pet fotografierea, se dubleaz numrul de vectori deplasare ce pot fi reprezentai (cazul b). S ne imaginm c am putea reduce in-tervalul de timp dintre dou fo-tografii succesive att de mult n-ct s surprindem obiectul n fie-care din punctele din spaiu prin care trece. n acest caz segmente-le liniei frnte s-ar micora att de mult nct s-ar forma o curb con-tinu (cazul c). Aceast curb continu se numete traiectorie. Putem remarca c, n general, tra-iectoria nu coincide cu conturul poligonal format de vectorii de-plasare. Cu toate acestea, cu ct numrul de stri utilizat pentru determinarea vectorilor deplasa-

re este mai mare, cu att conturul poligonal se apropie mai mult de forma real a traiectoriei. Rezult de aici c procesul de micare mecanic poate fi aproximat printr-o succesiune de stri, al cror numr trebuie s fie suficient de mare pentru ca erorile introduse s fie convenabil de mici.

c

b

a

# Traiectoria reprezint locul geometric al punctelor atinse de un mobil n cursul micrii sale.

PRECIZAREA DE LA PAGINA 11 Ce poate nsemna afirmaia erorile introduse s fie con-venabil de mici ? Cnd mergei la film, n faa ochilor v sunt proiectate 24 de fotografii n timp de o secund. Ochiul vostru nu poate discerne fiecare imagine n parte, nregistrnd o sen-zaie de micare adevrat. Cam acesta ar fi nelesul afirmai-ei menionate.

Pag. 12 Am putea defini tra-

iectoria i ca urma lsat

de un corp n micare.

Pentru exemplificare pri-

vii figura alturat. Jetu-

rile ieite din motoarele

avioanelor las pe cer d-

re care corespund traiec-

toriilor fiecrui aparat.

Am vorbit despre avioane. S trecem la trenuri ! Cunoatei cu toii o carte ex-trem de interesant de citit mai ales n cursul lungilor cltorii numit Mersul Trenurilor. Iat un pasaj din ea :

Relaia 300 km Gara P 3005 A 421 E 23

0 Bucureti Nord 14:15 19:45 16:25

59 Ploieti Vest 15:28 20:24 17:04

121 Sinaia 17:06 21:33 17:58

140 Predeal 17:34 21:53 18:18

166 Braov 18:16 22:30 18:52

294 Sighioara - 0:22 20:36

333 Media - 0:56 21:10

374 Blaj - 1:32 21:41

NTREBAREA DE LA PAGINA 12 Imaginea alturat arat urma lsat de un avion cu reacie. n ce direcie se deplaseaz avionul ? Vei rspunde : dinspre stnga-jos spre dreapta-sus. n-trebarea este : ce v face s afirmai acest lucru ?

Pag. 13 Privind datele din tabel, observm c ele reprezint o list de coordonate legate de poziie i timp. Cum putem s extragem o concluzie din aceast mulime de cifre ? O cale ar fi s facem o reprezentare grafic a distanei n funcie de timp. Vom transforma mai nti orele n minute, astfel nct s avem o singur unitate de msur a timpului. Obinem, n acest mod, tabelul de date alturat :

P 3005 A 421 E 28 ore: min total

minute km ore: min total

minute km ore: min total

minute km

14: 15 855 0 19: 45 1185 0 16: 25 985 0 15: 28 928 59 20: 24 1224 59 17: 04 1024 59 17: 06 1026 121 21: 33 1293 121 17: 58 1078 121 17: 34 1054 140 21: 53 1313 140 18: 18 1098 140 18: 16 1096 166 22: 30 1350 166 18: 52 1132 166

24: 22 1462 294 20: 36 1236 294 24: 56 1496 333 21: 10 1270 333 25: 32 1532 374 21: 41 1301 374

Fiecare pereche de date timp-distan o reprezentm printr-un punct ntr-un sis-tem de axe de coordonate. Rezult graficul de mai jos :

0

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

3 0 0

3 5 0

4 0 0

8 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 4 0 0 1 6 0 0

t im p (m in )

dist

ana

(km

)

P 3 0 0 5A 4 2 1E 2 3

CUGETAREA DE LA PAGINA 13 Adesea asociem numrul 13 cu ghinionul. Iat ce spune francezul Franois La Rochefoucauld (16131680) : Chiar dac cei mai buni prieteni ai notri au ghinion, n-totdeauna vom gsi ceva nostim n asta !

Pag. 14 Ce facem mai departe ? Am putea uni punctele succesive prin segmente de dreapt (desenate prin linii ntrerupte). Ce remarcm ? Curbele obinute sunt aproape nite linii drepte. Din acest motiv, vom ncerca n continuare s trasm nite drepte (de da-ta aceasta ca linii nentrerupte), care, evident, nu mai pot trece prin toate punctele, dar pot fi astfel desenate nct s lase de o parte sau de alta cam acelai numr de puncte. Rezultatul este urmtorul :

0

50

100

150

200

250

300

350

400

800 1000 1200 1400 1600

timp (min)

dist

ana

(km

)

Remarcm c toate cele trei trenuri au ceva n comun : distana strbtut es-te (aproximativ) o funcie liniar de timp ! Notnd timpul cu t i distana cu d, putem scrie :

BtAd += unde A i B sunt dou constante. Valorile acestor constante se pot determina din gra-fic, rezultnd :

P 3005 : d = 0,68 t - 579 A 421 : d = 1,05 t - 1237 E 23 : d = 1,15 t - 1125

PROBLEMA DE LA PAGINA 14 Un cltor trebuie s ajung de la Bucureti la Blaj. El ia primul tren (personalul) care-l duce numai pn la Braov. Acolo ateapt expresul, n care i continu cltoria. La Media coboar dup igri, pierde trenul i este nevoit s-i termine voiajul mergnd cu acceleratul. Construii graficul distan-timp al cltorului i determinai constantele A i B.

Pag. 15 Aceste expresii ne permit s aflm unde se afl fiecare tren la un anumit moment de timp.

Astfel, pentru : t = 1000 (min)

personalul ar trebui s se gseasc la distana : d = 0,681000 - 579 = 680 - 579 = 101 (km)

fa de Bucureti (verificai pe grafic !).

# O funcie matematic care ne permite aflarea poziiei unui corp la un moment de timp bine stabilit se numete lege de micare.

n general, legea de micare se refer la vectorul de poziie. Din acest motiv, n cazul cel mai general, putem scrie:

( )( )( )( )

===

=tzztyytxx

trr

unde x,y i z sunt componentele vectorului de poziie.

Remarcai c legea de micare este o ecuaie vectorial, echiva-lent cu trei ecuaii scalare referitoare la componentele vectorului de poziie. Acestea din urm se mai numesc ecuaiile parametrice de micare.

S revenim la cele trei trenuri. Ar putea cele trei legi de micare s ne spun ca-re dintre trenuri ajunge mai repede de la Bucureti la Braov ? Pentru a rspunde la ntrebare, s lum din nou cazul personalului. S scriem legea sa de micare la dou momente de timp diferite:

d1 = 0,68 t1 - 579 ; d2 = 0,68 t2 - 579 Scznd cele dou relaii, rezult :

d2 - d1 = 0,68 (t2 - t1) Lund (t2 - t1) = 60 (min), rezult : d2 - d1 = 40,8 (km). Am aflat astfel c n decurs de o or personalul se deplaseaz pe o distan de 40,8 km. Procednd n mod analog n celelalte dou cazuri, gsim c acceleratul parcurge 63 km pe or, iar expresul 69 km pe or. Aceste trei numere ne permit s afirmm c expresul se deplaseaz cel mai repede, iar personalul cel mai lent.

NTREBAREA DE LA PAGINA 15 Modul de comparare al rapiditilor micrilor diferitelor mobile pe care l prezint pe aceast pagin este cel tradiional. Cu toate acestea, ar mai putea exista i un alt mod : cel mai ra-pid mobil parcurge o distan dat n cel mai scurt timp. ntre-barea este : de ce este preferat primul mod i nu al doilea ?

Pag. 16

Pentru o analiz cantitativ a micrilor unor mobile diferite, este suficient s comparm distanele parcurse de acestea n anumite intervale de timp bine determinate.

# Raportul dintre distana parcurs de un mobil i intervalul de timp ne-cesar pentru aceasta se numete vitez medie. Formula corespunztoare acestei definiii este :

td

ttddvm

==

12

12

S revenim la cele trei trenuri. Am aflat deja ce vitez medie are micarea lor. Oare valorile gsite caracterizeaz orice poriune a traseului ? Putem verifica aceas-ta calculnd viteza medie pe diferite tronsoane de drum. Mai nti calculm lungimea fiecrui tronson i apoi durata necesar parcurgerii lui. Raportnd lungimea la durat, aflm viteza medie. Rezultatele pot fi nscrise ntr-un tabel, dup cum urmeaz : Nr. crt. Tronson P 3005 A 421 E 23

1 Bucureti-Ploieti 48,5 km/or 90,8 km/or 90,8 km/or

2 Ploieti-Sinaia 38,0 km/or 53,9 km/or 68,9 km/or

3 Sinaia-Predeal 40,7 km/or 57,0 km/or 57,0 km/or

4 Predeal-Braov 37,1 km/or 42,2 km/or 45,9 km/or

5 Braov-Sighioara - 68,6 km/or 73,8 km/or

6 Sighioara-Media - 68,8 km/or 68,8 km/or

7 Media-Blaj - 68,3 km/or 79,4 km/or

Datele din tabel pot fi reprezentate sub forma unei diagrame, ceea ce uureaz

compararea i interpretarea lor.

INFORMAIA DE LA PAGINA 16 Pentru c viteza este o mrime fizic definit cu ajutorul altor mrimi fizice (distana i durata), unitatea sa de msureste definit, la rndul ei, n funcie de unitile de msur ale acestor mrimi fizice. Astfel :

[ ] [ ][ ] [ ] sm=

= SImm vtdv

Pag. 17

0,010,020,030,040,050,060,070,080,090,0

100,0

1 2 3 4 5 6 7

tronson

vite

za (k

m/o

ra)

P 3005A 421E 23

Putei vedea mai sus o astfel de diagram.

Remarcm c viteza medie nu este aceeai pe orice poriune de drum ! Rezult de aici c informaia cuprins n valoarea vitezei medii are semnificaie numai dac precizm i segmentul de drum pe care ea a fost cal-culat.

# Viteza medie nu poate caracteriza starea de micare a unui obiect, adic nu poate oferi o informaie legat de un moment concret de timp !

i atunci, cum putem face distincia dintre starea de obiect mobil sau imobil ?

# Simpla precizare a coordonatelor spaio-temporale este insuficient, ceea ce nseamn c este necesar definirea unei mrimi fizice, a crei valoare msoar cantitativ diferena dintre obiectul fix i cel n micare. Aceast mrime fizic se numete vitez momentan, sau pur i simplu vitez.

PRECIZAREA DE LA PAGINA 17 S-ar putea s fie necesar s argumentez afirmaia : Vite-za medie nu poate caracteriza starea de micare a unui obi-ect. Nimic mai simplu ! Faptul c viteza medie a expresului era de 69 km/h, nu poate oferi i informaia c el a staionat 10 minute n gara din Braov !

Pag. 18 Care este asemnarea dintre viteza medie i viteza momentan ? Este una sin-gur : formula de calcul este aceeai. Care este atunci deosebirea dintre viteza me-die i viteza momentan ? Din nou este una singur : intervalul de timp luat n con-siderare trebuie s fie ct mai scurt, astfel nct irul de stri prin care trece corpul s fie ct mai mic (idealizat, s se reduc doar la stri extrem de apropiate de starea creia i se atribuie viteza momentan). Conform celor spuse, putem defini viteza momentan dup cum urmeaz :

# Viteza momentan este mrimea fizic vectorial calculat ca rapor-tul dintre vectorul deplasare i durata necesar deplasrii, atunci cnd durata este foarte mic, adic este prima derivat a vectorului de poziie n raport cu timpul. Formula corespunztoare este :

rvrrv &===

sau

0 dtd

tlimt

n figur se poate observa semnificaia geometric a vectorului vitez. Fie starea marcat printr-un cercule, avnd vectorul de poziie r, la momentul de timp t. Pentru a de-termina viteza, considerm dou momente de timp t1 < t , t2 > t , foarte apropiate de mo-mentul t. Trasm vectorii de poziie la aceste dou momente de timp i facem diferena

12 rrr = . nmulim vectorul r cu scalarul 1/( t2 - t1), gsind astfel vectorul v.

Vectorul vitez este tangent la traiectorie.

Ca orice alt vector, vectorul vitez are trei componente :

zt

dzv;ydtdy

z && ====v;xdtdxv yx &==

traiectorie r1 , t1

r2 , t2

r , t0 v

r , t v

NTREBAREA DE LA PAGINA 18 n diagrama de la pagina 17 sunt prezentate vitezele me-dii pentru trei trenuri, n funcie de apte tronsoane de drum care sunt menionate la pagina 16. Vitezele medii prezint un minim pe tronsonul 4, Predeal-Braov. ntrebarea este : oare de ce ?

Pag. 19 Viteza atribuit unui corp n micare se poate i ea modifica n timp. Cum msu-rm ct de repede variaz aceasta ? Este nevoie de o nou mrime fizic, denumit acceleraie momentan, sau pur i simplu acceleraie.

# Prin definiie : acceleraia momentan este mrimea fizic vectorial calculat ca prima derivat a vectorului vitez n raport cu timpul, sau a doua de-rivat a vectorului de poziie n raport cu timpul. Formula corespunztoare este :

rvarva &&& ==== sau22

dtd

dtd

Vectorul acceleraie are, n general, trei componente:

zdt

zddt

dva;ydt

yddt

dva;x

dtxd

dtdva zz

yy

xx &&&&&& ========= 2

2

2

2

2

2

Similar cu vectorul vite-z, se poate construi geome-tric vectorul acceleraie (vezi figura alturat).

# n general, vectorul acceleraie este orientat sub un anumit unghi n raport cu vecto-rul vitez, iar cei doi vec-tori formeaz un plan.

Alegnd n acest plan dou axe de coordonate per-pendiculare, una dintre ele fi-ind ndreptat n sensul vite-

zei, exist dou componente ale acceleraiei : acceleraia tangenial, orientat para-lel cu vectorul vitez, i acceleraia normal, orientat perpendicular pe vectorul vi-tez. Evident, vectorul acceleraie nu are i o component perpendicular pe acest plan.

v, t 0

at , t

an , t

v , t

a , t

a , t

v2 , t2v1 , t1

v1 , t1

INFORMAIA DE LA PAGINA 19 Pentru c acceleraia este o mrime fizic definit cu ajutorul altor mrimi fizice (vitez i durata, sau distan i du-rat), unitatea sa de msur este definit, la rndul ei, n fun-cie de unitile de msur ale acestor mrimi fizice. Astfel :

[ ] [ ][ ] [ ] 2sm=

= SIatva

Pag. 20 Din cele discutate pn acum reiese faptul c starea momentan a unui corp n micare este caracterizat de trei mrimi fizice vectoriale : vectorul de poziie r, vite-za v i acceleraia a, la care se adaug momentul de timp t. Valorile i orientrile ce-lor trei mrimi vectoriale se pot modifica n timp.

# Funciile matematice care permit aflarea poziiei, vitezei sau accelera-iei la un moment de timp dat se numesc legi de micare sau ecuaii de micare (legea/ecuaia spaiului, legea/ecuaia vitezei, sau legea/ecuaia acceleraiei).

n principiu, dac cunoatem ecuaia acceleraiei, poziia i viteza iniial ale unui mobil, putem s determinm att ecuaia vitezei, ct i ecu-aia spaiului.

Cu alte cuvinte, dac tim locul unde se afl mobilul i ce vitez are la un mo-ment iniial, precum i acceleraia sa la toate momentele de timp, putem afla viteza i poziia mobilului la orice moment de timp.

v0

v1 a0t

Construcia geometric a vitezei La momentul iniial t0 se cunosc vectorii v0 i a0. Viteza la momentul t0 + t este dat de suma vectorial :

v1 = v0 + a0 t Viteza v2 se calculeaz asemntor, folosind acceleraia a1 de la momen-tul t0 + t i viteza v1. Iteraiile pot continua pn la determinarea vec-torului v, la momentul t.

v1tv0t

r2

r1

r0 Construcia geometric a vectorului de poziie

La momentul iniial t0 se cunosc vectorii r0 i v0. Vectorul de poziie la momentul t0 + t este dat de suma vectorial :

r1 = r0 + v0 t Vectorul r2 se calculeaz asemn-tor, folosind viteza v1 de la momen-tul t0 + t i vectorul de poziie r1. Iteraiile pot continua pn la deter-minarea vectorului r, la m entul t.om

PROBLEMA DE LA PAGINA 20 Considerai dou cazuri :

a) Acceleraia i viteza sunt mereu paralele b) Acceleraia i viteza sunt mereu perpendiculare

n ambele cazuri modulul acceleraiei este constant, iar mobi-lul se afl iniial n originea axelor de coordonate. Construii geometric succesiunea de puncte prin care trece mobilul.

Pag. 21 Construciile geometrice fcute pentru a determina vectorul vitez sau vectorul de poziie au un echivalent analitic : operaiile de integrare.

# Cunoscnd expresia analitic a acceleraiei ca funcie de timp, expre-sia vitezei se calculeaz cu integrala :

( ) ( ) ( )+=t

t

dtttt0

0 avv

# Cunoscnd expresia analitic a vitezei ca funcie de timp, expresia vectorului de poziie se calculeaz cu integrala :

( ) ( ) ( )+=t

t

dtttt0

0 vrr

N REZUMAT Principalele mrimi cinematice care caracterizeaz deplasarea unui mobil sunt : vectorul de poziie, vectorul vitez i vectorul acceleraie. Cunoscnd expresia analitic a vectorului de poziia (adic legeaspaiului), viteza i acceleraia se pot calcula prin derivare :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rrvarrv &&& ===== 22

dttd

dttdt;

dttdt

Cunoscnd expresia analitic a acceleraiei (adic legea accele-raiei), viteza i vectorul de poziia se pot calcula prin integrare :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +=+=t

t

t

t

dtttt;dtttt00

00 vrravv

Ecuaia traiectoriei se poate afla eliminnd timpul ntre ecuaii-le parametrice de micare.

PROBLEMA DE LA PAGINA 21 Expresia analitic a vectorului de poziie al unui mobil este : ( ) +++= ,r;rtsinrtcosrt zyx eeer . Calcu-lai viteza i acceleraia mobilului. Gsii ecuaia traiectoriei i reprezentai-o grafic ntr-un sistem de axe de coordonate.

Pag. 22

1.4. CLASIFICAREA MICRILOR DUP TRAIECTORIE I LEGEA DE

MICARE, PRINCIPALELE TIPURI DE MICRI

Regulator n micare de rotaie

Lan de transmisie

Pies n micare liniar Pies n mi-

care de rota-ie

Pies n micare

de balans

n figur se poate vedea o main cu aburi din secolul al XIX-lea. Desigur, pu-tei remarca complexitatea ei: piese care se rotesc, piese n micare liniar, piese care balanseaz, roi dinate, lan de transmisie Cum se poate oare construi ceva att de complicat ?

CUGETAREA DE LA PAGINA 22 Apropo de efectele imediate ale industrializrii : Srcia nate ur ; cei n suferin urau mainile care -credeau ei - le luaser pinea de la gur ; urau cldirile care adposteau mainile ; urau fabricanii care posedau acele cl-diri.

Charlotte Bront (18161855), scriitoare britanic

Pag. 23 Taina const n cunoaterea legilor dup care se mic componentele sau pr-ile lor. Cunoscnd aceste legi, este relativ simplu s anticipezi prin calcul cum va funciona ansamblul pieselor, s le construieti i s le asamblezi (simplu pentru ingi-nerul a crui meserie const tocmai n aceasta !). n fond, aceste cunotine au stat la baza Revoluiei Industriale din veacul al XIX-lea. Vei spune : Bine, i ce legtur are asta cu fizica ?. Legtura este tocmai ca-pitolul de fa. Un prim demers al cinematicii este realizarea unei clasificri a micrilor.

# Clasificarea micrilor se poate face n dou moduri : dup forma traiectoriei dup legea de micare pe traiectorie

Cea mai general form de traiec-

t orie este linia curb.Dac traiectoria unui mobil este o curb oarecare, spunem c mobilul

are o traiectorie curbilinie

Dac curba are forma particular de cerc, spunem c mobilul are o tra-

iectorie circular

Dac curba se reduce la o dreapt,spunem c mobilul are o traiecto-rie rectilinie

Clasificarea micrilor dup forma traiectoriei

PRECIZAREA DE LA PAGINA 23

Dei figura de pe aceast pagin v-ar putea sugera c traiectoriile curbilinii sunt plane, acest lucru nu este adevrat. Un exemplu de traiectorie ce nu este plan l ntlnim n cazul micrii elicoidale pe care o poate avea un purttor de sarcin electric care se deplaseaz n cmp magnetic.

Pag. 24

Clasificarea micrilor dup legea de micare

Cea mai general micare este micarea variat.

ntr-o micare variat modulul vitezei se modific de la un mo-

me l. nt de timp la altu

Micarea uniform variat este micarea n care modulul vitezei variaz cu cantiti egale n in-

tervale de timp egale.

v

t

t

v

v

t

t t

v v

Micarea uniform este mica-rea n care modulul vitezei este

co . nstant n timp

# Cnd vorbim despre tipul de micare al unui corp trebuie s furnizm ambele informaii necesare : forma traiectoriei i legea de micare. Exist, astfel, micri circulare uniforme, micri rectilinii uniform variate, micri curbilinii variate, .a.m.d.

Dei cele mai generale tipuri de traiectorii sunt cele curbilinii, iar cele mai generale tipuri de legi de micare co-respund micrilor variate, totui, n practica inginereasc predomin tipurile simple de micri, cum ar fi cele rectilinii sau circulare, respectiv uniforme i uniform variate. De mul-te ori exist nevoia de a converti un tip de micare n altul. Figura alturat v nfieaz cum se poate transforma o micare de rotaie ntr-o micare rectilinie cu ajutorul unui troliu.

PROBLEMA DE LA PAGINA 24

Fntna din imaginea de mai sus are 10 m adncime. Diametrul butucului troliului este de 25 cm, iar raza manivelei este de 50 cm. Cte rotaii sunt necesare pentru a scoate glea-ta la suprafa ?

Pag. 25 Vom discuta n cele ce urmeaz principalele tipuri de micri mecanice.

1.4.1. MICAREA RECTILINIE UNIFORM

# Micarea rectilinie uniform este micarea care se face n linie dreapt, viteza avnd aceeai valoare n orice punct al traiectoriei (deci vectorul vitez este constant n timp).

Dup cum se vede n figura alturat, traiectoria poate avea o direcie oarecare n raport cu axele sistemului de referin.

# Vectorul vitez este paralel cu direcia traiectoriei.

O

z

y x

mobil

vectorul vitez

traiectoria

r vt , r

y

z

t0 , r0

x

n figura din dreapta sunt reprezentai vecto-rii de poziie ai mobilului la dou momente de timp : t0 i t. Conform definiiei vitezei momentane, putem scrie :

dtdrv =

Pentru c viteza este constant prin defi-niie determinarea legii de micare prin inte-grare este foarte simpl :

Ecuaia spaiului n micarea rec-tilinie uniform ( ) ( ) ( ) ( )0000

00

ttdtdttttt

t

t

t

+=+=+= vrvrvrr Ecuaia spaiului n micarea rectilinie uniform este o ecuaie vectorial, echi-valent cu trei ecuaii scalare, cte una pentru fiecare ax de coordonate :

NTREBAREA DE LA PAGINA 25

Un avion zboar de la Bucureti la Beijing, n linie dreapt, cu vitez constant i la altitudine constant. ntreba-rea este : micarea avionului este sau nu o micare rectilinie i uniform ?

Pag. 26

( )( )( )

+=+=+=

00

00

00

ttvzzttvyyttvxx

z

y

x

n aceste ecuaii : x, y, z reprezint coordonatele punctului n care se afl mobilul la momentul de timp t x0, y0 , z0 reprezint coordonatele punctului n care se afl mobilul la momentul de timp t0 vx , vy , vz sunt componentele vectorului vitez

Dac nu este impus o anumit orienta-re a axelor de coordonate, ele pot fi alese ast-fel nct vectorul vitez s fie paralel cu axa Ox. n acest caz traiectoria este paralel cu axa Ox, iar componentele vy i vz sunt nule. De ase-menea, alegerea sistemului de coordonate se poate face astfel nct i coordonatele y0 i z0 s fie nule (vezi figura alturat). n aceste condi-ii, din setul de trei ecuaii ne rmne una singu-r : ( )00 ttvxx +=

Trebuie remarcat c n aceast ecuaie v reprezint proiecia vecto-rului vitez pe axa Ox. Aceast proiecie este un numr pozitiv dac viteza are sensul axei Ox. n caz contrar, proiecia vitezei este un numr negativ.

Fie mai multe momente de timp succesive : t1 , t2 , t3 , ., tn-1 , tn , astfel nct : t2 - t1 = t3 - t2 = .. = tn - tn-1 = . Conform ecuaiei spaiului, putem scrie : ( )

( ) ( ) { }n,jvttvxxttvxxttvxx

jjjjjj

jj 01100

0101 ==+=

+=

Remarcm c distana parcurs n oricare dintre intervalele de timp considerate este aceeai. Rezult c n micarea rectilinie uniform mobilul parcurge distane egale n intervale de timp egale.

z

y

x v

x0 , t0 x , t

NTREBAREA DE LA PAGINA 26

Fie dou mobile care n intervale de timp egale parcurg distane ce se afl mereu n raport de 1/3. ntrebarea este : pu-tei afirma cu siguran c mobilele n discuie efectueaz mi-cri rectilinii i uniforme ?

Pag. 27 Acceleraia momentan este definit astfel :

dtdva =

Cum vectorul vitez este constant, rezult : 0=a

n micarea rectilinie uniform acceleraia mobilului este nul.

Indiferent de sensul vitezei acceleraia este nul. Dac vectorul vitez este orientat n sensul pozitiv al axei Ox, valoarea sa numeric este pozitiv, iar n caz con-trar este negativ. Dac vectorul vitez este orientat n sensul pozitiv al axei Ox, valoarea co-ordonatei x crete n timp, iar n caz contrar scade. Aria cuprins ntre axa timpului i graficul vitezei, limitat de momente-le de timp t0 i t, este numeric egal cu distana parcurs de mobil.

Poziia mobilului, viteza i acceleraia sunt funcii de timp. Ele pot fi reprezentate grafic n dou cazuri.

v

v (m/s)

-v

v (m/s)

tt0

x0

x (m)

t (s)

x

tt0

x0

x (m)

t (s)

x

Vectorul vitez are sens opus axei Ox

t (s)

tt0

tt0

t (s)

Vectorul vitez are acelai sens ca i axa Ox

t (s)

a (m/s2)

0 t t0

PROBLEMA DE LA PAGINA 27 Graficul alturat reprezint variaia poziiei a dou mobile n funcie de timp. Determinai unde i cnd se ntlnesc cele dou mobile.

2x0

x0 2t0t0

Pag. 28

1.4.2. MICAREA RECTILINIE UNIFORM VARIAT

# Micarea rectilinie uniform variat este micarea care se desfoar n linie dreapt i n care modulul vitezei variaz cu cantiti egale n intervale de timp egale.

S ne amintim c vecto-rul vitez este permanent tangent la traiectorie. Re-zult c atunci cnd traiecto-ria este rectilinie, vectorul vitez nu variaz ca orienta-re. Din definiia accelerai-ei momentane :

dtdva =

+=t

t

dt0

0 avv

)

b) Pentru ca vectorul vitez s nu varieze ca orien-tare, este necesar ca vectorul acceleraie s fie pa-

ralel cu vectorul vitez

v , t

a(t - t0)v0 , t0

v , t a(t - t0)

v0 , t0 a) n acest caz vectorul vitez variaz ca orientare

putem afla viteza la momen-tul t :

sau : Ecuaia vitezei n micarea uniform variat ( 00 tt += avv

n figura de mai sus se poate vedea rezultatul acestei operaii cu vectori. Se ob-serv c dac direcia acceleraiei nu coincide cu direcia vitezei, vectorul vitez vari-az ca orientare. Rezult de aici c :

n micarea rectilinie uniform variat vectorul acceleraie este per-manent paralel cu vectorul vitez i, implicit, cu direcia micrii.

CUGETAREA DE LA PAGINA 28 Micarea fiind etern, prima cauz a micrii, dac este doar una, trebuie s fie de asemenea etern.

Aristotel (384 C322 C), filosof grec, n cartea Fizica

Pag. 29 Alegnd sistemul de referin astfel nct traiectoria s se su-prapun peste axa Ox, obinem situaia din figura alturat. Se observ c vectorul acceleraie poate avea acelai sens ca i vec-torul vitez, dar i sens opus. Ecuaia vectoria-l scris anterior se reduce n cazul acesta la o singur ecuaie scalar, referitoare la componentele vectori-lor pe axa Ox:

x , t x0 , t0x

v v0a

O

x , t x0 , t0x

v v0a

O

( )00 ttavv += (nu uitai c valorile numerice ale mrimilor din ecuaie sunt pozitive dac sensul vectorului corespunztor coincide cu sensul axei, respectiv negative n caz contrar !).

x - x0

v

v0

t t0

v (m/s)

t (s)

n figura alturat se poate vedea grafi-cul vitezei n funcie de timp. Ca i n cazul micrii rectilinii uniforme, aria cuprins ntre axa timpului i graficul vitezei, limi-tat de momentele t i t0, este numeric ega-l cu distana parcurs de mobil : x - x0. Se tie c aria cuprins ntre graficul unei funcii i abscis este o reprezentare geometric a integralei funciei respective :

( )[ ] ttt

t

tt

t

t

t

t

tatattvdtttavdtaxx0

00

00

0

2

0000 2+=+==

sau : Ecuaia spaiului n micarea rectilinie

uniform variat ( ) ( )22

0000

ttattvxx ++=

PROBLEMA DE LA PAGINA 29

ntre intervalele de timp t0 i t, un mobil aflat n micare rectilinie uniform variat i modific viteza de la valoarea v0la valoarea v. Ce vitez medie i se poate atribui mobilului n acest interval de timp ?

Pag. 30

# Aceast ecuaie permite calcularea coordonatei x a punctului n care se afl mobilul la momentul de timp t, cunoscnd poziia sa iniial x0 i viteza sa iniial v0 (la momentul t0), precum i acceleraia micrii a.

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

t (s)

x (m

)

q

p

o

n

Un exemplu de micare recti-linie uniform variat

Ecuaia micrii : 24

215 ttx = 2s

msm 4) Viteza i schimb sensul, iar mobilul se apropie de ori-

gine. Modulul vitezei crete.

3) Mobilul a ajuns la distana maxim fa de origine.

n acest moment viteza sa este nul.

2) Mobilul se deprteaz de origine, iar viteza scade.

1) Starea iniialt0 = 0 , x0 = 0

v0 = 5 m/s

-8 ,0

-6 ,0

-4 ,0

-2 ,0

0 ,0

2 ,0

4 ,0

6 ,0

0 ,0 0 ,5 1 ,0 1 ,5 2 ,0 2 ,5 3 ,0

t (s)

v (m

/s)

o n

Ecuaia vitezei : tv = 2sm4

sm5

q

p

4) Viteza este negativ i crete n modul.

3) Mobilul este momentan n repaus.

2) Viteza este pozitiv i sca-de.

1) Starea iniialt0 = 0 , v0 = 5 m/s

Un exemplu de micare recti-linie uniform variat

PROBLEMA DE LA PAGINA 30

La pagina 7 se afl o fotografie care nfieaz traiecto-ria pe care o urmeaz o minge de baschet. Examinnd fotogra-fia i utiliznd o rigl, determinai tipurile de micare ale pro-ieciilor centrului mingii pe axele de coordonate.

Pag. 31 O alt ecuaie important a micrii uniform variate se poate obine eliminnd termenul (t - t0) ntre ecuaia vitezei i ecuaia spaiului :

( ) ( )avvttttavv 0000

=+=

( ) ( ) 200000000 21

21

+

+=++=

avv

aavv

vxxttattvxx

sau :

( )0202 2 xxavv +=

# Aceast relaie se numete ecuaia lui Galilei. Ea permite calcularea vitezei v dac se cunosc viteza iniial v0, acceleraia a i distana parcurs de mobil de la nceputul micrii: (x - x0).

1.4.3. MICAREA CIRCULAR UNIFORM

v

r

r v

v

r

# Micarea circular uni-form este micarea care se desfoa-r pe un cerc i n care modulul vitezei este constant.

Pentru c modulul vitezei este con-stant, mobilul aflat n micare circular uniform parcurge arce de cerc egale n intervale de timp egale. Fa de centrul cercului, un arc de cerc este delimitat de dou vectori de poziie, care formeaz un anumit unghi ntre ei. Din aceea c arcele de cerc parcurse n intervale de timp egale sunt egale, rezult c i unghiurile la cen-tru mturate de raza vectoare n interva-le de timp egale au valori egale.

PROBLEMA DE LA PAGINA 31

Lund n ecuaia lui Galilei v = v0, rezult : a(x x0) = 0. n afara cazului banal a = 0, ce alte semnificaii putei atribui acestei situaii ?

Pag. 32 S considerm un mic interval de timp t. n figura alturat se poate vedea c n acest interval de timp mobilul parcurge pe traiectorie o distan s, iar raza vectoare mtur un unghi la centru . Conform de-finiiei vitezei :

dtdsv =

tim c lungimea arcului de cerc este proporional cu unghiul la centru expri-mat n radiani :

ds = r d unde r este raza cercului. nlocuind n formula de definiie a vitezei, obinem :

rv

dtd

dtdrv ==

Observm c raportul v/r este constant n timp. Rezult c i rapor-tul d/dt este constant n timp.

ds

d

r , t' = t + dt

r , t

Ce semnificaie are acest raport ? Lund dt egal cu unitatea de msur a timpului, d reprezint unghiul la centru mturat de raza vectoare n unitatea de timp. Concluzia este c :

# ntr-o micare circular uniform unghiul la centru mturat n unitatea de timp de raza vectoare are o valoare constant pe toat durata micrii. Acest raport constant poate fi luat ca o msur a micrii circulare uniforme, primind denumirea de vitez unghiular :

dtd=

# Putem reformula legea de micare astfel : ntr-o micare circular uniform viteza unghiular este constant n timp. Relaia dintre viteza cu care se deplaseaz mobilul pe cerc (numit i vitez liniar) i viteza unghiular este urmtoarea :

v = r

INFORMAIA DE LA PAGINA 32 Pentru c viteza unghiular este o mrime fizic definitcu ajutorul unghiului la centru i duratei, unitatea sa de msureste definit, la rndul ei, n funcie de unitile de msur ale acestor mrimi fizice. Astfel :

[ ] [ ][ ] [ ] srad=

= SIt

Pag. 33 Observm c viteza liniar este proporional att cu viteza unghiular, ct i cu lungimea razei traiectoriei. O caracteristic a acestei relaii este aceea c ea depinde de modulele a dou mrimi vectoriale: raza vectoare i viteza. Oare ce ope-raie matematic cu vectori ar corespunde acestei relaii ntre module ? Prima supoziie ar fi aceea c viteza unghiular este o mrime scalar i c :

. Consecina ar fi c vectorii vitez i raz vectoare ar trebui s fie orientai pe direcii paralele, ceea ce este fals pentru c viteza i raza vectoare sunt perpendicula-re). Rezult de aici c viteza unghiular trebuie s fie o mrime vectorial ! Vei ntreba : dar ce informaie suplimentar, legat de direcie i sens, poate purta vi-teza unghiular ?

rv =

Dac privii figura altura-t putei observa c exist dou informaii importante :

n ce plan se desfoar micarea circular uniform care este sensul de rotaie pe traiectorie Pentru ca vectorul vitez unghiular s cuprind aceste informaii se utilizeaz urm-toarele convenii :

direcia vectorului este perpendicular pe planul traiectoriei sensul vectorului este acelai cu sensul n care nainteaz un burghiu drept, aezat perpendicular pe planul traiectoriei, atunci cnd este rotit n acelai sens cu sensul n care se desfoar micarea circular

# Deci relaia ntre vectorii vitez unghiular, vitez liniar i raz vectoare poate fi scris ca un produs vectorial :

rv =

v r

Orientarea vectorilor este cea din figura alturat. Observm c ei formeaz un triedru drept, fiind per-pendiculari doi cte doi.

INFORMAIA DE LA PAGINA 33 Dublul produs vectorial ( )CBA are drept rezultat ex-presia : ( ) ( )BACCAB . Prin urmare : ( ) ( ) ( rrrv )== Deoarece este perpendicular pe r rezult c r = 0 i :

rv 2=

Pag. 34 Viteza unghiular este constant n timp. De aceea putem scrie :

+===t

t

dtdtddtd

0

0

sau : Legea spaiului n micarea circular uniform ( )00 tt +=

diametru de referin

, t

0 , t0

# Aceast ecuaie permite calcularea unghiului la centru pe care l face raza vectoare cu dia-metrul de referin (vezi figura alturat), la momentul de timp t, cunoscnd viteza unghiular i unghiul la centru la momentul de timp iniial t0.

n micarea uniform modulul vitezei liniare este constant, dar vec-torul vitez i schimb n permanen orientarea. Rezult de aici c vecto-rul vitez variaz n timp. Cu alte cuvinte, micarea uniform variat es-te o micare accelerat.

Am reprezentat n figura alturat poziia unui mobil care se rotete pe un cerc de raz r, la un moment de timp oarecare t. Vectorul de poziie r se poate exprima n funcie de proieciile sale pe axele de coordonate i de versorii acestora :

yx yx eer += La rndul lor, cele dou proiecii pot fi exprimate cu ajutorul unghiului la centru i al modulului razei vectoare r :

== sinry;cosrx Rezult :

y

x

r

v

yx sinrcosr eer +=

PROBLEMA DE LA PAGINA 34 Demonstrai c vectorul este constant n timp.

Pag. 35 Viteza este prima derivat a vectorului de poziie n raport cu timpul, rezultnd : ( )

yxyx

dtdcosr

dtdsinr

dtsinrcosrd

dtd ee

eerv +=+== sau :

yx cosrsinr eev += Acceleraia este prima derivat a vectorului vitez n raport cu timpul, rezultnd : ( )

yxyx

dtdsinr

dtdcosr

dtcosrsinrd

dtd ee

eeva =+== sau : ( ) reeeea 2222 =+== yxyx sinrcosrsinrcosr

Acceleraia este proporional cu ptratul vitezei unghiulare i cu modulul razei vectoare. Vectorul acceleraie momentan are direcia razei vectoare momentane, iar sensul ei este opus sensului vectorului de poziie.

# Rezult c vectorul acceleraie este ndreptat ctre centrul traiectoriei i este de asemenea perpendicular pe vectorul vitez. Din aceste motive, accele-raia micrii circulare uniforme se numete acceleraie centripet sau accele-raie normal.

O caracteristic important a micrii circulare uniforme este faptul c traiectoria este o curb nchis. De aici decurge repetarea n timp a poziiilor prin care trece mobilul. Spunem din acest motiv c mica-rea circular uniform este o micare periodic.

# Perioada reprezint intervalul de timp dup care micarea se re-pet identic. ntr-o perioad mobilul parcurge ntreaga circumferin a traiecto-riei. Cum viteza unghiular este constant, putem scrie :

= 2T

Perioada se msoar n Sistemul Internaional n secunde.

CONCLUZIA DE LA PAGINA 35 Dac comparai expresia acceleraiei normale, obinut pe aceast pagin, cu rezultatul calculului din cadrul Informa-iei de la pagina 33, vei trage urmtoarea concluzie : ( )rva ==

Pag. 36 O alt mrime care reflect caracterul repetabil al micrii circulare uniforme este frecvena. Prin definiie, frecvena reprezint numrul de rotaii complete efec-tuate n unitatea de timp. Evident, frecvena arat de cte ori se cuprinde perioada micrii n unitatea de timp :

T1=

Unitatea de msur a frecvenei n Sistemul Internaional se numete rotaii pe se-cund.

1.4.4. MICAREA OSCILATORIE ARMONIC

# Micarea oscilatorie ar-monic este micarea a crei ecuaie este de forma : ( )+= tsinAx sau

( )+= tcosAx . Parametrii care in-tervin n expresie au urmtoarele sem-nificaii: x elongaia oscilaiei, A amplitudinea oscilaiei, - pulsaia oscilaiei, - faza iniial a oscilaiei, = t + - faza oscilaiei, t mo-mentul de timp.

# Micrile oscilatorii armoni-ce sunt periodice.

# Perioada de oscilaie este intervalul de timp dup care oscilaia se re-pet identic.

Conform definiiei perioadei de oscilaie, elongaia unei oscilaii periodice tre-

buie s ia aceleai valori dup trecerea unor intervale de timp egale cu cte o perioa-d. Astfel, pentru o oscilaie armonic :

PROBLEMA DE LA PAGINA 36 Multe din ceasurile cu pendul au lungimea acestuia de circa 1 m, ceea ce le permite s efectueze o oscilaie complet n dou se-cunde. Presupunnd c acesta este i cazul ceasului din fotografie i c lungimea arcului de cerc pe care se deplaseaz extremitatea pendulului este de 20 cm, calculai durata dintr-o perioad n care extremitatea pendulului se afl ntr-un interval de 5 cm n jurul poziiei de echilibru.

Pag. 37 ( ) ( ) ttxTtx =+

sau : ( )[ ] ( )+=++ tsinATtsinA De aici obinem :

( )[ ] ( ) 022

20 =

++=+++ TtsinTsinAtsinATtsinA Aceast egalitate este adevrat pentru orice moment de timp t doar dac :

elongatievitezaacceleratie

timp Variaia n timp a elongaiei, vitezei sau acceleraiei oscilatorului ar-

monic

= k,kT2

sau :

= 2kT

Evident, intervalul de timp minim co-respunde valorii ntregi k = 1, astfel n-ct perioada oscilatorului armonic are expresia :

= 20T

Inversul perioadei de oscilaie se nu-mete frecven. Rezult :

==2

1

00 T

Cnd elongaia oscilatorului armonic reprezint distana la care se afl oscilato-rul fa de poziia de echilibru, prima derivat a elongaiei n raport cu timpul are semnificaia de vitez, iar a doua derivat pe aceea de acceleraie :

( ) ( )( ) ( )+====+=

+===+=

tsinAxdtdv

dtxdatsinAx

tcosAxdtdxvtsinAx

22

2&&

&

Examinnd aceste relaii, observm c : Ecuaia diferenial a oscilato-

rului armonic

022 =+= xxxa &&

PROBLEMA DE LA PAGINA 37

Este

+

+++= 3x o oscilaie armonic sau nu ?

828286 tcostsintsintcos

Pag. 38

1.5. TRANSFORMAREA COORDONATELOR

Un desen de epoc ne nfieaz primul zbor cu un balon cu aer cald, efec-tuat avnd oameni la bord. Mi-am permis s adaug de-senului original i dou sis-teme de axe de coordonate, unul legat de pmnt i ce-llalt ataat balonului. Am ales axele de coordonate n aa fel nct direciile lor s fie paralele, iar viteza balo-nului (constant) s fie ori-entat n lungul axei Ox. Viteza balonului ? Scuzai-m, am uitat s precizez : viteza balonului fa de pmnt, adic, mai precis, viteza deplasrii pe axa Ox. Evident, viteza balonului n raport cu el nsui este nu-l, dar, n schimb, fa de aeronaui, toat piaa din imagine se deplaseaz, r-mnnd n urm.

Diferena ntre cete-nii din pia i aeronaui este aceea c dac primii sunt siguri de imobilitatea cldirilor, ceilali ar putea avea dubii !

Primul balon cu aer cald al

railorf Montgolfier, 1783

v

z

y

x

z

y

x

INFORMAIA DE LA PAGINA 38 Primul zbor cu oameni la bord al unui balon cu aer cald s-a fcut la 21 noiembrie 1783, la Paris. Pasagerii erau Pilatre de Rozier i Franois Laurent, marchiz d'Arlandes. Zborul deasupra Parisului a durat 25 de minute, timp n care s-au strbtut 9 kilometri.

Pag. 39 Cel mai ru lucru care li s-ar fi putut ntmpla aeronauilor era s fie prini ntr-o tornad, aa cum am n-cercat s sugerez n imaginea altura-t (pe care, mrturisesc n-am trucat-o prea bine). Micarea lor fa de p-mnt n-ar mai fi fost o simpl transla-ie lin, ci o micare accelerat, n ca-re totul s-ar fi rotit n jur (n afar, bi-neneles, de sistemul lor de referin : balonul).

SUBIECTUL ACESTEI LECII ESTE STABILIREA RELAIILOR DE CORESPONDEN NTRE POZIIILE, VITEZELE I ACCE-LERAIILE UNUI MOBIL, AA CUM SUNT MSURATE ELE DE DOI OBSERVATORI AFLAI N SISTEME DE REFERIN DIFERITE, UNUL DINTRE ACESTEA FIIND N TRANSLAIE I ROTAIE FA DE CELLALT.

S presupunem c sistemul de coordonate O este n repaus, iar sistemul O n translaie i rotaie. Mobilul M se deplaseaz att n raport cu O, ct i cu O. La acelai moment de timp, mobilul M are o poziie fa de O (pe care convenional o numim poziie absolut) i o poziie fa de O (pe care tot convenional o numim poziie relativ). Vectorii de poziie corespunztori r, respectiv r. Tot la acel mo-ment de timp, vectorul de poziie al punctului O fa de punctul O este rOO. Cei trei vectori sunt reprezentai n figura alturat, iar relaia ntre ei este urmtoarea :

y

O

z

x

z

y

x

M

rOOO

r

r

PRECIZAREA DE LA PAGINA 39 Referitor la balonul prins n miezul tornadei : nu poi afirma c sistemul de referin legat de pmnt este mai bun dect cel legat de balon sau invers. Totui, este mai practicsistemul de referin legat de pmnt, i vom vedea de ce n seciunea nchinat Dinamicii.

Pag. 40 ''OO rrr +=

DESPRE VARIAIA N TIMP A BAZEI DE VERSORI A UNUI SISTEM DE COORDONATE CARE EXECUT O MICARE DE ROTAIE N JURUL ORIGINII

La momentul t baza de versori este : ( ) ( ) (t,t,t zyx eee ) La momentul imediat urmtor t + t baza de versori devine : ( ) ( ) ( )tt,t z +t,dt yx ++ eee Noii versori pot fi exprimai prin combinaii liniare ale vechilor versori, toi coeficienii ij fiind canti-ti foarte mici n comparaie cu unitatea :

( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+++=++++=++++=+

ttttttttttttttt

zzzyzyxzxz

zyzyyyxyxy

zxzyxyxxxx

eeeeeeeeeeee

1

1

1 )

Mai putem scrie :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

+=

++

+=

++

+=

+

tt

tt

ttt

ttt

tt

tt

ttt

ttt

tt

tt

ttt

ttt

zzz

yzy

xzxzz

zyz

yyy

xyxyy

zxz

yxy

xxxxx

eeeee

eeeee

eeeee

Cnd t 0, rapoartele din membrul stng au semnificaia de derivate ale versorilor n raport cu timpul. Rapoartele de tipul ij/t pot fi notate cu ij i au la momentul t o valoarea determinat de calitile micrii de rotaie. Prin urmare putem scrie :

ez(t + dt) ez(t)

ey(t)

ex(t + dt)

ey(t + dt)

PRECIZAREA DE LA PAGINA 40 Afirmam la nceputul acestei cri c timpul se scurge liniar de la trecut spre viitor, uniform n spaiu i independent de prezen-a corpurilor care se afl n spaiu. Acesta este motivul pentru ca-re n cele ce urmeaz intervalele de timp scurse n sistemul mobil se consider egale cu cele scurse n sistemul fix. Afirmaia pe care o fac nu este probat i poate fi pus la ndoial !

ex(t)

Relaia ntre vectorii de poziie ai unui mobil n raport cu dou sisteme de referin diferite.

Pag. 41

++=

++=

++=

zzzyzyxzxz

zyzyyyxyxy

zxzyxyxxxx

dtddt

ddt

d

eeee

eeee

eeee

Sub form matricial, relaia de mai sus poate fi pus sub forma :

EEeee

eee

=

=

&

&&&

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

Versorii bazei satisfac relaiile :

==+=+=

===+=

jiijjiijj

iji

ji

iiiii

iii

ii

dtd

dtd

dtd

dtd

000

00201

eeeeee

eeeeee

Cu aceste relaii, derivatele versorilor se scriu astfel :

=+=

=

yyzxzxz

zyzxxyy

zzxyxyx

eeeeee

eee

&&&

Notnd : xy = z, yz = x, zx = y relaiile anterioare devin :

=+=

=

yxxyz

zxxzy

zyyzx

eeeeee

eee

&&&

Aceast relaie poate fi pus i sub form matricial :

EEeee

eee

=

=

&

&&&

z

y

x

xy

xz

yz

z

y

x

00

0

INFORMAIA DE LA PAGINA 41 Din punct de vedere matematic, este o mrime tensori-al, care, n principiu, poate avea nou componente. S-a artat mai sus c, n fapt, are doar trei componente independente i formeaz un tensor antisimetric. Un tensor antisimetric es-te asimilabil unui vector (de fapt unui pseudovector), avnd ca i acesta doar trei componente independente.

Pag. 42

1.5.1. RELAIA DE COMPUNERE A VITEZELOR

S presupunem c mobilul M din schia alturat se deplaseaz n raport cu punc-tul O, care este originea unui sistem de axe de coordonate imobil.

y

O

z

x

z

y

x

M

rOOO

r

r

# Viteza mobilului n raport cu siste-mul de coordonate imobil se numete vi-tez absolut.

Viteza absolut este prima derivat a vectoru-lui de poziie r n raport cu timpul :

rv &=abs Am vzut puin mai nainte c vectorul de poziie r se poate exprima n funcie de ali doi vectori de poziie r i rOO. Notnd coordonatele punctului O n raport cu punc-tul O prin X, Y i Z avem :

zyxzyx ''z''y''xZYX eeeeeer +++++= Prin urmare, innd cont c versorii ei nu variaz n timp, dar versorii ej variaz dac sistemul lor de coordonate se rotete, putem scrie :

zyxzyxzyx ''z''y''x''z''y''xZYX eeeeeeeeer &&&&&&&&&& ++++++++= Ultimii trei termeni pot fi prelucrai nlocuind vitezele de variaie ale versorilor prin expresiile lor corespunztoare : ( ) ( ) ( )yxxyzxxzzyyzzyx '''z'''y'''x''z''y''x eeeeeeeee +++=++ &&& Reordonnd n funcie de versorii bazei, obinem : ( ) ( ) ( ) zyxyxzxzyzyx ''x'y''z'x''y'z''z''y''x eeeeee ++=++ &&& Revenind la expresia vitezei absolute, putem scrie :

INFORMAIA DE LA PAGINA 42

( ) ( ) ( ) zxyyxyzxxzxyzzyzyx

zyx

zyx

BABABABABABA

BBBAAA

eee

eeeBA

++=

==

Pag. 43

( ) ( ) ( )

44 344 21 &&&

444444444444 3444444444444 21444444444 3444444444 2144 344 21

&&&

relativa

zyx

transport

rotatie

zyxyxzxzy

translatie

zyxabs

''z''y''x

'

''x'y''z'x''y'zZYX

v

eeev

rv

eee

v

eeev

+++

+=

+++++=

# Viteza de transport rotatietranslatietransport vvv += este viteza cu care un punct fixat din sistemul mobil se deplaseaz n raport cu sistemul fix. Viteza de transport are dou componente vectoriale, dintre care una depinde de micarea de translaie a sistemului mobil fa de cel fix , iar a zyxtranslatie ZYX eeev &&& ++=doua de micarea de rotaie a sistemului mobil fa de cel fix , un-'rotatie rv =de este viteza unghiular de rotaie a sistemului mobil, iar r este vectorul de poziie momentan al mobilului n sistemul mobil.

# Viteza relativ, zyxrelativa ''z''y''x eeev &&& ++= , este viteza instantanee a mobilului n raport cu sistemul mobil.

# n mecanica clasic, relaia de compunere a vitezelor are forma :

relativatransportabs vvv +=

i enunul : viteza absolut este egal cu suma vectorial ntre viteza de transport i viteza relativ.

Exemplu : fie sistemul mobil format din roata de bicicle-t din figura alturat. Punctul M este n repaus fa de roat i, prin urmare, viteza relativ este nul. Viteza de translaie este viteza bicicletei v, iar viteza de rotaie este v = r (egal de fapt cu v). Notnd cu unghiul fcut de raza vectoare a punctului M cu orizontala, expresiile componentelor vitezei absolute sunt : vx = v(1- sin ), respectiv vy = -v cos .

r

y

v x M

NTREBAREA DE LA PAGINA 43

n fotografia alturat putei vedea roata unui tramvai. ntrebarea este : dac tramvaiul se deplaseaz nainte, exist puncte ale sale care se deplaseaz napoi ?

Pag. 44

1.5.2. RELAIA DE COMPUNERE A ACCELERAIILOR

# Acceleraia mobilului n raport cu sistemul de coordonate imobil se nume-te acceleraie absolut.

Acceleraia absolut este prima derivat a vectorului vitez v n raport cu timpul :

va &=abs Deoarece : ( ) ( ) ( )

zyx

zyxyxzxzyzyx

''z''y''x''x'y''z'x''y'zZYX

eeeeeeeeev

&&&&&&

+++++++++=

obinem prin derivare n raport cu timpul : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

zyx

zyxzyxyxzxzy

zyxyxzxzy

zyxyxzxzyzyx

''z''y''x''z''y''x''x'y''z'x''y'z

''x'y''z'x''y'z''x'y''z'x''y'zZYX

eeeeeeeee

eeeeeeeeev

&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

++++++++++

++++++++++=

nlocuind derivatele versorilor, se obine : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )(( ) ( ) ( )yxxyzxxzzyyzzyx

yxxyyxzxxzxzzyyzzy

zyxyxzxzy

zyxyxzxzyzyx

'''z'''y'''x''z''y''x'''x'y'''z'x'''y'z

''x'y''z'x''y'z''x'y''z'x''y'zZYX

eeeeeeeeeeeeeee

eeeeeeeeev

++++++++++++

+++++++++++=

&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

)

Regrupnd n funcie de versori, rezult : ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

++++

+++++++++++++=

zzyyxzx

yyxxzyzxxzzyxy

zyxzyxyxzxzy

zyxyxzxzyzyx

''y'z'z'x''x'y'y'z''z'x'x'y

''z''y''x''x'y''z'x''y'z''x'y''z'x''y'zZYX

eee

eeeeeeeeeeeev&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2

INFORMAIA DE LA PAGINA 44 Prima derivat n raport cu timpul a unui vector expri-mat n funcie de versorii sistemului mobil este : ( ) ( )

( ) ( )( ) A''Ae

ee'A

eeeeee'A

+=++++=

=+++++=

relativzxyyx

yzxxzxyzzyrelativ

zzyyxxzzyyxx

''A'A

''A'A''A'A

''A''A''A''A''A''A

&&

&&&&&&&

Pag. 45 Expresia poate fi restrns astfel : ( ) ( ) relativatranslatieabs ar'r'v'aa ++++= &2 n expresie, apare prima derivat a vitezei unghiulare n raport cu timpul. Aceasta se numete acceleraie unghiular i se noteaz cu . Factorii ecuaiei pot fi grupai dup cum urmeaz : ( )( ) ( )4342144444 344444 21

Corioris

relativa

transport

translatieabs

av'a

ar'r'aa ++++= 2

# Acceleraia de transport ( ) r'r'aa ++= translatietransport este acceleraia cu care un punct fixat din sistemul mobil se deplaseaz n raport cu sistemul fix. Acceleraia de transport are trei componente vectoriale, dintre care una depinde de micarea de translaie a sistemului mobil fa de cel fix

zyxtranslatie ZYX eeea &&&&&& ++= , a doua de micarea de rotaie a sistemului mobil fa de cel fix (unde este viteza unghiular de rotaie a siste-( r'a =rotatie )mului mobil, iar r este vectorul de poziie momentan al mobilului n sistemul mobil), iar a treia ( ) de variaia n timp a vitezei de rotaie a sistemului mo-r'bil.

# Acceleraia relativ, zyxrelativa ''z''y''x eeea &&&&&& ++= , este acceleraia in-stantanee a mobilului n raport cu sistemul mobil.

# Acceleraia Coriolis ( ) ( )vv'a relativaCoriolis == 22 depinde att de viteza relativ a corpului mobil, ct i de starea de rotaie a sistemului mobil n raport cu sistemul fix. Termenul de acceleraie Coriolis nu poate fi inclus n acceleraia de transport deoarece, prin definiie, acceleraia de transport se refer la corpuri fixe n raport cu sistemul mobil. De asemenea acceleraia Coriolis nu poate fi o component a acceleraiei relative deoarece ea cuprinde informaie privind rotaia sistemului mobil fa de cel fix i nu numai informaie privind deplasarea corpului mobil n raport cu sistemul mobil (aa cum presupune noi-unea de acceleraie relativ).

BIOGRAFIA DE LA PAGINA 45 Coriolis a fost inginer i matematician francez. n 1835 a publicat o lucrare n care a artat c la deplasarea unui corp pe o suprafa n rotaie, asupra corpului acioneaz o for suplimenta-r, perpendicular pe direcia sa de deplasare. Fora Coriolis este de mare importan n meteorologie, balistic i oceanografie. n me-teorologie, fora Coriolis explic direcia vntului i modul de for-mare a vrtejurilor care sunt uraganele i tornadele.

Pag. 46

# n mecanica clasic, relaia de compunere a acceleraiilor are forma :

Coriolisrelativatransportabs aaaa ++=

i enunul : acceleraia absolut este egal cu suma vectorial ntre accelera-ia de transport, acceleraia relativ i acceleraia Coriolis.

Exemplu : pentru un obser-

vator din sistemul de referin cu originea n centrul Pmntului i care are drept corpuri de referin trei stele fixe (acesta fiind siste-mul de referin fix), planeta noastr se rotete de la vest la est, n jurul axei care trece prin cei doi poli, cu vitez unghiular constant ( = 0). Un alt observa-tor ar putea face parte dintr-un sistem de referin cu originea tot n centrul Pmntului, dar care are drept corpuri de referin trei orae, printre care i Galaiul

(acesta fiind sistemul de referin mobil). Conform acestor dou alegeri, sistemul mobil este doar n rotaie n raport cu sistemul fix, nu i n translaie. Obiectul n mi-care ar putea fi apa Dunrii, care poate fi considerat c se deplaseaz cu vitez con-stant de la est spre vest (evident, afirmaia este adevrat pentru observatorul din sis-temul legat de suprafaa Pmntului). Deci, relativ la observatorul mobil, Galaiul es-te n repaus, ceea ce nseamn c att viteza relativ ct i acceleraia relativ ale Galaiului sunt nule, iar apa Dunrii se deplaseaz cu vitez relativ constant, acce-leraia sa relativ fiind nul. Pentru observatorul fix, att Galaiul ct i apa Dunrii se deplaseaz, fiind caracterizate de vitezele i acceleraiile lor absolute. n condiiile enunate, Galaiul are o acceleraie de transport atr = 2RP sin , la fel ca i apa Dun-rii (RP este raza Pmntului). n schimb, acceleraia Coriolis a Galaiului este nul, pe cnd cea a apei din Dunre este aC = vD (vD este viteza de curgere a Dunrii). Ce n-seamn c acceleraiile absolute sunt diferite ? Nimic altceva dect aceea c apa Du-nrii tinde s se apropie de malul nordic i s se deprteze de cel sudic.

RP

RP

RP

(RP)vD

vD

S

V E

N

aC atr

g

COMENTARIUL DE LA PAGINA 46 Raportul ==

a are valori relativ

mici. Astfel, pentru vsinR

TvsinR

va P

rotD

P

D

tr

C

2D = 2 m/s, Trot = 1 zi = 86400 s, = 45

i RP = 6400 km, acest raport este aproximativ egal cu 0,006. Deci acceleraiile absolute difer cu circa 0,6%.

Pag. 47

1.5.3. TRANSFORMAREA GALILEI

Fie cele dou sisteme de coordonate din fotografia alturat. Unul dintre ele es-te legat de pmnt, iar cel-lalt de avion. Presupunem c avionul se deplaseaz recti-liniu i uniform n raport cu solul, iar viteza sa v0 este orientat paralel cu axa Ox. Pe cer zboar o pasre, cu viteza v fa de sol i v fa de avion. Vectorul de poziie al psrii fa de sol este r, iar fa de avion este r. Vectorul de poziie al avio-nului fa de sistemul de re-ferin legat de sol este r0.

Parial, rspunsurile la aceste ntrebri sunt coninute n paginile anterioare.

z

y

y

Dou sisteme de coordonate n

micare relativ de translaie uni-

form.

x

z

x

v0

v

NE PUNEM NTREBAREA : CUNOSCND POZIIA I VITEZA PSRII FA DE UNUL DINTRE SISTEMELE DE

REFERIN, PRECUM I POZIIA I VITEZA UNUI SISTEM DE REFERIN FA DE CELLALT, PUTEM OARE

DETERMINA POZIIA I VITEZA PSRII FA DE CEL DE-AL DOILEA SISTEM DE REFERIN ?

Cel mai simplu dintre rspunsuri este cel legat de vitez. Viteza psrii n siste-mul de referin legat de sol reprezint viteza absolut, iar viteza psrii fa de avion este viteza relativ. Deoarece avionul nu se rotete fa de sol, viteza sa de translaie v0 este chiar viteza de transport. Prin urmare, putem scrie relaia :

Relaia de compunere galilean a vitezelor 'vvv += 0

BIOGRAFIA DE LA PAGINA 47 Galileo Galilei, 15 feb. 1564 8 ian. 1642. Fizician, astro-nom i matematician italian. A adus contribuii fundamentale n tiinele micrii, astronomiei i rezistenei materialelor, precum i la dezvoltarea metodelor tiinifice. A considerat c limbajul ma-tematic este cel mai potrivit pentru a descrie fenomenele fizice, iar pentru a-l folosi trebuie fcute, mai nti, determinri experimenta-le. A inventat telescopul i a susinut modelul heliocentric.

Pag. 48 n ceea ce privete vectorii de poziie, relaia dintre ei este :

'rrr += 0

Pentru c sistemul de referin mobil (avionul) este n translaie

uniform n raport cu sistemul de referin fix (solul), iar viteza sa este v0, vectorul de poziie r0 poate fi exprimat utiliznd legea micrii rectilinii uni-forme (r0(i) este vectorul de poziie al originii sistemului mobil la momentul de timp t0) :

( ) ( )00i00 tt += vrr n consecin, relaia ntre vectorii de poziie devine :

( ) ( ) 'tt rvrr ++= 00i0 Relaia galilean ntre vectorii de poziie

Cel mai simplu caz de micare relativ de translaie uniform a dou sisteme de referin este acela n care momentul iniial de timp este t0 = 0, originile celor dou sisteme de referin se suprapun la momentul iniial de timp (adic r0(i) = 0), iar axele de coordonate ale unui sistem de referin sunt paralele cu acelea ale celuilalt referenial (care are drept consecina i relaia v0 = v0ex). n aceast situaie, relaiile ntre vectorii de poziie sau ntre viteze devin :

===

+='zz'yy

tv'xx't

0

0 rvr

==

=+=

zz

yy

xx

'vv'vv

v'vv'

0

0 vvv

Trebuie menionat nc o dat c aceste relaii sunt valabile doar n ipoteza implicit c timpul se scurge la fel n ambele sisteme de referin : t = t

COMENTARIUL DE LA PAGINA 48 n cazul transformrilor Galilei sistemul mobil este n translaie uniform fa de cel fix. Consecinele sunt dou la numr : vectorul vitez de transport este constant n timp, iar vectorul acceleraie de transport este nul. Faptul c acceleraia de transport este nul are o nsemntate deosebit : acceleraia absolut i acceleraia relativ sunt egale ca vectori: a = a.

Pag. 49

2. DINAMICA

n fotografia de mai sus putei admira rsritul Pmntului pe Lun. Pentru ca un om s poat imorta-liza pe pelicul acest moment, n spatele lui s-au gsit naiuni mari i ambiioase, fore tehnologice, zeci de mii de oameni implicai n proiect, dar i puterea tiin-ei contemporane.

Sir Isaac Newton

Unul dintre furitorii preaputernicei tiine, omul care a neles i explicat pentru prima oar geniala simplitate a mecanicii cereti fost Sir Isaac Newton.

CUGETAREA DE LA PAGINA 49 Nu tiu cum m nfiez eu lumii, dar, n sinea mea, m simt doar un bieel care, jucndu-se pe rmul mrii, este atras cteodat de cte o pietricic mai lustruit sau de o scoi-c mai frumoas dect altele, n timp ce imensul ocean al ade-vrului se ntinde necercetat n faa sa.

Isaac Newton (16421727), om de tiin englez

Pag. 50

2.1. FORE

b a

Privii figura alturat. Ce prere avei, fotografia trebuie aezat n poziia a, sau n po-ziia b ? Dac avei spirit de observaie, vei rspunde, fr ndoial, : a. De ce ? Evident, din cauza poziiei prului ! El nu poate atrna n sus ! Dar, n fond, de ce atrn prul ? Rspunsul pare simplu : din cauza gravitaiei. Altfel spus, din cauza atraciei exercitate de Pmnt.

Cum se manifest gravitaia ? Asta o tim cu toii : lsnd din mn un corp greu, el va cdea spre sol. Problemele care se pun n continu-are sunt :

35

15

0 5

ce fel de micare are un corp care cade ? cad toate corpurile la fel ? Rspunsul la prima ntrebare se poate gsi prin experiment. S privim figura alturat. Ve-dem acolo un aparat de laborator, construit pentru msurarea timpului de cdere al unei bile de oel.

Pe figur sunt reprezentate poziiile bilei la

patru momente de timp. Duratele determinate de momentele de timp succesive sunt egale ntre ele. Am inclus n figur i o rigl pentru msurarea distanei parcurse. Ce observm ? S facem mai nti un tabel cu datele din figur :

PRECIZAREA DE LA PAGINA 50 Spuneam c rspunsul gravitaia pare simplu. El este simplu atunci cnd menionm gravitaia, pe care o simim cu toii, i ni se pare a fi fenomen firesc. Rspunsul este, ns, complicat dac ne ntrebm cum se explic existena gravitai-ei ca fenomen fizic. De aceea, n cele ce vor urma, nu vom discuta ce este gravitaia, ci numai cum se manifest ea.

Pag. 51 Momentul de timp (uniti de timp)

Distana parcurs (uniti de lungime)

Spaiul parcurs n unitatea de timp (uniti de lungime/uniti de timp)

0 0 - 1 5 5 2 15,5 10,5 3 36 20,5

Coloana a treia a tabelului cuprinde valoarea vitezei medii n fiecare dintre cele trei intervale de timp. Observm c graficul distanei parcurse n funcie de timp este o curb, numit parabol, care este reprezentarea grafic a unei funcii polinomiale de gradul doi.

Dependena de timp a distanei de cdere

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 1 2 3 4

durata (uniti de timp)

dist

ana

(uni

ti

de lu

ngim

e)

Date experimentalecurba trasat printre punctele experimentale

PROBLEMA DE LA PAGINA 51 ncercai ca prin extrapolare i calcul s adugai o linie nou (corespunztoare momentului de timp 4) n tabelul de pe aceast pagin.

Pag. 52

Dependena de timp a vitezei de cdere

0

5

10

15

20

25

30

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

durata (uniti de timp)

vite

za m

edie

(u.l.

/u.t.

)

Date experimentalecurba trasat printre punctele experimentale

Pe de alt parte, presupunnd c viteza medie este aceeai ca i viteza bilei la mo-mentele de timp corespunztoare jumtilor intervalelor de timp considerate, trasm i graficul vitezei n funcie de timp. Observm c el este, cu bun aproximaie, o li-nie dreapt.

# Aceasta ne arat c viteza de cdere crete cu cantiti egale n intervale de timp egale. Cu alte cuvinte, gravitaia terestr determin cderea uniform accelerat a corpurilor.

COMENTARIUL DE LA PAGINA 52 Experienele prin care se msoar acceleraia gravitaio-nal arat un fapt deosebit de interesant : n limitele de preci-zie ale instrumentelor de msur, acceleraia este constant pe tot parcursul micrii i deci nu depinde de viteza corpului la un moment dat.

Pag. 53 Nu am rspuns nc ntrebrii : cad toate corpurile la fel ?

Din experiena de toate zilele, vei rspunde, probabil, c nu : corpurile uoa-

re cad mai ncet dect corpurile grele. Aa spunea, de altfel, i Aristotel, marele filozof al Antichitii, care a trit ntre 384 i 322 C. Aa spuneau i cei care, bazndu-se pe autoritatea lui Aristotel, predau fizica cu aproape dou mii de ani mai trziu. Galileo Galilei era, ns, nemulumit de aceast afirmaie. Iat cum gndea el : s presupunem c Aristotel are dreptate : o piatr mai mare cade mai repede dect o piatr mai mic s lum dou pietre, una mai mare i una mai mic i s le legm ntre ele lsndu-le s cad, piatra mai mic o va frna pe aceea mai mare, iar ansamblul va cdea mai ncet dect ar cdea doar piatra mare pe de alt parte, grupul de dou pietre este mai greu dect fiecare piatr n parte, ceea ce nseamn c ansamblul va cdea mai repede dect ar cdea doar piatra mare evident, cele dou afirmaii se contrazic, ceea ce nseamn c ipoteza este fals deci, cele dou pietre cad la fel de repede, dei au greuti diferite De aceea, Galilei i-a propus s verifice experimental ceea ce se ntmpl. Pen-tru aceasta, el a lsat s cad simultan, de la nlimea turnului din Pisa, diferite cor-puri grele i a constatat, n limita mijloacelor sale de msur, c ele ating simultan solul. Galilei a gsit i explicaia cderii mai lente a corpurilor uoare. n acest caz, nu gravitaia este de vin, ea avnd aceleai efecte, ci aerul. Influena aerului asupra obiectelor n cdere este mai puternic asupra corpurilor uoare compara-tiv cu influena gravitaiei dect asupra corpurilor grele.

Dac am nltura aerul, gravitaia ar face ca toate corpurile s cad la fel de repede.

# Aceast afirmaie a fost verificat experimental i s-a gsit c este co-rect.

INFORMAIA DE LA PAGINA 53 Msurtorile experimentale au artat c, la suprafaa P-mntului, n vid, acceleraia cderii corpurilor este aproape constant pe toat planeta, variind uor de la poli spre Ecuator. Acceleraia cderii libere a corpurilor n vid se numete acce-leraie gravitaional i se noteaz cu g. La latitudinea la care se gsete ara noastr, ea este aproximativ : g = 9,81 m/s2.

Pag. 54

S discutm acum o alt experien. Privii figura de mai sus. Dispunem de un

dispozitiv format dintr-un taler foarte uor, sprijinit de un resort elastic, montat, la rndul su, pe un stativ orizontal. Avem, de asemenea, un numr de bile de oel iden-tice. Punnd pe taler o bil, observm c resortul se scurteaz cu lungimea x. Adu-gnd o alt bil, resortul se mai scurteaz cu x i tot aa. Ce rezult de aici ?

Prima remarc ar fi aceea c prezena bilelor pe taler afecteaz lungi-

mea resortului. Deci, bilele au o influen asupra resortului. De data aceasta in-fluena nu se mai manifest prin accelerarea micrii, ci prin deformare !

n al doilea rnd, constatm c deformarea este proporional cu nu-mrul de bile aezate pe taler. S ne imaginm c am topi bilele i am confecio-na cu materialul rezultat o singur bil. Punnd-o pe taler am msura aceeai de-formare ca i cnd pe taler ar fi aezate bilele iniiale. Deci, deformarea este proporional cu cantitatea de material a corpului aezat pe taler.

n al treilea rnd, s observm c dac am monta dispozitivul n pozi-ie orizontal, ca n figura de mai jos, nu am mai obine nici-o deformare, iar bila ar cdea de pe taler. Deci, influena bilei se manifest doar pe direcia i n sensul n care ea ar cdea liber, influenat, la rndul ei, de Pmnt.

S discutm acum i despre bile. Fiecare dintre ele st n repaus pe taler. De ce bilele nu mai cad ? Nu se mai afl ele sub influena Pmntului ?

Rspunsul cel mai simplu pe care l putem da este c talerul nu suprim influena Pmntului, dar exercit, la rndul su, o influen asupra bile-lor, care anuleaz influena Pmntului.

x x

COMENTARIUL DE LA PAGINA 54 Este evident c natura influenei pe care o exercit talerul nu mai este una gravitaional (n caz contrar, toate corpurile vecine ar cdea ctre taler !). De fapt, cauza influenei pe care o exercit talerul asupra bilelor trebuie legat de scurtarea resortului prins de taler i de caracteristicile acestuia.

Pag. 55

Putem desprinde de aici o idee fundamental : dei cauzele care fac ca un corp s exercite o influen asupra altui corp pot fi diferite, efec-tele acestor influene pot fi comparate ! Faptul c efectele pot fi compa-rate ntre ele deschide calea, deosebit de important, a posibilitii de a m-sura efectul influenei pe care o are un corp asupra altuia.

Un alt aspect important relevat de aceast experien este urmtorul : se observ c bila influeneaz talerul, dar i c talerul influeneaz bila. Cu alte cuvinte, exist o reciprocitate : influena pe care o exercit un corp A asupra unui corp B este nsoit de un rspuns al corpului B asu-pra corpului A.

# Vom conveni s numim acum nainte, pe scurt, influena pe care un corp o exercit asupra altui corp i care are drept ca rezultat schimbarea strii de micare sau deformarea acestuia din urm : aciunea unui corp asupra altui corp . Mrimea fizic prin care msurm tria aciunii o vom numi for.

Din cele discutate pn acum, rezulta c acceleraia sau mrimea deformrii se pot constitui n msuri ale aciunii exercitate de un corp asu-pra altui corp. De aceea, fora ar trebui s fie proporional fie cu accelera-ia, fie cu mrimea deformrii : F a F x

S revenim la experiena cu resortul elastic i bile. Remarcasem c bila de pe taler rmne n repaus (figura alturat), dei asupra sa acioneaz dou corpuri : Pmntul i talerul (alte influene, cum ar fi aceea a aerului, pot fi neglijate). Spuneam despre cele dou aciuni c se compenseaz reciproc, ceea ce explic rmnerea n echi-libru a bilei.

g

F2 F1x

COMENTARIUL DE LA PAGINA 55 n ambele cazuri, fie c exist sau nu resortul, in-teraciunea principal are loc ntre corp i Pmnt, acesta din urm fiind presu-pus imobil.

Pag. 56

# Situaia n care acceleraia unui corp este nul se numete stare de echilibru mecanic.

Notnd forele care acioneaz asupra bilei prin F1 (aciunea Pmntului) i F2 (aciunea talerului), rezult expresia matematic a afirmaiei cele dou aciuni se compenseaz reciproc, ceea ce explic rmnerea n echilibru a bilei, numit con-diia de echilibru :

F1 - F2 = 0 Remarcasem c aciunea talerului depinde de mrimea deformrii resortului, dar i de caracteristicile resortului (un resort mai tare se deformeaz mai puin dect unul mai slab). Vom exprima matematic aceasta afirmaie astfel :

F2 = kx unde x este valoarea deformrii, iar k este o constant care ia n considerare caracte-risticile resortului i se numete constanta de elasticitate. Fora cu care Pmntul acioneaz asupra bilei se numete greutate, fiind notat cu G (F1 = G). Efectul pe care-l produce greutatea, n absena altor fore, este accele-rarea corpului asupra cruia acioneaz. Prin urmare, greutatea trebuie s fie msurat prin acceleraia gravitaional, dar i printr-o mrime caracteristic corpului, pentru c nu toate corpurile au aceeai greutate. Remarcasem, de asemenea, c : efectul deformator al aciunii bilei asupra resortului este proporional cu cantitatea

de substan material nglobat n bil aciunea bilei asupra talerului este rezultatul faptului c sub influena gravitaiei

bila tinde s coboare

Am putea concluziona de aici c fora cu care bila acioneaz asu-pra talerului este egal numeric cu greutatea bilei i c aceasta din urm es-te proporional cu cantitatea de substan material coninut de bil.

# Mrimea fizic care msoar cantitatea de substan material coni-nut de un corp se numete mas i este notat cu m.

INFORMAIA DE LA PAGINA 56 n SI, unitatea de msur a masei se numete kilogram : [ ] kg=SImUn kilogram este egal cu masa prototipului internaional al ki-logramului un cilindru confecionat dintr-un aliaj de platin i iridiu, pstrat la Biroul Internaional de Msuri i Greuti, pstrat la Sevres, lng Paris.

Pag. 57 Deci greutatea bilei se poate scrie ca un produs de doi factori :

G = mg

Cum greutatea este o for, putem face ipoteza c, n general, orice for care are ca efect accelerarea unui corp ar trebui s fie proporional cu produsul dintre masa corpului i acceleraia imprimat acestuia : F = ma

n particular, n experiena pe care o comentm, ar fi trebu-it s scriem zeroul din membrul drept al condiiei de echilibru astfel 0 = m0 :

mg - kx = m0 nelegnd astfel c suprapunerea a dou aciuni diferite este echivalent unei