fon TUDOR

rnotelnoticdalgebr6, geometrie

. Modolitdti de lucru diferenfiote. Pregdtire suplimentord prin plonuri individualizate

CoieL de lucrutemestul I

Editura Paralela 45

Cuprins

Aacuuzt'rr., .......................4

Trsrn or EvALUARE rxlTrar,A .............. 5

ALGEBRAClprror.ur- I. DI\TZIBILITATEA NUMERELoR NATURALE

Leclia l. Operatii cu numere naturale. Reguli de calcul cu puteri ..................... 8LecliaZ. Divizor. Multiplu ...............11Lecjia 3. Criterii de divizibilitate................ ........... 14Leclia 4. Propriet[ti ale rela{iei de divizibilitate in N .......... ...... I 6Leclia 5. Numere prime. Numere compuse... .........17Evaluqre sumativd* Autoeyaluare ........................20Lectia 6. Descompunerea numerelor naturale in produs de puteri de numere prime............ 2lLecliaT. Cel mai mare divizor comun a doul sau mai multor numere naturale... ................22Leclia 8. Numere naturale prime intre e1e................ ...................24Leclia9. Cel mai mic multiplu comun a doud sau mai multor mrmere naturale........ ...........26Evaluare sumativd* Autoevaluare ........................28FiSd pentru portofoliul elevului .........29Aplicdm ce am invd1at.................... ........................31

Clrrror,ur, II. Nunrnnr RATToNALE pozrrrvELeclia 10. Fraclii echivalente.. ..........32Leclia I l. Fraclii ireductibile.. .......... 35Leclial2.No{iuneadenumlrrafionalpozitiv......... ...................37Lectia 13. Formele de scriere a unui num6r rational pozitiv......... ...................40Eyaluare sumativd* Autoevaluare ........................43Lectia 14. Aducerea frac{iilor la acelagi numitor comun ............44Leclia 15. Adunarea numerelor ra{ionale pozitive. Proprietd{ile adun6rii........ .....................46Lec{ia 16. Scoaterea intregilor din fractie. Introducerea intregilor in fractie ........................49Leclia 17. Compararea numerelor ralionale pozitive ..................52Leclia 18. Sclderea numerelor rationale pozitive ....................... 55Leclia 19. Inmullirea numerelor rationale pozitive. Propriet5lile inmulgirii ......................... 58Lec,tia20. Puterea cu exponent natural a unui numlr ra{ional pozitiv.Reguli de calcul cu puteri....... ........... 6lLectja2l.impl4ireanumerelorrafionalepozitive....... ..............64Leclia22. Ordinea efectu6rii operaliilor ................6jEvaluare sumativd x Autoevaluare ................. .......71FiSd pentru portofoliul elevului .........72

Caprrolur,III. EculTrr iu Q*Lec[ia23. Media aritmeticd. Media aritmeticl ponderati..... ......74Lec[ia24. Ecua{ii in mullimea numerelor ra{ionale pozitive ......76Lec,tia25. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecuatiilor...... .........................80Evaluare sumativd* Autoevaluare................. .......82FiSd pentru portofoliul elevului ........ 83

GEOMETRIECnprlor,ur,I. Dnupra

Lecfia l. Punct. Dreapt6. Plan. Pozitiile relative ale unui punct fafa de o dreapt6.Puncte coliniare....... .......................... 85Leclia2. Pozifiile relative ale dreptelor ................. 88Lecfia 3. Semidreapta. .......................89Leclia 4. Segmentul.... ....................... 9lLec[ia 5. Semiplanul .........................93Lectia 6. Lungimea unui segment. Distan(a dintre dou6 puncte. Segmente congruente.Mijlocul unui segment. Simetricul unui punct fap de un punct....... ................ 95Lectra7. Opera{ii cu lungimi de segmente. ............ 98Evoluare sumativd* Autoevaluare ...................... 100FiSd pentru portofoliul elevului .......101Aplicdm ce am tnvdyat ..................... 102

C^lprtor,ur, II. UNGHTURT

Lec[ia 8. Unghiul. Unghiul nul. Unghiul cu laturile in prelungire ................. 103Lectia 9. Mlsurarea unghiurilor cu raportorul. Clasificarea unghiurilor.Unghiuri congruente ....................... 105Lectia 10. Calcule cu misuri de unghiuri exprimate in grade gi minute sexagesimale....... 107Leclia 11. Unghiuri complanentare, rrnghiuri suplementare .... 109Leclia 12. Unghiuri adiacente ......... I I ILectia 13. Bisectoareaunuiunghi... .....................113Lec[ra 14. Unghiuri opuse la virf.............. ........... I 15

Lec[ia 15. Unghiuri in jurul unui punct.... ............ I 17

Evaluare sumativd* Autoevaluare ...................... I 19FiSd pentru portofoliul elewlui .......120Aplicdm ce am invd1ar.................... ...................... 121

C.lprror,ur, III. ConcnuBxTA TRruNGrrn RrLoRLeclia 16. Triunghiul: defini1ie, elemente...... ......122Lectia 17. Clasificarea triunghiurilor ...................124Lectia 18. Construcfia triunghiurilor oarecare .....126Lecfla 19. Congruen[a triunghiurilor .................... 128Lec[ta20. Criteriile de congruentl a triunghiurilor................ ..-.-...................129LeclraZl. Elemente de ralionament geometric. ........................ 132Leclia2Z. Metoda triunghiurilor congruente ....... 133

Evaluaresumativd* Autoevaluare ...................... 135F$d pentru portofoliul elewlui .......136Aplicdm ce am tnvd7ar.................... ...................... 138

Moorr,n oB rEzE pENTRU SEMESTRUL I ............... 139

Irnrc4u gr nAspursunr .................. l4l

oI

F{

c,ovtC'\))<i.9+E'Eq)

o

=8

ALGEBRACapitolul I

DTvTzTSILITATEA NUMERELoB NATURALE

Competente specifice:O ldentificarea in exemple, in exercitii sau in probleme a notiunilor: divizor, multiplu, numere

prime, numere compuse, c.m.m.d.c., c.m.m.m,c.- Apicarea criteriilor de divizibilitate (cu 10, 2, 5, 3, 9) pentru descompunerea numerelor naturale

in produs de puteride numere pfmeO Expilmarea unor caracteristici ale relaliei de divizibilitate in mu[imea numerelor naturale, in

exercitii gi probleme care se rezohi fiolosind divizibilitateaO Deducerea unor reguli de calcul cu puted gi a unor proprietitl ale divizibilitiiliiin multimea

numerelor naturale, in exercitii$i probleme

Lecfia 1. Operafii cu numere naturale.Reguli de calcul cu puteri

@ ce ffebuie sE stimConsiderlm mullimile:

N : {0, 1,2, ...,10, 11, L2, ...\ (mul1imea numerelor naturale);

N* : { 1, 2, 3, ..., 10, 1 l, 12, ...} (mullimea numerelor naturale nenule).

Pe mulfimea numerelor naturale definim urmltoarele operafii: adunarea, sclderea (dac[desc[zutul este mai mare sau egal cu sciz[torul), inmulfirea, imp[(irea cu rest zero(dac[ implditorul este divizor al deimpirfitului) qi ridicarea la putere (cu excepfia ca-

zului 0o) a numerelor naturale.

Adunarea gi sciderea sunt operafii de ordinul I, inmul{irea gi imp[direa sunt operafiide ordinul II, iar ridicarea la putere este operaJie de ordinul III.in calcule, ordinea efectuirii operafiilor este urm[toarea: mai int6i operafiile de ordi-nul III, apoi opera{iile de ordinul II gi in final opera(iile de ordinul I, iar opera(iile de

acelaqi ordin se efectueazl in ordinea in care sunt scrise.

Dac[ se folosesc paranteze, atunci se efectueazi mai int6i calculele dintre parantezele

rotunde, apoi cele dintre parantezele drepte gi in final cele dinte parantezele acolade.

Operafia de ridicare la putere a numerelor naturale (recapitulare)

Definifie: Fie a e N, n e N*. Vom numi putereaan-aa numirului nafural a, num[ruI

natural notatd giob(inutastfel: sn =g.a.a.....o.. Numlrulasenumeqtebazaputerii,n factori

iar num[ru] n se numegte exponentul puterii. Pentru a + 0 9i n : 0, vom face convenfia

cdao:1.Exemple:32:3 '3:9; 2s :2'2'2'2'2:32; 190: l.

Reguli de calcul cu puterio {-d:a**n,oricarearfta e N* qiz,ne N;. a^:ao:*-',oricarearfta€ N*,mrne N qirn >z;. ({)" : a!' n, oricare ar ft a e N* gi rz, n e N ;

. (a' b)^ : {' b*,oicareurfra,D e N' 9iz e N.

Compararea puterilor1. Dinfre dou[ puteri care au aceeaqi baz[ gi exponen{ii diferiti, este mai mare puterea cuexponentul mai mare (a' > d, dacd m > n Si_q > 2).Eiempte: 7" u 7t', deoarece 2l > 1,9; 5" . 5'u, deoarece 75 < 76.

2. Dintre dou[ puteri care au acelaqi exponent nenul gi bazele diferite, este mai mareputerea ctbazamai mare (an > b",dacda> b qin>l).Exemple: 3ot u 2o',deoarece 3 > 2; 2g5s < 31s5, deoarece2g <31.

ObservafiePentru a compara doul puteri care au bazele diferite qi exponen(ii diferiti, se transform[puterile respective (dac[ e posibil) in puteri cu aceeaqi bazl sau in puteri cu acelagi

exponent pentru a reduce problema la canfl 1, respectiv 2,prezentate mai sus.

Definifie: Un numdr natural a se numegte piitrat perfect dacl existl un numdr naturalb, astfel incdta: bz.

Exemplu: Numirul natural 25 este pltrat perfect, deoarece 25 : 52.

ObservafieDac[ un numir natural este pifrat perfect, atunci el se termin[ cu una dintre cifrele:0,1,4,5,6,9.

Definifie: Un num[r natural a se numegte cub perfect daci exist[ un numlr natural b,

astfel inc6t a: b3.

Exemplu: Num[ru] natural 27 este cub perfect, deoarece 27 :33.

@ Stim sd rdspundem?

Propozilia ,,DLIL N este mullimea numerelor naturale gi N* este mullimea nume-

relor naturale nenule, atunci N \ N' : {0}." este ...........

S in7"l"g"r"* Identificore (56 rezolv6m ?mpreund)

1. Calcula{i:a)5.32:15+62;

Solulie:b) (30+ 31 +32 +33):23 c) (2 . 22 . 23'57 : 12815 .

a)5.32 15+62:5.9: 15 +36:45: 15 +36:3+36:39;b) (30 + 31 +32 + 33): 2':(1 + 3 + 9 +27):8:40: 8:5;q Q . 22 . 2')', Qr)t : (2.1+2+3)7 : 2&5 : Q\', 2* : 26'7' 2q : 2a i 2N : 2a-40 - 22 : 4"

(,I

l-{

oov,oGlciU{-(,Eq)+-(,€

2. Ardtali ci num6rul natural:a) 522 este pltrat perfect;

Solulie:a) 522:511'2 - (5t')';

b) 271e este cub perfect.

b) 27te: (3')" :33'1e - 3te'3: (3")'.

e Fixore * insusireo cunostinfelor

1. Calculafi oral:a)28:4 + 47 .; b) 67 - 12 . 3:d) 40 : 8 + 33 : .................; e) 54 :3 + 25 :

2. Efectua(i:

a) 20 : (225 :9 - 65 : 13);c)243: [61 + 80 : (31 -54:2)];e) 65 : {8 -75 :l(52: 13 + 9) .2* l)\;

3. Efectua{i:a)(20 +21 +22 +23):5;d) (60 + 61 + 62 -521:32

................; c) 83 - 15 ' 4:.................; f)7'- 60 : 5 :

b) 17 . (57 :3 -84 : t2);d) K21 .7 + 53. 5) :4 - 531 : 10;

D {[7+ 5t:(72: 12+ l1)] .6-4]:4.

b) (50 + 51 + 52 + s3) :22; c) (70 + 7t + 72 - 32y :2a;

Itatul sub form[ de putere:

b) t(50)'l' : (5 . 51s)3; c) [(3u)']' : (3 . 310)6;

4. Calcula(i:a) 172 + (z . 5o : 10 - 34) :221 :22;c) (5' 33 : 15 +20). 22 - 521 : 52;

!. Efectuafi scriind rezultatul sub formd de putere:a)2" -2r3 : ..........; b) 3'o .314 --............; c) S" .517: .........; d) 7" . Tot : .........;q627 .626:..........; D7tt.72e:.............; g)2".21e:.........; h)3".3'o:.........

6. Efectuati scriind rezultatul sub formi de putere:a)2st :230: ..........; b) 303 : 3re:...........; c) 560 : 523: .........; d\772 :'la7 : .........:e)llao:llre:......; f) L352:1323:........; g)l7o':1713:.....; h)1165:1138:.....

7. Efectuati scriind rezultatul sub formS de putere:a) (3t)" b) (5')'o : ...............; c) (70)" d) (2')": ............;e) (131)? : ............; 0 (17")u : ..............; g) (19)' h) (11'5)5 : ......... .

8. Calculaqi folosind regulile de calcul cu puteri:a) (5' . 58; : 53; b) (7' . 777:72; c) (36. 3e1:34;d) (2')' : (2 -2to) ; e) (70)8 : (7 -7217:

p. Efectuaqi scriind rezultatul sub form[ de putere:q (23 .2t .2"): (22)8;

d) (7'o)t : (7 .712. 7t*) :b) (3 . 3tu . 3") : (30)'; c) (54 . 5u . 5'u) : (53)u;

c,IH(,ovto\)rci.9F(,Eq).Fo

=

10. Efectuali scriind rezua) [(7')']to :172 .7eya;

d\l?o)'1' : Q.2t\3:

b) (3' . 3t') , 320 - 301 :24d) lQ" -7") ,733 + 701:23.

z2o + 201:32;532 - 501 22;

11. Efectuati:a) l(2" . 2") ,

c) (515 . 5'o) :10

1 2. Comparali numerele:a) 131s 9i l3t6; b) 192' qi l9'i;e) l52o gil42o; f)17" qi 1925;

1 3. Comparafi numerele:a)7s1 qi492s; b) 8l'5 gi 36';e) 1610 9i 328; f) 27" qi Sle;

14. Comparali numerele:a)724 si25t2;e) 2sr gi 33a;

b) 3615 9i 530;

f; 270 qi 1 120;

c)2353 Si23ae;g)25'7 5i2717;

c) 250 gi l6'3;e) 64e 9i 1613;

c) 1610 qi 3ao;

g) 514 qi 321;

c) 8u';

e) 2728;

d) 3137 9i 3l3e;h) 4f2 gi 3932.

d) 2535 9i 567;

h) 1257 qi 2511.

d) 551 si2717;h) 2et qi 53e.

d) 5";h) 6423.

a) 3u';e) 1933;

relor imp[rfiri:a) n:3;

fi!} Aflicore * Exersore

15. Scrieli in ordine cresc[toare numerele:a) 4",821, l6rs; b)2713,3",9'r; c)3u',7t',2"; d) 5'0, 2",30t

16" Arita{i c[ urmitoarele numere naturale sunt pdtrate perfecte:a) 5to; b) 7t*; c) 4t'; d)9'n;e)1726; f)25"; g) l3'o; h\4921.

17 . Ardtali cI urm[toarele numere naturale sunt cuburi perfecte:

18. Ar6ta[i c[ urmdtoarele numere sunt pbtrate perfecte:a)221 +218; b)32a +32s; c;537-536.

19. DacI n e N , ardtali ci urmltoarele numere nu sunt pitrate perfecte:a) 6'+ l; b)5'+2; c)6'+7; d) 5" +7.

?O. Atdltati c[ urmltoarele numere sunt cuburi perfecte:

a)2.334 + 4.33a +335; b) 5t'- 2'5s2 -7 .5t'; i2-f -8.t'l+/t.

Dezvoltore (Putem moi mult)

21 . Se consideri num[ru] n: 30 + 31 + 32 +

22 . Ardtali c[ num[ru] natural n nu este p[trat perfect dacd:

a)n:21 +22 +23 + ...+2t';

Lecfia 2. Divizor. Multiplu

b) r:20 +21 +22 + ... +262.

@ Ce febuie sE stimDefinifie: Numdrul natural a se divide (este divizibil) cu numIrul natural b, dacdexistii un numir natural c, astfel incdt a: b . c.Not[m b I a Sicitim,,b divide pe a" sau a i b gi citim ,,a se divide cu b".

b) 4t';f) t7o';

... + 32013. Determinafi restul urrn[toa-

b) n:9.oI

l{

oc,u<t():ci.U{-gEq)+g

=11

Num[ru] b se numegte divizor al lui a, iar a se numegte multiplu al lui D.

Defini(ie: Divizorii I gi a ai numdrului natural d se nrmesc divizori improprii. Ceilalfidivizori ai num[rului natural a se numesc divizori proprii.Exemplu: 1 9i 6 sunt divizori improprii ai lui 6, iar 2 gi 3 sunt divizori proprii ai lui 6.

Observafii1. Se noteazd cl Dn mul(imea divizorilor numlrului nat;.nal n.

2. Se noteazd, cu M, mullimea multiplilor numtrrului nal;.xal n.

@ gtim sd rispundem?

Propozilia,,DacI a € N', atunci mullimea M,este infinitii." este

S inl"tegr.e * Identif icare(S6 rezolv6m ?mpreun6)

1. a) Scrie[i mullimea divizorilor numflrului natural 10.

b) Scrieli mullimea multiplilor mai mici dec0t 50 ai numSrului natural 9.

Solulie:a) Drc: {1,2,5, l0}; b) M: {0,9, 18, 27,36,45}.

2. Determinafi cel mai mare divizor propriu al numirului natural a:2lro3.Solulie:---o=21'o':(3'7)103:3103

'7'o3,deunderezultic[celmaimaredivizorpropriuallui a este 3to2 ' 7103.

g Fixore * insusireo cunostintelor

1. Cititi urmltoarele propozilii:

a)sl2o; b)28i7; ga)(3s; d;slor;

2. Stabiliti valoarea de adev[r a urmltoarelor propozilii:

a)2142;Z b) s | 2s;D c)30 i 6;I d)28 ia;ED7 )(a;J e)80!8; E h)el5a;I i)s/65;E

3. i) Numdi divizorii din urmltoarele rela{ii de divizibilitate:

a) 10 | 40; b) 1l | 33; c) 65 ! 13; d) 75 i 15;

ii) Numiti multiplii din urmitoarele rela(ii de divizibilitate:a) 12 136; b) l0 | s0; c) e6 ! 16; d) el i 13;

e)96 i 8.

e1 I l:s;!j)76i4. fl

e) tz I ot.

e) ts I zz.

(,I

H

oc,v,o\)lg.9+oE\)+(,'=

l2

d) 9; .................h) 54. ...............

d) 8;

h) s1.

6. Scrieli mul{imea divizorilor proprii pentru urmltoarele numere naturale:

a) 10;

e) 30;

b) 18;

0 a0;d) 23;h)72.

c) 20;

e) s6;

c) 35;

c) Dx;

c) Dta\ Dz+;

M3,x< 16) qiB:

c) A\ B;

xqi 1000 !

d)32.

d) Dtt'

d) Dra \Drs.

{yly e Ma,y<15).

7. Scrieti mullimea divizorilor de doul cifre pentru urmitoarele numere naturale:

a) 100; b) r08; c) 120; d\ r44.

8. Scrieti mullimea primilor qapte multipli ai urmltoarelor numere naturale:

a)2; b)3; c)5; d)6; e) 10; 0 11; gt2; h) 15.

9. Scrieli mullimea multiplilor de doui cifre pentru urmitoarele numere naturale:

a)7; b) 8; c) 9; d) 11.

1O. Calculatr media mitmeticl a multiplilor de doul cifre ai numlrului natural:

a) 401, b) 38;

11. D Determina(i elementele mullimilor:a) Drsi b) Dz+;

ii) Determina{i elementele mullimilor:a) Drv Dz+) b) Dzt A Dza;

12. Se consider[ mullimile A: {x I x eDetermina{i mul;imile :

a)AvB; b)AnB; d) -B \1.*\ qis: {x e N ll00 : x13. S"considerlmullimilg: A: {x e N 1100 :

qi 1000 ' l)..&ntati cdA: B.

@ Apticore + Exersore

14. Determinati num[ru] natural r, cu proprietatea c[:a)x+1125; b)2x+ 1 | 35; c) 2x -3la2;

c;25t1 ; 530;

15. staUititi valoarea de adevdr a propoziliilor:

a132019'7; b18re 225;

16. Determina{i cel mai mare divizor propriu pentru urmitoarele numere:

d) 7u".

d)3.r-1140.

d)32e i 42s.

a)2'ut; b) 3oo'; ")

5"n;

@| Dezvoltore (Putem moi mutt)

C'I

l-{

oov,oUrcj.()oEo){-o

=

17. Determinafi cel mai mare divizor propriu pentru urm6toarele numere:

a) l08os; b) 14731; c) 1520r;

18. oaca re e N, ariltali ci numlrul:a)2"*'. 3'*1+ 2n+3 . 3n este multiplu de 5;

b) 3'* |' 7n+ t - 3n+2' 7n este multiplu de 4.

d) 351e7.

13