MATEMATICA FINANCIARA

~STATISTICA~

Statistica matematicaStatistica matematica

• Statistica este o ramură a matematicii aplicate care se ocupă cu extragerea informaţiilor relevante din date. Informaţiile pot fi folosite pentru a înţelege datele disponibile (statistică descriptivă) sau pentru a descoperi noi informaţii despre evenimente şi relaţiile dintre ele (statistică inferenţială).

Elemente de statistica matematica

Prin populatia statistica se intelege orice multime definita de obiecte de aceeasi natura. Elementele unei populatii se numesc unitati statistice sau indivizi. Numarul de elemente care constituie populatia se numeste volumul populatiei.

Se numeste caracteristica a populatiei o trasatura comuna tuturor unitatilor populatiei.

Caracteristica poate fi cantitativa sau calitativa. In general o populatie se studiaza dupa una sau mai multe caracteristici. In cazul populatiilor cu un numar mare de indivizi se efectueaza o statistica numai pentru o fractiune din populatia totala, iar rezultatul obtinut se extinde pentru toata populatia. Fractiunea din populatia totala pentru care se face statistica se numeste esantion. Gratie calculului probabilitatilor va fi posibil,in general, de a indica gradul de incredere care se poate acorda concluziilor obtinute.

Caracteristicile “Nota la teza de matematica”, “Durata de functionare”, “Varsta” si “ Greutatea” sunt de natura cantitativa,iar caracteristica “Culoarea ochilor” este de natura calitativa.

Caracteristicile cantitative pot fi discrete( sau discontinue) daca variabila statistica ia valori finite sau continue daca variabila poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit.

Gruparea datelor se realizeaza cu scopul de a se trage concluzii cu caracter general.

Exemple:

Populatia Elevii unei clase

Elevii unei clase

Becurile unei firme

Locuitorii unui oras

Locuitorii unui oras

Caracteristica Nota la teza de matematica

Culoarea ochilor

Durata de functionare

Varsta Greutatea

Tabelul 1

Acest tabel prezinta situatia notelor la teza de matematica intr-o clasa de 25 de elevi.

Plecand de aici se poate realiza tabelul 2 care prezinta o situatie sintetica fata de cel precedent.

Nota(caracteristica) Numar de elevi Nota(caracteristica) Numar de elevi

2 1 7 5

3 2 8 3

4 1 9 3

5 3 10 3

6 4

Tabelul 2

In acest tabel am impartit multimea valorilor caracteristicii in trei clase. Se face conventia ca extremitatea dreapta( cu exceptia, eventual, a ultimei clase) pentru fiecare clasa sa nu apartina clasei.

De exemplu clasa 5-7 cuprinde valorile caracteristicii x, 5≤ x <7.Lungimile claselor de valori sunt la latitudinea celui care face investigatia si sunt stabilite in functie de scopul urmarit. In cazul prezentat mai sus numarul elevilro care au luat nota sub cea de “trecere” este egal cu 4 si reprezinta 16% din totalul elevilor. Numarul celor cu o slaba pregatire este reprezentat de cei care au luat note de 5 si 6,acesta reprezentand 28% din total.Elevii buni si foarte buni reprezinta 56% din totalul elevilor.

Clase de valori Numar de elevi

<5 4

5-7 7

7-10 14

Frecventa absoluta.Frecventa relativa. Frecvente cumulate

Numarul tuturor indivizilor unei populatii se numeste efectivul total al acelei

populatii.

In urmatorul tabel valorile caracteristicii sun date in prima coloana, iar in

coloana a doua figureaza numarul de indivizi corespunzator fiecarei valori a

caracteristicii.

Nota

xi

Efectiv

ni

Nota

xi

Efectiv

ni

2

3

4

5

1

2

1

3

6

7

8

9

10

4

5

3

3

3

Efectiv total: 1+2+1+3+4+5+3+3+3=25 ( ni)

DEFINITIE: Se numeste frecventa absoluta a unei valori x a caracteristicii, numarul de unitati ale populatiei corespunzatoare acestei valori.

In tabelul 3, valoarea 5 a caracteristicii are frecventa absoluta 3( inseamna ca nota 5 a fost luata la teza de matematica doar de 3 elevi).

Aceste date se reprezinta grafic, in raport de un sistem de axe rectangulare, prin desene, care un in evidenta anumite rapoarte numerice. Graficul corespunzator se numeste diagrama. Alegerea unitatii pe fiecare dintre axe ramane la latitudinea celui care prelucreaza datele.

O prima reprezentare o constituie reprezentarea in batoane aplicata caracteristicii discrete cu un numar mic de valori. Pe axa orizontala sunt trecute punctele reprezentand valorile variabilei si din aceste puncte se ridica segmente verticale de lungime egala cu frecventa absoluta a valorii respective. Segmentele ridicate sunt masurate cu unitatea de pe axa verticala.

In cazul tabelului 3 se obtine urmatoarea diagrama:

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Efectiv Note

Realizam un alt tabel cu aceleasi note la teza de matematica in care lungimile claselor sa fie aceleasi.

Tabelul 4

Clase de valori Efectiv Procent

2-4 3 12%

4-6 4 16%

6-8 9 36%

8-10 9 36%

Vom reprezenta aceste date printr-un grafic numit histograma, unde pe axa orizontala se iau o succesiune de segmente egale (reprezinta lungimea claselor) si se ridica pe fiecare din aceste segmente considerate ca baze, dreptunghiuri de inaltimi proportionale cu frecventele absolute ale claselor respective.

Daca in mijlocul fiecarui segment de pe axa orizontala (aceste mijloace de intervale le numim valori centrale) se ridica segmentele proportionale cu frecventele claselor corespunzatoare fiecarui segment si unim printr-o linie poligonala extremitatile superioare ale acestor segmente se obtine poligonul frecventelor.

Uneori datele se reprezinta prin dreptunghiuri de baze egale si cu inaltimi proportionale cu procentele sau prin toare de cerc,cu unghiuri proportionale cu aceleasi numere.

DEFINITIE: Se numeste frecventa relativa a unei valori xi a caracteristicii raportul dintre frecventa absoluta ni a valorii xi si efectivul total al populatiei.

ƒ(xi) = ni/n, n= efectivul total.

Se numeste frecventa cumulata crescatoare a unei valori x a variabilei, suma tuturor frecventelor valorilor care apar pana la x inclusiv.

Se numeste frecventa cumulata descrescatoare a unei valori x a variabilei suma tuturor frecventelor valorilor care apar de la x inclusiv.

F(x) = xi x ƒ(xi) = frecventa cumulata crescatoare

F’(x) = xix ƒ(xi) = frecventa cumulata descrescatoare

Analiza statistica a unui fenomen, in raport cu o singura caracteristica, conduce la o serie de perechi de valori (caracteristica, efectiv) care se numeste serie statistica.

Daca din acest tabel se retin coloanele unu si trei, atunci aceste informatii definesc distributia sau repartitia statistica a variabilei respective.

Nota Efectiv Frecventa Frecventa cumulata

2 1 0,040 0,040

3 2 0,080 0,120

4 1 0,040 0,160

5 3 0,120 0,280

6 4 0,160 0,440

7 5 0,200 0,640

8 3 0,120 0,760

9 3 0,120 0,880

10 3 0,120 1

ELEMENTE CARACTERISTICE ALE UNEI SERII STATISTICE

1.Media- Fie x variabila statistica care ia valorile x1, x2,….xk cu efectivele corespunzatoare n1,n2,….nk.

DEFINITIE: Se numeste media caracteristicii x numarul

_

x =k i=1

nixi/n, unde n= k i=1 ni este efectivul total

Acest numar se mai numeste si media ponderata a numerelor x1,x2,…,xk; numerele n1,n2,…nk se numesc ponderile respective ale numerelor x1,x2,…xk.

Luand datele din tabelul 1 gasim ca media notelor la teza de matematica este x= 6,680.

Daca pentru o caracteristica informatiile sunt impartite pe clase,atunci xi este valoarea centrala a clasei respective, adica este mijlocul intervalului.

Observatii: 1.Media este influentata de toate valorile xi si ni, dar este deosebit de sensibila la valorile extreme pierzand astfel o buna parte din reprezentativitate, mai ales in esantioanele de marime redusa.

2.Mediana

DEFINITIE: Mediana este o valoare astfel incat jumatatea valorilor xi ale esantionului sunt mai mici sau egale cu x’ si cealalta jumatate a valorilor xi sunt mai mari sau egale cu x’.

Observatie:Mediana nu este afectata de valorile extreme ale caracteristicii. In cazul unor salarii lunare: 300.000,600.00,1.000.000,1.500.000,2.300.000, 15.000.000, mediana are valoarea x’=1.250.000

3.Modulul

DEFINITIE: Prin modulul unei serii statistice se intelege valoarea caracteristicii corespunzatoare celei mai mari frecvente daca valorile caracteristicii sunt discrete si valoarea centrala a clasei corespunzatoare celei mai mari frecvente daca variabila este continua.

Observatie: Modulul este insensibil la valorile extreme. Ca element numeric modulul este mai putin utilizat decat media sau mediana.

In cazul tabelului 5, modului este 7.

4.Dispersia _

Daca se doreste sa se vada cat se indeparteaza valorile variabilei de media x se poate calcula media diferentelor absolute xi - x.

_ _

v= [n1(x1-x)2 + ……+ nk(xk – x)2]/ n

Numarul v se numeste dispersia valorilor esantionului.

DEFINITIE: Numarul v = se numeste abaterea medie patratica.

Acest numar se exprima in aceleasi unitati ca si caracteristica seriei.Utilizand acest indicator putem compara doua clase de elevi din punct de vedere al omogenitatii lor prin prisma mediilor finale. Cea care are dispersia mai mica este mai omogena.

La fel un antrenor are posibilitatea de a forma doua echipe de fotbal, cunoscand numarul golurilor marcate de fiecare echipa.Se va opri la acea formula de echipa care este mai omogena, adica aceea care are dispersia mai mica. Se poate aplica o strategie asemanatoare pentru alegerea apararii unei echipe.

PROPRIETATI ALE VARIANŢEI

Prin calcul direct se arata usor ca varianţa are exprimarile:

_

1. v = ki=1 ƒ(xi ) (xi-x)2

_ _

2. v = ki=1ƒ(xi )xi

2 – (x)2 = (1/n) ki=1 ni xi

2 – (x)2

De obicei se utilizeaza un tabel care pe langa coloanele cu valori xi si ni contine coloanele nixi , xi

2 si nixi2.

Pe coloana nixi se face nixi care impartita la n ne da media x, iar pe coloana nixi

2 se face suma nixi2 care impartita la n este expresia ce apare

in a doua exprimare a varianţei.

Elev: Mincă Emilia

Clasa a X-a A