Home >Documents >matematica statistica

matematica statistica

Date post:25-Feb-2018
Category:
View:218 times
Download:0 times
Share this document with a friend
Transcript:
  • 7/25/2019 matematica statistica

    1/29

    Exemplul 1 Considerm experiena de aruncare a unui zar. Evenimentele

    elementare sunt egal posibile i avem 6 cazuri posibile. Notm cu A evenimentul

    "apariia unei fee cu numr par de puncte 6" numrul cazurilor favorabile

    evenimentului A este 3. Deci2

    1

    6

    3)A(P .

    Exemplul 1.1Dintr-o urn cu 15 bile numerotate de la 1 la 15 se extrage o billa ntmplare. Se consider evenimentele:

    A = obinerea unui numr prim;B = obinerea unui numr par;C =obinerea unui numr divizibil prin 3.

    S calculm probabilitile acestor evenimente.

    Rezolvare

    n aceast experien aleatoare numrul total al cazurilor posibile este15.

    Pentru A numrul cazurilor favorabile este 6, adic {2, 3, 5, 7, 11, 13},

    deci5

    2

    15

    6)A(P .

    Pentru B numrul cazurilor favorabile este 7, adic {2, 4, 6, 8, 10, 12,

    14}, deci

    15

    7)B(P .

    Pentru C, numrul cazurilor favorabile este 5, adic { 3, 6, 9, 12, 15},

    deci3

    1

    15

    5)C(P .

    PROBABILITATI

    Exemplul 1.2Cele 26 de litere ale alfabetului, scrise fiecare pe un cartona, suntintroduse ntr-o urn. Se cere probabilitatea ca extrgnd la ntmplare de 5 oricte un cartona i aezndu-le n ordinea extragerii s obinem cuvntul

    LUCIA.

    Rezolvare

    Notm prin X evenimentul cutat, deci de a obine prin extragerisuccesive cuvntul LUCIA, de asemenea notm prin A1 = evenimentul ca la

    prima extragere s obinem litera L; A2= evenimentul ca la a doua extrageresobinem litera U; A3= evenimentul ca la a treia extragere s obinem litera C; A4= evenimentul ca la a patra extragere s obinem litera I; A5 = evenimentul ca la acincea extragere s obinem litera A.

    Atunci evenimentul X are loc dac avem

    1 2 3 4 5X A A A A A .Rezult:

  • 7/25/2019 matematica statistica

    2/29

    20

    .22

    1

    23

    1

    24

    1

    25

    1

    26)

    P() P(

    45 1 32

    3212 1 3 1 421

    1

    A A

    ) A )

    P(A A A

    P(X) P(A ) P(A A A A A A A A

    Exemplul 1.3Dac probabilitatea ca un automobil s plece n curs ntr-odiminea friguroas este de 0,6 i dispunem de dou automobile de acest fel,

    care este probabilitatea ca cel puin unul din automobile s plece n curs ntr-odiminea friguroas?

    Rezolvare

    Dac notm prin A1 i A2 evenimentele ca primul respectiv, al doileaautomobil s plece n curs i prin X evenimentul cutat, deci ca cel puin unuldintre automobile s plece n curs, avem: 21X A A , iar

    P(X) P(A A )1 2 P(A ) P(A ) P(1 2 1 2A A ), deoarece evenimentele 1Ai 2A sunt compatibile (cele dou automobile pot s plece n curs deodat).

    Cum P( 1A ) = P( 2A ) = 0,6, iar evenimentele 1A i 2A sunt independente ntreele (plecarea unui automobil nu depinde de plecarea sau neplecarea celuilalt),deci P( A A ) = P( A )P(A )1 2 1 2 = (0,6)

    2 . Se obine c P(X) = 0,6 + 0,6 - (0,6)2

    = 0,84.

    Exemplul 1.4Trei secii ale unei ntreprinderi 321S ,S ,S depesc planul

    zilnic de producie cu probabilitile de respectiv 0,7; 0,8 i 0,6. S se calculeze

    probabilitile evenimentelor:A -cel puin o secie s depeasc planul de producie.B -toate seciile s depeasc planul de producie.

    Rezolvar

    Fe

    ie iA evenimentul ca secia iS s depeasc planul de producie.

    Avem: A = 1 32A A A , deci

    P(A) = P (A A ) P(A A )1 3 1 322 A 1 A 1 2 3= 1 P(A ) P(A ) P(A ) =1- (1-0,7)(1-0,8)(1-0,6) = 1 0,3 0,2 0,4 0,976 .B = 321A A A i innd seama de independena evenimentelor, avem:

    P(B) = P(A A ) P(A ) P(A ) P(A ) 0,7 0,8 0,6 0,3363 1 2 321 A .

  • 7/25/2019 matematica statistica

    3/29

    probabilitatea ca s fie satisfcute toate trei caracteristicile se poate evalua cu

    formula lui Boole. Astfel se poate scrie:

    Exemplul 1.5O pres este considerat c satisface standardul de fabricaie dac

    trei caracteristici sunt satisfcute. Dac aceste caracteristici A, B i C sunt

    satisfcute cu probabilitile P(A) =10

    9, P(B) =

    7 i P(C) =

    11 12

    11, atunci

    P( A B C) 1 P(A) P(B) P(C), adic

    P(660

    229

    12

    1

    1110A B C) 1

    1

    4

    .

    Exemplul 1.6Un sortiment de marf dintr-o unitate comercial provine de la

    trei fabrici diferite n proporii, respectiv1

    de la prima fabric,3

    1de la a doua

    6fabric i restul de la fabrica a treia. Produsele de la cele trei fabrici satisfac

    standardele de fabricaie n proporie de 90%, 95% i respectiv 92%. Un client

    ia la ntmplare o bucat din sortimentul de marf respectiv.a) Care este probabilitatea ca produsul s satisfac standardele defabricaie?

    b) Care este probabilitatea ca produsul s fie defect i s provin de laprima fabric?

    Rezolvare

    a) Notm cu 21A , A i 3A evenimentele ca produsul cumprat s fie de

    la prima, a doua, respectiv a treia fabric. Aceste trei evenimente formeaz un

    sistem complet de evenimente i au probabilitile P(6

    , P(A )3

    A )1

    21 1

    i

    23P(A ) 1 . Dac A este evenimentul c produsul cumprat de client satisface

    1standardele de fabricaie, atunci P(A A ) 0,90, 2P( A A ) 0,95 i

    P( A A ) 0,923 . Folosind formula probabilitii totale se obine:

    0,9186

    5,510,92

    2

    10,95

    6

    10,90

    9

    1

    1 3 3221

    P(A) P(A ) P(A A ) P(A ) P(A A ) P(A ) P(A A )

    b) Folosind formula lui Bayes, avem:

    P( A A)A ) P(A )P(A A )P(A )P(A A ) P(A )P(A

    P(A )P(A A )

    2 3 31 1 2

    111

    =0,49

    0,2

    0,082

    10,05

    6

    10,10

    3

    1

    0,103

    1

    0,408.

  • 7/25/2019 matematica statistica

    4/29

    22

    Exemplul 1.7 Un student solicit o burs de studii la 3 universiti. Dup

    trimiterea actelor necesare, acesta poate obine burs de la universitatea i (Ui)

    sau nu (Ui ), 1 i 3 . Scriei evenimentele ce corespund urmtoarelor situaii :

    a) primete o burs;

    b) primete cel mult o burs;

    c) primete cel puin o burs;

    d) primete cel puin dou burse.

    Rezolvarea) Bursa primit poate fi de la prima universitate, caz n care celelaltenu-i acord burs, sau de la a doua, caz n care prima i a treia nu-i acord burs,sau de la a treia, caz n care primele dou nu-i acord burs. Avem astfelevenimentul

    1 2 3 1 3 1 2 32A (U U U ) (U U U ) (U U U ) .b) Avem dou variante : studentul nu primete nici o burs sau studentul

    primete o burs. Obinem evenimentul

    B (U U U ) A31 2 .c) Evenimentul poate fi scris ca reuniunea a trei evenimente : studentul

    primete o burs, dou burse, trei burse. Astfel C A E F, unde) (1 2 3 1 2 3 1 2 3E (U U U U U U ) (U U U ) ,

    iar 1 2 3F U U U .d) Avem D E F. Altfel, evenimentul D este contrar evenimentului

    B, deci DB (U U U ) A1 2 3 .

    Exemplul 1.8ntr-un grup de studeni aflai n excursie se gsesc 6 fete i 9biei. Se aleg la ntmplare doi studeni pentru a cerceta traseul. Care este

    probabilitatea ca cei doi s fie :a) biei;

    b) fete;c) un biat i o fat;

    d) cel puin un biat;

    e) primul biat i a doua fat;

    f) de acelai sex.

    Rezolvare

    Notm cu A1i A2evenimentele alegerii unui biat la prima, respectiv adoua alegere. La primul punct avem de calculat probabilitatea 21P(A A ) .ntruct a doua alegere depinde de prima avem :

    351214815) P(A )P(( 12121P AA A A ) 9 ,

    deoarece alegnd un biat mai rmn n grup 14 studeni ntre care 8 biei.

    Evenimentul de la punctul b) se scrie astfel : 1 2BA A . Deci

    7

    1

    14

    5

    15) P(A )P((B) P( 1211 2P AA A A )

    6 .

  • 7/25/2019 matematica statistica

    5/29

    23

    Evenimentul de la punctul c) este ( 1 2 2 1C AA ) (A A ) aadar

    ) P((C) P( 1 2 2 1P AA A A ) , 11 2 2(AA ,A A sunt incompatibile)

    Dar14

    6

    15) P(A )P(( 1 2 2 11P A A A /A )

    9 ,

    iar14

    9

    15) P(A )P(( 1212 1P A A A /A )

    6

    de unde35

    18

    15 14P(C) 2

    9

    6 .

    Am obinut i probabilitatea evenimentului de la punctul e) 21P(AA ) .Evenimentul de la punctul d) se exprim astfel : 21DA A .

    El este contrar evenimentului : 1 2BA A , prin urmare

    7

    6

    7P(D) 1 P(B) 1

    1 . Evenimentul de la ultimul punct f) este

    1 2 1 2 2 211 A AAAF (AA ) (AA ) . Cum ( ) ( ) cele douevenimente sunt incompatibile i deci

    35

    17

    7

    1

    351 2 1 2P(F) P(A A ) P(A A )12

    .

    Exemplul 1.9La un examen de licen particip mai muli absolveni, ntre

    care numai trei din strintate. Probabilitatea ca primul student s promoveze

    este , probabilitatea ca al doilea s promoveze este 4/5, iar pentru al treilea

    5/6. S se determine probabilitile ca :a) toi cei trei studeni s promoveze;

    b) cel puin unul s promoveze examenul.

    1 2 3

    RezolvareFie Aievenimentul promovrii examenului de ctre studentul i, i=1,2,3.Evenimentul de la punctul a) este A A A A , iar de la punctul b) este

    1 2 3BA A A . Evenimentele Ai sunt independente (rezultatele celor 3studeni nedepinznd unul de celelalte), deci

    2

    1

    6

    5

    5

    4

    41P(A) P(A )P(A2 )P(A3)

    3 .

    2 1 1 323231

    Folosind proprietile probabilitii avem :

    P(B) P(A A A ) P(A A ) P(A ) P((A A ) A )

    2 2 3 321311 A A P(A ) P(A ) P(AA ) P(A ) P((AA ) ( ))

    A )

    A ) A ) A )

    )) P((A ) P())(((

    P(P A [P(A AP(A )(A ) P(A ) P(

    31 23231

    32 2313211

    P A AA AP A

    ()() 321323121 P A A A P A A P(AA ) P(A A ).

    innd seama de independena evenimentelor Ai, i=1,2,3, avem:

    .120

    119

    6

    5

    5

    4

    4

    3

    6

    5

    5

    4

    6

    5

Embed Size (px)
Recommended