mathcadlucr

8/8/2019 mathcadlucr

http://slidepdf.com/reader/full/mathcadlucr 1/91

Universitatea Tehnică a Moldovei

Rezistenţa Materialelorcu MATHCAD



CHIŞINĂU - 2002

Ministerul Învăţământului al Republicii Moldova

Universitatea Tehnică a Moldovei

Catedra Rezistenţa Materialelor

V. BALAN

REZISTENŢA MATERIALELOR CU MATHCAD

2

2



CHIŞINĂUUTM2002

Autorii acestei lucrări şi-au propus să pună la dispoziţia celor interesaţi cunoştinţe minime necesare despre posibilităţile, performanţele şi manevrarea pachetului de programe MATHCAD şi

exemple de aplicare ale lui pentru rezolvarea problemelor deRezistenţa Materialelor.Prezentul material didactic se adresează studenţilor şi

doctoranzilor de la toate facultăţile Universităţii Tehnice aMoldovei.

Redactor responsabil:prof. univ., dr. hab. Vasile Marina



© UTM, 2002

4

4



Prefaţă

În anii 60-70 ai secolului trecut pentru rezolvarea unei problemematematice cu ajutorul calculatorului era necesar de a scrie,verifica sintaxa şi semantica, de a testa şi de a pune în funcţie un program în unul din limbajele de programareBASIC,FORTRAN,PASCAL,C cunoaşterea cărora necesita unefort esenţial suplimentar intelectual şi de durată din parteasolicitantului. Practic utilizatorul trebuia să fie şi programator.Această incomoditate frâna considerabil aplicarea calculatorului înactivitatea didactică şi cea inginerească.

În aceste condiţii, la începutul anilor 80 a devenit tot mai clar,că produsele sofware create trebuie să permită descrierea şirezolvarea diferitor probleme matematice fără ca utilizatorul să posede cunoştinţe profunde în programare.

Perfecţionarea metodelor numerice de calcul, apariţia,

dezvoltarea şi ieftinirea calculatoarelor personale, elaborarea programelor de calcul performante şi simplificarea accesului la ele,interfeţele prietenoase utilizatorului au condus la o explozieinformaţională fără precedent în istoria omenirii, la posibilitatearezolvării multor probleme matematice cu efort minim, care pânănu demult păreau extrem de complicate.

La momentul actual, pentru calcule matematice tot mai frecventse utilizează nu limbajele tradiţionale de programare, ci pachete de

programe specializate, cum sunt MATHEMATICA,MATLAB,GAUSS,MATHCAD etc.

Din aceste produse cel mai popular este MATHCAD-ul,elaborat (1981) şi dezvoltat de compania Math Soft Inc.,Cambridge, Massachusetts (SUA). Această popularitate sedatorează în primul rând faptului, că este unicul sistem deautomatizare a calculelor matematice, în care descrierea rezolvării

problemei matematice se face aşa cum o scriem pe hârtie. Astfel el

3



este accesibil şi savanţilor, şi inginerilor, şi studenţilor, şi elevilor.Din această cauză el se mai numeşte “supercalculator de buzunar”.

Lucrarea de faţă îşi propune să ofere cititorului cunoştinţeiniţiale despre lucrul cu programul MATHCAD, ce constituieconţinutul primei părţi, şi aplicarea lui pentru rezolvarea problemelor de Rezistenţa Materialelor în partea a doua a lucrării.

Modul de lucru cu programul este prezentat pas cu pas, astfel casă fie accesibil şi celor care nu au pregătire şi experienţă îndomeniul utilizării calculatoarelor.

Prima parte conţine prezentarea generală a programului,

trecerea în revistă a comenzilor principale cuprinse în meniul principal, tipuri de date şi funcţii, reprezentări grafice, calculesimbolice, procesorul de texte, redactarea şi imprimarearezultatelor, derivare şi integrare analitică şi numerică, rezolvareaecuaţiilor algebrice şi diferenţiale.

În partea a doua, pentru consolidarea cunoştinţelor obţinute şi prezentarea practică a posibilităţilor şi facilităţilor oferite de acest program se rezolvă o serie de probleme tradiţionale ale cursului deRezistenţa materialelor, ce de obicei constituie conţinutullucrărilor grafice de calcul, şi probleme netradiţionale, care nu se propun spre rezolvare din cauza complexităţii şi volumului decalcul numeric manual excesiv de mare.

În această lucrare se face doar o iniţiere în MATHCAD, pentrua arăta posibilităţile de calcul şi uşurinţa cu care el se manevrează.O descriere mai amănunţită poate fi găsită în sutele de cărţi

dedicate acestui program.

Autorii

4



1 INIŢIERE ÎN MATHCAD

1.1 PREZENTAREA PROGRAMULUIPachetul de programe MATHCAD este destinatsoluţionării problemelor matematice, atât numeric, cât şisimbolic şi este elaborat şi comercializat de compania Math Soft Inc.(SUA). Acesta se poate instala pe oricecalculator personal ocupând 16 MB spaţiu pe disc.Rulează sub sistemul operaţional Windows 95,98,2000.

În raport cu alte produse similare, menţionate anterior,se remarcă prin simplitate şi pretenţii hard reduse.Posibilităţile şi facilităţile oferite de ultima versiuneMATHCAD 2001sunt:• Expresiile matematice se tastează aşa cum le scriem

pe hârtie: linia fracţională “—“, diferenţierea

dx

x dy )(, integrarea , calculul limitei funcţiei

)(lim x f a x →

, etc.;

• Redactarea, verificarea sintaxei, compilarea şicalculul se efectuează simultan, ce esenţialsimplifică rezolvarea problemelor. De exemplu, în procesul rezolvării problemei se poate construi

graficul unei funcţii, analiza căreia ne poate ajuta laevidenţierea greşelilor sau la determinareaurmătorilor paşi pentru soluţionarea problemei;

• Rezolvarea numerică, iar în unele cazuri şi analiticăa ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii algebrice liniareşi neliniare (până la 200 ecuaţii);

• Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale obişnuite liniare şineliniare de diferite ordine;

5



• Rezolvarea unor ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale;

• Procesorul grafic permite realizarea grafică a liniilor,suprafeţelor, figurilor spaţiale în coordonatecarteziene, polare, cilindrice şi sferice;

• Existenţa procesorului de texte permite creareaarticolelor, rapoartelor, lucrărilor de curs gata de publicare;

• Facilităţi de căutare a explicaţiilor prin index,descrierea amănunţită a principalelor acţiuniMATHCAD, un help – context senzitiv;

• Posibilitatea de a transmite o parte a problemei înmediul altui program în statică (prin memoriultampon Clipboard ) sau dinamică (OLE -tehnologii) şiacolo de a o rezolva cu o eventuală revenire înmediul MATHCAD;

• Pe lângă produsul MATHCAD propriu-zis sunt

elaborate manuale electronice cu exemple pentrudiferite disciplini: rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale,statistică, termodinamică, rezistenţa materialelor,etc. (pot fi procurate cu plată suplimentară).

În dependenţă de complexitatea problemelor rezolvatese produc trei variante:- MATHCAD Standard — versiune simplificată, care

se aplică în scopuri didactice;- MATHCAD Profesional – versiune profesională,

orientată pentru profesionişti;- MATHCAD Premium – versiune profesională,

destinată matematicienilor profesionişti şisavanţilor.

6



1.2 ECRANUL MATHCADInterfaţa utilizatorului programului MATHCAD este

asemănătoare cu interfaţa programului WORD subWindows, şi constă din următoarele bare (Fig. 1)enumărate de sus în jos:

⇒ Bara de titlu;⇒ Bara de meniuri ( File, Edit, View, Insert, Format,

Math, Symbolics, Window, Help);⇒ Bara cu instrumente Standard ;

⇒ Bara cu instrumente de formatare Formatting ⇒ Bara operaţiilor matematice Math (verticală, laextremitatea stângă a ecranului);

⇒ Fereastra de editare (aici se descrie problema);⇒ Linia de stare Status Bar .

Fig. 1. Ecranul MATHCAD

Bara de titlu conţine denumirea fişierului deschis. Laextremităţile barei sunt prezentate butoanele tipice de

7



gestionare a ecranului (reducere, mărire şi închidere). Lacrearea unui document nou denumirea implicită este

Untitled:1, care poate fi ulterior modificată.Bara de meniuri şi submeniurile corespunzătoareconţin toate comenzile necesare pentru a efectua calculeşi a edita un document. Activarea comenzilor poate fiefectuată cu mouse-ul sau cu tasta Alt , tastele săgeţi şitasta Enter . Ajustarea lor este intuitiv clară şiasemănătoare cu ajustarea altor aplicaţii ce activează subsistemul operaţional Windows. Comenzile care nu sunt

disponibile în momentul dat sunt de culoare gri.Bara cu instrumente Stadard , bara de formatareFormatting , bara operaţiilor matematice Math ,dublează comenzile sau blocurile de comenzi cele maifrecvent utilizate ale meniului principal. Desenele de pe butoanele acestor bare indică operaţiile şi acţiunile carevor fi efectuate şi sunt intuitiv clare.

Fereastra de editare ocupă cea mai mare parte aecranului. Aici se rezolvă şi se redactează problema.Iniţial semnul (locul) de înserare a caracterelor areforma unei cruce mici de culoare roşie, care ladeschiderea documentului se află în partea stânga-sus aferestrei de editare (fig. 1). Deplasarea semnului deînserare se efectuează cu tastele săgeţi. Vă puteţi deplasaşi cu tastele Tab sau Enter . Puţin mai la dreapta de

centrul ferestrei de editare observaţi o linie verticală caredelimitează paginile desfăşurate pe orizontală. Dacădeplasaţi semnul de înserare pe verticală în jos veţiobserva linii orizontale, care delimitează paginile peverticală. Deplasările rapide în cadrul documentului se pot efectua cu ajutorul barelor de derulare situate în partea de jos şi din dreapta ferestrei de editare. Paginile

din extrema stângă a ferestrei sunt pagini de bază aledocumentului, iar celelalte se folosesc pentru comentarii

8



sau sunt părţi ale documentului care nu este necesar să leedităm. De exemplu, unele calcule intermediare, care

pot fi destul de voluminoase.Linia de stare conţine informaţii despre starea actuală a programului. Dacă sistemul nu efectuează nici o operaţieea afişează mesajul Press F1 for Help (tastează F1 pentru ajutor).La scrierea relaţiilor matematice bara cea mai utilizatăeste bara operaţiilor matematice Math (Fig. 2).Dacălipseşte pe ecran o puteţi însera cu comenzile View,

Toolbars, şi efectuaţi click pe inscripţia Math.

Fig. 2. Bara operaţiilor matematice

Această bară este flotantă şi poate fi ancorată sus, pemarginile stânga, dreapta sau la baza ecranului. Pe

ecranul prezentat în fig.1 ea este fixată pe margineastângă. Bara conţine nouă iconiţe, un click cu mouse-ul pe fiecare din ele deschide nouă palete (fig. 3):1. Calculator Toolbar 2. Graph Toolbar

3. Vector and matrix Toolbar

4. Evalution Toolbar 5. Calculus Toolbar

6. Boolean Toolbar 7. Programming Toolbar

8. Greek Symbol Toolbar 9. Symbol keyword Toolbar

Menirea lor este clară din denumire. Click pe butoanele paletelor conduce la apariţia în locul semnului deînserare a cifrei, literei alfabetului grecesc sau a unui

şablon, ce poate conţine un operator matematic şidreptunghiuri mici pline de culoare neagră, care trebuie

9



1

3

xx

⌠ ⌡ d 4.000=

completate. Aceste dreptunghiuri se numesc poziţii

marcate ale şablonului. De exemplu, click pe butonul ∫ b

a

va ducela apariţia şablonului integralei definite. Dacăcompletăm poziţiile marcate şi efectuăm click pe butonul “=” al paletei “Calculator ” sau direct petastatură, obţinem:

Trecerea de la o poziţie marcată la alta se face cu tasta<Tab> sau click stânga cu mouse-ul pe poziţia dorită.Dacă executaţi click pe integrala numai ce calculată veţiobserva că expresia este încadrată într-un dreptunghinumit regiune de lucru. Vizualizarea mai evidentă aregiunilor de lucru se poate efectua cu comanda View

Regions a meniului Edit . În acest caz fundalul ecranuluidevine de culoare gri, iar regiunea de lucru de culoarealbă. Poziţia regiunii de lucru în cadrul documentuluieste determinată de un punct ce se observă în parteastângă a regiunii de lucru.

10



Fig. 3. Paletele matematicePentru a muta regiunea de lucru într-o altă poziţie, fixa-ţi cursorul mouse-lui pe una din liniile dreptunghiului de

selecţie a regiunii, indicatorul mouse-lui se vatransforma într-o palmă deschisă, şi ţinând apăsat butonul stâng deplasa-ţi mouse-ul în poziţia nouă. Dacădistanţa de deplasare este mare, trebuie să vă folosi-ţi decomenzile Cut şi Paste din bara cu instrumenteStandard .Paletele ocupă o parte considerabilă a ecranului. Dinfericire, la rezolvarea unei părţi a problemei nu sefolosesc simultan toate paletele. Le puteţi închide cu

11



click pe butonul din dreapta sus a fiecărei palete.Utilizatorii avansaţi de obicei nu folosesc paletele în

procesul de lucru. Fiecare buton al paletelor are unanalog selectat de la tastieră. De exemplu, click pe tasta<?> conduce la apariţia şablonului derivatei funcţiei.Tastele pentru comenzile cele mai utilizate sunt indicateîn tabela 1.

Tabelul 1Operaţia Simbol pe ecran Se tasteazăAdunare <+>

Scădere − <->Înmulţire ⋅ <*>

Împărţire </>

Egal (de evaluare) = <=>Egal (de definire

locală) = <Shift> +<:>

Egal (de definireglobală) ≡ <Shift>+<~>

Egal (în ecuaţii şirelaţii)

<Ctrl>+<=>

Paranteze duble <’>Ridicare la putere <Shift>+<^>

Rădăcină pătrată <\>

Rădăcină de ordinsuperior <Ctrl>+<\>

Diferenţiere d

d

<Shift>+<?>

Diferenţiere deordin superior

d

d

<Ctrl>+<Shift>+<?>

Integrală nedefinită⌠ ⌡

d <Ctrl>+

12



Integrală definită ⌠ ⌡

d <Shift>+<&>

Factorial <Shift>+<!>Valoare absolută <Shift>+<|>

Sumă după unindice

∑ <Shift>+<$>

Sumă pe domeniu ∑=

<Ctrl>+<Shift>+<$>

Produs după unindice

∏ <Shift>+<#>

Produs pe domeniu ∏=

<Ctrl>+<Shift>+<#>

Mai mare decât > < > >Mai mic decât

<< < >

Mai mare sau egal ≥ <Ctrl>+<)>Mai mic sau egal <Ctrl>+<(>

Diferit <Ctrl>+<#>Indice inferior

(textual)σ M R

(exemple)<.>

Indice inferior

(matematic)

x (exemple)<[>

Indice superior (extragerea uneicoloane dintr-o

matrice)

⟨ M

1⟨ (exemplu)

<Ctrl>+<^>

Indice superior textual (indice prim) (exemplu) <Ctrl>+<F7>

Determinantulmatricei <|>

13



Transponareavectorului sau

matricei

<Ctrl>+<!>

Vectorizare (exemplu) <Ctrl>+<->

Transportarea unei părţi a expresiei pe

următorul rând

a b+−

..(exemplu) <Ctrl>+<Enter>

Crearea regiunii detext

<”>

Calculele în MATHCAD se execută de la stânga ladreapta şi de sus în jos. Astfel, poziţiile regiunilor delucru în cadrul documentului determină consecutivitateaefectuării calculelor.1. Selectăm MA=q*L2 şi afişăm rezultatul.

1.3 OPERATORI DE DEFINIRE ŞI OPERATORI DE CALCULSemnul “ = ” scris pe hârtie, în dependenţă de context,are sensuri diferite: el poate defini o funcţie, poateatribui unei variabile sau parametru o valoare sau câtevavalori (vector sau matrice), poate afişa valoarea uneivariabile, funcţii, vector sau matrice, poate însemna

efectuarea evaluării unei expresii, sau egalul într-oecuaţie. Evident că programul MATHCAD trebuie săînţeleagă ce se are în vedere.Pentru definiri şi atribuiri se utilizează operatorul “:=”,care se obţine pe ecran cu tasta < : >, pentru afişări şievaluări operatorul “ = ”, se obţine cu tasta < = >, pentru ecuaţii operatorul “ = “, se obţine cu combinaţiade taste <Ctrl> + < = >. Aceşti operatori se pot afişa şide pe paletele “Calculator ” ş i “ Boolean” (fig. 3).

14



Observaţi că semnul egal pentru ecuaţie este maiaccentuat decât semnul egal pentru afişare.

După cum s-a menţionat calculele în MATHCAD seefectuează de la stânga la dreapta şi de sus în jos. Deci,definirea datelor iniţiale trebuie să se facă înainte de ascrie relaţiile şi ecuaţiile de calcul. Dar în unele cazurieste comod de a scrie datele iniţiale după relaţiile decalcul. MATHCAD-ul posedă un aşa operator “≡“,numit operator de definire globală. Se obţine tastând<Shift> + < ~ >, sau de pe paleta “ Evaluation”.

Definirea astfel efectuată este valabilă pe întregdocumentul. Cu alte cuvinte, calculul se poate efectuaînainte de definire. Aplicarea acestor operatori va devenimai clară din exemplele prezentate ulterior.

1.4 CALCULUL EXPRESIILOR ARITMETICE ŞI ALGEBRICEAşa dar, în faţă avem ecranul MATHCAD cu denumirea

implicită a documentului “Untitled 1”. Pentru începutvom da denumire primului nostru document şi îl vomsalva. Pentru asta efectuăm următorii paşi: deplasămcursorul mouse-lui pe bara de meniuri, efectuăm click pemeniul File, alegem opţiunea Save; în fereastra apărutăSave alegem dosarul dorit; în câmpul File Name

introducem numele fişierului, să zicem “Ex1”, şiefectuăm click pe butonul Save. Documentul a obţinut

denumire şi este salvat. Este bine să alegeţi formatul paginii şi să stabiliţi marginile ei. Pentru asta efectuaţicomanda File, Page Setup. Pe ecran va apărea fereastrade dialog Page Setup (Fig.4). În caseta derulantă acâmpului Size alegeţi formatul, să zicem A4 şi stabiliţimarginile paginii în câmpurile Top(sus), Bottom(jos), Left (stânga), Right (dreapta). Apăsaţi OK .Implicit semnul de înserare “ + “ de culoare roşie segăseşte în partea stânga-sus al primei pagini de lucru.

15



Deplasaţi-l puţin mai jos şi spre dreapta cu tastele săgeţi.Pentru a vedea mai bine regiunile de lucru executaţi

click pe meniul View şi alegeţi opţiunea Regions.Ecranul a devenit de culoare gri. Acum suntem pregătiţi pentru a efectua primele calcule.

Fig. 4 Formatarea paginii

Exemplu 1. Vom calcula valoarea expresiei aritmetice

.2)7!3(

531,23

2

⋅+

−+

Pentru aceasta efectuaţi următoarele acţiuni:1. Selectaţi consecutiv de la tastieră <2>,<.>,<1>.

Odată cu introducerea cifrei “ 2 “ s-a deschisregiunea matematică de lucru, iar semnul de înserares-a transformat într-un cornier de culoare albastrăorientat spre stânga, care cuprinde cifra. După ce aţi

16



selectat punctul zecimal şi cifra “ 1 “ observaţi căcornierul s-a extins pe tot numărul, astfel de parcă îl

susţine. Cu tasta <Backspase> se şterg semnele dininteriorul cornierului, iar cu tasta <Delete> dinexteriorul lui. Schimbarea orientării cornierului se poate face cu tasta <Insert>.

2. Selectaţi operatorul < + > de la tastieră sau de pe paleta “Calculator ”. Aţi obţinut pe ecran:

3. Apăsaţi consecutiv < 3 >, < Shift > + < ^ >, < 2 >.Acum cursorul se află pe poziţia exponentei. Pentrua coborî de pe această poziţie apăsaţi tasta de spaţiu< Space >. Cursorul s-a extins pe termenul 32.

4. Selectaţi < - >, < \ >, < 5 >. Apăsaţi de trei ori <Space >. Cursorul s-a extins pe toată expresia.

5. Selectaţi < / >, < 3 >, < Shift > + < ! >, < + >, < Ctrl> + < \ >. Pe ecran a apărut şablonul rădăcinii deordin superior. Apăsaţi consecutiv < 7 >, < Tab >, <

3 >.6. Extindeţi cursorul pe tot numitorul prin apăsareatastei <Space> de două ori. Selectaţi < ‘ >. Numitorul s-a încadrat în paranteze. Apăsaţi < Tab>. Cursorul a cuprins şi parantezele. Selectaţi < * >,< 2 >.

7. Declanşăm procesul de calcul cu tasta < = >, sau cu butonul “=” de pe paleta “Calculator ”. Am obţinut:

17



8. Apăsaţi < Enter > pentru a părăsi regiuneamatematică de lucru. Semnul de înserare s-a deplasat

în jos.9. Tuturor numerelor în MATHCAD le este asociatimplicit stilul de formatare “Constants”, căruia larândul său îi este asociat fontul “Times NewRoman” şi dimensiunea “10”. Le vedeţi în bara“ Formatting ”, în partea de sus a ecranului.

10. Acest stil poate fi modificat de utilizator. Efectuaţiclick –stânga pe săgeata de derulare a dimensiunii

fontului “ Font Size” şi din lista apărută selectaţidimensiunea “12”. Dacă activaţi unul din butoanele“Aldin”, “Cursiv” sau/şi “Underline” puteţi obţinenumere cu aldine, cursiv sau/şi subliniate.Menţionăm, că stilul “Constants” stabilit se va aplicatuturor numerelor, rezultatelor numerice şi chiar exponentelor numerice a documentului curent.

11. Frecvent se întâmplă că doriţi să reamplasaţi într-o poziţie nouă regiunea de lucru. Efectuaţi click peregiunea de lucru. Stabiliţi cursorul mouse-lui pe unadin laturile dreptunghiului ce încadrează regiunea.Cursorul se transformă într-un semn asemănător cu o

palmă deschisă. Apăsaţi butonul stâng al mouse-luişi ţinându-l apăsat deplasaţi-l în poziţia dorită.Eliberaţi butonul.

12. Pentru o vizualizare mai evidentă folosiţi-vă de butonul “Zoom” (Scara). Alegeţi din lista derulantăscara “150%”.

Exemplu 2. Calculăm expresia

18



β π

tgaen

X n

*ln*2

sin234/3

4

1

+⋅

=∑=

,

unde a=5 şi β=30º.1. După cum am menţionat calculele în MATHCAD se

fac de la stânga la dreapta şi de sus în jos. Deci, pentru a determina valoarea mărimii X este necesar în prealabil de atribuit parametrilor “a” şi “β” valorinumerice. Aplicăm operatorii de definire locală.Stabilim cu mouse-ul sau cu tastele săgeţi poziţiasemnului de înserare, de unde vom începe a efectuacalculele. Apăsăm consecutiv <a>, <Shift> + <:>,<5>, <Tab>. Din paleta alfabetului grec “Greek ”apăsăm “β”, apoi <Shift> +<:>, <3>, <0>, <*>, <d>,<e>, <g>. Am obţinut:

2. Atribuim mărimii “X” valoarea expresiei din parteadreapta a semnului “egal”. Apăsăm <Shift> +<x>,<Shift> +<:>, şi din paleta “Calculus” butonul

sumei.3. Selectaţi <s>, , <n>, <Shift> +<(>, <n>, <*>, din paleta “Greek” butonul “π”, <Space>, </>, <2>,<Shift> +<)>, <Tab>, <n>, <Tab>, <1>, <Tab>,<4>, <Space>. Programul recunoaşte unele dinconstantele matematice inclusiv “π” şi “e”. Puteţi săvă convingeţi de acest lucru, dacă afişaţi valorile lor.Pentru toate funcţiile argumentul trebuie încadrat în

paranteze.

19



4. Apăsaţi <*>, <e>, <Shift> +<^>, <3>, </>, <4>.Pentru a selecta termenul doi este necesar de a

extinde cornierul de selecţie pe tot primul termen.Apăsaţi de trei ori tasta <Space>. După aceastaintroducem operatorul “+”, iar de pe paleta

5. Introducem <a>, <Shift> +<^>, <2>. Pentru a luacubul logaritmului natural extindem cornierul deselecţie pe tot logaritmul apăsând de două ori tasta<Space>. Selectăm <Shift> + <^>, <3>. Apăsăm<Space>, <*>, butonul tangentei “tan” de paleta“Calculator ”, litera “β” de pe paleta “Greek ” şi<Enter>.

6. Afişăm valoarea mărimii X. Pentru aceasta stabilimo poziţie nouă a semnului de înserare şi selectăm

<Shift> +<x>, <=>. Am obţinut:

7. Toate calculele programul MATHCAD le face cuexactitatea de 16 cifre semnificative. Implicitformatul de afişare pe ecran şi de editare a

20



rezultatelor numerice prevede trei cifre zecimale.Dar el poate fi foarte simplu modificat. Efectuaţi

dublu-click cu butonul stâng al mouse-lui pe oricerezultat numeric. Imediat apare fereastra Result Format . In câmpul “ Number of decimal places”(numărul de cifre zecimale) stabiliţi exactitatea deafişare dorită. Pentru mărimea X am stabilitexactitatea maximă de 15 cifre zecimale. Observaţică programul propune câteva formate ,care suntindicate în caseta de dialog “Format”. Cel mai uzual

este formatul “General”. Această fereastră propuneîncă câteva opţiuni. Încercaţi-le. Modificareaformatului numeric poate fi realizat nu numai local(pentru un singur rezultat), dar şi global (pentru toaterezultatele numerice din document). Efectuaţi click

undeva în afara regiunilor de lucru. Selectaţicomanda Rezult din meniul Format . Pe ecran vaapărea aceeaşi fereastră Result Format, dar modificările stabilite în ea vor fi valabile pentru totdocumentul.

8. Mai jos de definirea mărimii X afişaţi încă odatăvaloarea ei, şi deplasaţi-o în sus. Programul printr-unmesaj de eroare ne anunţă, că această variabilă saufuncţie nu a fost prealabil definită.

9. Efectuaţi click pe una din literele expresiei

matematice. Pentru toate literele din expresiilematematice programul propune implicit stilulVariables cu fontul Times New Roman dedimensiunea 10 din bara de formatare Formatting .Dimensiunile numerelor şi literelor este de dorit săfie aceleaşi. Schimbaţi dimensiunea fontului din 10în 12 şi stabiliţi stilul accentuat ( Bold ) al literelor.

21



Am obţinut:

Exemplu 3. Valorile numerice în calculele inginereştisunt urmate de unităţi de măsură. MATHCAD-ul

permite în unele cazuri lucrul cu unităţile de măsură.Unităţile de măsură se aleg şi pot fi vizualizate dinfereastra de dialog Insert Unit (Fig. 5), care se afişeazăcu comanda Unit a meniului Insert . Ne vom familiarizacu aplicarea lor.2. Selectaţi consecutiv <q>, <Shift> +<:>, <1>, <0>,

<Shift> + <^>, <4>, <Space>, <*>, <N>, </>, <m>,<Tab>, <L>, <Shift> +<:>, <2>, <*>, <m>, <Tab>.Aţi observat că pentru a ataşa unui parametru sauvariabile unităţi de măsură se tastează <*> dupăvaloare. Am obţinut:

22



3. Unităţile de măsură pot fi înserate nu numai de latastatură, dar şi din fereastra Insert Unit .

î

Fig. 5. Fereastra unităţilor de măsură4. Se pot defini şi alte unităţi decât cele oferite de

listele din Insert Unit . Unitatea nouă definită printr-ooperaţie de atribuire va fi valabilă în continuare îndocument.

5. Introduceţi <k>, <N>, <Shift> +<:>, <1>, <0>,

<Shift> +<^>, <3>, <Space>, <*>, <N>. Selectăm<V>, <.>, <A>, <Shift> + <:>, <q>, <*>, <L>,<Tab>. Afişăm valoarea mărimii VA. <V>, <.>,<A>, <=>. Obţinem:

23



6. În ultima regiune de lucru stabiliţi cornierul deselecţie pe poziţia marcată din dreapta (cu tastele

săgeţi sau click cu butonul stâng al mouse-lui).Selectaţi <k>, <N>, <Enter>. Rezultatul va fi afişatîn kN. Dacă nu vă sunt pe plac zerourile care apar înrezultat, chemaţi fereastra Result Format şideselectaţi opţiunea Show treiling zeros.

7. Rezultatul l-am obţinut în unităţi de energieJ(Joules). Reamintim că 1J=1 N*m. Conversiunea la N*m se face simplu. Fixaţi cornierul pe poziţiamarcată şi selectaţi <N>, <*>, <m>, <Tab>.Transformaţi rezultatul în kN*m.

8. Efectuaţi următoarele calcule:

9. Programul MATHCAD are şi un procesor textual,care permite introducerea textelor. Amplasaţi semnulde înserare undeva între primul şi al doilea rând aultimului calcul. Apăsaţi de câteva ori tasta <Enter>.Toată partea documentului, ce se află mai jos desemnul de înserare se va deplasa în jos. Pentru alichida spaţiile libere între rânduri folosiţi-vă de tasta

24



<BackSpase>. Efectuaţi click pe la mijlocul spaţiuluiliber obţinut. Apăsaţi opţiunea Text Region al

meniului Insert . Pe ecran va apărea regiunea de text,iar semnul de înserare se va transforma într-o linieverticală de culoare roşie. Procesorul de texte poatefi chemat şi cu tasta <”>. Selectăm textul. Implicit pentru regiunile de text se stabileşte stilul “ Normal ”căruia îi este ataşat fontul Arial cu dimensiunea 10.Modificaţi-l după dorinţă. Cu părere de rău, procesorul nu permite selectarea literelor specifice

alfabetului român. Pentru a părăsi regiunea de textefectuaţi click în afara regiunii. Cu tasta <Enter> setrece la un rând nou în regiunea de text actuală.

Dacă doriţi să ştergeţi simultan câteva regiuni de lucru,imaginaţi-vă un dreptunghi în care se încadrează aceste

regiuni. Apăsaţi butonul stâng al mouse-lui în colţulstânga-sus al dreptunghiului imaginat, ţinându-l apăsat,deplasaţi-l în colţul drept-jos. Eliberaţi butonul. Toateregiunile selectate se vor încadra în dreptunghiuri culinii întrerupte. Acum, dacă amplasa-ţi săgeata mouse-lui în interiorul uneia din aceste regiuni, ea setransformă într-o palmă deschisă. Apăsa-ţi butonul stâng

al mouse-lui şi ţinându-l apăsat deplasaţi regiunile

25



selectate într-o poziţie nouă. Iar ştergerea se face foartesimplu: apăsaţi tasta <Delete>.

1.5 VARIABILE ŞIR ŞI VARIABILE INDICEUn şir ordonat de numere în formă de progresiearitmetică identificat printr-un nume se numeştevariabilă şir, care se defineşte cu sintaxa:Variabilă_şir:=val_iniţială,val_următoare..val _finalăRaţia progresiei este egală cu diferenţa dintre valoarea

următoare şi valoarea iniţială.Exemplu. Selectaţi <k>, <Shift> + <:>, <0>, <,>, <0>,<.>, <5>, <;>, <2>, <Enter>. Variabila şir este definită(fig. 6). Aţi observat că pentru a obţine operatorul şirului“..” se tastează <;>. Afişaţi valorile variabilei şir cutastele <k>, <=> (fig. 6).Variabila şir care constă din numere naturale

consecutive (raţia este 1 sau –1) se numeşte variabilăindice (range variable) şi se defineşte cu sintaxa:Variabilă_indice:=val_iniţială..val_finală

Fig. 6 Exemple de variabile şir şi variabile indexate.

Exemplu. Selectaţi , operatorul de definire <Shift> +<:>, valoarea iniţială <1>, operatorul şirului “..”cu tasta

26



<;> sau cu butonul “m..n” de pe paleta Matrix, valoareafinală <5> şi părăsiţi regiunea de lucru cu tasta <Enter>.

Afişaţi valorile variabilei indice cu tastele şi <=>(fig. 6).Să admitem că aveţi nevoie de a defini un şir de numeresau expresii arbitrare. Cu ajutorul variabilei indice se poate defini o astfel de variabilă denumită variabilă

indexată cu următoarea sintaxă:Variabilăvariab_indice:=expresie_1,expresie_2,…expresie_N

sau pentru fiecare valoare a indicelui aparte:variabilă_ valoare_variabilă_indice:=expresiePoziţia indicelui variabilei indexate se obţine cu tasta<[>. Între valorile şirului se tastează <,>.Exemplu (fig. 6). Selectaţi numele variabilei <z>,coborâţi pe poziţia indicelui inferior cu tasta <[>,selectaţi numele variabilei indice care este dejadefinită, operatorul de definire <Shift> +<:>, introduceţinumerele sau expresiile dorite separându-le prin virgule.Apăsaţi <Enter>. Variabila indexată este definită.Între variabilele şir şi variabilele indexate există odeosebire calitativă. Variabila indexată are o singurăvaloare pentru o valoare concretă a indicelui. Apăsaţi<z>, <[>, <1>, <=>. Aţi obţinut “z1=1.1”. Valoare avariabilei şir este tot şirul de numere sau expresii şi de

aceea nu se poate accesa o valoare singulară a ei. Nu se poate scrie “M:=i-1”, deoarece “M” este ovariabilă obişnuită, iar “i” este o variabilă indice.

Totodată, dacă vom defini o variabilă indexată “Mi” cuexpresia “i2+1”, programul nu va avea obiecţii.

27



Observaţi că avem acces la fiecare valoare a variabileiindexate.

Valorile unei variabile indexate sunt întocmaicomponentele vectorului cu acelaşi nume. Selectaţi <M>şi operatorul de evaluare <=>. Veţi obţine şase numerenumite componente ale vectorului, aranjate pe verticalăşi încadrate în paranteze rotungite. În MATHCADforma desfăşurată a vectorilor şi matricelor se prezintăîn paranteze rotungite. Şase şi nu cinci componente alevectorului se datorează faptului, că implicit toate

variabilele indice se inizializează cu valoarea “0”,indiferent de valoarea iniţială introdusă. Deci implicit prima componentă a oricărui vector are indicele “0” şidacă această valoare (şi următoarele) nu sunt definite învariabila indice, componentele corespunzătoare alevectorului vor fi afişate cu valorile “0” (vezi şi fig. 6).

Originea indicilor poate fi schimbată cu constanta programului ORIGIN, care implicit are valoarea “0”.

Atribuim acestei constante valoarea iniţială “1” avariabilei indice “i”. Obţinem:

28



Prezenţa unei variabile indexate într-o expresie

presupune evaluarea acelei expresii pentru fiecarevaloare din şir în cadrul unui proces iterativ.

1.6 FUNCŢII ŞI REPREZENTĂRI GRAFICEÎn MATHCAD funcţiile se definesc cu următoareasintaxă:

nume_funcţie(arg1,arg2,…):=expresieArgumenţii sunt parametri formali, care pot fi variabilenumerice, vectori, matrice sau alte funcţii. Tipul

expresiei defineşte tipul valorilor funcţiei: numeric,vectorial sau matriceal.Calculul valorii unei funcţii într-un punct se faceînlocuind parametrii formali cu valori actuale şiefectuând evaluarea. Dacă argumentele sunt definite cuvariabile şir sau variabile indexate, evaluarea funcţiei vafurniza şirul valorilor corespunzătoare funcţiei.Deosebesc funcţii standard în MATHCAD (aproximativ250) şi funcţii definite de utilizator. De obicei numele

29



(identificatorul) funcţiei se selectează de la tastatură, dar dacă l-aţi uitat sau nu-l cunoaşteţi vă puteţi folosi de

fereastra de dialog Insert Function,care se afişează cucomanda Function al meniului principal Insert .

Alegeţi din lista Function Category tipul funcţiei, din

lista Function Name numele funcţiei şi apăsaţi butonul Insert . În fereastra de editare, în locul semnului deînserare va apărea şablonul funcţiei selectate. Completaţi poziţiile marcate şi afişaţi rezultatul cu tasta <=>.Apăsaţi butonul semnului de întrebare în fereastra Insert Function şi veţi obţine informaţii despre funcţia curentă(în limba engleză).Cele mai uzuale categorii de funcţii standard sunt:

• Funcţii trigonometrice, directe şi inverse(Trigonometric)

• Funcţii hiperbolice ( Hyperbolic)• Funcţii logaritmice şi exponenţiale ( Log and

Exponential )• Transformările Fourier ( Fourier Transform)• Funcţii de rezolvare a ecuaţiilor şi sistemelor de

ecuaţii algebrice liniare şi neliniare (Solving )

30



• Funcţii de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale( Differential Ecuation Solving )

• Interpolarea şi extrapolarea funcţiilor ( Interpolationand Prediction)• Funcţii de regresie ( Regression and Smoothing )• Funcţii de lucru cu vectori şi matrice (Vector and

Matrix)• Funcţii discontinue ( Piecewise Continuous)Exemple de funcţii:

Reprezentările grafice ale funcţiilor se obţin, dacăapăsaţi unul din butoanele paletei “Graph” (fig. 3).Puteţi realiza grafice plane (rectangulare şi polare) şitridimensionale (în coordonate carteziene, cilindrice şi

sferice). Fixaţi punctul de înserare într-un loc comod alferestrei de editare, având în vedere că graficul va fiafişat în dreapta şi în jos. Apăsaţi butonul “ X-Y Plot ” al paletei “Graph”. Aţi obţinut macheta graficului plan încoordonate carteziene rectangulare.

Completaţi poziţiamarcată de la mijloculaxei orizontale cu

variabila independentă

31



“x”. Cu tasta <Tab> treceţi pe poziţia marcată de lamijlocul axei verticale şi selectaţi de pe tastatură numele

funcţiei cu indicarea argumentului, de exemplu sin(x).Apăsaţi <Enter> pentru a părăsi regiunea de lucru. Aţiobţinut graficul acestei funcţii. Dacă în prealabil n-aţi precizat intervalul argumentului programul îl stabileşteimplicit între “-10” şi “+10”. Dar puteţi să-l modificaţi.Efectuaţi click în regiunea graficului. Valorile maxime şiminime ale argumentului şi funcţiei, care pot fimodificate sunt încadrate în corniere mici.

Observaţi că poate fi modificat şi domeniul variabileiindependente şi domeniul valorilor funcţiei. Poziţionaţicornierul de înserare cu un click sau cu tastele săgeţi peaceste valori limite şi schimbaţi-le.Dreptunghiul exterior al regiunii grafice conţine câteva poziţii marcate, cu ajutorul cărora puteţi schimbadimensiunile ei.

32



Pe una şi aceeaşi regiune grafică programul permitetrasarea graficelor câtorva funcţii. Pentru aceasta, după

denumirea primei funcţii introduceţi virgula şi selectaţiurmătoarea funcţie,de exemplu cos(x).Am obţinut desenulce urmează(regiunea esteactivată şi suntvizibile marcajele

de redimensionareşi limitelemodificate ale argumentului şi funcţiei). Dacă părăsiţizona de lucru marcajele şi limitele nu vor fi vizibile.Traseul funcţiei cos(x) este prezentat cu linie întreruptăde culoare albastră. Este posibil că formatul graficelor nu vă convine. Efectuaţi click cu butonul dreapta almouse-lui pe regiunea grafică, din meniul contextualapărut executaţi click -stânga pe opţiunea Format . Peecran se va deschide fereastra Formatting Currently

Selected X-Y Plot , care conţine patru secţiuni. Implicit sedeschide prima secţiune X-Y Axes. Opţiunile ce apar înaceastă secţiune au următoarele semificaţii:

33



Currently Selected X-Y Plot , care conţine patru secţiuni.Implicit se deschide prima secţiune X-Y Axes. Opţiunile

ce apar în această secţiune au următoarele semificaţii: Log Scale – axe logaritmice (limitele axelor trebuie săfie pozitive);Grid Lines – permite trasarea unei reţele de liniiverticale şi orizontale; Numbered – apar etichete îndreptul marcajelor axelor de coordonate; Autoscale – autoscalarea limitelor axelor; Show Markers – permiteobţinerea a două perechi de linii verticale şi orizontale

pentru evidenţierea unor puncte specifice ale graficului; Auto Grid – autoreţea (implicit este selectată).Activaţi opţiunea Grid Lines. Dezactivaţi opţiunea Autoscale. În câmpurile Number of Grids introduceţi, deexemplu cifra “4” pentru axa “x” şi “6” pentru axa “y”.Din Axes Style bifaţi opţiunea Grossed . Apăsaţi butonul

“ Применить”(dacăesteinstalatăversiunearusăWindows). Am

obţinutformatuldin fig.7.

34



Fig. 7Afişaţi secţiunea Traces (fig. 8). Această secţiune permite formatarea fiecărei funcţii separat, cu selectarealiniilor Trace 1(prima funcţie), Trace 2(funcţia 2),… printr-un click pe traseul corespunzător şi stabilirea

opţiunilor dorite din listele derulante ce se obţin cu click pe triunghiurile pline a părţii de jos a tabelului. Pentrutrasarea graficului, programul prezintă implicitargumentul în formă de variabilă şir cu raţia foarte mică.Ulterior se calculă valorile funcţiei pentru fiecarevaloare a variabilei şir. Între două valori vecine afuncţiei se efectuiază interpolare liniară. Acest lucru poate fi observat dacă vom crea variabila şir în mod

explicit. În acest caz facilităţile oferite de secţiuneaTraces vor deveni mai clare.Puţin mai sus de regiunea grafică declaraţi argumentulîn formă de variabilă şir în intervalul (-2π, 2π) cu pasulde calcul 0,4π.

35



Fig. 8Deschideţi fereastra de formatare şi în ea secţiuneaTraces (fig. 8).

Fig. 9

36



Pentru trace 1 stabiliţi Symbol (o’s), Line(solid),Color (blk), Type(solid) şi grosimea liniei Weight (2), iar

pentru trace 2 – Type(bar), Color (blk). Apăsaţi butonul“OK”. Afişaţi valorile funcţiei sin(x). Aţi obţinutgraficul din fig. 9. Dacă alegeţi pasul (raţia) de calcul aargumentului, destul de mic, cu opţiunea bar se pothaşura diagramele eforturilor interioare în cursul deRezistenţa Materialelor (fig.10).

Fig. 10Activaţi graficul cu un click al mouse-lui. Efectuaţidublu click pe grafic. Va fi afişată fereastra deformatare. Executaţi click pe butonul secţiunii Labels. Încâmpurile Title şi Axis Labels selectaţi titluri pentrugrafic şi pentru axe. Precizaţi poziţia titlului graficului:

Above (deasupra) sau Below (sub grafic). Definitivaţioperaţia prin selectarea butonului “OK ”.

37



Activaţi graficul. Stabiliţi cursorul mouse-lui în regiuneagraficului. Efectuaţi click dreapta. În meniul apărut,

selectaţi opţiunea Zoom. Cu aceasta puteţi obţinedetalierea unei porţiuni de grafic.Informaţii suplimentare despre trasarea graficelor funcţiilor le oferă meniul Help al programului.În mecanică frecvent se aplică funcţiile standard dincategoria funcţiilor discontinue ( Piecewise Continuous).Le vom defini:Φ(x) – funcţia Heviside, (funcţie treaptă unitară sau

funcţie întrerupător) care are valoarea 1, dacă x≥0 şivaloarea 0, dacă x<0.δ(i,j) – tensorul simetric al lui Cronecker. Returneazăvaloarea 1, dacă i = j şi „0” în celelalte cazuri.ε(i,j,k) – tensorul antisimetric de ordinul trei Levi-Civita. Returnează „0”, dacă cel puţin doi indici suntegali; 1 – dacă (i,j,k) definesc o permutare pară; -1 -dacă (i,j,k) definesc o permutare impară.

Pentru trasarea graficului unei suprafeţe procedaţi înfelul următor:

1. Scrieţi funcţia de cel puţin două variabileindependente.

38





Fig. 12Le puteţi aplica dacă efectuaţi dublu click pe grafic sauapăsaţi butonul drept al mouse-lui, când indicatorul luieste pe grafic şi din meniul contextual apărut alegeţi

opţiunea Format. Pe ecran va fi afişată fereastra 3-D Plot Format .

40



Opţiunile propuse sunt incluse în opt secţiuni. Treceţi dela o secţiune la alta prin efectuarea unui click pe

etichetele lor. Selectaţi opţiunile dorite şi apăsaţi butonul Apply. Comanda va fi imediat executată.Graficele plane pot fi construite nu numai încoordonate carteziene ortogonale dar şi în coordonate

polare.

Este posibilă şi prezentarea graficelor în formă parametrică. Formatarea lor se efectuează în acelaşi modca şi pentru graficele funcţiilor în coordonate carteziene.

1.7 DIFERENŢIEREA ŞI INTEGRAREA FUNCŢIILORDerivata unei funcţii se obţine în felul următor:• Definiţi funcţia derivata căreia se determină.

41





şi procesorul simbolic acţionează independent şi astfelrezultatele calculelor simbolice nu pot fi evaluate

numeric.Este posibil de a calcula şi derivate de ordin superior.Aplicaţi butonul respectiv al paletei „Calculus”.

Se pot calcula şi derivate parţiale.Pentru a aplica semnul derivatei parţiale, efectuaţi click-

dreapta pe funcţia care se derivează şi din meniulexploziv alegeţi consecutiv comanda View Derivative As, Partial Derivative.

Integrarea se efectuează în acelaşi mod ca şidiferenţierea. Fixaţi semnul de înserare în locul undedoriţi să fie calculată integrala, apăsaţi butonul integraleinedefinite sau a integralei definite de pe paleta„Calculus”, completaţi poziţiile marcate a machetelor integralelor, apăsaţi butonul-săgeată a paletei„Symbolic” pentru integrala nedefinită sau înseraţi

operatorul de evaluare <=> pentru integrarea definită.Imediat va fi afişat rezultatul calculului.

43



Limitele de integrare pentru calculul integralei definite

pot fi nu numai numere dar şi variabile şi chiar funcţii.Este posibil de a calcula integrale duble şi integrale

triple.

44



Machetele lor se obţin simplu: apăsaţi de două orirespectiv de trei ori butoanele integralelor de pe paleta„Calculus”.

1.8 VECTORI ŞI MATRICEO totalitate de numere, simboluri, funcţii ordonate senumeşte matrice. De obicei matricele constau din linii şi

coloane. Matricea cu o singură coloană se numeştevector. Componentele matricei se notează cu indici.Primul indice arată linia, iar al doilea coloana laintersecţia cărora se află elementul respectiv.Definirea unei matrice se face în felul următor:

• Introduceţi numele matricei urmată de operatorulde definire pe care îl obţineţi cu tasta <:>;

• Apăsaţi butonul matricei din paleta „Matrix”. Peecran va fi afişată fereastra „Matrix”;

45



• Introduceţi numărul de linii ( Rows) şi de coloane(Columns) necesare,

• Apăsaţi„ Insert ”. Vafi afişatămachetamatricei.

Completaţi poziţiile

marcate. Treceţi de la o poziţie la alta cu tasta <Tab>

sau efectuaţi click pe poziţia dorită cu mouse-ul.Matricea este definită.

Accesul la elementele matricei se face în felul următor:• Selectaţi numele matricei;• Apăsaţi tasta <[>. Cursorul s-a deplasat pe

poziţia indicelui.• Introduceţi numărul liniei(prima linie are

numărul 0!) în care se află elementul căutat,virgulă şi numărul coloanei(prima coloană arenumărul 0!). Pentru a începe numerotarea liniilor şi coloanelor cu alt număr, schimbaţi valoareaconstantei programului ORIGIN cu valoareadorită!;

• Introduceţi operatorul de evaluare cu tasta <=>.Valoarea componentei va fi afişată pe ecran;

46



Vectorii se definesc în acelaşi mod. Unica deosebire estecă în fereastra „Matrix” numărul de coloane trebuie să

fie 1.Dacă numărul

de linii şicoloane estemai mare ca15 fereastra„Matrix” numai poate fifolosită. Înacest caz estenecesar de acrea matricea prinintermediulvariabilelor şir. Prin douăvariabile şir

se anunţă dimensiunile liniilor şi coloanelor. Tuturor componentelor matricei i se atribuie valori zero(a i,j=0).

47



Componentelor nenule li se dă valori. Se afişeazămatricea (dacă este necesar). Implicit se afişează doar

primele 15 linii şi 15 coloane. Cu barele de derulare de jos şi din dreapta puteţi afişa orice componente. Maimult ca atât puteţi afişa matricea în întregime cu ajutorulmarcajelor ce înconjoară matricea. Dacă efectuaţi unclick -dreapta pe matrice, selectaţi comanda Properties şiîn fereastra apărută apăsaţi butonul Font puteţi mări saumicşora fontul valorilor componentelor. Pentruformatarea rezultatelor afişaţi fereastra Rezult Format,

apelând comanda Result... a meniului Format .Cu matricele în MATHCAD se pot efectua practic toateoperaţiile posibile, de la adunare, scădere, înmulţire,calculul determinanţilor, matricelor inverse şitransponarea lor, până la calculul valorilor proprii şivectorilor proprii.

48



Pentru calculul valorilor proprii şi a vectorilor propriiale unei matrice se folosesc o serie de funcţii predefinite.eigenvals(T) – returnează un vector ale căruicomponente sunt valorile proprii ale matricei Anxn;eigenvecs(T) – returnează o matrice ce conţine vectorii proprii normalizaţi la lungime unitară corespunzătorivalorilor proprii ale matricei Anxn. Coloana „n” a

matricei returnate este vectorul propriu corespunzător valorii proprii „n” obţinute cu funcţia eigenvals.

49



eigenvec(T,t) – returnează un vector propriu asociat cuvaloarea proprie t a matricei T. Vectorul propriu este

normalizat la lungime unitară.Vă reamintim că în MATHCAD se aplică două tipuri deindici inferiori: indici-text care se includ în document cuaplicarea tastei <.> şi indici matematici care se includ îndocument cu tasta <[> sau cu butonul „ xn” al paletei„Matrix”. Valoarea indicelui matematic evidenţiazăcomponenta corespunzătoare a vectorului sau a matricei.În documentul recent prezentat indicii inferiori 1,2,3

sunt indici matematici.

50



Pot fi efectuate şi operaţii simbolice cu matrice.

1.9 CALCULE SIMBOLICEÎn MATHCAD este încorporat un procesor destinatcalculelor simbolice. Spre deosebire de calculelenumerice efectuate cu o oarecare eroare, evaluareaexpresiilor cu procesorul simbolic este exactă.Calculele simbolice se pot face în două moduri:

1. cu instrumentele paletei Symbolic;2. cu comenzile meniului Symbolics.

Se foloseşte în majoritatea cazurilor paleta Symbolic, dar există situaţii, când este mai comod de aplicat comenzilemeniului Symbolics.

51



Pentruînceput

vomstudia

aplicarea instrumentelor paletei Symbolic. Evaluareasimbolică cea mai simplă se face în felul următor:Scrieţi expresia ce va fi evaluată simbolic; apăsaţi butonul evaluării simbolice (săgeata) de pe paletaSymbolic; apăsaţi tasta <Enter>. Imediat obţineţirezultatul. Dacă procesorul nu poate evalua expresia eava fi returnată în forma sa iniţială. În acest caz trebuie să

aplicaţi comenzile paletei.Dacă termenii expresiei conţin numai fracţii ordinare şi

numere întregi rezultatul va fi fracţie ordinară; dacă

52



expresia va conţine şi termeni în formă zecimalărezultatul va fi fracţie zecimală cu 20 de cifre

semnificative. Pentru a micşora numărul de cifresemnificative procedaţi astfel:• scrieţi sau efectuaţi click pe expresie;• apăsaţi butonul float al paletei Symbolic;• scrieţi în locul poziţiei marcate numărul dorit de

cifre;

• apăsaţi tasta <Enter>.Pentru a descompune în factori( factor ),desfăşura(expand ), simplifica expresiile algebrice procedaţi în acelaşi mod. Singura deosebire este aceea,că în majoritatea cazurilor este necesar de a şterge poziţia marcată şi virgula ce apare după apăsarea

butonului comenzii.În unele cazuri este necesar de a efectua câteva operaţiiasupra unei expresii. Executaţi-le consecutiv una dupăalta. Rezultatele se vor desfăşura într-o singură linie,care poate fi destul de lungă. Pentru a documentalucrarea este comod de a realiza consecutivitatea decomenzi într-un singur corp.

53



Procedaţi în felul următor:• scrieţi expresia sau efectuaţi click pe ea;• apăsaţi butonul primei comenzi de pe paleta

Symbolic;• îndeplini-ţi consecutiv celelalte comenzi;• şterge-ţi (dacă este necesar) poziţiile marcate şi

virgulele;• apăsaţi tasta <Enter>.

Evaluarea unei expresii ce conţine parametri se poateefectua după cum urmează:

54



Substituirea parametrilor în expresii se poate face şi maielegant:Cu comanda Solve a paletei Symbolics se pot obţinesoluţii analitice a unor ecuaţii algebrice şi chiar diferenţiale.Pentru ecuaţii algebrice de grad mai mare ca 2 soluţiile

sunt laborioase şi de obicei nu pot fi folosite în calculeleinginereşti.Pentrucalculesimboliceintermediarecare nu vor

55



fi documentate se pot aplica comenzile meniuluiSymbolic.

Procedaţi în felul următor:1. Scrieţi expresia care va fi evaluată;2. Cuprindeţi cu cursorul de selecţie (cornierul

albastru) toată expresia, o parte a ei sau numaivariabila în raport cu care se face operaţia;

3. Alegeţi din meniul Symbolic comanda care doriţis-o efectuaţi;

Implicit rezultatul este afişat puţin mai jos de expresie.

Efectuaţi următorul exemplu de simplificare a uneiexpresii algebrice. La dreapta sunt scrise comenzile care

sunt îndeplinite asupra expresiei din stânga:Rezultatul evaluării poate fi afişat şi la dreapta expresieiiniţiale cu sau fără comentarii. Pentru asta afişaţifereastra de dialog Evaluation Style cu comanda

Evaluation Style... a meniului Symbolic. Stabiliţiopţiunile Horizontally (Orizontal) şi Show Comments

56



(Afişarea comentariilor). Următoarele evaluări vor fiexecutate în corespundere cu opţiunile stabilite (Fig. 13).

Comentariile indică denumirea operaţiei efectuate.Opţiunea Evaluate in Place vă permite să faceţievaluarea în acelaşi loc unde a fost expresia iniţială.

Expresia iniţială dispare de pe ecran. Fig.13

Cu opţiunile comenzii Variable a meniulul Symbolic puteţi efectua diferenţierea ( Diferentiate), integrarea( Integrate), substituirea (Substitute), rezolvarea

57



ecuaţiilor (Solve), descompunerea în serii ( Expand to

series).

Pentru a realiza aceste operaţii este necesar în prealabilsă evidenţiaţi variabila în raport cu care ea se va face.În caz contrar operaţiile solicitate nu vor fi accesibile.

1.10 ECUAŢII ALGEBRICE NELINIAREOrice ecuaţie cu o singură necunoscută poate fi scrisă înfelul următor:

f(x) = 0.

Rădăcina ecuaţiei este valoarea variabilei x pentru careexpresia f(x) se anulează. A rezolva o ecuaţie înseamnăa determina numărul de rădăcini şi valorile acestora.În MATHCAD, şi în alte soft -uri destinate calculelor matematice, ecuaţiile se rezolvă cu metode iterative(apropierea de rădăcina ecuaţiei prin aproximaţiisuccesive), începând cu o valoare oarecare a variabilei,

stabilită de utilizator.Metodele iterative, numite şi metode numerice de calcul,obţin soluţia (soluţiile) ecuaţiei cu o oarecareaproximaţie, şi nu exact, cum sunteţi obişnuiţi s-o faceţi.În MATHCAD aproximaţia de calcul este determinatăde constantele TOL şi CTOL al sistemului. Implicitvalorile acestor constante sunt 0,001. Modificarea lor se

face din

fereastrade dialogMath

58



Options, care se afişează cu comanda Options ameniului Math.

Dacă rădăcina calculată a unei ecuaţii este de exemplux=10, aceasta de loc nu înseamnă că rădăcina exactăeste în limitele9,999<X<10,001.De fapt, se rezolvă ecuaţia f(x) = TOL. La fiecareiteraţie se calculează expresia f(x) şi se compară cuTOL. Dacă f(x) ≤ TOL, valoarea actuală a variabilei vafi afişată în calitate de rădăcină. În caz contrar, va fi

generată o nouă iteraţie, până când se satisfaceinegalitatea. Pentru a începe procedura de calcul estenecesar de a da o valoare iniţială variabilei. De obicei se propune ca această valoare să fie în vecinătatea rădăciniiaşteptate. Astfel, înainte de rezolvare, ecuaţia trebuieanalizată calitativ. Un ajutor esenţial în acest proces este posibilitatea trasării graficului funcţiei f(x) şilocalizarea rădăcinilor.Pentru rezolvarea unei ecuaţii liniare sau neliniare sefoloseşte funcţia

root(f(x),x)unde: f(x) – funcţia, ce determină ecuaţia; x – variabila, în raport cu care rezolvă ecuaţia.Această funcţie returnează o singură valoare a variabilei

x pentru care

f(x) devinemai mică ca TOL.

Pentrucalcululrădăcinilor

59



unei ecuaţii în formă polinomială este mai corect de aaplica funcţia

polyroots(v), care returnează toate rădăcinile ecuaţiei,inclusiv cele complexe (fig.14). Aici, v este vectorulcoeficienţilor polinomului. Pentru alte tipuri de ecuaţiineliniare această funcţie nu poate fi aplicată şi suntemnevoiţi să căutăm soluţiile dorite cu funcţia rootintuitiv, sau prin analiza suplimentară a ecuaţiei, sau încel mai prost caz prin scanarea pe tot domeniul devariaţie a variabilei.

Pentru rezolvarea unui sistem de ecuaţii sau inecuaţiineliniare se foloseşte funcţia

Find(x,y,z,...),unde x,y,z,... – necunoscutele sistemului, ce determinăo singură rădăcină a sistemului de ecuaţii.

Procedura de rezolvare cuprinde paşii următori:1. Stabilirea valorilor iniţiale a variabilelor şi funcţiilor care vor fi incluse în ecuaţii.2. Scrierea cuvântului Given. Fig.14 3.Scrierea ecuaţiilor sistemului. Semnul <=> se include cu butonul „ Equal ”al paletei „ Boolean” sau cu combinaţia de taste <Ctrl>+<=>.

60



4. Se

calculează vectorul rezultatului (rădăcinii) sistemului cufuncţia Find.5. Se afişează vectorul rezultatului şi componentele lui,dacă este necesar.6. Dacă nu aţi obţinut soluţia necesară, sau pentru aobţine alte soluţii, schimbaţi valorile iniţiale ale problemei. Răspunsul la întrebarea câte soluţii aresistemul de ecuaţii neliniare este o problemă destul de

dificilă şi poate fi rezolvată doar prin analiza calitativă asistemului sau prin scanarea variabilelor iniţiale pe totdomeniul de variaţie ale lor.

61



Creşterea preciziei calculelor se poate obţine prinmicşorarea valorii constantei TOL şi CTOL. Ecuaţiile

pot fi scrise şi aşa:În acest exemplu, sistemul de ecuaţii are două soluţii, iar în cel precedent şase! Încercaţi să le determinaţi.Cu procedura Given-Find se pot rezolva şi sisteme de

ecuaţii ce conţin restricţii de variaţie a variabilelor.

La rezolvarea ecuaţiilor neliniare deseori apar situaţii,

când procedurile root şi given-find nu găsesc sau nusunt în stare să găsească soluţii. De exemplu, ecuaţia dinfig. 15 are două rădăcini, dar dacă stabilim valoareainiţială a variabilei x = -1, procedura given-find nugăseşte nici una. Rezultatul se afişează cu culoare roşieşi apare următorul mesaj: „ No solution was found. Try

changing the guess value or the value of TOL or

CTOL.” (Soluţia nu a fost găsită. Schimbaţi valoareainiţială sau valorile TOL sau CTOL.)

62



Fig. 15Din graficul funcţiei se vede că ecuaţia are două soluţii.Pentru a le obţine este suficient să schimbaţi valoarea

iniţială avariabilei.Proceduragiven-findfoloseşte pentrudeterminareasoluţiei treimetode, caresunt diferite

modificări ametodei lui

63



Newton. Alegerea metodei de rezolvare se face automat.Pentru verificarea soluţiei obţinute, sau dacă nu obţineţi

nici o soluţie, puteţi schimba metoda de rezolvare.Efectuaţi click -dreapta pe funcţia find; din meniul careapare alegeţi opţiunea Nonlinear şi din submeniumetoda dorită.Cu procedura given-find poate fi rezolvat un sistem de până la 200 ecuaţii.

1.11 ECUAŢII ALGEBRICE LINIAREUn sistem de n ecuaţii algebrice liniare cu n necunoscuteare următoarea formă dezvoltată:

(1)

unde aij (i=1,n; j=1,n;) – coeficienţii necunoscutelor;x j – necunoscutele sistemului;bi – termenii liberi ai sistemului.

Sistemul (1) poate fi prezentat şi în formă matriceală: A·x=b (2)Aici A – matricea coeficienţilor sistemului cu

dimensiunile n×n, x – vectorul necunoscutelor cudimensiunea n, b – vectorul termenilor liberi cu aceeaşidimensiune.Matricea A se numeşte singulară, dacă determinantul eieste zero (|A|=0). În cursul de algebră liniară sedemonstrează, că dacă matricea A coeficienţilor sistemului de ecuaţii (1) nu este singulară, sistemul de

ecuaţii are o singură soluţie. În acest caz ecuaţiile

64

a11 x1⋅ a12 x2⋅+ ....+ a1n xn⋅+ b1

a21 x1⋅ a22 x2⋅+ ....+ a2n xn⋅+ b2

...............................................................

an1 x1⋅ an2 x2⋅+ .....+ ann xn⋅+ bn



sistemului sunt independente, iar sistemul estecompatibil.

Dacă matricea A este singulară şi vectorul termenilor liberi nu este nul (b≠0), sistemul de ecuaţii (1) n-aresoluţii şi se numeşte incompatibil.Dacă b=0, sistemul de ecuaţii (1) se numeşte omogen,în caz contrar neomogen.Pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii algebriceMATHCAD propune câteva instrumente:

1. procedura given-find;

2. funcţia lsolve3. cu operaţii matriceale directe.

Procedura given-find este cea mai clară, dar estecomodă doar pentru sisteme cu un număr mic de ecuaţii.Pentru sisteme mari de ecuaţii se folosesc operaţiidirecte matriceale sau funcţia lsolve.

65



Pentru calculul numeric cu procedura given-find estenecesar de a indica valori arbitrare iniţiale ale

variabilelor, iar pentru calcul simbolic nu este necesar.Funcţia lsolve are sintaxa: lsolve(A,b)Unde A – matricea coeficienţilor sistemului de ecuaţii,b – vectorul termenilor liberi. Prezentăm aplicarea ei şia operaţiilor matriceale directe pentru rezolvareasistemelor de ecuaţii liniare:

66



Dacă sistemul de ecuaţii algebrice este omogen şimatricea coeficienţilor A este singulară, sistemul are oinfinitate de soluţii. Aceste soluţii sunt infinitatea devectori coliniari cu vectorul propriu al matricei A, carecorespunde valorii proprii egală cu zero.

1.12 ECUAŢII DIFERENŢIALEEcuaţiile, ce conţin funcţia necunoscută sub semnulderivatei se numesc ecuaţii diferenţiale. Deosebescecuaţii diferenţiale obişnuite şi cu derivate parţiale,liniare şi neliniare, omogene şi neomogene, cu condiţiiiniţiale şi cu condiţii la limită. Programul MATHCADrezolvă majoritatea ecuaţiilor obişnuite cu condiţiiiniţiale (aşa numita problema lui Cauchy), multe ecuaţiiobişnuite cu condiţii la limită, şi chiar unele ecuaţii cu

derivate parţiale. În timpul apropiat se aşteaptă apariţia

67



pe piaţă a unei versiuni noi a programului cu posibilităţiavansate de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale.

Funcţiile, care permit rezolvarea ecuaţiilor diferenţialeobişnuite sunt accesibile cu comanda Insert, Function....Peecranapare

fereastra de dialog „ Insert Function”. Selectaţi din listastângă Differential Equation Solving . În lista din dreaptaobţineţi toate funcţiile disponibile cu o descriere adestinaţiei, argumenţilor şi modului de aplicare.Rezolvarea ecuaţiilor se face cu aplicarea metodelor numerice. Programul nu prevede (până ce) soluţionareanalitică a ecuaţiilor diferenţiale.

O singură ecuaţie se rezolvă cel mai simplu cu procedura Given-Odesolve, care foloseşte metodanumerică Runge-Kutta de ordinul 4. În fig. 16 este prezentată rezolvarea unei ecuaţii liniare neomogene deordinul doi cu aplicarea acestei proceduri. FuncţiaOdesolve are trei argumenţi: primul indică variabilaindependentă (x); al doilea indică valoarea variabilei x până la care se vor efectua calculele şi al treilea -

numărul de paşi în care metoda Runge-Kutta va rezolva

68



ecuaţia. Ultimul argument este opţional (poate să nu fieindicat). Semnul derivatelor şi egalul logic se introduc

cu ajutorul paletelor „Calculus” şi „ Boolean”(fig. 3).Semnul derivatei „' ” se include cu combinaţia de tasre<Ctrl> +<F7>.

Cu funcţiaOdesolve serezolvănumaiecuaţii cu

condiţiiiniţiale!(condiţii lacapătulstâng alintervaluluideintegrare). Numărulcondiţiilor iniţiale

trebuie să fie egal cu ordinul ecuaţiei diferenţiale şi săconţină valoarea funcţiei şi a derivatelor ei până laordinul n-1 la capătul stâng al intervalului de

Fig.16integrare.Cu aceastăfuncţie este posibil de arezolva şiecuaţiidiferenţiale

neliniare. Înfigura

69



alăturată este prezentată rezolvarea ecuaţiei, care descriemişcarea oscilatorie liberă a pendulului matematic în

cazul deplasărilor mari. Aici Θ – este unghiul de devierea pendulului de la poziţia verticală.De obicei, rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale neliniarenecesită cunoştinţe a fenomenului, care este studiat.Lipsa acestor cunoştinţe deseori conduce la mesajul„Could not find a solution” (Soluţia nu este găsită).O metodă alternativă de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale cu condiţii iniţiale este efectuată cu funcţia

rkfixed, care este utilă la rezolvarea sistemelor deecuaţii diferenţiale obişnuite. Este interesant faptul, căecuaţia de ordinul „n” poate fi redusă la un sistem de „n”

70





x0, x1 – punctele de început şi sfârşit al intervalului deintegrare;

D - are aceeaşi semnificaţie ca şi în funcţia rkfixed;loud – vector, cu toate condiţiile iniţiale (de la capătulstâng ) necesare. Valorile necunoscute sunt valorile deîncercare ale vectorului v;score – vector, de aceeaşi dimensiune cu vectorul v.Fiecare componentă este diferenţa între o condiţiecunoscută de la capătul din dreapta a intervalului deintegrare notată prin numele ei (w0, w1, ...) şi valoarea

ei;Funcţia returnează un vector cu condiţiile iniţiale ale problemei, care nu erau în prealabil cunoscute.Exemplu: Să se rezolve ecuaţia

72



y''''=5*x cu următoarele condiţii la limită:y(0)=0, y''(0)=2, y(2)=3, y'(2)=4.

Intervalul de integrare este de la [0,2]. Deci x0=0 şix1=2. La capătul stâng nu sunt cunoscute două condiţiiiniţiale. Deci, vectorul v va conţine două valori de

încercare(prima aproximaţie), v0 şi v1. Aceste valori pot

73



fi arbitrare sau în apropierea celor aşteptate. Formămfuncţia loud(x0,v), care este un vector cu patru

componente (după numărul de condiţii iniţiale necesare pentru rezolvarea problemei). Fiecare componentă estecondiţia iniţială corespunzătoare, începând cu y(x0),y'(x0), y''(x0) şi y'''(x0). Deoarece y'(x0) şiy'''(x0) nu sunt cunoscute, în locul lor se scrie v0 şi v1

respectiv(nu valorile numerice de încercare!). Formămfuncţia score(x1,w), în conformitate cu reguleleexpuse anterior, luând în considerare, că w0, w1, w2

etc. sunt respectiv valorile funcţiei, primei derivate,derivatei a doua, etc. la capătul din dreapta alintervalului de integrare. Crearea funcţiei D(x,y) este puţin mai complicată. Ecuaţia diferenţială iniţială deordinul n trebuie redusă la un sistem de n ecuaţii deordinul 1. Pentru aceasta notăm:

y0 = y, y1 = y', y2 = y'', şi y3 = y'''.

Alcătuim sistemul de ecuaţii:y0' = y1

y1'= y2

y2'= y3

y3' = 5*x.Partea dreaptă a acestui sistem este vectorul, ce defineştefuncţia D(x,y).Mai departe este simplu. Definim funcţia sbval. Afişăm

valoarea ei. Aplicăm funcţia rkfixed pentru obţinereafuncţiei y(x) şi derivatelor ei. Trasăm graficele acestor funcţii pentru intervalul de integrare [0,2].Cu ajutorul cunoştinţelor obţinute este relativ simplu dea rezolva aşa numita problema valorilor proprii pentruecuaţii diferenţiale obişnuite liniare omogene. ÎnRezistenţa Materialelor acestea sunt problemele

calculului forţelor critice la flambaj şi frecvenţelor

74



proprii de vibraţie ale barelor. Pentru rezolvarea acestor probleme se folosesc aceleaşi funcţii sbval şi bvalfit.

În calitate de exemplu vom studia flambajul unei baredrepte simplu rezemate cu rigiditatea la încovoiereconstantă de-a lungul barei. Lungimea barei este 1m.Problema se reduce la rezolvarea ecuaţiei diferenţialeomogene de ordinul doi:

y''+λ*y = 0Aici, λ – parametrul(necunoscut), care determină forţacritică; y(x) – funcţia deplasărilor.

Pentru această problemă condiţiile la limită sunt: y(0)= 0 şi y(1) = 0.Ecuaţiile diferenţiale liniare omogene se caracterizează prin faptul, că:

1. funcţiile y(x) se determină numai până la oconstantă arbitrară aditivă ne egală cu zero;

2. problema are soluţii nenule numai pentru un şir infinit de valori discrete a parametrului λ.

Astfel, problema trebuie rezolvată cu trei condiţii: douăcondiţii iniţiale şi o valoare a parametrului λ. Dar deoarece funcţia y(x) se determină doar până la oconstantă, valoarea derivatei ei la capătul stâng al barei poate fi luată arbitrară, de exemplu egală cu unitatea.Acum pentru a satisface condiţia de la capătul drept vomvaria parametrul λ!

Notăm:y0 = y, y1 = y', y2 = λ .

Alcătuim sistemul de trei ecuaţii:y0' = y1

y1'= -y2*y0

y2' = 0.Parametrul λ este constant pentru orice x şi deciderivata lui este zero. Acum aplicăm pentru calculul lui

75



funcţia sbval, aşa cum am procedat în exemplul precedent:

Scriem valorile argumentului x0 şi x1;Aplicăm parametrului λ o valoare iniţială arbitrară λ0 înapropiere de zero, pentru a obţine prima valoare proprie(Reamintim, că problema are o infinitate de valori proprii);Definim fincţiile D(x,y), load şi score;Calculăm cu funcţia sbval prima valoare proprie λ.

76



Pentru a determina funcţia proprie care corespunde

primei valori proprii aplicăm funcţia rkfixed.Pentru a obţine alte valori proprii este suficient săintroduceţi alte valori de încercare. Dacă luaţi λ0 = 50,veţi obţine a doua valoare proprie 22*π2, etc.

77



Câteva exemple de rezolvare a problemelor de valori proprii le găsi-ţi în compartimentul „ Eigenvalues and

Eigenfunction” a centrului de resurse( Resourse Center )din meniul Help.Funcţiile aplicate anterior pentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale folosesc metoda numerică Runge-Kutta.Dar, există ecuaţii care necesită un pas extrem de mic ametodei numerice. Pentru rezolvarea lor metodelestandard nu pot fi aplicate. Aceste ecuaţii se numescrigide (stiff ). Indice a ecuaţiei rigide este iacobianul

funcţiei vectoriale D(x,y). Cu cât matricea iacobianuluieste mai aproape de singulară, cu atât sistemul de ecuaţiieste mai rigid. Pentru rezolvarea acestor ecuaţii sefolosesc funcţiile Stiffb şi Stiffr. Descriereaargumenţilor acestor funcţii le găsiţi la chemarea lor cucomanda Function.. a meniului Insert .

1.13 ANALIZA

DATELOR

EXPERIMENTALE

Cel mai frecvent, un set de date experimentale sunt prezentate în formă de tablou, care constă din perechi dedate (xi,yi). Problema constă în aproximareadependenţei discrete yi(xi) cu dependenţa continuă

(funcţia continuă) y(x). În dependenţă de scopulcercetării deosebesc trei tipuri de aproximări:

1. interpolarea şi extrapolarea(predicţia) datelor;

2. regresia datelor;3. filtrarea datelor.

La interpolare, funcţia y(x) trece prin punctele (xi,yi) şiaproximează dependenţa yi(xi) doar în interiorulintervalului ce conţine valorile xi. La extrapolare, seaproximează această dependenţă în afara intervalului ceconţine toate valorile xi.

La regresie, funcţia y(x) nu trece obligatoriu prin punctele (xi,yi). Uneori tehnica de regresie se mai

78



numeşte netezirea datelor experimentale. Regresia sefoloseşte atunci, când legea de variaţie a datelor este o

funcţie sau o combinaţie de funcţii calitativ cunoscute.De exemplu, o funcţie liniară, parabolică, hiperbolică,exponenţială, trigonometrică etc.La filtrarea datelor, unele date (care se consideră greşitesau inutile) sau se exclud din setul iniţial sau se reduceinfluenţa lor în corespundere cu un oarecare algoritm defiltrare. Asta face posibil micşorarea erorilor demăsurare şi evidenţierea datelor corecte. Pentru filtrarea

datelor în MATHCAD cu succes se folosesctransformările integrale Fourier şi Laplace.Funcţiile pentru efectuarea analizei datelor şi descriereaargumenţilor lor le găsiţi şi le înseraţi cu comanda Function... al meniului Insert. Din fereastra de dialog Insert Function(vezi paj. 58), în partea stângă alegeţiurmătoarele compartimente: Interpolation and Prediction – pentru interpolări şiextrapolări; Regression and Smoothing – pentru regresii şi filtrare.În partea dreapta sunt afişate funcţiile disponibile, iar puţin mai jos descrierea argumenţilor funcţiei selectateşi forma rezultatului returnat. Exemple de aplicare alelor le găsiţi în meniul Help prin specificarea comenzii Resourse Center.

79



În rezultat vor fi afişate compartimentele Centrului deresurse (Fig. 16). Efectuaţi click pe QuickSheets and

Reference Tables. Din cuprins vă alegeţi capitolul Data Analyses şi dacă efectuaţi click pe denumirea lui obţineţiacces la diferite metode de analiză a datelor. Probabil aţiobservat, că centrul de resurse conţine o mulţime deexemple pentru toate problemele care pot apărea în procesul de lucru cu MATHCAD.

Fig. 16

80



Aici vom prezenta doar un exemplu de interpolareliniară a datelor şi unele sfaturi generale.

La dimensionarea barelor drepte solicitate la flambajeste necesară cunoaşterea dependenţei coeficientului dereducere a tensiunii admisibile de coeficientul dezvelteţe a barei φ =. φ(λ) Această dependenţă este prezentată în formă de tabel. Deci dependenţa estediscretă φi(λi). Este mai comod de a o avea în formăcontinuă. Pentru oţel 3 tabelul conţine 28 perechi dedate. Dacă definiţi datele printr-o matrice, şablonul

căreia se va crea cu comanda Insert, Matrix, matricea vaocupa un spaţiu mare pe ecran şi pe hârtie( daca veţi doris-o documentaţi). Este posibil de a rezolva această problemă. Procedaţi în felul următor:

1. Executaţi comanda Insert, Component...Pe ecranva fi afişată fereastra Component Wizard .

2. Din lista acestei ferestre de dialog apăsaţi pe Input Table.

3. Apăsaţi Finish. Veţi obţine şablonultabloului(matricei) de introducere a datelor înformă restrânsă; cu două rânduri şi două coloane.

4. Efectuaţi click pe şablon. Daţi denumiretabloului(de exemplu date). Introduceţidatele(în prima coloană valorile λi, în a douacoloană valorile φi). Atenţie! Datele

argumentului (aici λi ) trebuie introduse înordine crescătoare.Pentru ca notaţiilerândurilor şi coloanelor săînceapă cu unitatea scrieţi puţin mai sus de tablouORIGIN = 1(Fig. 17).Trecerea de la o celulă laalta a tabloului se face cu

81



tastele <Enter> (în jos) şi <Tab> (la dreapta). Definim prima coloană cu denumirea x (nu λ!), iar a doua

coloană cu y (nu φ!). x şi y sunt vectori cu 28 decomponente fiecare. Afişăm aceşti vectori în formătransponată. În fig. 17 sunt vizibile doar ultimelecomponente ale lor, dar dacă efectuaţi click pe ei aveţiacces la toate elementele.

Fig. 17Acum efectuăm cea mai simplă interpolare, interpolarealiniară cu aplicarea funcţiei linterp(x,y,λ), aşa cumeste indicat în fig. 17. Primul argument este coeficientulde zvelteţe definit cu vectorul x, al doilea estecoeficientul de reducere a tensiunii admisibile definit cuvectorul y,iar al treilea defineşte altă denumire avariabilei independente λ. Alte denumiri a funcţiei şi

82



argumentului sunt necesare pentru a deosebi datelediscrete de cele continue. Trasăm datele iniţiale (xi,yi) şi

graficul funcţiei obţinute φ(λ).Pentru a efectua alte tipuri de analiză a datelor folosiţi Resourse Center.

1.14 PROGRAMAREMATHCAD este destinat celor, care doresc să rezolve probleme matematice fără a cunoaşte programarea. Dar, pentru probleme complicate sau pentru automatizarea

unor proceduri, elaboratorii de la Microsoft au creat unlimbaj de programare mic, dar destul de inteligent şisimplu în aplicare.Operatorii acestui limbaj sunt indicaţi în paleta Programming (fig. 3). Ei pot fi introdu-şi în liniile de program numai prin apăsarea butoanelor corespunzătoare a acestei palete. Selectarea manuală va

conduce la mesaje de eroare. Liniile de cod seobţin simplu: prin apăsarea butonului Add

Line. Ştergerea liniilor se face cu comenzile Delete şi Back Spase de la tastieră, îndependenţă de poziţia şi orientarea semnului deînserare (cornierul de culoare albastră). Una

din noţiunile de bază a limbajuluieste noţiunea de variabilă locală.

Variabila locală se defineşte şi i seatribuie valoare cu butonul „←”al paletei „ Programming ”şi este„vizibilă” numai în interiorulcorpului programului. În

exemplul prezentat variabila „c” se calculă cu ajutorulunui program care constă din două linii de cod. În prima

linie variabilei locale „a” i se atribuie valoarea „3”. Înlinia a doua variabilei locale „b” i se atribuie valoarea

83



„a+5”. De obicei, rezultatul ultimei linii a programuluieste atribuit variabilei sau funcţiei care defineşte

programul. Puţin mai sus de program a fost definităvariabila globală cu acelaşi nume „a”, dar cu valoarea„2”. Puţin mai jos de program am afişat valoareavariabilei „a”. Deci, variabila locală „a” este „vizibilă”numai în interiorul programului. Acelaşi lucru estevalabil şi pentru variabila „b”.Liniile de cod sunt comode pentru definirea funcţiilor cudiscontinuităţi.

Aici este aplicat operatorul if de pe paleta Programming .Pentru efectuarea calculelor de rezistenţă a construcţiilor este necesar de a determina maximul global al funcţieide o singură variabilă pe un interval al argumentului.MATHCAD-ul are două funcţii de calcul a valorilor maximale Maximize şi a valorilor minimaleMinimize. Dar, cu regret, ele determină doar valorile

extremale locale. Funcţii predefinite MATHCAD pentrucalculul valorilor globale pe un interval al funcţiei nuexistă. Vom crea un program-funcţie , care face acestlucru. Fie denumirea acestei funcţii maximum.Rezultatul returnat de ea va fi un număr(scalar). Funcţiava avea trei argumenţi: funcţia f în formă analitică,maximul global al căreia se determină, valoareaargumentului la capătul stâng a şi respectiv la capătul

drept b al intervalului de cercetare. Există mai multemetode de determinare a valorilor extremale a funcţiei.

84



Noi vom aplica metoda cea mai simplă (este posibil căea să fie şi cea mai sigură): metoda scanării funcţiei pe

tot intervalul cercetat cu un pas foarte mic. Memorareatuturor valorilor funcţiei într-un vector. Cu funcţia predefinită max determinăm valoarea maximă avectorului obţinut, care şi este maximul global alfuncţiei (în sens algebric) pe intervalul (a,b). Programuleste prezentat în exemplul ce urmează.

85



Aici se aplică operatorii for şi break care au aceeaşisemnificaţie ca şi în limbajele tradiţionale de programare. Cu modificări mici se determină şiminimul absolut al funcţiei. Este posibil să creaţi un alt program care rezolvă această problemă cu un număr maimic de linii de cod. Alte exemple de aplicare a programării în mediul MATHCAD sunt disponibile înCentrul de resurse Resourse Center.

86



2 APLICAŢII

TRANSFORMĂRI LINIARE DE COORDONATEFie un sistem de coordonate cartezian şi ortogonal de dreapta cu

axele x1,x2,x3. Baza ortonormată asociată luisunt vectorii (unitari) e1,e2,e3. Matriceletensorului de ordinul unu (vectorului V) şitensorului de ordinul doi T raportate la acestsistem de coordonate sunt cunoscute. Să se

determine matricele acestor tensori în raport cusistemul de coordonate obţinut din primul prin

rotirea lui cu unghiul α în jurul axei x1. Reamintim, că pentrusistemele de coordonate de dreapta, unghiurile de rotire sunt pozitive, dacă sunt orientate în sens antiorar uitându-vă din direcţia pozitivă a axei de rotire. Să se efectueze şi transformarea inversă. Rezolvare:

Transformările de coordonate se fac cu ajutorul matricelor detrecere de la un sistem de coordonate la altul. În cazultridimensional matricea de trecere este o matrice pătrată cudimensiunea (3×3). Fiecare linie a ei prezintă consecutivcomponentele vectorilor ortonormaţi e1a, e2a, e3a ai nouluisistem de coordonate în raport cu cel iniţial.Stabilim numerotarea indicilor matricelor începând cu 1.

=

Fie α 30de:= .Determinăm vectorii de bază e1a, e2a, e3a în sistemul nou decoordonate:

e1a 0

0 := e2a cos α( )

sin α( )

:= e3a sin α( )−

cos α( )

:=

Creăm matricea de trecere de la sistemul iniţial la sistemul actualde coordonate:

x

e1

e3

e2

x2

3



A

1

0

0

0

cos α( )

sin α−

0

sin α( )

cos α

:=

Fie:

V 3

4 := T 3

4

5

6

6

7 :=

Efectuăm transformările:în forma tensorială

Vai

1

3

j

Ai j, V

j⋅∑

=

:= Va

2

4.598

1.964

=

Tai j,

1

3

m 1

3

n

Ai m, A

j n,⋅ Tm n,⋅∑

=∑=

:= Ta

2

4.598

1.964

4.598

10.696

3.866

1.964

3.866

1.304

=

în forma matriceală

Va A V⋅:= Va 4.598

1.964

= Ta A T⋅ A1−

⋅:= Ta 4.598

1.964

10.696

3.866

3.866

1.304

=

Aici Va şi Ta sunt matricele tensorilor V şi T în sistemul nou decoordonate.Efectuăm transformările inverse:

V A 1− Va⋅:= V 3

4 = T A 1− Ta⋅ A⋅:= T 3

4

5

6

6

7 =

Menţionăm că matricele de trecere de la un sistem de coordonatela altul sunt matrice ortogonale. Pentru ele este caracteristic, cădeterminantul lor este egal cu 1, iar produsul scalar al oricăreilinii(coloane) cu altă linie(coloană) este zero. Asta este evident

deoarece liniile matricei sunt întocmai vectori unitari şi reciproc perpendiculari.



ANALIZA STĂRII DE TENSIUNI ÎN JURUL UNUI PUNCT MATERIALStarea de tensiuni în jurul unui punct al corpului este determinată

de tensorul tensiunilor T, cu matricea Tij (i,j=1,3) raportată lasistemul de coordonate cartezian şi ortogonal x1,x2,x3.Să se determine:

1. invarianţii tensorului tensiunilor T;2. tensiunile principale şi suprafeţele principale ale tensorului

tensiunilor T;3. vectorul tensiunii t care acţionează pe suprafaţa definită de

vectorul normalei exterioare n =ni*ei şi trece prin acest punct;

4. tensorul sferic T0 şi deviatorul tensiunilor σ al tensoruluiT.

5. în ce stare se află materialul: reversibilă(elastică) sauireversibilă(plastică) în acest punct, dacă materialul esteoţel 3 (STAS 380-71) cu limita de elasticitate σy=250MPa. Se va aplica criteriul de rezistenţă von Mises

(criteriul energiei potenţiale specifice de variaţie a formei);6. suprafaţa caracteristică a tensorului T. Rezolvare: Fie

Date post:	10-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	croitoru-ion
View:	217 times
Download:	0 times

mathcadlucr

Documents