MODEL PENTRU SIMULAREA PROBEI DE MATEMATICĂ DIN CADRUL EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2013 LA NIVELUL MUNICIPIULUI BUCUREŞTI

26 aprilie 2013 BAREM

M2-ştiințe ale naturii pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii; Orice variantă de rezolvare corectă şi completă se punctează corespunzător. SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. r = 2 1a a =3

110

10 2 92

a rS

10

10 2 3 9 35 33 165

2S

1p 2p

2p 2.

n= 7

12

7

18log2

log 3

n= 7

7

log 91 log 32

n= 2

7 7

7 7

log 3 2 log 3 41 1log 3 log 32 2

1p

1p

3p

3. 1 0 1[ 1,5]

5 0 5x x

xx x

Prin ridicare la pătrat rezultă: 21 5x x 21 25 10x x x

2 11 24 0x x 121 96 25 0

1,2 1 211 25 11 5 8, 3

2 2x x x

8 [ 1,5], 3 [ 1,5] Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este {3}S .

2p

2p

1p 4.

Probabilitatea este numărul cazurilor favorabilePnumărul cazurilor posibile

Numărul cazurilor posibile: 50-10+1=41. Cazuri favorabile: 13, 22, 31, 40. Numărul cazurilor favrabile este 4.

Rezultă 441

P .

2p

2p

1p

5. M – mijlocul segmentului [AB].

M(-1,-1)

2p

2p

1p

d(C,M)=CM= = 2 2( 1 4) ( 1 1) 25 5 . 6. sin

2ABCAB BC BA

sin600=

33 6 9 322 2ABCA

.

2p

2p

1p

SUBIECTUL II (30 de puncte) 1.a) =(0 0)

(4x+y 9x+4y)=(0,0)

y=-4x 9x-16x=0 x=0 y=0

X=B=(0 0)

2p

2p

1p

1.b) nu e inversabilă det aA =0

det aA = =a2-9

a2-9=0 a2=9a2=9 a= 3

2p

2p

1p 1.c) =

= = =9

= = =81 =81

2 28 4 2 20 0 2 2 281 81 6561A A I I I .

Rezultă b = 6561.

3p 2p

2.a) f(1)+f(2)= 10 1010 101 1 (2 1) (2 1) 1 1

f(1)+f(2)= 0+ 10 101 1 +0 = 2

2p 3p

2.b) f g C r , unde grad(r)<grad(g) grad(g)=2 ( ) 1grad r r aX b (X-1)10 + (X-2)10=(X-1)(X-2)C+aX+b

1 1 (1 1)(2 1) 1x a b a b 2 1 (2 1)(2 2) 2 2 1x a b a b

Se obţine sistemul 1

2 1a b

a b

cu soluţia a=0, b=1

În concluzie r =1.

1p

1p

1p

2p

2.c) 10 este număr par 101 0,x x � şi 102 0,x x �

f(x)=0; 10 101 ( 2) 0x x Rezultă x=1 şi x=2, ceea ce este fals. În concluzie polinomul f nu are rădăcini reale

3p 2p

SUBIECTUL III (30 de puncte) 1.a) f este derivabilă

(x) =2013 -2012 (-1)=2013 -2013=2013-2013=0

2p

3p

1.b) ecuația tangentei în = -1 este y – f(-1)= (-1)(x+1)

f(-1)= -2013(-1-1)-4=-1 +2 2013-4=4026-5=4021 y-4021 =0(x+1)

y=4021

2p

1p

2p 1.c) (x)=2013x2012-2013

(x)=2013 2012 x2011 f//(x) >0 oricare x>0 . f concavă pe (- ,0) şi f convexă pe(0, ).

2p

3p 2.a) 1

1 20 1xI dx

x

x2+1=t 2xdx=dt

0 1, 1 2x t x t

= = lnt = ln2 .

3p

2p

2.b)

+ = dx+1

20 1

nx dxx

+ = dx

+ =1

0

nx dx= = 11n

.

2p

2p

1p

2.c) 1[0,1] n nx x x

dx dx

.

1p

2p 1p 1p