matematica_II_cadru_didactic

Această primă ediţie (pilot) este finanţată de Uniunea Europeană.

MINISTERUL EDUCAŢIEI ȘI CERCETĂRII

NICOLAE PELLEGRINI

MATEMATICĂModulul 2Forme Ghidul profesorului

Proiect Phare „Acces la educaţie pentru grupuri dezavantajate”Programul „A doua șansă”

© Ministerul Educaţiei și Cercetării

Aceste materiale – publicate în cadrul Proiectului Phare „Acces la educaţie pentru grupuridezavantajate” 2003 – au fost realizate de o echipă de experţi ai Ministerului Educaţiei și Cercetării,pentru a fi folosite în primul an de aplicare experimentală a programului educaţional revizuit „A doua șansă” – învăţământ secundar inferior.

Membrii echipei care a elaborat materialele sunt:Lucia Copoeru, coordonatoarea componentei „A doua șansă”– învăţământ secundar inferiorDorina Kudor, autoare „Limba și literatura română”Carmen Costina, autoare „Limba engleză”Ariana-Stanca Văcăreţu, autoare „Matematică”Nicolae Pellegrini, autor „Matematică”Luminiţa Chicinaș, autoare „Știinţe”Ioana Mihacea, autoare „Știinţe”Mihai Stamatescu, autor „Istorie”dr. Horaţiu Popa-Bota, autor „Geografie”dr. Doina-Olga Ștefănescu, autoare „Cultură civică”Paul Vermeulen, expert U.E., componenta „Elaborare curriculum și materiale educaţionale”

Coordonator editorial: Laura CodreanuDesign copertă, layout: Elemér KönczeyDesign și dtp: András TánczosIlustraţii: Levente SzekeresCorectură: Mirabela Mitrică

Această publicaţie face parte din Programul Phare 2003 „Acces la educaţie pentru grupuridezavantajate”, componenta „A doua șansă”.Editorul materialului: Ministerul Educaţiei și CercetăriiData publicării: februarie 2006

Conţinutul acestui material nu reprezintă în mod necesar poziţia oficială a Uniunii Europene.

PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 3

CuprinsIntroducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Capitolul I. Puncte, drepte ºi figuri geometrice . . . . . . . . . .71. Cum se nasc liniile din puncte? . . . . . . . . . . . . . . . . . .82. Cum se nasc figurile din linii? . . . . . . . . . . . . . . . . . .103. Dreptele ºi unghiurile – cãrãmizile geometriei . . . . .124. Figuri plane, pretutindeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145. Unde priveºti, numai corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166. Realitate sau desen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Capitolul II. Fenomene geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217. Asemãnarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228. Un fenomen de mare importanþã: congruenþa . . . . . .249. Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

Capitolul III. Mãsuri ºi unitãþi de mãsurã . . . . . . . . . . . . .2910. Timpul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3011. Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3212. Lungimea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3413. Mãsura unghiului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Capitolul IV. Proprietãþi metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3914. Perimetre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4015. Arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4216. Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4417. Triunghiul sub lupã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4618. Încep problemele: din nou despre relaþii metrice . . .48

Capitolul V. Recapitulare ºi aplicaþii . . . . . . . . . . . . . . . . .5119. Surprize, în loc de recapitulare . . . . . . . . . . . . . . . . .5220. În final, recapitulare în loc de surprize… . . . . . . . . .54

Ne bucurãm cã suntemîmpreunã în marea echipã aprogramului „A doua ºansã”.Ordinele M.Ed.C. nr.5333/25.10.2005 ºi nr.5375/29.12.2005 privindMetodologia aplicãriiprogramului ºi programeleºcolare pentru educaþia debazã sunt documentele carestau la baza programului„A doua ºansã” – învãþãmântsecundar inferior.Ghidul de faþã face partedintr-o serie de materialeeducaþionale (ghidurileelevului, ghid de evaluare)elaborate, sau în curs deelaborare care vor fi utilizateîn cadrul programului„A doua ºansã” – învãþãmântsecundar inferior.Prin realizarea ghidurilor,am dorit sã vã sprijinimºi sã vã oferim materialeperfectibile, dar utile Dvs.atât în cadrul programului,cât ºi în întreaga activitatedidacticã.Sugestiile pe care ni le veþioferi vor contribui larevizuirea materialelor înanul de pilotare, astfel încâtprogramul sã se poatãextinde la nivel naþional,începând cu anul ºcolarviitor.Datoritã Dvs., pentru tineriidin program, viitorul poatearãta altfel.Vã dorim succes ºi vãmulþumim cã aþi ales sã fiþialãturi de noi.

Lucia CopoeruCoordonator „A doua ºansã” – învãþãmântsecundar inferior

Stimată colegă,stimate coleg,

FORME

Introducere

MATEMATICĂ • GHIDUL PROFESORULUI4

Modulul Forme este o introducere în geometrieºi are ca scop formarea, respectiv dezvoltarea înspecial a competenþei generale: determinareaunor proprietãþi ºi mãsuri cu ajutorulmãsurãtorilor efectuate în situaþii concrete.

Competenþe specificePrograma acestui modul are în vedereurmãtoarele competenþe specifice:

– recunoaºterea ºi reprezentarea figurilor ºicorpurilor geometrice;

– descrierea proprietãþilor simple ale unor figuriºi corpuri geometrice;

– rezolvarea unor probleme practice utilizândproprietãþi calitative sau metrice ale unorfiguri ºi corpuri geometrice.

Acestor competenþe specifice le sunt ataºate înprogramã conþinuturi grupate în:

– elemente de geometrie;– mãsurãri ºi aplicaþii ale mãsurãrilor;– probleme practice ºi probleme cotidiene.

Desigur, lecþiile nu vor þine cont de o delimitarefoarte exactã a competenþelor ºi nici aconþinuturilor.

Presupunem cã elevii posedã anumite cunoºtinþeºi deprinderi legate de tematica modulului ºisunt capabili sã ºi aplice aceste achiziþii. Laînceputul modulului, este preferabil sã se testezenivelul elevilor, pentru a se þine cont pe parcursde aceastã evaluare iniþialã.

Astfel, se vor testa cunoºtinþele minimale legate degeometrie ºi de mãsuri la nivelul claselor primare.

Tot evaluarea iniþialã trebuie sã verificeexperienþa individualã a elevilor, legatã demãsurãtori ºi geometrie aplicatã.

Evaluarea iniþialã va oferi profesorului informaþiipentru alcãtuirea ºi organizarea grupelor pentruactivitãþi de grup sau proiecte.

Testul de evaluare iniþialã face parte dinportofoliul individual al elevului.

Activitãþile de învãþareEvaluarea odatã fãcutã ºi contextul specific alclasei (mediul educaþional general, vârstaelevilor, apartenenþa lor socialã etc.) vor conduce

la adaptarea demersului didactic, inclusiv lanivelul conþinuturilor propuse, dar cu siguranþãnu la nivelul activitãþilor. Profesorul arelibertatea sã modifice, sã aleagã, sã adapteze, sãextindã, sã scurteze º.a.m.d., cu condiþia caorganizarea pe care o va prefera sã contribuie ladezvoltarea competenþelor generale ºi specificeprevãzute de programã.

Activitãþile de învãþare vor fi alese în aºa felîncât sã fie adecvate vârstei elevilor ºi intereseloracestora. Amintim aici câteva aspecte pe care lecredem importante:

– Dialogul, discuþia ºi conversaþia trebuiepromovate, pentru ca elevii sã-ºi exprimepãrerile, ideile ºi toate observaþiile de care vorfi capabili;

– Activitatea de bazã se realizeazã în ºcoalã,temele de casã sunt mai puþin oportune;

– Învãþarea în cooperare este, probabil, maimotivantã decât activitãþile individuale;

– Majoritatea activitãþilor se vor finaliza cudiferite produse ºi lucrãri ale elevilor;

– Proiectele se aleg, de comun acord cu elevii,în funcþie de aºteptãrile lor ºi de posibilitãþiledisciplinei, respectiv ale modulului.

Ideile legate de predarea propriu-zisã se vorprezenta în detaliu pentru fiecare lecþie.

La finalul modulului, recapitularea este asiguratãprin douã lecþii. Ambele pun elevul în diferitesituaþii, în faþa unor sarcini diferite. Profesorulpoate folosi ºi alte materiale de recapitulare,chiar realizãri ale elevilor: tabele, organizatori,fiºe, ilustraþii etc.

Recapitularea trebuie sã fie, în acelaºi timp,deschidere spre alte module, teme sau lecþii, dinaceeaºi disciplinã sau din alta.

Motivarea elevilorEste foarte importantã motivarea elevilor pediverse cãi. Un aspect important este limbajulutilizat de profesor, modul în care se formuleazãsarcinile de lucru. Optãm mai puþin pentrustilul imperativ ºi mai mult pentru unulinterogativ.

Dialogul personal ºi discuþiile în grupuri micisunt mai eficiente decât expunerile ºiprezentãrile. Provocarea elevilor pentru a se


exprima trebuie sã fie fãcutã cu rãbdare ºipunându-se accent pe încurajare ºi laudã.

Planificarea evaluãrii va þine cont de evaluareacontinuã ºi de cea finalã. Propunem evaluãri laînceput de modul, la capãtul fiecãrui capitol (încazul nostru 4) ºi la sfârºitul modulului. Timpulnecesar activitãþilor de acest timp se va aloca separat.

Puteþi folosi ca material suplimentar orice cartesau manual de geometrie de nivel comparabil cuGhidul elevului. Cãrþile care prezintã curiozitãþimatematice sunt foarte potrivite, precum ºi surselede informare de pe internet. Va fi nevoie dematerial oferit elevilor pentru consultare: planuri,reþete, ºabloane (de ex. de croitorie), hãrþi etc.

Introducerea din Ghidul elevuluiIntroducerea în modul este ºi în Ghidul elevuluiun text de naturã explicativã. Acest text va trebuiprelucrat cu elevii, în ce mod doreºte profesorul:poate fi citit ºi apoi interpretat de cãtre elev,poate fi prezentat de cãtre profesor sau,combinat, pot fi pãrþi dezvoltate de elev ºi altele de profesor.

Important este consensul, înþelegerea ºi, dacã sepoate, acceptarea acelor principii în baza cãroras-a scris respectivul ghid.

Considerãm important sã nu comparaþi Ghidulelevului cu manualele obiºnuite de geometrie, deorice nivel. Nu pentru cã ar fi mai bun sau maipuþin bun, ci pentru cã este altceva. Ghidulelevului nu seamãnã cu manualul obiºnuit, nueste un rezumat al altor cãrþi. Este însã unrezumat de geometrie: se mãrgineºte la esenþial,la practic ºi la relevant.

Dincolo de cele mai bune intenþii, Ghidulelevului, ca de altfel orice manual, suportãîmbunãtãþiri.

Credem cã este bine-venit dacã vã notaþicomentariile ºi pãrerile, propriile impresii.

De asemenea, trebuie spus elevilor cã se va contape cunoºþinþele lor anterioare, pe experienþa lorde viaþã ºi cã învãþarea care se va produce vaîncerca sã rãspundã aºteptãrilor ºi nevoilorindividuale ale lor. Ei trebuie sã înþeleagã, însã,cã la finalizarea studiilor în sistem „a douaºansã” nivelul de pregãtire trebuie sã fiecomparabil cu cel al unui absolvent de clasaa X-a de la SAM. Cu atât mai mult la matematicã,cu cât aceastã disciplinã este materie de examenla mai toate nivelurile.

Structura Ghidului elevuluiLecþiile din Ghidul elevului sunt structurate înacelaºi fel, cu excepþia ultimelor douã lecþii.Toate sunt compuse din trei blocuri, dedimensiuni aproximativ la fel de mari: un blocde orientare, un bloc de achiziþii ºi unul detransfer. Fiecare bloc este format, la rândul lui,din câteva „casete”, adicã niºte grupaje de idei.Astfel, o lecþie are 7 casete, intitulate sugestiv:

– Despre ce va fi vorba…? (introducere, punereîn temã)

– Adicã…. (dezvoltarea principalelor idei)– Cum…? (întrebãri legate de partea de

dezvoltare)– Încercãm…? (exerciþii, sarcini de lucru,

probleme, teme de proiect etc.)– ªtiaþi cã…? (curiozitãþi, transfer spre alte

domenii, culturã generalã etc.)– De altfel… (transfer spre viitoare teme de

matematicã)– (Nu) Sunt de acord… (comentarii proprii)

Pe lângã prezentarea acestei structuri, eleviitrebuie sã cunoascã scopurile orelor dematematicã, numãrul de ore alocat, cuprinsul ºialte aspecte legate de conþinuturi ºi importanþamaterialului de studiat.

Înainte de descrierea, rând pe rând, a lecþiilor,câteva observaþii de ordin general.

1. Ghidul elevului nu seamãnã cu manualeleobiºnuite de matematicã, astfel, comparaþiileîn acest sens nu sunt necesare. Ghidulelevului este diferit de cãrþile bine-cunoscutede matematicã ºcolarã.

2. Limbajul folosit în Ghidul elevului esteneobiºnuit. În locul rigorii de limbaj ºi alunor expresii prea tehnice, am preferat untext mai sugestiv, mai metaforic. Nicinotaþiile nu sunt cele mai riguroase.

3. Ilustraþiile sunt foarte importante, pentru cãele ar trebui sã provoace la dialog, ladiscuþii, la dezvoltãri.

4. Întregul ghid are un caracter „cadru”, elpoate sã fie modificat în mare mãsurã dupãideile profesorului ºi în funcþie de contextulîn care se va produce învãþarea.

5. Sarcinile de învãþare ºi exerciþiile se pot, decele mai multe ori, organiza sub formã demuncã în grup.

6. Recomandãm elaborarea ºi parcurgerea adouã-trei proiecte care sã se finalizeze cuanumite produse ºi care sã ilustreze eleviloretapele unui proiect.

Structura Ghidului profesoruluiÎn descrierea fiecãrei lecþii vom respectaurmãtoarele puncte:

– informaþii pentru identificarea lecþiei;– obiectivele de învãþare;– informaþii despre caseta 1, 2 ºi 3 (partea de

orientare ºi achiziþii);– informaþii ºi explicaþii privind caseta 4

(partea de aplicaþii, sarcini de învãþare ºiactivitãþi specifice);

– explicaþii privind caseta 5 ºi 6 (partea deaplicaþii ºi transfer).

Pentru a simplifica lectura Ghidului profesoruluiºi din motive de economie, vom nota acestepuncte astfel:

O de la obiectiveA de la orientare ºi achiziþiiS de la sarcini de învãþareT de la transfer

În paginile care descriu primele lecþii ale fiecãruicapitol vom avea câteva informaþii în plus: numãrde ore alocat capitolului, tipuri de activitãþi deînvãþare sugerate, materiale didactice etc.



Număr de ore alocate: 6 ore pentru predare-învăţare

1 oră pentru evaluare

Activităţi propuse:

• identificarea elementelor și a conceptelor de bază;

• stabilirea notaţiilor uzuale și a convenţiilor de desen;

• clasificarea figurilor și a corpurilor;

• ilustrarea principalelor aplicaţii.

Materiale: ilustraţii cu figurile geometrice, machetele corpurilor

geometrice, imagini și texte diferite, instrumente pentru desen.

Puncte, drepte și figuri geometrice I

O. – descrierea unor formegeometrice simple compusedin puncte;

– recunoaºterea punctuluigeometric ºi a liniei;

– identificarea punctelor ºi aliniilor în diverseconfiguraþii.

A. Lecþia este introductivã, faceparte din pregãtirea elevilor pentrustudiul mai „matematic“ algeometriei. Din acest motiv, ea nueste foarte complexã, dar conþinecâteva idei de exploatat.

Elevul se va familiariza cu ideeade punct geometric, dreaptã ºicurbã geometricã ºi le va deosebipe acestea de obiectele realepunctiforme sau având naturaliniilor. Din motive de înþelegeremai bunã, dreapta ºi curbele suntprezentate ca ºi cum ar fi formatedin puncte.

Propunem o scurtã discuþie despreproblema dimensiunilor acestorelemente ºi din nou despreaproximarea lor cu obiectele reale.

S. În activitãþile de învãþarepropuse se poate insista pefenomenele de miºcare prin carepunctele descriu linii. Asemeneaexemple pot fi gãsite de cãtre eleviºi descrise apoi în limbajul lor. Unscop ascuns este acela de a seînþelege importanþa ºi utilitateadesenelor, care redau mult maibine traiectoriile decât descrierileverbale.

Exerciþiile puse în caseta 4 se potrezolva individual sau în micigrupuri de lucru.

PUNCTE, DREPTE ȘI FIGURI GEOMETRICE


Cum se nasc liniile din puncte? 1

Activitãþile de învãþare din cadrul acestei lecþii vor oferielevului ocazia de a descrie în propriul limbaj primeleelemente de geometrie prezentate. Introducerea trebuie sã fiecât se poate de intuitivã, apropiatã de experienþa elevilor. Esteimportant ca elevul sã-ºi forme noþiunile ºi reprezentãrilepornind de la imagini vizuale sugestive ºi apropiate gândiriisale. Se va insista pe interpretarea desenelor ºi a imaginilor ºipe reproducerea acestora. Exerciþiile vor fi simple, cu caracterintroductiv. Prin ele se va conveni ºi asupra primelor notaþii,fãrã sã se punã accent pe formalizãri inutile. În partea apli-cativã a lecþiei, profesorul va alege diverse situaþii ºi contexteîn care elevul va identifica elementele studiate ºi în care varecunoaºte prezenþa geometriei, chiar ºi la nivel iniþial.

Cu ocazia acestei prime lecþii, elevii trebuie obþinuiþi sã-ºifacã propriile comentarii ºi sã formuleze întrebãri la care încãnu au primit rãspuns.


T. Elevii vor cãuta ºi vor puteaprezenta alte exemple de obiectepunctiforme sau linii „materiale”.Puteþi vorbi despre fotografie,despre procesul poligrafic, despremodul în care lucreazãimprimantele cu ace etc. Pentruideea de linie dreaptã sau curbã sepoate vorbi despre fascicule delumini, fire de curent, obiecte deartã ºi altele.

Este importantã înþelegerea roluluisuprafeþei pe care trasãm linii, înspecial pentru problemele (degeografie) legate de liniileimaginare de pe Pãmânt.

Propunem utilizarea multordesene ºi ilustraþii. În gãsireaacestora pot ajuta foarte bineelevii.

Notiþele/observaþiile profesorului

O. – descrierea celor mai simpleforme geometrice compusedin linii;

– recunoaºterea unorproprietãþi simple aleliniilor drepte sau curbe;

– identificarea liniilor îndiverse configuraþii.

A. Lecþia este introductivã, faceparte din pregãtirea elevilor pentrustudiul mai „matematic“ algeometriei. Din acest motiv, ea nueste foarte complexã, dar conþinecâteva idei de exploatat.

Prin tema aleasã, vrem sãfamiliarizãm elevul cu câtevaaspecte generale întâlnite îngeometrie. Tema centralã este liniaºi apariþia ei în diverse situaþii. Cailustraþie de pornire s-a ales undesen celebru, iar profesorul esterugat sã gãseascã ºi alte asemeneapretexte. Desenul-caricaturã esteales pentru a face activitatea maiplãcutã.

Recomandãm sã se insiste pe cercºi arc de cerc, privite ca linii curbefrecvent întâlnite.



Cum se nasc figurile din linii? 2

Aceastã lecþie este o continuare fireascã a primei lecþii introductive. Se continuã exerciþiul deprezentare ºi reprezentare intuitivã a primelor elemente de geometrie. ªi în acest caz este nevoie deun suport vizual ºi intuitiv cât mai bogat ºi de o complexitate potrivitã posibilitãþilor ºi aºteptãrilorelevilor.

Apar, tot cu titlu informativ, primele aspecte cantitative, legate de numãrul elementelor într-oconfiguraþie. Asemenea exerciþii de numãrare se pot diversifica ºi continua. Profesorul poate alegealte configuraþii, folosind linii ºi segmente drepte sau linii curbe.

Importantã este ºi prezentarea, spre încercare ºi studiu, a problemei podurilor, problemã care nu aresoluþii. Este prima ocazie pentru a explica elevilor diferenþa conceptualã dintre „problemã” ºi„soluþie”. Se recomandã prezentarea pe parcursul lecþiilor a unor probleme similare, pe careprofesorul le poate gãsi uºor în literatura de specialitate. Analiza unor asemenea situaþii este foartepotrivitã pentru exersarea discuþiilor ºi a interpretãrilor, fãrã de care învãþarea nu este eficientã.



Discuþia din caseta 3 despre finit ºiinfinit va fi de nivel adecvat, dartrebuie sã atingã ºi aspecte maigenerale.

S. Propunem sã se explorezelegãtura dintre numãrul de drepte(sau linii) ºi numãrul unor punctedate. Problema podurilor estetendenþios aleasã, pentru a ilustrao situaþie imposibilã. Puteþiasigura elevilor ºi alte exerciþii deacest tip, cu scopul sã ilustraþi ceînseamnã o problemã (provocare)ºi soluþia care existã sau nu.

Exerciþiile puse în caseta 4 se potrezolva individual sau în micigrupuri de lucru.

T. Puteþi organiza activitãþi deînvãþare prin care elevii sã cautealte tipare din mediul lorînconjurãtor. Aceste încercãri potface parte din portofoliul lor.

Exemple de desene incompletecãrora încercãm sã le dãm sensprin completare se gãsesc în multecãrþi de psihologie.

Recomandãm cât mai mult desenºi ilustraþii, respectiv incitareaelevilor la discuþii, formulãripersonale ºi interpretãri.

O. – recunoaºterea ºi folosireanotaþiilor pentru dreaptã ºiunghi;

– compararea segmentelor ºi aunghiurilor pe cale intuitivã;

– identificarea unorconfiguraþii mai complexe.

A. Lecþia introduce notaþiileuzuale pentru dreaptã, unghi ºipãrþile dreptei.

Dreptele vor fi imaginate ca fiindincluse într-un plan. Se vaintroduce noþiunea de mãsurã,într-o accepþiune mai mult sau maipuþin generalã, în funcþie denivelul clasei. Cu ocazia amintiriiunghiurilor adiacente, se vadiscuta despre sensul operaþiilorsimple ce se pot efectua cu mãsuriºi despre ocaziile în care acesteoperaþii sunt fireºti. Toate ideilenoi vor fi prezentate pe calevizualã.

Nu se discutã încã despresubmultiplii gradelor, nici despreunitatea de mãsura folositã pentruexprimarea lungimilor.

S. Semidreptele ºi segmentele se vorstudia în cadrul exerciþiilor propuse.



Dreptele și unghiurile – cărămizile geometriei 3

Complexitatea elementelor ºi a configuraþiilor studiate este mai ridicatã în aceastã lecþie. Tipologiaunghiurilor trebuie prezentatã elevilor prin exemple variate, la fel de intuitive ca ºi în primele douã lecþii.

Limbajul folosit, expresiile „unghi” ºi „segment”, de exemplu, sunt tot atâtea ocazii pentru a extindestudiul ºi discuþia purtatã cu elevii spre probleme de lingvisticã.

Profesorul va cãuta sã ofere ºi alte ilustrãri ale unghiurilor ºi ale segmentelor ce se pot recunoaºte înconfiguraþii reale. Exerciþiile alese pot fi deja de o dificultate puþin mai ridicatã. De exemplu, launghiuri adiacente sau la unghiuri în jurul unui punct se pot da elevilor situaþii mai complicate. Înacelaþi timp, în cadrul acestei lecþii trebuie lãmuritã problema operaþiilor cu segmente ºi unghiuri,aspectele legate de operarea cu mãsuri ºi cele legate de cazurile când operaþiile au sens. (Spreexemplu, dacã are sens sau nu sã adunãm douã unghiuri care nu sunt adiacente.) Fãrã a insista pecalculul propriu-zis, discuþiile vor lãmuri latura conceptualã a temei.

Elevii vor deosebi diferenþa dintreaceste douã noþiuni ºi vor încercasã clasifice segmentele dupãapartenenþa capetelor segmentului.Ar fi util sã se discute ºi despresinonimia expresiei „segment”.Dacã nivelul clasei permite, sepoate dialoga despre deosebireadintre lungimea unui segment ºinumãrul punctelor din caresegmentul este format.

T. Paralelismul ºiperpendicularitatea vor fi amintitenumai cu titlu informativ, dar seva putea folosi experienþa elevilorlegatã de aceste douã fenomenegeometrice. Sistemul de axe decoordonate se va folosi îndezvoltarea altor module.Paralelismul ºi perpendicularitateaîn arhitecturã ºi construcþii este otemã care se poate valorifica foartebine prin exemple oferite deprofesor ºi de elevi. Exemplul cupanta drumului face trimitere lafizicã, la procente ºi la altecapitole din matematicã. Desigur,profesorul poate gãsi alte exempleconcludente pentru utilizareaunghiurilor în viaþa cotidianã.



O. – recunoaºterea diferitelorpoligoane;

– deosebirea elementelorconstitutive;

– recunoaºterea poligoanelorregulate ºi a cercului.

A. Lecþia îºi propune inventariereacelor mai cunoscute figurigeometrice plane. Se vor considerapoligoanele, respectiv cercul înacest caz, dar ºi poligoaneleregulate. Prezentarea va fiintuitivã, pornind de la un desen-pretext. Se vor putea folosicunoºtinþele elevilor legate depoligoane.

Împreunã cu cercul, se poateprezenta elevilor ºi elipsa. Ea vaexemplifica figurile geometricemai complicate. Întrebãrile sunt ºide data aceasta simple ºi dupãexemplul lor se pot formula cuuºurinþã altele.

Aceastã primã discuþie desprepoligoane va mai fi urmatã de alte lecþii.

S. Suma unghiurilor unui triunghieste datã fãrã alte explicaþii.Plecând de la aceastã informaþie se



Figuri plane, pretutindeni 4

În aceastã lecþie se continuã prezentarea unor aspecte calitative ºi cantitative, nedespãrþite, în cadrulfiresc al poligoanelor. Investigarea acestora va cãuta sã nu exagereze în nici una din aceste direcþii.

Inventarul figurilor plane poate fi extins ºi pentru alte figuri plane, dacã profesorul considerãoportun acest lucru. De asemenea, se poate insista mai mult pe prezenþa figurilor plane în mediulnostru înconjurãtor: în construcþii, în naturã, în domeniul obiectelor de uz casnic º.a.m.d. Este dedorit ca elevii sã înþeleagã clar caracterul „plan” al acestor figuri studiate ºi sã deosebeascã figurileplane de corpuri.

Vor fi utile, ca exerciþii pregãtitoare, calculele legate de suma unghiurilor în triunghi, respectiv în altepoligoane. Lecþia aceasta oferã deja posibilitatea sã se înceapã activitatea de proiect intitulatã „Ce ºtiudespre forme ºi corpuri geometrice”, aºa cum s-a recomandat în programa acestui modul. Activitateade proiect se va întinde pe o duratã stabilitã de profesor, þinând cont de posibilitãþi ºi interese.

pot realiza diferite generalizãri. Semai propun spre analizã ºidezvoltare douã idei:descompunerea poligoanelor întriunghiuri ºi legãtura dintrepoligoanele regulate ºi cerc. Toateexerciþiile se pot extinde spre altesituaþii de învãþare asemãnãtoare.Unele exerciþii se pot repetapentru fiecare poligon (regulat)despre care s-a discutat.

T. Figurile geometrice suntprezentate ºi din punctul devedere al artelor decorative. Ceeace se gãseºte în Ghidul elevuluieste, din nou, doar un pretextpentru discuþii ºi dezvoltãri.Profesorul poate alege alte ilustrãriale prezenþei figurilor geometriceîn artã.

Se mai revine puþin asupra elipsei,pentru motivul cã ea se va maiîntâlni în alte domenii de studiu,de exemplu în geografie.

Considerãm utilã prezentarea unorsituaþii din viaþa cotidianã, undefigurile geometrice sunt desfolosite. De aceea, am alesexemplul tablei de stop, dar seputeau considera alte ºi alteexemple. Una dintre idei esteamintirea pavãrilor, temã cu careelevul se va mai întâlni în alt modul.



O. – recunoaºterea corpurilorgeometrice uzuale;

– clasificare corpurilor careurmeazã a fi studiate;

– deosebirea elementelordescriptive ale corpurilor.

A. Lecþia continuã în mod firesctema precedentã. Ideea cãreia i sesubordoneazã tema este a celor treidimensiuni. Imaginea de porniresugereazã varietatea corpurilor dinjurul nostru, privite ca formespaþiale.

Se insistã asupra clasificãriicorpurilor în poliedre ºi corpurirotunde. Se vor prezenta elevilor oserie de denumiri. Este foarteimportant sã se ataºeze acestorexpresii un sens înþeles de elevi.De exemplu, „generatoare” poateservi ca o bunã bazã de discuþii înacest sens. Recomandãm sã se facãexemplificãrile nu doar folosindcubul, deºi acest corp va avea ºi întextul nostru o importanþã maimare. Întrebãrile sunt cu multevalenþe educative, ele trebuieexploatate ca atare.



Unde privești, numai corpuri 5

Aspectele calitative ºi cantitative sunt nedespãrþite ºi în aceastã lecþie. Prezentarea intuitivã estedezvoltatã ºi completatã cu unele aspecte matematice de bazã: denumiri, clasificãri, desfãºurãri înplan etc. Exerciþiile referitoare la desfãºurarea corpurilor în plan vor lãmuri complet deosebireadintre figurã planã ºi corp geometric. În acelaºi timp, tema desfãºurãrii permite o serie de exerciþiipractice, în funcþie de posibilitãþile ºi interesele elevilor.

Se recomandã studiul mai atent al corpurilor des întâlnite ºi rezolvarea unor exerciþii legate deacestea. De asemenea, poate fi de interes gãsirea unor ilustrãri din mediul nostru înconjurãtor, aºacum s-a sugerat ºi în lecþia precedentã.

Sunt foarte importante convenþiile de desen, care trebuie discutate atent cu ocazia acestei lecþii. Serecomandã sã se insiste pe desene, pe corectitudinea acestora ºi pe faptul ca ele sã fie înconformitate cu reprezentãrile interne pe care elevii le-au ataºat corpurilor. Este util sã selãmureascã deosebirea dintre desen ºi schiþã.

S. Activitãþile de învãþare suntdestul de practice, elevilor li se vacere sã execute anumite lucrãri:desene, desfãºurãri, construcþii. Seva încerca orientarea elevilor spretemele viitoare legate de corpuri.Discuþia despre desfãºurare ºiînfãºurare este de dorit sã se facãîmpreunã. O parte din activitãþi sepot organiza sub formã de proiecteºi, evident, pe grupe mai mici.

T. Chiar dacã apar în continuare,poligoanele regulate se vor analizaºi discuta în mod expres. Cât ºisub ce formã, asta va decideprofesorul.

S-a considerat utilã amintirea înacest context a unor aspecte dearhitecturã. Fiecare informaþie carese prezintã elevilor poate fidezvoltatã dupã preferinþe ºiposibilitãþi. Este bine sã se cauteexemple atât din naturã, cât ºi dincreaþiile omeneºti, exemple care sãilustreze prezenþa corpurilor înviaþa noastrã. Este important caelevul sã înþeleagã – ºi de dataaceasta – diferenþa dintre un corpreal ºi corpul geometric, caesenþializare a corpului real.



O. – stabilirea unor convenþii dedesen;

– reproducerea prin desen aunor situaþii reale;

– analiza unor desene.

A. Lecþia continuã temaprecedentã legatã de corpurigeometrice. Ideea este(re)cunoaºterea planuluigeometric, a poziþiilor pe care odreaptã le poate avea faþã de acestaºi înþelegerea modului în caredesenul plan al unui corpdeformeazã realitatea. Se poatediscuta ºi despre dreptenecoplanare, în funcþie deinteresele elevilor. Exemplulcubului, pentru paºii prin care serealizeazã desenul unui corp, estede continuat cu alte corpurigeometrice. Pe desenele astfelconstruite, elevii vor identificaplanele diferite ºi dreptele care, înrealitate, stau perpendiculare sauparalele. Am mai propus ºi odiscuþie generalã despreimportanþa desenelor „tehnice”,cum ar fi hãrþile, schiþele,planurile etc.


Realitate sau desen? 6


În lecþia 6 se completeazã cunoºtinþele legate de desen ºi de convenþiile despre care s-a mai discutatcu o lecþie înainte. Elevii vor conºtientiza importanþa acestor convenþii ºi faptul cã deseneledistorsioneazã realitatea. Este recomandabil sã se discute, pe de-o parte, despre modificareadimensiunilor reale, pe de altã parte, despre schimbarea formelor în timpul redãrii prin desen.

Discuþia despre perspectivã se poate extinde mult, în funcþie de interesele ºi posibilitãþile clasei.

Pentru toate extinderile pe care profesorul le doreºte, se va cãuta material ilustrativ cât mai bogat ºisugestiv, apropiat de experienþele elevilor.

De asemenea, recomandãm sã se insiste asupra calitãþii desenelor ºi a reprezentãrilor, mai degrabãdecât asupra cantitãþii acestora. Precizia ºi corectitudinea desenelor, în limitele convenþiilor pe carele utilizãm, sunt esenþiale.

Cu alte cuvinte, este foarte important ca în acest grupaj de lecþii sã se punã accent pe dezvoltareagândirii vizuale, de care elevii vor avea multã nevoie în studiul matematicii ºi în alte discipline întâlnite.


S. Printre sarcinile de lucru aparerealizarea schiþei unei locuinþe saua unei clãdiri. Acest desen se varelua, se va îmbunãtãþi ºi se vareface, dar tema apare aici pentruprima datã. Se mai cere elevilor sãdeseneze exact corpurilecunoscute, exersând astfel ºipunctualitatea, ºi exactitatea. Axade rotaþie este amintitã doar cutitlu informativ, exact la fel ca ºidiagonalele corpurilor. Credem cãeste important sã se insiste pedesen, pe calitatea acestora, printr-un numãr cât mai mare deexerciþii.

T. În partea de transfer se insistãpe iluzii optice, pentru a avea noiocazii sã delimitãm realitatea dedesen, de reprezentarea ei.Exemplele de acest fel suntnumeroase, profesorul poate alegealtele, iar pe cele date le poatecompleta. Sub pretextul iluziilorse pot face referiri la artãdecorativã ºi, astfel, la aspecte deesteticã, din nou.

Ultimul pasaj propune o discuþiedespre perspectivã. Ilustraþii deacest gen se gãsesc multe, se potfolosi cãrþi de desen sau imaginialese din alte lucrãri. Importanteste ca elevul sã înþeleagã rolulperspectivei în desen.






• identificarea și studiul unor relaţii geometrice;

• rezolvarea unor exerciţii și probleme;

• regăsirea relaţiilor în alte contexte;

• ilustrarea principalelor aplicaţii.

Materiale: desene și schiţe, fotografii, instrumente de desen,

imagini și texte diferite.

Fenomene geometrice II

O. – analiza asemãnãrii, dinpunct de vedere geometric;

– recunoaºterea roluluiraportului de asemãnare;

– compararea asemãnãriigeometrice cu asemãnarea în general.

A. Este prima lecþie dintr-un ºir detrei teme: asemãnarea, congruenþaºi simetria. Asemãnarea, odatãstudiatã, va servi la introducereacongruenþei. Imaginea de pornireeste a unei hãrþi, dar se pot alege ºialtele. Asemãnarea este legatã de„miºcare”, de transformare prinprezentarea mãririi sau amicºorãrii ca rezultat final.Raportul de asemãnare este folositcu titlu informativ, dar aceeaºiidee se reia la scara unei hãrþi saua unui desen. Tot în limbaj detransformãri geometrice, seanalizeazã ce rãmâne invariant laasemãnare ºi se poate discutaideea invarianþei la o transformare,în general.

S. Activitãþile de învãþare seconcentreazã în mare parte pefolosirea ºi înþelegerea hãrþilor.Se reia exerciþiul din lecþiaprecedentã ºi li se cere elevilor sã

FENOMENE GEOMETRICE

Asemănarea 7


Aºa cum reiese din formularea obiectivelor acestei lecþii, asemãnarea este prezentatã doar cu scopintroductiv. Nu au fost studiate cazurile de asemãnare ºi nu s-a pus accent pe aspectele calculatoriiale acestei teme. Astfel, nu se vor face demonstraþii privind asemãnarea, pentru cã nu acesta estescopul prezentãrii temei.

În funcþie de nivelul clasei ºi de interesul elevilor, profesorul va putea alege exerciþii prin care sã sedezvolte ºi partea calculatorie. Am considerat mai importantã pentru elevi înþelegerea fenomenuluiîn sine ºi descrierea cât mai variatã a acestuia.

De asemenea, am considerat foarte importante aplicaþiile asemãnãrii în practicã. Profesorul va cãutasã rezolve exerciþii referitoare la scara hãrþilor, scara desenelor ºi a schiþelor ºi exerciþii de folosire araportului de asemãnare, în sens matematic. Altfel spus, elevul va descoperi asemãnarea în diferitesituaþii, o va studia cu mijloacele de care dispune ºi va încerca sã realizeze el transformãri prinasemãnare, dacã este cazul.

realizeze un desen la scarã.Importanþa practicã a scãrii, aproporþiilor este evidentã.Numãrul ºi complexitateaexerciþiilor de acest fel depinde declasã ºi de contextul în care seproduce învãþarea.

T. Însãºi folosirea hãrþii este unelement de transfer, nu un scop însine. Se pregãteºte introducereaaltor elemente de geometrie, cumar fi congruenþa, dar se fac refeririºi la aspecte nematematice.Descoperirea asemãnãrii în naturãoferã elevilor noi sarcini de lucruºi de învãþare. Se pot analiza multesituaþii destul de cunoscute:cristalele, plantele etc. Ar fiimportant de scos în evidenþãfaptul cã în naturã asemãnareaeste, de regulã, imperfectã.

Astfel, se regãseºte ideea dupã caregeometria idealizeazã ºi simplificãnatura pe care o descrie, subiectatins deja din primele lecþii.

Profesorul este rugat sã gãseascãalte elemente de trasfer, în funcþiede interesele elevilor ºi deposibilitãþile clasei.



O. – analiza congruenþei lasegmente, unghiuri ºitriunghiuri;

– compararea congruenþei ºi a asemãnãrii;

– introducerea ideii deraþionament.

A. Congruenþa, amintitã în lecþiaprecedentã drept situaþieparticularã de asemãnare, esteprezentatã în relaþie cutransformãrile geometrice. Seconsiderã, pe rând, congruenþasegmentelor, apoi a unghiurilor. Se va insista pe distincþia dintreegalitate ºi congruenþã ºi pe rolulmãsurii în stabilirea congruenþei.Congruenþa triunghiurilor se vaprezenta doar descriptiv, urmând ase oferi exemplul pentru metodatriunghiurilor congruente în parteade transfer a lecþiei. Întrebãrile vinîn ajutorul înþelegerii sensuluiunor expresii des utilizate în textematematice.

S. Activitãþile de învãþare trebuiesã contribuie la înþelegerea corectãa congruenþei, sub forma unorexerciþii ºi probleme tipice, darsimple. Asemenea probleme segãsesc foarte uºor, cu referire la

FENOMENE GEOMETRICE


Un fenomen de mare importanţă: congruenţa 8

Aceastã lecþie este prima care pune accent mai mare pe câteva aspecte formale. Elevii vor învãþanotaþiile ºi exprimarea simbolicã în contextul congruenþei, precum ºi nevoia formalizãrii. Vorînþelege cã notaþiile ºi formalizare sunt convenþii care simplificã scrisul ºi exprimarea. Pentruilustrare se vor folosi cele mai simple figuri plane, poligoanele studiate deja. Se va arãta elevilormodul în care se pot descoperi proprietãþi mai ascunse, folosind metode de investigare, precumcongruenþa. Tot în acest cadru trebuie înþeleasã deosebirea între mãsurare ºi informaþiile astfelfurnizate ºi investigaþia realizatã pe cale deductivã. Se pot discuta ambele aspecte, spre exemplufolosind ca pretext de discuþie iluziile optice. Astfel, vor apare ca necesare atât mãsurãtorile, cât ºiraþionamentele deductive, ca instrumente de investigare a realitãþii.

Formalizarea se poate extinde cât considerã profesorul ºi cât permite nivelul clasei, dar scopullecþiei nu este acest aspect. Importantã este înþelegerea fenomenului de congruenþã ºi a modului încare acest fenomen se poate exploata în studiul geometriei.

figurile geometrice deja prezentate.Se pot continua investigaþiilelegate de triunghiul isoscel ºiechilateral, dacã nivelul claseipermit acest lucru. Ca suport, sepoate folosi ºi cercul pentruexersarea ideii de congruenþã. Totcu aceastã ocazie se poate învãþadespre triunghiul dreptunghic.

T. Intenþia acestui bloc este de a seînþelege modul în carefuncþioneazã metoda triunghiurilorcongruente, atît pentru importanþamatematicã a acesteia, cât ºi cailustrare a raþionamentuluideductiv, în comparaþie cumãsurarea, estimarea etc. Este depreferat sã se aleagã câte unexemplu pentru fiecare caz decongruenþã, folosindu-se figurilegeometrice studiate deja. Dacã esteposibil, se poate analiza un caz decongruenþã, plecând de la un corpgeometric ºi lucrând într-oanumitã secþiune a acestuia.

Iluzia opticã apare amintitã în textpentru a scoate din nou înevidenþã importanþa mãsurãrii ºi(sau) a raþionamentului deductivîn stabilirea congruenþei.



O. – analiza unor figurigeometrice simetrice;

– recunoaºterea simetrieiaxiale ºi a celei centrale;

– generalizarea simetriei înalte domenii, în afaramatematicii.

A. Ultima lecþie din unitateafenomenelor geometrice se ocupãde simetrie. Legãtura dintre acestetrei teme este transformareageometricã. În prezentarea temei sevor putea folosi experienþa ºicunoºtinþele elevilor, simetria fiindun fenomen apropiat oricui.Prezentarea acesta trebuie fãcutãcât mai vizual, cu suporturi alesedin diferite domenii: matematicã,decoraþiuni, naturã etc. Chiar ºiconstrucþiile nevizuale potprezenta simetrii, aºa cum gãsimîn literaturã sau în muzicã.Întrebarea referitoare la stângacivrea sã atragã atenþia asupradificultãþii de utilizare a unorobiecte sau instrumente asimetricede cãtre stângaci, problemãimportantã pentru aceastãcategorie de oameni.

FENOMENE GEOMETRICE

Simetria 9


Studiul simetriei se face în baza acelor principii care au fost luate în consideraþi ºi în lecþiaprecedentã. Accentul cade pe înþelegerea fenomenului în sine, pe descoperirea simetriilor în cadrulstudiat ºi pe utilizarea lor în investigaþiile ulterioare.

Lecþia despre simetrie permite profesorului discutarea unor teme conexe variate. În Ghidul elevuluigãsim doar câteva sugestii, departe de a fi explorat toate posibilitãþile. În funcþie de nivelul clasei ºide interese, profesorul va gãsi o serie de extinderi posibile. Se poate construi întregul demers peideea de transformare geometricã, aºa cum face ºi lecþia prezentatã, ori pe aspectul de fenomengeometric întâlnit în diverse contexte ºi situaþii.

Elevii vor observa modul în care simetria existentã ºi descoperitã conduce la obþinerea unorproprietãþi calitative noi. În acest scop vor utiliza congruenþa deja învãþatã.

Un alt aspect valoros al studiului poate fi asimetria. Observarea, descrierea ºi compararea acesteia cucazurile „ideale” de simetrie îl pot ajuta pe elev sã înþeleagã mai bine deosebirea dintre realitate ºidescrierea pe care o ataºãm realitãþii.


S. Activitãþile de învãþare vorurmãri sã punã elevii în faþa unorsarcini simple, dar importante: sevor cerceta figurile geometrice ºicorpurile din punctul de vedere alsimetriei pe care o au sau nu.Propunem ca elevii sã fie învãþaþicum se construieºte imagineasimetricã a unei figuri date, atât încazul simetriei axiale cât ºi a celei centrale.

T. În partea de transfer este folositpretextul oglinzii, deºi se puteaconstrui întreaga lecþie plecând dela acest exemplu. Apar termeniiconcav ºi convex, care vor fiexplicaþi ºi exploataþi cu elevii. Sepot face diverse legãturi spre fizicãºi aplicaþii pe teme din viaþa detoate zilele. Se poate discutadespre oglindã ºi simetrie în totfelul de alte contexte: de istorie, detehnicã, de astronomie etc. Apardin nou trimiteri spre artelevizuale, dar ºi spre ideea deasimetrie. Altfel spus, se propunesã se insiste puþin peimperfecþiunea simetriei în naturãºi nu numai, aspect care s-a maidiscutat ºi la asemãnare. Dacãexistã interes, se poate purta odiscuþie referitoare la cristale, caexemple tipice de figuri simetricede diferite tipuri.






• identificarea și exersarea unităţilor de măsură;

• efectuarea de măsurători;

• utilizarea transformărilor;

• aplicarea celor exersate în diferite contexte.

Materiale: tabele și organizatori, instrumente de măsură

și de desen, imagini și texte diferite.

Măsuri și unităţi de măsură III

O. – descrierea conceptului detimp;

– recunoaºterea unitãþilor demãsurã pentru timp;

– transformarea diferitelorunitãþi între ele.

A. În pregãtirea primei teme dinaceastã unitate propunem discuþiilegate în general de timp, aºa cumapare el în percepþia elevilor ºi înînþelegerea subiectivã a acestora.Exemplele de pornire pot fi alesedintr-o multitudine de situaþii.Probabil cã unitãþile de mãsurãpentru timp sunt cunoscute.Astfel, se poate insista mai mult pemãsurã ºi mãsurare, asupra cãrorase va reveni la celelalte lecþii dinaceastã unitate. Întrebãrile ajutã sãse realizeze un context adecvatpentru a exersa transformãrile ºicalculele legate de unitãþi de timp.

S. Acelaºi lucru este valabil ºipentru blocul urmãtor. Profesorulva cãuta sã gãseascã niºte contextefireºti, interesante ºi relevantepentru elevi, în care sã se exersezecalculele ºi sã se adânceascãînþelegerea noþiunii de timp ºi a

MĂSURI ȘI UNITĂŢI DE MĂSURĂ

Timpul 10


Aceastã lecþie, prima din seria temelor consacrate unitãþilor de mãsurã, nu are o legãturã foartestrânsã cu studiul formelor. Ea a fost inclusã totuºi, pentru cã în modulele de matematicã destinateelevilor cuprinºi în programul „a doua ºansã“ nu este o altã unitate pentru unitãþi de mãsurã. Dacãprofesorul considerã, aceastã temã se poate omite sau se poate prezenta conþinutul ataºat ei lacelelalte lecþii.

Lecþia poate oferi ocazii bune pentru lãmurirea ideilor de mãsurare, mãsurã, unitate de mãsurãº.a.m.d. De asemenea, se poate începe deja discutarea aspectelor legate de precizia mãsurãrilor, deaproximãri ºi de erorile de mãsurare. În acelaºi timp, tema timpului permite exersarea calculului, atransformãrilor ºi ajutã la înþelegerea fenomenelor de miºcare. Acestea din urmã au, evident, o laturãgeometricã importantã.

Textul propus oferã ºi posibilitatea discuþiei despre punctualitate, ca trãsãturã de caracter, ºi desprechestiuni cum ar fi eficienþa, respectarea termenelor ºi altele.

mãsurãrii acestuia. Diferite calculelegate de situaþii reale de viaþã potfi de mare ajutor, chiar dacã unelevor fi puþin artificiale, ca deexemplu ultima întrebare.

T. Aplicaþiile temei ºi transferul deidei sunt legate pe de o parte deexistenþa diferitelor zone de timppe glob, pe de altã parte deaspectele „etice” ale respectãriitimpului. Se pot prezenta elevilorproblemele tehnice legate demãsurarea timpului, problemelelegate de precizia acestormãsurãtori, precum ºi alteaplicaþii. Astfel, se poate vorbidespre diferitele ere geologice ºiistorice, despre timpul biologic,despre mãsurarea timpului însport sau despre alte asemenea subiecte.

Dacã nivelul de interes permite, sepoate insista asupra ireversibilitãþiitimpului, în comparaþie cufenomenele reversibile, sau asuprapercepþiei noastre subiectiveprivind scurgerea timpului.



O. – descrierea conceptului demasã;

– recunoaºterea unitãþilor demãsurã pentru masã;


A. A doua lecþie din aceastãunitate se ocupã de masã ºi demãsurarea ei. Se pot propunediferite exemple pentru pornireadiscuþiei despre masã. Se vainsista asupra deosebirii dintremasã ºi greutate. Se va prezenta pelarg scara unitãþilor de mãsurãpentru masã ºi transformãrile carese fac între aceste unitãþi.Experienþa de viaþã a elevilorpoate fi un ajutor important îndezvoltarea temei. Apare ideeaadecvãrii unitãþii de mãsurã lacantitatea exprimatã, lucru care seva mai repeta de multe ori ºi laalte unitãþi.

S. Se va cere elevilor sã reprezinteunitãþile de masã în diferitemoduri, folosind organizatorigrafici. De asemenea, se vor folosiîn situaþiile de învãþare exemplepractice de utilizare cotidianã aunitãþilor de mãsurã pentru mase:


Masa 11


Pentru lecþia despre masa corpurilor este valabilã aceeaºi observaþie ca mai înainte: tema nu estestrâns legatã de studiul geometriei. Totuºi, ea este prezentatã în Ghidul elevului, din motiveasemãnãtoare cu cele expuse la lecþia precedentã. Tema poate fi un material conex bun pentruexersarea unor deprinderi de calcul, pentru înþelegerea mai profundã a conceptului de corp(comparat cu corpul geometric) ºi pentru exersarea transformãrilor între unitãþi de mãsurã.

De asemenea, considerãm importantã înþelegerea modului în care ne alegem o unitate de mãsurã saualta, potrivitã pentru exprimarea unei proprietãþi.

Profesorul va cãuta aplicaþii cât mai variate ºi contexte cât mai apropiate de experienþele elevilor.Lecþia este o ocazie bunã pentru a solicita elevilor activitãþi de documentare ºi cãutare a informaþiei.Tema valorilor extreme întâlnite la exprimarea maselor este un bun prilej sã se continue investigaþiileprivind realitatea care ne înconjoarã ºi modul în care o descriem cu mijloacele de care dispunem.

reþete culinare, probleme deamestec etc. O parte din activitãþise pot organiza în grupuri, ºipentru exersarea învãþãrii încooperare.

Se pot concepe tot felul deexerciþii legate de masa propriuluicorp sau de modul în care masa seregãseºte în biologie.

T. Aplicaþiile temei ºi transferul seconcentreazã în jurul diferenþeidintre greutate ºi masã. Se pot faceextinderi spre fizicã, astronomie ºio serie de teme legate de viaþacotidianã: transporturi, construcþii,alimentaþie etc.

Exemplificarea valorilor extremeîn exprimarea maselor poateconstitui o altã sursã de transfer ºiextindere. Elevii pot aduceasemenea exemple în urma unorexerciþii de documentare ºicãutare. Texte de ziar sau de altãnaturã se pot folosi cu succes înacest sens. Mai apare ºi legãturadintre masã ºi volum, idee care seva dezvolta puþin în lecþia desprevolumul corpurilor.



O. – descrierea conceptului delungime;

– recunoaºterea unitãþilor demãsurã pentru lungime;


A. Dupã lecþiile pregãtitoaredespre timp ºi masã, lungimea esteuna dintre temele importante ºi cuaplicaþii directe în matematicã. Sevor prezenta unitãþile de lungimeuzuale, folosind din nouexperienþa ºi cunoºtinþele elevilor.Se va insista ºi aici asupratransformãrilor ºi a calculelorcorecte cu unitãþile de mãsurã.Este utilã ºi folosirea efectivã aunor instrumente de mãsurã:liniarul, ruleta, ºublerul etc., dupãpreferinþe ºi posibilitãþi. Se vadiscuta ºi aici aspectul alegeriiunitãþii de mãsurã în mod adecvat,în funcþie de ceea ce vrem sãexprimãm.

S. În una din situaþiile de învãþarese va relua exemplul cu planulcasei, de data aceasta cerândelevilor sã facã mãsurãtori în modefectiv. Se va reveni la ideea de


Lungimea 12


Lungimea este prezentatã în aceastã lecþie ca una dintre proprietãþile cantitative cele maiimportante. Experienþa pe care o au elevii în acest subiect îl va ajuta pe profesor sã gãseascã oprezentare cât mai fireascã a temei ºi sã câºtige interesul elevilor.

Lecþia necesitã, desigur, ºi exersarea transformãrilor ºi a calculului cu mãsuri, dar latura practicãtrebuie sã primeze. Astfel, printre activitãþile de învãþare se recomandã efectuarea a cât mai multemãsurãtori efective, realizarea unor schiþe, desene ºi planuri ºi nu doar un exerciþiu sec al calculelor.

În programa modulului profesorul gãseºte recomandãri pentru activitãþi de tip proiect. Temapropriu-zisã a acestora se va putea alege de comun acord cu elevii. Planul unui parc poate fischimbat cu un alt obiectiv. Important este sã se realizeze activitatea de învãþare ºi sã se finalizeze cu interpretarea celor obþinute. Ghidul elevului conþine câteva sugestii ºi în acest sens, spreexemplu în ceea ce priveºte folosirea hãrþilor de diverse scãri ºi tipuri.

scarã ºi la aspectele legate deasemãnare. Apare ºi problemaoperaþiilor cu mãsuri de segmenteºi a situaþiilor în care acesteoperaþii au sens concret. Profesorulva alege ºi alte exemple ºiexerciþii, dacã dispune de timp.Elevii vor fi organizaþi pe grupe.

T. Legat de mãsurarea lungimilorse gãsesc o serie de aplicaþii ºi ideide transfer. Important este sã serealizeze distincþia între mãsurareaunei lungimi ºi calculul acesteia.Se vor da exemple de situaþiipentru ambele cazuri, nu doarlegate de aspectele de calcul. Sepoate face o introducere înmãsurarea lungimilor pe sferã, înlegãturã cu temele deja discutateîn acest sens. De asemenea, dacãprofesorul considerã oportun, sepot face extinderi spre fizicã, deexemplu discutând viteza sau alteteme unde intervine lungimeacorpurilor.



O. – folosirea raportorului pentrumãsurãri de unghiuri;

– recunoaºterea unitãþilor demãsurã pentru unghiuri;

– transformarea diferitelorunitãþi între ele ºi efectuareade calcule.

A. Lecþia reia studiul unghiurilorºi îºi propune sã prezinte elevilormãsurarea unghiurilor ºi unitãþilede mãsurã folosite. Elevii vor fiînvãþaþi sã utilizeze raportorul înmãsurãri efective. Se învaþã ºicâteva expresii noi ºi clasificareaunghiurilor dupã mãsura lor.Învãþarea submultiplilor, atransformãrilor ºi a calculului cugrade, minute ºi secunde vanecesita exerciþiu din parteaelevilor. Se pot face, din nou,referiri la perpendicularitate.Important este ca profesorul sãgãseascã un context adecvat pentruaceste discuþii, astfel încât elevii sãfie interesaþi în dezvoltarea temei.

S. În partea de sarcini ºi activitãþide învãþare este rezervat timppentru exerciþii, nu foartespectaculoase, dar utile.Recomandabil este ca elevul sãlucreze cât mai mult ºi sã


Măsura unghiului 13


Concepþia lecþiei privind mãsurarea unghiurilor este asemãnãtoare cu cea a lungimilor. Se puneaccent pe înþelegerea mãsurãrii ºi a modului de folosire a instrumentului de mãsurã, dar ºi pedeprinderi practice ce se pot forma ºi dezvolta prin tema aleasã. Se exerseazã calculul cu mãsuri deunghiuri, transformãrile diferitelor unitãþi de mãsurã etc. În privinþa aspectelor practice, este nevoiede gãsirea unor contexte pline de înþeles pentru elev ºi relevante pentru interesele sale. Astfel, aparîn partea de transfer diferite sugestii tematice, cu trimiteri spre fizicã, construcþii, jocuri sportive etc.

Pe parcursul lecþiei se pot continua activitãþile de proiect începute în lecþiile precedente. Realizarealucrãrilor practice de desenare a schiþei unor locuinþe, parcuri sau alte obiective se poate continua ºicompleta cu mãsurãri de unghiuri ºi cu reproducerea acestora dupã aceeaºi scarã.

De asemenea, recomandãm exploatarea legãturii dintre unghiuri ºi cerc ºi prezentarea importanþeiunghiurilor în studiul asemãnãrii.

descopere aspectele esenþiale, caîn exemplul unghiului înscris încerc. Se va atrage din nou atenþiaasupra deosebirii dintre mãsurareºi calcul, spre exemplu prinultimul exerciþiu propus.

Dacã nivelul permite, se potpropune exerciþii mai complexe,reluând eventual unghiurile opusela vârf sau discutând despreunghiurile înscrise în cerc.

T. Una dintre aplicaþiileimportante în matematicã estestudiul paralelismului. Acesta sepoate prezenta în detaliu elevilor,dacã timpul o permite. Un altexemplu propus în ghid este alesdin fizicã ºi se referã la fenomenulde reflexie. Ambele teme se potdezvolta în diferite contexte.

Un alt aspect important ar filegãtura, atinsã deja, dintre cerc ºiunghiuri, legãturã care se maipoate dezvolta prin diferiteexerciþii ºi exemple. Profesorulgãseºte alte ilustrãri pentruimportanþa mãsurãrii unghiurilorîn astronomie, construcþii,artilerie, navigaþie etc. Desigur, nereferim la generalitãþi, la idei depornire, fãrã sã avem pretenþia dea fi specialiºti în aceste ºtiinþe.







• recunoașterea și exersarea unor proprietăţi metrice;

• efectuarea de calcule geometrice;

• utilizarea unităţilor de măsură;

• aplicarea celor exersate în diferite contexte.

Materiale: planșe cu figuri și corpuri, instrumente de măsură

și de desen, imagini și texte diferite.

Proprietăţi metrice IV

O. – aplicarea unor cunoºtinþe;– recunoaºterea legãturii

dintre perimetru ºi lungime;– efectuarea de calcule legate

de perimetru.

A. Perimetrul este prezentat ca oaplicaþie pentru lungimi ºimãsurarea acestora, respectiv ca oprimã proprietate metricã afigurilor geometrice plane. Eleviitrebuie sã fie conºtienþi decaracterul practic al acesteiprobleme, dar ºi de limitelenoastre în mãsurarea sauaprecierea perimetrelor figurilormai complicate. Experienþaelevilor îl va ajuta pe profesor sãfacã o prezentare interactivã aacestei teme. Legat de lungimeacercului se pot da elevilor ºi alteinformaþii despre numereiraþionale sau despre istoriamatematicii. ªi în acest caz suntindicate cât mai multe exerciþii.

S. În aceastã parte se gãsesc câtevasugestii de exerciþii tipice.Important este, din nou, caproblema propusã sã fie relevantãpentru elev, sã cadã în sfera deinteres a acestuia. Se pot alegeastfel, pentru calculul

PROPRIETĂŢI METRICE

Perimetre 14


Lecþia despre perimetre este prima din unitatea tematicã referitoare la principalele proprietãþimetrice. În cadrul lecþiei se vor folosi, pe cât posibil, experienþele acumulate de elevi. Exerciþiileprezentate vor fi legate de cunoºtinþele anterioare ºi vor surprinde aspecte relevante pentru elevi.Numãrul ºi complexitatea exerciþiilor vor fi decise de cãtre profesor. Spre exemplu, dacã nivelulclasei permite, se pot atinge chiar probleme simple de maxim sau de minim, aºa cum s-a sugerat în Ghidul elevului, la partea de transfer. Acestea sunt exemple de probleme strâns legate de practica cotidianã.

Discuþia despre lungimea cercului se poate diversifica, prezentând informaþii despre numereleiraþionale sau fapte de culturã ºi de istoria geometriei. De asemenea, gãsim aici un prilej bun pentru a rediscuta cu elevii ideea aproximãrilor, a estimãrilor valorilor reale, imposibil de obþinut cu exactitate.

Se poate dezbate problema obþinerii perimetrelor figurilor mai complicate, bazându-ne pecunoºtinþele sau posibilitãþile noastre legate de figuri simple.

perimetrelor, terenuri, grãdini,parcuri etc. Propunem exerciþiilegate de poligoane (regulate), darºi de cerc. Puteþi cãuta figuricompuse din ambele elemente, cade exemplu desenele (tehnice) aleunor mecanisme sau piese.

Se pot alege ºi alt gen de desene,nu numai desene tehnice.

T. Este prezentatã o primãproblemã legatã de maxim,desigur, cu titlu informativ.Important este însã ca elevul sãînþeleagã rostul acestor problemeºi aplicaþiile practice imediate pecare le au. Se mai discutã desprelegãtura dintre asemãnare ºiperimetru, din nou prin prismatransformãrilor, a deformãrilor.Apar, de asemenea, aspecte delimbaj care se pot lãmuri cu elevii.

Se mai poate pregãti la sfârºitulacestei lecþii viitoarea temã aariilor legate de corpuri.



O. – descrierea noþiunii de arie;– recunoaºterea unitãþilor de

mãsurã pentru arie;– efectuarea de calcule legate

de arii.

A. Lecþia va prezenta elevilornoþiunea de arie, unitãþile demãsurã corespunzãtoare ºi câtevadintre formulele uzuale de calcul aariilor. Tema continuã celeprezentate la lungimi, respectiv laarii. Se va insista asupraformulelor de calcul pentru arii,atât la poligoanele studiate, cât ºila cerc. Situaþia de pornire esteimportantã ºi aici, pentru a se gãsiun context relevant pentru studiulariilor. Cu ocazia discutãrii ariilor,se pot introduce deja ariile lateraleºi totale pentru poliedre saucorpuri în general. Trebuie fãcutãdistincþia între semnificaþiatermenilor suprafaþã ºi arie.

S. Activitãþile vor asiguraexerciþiul necesar pentru învãþareaformulelor ºi aplicarea lor îndiverse situaþii. Se poate reluaexemplul cu planul locuinþei,pentru a continua investigaþia ºi


Arii 15


Lecþia continuã firesc tema perimetrelor. Învãþarea formulelor pentru ariile figurilor simple este unuldintre obiectivele importante, dar nu este singurul. Pe lângã învãþarea ºi aplicarea acestor formule,elevul se va obiºnui cu ideea de descompunere a ariilor, va exersa reformularea unor situaþiicomplicate prin elemente mai simple, cunoscute.

De asemenea, sunt importante aplicaþiile în diverse ramuri ale cunoaºterii. Ghidul prezintã, cu titluinformativ, o extindere spre geografie. Profesorul este rugat sã caute alte aplicaþii considerateinteresante pentru elev.

Se pot relua problemele de extrem, combinând perimetrul cu aria ºi cãutând extreme pentru unuldin aceste aspecte, în diverse situaþii simple.

Recomandãm exerciþii pentru corpurile geometrice studiate. Exprimarea ariilor laterale ºi totale saua ariilor corpurilor rotunde este un prilej bun de exersare ºi de îmbunãtãþire a vederii în spaþiu.Dificultatea acestor aplicaþii va fi decisã de cãtre profesor. În acelaºi timp recomandãm „mãsurarea” efectivã, aproximarea ariilor folosind, de exemplu, hârtiemilimetricã.

calculele aferente. De asemenea, sepot face aplicaþii ale celor învãþateîn alte situaþii practice: agriculturã,geografie etc.

Un element important estediscutarea modului de exprimare aariilor unor poligoane cu maimulte laturi, folosinddescompunerea acestora în figuricu arii exprimabile. Este indicatãfolosirea hârtiei milimetrice ºiestimarea sau aproximarea unor arii.

T. În partea de transfer aparaplicaþii în geografie. O altã ideeeste prezentarea jocului Tangramºi exploatarea valenþelor acestuia.Alte extinderi se pot gãsi cuuºurinþã în tehnicã, biologie,arhitecturã etc. Apare din nouproblema maximizãrii unei valori,în cazul nostru a ariei. Se poaterelua exerciþiul de acest tip de laperimetre. Lecþia despre arii vapregãti prezentarea ariilor lateraleºi totale ale corpurilor ºi poate face reveniri la desfãºurarea deja discutatã.



O. – descrierea noþiunii de volum;– recunoaºterea unitãþilor de

mãsurã pentru volum;– efectuarea de transformãri ºi

calcule legate de arii.

A. În partea aceasta se va urmãrica elevii sã-ºi însuºeascã noþiuneade volum ºi sã-ºi formezedeprinderile necesare pentrucalculul volumelor, în câtevacazuri simple. Se vor discutaformulele de calcul pentruvolumele corpurilor studiate,explicând rolul bazei ºi alînãlþimii, dupã caz. Se vorprezenta unitãþile de mãsurã ºilegãtura dintre litru ºi decimetrulcub. Transformãrile trebuieexersate cât se poate de mult.Noþiunea de densitate esteamintitã numai cu titlu informativ.Organizarea unitãþilor de mãsurãsub o formã tabelarã, sau în altmod, intrã în sarcina elevului.

S. Activitãþile vor cãuta sã prezinteprobleme de calcul pentru volumeîn cazuri cât mai practice ºi mairelevante pentru elevi. Exempleledin ghid sunt doar ilustrative,profesorul poate sã propunã altele,mai sugestive ºi mai apropiate de


Volume 16


Lecþia despre volumele corpurilor este conceputã în baza acelor principii care s-au utilizat laperimetre ºi arii. Astfel, se recomandã profesorului pãstrarea unui raport rezonabil între aspecteleconceptuale, teoretice ºi cele calculatorii. De data aceasta, nu se urmãreºte mãsurarea efectivã avolumelor. Învãþarea formulelor uzuale ºi folosirea acestora în diferite aplicaþii este un obiectivimportant. Se vor cãuta metode de organizare a informaþiei, astfel încât elevii sã reþinã formulele.Este de dorit ca elevii sã fie capabili sã aplice corect formulele, în cazul corpurilor studiate în acestmodul. ªi în cadrul acestei lecþii se urmãreºte dezvoltarea gândirii vizuale, a vederii în spaþiu.

Ca ºi în lecþiile precedente, nu trebuie neglijatã problema unitãþilor de mãsurã ºi a transformãrilordintre acestea. Se recomandã exerciþii multe, în special folosind unitãþile de mãsurã uzuale pentruvolum. Elevii vor înþelege ºi vor deosebi cele douã sisteme, bazate pe metrul cub, respectiv pe litru.

interesele elevilor. Formulele decalcul pentru volumele celor maides întâlnite corpuri se vor exersaprin situaþii simple. Exemple bunese gãsesc în tehnicã, gastronomie,biologie etc.

T. În partea de transfer suntamintite, cu titlu de curiozitate,exemple de valori ale volumelor„extreme”. Înseºi înþelegerea ºiinterpretarea acestora potreprezenta un exerciþiu bun. Cazulvolumului aproximativ albutoiului este un pretext pentru ailustra situaþiile practice în carevolumele sunt aproximate.Profesorul poate gãsi alte exemple.Mai insistãm puþin asupra uneiciudãþenii (buretele lui Menger),cu scopul de a dezvolta imaginaþiavizualã a elevilor. Se pot propuneelevilor, dacã aceºtia manifestãinteres, calcule de volume pentrucorpuri scobite, pentru corpuricompuse din mai multe corpurisimple sau alte asemenea cazurimai complicate.



O. – descrierea noþiunii de arie;– recunoaºterea unitãþilor de

mãsurã pentru arie;– efectuarea de calcule legate

de arii.

A. În încheierea unitãþii desprerelaþii ºi proprietãþi metrice se reiaexemplul triunghiului, cu scopulde a le oferi elevilor o introducereîn studiul mai riguros alproprietãþilor geometrice. Dinacest motiv, prezentarea este maipuþin descriptivã. Se va încerca sãse deosebeascã proprietãþile denaturã calitativã de cele metrice,în general, prin exemple legate detriunghi. Am considerat cã pentruaceste scopuri un exemplu destulde bun poate fi cel al liniilorînsemnate în triunghi, legat de care se pot face investigaþii deambele tipuri: calitative ºi metrice.Ideea de raþionament ºi dedemonstraþie este amintitã în treacãt.

S. Activitãþile de învãþare vor cereelevului sã facã diferite investigaþiilegate de proprietãþi simple, înspecial pentru triunghi. Importanteste ca elevul sã cerceteze, sã cauteºi sã formuleze propriile


Triunghiul sub lupă 17


Aceastã lecþie este o introducere în studiul mai riguros al triunghiului, chiar dacã cu titluinformativ. S-a ales triunghiul pentru o exemplificare mai amãnunþitã a proprietãþilor metricestudiate. Elevii vor descoperi cã, în ciuda simplitãþii figurii, triunghiul este extrem de bogat înproprietãþi metrice ºi calitative.

Cu aceastã ocazie se poate relua discuþia despre mãsurare, ca mijloc de investigare, ºi raþionamentuldeductiv, exemplificat deja. Se va scoate în evidenþã puterea acestuia din urmã, folosind pretextultriunghiului. În acelaºi timp, se va cãuta în cadrul lecþiei sã se exerseze exprimarea verbalã arezultatelor investigaþiilor. Argumentarea demersului folosit ºi a soluþiilor obþinute este un obiectiv important.

Liniile importante în triunghi vor fi investigate împreunã cu elevii. Se vor organiza activitãþi deînvãþare pe grupe de elevi ºi se va încuraja învãþarea prin cooperare. Se vor pretinde desene corecte,îngrijite ºi de dimensiuni potrivite studiului întreprins. Profesorul va decide care sunt acelerezultate specifice, acele proprietãþi sau teoreme care trebuie reþinute ºi învãþate ca atare.

observaþii. Astfel, se pot propunespre discuþie probleme legate declasificãri, poziþii relative, punctede intersecþie, gãsirea unor cazuriparticulare etc. Numãrul acestorsituaþii ºi probleme depinde denivelul clasei, de interesul elevilorºi de contextul general al învãþãrii.Cãutarea proprietãþilor nu trebuiesã fie un scop în sine, ci prinaceasta se vor dezvoltaperseverenþa, curiozitatea, munca în grup etc.

T. Se vor da diferite exemplificãriale triunghiului, privit ca metaforã,pentru prezenþa acestuia înliteraturã, artã, religii sau însimbolistica vieþii cotidiene.

ªi de data aceasta, profesorul sauelevul sunt invitaþi sã caute alteexemplificãri din ce domeniidoresc. Am considerat ca fiindsemnificativã o micã incursiune înlumea „nematematicã” pentrudezvoltarea unor idei de culturãgeneralã ºi pentru a ajuta laformarea unor viziunitransdiciplinare. Tot aici seîncadreazã ºi ideea amintiriirelaþiilor fizice între trei mãrimi,atât de frecvente în aplicaþii.Despre trigonometrie se va amintidoar cu titlu informativ.



O. – exersarea demonstraþiei;– recunoaºterea ipotezelor ºi a

concluziilor;– analiza unor proprietãþi noi.

A. Aceastã lecþie îºi propune sã leofere elevilor o introducere întehnica demonstraþiilor folosite îngeometrie. Sunt prezentate treiteoreme simple, cu titlu ilustrativ,deºi ele se vor învãþa ºi utiliza caatare. Dacã profesorul considerãnecesar, exemplele se pot schimba,dar recomandãm ca acestea sã fiemai simple. Demonstraþia propusãeste cât se poate de intuitivã, fãrãprea mult simbolism. Elevii vorînþelege de ce mãsurarea nu este ocale de demonstraþie. În acest scopse iniþiazã o discuþie specialã, cureferiri la imperfecþiunile oricãreimãsurãtori.

S. Aceastã parte va propuneelevilor sarcini de lucru similarecu cele din primul bloc. Se potalege figuri geometrice mai puþinstudiate pânã aici, ca de exemplutrapezul, sau se poate lucra ºi îndiferite secþiuni ale unor corpuri,dacã nivelul clasei permite.



Încep problemele: din nou despre relaţii metrice 18

Demonstraþiile prezentate ºi discutate în aceastã lecþie sunt o introducere în raþionamentele mairiguroase ºi în exprimarea formalã a acestora. Ca ilustrare, s-a ales, cum era de aºteptat, triunghiul.Cele trei proprietãþi prezentate în primul bloc se pot schimba cu altele, dupã decizia profesorului.Este de dorit sã se arate elevilor cã asemenea raþionamente deductive se pot face în cazul tuturorfigurilor geometrice, în plan ºi în spaþiu, deopotrivã.

Dacã nivelul clasei permite, se poate explica elevilor cã proprietãþile generale urmeazã în studiulgeometriei în mod gradat, de la simplu la complicat. Mai mult decât atât, se poate vorbi despreaxiomele geometriei, despre elemente ºi relaþii de bazã, plecând de la care se construieºte întregul edificiu.

ªi în cadrul acestei lecþii este recomandabil sã se insiste pe expunerea verbalã ºi în scris araþionamentului utilizat. Trebuie cerut elevilor sã argumenteze calea pe care au urmat-o,raþionamentul pe care l-au folosit.

Dacã este posibil, ilustrarea ideilor trebuie fãcutã prin probleme care admit mai multe cãi deabordare, mai multe soluþii distincte.

Credem cã organizarea elevilor îngrupuri de lucru este beneficã ºide data aceasta.

T. Principalul scop al acestui bloceste pregãtirea pentru moduleleulterioare, unde, în anii mai mari,se vor folosi din ce în ce mai multdemonstraþiile, raþionamentele ºi,în general, abordãrile mai puþinempirice. S-a ales în acest scopideea, deja vãzutã, a gãsirii unorextreme, pentru motivul cã, înpracticã, de foarte multe ori,problemele concrete sunt problemede extrem. Puteþi avea o discuþiedespre deosebirea dintre valoriextreme ºi valori optime, discuþieexemplificatã prin probleme aleseîn mod corespunzãtorposibilitãþilor. În ultimele douãlecþii, elevul se va mai întâlni cuprobleme matematice în care vaavea ocazia sã exersezeraþionamentul deductiv. Înainte deacestea, ar fi de dorit sã aveþi uninventar al cunoºtinþelorobligatorii, în baza cãrora se vor încerca demonstraþiile problemelor care urmeazã.




Număr de ore alocate: 2 ore pentru recapitulare și evaluare


• exemplificarea temelor parcurse prin alte probleme și

contexte;

• efectuarea de calcule și aplicarea unui anume

raţionament;

• repetarea principalelor concepte și idei;

• analiza unor situaţii noi.

Materiale: planșe, instrumente de măsură și de desen,

imagini și texte diferite, organizatori.

Recapitulare și aplicaţii V

O. – exersarea unor metode derezolvare a problemelor;

– recapitularea celor maiimportante cunoºtinþe;

– realizarea unor conexiuninoi între cunoºtinþe.

Recapitularea propusã în ultimeledouã lecþii este puþinneconvenþionalã. Astfel, primalecþie din aceastã unitate seconcentreazã asupra a 10 teme sauidei importante. Fiecare dintreaceste 10 puncte reprezintã ºi câteo sarcinã de lucru pentru elevi. Launele, sarcina nu este precisformulatã, tocmai pentru a rãmâneprofesorului ºi clasei libertateaunui consens în privinþa aceasta.

O sarcinã comunã este însãdiscutarea din nou a temeirespective, dacã se poate dintr-ununghi nou. De asemenea, fiecarepunct permite profesorului ºielevilor sã caute conexiuni cu alteteme, extinderi spre alte teme sauformularea unor probleme de

RECAPITULARE ȘI APLICAŢII


Surprize, în loc de recapitulare 19

Penultima lecþie face parte din recapitularea modulului. Sunt 10 teme, aºezate într-o ordine care sepoate schimba dacã profesorul considerã necesar. Se pot schimba înseºi temele recapitulate, dacã seconsiderã cã altele sunt mai relevante.

În cadrul lecþiei se poate continua oricare dintre proiectele deja începute.

Între temele acestei lecþii de recapitulare se pot strecura idei ºi elemente noi. Astfel, a apãrutprezentarea teoremei lui Pitagora, dar se pot introduce ºi alte informaþii noi pentru elev.

Am cãutat exemple mai puþin obiºnuite pentru a oferi elevilor informaþii oarecum surprinzãtoare. Estefoarte important ca ºi în aceastã parte sã se utilizeze un bogat material ilustrativ, estetic ºi relevantpentru experienþele elevilor. Cãutarea acestor pretexte de discuþii sunt în sarcina profesorului.

Nu este în intenþia noastrã o recapitulare tip inventar a celor învãþate ºi studiate. Nu se doreºte oreproducere a elementelor memorate, ci o regândire a relaþiilor descoperite, o reevaluare a întreguluimodul. În acest scop s-a elaborat ºi ultima lecþie.

acelaºi tip, dar în alt context.Ideile importante înºirate aici sunt:

– paralelismul;– miºcarea;– mãsurarea, estimarea ºi

aproximarea;– limbajul formelor;– iluziile;– formele în alte domenii decât

geometria;– relaþiile metrice;– probleme imposibile.

Oricare dintre aceste teme – saualtele – permite dezvoltãriulterioare, lecturã suplimentarã,prelucrare ºi prezentare. În bazalor, profesorul poate ajuta elevii sã-ºi completeze portofoliul sau sã-ºi punã la punct referatele, dacãse preferã ºi acest mod deevaluare. În acest scop se va folosiºi timpul alocat ultimei lecþii,despre care facem câteva precizãriîn continuare.



O. – recapitularea celor maiimportante cunoºtinþe;

– realizarea unor conexiuninoi între cunoºtinþe.

Ultima lecþie propune orecapitulare a celor învãþate, înmare parte realizatã deja ºi înlecþia precedentã. Atunci s-a pusaccent pe probleme ºi pe context,acum – pe fapte ºi pe informaþie.Totodatã, se propune elevilor sã-ºireaminteascã acele elementevizuale pe care, probabil, le-auataºat principalelor figurigeometrice învãþate. Astfel, dupãfiecare întrebare sau punere întemã, urmeazã un spaþiu pentrudesen ºi reprezentare. Întrebãrilevor fi discutate, extinse,generalizate, particularizate etc., înfuncþie de ce îºi propuneprofesorul ºi de nevoile elevilor.Aceeaºi observaþie, ca pe totparcursul lecþiilor: textul dat înghid este numai un pretext.

RECAPITULARE ȘI APLICAŢII


În final, recapitulare în loc de surprize… 20

Aceastã ultimã lecþie este o continuare a blocului precedent. Practic, se face acum un inventar, darunul foarte sumar, accentuând doar elementele esenþiale.

De fiecare datã se insistã pe desen, pe reproducerea ideilor pe cale vizualã ºi verbalã.

Profesorul are libertatea sã schimbe ordinea celor recapitulate, sã considere alte elemente maiimportante sau sã insiste în mod diferit asupra ideilor cuprinse în listã.

Organizarea activitãþilor de învãþare destinate recapitulãrii va fi în concordanþã cu scopul urmãrit: în primul rând, reproducerea celor învãþate, dar ºi explorarea acelor relaþii care au fost amintite doartangenþial. Credem cã recapitularea fãcutã în aceastã manierã nu trebuie confundatã cu evaluareaperformanþelor elevilor.

Presupunem cã aceste douã lecþiide la sfârºitul modulului vorîntregi imaginea celor prezentatemai înainte. Ele formeazã osingurã unitate ºi vor fi exploatateîmpreunã. De data aceasta,inventarul de idei ºi fapte aratã înfelul urmãtor:

– elemente de bazã;– figuri plane ºi corpuri;– poligoanele;– asemãnarea ºi congruenþa;– transformãrile ºi simetria;– proprietãþi calitative ºi metrice;– lungimi, arii, volume;– relaþii metrice ºi unitãþi de

mãsurã în general.

Se propun tot 10 paºi, ca ºi înlecþia precedentã, dar acest numãreste limitat doar de timpul pe care profesorul îl poate aloca recapitulãrii.

Insistãm, din nou, pe folosireaacestor ocazii pentru completareaportofoliului elevilor ºi aproiectelor pe care le veþi propune împreunã.



Date post:	08-Dec-2016
Category:	Documents
Upload:	vuanh
View:	224 times
Download:	0 times

matematica_II_cadru_didactic

Documents