ILEA MIHAI

SPECIALIZAREA: BIOTEHNOLOGII MEDICALE AVANSATE

FORMA DE INVATAMANT: MASTER, ZI

Modelarea, simularea şi optimizarea bioproceselor

NOTE LP

IASI 2010

1.Bioreactoare

Principalul scop al biotehnologiei este obţinerea de produse sau servicii utile activităţii

umane, cu ajutorul organismelor vii.Procesul de bază în biotehnologie este „procesul

biologic", după cum procesul de bază în tehnologia chimică este „procesul chimic". Spaţiul în

care se desfăşoară o reacţie sau un proces chimic se numeşte „reactor chimic". In mod

asemănător, spaţiul în care se desfăşoară un proces biologic se numeşte bioreactor.

'Deşi procesul de bază din tehnologia de biosinteză este „procesul biologic", el

aparţine, totuşi, domeniului ingineriei biochimice, care se ocupă de studiul proceselor de

fermentaţie aerobă şi anaerobă, al reacţiilor enzimatice, precum şi de procese specifice

industriei fermentative, cum ar fi: sterilizarea, . pasteurizarea, liofilizarea, uscarea prin

atomizare, izolarea şi purificarea produselor extrase din mediile biologice.

Descoperirile succesive şi dezvoltarea spectaculoasă a biotehnologiei au favorizat atât

studiul aprofundat al proceselor implicate, cât şi al aparaturii utilizate, în principal, al

bioreactoarelor. S-a născut astfel „bioingineria", care studiază bioprocesele sub toate aspectele

(modul de desfăşurare, cinetică, transfer de masă şi căldură), oferind soluţii de optimizare a

procesului biotehnologie.

În bioreactor, transformarea materiilor prime este realizată de sistemul enzimatic al

microorganismelor vii, al celulelor animale şi vegetale sau de enzimele izolate din acestea.

Reuşita experimentului biotehnologie depinde în cea mai mare măsură de condiţiile optime de

creştere a microorganismelor create în bioreactor. Celulele se luptă continuu cu modificările

din mediul înconjurător, astfel încât să obţină şi să-şi menţină condiţiile optime de creştere.

într-un bioreactor, această tendinţă a celulelor este asistată, este controlată în mod continuu.

Reactorul trebuie să asigure aprovizionarea continuă a celulelor cu mijloacele necesare

creşterii sau producerii de metaboliţi, asigurând pe cât este posibil valorile optime pentru pH,

temperatură, concentraţia substratului, concentraţiile în săruri minerale, factorii de creştere şi

pentru concentraţia în oxigen.

În legătură cu reactorul în care trebuie să aibă loc procesul biologic sau biochimic,

apar următoarele probleme importante:

care este cel mai bun reactor pentru o transformare biochimică dată;

cum se calculează mărimea şi volumul interior util, alte elemente constructive al

bioreactorului;

2. Metodologie de obţinere a modelelor unor clase de sisteme

biologice

Din punct de vedere sistemic, procesele biotehnologice şi sistemele biologice

(denumite generic biosisteme) au un pronunţat caracter neliniar. Deşi, în ceea ce priveşte

elaborarea unor clase de modele şi a unor sisteme de identificare şi conducere s-au făcut

progrese remarcabile, dezvoltarea şi implementarea unor metode moderne de conducere este

mai lentă în comparaţie cu alte domenii, în primul rând datorităfaptului că modelarea

biosistemelor este deosebit de dificilă.

Aceste sisteme sunt organisme vii sau conţin microorganisme vii şi prin urmare

dinamicile de creştere, transport şi propagare sunt greu de înţeles, neliniare şi cu întârzieri

(uneori variabile în timp). În al doilea rând, aplicarea unor strategii de monitorizare şi

conducere se confruntă în majoritatea cazurilor cu absenţa unei instrumentaţii

specifice, sigure şi ieftine, destinate măsurării directe şi/sau monitorizării în timp real a unor

variabile biologice şi biochimice.

2.1Obţinerea de modele ale bioproceselor cu propagare şi recirculare

Modelul general de stare a fost obţinut considerând că reacţiile care se desfăşoară în

bioreactor au loc în aceleaşi condiţii, adică mediul de cultură este omogen, fără gradienţi de

temperatură, concentraţie, pH sau viteză de reacţie. Prin urmare reactorul este cu amestec

perfect şi regimul dinamic a putut fi descris prin ecuaţii diferenţiale ordinare. Bioreactoarele

cu amestec imperfect sunt caracterizate de gradienţi diferiţi de concentraţie, viteză de reacţie

etc. şi dinamicile sunt descrise prin ecuaţii cu derivate parţiale

Sistemele cu propagare fac parte din categoria mai largă a sistemelor cu parametri

distribuiţi . Pentru obţinerea unor modele utile în conducere, o metodă constă în aproximarea

modelelor infinit dimensionale prin unele de ordin redus descrise prin ecuaţii cu parametri

concentraţi, scrise în anumite puncte plasate de-a lungul reactorului. O metodă de alegere a

acestor puncte o constituie colocarea ortogonală, în cadrul căreia punctele de discretizare

spaţială corespund rădăcinilor unor polinoame ortogonale de tip Jacobi sau Legendre. Metoda

oferă avantaje legate de uşurinţa implementării ei şi de faptul că natura şi dimensiunea

variabilelor de stare rămân neschimbate după reducere. După deducerea unui model dinamic

general al bioreactoarelor cu strat fix, descris prin ecuaţii diferenţiale cu 5 derivate parţiale,

utilizând colocarea ortogonală, se prezintă modul de reducere la un model descris prin ecuaţii

diferenţiale ordinare. Prin numeroase experimente realizate prin simulare, efectuate pe un

bioreactor cu strat fix, s-a constatat că sistemul de ordin redus, utilizând metoda prezentată,

realizează cea mai bună aproximare a sistemului exact şi poate fi utilizat în proiectarea unor

algoritmi de conducere.

În numeroase aplicaţii industriale, bioreactoarele refolosesc o parte din biomasă prin

recircularea acesteia. Pentru aceasta, biomasa trebuie separată de substraturi şi de produşii de

sinteză în separatoare speciale, apoi este transportată de la separatoare înapoi în reactorul

principal. Timpul de transport determină apariţia întârzierilor şi complică dinamicile

procesului. Avantajele recirculării sunt legate de creşterea productivităţii şi de reducerea

costurilor. Un exemplu de astfel de bioproces este cel de tratare a apelor reziduale de tip

noroi activat.

2.2Modelarea proceselor de depoluare biotehnologice din staţiile de

tratare şi epurare a apei

Utilizarea metodelor moderne pentru conducerea proceselor de depoluare este încă

destul de redusă . În comunitatea ştiinţifică există o preocupare majoră privind modelarea şi

conducerea bioproceselor de depoluare. Printre cele mai utilizate proceduri biotehnologice de

depoluare a apelor reziduale se numără bioprocesul de tip noroi activat şi bioprocesul de

descompunere anaerobă cu producere de gaz metan, analizate pe larg într-o serie de lucrări

elaborate în cadrul grantului .

Bioprocesul de descompunere anaerobă cu producere de gaz metan este un proces

biotehnologic de mare importanţă folosit pentru tratarea resturilor organice şi a apelor

reziduale. Tipul procesului este de fermentaţie anaerobă şi constă în patru faze metabolice:

două pentru producerea de acizi şi două pentru metanizare . Schema de reacţie a procesului

este complexă şi cuprinde m = 4 reacţii şi n = 10 componente. Modelul dinamic asociat

schemei de reacţie se încadrează în clasa reprezentată de modelul general (11). Acest model

(de ordin zece) poate fi simplificat utilizând tehnica perturbaţiilor singulare şi prin luarea în

consideraţie a unor aspecte tehnologice.

Procesul noroiului activat este un bioproces aerobic de tratare a apelor reziduale în

staţiile de epurare, care se desfăşoară în bioreactoare cu recirculare. Uzual, procesul se

desfăşoară în două reactoare secvenţiale Procesul poate fi descris astfel:

1) Degradarea biologică a produselor poluante se realizează în primul reactor

(aerator).

2) Sedimentarea noroiului ce conţine biomasa are loc în cel de-al doilea reactor

(settler), unde lichidul este decantat (limpezit). Acest proces poate fi modelat cu două tancuri

reactoare cu amestec perfect, interconectate, unde unul dintre reactoare conţine apa "curată",

iar celălalt conţine noroiul sedimentat (biomasa concentrată). O parte a biomasei concentrate

din separator este retrimisă în aerator.

Modelul matematic al bioprocesului noroiului activat se obţine prin utilizarea schemei

de reacţie şi prin aplicarea ecuaţiilor de bilanţ masic . Modelul dinamic astfel obţinut se

încadrează în clasa generală (11) şi poate fi redus prin aplicarea teoriei perturbaţiilor

singulare.

2.3Metode Bond Graph de modelare a unor clase de bioprocese

neliniare

Din punct de vedere al tehnicilor de obţinere şi prelucrare a modelelor, deosebit de

interesantă este modelarea Bond Graph , cu aplicaţii mai vechi la sisteme biologice, dar

nedezvoltată încă suficient pentru bioprocese. Conceptul Bond Graph a fost introdus în anii

„60 de către H. M. Paynter şi dezvoltat în următoarele decenii, metoda fiind intens folosită în

analiza şi proiectarea sistemelor de diferite naturi - electrice, mecanice, hidraulice şi

combinaţii ale acestora - şi adaptată şi pentru studiul sistemelor chimice, termice , biologice,

biochimice, biomedicale şi biotehnologice .

În procesul de modelare a bioproceselor a fost folosită o alternativă a metodei Bond

Graph - pseudo Bond Graph-ul, caracterizat prin aceea că produsul variabilelor efort şi flux

asociate unei legături nu mai are dimensiunea unei puteri - adaptată particularităţilor

reacţiilor biochimice, păstrându-se atât caracteristica unitară de modelare cât şi avantajele

metodologiei de bază; proprietăţile clasice (clasificarea în elemente R, C şi I, afectarea

cauzalităţii, convenţia de semne) ale unui Bond Graph real rămân valabile pentru un pseudo

Bond Graph. Pentru exemplificare s-a ales modelarea procesului de fermentaţie

anaerobă de tratare a resturilor organice din apele reziduale.Modelul s-a obţinut pornind de

la schema de reacţie şi prin analiza fenomenelor din interiorul reactorului

Direcţia semisăgeţilor în model corespunde sensului reacţiei, de la reactanţi către

produşii de reacţie, iar bilanţurile masice ale componentelor sunt reprezentate prin cinci

joncţiuni 0. Acumularea componentelor în reactor este reprezentată prin bondurile 2, 9, 13, 21

şi 24 şi este modelată cu ajutorul elementelor capacitive C, cantităţile de substanţă ce nu

reacţionează sunt modelate prin elemente rezistive R (bondurile 3, 10, 14, 20 şi 25), iar

debitul masic al componentei ce intră în reacţie este modelat prin intermediul unei surse de

flux Sf. Pentru modelarea vitezelor de reacţie s-au folosit două elemente rezistive modulate

MR6 şi MR17.

Cercetările desfăşurate în cadrul proiectului au condus la obţinerea în premieră a unor

modele Bond Graph pentru bioprocese desfăşurate în principalele tipuri de bioreactoare

(batch, fed-batch şi continue): atât prototipuri simple, cât şi procese complexe (fermentaţie

anaerobă cu biometanizare - prezentat anterior, procesul de creştere microbiană combinat cu

cataliză enzimatică, procesul de depoluare de tip noroi activ etc.).

2.4 Analiza stabilităţii biosistemelor cu întârziere- abordări bazate pe

interpretări geometrice şi algebrice

O mare parte din modelele utilizate pentru studiul biosistemelor sunt scrise sub forma

unor ecuaţii diferenţiale cu argument întârziat numite şi ecuaţii diferenţiale cu timp mort.

Deşi literatura cu privire la stabilitatea sistemelor dinamice cu argument întârziat este vastă,

există doar două abordări principale:

- Studiul în domeniul frecvenţă - aici sunt incluse: testele analitice care extind metoda

lui Hurwitz la sisteme dinamice cu întârzieri, generalizări ale metodelor de localizare a

rădăcinilor (D-descompunere şi Tdescompunere), teste de stabilitate bazate pe integrarea pe

contur, şi proceduri bazate pe studiul spectrului operatorului asociat sistemului liniar

considerat.

- Studiul în domeniul timp - pot fi menţionate aici generalizări ale metodei a doua a

lui Lyapunov şi metode bazate pe principiul comparaţiei. Deşi principiul comparaţiei a fost

dezvoltat iniţial în domeniul timp, idei similare pot fi găsite şi în domeniul frecvenţă.

Alegerea clasei de sisteme dinamice liniare studiate este motivată de modele existente

în literatura de specialitate Vom propune o metodă uşor de utilizat pentru obţinerea

regiunilor de stabilitate ale sistemelor dinamice din clasa studiată.

Astfel de densităţi au fost folosite în diverse modele pentru o descriere cât mai realistă

a dinamicii unor procese biologice. De exemplu, densitatea prezentată anterior poate

reprezenta distribuţia întârzierilor în procesul de atingere a maturităţii pentru celulele stem

Studiul efectuat se bazează pe o interpretare geometrică a ecuaţiei caracteristice ce

descrie clasa de sisteme dinamice cu întârzieri distribuite considerată. Această

interpretare geometricăpermite obţinerea mulţimii frecvenţelor corespunzătoare punctelor de

trecere a soluţiilor ecuaţiei caracteristice din semiplanul drept al planului complex în cel

stâng sau invers. . Metoda care ne permite să determinăm direcţia în care trec rădăcinile axa

imaginară atunci când traversăm o curbă7de stabilitate, se bazează pe teorema funcţiilor

implicite. Studiul s-a concentrat până acum pe analiza clasei generale de sisteme descrise de

(1) iar în continuare ne propunem aplicarea efectivă a metodologiei pentru studiul unor

modele teoretice de biosisteme. Analiza va fi completată de compararea rezultatelor cu date

concrete provenite de la specialişti în disciplinele aplicate corespunzătoare.

2.5Modelarea mecanismelor de transmisie de la celulă la celulă prin

sisteme cu întârzieri.

Modele hibride bazate pe distribuţii de probabilitate (interacţiuni celule bolnave /

sănătoase, mecanisme imunologice). Un domeniu actual este cel al studiului întârzierilor în

modelele biosistemelor. Fenomene cum ar fi reacţiile cu propagare (bioprocese cu propagare,

inclusiv de depoluare), procesele de transport (reactoare cu recirculare, mecanisme de

respiraţie), fazele intracelulare scurte şi de latenţă (în epidemiologie), propagarea infecţiilor

etc., sunt caracterizate de prezenta întârzierilor, constante sau variabile în timp. O clasă tipică

de biosisteme neliniare cu întârzieri, de mare importanţă în medicină, este cea a modelelor

care descriu mecanismele de transmisie de la celulă la celulă (cell-to-cell spread), prezente de

exemplu în HIV . Neglijarea constrângerilor de timp în procesul de modelare generează

estimarea eronată a numărului de celule bolnave/sănătoase şi reduce eficienţa tratamentului.

Modelarea acestor biosisteme presupune analiza detaliată a dinamicilor, stabilităţii şi

influenţei întârzierilor asupra stabilităţii.

2.6Modele neliniare ale dinamicii populaţiilor – creştere, echilibru,

competiţie

Modelarea biosistemelor presupune un efort interdisciplinar de înţelegere a

conexiunilor complexe dintre structuri sau compartimente însoţite de fenomene de transport,

propagare şi creştere la diverse nivele (substanţă, energie, informaţional) Deşi această

reprezentare este validă în mod natural pentru toate mecanismele de abstractizare, ea se aplică

în mod specific pentru clase de modele care descriu dinamica biosistemelor: creşterea şi

competiţia populaţiilor de microorganisme, mecanisme epidemiologice.

2.7 Modelarea unor bioprocese complexe desfăşurate în

bioreactoare batch şi fed-batch

Bioprocesele se desfăşoară în bioreactoare (reactoare biochimice), care din punct de

vedere fizic sunt recipiente în care au loc mai multe reacţii biologice simultan într-un mediu

de cultură .În funcţie de procesul desfăşurat, bioreactoarele se clasifică în:

1. Bioreactoare închise (batch), care nu au debite de intrare sau de ieşire şi biomasa se

recoltează periodic;

2. Bioreactoare fed-batch, în care se introduce continuu substrat, iar recoltarea

biomasei se face periodic;

3. Bioreactoare continue (în flux). În ultimii ani, numărul proceselor batch şi fed-batch

este în creştere: procese enzimatice, culturi vegetale, procese de depoluare etc. De exemplu, în

domeniul depoluării, reactoarele continue (pentru procese de tip noroi activat) au început să

fie înlocuite cu reactoare batch secvenţiale

Prin utilizarea schemelor de reacţie, a ecuaţiilor de bilanţ masic şi prin aplicarea unor

reguli sistematice de modelare se poate obţine un model dinamic de stare al bioproceselor

3. Notiuni de statistica pentru un proces biochimic

Statistica este asociata cu un anumit tip de prelucrare a informatiilor din lumea înconjuratoare

si anume acel tip de prelucrare care clasifica, centralizeaza informatiile în tabele, si grafice,

grupeaza informatiile, descopera legaturi între ele, descopera eventuale cauzalitati, analizeaza

fenomene complexe. Fenomenele macroeconomice, care cer manipularea si interpretarea unei

cantitati uriase de date sunt deseori explicate prin estimari de natura statistica. Aprecierea

evolutiei unui fenomen biochimic sau social în timp si estimarea modului lui de evolutie în

viitor se face cu ajutorul statisticii. Estimarea consumului anumitor tipuri de alimente,

estimarea modului de evolutie a popularitatii diferitelor personalitati, partide, se realizeaza de

asemeni prin sondaje statistice complexe, elaborate.

Utilitatea statisticii este pusa mai bine în evidenta atunci când trebuie studiate

fenomene complexe în care intervin factori sau marimi care se afla în relatii comp

Daca însa am dori, în mod utopic, sa calculam numarul de leucocite pe care ar trebui

sa la aiba pacientii care sufera de o anumita afectiune având datele generale despre

acea afectiune si folosind cunostintele de fiziologie, biochimie, biofizica, etc, nu vom

avea nici un succes.

Variabilele care ar trebui sa intre în calcul sunt atât de multe si atât de complex depind

unele de altele încât orice încercare de cuprindere în formule matematice este sortita

esecului. În asemenea cazuri, numai abordarea statistica este posibila. Se poate doar,

eventual afirma, ca exista o tendinta (semnificativa din puncte de vedere statistic), ca

numarul de leucocite sa depinda într-o anumita masura de unul sau mai multi factori, si se

pot chiar cuantifica aceste legaturi de dependenta. De aceste probleme se ocupa unul din

capitolele importante ale statisticii, capitol tratat si în aceasta carte, anume teoria corelatiei

lexe ce nu pot fi descrise satisfacator prin ecuatii sau formule, sau prin relatii cantitative de

dependenta.

De fapt, biologia si medicina lucreaza cu concepte, fapte, notiuni, dintre care doar o

mica parte se preteaza la o interpretare determinista, exacta. Chiar daca avem impresia

ca majoritatea afirmatiilor de baza din medicina sunt suficient de clare, lamurite si

întelese, prea putin ne dam seama ca, de fapt, majoritatea lor sunt numai de natura

statistica si ca trebuie bineînteles interpretate ca atare.

.

3.1 Populatii statistice, indivizi statistici

Introducem câteva notiuni specifice cu care opereaza statistica si cu care vom lucra în

capitolele ce urmeaza. Fiind o stinta care nu lucreaza cu fenomene strict deterministe, toate

afirmatiile statisticii se refera nu la evenimente sau obiecte singulare ci sunt deduse prin

observarea unei multimi cât mai cuprinzatoare de obiecte sau fenomene. Desigur, nu se pot

face generalizari pripite din studierea unui caz sau a câtorva cazuri si este destul de clar pentru

oricine ca o generalizare este cu atât mai valoroasa cu cât au fost observate un numar mai

mare de cazuri. Aici însa apare problema de a face o apreciere corecta a numarului de

observatii efectiv realizate, raportat la numarul posibil de observatii.

Daca ne propunem sa facem un studiu asupra unei afectiuni foarte raspândite, cum ar

fi hipertensiunea arteriala esentiala (HTA), concluzii valabile nu se pot trage decât pe baza

unui numar de cazuri de cel putin câteva mii sau zeci de mii, dar în cazul unei maladii rare

cum sunt unele din anomaliile cromozomiale de exemplu, un astfel de numar de cazuri pur si

simplu nu poate fi gasit în aria de cercetare considerata, uneori nici pe întregul glob. Oricum,

în general vorbind, este bine ca, în limita posibilitatilor, studiul sa se faca pe un numar cât mai

mare de indivizi.

Pentru prelucrarea datelor despre pacienti, prin metode statistice, este necesara clarificarea

câtorva principii fara de care este posibil ca munca de introducere a datelor precum si efortul

de prelucrare sa fie irosite în zadar, fie pentru ca odata introduse datele sa constatam ca nu

avem la îndemâna notiunile de baza cu ajutorul carora sa ne ghidam în hatisul de metode, fie

pur si simplu sa constatam ca nu am introdus corect datele si deci o reprelucrare sau, mai rau,

o reintroducere a datelor sa fie necesara.Cea mai generala notiune pe care trebuie sa o

discutam este cea care se refera la totalitatea cazurilor, elementelor, obiectelor care au în

comun trasatura sau proprietatea studiata de noi.

3.2Caracteristici, variabile

Organismul uman, cel mai complex sistem existent în natura, nu poate fi descris exact

nici prin tomuri întregi de descriere în cuvinte si nici prin numre oricât de multe am folosi.

Omul este capabil sa descrie numai anumite trasaturi sau proprietati ale organismului sau.

Trebuie sa fim constienti ca desi numarul de trasaturi ale organismului pe care le studiaza

anatomia, biochimia, biofizica, fiziologia si toate celelalte discipline este enorm, niciodata nu

vom fi capabili sa descriem exact organismul uman, caci numarul de trasaturi de care am avea

nevoie este practic infinit. Trasaturile sau proprietatile organismului uman sunt denumite în

statistica caracteristici si sunt cuprinse în categoria generala de date,.

Numim caracteristica o proprietate comuna tuturor indivizilor dintr-o populatie statistica

data.Caracteristicile sunt ceea ce în limbajul obisnuit întelegem prin atribut, calitate. Din

punctul de vedere al statisticii medicale, caracteristicile sunt de doua tipuri

fundamentale: cantitative si calitative.

Caracteristicile cantitative sunt acelea care prin natura lor sunt masurabile, adica

pentru care exista unitati de masura si o conventie de masurare general acceptata. În

aceasta categorie intra toate constantele fiziologice, biochimice, biofizice, unele

anatomice, care în general pot fi determinate prin masuratori uzuale sau de laborator:

înaltime, greutate, vârsta, glicemie, calcemie, hemoglobina, numar eritrocite, forta

musculara, viteza de reactie, nivel de inteligenta (QI), dar si marimile referitoare la

celule, organite, sinapse, vezicule, membrane, etc. Ele sunt totdeauna exprimate cifric

într-un mod precis, obiectiv.

Caracteristicile calitative, sunt cele care nu pot fi masurate prin metode obiective,

cantitative, ci se exprima descriptiv prin termeni calitativi: culoare, forma, consistenta,

aspect, etc. Caracteristicile calitative nu au o unitate de masura general acceptata si

deci nu pot fi exprimate cifric, ca rezultat al unor masuratori. Ele sunt adesea

subiective si de obicei exprimate analogic si nu numeric.

Caracteristicile cantitative sunt si ele subîmpartite în doua categorii fundamentale:

Daca masuratorile pot da orice numar cuprins între doua limite date, zecimal sau nu,

caracteristica respectiva este o caracteristica continua.

Daca însa valorile nu pot fi decât în numar finit, de obicei întreg, caracteristica se

numeste discreta.

3.3 Variabilitate

Medicina este stiinta care trebuie sa puna ordine într-un ocean de variabilitate. Cauzele

care conduc la date de o variabilitate mai mica sau mai mare sunt atât obiective cât si

subiective. Variabilitatea contine atât variatiile biologice normale si patologice cât si

variatiile datorate procesului de masurare si variatii întâmplatoare carora nu li se pot da

explicatii logice.

Variatia biologica este o suma de factori necunoscuti care contribuie fiecare cu mici

efecte aleatoare la valori mai mici sau mai mari. Sunt nesistematice, adica variatiile sunt în

plus sau în minus, întâmplatoare atât ca semn cât si ca amplitudine.

Variatia asociata cu conditiile de observare apare atunci când masuratorile se fac

în conditii despre care se stie ca afecteaza rezultatele. De obicei sunt sistematice, afectând

majoritar în plus sau majoritar în minus.

Variatia datorata masuratorilor, sau erorile de masuratoare sunt datorate numai

procesului de masurare în sine si pot fi aleatorii sau sistematice. Cele aleatorii sunt erori

inerente datorate preciziei limitate de observare a celui care masoara sau preciziei limitate a

aparatului de masura. Cele sistematice apar daca aparatul de masura este prost calibrat sau

experimentatorul are tendinta de a face citiri de obicei în minus sau de obicei în plus.

Variatiile întâmplatoare, fac ca observatiile sa fie centrate pe media reala, în timp ce

variatiile sistematice fac ca observatiile sa fie centrate fie pe valori mai mari, fie pe valori

mai mici decât media reala. În timp ce variatiile biologice sunt de neocolit, obiective,

celelalte tipuri de variabilitate enumerate mai sus sunt considerate ca factori care perturba

procesul de observare si care trebuie pe cât posibil minimizate. Pentru aceasta se folosesc în

medicina aparate si metode de masurare din ce în ce mai perfectionate care sa micsoreze cât

mai mult erorile.

3.4Tabele de frecventa

Datele culese si înregistrate pot contine informatii despre diversi parametri care au

fost urmarite fie din necesitatea de a face un studiu anume fie, pur si simplu pentru ca

urmarirea lor are importanta pentru indivizii la care au fost masurate sau pentru cel care

face studiul, adica pentru medic. La fiecare individ s-au înregistrat poate mai multi

parametri care sunt în anumite relatii de dependenta unii cu altii, fiecare dintre ei

participând într-o anumita masura la edificarea specialistului atât în ceea ce priveste

situatia individuala a pacientilor cât si a întregului lot. Tabelele din care este alcatuita o

baza de date contin datele nesistematizate, ele urmeaza de obicei o ordine aleatorie, sau

sunt ordonate dupa un criteriu cum ar fi cel alfabetic, sau în ordinea codurilor.

3.5 Înregistrarea datelor

Pâna la aparitia calculatoarelor moderne s-a obisnuit ca informatiile din domeniul

biochimiei sa fie pastrate în general în fisele cercetatorilor de diferite tipuri care sunt destul

de greu de mânuit, în special atunci când este nevoie sa se realizeze o cercetare a situatiei pe o

perioada mai îndelungata de timp. Calculatoarele ofera posibilitatea înregistrarii facile a

informatiei si, avantaj esential, accesul la informatie este foarte rapid iar prelucrarea datelor

poate fi deosebit de complexa. Este foarte important ca fiecare biochimist sa înregistreze

toate datele semnificative despre pacientii sai fiindca acest lucru usureaza în mod evident

activitatea de zi cu zi si modul în care acestia sunt observati si tratati. De fapt, înregistrarea

datelor are un caracter continuu, iar prelucrarea lor se poate face permanent, pe masura ce

datele se acumuleaza, de obicei concluzii interesante si valide aparând doar dupa luni sau

chiar ani de înregistrari. Astfel, se pot naste ipoteze de lucru care mai apoi pot fi testate prin

metode statistice elaborate si se poate verifica veridicitatea lor.Datele se înregistreaza pe

calculator în tabele primare, sa le numim tabele de date, sau tabele de pacienti, care pot fi

legate între ele prin natura datelor pe care le contin si se constituie în asa-numitele baze de

date. Prelucrarile statistice de baza pot fi facute prin înregistrarea datelor în tabele simple, de

aceea vom discuta în continuare despre date tabelate.

4. Informaţia Analitică a bioproceselor

Se vorbeşte de o analiză chimică atunci când activitatea depusă, de o persoană, grup

sau organizaţie, are drept rezultat cel puţin o caracteristică chimică calitativă (adică o

proprietate ce indică prezenţa sau absenţa unei specii chimice) sau cel puţin o cifră care

indicăun conţinut dintr-o specie sau material dat. Ansamblul de operaţii şi măsurători, plus

condiţiile experimentale, menite să dea, măcar în parte, compoziţia fizico-chimică a unei

"probe" din material, produs sau ţesut biologic, convenim să-l numim sistem analitic.

Supunând un material (numit probă) operaţiilor unui sistem analitic, consumând reactivi şi

materiale auxiliare (de exemplu detergenţi), energie şi manoperă (lucrul efectiv), se obţine

răspuns la una din întrebările:

Este prezentă specia (caracteristica) X în probă?

În ce cantitate este prezentă specia X?

A răspunde doar la întrebarea (a) înseamnă a face o analiză chimică calitativă

iar a răspunde la întrebarea (b) înseamnă a executa o analiză chimică

cantitativă.

A răspunde la ambele întrebări pentru toate speciile cunoscute constituie

analiza completă.

Dacă se urmăreşte evoluţia unei anumite mărimi analitice, în timp, spunem că

se realizează monitorizare a acesteia. Deci, numim monitorizarea factorilor

poluanţi, măsurarea periodică, la intervale predeterminate de timp, a

concentraţiei unuia dintre factorii poluanţi ai mediului

Schematic, un proces prin care se obţin analize chimice are o structură asemănătoare

cu un flux tehnologic şi convenim să-l numim de aceea flux analitic. Se remarcă faptul că

rezultatul unui astfel de flux este o informaţie, adică un rezultat însoţit de o eroare

4.1 Analiza calitativă şi cantitativă in bioprocese

În trecut, rezultatele analizelor în medicină erau obţinute în mod calitativ, de aceea,

majoritatea diagnosticelor erau bazate pe simptoame şi/sau examinările cu raze X, deşi era

cunoscut faptul că multe boli fiziologice erau însoţite de schimbări chimice în lichidele

metabolice . Uneori erau utilizate teste pentru a detecta componenţii normali sau anormali în

diferite probe recoltate pentru analiză. Aceste teste în procedee prin intermediul cărora a

devenit posibilă determinarea cantitativă a componenţilor incluşi Pe măsură ce precizia a

crescut şi au fost stabilite proporţiile normale, a devenit clar că rezultatele de laborator au

putut fi folosite în scopul precizării diagnosticelor . În prezent, pentru examinarea medicală

generală a unui bolnav sau pentru a diagnostica un ansamblu specific de simptoame este

nevoie de o serie de analize cantitative ale unor probe recoltate din corpul omenesc. În viitor,

astfel de probe se estimează că vor deveni din ce în ce mai numeroase, iar rezultatele

analizelor vor putea fi la îndemâna medicului, jucând un rol esenţial la stabilirea

diagnosticului. În ultimul timp, peste douămiliarde de probe sunt executate anual în

laboratoarele clinicilor medicale şi acest număr creşte mereu. Majoritatea acestor teste includ

determinarea glucozei, ureei, proteinelor, sodiului, calciului, HCO3-/H2CO3, acidului uric şi

pH-ului .

4.2 Procedeul analitic şi alegerea unei metode de analiză

Prima etapă în realizarea unui procedeu analitic o constituie stabilirea obiectivului

care se urmăreşte. Numai identificând clar scopul propus, se poate imagina o cale logică care

să conducă la rezolvarea corectă a problemei Se pot pune mai multe întrebări.

De exemplu: Ce fel de probă este: organică sau anorganică? Ce informaţie se caută?

Care este precizia cerută? Este o probă mare sau una mică? Componenţii de interes sunt

majoritari în probă sau sunt constituenţii minori? Ce obstacole există? Câte probe trebuie să

fie analizate? Există echipament şi personal corespunzător? O importantă sarcină care-i

revine analistului este de a alege o metodă analitică care să conducă la cea mai bună rezolvare

a scopului urmărit. Există cazuri în care libertatea de alegere este limitată; analizele privind

apa sau produsele farmaceutice trebuie să fie efectuate prin procedee aprobate de standardele

legale . Odată ce este definit obiectivul analizei, trebuie ca la alegerea metodei de analiză să

se precizeze o serie de factori cum sunt: domeniul de concentraţie, precizia şi sensibilitatea

cerute, selectivitatea şi rapiditatea

A. Exactitatea

Este măsura încrederii acordată măsurătorii efectuate cu un mijloc de măsură. Aceasta

se referă la sistemul analitic, în ansamblu, indiferent de locul şi timpul măsurătorii. Exactitate

a se măsoară folosind un material (substanţă) zis etalon - în care încrederea este deplină.

Diferenţa dintre valoarea adevărată, adică aceea recunoscută unanim, şi cea măsurată o

denumim eroare. Este esenţial ca etalonul să fie recunoscut de toate laboratoarele interesate.

Exactitatea este măsurată şi de corelaţia ce există între un standard şi o probă, la măsurători

repetate. În acelaşi timp, exactitatea estimează posibilitatea de apariţie a erorilor sistematice.

B. Precizia

Gruparea analizelor individuale în jurul valorii medii se evaluează prin precizie. Schiţa de mai

jos ne permite să caracterizăm două trageri la ţintă, una precisă şi alta imprecisă Noţiunea de

precizie este sinonimă cu aceea de reproductibilitate şi se exprimă tot în procente utilizând

abaterea standard a mediei de selecţie.

C.Selectivitatea

Selectivitatea sau specificitatea este măsura în care rezultatul unei analize este

influenţat de prezenţa unui alt component. De exemplu, pentru identificarea ionului Ni

2+ avem la dispoziţie un reactiv numit dimetilglioximă, ce nu reacţionează cu nici un alt ion.

Spunem că aceasta este o reacţie specifică (şi deci metoda este selectivă). Cu alte cuvinte

analiza nu este influenţată de concentraţiile altor ioni aflaţi în aceeaşi soluţie. Selectivitatea

indică, prin valoarea sa, interferenţa altor ioni (sau, mai general, a altor specii chimice).

D.Rapiditatea

Se măsoară în unităţi de timp per analiză iar costul la preţul unei analize incluzând:

materialele, manopera, chiria laboratorului, amortizarea aparatelor (uzura mijloacelor fixe),

costurile reactivilor folosiţi, energia şi apa.

4.3. Tipuri de metode analitice pentru bioprocese

Metodele analitice de pot clasifica pe tipul şi starea fizică a probei, scopul analizei,

mărimea probei sau după tipul metodei analitice. După acest din urmă criteriu, metodele

analitice se împart în metode chimice şi metode instrumentale. Metodele chimice se

bazează pe diferite operaţii chimice folosind sticlăria uzuală de laborator formată din aparate

simple. În general în aceste metode se măsoară masa sau volumul. Metodele instrumentale

implică utilizarea unui echipament complex, bazat pe principii electronice, optice sau termice.

În aceste cazuri, se măsoară diferite proprietăţi corelate cu compoziţia probei. Cele mai bune

rezultate se obţin prin cuplarea tehnicilor chimice cu cele instrumentale Fiecare categorie de

metode prezintă avantaje şi dezavantaje, şi alegerea metodei sau complexului de metode

trebuie să se facă minimizând interferenţa dezavantajelor şi maximizând influenţa avantajelor

asupra cerinţelor concrete ale analizei de efectuat. Avantajele metodelor instrumentale:

determinarea este foarte rapidă; pot fi utilizate probe mici; pot fi cercetare probe complexe;

prezintă o sensibilitate ridicată; dau un grad mare de siguranţă rezultatelor măsurătorilor.

Avantajele metodelor chimice: procedeele sunt simple şi precise; metodele se bazeazăîn

general pe măsurători absolute; echipamentul necesar nu este scump. Din prezentarea

avantajelor, nu trebuie să se tragă concluzia că metodele instrumentale le-au înlocuit pe cele

chimice. În practică, metodele chimice constituie parte integrantă dintr-o metodă

instrumentală. Astfel, în orice analiză există etape ca: prelevarea probelor; dizolvarea;

schimbări în starea de oxidare; îndepărtarea excesului de reactiv; ajustarea pH-ului; adăugarea

de agenţi de complexare; precipitarea; concentrarea; îndepărtarea impurităţilor. Unele dintre

aceste metode implică utilizarea metodelor de separare. Dezavantajele metodelor chimice:

uneori lipseşte specificitatea; realizarea unei analize ia de obicei un timp destul de lung;

precizia scade odată cu micşorarea cantităţilor de probă(măsurători absolute); sunt lipsite de

flexibilitate; sunt poluante pentru mediul înconjurător. Dezavantajele metodelor

instrumentale: este necesară o etalonare iniţială sau continuăa aparatului; sensibilitatea şi

precizia depind de aparatura sau metoda chimică de etalonare; precizia finală se află adesea în

domeniul ±5%; costul iniţial şi pentru întreţinerea echipamentului este ridicat; intervalul de

concentraţie este limitat (măsurători relative); în mod obişnuit, necesită spaţiu destul de mare;

implică un personal cu o pregătire specială

5. ANALIZA DATELOR ÎN FARMACOCINETICĂ ŞI

FARMACODINAMIE

Farmacocinetica poate fi definită ca studiul cineticii de absorbţie, distribuţie, metabolism şi

excreţie a medicamentelor împreună cu răspunsul farmacologic, terapeutic sau toxic

corespunzător pentru om sau animale. Ea descrie procesul dependent de timp al controlului

moleculei de medicament şi a metabolismului ei în perioada de trecere prin corp din

momentul administrării dozei medicamentoase şi până la părăsirea moleculelor ţesutului.

Principiile farmacocineticii se bazează pe ecuaţii şi modele matematice care caracterizează

absorbţia medicametului, distribuirea, biotransformarea, excreţia lor şi suportul terapiei

medicamentoase .

Analiza compartimentată utilizează metodele matematice ce descriu în termenii unui model

comportamentul biologic al unui sistem. Compartimentele reprezintă locaţii fizice în corpul

uman sau animal, ce pot fi simplificate în timpul modelării ; exemple : tractul gastrointestinal

împreună cu segmentele lui (suprafeţe de absorbţie localizate după

administrare intramusculară sau subcutantă şi sunt denumite compartimente de intrare),

spaţiul biologic lichid (sânge, plasmă, denumite compartimente centrale ), alte locaţii

fiziologice în care medicamentul se poate distribui după absorbţie şi să persiste în sânge

(spaţiul extracelular din ţesuturi şi organe), parteneri de reacţie biologică (receptorii,

enzimele şi proteinele) cât şi „valorile” medicamentelor excretate în urină şi fecale (cele

implicate în distribuţie, biotransformări şi excreţie se numesc compartimente de dispoziţie).

Practic toate medicamentele trec prin faza de biotransformare în produse metabolice, fiecare

produs îşi expune comportamentul de distribuţie şi de aceea adesea apare cazul când o

mulţime sau mai multe de compartimente periferice şi centrale sunt necesare pentru

reprezentarea cinetică a metabolismului într-un model. Modelele compartimentate încearcă

să descrie următoarele procese matematizate : absorbţia medicametului administrat, intrarea în

circulaţia sistemică, distribuirea către organe şi ţesuturi unde apare metabolismul şi

subsecvenţa de excreţie. Una dintre condiţiile ce trebuiesc îndeplinite ale modelului

compartimentat este echilibrul maselor, adică, suma valorilor dozelor medicametului în toate

compartimentele după dozare e constantă şi egală cu valoarea dozei administrată. Pe de altă

parte, concentraţiile medicamentului în compartimentele individuale se vor schimba cu timpul

datorită transferului

de medicament de la un compartiment la altul, atâta timp cât starea staţionară e realizată.

Fiecare rată de transfer într-un model compartimentat e reprezentată matematic de un

coeficient diferenţial dc/dt.

În cazul cineticii liniare masa transferată între compartimente poate fi descrisă printr-o rată

de creştere sau descreştere a concentraţiei unui medicament, rată care e direct proporţională

cu concentraţia medicamentului în acel compartiment. Astfel modelele liniare reprezintă

farmacocinetica dozelor proporţionale în care rata transferului de medicament de la

compartimentul i la j reprezintă produsul dintre constanta ratei şi valoarea concentraţiei dozei

în compartimentul i. Modelul compartimentat standard determină următorii parametri primari:

b1, b2 (părţi ale funcţiei exponenţiale ce reprezintă legătura „timp-concentraţie”), kij

(constanta masei de transfer între compartimentele i,j), k e (constanta de eliminare din

compartimentul central). Modelul compartimentat definit de utilizator este

tot liniar şi prezintă avantajele :

nu e necesar să dezvolte soluţii analitice generale pentru un număr

mare de modele

construirea modelelor şi accesul la programe se face uşor

utilizatorul nu necesita cunoştinţe speciale de matematică sau

programare

În cazul cineticii neliniare nu avem proporţionalitate directă între rata transferului dozei şi

concentraţia ei; ea apare ca o consecinţă a procesului de transfer saturat (capacitatea de

transfer limitată), iar modelul poate fi descris utilizând expresia de tip Michaelis-Menten (în

reprezentare intervine rata de transfer maximă ce descrie capacitatea procesului saturat, şi

o constantă ce reprezintă afinitatea de transfer). Principalele cauze de neliniaritate în cadrul

modelului compartimentat neliniar sunt limitările impuse valorilor sau concentraţiilor din

cadrul reacţiilor biologice partenere ce se implică în dispunerea medicamentului (de exemplu,

enzimele, receptorii sau proteinele plasmei).

Câteva exemple ce ilustrează cazurile în care capacitatea sistemelor fiziologice implicate în

dispunerea medicamentului poate fi depăşită, conducând la cinetici neliniare sunt :

supradozarea (apare efectul toxic ca rezultat al depaşirii capacităţii de

eliminare hepatică şi extrahepatică a medicamentului)

repetarea dozelor (scade efectul medicamentului)

interacţiunile dintre medicamente.

Calculul intervalelor de încredere pentru dreapta de regresie în cazul

stabilităţii formelor farmaceutice.

In cazul studiilor de stabilitate avem doua tipuri de probleme. Pentru o concentratie

data, de exemplu 90 % din cea initiala, in afara de timpul de pe dreapta de regresie cand se

atinge acest prag, ne intereseaza si marginea inferioara a intervalului de timp, deci timpul

pentru care suntem siguri ca nu a scazut concentratia sub 90 %. Din punct de vedere al

sigurantei pacientilor , este mai bine sa contam pe acest timp. FDA sugereaza ca ar fi mult

mai potrivita abordarea folosind un interval de incredere unilateral decat unul bilateral pentru

a estima data de expirare. Pentru cele mai multe produse, continutul in substanta activa poate

doar sa descreasca in timp, si numai marginea inferioara a intervalului de incredere vs. curba

timpului pot fi considerata relevanta. (o exceptie poate fi in cazul produselor lichide unde

evaporarea solventului duce la cresterea concentratiei substantei active). Pentru a obtine acest

domeniu de valori pentru X (timpul pentru continutul de minim 90%) folosind metoda

estimatiei grafice asa cum este descrisa mai sus, presupune calcularea bandei de incredere

pentru un domeniu suficient de intins pentru X. “Banda” de încredere are formă de hiperbolă

şi ilustrează variaţia lărgimii intervalului de încredere pentru diferite valori ale lui X, respectiv

Y.

Regresia ponderata

Una din presupunerile implicite in aplicarea inferentei statistice este acela ca variatia lui y este

aceeasi la fiecare valoare a lui X. Apar multe situatii in practica atunci cand aceasta

presupunere nu este respectata. Un caz frecvent este acela cand variatia lui y este

proportionala cu X. Aceasta apare cand y are un coeficient constant al variatiei (CV) si y este

proportional cu X (y = BX), observat de obicei in metodele de analiza instrumentala in chimia

analitica. Doua din abordarile posibile in rezolvarea acestei probleme sunt:

a) O transformare a lui y pentru a face variatia omogena, cum ar fi

transformarea logaritmica .

b) O analiza de regresie ponderata.

Analiza reziduala in testarea ipotezelor privind corelatia

Se numesc reziduuri diferentele intre valorile calculate prin regresie si cele experimentale (

ceea ce , in alt context, numeam ca „erori”) Examinarea reziduurilor poate dezvalui variatia

heterogenitatii sau nonlinieritatea. Daca modelul liniar si presupunerile in analiza prin cele

mai mici patrate sunt valabile, reziduurile ar trebui sa fie aproximativ normal distribuite si nar

trebui sa apara nici o tendinta.

proportional cu X (y = BX), observat de obicei in metodele de analiza instrumentala in chimia

analitica. Doua din abordarile posibile in rezolvarea acestei probleme sunt:

a) O transformare a lui y pentru a face variatia omogena, cum ar fi

transformarea logaritmica .

b) O analiza de regresie ponderata.

6. Modele matematice şi programe de simulare a biochimiei

si a bioproceselor

1. Notiuni de cinetica chimica.

Consider p reactii chimice în care sunt implicate s substante.

(1.1) , , unde reprezinta a– i –

substanta, şi sunt numere intregi, care reprezinta numarul aflat în a – k- substanta ce

participa în a – i – reactie directa şi inversa, şi reprezinta constanta vitezei de reactie.

Dacă vom nota concentratia substantei cu , atunci variatia concentratiei substantei

determinata de a – i – reactie cu şi în intervalul dt este:

(1.2) (reactia directa)

(1.3) (reactia inversa).

Atunci variatia concentratiei în toate reactiile este data de:

(1.4) , unde

(1.5) .

Se obtine sistemul diferenţial:

(1.6)

1 1 2 2 1 1..... ....i

i

k

i i is s i is sk

a x a x a x b x b x 1,i piX

ika ikb

ik ik

kX kx

ik ik

1

1 .............. ( )i isa a

k i s ik ikdx k x X a b dt

1

1 .............. ( )i isa a

k i s ik ikdx k x X a b dt

1

p

k ij i

i

dx m dt

1 1

1 1... ...i is i isa a b b

i i s i s

ij ij ij

m k x x k x x

b a

1

, 1,p

kij i

i

dxm k p

dt

Alegerea numerelor , destul de mari, corespunede unor reactii chimice foarte

rapide. De aceea se impune introducerea unui parametru mic . Astfel vom presupune că

primele – n – reactii sunt rapide.

(1.7) , , unde nu sunt numere foarte mici.

(1.8) ,

Atunci sistemul (1.6) este echivalent cu:

(1.9)

(1.10) , corespunde valorii în ecuaţia (1.9). În literatura

de specialitate, pentru determinarea unor soluţii aproximative ale ecuaţiei (1.9) se foloseste

metoda concentratiei Semenov-Bodenstein[28]. Cercetatorul rus Fedoryuk[49] a propus

urmatorul sistem neliniar de ecuaţii diferenţiale:

(1.11)

cu conditiile initiale:

(1.12) , unde reprezinta concentratiile substantelor

(1.13)

Alegem , astfel încât:

(1.14)

În capitolul urmator, vom incerca o dezvoltare asimptotica de ordinul zero pentru

sistemul (1.11), avand un caracter formal.

2. Terminologie în cinetica enzimelor

Vom prezenta în continuare principalele noţiuni care apar în cinetica enzimelor.

ik ik

1i ik k 1,i n ik

1 1

1 1... ...i is i isa a b b

i i i s i sm m k x x k x x 1,i n

1 1

, 1,n s

kij i ij i

i i n

dxm m j s

dt

1

0n

ij i

i

m 1,j s 0

11 2

21 2 2 2 3 3 2 4

33 2 3

43 2 4

i i

i i

dxk x k x

dt

dxk x k x k x x k x x

dt

dxk x x

dt

dxk x x

dt

0(0)i ix xix

9 10 8

1 1 2 3 2 310, 10 , 10 , 10 , 0k k k k k k

1 21

3 3 3

1, , , .

k ka k b c

k k k

1. Catalizatorul este o substanţă care creşte viteza de reacţie fără a modifica în

general energia Gibbs standard schimbată în reacţie. Această definiţie este echivalentă cu

faptul că catalizatorul nu apare în expresia stoichiometrică a reacţiei complete. Vom spune că

catalizatorii au o acţiune catalitică şi reacţiile în care sunt ei implicaţi se vor numi reacţii

catalitice.

2. Enzima este o proteină care acţionează că un catalizator.

3. Substrat este un reactant (altul decât catalizatorul) în reacţia catalitică.

4. Inhibitorul este o substanţă care diminuează viteza unei reacţii chimice şi acest

proces se va numi inhibiţie.

5. Activatorul este o substanţă (alta decât catalizatorul sau un singur substrat) care

creşte viteza reacţiei catalitice.

6. Enzima activator este un activator al unei reacţii enzimo-catalitice care acţionează

legată la enzime.

7. Enzima inhibitor este un inhibitor al unei reacţii enzimo-catalitice care acţioneză

legată la enzimă.

Forma generală a unei reacţii enzimo-catalitice care implică un singur substrat şi un

singur produs poate fi scrisă sub forma:

(2.1) , unde E este enzima, A este substratul şi Z este produsul.

Săgeţile în ambele sensuri, prezente în reacţie, indică faptul că reacţia decurge în

ambele direcţii. Atunci când două sau mai multe substrate şi două sau mai multe produse sunt

într-o reacţie, reacţia finală poate fi scrisă sub forma:

(2.2)

De comun acord s-a stabilit faptul că primele litere ale alfabetului vor fi pentru

substraturi, iar ultimile litere vor fi folosite pentru produse.

Litera S este frecvent folosită pentru substrat, iar literele P,Q,R sunt folosite pentru

produse. Aceşti termeni folosiţi nu sunt unicii folosiţi în cinetica enzimelor, dar sunt în

general folosiţi în chimie. Aceste definiţii nu intră în conflict cu recomandările “Commission

on Chemical Nomenclature” pentru chimişti.

8. Efector şi modificator sunt termeni generali care definesc acele substanţe care

reacţionează cu enzimele şi cresc sau descresc acţiunea lor catalitică.

Enzimele inhibitor şi enzimele activator pot fi în cazuri speciale efectori şi

modificatori. Termenul de efector este mai mult folosit atunci când substanţa produs are o

E A E Z

... ...E A B E Z Y

importanţă fiziologică, iar termenul de modificator este mai des asociat că substanţă care este

artificial adaugată la un sistem enzimatic studiat în vitro.

Uneori substaneţele adăugate pot creşte sau descreşte viteza unei reacţii enzimo-

catalitice. Ele pot reacţiona cu substratul, ori cu modificatorii şi efectorii care sunt prezenţi în

sistem.

Asemenea substanţe pot fi denumite activator sau inhibitor dar nu pot fi denumite

enzime activator, enzime inhibitor, modificatori sau efectori.

9. Viteza de consum şi de formare

Viteza de consum a unui reactant de concentraţie A este definită că:

(2.3) , unde t reprezintă timpul.

Viteza de formare a unei substanţe de concentraţie Z este definită că:

(2.4) .

Unitatea uzuală de măsură a acestor viteze este mol dm-3

s-1

(unde L=litru=dm3) sau

Ms-1

(unde M=molaritatea=mol dm-3

). În unele situaţii, termenul de velocitate este sinonim

cu termenul de viteză.

(2.5)

În relaţia (2.5) vom spune că viteza de formare a lui Z este dublul vitezei de consum a

lui A, şi viteza de consum a lui B este de trei ori mai mare decât a lui A.

10. Viteza de reacţie

Fie reacţia stoichiometrică:

(2.6) , pentru care viteza de formare a lui Z este egală cu viteza de

consum a lui A. Atunci vom putea defini viteza de reacţie că:

(2.7) .

Fie reacţia generală stoichiometrică de forma:

(2.8)

Numerele -1, -3, -2 se numesc coeficienţi stoichiometrici a lui A, B, Z în această

reacţie. Convenţional ei sunt pozitivi pentru produşi şi negativi pentru reactanţi. Pentru

reacţiile de forma (2.8), viteza de reacţie este egală cu viteza de formare sau cu viteza de

consum a oricărui reactant împărţită la cel mai potrivit coeficient stoichiometric.

(2.9)

A

dAV

dt

Z

dZV

dt

3 2A B Z

E A E Z

dA dZV

dt dt

3 2A B Z

1 1

3 2

dA dB dZV

dt dt dt

Această situaţie apare rar în cinetica enzimelor.

11. Reacţii elementare. Reacţii compuse

Reacţia elementară este reacţia în care nici o reacţie intermediară nu este prezentă.

Asemenea reacţii se desfăşoară într-un singur pas.

Termenul de molecularitate, cu aplicaţie numai în reacţiile elementare, se referă la

numărul particulelor elementare implicate în evenimentul chimic microscopic. De exemplu

formarea complexului enzima-substrat în soluţia:

(2.10)

este o reacţie bimoleculară. Procesul reversibil în soluţie.

(2.11) este o reacţie unimoleculară. Hidroliza acil-enzimei, în

combinaţie cu apa este o reaţie bimoleculară:

.

Moleculele solvent sunt considerate în molecularitate dacă ele intră într-un proces

general.

Alte reacţii generale enzimă-catalizator în mai mulţi paşi sunt descrise de reacţiile

compuse.

(2.12)

12. Ordinul unei reacţii. Constanta vitezei de reacţie

Ordinul unei reacţii este un termen care poate fi aplicat în unele reacţii elementare

considerate într-o singură direcţie, şi pentru reacţiile compuse.

Pentru reacţiile elementare desfăşurate într-o singură direcţie, ordinul reacţiei este

egal cu molecularitatea, dar este descris de cinetică, nu de mecanismul reacţiei. Pentru o

reacţie unimoleculară de forma:

(2.13) , viteza de reacţie este proporţională cu concentraţia reactantului.

(2.14)

Vom spune că reacţia (2.14) este de ordinul unu.

Constanta k se numeşte constanta vitezei de reacţie.

Pentru reacţiile bimoleculare:

(2.15) , viteza este proporţională cu produsul concentraţiilor reactanţilor.

(2.16)

Reacţia este de ordinul unu în E, de ordinul unu în A, dar este de ordinul doi în

general, şi k este considerat constanta vitezei reacţiei. Ordinul individual al reactanţilor (unu

E A EA

EA E A

2R CO E H O E H R COOH

E A EA EZ E Z

E A B EA B EAB EYZ EY Z E Y Z

EA E A

v k EA

E A EA

v k E A

pentru E, unu pentru A) sunt considerate că ordine parţiale şi suma ordinelor parţiale a unei

reacţii este ordinul principal.

Pentru constanta vitezei de reacţie de ordinul unu, unitatea de masură este s-1

. Pentru

constanta vitezei de reacţie de ordinul doi unitatea de măsură este mol-1

s-1

sau L mol-1

s-1

sau

M-1

s-1

.

Fie schema de reacţie:

(2.17) , dacă concentraţia substanţei EA este

întotdeauna mult mai mică decât concentraţia substanţei A, următoarea ecuaţie modelează

procesul (2.17)

(2.18)

Raportul la echilibru se numeşte substrat constant separator şi este dat de

constanta ksA. Substratul constant separator nu trebuie confundat cu constanta Michaelis KmA.

În relaţia (2.18),

(2.19) .

Componenta EA vom spune că este în stare regulată. Ecuaţia (2.18) se numeşte

aproximarea stării regulate, deoarece obţinem o expresie generală a vitezei de reacţie.

Dacă componenta intermediară este prezentă întotdeauna în cantităţi mult mai mici

decât reactanţii (alţii decât enzimele), rata de schimbare a concentraţiei este mult mai mică

decât a reactanţilor.

Această condiţie este adevărată întotdeauna, şi este particulară în cazul reacţiilor

enzimo-catalitice, unde concentraţia substratului este mai mare decât a enzimei. Nu este

necesar că cantitatea substanţei intermediare să fie mică în raport cu cantitatea de enzime.

La începutul acestei reacţii, concentraţia EA în reacţia (2.17) creşte de la zero la

valoarea stării regulate.

Ecuaţia (2.18) nu mai este adevărată în timpul acestui timp scurt (de obicei o fracţiune

de secundă). Vom spune în acest caz că EA este în faza cinetică trecătoare (transient-phase).

Pentru a cerceta această fază trebuie utilizate tehnici speciale, în speţă pentru modelarea

matematică este necesar să folosim ecuaţiile diferenţiale cu parametru mic. Viteza de reacţie

în timpul acestei faze nu poate fi definită, deoarece nu există o reacţie stoichiometrică între

reactanţi. În unele cazuri, termenul de viteză de reacţie se confundă cu flux chimic

12

1

k k

kE A EA E Z

1 1 2 0dEA

k E A k EA k EAdt

E A

EA

1

1

sA

kk

k

(chemiflux). Reacţiile elementare care intră în mecanismele compuse trebuiesc sistematizate

şi trebuie să trecem constantele vitezei de reacţie (k), ori fluxul chimic (v). De preferat, putem

alege următoarea schemă:

(2.19)

În această schemă poate fi numai dacă nu avem o reacţie în sens invers.

O altă schemă des folosită în cinetica enzimelor este:

(2.20) ...

Schema (2.20) se foloseşte mai des în aplicaţiile numerice.

O altă schemă este de forma:

(2.21) , unde , sunt pentru reacţiile directe, iar

pentru reacţiile inverse.

Schema (2.21) nu este în concordanţă cu recomandările “International Union of

Pure and Applied Chemistry and International Union of Biochemistry”.

13. Autocataliza este procesul unde o substanţă chimică este implicată în propria

producţie.

Exemplu 1(Edelstein):

(2.22)

Dacă presupunem că substanţa A este menţinută cu concentraţie constantă, din legea

de acţiune a masei, vom avea:

(2.23) , unde y este concentraţia substanţei Y.

Exemplul 2(Denbigh):

,

Vom spune că Y este utilizat pentru producerea lui C.

(2.24) , unde a, b sunt concentraţiile substanţelor A, B.

Exemplul3: (Ecuaţie Lotka-Volterra)

,

1 1 2 2 1 1 2 2, , , ,...; , , ,k k k k

1k 1k

12 21 23 32 12 21 23 32, , , ,...; , , ,k k k k

1 2 3 4 1 2 3 4, , , ,...; , , , ...k k k k 1k3k 2 ,k

4k

1

1

2k

kA Y Y

2

1 1

dyk kay y

dt

1

1

2k

kA Y Y 2k

B Y C

2

1 2 1( )dy

k k ka b y ydt

1 2k

A Y Y 32 2 ,kk

Y Z Z Z B

(2.25) ,

unde z, y sunt concentraţiile substanţelor Y, Z.

14. Activator şi inhibitor

Fie sistemul:

(2.26)

Vom spune că x este activator dacă .

Vom spune că y este inhibitor dacă .

Exemplul1: (Reacţia Thomas)

Este o reacţie care implică oxigenul (y) şi acid uric (x) în prezenţa enzimei urice:

(2.27) ,

unde sunt constante. Dat y, este liniar în x, pentru x mic,

0 pentru valori mari ale lui x.

Exemplul 2: (Reacţia Gierer-Meinhardt)

(2.28)

15. Oscilaţii biologice. Sisteme biologice ciclic monotone

Sunt sisteme de ecuaţii diferenţiale ordinare, de forma:

(2.29) este concentraţia. reprezintă o reacţie biologică

oscilatorie. Trebuie căutată soluţia periodică . Goodwin (1965) a propus urmatoarea

schemă:

1 2

2 3

dyk kay yz

dt

dzk kyz z

dt

( , )

( , )

dxf x y

dt

dyg x y

dt

0g

x

0f

y

1

2 1

2

( , ) ( , )

( ) ( , ) ( , )

( , )1

dxa x a R x y f x y

dt

dya b y a R x y g x y

dt

xyR x y

x kx

1 2, , , ,a a b a k ( , )R x y

( , )R x y

2

1 2

2

( , )( )

( , )

dx xa a x f x y

dt y k x

dyx y g x y

dt

( ), ( )dx

f x unde x x tdt

f

( )x x t

DNA mRNA Enzimă Substrat

Reprimare

Produs

(2.30)

unde se numeşte funcţie neliniară de “feedback”.

Dacă vom avea un feedback pozitiv.

Dacă vom avea feedback negativ.

Sistemul (2.30) reprezintă forma generală a unui sistem biologic ciclic monoton.

3. Cinetica enzimelor

În anul 1835, J.J.Berzelius a inclus reacţiile biologice că exemple de reacţii care se

produc sub influenţa unor noi forţe, forţe pe care le-a numit “catalitice”. După studierea mai

multor reacţii de acest tip, Berzelius sugerează că toate substanţele care se produc în corpul

uman se află sub influenţa acestor forţe.

În anul 1878, Kühne a introdus termenul de enzimă. În tot acest timp, continua

controversa între Liebig (care refuza să creadă că agitaţia este o necesitate pentru viaţa

celulelor) şi Pasteur care arată că fermentaţia este strâns legată de procesul de viaţă al

celulelor. În acest context, era foarte important de stabilit dacă reacţiile enzimatice au

caracteristici în comun cu reacţiile chimice în general.

Principiul acţiunii masei este principiul care a fost utilizat în modelarea matematică a

cineticii enzimelor. În anul 1902, Brown a propus următoarea schemă

(2.0) , unde o enzimă E se combină cu un substrat A,

formând un compus , care se descompune într-un produs P şi cu recuperarea enzimei E.

Schema (20) a fost un pas important pentru construcţia unui model pentru cinetica enzimelor.

11 1

1

( )

, 2,n

ii i i

dxf x k x

dti n

dxx k x

dt

0, 2, , ( ) 0ik i n f x

'( ) 0, ( ) 0f x x

'( ) 0, ( ) 0f x x

1 2

1 21

k k

k kA E X P E

1X

Henri (1903) şi apoi zece ani mai târziu Michaelis-Menten (1913) au transformat schema

(2.0) într-un model matematic.

(2.1)

Henri a pus următoarele ipoteze care simplifică modelul (2.1):

I1.

I2.

I3.

Înlocuind ipotezele (1)-(3) în sistemul (2.1) a obţinut ecuaţia diferenţială:

(2.2)

Se va impune o nouă condiţie suplimentară:

I4.

(2.3) , unde este “velocitatea maximă” a

reacţiei enzimo-catalitice, este constanta de asociere pentru enzimă-substrat, iar

este o viteză iniţială. Ecuaţia (2.3) este ecuaţia folosită de Michaelis-Menten în 1913

pentru dezvoltarea teorie lor.

Bodenstein (1913) a introdus noi condiţii restrictive. În anul 1925, Briggs-Haldane a

înlocuit prima ecuaţie a sistemului (2.1) cu:

(2.4)

(2.5) , unde nu este în general constanta de

disociere.

În anul 1913, Michaelis şi Menten propun o nouă schemă pentru reacţiile enzimatice:

'

1 1 2 1 2 1

2 1 2

1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

'( ) ( ) ( ) ( )

(0) ( ) ( ) ( )

(0) ( ) ( )

x t k E t A t k E t P t k k x t

P t k x t k E t P t

A A t x t P t

E E t x t

1 1 1( ) ( ) ( )k E t A t k x t

2 1'( ) ( )P t k x t

(0) ( ) ( )A A t P t

2

1

1

(0)'( )

1( (0) ( ))

k EP t

k

k A P t

(0) ( )A A t

(0) '(0)

1(0)

mE

A

VV P

k

A

2 (0)mV k E

1

1

s

kk

k

(0)EV

1 1 2 1

1 2

( ) ( ) ( ) ( )k E t A t k k x t

k k

'(0)

1(0)

m

m

VP

k

A

1 2

1

( )m

k kk

k

(2.6) , unde se presupune că complexul intermediar

enzimă-substrat este format. Mai mult, reacţia se consideră ireversibilă. Au

mai impus alte ipoteze suplimentare:

I5. Avem un exces a substratului S în soluţie cu enzima E

I6.

I7. După un timp oarecare, viteza de formare a compusului ES rămâne foarte mică în

raport cu viteza de formare pentru S, respectiv P.

(a) coliziune efectiva (b) coliziune inefectiva

Fie , unde [,] este concentraţia substanţei.

Utilizând legea de acţiune a masei vom avea:

(2.7) , cu condiţiile iniţiale:

(2.8)

(2.9)

Din figura (1) vom avea:

(2.10)

12

1

k k

kE S ES E P

ES E P

1 2k k

[ ], [ ], [ ], [ ]s S e E c SE p P

1 1

1 1 2

1 1 2

2

( )

( )

dsk es k c

dt

dek es k k

dt

dck es k k c

dt

dpk c

dt

0 0 0 0(0) , (0) , (0) , (0)s s e e c c p p

0 ( ) ( ) (0)de dc

sau e t c t edt dt

1 0 1 1

1 0 1 1 2

0 0

( )

( )

(0) , (0)

dsk e s k s k c

dt

dck e s k s k k c

dt

s s c c

A

B

A

B

A B A B

Se vor introduce notaţiile:

(2.11)

(2.12) , unde .

Constanta se numeşte constanta Michaelis. Alegerea parametrului

se face atunci când concentraţia enzimei este mult mai mică în soluţie în raport cu

concentraţia substratului. În aceste cazuri apar problemele singular sau regulat perturbate. Se

vor construi soluţii asimptotice în capitolul următor al lucrării pentru sisteme de tipul (2.12),

folosind metoda funcţiilor de strat limită.

Terminologia folosită în această lucrare este în concordanţă cu recomandările

“Commission on Biochemical Nomenclature and Classification of Enzymes” publicată în

“Enzyme Nomenclature”(1996).

Sistemul (2.1) poate fi pus sub forme:

(2.13)

Este ştiut faptul că orice aproximare a unui model introduce o eroare în modelul

original:

(2.14)

Dacă este mic, vom putea spune că această aproximare este aproape corectă

şi vom spune că este - -validă.

Hastings a obţinut o aproximare a erorii maxime pentru schema (2.0), când .

Hillen a obţinut o aproximare pentru cazul . Când , aproximarea

(2.14) are maxim de valabilitate. Alte aproximări pentru schema (2.0) au făcut Lam(

), Li ( ).

Atunci când enzimele intră în procesul de cataliză concentraţia lor variază între 0 şi

E(0).Pe de altă parte, concentraţia produsului sau a substratului variază între 0 şi A(0), 0 şi

P(0). Pentru alegerea prametrului vom impune:

(2.15) .

02 1 21 0

0 0 1 0 1 0 0

( ) ( ), ( ) , ( ) , , ,

ek k ks t c tk e t u v k

s e k s k s s

( )

( )

(0) 1, (0) 0

duu u k v

d

dvu u k v

d

u v

0 1, k

1 2

1

( )m

k kk

k

( , ') 0F x x

( , ')F x x

0

2 0k

2 0k 1 2 0k k

1 2 0k k 1 2k k

(0) (0)A E

Schnell,Schauer au înlocuit prima ecuaţie a sistemului (2.1) prin:

(2.16)

(2.17) (definiţia echilibrului termodinamic)

(2.18) , care nu este în general adevărată, iar aproximarea

asimptotică nu este corectă.

Substratul S, din schema (2.6) este guvernat de ecuaţia:

(2.19)

Pentru , termenul din membrul drept al relaţiei (2.19) poate fi aproximat de

, unde .

Termenul se numeşte velocitate maximă şi depinde de şi de produsul reacţiei:

(2.20) .

4. Sisteme diferenţiale cu parametru mic ce modelează reacţii din cinetica

enzimelor

În acest subcapitol, voi prezenta câteva sisteme de ecuaţii diferenţiale cu parametru

mic reprezentative întâlnite în literatura de specialitate.

I. Model de tip Michaelis-Menten_Henri cu difuzie

(1)

2

1( )

( )

dxx x a b y D x

dt

dyx x a y

dt

,

unde D este un factor de difuzie, este operatorul Laplace.

Sistemul (1) modelează mecanismul reacţiei Michaelis-Menten ce va fi prezentat în

lucrare.

Vom căuta soluţia asimptotică de forma:

(2)

Un sistem similar cu (1), prezentat de Lam , este de forma:

'

1 10, (0) (0) 0x P x

lim '( ) 0t

x t

'

1 1(0) (0) (0)x k E A

2 0

m

k e sds

dt k s

ms k

m

Qs

k2 0Q k e

2 0k e 2k

SE P E

(1) 2 (2) 2( , ) ( , , ) ...x

y f x x f x x xx a

(3)

2

1

2

2

( )

( )

dxx x a b y D x

dt

dyx x a y D y

dt

,

unde , sunt consideraţi factori de difuzie, este operatorul Laplace,

.

Roussel a prezentat un sistem in 2D care modelează reacţia Michaelis-Menten de

forma:

(4)

unde x este concentraţia reactantului (substratului), z este concentraţia complexului

enzimă-substrat, , un parametru mic ce modelează viteza de reacţie a

mecanismului. Pentru transformarea sistemului (4) într-un sistem de tip Michaelis-Menten se

fac substituţiile:

(5) .

II. Model cinetic de tip Segel[

Acest model se bazează pe reacţia dintre substratul de oxigen şi acidul uric ca reactant

în prezenţa enzimei urice. Sistemul care modelează această reacţie, obţinut cu ajutorul datelor

experimentale este de forma:

(6)

2

2

2

2

1

1

x sxya x x

t x kx

y sxyb y d y

t x kx

unde s, a, b, k, sunt parametri pozitivi, 2 2

2

2 2x yeste operatorul Laplace,

un parametru mic, x reprezintă concentraţia acidului uric, z este concentraţia substratului de

oxigen.

III. Modelul cinetic de tip Stryer

Acest model se bazează pe o simplă reacţie enzimatică de difuzie. Ea rezultă dintr-o

reacţie trimoleculară autocatalitică prezentată de autor:

1D 2D

2 1( ), (1)D O D O

dxx xy y y

dt

dyx xy y

dt

(1)O

, ,a x y b x y t

(7)

2 2

2 2

( )

( )

xa x x y x

t

yb x y d y

t

,

unde a, b, d sunt parametri pozitivi, este considerat un parametru mic.

IV. Model cinetic de tip O’Malley

Acest model se bazează pe o schemă de reacţie ce conţine trei reacţii enzimatice de

forma:

Presupunem că . Atunci şi concentraţia substanţelor , S

verifică sistemul:

(8) ,

Cu condiţiile iniţiale:

(9) (reacţia a doua este considerată foarte rapidă).

V. Model cinetic de tip Segel

Acest model se bazează pe o schemă de reacţie trimoleculară autocatalitică de forma:

,

unde sunt parametri pozitivi. Se lucrează în ideea în care are o valoare

mare. Concentraţiile substanţelor S, , verifică sistemul ( ):

(10)

1

1

1 22 ,k k

kE S S E

1 1

1 1,k k k

1x 2x 1E

211 2

221 2 2

1 1

2 2

dxx x

dt

dxx x kx

dt

1 2(0) , (0) , , 0x a x b a b

1

1

2

1 2 1

1 2 1 2

, 2

,

k

k

k

E S E S

S S E S E P

1 1 2, ,k k k 1k

1S 2E 11/ k

2 1

221 2 1 2 1 2

211 2 1

1

2 2 ( )

dsk ss

dt

dek e s k ss e

dt

dsk e s

dt

VI. Forma generală a unui sistem diferenţial cu parametru mic în cinetica

enzimelor

Vom nota prin variabila lentă, iar prin variabila rapidă. Forma generală a unui

sistem diferenţial cu parametru mic ce modelează reacţii enzimatice este:

(11) ,

unde se numeşte parametru de perturbare.

Important în studierea sistemelor de tip (11) este determinarea parametrilor cinetici.

Sistemul (11) provine în general dintr-un sistem diferenţial de forma:

(12) sau

(13)

Prin metodele asimptotice prezentate în lucrare, se partiţionează sistemul (12) sub

forma sistemului (11). Parametrul poate fi ales sub forma:

(14) , unde sunt valorile proprii ale descompunerii

ortogonale ale matricii sub forma , unde:

(15)

Sistemul (11) în general prezintă neliniarităţi, iar rezolvarea lui integrală prezintă

dificultăţi. Sistemele de tip (11), în literatură de specialitate au fost denumite “stiff

differential equation systems”.

Dacă presupunem că , urmează că (de obicei este o ecuaţie algebrică

neliniară).

lx rx

( , )

( , )

ll l r

rr l r

dxf x x

dt

dxf x x

dt

1

0 0

( ) ( )

(0) , n

du t f u t

dt

u u u

0

0

0 0

00

( ) ( )

( )(0) ,

u

u

du t f u J u t u

dt

f uu u J

u

1

1

| Re |s

, 1,i i n

0CJ0

1

CQ J Q

1 2 1Re Re ... Re ... Res n

0rdx

dt0rf

În practică ( ) vom avea , şi atunci trebuie să studiem erorile ce apar

datorită partiţionării sistemului (12).

Un criteriu de determinare a erorii pentru un sistem diferenţial de forma (11) a fost

studiat de Maas si Pope , sub forma:

(16) | ( , ) ( , ) |l l r l l rf x x f x x toleranţa , unde este o soluţie a ecuaţiei:

(17)

VII. Model cinetic de tip Hinch

Este un model simplificat pentru reacţia Michaelis-Menten de forma:

(18)

2

(1 ) (1 )

, 0 1

dxx x x x y

dt

dyk x

dt

(19) ,

x este concentraţia substanţei C, y este concentraţia sunstanţei P.

Pentru studierea soluţiei asimptotice, se introduce variabila rapidă: .

VII. Model de tip Murray

În acest subcapitol ne vom ocupa de un model de cinetica chimica cu aplicatii în

reactia oxidului de etilena cu apa şi în halogenarea şi hidro-genarea moleculelor organice

(Murray).

Consider reactiile chimice:

,

Vom presupune că:

(3.1)

Consider sistemul:

(3.2)

0 1 0rf

( , ,0)l rx x x

( ) 0rf x

1 2

1

0 0(0), (0), (0), (0) , ,0,0

k k

kE S C E P

E S C P E S

t

1kA B Ck

kB C D

1

11,

k kk

k k

dxxy

dt

dyxy yz kp

dt

dzxy yz kp

dt

dpyz kp

dt

(3.3) unde x,y,z,p sunt

concentratiile moleculelor organice A, B, C, D.

IX. Model de tip LAIDLER

În acest subcapitol vom prezenta o soluţie asimptotică de ordinul 1, pentru o schemă

de reacţie de forma:

(1) 1

2

1

k kI

kS E C P E , unde I reprezintă substratul.

Vom presupune că concentraţia substratului I este o constanta nenegativă.

Schnell şi Maini au formulat un model matematic pentru schema (1) de forma:

(2) ,

cu condiţiile iniţiale:

(3) , unde:

(4)

X. Model de tip MAINI

Considerăm schema de reacţie:

, unde enzima E reacţionează reversibil cu

substratul S, sub forma unui intermediar enzimă-substrat X. Complexul X este transformat

ireversibil într-un alt complex enzimă-substrat Y, care se transformă ireversibil în enzima

original şi o substanţă moleculară numită produs. Acest proces se întâlneşte la acilenzime.

Vom introduce notaţiile:

0 0 0 0(0) 0, (0) 0, (0) 0, (0) 0x x y y z z p p

1( 1)

1 1

1

1 1

du a b k ku uv v

d a b a b

dv a bu uv v

d a b a b

(0) 1, (0) 0u v

1 20 0 0 0

1

0 1

2 2

1 0 1 1

2

[ ] ; [ ] , [ ] , [ ] , [ ]

[ ] , [ ] ,

, ,

( ) ( ), 0 1

( ) ,

m

M

mm

S s E e C c P p I i

k kS s E e k

k

s kia b k

k k p i k

p e t c t

k Ik s s k t s

k p I

1 32

1

k kk

kS E X Y E P

(1)

Atunci sistemul de ecuaţii care modelează schema de reacţie are forma:

(2)

Variabilele x, y le vom numi variabile rapide, iar x o vom numi variabilă lentă.

Sistemul (2) a fost prezentat de Laidler-Bunting. Pentru construirea soluţiei asimptotice vom

lucra în ipoteza: .

XI. Model de tip Vishik

(1)

Vishik prezintă următorul sistem ce modelează reacţia (1):

(2) ,

Cu condiţiile Neumann la frontieră:

(3)

Cu condiţiile iniţiale:

(4)

cu notaţiile:

0 0 1 2

0 1

310 0

2 1 2

, ,

(0) , (0) , ,

S E k ka k

k S k k

kkS S E E b c

k k k

( (1 )) (1 )1

( (1 ) ) (1 )

(1 )(1 )

ds ba xs s y x s y

dt b

dxa s y xs s y x

dt

dy ax cy

dt a b

0

0

1E

S

1 2

1

k k

kS E C P E

2

2

2

2

2

2

( )

1( )

1( )

s sse k p c

t x

e ese kc a

t x

c cse kc b

t x

0,1 0,1 0,1

0x x x

s e c

x x x

(0, ) ( ), (0, ) ( ), (0, ) 0i is x s x e x e x c x

(5)

unde difuziile substanţelor S, E, C. Vom construi soluţii asimptotice

pentru diferite valori ale parametrului . Sistemul (12) poate fi rescris sub forma:

(6) , unde

(7)

Cazul A: . În acest caz, timpul de difuzie ( ) este mult mai scurt

decat variabila lentă (t) şi rapidă ( ) dezvoltate în cursul acestei lucrări. Sistemul (2),

pentru devine:

(8) , cu forma echivalentă

(9)

Cazul B. . În acest caz variabila rapidă introdusă va fi de acelaşi ordin cu

variabila rapidă ( ).

1 2 2

1 0 1 0 0 0 0

0 0

2

1 0

, , , ,

(0) , (0) , , CE

S S

S

k k k S E Ck p s e c

k S k S S E E

DDS S E E a b

D D

D

k r E

0, , ,S E Cr D D D

2

2

1( )

u uG v D

t x

( , , ), (1, , )

( )

( ) ( )

u col s e c D diag a b

se k p c

G u se kc

se kc

2(1/ )O2

t

t

2

1

22 2 2

2

22

2

22

2

( )

( )

( )

s sse k p c

t x

e ese kc a

t x

c cse kc b

t x

22

2( )

, (1)

u uG v D

t x

a b O

1

t

(10)

Sistemul (11) poate fi rescris sub forma:

(11)

Vom considera funcţia şi variabila rapidă: astfel încât:

(12)

(13)

Înlocuind relaţia (12) în sistemul (13) vom avea:

(14) ,

Cu condiţia Neumann:

(15)

(16)

XII. Model de tip VEENER

Cinetica enzimelor a prezentat un interes experimental considerabil în tratamentul

depresiei (monoaminooxidază), epilepsiei (inhibitorii transaminazei) şi unele tumori

2

2

2

2

2

2

( )

( )

s sse k p c

t x

e ese kc a

t x

c cse kc b

t x

2

2( )

u uG u D

t x

( , , ) ( , , )u x u t x /t

2

0 1( , , ) ( , ) ( , ) ( )u x u x u x O

2

2

2

2

2

2

( )

( )

s sse k p c

x

e ese kc a

x

c cse kc b

x

2

0 0

2

2

0 00 0 0 2

2

0 00 0 0 2

( )

s s

x

e es e kc a

x

c cs e kc b

x

0 (0, ) ( )is x s x

2( )

0 0

0

1

00 0 0

0

( , ) cos( )

1, 2 (0, ) cos( )

k

k

k

k

s x s e k x

s s s x k x dx

(inhibitori decarboxizlază) pentru cercetătorii Veener,Stryer, Murray, Laidler. Ei s-au

ocupat de următoarea reacţie enzimatică:

unde reprezintă enzima, substratul şi produsul, reprezintă enzimele substrat

intermediare, enzimele inactivate. Din legea de acţiune a masei, avem sistemul:

(1)

cu condiţiile iniţiale:

(2)

Pentru a obţine o dezvoltare asimptotică a sistemului (1) vom presupune că:

.

Vom face schimbările de variabile:

(3)

(4)

1 32

1

4

k kk

k

k

i

A S B C D P

D

, ,A S P ,B C

iD

1 1

1 1 3

1 1 2

2 3 4

4

3

[ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ] [ ]

[ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]

i

dSk A S k B

dt

dAk A S k B K C

dt

dBk A S k B K B

dt

dCK B K C K C

dt

dDK C

dt

dPK C

dt

0 0(0) , (0) , (0) (0) (0) (0) 0iA a S s B C D P

0 0 (1)a s O

0 00

0

0 0

1 2

1

[ ] , [ ]

[ ] , [ ]

m

i i

m

a sS s s B b

s k

c a c D a d

k kk

k

1 0

0

0

( )m

m

tk s k

a

a k

(5)

(6)

(7) .

Dacă în sistemul (5) se face schimbarea de variabilă:

(6) sistemul (5) devine:

(7)

XII. .Fenomenul asocierii în cinetica enzimelor

Consider următorul mecanism de reacţie:

,

unde enzima A intră în reacţie cu o moleculă substrat S formând un complex substrat-

enzimă A1. Acest substrat A1 poate fi combinat cu o moleculă substrat S rezultând o noua

legătură substrat-enzimă (“dual”) A2. Considerăm sistemul:

1

1

1 2

2

1

3

1 (1 )(1 )

1 1

(1 )(1 ) 1

1

i

i

i

fds fs sb sc sd b

d f f f

db f bs sb sc sd

d f f

f fdcb c

d f f f

dd fc

d f

0 3 41 41 2 3

2 1 2 1 2

, , , .m

s k kk kf f f f

k k k k k k

(0) 1, (0) 0, (0) 0, (0) 0is b c d

1 2 1( )(1 )T t k k f

1

1

2

1

3

1 1 11

1 1 1

(1 )(1 )

i

i

i

fdss f fb f c f d b

dT f

dbs f fb f c f d b

dT

dc fb f c

dT f f

ddf c

dT

12

1

34

3

1

1 2

k k

k

k k

k

S A A A P

S A A A P

(1)

Cu condiţiile iniţiale:

(2) .

Dacă adunăm ultimele trei relaţii ale sistemui (3):

(3)

Utilizând relaţia (3), sistemul (1) devine:

(4)

Notaţii:

(5)

(6) ,

Cu condiţiile (6), sistemul (4) devine:

(7)

Cu condiţiile iniţiale:

1 1 3 1 3 2

11 1 2 3 1 3 4 2

23 1 3 4 2

1 1 2 1

2 1 4 2

( )

( ) ( )

( )

( )

dsk sa k k s a k a

dt

dak sa k k k s a k k a

dt

dak sa k k a

dt

dak sa k k a

dt

dpk a k a

dt

0 0 1 2(0) , (0) , (0) (0) (0) 0s s a a a a s p

1 21 2 00

da da daa a a a

dt dt dt

1 0 1 1 3 1 1 3 2

11 0 1 2 1 3 1 3 4 1 2

23 1 3 4 2

( ) ( )

( ) ( )

( )

dsk sa k k s k s a k s k a

dt

dak sa k k k s k s a k k k a

dt

dak sa k k a

dt

0

0

1a

s

1 21 0 1 2

0 0 0

, , ,a as

k a t u v vs a a

1 21 2

1 0 1 0

,k k

b bk s k s

3 3 043 4 5

1 1 0 1 0 0

, , ,k k ak

b b b sk k s k s s

1 3 1 4 2 1 2

13 1 2 1 4 3 2 1 1 2

23 1 4 5 2 2 1 2

( ) ( ) ( , , )

( ) ( ) ( , , )

( ) ( , , )

duu u b b u v b u v f u v v

d

dvu u b u b b v b b u v g u v v

d

dvb uv b b v g u v v

d

s0

(8)

Problema (7)+(8) este o problemă singular perturbată pentru . Vom construi

o soluţie asimptotica pentru problema (7)+(8) folosind metoda funcţiilor de strat limită.

Vom presupune că funcţiile , sunt continue împreună cu

derivatele lor într-un domeniu .

Vom nota prin , soluţiile sistemului (7)+(8). În general, nu este posibil

să aflăm soluţia exactă a acestei probleme. Pentru a acoperi acest gol, vom defini o soluţie

aproximativă folosind faptul că . Pentru , sistemul (7) devine:

(9) ,

(10) ,

(11)

Dimensiunea velocităţii acestei reacţii este . Din relaţia (6), velocitatea

Michaelis-Menten a acestei reacţii, pentru

(12)

,

unde , sunt constante de tip Michaelis-Menten pentru mecanismul de reacţie

prezentat la începutul capitolului.

Rata este ilustrată în figura (1):

R0

a0k4 Forma Michaelis-

Menten

K2=0

1 2(0) 1, (0) (0) 0u v v

0 1

1 2 1 2( , ), ( , )G col g g z col v v

1 2|| || ,|| ||D z l u l

( , )z t ( , )u t

0 1 0

0du

d1 2( , , ) 0G u v v

03 1

2

4 5

b uvv

b b

0

12 1

1 2 3 4 5( )

uv

b b u b u b b

1

2 3 5 4 51 2 2 1

1 2 3 4 5

( )( , ( ), ( )) ( ) 0

( )

b b b u b bduf u v u v u u r u

d b b u b u b b

( )r u

0 1

'

2 4 00 0 0 0 ' ' 2

0 0 0

( ) m

t m m m

k k k sdsR s a s

dt k k k s s

' 4 32 1

1 3

,m m

k kk kk k

k k

mk '

mk

0 0( )R s

Dacă unii parametri sunt zero, aceste puncte devin puncte de inflexiune ( ,

pentru mic).

Vom spune că sistemul (9) se numeşte sistem redus pentru (7). Vom presupune că

funcţiile G, f sunt infinit diferenţiale în D.

Observaţia 4(Veener): În mecanismul reacţiei Michaelis-Menten o singură enzimă

intră în legătură cu o singură moleculă de substrat. În acest caz, enzima are o singură poziţie

de legătură. Dar multe enzime au mai multe locuri de legătură pentru moleculele substrat. De

exemplu hemoglobina (Hb) are 4 locuri de legătură pentru moleculele de oxigen (O2).

Fenomenul prezentat în acest subcapitol se numeşte al “asocierii” (“cooperative

phenomena”) dacă o singură moleculă după legătura cu molecula substrat la un singur loc de

legătură, se poate lega la alte molecule substrat în alte locuri de legătură. Asemenea fenomene

sunt răspândite în cinetica enzime-lor. Un alt caz important al asocierii este când o enzimă cu

locul ei de legătură este de asemenea legată la o moleculă substrat, poate afecta desfăşurarea

legăturilor la alte molecule substrat în locurile lor de legătură. Această interacţiune indirectă

între locurile de legătură specifice şi distincte se numeşte efect alosteric (enzime alosterice).

Dacă substratul, cu un singur loc de legătură creşte activitatea legăturilor la alte locuri

de legătură, atunci acest substrat se numeşte activator (în caz de descreştere - inhibitor).

Aceste reacţii alosterice au fost detaliare de cercetătorul Stryer].

7. Simularea bioproceselor

Vom prezenta în acest capitol o soluţie numerică pentru sistemul :

(1) , cu condiţia iniţială

(2) .

Cu schimbarea de variabilă:

(3) , sistemul (1) poate fi rescris sub forma:

2 0k

0s

( )

( )

dxx x b c y

dt

dyx x b y

dt

(0) 0x

,u x y v y x

(4)

Pentru sistemul (4) obţinem o dezvoltare asimptotică de ordinul s, dacă:

(5)

Pentru determinarea algoritmului numeric, vom folosi metoda lui Euler, pe un interval

bine precizat .

(6)

Din algoritmul metodei lui Euler obţinem:

(7)

Presupunem că există funcţiile care aproximează funcţiile şi

.

(8)

Construim algoritmul de forma:

(9)

Algoritmul constând în determinarea lui în condiţiile în care este dat astfel

încât relaţia (5) să fie adevărată are forma:

(10) 1. valoarea este precizată, urmează a fi determinat

2. consider numărul de iteraţie

3. considerăm iniţializarea:

4. pentru , obţinem generarea valorilor

5. fie

6. dacă este mic, iteraţia este convergentă

0

( , )

, (0)

( , )

duF u v

dtu u

dvG u v

dt

1

10

s

s

d v

dt

10,T

1

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

s s sD v t D v t T D v t

D v t v t

11 1 2

1( ) ( )

ss s s

s

d vD v t T O T

dt

( ), ( )u t v t ( )u t T

( )v t T

( ) ( ( ), ( ))

( ) ( ( ), ( ))

u t T u u t v t

v t T v u t v t

1 1

1 1

( , ) ( ), 0,

( , ) ( )

n o

i i i i

i i i i

t t nT

u u u v u t i s

v v u v v t

0v 0u

0u 0v

1l

(1)

0 0v v

0u ( )

0

lv ( ) ( ) ( )

1 2 1, ,...,l l l

sv v v

1 ( )

0( 1)s s lD v

7. dacă nu este mic:

8. creşterea valorii lui l şi întoarcerea la pasul 4.

Pentru obţinem:

(11)

Pentru consider:

(12)

Dacă în relaţiile (11) şi (12) nu este suficient de mic, îl putem lua sub forma:

(13) ,

Pentru sistemul (1) din capitolul III 10 am obţinut soluţia:

(14)

Folosind metoda lui Euler pentru n etape şi cu pasul fix p ( ) am implementat

valorile funcţiilor şi din relaţiile (8) şi (9).

Pentru , am obţinut estimarile:

s Soluţia iterată y Soluţia asimptotică y

0 0.500000000 0.500000000

1 0.502038375 0.50211400

2 0.502021875 0.502016233

3 0.502021813 -

4 0.502021813 -

Figura 1: Compararea soluţiilor sistemului (1) pentru 1,b 0,5, 0,1c . Se

observă comportarea variabilei rapide z în funcţie de domeniul de reprezentare

Pentru , am obţinut estimările:

( 1) ( )

0 0

s sv v

0s

1 0 0( )dv

v v T tdt

1s

2 1 02v v v

1 0v v 0 1 22v v v

22 3

4 7

(2 3 )( )

( ) ( )

x bcx bcx bc cx xb by O

x b x b x b

T np

u v

0,1 , 1, 1, 0,5100

p n b c

0,1 , 4, 1, 0,510

p n b c

s Soluţia iterată y Soluţia asimptotică y

0 0.497775080 0.500000000

1 0.502056821 0.502014000

2 0.502024335 0.502016233

3 0.502024087 -

4 0.502024017 -

Figura 2: : Compararea soluţiilor sistemului (1) pentru 0,01, 1, 0,5b c în

rapot cu schimbarea domeniului. Se observă în ambele cazuri variaţia lentă a graficului

funcţiei x

Pentru , am obţinut estimările:

s Soluţia iterată y Soluţia asimptotică y

0 0.500000000 0.500000000

1 0.500200614 0.500201400

2 0.500200422 0.50200412

0,01 , 1, 1, 0,5100

p n b c

Figura 3: Simularea soluţiilor sistemului perturbat (1) pentru valorile

1, 0,5, 0,001b c . Se observă comportarea diferită a soluţiei rapide y. Dacă în primul

caz avem o comportare “dinţi de fierăstrău”, în cea de-a doua figură avem o comportare

armonică.

Se observă că pentru T destul de mare ales, vom avea o convergenţă rapidă.

Pentru am construit o aproximare folosind algoritmul (10) şi am

determinat valorile funcţiilor x şi y pentru diferite valori ale parametrului .

Pentru , valorile funcţiilor x şi y verifică

estimările:

s X Y

0 0.87714847 0.40063032

1 0.88632487 0.48145301

2 0.88645611 0.49132189

Pentru , , valorile funcţiilor x şi y

verifică relaţia:

s X Y

0 0,8876252 0,50114526

1 0,8887816 0,50014062

2 0,88864058 0,50013921

Observaţia 1:

Hemker a considerat cazul în care iteraţia (29) converge pentru T mic, în condiţii

speciale. Folosind polinoame de interpolare şi aplicând metoda lui Newton a obţinut un

algoritm de convergenţă în ipoteza în care matricea este negativ definită.

(0) 1,7u (0)v

0,1 , 4, 1, 0,510

p n b c

0,1 , 4, 1, 0,510

p n b c (0) 1,7u

G

y

Figura 4: Simularea în 3D a soluţiei “lente” a sistemului perturbat (1) pentru

1, 0,5b c şi pentru diferite valori ale parametrului . Din cele 6 grafice nu se observă o

diferenţă semnificativă în comportarea graficului soluţiei x.

Figura 5: Simularea în 3D a soluţiei “rapide” a sistemului perturbat (1) pentru

1, 0,5b c şi pentru diferite valori ale parametrului . Soluţia y prezintă acceaşi

comportare “dinţi de fierăstrău” care confirmă denumirea de soluţie rapidă

Vom rescrie sistemul prezentat în III 14. sub forma:

(1)

3 1 1 4 2 1 2

113 1 2 1 4 5 2 1 1 2

123 1 4 5 2 2 1 2

( ) ( ) ( , , )

( ) ( ) ( , , )

( ) ( , , )

duu u a a v a u v f u v v

d

dvu u a u a a v a a u v g u v v

d

dva uv a a v g u v v

d

(2)

Fie (3) , unde h este discretizarea şi fie (4)

. Din dezvoltarea în serie Taylor, pentru cele 3 funcţii (caz particular

pentru u) vom avea:

(5)

Din relaţiile (5) obţinem:

(6)

Din relaţiile (6) obţinem:

(7) - “aproximare înainte”

- “aproximare înapoi”

Forma generală ( ) a relatiei (7) este:

(8)

Unde eroarea este:

1 2(0) 1, (0) (0) 0u v v

nt n h ( ),n nu u t

1 1 2 2( ), ( )n n n nv v t v v t

2 3 4

2 3 4

1 1( ) ( ) '( ) "( ) "'( ) ( )

2 6

1 1( ) ( ) '( ) "( ) "'( ) ( )

2 6

u t h u t hu t h u t h u t O h

u t h u t hu t h u t h u t O h

2 4

22

2 2

3

2

( ) ( ) 2 ( ) "( ) ( )

1"( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2 '( ) ( )

1'( ) ( ) ( ) ( )

2

u t h u t h u y h u t O h

d uu t u t h u t u t h O h

dt h

u t h u t h hu t O h

u t u t h u t h O hh

1'( ) ( ) ( ) ( )u t u t h u t O h

h

1'( ) ( ) ( ) ( )u t u t u t h O h

h

1 1

(1 ) ( ) 2 ( ) (1 ) ( )'( )

2

u t h u t u t hu t

h

2

"( ) "'( )2 6

hhu t u t

(9)

Fig. 1: Simularea soluţiei problemei singular perturbate (1) pentru valorile parametrului

=10, =1, =9, =11, =10, =10,

,

Am obţinut simularea în Matlab a soluţiei problemei perturbate, pentru diferite valori

ale parametrului . Am lucrat în ipoteza în care este foarte mic. Convenţional în cinetica

enzimelor, parametrul este ales astfel încât concentraţia iniţială a enzimei este mult mai mică

decât concentraţia iniţială a substratului. Din simularea în Matlab a soluţiei sistemului (1)se

observă că se pot produce schimbări considerabile ale soluţiei.

1

n

n n

t t

u udu

dt k

1k

1k 2k 3k 3k 4k

3

0 1002.0e 02.00s

Din comportarea soluţiilor asimptotice putem spune că funcţiile şi au schimbări

considerabile a formei soluţiilor (rapide) în raport cu comportarea funcţiei u (lentă).

Fig. 2: Soluţia numerică a problemei singular perturbate (1) pentru valorile parametrului

=10, =1, =9, =11, =10, =10,

,

Pentru , sistemul (1) devine:

(10)

1v 2v

1k

1k 2k 3k 3k 4k

3

0 1002.0e 2.00s

1 2 0dv dvdu

d d d

4 51

4 5 3 5 3 1 4 1 5 2 4 2 5

2

32

4 5 3 5 3 1 4 1 5 2 4 2 5

( )( )

( 2 )

( )( 2 )

a a uH u

u a a a a a u a a a a a a a a

a uH u

u a a a a a u a a a a a a a a

(11)

Funcţiile , au fost determinate pentru a găsi un domeniu astfel încât să

existe .

(12)

În cazul sistemului perturbat (1), putem face următoarea schemă:

În general, noţiunea de stabilitate este un concept greu de demonstrat analitic. Din

simularea soluţiei, se observă că efectul transformării este foarte mare în vecinătatea

, pentru fixat vom avea pentru . Deci pentru o vecinătate foarte

mică de-a lungul dreptei , corespunde o vecinătate mai mare a lui .

În multe reacţii enzimatice, se consideră si se evaluează, în stabilirea

shemei de discretizare, termenii de ordin , iar termenii de ordin se neglijează.

1 2

1 2

lim ( ) 0, lim ( ) 0

(0) (0) 0

u uH u H u

H H

1H 2H 0

* 0

*

1 2 0( ), ( ), ( ) , ( )u v v

0 0 1 1 0

0

0 1

(1)O ( )O

discretizar

e

convergenţ

ă

Sistem

diferenţial

Sistem algebric

de ecuaţii

Soluţie

analitică

Soluţie

numerică

stabilitate

Fig3. Implementarea numerică a problemei (1) pentru valorile parametrilor =10, =1,

=9, =11, =10, =10, ,

Observaţia 1(Ilea): Din sistemul (1) se observă că numai dacă

funcţiile , nu pot fi egale cu zero. Atunci pentru este esenţial ca modelul

mecanismului de reacţie să fie modelat de:

(13)

Rezolvând ecuaţiile algebrice din relaţia (13) obţinem: .

(14)

Segel extinde analiză asimptotică pentru cazul în care , caz în care constanta

este mare în cazul a multor reacţii enzimatice.

Relaţia (14) ne ajută la aflarea vitezei de reacţie care în general se determină

experimental.

1k 1k 2k

3k 3k 4k 3

0 1002.0e 0002.00s

1 21, 1dv dv

d d

1g 2g (1)O

1 2

1 1 2 2 1 2

( , , )

( , , ) ( , , ) 0, (0) 1

duf u v v

d

g u v v g u v v u

1 1 2 2( ), ( )v h u v h u

1 2( , ( ), ( ))du

f u h u h ud

0

0

(1)e

Os

mk

Fig4. Soluţia numerică a problemei (1) pentru valorile parametrilor =10, =1, =9,

=11, =10, =10, ,

Observaţia 2(Hillen): Consider velocitatea reacţiei clasice Michaelis-Menten astfel:

(15) ( este o funcţie liniară în

raport cu ).

Se defineşte fenomenul “asocierii enzimelor” astfel:

Definiţia 1: O enzimă poate fi definită local de tip:

a) Michaelian dacă este local liniară în raport cu

b) “pozitiv (negativ) asociată” dacă este local convexă în raport cu .

1k 1k 2k 3k

3k 4k 3

0 1002.0e 002.00s

max

max max

1 1 1( )

( )

m

m

kSU s V

k S U s V s V

1

( )U s

1

S

1

U

1

S

1

U

1

S

Veener introduce următorul parametru obţinut din date experimentale:

(16) .

Definiţia 1 este echivalentă cu:

a) Michaelian dacă

b) Pozitiv (negativ) asociată dacă:

90%

10%s

concentraţia substratului la saturaţieR

concentraţia substratului la saturaţie

81sR

81 ( 81)s sR R

Pozitiv

asociată

Negati

v

asociat

ă

Michaelia

n

1

U

1

S

Fig. 5 Implementarea numerică a soluţiilor problemei (1) pentru valorile parametrilor: =10,

=1, =9, =11, =10, =10, ,

Observaţia 3(Stryer): Sistemul (1) modelează legăturile hemoglobinei (o proteină

aflată în celulele roşii) cu oxigenul. Funcţia hemoglobinei este de a realiza legături cu

moleculele de oxigen astfel încât sângele să ajungă direct în plămâni şe de a se remite în

ţesuturi. De exemplu, muşchii conţin mioglobină (o altă proteină care realizează legături cu

moleculele de oxigen). S-a evidenţiat experimental că mioglobina are o mai mare afinitate

faţă de moleculele de oxigen decât hemoglobina. În plamân presiunea oxigenului este 100

mmHg şi hemoglobina este 98% saturată. În muşchi presiunea oxigenului este de numai 30-

40 mmHg şi s-a observat că oxigenul se asociază cu mioglobina în cele mai multe cazuri.

Hemoglobina este sintetizată de către globulele roşii în timpul formării în măduva

osoasă. Ea este un pigment roşu aprins, atunci când este oxigenată, albastru atunci când îşi

pierde oxigenul său (venele din marea circulaţie).

Mioglobina este prezentă în celulele muşchilor striaţi (muşchii scheletului şi

miocardul). Dozarea ei este utilizată mao ales în diagnosticul precoce al infarctului miocardic.

Metodă de tip Runge – Kutta pentru un sistem de ecuaţii diferenţiale cu

parametru mic în cinetica enzimelor.

Vom reconsidera sistemul care modelează fenomenul “asocierii enzimelor”, sub

forma:

1k

1k 2k 3k 3k 4k 3

0 0.2 10e0 0.0002s

(1)

Cu condiţiile iniţiale:

(2)

Vom rescrie sistemul (1) sub forma:

(2) , unde

(3)

Problema regulată asociată sistemului (2) este de forma ( ):

(3)

Vom lucra în ipoteza în care ecuaţia admite soluţie unică (care este

verificată):

(4)

Din relaţia (4), vom avea o soluţie unică:

(5)

Din teorema funcţiilor implicite obţinem:

(6)

Utilizând metoda Runge –Kutta pentru sistemul regulat (3) vom avea:

3 1 4

3 1 2 4 5 1

3 4 5 2

( ) ( ) ( , , )

( ) ( ) ( , , )

( ) ( , , )

dxx x b x b y b x z f x y z

dt

dyx x b x b b y b b x z g x y z

dt

dzb xy b b z g x y z

dt

(0) 1, (0) (0) 0x y z

( , )

( , )

dxf x p

dt

dpg x p

dt

1 2( , ), ( , )p col y z g col g g

0

( , )

0 ( , )

dxf x p

dt

g x p

( , ) 0g x p

2

3

2

3 4 5 1 4 5 2 4 5

4 5

2

3 4 5 1 4 5 2 4 5

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

b xz

b x x b b b b b b b b

b b xy

b x x b b b b b b b b

( )p G x

, ( )dx

f x G xdt

(7)

, , ,

1

, ,

1 , ,

1

1 1

,

0 ,

,

0 ,

l

n i n ij n j n j

j

n i n i

l

n n i n i n i

i

n n

X x h a f X P

g X P

x x h b f X P

g x p

Pentru problema perturbată (2) obţinem scema:

(8)

, , ,

1

, , ,

1

1 , ,

1

1 , ,

1

,

,

,

,

l

n i n ij n j n j

j

l

n i n ij n j n j

j

l

n n i n j n j

j

l

n n i n j n j

j

X x h a f X P

P p h a g X P

x x h b f X P

p p h b g X P

Natural, vom căuta soluţia asimptotică a problemei (2) de forma:

(9)

Înlocuid relaţia (9) în (2) şi separând termenii după puterile lui obţinem:

(10)

(11)

(12)

Utilizând metoda Runge – Kutta obţinem:

(13) 1

11

ln n ni

i

in n ni

x x uh b

p p v, unde

(14)

(15)

Dacă scriem o dezvoltare formală a funcţiilor din relaţiile (13), (14), (15) de forma:

0 0

( ) ( ), ( ) ( )i i

i i

i i

x t x t p t p t

' 0

0 0 0 0 0( , ), 0 ( , )x f x p g x p

' 1

1 0 0 1 0 0 1

'

0 0 0 1 0 0 1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

x p

x p

x f x p x f x p p

p g x p x g x p p

'

0 0 0 0 0 0 1 1

'

1 0 0 0 0 0 0 1 1

( , ) ( , ) ( , ,..., , )

( , ) ( , ) ( , ,..., , )

p x s p s s s s

s

s x s p s s s s

x f x p x f x p p x p x p

p g x p x g x p p x p x p

,

,

ni nini

ni ni ni

f X Pu

v g X P

1

, 1,l

njni n

ij

ini n nj

uX xh a i l

P p v

(16)

şi similar pentru , , obţinem:

(17)

Observaţia Ilea: în condiţiile din ipoteză, dacă aplicăm metoda Runge – Kutta clasică,

de ordin q, pentru o constantă , obţinem:

(18)

Unde sunt erorile introduse de relaţia (9).

Hemker a demonstrat că erorile introduse de metoda Runge – Kutta verifică:

(19) , unde .

Estimarea (19) este uniformă pentru şi , fiind o constantă.

Dacă în plus avem:

(20)

(21)

BIBLIOGRAFIE

1. S. I. Rubinow – Introduction to Mathematical Biology, Ed. Dover ,2002

2. S.S.Sablani, A.K.Datta- Handbook of Food and Bioprocess Modeling Techniques,

CRC Edition, 2006.

3. P. Doran- Bioprocess Engineering Principles, 1997

4. Jan de Leeuw, E. Meijer - Hanbook of Multilevel analysis, Ed. Springer Verlag, 2007

0 1 2 2

0 1 2 2

0 1 2 2

...

...

...

n n n n

ni ni ni ni

ni ni ni ni

x x x x

X X X X

u u u u

np niP niv

0

0

( ) ( )

( ) ( )

m m

n n n m n

m

m m

n n n m n

m

x x t x x t

p p t p p t

0,M M h

0 1 1

10 1

( ) ... ( )

( ) ... ( )

m m m

n n n n n

mm m

n n n n n

x x t x x x O

p p t p p p Oh

0 0 0 0( ), ( )n n n n n nx x x t p p p t

1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

q r

n n

r

n n

x x t O h O h

p p t O h1 r q

0h h 1n h M 1M

, ( )li ia b i

( ) ( ) ( )q r

n np p t O h O h