Comportamentul optim al agentului consumator - modelul static

1 Comportamentul agentului consumator - modelul staticIpotezele modelului static sunt :

Pe pia exist un consumator i n bunuri

Consumatorul nu poate influena preurile bunurilor vndute i nici venitul obinut (preurile i venitul sunt exogene)

Optimizarea se face pe un singur orizont de timp (o singur perioad) Agentul consumator are obiective bine stabilite:

maximizare utilitii n condiiile unui venit dat sau

minimizarea cheltuielilor n condiiile unui prag de utilitate prestabilit ce determin un anumit program (o anumit structur) de consum Agentul consumator este raional

Agentul consumator este solvabil

Bunurile ce fac obiectul alegerii sunt infinit divizibileRelaia dintre cantitile de bunuri consumate i utilitatea obinut de consumator este dat de o anumit funcie de utilitate. Funcia de utilitate este definit astfel: , , unde reprezint cantitatea consumat din bunul i. Proprietile funciilor de utilitate:

1. Continue, cresctoare utilitatea crete pe msur ce consumul crete

2. Derivabile de ordinul 2

3. Funcii concave (Matricea hessian este negativ definit) fiecare unitate consumat dintr-un anumit bun aduce o utilitate marginal mai mic dect unitatea precedent

Pentru ca matricea hessian s fie negativ definit minorii trebuie s fie alternativ negativi i pozitivi:

1.1. Rezolvarea problemei de optim pe caz general

Problema consumatorului: Consumatorul dorete s i maximizeze utilitatea generat de consumarea setului de bunuri , fr a depi ns venitul pe care l are la dispoziie V.Rezultatul rezolvrii problemei consumatorului: consumatorul determin ce cantitate s consume din fiecare bun de pe pia (adic determin funcia sa de cerere pentru fiecare bun n parte) i utilitatea maxim pe care o poate obine.A. Formularea matematic a problemei:

Problema consumatorului este o problem de optimizare cu o restricie care se rezolv prin metoda Kuhn-Tucker. Prima etap a acestei metode este construirea funciei de tip Lagrange.

B. Construirea Lagrangeanului: asigur transformarea problemei de maximizare cu o restricie ce avea n parametrii ntr-o problem de maximizare fr restricii dar cu n+1 parametrii.

Dup construirea Lagrangeanului, condiiile de optim se obin prin egalarea primei derivate a acesteia cu 0:

Folosind egalitatea (1), se substituie toate cantitile q2, , qn n funcie de q1 n relaia (2). Din relaia (2) se obine o formul pentru q1 n funcie de preuri i de venit. Avnd relaia pentru q1 se folosete din nou egalitatea (1) pentru a obine formule pentru toate cantitile:

Aceste funcii de cerere sunt de tip Marshall, sau funcii de cerere necompensate.

nlocuind aceste cantiti optime obinute mai sus n funcia de utilitate vom determina utilitatea maxim pe care o poate obine consumatorul n condiiile venitului curent pe care l obine i n condiiile preurilor actuale de pe pia.

Aceast utilitate maxim ce se poate obine se numete i funcie de utilitate indirect i se noteaz cu Z.

Proprietile funciei de utilitate indirect - Z1. este o funcie descresctoare n raport cu p

2. este o funcie cresctoare n raport cu V

3. este o funcie omogen de grad 0 n raport cu p i V

4. este o funcie continu

1.2. Concepte i definiii uzualea. Elasticitatea unei funcii fa de o variabil

Mod de calcul:

. Pentru modificri foarte mici ale variabilei, adic , raportul poate fi aproximat cu derivata funciei fa de variabila adic elasticitatea devine egal cu: (3)Elasticitatea msoar variaia relativ a funciei f la o variaie relativ a variabilei x.

Considernd c f o funcie de cerere, exist mai multe tipuri de elasticiti :

Elasticitatea cererii fa de pre direct

Bunuri cu cerere elastic (elasticitatea negativ bunuri normale; pozitiv bunuri Giffen)

Bunuri cu elasticitate unitar

Bunuri cu cerere inelasticElasticitatea cererii fa de pre ncruciat

Bunuri substituibile Bunuri complementareElasticitatea cererii fa de venit

Bunuri inferioare Bunuri normale Bunuri superioareb. Rata marginal de substituie reprezint cantitatea din bunul i necesar substituirii unei uniti din bunul j astfel nct utilitatea s rmn constant.

(4)Demonstraie: Aplicnd difereniala total asupra funciei de utilitate obinem :

Deoarece doar cantitile i i j se modific, avem :

c. Funcii omogene de grad nO funcie este omogen de grad n dac :

Dac este omogen de grad n, se verific urmtoarea relaie :

(relaia lui Euler) mprind ntreaga relaie cu f obinem :

Funciile de cerere sunt omogene de gradul 0 n p i V (unde p este vectorul preurilor:

p = (p1, p2, , pn). Ca urmare, relaia (5) se rescrie ca:

. Dac preurile i veniturile se modific n aceeai msur, programul de consum rmne neschimbat, ceea ce nseamn c agenii consumatori nu au iluzie monetar.

d. Semnificaia economic a lui

Aplicnd difereniala total asupra funciei de utilitate dar i asupra restriciei de buget obinem :

(6)

(7)Se folosesc rezultatele derivrii Lagrangeanului

care se introduc n (3). Se observ c, n urma substituiei, difereniala total a funciei de utilitate egaleaz dV din (4) iar relaia (3) se poate rescrie astfel:

(8)

( reprezint utilitatea marginal a venitului (creterea utilitii la o cretere cu o unitate a venitului).

e. Tipuri de funcii de utilitate Cobb Douglas (1928, propus de Wicksell) CES (Constant Elasticity of Substitution).

(Arrow, Chenery, Minhas, and Solow, 1961)

De obicei a + b = 1. Bernoulli (sec. XVII XVIII)1.3. Rezolvarea problemei duale de optim pe caz generala. Formularea matematic a problemei duale: Consumatorul dorete s i minimizeze cheltuielile generate de cumprarea setului de bunuri n condiiile obinerii unei utiliti cel puin egale cu o utilitate considerat int u.

Problema de optim se rezolv tot prin metoda Kuhn-Tucker, iar prima etap const tot n construirea funciei de tip Lagrange:

Dup construirea Lagrangeanului condiiile de optim se scriu astfel :

Dup obinerea relaiilor ntre cantiti, acestea se introduc n ultima ecuaie obinndu-se cantitile q1,q2,...,qn doar funcie de preuri i utilitate.

Aceste funcii de cerere sunt de tip Hicks, sau funcii de cerere compensate.

nlocuind cantitile optime consumate n funcia de cheltuieli se obine nivelul minim al cheltuielilor care poate fi obinut n condiiile obinerii unei utiliti egale cu i n condiiile preurilor existente pe pia. e se numete funcia de cheltuieli minime.

Proprietile funciei e1. este o funcie cresctoare n raport cu p

2. este o funcie omogen de grad 1 n raport cu p

3. este o funcie continu

1.4. Legtura dintre problema consumatorului i duala sa - Relaii fundamentale a. Lema lui Shephard (1953): ntre funcia e i funciile de cerere de tip Hicks exist urmtoarea relaie.

b. Relaii ntre funciile Z i entre funciile Z i e exist urmtoarele relaii :

(1.4.b.1) utilitatea maxim ce poate fi obinut cu costuri minime este chiar pragul minim de utilitate ales

(1.4.b.2) cheltuielile minime necesare pentru a obine utilitatea maxim posibil a fi obinut reprezint ntreg venitul disponibil

(1.4.b.3) cerea de tip Marshall (f) este egal cu cererea de tip Hicks (h) n condiiile n care utilitatea cutat este cea maxim posibil

(1.4.b.4) cererea de tip Hicks este egal cu cererea de tip Marshall n condiiile efecturii unor cheltuieli minime

este vectorul de preurib. Identitatea lui RoyIdentitatea lui Roy face legtura ntre cerere, utilitatea optim, pre i venit.

Demonstraie:

Relaia de buget se rescrie n funcie de fj

Derivnd ambii membri n funcie de pi se obine:

nlocuind (10) n (9) se ajunge la :

Derivnd n funcie de V:

i derivnd relaia de buget n funcie de V se obine:

nlocuind (13) n (12) se ajunge la :

mprind (11) la (14) se obine identitatea lui Roy:

c. Ecuaia lui SlutskyEcuaia lui Slutsky descompune efectul modificrii preurilor asupra cererii pe dou componente : efectul de venit i efectul de substituie.Pentru clarificare s presupunem c preul bunului 1 crete. Cum reacioneaz consumatorul?

i) i reduce consumul din bunul 1, dar pentru a pstra acelai nivel de utilitate i mrete consumul dintr-un alt bun care devine mai ieftin n comparaie cu bunul 1 efect de substituie.

ii) creterea preului bunului 1 i reduce consumatorului venitul real, restricia bugetar se mut paralel cu cea iniial ns la un al nivel de utilitate efect de venit.

SHAPE \* MERGEFORMAT Demonstraie: n relaia se deriveaz ambii termeni funcie de pi :

Folosind lema lui Shephard pentru i trecnd termenul n membrul stng, se obine ecuaia lui Slutsky:

1.5. Aplicaii 1. Fie funcia de utilitate i restricia bugetar Cerine:a) verificai proprietile funciei de utilitate

b) gsii funciile de cerere de tip Marshall

c) verificai dac acestea sunt omogene de grad 0 n preuri i veniturid) calculai elasticitile n funcie de pre i venit

e) verificai proprietile funciilor omogeneRezolvare:

a) Faptul c funcia U este continu este evident. Mai trebuie s punem condiia ca funcia U s fie cresctoare i concav.

Funcia U este cresctoare dac derivatele pariale ale funciei sunt pozitive i.

Pentru a stabili dac funcia este concav, determinm matricea Hessian:

Minorul de ordinul 1

Minorul de ordinul 2

n concluzie, U este funcie de utilitate doar dac .

b) pentru a determina funciile de tip Marshall, vom rezolva problema de optim a consumatorului.

Problema de optim:

Funcia tip Lagrange:

Condiiile de optim:

mprind relaia (2) la (1) obinem:

nlocuind relaia (4) n (3) vom obine funcia de cerere Marshall pentru bunul 2:

.

nlocuind relaia (5) n (4) vom obine funcia de cerere Marshall pentru bunul 1: .

c) funcie omogen de grad 0.

d)

e)

2. Aceleai cerine pentru urmtoarele funcii de utilitate:

a.

b.

c.

d.

e.

3. Pentru fiecare din funciile de utilitate de mai sus, fie problema dual de optim

Cerine:

a) funciile de cerere de tip Hicks verificai dac sunt omogene de grad 0 n preurib) construii funcia Z verificai dac este omogen de grad 0 n raport cu p i V

c) construii funcia e verificai dac este omogen de grad 1 n raport cu p

d) verificai identitatea lui Roy i ecuaia lui Slutsky

Rezolvare:

a)

Problema de optim:

Funcia tip Lagrange:

Condiiile de optim:

mprind relaia (2) la (1) obinem:

nlocuind relaia (4) n (3) vom obine funcia de cerere Hicks pentru bunul 2:

.

nlocuind relaia (5) n (4) vom obine funcia de cerere Marshall pentru bunul 1: .

Demonstrm c funcia Hicks este omogen de gradul 0 n preuri, ceea ce nseamn conform definiiei funciilor omogene:

b) funcia Z (funcia de utilitate indirect) reprezint utilitatea maxim ce poate fi atins n condiiile ncadrrii n venitul disponibil V. Deci Z se obine nlocuind n funcia de utilitate cantitile cu valorile lor optime, adic cu funciile de cerere Marshall:

Z este omogen de grad 0 n raport cu p i V dac i numai dac

c) e reprezint cheltuielile minime ce pot fi realizate n condiiile obinerii unei utiliti egale cu u. Deci e se obine nlocuind n funcia de cheltuieli cantitile cu valorile lor optime, adic cu funciile de cerere Hicks:

Funcia e este omogen de grad 1 n raport cu p dac i numai dac:

4. Se consider funcia de utilitate cu restricia de buget unde L=munca prestat (ore lucrate), w=salariul, p=preul bunurilor i serviciilor, C=cantitatea de bunuri i servicii consumate. S se determine:

a) cererea de tip Marshall;

b) funcia de utilitate indirect.

Rezolvare:

a) Problema de optim:

Funcia de tip Lagrange

Condiiile de optim:

mprim relaia (2) la (1):

nlocuind relaia (4) n restricie (relaia (3)) obinem: .

Pentru a obine numrul de ore lucrate optim nlocuim consumul optim n relaia 4:

.

5. Un consumator are funcia de cheltuieli minime egal cu .

a) cum se modific venitul minim necesar pentru a atinge o utilitate U dac preurile cresc cu 10%. Explicaie.

b) s se determine funcia de utilitate indirect

c) s se determine funciile de cerere Marshall

d) s se determine funciile de cerere Hicks

e) s se determine funcia de utilitate a consumatorului .

Rezolvare:

a) Faptul c preurile cresc cu 10% se scrie i . De aici funcia de cheltuieli minime se modific astfel:

Acest lucru nseamn c atunci cnd preurile cresc cu 10 % i cheltuielile minime cresc cu 10%, deci i veniturile minime pentru a obine o utilitate u trebuie s creasc tot cu 10%!

b) se folosete identitatea:

! Punctele c i d se pot rezolva prin 2 metode:

- se aplic identitatea lui Roy pt a determina funciile Marshall i pentru funciile Hicks se utilizeaz identitatea

-se aplic lema lui Shepard pentru a determina funciile Hicks i pentru funciile Marshall se utilizeaz identitatea

S urmm prima metod.

c) Scriem identitatea lui Roy pentru funciile Marshall

Analog pentru cealalt funcie Marshall

d) folosim relaia

Analog

6. Funcia de utilitate a unui consumator este , iar venitul su este egal cu V. tiind c preurile celor dou bunuri sunt , respectiv se cere:

i) funciile de cerere pentru bunurile 1 i 2 care asigur maximizarea utilitii consumatorului.

ii) s se precizeze cu ct se modific cantitatea optim consumat dac:

1. Venitul crete cu 20%, 2. preurile scad simultan cu 20%, 3. att venitul ct i preurile cresc cu 20%, 4. elasticitile i cresc cu cte 10%.

iii) s se determine cantitile optime consumate dac

EMBED Equation.3 V=5000

EMBED Equation.3 7. Un consumator poate achiziiona dou bunuri, n cantitaile q1 i respectiv q2. Preul unitar al primului bun este egal cu 3, iar preul celui de al doilea este egal cu 2. Preferinele consumatorului sunt reprezentate prin funcia de utilitate:

Se cere:

a. Funciile de cerere Marshall pentru cele dou bunuri dac consumatorul obine un venit egal cu V.

b. Cu ct se modific utilitatea maxim obinut de consumator dac venitul crete cu o unitate monetar?

c. Determinai funcia de utilitate indirect (funcia de utilitate maxim).

8. ntr-o economie exist N+M consumatori (fiecare consumator are un venit egal cu V) i dou bunuri ale cror preuri sunt n prezent i . N consumatori sunt caracterizai de o funcie de utilitate egal cu , iar M consumatori sunt caracterizai de o funcie de utilitate egal cu , unde reprezint cantitatea consumat din bunul 1, iar reprezint cantitatea consumat din bunul 2. S se determine:

a) funciile de cerere agregat (la nivelul ntregii economii) pentru bunurile 1 i 2;

b) cu ct se modific cantitatea cerut din cele dou bunuri dac preul lor crete cu 10%?

Rezultate:

a)Funciile Marshall pentru agenii cu funcia de utilitate

Funciile Marshall pentru agenii cu funcia de utilitate

Funciile de cerere agregate

b) se calculeaz elasticitatea lui i fa de i . Se obine -1 ceea ce nseamn c cantitatea cerut din ambele bunuri scade cu 10%.

9. Fie urmtoarea funcie de utilitate a consumatorului:

unde q1, q2 reprezint cantitile consumate din bunul 1, respectiv bunul 2 iar vectorul de preuri unitare este p = (1,1) . Se tie c venitul de care dispune consumatorul este V=12 u.m.

a) S se arate dac funcia este sau nu concav;

b) S se determine cererea Hicks pentru un nivel dat al utilitii, u=k > 0 ;

c) Dac funcia de utilitate indirect este :

, s se deduc funcia de cerere Marshall pentru bunul 1.

10. Se consider o gospodrie ale crei preferine asupra perechilor (C,H) consum, respectiv timp liber, sunt reprezentate prin funcia de utilitate urmtoare:

(timp liber, H i timp de lucru, L ). Singurul venit de care dispune gospodria este constituit din salariu cu o rat brut w, i care este taxat cu o rat de impozitare , 0 rata dobnzii mai mare dect coeficientul de actualizare al utilitii conduce la o scdere a consumului n prima perioad i la translatarea acestuia n a doua perioad. Consumatorul prefer s economiseasc n prima perioad o parte din venitul V1 i s o aloce consumului din a doua perioad => C2>C1dac i= => C2=C1dac i C20 este echivalent cu:

unde v este ritmul de crestere al veniturilor. Folosind relaia (4) de mai sus obinem: . Consumatorii fac economii dac ritmul de cretere a consumului este mai mare dect ritmul de cretere al veniturilor, adic fac economii pentru a-i susine consumul viitor. Desigur E10, adic consumatorii apleaz la credite dac - ritmul de cretere al consumului este mai mic dect ritmul de cretere al venitului.d) pentru a rspunde la aceast ntrebare vom determina senzitivitatea consumului curent la modificarea ratei dobnzii adic vom calcula , adic relaia dintre consumul curent i rata dobnzii este negativ. Cum se poate explica economic acest rezultat? S presupunem c rata dobnzii crete, consumatorii vor prefera s economiseasc n prezent. Cum venitul din perioada curent este fixat, consumatorii nu au alt soluie dect s i reduc consumul.

Exemplul 2:Considerm c agenii economici consumatori au un orizont de previziune de 2 perioade, iar funcia de utilitate are urmtoarea form :

unde l1 este timpul lucrat n prima perioad, iar l2 este timpul lucrat n cea de-a doua perioad. Timpul lucrat este exprimat ca o fraciune din timpul total (1 sau 100%). Ca urmare, 1-li reprezint timpul liber din perioada i. Se observ c utilitatea consumatorului depinde att de cantitatea consumat din coul de bunuri ct i de timpul liber de care dispun consumatorii. Restricia bugetar va evidenia faptul c, n aceast problem, consumatorii nu au de ales numai ntre ct s consume n prezent i ct s consume n viitor, dar au de ales pentru fiecare moment de timpul liber pe care l doresc. Cu ct au mai mult timp liber, utilitatea lor crete, dar muncind mai puin veniturile se diminueaz i au la dispoziie o sum mai mic destinat consumului. Pe scurt, restriciile bugetare se scriu astfel:

w1 i w2 reprezint salariile pe care agenii consumatori le-ar ctiga dac ar munci ntreg timpul disponibil. Deoarece ei opteaz s munceasc doar o fraciune din timpul total (l1 i, respectiv, l2) veniturile ncasate de ei sunt w1l1 i respectiv w2 l2.Pentru funcia de utilitate se cere:

a) Determinai C1, C2b) Calculai E1 i stabilii condiiile necesare pentru ca E1>0a)Matematic problema de optim se scrie:

Transformm cele dou restricii bugetare n una singur:

n aceste condiii problema de optim devine:

Se scrie Lagrangeanul:

Prin derivare se obin condiiile de optim:

mprind (12) la (13) i (14) la (15) se obin:

(17) i

(18)mprind (12) la (14) rezult

(19)nlocuind C2, l2 i l1 din (17), (18) i (19) n (16) se obin C1 i C2:

,

Probleme propuse1. Refacei exemplul 1 pentru cazul n care funcia de utilitate este .2. Pentru modelul dinamic al consumatorului se cunoate funcia de utilitate intertemporal: , rata nominal a dobnzii este r, rata inflaiei este , iar rata de cretere a veniturilor este egal cu . Se cere:

a) s se exprime indicele de cretere a consumului optim n funcie de rata real de dobnd i de elasticitatea funciei de utilitate.

b) s se stabileasc volumul optim al economiilor.

c) s se discute semnul volumului optim al economiilor n funcie de parametrii modelului. Interpretare economic.3. Se cunoate faptul c utilitatea individului consumator este modelat prin funcia de utilitate CRRA :

, venitul disponibil al consumatorului n cele dou perioade este V0, respectiv V1. Preul bunurilor care fac obiectul consumului sunt p1, respectiv p2. Individul consum cantiatea C0 n momentul 0 i C1 n momentul 1, iar n momentul 1 face economii n valoare de E.

Cunoscnd faptul c aversiunea relativ la risc a individului consummator este :

a) S se descrie problema de optimizare intertemporal i s se deduc funciile de cerere pentru bunuri i servicii n momentele 0 i 1.

b) S se studieze semnul economiilor.4. Agenii consumatori din economie i fundamenteaz consumul de bunuri perisabile (Cp) i consumul de bunuri duarbile (Cd) pentru momentul prezent (notat cu 1) i momentul viitor (notat cu 2). Funcia de utilitate intertemporal este dat de:

Restriciile consumatorului n cele dou perioade sunt:

Unde este preul bunurilor perisabile, iar este preul bunurilor durabile. Restul variabilelor au notaiile consacrate. S se determine:a) consumul de bunuri perisabile i durabile din fiecare perioada;

b) economiile fcute de consumatori;

c) care este efectul modificrii ratei dobnzii asupra economiilor?

5. Considerm un consumator care triete dou perioade, perioada 0 i perioada 1. Utilitatea lui este dat de funcia:

Unde C este cantitatea consumat dintr-un co de bunuri, iar l este munca depus de consumator. Restriciile bugetare n cele dou perioade sunt:

Unde p este indicele preurilor pentru coul de bunuri, w este salariul real, iar S economiile.

a) n ce condiii consumul i munca sunt staionare ()?

b) Se tie c . S se determine consumul i munca n cele dou perioade i economiile.

6. Se consider urmtorul model dinamic pentru consumator:

Se consider c inflaia anticipat este constant i egal cu . De asemenea, rata de cretere a venitului este constant i egal cu v.

a) s se determine restricia de buget intertemporal;

b) s se determine condiia de optim intertemporal. n ce condiii consumul este staionar?

?c) n condiiile n care consumul este staionar s se determine i . Discuie.

d) s se determine traiectoria optim a consumului .

R:

a)

b)

c)

3. Extensii ale modelului dinamic al consumatorului perioad infinit1. Se consider urmtorul model al consumatorului pe orizont de timp infinit:

Restricia bugetar a consumatorului este urmtoarea:

Unde este nivelul preurilor, este nivelul consumului, reprezint volumul economiilor realizate sub forma cumprrii de obligaiuni, salariul nominal, este munca depus, este rata nominal a dobnzii, iar este un factor de discount subiectiv ce se poate scrie i sub forma .

tiind c funcia de utilitate are urmtoarea form:

s se determine:

a) O relaie de recuren pentru nivelul consumului. S se stabileasc n ce condiii consumul este cresctor (), descresctor (), staionar ().

b) O relaie de recuren pentru timpul liber. S se stabileasc n ce condiii timpul liber este cresctor (), descresctor (), staionar ().

c) Dac rata real a dobnzii este constant (), s se calculeze .

d) Dac rata de cretere a venitului real este constant () i rata real a dobnzii este constant (), s se calculeze .

Rezolvare:

a) Problema consumatorului pe orizont infinit poate fi rezumat astfel:

nainte de a forma Lagrangean-ul i de a pune condiiile de ordinul I, vom transforma restricia astfel nct ea s fie exprimat n variabile reale vom mpri prin nivelul preurilor la momentul t:

n cele de mai sus am notat cu valoarea real a economiilor, cu salariul real, iar cu rata real a dobnzii.

Formm Lagrangean-ul modificat pentru orizont infinit:

Punem condiiile de ordinul I derivnd Lagrangean-ul n toate argumentele sale:

a) scriem relaia (1) la momentul t i la momentul t+1 i mprim cele 2 relaii:

Am folosit relaia (2) de mai sus.

n aceste condiii:

-consumul este staionar dac

-consumul este cresctor dac

-consumul este descresctor dac

Pentru a determina relaia de recuren scriem relaia (5) pentru :

nmulind relaiile de mai sus membru cu membru obinem relaia de recuren a consumului:

b) scriem relaia (3) la momentul t i la momentul t+1 i mprim cele 2 relaii:

Am folosit relaia (2) de mai sus i am notat rata de cretere a veniturilor reale

Dar din relaia (5) tim c . Am notat rata de cretere a consumului cu .

n aceste condiii:

-timpul liber este staionar dac , adic rata de cretere a consumului este aceeai cu rata de cretere a venitului real;

-timpul liber este cresctor dac

-timpul liber este descresctor dac

Pentru a determina realaia de recuren pentru timpul liber se folosete relaia (6) rescris astfel:

Pentru a determina relaia de recuren scriem relaia de mai sus pentru :

nmulim relaiile membru cu membru i obinem:

c) n relaia de recuren a consumului se nlocuiete i se obine

. Putem calcula limita astfel:

d)

Dac rata de cretere a venitului real este constant () i rata real a dobnzii este constant () atunci relaia (8) devine:

. Putem calcula limita astfel:

2. Se consider urmtorul model al consumatorului pe orizont de timp infinit:

Restricia bugetar a consumatorului este urmtoarea:

unde reprezint cantitatea de avere pstrat sub forma numerarului, iar reprezint masa monetar exprimat n termeni reali, .

tiind c funcia de utilitate are urmtoarea form:

S se rspund la urmtoarele cerine:

a) S se scrie restricia bugetar n termeni reali (se noteaz cu valoarea real a economiilor deinute sub form de obligaiuni i cu salariul real. n cazul n care prin se msoar indicele preurilor de la nceputul perioadei t, sfritul perioadei t-1, ).

b) S se arate c elasticitatea utilitii marginale a consumului este constant i s se interpreteze rezultatul n raport cu atitudinea consumatorului fa de risc.

c) S se arate c elasticitatea funciei de utilitate n raport cu timpul lucrat i respectiv cu masa monetar real depinde n mod direct de i respectiv de .d) S se determine ecuaia de dinamic pentru consum;

e) Ecuaia de dinamic pentru timpul lucrat;

f) S se arate c ntre oferta de munc i consum exist o legtur direct, iar relaia dintre oferta de munc i masa monetar este, de asemenea, direct. Explicai.

Pentru cazul n care rata real a dobnzii i rata de cretere a venitului real sunt constante:

g) S se determine traiectoria de evoluie a consumului (n funcie de );h) S se determine traiectoria de evoluie a timpului lucrat (n funcie de );i) n cazul n care singura destinaie a PIB este consumul, s se determine i s se interpreteze n cheie keynesist ecuaia de cerere de moned.j) S se verifice dac regula de politic monetar este una de tip Friedman.Rezolvare:

a) Se mparte restricia bugetar la indicele preurilor , i se obine:

.

Dar

Analog,

Restricia este deci urmtoarea:

.

b) Utilitatea marginal a consumului la momentul t este: .

Elasticitatea unei funcii n raport cu x are urmtoarea formul:

.

Elasticitatea utilitii marginale la momentul t n raport cu consumul este:

i este constant, .

Interpretarea acestei elasticiti este urmtoarea: este egal cu aversiunea relativ la risc. Faptul c aceasta este constant ne arat c indiferent de cantitatea consumat, agentul are aceeai atitudine fa de risc. c) , unde .

, unde .

d) Exist dou posibiliti de a rezolva urmtoarele subpuncte ale problemei: pentru a forma Lagrangeanul, se poate obine din toate restriciile una singur, sau se poate introduce n Lagrangean fiecare restricie de la fiecare moment n mod separat, cu un multiplicator ataat. Vom prezenta n continuare a doua metod, ntruct prima a fost discutat la seminar.

-

)--

) -

-.....

Sau, altfel scris:

Mai trebuie menionat c .Condiiile de optim:

.

Dar este o necunoscut n aceast problem, deci traiectoria consumului nu este identificat prin ecuaia de mai sus.

Pentru a afla raportul folosim urmtoarea ecuaie: .

Prin urmare,

e)

f) Pentru a evidenia relaia dintre i vom folosi urmtoarele dou ecuaii: i .

unde .

Pentru a evidenia relaia dintre i vom folosi urmtoarele dou ecuaii: i .

unde .

.

g) tim c .n acest caz,

.

.

.

.

Prin inducie:

h) tim c .Dac rata de cretere a venitului real (o putem nota cu ), este constant. .

.

i) n cazul extrem n care consumul este singura destinaie a PIB, .Vom utiliza urmtoarele ecuaii: i

Se observ c oferta real de moned depinde pozitiv de nivelul venitului i negativ de rata dobnzii. n cazul n care nu se observ imediat realia invers ntre oferta real de moned i rata dobnzii, trebuie verificat semnul urmtoarei derivate:

Relaia confirm teoria keynesist conform creia cererea de moned (egal la echilibru cu oferta real de moned) este o funcie cresctoare n raport cu venitul i descresctoare n raport cu rata dobnzii.

j) Milton Friedman a propus ca regul de politic monetar alegerea unei rate constante pentru creterea masei monetare, ceea ce implica o atitudine pasiv a bncii centrale.Rata de cretere a masei monetare se poate nota cu

Regula Friedman

,

.Pentru a analiza raportul vom folosi urmtoarele ecuaii i :

Regula de politic monetar este de tip Friedman.

ntrebare: n cazul n care rata inflaiei este 5%, rata nominal este 7%, b=0.5, iar factorul de actualizare, =0.97, ct este rata de cretere a masei monetare?

Rata de cretere a masei monetare este 2.58%.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Funcia obiectiv de la momentul t

EMBED Equation.3

Efectul preului asupra cererii

Efect de substituie

Efect de venit

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Restricia de la momentul t

EMBED Equation.3

EMBED Equation.DSMT4

Deoarece bunurile consumate sunt infinit divizibile, utilitatea poate fi considerat o funcie continu n cantitile consumate

n ipoteza n care agentul este raional, el nu mai consum un bun dac acesta nu-i aduce o utilitate pozitiv

Punctele n care prima derivat a unei funcii se anuleaz sunt puncte critice. Dac a doua derivat a funciei calculat n punctul critic e pozitiv, punctul e un punct de minim; dac a doua derivat e zero, este punct de inflexiune, iar dac a doua derivat este negativ, punctul e punct de maxim.

Efectul Matei (propus de Stephen Stigler i Robert Merton): multe din inveniile sau rezultatele matematice celebre ce poart numele celui ce le-a inventat/obinut oficial au fost, de fapt, inventate sau obinute de o alt persoan (dup citatul biblic: Cci cei ce au vor primi n abunden, iar celui ce nu are i se va lua i ceea ce a avut Matei XXV:29 sursa: Wikipedia)

Folosit deja de Hicks (1939) i Samuleson (1947)

PAGE 1-1

_1271442580.unknown

_1271442647.unknown

_1287681095.unknown

_1287687689.unknown

_1287773407.unknown

_1287773650.unknown

_1287773966.unknown

_1295463820.unknown

_1295464052.unknown

_1295464287.unknown

_1295464349.unknown

_1295464778.unknown

_1295464126.unknown

_1295463989.unknown

_1295464002.unknown

_1295463922.unknown

_1287774050.unknown

_1295463683.unknown

_1294463332.unknown

_1287774016.unknown

_1287773822.unknown

_1287773915.unknown

_1287773939.unknown

_1287773894.unknown

_1287773685.unknown

_1287773750.unknown

_1287773663.unknown

_1287773588.unknown

_1287773619.unknown

_1287773635.unknown

_1287773600.unknown

_1287773462.unknown

_1287773488.unknown

_1287773442.unknown

_1287689561.unknown

_1287751670.unknown

_1287752718.unknown

_1287753788.unknown

_1287773395.unknown

_1287753694.unknown

_1287752094.unknown

_1287752193.unknown

_1287752229.unknown

_1287752050.unknown

_1287689685.unknown

_1287751222.unknown

_1287751659.unknown

_1287689674.unknown

_1287689190.unknown

_1287689422.unknown

_1287689480.unknown

_1287689218.unknown

_1287687840.unknown

_1287688831.unknown

_1287688006.unknown

_1287687809.unknown

_1287682983.unknown

_1287684202.unknown

_1287685581.unknown

_1287685954.unknown

_1287687385.unknown

_1287687554.unknown

_1287686090.unknown

_1287686751.unknown

_1287686530.unknown

_1287686075.unknown

_1287685733.unknown

_1287685843.unknown

_1287685914.unknown

_1287685849.unknown

_1287685782.unknown

_1287685659.unknown

_1287685698.unknown

_1287684371.unknown

_1287684685.unknown

_1287685030.unknown

_1287685221.unknown

_1287684824.unknown

_1287684381.unknown

_1287684345.unknown

_1287683136.unknown

_1287683206.unknown

_1287683999.unknown

_1287684115.unknown

_1287683248.unknown

_1287683168.unknown

_1287683051.unknown

_1287683090.unknown

_1287683011.unknown

_1287682162.unknown

_1287682609.unknown

_1287682689.unknown

_1287682753.unknown

_1287682645.unknown

_1287682557.unknown

_1287682582.unknown

_1287682503.unknown

_1287681640.unknown

_1287682053.unknown

_1287682100.unknown

_1287681812.unknown

_1287681570.unknown

_1287681598.unknown

_1287681347.unknown

_1287681485.unknown

_1287681346.unknown

_1272037570.unknown

_1287680559.unknown

_1287680985.unknown

_1287681014.unknown

_1287681066.unknown

_1287681007.unknown

_1287680715.unknown

_1287680742.unknown

_1287680605.unknown

_1287680592.unknown

_1287678951.unknown

_1287679028.unknown

_1287679064.unknown

_1287679209.unknown

_1287679594.unknown

_1287679095.unknown

_1287679043.unknown

_1287678990.unknown

_1272041832.unknown

_1272045932.unknown

_1287173365.unknown

_1287677836.unknown

_1272042825.unknown

_1272042827.unknown

_1272042667.unknown

_1272037846.unknown

_1272041520.unknown

_1272037804.unknown

_1271442656.unknown

_1271442662.unknown

_1271442666.unknown

_1271442668.unknown

_1271442670.unknown

_1271442672.unknown

_1272037550.unknown

_1271442671.unknown

_1271442669.unknown

_1271442667.unknown

_1271442664.unknown

_1271442665.unknown

_1271442663.unknown

_1271442660.unknown

_1271442661.unknown

_1271442659.unknown

_1271442652.unknown

_1271442654.unknown

_1271442655.unknown

_1271442653.unknown

_1271442650.unknown

_1271442651.unknown

_1271442649.unknown

_1271442648.unknown

_1271442613.unknown

_1271442629.unknown

_1271442639.unknown

_1271442643.unknown

_1271442645.unknown

_1271442646.unknown

_1271442644.unknown

_1271442641.unknown

_1271442642.unknown

_1271442640.unknown

_1271442635.unknown

_1271442637.unknown

_1271442638.unknown

_1271442636.unknown

_1271442633.unknown

_1271442634.unknown

_1271442632.unknown

_1271442630.unknown

_1271442621.unknown

_1271442625.unknown

_1271442627.unknown

_1271442628.unknown

_1271442626.unknown

_1271442623.unknown

_1271442624.unknown

_1271442622.unknown

_1271442617.unknown

_1271442619.unknown

_1271442620.unknown

_1271442618.unknown

_1271442615.unknown

_1271442616.unknown

_1271442614.unknown

_1271442596.unknown

_1271442605.unknown

_1271442609.unknown

_1271442611.unknown

_1271442612.unknown

_1271442610.unknown

_1271442607.unknown

_1271442608.unknown

_1271442606.unknown

_1271442601.unknown

_1271442603.unknown

_1271442604.unknown

_1271442602.unknown

_1271442599.unknown

_1271442600.unknown

_1271442598.unknown

_1271442588.unknown

_1271442592.unknown

_1271442594.unknown

_1271442595.unknown

_1271442593.unknown

_1271442590.unknown

_1271442591.unknown

_1271442589.unknown

_1271442584.unknown

_1271442586.unknown

_1271442587.unknown

_1271442585.unknown

_1271442582.unknown

_1271442583.unknown

_1271442581.unknown

_1270160497.unknown

_1271252763.unknown

_1271442564.unknown

_1271442572.unknown

_1271442576.unknown

_1271442578.unknown

_1271442579.unknown

_1271442577.unknown

_1271442574.unknown

_1271442575.unknown

_1271442573.unknown

_1271442568.unknown

_1271442570.unknown

_1271442571.unknown

_1271442569.unknown

_1271442566.unknown

_1271442567.unknown

_1271442565.unknown

_1271442556.unknown

_1271442560.unknown

_1271442562.unknown

_1271442563.unknown

_1271442561.unknown

_1271442558.unknown

_1271442559.unknown

_1271442557.unknown

_1271254572.unknown

_1271442554.unknown

_1271442555.unknown

_1271254735.unknown

_1271253092.unknown

_1271254495.unknown

_1271252771.unknown

_1271253091.unknown

_1271251734.unknown

_1271252337.unknown

_1271252641.unknown

_1271252671.unknown

_1271252687.unknown

_1271252649.unknown

_1271252584.unknown

_1271252630.unknown

_1271252347.unknown

_1271252583.unknown

_1271251885.unknown

_1271251953.unknown

_1271252112.unknown

_1271251898.unknown

_1271251847.unknown

_1271251869.unknown

_1271251806.unknown

_1271245450.unknown

_1271251472.unknown

_1271251732.unknown

_1271251733.unknown

_1271251567.unknown

_1271251731.unknown

_1271245940.unknown

_1271251211.unknown

_1271245542.unknown

_1270638948.unknown

_1270639592.unknown

_1271245428.unknown

_1270639184.unknown

_1270162389.unknown

_1270162532.unknown

_1270161004.unknown

_1260808980.unknown

_1264070276.unknown

_1269682908.unknown

_1269683151.unknown

_1269683527.unknown

_1269683860.unknown

_1269683861.unknown

_1269683725.unknown

_1269683597.unknown

_1269683717.unknown

_1269683247.unknown

_1269683372.unknown

_1269683526.unknown

_1269683246.unknown

_1269682969.unknown

_1269683003.unknown

_1269682924.unknown

_1264272910.unknown

_1269682790.unknown

_1269682876.unknown

_1264699835.unknown

_1264272596.unknown

_1264272881.unknown

_1264272906.unknown

_1264272903.unknown

_1264272640.unknown

_1264272571.unknown

_1264272573.unknown

_1263669837.unknown

_1263844363.unknown

_1263844619.unknown

_1263844770.unknown

_1263845306.unknown

_1263845436.unknown

_1263845479.unknown

_1263845405.unknown

_1263844771.unknown

_1263845055.unknown

_1263844631.unknown

_1263844547.unknown

_1263844559.unknown

_1263844381.unknown

_1263670453.unknown

_1263844301.unknown

_1263670235.unknown

_1260810483.unknown

_1260811414.unknown

_1263668736.unknown

_1263669802.unknown

_1263669106.unknown

_1260811751.unknown

_1263667374.unknown

_1260811702.unknown

_1260810800.unknown

_1260811301.unknown

_1260811262.unknown

_1260810731.unknown

_1260809076.unknown

_1260809824.unknown

_1260810442.unknown

_1260809904.unknown

_1260809703.unknown

_1260809012.unknown

_1260802533.unknown

_1260806424.unknown

_1260807298.unknown

_1260808407.unknown

_1260808972.unknown

_1260807732.unknown

_1260806749.unknown

_1260807061.unknown

_1260806735.unknown

_1260803038.unknown

_1260806283.unknown

_1260806298.unknown

_1260803106.unknown

_1260802925.unknown

_1260802937.unknown

_1260802910.unknown

_1237745488.unknown

_1242768990.unknown

_1242769855.unknown

_1242770267.unknown

_1242770279.unknown

_1242769995.unknown

_1242769365.unknown

_1239285539.unknown

_1242768909.unknown

_1242768955.unknown

_1239285552.unknown

_1239285573.unknown

_1239285292.unknown

_1239285505.unknown

_1239285150.unknown

_1237745244.unknown

_1237745409.unknown

_1237745459.unknown

_1237745338.unknown

_1234436912.unknown

_1234442045.unknown

_1237745232.unknown

_1234440605.unknown

_1234441335.unknown

_1234440041.unknown

_1221397791.unknown

_1221398718.unknown

_1221403771.unknown

_1221397722.unknown