mate 1

1

Exemplu

Fie funcia d: Rn Rn[0, ), definit prin

d(x, y)= 2

1

n

i i

k

( x y )

pentru x=(x1, x2, , xn), y=(y1, y2, , yn).

Se verific uor c d este o distan pe Rn (numit distan euclidian).

Cazuri particulare

Dac n=1 atunci x=x1 i y=y1 iar d(x, y)=x1-y1.

Dac n=2 atunci x=(x1, x2) i y=(y1, y2) iar d(x, y)= 2 2

1 1 2 2( x y ) ( x y ) .

Test de autoevaluare1

1) S se demonstreze c funcia f(x, y) = 2 2

2 ( , ) (0, 0)

0 ( , ) (0, 0)

xy, x y

x y

, x y

este continu n origine.

2) S se demonstreze c funcia f(x, y) =

2 2

2 2 ( , ) (0, 0)

0 ( , ) (0, 0)

x y, x y

x y

, x y

nu este continu n origine.

Rspunsuri i comentarii la testul de autoevaluare 1

1) Vom demonstra continuitatea folosind definiia.

Fie {(xn, yn)}n1R, un ir cu (xn, yn)

n

(0, 0) (adic xn

n

0 i yn

n

0) i

(xn, yn)(0, 0) n1. Atunci f(xn, yn)=2 2

2 n n

n n

x y

x y n1. Aplicnd inegalitatea mediilor de

obine uor 2 2n nx y 2xnynn1, ca urmare putem scrie:

f(xn, yn)-02

2

n n

n n

x y

x yn1 adic f(xn, yn)-0 2 n nx y n1.

Cum 2 n nnlim x y

=0, rezult, folosind inegalitatea anterioar, c i ( )n nnlim f x , y

=0, deci

( ) (0 0)( )

x,y ,lim f x, y

=0. Dar f(0, 0)=0 atunci putem scrie ( ) (0 0)

( )x,y ,

lim f x, y

= f(0, 0)=0 de unde

deducem c f este continu n (0, 0).

2

2) In acest caz vom arta c nu exist ( ) (0 0)

( )x,y ,

lim f x, y

.

Pentru aceasta considerm {(xn, yn)}n1R, un ir cu (xn, yn)

n

(0, 0), (xn, yn)(0, 0)

n1 i o anumit dependen ntre yn i xn. Forma acestei relaii ntre yn i xn este dat de

cerina ca f(xn, yn) s nu mai depind de n.

Aici, calculnd f(xn, yn) avem f(xn, yn)= 2 2

2 2n n

n n

x y

x y

, n1.

Astfel lund yn=xn, R, obinem f(xn, yn)= 2

2

1

1

,n1. Ca urmare ( )n n

nlim f x , y

=, care

nu este unic, deci ( )n nnlim f x , y

nu exist ( ) (0 0)

( )x,y ,

lim f x, y

nu exist. In concluzie, f nu

este continu n (0, 0).


S se calculeze:

a) 2xf " x, y , xyf " x, y , yxf " x, y , 2yf " x, y ;

b) df(a, b)(x, y), df(1, -1)(x, y) i df(1, -1), a, b, x, y R.

pentru funcia f: R2R, f(x, y)=2x3y2-x2-3y+7+4e2x-y.


a) Aplicnd regulile de derivare descrise mai sus se obine

xf ' x, y =6x2y

2-2x+8e

2x-y; yf ' x, y =4x

3y-3-4e

2x-y;

2xf " x, y =12xy2-2+16e

2x-y; xyf " x, y = 12x

2y-8e

2x-y;

yxf " x, y = 12x2y-8e

2x-y; 2yf " x, y =4x

3+4e

2x-y.

b) Conform definiiei avem :

df(a, b)(x, y)= xf ' a,b x a + yf ' a,b y b =(6a2b

2-2a+8e

2a-b)(x-a)+(4a

3b-3-4e

2a-b)(y-b)

i, astfel

df(1, -1)(x, y)= (4+8e3)(x-1)+(-7-4e

3)(y+1), iar

df(1, -1)= (4+8e3)dx+(-7-4e

3)dy.

test de autoevaluare 3

1) S se determine punctele de extrem local pentru funcia

3

yxyxyxff 485,,: 352 RR

2) O ntreprindere realizeaz dou produse n cantitile x i y exprimate n uniti de msur

(u.m.). Cheltuielile totale de producie sunt

10 4 2c x, y x y ,

iar preurile unitare ale acestor dou produse depind funcional de nivelul produciei astfel:

21 2, 16 , , 6 2p x y x p x y y .

S se determine n ce cantiti trebuie realizate cele dou produse astfel nct profitul s fie

maxim.

3) S se determine punctele staionare i punctele de extrem local pentru funcia:

RR 2:f , 2 2, n nf x y x y , *nN


1)

Se calculeaz coordonatele punctelor staionare, ca soluii ale sistemului:

0

0

x

y

f ' x, y

f ' x, y

0483

0552

4

y

x

4016

1012

4

yy

xx.

Astfel, funcia f are patru puncte staionare: .4,1;4,1;4,1;4,1 DCBA

Se calculeaz derivatele pariale de ordinul al doilea:

2 320 0xyxf " x,y x ; f " x,y ; 20 6yx yf " x,y ; f " x,y y;

Pentru un punct oarecare ,a b 2R avem:

2 31 20xa,b f " a,b a ;

2

2

33

2

20 0120

0 6

xyx

yx y

f " a,b f " a,b aa,b a b.

f " a,b f " a,b b

Atunci:

04804,1

0204,1

2

1 4,1A punct de minim local.

4,104804,12 B nu este punct de extrem (punct a).

04804,12 4,1C nu este punct de extrem (punct a).

04804,1

0204,1

2

1 4,1 D punct de maxim local.

4

2)

Funcia profit este

RR 2:f , 3 21 2 2 12 8 10f x, y xp yp c x, y x y x y .

Punctele staionare se obin ca soluii ale sistemului

0

0

x

y

f ' x, y

f ' x, y

23 12 0

4 8 0

x

y

.

Cum x i y sunt pozitive se obine unicul punct staionar A(2, 2).

Matricea hessian va fi H(x, y)=

2

2

" , " ,

" , " ,

xyx

yx y

f x y f x y

f x y f x y

= 6 0

0 4

x

i pentru punctul A(2, 2) aceasta devine H(2, 2)= 12 0

0 4

cu

1

2

2,2 12 0

2,2 48 0

A(2, 2) punct de maxim local. Acesta va fi i punct de maxim al

profitului f, iar cantitile optime vor fi x=2, y=2.

3)

Punctele staionare se obin din sistemul

0

0

x

y

f ' x, y

f ' x, y

2 1

2 1

2 0

2 0

n

n

nx

ny

.

Se observ c A(0, 0) este unicul punct staionar al funciei f .

Matricea hessian va fi

H(x, y)=

2

2

" , " ,

" , " ,

xyx

yx y

f x y f x y

f x y f x y

=

2 2

2 2

2 (2 1) 0

0 2 (2 1)

n

n

n n x

n n y

i pentru punctul staionar A(0, 0) aceasta devine: H(0, 0)= 0 0

0 0

cu

1 2(0,0) 0, 0,0 0 deci algoritmul anterior nu poate fi aplicat.

Se observ ns, c (0,0) 0f i ( , ) 0, ( , )f x y x y 2R , astfel c

( , ) (0,0), ( , )f x y f x y 2R .

Ca urmare, conform definiiei, A(0, 0) este punct de minim (global) pentru f .

Test de autoevaluare 4

Fie dou produse X1, X2 i cererea produsului X1 modelat de funcia:

5

1 1 2 1 2100 2 0 1Q p ,p ,y p p , y

unde 1p i 2p sunt, respectiv preurile produselor X1, X2 iar y este venitul mediu. Dac se

consider 1 10p , 2 20p i 1000y , atunci s se determine:

a) elasticitatea proprie a produsului X1, 1 1Q ,p

E ;

b) elasticitatea ncruciat a lui X1, 1 2Q ,p

E ;

c) elasticitatea lui X1 n raport cu venitul, 1Q ,y

E ;


a) Avem formula elasticitii 1 1 1 2Q ,p

E p , p ,y =

11 1 2

1 1 2

1

pQ ' p , p ,y

Q p , p ,y

p

. Este uor de observat c:

11 1 2p

Q ' ( p , p ,y )=-2 iar pentru 1 10p , 2 20p , 1000y 1 10 20 1000 200Q , , . Astfel

c 1 1

210 20 1000 0 1

200

10

Q ,pE , , ,

.

b) n mod analog cu punctul a) avem 1 2

110 20 1000 0 1

200

20

Q ,pE , , , .

c) Ca i la punctele precedente obinem 1

0 110 20 1000 0 5

200

1000

Q ,y

,E , , , .

Lucrarea de verificare 1.

1) S se studieze continuitatea urmtoarelor funcii n origine:

a) f(x, y)=

2

2 2 0 0

0 0 0

xy, x,y ,

x y

, x,y ,

; b f(x, y)=

2 2 0 0

1, 0 0

xy, x,y ,

x y

x,y ,

.

2) S se calculeze 2xf " x, y , xyf " x, y , yxf " x, y , 2yf " x, y , df(a, b)(x, y),

df(1, 2)(x, y) i df(1, 2), a, x R, b, y0, pentru funcia f(x, y)=x3+2xy2-x

y, y0.

3)S se determine punctele staionare i punctele de extrem local pentru funciile:

6

a) 2 3 3 23 4 3f : , f x,y x y y x y R R ; b) 21626092,,,: 22233 zyxzyxxzyxff RR .


1) S se studieze natura seriei geometrice 0

n

n

r

.

2) Ce sum S0 (valoarea actual) trebuie depus n momentul t=0 pentru a putea primi n

perpetuitate (de exemplu o pensie), o sum constant T, la sfritul fiecrui an, dac dobnda

unitar anual este i? (Calculul valorii actuale a unui ir de anuiti perpetue)

3) S se studieze natura seriei armonice 1

1

n n

.

4) S se studieze natura seriei i, dac este cazul, s se calculeze suma: 1

2 3

1 2n

n

n( n )( n )

.

5) S se studieze natura seriilor: a)1

2 1

3 2n

n

n

; b)

1

2 11

2 2

nn

nn


1) Seria geometric: 0

n

n

r

=1+r+r

2+, rR.

In acest caz an=rn, n0 i Sn=

1

0

n

kk

a

=

1

0

nk

k

r

=1+r+r

2++rn-1, deci Sn =

1 1

1

, 1

nr, r

r

n r

, n1.

Astfel c, nnlim S

=

1 (-1, 1)

1

[1 )

nu exista, ( -1]

, rr

, r ,

r ,

de unde rezult c

seria geometric este convergent dac i numai dac r(-1, 1), avnd n acest caz suma

1

1 r (

0

n

n

r

=

1

1 r) i este divergent cnd r(-, -1][1, ).

2) In acest context modelul matematic al plilor n perpetuitate este un ir numeric constant

cu valoarea T. Cum plile sunt la momente diferite de timp valoarea actual S0 se calculeaz

ca suma valorilor actuale corespunztoare acestor pli.

7

Se tie c, n regim de dobnd compus, valoarea actual a unei sume T pltit dup k ani

este (1 )k

T

i, kN*. Astfel c

S0=1 (1 )

kk

T

i

=

1

T

i 0

1

1

k

k i

i cum i>0 rezult c r=1

1 i(0, 1), deci suntem n ipoteza cnd seria geometric este

convergent. Atunci S0=1

11 11

T

i

i

=1

1

T i

i i

=T

i.

3) Seria armonic: 1

1

n n

=1+

1

2+

1

3+

Termenul general al acestei serii este an=1

n, n1, deci Sn=

1

n

kk

a =

1

1n

k k , n1. Aplicnd

teorema Lagrange funciei f:[k, k+1]R, f(x)=lnx, k=1,n , se obine:

ck(k, k+1) astfel nct 1

kc=ln(k+1)-ln(k)

Cum ck(k, k+1) rezult c 1

kc

1 1

1,

k k

, deci

1

1k < ln(k+1)-ln(k)<

1

k, k=1,n .

Considernd pentru k valorile k=1, 2, , n i sumnd inegalitile obinute deducem:

1

1

1

n

k k ln(n+1), n1. Dar 1nlim ln( n )

rezult nnlim S

, deci (Sn)n1 este

divergent i ca urmare seria armonic 1

1

n n

este divergent.

4) In acest caz seria are termenul general an=2 3

1 2

n

n( n )( n )

, n1, astfel c

1 2 3 . n

T T T T

0

8

Sn=1

n

kk

a =

1

2 3

1 2

n

k

k

k( k )( k )

, dar

2 3

1 2

k

k( k )( k )

=A

k+

1

B

k +

2

C

k =

2 2 23 2 2

1 2

A( k k ) B( k k ) C( k k )

k( k )( k )

de unde

0

3 2 2

32 3

2

A B C

A B C

A A

i 1

1 2

B , C 2 3

1 2

k

k( k )( k )

=

1 3 2 1

2 1 2( )k k k

, deci

Sn=1

1 3 2 1

2 1 2

n

k

( )k k k

=

=1 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1

[(3 ) ( )+( )+...+( )]2 2 3 2 3 4 3 4 5 1 2n n n

i reducnd termenii

asemenea rmne

Sn=1 1 3 1

[(3 )]2 2 1 2n n

un ir convergent cu limita 7

4. Ca urmare, seria este

convergent i are suma 7

4 (putem scrie

1

2 3

1 2n

n

n( n )( n )

=

7

4).

5)

a) In acest caz an=2 1

3 2

n

n

i n

nlim a

=2

30, deci, folosind criteriul de divergen, seria

1

2 1

3 2n

n

n

este divergent.

b) Aici an= 2 1

12 2

nn

n

i 2n

nlim a

=1 iar 2 1nnlim a

=-1 deci irul (an)n1 este divergent

nnlim a

0 1

2 11

2 2

nn

nn

este divergent.

n concluzie, cnd nnlim a

=0 i convergena irului sumelor pariale nu poate fi pus n

eviden, studiul convergenei seriilor numerice se bazeaz pe o serie de criterii ce vor fi

menionate n continuare.

Criteriul Leibniz

Fie 1

1

1n

nn

b

(sau 1

1n

nn

b

) o serie alternat cu bn>0 n1. Dac

9

1) bnbn+1, n1 (irul (bn)n1 este descresctor)

2) nnlim b

=0

atunci seria considerat este convergent.

Criteriul radicalului (Cauchy)

Fie o serie de termeni pozitivi 1

nn

a

.

1) Dac NN i r(0, 1) astfel nct n na r, nN atunci 1

nn

a

este convergent.

2) Dac inecuaia n na 1 este adevrat pentru un numr infinit de termeni ai irului (an)n1

atunci 1

nn

a

divergent.

Corolar


nn

a

astfel nct exist l = n n

nlim a

. Atunci

- dac l>1 1

nn

a

divergent

- dac l1 astfel nct 1n

n

a

a

r, nN atunci 1

nn

a

este divergent.

Corolar


nn

a

astfel nct exist l = 1n

n n

alim

a

. Atunci

- dac l>1 1

nn

a

divergent

10

- dac l1 astfel nct 1

1n

n

an

a

r, nN atunci

1n

n

a

este convergent.

2) Dac NN i r

11


1) S se studieze natura urmtoarelor seriilor alternate: a) 1

11

n

n n

; b) 1

21

1

n

n

n

n

.

2) S se studieze natura seriei armonice generalizate: 1

1

n n

=1+1

2+

1

3+, R.

3) S se studieze natura urmtoarelor serii de termeni pozitivi:

a) 2

1

2

2 3n

n n

n lnn

; b)

2

11

3

4

n

n nn

n lnn

n e

.


a)

12

21

2 1

3 2

n

n

n

n

; b) 2

1

2

3nn

n

n

.


a) 2

1 3n

n

n

; b) 1

3 5 2 1

4 7 3 1n

... ( n )

... ( n )

; c) 2

1 2n

n

n arctg


a) 1

1 3 2 1

2 4 2n

... ( n )

... ( n )

; b) 1

1

n

kq

( k p )

n! nn

, p, qN*, qp+1.

7) S se studieze absolut convergena i convergena seriilor numerice urmtoare:

a) 1

11

1

n

n n

; b) 1

0

21

2

n

nn

n

; c)

1

3n

nn

n!

n


1) a) Se observ c avem o serie alternat cu bn =1

n>0, n1. Se verific uor c

bn+1 =1

1n 0, n1. Cum n

nlim b

=20, deducem c

criteriul Leibniz nu este aplicabil. Considernd ns termenul general al seriei an= 2

11

n n

n

,

12

n1 se observ c irul (an)n1 este divergent ( 2nnlim a

=2 iar 2 1nnlim a

=-2) deci, folosind

criteriul de divergen, se obine c seria este divergent.

2) Termenul general al seriei este 1

nan

, n1.

a) Dac 0 atunci nnlim a

= 1 atunci 1

nan

, n1 i Sn=1

n

kk

a =

1

1n

k k

. Evident irul sumelor pariale (Sn)n1

este strict cresctor (*). Se va arta n continuare c irul (Sn)n1 este mrginit superior.

Fie funcia f:[k, k+1]R, f(x)= 11

1x

, k=1,n . Aplicnd teorema Lagrange acestei funcii

rezult:

ck(k, k+1) astfel nct 1

kc

=f(k+1)-f(k)

Cum ck(k, k+1) rezult c 1

kc

1 1

1,

( k ) k

, deci

1

1( k )< f(k+1)-f(k)<

1

k, k=1,n .

Considernd pentru k valorile k=1, 2, , n i sumnd inegalitile obinute deducem:

1

1

1

n

k ( k )

13

de unde obinem Sn+1

1( n )-1< f(n+1)-f(1) Sn1 deducem c n

nlim b

=1

, deci irul

(bn)n1 este convergent de unde obinem c (bn)n1 este mrginit superior. Avnd n vedere

inegalitatea anterioar rezult c i (Sn)n1 este mrginit superior (**).

Din relaiile (*) i (**) se deduce c (Sn)n1 este convergent, ca urmare seria 1

1

n n

este

convergent.

3) a) Termenul general al seriei este 2

2

2 3n

n na

n lnn

>0, n1. Acesta poate fi scris

222

1 2 1 21 1

1

3322

n

nnn nna

lnnlnn nn

nn

.

Se alege 1

nbn

i astfel l= nn n

alim

b=

2

1 21

32

n

nnlimlnn

n

=1

2(0, ) de unde rezult, aplicnd

criteriul comparaiei (III), c seriile 1

nn

a

i

1n

n

b

au aceeai natur. Dar 1

nn

b

=1

1

n n

este seria armonic (=1), deci divergent, ca urmare i 1

nn

a

este divergent.

b) Termenul general al seriei este 2

1

3

4

n

n n n

n lnna

n e

, n1 care mai poate fi scris:

2 23 1 13 3 3 3 3

444 4

4 44 4

nnn n n n

n nnn

nn

n lnn n lnn

an en e

Se alege 3

4

n

nb

i astfel l= nn n

alim

b=

2

13 3

44 4

n n

nn

n

n lnn

limn e

=1

4(0, ) de unde rezult,

aplicnd criteriul comparaiei (III), c seriile 1

nn

a

i

1n

n

b

au aceeai natur. Dar

14

1n

n

b

=1

3

4

n

n

este serie geometric cu r=3

4(0,1), deci convergent, ca urmare i

1n

n

a

este convergent.

4) a) Termenul general al seriei este

12

2

2 1

3 2

n

n

na

n

, n1. Calculnd n nnlim a

obinem

l= n nnlim a

=

12

2

2 1

3 2

n

n

n

nlim

n

=

2 2

2 2

2 1 2 1

3 2 3 2n

n

n nlim

n n

=

2

3

15

c) Termenul general al seriei este 22

n na n arctg

>0, n1. Ca urmare, putem scrie

l= 1n

n n

alim

a

=

21

2

12

2

n

n

n

( n ) arctglim

n arctg

=

1

1

2 1

2

22

1 2

22

2

n

n

n

n

n

n

n

arctg

( n )lim

n arctg

=1

20, n1. Dac s-ar

studia seria cu criteriul raportului, s-ar obine

1n

n n

alim

a

=

1

1

1

2 1

2

2 1

2

n

knn

k

k

klim

k

k

=2 1 1

2 1n

( n )lim

( n )

=

2 1

2 2n

nlim

n

=1, deci criteriul raportului este

neconcludent.

Cum s-a precizat anterior se ncearc aplicarea criteriului Raabe-Duhamel:

l =1

1n

n n

alim n

a

=

2 21

2 1n

nlim n

n

=

2 1n

nlim

n =

1

2

16

l =1

1n

n n

alim n

a

=

1

1

11

1

q

q qn

( n )lim n

n ( p )n

=

1 1

1

1 1

1

q q q

q qn

n(( n ) n ( p )n )lim

n ( p )n

=

=1 1

1

1 1

1

q q q

q qn

n(( n ) n ( p )n )lim

n ( p )n

=

=

10 1 1 11 1 1 1

1

1

1

q qq q q qq q q q

q qn

n(C n C n ... C n C n ( p )n )lim

n ( p )n

=

=

11 1

1

1 1

1

q qq qq q

q qn

n(( q )n ... C n C ( p )n )lim

n ( p )n

=

=

11 21 1

1 1

q qqq q

q qn

( q p )n ... C n C nlim

n ( p )n

=q-p

Din condiiile p, qN*, qp+1 se deduce apariia a dou cazuri:

q-p>1 l>1 deci seria este convergent;

q-p

17

II) n+1=1

2n 1,

deci seria este divergent. In concluzie seria nu este nici absolut convergent, nici

convergent.

18

Teorema 1 (Abel)

Fie o serie de puteri 0

nn

n

a x

. Exist R0, finit sau +, numit raz de convergen, astfel

nct:

1) 0

nn

n

a x

este absolut convergent pe (-R, R);

2) 0

nn

n

a x

este uniform convergent pe [-r, r], r(0, R);

3) 0

nn

n

a x

este divergent pe (-, -R)(R, ).

Observaii

Dac Dc= {aA0

nn

n

a x

este convergent n x=a} este domeniul de convergen al

seriei de puteri 0

nn

n

a x

, atunci din teorema lui Abel se deduce c (-R, R)Dc [-R, R].

Convergena seriei de puteri pentru x=R se studiaz folosind criterii de convergen ale

seriilor numerice (seria numeric obinut poate fi convergent sau divergent) .

In seciunea urmtoare se precizeaz formulele pe baza crora se poate calcula raza de

convergen a unei serii de puteri. Rezultatul principal n acest sens este Teorema Cauchy-

Hadammard:

Teorema 2 (Cauchy-Hadammard)

Fie seria de puteri 0

nn

n

a x

i R raza sa de convergen. Dac = n nnlim sup a

[0, ]

exist, atunci R=

1 (0, )

0,

0

,

,

.

Observaii

19

1) In teorema anterioar n nnlim sup a

este limita superioar a irului n na (prin definiie

nnlim sup x

= { }kn

inf sup x k n

N

, adic cel mai mare punct limit al irului 1n n

x

). De

remarcat c dac n nnlim a

exist, atunci n nnlim sup a

= n nnlim a

.

2) Este uor de observat c dac 1n

n n

alim

a

exist, atunci se poate calcula i cu formula

= 1n

n n

alim

a

.

Test de autoevaluare 3

1) S se determine domeniul de convergen al urmtoarelor serii de puteri:

a) 1

n n

n

n x

; b)

0

1 n

n

xn!

; c) 0

1(-2 1)

2 3n

nn

x( n )

.

2) S se determine seria MacLaurin asociat funciei f:RR, f(x)=ex i domeniul de

covergen al acesteia. S se studieze domeniul pe care este valabil dezvoltarea n serie

Maclaurin a lui f.


1) a) Avem o serie de puteri cu an=nn, n1. Calculm = n n

nlim a

=nlim n

= deci R=0. Din

teorema Abel deducem c seria de puteri este divergent pe (-, 0)( 0, ). Pe de alt parte,

ntr-o observaie anterioar s-a precizat c 0 Dc. In concluzie Dc={0}.

b) n acest caz an=1

n!, n0. Calculm = 1n

n n

alim

a

=

1

1

1n

( n )!lim

n!

=

1

1nlim

n =0, deci R=.

Din teorema Abel deducem c seria de puteri este absolut convergent pe (-, )=R, astfel c

Dc= R.

c) Dac notm (2x+1)=y atunci seria de funcii devine

0

1(-2 1)

2 3n

nn

x( n )

=0

1

2 3n

nn

y( n )

, cu an=

1

2 3n( n ), n0.

20

Atunci = 1n

n n

alim

a

=

1

1

2 4

1

2 3

n

n

n

( n )lim

( n )

=3

2 4n

nlim

( n )

=

1

2 R=2.

Din teorema Abel deducem c seria de puteri 0

nn

n

a y

este absolut convergent pe (-2, 2) i

divergent pe (-, -2)(2, ).

Pentru y=2 avem 0

nn

n

a y

=0

12

2 3n

nn ( n )

=

0

1

3n n

care este divergent (are aceeai

natur, folosind criteriul de comparaie (III), cu seria armonic 1

1

n n

).

Pentru y=-2 obinem 0

nn

n

a y

=0

12

2 3n

nn

( )( n )

=0

11

3n

n

( )n

care este o serie

alternat cu bn=1

3n >0, n0. Se verific uor ipotezele criteriului Leibniz:

I) nnlim b

=1

3nlim

n =0

II) bn+1=1

4n t0) = = 0,02

Atunci din tabelele repartiiei Student, la 9 g. 1. i la probabilitatea 0,02, gsim t0 = 2,821.

Pentru aflarea intervalului trebuie calculate media i dispersia de selecie din tabelul:

Xi Xi _ X (Xi _ X )2

3,1 0 0

3,3 0,2 0,04

2,9 _0,2 0,04

3,3 0,2 0,4

3,1 0 0

3,2 0,1 0,01

2,9 _0,2 0.04

2,9 _0,2 0,04

3,1 0 0

3,2 0,1 0,01

Deci

3,1 - 2,821 10

15,0 < m < 3,1 + 2,821

10

15,0

sau

m (2,96 ; 3,24)

X =

n

iiX

n 1

1 =

10

31 = 3,1

s2 =

n

ii

XXn 1

2)(1

1=

9

22,0= 0,0244

s = 0244,0 0,15

39

Teste de autoevaluare

Fie X o variabil aleatoare continu, avnd densitatea de repartiie:

0,0,0

0,);(,:

24

3

96

x

xexfRRf

xx

.

)a S se estimeze parametrul prin ambele metode de estimare punctual, utiliznd o

selecie de volum n .

)b S se arate c estimatorul obinut este absolut corect i eficient.

Rspunsuri i comentarii la testele de autoevaluare

)a Metoda momentelor

Etapa 1) Considerm o selecie de volum n : nXXX ,.....,, 21 .

Etapa 2) Rezolvm ecuaia: XXMMXM 11 . (1)

0

4

96

1

096

02

4

2

4

3

0)( dxexdxexdxxdxxxfXMxxx

;

facem schimbarea de variabil dtdxtxtx

2;22

i obinem:

8!4.52233

0

4

30

4

96

14

dtetdtetXM tt .

Ecuaia (1) devine: X8 i prin urmare estimatorul parametrului obinut prin metoda

momentelor este 8

X , iar estimaia este 8

x .

b) Metoda verosimilitii maxime

Etapa 1) Considerm o selecie de volum n : nXXX ,.....,, 21 , cu valorile de

selcie nxxx ,.....,, 21 .

Etapa 2) Construim funcia de verosimilitate:

n

j

xn

jjn

jxj exfxxxP

196

121

24

3

;;,...,,

2

1

24

3

2

2

4

3

22

1

4

3

1

4

321

969696 96

........

n

j

jx

nxn

xx

exxx

eeennnxxx

Etapa 3) Logaritmm funcia de verosimilitate:

40

2

1

4

321

212196

...ln;,...,,ln;,...,,

n

j

jx

exxx

xxxPxxxLnnn

nn

2

1

4321

12

1

ln496lnln3lnln96ln...ln

n

jj

n

j

jx

xn

jj

nnn nnxexxx

Etapa 4) Rezolvm ecuaia:

0800;,...,,

12

4212

1

n

jj

xnn xn

xxxLn

jj

i obinem c estimaia de maxim verosimilitate a parametrului este 88

1 xn

xn

jj

,

iar estimatorul de maxim verosimilitate este 8

. X .

Etapa 5) Verificm faptul c estimaia gsit asigur maximul funciei de verosimilitate.

04

;,...,,232

8

3

1

2

256512644

2

212

xxx

xnn xnn

xxxL

x

n

jj

, prin urmare

8 x

este punct de maxim al funciei de verosimilitate.

)b Verificm condiiile din definiia estimatorului absolut corect:

1)

n

jjn

n

jjn

X XMXMXMMM1

8

1

1

1

8

1

8

1

8

nXMn

n

jn

n

jn

8881

181

181 . Am obinut c M .

2)

n

jjn

n

jjn

X XDXDXDDD1

2

641

1

126412

641

822

2

n

XD

n

n

jn

XnDXD64

2

641

1

2

641

2

22

0

5

96

1

096

20

2222

4

2

4

3

0)( dxexdxexdxxdxxfxXMxxx

;

cu schimbarea de variabil dtdxtxtx

2;22

obinem:

23

23

2

0

5

32

0

5

9612 80!5.622

222

4

dtetdtetXM tt

41

222222 166480)()()( XMXMXD .

Revenind, gsim c nnn

XDD

464

16

64

2 222

. Rezult c 0limlim4

2 2 nnn

D .

Din 1) i 2) rezult c estimatorul este absolut corect.

Date post:	07-Oct-2015
Category:	Documents
Upload:	alex-ionescu
View:	6 times
Download:	0 times

mate 1

Documents