matematica distractiva

1

REVISTA CONSTITUIE PRODUSUL FINAL AL PROIECTULUI DE PARTENERIAT

bdquoMATEMATICĂ PENTRU NOI TOŢIrdquo IcircNTRE

ŞCOALA CU CLASELE I-VIII NR 4 CUGIR

ŞCOALA bdquoMIHAI EMINESCUrdquo ALBA IULIA

COLEGIUL TEHNIC bdquoAPULUMrdquo ALBA IULIA

COORDONATORI PROIECT prof VLASEA FLOARE

prof MARINESCU RODICA prof ŢIBEA MARIA

ECHIPĂ DE IMPLEMENTARE prof SAVA CORINA prof URCAN MIHAELE

prof DROGOŢEL VIORICA prof LOGA ALEXANDRU

prof IRIMIE SANDA prof PIPOŞ CORINA prof MIRON RAVECA

2

Coordonatori revistă

prof Floare Vlasea prof Rodica Marinescu

prof Maria Ţibea

Profesori colaboratori

prof Viorica Drogoţel

prof Corina Sava

prof Mihaela Urcan

prof Alexandru Loga

Colectiv de redacţie elevii

Bodron Valentina ndashcls a VIII-a ndash ldquo director rdquo

Isvanescu Alexandra cls a VIII-a ndash ldquoRedactor şefrdquo

Popa Roxana -cls a VIII -a ndash ldquoadministrator financiarrdquo

Troancheş Andrei - redactor

Badoiu Iulia- redactor

Muntiu Alina- redactor

Redacror prof Floare Vlasea

3

Sumar Nota redacţiei

Istoria apariţiei unităţilor de măsură

Diferite tipuri de unităţi de măsură

Construcţii geometrice

Asemănare

Arii

Proprietăţile dreptunghiurilor

Curiozităţi matematice

Bibliografie

Revistă bianuală de matematică editată icircn parteneriat şcolar

Cugie ndash Alba Iulia

Numărul 2 aprilie 2010

4

Introduse din necesitatea de a determina distanţe arii ale

suprafeţelor terenurilor volume greutăţi (de fapt mase) de produse

apă şi diferite materiale sau de a determina durate intervale de timp

şi de a stabili scări de timp etc măsurile de lungime şi de masă

(denumită ca mijloc de măsurare greutate) au fost bazate icircn toată

lumea la icircnceputurile lor pe unităţi de măsură care derivau de la

diferite elemente ale corpului omenesc Cotul palma palmacul

degetul piciorul omului care au reprezentat chiar primele mijloace

de măsurare au alcătuit baza sistemului de măsuri pentru lungime

arie volumcapacitate Aşa au fost icircn antichitate cotul egiptean

cotul persan şi cotul babilonean şi icircn Grecia piciorul antic şi

piciorul olimpic iar icircn Europa apuseană piciorul roman piciorul

antic şi piciorul olimpic

Greutăţile folosite icircn antichitate ca măsuri de masă icircn

terminologia actuală au fost stabilite pe baza greutăţii unui anumit

număr de boabe de gracircu orez sau orz O greutate asiro-chaldeeană

denumită siclul reprezenta de exemplu greutatea egală cu aceea a

180 de boabe de gracircu iar greutatea romană siligna era egală cu

greutatea a patru boabe de gracircu Livra era egală cu greutatea a 6912

boabe de gracircu

Pentru măsurările agrare unitatea de arie pied pătrat era

prea mică din care motiv romanii au folosit unitatea jugerum egală

valoric cu dublul ariei unui pătrat cu aria de 120 pieds Multiplii şi

submultiplii unităţilor de măsură romane nu erau zecimali deşi

romanii foloseau sistemul de numeraţie zecimal

Numeroase unităţi de măsură romane au fost preluate de

civilizaţia Europei occidentale dar căderea Imperiului roman de

occident a condus la o diversitate de obiceiuri care au generat multă

confuzie Ca urmare Carol cel Mare rege al francilor (768-814) şi

icircmpărat al Occidentului (800-814) a trebuit să promulge un decret

privind unificarea unităţilor de măsură icircn toate ţările reunite sub

Coroana sa dar tentativa a eşuat odată cu Imperiul său

5

Măsurile şi greutăţile folosite de geto-daci au fost

influenţate de cele folosite icircn statele cu care ei au avut relaţii

economice şi culturale Mărturii arheologice confirmă existenţa pe

teritoriul ţării noastre a măsurilor şi greutăţilor din sistemele de

măsurare grecesc şi roman cu prioritate a celor din sistemul roman

care a a fost introdus mai icircntacirci icircn Banat şi Transilvania după

cucerirea Daciei de către Imperiul Roman la icircnceputul secolului al

II-lea Unităţile şi respectiv măsurile de lungime pasus palmus

digitus ale romanilor au devenit pas palmă şi respectiv deget la

romacircni iar unitatea de arie pentru suprafeţele agrare a devenit

jugărul din Transilvania Valorile acestor unităţi exprimate icircn

unitatea metru erau icircnsă diferite de exemplu cotul la romani şi

greci era de 0444 m şi respectiv 0462 m icircn timp ce la romacircni

era de 0637 m icircn Moldova şi 0664 m icircn Muntenia

Măsurile respectiv unităţile de măsură folosite pentru

lungime capacitatevolum şi de asemenea pentru masă (respectiv

greutate) au diferit valoric icircntre ele de la o provincie romacircnescă la

altă provincie romacircnescă deşi aveau aceeaşi denumire De

exemplu stacircnjenul moldovenesc echivala cu 1900 m icircn

Transilvania şi cu 1962 m icircn ţara Romacircnească Deşi diferite

valoric icircntre ele unităţile de măsură din proviciile romacircneşti au

contribuit la dezvoltarea relaţiilor economice şi comerciale dintre

acestea Icircn acelaşi timp unitatea denumirilor acestor unităţi de

măsură reflectă unitatea limbii şi culturii poporului romacircn Se

impunea icircnsă cu absolută necesitate unificarea unităţilor de

măsură icircn ţările romacircne icircn prima jumătate a secolului al XIX-lea

aşa cum aceasta se impusese icircn ţările din Europa de vest icircn primul

racircnd icircn Franţa prin revoluţia din 1789

Dezvoltarea unei societăţi odată cu naşterea unor oraşe

importante şi independente icircn Franţa Germania şi Italia precum şi

icircn alte ţări Europene icircncepacircnd icircncă din secolul al XIV-lea şi

dezvoltarea unei economii bazate pe industria manufacturieră şi pe

agricultură care au determinat relaţii comerciale terestre şi

maritime au constituit un stimulent puternic pentru dezvoltarea

ştiinţelor teoretice - matematică astronomie mecanică - şi a

ştiinţelor aplicate A apărut atunci necesitatea imperioasă a

6

folosirii unor unităţi de măsură unice materializate prin măsuri şi

greutăţi pentru exprimarea cantitativă a valorilor unor mărimi

fizice ce se măsurau curent atacirct icircn cadrul fiecărei ţări cacirct şi icircn

relaţiile economice şi culturale dintre ele

Am văzut icircn cele de mai sus că ceea ce a impus icircncă din cele

mai vechi timpuri ca oamenii să stabilească unităţi de măsură

pentru diferite mărimi cu care lucrau sau care le condiţionau

existenţa a fost activitatea practică De asemenea că pentru

măsurarea lungimilor s-au folosit ca unităţi de măsură lungimile

diferitelor părţi ale corpului omenesc cum sunt cotul palma

piciorul degetul pentru măsurarea volumelor vadra ocaua litra

pentru măsurarea duratelor ziua noaptea

Primele icircncercări de a stabili unele principii pentru elaborarea

unor etaloane au apărut abia icircn secolul al XVII-lea Atunci s-a

stabilit ca etalonarea să aibă o mărime invariabilă şi să ofere

posibilitatea de a fi oricacircnd refăcută

La 10 decembrie 1799 Adunarea Naţională a Franţei a

adoptat printr-un decret prototipurile de platină ale metrului şi

kilogramului şi cu aceasta primul sistem de unităţi Metrul ca

unitate de măsură pentru lungimi reprezenta a 40-a milioana parte

din lungimea meridianului pămacircntesc care trece prin Paris iar

kilogramul ca unitate de măsură pentru mase reprezenta masa

unui decimetru cub de apă distilată aflată la temperatura de 40C

Ambele etaloane au fost depuse la Arhivele Naţionale ale

Franţei motiv pentru care au primit numele de bdquometrul de la

Arhiverdquo respectiv bdquokilogramul de la Arhiverdquo

Poporul romacircn a avut de-a lungul veacurilor atacirct etaloane

proprii cacirct şi etaloane icircmprumutate de la alte popoare cu care a

stabilit legături comerciale Cu un secol icircn urmă măsurarea

lungimilor se făcea cu cotul stacircnjenul palma pasul funia iar

măsurarea volumelor se făcea cu găleata vadra ocaua baniţa

chila Aceste etaloane transmise la icircnceput prin obicei au icircnceput

să fie reglementate la noi icircncepacircnd cu secolul al XVII-lea

Icircn anul 1830 s-a icircnfiinţat icircn Ţara Romacircneasca bdquoComisia

icircndestulării şi icircndreptării cumpenilor şi măsurilorrdquo

7

Primele icircncercări de a se introduce şi la noi sistemul metric

zecimal au apărut icircn timpul Revoluţiei Franceze dar au fost

respinse de autorităţile de atunci pe motiv că introducerea lor va

produce bdquoicircmpiedicare şi icircnvălmăşalărdquo

Abia icircn anul 1864 icircn timpul domniei lui Alexandru Ioan

Cuza a fost adoptat sistemul metric obligativitatea lui fiind legată

de data de 1 ianuarie 1866

O dată memorabilă icircn istoria extinderii sistemului metric de

unităţi a constituit-o ziua de 20 mai 1875 cacircnd la Conferinţa

diplomatică a metrului un număr de 17 state au adoptat

următoarele măsuri

1 Stabilirea prototipului internaţional al metrului etalon şi al

kilogramului etalon

2 Crearea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi ca

instituţie ştiinţifică internaţională

3 Crearea unui Comitet Internaţional care avea icircn

componenţa sa oameni de ştiinţă din diferite ţări şi care trebuia să

conducă activitatea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi

4 Convocarea o dată la 6 ani a Conferinţei Generale de

Măsuri şi Greutăţi icircn vederea bdquodiscutării şi luării de măsuri

necesare pentru extinderea şi perfecţionarea sistemului metricrdquo

Ţara noastră a aderat oficial la această convenţie icircn anul 1881

deşi sistemul metric a fost adoptat icircncă din timpul lui Al I Cuza

ISTORIA APARIŢIEI SISTEMULUI INTERNAŢIONAL

Actualul Sistem Internaţional de unităţi icircşi are originea icircn

timpul Revoluţiei Franceze odată cu icircnfiinţarea Sistemului Metric

şi cu depunerea la 22 iunie 1799 a celor două etaloane de platină

reprezentacircnt metrul şi kilogramul la Arhivele Republicii Franceze

Karl Friedrich Gauss este primul savant care a observat că

pentru efectuarea tuturor măsurătorilor fizice este suficient a se

adopta un număr limitat de unităţi de măsură arbitrare

independente unele de altele celelalte fiind determinate cu ajutorul

primelor Astfel el a propus icircncă din anul 1832 principiile de

alcătuire a unui sistem de unităţi consideracircnd că pentru a se putea

8

efectua măsurarea mărimilor fizice era suficient a se adopta trei

unităţi independente şi anume unitatea pentru lungime unitatea

pentru masă şi unitatea pentru durată Gauss susţine cu tărie

utilizarea Sistemului Metric icircmpreună cu secunda definită icircn

astronomie ca sistem unic icircn toate ştiinţele naturii El a fost primul

care a făcut măsurări precise ale forţei magnetice a pămacircntului cu

ajutorul unui sistem zecimal bazat pe unităţi de măsură mecanice

(milimetrul gramul şi secunda) Icircn anii care au urmat Gauss şi

Weber au extins aceste măsurări pentru a include şi fenomenele

electrice

Aceste aplicaţii icircn domeniul electricităţii şi magnetismului au

fost dezvoltate după 1860 sub conducerea activă a cunoscuţiolor

oameni de ştiinţă Maxwell şi Thomson Ei au pledat pentru

realizarea unui sistem de unităţi coerent care să conţină atacirct mărimi

fundamentale cacirct şi mărimi derivate Icircn 1874 s-a introdus un

sistem bazat pe trei mărimi mecanice centimetrul gramul şi

secunda care folosea prefixe de la micro- la mega- pentru a

exprima multiplii şi submultiplii zecimali Evoluţia ulterioară a

fizicii ca ştiinţă experimentală s-a bazat icircn mod deosebit pe acest

sistem Mărimile acestui sistem din păcate nu sunt foarte

convenabile icircn domeniul electricitate şi magnetism fapt pentru care

prin anii 1880 s-a aprobat un sistem coerent de unităţi practice

Printre ele se numărau ohmul pentru rezistenţa electrică voltul

pentru forţa electromotoare şi amperul pentru curentul electric

La primul Congres Internaţional al Electrotehnicienilor ţinut

la Paris icircn anul 1881 s-a hotăracirct adoptarea primului sistem de

unităţi ştiinţifice denumit sistemul CGS bazat pe unitatea de

măsură pentru lungime (Centimetrul) unitatea de măsură pentru

masă (Gramul) şi unitatea de măsură pentru durată (Secunda)

După icircnfiinţarea Convenţiei Metrului la 20 mai 1875

oamenii de ştiinţă şi-au concentrat activitatea asupra realizării unor

etaloane avacircnd la bază unităţile de lungime şi de masă Icircn anul

1889 s-au autorizat etaloanele pentru masă şi lungime Icircmpreună

cu secunda astronomică aceste trei unităţi au constituit un sistem

de unităţi mecanice asemănător celui anterior dar care avea ca

mărimi fundamentale metrul kilogramul şi secunda

9

Icircn anul 1901 Giorgi a arătat că este posibilă adăugarea la

sistemul de mărimi mecanice kilogram-metru-secundă a unei

mărimi electrice practice cum ar fi ohmul sau amperul pentru a

forma un sistem coerent şi a se scrie ecuaţiile cacircmpului

electromagnetic icircn formă raţională Propunerea lui Giorgi a deschis

drumul spre Sistemul Internaţional actual După revizuirea

Convenţiei Metrului icircn 1921 propunerea lui Giorgi a fost

dezbătută icircndelung Icircn anul 1939 se recomandă adoptarea unui

sistem bazat pe kilogram metru secundă şi amper propunere

aprobată icircn 1946

Icircn anul 1954 s-a aprobat introducerea amperului a kelvinului

şi a candelei ca mărimi fundamentale Numele de Sistemul

Internaţional de Unităţi (SI) a fost aprobat icircn 1960 La cea de-a 14-

a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi icircn anul 1971 s-a

aprobat versiunea actuală a SI prin introducerea molului ca unitate

pentru cantitatea de substanţă aducacircnd numărul total de unităţi

fundamentale la şapte

Prefixe ale unităţilot de măsură

Unităţile de măsură reprezintă un standard de măsurare a

cantităţilor fizice Icircn fizică şi icircn metrologie este necesară o definiţie

clară şi univocă asupra aceleiaşi cantităţi pentru a garanta utilitatea

reyultatelor experimentale ca bază a metode ştiinţifice

Siatemele de măsură ştiinţifice sunt o formalizare a

conceptului de greutăţi şi măsuri care s-au dezvoltat iniţial cu

scopuri comerciale icircn special pentru a creea o serie de instrumente

cu care vacircnzătorii şi cumpărătorii să poată măsura icircn manieră

univocă o cantitate de marfă tranzacţionată

Există diverse sisteme de unităţi de măsură bazate pe

diverse suite de unităţi de măsură fundamentale Sistemul cel mai

folosit icircn ziua de azi e Sistemul Internaţional care are şapte unităţi

de măsură de bază (bdquofundamentalerdquo) din care toate celelalte sunt

derivate

Există şi ate sisteme utilizate icircn diverse scopuri unele icircncă

utilizate altele doar istorice

10

Unitate de măsură (Prefixe SI)

Nume yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca

Simbol Y Z E P T G M k h da

Factor 1024

1021

1018

1015

1012

109 10

6 10

3 10

2 10

1

Nume deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yokto

Simbol d c m micro n p f a z y

Factor 10minus1

10minus2

10minus3

10minus6

10minus9

10minus12

10minus15

10minus18

10minus21

10minus24

11

1 Reguli de utilizare

Prefixele se scriu cu literă mică (afară de cazul cacircnd sunt la

icircnceput de propoziţie) lipite de numele unităţii (fără spaţiu sau

linie de unire) micrometru miliamper gigahertz

Simbolul multiplului sau submultiplului se formează prin

lipirea fără spaţiu a simbolului prefixului de simbolul unităţii μm

mA GHz Icircntreg simbolul se scrie cu litere drepte indiferent de

context

Pentru multiplii şi submultiplii kilogramului regulile se

aplică ca şi cacircnd unitatea de bază ar fi gramul 1000 kg = 1 Mg

01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg

Nu este permisă utilizarea unui prefix singur fără numele

unităţii la care se referă

Nu este permisă utilizarea mai multor prefixe pe aceeaşi

unitate

Icircn expresii unde unităţile sunt icircnmulţite icircmpărţite sau

ridicate la putere operaţia se aplică asupra unităţii formate cu

prefix nu asupra unităţii simple

1 kmsup2 = 1 (km)sup2 = 1times(1000 m)sup2 = 1000000 msup2

Prefixele se pot utiliza cu unităţi din afara SI dar acceptate

pentru utilizare icircmpreună cu SI Totuşi ele nu se utilizează cu

unităţile de timp minut (min) oră (h) şi zi (d)

UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIMI

A măsura o lungime icircnseamnă a o compara cu o altă

lungime pe care o alegem ca şi unitate de măsură Prin

convenţie internaţională unitatea principală pentru măsurat

lungimile este metrul (m)

Multiplii metrului

-decametrul(dam) 1dam = 10m

-hectometrul(hm) 1 hm = 100m

-kilometrul (km) 1km =1000m

1km = 10hm = 100dam = 1000m

12

Submultiplii metrului

-decimetrul (dm) 1dm = 01 m

-centimetrul (cm) 1cm = 001m

-milimetrul (mm) 1mm= 0001mm

1m = 10dm = 100cm = 1000mm

Alte unitatildeţi de lungime

1 deget = 002 m

1 lat de palmatilde = 008 m

1 palmatilde = 024 m

1 cot = 048 m

1 picior = 032 m

1 pas = 096 m

1 braţ = 175 m

1 trestie (pratildejinatilde) = 288 m

1 stadiu = 185 m

1 drum sabatic = 960 m

1 milatilde = 1480 m

1 inch = 254 mm

1 ţol = 254 mm

1 picior = 12 ţoli = 03048 m

1 iard (yard) = 3 picioare = 09144 m

1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m

1 milatilde terestratilde = 1760 iarzi = 1609344 m

1 milatilde USA = 1609347 m

1 milatilde marinatilde = 185325 m

13

Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă

Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină

Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -

Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -

Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -

Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -

Furlong

(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085

Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684

Mila

marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1

14

Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră

Denumire Subunităţi Moldova Muntenia

Verstă 835 stacircnjeni 167 km

Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m

Prăjină 3 stacircnjeni 669 m

Stacircnjen

(lt lat stadium)

8 palme

6 picioare 223 m

197 m (Şerban vodă)

202 m (Constantin vodă)

Cot 664 cm 637 cm

Palmă 10 degete

8palmace 27875 cm 24625 cm

Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm

Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm

Linie 29 mm 25 mm

15

Alte unităţi de lungime

Denumire Echivalent

Stacircnjen pescăresc aprox 15 m

Stacircnjen marin 183 m

Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)

Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)

Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)

Lat de palmă 12 palmă

Leghe 4 - 55 km

Probleme

1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa

de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au

cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul

grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase

Rezolvare

1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc

875 3 = 2625 (m)

2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume

bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă

iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru

icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor

Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec

156 53 = 546 (m)

2) Ce sumă s-a plătit pentru material

546 5027 = 15015 lei

16

UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ

A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se

cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă

Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr

Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică

metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m

Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii

msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2

Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

- centimetrul pătrat (cm2)

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

- milimetrul pătrat (mm2)

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10

2 m

2

- hectometrul pătrat (hm

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc

suprafeţele agrare

- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2

- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2

- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha

Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde

1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2

1 picior patildetrat = 92903 cm2

1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2

1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha

1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha

17

Cum depind unităţile de arie una de cealaltă

Aria m2 ar hectar in

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

ft2 (sqfoot) 9 29 10

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră

Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania

Falcie sau falce

(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp

Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp

18

Alte unităţi de suprafaţă

Denumire Echivalent

Prăjină 180 - 210 msup2

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

cacirct ară doi boi icircntr-o zi

7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600

stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)

PROBLEME

1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea

şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea

acestuia este de 40 cm

L + 40

86

l

Rezolvare

86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217

paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7

paşi măsoară 5 25 m

1)Lungimea icircn m este

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

2) Lăţimea icircn m este

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind

că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea

1) Semiperimetrul este

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

3) Lăţimea este 240 4 = 60 m

4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m

5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)

4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de

360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire

şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se

afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot

Rezolvare

1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m

2) Aria lotului este 902 = 8100 m

2

3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)

4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)

5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum

arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria

totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

1)Lungimea cultivabilă a grădinii este

84 m ndash 125 m = 8275 m

2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este

305 m ndash 125 m = 2925 m

3) Aria cultivabilă a grădinii este

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM

A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul

care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel

volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul

unui cub cu latura de 1m

SUBMULTIPLII msup3

- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)

- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)

- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3

1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3

-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3

-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3

Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este

de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de

ori mai mic decăt cel imediat superior

Alte unitatildeti de măsură pentru volum

1 țol cubic = 16387 cm3

1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3

1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

1 galon imperial = 4 carti = 4549 l

1 galon SUA = 4549 l

1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l

1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l

1 baril = 36 galoane = 163656 l

21

Cum depind unităţile de volum una de cealaltă

Volum m3 Litru (L) Pinta

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap

0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate

Rezolvare

0005 damsup3 = 5msup3

43 5 = 86 (transporturi)

R au fost făcute 9 transporturi

2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari

pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de

25m ştiind că grosimea ei este de 18cm

Rezolvare

18cm = 018m

35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)

3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu

dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să

transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm

respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)

2) Volumul unei cărţi

25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)

3) Căte cărţi icircncap icircn cutie

60000 600 = 100 cărţi

Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi

23

UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE

Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid

Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi

alt vas (recipient) ca unitate de măsură

Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)

Observaţii

1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică

1l de lichid ocupă 1dm3

2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul

ce reprezintă măsura capacităţii vasului

3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar

pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului

4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate

Submultiplii litrului

decilitru(dl) 1dl=01 l

centilitru(cl) 1cl=001 l

mililitru(ml) 1ml=0001 l

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

decalitrul(dal) 1dal=10 l

hectolitrul(hal) 1hl=100 l

kilolitru(kl) 1kl=1000 l

1kl =10hl =100dal =1000 l

Capacitatildeţi pentru cereale

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri

1 omer sau isaron = 388 litri

24

1 cab = 22 litri

1 log sau cotil = 055 litri

Capacitatildeţi pentru lichide

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

1 galon imperial (gal) = 4545963 litri

1 galon USA = 3785 litri

Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră

Balercă 30 vedre 366 l 3864 l

Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l

Pintă 3394 l

Oca 4 litre 1520 l 1288 l

Litră 25 dramuri 038 l 0322 l

Dram 1520 ml 1288 ml

Alte denumiri

Chiup vas mare de lut

pentru lichide 30 - 40 l

Cacircblă O găleată de

gracircu

Ferdelă 14 găleată (Transilvania)

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

poloboc 80 - 100 vedre

butie 100 - 200 vedre

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără

răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml

Care este cantitatea de racoritoare cumpărată

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu

lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti

litri de apă icircncap icircn acvariu

Rezolvare

L=035m l=25dm h=46cm

035m=35dm

46cm=46dm

Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

3 Un robinet are debitul de

450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă

bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu

dimensiunile150cm3m şi respective 10dm

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

Timpul de umplere este

4500 450 = 10(ore)

UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ

Masa reprezintă calitatea unui

obiect de a fi mai uşor sau mai greu

decacirct un alt obiect A măsura masa unui

obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se

cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn

masa acelui obiect adică a afla cacircte

unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct

obiectul respectiv

Observatii

1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa

unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire

2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa

marcată sau etaloane de masă

3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se

folosesc balanţa şi cacircntarul

Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul

Multiplii kilogramului

-chintalul(q) 1q =100kg

-tona(t) 1t =1000kg

-vagonul(v) 1v =10000kg

Submultiplii kilogramului

-hectogramul(hg) 1hg=01kg

-decagramul(dag) 1dag=001kg

-gramul(g) 1g=0001kg

-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg

-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg

-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg

27

1 kg icircnseamnă 1dm3

de apă distilată aflată la temperatura

de 4oC

Alte unităţi de măsură pentru mase

1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii

1 minatilde = 5 kg = 50 sicli

1 siclu = 115 g = 20 ghere

1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde

1 litratilde = 326 g = 12 uncii

1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg

1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg

1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg

Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră

Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l

Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg

Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un

pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar

plină cacircntăreşte 41 kg

Rezolvare

41 kg = 4100 g

1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele

4100g - 350g = 3750 g

2) Cacircte pachete sunt

375075=50(pachete)

R 50 pachete

2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a

transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25

de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia

goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu

medicamente

Rezolvare

1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub

25 ∙ 25 = 625g

2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin

625 + 5 = 630 g

3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile

630 ∙ 20 = 12600 g

4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP

De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene

care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a

nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn

legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu

intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se

repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi

durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc

Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de

măsură a timpului secunda(s)

Alte unităţi de timp

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-săptămacircna (are 7 zile)

-luna are 28293031 zile

-anul are 12 luni

-deceniul are 10 ani

-secolul (veacul) are 100 de ani

-mileniul are 1000 ani

1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn

ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)

Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi

sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4

Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul

clepsidra

Probleme

1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si

ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul

7h58min - 7h35min = 23min

2 Cacircte zile au la un loc anii

1990199119921993199419951996

Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie

2003 inclusiv

Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)

Rezolvare

Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30

zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile

septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie

19 zile

Numărul de zile este

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert

Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va

scoate Ioana prăjitura din cuptor

5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge

acasă icircn 30 de minute

La ce oră va ajunge acasă

6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100

şi se termină la orele 2400

Cacirct durează filmul

7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic

icircntre orele 15-17rsquorsquo

Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis

8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele

1530

are icircntacircrziere 1 oră

La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău

31

ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII

NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE

TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn

coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau

o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV

icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere

monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi

drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au

cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea

monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării

pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la

ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD

Monede folosite icircn vechime

1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)

1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)

1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)

1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)

1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)

1 dinar = 45 g (argint)

1 codrantes = 00703 g (argint)

1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)

1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)

1 lepta = 0035 g (argint)

Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi

Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau

monede ci denumiri ale sumelor monetare mari

32

Monedele dacilor

Monedele fabricate icircn coloniile de la

Marea Neagră au avut doar o circulaţie

locală Icircn restul Daciei erau preferate

monedele macedonene ale lui Filip al II-lea

şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea

Macedoniei de către romani dinarii

republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn

circulaţie monede din argint bătute de către

daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen

pe cele macedonene sau romane monedele

dacilor respectau greutatea monetară a

originalelor pe care le imitau Aşa se explica

faptul că deși nu erau prea reuşite din punct

de vedere artistic monedele dacilor circulau

icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau

Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii

atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie

romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a

continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea

Romei icircn 476 aD

Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV

Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au

readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară

pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului

Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic

primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul

vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea

noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia

Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe

cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din

nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor

monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la

33

racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii

Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna

cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi

monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă

auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale

Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre

Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn

circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867

bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru

fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară

este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar

zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi

argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175

grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte

Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia

Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar

Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi

din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu

titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100

de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii

Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă

monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei

circulaţii

Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare

Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX

Paris 100 lei = 9916 9991 franci

Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci

Londra 100 lei = 4 lire sterline

Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria

Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de

argint

34

Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau

turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului

din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)

Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul

monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele

au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind

supraevaluată

Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea

biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de

bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia

Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de

scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de

12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă

de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind

ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)

Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea

sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe

1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin

cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie

acoperite icircn proporţie de 40 cu aur

Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt

scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia

şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote

emise de BNR

Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea

monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)

Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este

egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt

convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de

100000 de lei

Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =

20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de

aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe

personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un

om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia

prezentatorului

35

De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată

astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a

revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100

500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele

monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006

Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani

10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

EURO (simbol EUR sau euro) este moneda

comună pentru cele mai multe state din

Uniunea Europeană Monedele Euro (şi

bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1

ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să

meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd

moneda a fost lansată oficial Un euro este

divizat icircn 100 cenţi

Pentru monede există opt denominaţii diferite

Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

Oţel cu icircnveliş

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat

Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px

Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]

P1 Dăm compasului deschiderea [AB]

P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc

care intersectează [Px icircn D

( Instrumente compas)

2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment

Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M

[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]

P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului

deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc

P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi

deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc

P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])

38

3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat

Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să

se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB

(i) Construcţia cu raportorul

P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)

P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de

marcăm punctul N

P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)

39

(ii) Construcţia cu compasul

P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care

intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E

P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a

compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P

P3 Dăm compasului deschiderea [DE]

P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi

intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB

MQN)

4 Construcţia triunghiurilor

1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi

unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )

P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =

P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b

P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a

P4 Punem icircn evidenţă [AB]

(Instrumente folosite

rigla gradată şi

raportorul)

40

2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri

şi latura cuprinsă icircntre ele

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

P1 Cu rigla gradată construim AB = c

P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(

BAx) =

P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =

P4 Notăm [Ax [BY = C

Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi

3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale

sale (Fie AB = c AC = b BC = a)

P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu

raza a

P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu

raza icircn b

P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C

şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]

41

Obs

Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică

dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două

soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)

Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are

soluţii

5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei

drepte pe acea dreaptă

Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara

drsquo pe dreapta dată d

Construcţia cu riglă şi compas

P1 Trasăm un cerc cu

centrul icircn A şi cu raza r ( r

mai mare decacirct distanţa

dintre A şi d) care

intersectează d icircn B şi C

P2 Deschidem compasul

pe o rază Rgtr şi trasăm

cercul cu centrul icircn B

P3 Cu deschiderea R

trasăm un alt cerc cu

centrul C ( notăm

intersecţiile cercurilor cu D

şi E )

P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)

42

6 Construcţia liniilor importante

a) Construcţia bisectoarei

Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi

compasul bisectoarea [OM

P1 Construim

un cerc cu centrul O şi

cu raza r şi notăm

intersecţiile acestuia cu

laturile unghiului A

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

cercul cu centrul icircn A şi

aceeaşi rază r

P3 Construim

cercul cu centrul icircn B şi

raza r

P4 Notăm

intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM

b) Mediatoarea unui segment

Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct

CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]

P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)

P2 Construim

cercul cu centrul icircn

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

cercurilor cu C şi D

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin

suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)

Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două

triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se

poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare

corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt

frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele

sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne

dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde

Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune

o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile

de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două

triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe

poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente

Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt

asemenea Ele au

Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt

asemenea şi scriem MNPABC ~

Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de

laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente

sau omoloage

Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare

Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1

44

TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII

O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu

celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial

Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura

BC se formează AMNABC ~

Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile

congruente

45

DEMONSTRAŢIE BCMNAC

AN

AB

AMTales

NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP

Obţinem icircn mod analog egalitatea AC

AN

BC

BP (2) pe de altă parte

MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă

AMNABC ~

OBSERVAŢII

1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd

aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile

triunghiurilor

2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care

segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

i) ABCABC ~ (reflexivitate)

ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche

de unghiuri ascuţite congruente

v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de

unghiuri congruente

vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea

vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea

vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea

viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt

asemenea

ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de

asemănare al laturilor este egal cu

- raportul bisectoarelor

- raportul icircnălţimilor

- raportul medianelor

- raportul razelor cercurilor icircnscrise

- raportul razelor cercurilor circumscrise

CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR

Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este

nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor

asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la

congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii

CAZUL 1

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi

laturile care icircl formează proporţionale

CAZUL 2

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri

respective congruente

CAZUL 3

Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile

proporţionale

47

A

B C M

N

P

Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul

AD congruent cu segmentul MP

Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că

Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării

Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi

lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant

Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că

AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP

Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN

Cealaltă egalitate se demonstrează la fel

BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC

Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC

deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar

unghiul ACM este comun

Putem scrie că AM

BN

AC

BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN

48

2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de

pe mal la copacul A de pe malul celălalt

Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi

un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi

respectiv A E C să fie coliniare

Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi

paralela DEBC avem adică AD=

Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe

acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu

utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD

3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea

AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El

ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar

vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul

cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel

icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm

Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

AB=120m=120cm AD=40cm

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul

umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura

pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

Demonstratie ( teorema reciproca)

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci

EACBAEtoareAEbi

ernealterneACMEACantaAEsiACMC

enteMcorespondBAEAEsiBMMC

][][)(

sec[

)int(sec

sec

BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci

altACEEACACCMAE

ntecorespondeMBAEBMCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

Teorema lui Menelaus

O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC

intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele

ABC Atunci ABACBCBACACB=1

Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C

apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe

prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca

ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt

coliniare

Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi

punctele MAB NBC

şi PAC astfel icircncacirct MA =

MB NB = NC PC =

PA Atunci dreptele AN

BP CM sunt concurente

dacă şi numai dacă =

Demonstraţie

Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui

Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine

relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-

52

β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala

BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S

Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată

Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate

Reciproca teoremei lui Ceva

ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele

M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia

atunci AN BP si CM sunt concurente

Demonstraţia se face prin reducere la absurd

Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie

AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si

Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode

ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică

mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)

De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc

sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo

Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi

anume vom rezolva trei probleme deosebite

toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult

Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate

O caracterizare a trapezelor

Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O

intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea

Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex

are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică

ABCD este trapez sau paralelogram (1)

Un produs de arii

Se considerăm

un patrulater convex

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiuri icircn care

diagonalele icircmpart

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema

Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că

Să se determine aria pentagonului

(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite

USAMO)

Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea

Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului

este paralelaă cu o latura a sa

Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare

Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile

55

Folosind (2) obtinem repede că

Pe de altă parte

Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim

De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu

Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul

pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca

Să se se

calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de

matematica din Japonia1995)

56

Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi

notacircnd

[ABS]=x

Se demonstrează uşor că

Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai

sus sub forma

Şi de aici obţinem

Acumcum x depinde doar de s avem

Pe de altă parte avem şi

Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi

şi icircn fine

57

Ordquo bijuterierdquo pentru final

In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se

duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile

triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de

arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că

(Revista Kvant)

Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se

demonstrează că şi folosind inegalitatea

mediilor obţinem imediat

58

Un pic de istorie

Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de

definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring

icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii

grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat

vedetărdquo a geometriei elementare

Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr

Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon

Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip

Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu

Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul

anilor celor mai sus menţionaţi

Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria

icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii

referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai

semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este

icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la

baza majorităţii inegalităţilor geometrice

Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi

Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg

Consecinţe

1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg

2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt

complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic

isoscel au măsura de 45deg

3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz

Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu

suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente

lui

59

Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din

acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare

Triunghiul isoscel

Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte

triunghi isoscel

Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi

isoscel sunt congruente

Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana

corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi

icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea

bazei

Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea

mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei

Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea

unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi

icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea

bazei

Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care

conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana

şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a

triunghiului

A

B D C

60

Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem

Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el

este isoscel

Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi

mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul

este isoscel

icircnălţime atunci triunghiul este isoscel

Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei

laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel

Triunghiul echilateral

Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte

triunghi echilateral

Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente

avacircnd măsurile egale cu 60deg

Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi

pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul

echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza

Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice

triunghiului echilateral

TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce

pornesc din acelaşi vacircrf coincid

Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie

A

B C

61

Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu

ajutorul următoarelor teoreme

Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci

triunghiul este echilateral

Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de

60deg atunci el este echilateral

Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el

este triunghi echilateral

Triunghiul dreptunghic

Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi

dreptunghic

Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale

triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea

problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează

proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral

Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi

este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este

jumătate din lungimea ipotenuzei

Demonstraţie C

A B

D

Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD

In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi

mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)

62

=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem

că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2

Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei

corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei

Inegalităţi geometrice

Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce

se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare

se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe

relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi

şi unghiurile interioare neadiacente lui

Teorema 1(teorema unghiului exterior)

Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare

decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui

A N

M

B C

X

Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct

BM=MN

Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ

ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci

(ltACX)gtm(ltMAB)

Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)

63

Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)

Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct

AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci

m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că

m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum

m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)

Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că

ACgtAB

Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că

ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar

rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie

Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci

m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare

decacirct lungimea oricărei catete

2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două

oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul

perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de

piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare

64

Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor

unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de

mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime

Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)

Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct

suma lungimilor celorlalte două laturi

D

A

B C

Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB

construim AD=AC

In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci

m(ltADC)ltm(ltBCD)

Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD

şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că

CAltCB+BA şi ABltAC+CB

Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei

segmente să poată forma un triunghi

Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor

unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma

celorlalte două

Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor

unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai

mică decacirct suma celorlalte două

65

mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două

Demonstratie

Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform

consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi

agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi

Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi

a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice

număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două

Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că

triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact

una din cele trei inegalităţi devine egalitate

Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv

congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)

Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi

ACΞA1C1

Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă

BCgtB1C1

Aplicaţii

1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg

m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului

2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg

Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei

corespunzatoare unghiului B

3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele

unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi

lungimile segmentelor BI şi CI

4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B

şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH

5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel

ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi

6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului

ABC au loc inegalităţile

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că

m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB

8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi

atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un

triunghi

9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea

60degle lt90deg

Ringul cu trei colturirdquo

ORIZONTAL

1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi

2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui

triunghi

3) Triunghiul cu două laturi congruente

4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă

5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi

6) Triunghiul cu un unghi drept

7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg

8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii

opuse

9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg

10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă

VERTICAL

1) Poligonul cu trei laturi

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180

2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului

cu mijlocul laturii opuse

3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a

suplementului său segmental cu capetele C si D

69

4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea

5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori

6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata

alternează cu cele vorbite GC + ICT 100

7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte

electrice

8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct

9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate

10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri

helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE

11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi

clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere

12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru

perpendicularitate

13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul

icircn două unghiuri congruente olimpic

VERTICAL

1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub

avocalic

2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit

3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie

4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul

COLIBE

5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate

6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe

maluri

7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit

8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv

9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR

sărăcit de consoane

10) De la Polul Sud

11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo

12) Segemente cu lungimi egale

13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn

semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune

formează scheletul(sg)

70

BIBLIOGRAFIE

1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T

CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37

2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T

CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59

3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN

editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87

4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL

editura LITERA INTERNAŢIONALĂ

5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan

Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007

6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M

Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti

1986

7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori

F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984

8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor

Tori Large Editura Aquila 2004

9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006

10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori

Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004

11 Colectia revistei Kvant

Unitati_de_lungime
Unitati_de_suprafata
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

2

Coordonatori revistă

prof Floare Vlasea prof Rodica Marinescu

prof Maria Ţibea

Profesori colaboratori

prof Viorica Drogoţel

prof Corina Sava

prof Mihaela Urcan

prof Alexandru Loga

Colectiv de redacţie elevii

Bodron Valentina ndashcls a VIII-a ndash ldquo director rdquo

Isvanescu Alexandra cls a VIII-a ndash ldquoRedactor şefrdquo

Popa Roxana -cls a VIII -a ndash ldquoadministrator financiarrdquo

Troancheş Andrei - redactor

Badoiu Iulia- redactor

Muntiu Alina- redactor

Redacror prof Floare Vlasea

3

Asemănare

Arii

Bibliografie

4

boabe de gracircu

5

6

7

kilogramului etalon

8

electrice

9

derivate

10

Factor 1024

1021

1018

1015

1012

109 10

6 10

3 10

2 10

1

Factor 10minus1

10minus2

10minus3

10minus6

10minus9

10minus12

10minus15

10minus18

10minus21

10minus24

11

context

01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg

unitate

Multiplii metrului

1km = 10hm = 100dam = 1000m

12

1m = 10dm = 100cm = 1000mm

1 deget = 002 m

1 cot = 048 m

1 picior = 032 m

1 pas = 096 m

1 braţ = 175 m

1 stadiu = 185 m

1 inch = 254 mm

1 ţol = 254 mm

1 picior = 12 ţoli = 03048 m

1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m

13

Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -

Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -

Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -

Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -

Furlong

(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085

Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684

Mila

marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1

14

Stacircnjen

(lt lat stadium)

8 palme

6 picioare 223 m

Cot 664 cm 637 cm

Palmă 10 degete

Linie 29 mm 25 mm

15

Denumire Echivalent

Leghe 4 - 55 km

Probleme

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

Rezolvare

875 3 = 2625 (m)

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

156 53 = 546 (m)

546 5027 = 15015 lei

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

3

Asemănare

Arii

Bibliografie

4

boabe de gracircu

5

6

7

kilogramului etalon

8

electrice

9

derivate

10

Factor 1024

1021

1018

1015

1012

109 10

6 10

3 10

2 10

1

Factor 10minus1

10minus2

10minus3

10minus6

10minus9

10minus12

10minus15

10minus18

10minus21

10minus24

11

context

01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg

unitate

Multiplii metrului

1km = 10hm = 100dam = 1000m

12

1m = 10dm = 100cm = 1000mm

1 deget = 002 m

1 cot = 048 m

1 picior = 032 m

1 pas = 096 m

1 braţ = 175 m

1 stadiu = 185 m

1 inch = 254 mm

1 ţol = 254 mm

1 picior = 12 ţoli = 03048 m

1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m

13

Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -

Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -

Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -

Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -

Furlong

(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085

Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684

Mila

marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1

14

Stacircnjen

(lt lat stadium)

8 palme

6 picioare 223 m

Cot 664 cm 637 cm

Palmă 10 degete

Linie 29 mm 25 mm

15

Denumire Echivalent

Leghe 4 - 55 km

Probleme

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

Rezolvare

875 3 = 2625 (m)

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

156 53 = 546 (m)

546 5027 = 15015 lei

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

4

boabe de gracircu

5

6

7

kilogramului etalon

8

electrice

9

derivate

10

Factor 1024

1021

1018

1015

1012

109 10

6 10

3 10

2 10

1

Factor 10minus1

10minus2

10minus3

10minus6

10minus9

10minus12

10minus15

10minus18

10minus21

10minus24

11

context

01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg

unitate

Multiplii metrului

1km = 10hm = 100dam = 1000m

12

1m = 10dm = 100cm = 1000mm

1 deget = 002 m

1 cot = 048 m

1 picior = 032 m

1 pas = 096 m

1 braţ = 175 m

1 stadiu = 185 m

1 inch = 254 mm

1 ţol = 254 mm

1 picior = 12 ţoli = 03048 m

1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m

13

Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -

Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -

Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -

Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -

Furlong

(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085

Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684

Mila

marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1

14

Stacircnjen

(lt lat stadium)

8 palme

6 picioare 223 m

Cot 664 cm 637 cm

Palmă 10 degete

Linie 29 mm 25 mm

15

Denumire Echivalent

Leghe 4 - 55 km

Probleme

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

Rezolvare

875 3 = 2625 (m)

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

156 53 = 546 (m)

546 5027 = 15015 lei

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

5

6

7

kilogramului etalon

8

electrice

9

derivate

10

Factor 1024

1021

1018

1015

1012

109 10

6 10

3 10

2 10

1

Factor 10minus1

10minus2

10minus3

10minus6

10minus9

10minus12

10minus15

10minus18

10minus21

10minus24

11

context

01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg

unitate

Multiplii metrului

1km = 10hm = 100dam = 1000m

12

1m = 10dm = 100cm = 1000mm

1 deget = 002 m

1 cot = 048 m

1 picior = 032 m

1 pas = 096 m

1 braţ = 175 m

1 stadiu = 185 m

1 inch = 254 mm

1 ţol = 254 mm

1 picior = 12 ţoli = 03048 m

1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m

13

Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -

Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -

Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -

Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -

Furlong

(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085

Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684

Mila

marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1

14

Stacircnjen

(lt lat stadium)

8 palme

6 picioare 223 m

Cot 664 cm 637 cm

Palmă 10 degete

Linie 29 mm 25 mm

15

Denumire Echivalent

Leghe 4 - 55 km

Probleme

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

Rezolvare

875 3 = 2625 (m)

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

156 53 = 546 (m)

546 5027 = 15015 lei

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

6

7

kilogramului etalon

8

electrice

9

derivate

10

Factor 1024

1021

1018

1015

1012

109 10

6 10

3 10

2 10

1

Factor 10minus1

10minus2

10minus3

10minus6

10minus9

10minus12

10minus15

10minus18

10minus21

10minus24

11

context

01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg

unitate

Multiplii metrului

1km = 10hm = 100dam = 1000m

12

1m = 10dm = 100cm = 1000mm

1 deget = 002 m

1 cot = 048 m

1 picior = 032 m

1 pas = 096 m

1 braţ = 175 m

1 stadiu = 185 m

1 inch = 254 mm

1 ţol = 254 mm

1 picior = 12 ţoli = 03048 m

1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m

13

Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -

Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -

Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -

Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -

Furlong

(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085

Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684

Mila

marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1

14

Stacircnjen

(lt lat stadium)

8 palme

6 picioare 223 m

Cot 664 cm 637 cm

Palmă 10 degete

Linie 29 mm 25 mm

15

Denumire Echivalent

Leghe 4 - 55 km

Probleme

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

Rezolvare

875 3 = 2625 (m)

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

156 53 = 546 (m)

546 5027 = 15015 lei

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

7

kilogramului etalon

8

electrice

9

derivate

10

Factor 1024

1021

1018

1015

1012

109 10

6 10

3 10

2 10

1

Factor 10minus1

10minus2

10minus3

10minus6

10minus9

10minus12

10minus15

10minus18

10minus21

10minus24

11

context

01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg

unitate

Multiplii metrului

1km = 10hm = 100dam = 1000m

12

1m = 10dm = 100cm = 1000mm

1 deget = 002 m

1 cot = 048 m

1 picior = 032 m

1 pas = 096 m

1 braţ = 175 m

1 stadiu = 185 m

1 inch = 254 mm

1 ţol = 254 mm

1 picior = 12 ţoli = 03048 m

1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m

13

Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -

Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -

Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -

Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -

Furlong

(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085

Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684

Mila

marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1

14

Stacircnjen

(lt lat stadium)

8 palme

6 picioare 223 m

Cot 664 cm 637 cm

Palmă 10 degete

Linie 29 mm 25 mm

15

Denumire Echivalent

Leghe 4 - 55 km

Probleme

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

Rezolvare

875 3 = 2625 (m)

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

156 53 = 546 (m)

546 5027 = 15015 lei

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

8

electrice

9

derivate

10

Factor 1024

1021

1018

1015

1012

109 10

6 10

3 10

2 10

1

Factor 10minus1

10minus2

10minus3

10minus6

10minus9

10minus12

10minus15

10minus18

10minus21

10minus24

11

context

01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg

unitate

Multiplii metrului

1km = 10hm = 100dam = 1000m

12

1m = 10dm = 100cm = 1000mm

1 deget = 002 m

1 cot = 048 m

1 picior = 032 m

1 pas = 096 m

1 braţ = 175 m

1 stadiu = 185 m

1 inch = 254 mm

1 ţol = 254 mm

1 picior = 12 ţoli = 03048 m

1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m

13

Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -

Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -

Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -

Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -

Furlong

(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085

Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684

Mila

marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1

14

Stacircnjen

(lt lat stadium)

8 palme

6 picioare 223 m

Cot 664 cm 637 cm

Palmă 10 degete

Linie 29 mm 25 mm

15

Denumire Echivalent

Leghe 4 - 55 km

Probleme

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

Rezolvare

875 3 = 2625 (m)

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

156 53 = 546 (m)

546 5027 = 15015 lei

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

9

derivate

10

Factor 1024

1021

1018

1015

1012

109 10

6 10

3 10

2 10

1

Factor 10minus1

10minus2

10minus3

10minus6

10minus9

10minus12

10minus15

10minus18

10minus21

10minus24

11

context

01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg

unitate

Multiplii metrului

1km = 10hm = 100dam = 1000m

12

1m = 10dm = 100cm = 1000mm

1 deget = 002 m

1 cot = 048 m

1 picior = 032 m

1 pas = 096 m

1 braţ = 175 m

1 stadiu = 185 m

1 inch = 254 mm

1 ţol = 254 mm

1 picior = 12 ţoli = 03048 m

1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m

13

Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -

Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -

Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -

Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -

Furlong

(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085

Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684

Mila

marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1

14

Stacircnjen

(lt lat stadium)

8 palme

6 picioare 223 m

Cot 664 cm 637 cm

Palmă 10 degete

Linie 29 mm 25 mm

15

Denumire Echivalent

Leghe 4 - 55 km

Probleme

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

Rezolvare

875 3 = 2625 (m)

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

156 53 = 546 (m)

546 5027 = 15015 lei

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

10

Factor 1024

1021

1018

1015

1012

109 10

6 10

3 10

2 10

1

Factor 10minus1

10minus2

10minus3

10minus6

10minus9

10minus12

10minus15

10minus18

10minus21

10minus24

11

context

01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg

unitate

Multiplii metrului

1km = 10hm = 100dam = 1000m

12

1m = 10dm = 100cm = 1000mm

1 deget = 002 m

1 cot = 048 m

1 picior = 032 m

1 pas = 096 m

1 braţ = 175 m

1 stadiu = 185 m

1 inch = 254 mm

1 ţol = 254 mm

1 picior = 12 ţoli = 03048 m

1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m

13

Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -

Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -

Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -

Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -

Furlong

(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085

Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684

Mila

marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1

14

Stacircnjen

(lt lat stadium)

8 palme

6 picioare 223 m

Cot 664 cm 637 cm

Palmă 10 degete

Linie 29 mm 25 mm

15

Denumire Echivalent

Leghe 4 - 55 km

Probleme

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

Rezolvare

875 3 = 2625 (m)

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

156 53 = 546 (m)

546 5027 = 15015 lei

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

11

context

01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg

unitate

Multiplii metrului

1km = 10hm = 100dam = 1000m

12

1m = 10dm = 100cm = 1000mm

1 deget = 002 m

1 cot = 048 m

1 picior = 032 m

1 pas = 096 m

1 braţ = 175 m

1 stadiu = 185 m

1 inch = 254 mm

1 ţol = 254 mm

1 picior = 12 ţoli = 03048 m

1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m

13

Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -

Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -

Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -

Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -

Furlong

(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085

Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684

Mila

marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1

14

Stacircnjen

(lt lat stadium)

8 palme

6 picioare 223 m

Cot 664 cm 637 cm

Palmă 10 degete

Linie 29 mm 25 mm

15

Denumire Echivalent

Leghe 4 - 55 km

Probleme

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

Rezolvare

875 3 = 2625 (m)

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

156 53 = 546 (m)

546 5027 = 15015 lei

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

12

1m = 10dm = 100cm = 1000mm

1 deget = 002 m

1 cot = 048 m

1 picior = 032 m

1 pas = 096 m

1 braţ = 175 m

1 stadiu = 185 m

1 inch = 254 mm

1 ţol = 254 mm

1 picior = 12 ţoli = 03048 m

1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m

13

Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -

Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -

Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -

Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -

Furlong

(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085

Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684

Mila

marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1

14

Stacircnjen

(lt lat stadium)

8 palme

6 picioare 223 m

Cot 664 cm 637 cm

Palmă 10 degete

Linie 29 mm 25 mm

15

Denumire Echivalent

Leghe 4 - 55 km

Probleme

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

Rezolvare

875 3 = 2625 (m)

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

156 53 = 546 (m)

546 5027 = 15015 lei

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

13

Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -

Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -

Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -

Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -

Furlong

(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085

Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684

Mila

marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1

14

Stacircnjen

(lt lat stadium)

8 palme

6 picioare 223 m

Cot 664 cm 637 cm

Palmă 10 degete

Linie 29 mm 25 mm

15

Denumire Echivalent

Leghe 4 - 55 km

Probleme

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

Rezolvare

875 3 = 2625 (m)

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

156 53 = 546 (m)

546 5027 = 15015 lei

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

14

Stacircnjen

(lt lat stadium)

8 palme

6 picioare 223 m

Cot 664 cm 637 cm

Palmă 10 degete

Linie 29 mm 25 mm

15

Denumire Echivalent

Leghe 4 - 55 km

Probleme

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

Rezolvare

875 3 = 2625 (m)

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

156 53 = 546 (m)

546 5027 = 15015 lei

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

15

Denumire Echivalent

Leghe 4 - 55 km

Probleme

Rezolvare

60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)

Rezolvare

875 3 = 2625 (m)

01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)

3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)

156 53 = 546 (m)

546 5027 = 15015 lei

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

16

1msup2 = 100 dm2 = 10

2 dm

21 dm

2 = 001 m

2

1msup2 = 10000 cm2 = 10

4 cm

2 1 cm

2 = 00001 m

2

1msup2 = 1000000 dm2 = 10

6 mm

2

1 mm2 = 0000001 m

2

1msup2 = 102 dm

2 = 10

4 cm

2 = 10

6 mm

2

Multiplii msup2

2 m

2

2) 1 hmsup2 = 10000 m

2 = 10

4 m

2

2 = 10

6 m

2

1 kmsup2 = 102 hm

2 = 10

4 dam

2 = 10

6 m

2

suprafeţele agrare

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

17

2 ft

2 yd

2 acri

m2 1 10

-2 10

-4 1 550 10 7636 1 1959 -

ar (a) 102 1 10

-2 - 1076 36 119 59 -

Hectar (ha) 104 10

2 1 - - 11959 9 2 471

in2 (sqinch) 6 4516 10

-4 - - 1 - - -

-2 - - 144 1 0 111 -

yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -

Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1

Falcie sau falce

20 funii2 =

2880st2

1432 ha 1114 ha

Pogon Iugăr

9 funii2 =

1296st2

6441 mp 501208 mp

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

18

Denumire Echivalent

Ferdelă 14 pogon

Iugăr

PROBLEME

L + 40

86

l

Rezolvare

46 2 = 23 cm ( lăţimea)

23 + 40 = 63 cm (lungimea)

23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)

217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)

161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)

3) Aria este

16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)

480 m 2 = 240 m

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

19

L

240

l

Rezolvare

2

635 m

20 m

305 m

84 m

Rezolvare

84 m ndash 125 m = 8275 m

305 m ndash 125 m = 2925 m

8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

20

SUBMULTIPLII msup3

9 mmsup3

MULTIPLII msup3

1 gal = 0142 l

1 pint = 4 gali = 0568 l

1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

21

Quarta

UK

Galon

SUA Galon UK

Baril

SUA

m3

1 10

3 - - 264 2 220 6 2898

Litru (L)

10

-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -

Pinta

- 0 568 1 0 5 - 0 125 -

Quarta UK

- 1 136 2 1 - 0 25 -

Galon SUA

- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238

Galon UK

- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286

Baril SUA

0 159 158 98 - - 42 34 9714 1

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

22

Probleme

Rezolvare

18cm = 018m

Rezolvare

4dm = 40cm

03m = 30cm

1) Volumul cutiei

60000 600 = 100 cărţi

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

23

Observaţii

1 =10dl =100cl =1000ml

Multiplii litrului

1kl =10hl =100dal =1000 l

1 homer = 388 litri

1 letec = 194 litri

1 efa = 388 litri

1 sea = 129 litri

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

24

1 cab = 22 litri

1 cor = 388 litri

1 bat = 38 litri

1 hin = 65 litri

1 cab = 22 litri

1 log = 055 litri

Pintă 3394 l

Alte denumiri

gracircu

Obroc mare 44 ocale

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

25

Obroc mic 22 ocale

butoi 50 - 80 vedre

Giumătate

Stacircnjen (de

lemne) 8 steri

Probleme

Rezolvare

250cl=25 l

500ml=05 l

Cantitatea este

4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)

Rezolvare

035m=35dm

46cm=46dm

25∙46 = 4025(dm3)

4025dm3

= 4025l

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

26

Rezolvare

150cm=15m 10dm=1m

45m3

= 4500dm3

= 4500 l

4500 450 = 10(ore)

obiectul respectiv

Observatii

-tona(t) 1t =1000kg

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

27

de 4oC

1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g

Litră 32275 g 318 g

Dram 338 g 338 g

Funt livră 05 kg

Probleme

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

28

Rezolvare

41 kg = 4100 g

4100g - 350g = 3750 g

375075=50(pachete)

R 50 pachete

Rezolvare

4500kg = 45 t

40 45 = 8(8

medicamente

Rezolvare

25 ∙ 25 = 625g

625 + 5 = 630 g

630 ∙ 20 = 12600 g

12600 + 20 = 12620 g

R 12620 g

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

29

-minutul(min)

-ora (h) 1min = 60s

-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s

-anul are 12 luni

clepsidra

Probleme

1990199119921993199419951996

Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

30

2003 inclusiv

Rezolvare

19 zile

31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile

Altă rezolvare

31-19=12 zile

2) 365-12=353 zile

1530

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

31

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

32

Monedele dacilor

Romei icircn 476 aD

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

33

circulaţii

argint

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

34

supraevaluată

emise de BNR

100000 de lei

prezentatorului

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

35

200 lei 500 lei

1 leu = 100 bani

1 cent |

001 euro 1625 mm 167 mm 230 g

Oţel cu

icircnveliş de

cupru Netedă

2 cenţi |

002 euro 1875 mm 167 mm 306 g

Oţel cu un

icircnveliş de

cupru

Netedă cu o

canelură

5 cenţi |

005 euro 2125 mm 167 mm 392 g

de cupru Netedă

10 cenţi |

010 euro 1975 mm 193 mm 410 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

20 cenţi |

020 euro 2225 mm 214 mm 574 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Netedă (cu

şapte spaţii)

50 cenţi |

050 euro 2425 mm 238 mm 780 g

Aliaj de cupru

(aur nordic)

Cu crestături

fine

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

36

1 euro |

100 euro 2325 mm 233 mm 750 g

Interior aliaj

de cupru-

nichel

Exterior

nichel-bronz

Şase segmente

alternante trei

netede trei

zimţate

2 euro |

200 euro 2575 mm 220 mm 850 g

Interior

nichel-bronz

Exterior aliaj

de cupru-

nichel

Zimţată

inscripţionată

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

37

celor două arce)

P4 Notăm M=PQ AB

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

38

marcăm punctul N

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

39

MQN)

rigla gradată şi

raportorul)

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

40

(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)

BAx) =

raza a

raza icircn b

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

41

Obs

soluţii

P3 Cu deschiderea R

centrul C ( notăm

şi E )

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

42

P1 Construim

respectiv B (A [OX

B OY)

P2 Construim

aceeaşi rază r

P3 Construim

raza r

P4 Notăm

P2 Construim

B şi raza r

P3 Notăm

intersecţiile

şi punem icircn

evidenţă d = CD (

eventual M =

CDAB)

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

43

MP

AC

MN

BC

MN

AB

PC

NB

MA

asemenea Ele au

sau omoloage

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

44

congruente

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

45

AN

AB

AMTales

AN

BC

AMNABC ~

OBSERVAŢII

triunghiurilor

două cazuri)

PROPRIETĂŢI

A

C

D E

P B

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

46

iii) ~~

~CBAABC

CBACBA

CBAABC

(tranzitivitate)

unghiuri congruente

asemenea

CAZUL 1

CAZUL 2

CAZUL 3

proporţionale

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

47

A

B C M

N

P

1PN

AB

PM

AC PA

2 MCPA

3MN

CB

PN

AB

PM

AC

APLICAŢII

Putem scrie că AM

BN

AC

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

48

AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm

A

B

C

D

E

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

49

DE ||MC ADE~

ACM

MC=50cm=05m

ABC~ DCE

A

B C E

D

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

50

A

B C

M

E

Teorema bisectoarei

formeaza unghiul

[AE bisABC

Demonstratie

AC

AB

CE

BE

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

EACBAEtoareAEbi

][][)(

sec[

)int(sec

sec

altACEEACACCMAE

MACMACMisoscel

ACAM

AC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

[)(

int)(sec

)(sec

][][

)()(

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

51

A

C

B

C A

B

coliniare

punctele MAB NBC

MB NB = NC PC =

Demonstraţie

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

52

SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)

(1-β) bull (1 + αβγ) = 0

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

53

Un produs de arii

Se considerăm

ABCD şi să notam

cu

ariile celor patru

triunghiul Atunci

are loc egalitatea

(2)

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

54

USAMO)

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

55

Pe de altă parte

Să se se

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

56

notacircnd

[ABS]=x

sus sub forma

şi icircn fine

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

57

(Revista Kvant)

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

58

Un pic de istorie

Consecinţe

lui

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

59

Triunghiul isoscel

triunghi isoscel

bazei

triunghiului

A

B D C

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

60

este isoscel

A

B C

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

61

dreptunghic

Demonstraţie C

A B

D

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

62

A N

M

B C

X

BM=MN

(ltACX)gtm(ltMAB)

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

63

reciproc

A

M

B C

Demonstratie

ACgtAB

rezultă că ACgtAB

Consecinţe

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

64

D

A

B C

construim AD=AC

m(ltADC)ltm(ltBCD)

celorlalte două

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

65

Demonstratie

ACΞA1C1

BCgtB1C1

Aplicaţii

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

66

i)MB+MCltAB+AC

ii)pltMA+MB+MClt2p

triunghi

60degle lt90deg

ORIZONTAL

triunghi

opuse

VERTICAL

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

67

1

6

4

3

5

7

9

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

68

GEOMETRICE

ORIZONTAL

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

69

electrice

perpendicularitate

VERTICAL

avocalic

COLIBE

maluri

10) De la Polul Sud

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

70

BIBLIOGRAFIE

1986

Unitati_de_lungime
Unitati_de_volum
Capacitati
Unitati_de_greutate

Date post:	20-Dec-2015
Category:	Documents
Upload:	edmond-dulgheriu
View:	207 times
Download:	11 times

matematica distractiva

Documents