MathCad_ILambrescu

8/20/2019 MathCad_ILambrescu

1/288

1

Ionuţ Lambrescu

MM AA TT HH C C AA D D

Editura Universit ăţ ii din Ploie ş ti2004


2/288


3/288

Ionuţ Lambrescu

MM AA TT HH C C AA D D

Editura Universit ăţ ii din Ploie ş ti2004


4/288

4

Pagina cu ISBN-ul


5/288

Prefa ţă

Rezolvarea multor probleme inginereşti implică utilizareacalculatorului electronic. În fapt, este de neconceput să seobţină rezultate de calitate, în timp scurt, sau să se imaginezemunca în echipă (ai cărei membri pot fi distribuiţi pe marispaţii geografice), f ără utilizarea calculatorului.Pe piaţa produselor software de calculştiinţific-ingineresc (şinu numai), oferta este relativ variată. MathCAD, Matlab,Mathematica, sunt numai câteva din mărcile ce acoperă această zonă de activitate.Ca întotdeauna există tentaţia ierarhizărilor. „Care soft e maibun?”, este întrebarea la care răspunsul nu este chiar aşa de

uşor de dat. Cel mai bun produs este cel pe care-l stăpâneşticel mai bine, cu care ai lucrat, cu care ai o experienţă .Tentaţia (manifestă mai ales la utilizatorii tineri) este de lucracu toate (sau aproape toate) produsele similare. Fireşte este ogreşeală. După cum o greşeală este cantonarea încăpăţânată

la unul singur. Probabil că o soluţie echilibrată ar fi acoperireaacceptabilă a două produse (ceea ce nu este atât de greu pecât poate părea, pentru că există multe similitudini în tehnicade operare sau în logica de lucru).Pentru studenţi sau specialişti – cărora li se adresează această

carte - un anumit nivel de aplicaţii poate fi abordat prin


6/288

6

utilizarea [şi a] Mathcad-ului, un produs cu o interfaţă prietenoasă, cu algoritmi acceptabili pentru niveluri decomplexitate mediişi mai ales un produs foarte uşor de

învăţat. Cartea se doreşte un sprijin pentru cei care vor să înveţe să lucreze cu Mathcad, sau pentru cei care vor să seperfecţioneze. Parcurgerea ei nu asigură automat obţinerea derezultate de înalt nivel, dar poate fi un punct de pornire, de la

care se poate continua prin studiu individualşi mai ales prin încercarea de a folosi MathCAD-ul pentru rezolvarea unorprobleme reale.

Adresez mulţumiri domnului Liviu Dumitraşcu, Prorector alUniversităţ ii Petrol Gaze din Ploieşti, pentru sfaturile şi

îndrumarea acordate pe parcursul redactării lucrării. Autorul aduce şi pe această cale mulţumiri desosebitedomnului Coloja Pascu Mihai, Prorector al Universităţ ii PetrolGaze din Ploieşti, f ără ajutorul căruia această carte nu ar fiputut să apară aşa cum a apărut.

Mulţumiri se cuvinşi celor doi referenţii, pentru răbdare şiobservaţiile utile pe care le-au f ăcut Autorul


7/288

CUPRINS1 PRODUSULMATHCAD. PREZENTARE................................................. 13

1.1 I NTRODUCERE............................................................................... 14 1.2 NOUTĂŢI ADUSE DEMATHCAD 2001........................................... 14 1.3 CERINŢE HARDŞI SOFT PENTRU INSTALARE.................................. 15 1.4 FIŞIEREMATHCAD ...................................................................... 16 1.5 MEDIUL DE LUCRUMATHCAD. ECRANULMATHCAD,

FERESTRE, DOCUMENTE................................................................. 16 1.6 STRUCTURA UNUI DOCUMENTMATHCAD.

NOTIUNEA DE REGIUNE................................................................. 18 1.7 TEHNICI DE LUCRU........................................................................ 19 2 LANSAREA COMENZILOR ÎNMATHCAD.............................................. 21

2.1 MENIURIMATHCAD. PREZENTARE GENERALĂ............................ 22 2.2 BARE DE UNELTE(TOOLBARS) ...................................................... 22 2.3 AGENDE ELECTRONICE(ELECTRONIC BOOKS)............................... 23

3 DOCUMENTEMATHCAD .................................................................... 27 3.1 CREAREA DE REGIUNI DE TIP EXPRESIE, TEXT SAU GRAFIC............ 28

3.2 CONSTANTE, VARIABILE, OPERATORI, FUNCŢII.............................. 31 3.2.1 OPERATORI.......................................................................... 31 3.2.2 CONSTANTE......................................................................... 32 3.2.3 UTILIZAREA DE BAZE DE NUMERATIE,

ALTELE DECAT CEA ZECIMALA............................................. 32 3.2.4 VARIABILE........................................................................... 33 3.2.5 FUNCŢII ............................................................................... 37

3.3 CONTROLUL REGIUNILOR INTR -UN DOCUMENTMATHCAD......... 38


8/288

8

3.4 EDITAREA SI FORMATAREA REGIUNILOR DE TIP EXPRESIESI DE TIP TEXT INTR -UN DOCUMENTMATHCAD ........................... 41

3.4.1 EDITAREA DE EXPRESII........................................................ 41 3.4.2 I NSERAREA SI STERGEREA DE PARANTEZE.

APLICAREA UNEI FUNCTII.................................................... 42 3.5 FONTURI IN EXPRESII MATEMATICE. ETICHETE(TAG-URI) ............. 44

3.5.1 APLICAREAŞI CREAREA DE ETICHETE................................. 46 3.6 EDITAREAŞI FORMATAREA REGIUNILOR DE TIP TEXT. STILURI..... 46

3.6.1 STILURI................................................................................ 47 3.6.2 CONTROLUL DIMENSIUNILOR UNEI REGIUNI DE TIP TEXT..... 48

3.7 FORMATAREA REZULTATELOR ÎNTR -UN DOCUMENTMATHCAD. 50 3.8 EVALUARE DOCUMENTELORMATHCAD...................................... 56

3.8.1 DEZACTIVAREA UNEI ECUAŢII ............................................. 57 3.8.2 OPTIMIZAREA EVALUĂRILOR ............................................... 58 3.9 DEFINIREA DE HYPERLINK -URI....................................................... 59

4 CALCUL MATRICEAL NUMERIC............................................................ 61 4.1 CREAREA UNUI VECTOR SAU A UNEI MATRICE.............................. 62

4.1.1 VARIABILE DE TIP VECTOR SAU MATRICE........................... 64 4.1.2 R EFERIREA ELEMENTELOR VECTORILOR SAU MATRICELOR . 64 4.1.3 ORIGINEA INDICILOR ........................................................... 65

4.1.4 LIMITĂRI ASUPRA DIMENSIUNILOR MATRICELOR ................. 67 4.2 OPERATORI PENTRU CALCUL MATRICEAL..................................... 67 4.3 FUNCŢII PENTRU CALCUL MATRICEAL........................................... 69

4.3.1 DESCOMPUNEREAL U......................................................... 77 4.3.2 DESCOMPUNEREACHOLESKY.............................................. 78 4.3.3 DESCOMPUNEREAQR ......................................................... 78 4.3.4 DESCOMPUNEREASVD

(SINGULARVALUEDECOMPOSITION).................................. 78 4.3.5 EXEMPLE DE UTILIZAREA A FUNCŢIILOR

DE CĂUTARE ÎN TABLOURI................................................... 82 4.3.6 VECTORIZĂRI ŞI ATRIBUIRI SIMULTANE............................... 84 4.3.7 CREAREA DE MATRICE STRUCTURATE................................. 86

5 R EPREZENTĂRI GRAFICE...................................................................... 93 5.1 GRAFICE2D.................................................................................. 94

5.1.1 GRAFICE DE TIPX-Y............................................................ 94 5.1.2 FORMATAREA GRAFICELOR DE TIPX-Y............................... 97 5.1.3 GRAFICE ÎN COORDONATE POLARE.................................... 100 5.1.4 FORMATAREA GRAFICELOR ÎN COORDONATE POLARE....... 101 5.1.5 CONTROLUL VIZUALIZĂRII GRAFICELOR2D...................... 101


9/288

5.2 GRAFICE3D................................................................................ 106 5.2.1 GRAFICE DE TIP SUPRAFAŢĂ.............................................. 106 5.2.2 GRAFICE DE TIP CURBE DE NIVEL(CONTOURPLOT) .......... 112 5.2.3 GRAFICE DE TIP PUNCTE DISTRIBUITE ÎN SPAŢIU

(3D SCATTERPLOTS) ........................................................ 114 5.2.4 GRAFICE DE TIP3D BAR .................................................... 115 5.2.5 FORMATAREA GRAFICELOR3D.......................................... 117

5.3 GRAFICE DE TIPVECTORPLOT.................................................... 123 5.3.1 FORMATAREA GRAFICELOR DE TIPVECTOR ....................... 124

6 R EZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILORŞI A SISTEMELOR DE ECUAŢII ............................................................. 125

6.1 R EZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE........................................ 126 6.2 R EZOLVAREA ECUAŢIILOR TRANSCENDENTE.............................. 126 6.3 R EZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINIARE.......................... 128 6.4 R EZOLVAREA SISTEMELOR NELINIARE........................................ 129 6.5 R EZOLVAREA APROXIMATIVĂ A SISTEMELOR NELINIARE............ 132

7 DERIVAREŞI INTEGRARE NUMERICĂ. CALCUL DE SUMEŞI PRODUSE.133 7.1 DERIVAREA NUMERICĂ ............................................................... 134 7.2 I NTEGRAREA NUMERICĂ ............................................................. 135 7.3 CALCUL DE SUMEŞI PRODUSE..................................................... 136

8 UTILIZAREA UNITATILOR DE MASURA IN DOCUMENTELEMATHCAD139 8.1 MOD DE LUCRU........................................................................... 140 8.2 DEFINIREA DE UNITĂŢI DE MĂSUR Ă ............................................ 141 8.3 MODIFICAREA UNITĂŢILOR DE MĂSUR Ă

ÎN CARE ESTE EXPRIMAT UN REZULTAT....................................... 142 8.4 ALEGEREA SISTEMULUI DE UNITĂŢI DE MĂSUR Ă ŞI CONTROLUL

FORMATULUI DE AFIŞARE A REZULTATELORCU UNITĂŢI DE MĂSUR Ă .............................................................. 144

8.5 UTILIZAREAUM ÎN CALCULUL INTEGRAL SAU DIFERENŢIAL...... 147 9 SCHIMB DE INFORMATIE INTREMATHCAD SI ALTE APLICATII.......... 149

9.1 I NSERAREA UNEI COMPONENTEEXCEL....................................... 150 9.2 I NSERAREA UNEI COMPONENTEMATLAB ................................. 155 9.3 I NSERAREA UNEI COMPONENTE DE TIP BAZĂ DE DATE................ 159 9.4 I NSERAREA UNEI COMPONENTE DE TIPI NPUTTABLE.................. 168 9.5 I NSERAREA UNEI COMPONENTE DE TIP CONTROLMATHSOFT..... 169 9.6 I NSERAREA UNEI COMPONENTE DE TIP CITIRE(R EAD), SCRIERE

(WRITE) DIN/ÎN FIŞIERE............................................................... 172


10/288

10

9.7 FUNCŢII PREDEFINITE PENTRU CITIREA/SCRIEREADIN/ÎN FIŞIERE DE DATEASCII.................................................... 175

10 PROGRAMARE ÎN

MATH

CAD ........................................................ 177 10.1 PREZENTARE GENERALĂ ............................................................. 178 10.2 I NSTRUCŢIUNEA DE TEST(IF) ...................................................... 181

10.2.1 DEFINIREA DE FUNCŢII PE INTERVALE. .............................. 182 10.3 I NSTRUCŢIUNI DE CICLARE.......................................................... 183

10.3.1 I NSTRUCŢIUNEA FOR .......................................................... 183 10.4 CONTROLUL EXECUŢIEI PROGRAMELOR ...................................... 186

10.4.1 SECVENŢA BREAK ............................................................... 186 10.4.3 SECVENŢA RETURN ............................................................ 189 10.4.4 SECVENŢA ON ERROR ......................................................... 189 10.5 SUBRUTINE(PROGRAM ÎN PROGRAM).......................................... 191

10.6 R ECURSIVITATE.......................................................................... 192 11 CALCUL SIMBOLIC......................................................................... 193

11.1 PREZENTARE GENERALĂ ............................................................. 194 11.2 MODALITĂŢI DE EVALUARE SIMBOLICĂ...................................... 196

11.2.1 EVALUAREA CU AJUTORUL OPERATORULUIDE EVALUARE SIMBOLICĂ..............E RROR ! B OOKMARK NOTDEFINED .

11.2.2 EVALUAREA CU AJUTORUL OPERATORULUIDE EVALUARE SIMBOLICĂ ŞI A CUVINTELOR CHEIE............ 197 11.2.3 MODIFICATORI DE CUVINTE CHEIE.................................... 208 11.2.4 UTILIZAREA SUCCESIVĂ SAU SIMULTANĂ

A MAI MULTOR CUVINTE CHEIE.......................................... 209 11.2.5 EVALUAREA CU AJUTORUL MENIULUISYMBOLICS............ 211 11.2.6 CONTROLUL FORMATULUI REZULTATELOR SIMBOLICE..... 218

12 A NIMAŢIE ÎNMATHCAD .............................................................. 221 12.1 CREAREAŞI RULAREA UNEI ANIMAŢII......................................... 222 12.2 SALVAREA UNEI ANIMAŢII .......................................................... 225 12.3 R ULAREA UNEI APLICAŢII SALVATE ANTERIOR ........................... 226

13 OPERATORI PERSONALIZAŢI .......................................................... 227 13.1 I NTRODUCERE............................................................................. 228 13.2 DEFINIREAŞI UTILIZAREA OPERATORILOR PERSONALIZAŢI......... 229

14 FIŞIEREŞABLON(TEMPLATE ) ......................................................... 231 14.1 I NTRODUCERE............................................................................. 232 14.2 CREAREA UNUI[FIŞIER ] ŞABLON................................................. 234 14.3 MODIFICAREA UNUIŞABLON....................................................... 236


11/288

15 FORMATAREA DE PAGINA SI TIPARIREA INMATHCAD.................. 237 15.1 FORMATAREA DE PAGINĂ............................................................ 238

15.2 TIPĂRIREA

................................................................................... 240 16 I NTERPOLAREAŞI EXTRAPOLAREA DATELOR . METODE DE REGRESIE................................................................... 243

16.1 I NTERPOLAREA DATELOR ÎN2 DIMENSIUNI................................. 244 16.1.1 FUNCŢIA LINTERP.............................................................. 245 16.1.2 FUNCŢIA INTERP................................................................ 246 16.1.3 FUNCŢIILE SCPLINE, PSPLINEŞI LSPLINE............................ 246

16.2 I NTERPOLAREA DATELOR ÎN3 DIMENSIUNI................................. 248 16.3 EXTRAPOLAREA DATELOR .......................................................... 253 16.4 R EGRESIE LINIAR Ă ŞI NELINIAR Ă................................................. 255 16.4.1 R EGRESIA LINIAR Ă ............................................................ 255

16.4.3 R EGRESIE POLINOMIALĂ 3D ( NELINIAR Ă) ......................... 260 16.4.4 APROXIMAREA DATELOR

PRIN UTILIZAREA UNOR COMBINAŢII LINIARE DE FUNCŢII.. 261 16.4.5 APROXIMAREA DATELOR

PRIN UTILIZAREA UNOR FUNCŢII ARBITRARE..................... 263 17 PRELUCRAREA SEMNALELOR- A NALIZAFOURIER ........................ 267

17.1 CALCULUL INTEGRALEIFOURIER ................................................ 268 17.2 CALCULULTRANSFORMĂRIIFOURIERDISCRETE........................ 271

18 PROBLEME DE VALORI SI VECTORI PROPRII.................................... 279 18.1 BAZA TEORETICĂ ........................................................................ 280 18.2 VALORIŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI ................................ 282 18.3 VALORIŞI VECTORI PROPRII NELINIARI....................................... 282

BIBLIOGRAFIE........................................................................................... 287


12/288


13/288

13

1 Produsul MathCAD. Prezentaregeneral ă

Obiective• Familiarizarea cititorului cu facilit ăţ ile oferite

de MathCAD

• Introducerea unor no ţ iuni primare desprefi ş iereleş i structura documentelor MathCAD

• Prezentarea mediului de lucru MathCADş i aunor tehnici de lucru


14/288

Capitolul 1

14

MathCAD este un produs soft destinat rezolvării problemelor ceimplică efectuarea de calcule matematice, de la simple formule până la rezolvarea de ecuaţii, sisteme de ecuaţii, ecuaţii diferenţiale, calculintegral, calcul matricial, atât la nivel numeric, câtşi la nivelsimbolic. MathCAD permite trasarea de grafice (2Dşi 3D),prelucrarea de imagini, interacţiunea cu fişiere de date, precumşi cualte aplicaţii răspândite (Excel, Axum, Smartsketch).Produsul este destinat studenţilor, specialiştilor din industrieşicercetare, cadrelor didactice din învăţă mântul mediuşi superior.Marea forţă a MathCAD este interfaţa de lucru (desktop-ulMathCAD), deosebit de prietenoasă şi care utilizează tehnicaWYSIWYG (What Y ou See Is What Y ou Get), astfel încât atâtaspectul documentelor MathCAD, dar mai ales modul de completare(generare) sunt identice cu cele care s-ar obţine/utiliza în cazulfolosirii hârtieişi creionului (de subliniat că documentele MathCADpot conţine şi secţiuni de comentarii, deci de text, ceea ce le va facemult mai uşor de înţeles). Mai mult decât atât, documenteleMathCAD pot fi evaluate integral în mod automat ori de câte ori seproduce o modificare în structura lor, astfel că întotdeaunarezultatele afişate vor reflecta starea curentă (instantanee) a docu-mentului.

Versiunea 2001 a produsului pune la dispoziţia utilizatorului o seriede noi facilităţ i, succint descrise în paragrafele următoare:• Accesare de componente SGBD . Este posibilă conectarea la

baze de date. Componenta de accesare [a bazelor de date]permite efectuarea de operaţii de interogare a oricărei bazede date compatibile SQL.

• Achizi ţ ie de date . Este posibilă atât achiziţia, cât şi trimitereade date în timp real de la/către dispozitive acceptate deMathCAD.

1.1 Introducere

1.2 Nout ăţ i aduse de MathCAD 2001


15/288


16/288

Capitolul 1

16

• Windows 95 sau superior, Windows NT 4.0 sau superior;• Cel puţin 32 MB RAM (64 MB este o valoare recomandată);• Pentru utilizarea comodă a Help-ului, este recomandată

instalarea Internet Explorer 4.0, Service Pack 2, sau mainou.

Deşi MathCAD va genera la instalare un mare număr de fişiere detipuri (şi deci cu extensii) foarte diverse, utilizatorul obişnuit, trebuie

să reţină în această fază că executabilul principal estemcad.exe ,fişierul help principal estemcad.hlp , dar mai ales că extensiaimplicită a fişierelor de lucru MathCAD este*.mcd . Fişierele şablon(template), despre care se va vorbi într-unul din capitolele viitoare,au extensia *.mct . De interes sunt şi fişierele readme.mcd , saureadme.txt , care conţin informaţii de ultimă oră despre MathCAD(ulterioare editării manualelor de utilizare). Ambele conţin acelaşilucru, doar că readme.mcd poate fi “citit” ca document MathCAD.Este recomandabil ca după instalare, să se creeze cel puţin undirector de lucru, care să conţină fişierele *.mcd generate deutilizator. Aceasta deoarece nu este bine ca fişierele create deutilizator să se “amestece” cu cele ce fac parte din pachetul iniţial defişiere MathCAD.

Ca orice fereastră Windows,şi cea în care va opera MathCAD are obară de titlu, o zonă de meniuri pull-down , precumşi mai multe barede instrumente (toolbars) – dintre care unele sunt asemănătoare caaspect şi funcţionalitate cu cele ce apar la multe aplicaţii Windows.Există şi o zonă de stare (în partea inferioară a ferestrei MathCAD),cursor verticalşi cursor orizontal, precumşi butoanele pentrucontrolul stării ferestrei (în partea din dreapta sus).MathCAD creează documente, sau foi de calcul, similare, aşa cum s-a

mai spus, ca aspectşi mod de completare cu foile de hârtie pe care

1.4 Fiş iere MathCAD

1.5 Mediul de lucru MathCAD. Ecranul MathCAD, ferestre,documente


17/288

Produsul MathCAD. Prezentare general ă

17

s-ar scrie cu creionul. MathCAD permite deschiderea simultană a maimultor documente, dintre care doar unul este activ la un momentdat. Dacă nu este strict necesar nu se va abuza de această facilitate,deoarece orice document deschis (chiar dacă nu este activ),consumă resurse ale sistemului, ceea ce, în cazul unor documente demari dimensiuni, poate duce la reducerea vitezei de lucru în modinutil.Fiecare document MathCAD fiinţează tot într-o fereastră (ce poate ficontrolată ca orice fereastră în mediul Windows), cu observaţia că ferestrele în care se găsesc documentele MathCAD nu pot să segăsească decât în spaţiul de lucru al ferestrei aplicaţiei MathCAD.

Ferestrele document pot fi aranjate în sistem “dale” (tile ) sau “cascadă” ca orice ferestre în mediul Windows. Controlul ferestrelordocument se face din meniulWindow. În figura 1.1 este prezentată fereastra MathCAD cu două documentedeschiseşi aranjate în sistem “dale” pe verticală. Documentul activeste cel din dreapta.

Fig. 1-1 - Fereastra MathCAD


18/288


19/288

Produsul MathCAD. Prezentare general ă

19

Aşa după cum s-a menţionat, MathCAD foloseşte tehnicaWYSIWYG ,ceea ce presupune, ca una din consecinţe, inserarea în document aunor simboluri care nu se regăsesc pe tastatură (semnul pentruradical, integrală, sumă, produs etc). Inserarea lor se poate face fieprin utilizarea unor combinaţii de taste (short-cuts ), fie prin utilizareagrupului de butoane corespunzător ales dintre cele aparţinândpaletei de butoaneMath :

În ceea ce priveşte combinaţiile de taste care pot fi folosite pentruinserarea simbolurilor nedisponibile la tastatură, se recomandă consultarea secţiuniiHelp Operators .Este posibilă şi inserare în documentele MathCAD a caracterelor

greceşti (fie utilizarea grupului de butoane , fie mai simplu,prin tastarea literei corespunzătoare din alfabetul latin, urmată decombinaţia de taste CTRL + G).O altă particularitate a modului de operare a MathCAD, esteutilizarea poziţiilor de scriere premarcate, aşa numitele place- holdere . Astfel în cazul în care se doreşte inserarea într-un documenta unei expresii de forma∫ 31

2 )sin( dx x , se va insera la poziţia

curentă a cursorului (prin utilizarea paletei de butoane )operatorul integrală definită, care în prima fază va arăta ca mai jos :

1.7 Tehnici de lucru

Place-holder


20/288

Capitolul 1

20

Cele patru dreptunghiuri de culoare neagră se numesc în MathCAD place-holdere . Rolul lor este de a indica utilizatorului unde (şi decicâte) să fie elementele expresiei ce trebuie completate. Până cândtoate aceste poziţii de scriere premarcate nu sunt completate,expresia nu poate fi utilizată. Trecerea de la un place-holder la altulse face prin utilizarea grupului de săgeţi ↑, ↓, ←, →, sau a tasteiTAB, sau încă, prin utilizarea mouse-ului.Orice tip de regiune dintr-un document MathCAD poate suportaoperaţiile de copiere (Copy, Paste ), mutare (Cut, Paste ) sauştergere (Delete ). Pentru aceste operaţii, se va utiliza meniulEdit ,combinaţii de taste (regăsite tot în meniulEdit ) sau tehnica meniului

pop-up (care se poate deschide printr-un simplu clic dreapta pe zonade lucru a unui document MathCAD).


21/288

21

2 Lansarea comenzilor în MathCAD

Obiective

• Prezentarea structurii de meniuri MathCAD

• Prezentarea barelor de unelte MathCAD

• Prezentarea agendelor electronice standard


22/288


23/288

Lansarea comenzilor în MathCAD

23

• Paleta aritmetică. Ea conţine butoane pentruinserarea în documente a cifrelor precumşi a operatorilorde calcule matematice (*, +, -, radical etc);

• Paleta operatorilor booleeni. Conţine operatori detipul , diferit, egal, evaluare, atribuire etc;

• Paleta pentru reprezentări grafice. Conţine butoanelepentru inserarea în documente a diferitelor tipuri de grafice;

• Paleta de calcul matriceal. Conţine butoane dedicate

calculelor cu vectorişi matrice;• Paleta pentru calculul de sume, produse, limite,

derivateşi integrale;

• Paleta pentru inserarea în documentele MathCAD astructurilor de programare (bucleFOR , WHILE , bloculdecizionalIF etc);

• Paleta caracterelor greceşti. Conţine butoane pentruinserarea în documente a caracterelor alfabetului grecesc;

• Paleta operatorilor de evaluare. Conţine butoanelece inserează în documente operatorii de evaluarea numerică şi simbolică;

• Paleta ce conţine cuvintele cheie pentru evaluărilesimbolice.

Poziţia oricărei palete pe spaţiul de lucru MathCAD se poate modificaprin utilizarea tehniciidrag and drop .

Agendele electronice MathCAD sunt colecţii de formuleşi relaţiimatematiceşi inginereşti, constante fizice, proprietăţ i de material,precumşi alte informaţii utile.

2.3 Agende electronice (electronic books)


24/288

Capitolul 2

24

În principiu o agendă electronică (handbook ) este o colecţie dedocumente MathCAD integrate într-un fişier cu extensie*.hbk .Deschiderea unei agende se poate face cu ajutorul câmpuluiHelpOpen Book…. Unul din subdirectoarele create la instalareaMathCAD-ului se numeşte chiar HANDBOOKşi conţine o agendă numită solve.hbk .Câmpul Help Handbooks Solving and OptimizationExtension Pack determină şi el deschiderea unei agendeelectronice (de această dată chiar cea anunţată prin titlu).O agendă odată deschisă, oferă utilizatorului posibilitatea de a

„naviga” cu ajutorul unei bare de instrumente specializată, ale cărei

butoane au funcţii uşor de bănuit (sau de aflat prin menţinereapointerului de mouse „deasupra” fiecăruia din ele).Un alt exemplu de agendă electronică, este chiar aşa numitulResource Center. În figura 2.2 este prezentată fereastraResource Center . Accesul la oricare din cele trei mari componente,Overview and Tutorials , QuickSheets and Reference Tables ,respectivExtending Mathcad , se poate face printr-un simplu cliccu mouse-ul pe butonul respectiv.

Fig. 2-2 - Resource Center


25/288

Lansarea comenzilor în MathCAD

25

De un interes aparte este componentaQuickSheets andReference Tables, care este de fapt o colecţie de documenteMathCAD exemplu, deosebit de interesanteşi care trebuie cercetatecu atenţie chiar de utilizatorul cu oarecare experienţă .De subliniat că una din facilităţ ile de mare utilitate ale agendelorelectronice, sau a documentelor conţinute în secţiuneaQuickSheetsand Reference Tables , este posibilitatea de a realiza transfer deinformaţii prin copiere (din agendă într-un document MathCAD).Copierea propriu zisă se face în maniera clasică, adică printr-osecvenţă de tipCopy Paste .De interes suntşi câmpurileHelp Developer’s Reference şi

respectivHelp Author’s Reference .În principiu, ambele sunt destinate utilizatorilor avansaţi deMathCAD. Primul furnizează indicaţii pentru generarea de bibliotecidinamice(*.dll ) cu ajutorul cărora se pot defini noi funcţii MathCAD.

Această operaţie necesită cunoştinţe de programare înC++ , Java ,sau Visual Basic .


26/288


27/288

27

3 Documente MathCAD

Obiective

• Însu ş irea tehnicilor de creare adiferitelor tipuri de regiuni

• Prezentarea metodelor de control,formatareş i editare a regiunilor

• Prezentarea metodelor de evaluare adocumen-telor MathCAD


28/288

Capitolul 3

28

Aşa după cum s-a arătat deja în paragraful 1.5, într-un documentMathCAD pot exista trei tipuri de regiuni : expresii, comentarii(regiuni de tip text) sau grafice.Se reaminteşte că la cursorul + se inserează fie expresii, fie grafice,iar la cursorul| , regiuni de tip text. La versiunea 2001, se poateinsera textşi f ără precizarea explicită a acestui lucru. Purşi simpluse scrie, iar la tastarea primul [caracter de tip] spaţiu, MathCAD

„înţelege” că este vorba de textşi nu de numele unei variabile sauunei funcţii. Se impune totuşi prudenţă , pentru că scrierea unuisingur cuvânt poate produce confuzii, căci MathCAD va interpretaacel cuvânt ca pe numele unei variabile sau funcţii. Acest lucru estede evitat, pentru că în MathCAD, numele unei variabile trebuie să apară într-o expresie (cum se va vedea mai târziu), sau trebuieurmat de operatorul de atribuire (:=,≡), sau de evaluare (=,= ).Pentru crearea în mod explicit a unei regiuni de tip text, se va utilizacâmpulInsert Text Region (cu prescurtarea ”).În cazul regiunilor de tip grafic, se va utiliza pentru inserare unul dincămpurile submeniuluiInsert Graph .Spre exemplificare se va crea un document MathCAD cu o structură simplă şi care realizează definirea unei variabile de tipşir de valori, aunei funcţii pentru care se obţine şi reprezentarea grafică.Documentul va conţine şi comentarii sub forma a două regiuni de tiptext.Etapele în crearea documentului sunt :

1. Din meniulFile se punctează pe câmpul New (sau sefoloseşte directshortcut -ul CTRL + N , sau încă, se foloseştebutonul )

2. La poziţia curentă a cursorului MathCAD se tastează următoarea secvenţă :

3.1 Crearea de regiuni de tip expresie, text sau grafic


29/288

Documente MathCAD

29

x : 0 ; 20 a : 3

f(x) : (x^3-a)/(x^2+1)♣

Pe documentul MathCAD va apărea scris :

Acest “comportament” este consecinţa modului de lucruWYSIWYG ,pe care MathCAD-ul îl foloseşte. În exemplul de mai sus, apăsarea lui

“:” a produs operatorul de atribuire MathCAD (acelaşi cu cel folositde Pascal de exemplu), apăsarea lui “;” a produs inserarea simboluluice indică intervalul de variaţie a unei variabile (aicix ia valori întregi

între 0 şi 20), iar apăsarea lui / a produs o linie de fracţie înadevăratul înţeles al cuvântului.Din punct de vedere logic cele două rânduri ale documentului

MathCAD prezentate mai sus, definesc o variabilă cu numelex şicare ia valori întregi între 0şi 20, o variabilă numită a , căreia i seatribuie valoare 3şi respectiv o funcţie pentru care variabilax definită mai sus este chiar argument (variabilaa intervine caparametru în expresia funcţiei).Ordinea în care regiunile de tip expresie incluse în document suntpoziţionate este extrem de importantă. Se va reţine ca o regulă debază, că MathCAD “cite ş te” documentele de la stânga ladreapta ş i de sus în jos , astfel că orice variabilă ce intervine într-oexpresie trebuie definită înaintea (deci la stânga sau deasupra)expresiei propriu-zise, după cum orice funcţie folosită pentrutrasarea unui grafic se va defini la stânga sau deasupra graficului.Pentru a continua exemplificarea, se va insera în documentşigraficul în coordonatexy al funcţiei definite. Pentru aceasta se vapoziţiona cursorul la dreaptaşi sub definiţia funcţiei şi se va activa

♣ Spaţiile lăsate au doar rolul de a face expresia mai lizibilă şi nusunt permise într-un document MathCAD


30/288

Capitolul 3

30

câmpul Insert Graph X-Y Plot . La poziţia curentă acursorului va apare o regiune de tip grafic la care se vor completanumai marcatorii de la jumătăţ ile axelorox şi oy , ca în figura 3.1.a.Un simplu clic în interiorul graficului, sau apăsarea tastei F9 vaproduce desenarea [graficului], aşa cum se poate vedea în figura3.1.b.

a. b.

Fig. 3-1 - Inserarea unui grafic într-un document MathCAD

Pentru a-l face mai uşor de înţeles, se vor insera în documentşidouă regiuni de tip text. Una deasupra graficuluişi una la sfârşituldocumentului. Pentru aceasta se va utiliza câmpurlInsert TextRegion .În final micul document MathCAD, va arăta ca în figura 3.2.


31/288

Documente MathCAD

31

Fig. 3-2 - Documentul MathCAD rezultat

Orice expresie MathCAD, este formată din operanzişi operatori.Operanzii sunt nume de variabile, de funcţii, valori numerice sauconstante predefinite. Pentru operatori, se poate porni de la simpliioperatori aritmetici (+, -, /, *)şi se poate ajunge la operatorispecializaţi pentru calcul matriceal de exemplu.

Operatorii cei mai folosiţi sunt cei aritmetici : +, -, *, ^ (ridicarea laputere), /, la care se adaugă o gamă largă de operatori scalari sauvectoriali specifici diferitelor tipuri de operaţii matematice.

3.2 Constante, variabile, operatori, func ţ ii

3.2.1 Operatori


32/288

Capitolul 3

32

În MathCAD există 6 constante matematice predefinite :∞ (cushortcut -ul CTRL + z),π (cu shortcut -ul p + CTRL + g), e (se vatasta pur şi simplu e), i (se va tasta 1işi NU 1*i), j (se va tasta 1j)şi% (se va tasta pur şi simplu %). În afara celor 6 constantematematice predefinite, mai există şi un număr de 4 constantesistem, despre care se va face vorbire într-un paragraf următor.Constantele∞ şi %, au respectiv valorile 10307 şi 0.01.

În MathCAD este posibil lucrul în bazele de numeraţie, 10, 2, 8şi 16.Pentru a opera cu valori scrise în bazele 2, 8şi 16, se vor inseraliterele b (de la binar), o (de la octal), respectiv h (de la hexa), după valoarea propriu zisă, asa cum se poate vedea în exemplul de mai

jos:

Fig. 3-3 – Utilizarea bazelor de numera ţ ie

Se remarcă faptul că în cazul scrierii în baza 16, dacă valoarea începe cu una din literele a, b, c, d, e sau f, este obligatorieinserarea unui 0 iniţial (pentru a se evita confuzia cu o variabilă detip şir de caractere).

3.2.2 Constante

3.2.3 Utilizarea de baze de numera ţ ie, altele decât ceazecimal ă


33/288

Documente MathCAD

33

În MathCAD numele unei variabile (regulă valabilă şi pentru numelede funcţii), poate conţine oricare din următoarele caractere :• Caracterele alfabetului latin, a..z, A..Z;• Cifrele de la 0 la 9;• Caracterul “_”, simbolul “ ’ ”• Caracterul “%”• Caracterele alfabetului grec• Simbolul infinit

Un nume de variabilă nu poate începe cu o cifră sau cu unul dincaracterele “_”, “ ‘ “, sau “%”.Toate caracterele dintr-un nume de variabilă trebuie să fie de acelaşitip, în sensul că trebuie să aparţină aceluiaşi font, să aibă aceeaşidimensiuneşi acelaşi stil (bold , italic , underlined etc). Deci nu pot fifolosite caractere latineşi greceşti în acelaşi nume de variabilă.MathCAD face diferenţa între majusculeşi minuscule, astfel că variabilatimp este diferită de variabilaTIMP .În figura 3.4 sunt prezentate câteva exemple de variabile MathCAD.

Fig. 3-4 - Variabile MathCAD

Se atrage atenţia că în cazul variabilei amin , indicele “min” este purdescriptivşi nu indică în nici un fel poziţia variabilei într-unşir devalori. În MathCAD este posibil să se scrie a[1 (se va vedea a1) undeindicele “1” “spune” că este vorba de prima valoare dintr-unşir (sauprimul element al unui vector), dar se poate scrieşi a.1 (se va vedeatot a1), unde indicele “1” este pur descriptiv, în sensul că putea fi

înlocuit cu indicele “unu”. Primul tip de indice (asupra căruia se vareveni) se obţine cu secvenţa “a[1”, iar al doilea cu secvenţa “a.1”.Se atrage încă odată atenţia asupra modului cum se realizează

3.2.4 Variabile


34/288

Capitolul 3

34

atribuirea de valori variabilelor. Este vorba de operatorul de atribuire “:=”, care se obţine cel mai uşor prin apăsarea tastei “:”.În afara variabilelor de tipul celor de mai sus, în MathCAD pot fidefinite variabile de tip scalar, variabile de tipşir, sau de tipşir decaractere.

3.2.4.1 Variabile de tip scalar

O secvenţă de tipul :t:0.3,0.5;2

va produce pe documentul MathCAD efectul :t:= 0.3, 0.5 .. 2

Acest tip de variabilă (e drept o formă ceva mai simplă), a fostutilizată în exemplul prezentat în figura 3.2. Acolo variabilax luavalori întregi între 0şi 20. Era vorba deci de o progresie aritmetică cu raţia 1. În cazul de mai sus este vorba tot de o progresiearitmetică, de această dată cu raţia diferită de 1. Semnificaţiilenotaţiei sunt:

• Prima cifră indică prima valoare pe care o va lua variabila;• A doua valoare defineşte împreună cu prima raţia progresiei,

care este egală cu valoarea a doua minus prima;• A treia valoare indică ultima valoare pe care o va luavariabila.

Deci variabilat va lua valorile : 0.3, 0.5, 0.7, 0.9…….1.9.

3.2.4.2 Variabile de tip ş ir (variabile indexate)

Pot fi definite variabile indexate ca în exemplul de mai jos :

s-a scris :i:1,5x[i:i^2+4*i

Produce îndocumentulMathCAD:

Indicele i este complet diferit de cel din figura 3.3. Aicii indică poziţia într-unşir şi trebuie înţeles exact ca un indice ataşat unuivector.

Variabilele de tipşir mai pot fi definiteşi ca în exemplul următor:


35/288

Documente MathCAD

35

i:1,5y[i:12,23,12,34,22ceea ce va produce în documentul MathCAD :

Orice variabilă, indiferent de tip, poate fievaluat ă .Operatorul de evaluare este “=”, pentru care evident nu estenecesară utilizarea nici unuishortcut .

Astfel pentru evaluarea oricărei variabile, se tastează numelevariabilei urmat de operatorul “=” (evident f ără ghilimele)şi deapăsarea tastei ENTER (CR). În cazul variabilelor scalare sau de tipşir, se vor obţine rezultate ca în figura 3.5. În cazul variabileix , sepot face evaluări în două moduri. Dacă se scriex =, se obţine şirul devalori sub forma unui vector, iar dacă se scrie x [i =”, se obţine unformat de afişare asemănător cu cel de la variabilele de tip scalar. Demenţionat că în cazul unor variabile cu număr mare de valori,MathCAD nu afişează decât primele 50 [de valori] dinşir.


36/288

Capitolul 3

36

Fig. 3-5 - Evalu ă ri de variabile scalare sau de tipş ir

3.2.4.3 Variabile de tip ş ir de caractere

MathCAD 2001 permite definirea de variabile de tipşir de caractere.

Definirea este extrem de simplă şi se face ca şi în cazul celorlaltetipuri de variabile. Singura diferenţă este că valoarea variabilei, va fi „închisă” între ghilimele duble (double quote).În exemplul din figura 3.6 sunt definite două variabile, care apoi suntconcatenate (scrierea f ăcându-se tot într-o variabilă de tip şir decaractere)şi în final se realizează evaluarea variabilei „sumă”.

Fig. 3-6 – Definire de variabilede tipş ir de caractere


37/288

Documente MathCAD

37

Se atrage atenţia că valoarea variabileinume , conţine şi un spaţiu,necesar separării prenumelui de nume în cazulşirului „sumă”.

Asupra funcţiilor specifice lucrului cuşiruri de caractere se va reveni într-unul din capitolele următoare.

3.2.4.4 Variabile globale

În paragraful 3.1 s-a enunţat regula de bază utilizată de MathCADpentru “citirea” documentelor. Există totuşi o excepţie de la ea.

Astfel, se pot defini aşa numitelevariabile globale , care pot fi folositeşi în expresii situate deasupra sau la stânga definiţiei [de variabilă].

Aceste variabile sunt “citite” de MathCAD la începutul parcurgeriiunui document (de fapt MathCAD “parcurge” un document de două ori, prima dată “citeşte” atribuirile globale, iar la a doua citire ia înconsiderare atribuirile obişnuite), deci cu eludarea regulii enunţată paragraful 3.1. Pentru definirea unei variabile globale se va folosi[pentru atribuire] operatorul “≡”, care se obţine prin apăsarea tastei

“~”. Dacă într-un document se găsesc mai multe variabile globale, “citirea” acestora se face tot după regula enunţată. Nu se recomandă excesul de atribuiri globale în documente MathCAD.

Cum se defineşte o funcţie s-a văzut în exemplele precedente. Se vamai preciza doar că regulile enunţate pentru numele variabilelor î şimenţin valabilitateaşi în cazul numelor de funcţii. Pot fi definiteşifuncţii de mai multe variabile. În definirea funcţiilor, se foloseşte totoperatorul de atribuire (: =). Caşi variabilele, funcţiile pot fievaluate. Acest lucru se va realiza tot prin utilizarea operatorului deevaluare, ca în figura 3.7. Se observă că evaluarea se poate facepentru toate valorile pe care le poate lua argumentul funcţiei (se vascrie f(x)= ), sau se poate realiza pentru o anume valoare aargumentului (se va scrief(1.5)= ).

3.2.5 Func ţ ii


38/288

Capitolul 3

38

Fig. 3-7 - Evalu ă ri de func ţ ii

Asupra regiunilor dintr-un document MathCAD pot fi executate maimulte tipuri de acţiuni. Acestea sunt :

• Selecţia unei regiuni, sau a unui grup de regiuni;• Ştergerea unei regiuni (sau grup de regiuni);

• Copierea unei regiuni (sau grup de regiuni);• Mutarea (deplasarea) unei regiuni (sau grup de regiuni);• Redimensionarea unei regiuni;• Alinierea a două regiuni;• Separarea regiunilor;• Evidenţierea regiunilor dintr-un document;• Inserarea/ştergerea de linii goale între două regiuni;• Blocarea regiunilor într-un document MathCAD.Pentru realizarea acestor acţiuni, se va folosi meniulEdit . În

paragrafele următoare vor fi prezentate comenzile necesareexecutării acţiunilor enunţate mai sus. În ceea ce priveşte selec ţ iaunei regiuni sau a unui grup de regiuni, trebuie precizat că eatrebuie să preceadă întotdeauna celelalte acţiuni ce se pot exercitaasupra regiunilor într-un document MathCAD. Pentru selecţie se vafolosi tehnicadrag and drop , specifică de altfel şi altor aplicaţiiWindows. Semnul că o regiune sau un grup de regiuni au fost

3.3 Controlul regiunilor într-un document MathCAD


39/288

Documente MathCAD

39

selectate, este încadrarea lor în chenare dreptunghiulare, desenatecu linie întreruptă, ca în figura 3.8.După selectarea unei regiuni (sau grup de regiuni),ş tergerea serealizează fie prin utilizarea câmpurilorCut sau Clear din meniulEdit , fie prin utilizarea “butonului” de pe bara de unelte, fie prinutilizarea tasteiDEL. Aceste variante NU sunt complet echivalente.

Astfel, câmpulCut , butonul şi tasta DEL, sunt echivalenteşidupă ştergerea regiunii (sau regiunilor) din documentul MathCAD,plasează informaţia în Clipboard , astfel încât ea poate fi restaurată,fie prin utilizarea câmpuluiPaste din meniulEdit (restaurarea se vaface la poziţia curentă a cursorului), fie prin utilizarea câmpuluiUndo Last Edit , sau a butonului .

Fig. 3-8 - Regiuni selectate


40/288

Capitolul 3

40

În acest din urmă caz, restaurarea se va face exact pe vechea poziţiea regiunii (sau regiunilor). În cazul însă al câmpuluiClear dinacelaşi meniu Edit , informaţia ştearsă nu mai este depusă înClipboard, astfel că ştergerea este definitivă.Copierea sau mutarea unei regiuni (sau grup de regiuni) serealizează prin secvenţe Copy Paste , respectivCut Paste , ca

în orice aplicaţie compatibilă Windows, aşa că nu vor mai fi furnizatedetalii suplimentare asupra acestor acţiuni. În cazuldeplas ă rilorunei regiuni (sau grup de regiuni), mai este posibilă utilizareatehniciidrag and drop , aşa cum s-a precizat deja în paragraful 1.6.Redimensionarea unei regiuni presupune ca după faza de

selecţie (absolut obligatorie), deci după ce regiunea (una singură)este încadrată de un dreptunghi desenat cu linie întreruptă, să sepoziţioneze pointerul fie pe colţul din dreapta jos al dreptunghiuluide încadrare, fie pe latura verticală dreapta sau orizontală jos, astfelcă pointerul se va transforma fie într-o săgeată dublă înclinată, fie

într-o săgeată dublă verticală respectiv orizontală, aşa cum se poatevedea în figura 3.9. Din acest moment, cu butonul din stânga almouse-ului apăsat, se “trage” până la obţinerea noii dimensiuni aregiunii. Trebuie precizat că nu orice regiune poate suportaredimensionări. Regiunile de tip expresie nu pot fi redimensionate,dar regiunile de tip grafic pot.

Fig. 3-9 – Redimensionarea unei zone de tip grafic

Cât priveşte alinierea regiunilor , aceasta se poate realiza peorizontală sau pe verticală. Pentru acest scop se pot folosi fie


41/288

Documente MathCAD

41

câmpul Align Regions din meniulFormat , fie butoanele . Alinierea pe orizontală va produce alinierea regiunilorselectate , după o linie imaginară aflată la mijlocul distanţei dintre extremitateasuperioară a celei mai înalte regiunişi extremitatea inferioară a celeimai joase regiuni. Alinierea pe verticală va produce alinierearegiunilorselectate , după o linie imaginară aflată la mijlocul distanţeidintre extremitatea din stânga a regiunii celei mai din stângaşiextremitatea din dreapta a celei mai din dreapta regiuni. Uneorialinierile pot produceri suprapuneri ale regiunilor, fapt pentru care serecomandă prudenţă în utilizarea acestor comenzi.Şi în asemenea situaţii este posibilă separarea regiunilor care sesuprapun (total sau doar parţial). Pentru aceasta se va utiliza câmpulSeparate Regions din meniulFormat . De menţionat că în acestcaz nu este necesară selecţia de regiuni înaintea separării.Trebuie subliniat că separarea regiunilor realizată aşa (deciautomat), poate produce efecte nedorite în sensul că poate stricaordinea logică a regiunilor astfel ca regiuni care înainte desuprapunere se găseau înaintea altora, pot ajunge acum după acestea din urmă. Separări de regiuni se pot faceşi manual prin

deplasarea regiunilor folosind tehnicadrag and drop .Câmpul View Regions , eviden ţ iaz ă toate regiunile dintr-undocument MathCAD. Efectul va fi colorarea diferenţiată a regiunilorşirespectiv a zonelor libere din document. În acest fel se poate stabiliapartenenţa fiecărui obiect dintr-un document la o anumită regiune.Selecţia tuturor regiunilor din document se poate realiza cu ajutorulcâmpuluiEdit Select All .

Construirea unei expresii MathCAD se realizează natural printastarea cifrelor, literelorşi operatorilor expresiei, în ordinea încare s-ar face acelaşi lucru pe o foaie de hârtie. S-a precizat deja

3.4 Editarea ş i formatarea regiunilor de tip expresie ş i de tiptext într-un document MathCAD

3.4.1 Editarea de expresii


42/288

Capitolul 3

42

în paragraful 1.7, că datorită tehniciiWYSIWYG , nu întotdeauna ceeace se tastează va apareşi în document.Editarea unei expresii deja construite presupune în prima etapă selectarea sa. Acest lucru se realizează prin punctarea cu mouse-ul

în zona expresiei respective.În funcţie de tipul regiunii selectate, în interiorul acesteia va aparefie un cursor vertical de culoare roşie (la regiunile de tip text), fie uncursor de forma __| sau |__, sau încă _|_ , aşa cum se poate vedea

în figurile 3.11, respectiv 3.10.

Fig. 3-10 – Editarea expresiilor

Fig. 3-11 – Editarea regiunilor de tip text

Deplasarea cursorului în interiorul regiunii selectate se face cuajutorul săgeţilor← ↑ → ↓, sau prin simpla punctare într-o anumită zonă a regiunii. Pentru cazul regiunilor de tip expresie, deplasareadintr-o zonă într-alta se mai poate face prin apăsarea tasteiSPACE .Ştergerile se fac cu ajutorul tastelorBkSp sau Delete , sau prinselecţie a unei porţiuni din expresie sau text urmată de comandaCut (executată din meniul pull-down , din bara de instrumente saudin meniul de tip pop-up ).

Inserarea unei perechi de paranteze (este preferabilă inserăriiseparate a celor două), se face astfel:

3.4.2 Inserarea ş i ş tergerea de paranteze. Aplicarea uneifunc ţ ii


43/288

Documente MathCAD

43

• Se încadrează zona de închis între paranteze într-un cursorde tip|___ - vezi figura 3.12;

• Se tastează caracterul ‚ (virgula).

a. b.

Fig. 3-12 – Inserarea de paranteze

Ştergerea unei perechi de paranteze se face astfel:• Se amplasează cursorul la dreapta caracterului „(„

(paranteză deschisă)• Se apasă tasta BkSp

Aplicarea unei func ţ ii se face prin parcurgerea etapelorurmătoare:

• Se încadrează între paranteze zona de expresie căreia i se vaaplica funcţia (care va deveni deci argument pentru funcţie).Pentru aceasta se procedează ca mai sus;

• Se apasă tasta Space , astfel ca să fie selectate şiparantezele; Se apasă tasta „Ins ”; Bara verticală acursorului se va poziţiona la stânga parantezei „(„ (vezifigura 3.13);

• Se scrie numele funcţiei.

a. b.Fig. 3-13 – Aplicarea unei func ţ ii


44/288

Capitolul 3

44

Ori de câte ori se tastează numele unei variabile (inclusiv într-oexpresie), MathCAD aplică şirului de caractere care formează numelevariabilei, eticheta (tag -ul) Variables . În mod similar, ori de câteori se tastează o valoare numerică (o constantă deci), şiruluirespectiv de caractere i se aplică eticheta (tag -ul) Constants .Etichetele (tag -urile) sunt deci un fel de “ştampile” care se pun penumele variabilelor sau constantelorşi care vor avea un rol înidentificarea acestora.

Efectul acestui mod de lucru este că în momentul în care se schimbă tipul de font pentru o constantă sau variabilă, modificarea va afectatoate constantele sau variabilele cu aceeaşi etichetă, indiferent undear fi poziţionate în document.Pentru a şti care sunt caracteristicile etichetei (tag -ul) asociat uneivariabile, unei constante sau unei alte zone dintr-o expresie, sepunctează pe expresia respectivă, după care se activează câmpulFormat Equation . Pe ecran va apare fereastraEquationFormat , prezentată în figura 3.14.

Fig. 3-14 – Tag-uri ata ş ate variabilelorsau constantelor

Implicit toate numele de variabile au asignat tag-ul Variables şitoate constantele pe cel numitConstants .

Se apasă pe butonulModify şi se deschide o fereastră de control al

3.5 Fonturi în expresii matematice. Etichete ( tag -uri)


45/288

Documente MathCAD

45

atributelor de formatare la nivel de font (din care rezultă care estefontul ataşat zonei respective din expresie).În afara celor două etichete (tag -uri) despre care s-a vorbiT deja,utilizatorul mai are la dispoziţie încă şapte etichete, cu numeleUser1…..User7 , pe care le poate aplica unei zone dintr-o expresie

– care a fost în prealabil selectat ă - astfel că în afara zonelor care auataşate etichetele Variables sau Constants , pot să mai apară zone(de fapt tot nume de variabile sau constante) cărora li se aplică alteetichete.NumeleUser1…User7 pot fi modificate în caseta de editareNewStyle Name din fereastraEquation Format – vezi figura 3-15.

Fig. 3-15 – Definirea unei noi etichete

În exemplul de mai jos, expresia conţine trei tipuri de zone cărora lis-au ataşat trei etichete, cele standard ( Variables ş i Constants ),precumşi una numită variabila_2 . Din analiza figurii rezultă şi dece ar putea fi necesară o asemenea abordare.

variables

constants

variabila_2


46/288


47/288

Documente MathCAD

47

Cu ajutorul ferestreiText Format , se vor putea modifica toatecaracteristicile de formatare la nivel de font, ca într-un editor de textobişnuit.Pentru formatarea la nivel de paragraf, se va utiliza câmpulFormat

Paragraph . El permite modificarea caracteristicilor de formatarela nivel de paragraf. Este vorba de opţiunile de aliniere, de cele deindentare sau indentare a primei linii, respectiv de definire de stopuride tabulare.

Fig. 3-16 – Formatare la nivel de paragraf

MathCAD dispune de facilitatea de a utiliza stiluri predefinite, de a lemodifica pe acestea, sau de a crea altele noi. Toate acestea se potface cu ajutorul câmpuluiFormat Style… , ceea ce va conducela caseta de dialog prezentată în figura 3.17.

3.6.1 Stiluri


48/288

Capitolul 3

48

Fig. 3-17 – Stiluri de paragrafe

Modul de lucru cu stiluri este principial identic cu cel folosit deexemplu la editorul de text MSWORD.Un stil se poate aplica unui paragraf printr-un procedeu simplu:

- Se selectează paragraful căruia i se va aplica stilul;- Se selectează un stil din lista Styles (vezi figura 3-17);- Se apasă butonul Apply .

Dimensiunea zonei ocupată de o regiune de tip text se poatecontrola „manual”, cu ajutorulmouse -ului. Pentru aceasta se vorfolosi marcatorii amplasaţi în zona din dreapta a regiunii de tip text –vezi figura 3-18.

⇒

Fig. 3-18 – Controlul dimensiunii zonei ocupat ă de o regiune de tip text

3.6.2 Controlul dimensiunilor unei regiuni de tip text


49/288

Documente MathCAD

49

Dacă se doreşte ca textul să se extindă până la marginea din dreaptaa documentului (marcată de o linie verticală de culoare gri), se vautiliza câmpulOccupy Page Width , din casetaProperties . La ease poate ajunge utilizând câmpulFormat Properties – vezifigura 3-19.

Fig. 3-19 - Controlul dimensiunilor

unei regiuni de tip text ControlulPush Regions Down As You Type , va controla modulcum se va comporta o regiune de tip text când întâlneşte o altă regiune. În mod implicit, textul se va suprapune peste regiunea pecare o întâlneşte (aşa cum se vede în figura 3-20). Dacă se doreşte

„împingerea” regiunii întâlnite spre în jos, se va bifa controlulPushRegions Down As You Type – vezi figura 3-19.

Fig. 3-20 – Comportarea textului la întâlnirea unei alte regiuni


50/288

Capitolul 3

50

Fig. 3-21 – Sec ţ iuneaDisplay a casetei de dialogProperties

Secţiunea Display a casetei Properties (figura 3.21), permiteevidenţierea regiunii selectate (Highlight Region ), afişarea unuichenar în jurul regiunii (Show Border ), sau ataşarea unei etichetede regiunea selectată (Tag ), etichetă ce va fi ulterior folosită ladefinirea unui hyperlink (de la o altă regiune spre cea pentru cares-a definithyperlink- ul).

Formatarea rezultatelor (obţinute în urma evaluării unor expresii saufuncţii) în mediul MathCAD, se poate realizaglobal sau local . Înprimul caz, caracteristicile de formatare se vor aplica tuturorrezultatelor din documentul curent, în cel de-al doilea caz, ele se voraplica numai regiunii de tip rezultat selectată anterior operaţiei deformatare. Pentru formatarea globală se procedează astfel :

• Se punctează cu mouse-ul oriunde în document, pe o zon ă liber ă ;

• Din meniulFormat se activează câmpul Result …Pe ecran va apare fereastraResult Format , prezentată în figura 3-22. Pentru formatare locală se procedează ca în cazul celei globale,

3.7 Formatarea rezultatelor într-un document MathCAD


51/288

Documente MathCAD

51

cu diferenţa că înaintea formatării propriu-zise se punctează peregiunea (rezultatul) de formatat.

Fig. 3-22 – Formatare rezultate

Când se face formatare locală, apare şi butonulSet as Default (inexistent în cazul formatării globale). Apăsarea sa transformă formatarea locală într-una globală.Semnificaţiile controalelor ferestreiResult Format sunt în marea lormajoritate foarte uşor de intuit, astfel că nu se va insista decâtasupra celor a căror înţelegere nu este imediată.- Secţiunea Number Format (vezi figura 3-22)Exponential ThresholdÎn caseta de editare corespunzătoare se va introduce o valoareacuprinsă între 0 şi 15. Fie aceastan . Rezultatele mai mici decât 10-n şi mai mari decât 10n, vor fi afişate in notaţie ştiinţifică

(exponenţială).Show trailing ZerosÎn cazul în care caseta de selecţie are în interior o bif ă (un simplu clicpe casetă sau textul din dreapta activează sau dezactivează bifa),zerourile din “coada” unui număr care apar în conformitate cusetarea din secţiunea Number of decimal places , sunt afişate,deşi prezenţa lor nu spune nimic în plus. Dacă bifa lipseşte, acestezerouri inutile nu mai sunt afişate. Astfel dacă la Number ofdecimal places s-a precizat 4, un rezultat de forma 12/5, va fi


52/288

Capitolul 3

52

afişat ca 2.4, dacă există bif ă în caseta Show trailing zeros ,respectiv 2.400, dacă nu există.Number of decimal placesStabileşte cum e uşor de bănuit numărul de zecimale cu care se vorafişa rezultatele. Evident la ultima cifră se va produce o trunchiere arezultatului. Se poate afişa totuşi un rezultat cu precizia maximă, sepoate proceda astfel:

- Se selectează rezultatul;- Se tastează CTRL+SHIFT+N.- SecţiuneaDisplay Options (vezi figura 3-23)

Fig. 3-23 – DisplayOptions

Matrix display styleControlează modul în care sunt afişate matricile. StilulTable ,introduce (atunci când dimensiunea matricii este suficient de mare)

două cursoare cu ajutorul cărora se poate „defila” pe spaţiul matricii – vezi figura 3-24.a.StilulMatrix afişează matricile în forma clasică de scriere – vezifigura 3-24.b


53/288

Documente MathCAD

53

a.

b.

Fig. 3-24 – Afi ş are de matrice


54/288

Capitolul 3

54

Expand nested arraysÎn MathCAD este posibilă definirea de tablouri (matrice) ale cărorelemente sunt vectori sau matrice. Un astfel de exemplu esteprezentat în figura 3-25.a. Se poate observa că evaluarea unui astfelde tablou, va furniza doar informaţia legată de dimensiunilesubmatricelor incluse (Aşi B în exemplu). Dacă se optează pentruactivarea controluluiExpand nested arrays , atunci rezultatul va ficel din figura 3-25.b.

a.

b.

Fig. 3-25 – Vizualizarea tablourilor


55/288

Documente MathCAD

55

Imaginary value Prin deschiderea listei derulabile se pot alege caracterele folosite (i sau j ) pentru reprezentarea numărului complexi .RadixPermite stabilirea bazei de numeraţie în care rezultatele vor fiafişate. În cazul în care se optează pentru baza 8 sau 16, rezultatul

în zecimal neîntreg va fi trunchiat la valoarea de întreg, după careare loc transformarea rezultatului. Acesta va fi urmat de unh sau uno , după cum s-a folosit baza 16 sau 8. MathCAD asigură rezultatecorecte pentru valori mai mici decât 231 (sau aproximativ 2*109).

- SecţiuneaTolerance – vezi figura 3-26

Fig. 3-26 – Sec ţ iuneaTolerance

Complex ToleranceSetarea se referă la modul în care vor fi afişate numerele complexe.

Valoarea introdusă în caseta de dialog corespunzătoare trebuie să fieun întreg între 0şi 63. Fie acest număr n şi fie numărul complexa+bi. Dacă

n

)b ,amax(

)b ,amin( −< 10

atunci rezultatul complex se va scrie sub forma :a sau bidupă cum min(|a|,|b|)=b, respectiv min(|a|,|b|)=a. Sau altfel spus

nu se mai afişează coeficientul mai mic în valoare absolută, dacă


56/288

Capitolul 3

56

raportul dintre valorile absolute ale coeficientului mai mic, respectivmai mare, este mai mic decât 10-n.MathCAD lucrează în continuare cu forma corectă (deci completă) arezultatului, ca atare precizia rezultatelor nu va fi afectată de această setare.

Fig. 3-27 – Controlul afi şă rii rezultatelor cu unit ăţ i de m ă sur ă

Zero Threshold

În caseta de editare se va introduce un întreg între 0şi 307. Fie eln .Toate rezultatele mai mici decât 10-n vor fi afişate ca zero, deşi încontinuare MathCAD va opera cu valoarea exactă.- SecţiuneaUnit Display

Controlează modul în care se vor afişa rezultatele ce conţin şi unităţ i

de măsură. În figura 3-27 sunt prezentate exemple ce ilustrează efectul activării sau inhibării celor două controaleFormat units şiSimplify units when possible .Prin evaluarea unei variabile sau funcţii se înţelege calculul valoriivariabilei sau funcţiei respective. Acest lucru se face principial îndouă moduri:automat şi manual .Evaluări automate se realizează ori de câte ori se modifică ceva înexpresia unei variabile sau funcţii. Toate variabilele sau funcţiile careurmează în document sunt evaluate, realizându-se automatreactualizarea acestora. Evaluările manuale se realizează la cererea

3.8 Evaluare documentelor MathCAD


57/288

Documente MathCAD

57

expresă a utilizatorului, care se exprimă prin apăsarea tastei F9 sauprin utilizarea câmpuluiCalculate din meniulMath . De subliniat că

în acest caz se va realizadoar o evaluare a expresiilor vizibile peecran în momentul respectiv. Dacă se doreşte evaluarea întreguluidocument (deci inclusiv a zonelor ce nu sunt vizibile pe ecran la unmoment dat), se va utiliza câmpulCalculate Worksheet din acelaşimeniuMath .Comutarea între evaluarea automată şi cea manuală se face prinpunctarea pe câmpul Automatic Calculation din meniulMath .Prezenţa unei bife în stânga câmpului Automatic Calculation semnalează că modul de evaluare automat este activ.

Deşi este din multe puncte de vedere mai comod să se facă evaluareautomată, dacă documentul MathCAD este de mari dimensiunişicuprinde calcule laborioase, evaluarea automată poate devenistânjenitoare, deoarece de exemplu la orice defilare prin document(deci f ără să se fi f ăcut vreo modificare), MathCAD evaluează expresiile din zona vizibilă, ceea ce încetineşte uneori supărătorviteza de lucru. Pentru a întrerupe un calcul - o evaluare- (în colţuldin dreapta jos al ecranului MathCAD, pe linia de stare este afişatmesajul WAIT atâta timp cât se efectuează efectiv calculul), se apasă tasta ESC. Va apare pe ecran fereastra MathCAD din figura 3-28. “Apăsarea” butonuluiOK va întrerupe evaluarea, ceea ce evident arputea lăsa anumite calcule neterminate (sau ne actualizate).

Fig. 3-28 – Întrerupere for ţ at ă evaluare

MathCAD evaluează automat toate expresiile care folosesc variabileasupra cărora s-au efectuat modificări, actualizând rezultatele(evident dacă setarea Automatic Calculation este activă). Acest

3.8.1 Dezactivarea unei ecua ţ ii


58/288

Capitolul 3

58

lucru poate deveni stânjenitor din motive expuse în paragrafulprecedent. Una din modalităţ ile de evitare a acestui gen de neplăcerieste dezactivarea lui Automatic Calculation . Nu este însă singurul.Cea de a doua metodă este dezactivarea selectivă a expresiilormatematice, astfel ca modificarea ulterioară a acestora să nu aibă influenţă asupra celorlalte expresii din document. Dezactivarea uneiexpresii presupune parcurgerea etapelor următoare :

• Punctare cu mouse-ul pe ecuaţia pe care dorim să odezactivăm

• Punctarea în meniulFormat pe câmpulProperties – vezifigura 3-29.

Fig. 3-29 – Dezactivarea evalu ă rii

MathCAD va afişa după ecuaţia dezactivată un dreptunghi de micdimensiuni, ca în exemplul de mai jos:

Reactivarea unei ecuaţii dezactivată anterior se va realiza prin acelaşiprocedeu parcurs în ordine inversă.

CâmpulMath Optimization permite activarea sau dezactivareaoptimizării expresiilor. Dacă o expresie este optimizată, înainte deevaluarea numerică se verifică (cu ajutorul procesorului simbolic)

3.8.2 Optimizarea evalu ă rilor


59/288

Documente MathCAD

59

dacă se mai poate face vreo simplificare. Dacă da, întâi se realizează simplificareaşi abia apoi se efectuează evaluarea numerică.În figura 3-30 se prezintă un exemplu de optimizare a unei expresii.Optimizarea presupune în prima fază selectarea expresiei. Va urmautilizarea câmpuluiMath Optimization . Pentru că expresia estesimplificabilă, a apărut asteriscul din partea dreaptă (figura 3-30).Efectuarea unui dublu clic pe expresie va conduce la deschidereacasetei Optimized Result , în care apare rezultatul evaluăriinumerice.

Fig. 3-30 - Optimizarea expresiilor

În cazul expresiei din exemplu, se realizează simplificarea, deci seajunge la forma simplificată a+b şi abia apoi se face calculul5+4=9 .Marele avantaj îl constituie faptul că reducându-se numărul deevaluări (calcule) numerice, se reduce eroarea implicată de acestea.

Presupune parcurgerea următoarelor etape:• Selectarea unei regiuni (ţintă) şi ataşarea unei etichete (tag )

de aceasta – vezi paragraful 3.5• Selectarea unei regiuni (sursă) de care se va legahyperlink -

ul. Pentru aceasta se foloseşte câmpul Insert

Hyperlink ; În caseta de dialog

Edit Hyperlink(vezi

3.9 Definirea de hyperlink -uri


60/288

Capitolul 3

60

figura 3-31) se precizează numele fişierului (cu calea decăutare inclusă) care conţine regiunea care a primit etichetă (chiar dacă aceasta se găseşte în acelaşi document curegiunea sursă). După numele fişierului se inserează caracterul „#”, urmat de eticheta (tag -ul) definită.

Un simplu dublu clic pe regiunea sursă (de care s-a legathyperlink -ul) va produce accesarea regiuniiţintă (ceea ce poate presupunedeschiderea documentului care o conţine – dacă este altul decât celcare conţine regiunea sursă).

Fig. 3-31 – Definirea de hyperlink-uri

Evident se pot definişi hyperlink-uri la adrese de Internet (legăturase va face la unURL – UniformR esourceLocator).


61/288

61

4 Calcul matriceal numeric

Obiective

• Familiarizarea cititorului cu facilit ăţ ileoferite de MathCAD

• Introducerea unor no ţ iuni primare desprefi ş ierele ş i structura documentelorMathCAD

• Prezentarea mediului de lucru MathCADş ia unor tehnici de lucru


62/288

Capitolul 4

62

MathCAD pune la dispoziţia utilizatorilor facilităţ i de lucru cu vectorişi matrice. Acestea pot fi folosite direct în expresii matematice sauprin intermediul variabilelor de tip vector sau matrice, aşa cum sepoate observaşi în figura 4.1

Fig. 4-1 - Variabile tip vectorş i matrice

Pentru a crea un vector sau o matrice se parcurg următorii paşi:• se poziţionează cursorul în zona dorită în documentul

MathCAD;• se activează opţiunea Matrices… din meniulInsert sau setastează Ctrl +M. Efectul acestei acţiuni constă îndeschiderea unei ferestre de dialog ca cea din figura 4-2, încare se poate completa numărul de liniişi coloane alematricei, respectiv ale vectorului (vectorul este un cazparticular de matrice cu o singură linie sau o singură coloană);

Fig. 4-2 – Inserarea unei matrice

4.1 Crearea unui vector sau a unei matrice


63/288

Calcul matriceal numeric

63

• se completează, în casetele corespunzătoare, numărul deliniişi de coloane dorit. Se observă că matricea este afişată la poziţia indicată şi având în poziţiile corespunzătoareelementelor câte un placeholder (un dreptunghi de culoareneagră);

• se completează vectorul sau matricea cu valorile dorite.Pentru aceasta se punctează cu mouse-ul pe placeholder -uldorit şi se tastează valoarea corespunzătoare. Se mai poatefolosişi tasta Tab, sau grupul de săgeţi ← ↑ → ↓ carepermit trecerea de la un placeholder la altul.

Odată definită, unei matrice sau unui vector i se pot modifica

dimensiunile prinştergerea sau adăugarea de linii sau coloane.Pentru aceasta se vor parcurge etapele:• se plasează cursorul pe un element situat pe linia sau

coloana faţă de care se vor face inserări sauştergeri;• se activează caseta de dialog de mai sus prin selecţia

opţiuniiMatrices… din meniulInsert sau tastând Ctrl +M(se va observa că în acest moment sunt active opţiunileInsert şi Delete );

• se tastează în casetele corespunzătoare numărul de liniişicoloane care se inserează sau se şterg;• se activează opţiunea dorită (Insert sau Delete ) punctândcu mouse-ul sau prin combinaţiile de taste Alt +I , respectiv

Alt +D. Mecanismul după care se realizează inserările sau ştergerile deelemente într-un vector sau într-o matrice este următorul (vezi figura4-3) :

• dacă se inserează linii noi acestea vor fi create sub linia pecare se află elementul selectat;

• dacă se inserează coloane noi acestea vor fi create ladreapta coloanei pe care se află elementul selectat;

• pentru a insera o linie nouă deasupra primei linii a matriceise marchează întreaga matrice prin folosirea tasteiSpace de câte ori este necesarşi apoi se procedează ca la oinserare obişnuită;

• pentru a insera coloane noi la stânga primei coloane se încadrează toată matricea, la fel ca mai sus,şi se

procedează în maniera deja precizată;


64/288

Capitolul 4

64

• ştergerea de linii sau coloane se face începând cu linia saucoloana pe care se află poziţionat elementul selectat.

Fig. 4-3- Inserarea unei linii

După cum s-a văzut în paragraful anterior, cu vectorişi matrice sepoate lucra în mod direct, în expresii matematice sau prinintermediul unor variabile de tip corespunzător.Pentru a defini variabile de tip vector sau matrice se procedează lafel ca la atribuirea unei singure valori numerice. Atât doar că, după tastarea numelui variabileişi a operatorului de atribuire, se inserează (cu Ctrl +M) vectorul sau matricea dorită, conform procedurii

specificate mai sus. Din acest moment vectorul sau matricea sunt “legate” de variabila definită, aceasta din urmă fiind folosită înprobleme de calcul matriceal.

În afară de relaţiile de calcul matriceal există numeroase situaţii cândeste necesară referirea unui anumit element dintr-un vector saudintr-o matrice. Acest lucru se realizează prin folosirea unor variabile

“indice” de tip întreg, care indică poziţia elementului în vector,respectiv în matrice.Pentru a crea o referinţă la un anumit element al unui vector setastează numele vectorului, caracterul[ şi valoarea indiceluicorespunzător. În cazul matricelor vor fi folosiţi doi indici cuprecizarea că se va utiliza o secvenţă de taste ca în exemplulurmător: A[i,j: valoare . Aceasta are ca efect atribuirea unei valorielementului situat pe liniai şi coloana j a matricei A.În figura 4.4 sunt prezentate câteva exemple privind referireaelementelor unui vectorşi unei matrice. Se poate observa că prin

4.1.1 Variabile de tip vector sau matrice

4.1.2 Referirea elementelor vectorilor sau matricelor


65/288


65

acest procedeu se pot atribui valori anumitor elemente ale unuivector sau ale unei matrice ori se pot vizualiza aceste elemente.

Fig. 4-4 - Referirea elementelor unui vector sau ale unei matrice

Mecanismul prezentat mai sus este valabil pentru referireaindividuală a elementelor. Pe lângă acest mecanism, MathCADpermite referirea unei întregi coloane a unei matrice. Pentru aceastase va folosi combinaţia de tasteCtrl + ^ sau simbolul corespunzătordin paleta de simboluri Vector and Matrix Toolbar .

Fig. 4-5 - Referirea întregii coloane a unei matrice

4.1.3 Originea indicilor


66/288

Capitolul 4

66

Pentru a referi o anumită coloană a matriceiM se va tasta numelematricei urmat de combinaţia de taste precizată mai sus. Matricea vaprimi un indice superior situat între caracterele < >, a cărui valoarespecifică de fapt coloana care se va referi. În figura 4.5 suntprezentate exemple de referire a coloanelor unei matrice.Referirea elementelor vectorilor sau matricelor presupune utilizareaindicilor.

Valoarea minimă a indicelui/indicilor este dată de variabilapredefinită numită ORIGIN . Aceasta este o variabilă MathCAD careeste implicit setată pe valoarea 0.

Vor exista astfel elementele V0 sau A0,0, funcţie de caz.

Deoarece acest mod de lucru nu este totdeauna cel mai indicat,valoarea variabileiORIGIN poate fi modificată astfel:• se foloseşte câmpulMath Options . Se va deschide o

fereastră de dialog ca în figura 4-6şi se modifică valoareavariabileiORIGIN .

• se atribuie explicit valoarea dorită variabileiORIGIN , aşacum se atribuie o valoare oricărei variabile.

Numele variabileiORIGIN trebuie scris cu majusculeşi pot fi definiţişi indici negativi.

Fig. 4-6 – Modificarea originii indicilor


67/288


67

Când se creează o matrice sau un vector cu ajutorul câmpuluiInsert Matrix, vectorul sau matricea nu pot avea mai mult de100 de elemente. Pot fi create matrice sau vectori de dimensiuni maimari, prin utilizarea uneia din următoarele metode:

• citirea (vectorului sau matricei) dintr-un fişier de date;• concatenarea vectorilor sau matricelor;• utilizarea variabilelor cu indice (Ai,j);• crearea aşa numitelor „input table ”.

În cazul evaluării unei matrice în sistemMatrix (vezi paragraful 3.7),se vor reprezenta maxim 200 de rândurişi coloane.Există totuşi o limită a numărului de elemente pe care le poate aveao matrice sau un vectorşi acest număr depinde de memoria internă a sistemului de calcul. Un milion de elemente este o valoare îngeneral acceptată, dar limita impusă de MathCAD este de 8 milioanede elemente.

Pentru folosirea vectorilorşi a matricelor, MathCAD oferă o serie deoperatori specifici. În continuare sunt prezentaţi aceşti operatorişioperaţiile pe care le efectuează:

Opera ţ ia Aspect Tasta Descriere

Produs scalar z ⋅ * Înmulţeşte fiecare element almatricei A cu scalarulz

Produs de vectori vu ⋅ *Întoarce un scalar egal cu∑ ⋅ ii vu , unde u şi v suntvectori cu acelaşi număr deelemente

Produs matricial B A ⋅ * Efectuează produsul matricelor A şi B Înmulţire

vector/matrice v⋅ * Efectuează produsul dintre

matricea A şi vectorulv

4.1.4 Limit ă ri asupra dimensiunilor matricelor

4.2 Operatori pentru calcul matriceal


68/288

Capitolul 4

68

Opera ţ ia Aspect Tasta DescriereÎmpărţire de tipscalar A/z /

Împarte toate elementelematricei A la scalarulz

Adunare devectori (matrice) A+B + Adună matricele A şi B

Adunare cu unscalar A+z +

Adună scalarul z la toateelementele matricei A

Diferenţă dematrice A-B - Scade matriceaB din matricea A Diferenţă de tipscalar A-z -

Scade scalarul z din toateelementele matricei A

Negativarea unei

matrice-A - Schimbă semnul tuturor

elementelor matricei A

Ridicare la putere A n ^Ridicarea unei matrice la oputere oarecare. Dacă aceastaeste –1 atunci se realizează defapt inversarea matricei

Norma unuivector

|v| | Calculează norma unui vectorv

Determinant |A| | Calculează determinantulmatricei pătrate A

Transpusa A T Ctrl +

! Determină transpusa matricei A

Produs vectorial u xv Ctrl +8Calculează produsul vectorial alvectorilor coloană u şi v cu câte3 elemente

Extragere decoloană M

Ctrl+6 Extrage coloana „n” a uneimatriceSuma termenilorunui vector ∑v Ctrl +4 Însumează elementele vectoruluiv

Vectorizare Ctrl+-

Operatoriişi funcţiile matriciale

sub acest operator se aplică fiecărui element al matricei (veziparagraful 4.3.6)

În figura 4-7 sunt prezentate câteva exemple simple de aplicare aacestor operatori.


69/288


69

Fig. 4-7 - Operatori pentru calcul matriceal

În afară de operatorii matematici prezentaţi în paragraful anterior,MathCAD oferă utilizatorului o serie de funcţii care pot fi aplicatevectorilor sau matricelor. Aceste funcţii şi rezultatul aplicării lor suntprezentate mai jos.

Numele func ţ iei Rezultatul ob ţ inut în urma aplic ă riifunc ţ iei

Dimensiunea/dimensiunile unui tablou

rows(A) Numărul de linii al matricei A cols(A) Numărul de coloane al matricei A

length(v) Numărul de elemente al vectoruluiv last(v) Indicele ultimului element al vectoruluiv identity(n) Matricea identitate de ordinuln

Extremele unui tablou

max(A,B,C,..) Elementul de valoare maximă dintablourile A, B, C,…

4.3 Func ţ ii pentru calcul matriceal


70/288

Capitolul 4

70


min(A,B,C,…)Elementul de valoare minimă din matricea

A, B, C,…

Crearea de tablouri

matrix(m,n,f) O matrice cu dimensiuneam x n , pentru

care elementul de poziţie i,j are valoareaf(i,j) , unde f este o funcţie de două variabile.

CreateMesh(F,...) O matrice formată din trei submatrice, x , y şi z, ce reprezintă coordonatele uneisuprafeţe parametrice definită de o funcţiesau un set de funcţii. Pentru clarificăriprivind argumentele, vezi exemplele ce vorurma.

CreateSpace(F,…) O matrice formată din trei submatrice, x , y şi z, ce reprezintă coordonatele unei curbeparametrice strâmbă în spaţiu, definită deo funcţie sau un set de funcţii. Pentruclarificări privind argumentele, veziexemplele ce vor urma.

Concatenarea de tablouristack(A,BC,…) O matrice obţinută prin alipirea matricelor

A, B, C,… una peste altaaugment(A,B,C,..) O matrice obţinută prin alipirea matricelor

A, B, C, … una după alta

Valoriş i vectori proprii


71/288


71

Numele func ţ iei Rezultatul ob ţ inut în urma aplic ă rii

func ţ ieieigenvals(A) Un vector format din valorile proprii ale

matricei pătrate A. eigenvec(A,z) Vectorul propriu al matricei A, asociat

valorii propriiz. Vectorul este normalizat(suma pătratelor elementelor este 1).

eigenvecs(A) O matrice conţinând pe coloane vectoriiproprii ai matricei A.

genvals(M,N) Un vector conţinând valorile proprii pentruo problema generală de vectorişi valoriproprii

genvecs(M,N) O matrice conţinând vectorii proprii pentruo problema generală de vectorişi valoriproprii

Extragerea de submatrice

submatrix(A,ir,jr,ic,jc)

O submatrice a matricei A, obţinută prinextragerea [din A] a unei zone delimitată de indiciiir , jr (linia cu indice minim,respectiv maxim)şi ic, jc (coloana cuindice minim, respectiv maxim).

Tipuri speciale de matricediag(v) O matrice diagonală, ale cărei elemente

[de pe diagonala principală] sunt chiarelementele vectoruluiv.

geninv(A) Matricea inversă la stânga a lui A, fie eaL,astfel caL * A = I (matricea A trebuie să fie reală)


72/288

Capitolul 4

72


rref(A) Eşalonul redus al matricei sau vectorului A.Matricea sau vectorul A trebuie să fiereale.

Caracteristici speciale ale matricelor

tr(A) Urma matricei pătratice A (sumaelementelor situate pe diagonala

principală)rank(A) Rangul matricei A norm1(M) Norma L1 a matricei pătrate M norm2(M) Norma L2 a matricei pătrate M norme(M) Norma Euclidiană a matriceiM normi(M) Norma infinită a matriceiM.cond1(M) Numărul de condiţionarea a matricei

pătrate M, bazat pe normaL1 cond2(M) Numărul de condiţionarea a matricei

pătrate M, bazat pe normaL2 conde(M) Numărul de condiţionarea a matricei

pătrate M, bazat pe norma Euclidiană condi(M) Numărul de condiţionarea a matricei

pătrate M, bazat pe norma infinită cholesky(M) O matrice inferior triunghiulară, fie ea L,

astfel încâtL * L T =M. MatriceaM trebuiesă fie simetrică.

Re(A) O matrice ale cărei elemente sunt părţilereale ale elementelor matricei A Im(A) O matrice ale cărei elemente sunt părţile

imaginare ale elementelor matricei A

Descompuneri de matrice


73/288


73

Numele func ţ iei Rezultatul ob ţ inut în urma aplic ă rii

func ţ ieigr(A) O matrice ale cărei prime n coloane conţin

matricea ortonormală Q, restul conţinândmatricea superior triunghiulară R , astfel ca

A=Q * R . Pentru extragerea luiQ şi R seva utiliza funcţia submatrix .

lu(M) O matrice care conţine trei sub matricepătrate, fie ele P, L şi U, toate avânddimensiunea luiM, concatenate una după

alta în această ordine (pentru extragerealor se va utiliza funcţia submatrix ).Matricele satisfac relaţia :P * M = L * U. M trebuie să fie pătrată.

svd(A) O matrice conţinând “una peste alta”,două matrice. Fie eleU şi V . Acestematrice satisfac relaţia : A=U * diag (s) *

V , unde s este vectorul întors de funcţiasvds ( A). Matricea A trebuie să aibă dimensiunea m,n cu m≥n şi trebuie să fiereală

svds(A) Un vector conţinând valorile singulare alematricei A, care trebuie să aibă dimensiunea m,n cu m≥n şi trebuie să fiereală

Func ţ ii de c ă utare în tablouri

lookup(z,A, B) O valoare sau un vector ce reprezintă elementul/elementele din matriceaB careocupă aceeaşi poziţie [în B] cu ceaocupată de valoareaz în A.


74/288

Capitolul 4

74


hlookup(z, A, r) Un element sau un vector ce reprezintă elementul/elementele din matricea A ce segăsesc pe rândul r (din A), situate peaceeaşi/aceleaşi coloană /coloane cuelementele de pe primul rând avândvaloareaz.

vlookup(z, A, c) Un element sau un vector ce reprezintă elementul/elementele din matricea A ce se

găsesc pe coloanac (din A), situate peacelaşi/aceleaşi rând/rânduri cuelementele de pe prima coloană avândvaloareaz.

match(z, A) Indicii (sub formă de tablouri incluse)poziţiilor în care apare valoareaz înmatricea A.

Înainte de a se prezenta câteva exemple de utilizare a unor funcţiiaplicabile vectorilorşi matricelor, vor fi reamintite câteva relaţiimatematice importante :Norma L1 returnează cea mai mare sumă a elementelor de pe

coloane, adică : ∑=≤≤

= N

k kj

N jm L

11

1 (max )

Norma L2 returnează cea mai mare valoare singulară, adică :

)(,max)(2 M M L σ λ λ ρ ∈== .unde cu )( M σ s-a notat mulţimea valorilor proprii ale matriceiM (numitşi spectrul acesteia), iar cu )( M ρ s-a notat raza spectrală amatricei. Cuλ s-au notat valorile proprii ale luiM.Se reaminteşte că pentru o matriceM, se pot găsi trei matriceU, S,şi V , astfel încâtM=U.S.V T, unde det(U)=det( V )=1, iar matriceaS are elemente nenule numai pe diagonala principală. Aceste valori senumescvalori singulare ale matriceiM.


75/288


76/288

Capitolul 4

76

norm1, normi, norme, norm2

În legătură cu normeleşi numerele de condiţionare ale matricelor,sunt prezentate mai jos câteva consideraţii teoretice.Sunt valabile următoarele relaţii între norme şi numerele decondiţionare:

• )x()x()x( 1 M cond M norm M norm =⋅ − , unde x poate fioricare din caracterele „i”, „e”, „1” sau „2”.

• numărul de condiţionare 2 (cond2 ) este egal cu raportuldintre cea mai mareşi cea mai mică valoare singulară a uneimatrice. Valorile singulare sunt întoarse de funcţie svds(vezi mai jos).

Numărul de condiţionare întors de funcţia condi este util pentrucuantificarea gradului de stabilitate a sistemelor de ecuaţii de forma

A x = b , la variaţii ale elementelor matricei coeficienţilor. Astfel,valori mari ale numărului de condiţionare indică matrice (sisteme)

„rău condiţionate”. Dacă numărul de condiţionare este infinit,matricea [sistemului] este singulară.Rezolvarea unor astfel de sisteme se poate faceşi prin utilizarea

funcţieisvd (vezi paragrafele următoare). Aceste consideraţii sunt ilustrate de exemplele din figura 4-10.


77/288


77

Fig. 4-10 – Normeş i numere de condi ţ ionare În ceea ce priveşte descompunerile de matrice ce se pot realiza înMathCAD, sunt reamintite mai jos câteva consideraţii teoreticeminimale, necesare unei bune înţelegeri a acestui subiect, precumşia utilizărilor care se pot da funcţiilor de descompunere a matricelor.

Fie sistemul Ax=b (scriere matricială).Dacă se poate scrie A=L . U, unde L es

Date post:	07-Aug-2018
Category:	Documents
Upload:	eugenho
View:	213 times
Download:	0 times

MathCad_ILambrescu

Documents