MINISTERUL EDUCAIEI,CERCETRII,TINERETULUI I SPORTULUICOLEGIUL TEHNIC MTSARI

ATESTAT PROFESIONAL

PROF. COORDONATOR: Sceanu Ion ELEV : Mndrui Vasile CLASA a XII-a B PROFIL: Matematic- Informatic

2015

MINISTERUL EDUCAIEI,CERCETRII,TINERETULUI I SPORTULUI COLEGIUL TEHNIC MTSARI

Matrice.Operaii cu matrice

PROF. COORDONATOR: Sceanu Ion

Elev :Mndrui Vasile CLASA a XII-a B PROFIL: Matematic- Informatic

CUPRINS2015

Capitolul 1.Matrici pg. 31.1. Despre matrici1.2. Operaii cu matrici1.2.1. Egalitatea a dou matrici1.2.2. Adunarea matricilor1.2.3. nmulirea cu scalari a matricilor1.2.4. nmulirea matricilor Capitolul 2. DETERMINANI . pg. 10

2.1. Definiia determinantului de ordin n42.2. Definiia determinantului de ordin n2.3. Proprietile determinanilor2.4. Calculul inversei unei matrici2.5. Ecuaii matricialeCapitolul 3.APLICAII pg. 17

MATRICI

Cap1. MATRICI

1.1. Despre matrici

Acest concept l-am ntalnit nca din primul an de liceu, atunci cnd s-a pus problema rexolvarii unui sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute x, y, de forma .

Acestui sistem i-am asociat un tablou ptratic, care conine coeficienii necunoscutelor (n prima linie sunt coeficienii lui x, y din prima ecuaie, iar in a doua linie figureaz coeficienii lui x, y din ecuaia a doua): .

Am numit acest tablou matrice ptratic (sau matricea sistemului). Pe cele dou coloane ale matricei figureaz coeficienii lui x (pe prima coloan a,) i respectiv coeficienii lui y (pe a doua coloan b, ).

Definiie. Se numete matrice cu m linii i n coloane (sau de tip ) un tablou cu m linii i n coloane

ale crui elemente sunt numere complexe.

Uneori aceast matrice se noteaz i undei. Pentru elementul , indicele i arat linia pe care se afl elementul, iar al doilea indice j indic pe ce coloan este situat.

Mulimea matricilor de tip cu elemente numere reale se noteaz prin . Aceleai semnificaii au i mulimile ,,.

Cazuri particulare

1) O matrice de tipul (deci cu o linie i n coloane) se numete matrice linie i are forma

.

2) O matrice de tipul (cu m linii i o coloan) se numete matrice coloan i are forma

.

3) O matrice de tipse numete nul (zero) dac toate elementele ei sunt zero. Se noteaz cu O

.4) Dac numrul de linii este egal cu numrul de coloane, atunci matricea se numete ptratic.

Sistemul de elemente reprezint diagonala principal a matricii A, iar suma acestor elemente se numete urma matricii A notat Tr(A). Sistemul de elemente reprezint diagonala secundar a matricii A.

Mulimea acestor matrici se noteaz. Printre aceste matrici una este foarte important aceasta fiind

i se numete matricea unitate (pe diagonala principal are toate elementele egale cu 1, iar n rest sunt egale cu 0).

1.2. Operaii cu matrici1.2.1. Egalitatea a dou matrici

Definiie. Fie,. Spunem c matricile A, B sunt egale i scriem A = B dac =, ,.

Exemplu: S se determine numerele reale x, y astfel nct s avem egalitatea de matrici

.

R. Matricile sunt egale dac elementele corespunztoare sunt egale, adic: Rezolvnd acest sistem gsim soluia x = 1, y = -31.2.2. Adunarea matricilor

Definiie. Fie,,. Matricea C se numete suma matricilor A, B dac: =+, ,.Observaii

1) Dou matrici se pot aduna dac sunt de acelai tip, adic dac au acelai numr de linii i acelai numr de coloane, deci A, B .2) Explicit adunarea matricilor A, B nseamn:

+=. Exemplu: S se calculeze A + B pentru:

1. ;

2. R. 1. Avem

2. Avem

.

Proprieti ale adunrii matricilor

(Asociativitatea adunrii). Adunarea matricilor este asociativ, adic:

, A, B, C .

(Comutativitatea adunrii). Adunarea matricilor este comutativ, adic:

, A, B.

(Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nul ca element neutru, adic astfel nct A += A, A.

(Elemente opuse). Orice matrice A are un opus, notat, astfel nct:

.1.2.3. nmulirea cu scalari a matricilor

Definiie.Fie C i A =. Se numete produsul dintre scalarul C i matricea A, matricea notat definit prin =.Obs.: A nmuli o matrice cu un scalar revine la a nmuli toate elementele matricii cu acest scalar.

Deci =.

Exemplu Fie . Atunci 6A = .Proprieti ale nmulirii matricilor cu scalari

, C, A;

,C, A, B;

,C, A;

,1C, A;

1.2.4. nmulirea matricilor

Definiie. Fie A =, B =.Produsul dintre matricile A i B (n aceasta ordine), notat AB este matricea C = definit prin

, ,.

Observaii

1) Produsul AB a dou matrici nu se poate efectua ntotdeauna dect dac A, B, adic numrul de coloane ale lui A este egal cu numrul de linii ale lui B, cnd se obine o matrice C = AB.

2) Dac matricile sunt ptratice A, B atunci are sens ntotdeauna att AB ct i BA, iar, n general, ABBA adic nmulirea matricilor nu este comutativ. Proprieti ale nmulirii matricilor

(Asociativitatea nmulirii). nmulirea matricilor este asociativ, adic

,A,B,C.

(Distributivitatea nmulirii n raport cu adunarea). nmulirea matricilor este distributiv n raport cu adunarea matricilor, adic

A, B, C matrici pentru care au sens operaiile de adunare i nmulire.

Dac este matricea unitate, atunci :

A.

Se spune c este element neutru n raport cu operaia de nmulire a matricilor.

1.2.5. Puterile unei matrici

Definiie. Fie A. Atunci, , , , , n. (Convenim ).

TEOREMA Cayley Hamilton. Orice matrice A i verific polinomul caracteristic . Pentru n = 2.

.

(polinom caracteristic

DETERMINANI

Cap2.Determinani

2.1. Definiia determinantului de ordin n4

Fie A= o matrice ptratic. Vom asocia acestei matrici un numr notat det(A) numit determinantul matricii A.

Definiie. Dac A= este o matrice ptratic de ordinul nti, atunci :

det(A) =.

Definiie. Determinantul matricii este numrul

i se numete determinant de ordin 2. Termenii , se numesc termenii dezvoltrii determinantului de ordin 2.

Definiie. Determinantul matricii

este numrul

i se numete determinant de ordin 3. Termenii care apar n formul se numesc termenii dezvoltrii determinantuluiPentru calculul determinantului de ordin trei se utilizeaz trei tehnici simple:Regula lui Sarrus

Fie determinantul de ordin 3, Pentru a calcula un astfel de determinant se utilizeaz tabelul de mai jos.

(am scris sub determinant primele dou linii)

Se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsul elementelor de pe o diagonal descendent este cu semnul plus. Avem trei astfel de produse: .

Produsul elementelor de pe o diagonal ascendent este cu semnul minus. Avem trei astfel de produse: .Suma celor ase produse d valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numete regula lui Sarrus.

Regula triunghiuluiAm vzut c determinantul de ordin trei are n dezvoltarea sa ase termeni, trei cu semnul plus i ali trei cu semnul minus.Primul termen cu plus se gsete nmulind elementele de pe diagonala principal, iar ceilali doi, nmulind elementele situate n vrfurile celor dou triunghiuri care au o latur paralel cu cu diagonala principal. Dup aceeai regul, referitoare la diagonala secundar, se obin termenii cu minus.Obs.: Att regula lui Sarrus ct i regula triunghiului se aplic numai determinanilor de ordin 3.Exemplu. S se calculeze prin cele dou metode de mai sus determinantul

R. Regula lui Sarrus.

Regula triunghiului

Recurent (sau dezvoltare dup o linie sau o coloan)Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar ceilali cu semnul minus.Are loc urmtoarea proprietate:

, (1)

= . (2)Observaii1) Egalitatea (1) se mai numete dezvoltarea determinantului dup elementele liniei nti, iar egalitatea (2) se numete dezvoltarea determinantului dup elementele coloanei nti.2) Formulele (1) i (2) sunt relaii de recuren, deoarece determinantul de ordin 3 se exprim cu ajutorul unor deteminani de ordin inferior (2).

2.2. Definiia determinantului de ordin n

Voi defini n continuare determinantul de ordin n prin recuren cu ajutorul determinanilor de ordin n 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizri.

Fie A=.

Definiie1. Se numete minor asociat elementului determinantul matricii ptratice de ordin n 1 obinut prin suprimarea liniei i i coloanei j din matricea A. Se noteaz acest minor prin sau .

Definiie2. Se numete complement algebric al elementului numrul . Exponentul al lui (1) este suma dintre numrul liniei i i coloanei j pe care se afl .

Definiie. Determinantul matricii A=de ordin n este suma produselor elementelor din prima linie cu complemenii lor algebrici adic

.Observaii1) Elementelor, liniilor i coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile i coloanele determinantului

.2) Formula din definiie spunem c reprezint dezvoltarea determinantului de ordin n dup elementele primei linii.3) Definiia determinantului de mai sus este nc puin eficient (o voi ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprieti ale determinanilor care s fie comode att din punct de vedere al teoriei i din punct de vedere calculatoriu. Aceste proprieti le prezint n paragraful urmtor.

4) Continund cu explicitarea determinanilor de ordin n 1 din definiie se obine pentru o sum de produse de elemente din determinant, fiecare produs coninnd elemente situate pe linii i coloane diferite.

5) Determinantul este o funcie .Exemplu S se calculeze determinantul de ordin 4:

.R. Aplicm definiia dat mai sus pentru n = 4 i dezvoltm determinantul dup elementele liniei nti. Avem:

=

=,unde determinanii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate la determinanii de ordin 3.

2.3. Proprietile determinanilor

Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse, adic dac A, atunci .

Demonstraie. Fie i .

Atunci , iar . Prin urmare .

Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul.

Demonstraie. Avem i .

Dac ntr-o matrice schimbm dou linii (sau dou coloane) ntre ele obinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii iniiale.

Demonstraie. Prin schimbarea liniilor s art c avem egalitatea . Avem evident .

Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice, atunci determinantul su este nul.Demonstraie. Verific pentru linii (i tot odat pentru coloane). Avem:

.

Dac toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt nmulite cu un numr , obinem o matrice al crei determinant este egal cu nmulit cu determinantul matricii iniiale.Demonstraie. Verificm pentru linii proprietatea.

.

Dac elementele a dou linii (sau coloane) ale unei matrici sunt proporionale, atunci determinantul este nul.Demonstraie. Verificm pentru linii.

.

Dac linia i a unei matrici A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este egal cu suma a doi determinani corespunztori matricelor care au aceleai linii ca A, cu excepia liniei i unde au cte unul din cei doi vectori.

.Demonstraie. Am de artat c:

.

ntr-adevr membrul stng este egal cu . Membrul drept este i egalitatea se verific.Obs.: O proprietate analog are loc i pentru coloane.

Dac o linie (o coloan) a unei matrici ptratice este o combinaie liniar de celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero.

Dac la o linie (o coloan) a matricii A adunm elementele altei linii (coloane) nmulite cu acelai numr, atunci aceast matrice are acelai determinant ca i matricea A.

Demonstraie. Voi aduna la linia nti linia a doua nmulit cu . Vom nota acest fapt prin . Avem:

.

A.

Dac A= este o matrice triunghiular (sau diagonal), atunci . (Valoarea determinantului este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principal).

Dac A, B, atunci (Determinantul produsului a dou matrici ptratice este egal cu produsul determinanilor acelor matrici).

n particular n.

Teorem. Determinantul unei matrici A este egal cu suma produselor dintre elementele unei linii i complemenii lor algebrici, adic

.

(Formula lui d dezvoltarea determinantului dup elementele liniei i).Aceast teorem permite s calculm determinantul unei matrici dup oricare linie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (ct mai uor) mai multe zerouri.

Observaie: innd seama de proprietatea teorema precedent are loc i pentru coloane sub forma:

.2.4. Calculul inversei unei matrici

Definiie. Fie A. Matricea A se numete inversabil dac exist matricea B cu proprietatea c , fiind matricea unitate.

Matricea B din definiie se numete inversa matricii A i se noteaz . Deci

.

Teorem. Matricea A este inversabil dac i numai dac O astfel de matrice se numete nesingular.

Construcia lui presupune urmtorii pai:Pasul 1. (Construcia transpusei)

Dac ,

atunci construim transpusa lui A .Pasul 2. (Construcia adjunctei)

Matricea

obinut din , inlocuin fiecare element cu complementul su algebric se numete adjuncta matricii A.

Pasul 3. (Construcia inversei) Se ine cont de teorema precedent i se gsete c:

iar de aici

Ultimele egaliti arat c

2.5. Ecuaii matriciale

Voi prezenta n continuare o tehnic de rezolvare a unor ecuaii de forma , , , unde A, B, C sunt matrici cunoscute, iar X este matricea de aflat. Astfel de ecuaii se numesc ecuaii matriciale.Astfel de ecuaii se pot rezolva numai atunci cnd A, B sunt matrici ptratice inversabile.

Pentru rezolvarea ecuaiei nmulim la stnga egalitatea cu i avem:

.

Deci soluia ecuaiei date este .

Pentru determinarea soluiei ecuaiei vom nmuli la dreapta cu i analog vom gsi , soluia ecuaiei matriciale.

Pentru gsirea soluiei ecuaiei nmulim egalitatea la stanga cu i la dreapta cu i obinem . APLICAII

Capitolul 3.Aplicaii 1.S se determine numerele reale x, y, z astfel nct s aib loc egalitatea de matrici, n cazurile

1)

2)

3)

I.

dac , atunci II.

dac , atunci

4)

2. S se calculeze n cazurile:

1) , .

2) ,

3. Se consider matricile

, , .

S se determine m, n, p astfel nct .

.

Deci

4. Se consider matricile .

, .

S se calculeze: , .

5. Calculai produsele de matrici , unde

a) i

b) i

c) i

d) i

e) i

6. S se calculeze , dac:

;

7. Fie . S se calculeze , .

Inducie matematic

(A)

Deci .

8. Calculai determinanii de ordinul doi:

1)

2)

3)

9. Calculai determinanii de ordinul trei:

1)

2)

3)

3. Calculai determinanii urmtori:

1)

2)

10. S se rezolve ecuaiile:

1)

Deci .

11. S se rezolve ecuaiile:

1)

12. Fie pentru care . S se arate c , .

Pentru x = 0 i y = 1

Pentru x = 1 i y = 0

Pentru x = 1 i y = 1

Pentru x = 1 i y

Deci

II. Bacalaureat

1. S se determine matricea X din ecuaia

2. a) Gsii matricea X astfel nct

b) S se determine m astfel nct sistemul urmtor s fie compatibil i apoi rezolvai-l:

a)

Deci .

b)

3. a) Fie matricea A; , . S se calculeze i i apoi s se determine, n funcie de n.

b) S se afle numere reale astfel nct

a)

Inducie matematic

(A)

Deci .

b)

Deci .

4. a) S se determine astfel nct:

b) S se detrmine matricea A astfel nct:

a)

b)

.

2. S se rezolve ecuaia:

2. Dac sunt rdcinile ecuaiei s se calculeze determinantul .

BIBLIOGRAFIE

1. Mircea Ganga, Manual de Matematic, Elemente de Algebr liniar, i geometrie analitic, clasa a XI-a, Editura Mathpress, 20032. Gh. Andrei, D. Brbosu, Gh. Boroica, Admiterea n nvmntul superior, Editura Gil, 20013. Dan Brnzei, Sorin Ulmeanu, Matematica n concursurile colare, Editura Paralela 45, 20004. C. Nstsescu, C. Ni, Culegere de probleme pentru liceu, Algebra, Editura Rotech Pro, 19995. Caiet de notie