Denumirea disciplinei: MECANICĂ TEORETICĂ ŞI MECANICA FLUIDELOR Titularul de disciplină: Conf. DR. ing. Chitac Vergil , SL. Dr. ing. Dascălu Dumitru Categoria formarivă: Categoria de opţionalitate: obligatorie Nr. ore: Forma de verificare: Nr credite: Discipline anterioare: obligatorii: MATEMATICI, FIZICĂ, recomandate: Obiective didactice: 1. Mecanica şi rezistenţa materialelor este disciplină de pregătire tehnică de

bază care asigură viitorului specialist în exploatări portuare cunoştinţele

fundamentale legate de comportamentul în diverse condiţii, naturale sau

artificiale, a corpurilor rigide, respectiv deformabile, întâlnite cu precădere

în activităţile de exploatare portuară.

2. Disciplina asigură formarea deprinderilor de evaluare şi calcul a

comportamentului punctelor şi sistemelor de puncte, a corpurilor şi

sistemelor de corpuri din punct de vedere a echilibrului static, studiului

cinematic şi dinamic al mişcării mecanice.

3. Asigură formarea deprinderilor de evaluare şi calcul a comportamentului

corpurilor supuse solicitărilor simple sau complexe precum şi

particularităţile de comportament date de proprietăţile intrinseci ale

materialelor utilizate.

4. Disciplina se bazează pe cunoştinţele însuşite în cadrul unor discipline de

pregătire fundamentală (Matematici, Fizică, tehnologia materialelor),

ajutând la însuşirea unor discipline de pregătire fundamentală şi tehnică de

bază (Hidromecanică, Mecanisme şi Organe de Maşini, Bazele

Electrotehnicii), respectiv a unor discipline de specialitate (Mecanica şi

Construcţia Navei, Maşini şi Instalaţii Hidraulice şi Pneumatice, Instalaţii

Navale şi Portuare).

Conţinutul disciplinei: MODULUL MECANICĂ TEORETICĂ - NOŢIUNI INTRODUCTIVE ŞI ELEMENTE DE GEOMETRIA MASELOR ŞI CALCUL VECTORIAL; - STATICĂ; - CINEMTICA; - DINAMICA;

PARTEA I

Obiective operaţionale: Să cunoască evoluţia mecanicii în decursul istoriei, tendinţele actuale şi de perspectivă în acest domeniu Să cunoască şi să definească noţiunile fundamentale şi principiile mecanicii clasice obiectul mecanicii, modele folosite în mecanică principiile mecanicii clasice Să definească şi să caracterizeze mărimile fizice şi unităţile de măsură specifice mecanicii

CAPITOLUL 1– ELEMENTE INTRODUCTIVE 1.1. ELEMENTE GENERALE – SCURT ISTORIC

Apărută din cele mai îndepărtate timpuri, mecanica este o ramură a ştiinţelor naturii, care studiază una din cele mai simple forme de mişcare a materiei, cunoscută sub denumirea de mişcare mecanică, definită ca modificarea a poziţiei relative a unui corp, sau parte a acestuia, faţă de un alt corp, considerat ca reper (sistem de referinţă). Baza fenomenelor studiate de mecanică o constituie două noţiuni fundamentale: materia şi mişcarea. Conceptul de materie a avut în timp o evoluţie complexă. În antichitate, prin materie era considerată numai una din formele sale multiple de existenţă, substanţa. Această viziune simplistă a fost continuu completată, odată cu noile descoperiri, iar cele mai recente descoperiri în domeniul fizicii nucleare, radioactivităţii arată clar că nu au fost epuizate toate formele de manifestare ale materiei. Caracteristica dominantă a speciei umane, de depăşire şi autodepăşire a făcut ca problemele cerute de dezvoltarea civilizaţiei umane să fie din ce în ce mai complexe, generând inevitabil, adăugarea de noi capitole disciplinei. Utilizând noi metode de cercetare şi investigaţie, dispunând de aparatul matematic continuu dezvoltat şi perfecţionat, mecanica a devenit o ştiinţă independentă, capabilă să răspundă celor mai complexe probleme ridicate de tehnica modernă.

1.2. PRINCIPIILE MECANICII

Deoarece mecanica clasică este o ştiinţă a naturii, în elaborarea teoriilor ei, iniţiatorii, pornind de la realităţi evidente, ce nu puteau fi demonstrate matematic au introdus mai multe principii sau axiome. Acestea reprezintă realităţi ce pot fi evidenţiate experimental dar nu se pot demonstra şi matematic. Isaac Newton a enunţat pentru prima dată în formă finală (utilizată şi în prezent ) aceste principiile, pe care le-a denumit axiomele sau legile mişcării. Legea I – Principiul inerţiei: Legea a-II-a – Principiul acţiunii: Legea a-III-a – Principiul acţiunii şi reacţiunii În lucrarea sa Newton defineşte ca fiind Corolarul I, un alt principiu de bază al mecanicii clasice denumit principiul paralelogramului forţelor. Conform acestui principiu, dacă asupra unui punct M acţionează simultan două forţe

1F şi

2F efectul lor

este acelaşi cu al acţiunii unei singure forţe F , având mărimea şi sensul diagonalei paralelogramului construit pe cele două forţe. Denumirile de acţiune şi reacţiune în sensul legii a-III-a sunt convenţionale deoarece este impropriu să se afirme că forţele de acţiune şi reacţiune îşi fac echilibru, ele acţionând asupra a două corpuri diferite. 1.3. MODELELE UTILIZATE ÎN MECANICĂ Necesitatea de a obţine metode cât mai generale de calcul matematic, capabile să poată acoperi marea diversitate a fenomenelor din natură a impus realizare unor modele de calcul, capabile să se suprapună cât mai fidel peste evenimentele, determinările experimentale verificând rezultatele obţinute prin calcul bazate pe modelul utilizat. Acest nou mod de gândire a apărut odată cu terecerea de la gândirea aristotelică şi scolastică a evului mediu. Newton defineşte primul model al mecanicii, punctul material. O mulţime de puncte materiale dispuse la distanţe relativ mari, dar care interacţionează între ele formează un sistem de puncte materiale. Dacă într-un anumit spaţiu delimitat de un domeniu finit, punctele materiale infinit de mici sunt dispuse foarte apropiate între ele, uniform şi formând diferite structuri cu dispunere uniformă în spaţiu, astfel că detaşând orice volum elementar din orice poziţie din spaţiul dat, numărul de puncte materiale este acelaşi s-au foarte apropiat, acesta constituie continuul material. Cu alte cuvinte, în cadrul sistemelor de puncte materiale, dispunerea lor spaţială este discretă, iar în cazul conţinuului de material (corpuri) dispunerea este continuă. Acest model se mai defineşte ca mediu continuu sau corp material continuu sau simplu corp. Dacă punctele materiale ale unui corp îşi păstrează poziţia lor relativă şi distanţa dintre ele constantă, indiferent de sistemul de forţe ce acţionează asupra sa atunci corpul devine un nou model, respectiv corp rigid, sau corp nedeformbil, sau mai simplu rigid. Corpul real suferă deformaţii sub acţiunea forţelor ce acţionează asupra sa. Deformaţiile sunt elastice, dacă, după încetarea acţiunii corpul îşi recapătă forma şi dimensiunile iniţiale şi respectiv plastice în cazul în care corpul nu-şi mai recapătă

forma şi dimensiunile iniţiale. Pornind de la raportul celor trei dimensiuni cu ajutorul cărora stabilim volumul unui corp, în mecanică se mai utilizează şi modele particulare ale corpurilor: bară, fir, suprafeţe materiale sau plăci, membrană. Aceste modele de studiu se completează în funcţie de posibilităţile de mişcare ale punctului şi rigidului cu două situaţii distincte:

- a) punctul şi rigidul liber; - b) punctul şi rigidul supus la legărturi

Aceste modele rezolvă toate problemele de mişcare mecanică de la cele mai generale şi până la cele mai simple mişcări ale punctului sau rigidului. Pentru a defini mişcarea mecanică, definită ca modificarea poziţiei în timp şi spaţiu s-a configurat un model fizic constănd dintr-un reper considerat fix sau mobil, purtând numele de sistem de referinţă fix (absolut), respectiv mobil (relativ).

CAPITOLUL 2– ELEMENTE DE CALCUL VECTORIAL Acest capitol face o trecere în revistă a operaţiilor cu mărimile vectoriale proprietăţilor acestora utilizate pe parcursul acestui curs, fiind strict necesare pentru o mai bună înţelegere şi parcurgere a disciplinei;

Obiective operaţionale: Să cunoască şi să poată utiliza în aplicaţii concrete proprietăţile mărimilor vectoriale şi modul de definire a acestor mărimi; Să cunoască şi să poată utiliza în aplicaţii concrete principalele operaţi cu mărimile vectoriale şi proprietăţile acestor operaţii;

conţinutul temei: - mărimile vectoriale, definire proprietăţi, transpunere matematică; - operaţii cu mărimile vectoriale: elemente de calcul vectorial, matricial şi tensorial.

2.1. ELEMENTE GENERALE

Mărime scalară, sau scalar reprezintă un număr pozitiv sau negativ urmat de unitatea de măsură, precizând de câte ori este cuprinsă unitatea de măsură în mărimea dată.

Mărime vectorială r , este definită complet dacă sunt precizate cele trei elemente: direcţie, sens şi modul. În sistem de coordonate cartezian un vector se poate descompune după cele trei direcţii ale spaţiului cu ajutorul proiecţiilor sale pe cele trei axe. Prin definiţie, numim

vector de poziţie a unui punct în raport cu un sistem de referinţă, vectorul care uneşte originea sistemului cu punctul dat. Acesta se notează cu r .

Vectorul r se scrie cu ajutorul proiecţiilor pe axele sistemului de referinţă cu relaţiile:

= cos cos cosr x i y j z k r i r j r kα β γ= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ 2.2.

În acest caz modulul vectorului de poziţie r , de proiecţii x, y şi z este dat de relaţia:

r = 222zyx ++ 2.3.

Prin definiţie numim versor, un vector de modul egal cu unitatea. Versorul vectorului r , se notează cu

ru şi este dat de relaţia:

r

r

ur= ==

2 2 2

x i y j z k

x y z

⋅ + ⋅ + ⋅

+ +

2.4.

2.2. POZIŢII PARTICULARE ALE VECTORILOR

Fie doi vectori oarecare:

x y za a i a j a k= ⋅ + ⋅ + ⋅ şi r x i y j z k= ⋅ + ⋅ + ⋅

Doi sau mai mulţi vectori pot fi paraleli dacă, proiecţiile lor pe cele trei axe ale sistemului de referinţă sunt proporţionale. Prin această particularitate. Aceşti vectori formează un fascicol de vectori paraleli. Doi, sau mai mulţi vectori pot fi egali în modul, dacă scalarii vectorilor respectivi sun egali. Doi, sau mai mulţi vectori care au aceiaşi direcţie, sens şi modul se numesc echipolenţi.

2.3. OPERAŢII CU VECTORI.

Operaţiile cu mărimile vectoriale au fost aprofundate în cadrul disciplinelor de matematici, motiv pentru care în continuare se v-a face mai mult o trecere în revistă a lor, evidenţiind numai acele aspecte utilizate în cadrul disciplinei.

2.3.1 Produsul unui vector cu un scalar

v = a r

Prin produsul unui vector cu un scalar se obţine tot un vector. 2.3.2. Adunarea şi scăderea vectorilor 2.3.2.1. Metoda paralelogramului 2.3.2.2. Metoda triunghiului 2.3.2.3. Metoda poligonală 2.3.2.4. Metoda proiecţiilor Teorema proiecţiilor, matematic se exprimă cu relaţia:

1

n

n

i

pr R pr F∆ ∆

=

=∑ 2.11.

Aplicând proprietatea produsului scalar a doi vectori (rel.2.15.), că proiecţia unui

vector pe o dreaptă este egală cu produsul scalar dintre vector şi versorul dreptei respective, se obţine:

prOx iF =

ii F⋅ ׀ = i ׀ ·׀

iF cos αi = Fix ·׀

Dacă notăm cu α, β, şi γ unghiurile pe care rezultanta R a sistemului de forţe le face cu axele sistemului, atunci:

Rx = R cos α Ry = R cos β Rz = R cos γ

Aplicaţie. Trei forţe 1 2 3, , P P P sunt diagonalele feţelor paralelipipedului

OABCDEFG, de laturi a, b, c. Să se calculeze rezultanta celor trei forţe. Proiectând cele trei forţe în tabel sunt date proiecţiile lor.

Cum s-a demonstrat x y z

R R i R j R k= + +

2.3.3. Produsul scalar a doi vectori

Produsul scalar a doi vectori r şi F , notat şi cu forma restrânsă ,r F⟨ ⟩ este prin definiţie un scalar, dat de relaţiile 2.15.:

,r F⟨ ⟩= r F⋅ ׀ = r F׀ ·׀ .cos α, 2.15 ׀ α fiind unghiul format de cei 2 vectori, având originea comună. Analitic produsul scalar este dat de relaţia: r F⋅ =

x y zxF yF zF+ +

Pentru suma celor trei produse ale proiecţiilor celor doi vectori ai produsului scalar se poate utiliza termenul de trinomul produsului scalar a doi vectori.

2.3.4. Produsul vectorial a 2 vectori

Prin definiţie, produsul vectorial P a doi vectori oarecare notaţi cu r , respectiv

F , este un vector dat de relaţia:

P r F= × 2.17. Produsul vectorial, se poate calcula analitic, pornind de la proiecţiile celor doi vectori pe axele sistemului de referinţă, ajutorul determinantului simbolic sau caracteristic metodă numită în lucrare cu denumirea de metoda determinantului.

Forţa ix

F iyF

izF

1P a b 0

2P a 0 c

3P 0 b c

x y z

i j k

r F x y z

F F F

× = 2.20.

2.3.5. Dublul produs vectorial

Dublul produs vectorial a trei vectori w este un vector a cărui expresie matematică este:

( )w a b c= × × 2.21. respectiv

( ) ( )w a c b a b c= ⋅ − ⋅ 2.22. 2.3.6. Produsul mixt a trei vectori

Produsul mixt a trei vectori a , b , c , se notează cu ( a , b , c ) şi este dat de relaţia:

( a , b , c ) = a (b×c ) 2.23.

Aplicaţie. Se dau vectorii:

2 3 4a i j k= − + , 4 3b i j k= − + − , 3 2c i j k= − + − .

Se cere să se calculeze:

) ?

) ?

) ?

) ( ) ?

) ( ) ?

a a b c

b a b

c a b

d a b c

e a b c

+ + =

⋅ =

× =

× × =

⋅ × =

Rezolvare.

a) a b c+ + = 4 j k−

Pentru punctul b), produsul scalar se obţine calculând trinomul produsului scalar, obţinând:

(2 3 4 )( 4 3 ) 26a b i j k i j k⋅ = − + − + − = −

(2 3 4 ) ( 4 3 ) 8 6 3 9 4 16 7 2 5a b i j k i j k ji ik ji jk ki kj i j k× = − + × − + − = − + + − + = − + +

Pentru dublul produs vectorial de la punctul d) se aplică relaţia 2.22.a. respectiv:

( ) ( ) ( ) ,

(2 3 4 ) ( 3 2 ) 19

(2 3 4 ) ( 4 3 ) 26

( ) 45 154 109

a b c a c b a b c

a c i j k i j k

a b i j k i j k

a b c i j k

× × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

⋅ = − + ⋅ − + − = − ⇒

⋅ = − + ⋅ − + − = −

× × = − +

Pentru produsul mixt de la punctul e), se calculează mai întâi produsul vectorial şi apoi cel scalar obţinând:

1 4 3

1 3 2

( ) (2 3 4 ) ( ) 3

i j k

b c i j k

a b c i j k i j k

× = − − = + + ⇒

− −

⋅ × = − + ⋅ + + =

Acelaşi rezultat se obţine, însă mult mai rapid dacă se foloseşte relaţia 2.25. calculând

2 3 4

1 4 3

1 3 2

−

− −

− −

=3

PARTEA a II a. STATICA

STATICA, este partea mecanicii care studiază condiţia necesară a fi îndeplinită de un punct sau sisteme de puncte, un corp sau sisteme de corpuri, libere sau supuse unor legături, astfel încât, sub acţiunea unei forţe sau sistem de forţe, acestea să păstreze starea de echilibru pe care o aveau înainte de acţiunea forţelor sau sistemelor de forţe. OBIECTIVE DIDACTICE: Să cunoască echilibrul punctului material liber şi supus la legături respectiv axioma legăturilor. Să definească, să reducă şi să particularizeze sistemele de vectori cu care operează mecanica.

A (m)

B(m) C(m)D

x

y

β

M (m1)

β

F1 F

2

F3

α

CONŢINUTUL:

- statica puntului material; punct material liber punct material supus la legături statica punctului material liber (reducerea sistemului de forţe ce acţionează asupra unui punct material liber condiţiile de repaus ale punctului material liber);

- statica punctului material supus la legături; - axioma legăturilor; - statica punctului material supus la legături fără frecare; - statica punctului material supus la legături cu frecare; - calculul analitic al echilibrului unui punct material; - aplicaţii;

CAPITOLUL 3. STATICA PUNCTULUI MATERIAL

Studiază punctele materiale în echilibru (fără existenţa mişcării relative). Punctul

material poate fi: liber, atunci când poate ocupa orice punct în spaţiu sau supus la legături, dacă punctul este obligat să rămână pe o suprafaţă sau o curbă dată. 3.1. STATICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER

Condiţia de echilibru este:

Rx = F1x + F2x + …+ Fnx = 1

n

ix

i

F

=

∑ =0

Ry = F1y + F2y + …+ Fny = 1

n

iy

i

F

=

∑ =0 3.2.

Rz = F1z + F2z +…+ Fnz = 1

0

n

iz

i

F

=

=∑

Aplicaţie. Un punct material M de masă m, este atras de trei puncte de mase m cu

o forţă după legea lui Newton. Să se determine relaţia între b şi h. Dacă cele trei puncte se găsesc în vârfurile unui triunghi isoscel de bază b şi înălţime h, iar echilibrul se

realizează la jumătatea lui h.

2

3

2( 1 ) 2b

h+ =

2 2a b+

Fig. 3.3. Aplicaţie

3.2. STATICA PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI

Cum sa arătat anterior, prin definiţie, orice legătură mecanică reprezintă o

restricţie geometrică, punctul fiind obligat să rămână tot timpul în contact cu curba sau suprafaţa de care este legat. Componentele din legătură reprezintă reacţiunea (răspunsul) legăturii la acţiunea forţelor ce acţionează asupra corpului studiat pentru menţinerea echilibrului. De aceia legăturile mai poartă denumirea de reacţiuni.

Axioma legăturilor: orice legătură mecanică se poate substitui cu un echivalent mecanic constând din forţe sau momente corespunzătoare.

-legături unilaterale: când legătura se menţine numai într-un sens, sub acţiunea unei forţe. Exemplu, o bilă suspendată cu ajutorul unui fir de un punct considerat fix;

-legături bilaterale: când, chiar dacă forţa acţionează în ambele sensuri, legătura se menţine. Exemplu, o bilă suspendată cu ajutorul unui vergele rigide de un punct considerat fix

Cazul 1. Dacă T = 0, legătura este fără frecare şi se numeşte legătură lucie sau ideală.

Cazul 2. Dacă T≠ 0, avem legătură cu frecare sau legătură rugoasă sau aspră. Aplicaţii diverse.

3.3. FRECAREA ŞI LEGILE EI

Frecarea apare ca o componentă suplimentară într-o legătură, în urma interacţiunii mecanice a suprafeţelor corpurilor în contact. Cel care în urma studiului a stabilit aceste legi ale frecării a fost Coulomb, acestea fiind cunoscute şi sub denumirile de legile lui Coulomb sau legile frecării uscate.

1. Forţa de frecare maximă dintre suprafeţele în contact a două corpuri este

proporţională cu reacţiunea normală pe suprafaţa de contact

2. Mărimea forţei de frecare depinde de materialul natura şi calitatea suprafeţelor în contact.

3. Mărimea forţei de frecare nu depinde de viteza relativă dintre suprafeţele celor două corpuri şi nici de mărimea suprafeţei de contact.

3.4. STUDIUL ANALITIC AL ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL

PE O SUPRAFAŢĂ LUCIE Se consideră un punct material M obligat să rămână pe o suprafaţă lucie a cărei ecuaţie în coordonate carteziene este:

( ), , 0f x y z = 3.5.

aceasta constituie pentru punctul material o legătură bilaterală ideală (în cazul legăturii unilaterale exprimarea matematică ar fi fost ( ) 0z,y,xf ≥ ). De la matematică se ştie că normala la suprafaţă în punctul de contact este:

f f f

N gradf i j kx y z

λ λ ∂ ∂ ∂

= = + + ∂ ∂ ∂

3.6.

Ecuaţia de echilibru a punctului material pe suprafaţă 0R N+ = , se scrie în acest caz:

0R gradfλ+ = Aplicaţii, privind echilibrul punctului pe o suprafaţă respectiv curbă.

CAPITOLUL 4. STATICA RIGIDULUI

Numim rigid un corp pentru care distanţa dintre două puncte oarecare ale sale nu

se modifică sub acţiunea unor forţe exterioare finite, indiferent de valoarea lor. OBIECTIVE OPERAŢIONALE

Să cunoască si să definească mărimile necesare studiului echilibrul solidului rigid; Să cunoască echilibrul solidului rigid, liber si supus la legături cu sau fără frecare. Să aplice metodele de calcul ale centrelor de greutate şi de simetrie;

CONŢINUTUL:

- sisteme de vectori alunecători forţa ca vector alunecător momentul uni vector

alunecător momentul uni vector alunecător în raport cu o axă sistem de vectori alunecători (vector rezultant, vector moment rezultant, reducerea sistemelor de vectori alunecători)

- sisteme particulare de vectori alunecători: -vectori concurenţi; -vectori coplanari; - vectori paraleli; - centre de greutate şi de simetrie; - teoremele lui GULDIN-PAPPUS; - aplicaţii;

- statica solidului rigid statica rigidului liber (condiţiile de echilibru ale rigidului liber, probleme de statica a rigidului liber);

- statica rigidului supus la legături fără frecare (reazămul simplu, articulaţia încastrarea)

- statica rigidului supus la legături cu frecare (frecările în cazul reazămului simplu, frecarea de alunecare, frecarea de rostogolire frecarea de pivotare, frecare în lagăre şi articulaţii); 4.1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE

Spre deosebire de punct, corpurile suferă deformaţii foarte mici sub acţiunea sistemelor de forţe exterioare, fiind considerate nedeformabile sau rigide. Dacă acţiunea unei forţe asupra unui punct putea avea că efect deplasarea acestuia după direcţia forţei respective, în cazul rigidului efectul forţei poate avea că efect nu numai deplasări pe direcţia forţei dar şi rotiri. Pentru a studia acest efect mai complex dat de acţiunea unei forţe asupra unui corp, sunt necesare definirea unor mărimi specifice. 4.1.2. Momentul unei forţe în raport cu un punct

Prin definiţie, numim moment al unei forţe F în raport cu un punct O notat cu

OFM produsul vectorial dintre vectorul de poziţie al punctului de aplicaţie al forţei F în

raport cu un punct ales O şi vectorul forţei F . Relaţia de calcul este 4.1. iar soluţia grafică este redată în fig.4.3..

OFM r F OA F= × = × 4.1.

Proprietăţile

momentului unei forţe în raport cu un punct

1)

OFM este nul în

următoarele situaţii :

a) r = 0; b) F = 0;

c) cei doi vectori sunt paraleli.

2) Dacă schimbăm punctul de aplicaţie al forţei F pe o dreaptă suport, OF

M

rămâne neschimbat. 3) Odată cu schimbarea punctului de reducere O, momentul forţei se schimbă. Odată cu schimbarea punctului O, momentul forţei în raport cu punctul O΄ este

egal cu momentul OF

M din care se scade momentul în raport cu punctul O, dat de

forţa F aplicată în O΄.

F α

OFM

r A B d O

'r

C Fig. 4.3. Momentul unei forţe în raport cu un

punct.

Aplicaţii diverse 4.1.3. Momentul unei forţe în raport cu o dreaptă

Numim moment al unei forţe în raport cu o dreaptă ∆ (

FM∆

) proiecţia pe axa ∆

a momentului forţei F în raport cu un punct oarecare ce aparţine dreptei ∆ (fig.4.6.). Se notează cu u

∆ versorul axei ∆.

F OFM u M∆ ∆

= ⋅ ( )u r F∆

= ⋅ × 4.5.

)('FruM ×=

∆∆ = M∆ = ׀

∆u ׀· ׀

OFM ׀ ·cos α = 1 ·׀

OFM cos α· ׀

Această relaţie, arată că în funcţie de semnul valorilor cosα, scalarul M∆ poate avea acelaşi sens cu u

∆ sau sens contrar.

Momentul unei forţe în raport cu o dreaptă este egal cu momentul dat de proiecţia forţei pe un plan perpendicular pe dreapta ∆ în raport cu punctul în care dreapta înţeapă planul de proiecţie.

4.1.4. Cuplul de forţe

Se define[te cuplul de forţe o pereche de două forţe egale în modul, dispuse

după direcţii paralele şi având sens contrar.

În concluzie, momentul cuplului de forţe, este un vector, dispus perpendicular pe planul format de cele două forţe. Sensul se determină cu regula burghiului drept, sau orice altă metodă utilizată pentru stabilirea sensului unui produs vectorial. Modulul este constant pentru un sistem dat de forţe depinzând numai de modulul forţelor şi distanţa dintre dreptele suport ale celor două forţe

4.1.4.1. Proprietăţile cuplului de forţe 1) Suma proiecţiilor forţelor pe orice direcţie u din spaţiu este nulă. 2) Momentul unui cuplu de forţe este un vector liber. 3) Fiind vectori liberi, cuplurile de forţe se pot însuma vectorial, translatând toti

vectorii într-un singur punct ales aleator sau funcţie de o motivaţie practică, obţinând un sistem de vectori concurenti în plan sau spatiu.

( , ) ( ) ( )O F F OF O F

M M M OA F OB F OA F OB F− −

= + = × + × − = × − ×

Operaţii legate de cuplurile de forţe

4.1.4.2. Calculul cuplurilor echivalente

Prin definitie, două cupluri sunt echivalente dacă efectul lor este acelaşi. Cupluri echivalente în acelaşi plan. În cazul cuplurilor echivalente în acelaşi plan condiţia este ca distanţa dintre

forţele noului cuplu să fie invers proporţională cu raportul modulului dintre forţele primului cuplu şi forţele celui de-al doilea cuplu.

Cupluri echivalente în plane paralele

4.1.5. Teoremele lui Varignon

În cazul studiului staticii unui punct, sistemele de forţe prezintă o caracteristică dată de faptul că aceste forţe trebuie să aibă un punct comun, fiind deci un sistem de vectori concutenţi. Acest caz particular de forţe poarta umele de forţe concurente. Teoremele lui Varignon se referă la calculul momentului unui sistem de forţe concurente în raport cu un punct sau cu o dreaptă.

Fie un sistem de forţe n

FFF ,...,,21

concurente în punctul A şi un punct O diferit

de punctul de concurenţă al forţelor.

nFOFOFORO

MMMM +++= ...

21

4.12.

acesta fiind cunoscuta în literatura de specialitate ca prima teoremă a lui Varignon. Relaţiile 4.11. şi 4.12. reprezintă forme de transpunerea matematică a primei teoreme a lui Varignon ce afirmă că pentru un sistem de forţe concurente, momentul rezultantei în raport cu un punct este egală cu suma vectorială a momentelor fiecărei forţe în raport cu punctul ales.

uFruFruFruRrn)(...)()()(

21×++⋅×+⋅×=⋅× 4.13.

sau folosind notaţiile pentru momentul unei forţe în raport cu o dreaptă obţinem:

+++=∆∆∆

...

21)( FFR

MMMn

FM∆

. 4.14.

Relaţiile 4.13. şi 4.14. reprezintă forme de transpunerea matematică a celei de a

doua teoreme a lui Varignon, ce afirmă că pentru un sistem de forţe concurente, momentul rezultant în raport cu o dreaptă ∆ este egal cu suma algebrică a momentelor fiecărei forţe în raport cu dreapta ∆ şi este egal cu momentul rezultantei în raport cu dreapta dată.

4.1.6. Torsorul de reducere

Dacă în cazul punctului, efectul unui sistem de forţe concurente ce acţioneză asupra sa se înlocuieşte, pentru simplificare, cu rezultanta, în cazul corpului se utilizează noţiunea de torsor de reducere, cu care se realizează echivalarea efectului unei forţe sau sistem de forţe într-un punct ales funcţie de necesităţi. Aceasta este motivată de faptul că faţă de efectul unei forţe asupra unui punct, ce constă în deplasarea punctului după direcţia forţei, în cazul rigidului acţiunea unei forţe poate avea ca efect nu numai o deplasare dar şi o rotire a corpului.

4.1.6.1. Torsorul de reducere al unei forţe într-un punct

Perechea de vectori F şi O

M se numeşte torsorul de reducere al forţei F în raport cu punctul O. El se notează cu:

=O

O

M

Fτ 4.15.

şi reprezintă efectul forţei în punctul dat.

4.1.6.2. Torsorul de reducere al unui sistem de forţe într-un punct

1 2... =

n i

O

O

R F F F F

Mτ

= + + +=

∑ 4.16.

În care: şi

nFOFOFOROO

MMMMM +++== ...

21

=i

FOM∑

4.1.6.3. Invarianţii torsorului de reducere

Rezultanta sistemului de forţe este primul invariant.

RM ' =

'O O R RM R M R M M ′⋅ = ⋅ ⇒ = = ct 4.20.

Proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei este constant, este cel de

al doilea invariant al torsorului de reducere, respectiv proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei.

MOx · Rx + MOy · Ry + MOz · Rz = zzOyyOxxO RMRMRM ⋅+⋅+⋅

'''= constant, 4.21.

ce reprezintă cel de al treilea invariant al torsorului de reducere.

4.1.6.4. Torsorul minimal şi axa centrală

Prin definiţie, locul geometric al punctelor pentru care torsorul unui sistem de

forţe este minimal se numeşte axă centrală.

.ctR

yRxRM

R

xRzRM

R

zRyRM

z

xyOz

y

zxOy

x

xzOx=

+−

=

+−

=

+−

4.23.

Aceasta este ecuaţia axei centrale pentru un sistem de forţe de rezultantă R şi

cuplu rezultant cu proiecţiile MOx, MOy, MOz.

Aplicaţii diverse 4.1.4.7. Sisteme de forţe echivalente Două sisteme de forţe ce acţionează asupra unui rigid, şi produc în orice punct

acelaşi efect mecanic sunt sisteme echivalente. Tot pentru realizarea unor sisteme de forţe echivalente mai simple, se pot aplica

sistemului de forţe mai multe operaţii astfel ca sistemul de forţe dat să rămână echivalent cu el însuşi. Aceste operaţii se numesc operaţii elementare (simple) de echivalenţă şi constau în:

- o forţă care acţionează asupra rigidului poate fi deplasată în lungul suportului ei;

- în sistemul de forţe dat se pot adăuga sau suprima perechi de forţe egale în modul coliniare şi de sens contrar;

- două sau mai multe forţe concurente pot fi echivalate sau înlocuite cu rezultanta lor.

- o forţă poate fi înlocuită prin componentele sale pe direcţiile de descompunere date.

Cum efectul unui sistem de forţe într-un punct este exprimat matematic cu ajutorul torsorului de reducere, condiţia de echivalenţă a două sisteme este că ele să aibă în orice punct al corpului acelaşi torsor de reducere 4.1.7. Sisteme particulare de forţe

Dacă până acum am prezentat modul în care se pot simplifica soluţionarea unor probleme prin echivalarea lor cu un sistem echivalent, adesea, în practică, sistemul de forţe prezintă anumite particularităţi, legate de proprietăţile mărimilor vectoriale ce le compun.

4.1.7.1. Sistemul de forţe coplanare

Este cel mai simplu şi cel mai utilizat sistem de forţe particulare. Pentru aceste sisteme de forţe proprietatea ce conferă denumirea este că toate forţele au dreaptele suport în acelaşi plan. În cazul general:

kFjFiFFiziyixi⋅+⋅+⋅=

Dacă se consideră acest plan, ca fiind planul definit de axele Ox şi Oy, în acest

caz, rezultanta are numai două componente după direcţiile definite anterior dat fiind că

izF =0 şi deci:

i ix iy x yR F F i F j R i R j= = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅∑ ∑ ∑ 4.30.

[( ) ( )]O i iy i ixM x F y F k= ⋅ − ⋅ ⋅∑ ∑

ce scoate în evidenţă o proprietate importană a sistemului de forţe coplanare, că momentul rezultant este dispus perpendicular pe planul forţelor:

kMMOO⋅=

iar componentele torsorului de reducere sunt redate de relaţia:

ix iy

O i i O

R F i F j

M r F M k

= ⋅ + ⋅

= × =

∑ ∑

∑ 4.31.

4.1.7.2. Sistemul de forţe paralele

Este un sistem de forţe particulare cu multe aplicaţii practice. Particularitatea este dată de proprietate că toate dreptele suport ale forţelor sunt paralele cu o direcţie dată u . În aceste condiţii,

( )

( )

i i i

O

O i i i i

R F F u F u R u

M r F r F uτ

= = ⋅ = ⋅ = ⋅=

= × = × ⋅

∑ ∑ ∑∑ ∑

R u׀׀ 4.32.

Dacă în plus, se calculează produsul scalar al celor doi vectori ai torsorului de

reducere rezultă:

( ) ( )O i i

R M R u r F u ⋅ = ⋅ ⋅ × ⋅ ∑ = 0

deoarece avem un produs mixt în care doi vectori u sunt identici,

OR M⊥ .

ce arată că întotdeauna cele două componente sunt perpendiculare.

4.1.7.3. Axa centrală şi centrul forţelor paralele

Pentru determinarea axei centrale, se alege un punct curent P, de coordonate x, y şi z în raport cu sistemul de coordonate cu originea în punctul O de reducere a sistemului de forţe care să aparţină axei centrale. Ecuaţia vectorială a axei centrale:

i i

i i

F rr u

F F

λ⋅

= − ⋅

∑∑ ∑

4.33.

i i

C

i

F rr

F

⋅

=

∑∑

4.34.

rămâne constant, deoarece toţi termenii sunt constanţi. Rezultă că această ecuaţie reprezintă ecuaţia unui fascicul de drepte care trec printr-un punct fix al spaţiului dat de această relaţie.

Acest punct fix poartă numele de centrul forţelor paralele, Cr fiind vectorul său

de poziţie. 4.1.7.4. Proprietăţi ale axei centrale şi centrului forţelor paralele

1) Centrul forţelor paralele nu se schimbă cu schimbarea direcţiei u . Demonstraţia acestei proprietăţi este dată de faptul că expresia centrului forţelor paralele nu depinde de versorul u . 2) Dacă înmulţim toate forţele cu o constantă k, centrul forţelor nu se schimbă.

3) Dacă schimbăm punctul de reducere, centrul forţelor paralele nu se schimbă, singura

modificare fiind ca o translaţie a sistemului de referinţă. 4.1.8. Aplicaţii ale centrului forţelor paralele. Centrele de greutate

În această situaţie, forţele paralele se înlocuiesc cu forţele de greutate, Gi=mig, iar

centrul forţelor paralele pentru un sistem de puncte materiale devine centrul de greutate al sistemului de puncte materiale.

Se notează cu Cr coordonata centrului de greutate pentru un sistem de puncte

având masele mi şi vectorii de poziţie ir .

i i i i

C

i i

F r m rr

F m

⋅ ⋅

= =

∑ ∑∑ ∑

4.35.

Într-un un sistem de coordonate cartezian, se poate scrie:

⋅==

⋅==

⋅==

∑∑∑∑∑∑

i

ii

C

i

ii

C

i

ii

C

m

zmz

m

ymy

m

xmx

ζ

η

ξ

4.38.

Dar, întrucât

Mmi=∑

cu ajutorul proiecţiilor pe axele sistemului:

C i i

C i i

C i i

M x M m x

M y M m y

M z M m z

ξ

η

ζ

⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ = ⋅

∑

∑

∑

4.39.

Prin definiţie ,,produsul dintre masa unui punct şi distanţa până la un reper

poartă numele de moment static. De aceea aceste ecuaţii, fie sub formă vectorială, fie pe baza proiecţiilor constituie teorema momentelor statice.

4.1.8.1. Centrul de greutate al corpurilor

D

C

D

r dm

r

dm

⋅

=

∫

∫

Relaţiile de calcul a celor trei proiecţii ale vectorului centrului de greutate pe axele

sistemului de referinţă ales:

z

y

x

dm

r

Fig. 4.20. Calculul centrului de

masă pentru un corp

D

C

D

D D

C C

D D

D

C

D

x dm

xdm

r dm x dm

r i j k ydm dm

x dm

zdm

ξ

ξ η ζ η

ζ

⋅

= =⋅ ⋅

= + + = ⇒ = = ⋅

= =

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

4.41.

C C

D

m r r dm= ⋅∫

4.1.8.2. Centrul de greutate al corpurilor omogene. Teorema momentelor statice

pentru corpuri omogene

Cum se ştie, prin definiţie, numim corp omogen acel corp pentru care în orice parte a corpului, unitatea de volum are aceeaşi greutate. Se mai poate spune că acel corp are masa uniform distribuită în întreg volumul său. Pentru evidenţierea matematică a acestei proprietăţi se defineşte funcţia de densitate, sau densitate,

dVdmdV

dm

V

m⋅=⇒=⇒= ρρρ ;

⇒

D

C

D

D

C

D

D

C

D

x dV

xdV

y dV

ydV

z dV

zdV

ξ

η

ζ

⋅

= = ⋅

= = ⋅ = =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

4.43.

Prin această modificare de variabilă centrul de masă se transformă dintr-o

proprietate de masă, într-o proprietate geometrică devenind centru de simetrie.

D

V dV= ∫

Cu această nouă notaţie prelucrând relaţiile 4.42., teorema momentelor statice

pentru un corp omogen devin 4.44.:

C

D

C C

D D

C

D

V x V x dV

V r r dV V y V y dV

V z V z dV

ξ

η

ζ

⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

∫

∫ ∫

∫

4.44.

ce reprezintă teorema momentelor statice pentru un corp omogen, Astfel dacă valorile raportului dintre cele trei dimensiuni sunt comparabile atunci corpurile se numesc blocuri, iar relaţiile anterioare 4.43. respectiv 4.44. ne dau modalităţile de calcul a centrului de greutate şi teorema momentelor statice. Dacă dimensiunile L şi l sunt mult mai mari decât h, atunci corpurile poartă numele de plăci. Dacă h, este foarte, foarte mic, conferind o mare mare deformabilitate corpului, atunci aceste corpuri se numesc membrane. Dacă doar una dintre dimensiunile corpului respectiv L, este mult mai mare decăt celelalte două, atunci corpurile poartă numele de bare, stâlpi etc. Dacă acestea se pot deforma foarte uşor atunci aceste corpuri poartă numele de fire. Pentru aceste două tipuri de corpuri cu geometrie particulară se vor deduce în continuare expresiile centrelor de greutate şi teoremele momentelor statice.

4.1.8.3. Centrul de greutate pentru corpuri omogene plane tip placă, de grosime

constantă

C

C

x dAx

dA

y dAy

dA

ξ

η

⋅ = =

⋅= =

∫∫

∫∫

4.46.

În ambele relaţii integrarea se realizează pe suprafaţa A ce delimitează suprafaţa

plăcii, fiind dată de relaţia:

A

A dA= ∫

C

A

A r r dA⋅ = ⋅∫C

A

C

A

A x A x dA

A y A y dA

ξ

η

⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ = ⋅

∫

∫ 4.47.

4.1.8.4. Centrul de greutate pentru corpuri omogene, de tip bară cu secţiune constantă

dV =S· dl

0

0

l

C l

xdl

x

dl

ξ= =

∫

∫ ; 0

0

l

C l

ydl

y

dl

η= =

∫

∫; 0

0

l

C l

zdl

z

dl

ζ= =

∫

∫; 4.49.

Observaţii: 1. În cazul corpurilor omogene, dacă un corp are un plan de simetrie, atunci

centrul de greutate se va găsi în planul respectiv. 2. Dacă un corp are o axă de simetrie (2 plane de simetrie ce se intersectează),

atunci centrul de greutate se va găsi pe ea. 3. Dacă un corp are două axe de simetrie ce se intersectează, atunci centrul de

greutate se va găsi la intersecţia lor. 4.1.8.5. Centrul de greutate pentru corpuri cu o formă geometrică complexă

Conform definiţiei acesta se calculează cu relaţia:

1 2 3

1 2 3

D D DD

C

D D D D

r dm r dm r dmr dm

r

dm dm dm dm

⋅ + ⋅ + ⋅⋅

= =

+ +

∫ ∫ ∫∫

∫ ∫ ∫ ∫ 4.49.

i i

Di

i

Di

r dm m r

dm m

⋅ = ⋅

=

∫

∫

Înlocuind aceste relaţii în relaţia 4.49. se obţine:

1 1 2 2 3 3

1 2 3

i i

C C

i

m rm r m r m r

r r

m m m m

⋅⋅ + ⋅ + ⋅

= ⇒ =

+ +

∑∑

4.50.

iar relaţiile 4.51. stau la baza calculului centrelor de greutate pentru corpurile de formă geometrică complexă:

;

;

i Ci i i

i i

i Ci i i

i i

i Ci i i

i i

m x m

m m

m y m

m m

m z m

m m

ξξ

ηη

ζζ

⋅ ⋅

= =

⋅ ⋅

= =

⋅ ⋅

= =

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

4.51.

1. Dacă în corpul de formă complexă apar goluri, atunci masa acelor goluri se introduce în relaţia de calcul 4.49. cu semnul minus, atât la numitor, cât şi la numărător.

2. În cazul corpurilor omogene, dacă un corp are un plan de simetrie, atunci centrul de greutate se va găsi în planul respectiv.

3. Dacă un corp are o axă de simetrie (2 plane de simetrie ce se intersectează), atunci centrul de greutate se va găsi pe ea.

4. Dacă un corp are două axe de simetrie ce se intersectează, atunci centrul de greutate se va găsi la intersecţia lor.

5. Dacă corpul complex este omogen atunci centrul de greutate devine un centru geometric respectiv:

4.1.8.6. Calculul centrului de greutate pentru corpuri simple

Utilizând proprietăţile date de observaţiile anterioare se pot accepta fără demonstraţie că:

1) Centrului de greutate pentru corpurile omogene tip bară de secţiune constantă fiind drepte se găseşte la jumătatea lungimii lui.

2) Centrului de greutate pentru corpurile omogene tip bară de secţiune constantă a căror geometrie admit un centru de simetrie atunci acesta este şi centru de greutate.

3) Centrul de greutate al unuei plăci omogene de grosime constană şi avînd formă dreptunghiulară se găseşte la intersecţia diagonalelor.

4) Centrul de greutate al unui disc se află în centrul cercului. 5) Centrul de greutate al unei sfere se află în centrul său. 6) Centrul de greutate al unui triunghi se găseşte la intersecţia medianelor

triunghiului, la 2/3 de vârf şi la 1/3 de latura triunghiului, rezultat demonstrat de matematica elementară. În continuare sunt prezentate mai multe relaţii de calcul al centrului de masă

pentru corpuri cu largă utilizare în tehnică. 7) Calcularea centrului de greutate pentru o bară omogenă de forma unui arc de cerc

de rază R şi semiunghi la vârf α.

sinR

xα

ξα

⋅

= = 4.56.

în care semiunghiul α este obligatoriu exprimat în radiani. 8. Calculul centrului de greutate pentru o placă omogenă de grosime constantă, având forma unui sector de cerc de rază R. şi semiunghi la vârf α.

2 sin

3Cx R

αξ

α= = ⋅ 4.57.

în care semiunghiul α este obligatoriu exprimat în radiani.

9. Calculul centrului de greutate pentru un con omogen de înălţime H.

3

4Hζ = 4.58.

pentru demonstraţii vezi bibliografia.

4.1.8.7.Teoremele lui GULDIN-PAPPUS

Prima teoremă a lui GULDIN-PAPPUS afirmă că aria laterală a unui corp de revoluţie obţinut prin rotirea completă în jurul unei axe a unui arc de curbă ce nu traversează axa de rotaţie, este egală cu lungimea cercului descris de centrul de greutate al arcului ce s-a rotit, înmulţit cu lungimea arcului.

A doua teoremă a lui GULDIN-PAPPUS A doua teoremă a lui GULDIN-PAPPUS afirmă că volumul corpului obţinut

prin rotirea completă a unei curbe închise, care însă să nu intersecteze axa de rotaţie, de arie A (având centrul de greutate în raport cu axa de rotaţie η ), este egal cu produsul dintre lungimea cecului descris de centrul de greutate( 2 )π η⋅ ⋅ şi aria curbei închise. Aplicaţii diverse.

4.2. STATICA RIGIDULUI.

La fel ca în cazul punctului material se studiază echilibrul rigidului în cele două situaţii: - rigidul liber; - rigidul supus la legături. La rândul lor ca şi în cazul legăturilor punctului material, legăturile pot fi:

-fără frecare, lucii sau netede; -cu frecare, aspre sau rugoase.

4.2.1.Statica (Echilibrul) rigidul liber

Dacă un corp este liber, conform relaţiei 4.11., condiţia ca el să fie în echilibru este ca torsorul de reducere al forţelor exterioare să fie nul, respectiv:

0

0

0

0

0

0

0

0

O

O

x

y

z

Ox

Oy

Oz

R

M

R

R

R

M

M

M

τ

== ⇒

=

=

= =

=

= =

şi 4.61.

În cazul unui sistem de forţe plane, condiţiile de echilibru se reduc la trei ecuaţii, care sunt de forma:

0

0

0

x

y

Oz

R

R

M

=

= =

4.62.

4.2.2. Statica (Echilibrul) rigidului supus la legături

Pentru studiul echilibrului rigidului supus la legături este necesar să introducem, noţiunea de torsor de reducere al forţelor din legături, notat cu:

Oτ ′ =

O

R

M

′

′

Dacă cele două componente ale torsorului forţelor exterioare sunt conform

notaţiilor R , respectiv O

M , atunci condiţia de ecilibru al corpului supus la legături se

exprimă vectorial cu condiţia:

R = R′ , O

M =O

M ′ 4.63.

4.2.3. Legăturile fără frecare ale rigidului Funcţie de resrticţiile de mişcare impuse legăturile fără frecare ale rigidului sunt:

-reazemul simplu; -articulaţia; -încastrarea; -legarea cu fir.

În conformitate cu axioma legăturilor orice legătură se poate înlocui cu un echivalent mecanic al său, format din forţe şi/sau momente. De aceea, principala problemă în studiul legăturilor este stabilirea echivalentul lor mecanic.

4.2.3.1. Reazemul simplu Este cea mai simplă legătură mecanică. Prin definiţie reazemul simplu este

legătura mecanică care împiedică deplasarea unui punct al corpului pe osuprafaţă sau curbă dată.

Echivalentul mecanic al unui reazem este o singură forţă dispusă pe direcţia pe care anulează deplasarea punctului.

A B C

YA VB NC

Fig. 4.30. Simbolizarea şi notarea reazemului simplu

Deoarece reazemul simplu anulează o deplasare rezultă că acelui corp îi mai rămân cinci grade de libertate. Deci reazemul simplu introduce o singură necunoscută.

Aplicaţii diverse de calcul al reacţiunilor din condiţiile de echilibru. 4.2.3.2. Articulaţia Prin definiţie, numim articulaţie legătura ideală a unui corp care menţine fix un

punct al acestuia. Aşadar în spaţiu articulaţia anulează toate cele trei deplasări şi lasă libere toate cele trei rotaţii în jurul punctului, purtând numele de articulaţie sferică.

Anulând cele trei deplasări articulaţia anulează în spaţiu trei grade de libertate lăsând libere trei mobilităţi, respectiv cele trei rotaţii în jurul celor trei axe ale sistemului de referinţă din

centrul teoretic al legăturii, introducând deci trei necunoscute, Rx, Ry, Rz. În plan o articulaţie are două componente, forţele după direcţiile planului.

Acestea se notează uzual cu XO şi YO. Articulaţia în plan mai poartă denumirea de

articulaţie cilindrică. 4.2.3.3. Încastrarea Prin definiţie, numim încastrare legătura mecanică ce anulează orice mişcare

relativă între cele două corpuri aflate în legătură. În spaţiu o încastrare are ca echivalent mecanic 6 componente: cele trei forţe, notate cu Rx, Ry, Rz ce se opun deplasării relative pe cele trei direcţii şi cele trei momente notate cu MOx, MOy, MOz, care se opun rotirii relative în jurul celor 3 axe.

În cazul încastrării în probleme plane, se introduc două forţe ce se opun tendinţei de deplasare după direcţiile ce definesc planul şi un moment MO, dispus perpendicular pe plan care se opune rotirii corpului în plan.

4.2.3.4. Legarea cu fir Prin definiţie, prin legarea cu fir, un punct al corpului legat se menţine tot

timpul cât forţa de legătură acţionează în sensul întinderii firului la o distanţă constantă, egală cu lungimea firului, faţă de celălalt capăt reprezentând punctul de fixare.

Aeastă legătură introduce o singură necunoscută.

a) Articulaţie de cap. b)Articulaţie intermediară Fig. 4.32. Reprezentarea articulaţiei.

4.2.4. Legături de mişcare cu frecare ale rigidului

Dacă în cazul legăturilor studiate anterior şi definite generic ca fiind fără frecare,

valorile mişcărilor sunt foarte mici, putând fi neglijate, în practică întâlnim farte des situaţii în care corpurile legate se mişcă cu valori mari ale deplasărilor relative, menţinându-şi permanent unul sau mai multe puncte (suprafeţe) în contact. Dacă spre exemplu, încastrarea este legătura ce anulează orice mişcare a corpului supus legăturii, considerând un corp situat pe un plan înclinat de unghi variabil, crescând unghiul de la valoarea zero, când corpul este în repaus, starea de repaus se menţine până la o valoare limită a unghiului după care acesta începe să alunece (principiul tribometrului, aparatul utilizat curent pentru determinarea coeficientului de frecare), executând o mişcare amplă, unghiul respectiv purtând numele de unghi de frecare ϕ , iar µ =tgϕ poartă numele de coeficient de frecare, cum a fost definit la paragraful legat de studiul frecării.

Pentru această distincţie, acest gen de legături, sau definit ca fiind legături de mişcare cu frecare.

După cum s-a stabilit, un sistem de forţe ce acţionează asupra unui rigid se reduce în punctul de legătură la un tensor ale cărui componente sunt:

T N

O

O P R

R R R

M M M

τ

= +=

= +

iar legăturile ce menţin echilibrul au torsorul dat de relaţiile:

O

O N T

R N T

M M Mτ

′ = +′ =

′ = +

Pentru evidenţierea matematică a echilibrului

O Oτ τ ′=

4.2.4.1. Frecarea de alunecare

Frecarea de alunecare este cel mai simplu caz particular. În acest caz ca şi în cazul punctului material, torsorul are o componentă dată de greutatea sa şi o forţă ce are tendinţa de a deplasa corpul studiat. Pentru a realiza echilibrul legătura răspunde cu componete egale în modul dispuse pe aceleaşi direcţii, dar având sensuri contrarii. Pentru a nu apare mişcarea condiţia revine la:

tF ≤ T=Ff= Nµ ⋅ =G tgϕ

ce reprezintă condiţia de echilibru in cazul frecării de alunecare.

4.2.4.2. Frecarea de rostogolire

Reprezintă cazul particular în care corpul prezintă tendinţa de rostogolire a unui corp de revoluţie pe o suprafaţă plană sau curbă. Pentru simplificare se consideră cazul roţii trase pe o suprafaţă plană

, F R

sM M F R G s respectiv F G

R≤ ⇒ ⋅ ≤ ⋅ ≤

Raportul s/R se notează cu *µ şi poartă numele de coeficient de frecare de

rostogolire

CAPITOLUL 5. STATICA SISTEMELOR

OBIECTIVE OPERAŢIONALE:

Să analizeze echilibrul sistemelor de puncte materiale şi de corpuri rigide. Să cunoască metodele de studiu al echilibrului sistemelor de puncte materiale si rigide; Să descrie statica şi echilibrul firelor. Să cunoască cazurile particulare de solicitare a firelor; Să aplice aceste rezultate; CONŢINUTUL:

- statica sistemelor de puncte materiale şi de corpuri rigide (condiţia de echilibru a unui sistem de forţe acţionând asupra unui sistem de puncte materiale teorema solidificării teorema echilibrului părţilor );

- statica firelor ecuaţia generală a firelor ecuaţiile diferenţiale ale firelor în diferite sisteme de coordonate;

- aplicaţii; - fir acţionat de sarcini exterioare; - fir acţionat de greutatea proprie; - fir acţionat de sarcini normale; - fir cu tensiuni mari acţionat de greutatea proprie ; - frecarea firelor; - aplicaţii;

Consideraţiile care sau făcut în cazul staticii punctului material şi rigidului se pot

extinde şi la sistemele de puncte materiale respectiv rigide cu elementele de specificitate strict necesare.

5.2. STATICA SISTEMELOR DE CORPURI

5.2.1. Teoreme de studiu - teoremei solidificării si pentru calcule metoda solidificării (îngheţării); - teorema separării părţilor, si pentru calcule metoda separării (izolării)

respectiv, metoda izolării fiecărui elemente al sistemului (puncte sau corpuri)

Aplicaţii diverse legate de echilibrul sistemelor de corpuri, utilizând metodele adecvate 5.3. STATICA GRINZILOR CU ZĂBRELE

Grinzile cu zăbrele constituie o soluţie practică prin care, în unele construcţii, ca de exemplu, macarale, stâlpi pentru transportul curentului de înaltă tensiune si alte construcţii similare, turnuri, grinzi de susţinere, poduri şi elementele constitutive, traverse, etc.,

5.3.1. Metoda izolării nodurilor

Această metodă utilizează în mod particular metoda separării, cu deosebirea că de această dată se realizează izolarea nodurilor, ca parte componentă a sistemului.

5.3.2. Metoda secţiunilor (Ritter)

Metoda prezentată anterior presupune determinarea eforturilor în toate barele grinzii cu zăbrele, din aproape în aproape. În cazul în care grinda are un număr mare de bare şi ne interesează calcularea în mod direct a efortului într-o bară anume, sau într-un număr limitat de bare, se utilizează metoda secţiunilor, propusă si fundamentată de Ritter.

5.4. FRECAREA FIRELOR. ECUAŢIA LUI EULER

Ecuaţia diferenţială cu variabile separabile:

dT

dT

µ ϕ= ⋅

Prin integrare se obţine, lnT cµ ϕ= ⋅ + , respectiv pentru situaţiile extreme:

2

1

lnT

Tµ θ= ⋅ ⇒ ; 2

1

Te

T

µ θ⋅= ⇒

2 1T T e

µθ= ⋅ 5.8.

ce reprezintă diverse forme ale ecuaţiei lui EULER. Aplicaţii tehnice diverse pentru rezolvarea cărora se folosesc relaţiile lui EULER. 5.5. ECUAŢIILE GENERALE DE ECHILIBRU ALE FIRULUI

0

lim( ) 0 0s

T dTp p

s ds∆ →

∆+ = ⇒ + =

∆ 5.11.

Aceasta reprezintă ecuaţia diferenţială a tensiunii în lungul unui fir ideal, acţionat

de forţa distribuită p . În plus firul fiind ideal tensiunea în orice punct al său este tangentă la traiectorie, deci:

T T τ= ⋅ 5.12. 5.5.1. ECUAŢIA FIRULUI ÎN COORDONATE CARTEZIENE.

( ) 0

( ) 0

( ) 0

x x

y y

z z

dT p

ds

dT p

ds

dT p

ds

+ =

+ =

+ =

;

( ) 0

( ) 0

( ) 0

x

y

z

d dxT p

ds ds

d dyT p

ds ds

d dzT p

ds ds

⋅ + =

⋅ + =

⋅ + =

;

( cos ) 0

( cos ) 0

( cos ) 0

x

y

z

dT p

ds

dT p

ds

dT p

ds

α

β

γ

⋅ + =

⋅ + =

⋅ + =

5.16.

5.5.2. ECUAŢIA FIRULUI ÎN COORDONATE FRENET.

0n

dT Tn p p n p

dsτ βτ τ β

ρ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ .

=

=+

=+

0

0

0

β

τ

ρ

p

pT

pds

dT

n 5.19.

Relaţia 5.19. reprezintă ecuaţiile generale de echilibru în sistem de axe Frenet.

Aceasta arată că, componenta pe binormală a lui T este nulă. În continuare se vor prezenta două cazuri particulare.

5.5.3. Cazuri particulare de solicitare ale firelor 5.5.3.1. Sarcină exterioară nulă Este cazul firului în care greutatea proprie este neglijabilă, iar asupra sa nu

acţionează alte forţe exterioare. În acest caz: 0

np p pτ β= = = ,

se obţine:

0 .

0n

dTp T ct

ds

Tp

τ

ρρ

= = ⇒ =

= = ⇒ →∞

5.20.

Prima relaţie ne arată că în acest caz particular, tensiunea este constantă în lungul firului. A doua relaţie arată că, pentru acest caz particular, se poate considera că firul se poate apropia de forma rectilinie, sau respectiv că firul este perfect întins.

5.5.3.2. Sarcină de frecare nulă În cazul când 0p ≠ . dar 0p

τ= . Înlocuind în relaţia 5.19. această condiţie, se

obţine:

0dT

T ctds

= ⇒ = 5.21.

un rezultat deosebit de util ce demonstrează că în cazul în care nu există componenta de frecare, tensiune pe toată lungimea firului este constantă.

PARTEA a III a

CAPITOLUL 6. CINEMATICA PUNCTULUI

OBIECTIVE OPERAŢIONALE:

Să identifice matematic şi să definească parametrii cinematici ai mişcării punctului material; Să caracterizeze mişcarea punctului material prin intermediul traiectoriei, vitezei, acceleraţiei; Să poată folosi relaţiile matematice pentru calculul parametrilor cinematici atât pentru mişcarea generală dar şi pentru mişcări particulare;

CONŢINUT:

- Cinematica punctului mişcarea în raport cu un sistem de referinţă fix; - sisteme de coordonate; - elemente generale ale mişcării punctului; traiectoria, viteza şi acceleraţia în diferite sisteme de coordonate; - mişcări particulare ale punctului: - rectilinie uniformă; - uniform-variată; - circulară, cu particularităţi; - mişcarea relativă: generalităţi, derivata locală şi absolută a unui vector, compunerea vitezelor şi a acceleraţiilor în mişcarea relativă a punctului; - aplicaţii;

Cinematica studiază mişcarea mecanică, fără a se ţine seama de masele, forţele şi momentele ce intervin, adică se urmăreşte doar aspectul pur geometric al poziţiei în spaţiu.

Denumirea acestei părţi a mecanicii vine de la cuvântul grecesc cinema care înseamnă mişcare. Pentru acest studiu sunt necesare definirea unor noţiuni noi. Dintre noţiunile fundamentale ale mecanicii, în cinematică se vor aprofunda printre altele noţiunile de spaţiu şi timp. În mecanica clasică modelului folosit pentru spaţiu i se atribuie însuşirile de a fi absolut, euclidian si tridimensional, iar modelului folosit pentru timp caracterul unui parametru scalar, absolut (independent de spaţiu si de orice altă mărime) şi continuu crescător. Noţiunea de mişcare este relativă. Mişcarea unui corp se raportează în general la un reper (sistem de referinţă), convenţional presupus “fix”. Când, faţă de acest reper (sistem de referinţă), corpul pe care-l studiem (numit şi mobil) îşi modifică poziţia spunem că se află în mişcare faţă de reper. Dacă nu-şi modifică poziţia spunem că acel corp se află în repaus faţă de reperul ales.

Un reper solidar cu reperul fix se numeşte fix sau absolut, mişcarea purtând numele de mişcare absolută. Reperul care nu este solidar cu reperul fix este considerat mobil.

Aceiaşi mişcarea raportată însă la un reper mobil se numeşte mişcare relativă. În cele ce urmează, dacă nu se fac precizări suplimentare, se înţelege că se va studia mişcarea în raport cu un reper fix.

6.1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE

Prin mobil se înţelege punctul sau corpul care efectuează deplasarea indiferent

de forma dimensiunile sale. În continuare se vor definii principalele noţiuni specifice cinematicii, cunoscute şi sub denumirea generală de parametrii cinematici.

6.1.1. Timpul

Timpul este mărimea ce ne ajută să departajăm mişcările în evoluţie, în succesiunea sau în simultaneitatea lor, precum şi pentru evaluarea matematică a duratei de mişcare. Este o mărime scalară, mereu crescătoare, cu reper convenţional arbitrar ales, uzual notată cu t.

6.1.2. Traiectoria Traiectoria se defineşte ca locul geometric al punctelor succesiv atinse sau

posibil a fi atinse de un punct în timpul deplasării. Traiectoria reprezintă în fapt o restricţie punctului poate fi cel mai uşor definită cu ajutorul vectorului de poziţie )(tr .

Exprimarea matematică a vectorului de poziţie depinde de sistemul de referinţă utilizat. Forma cea mai generală se exprimă cu ajutorul a trei coordonate generalizate q1=

q1(t), q2= q2(t), q3 = q3(t), care pot fi unghiuri sau distanţe.

( ) 1 2 3( , , )t

r r q q q=

Deoarece forma traiectoriei este foarte importantă, forma sa intră în modul de

definire a mişcării. Dacă traiectoria este o dreaptă, mişcarea este denumită rectilinie. - Dacă traiectoria este un cerc, mişcarea poartă numele de mişcare circulară.

- Dacă traiectoria este o elice, sau spiră mişcarea poară numele de mişcare elicoidală sau spirală. Funcţie de suprafaţa pe care este înfăşurată spira, putem avea cazurile particulare de elice cilindrică, conică, sferică etc. 6.1.3. Spaţiul parcurs Spaţiul parcurs de un mobil într-un interval de timp, se defineşte ca fiind lungimea arcului de curbă din traiectorie, cuprinsă între două puncte A şi B.

6.1.4. Viteza Viteza, este mărimea care ne ajută să diferenţiem doua mişcări în care se parcurge

acelaşi spaţiu, dar în intervale de timp diferite. viteză medie, notată cu

mv dată de relaţia:

2 1

2 1

m

s s sv

t t t

− ∆= =

− ∆ 6.1.

viteză instantanee, sau momentană se calculează cu relaţia:

t

rv

t ∆

∆=

→∆ 0

lim

6.2.

sau

0

limt

rr sv v v

r s t

τ

∆ →

∆∆ ∆= ⋅ ⋅ ⇒ =

∆ ∆ ∆ 6.3.

vectorul viteză este totdeauna dispus după tangenta la traiectorie. Pentru simplificarea modului de scriere în mecanică se foloseşte exprimarea simplificată a operatorului de derivare în raport cu timpul,

dr

v rdt= =

& 6.4.

6.1.6. Acceleraţia

Mărimea care exprimă variaţia vitezei raportată la timp poartă numele de

acceleraţie. acceleraţie medie ma dată de relaţia matematică:

2 1

2 1

m

v vva

t t t

−∆= =∆ −

6.5.

acceleraţie instantanee, când 0→∆t , şi se calculează cu relaţia:

limv dv

a v rt dt

∆= = = =

∆

& && 6.6.

acceleraţia de confort

daa r

dt= =

& &&& 6.7.

6.1.7. Viteza areolară se defineşte ca viteza de variaţie a ariei acoperite de

vectorul de poziţie al unui punct, raportată la un interval de timp dat.

viteză areolară este dată de relaţia: 1

2M

rr

t

∆Ω = ⋅ × ⇒

∆

MΩ este un vector perpendicular pe planul format de r şi r∆ . Viteza areolară instantanee se calculează la limita când 0→∆t :

0

1 1lim

2 2t

rr r v

t∆ →

∆Ω = ⋅ × = ⋅ ×

∆ 6.8.

6.1.8. Acceleraţia areolară Acceleraţia areolară reprezintă variaţia vitezei areolare, dată de relaţia:

1 1

2 2

d dr v r a

dt dt

Ω Γ = = ⋅ × = ⋅ ×

6.9.

Pentru studiul cinematicii apare necesitatea studierii sistemelor de referinţă, cu

ajutorul cărora se studiază mişcarea punctelor şi corpurilor. 6.2. SISTEME DE REFERINŢĂ În practică, determinarea poziţiei în spaţiu a unui punct se poate realiza funcţie de

instrumentele şi aparatura disponibilă cu ajutorul a trei coordonate constând în distanţe sau unghiuri. Totodată, calculele matematice impun diferite mărimi mai uşor măsurabile, sau care sunt capabile să ajute la explicarea unor fenomene sau efecte.

6.2.1. Sistemul de coordonate carteziene

Sistemul este definit de trei axe de referinţă doua câte două perpendiculare, de versori , ,i j k ce îndeplinesc următoarele condiţii:

2 2 2

0

1

i j k

j k i

k i j

i j i k j k

i j k

× =

× =

× = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = = =

6.10.

Vectorul de poziţie ( ) ( , , )t

r r x y z= , este dat de relaţia:

r x i y j z k= ⋅ + ⋅ + ⋅ .

Iar viteza în acest caz este:

x y zv r x i y j z k v i v j v k= = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒& & & & 6.11.

Utilizând aceste notaţii ale vitezei, modulul său devine:

2 2 2 2 2 2

x y zv x y z v v v= + + = + +& & & 6.11.a

Direcţia vitezelor într-un sistem cartezian se stabileşte cu ajutorul cosinuşilor

directori ai unghiurilor α, β şi γ, pe care vectorul viteză le face cu axele Ox, Oy şi Oz.

Acceleraţia devine:

2 2 2 2 2 2

, de modul x y z

x y z

a v x i y j z k a i a j a k

a x y z a a a

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

= + + = + +

& && && &&

&& && &&

6.13.

iar cele trei cosinusuri directoare ale direcţiei sale se calculează identic ca în cazul vitezelor. Cu expresiile obţinute se pot calcula, viteza şi acceleraţia areolară.

Aplicaţii privind calculul vitezelor si acceleraţiilor în acest sistem de referinţă.

6.2.2. Sistemul de coordonate polare

Este un sistem utilizat numai dacă punctul material execută o mişcare plană. Pentru aceasta se defineşte un pol al mişcării O şi axa polară, axa Ox. Versorii acestui sistem, sunt notaţi cu

ρu şi

θu .

cos sin

sin cos

u i j

u i j

ρ

θ

θ θ

θ θ

= ⋅ + ⋅

= − ⋅ + ⋅

Cei doi versori depind de timp prin intermediul variabilei θ , iar prin derivare se obţine:

sin cos ( sin cos )

cos sin (cos sin )

u i j i j u

u i j i j u

θ θ θ θ θ θ θ θρ θ

θ θ θ θ θ θ θ θθ ρ

= − + = − + =

= − − = − + = −

& & & &&

& & & && 6.16.

Ecuaţia traiectoriei va fi dată de relaţia:

r ruρ= 6.17.

Prin derivarea vectorului de poziţie după regula de derivare a produsului şi

utilizând relaţiile 6.16. obţinem: v r ru ru ru r uθρ ρ ρ θ

= = + = +&& && & 6.18.

Derivând expresiile vitezei se obţin expresiile acceleraţiei în coordonate polare:

( ) ( )

2

2 22

2

2

a r r

a a u a u

a r r

r r r r

ρ

ρ ρ θ θ

θ

θ

θ θ

θ θ θ

= −= + ⇒

= +

− + +

&&&

& &&&

& & &&&& &

6.20.

Aplicaţii privind calculul vitezelor si acceleraţiilor in acest sistem de referinţă

6.3. MIŞCĂRILE PARTICULARE ALE PUNCTULUI MATERIAL

În practică sunt studiate cel mai des forme particulare ale mişcării punctului material.

Particularităţile mişcărilor punctului material sunt date în general de forma particulară a acestor traiectorii şi modul lor de dispunere, în plan sau spaţiu. Astfel, mişcările punctului material pot fi mişcări rectilinii, dacă traiectoria este dreaptă dispusă după o anumită direcţie într-un plan sau în spaţiu şi mişcări curbilinii, în plan sau în

spaţiu. Mişcările curbilinii la rîndul lor se particularizează funcţie de forma particulară a curbei.

Aceste mişcări la rândul lor, se particularizează în continuare funcţie de modul de variaţie în timp a celorlalţi parametrii cinematici. Astfel indiferent de forma traiectoriei, mişcările pot fi uniforme, atunci când viteza este costantă în intervalul studiat, uniform accelerate, atunci când acceleraţia este constantă şi în sfârşit cu o anumită lege de variaţie a acceleraţiei, al cărui nume este dat de forma de variaţiei (liniară, sinusoidală, cosinusoidală, parabolică, polinomială, exponenţială, etc.). Prin combinaţia acestor particularităţi obţinem principalele mişcări particulare ce au fost studiate în cadrul capitolului de cinematică în cadrul disciplinei de fizică încă din clasele gimnaziale şi de liceu.

Mişcări simple 6.3.1. Mişcarea rectilinie

Prin definiţie, numim mişcare rectilinie a punctului este acea mişcarea în care traiectoria sa este o linie dreaptă. Considerând sistemul de referinţă cu axa Ox de-a lungul dreptei pe care are loc mişcarea punctului, ecuaţia de mişcare se scrie:

x = x(t)

Prin derivări succesive se obţin viteza şi acceleraţia, ce devin:

v= vx =x; a =ax =x

a) Mişcarea rectilinie uniformă

Mişcarea cu viteză constantă se numeşte mişcare uniformă

v = v0 = x = const.

legea spaţiului:

x = vot + C

În caz general, pentru t= 0 => x=x0, ecuaţia de mişcare devine: x - x0= vot

b) Mişcarea rectilinie uniform variată

Mişcarea particulară în care acceleraţia este constantă se numeşte mişcare rectilinie uniform variată

a = a0 = x&&= Const.

Integrând relaţia (3.71) în raport cu timpul, de două ori şi apelând la condiţiile iniţiale generale se obţin ecuaţiile:

2

0

0 0 0 0; ;

2

a tv x a t v x v t x⇒ = = + ⇒ = + +&

Mişcarea se numeşte uniform accelerată dacă viteza şi acceleraţia au acelaşi sens şi uniform încetinită (întârziată) în caz contrar.

6.3.2. Mişcarea circulară

Considerând coordonata curbilinie s, ca fiind lungimea arcului AM de pe cercul de rază R subântins de unghiul la centru θ, atunci spaţiul parcurs devine:

s Rθ=

viteza punctului material pe cerc, numită viteză periferică,

v s R Rθ ω= = =

&&

acceleraţia are două componente:

Acceleraţie normală sau centripetă

2 2

na a r Rρ

θ ω= = − = −&

acceleraţie tangenţială

2 2

ta a a r r R R Rτ θ

θ θ ω ε ε= = = + ≡ + =& && &&

dacă modulul vitezei periferice

.v s R R constθ ω= = = =

&&

mişcarea poartă numele de mişcare circulară uniformă, acceleraţia având doar componenta normală. Dacă însă scalarul acceleraţiei tangenţiale

.a R constτ

ε= =

atunci, viteza unghiulară ω are variaţie uniformă, iar mişcarea poartă numele de mişcare circulară uniform variată.

Mişcări compuse 6.3.3. Mişcarea unui punct pe o cicloidă

Cicloida reprezintă locul geometric al unui punct fix de pe circumferinţa unui disc

ce se roteşte fără alunecare pe o dreaptă Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei,

sin ( sin )

cos (1 cos )

x R R R

y R R R

θ θ θ θ

θ θ

= − = −

= − = −

Pentru calculul vitezei ecuaţiile parametrice sunt,

cos (1 cos ) (1 cos )

sin sin sin

x

y o

v x R R R R

v y R R v

θ θ θ θ θ ω θ

θ θ ω θ θ

= = − = − = −

= = = =

& & &&

&&

Modulul vitezei este,

2 sin2

ov v

θ=

acceleraţia punctului de pe cicloidă⇒

2

2 2

2

2 2

sin sin sin

cos cos cos

o

x

o

y

va x R R

R

va y R R

R

θ θ ω θ θ

θ θ ω θ θ

= = = =

= = = =

&&&

&&&

4 sinRρ θ=

6.3.4. Mişcarea uniformă a unui punct pe o spirală cilindrică dreaptă cu pas constant Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt

cos

sin

2

x R

y R

pz

θ

θ

θπ

=

= = ⋅

Prin derivarea acestor proiecţii, se obţin proiecţiile vitezei,

2

x

y

z

v x y

v x

pv

ω

ω

ω

π

= = −

= ⇒ =

&

Raza de curbură într-un punct curent, se obţine cu relaţia

3 3

33

2 3 2

cos

cos

cos

R

v R

Rv a

ω

αρ

ω α

α

= = =

×

ce arată că aceasta este o constantă, aşa cum era de aşteptat, datorită constanţei formei geometrice a traiectoriei.

CAPITOLUL 7. CINEMATICA RIGIDULUI

OBIECTIVE OPERAŢIONALE:

Să poată distinge elementele de particularitate ale cinematicii rigidului de cinematica punctului material; Să aplice calculele matematice pentru studiul acestei mişcări generale ale rigidului; Să cunoască caracteristicile mişcărilor particulare: de translaţie, rotaţie, plan-paralelă, rigid cu punct fix, etc.

CONŢINUTUL:

- cinematica solidului rigid; - mişcarea în raport cu un sistem de referinţă: consideraţii generale; distribuţia vitezelor; distribuţia acceleraţiilor;

- mişcări particulare ale rigidului: - translaţie; - rotaţie; - plan paralelă; - mişcarea rigidului cu punct fix; - mişcarea relativă (compunerea vitezelor în cazul general şi în câteva cazuri

particulare – compunerea acceleraţiilor ) 7.1. FUNDAMENTAREA PROBLEMEI.

În cazul cinematicii rigidului problema se complică fată de punct. Rezolvarea problemei cinematicii rigidului revine la a putea preciza în orice moment parametrii cinematici (traiectorie viteză, acceleraţie) pentru oricare punct al corpului. Considerând un corp de formă oarecare, se utilizează două sisteme de referinţă. Un sistem de referinţă considerat fix, ale cărei mărimi definitorii sunt însoţite de indicele 1, notat prescurtat cu S.R.F. şi un sistem de referinţă mobil legat de corp, Oxyz notat prescurtat cu S.R.M.. În aceste condiţii, poziţia punctului M, o putem reda cu vectorul

1r , în S.R.F., cu vectorul

de poziţie r în raport S.R.M., iar originea S.R.M. faţă de cel absolut prin vectorul de poziţie

Or . Cei trei vectori se observă că se pot exprima cu ajutorul proiecţiilor astfel:

1 01 1 1 11 1 1 01 01 011 1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )r x t i y t j z t k r x t i y t j z t k r xi t y j t zk t= + + = + + = + + 7.1

vectorial ecuaţia traiectoriei unui punct oarecare M al corpului este:

rrr +=01

7.2.

7.2. ANALIZA CÂMPULUI DE VITEZE PENTRU UN CORP.

1 0 0r r r v v rω ω= + × ⇒ = + ×& & 7.7.

respectiv

x ox y z

y oy z x

z oz z y

v v z y

v v x z

v v y x

ω ω

ω ω

ω ω

= + −

= + −

= + −

7.9.

Proprietăţile vitezei unghiulare ω în mişcarea rigidului. 1. Viteza unghiularăω pentru un corp nu depinde de punctul studiat (este un

vector liber în raport cu punctele corpului)

2. Viteza unui punct M, al unui corp nu depinde de originea sistemului de referinţă ales.

7.3. ANALIZA CÎMPULUI DE ACCELERAŢII PENTRU UN CORP. Pentru determinarea acceleraţiilor se derivează încă o dată în raport cu timpul expresia vitezei relaţia 7.7. Rezultă,

0v a v r rω ω= = + × + ×&& & & 7.13.

2

0 0( ) ( )a a r r a r r rε ω ω ε ω ω ω= + × + × × = + × + ⋅ − ⋅ 7.14.

Prima egalitate fiind cunoscută şi sub numele de formula lui Rivals.

7.4. MIŞCĂRILE PARTICULARE ALE RIGIDULUI 7.4.1. Mişcarea de translaţie a rigidului Prin definiţie numim mişcare de translaţie mişcarea unui corp în care orice dreaptă a corpului rămâne tot timpul mişcării paralelă cu ea însăşi. Pornind de la relaţia vitezelor a lui Euler 7.7. această particularitate conduce la:

0Mv v v= = 7.16.

ce arată că în mişcarea de translaţie toate punctele au aceeaşi viteză. Cu alte cuvinte în mişcarea de translaţie a unui corp viteza este un invariant cu punctul. Expresia vitezei ne arată că prin derivarea sa se obţine relaţia imediată,

0 Mv a a a= = =& 7.17.

7.4.2. Mişcarea de rotaţie a rigidului

Prin definiţie, numim mişcare de rotaţie a unui corp, mişcarea în care oricare două puncte ale corpului rămân fixe pe toată durata mişcării. Cele două puncte definesc o dreaptă, ce rămâne fixă în timpul mişcării. Această dreaptă fixă poartă numele de axa mişcării de rotaţie. ecuaţia lui Euler 7.7. devine:

2 2

M

M

v yi x j

v x y d

ω ω

ω ω

= − +

= + =

7.18.

Calculul acceleraţiilor

Pentru calculul acceleraţiilor se poate porni de la relaţia lui Rivals, care prin particularizări devine

2 2( ) ( ) 0

Ma a y x i x y j kε ω ε ω= = − − + − +

7.19. Calculând conform relaţiei 7.19. modulul acceleraţiei, se obţine:

2 2 4 2 2 4a r r rε ω ε ω⇒ = + = +

7.5. MIŞCAREA RELATIVĂ.

7.5.1. Fundamentarea problemei Cum s-a arătat la cinematică, în multe situaţii, pentru studiul unor mişcări ale unui

punct sau corp, este necesară raportarea mişcării la unul sau mai multe sisteme de referinţă.

Este cazul cel mai general de mişcare. Ca exemplu putem considera mişcarea unui cursor pe o culisă oscilantă, deplasarea unui om într-un mijloc de transport aflat în mişcare, etc. Pentru studiul mişcării se poate aplica principiul suprapunerii de efecte. Pentru aceasta considerând ultimul exemplu, se definesc urmatoarele tipuri de mişcări.

mişcare relativă - mişcarea omului faţă de mijlocul de transport, care devine

sistemul de referinţă mobil. Parametri ce definesc această mişcare vor purta indicele inferior r.

mişcare de transport – mişcarea mijlocului de transport, raportată la un reper fix

de pe pamânt Parametri cinematici se vor nota cu indicele inferior t. mişcare absolută - mişcarea omului raportată la sistemul de referinţa fix de pe

pamânt Parametri cinematici purtând indicele a.

Rezulta că pentru orice parametru cinematic, parametrul din mişcăriea absolută se obţine prin însumarea parametrilor rezultaţi din cele doua mişcări, relativă şi de transport. Pentru studiul matematic în mişcarea relativă, derivata absolută are un operator de derivare specific dat de relaţia:

rxt

r

dt

rdω+

∂

∂= 7.55.

ce reprezintă regula de derivare a unui vector variabil, dat prin proiecţiile sale pe axele unui sistem de referinţă mobil.

7.5.2. Cinematica mişcării relative Calculul vitezelor.

Pentru calculul vitezei, conform figurii 7.13., se scrie ecuaţia vectorială a

traiectoriei,

1 0r r r= + 7.56.

după care se derivează, utilizând regula de derivare 7.55. şi se obţine:

1 0 0a M

rv v r r r v xr

t

ω

∂= = = + = + +

∂

& & &0a

rv v xr

t

ω

∂⇒ = + +

∂

în care, conform definiţiilor anterioare se identifică componentele vitezei din mişcarea relativă. Astfel cele trei viteze sunt:

1r& =

av - reprezintă viteza absolută;

t

r

∂

∂ - viteza relativă şi viteza de transport

0t

v v xrω= +

În concluzie calculul vitezei absolute în mişcarea relativă se face cu relaţia:

a t rv v v= + 7.57.

ce permite aplicarea principiului suprapunerii de efecte, calculând vitezele separat

în raport cu acelaşi sistem de referină şi apoi se face însumarea lor vectorială. Calculul acceleraţiilor Pentru calculul acceleraţiilor, prin derivarea expresiei vitezei se obţine:

2 2

0 02 2( ) 2 ( ) 2

r

t c

a

a a

a r

r r ra v r r a r r v

t t t

ε ω ω ω ε ω ω ω

∂ ∂ ∂= + + × + × × + × = + + × + × × + ×∂ ∂ ∂

64444744448 678&

t

r

∂

∂×ω2 =2ω ×

rv =

ca - acceleraţia complementară sau Coriolis.

Aplicaţii diverse :

Exemplu: Un punct M se mişcă uniform accelerat cu acceleraţia p de-a lungul diagonalei AC a unui dreptunghi de laturi a şi b. La rândul sau dreptunghiul se roteşte în

jurul unei laturi verticale OA cu turaţia constantă ω . Se cere să se definească traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului la un moment dat şi să se determine timpul după care are loc desprinderea sa în punctul C.

PARTEA a IV a

DINAMICA

CAPITILUL 8. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

OBIECTIVE OPERAŢIONALE: Să cunoască noţiunile specifice dinamicii; Să ştie să aplice relaţiile de calcul al acestor mărimii; Să ştie să aplice legile lor de variaţie; Să cunoască problematica fundamentală directă şi indirectă a dinamicii; Să cunoască problemele generale ale dinamicii punctului liber; Să cunoască problemele generale ale dinamicii punctului supus la legături; Să cunoască teoremele generale ale dinamicii punctului material; Să enunţe şi să demonstreze teoremele generale ale dinamicii sistemelor de

puncte materiale; Să cunoască particularităţile dinamicii solidului rigid şi aplicaţiile lor în tehnica

navală; Să cunoască unele principii ale mecanicii analitice;

CONŢINUT: - noţiunile fundamentale : - lucru mecanic elementar şi total; - impuls; - moment cinetic; - energie cinetică; - proprietăţile, si teoremele lor; - dinamica punctului material liber şi supus la legături; - problematica fundamentală directă şi indirectă a dinamicii; - ecuaţiile diferenţiale ale punctului material liber - dinamica punctului material aruncat în vid sub acţiunea greutăţii proprii; - dinamica punctului material sub acţiunea forţelor centrale; - pendulul matematic

- elemente de mecanică analitică, legături, deplasări, deplasări virtuale, principiile mecanicii analitice, (principiul lucrului mecanic virtual, principiul lui d Alembert)

Dinamica studiază mişcarea mecanică luând în consideraţie masa, forţele şi

momentele ce o generează. În cadrul dinamicii se însumează rezultatele matematice obţinute în capitolele din statică, unde s-au studiat condiţiile de echilibrul cu cele din cinematică unde s-a studiat mişcarea mecanică numai sub aspect geometric fără a se considera mărimile mecanice care o produc. 8.1. NOŢIUNI ŞI TEOREME FUNDAMENTALE ÎN STUDIUL DINAMICII PUNCTULUI MATERIAL LIBER

8.1.1. Lucrul mecanic

Fie un punct material care sub acţiunea unei forţe F se deplasează de la M1 la M2.

Atunci numim lucrul mecanic produsul dintre forţă şi deplasarea M1M2, care poate fi oricât de mare. Matematic relaţia de definiţie este:

1 2 1 2 1 2 2 1

cos , cum L F M M F M M M M r r rα= ⋅ = ⋅ = − = ∆ ⇒

L F r= ⋅∆ 8.1. Pornind de la proprietăţile legate de produsul scalar se obţin următoarele relaţii de

calcul echivalente:

( )

( )

cos cos , , dar

cos ,r r

L F r F r F r

F F r pr F L pr F r

α

∆ ∆

∆ = ⋅∆ = ∆ ∆

∆ = ⇒ ∆ = ⋅∆

8.2.

sau proiectând pe direcţia forţei deplasarea r∆ ⇒

( )cosF F

r F r pr r L pr r F∆ ⋅∆ = ∆ ⇒ ∆ = ∆ ⋅ 8.3.

Relaţiile 8.2. şi 8.3. arată că lucru mecanic se poate calcula cu produsul scalar

dintre unul din vectori şi proiecţia celuilalt pe el.

Dacă 0 0,2

Lπ

α≤ < ⇒ > purtând numele de lucru mecanic motor sau activ,

generând mişcarea.

Dacă 0,2

Lπ

α π< ≤ ⇒ < purtând numele de lucru mecanic rezistent sau

pasiv, opunându-se mişcării. Dacă 0α = ⇒ L=0 avem lucru mecanic nul.

8.1.2.Lucru mecanic elementar - lucru mecanic elementar , se notează cu dL , fiind calculat cu relaţia:

dL F dr= ⋅ 8.8.

Proprietăţile lucrului mecanic elementar P1. Lucru mecanic elementar se poate calcula cu produsul scalar dintre unul din

vectori şi proiecţia celuilalt pe el

P2. Dacă deplasarea dr se obţine ca o sumă de deplasări 1 2

...

ndr dr dr dr= + + + ,

atunci,

( )1 2

1

...

n

n i

i

dL Fdr F dr dr dr Fdr

=

= = + + + =∑ 8.5.

P3. Dacă F se obţine ca rezultantă a unei sume de forţe concurente

1 2...

nF F F F= + + + ⇒

1 2

1

...

n

n i

i

dL F dr F dr F dr F dr F dr

=

= ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅∑ 8.6.

P4. lucru mecanic elementar motor sau activ fiind cel care generează mişcarea

lucru mecanic elementar rezistiv sau pasiv ce se opune mişcării. P5. Dacă se foloseşte un sistem de referinţă cartezian, atunci:

( ), x y z x y z x x y y z z

F F i F j F k v v i v j v k dL F v F v F v dt= + + = + + ⇒ = + + 8.8.

8.1.3.Lucru mecanic total sau finit

Atunci când punctul material se deplasează pe un arc S al unei curbe între două puncte A şi B , lucrul mecanic efectuat de forţa F poartă numele de lucrul mecanic total sau finit

0

S

t ABAB

L dL L dL= = =∫ ∫ 8.9.

8.1.4. Puterea Prin definiţie, când forţa ( şi /sau momentul în cazul rigidului ) sunt constante atunci

puterea reprezintă lucrul mecanic efectuat în unitatea de timp respectiv:

L

Pt= 8.10.

Când forţa ( şi /sau momentul în cazul rigidului ) sunt variabile, atunci prin

definiţie, variaţia lucrului mecanic elementar în raport cu timpul o numim putere, şi se notează cu P, fiind dată de relaţia:

dLP F v

dt= = ⋅ 8.11.

În mişcare de rotaţie:

F v F v F v⇒ ⋅ = ⋅

Cuplul dat de momentul forţei ce produce mişcarea de rotaţie este:

M FR=

iar viteza periferică v Rω= ⋅ , în care R este raza cercului pe care se mişcă punctul. Înlocuind aceste relaţii care în relaţia 8.11. conduce la:

ω⋅= MP 8.12.

8.1.5. Impulsul mecanic şi teoremele sale

Prin definiţie numim impuls mecanic al unui punct de masă m ce se deplasează cu

viteza v , vectorul coliniar cu v şi având modulul proporţional cu aceasta. Expresia matematică de calcul este: vmH ⋅= 8.13.

Teoremele impulsului

Prima teoremă stabileşte legea de variaţia impulsului în raport cu timpul.

H F=& 8.14.

Teorema conservării impulsului

Dacă în timpul mişcării, într-un interval de timp asupra corpului nu acţionează nici o forţă sau rezultanta forţelor este nulă atunci spunem că impulsul se

conservă. 0F⇒ = . Aceasta implică:

CHFH =⇒== 0& 8.15.

Conservarea impulsului poate fi totală, ca în cazul de mai sus, sau parţială.

8.1.6. Momentul cinetic şi teoremele sale

Numim moment cinetic al unui punct de impuls H în raport cu un punct 0, produsul vectorial dintre vectorul de poziţie al punctului şi impulsul său. Această mărime dinamică se notează cu

0K şi se calculează cu una din relaţiile următoare:

( )0K m r v= × 8.17.

Teorema momentului cinetic (legea de variaţie)

Prima teoremă se obţine derivând expresia momentului cinetic 0

K în raport cu

timpul obţinând:

0

0 0

dKK r F M

dt= = × =

& 8.19.

În plus derivând relaţia 8.18. ⇒

02 2K m m= Ω = Γ

& & 8.19.

în care Γ reprezintă acceleraţia areolară.

Teorema conservării momentului cinetic

Dacă momentul forţei F , este zero (0

0M = ) atunci momentul cinetic se conservă:

0 0

0K K C= ⇒ =& 8.20.

Aceasta reprezintă teorema conservării momentului cinetic.

Momentul cinetic se conservă dacă viteza areolară este constantă. Aceasta este cunoscută sub numele de legea constanţei ariilor. Deci putem nota:

( )0

0

HH

K

τ

=

sau:

( ) ( )0 0

0 0

H FH F

K M

τ τ

= = =

=

&&

& 8.22.

Variaţia torsului dinamic în raport cu timpul ( )0Hτ& este egală cu torsorul ( )0

Fτ .

Prin analogie, aceasta arată că forţa F şi momentul o

M reprezintă viteza de

variaţie ale impulsului, respectiv momentul cinetic. 8.1.7. Energia mecanică

Energia mecanică reprezintă suma dintre energia cinetică (de mişcare) pe care o posedă un punct datorită deplasării sale la care se adaugă energia potenţială (de poziţie) în raport cu un sistem de referinţă:

c pE E E= + 8.23.

21

2c p

E mv E mgh= = 8.24.

Ep este o energie de punct U=U(x,y,z). Dacă se consideră două puncte A(x0,y0,z0) şi

B(x,y,z) atunci energia potenţială sau potenţialul V v-a fi, V=UB-UA . Acest potenţial este egal cu lucrul mecanic elementar necesar pentru a transporta uniform corpul din A în B.

8.1.8. Energia cinetică şi teorema sa

cdE m a dr F dr dL= ⋅ ⋅ = ⋅ = 8.25.

Aceasta ne arată că variaţia energiei cinetice este egală cu lucrul mecanic efectuat

de către forţa F în timpul deplasării punctului material cu rd . Considerând două puncte A şi B rezultă:

ABBAcdLEEdE =−= 8.26.

8.2. PROBLEMATICA FUNDAMENTALĂ A DINAMICII. ECUAŢIILE

DIFERENŢIALE ALE PUNCTULUI MATERIAL LIBER

În dinamica punctului material liber întâlnim două situaţii: a) problema directă a dinamicii punctului material, apare atunci când, ştiind

( ), ,F F t r r=& se pune problema determinării parametrilor cinematici

acceleraţie, viteză, traiectorie. F ma=

În cazul problemei directe printr-o dublă integrare a acestei relaţii se pot determina toţi parametrii cinematici. b) problemei indirecte a dinamicii punctului material. Se cunoaşte expresia traiectoriei ( )tr r= şi derivând succesiv această

expresie ajungem să determinăm vitezele, acceleraţiile şi respectiv forţele externe ce au acţionat în intervalul de timp dat

Frm =&& 8.27.

8.2.1. Rezolvarea problemei directe a dinamicii

Rezolvarea acestei probleme prezintă particularităţi funcţie de sistemul de referinţă utilizat. În sistemul cartezian, pornind de la relaţia 8.27. putem scrie că:

în care:

x y z

x x xx

y y y y

z z z zx

ma mxi myj mzk F i F j F k

F R F imx F

my F F R F i

mz F F R F i

= + + = + + ⇒

= = =

= = =

= = =

∑

∑

∑

&& && &&

&&

&&

&&

8.28.

În sistemul de coordonate polare utilizând rezultatele de la cinematică, putem scrie:

( )

( )

2,

, 2

i i

i i

ma F respectiv m r r F

ma F respectiv m r r F

ρ ρ ρ

θ θ θ

θ

θ θ

= − =

= + =

∑ ∑

∑ ∑

&&

&& &&

8.29.

În sistemul de coordonate Frenet:

2

0

i

i

n in in

i

i

ms Fma F

vma F respectiv m F

ma FF

ττ τ

β ββ

ρ

==

= ⇒ =

= =

∑∑

∑ ∑

∑ ∑

&&

8.30.

Rezolvarea acestor sisteme de ecuaţii diferenţiale nu este întotdeauna un lucru

simplu, iar în continuare se v-a studia această problemă, în cazul sistemului de coordonate cartezian. În acest sistem de referinţă, ecuaţiile diferenţiale ale mişcării 8.28. sunt:

( , , , , , , )

( , , , , , , )

( , , , , , , )

x

y

z

mx F t x y z x y z

my F t x y z x y z

mz F t x y z x y z

=

=

=

&& & & &

&& & & &

& &&& &

8.31.

în care proiecţiile forţei sunt cunoscute, fiind funcţi scalare de timp, poziţie (x, y, z) şi de viteză ( , , )x y z& & & , formând un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul II.

Conform teoremei Couchy-Kovalevskaya un astfel de sistem de ecuaţii diferenţiale, pentru o forţă dată are întotdeauna soluţie unică.

8.2.2. Studiul mişcării punctului material greu în vid

Studiul acestei mişcări, constituie o aplicaţie a problemei directe a dinamicii. Pentru aceasta se consideră cazul aruncării unui punct material de masă m sub un unghi α. Se face studiul în vid, când forţele de frecare ale punctului material sunt neglijabile,

(Ff=0), asupra sa acţionând doar greutatea proprie, pe direcţia axei Oy (fig. 8.5.).

Particularizând ecuaţiile 8.31. funcţie de componentele forţei ce acţionează asupra punctului obţinem:

0 0

0 0

mx x

my mg y g

mz z

= =

= − ⇒ = − = =

&& &&

&& &&

&& &&

ecuaţiile parametrice ale traiectoriei:

0

2

0

cos

sin2

0

x v t

ty g v t

z

α

α

=

= − +

=

8.36.

respectiv expresiile proiecţiilor vitezei pe cele trei axe de referinţă ale sistemului:

0

0

cos

sin

0

z

y

z

x v v

y v v gt

z v

α

α

= =

= = −

= =

&

&

&

8.37.

Stabilirea elementelor caracteristice ale aruncării în vid

ecuaţia implicită a traiectoriei, sub forma:

2

0

2

0 0

sin2 cos cos

v xg xy

v vα

α α

= − + ⇒

2

2 2

02 cos

g xy xtg

vα

α

= − 8.38.

ce reprezintă ecuaţia unei parabole după cum este reprezentată în fig.8.5.. Funcţie de valorile particulare ale unghiului α se obţin aruncările particulare:

aruncarea pe verticală , când =2

π

α ,

aruncarea pe orizontală dacă =0α

În continuare, cu ajutorul ecuaţiilor obţinute se face studiul principalelor mărimi caracteristice ale aruncării oblice.

Timpul de urcare tu

0sin

u

vt

g

α

= 8.39.

înălţimea maximă, respectiv:

2

0

max max

sin

2

vy h

g

α

= = 8.40.

c) bătaia maximă a aruncării

2

0sin 2

B

vx

gα= 8.41.

Se defineşte parabola de siguranţă, ce reprezintă înfăşurătoarea tuturor

parabolelor rezultate în cazul aruncării unui corp cu v0=const. în modul dar variabil în direcţie.

2 2

0

2

0

2 2

v gxy

g v= − 8.44.

care reprezintă ecuaţia parabolei de siguranţă.

CAPITOLUL 9. ELEMENTE DE DINAMICA

SISTEMELOR MATERIALE

9.1. ASPECTE GENERALE Pentru studiul dinamic un corp se divizează într-un număr finit de puncte materiale,

având masa dm, dispuse continuu în interiorul conturul său, reprezentat de suprafaţa sa de contur, care aşa cum sa mai spus reprezintă domeniul de integrare , atunci când este cazul.

La limită poate fi considerat un sistem închis şi rigid de puncte materiale, ocupând acelaşi domeniu fix din spaţiu. Ca o consecinţă, determinarea mărimilor dinamice (lucru mecanic elementar dL, impuls H , moment cinetic

oK ,

energie cinetică E, pentru modelele mecanicii din studiul sistemelor materiale (sisteme de puncte materiale, corp şi sisteme de corpuri) se vor utiliza definiţiile date la studiul dinamicii punctului material. În cadrul sistemelor de puncte materiale sunt incluse şi sistemele de corpuri, când pe baza unor restricţii suplimentare acestea se pot echivala cu puncte materiale. Mărimile dinamice pentru sistemele materiale se vor studia împreună

accentuând fie pe sistemele de puncte Fig.9.1. Studiul sistemelor de puncte materiale, fie pe corp, fie sisteme de corpuri, funcţie de materiale utilitatea practică a rezultatelor. 1.

Se studiază separat efectul forţelor interioare. Conform principiului acţiunii şi reacţiunii:

0ij ji ij ji

F F F F+ = ⇔ = − 9.1.

Din suma de momente ale celor două forţe în raport cu punctul O, se obţine:

( )

( )i ij j ji i ij j ji

i j ij ij ij

r F r F r F r F

r r F r F

× + × = × − × =

− × = ×

Dar,

, iar || 0, 0i j ij i j ij ij ij ij ij

i j

r r r A A r Fij r F r F− = = ⇒ × = ⇒ × =∑∑ 9.2.

Pentru studiu dinamic corpul rigid se defineşte ca un mediu continuu de material nedeformabil, la limită putând fi considerat un sistem limitat de puncte materiale ce ocupă acelaşi domeniu. Din acest motiv studiul dinamici sistemelor de puncte materiale şi rigidului se face împreună, accentuând asupra rigidului sau sistemelor de puncte materiale funcţie de implicaţiile practice preponderente.

9.2. MOMENTELE DE INERŢIE

Cu ajutorul acestora se pune în evidenţă modul în care masa corpurilor şi sistemelor de puncte prim modul în care este distribuită în spaţiu prin forma şi dimensiunile particulare lor particulare influenţează comportamentul lor dinamic.

9.2.1. Momente de inerţie mecanice

Momentele de inerţie mecanice reprezintă o noţiune ce ne dă posibilitatea ca să putem evidenţia, din punct de vedere dinamic, efectul modului de dispersie în spaţiu a unui sistem de puncte materiale sau în cazul unui rigid modul de dispunere a masei acestuia în volumul său.

Aşa cum exprimă şi numele, în sens mecanic, momentele de inerţie mecanică sunt noţiuni cu ajutorul cărora putem evidenţia în primul rând, efectul inerţial în cazul în care sistemul de puncte materiale, respectiv rigidul execută o mişcare simplă sau complexă ce are componentă o mişcarea de rotaţie..

Prin definiţie, numim momentul de inerţie mecanic al unui punct de masă m situat la distanţa d faţă de un reper, ca fiind produsul dintre masă şi pătratul distanţei la acel reper.

2

J md= 9.3.

Funcţie de reperul ales, ce poate fi un plan, o axă sau un punct, momentele de inerţie mecanice poartă denumiri specifice, notarea şi relaţiile de calcul fiind diferite. Considerând (fig. 9.2.) un punct material M de masă m se definesc următoarele tipuri de momentele de inerţie, ce vor fi prezentate în continuare.

momentele de inerţie planare, în sistemul cartezian faţă de cele trei plane se simbolizează cu J, însoţit de trei indici care precizează planul de reper având expresiile matematice:

=

=

=

2

2

2

myJ

mxJ

mzJ

zzox

yoz

xoy

9.4.

Fig. 9.2 Calculul momentelor de inerţie mecanice pentru un punct

- momentele de inerţie axiale în raport cu cele 3 axe sunt sun notate cu J însoţit fie

de indicii axei de reper, sau o formă mai accesibilă cu un singur indice date de relaţiile:

( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

oz x

oy y

oz z

J J m y z

J J m z x

J J m zx y

≡ = +

≡ = +

≡ = +

9.5.

- momentele de inerţie polare când reperul este un punct sau pol, de regulă originea

sistemului de referinţă, când punctul este precizat ca indicele inferior a lui J:

)( 2222

0zyxmmrJ ++==

9.6.

- momentul de inerţie centrifug sau centrifugal produsul dintre masă şi distanţa la două repere. Cele două distanţe până la reperele alese sunt precizate prin indicii literei J:

==

==

==

xzzx

zyyz

yxxy

JmzxJ

JmyzJ

JmxyJ

9.7.

Se impune o observaţie: momentele de inerţie mecanice cu excepţia celor

centrifugale sunt întotdeauna mărimi pozitive. Momentele centrifuge pot fi şi negative, funcţie de semnul celor două distanţe la reperele alese.

9.2.2. Relaţii de recurenţă între momentele de inerţie mecanice

( )1

2o xoy yoz zox x y z

J J J J J J J= + + = + +

9.8.

Pentru un sistem de puncte materiale momentele de inerţie mecanică se obţine aplicând principiul suprapunerii de efecte prin însumarea algebrică a momentului de inerţie mecanică a fiecărui punct calculat separat. Pentru un rigid, se consideră că împărţim corpul într-un număr finit de corpuri elementare de masă dm iar însumarea o facem cu ajutorul integralei. Expresiile pentru momentele de inerţie planare conform relaţiei 9.4. pentru un sistem de puncte materiale şi respectiv corp, se obţin prin însumare, având expresiile:

2

2

2

xoy i i

yoz i i

zox i i

J m z

J m x

J m y

=

=

=

∑

∑

∑

respectiv

2

2

2

xoy

yoz

zox

J z dm

J x dm

J y dm

=

=

=

∫

∫

∫

9.9. Cele axiale, pornind de la relaţia de definiţie 9.5. devin:

( )( )( )

+=

+=

+=

∑

∑

∑

22

22

22

iiiz

iiiy

iiix

xymJ

zxmJ

zymJ

respectiv

( )

( )

( )

+=

+=

+=

∫

∫

∫

dmyxJ

dmzxJ

dmzyJ

z

y

x

22

22

22

9.10.

iar cele polare, conform 9.6.sunt:

∑=2

0 iirmJ respectiv 2

0J r dm= ∫

9.11. Conform relaţie de definiţie 9.7., cele centrifugale sunt:

xy i i i

yz i i i

zx i i i

J m x y

J m y z

J m x z

=

=

=

∑

∑

∑

respectiv

xy

yz

zx

J xydm

J yzdm

J xzdm

=

=

=

∫

∫

∫

9.12.

9.2.3. Momentele de inerţie geometrice În cazul corpurilor omogene putem scrie că: dm dVρ= . Deoarece ρ este

constant, această mărime se poate da factor comun în toate tipurile de momente de inerţie rezultând relaţia general valabilă:

J Iρ=

Deoarece în acest caz momentul de inerţie mecanic nu mai redă distribuţia masei

corpului ci geometria acestuia (modul de ocupare a spaţiului de către corp) acesta devin momente de inerţie geometrice şi se notează cu I însoţit de indici purtând aceiaşi semnificaţie ca la cele mecanice anterior definite, iar momentele poartă aceiaşi denumire. Cea mai largă utilizare a lor este în efectuarea calculelor de rezistenţă, la solicitările de încovoiere şi torsiune, când sunt necesare momentele de inerţie geometrice axiale respectiv polare ale corpurilor.

În plus, pentru momentele de inerţie geometrice axiale se pot defini forme particulare funcţie de particularităţile geometrice ale corpurilor omogene. Astfel, pentru corpurile tip placă de grosime constantă având aria A,

2 2

; ;x y

A A

I y dA I x dA= =∫ ∫ 9.13.

Considerând originea sistemului de referinţă O, în raport cu care vectorul de poziţie a unei mase elementare de suprafaţă dA, a corpului este r xi yj= + , atunci momentul de inerţie geometric polar este:

2;

o

A

I r dA= ∫ 9.14.

Cum 2 2 2

r x y= + , se obţine relaţia de recurenţă evidentă:

2 2 2( ) + = o x y o

A A

I r dA x y dA I I I= = + =∫ ∫ 9.15.

Dacă corpul este o bară omogenă de secţiune constantă, de lungime s, considerând o lungime elementară ds, momentul geometric axial este asemănător cu rigidul tip placă dat de relaţiile:

2 2 2; ; respectiv: + x y o x y

s s s

I y ds I x ds I r ds I I= = = =∫ ∫ ∫ 9.16.

9.2.4. Raza de giraţie Această noţiune se defineşte deoarece sunt aplicaţii în care ne avantajează acest

mod de exprimare. Raza de giraţie notează cu i şi este distanţa teoretică sau imaginară faţă de un reper (plan, axă, pol) ce îndeplineşte condiţia că:

2

J m i= ⋅ 9.18. în care m reprezintă masa sistemului de puncte sau a rigidului. Din punct de vedere practic cu ajutorul razei de giraţie se echivalează din punct de vedere inerţial un sistem de puncte sau un rigid cu un punct material având aceiaşi masă cu a sistemului de puncte sau a rigidului, dispusă la distanţa i, faţă de reper. Pentru un sistem de puncte materiale de mase mi situate în spaţiu la distanţele di, relaţia devine:

2

i i omd m i=∑

în care

i om m=∑ . Relaţia este valabilă pentru corp sau sisteme de puncte. Astfel pentru

momentul de inerţie polar se poate scrie:

2

o o oJ m i= ⋅ 9.19.

Pentru momentele de inerţie axiale relaţia de definiţie se scrie:

2 2 2; ;

x o x y o y z o zJ m i J m i J m i= ⋅ = ⋅ = ⋅ 9.20.

din care se obţin razele de giraţie axiale:

; ; ;yx z

x y z

o o o

JJ Ji i i

m m m= = = 9.21.

în care mo, reprezintă masa sistemului de puncte respectiv rigidului. Pentru corpurile omogene funcţie de particularităţile geometrice se pot utiliza relaţii de calcul de forma:

; ; ;x x x

x x x

I I Ii i i

V A s= = = 9.22.

9.2.5. Variaţia momentelor de inerţie mecanică 1) În practică, putem întâlni frecvent situaţii în care cunoscând momentele de

inerţie axiale J∆

, în care ∆ este o dreaptă ce trece prin centrul de greutate al

sistemului de puncte materiale sau rigidului, trebuie să determinăm momentul de inerţie în raport cu o nouă dreaptă.

- a) paralele, - b) concurente

Dacă cele două axe nu sunt coplanare, conform fig. 9.3. se poate duce o dreaptă

'

1∆ paralelă la dreapta ∆ 1 care devine

coplanară cu dreapta ∆ , fiind studiată conform punctului . Fig.9.3. Poziţii relative ale dreptelor

9 .2.5.1. Variaţia momentului de inerţie axiale în raport cu axe paralele (relaţia

lui Steiner)

Pentru aceasta se consideră un sistem de puncte materiale şi un sistem de axe astfel ales ca dreapta Oz să treacă prin centrul de greutate C al sistemului de puncte, constituind axa ∆ . Considerând un punct Ai al sistemului de puncte, pornind de la definiţie 9.10. se calculează momentele de inerţie în raport cu axa Oz, pentru punctul Ai.

( )

( )2 2 2 2

12 2

i i i c c c i i c i i

mI d

J mi x y m x y x m x y m y

∆

∆= + + + + +∑ ∑ ∑ ∑1442443 14243

9.24.

Din teorema momentelor statice 2.42.a., din capitolul 2

i i

i i

m x m

m y m

ξ

η

= ⋅

= ⋅

∑

∑ 9.25.

Cum axele Ox, Oy trec prin centrul de greutate, atunci ηξ = =0, atunci şi sumele

respective sunt nule. Folosind notaţiile din relaţia 9.19. se obţine:

2

1J J md∆ ∆= + 9.26.

relaţie ce este cunoscută sub denumirea de relaţia lui Steiner care demonstrează că, momentul de inerţie mecanic axial al unui sistem de puncte materiale în raport cu o axă ∆ 1 paralelă cu axa ce trece prin centrul de greutate şi situate la distanţa d este egal cu momentul de inerţie în raport cu prima axă plus produsul dintre masa sistemului de puncte înmulţit cu pătratul distanţei dintre axe. Relaţia are aceiaşi formă şi în cazul corpurilor. Din relaţia lui Steiner rezultă o primă proprietate foarte importantă:

- momentele de inerţie sunt minime în raport cu axe ce trec prin centrul de greutate; - momentele de inerţie în raport cu orice drepte paralele cu axa ∆ şi situate la

aceiaşi distanţă d, sunt egale. De asemenea, relaţia este valabilă şi pentru momentele de inerţie geometrice ale

corpurilor. Singura modificare este dată de înlocuirea masei cu volumul corpului V, pentru blocuri, cu aria A a corpurilor tip placă, respectiv lungimea L pentru cele tip bară, obţinând:

2

1I I Vd∆ ∆= + ; 2

1I I Ad∆ ∆= + ; 2

1I I Ld∆ ∆= + 9.27.

9.2.5.2. Variaţia momentului de inerţie centrifugal în raport cu axe paralele

(relaţia lui Steiner) În mod analog, din definiţia acestui moment, conform relaţiei 9.64. se poate

demonstra că relaţia lui Steiner pentru momentele de inerţie centrifugale este de formă asemănătoare.

1 1x y xiyi c c

J J m x y= + ⋅ 9.28.

Relaţie valabilă şi pentru cele geometrice, cu aceiaşi observaţie ca la cele axiale:

( ) ( )1, 1, 1 c cx y xyI I Vx y

∆ ∆= + ;

( ) ( )1, 1, 1 c cx y xyI I Ax y

∆ ∆= + ;

( ) ( )1, 1, 1 c cx y xyI I Lx y

∆ ∆= + ; 9.29.

Observaţie Deoarece, între modul de calcul al momentelor de inerţie mecanice pentru un sistem

de puncte şi un corp diferenţa este dată de modul de însumare relaţia lui Steiner este valabilă atât pentru momentul de inerţie al unui sistem de puncte iniţiale cât şi pentru un corp.

9.2.5.5. Calculul momentului de inerţie mecanic şi geometric pentru corpuri

cu geometrie simplă

Pentru calculul momentului de inerţie mecanic se porneşte de obicei de la aprox imaţia că în general corpurile pot fi considerate omogene şi masa elementară dm = ρ dV, relaţie în care ρ reprezintă densitatea corpului iar dV, volumul de masă dm. Această relaţie se particularizează şi în funcţie de forma corpului. a) dacă corpul este tip bară atunci: dm = γl dl, în care γl = greutatea specifică pe unitatea de lungime; b) dacă corpul este de tip placă, atunci: dm = γA dA, unde γA = greutatea specifică pe unitatea de suprafaţă;

Aceste relaţii ne arată că dacă putem calcula momentele de inerţie geometrice cu ajutorul lui ρ, γl, γA putem calcula momentele de inerţie mecanice.

Momentul de inerţie mecanice şi geometrice ale principalelor tipuri de corpuri se găsesc în tabelul 4 funcţie de mărimile geometrice caracteristice ale formei corpului respectiv.

Aplicaţii. 1) Se consideră un corp omogen de tip bară având lungimea l şi masa m, de secţiune constantă. Se cere momentul de inerţie mecanic în raport cu centrul său de greutate şi în raport cu unul din capete.

Datorită particularităţii sale geometrice, observăm că momentul de inerţie în raport cu centrul de greutate valoric se confundă cu momentul de inerţie mecanic în

raport cu axele Oy respectiv Oz, care trec prin G. Considerând relaţia 9.16. având în vedere că dm = γl dx şi deoarece bara este dreaptă ds=dx se obţine:

2 2 2

0 l oJ J x dm x dx I I x dxγ

∆ ∆= = = ⇒ = = ⇒∫ ∫ ∫

2 3

0; ;

12 12o

m l lJ I

⋅= ⇒ =

9.35.

Pentru capătul A al barei se aplică relaţia lui Steiner 9.26.

22 2

2

1

12 2 3

ml l mlJ J md m∆ ∆

= + = + =

, respectiv:

3

3A

lI = 9.36.

2. Să se calculeze momentul de inerţie axial mecanic şi geometric al unei plăci omogene, de masă m de formă dreptunghiulară de dimensiuni b h× , de grosime constantă în raport cu axele:

a) Ox, Oy care trec prin centrul de greutate şi este paralelă cu latura b. b) O1x1 , O1 y 1 axele ce se suprapun cu laturile dreptunghiului.

Pentru calcul, se porneşte de la relaţia 9.13. alegând o arie elementară dA de forma unui dreptunghi. Conform figurii ⇒

dA b dy= ⋅ ;A

dm dAγ= ⋅ ; cu A

m m

A bhγ = =

9.37.

32

2 2 2 2

2

2

3

3

12

h

h

x A A A h

h

A A x

yJ y dm y dA b y dy b

bhI

γ γ γ

γ γ

−

−

= ⋅ = = ⋅ = ⋅ =

= ⋅

∫ ∫ ∫

Cum, conform relaţiei 9.37. Ab h mγ ⋅ ⋅ = ⇒

3 2

;12 12

x x

bh hI J m⇒ = = 9.38.

Conform relaţiei 9.38.. se poate defini regula de calcul a momentului de inerţie mecanic axial pentru o placă omogenă de grosimea constantă ca fiind a douăsprezecea parte din produsul dintre masă şi pătratul lungimii laturii perpendiculare pe axa în raport cu care se calculează momentul. Aplicând această regulă se obţine:

1 1y ≡ ∆ y ≡ ∆

A O G≡ x dx l Fg. 9.6. Aplicaţia 1

y1 y O h x y O1 dy x1 b Fg. 9.7. Aplicaţia 2

2

;12

y

bJ m= 9.39.

Conform relaţiei 9.38.. se poate defini regula de calcul a momentului geometric axial pentru o placă omogenă de grosimea constantă ca fiind a douăsprezecea parte din produsul dintre lungimea laturii paralele cu axa şi cubul lungimii laturii perpendiculare pe axa în raport cu care se calculează momentul. Aplicând această regulă se obţine:

3

12x

bhI = 9.40.

Pentru calculul momentelor în raport cu axele ce conţin laturile dreptunghiului se utilizează relaţia lui Steiner. Astfel, conform 9.16., Conform relaţiei 9.15.

3 3 2 2

= + ( )12 12 12

o x y

bh hb h bI I I hb

+= + = , respectiv:

2 2

= + ( )12

o x y

h bJ J J m

+=

deoarece corpul fiind plan z=0 pentru orice punct al plăcii. În raport cu sistemul x1O1y1, vom avea:

1 1 1

3 3 2 2

= + ( )3 3 3

o x y

bh hb h bI I I hb

+= + = ,

respectiv: 1 1 1

2 2

= + ( )3

o x y

h bJ J J m

+= 9.43.

3) Ştiind că pentru placa dreptunghiulară din fig.9.15. axele Ox şi Oy sunt direcţii principale de inerţie se cere să se calculeze momentul de inerţie mecanic pentru placă, în raport cu o dreaptă ∆ ce aparţine planului median al plăci şi face unghiul

α cu axa Ox, respectiv ∆ 1 .

Conform relaţiilor 9.38. şi 9.39. se cunosc Jx ; Jy şi Jz =0 (placă plană) şi dacă Ox ;Oy;Oz sunt direcţii principale de inerţie atunci:

1

2

3

0; şi

x

xy yz zx y

z

J J

J J J J J

J J

→

= = = →

→

devin momente principale de inerţie. Atunci momentul de inerţie mecanic J∆ în raport cu o dreaptă ∆, definită prin cosinuşii directori cos α, cos β, cos γ , care în plus pentru

acest caz particular avem că ,2 2

π πβ α γ= − = , conform relaţiei 9.39. a obţinem:

y ∆

α O h ∆ 1 b Fig 9.8. Aplicaţia 3.

2 2 2 2 2

1 2 3 1 2cos cos cos cos sinJ J J J J J Jα β γ α α= + + = = +

Pentru ∆ 1 ∆ , situate la distanţa d’= 2 2 211

2cos 2cos

hh b k

α α

+ = + se

obţine aplicând relaţia lui Steiner:

2

2 2 2 2 2 2

1(cos sin ) ( 1 )

12 2cos

mh hJ J md k m kα α

α

′= + = + + +

CALCULUL MĂRIMILOR DINAMICE PENTRU STUDIUL

SISTEMELOR MATERIALE

9.3. LUCRUL MECANIC ELEMENTAR PENTRU UN RIGID

Se consideră un rigid în mişcare generală. Asupra sa, acţionează în diferite puncte un sistem de n forţe. Fie un punct Ai asupra căruia acţionează forţa

iF . În intervalul de

timp dt, acest punct se deplasează sub acţiunea sistemului de forţe cu i

dr , efectuându-se

un lucru mecanic elementar conform relaţiei 9.2.

i i idL F dr= ⋅

De la cinematică însă, conform ecuaţiei lui Euler 3.56. ( )0i i

dr v r dtω= + × ⋅ , care

înlocuită în relaţia anterioară, pentru întregul sistem de puncte, lucrul mecanic elementar devine:

( ) ( )0 0i i i i i i idL F v dt F r dt F v dt r F dtω ω= ⋅ + ⋅ × ⋅ = ⋅ + ⋅ × ⋅

în care, pentru a se obţine ultima formă, în produsul mixt s-au făcut permutări circulare.

( )0i i idL F v dt r F dtω= ⋅ ⋅ + × ⋅ ⇒∑ ∑

Deoarece

0 şi v ω , sunt constanţi pentru orice punct al corpului, aceste mărimi nu

sunt afectate de operatorul sumă obţinând:

( )0 i i idL v dt F dt r Fω= ⋅ + ⋅ ×∑ ∑ 9.44.

Dar

0 0v dt dr= , reprezintă deplasarea originii O a sistemului de referinţă mobil

legat de corp, iar dt dω θ⋅ = , rotirea corpului. În aceste condiţii lucrul mecanic elementar devine:

0 0dL R dr M dθ= ⋅ + ⋅ 9.45.

9.3.1. Lucrul mecanic elementar pentru un rigid în mişcare de translaţie Conform rezultatelor de la cinematica rigidului, mişcarea de translaţie este

caracterizată de condiţia, ω =0, ce implică automat şi 0=θd . Pe un sistem de coordonate cartezian se obţine:

0 x y zdL Rdr R dx R dy R dz= = + + 9.46.

Pentru deplasarea rigidului între două puncte A-B, se obţine lucrul mecanic total

dat de relaţia:

0AB

AB

L Rdr= ∫ 9.47.

9.3.2. Lucrul mecanic elementar pentru un rigid în mişcarea de rotaţie De la cinematică se ştie că mişcarea de rotaţie prezintă ca particularitate că,

00v = ⇒

00dr = , cu care relaţia 9.45. devine:

dL=

0M dθ⋅ ⇒ 9.48.

Pentru rotirea corpului de la

1 2, la θ θ lucrul mecanic este:

2

1

L Md

θ

θ

θ= ∫ 9.49.

9.4. IMPULSUL MECANIC PENTRU SISTEME MATERIALE

Să considerăm un sistem de n puncte materiale, în care fiecare punct Ai are masa

mi şi viteza iv . Conform definiţiei fiecare punct v-a avea conform definiţiei 9.13.

impulsul:

i i iH m v= ⋅

Pentru toate punctele sistemului prin însumare vectorială se obţine impulsul total:

1 1

n n

i i i

i i

H H m v

= −

= = ⋅∑ ∑ 9.50.

Se ştie de la cinematică relaţia vitezei unui punct este: i

i

drv

dt= ⇒

Considerând corpurile de masă constantă se obţine pentru impuls relaţia:

o c o c

dH m r m v

dt= = 9.51.

Pentru un corp:

( )D

H vdm= ∫ 9.52.

Din relaţia 9.51. se poate trage concluzia că impulsul unui rigid sau sistem de

puncte materiale nu depinde de felul mişcării lor ci numai de mişcarea centrului de masă. Calcul impulsului unui corp sau sistem de puncte materiale se face ca şi pentru un punct material având masa egală cu cea a sistemului material, fiind concentrată în centrul de greutate şi având viteza acestuia.

9.4.1. Teorema de variaţie a impulsului

Derivând în raport cu timpul expresia impulsului 9.50., masa fiind constantă se

obţine:

i i i i ii

d d dH m v m v m a

dt dt dt= ⋅ = ⋅ =∑ ∑ ∑

Conform figurii 9.1. considerând un punct oarecare i al sistemului, scriind ecuaţia

de echilibru dinamic se obţine:

i i i ij

j

m a F F= +∑ 9.53.

în care

iF reprezintă forţa exterioară ce acţionează asupra punctului, iar

ijF reprezintă

forţa interioară cu care acţionează punctul j asupra punctului i. Considerând că fiecare pereche de forţe interioare îşi fac echilibru,

0ij ji ij ji

F F F F+ = ⇔ = −

Ca atare:

0ij int

i j i

F F= =∑∑ ∑ 9.55.

Înlocuind relaţia 9.55. în 9.59. se obţine:

i i i ext

i i i

ma F F H= = =∑ ∑ ∑& 9.56.

Această relaţie vectorială se poate proiecta funcţie de axele sistemului de referinţă.

9.4.2. Teorema mişcării centrului de masă (de greutate)

Conform relaţiei 9.51. însă:

o c o c o cH m v H m v m a= ⇒ = =

& & 9.57.

Egalând expresiile impulsului din relaţiile 9.16. şi 9.57. se obţine:

o c ext

i

m a F=∑ 9.58.

ce reprezintă teorema mişcării centrului de masă valabilă atât pentru rigid cât şi pentru un sistem de puncte materiale. Această relaţie exprimă matematic faptul că centrul de greutate se mişcă ca un punct material în care este concentrată întreaga masă a punctului sau rigidului. Teorema mişcării centrului de masă este o altă formă a teoremei impulsului, este deosebit de importantă în studiul dinamicii rigidului şi sistemele de puncte materiale, întrucât cu ajutorul ei se stabileşte legea de mişcare (acceleraţia şi viteza) a unui punct intrinsec, indiferent de tipul mişcării. 9.4.3. Conservarea impulsului

Dacă în timpul mişcării sistemului de puncte sau rigidului pe intervalul de timp studiat, acestea sunt izolate, în sensul că forţele exterioare şi de legătură ce acţionează, asupra sa îşi fac echilibru, atunci:

0ext

i

H F= =∑& 9.59.

ce arată că în intervalul respectiv de timp, variaţia impulsului este nulă, deci impulsul se conservă:

.

o cH m v C const= = = 9.60.

Relaţia 9.60. ce exprimă matematic teorema conservării impulsului, exprimată vectorial se poate scrie sub diferite forme funcţie de sistemul de coordonate utilizat. În sistemul cartezian, avem:

1

2

3

0; 0

0; 0

0; 0

x ext x x o ox

i

y ext y y o oy

i

z ext z z o oz

i

F H H m v C

F H H m v C

F H H m v C

= ⇒ = ⇒ = =

= ⇒ = ⇒ = = = ⇒ = ⇒ = =

∑

∑

∑

&

&

&

9.61.

ce arată datorită independenţei relaţiilor de proiecţie că impulsul ca şi în cazul punctului materiale se poate conserva total sau numai parţial pe una sau două din direcţiile spaţiului. Faptul că vitezele rămân constante înseamnă că aceste constante se pot determina din condiţiile iniţiale.

9.5. MOMENTUL CINETIC

Se consideră mai întâi studiul unui sistem de puncte. Fie un sistem de n puncte materiale, în care fiecare punct Ai are masa mi, viteza

iv şi vectorul de poziţie

ir faţă de

originea O , a sistemului de referinţă. Conform definiţiei fiecare punct v-a avea conform relaţiei 9.17. momentul cinetic:

( )oi i i i i i

K r H r m v= × = × ⋅ 9.62.

Pentru întregul sistem de puncte, prin însumare vectorială se obţine:

( )0 i i i i iK r H r m v= × = × ⋅∑ ∑ 9.63.

Relaţia este valabilă şi în cazul mişcării de translaţie a unui corp rigid cu

deosebirea că însumarea se realizează prin integrare, corpul fiind un mediu continuu,

( )0K r vdm= ×∫ 9.64.

Relaţiile 9.63 şi 9.69. arată că momentul cinetic depinde de felul mişcării, având expresii specifice fiecărei mişcări conform distribuţiei de viteze. 9.5.1. Momentul cinetic în mişcarea de translaţie De la cinematica rigidului se ştie că în mişcarea de translaţie viteza este un invariant cu punctul, ca atare toate punctele având aceiaşi viteză se utilizează viteza

centrului de masă vC. În aceste condiţii operatorul se integrare se aplică doar asupra elementului de masă şi vectorul său de poziţie, obţinând:

( ) ( ) ( )0 C C CK r vdm rdm v m r v= × = × = ⋅ ×∫ ∫

În cazul mişcării de translaţie momentul cinetic se poate calcula înlocuind rigidul

cu un singur punct având întreaga masă mc egală cu Σ mI concentrată în centrul de greutate. Dacă cunoaştem impulsul centrului de masă atunci

( )0( )

C C C C C CK m r v r m v r H= ⋅ × = × ⋅ = × 9.65.

având relaţia tipică de definire a momentului cinetic al unui punct, valabilă atât pentru mişcarea de translaţie a unui punct cât şi pentru un corp rigid.

9.5.2. Momentul cinetic în mişcarea de rotaţie Un caz foarte frecvent întâlnit în practică este cazul mişcării de rotaţie a rigidului.

De la cinematica mişcării de rotaţie a rigidului conform relaţiei 7.6.

v rω= ×

Prin înlocuirea acestei expresii în relaţia 9.64. se obţine:

( ) ( )0K r vdm r r dmω= × = × ×∫ ∫ 9.66.

Dacă se consideră cazul general când axa de rotaţie ∆ , după care se găseşte dispusă viteza unghiulară ω , trece prin originea sistemului de referinţă mobil Oxyz legat de corp, fată de care vectorul de poziţie r al unui punct curent M şi ω au proiecţiile cunoscute se poate scrie:

x y z

r xi yj zk

i j kω ω ω ω

= + +

= + +

9.68.

Înlocuind relaţiile 9.68. în 9.67. efectuând calculele matematice, reducând termeni şi ordonând convenabil având în vedere relaţiile de definiţie a momentelor de inerţie mecanice şi organizând termenii după versorii sistemului de referinţă mobil se obţine:

( ) ( ) ( )0 x x xy y xz z xy x y y yz z xz x yz y z zK J J J i J J J j J J J kω ω ω ω ω ω ω ω ω= − − + − + − + − − + 9.9.

Proiectând momentul cinetic după direcţiile sistemului de referinţă mobil se

obţine:

0 0x oy ozK K i K j K k= + + 9.70.

Scriind condiţia de identitate dintre cele două expresii 9.70. şi 9.69. se obţin expresiile proiecţiilor momentului cinetic pentru un corp în mişcarea generală de rotaţie:

0x x x xy y xz z

oy xy x y y yz z

oz xz x yz y z z

K J J J

K J J J

K J J J

ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω

= − −

= − + −

= − − +

9.71.

relaţie ce se poate reţine prin permutări circulare.

Pentru o scriere mai restrânsă a relaţiilor 9.71. se poate folosi forma de scriere matricială, utilizând relaţiile definite mai jos. Astfel, scriind mărimile vectoriale ca matricei coloană 1 3× şi notând cu J , matricea de distribuţie a masei corpului în spaţiu

se obţin relaţiile:

0

0 0

0

x

y

z

K

K K

K

=

; x

y

z

ω

ω ω

ω

=

;

x xy xz

xy y yz

xz yz z

J J J

J J J J

J J J

− −

= − − − −

9.72.

cu care expresia momentului cinetic devine:

0K J ω= 9.73.

Cazuri particulare Dacă axa de rotaţie ∆ se suprapune cu axa Oz a sistemului de referinţă, atunci se pot introduce în relaţiile 9.71. următoarele relaţii:

0; ;x y z

kω ω ω ω ω ω= = = ⇒ = ⋅

se obţine pentru momentul cinetic

0K expresia:

0

0

0

x xy z xz

y yz z yz

z z z z

K J J

K J J

K J J

ω ω

ω ω

ω ω

= − = −

= − = −

= =

9.74.

Dacă însă, rigidul este un corp de revoluţie, cu axa de simetrie Oz fiind şi axa de

rotaţie, atunci axele sistemului constituie direcţii principale de inerţie (vezi paragraf 9.2.5.4.) Faţă de acest sistem, momentele de inerţie mecanice axiale Jx, Jy ,Jz, devin

principale şi se notează cu J1, J2, J3, iar momentele de inerţie centrifugale sunt nule, Jxy= Jxz=Jyz=0. adăugând aceste particularităţi în relaţia 9.74. se obţine:

0 1=

z zK J J k J kω ω ω= = 9.75.

Dacă viteza unghiulară are o direcţie diferită de axa principală de inerţie, relaţia 9.71. devine:

kJjJiJKzyx

o ωωω321

++= 9.76.

Relaţia 9.75. arată că: în mişcarea de rotaţie a unui corp în jurul unei axe ce este

direcţie principală de inerţie, momentul cinetic are o singură componentă dispusă după direcţia axei de rotaţie şi având modulul:

0=

zK J ω 9.77.

Relaţiile anterioare sunt valabile şi pentru sisteme de puncte materiale, cu deosebirea că momentul de inerţie mecanic se determină prin însumare algebrică. 0

i C i C i iv v r v v rω ω= + ⋅ ⇒ = ⇒ = ⋅

9.5.3. Teoremele momentului cinetic

Derivând relaţiei 9.63., momentului cinetic pentru un sistem de puncte, se obţine:

( ) ( )0

0

0

i i i i i i i i i

dK dK r m v v m v r m a

dt dt=

= = × = × + × ⇒∑ ∑ ∑&

14243( )0 i i i

K r m a= ×∑&

Cum însă din condiţiile de echilibru pentru un punct dintr-un sistem, conform relaţiei 9.53. se poate scrie că:

i i i ij i ext i int

j

m a F F F F= + = +∑ 9.78.

relaţie care înlocuită în 9.79. ne dă forma finală a variaţiei:

0 0 0i i ext ext

K r F M M= × = =∑ ∑& 9.81.

Relaţia este valabilă şi în cazul rigidului, ca atare variaţia momentului cinetic pentru un sistem de puncte sau rigid calculat în raport cu un punct O este egală cu suma momentelor fiecărei forţe în raport cu O, sau momentul rezultant al forţelor exterioare ce acţionează asupra lor, calculat în raport cu punctul O.

În aplicaţii se poate utiliza oricare dintre formele date de relaţia 9.81. Pe lângă această relaţie vectorială se mai pot utiliza şi forma de scriere a ecuaţiei vectoriale cu ajutorul proiecţiilor pe sistemul de referinţă utilizat. Astfel în sistemul cartezian ecuaţia devine:

0

0

0

x x ext

y y ext

z z ext

K M

K M

K M

=

=

=

∑

∑

∑

&

&

&

9.82.

Aplicaţie. Un volant se roteşte în jurul axei de simetrie sub acţiunea unui cuplu de

moment constant 0

M . Momentul de inerţie al discului faţă de axa de rotaţie este ∆

J . Se

cere legea de mişcare a discului ştiind că porneşte din repaus. 9.5.4, Teorema conservării momentului cinetic Dacă sistemul de puncte sau rigidul este complet izolat sau momentul rezultant al forţelor exterioare ce acţionează asupra lor, calculat în raport cu punctul O, este nul atunci momentul cinetic se conservă. Pentru demonstraţie se porneşte de la relaţia 9.81., în care:

0 0 00; 0; .

extM K K C ct= ⇒ = ⇒ = =∑

& 9.83.

Aplicând rezultatul în relaţia 9.82. se obţine:

0 1

0 2

0 3

0;

0;

0;

x x ext x

y y ext y

z z ext z

K M K C

K M K C

K M K C

= = ⇒ =

= = ⇒ =

= = ⇒ =

∑

∑

∑

&

&

&

9.84.

Constantele se pot determina din condiţii iniţiale, valorile lor fiind constante pe

toată durata mişcării. Dacă M 0 este nul doar după una sau două din direcţiile sistemului de referinţă, atunci ca şi în cazul impulsului, momentul cinetic se conservă parţial numai pe direcţiile respective. 9.6. ENERGIA CINETICĂ Pentru un sistem de puncte, energia cinetică a unui punct oarecare i de masă mi şi viteză vi , aparţinând sistemului, conform relaţiei 9.29. este:

2

2

i i

i

m vE =

Pentru întregul sistem de puncte energia cinetică totală este obţinută prin:

2

1

1

2

n

i i

i

E m v

=

= ∑ 9.85.

În cazul corpului rigid considerând o masă elementară dm din vecinătatea punctului M din fig. 9.16. ce are viteza v energia întregului corp se obţine realizând însumarea continuă pe conturul corpului D cu ajutorul integralei, obţinând:

2

( )

1

2D

E v dm= ∫ 9.86.

Expresiile 9.85. şi 9.86. arată că energia este o mărime mecanică ce depinde de

câmpul de viteze. Ca atare energia cinetică are forme particulare pentru mişcările particulare ale corpului şi sistemelor de puncte materiale funcţie de expresia vitezei. În continuare se vor studia formele particulare pentru rigid, având cea mai mare utilitate, pentru sistemele de puncte metodica de calcul fiind similară.

9.6.1. Energia cinetică în mişcarea de translaţie

De la cinematica rigidului se ştie că în mişcarea de translaţie viteza este un invariant cu punctul, ca atare toate punctele având aceiaşi viteză se utilizează viteza centrului de masă

cv v=

În aceste condiţii operatorul se integrare se aplică doar asupra elementului de

masă şi vectorul său de poziţie, obţinând:

2 2 2

( ) ( )

1 1 1

2 2 2c c

D D

E v dm v dm mv= = =∫ ∫ 9.87.

ce arată că în mişcarea de translaţie energia cinetică se calculează ca şi când întreaga masă m a corpului este concentrată într-un singur punct. 9.6.2. Energia cinetică în mişcarea de rotaţie

Modulul vitezei punctului curent al corpului M se poate exprima ca viteza unui punct în mişcare de rotaţie în raport cu punctul O’, în care axa de rotaţie înţeapă planul mişcării punctului. Viteza periferică este:

Mv v lω= = ⋅ 9.89.

Utilizând 9.89. în 9.86., obţinem pentru energia cinetică relaţia:

2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

1 1 1 1( )

2 2 2 2D D D

E v dm l dm l dm Jω ω ω∆

= = ⋅ = =∫ ∫ ∫ 9.90.

în care s-a utilizat caracterul de vector liber al vitezei unghiulare ω cu punctul şi de la momentele de inerţie mecanice momentul de inerţie mecanic al corpului în raport cu axa de rotaţie

2

( )D

J l dm∆= ∫

Pentru un sistem de puncte expresia este aceiaşi, dar, 2

i im l J

∆=∑ reprezintă

momentul de inerţie mecanic al sistemului de puncte în raport cu axa de rotaţie, expresia energiei ca şi în mişcarea de translaţie fiind aceiaşi. 9.6.5. Teorema energiei cinetice

Variaţia energiei cinetice are aplicaţie în special în cazul sistemelor de puncte materiale, deoarece rigidul fiind nedeformabil indiferent de solicitare problema nu are aplicabilitate. Astfel, conform relaţiei 9.85., pentru un sistem de puncte materiale:

2

1

1

2

n

i i

i

E m v

=

= ∑

Prin diferenţierea relaţiei se obţine:

2 2

1 1 1

1 1

2 2

n n n

i i i i i i i

i i i

dE d m v m dv m a dr

= = =

= = =

∑ ∑ ∑ 9.98.

Pentru calculul acestei sume se consideră două puncte i şi j ale sistemului

conform fig. 9.14.. Considerând punctul i, din echilibru dinamic se obţine:

1 2 3

... ...

i i i i i i inm a F F F F F= + + + + + + 9.99.

în care când i j= , se pune un singur indice constituind forţa, sau rezultanta forţelor exterioare ce acţionează asupra punctului i. Se scriu condiţiile de echilibru dinamic pentru fiecare punct i separat, conform relaţiei 9.99. şi înmulţind scalar fiecare egalitate cu dri, în care i=1... n. corespunde punctului studiat se obţin relaţiile:

i i i i i ij i

m a dr Fdr F dr⋅ = +∑ ∑ ∑∑ 9.100.

Cum

iF reprezintă forţa exterioară ce acţionează asupra punctului i, iar

ijF forţa

interioară dintre punctele i şi j, atunci, conform definiţiei lucrului mecanic elementar:

i i extFdr dL=∑ ;

ij i intF dr dL=∑∑ 9.101.

Prima relaţie defineşte lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare, iar al

doilea lucrul mecanic elementar al forţelor interioare. Cu aceste relaţii variaţia energiei primeşte forma:

ext intdE dL dL dL= + = 9.102.

ce arată că variaţia energiei cinetice este egală cu lucrul mecanic dL, ce cumulează lucrul mecanic al forţelor interioare şi exterioare. Ori această condiţie poate fi întâlnită explicit în următoarele trei cazuri:

1) dacă 0ij

F = , rezultă că legătura dintre puncte este ideală, în sensul că forţa de

interacţiune dintre puncte este neglijabilă (cazul unui fir netensionat (T=0), sau perfect elastic deformându-se fără a opune rezistenţă).

2) când ijv =0, cu alte cuvinte viteza relativă dintre puncte este nulă. În acest caz

un exemplu îl constituie cazul unei roţi rigide ce se deplasează pe o suprafaţă plană rigidă, fără lunecare. În acest caz punctul de contact reprezintă centrul instantaneu de rotaţie având viteza instantanee nulă. Dacă roata, şi/sau suprafaţa de contact sunt deformabile, atunci apare lucru mecanic datorită depărtării şi apropierii centrului roţii de suprafaţa de contact.

3) Cazul al treilea apare când cei doi termeni ai produsului sunt diferiţi de zero, dar perpendiculari. Proprietatea rezidă din calculul modulului produsului scalar. Conform definiţiei:

cos 02

ij ij ij ij ij ijF v F v F v

π

α α⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ ⋅ = 9.105.

Un caz real este atunci când două bile sunt legate între ele cu un fir ideal perfect întins, sau cu o bară rigidă de masă neglijabilă. Este cazul similar a două puncte ale unui rigid.

Aplicaţii cu diverse sisteme de corpuri

BIBLIOGRAFIE

1. ATANASIU, M. -Mecanică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1973 2. BĂLAN Şt. - Lecţii complementare de mecanică, Ed. Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1973. 3. CEAUŞU, V., ENESCU, N., CEAUŞU, F. - Culegere de probleme de mecanică,

Lito. , I.P.B. Bucureşti, 1982. 4. CEAUŞU, V., ENESCU, N., - Probleme de mecanică, Statică, Cinematică.

Corifeu, Bucureşti, 2002. 5. DASCĂLU, D., ONCICA, V., - Mecanică şi rezistenţa materialelor. Ed.

Academiei navale ,,Mircea cel Bătrân,,. Constanţa 2002. 6. DASCĂLU, D., Mecanică pentru ofiţerii de marină. Ed. PRINTECH,

BUCUREŞTI, 2004 7. Iacob, C., - Mecanica teoretică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980. 8. IOACHIMESCU, A.- Mecanica raţională, Biblioteca ,, Gazetei matematice,,

Bucureşti 1947. 9. MANGERON, D., IRIMINCIUC, N. - Mecanica rigidelor cu aplicaţie în

inginerie, Ed. Tehnică, Bucureşti 1978. 10. MAIER, V. - Mecanica navei, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1995. 11. OLARIU, V., SIMA, R., ACHIRILOAIE, V.- Mecanica, Ed. Tehnică, Bucureşti

1982. 12. ONICESCU, O.- Mecanica, Ed. Tehnică, Bucureşti 1969. 13. PLĂCINŢEANU, I.I. – Mecanica vectorială şi analitică, Ed. Tehnică, Bucureşti

1958. 14. PRICOP, M., CARP, V. –Probleme de mecanică. Ed. Academiei navale ,,Mircea

cel Bătrân,,. Constanţa 2002. 15. RĂDOI, M., DECIU, E., –Mecanica, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1981. 16. RIPIANU, A., POPESCU, P., BĂLAN, B. – Mecanica tehnică, Ed. Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1979. 17. SILAŞ, GH. GROŞIANU, I. – Mecanica Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1981. 18. ROŞCA, I., – Mecanica pentru ingineri, Ed. Matrix rom, Bucureşti, 1998. 19. SARIAN, M., ş.a. –Probleme de mecanică. Ed. Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1981. 20. VÂLCOVICI, V., BĂLAN, Şt., VOINEA, R. – Mecanica teoretică, Ed. Tehnică,

Bucureşti 1974. 21. VOICULESCU, D., ENESCU, N., HAŞEGANU, E. –Mecanică şi rezistenţa

materialelor. Lito. , I.P.B. Bucureşti, 1984. 22. VOINAROSKI, R. – Mecanica teoretică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1968. 23. VOINEA, R., ATANASIU, M. –Metode analitice noi în teoria mecanismelor.

Ed. Tehnică, Bucureşti 1964. 24. VOINEA, R., VOICULESCU, D., SIMION, P., Fl., –Introducere în mecanica

solidului cu aplicaţii în inginerie, Ed. Academiei R.S.R.1989. 25. VOINEA, R., VOICULESCU, D., CEAUŞU, V. – Mecanica, Ed. Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1968.