1

Proiectarea bazata pe performanta Raspunsul seismic al unei structuri printr-o analiza numerica

neliniara in deplasari

1. Modelarea fenomenului seismic in forte si respectiv deplasari. De o buna perioada de vreme a aparut cu prioritate in multe tari cu risc seismic mare, necesitatea evaluarii vulnerabilitatii constructiilor existente. Aceasta evaluare este necesara pentru a se stabili consecintele producerii unui seism intr-o anumita zona si a se identifica cladirile cu cea mai mare sensibilitate la un cutremur in perspectiva unei consolidari a structurii de rezistenta. In acest sens, vulnerabilitatea trebuie sa fie exprimata sub o forma compatibila cu notiunea de alee seismica astfel incat sa se poata estima impactul sau asupra unei zone construite. Aleea seismica se defineste prin probabilitatea de a se atinge sau a se depasi un anumit nivel de solicitare seismica intr-o regiune data, intr-o perioada specificata de timp. Exista trei mijloace clasice de a reprezenta aleea seismica:

- Intensitatea, reprezinta masura efectelor unui seism asupra constructiilor. Este o masura pur calitativa care ramane foarte utilizata in tari seismice ca Italia si Grecia, fiind singura ce poate oferi date accesibile pentru seismele istorice; este perfect definita in Europa datorita scarii de intensitate EMS98.

- Acceleratia maxima a solului – PGA, Peak Ground Acceleration. - Spectrul de raspuns: reprezentarea acceleratiei aplicate asupra unei serii de

oscilatoare cu un grad de libertate dinamica supuse la o accelerograma data.Acest mijloc este din ce in ce mai mult utilizat datorita faptului ca integreaza parametrii importanti ca: continutul frecvential, viteza maxima, deplasarea maxima si impune utilizarea in calcul a metodelor in deplasari.

Normele paraseismice au considerat din totdeauna actiunea seismica ca o forta iar raspunsul calculat al unei structuri s-a determinat pe baza principiului fundamental al Dinamicii. In consecinta, dimensionarea sau verificarea structurii la seism revenea la a se echilibra aceste forte excitatoare. In realitate, actiunea seismica se limiteaza la o deplasare impusa la baza constructiei. Forta seismica mentionata de norme nu este decat o consecinta (reactiunea) la aceasta deplasare. Atata timp cat deplasarea si forta respectiva sunt legate printr-o relatie liniara, analiza dinamica prin aproximarea in forte echivaleaza cu o analiza in deplasari. Aceasta echivalenta inceteaza insa de a mai fi valabila in momentul in care comportarea materialului nu mai este liniar elastica. In acest caz se recurge la aproximarea in forte apeland fie la metode de calcul numerice capabile sa traduca pas cu pas comportamentul structural fizic neliniar, fie la coeficienti de reducere a efortului respectiv (coeficienti de comportare) iar prevederile constructive impuse asigura structurii ductilitatea corespunzatoare. In concluzie, cand se dimensioneaza sau se verifica o structura prin noile norme de proiectare paraseismica se urmareste sa se controleze deplasarile si nu sa se echilibreze fortele provocate de seism. In plus actiunea seismica poate fi reprezentata in mod natural printr-o deplasare si nu printr-o forta sau o simpla acceleratie.

2

2. Modelarea comportarii structurale la actiunea seismica.

Structura de rezistenta se discretizeaza in elemente finite intr-un sistem plan sau spatial iar in dreptul maselor structurii, la noduri, se aplica fortele laterale seismice conventionale. Configuratia regulata sau neregulata a structurii influenteaza performanta privind comportarea la cutremure puternice.

Modelarea structurii se va face tinand cont de urmatoarele principii: – daca miscarile de translatie laterale ale structurii sunt clar decuplate atunci se poate considera in calcul un model bidimensional cu cate un grad de libertate dinamica de translatie la nivelul fiecarui planseu; – daca miscarile de translatie si de torsiune sunt cuplate, atunci se impune alegerea unui model tridimensional cu cel putin trei grade de libertate dinamica pentru fiecare planseu,cu respectare urmatoarelor conditii:

• gradele de libertate dinamica sa fie doua translatii orizontale si o rotatie fata de axa perpendiculara pe planseu;

• fiecare planseu sa fie indeformabil in planul sau si sa lucreze ca o saiba rigida ce va antrena in miscare toti stalpii odata.

Pentru cladiri cu plansee flexibile nu mai sunt utilizabile modelele cu 3 grade de libertate dinamica la fiecare nivel. Diferentele semnificative de rigiditate intre diferite zone ale planseului pot conduce la modificari ale distributiei fortelor laterale in interiorul structurii.

La elementele verticale de rezistenta (stalpi, diafragme) se pot produce efecte nedorite de torsiune. In unele situatii se poate conta pe efectele de interactiune intre elementele rezistente la fortele laterale (cadre) si elementele nestructurale (pereti). Contributia peretilor structurali, respectiv a cadrelor de beton armat in rezistenta ansamblului structural se exprima prin fractiunea din forta taietoare de baza preluata de cele doua subsisteme structurale.Daca acesti pereti nu sunt distribuiti uniform in plan si in elevatie pot aparea neregularitati torsionale. Aceste efecte suplimentare de torsiune conduc la cresteri ale eforturilor si deformatiilor in elementele perimetrale. Astfel, constructiile cu elemente rigide concentrate intr-o zona cu dimensiuni relativ reduse, situata spre mijlocul cladirii si cu elemente mult mai flexibile in restul constructiei prezinta de regula rotiri de torsiune importante, cu amplificari periculoase ale deplasarilor elementelor dispuse periferic. Analiza dinamica modala evidentiaza in asemenea cazuri primele moduri care cupleaza vibratiile de translatie cu cele de torsiune, facand dificil controlul comportarii structurii. Pentru echilibrarea structurii din punct de vedere al rigiditatii se recomanda plasarea unor pereti pe contur, dispusi in pozitie avantajoasa sau marirea rigiditatii cadrelor perimetrale (de obicei prin sporirea inaltimii grinzilor). Eficienta acestor interventii se poate verifica prin decuplarea vibratiilor de translatie cu cele de rasucire de ansamblu.

De asemenea o configuratie neregulata pe verticala (existenta etajelor flexibile sau a nivelelor cu rigiditate diferita) poate provoca concentrari ale tensiunilor tangentiale din forfecare si rasucire.

Codurile de proiectare paraseismica a cladirilor includ reglementari pentru luarea in considerare a efectelor torsiunii aparute in comportarea structurilor asimetrice, dar si a celor cvasi-simetrice, in cazul in care raportul dintre perioadele

3

proprii de translatie si torsiune (decuplate), se apropie de unitate. Apare un fenomen echivalent rezonantei dinamice, datorat cuplarii vibratiilor de torsiune si translatie, care amplifica semnificativ eforturile sectionale. Datorita acestui fapt, se prevede in norme o excentricitate aditionala ( 1e ), care introduce efectul dinamic al vibratiilor de torsiune si care se aduna cu excentricitatea reala ( 0e ) dintre centrul maselor (punctul de aplicare a fortei seismice de nivel) si centrul de rigiditate.

0 1 2e e e e= + + , in care 2e este excentricitatea accidentala care tine seama de diverse inexactitati in calculul excentricitatii reale si de componenta torsionala a excitatiei seismice; aceasta excentricitate se considera egala cu (1÷5)% din dimensiunea cladirii perpendiculara pe directia fortei seismice.

De remarcat ca avem de a face cu un efort de torsiune impiedicata, ca urmare a faptului ca incastrarea stalpilor, peretilor si nucleelor in fundatii nu permite deplanarea libera a sectiunilor. Ca urmare, apare un supliment de tensiuni normale si tangentiale datorate bimomentului, momentului de incovoiere-rasucire si momentului de torsiune pura. Valoarea acestor tensiuni poate fi de acelasi ordin de marime cu cele din incovoiere.

In sfarsit, modelul structural devine mai riguros daca sunt considerate (cand sunt importante) efectele interactiunii „teren – structura” sau „structura-fluid” asupra raspunsului seismic. Exemplu:

- modelul tridimensional al centralei nucleare considerand interactiunea dintre coaja centralei propriuzise si structura principala (halele mecanice, electrice) prin intermediul terenului de fundare;

- raspunsul seismic al unui castel de apa in interactiune cu terenul de fundare si cu lichidul din cuva.

Cerintele de performanta conform cod FEMA. a) Proiectarea bazata pe performanta implica mai multe niveluri ale performantei

seismice a constructiilor: (1) OP– OPeration– Operational; (2) IO– Imediat Ocupation– Ocupanta imediata; (3) LS–Life Safety– Siguranta vietii; (4) CP–Crash Prevention–Prevenirea prabusirii. b) Aceste cerinte se indeplinesc pentru un anumit nivel de hazard definit de un

cutremur cu un anumit IMR–Interval mediu de revenire. Astfel, (1) IMR= 72 ani; (2) IMR= 225 ani; (3) IMR= 475 ani; (4) IMR= 2475 ani. c) Obiectivele de performanta corespunzatoare sunt: (1) Toate functiunile sunt operationale.Degradari neinsemnate. (2) Cladirea ramane sigura pentru ocupanti.Reparatii minore.

(3) Structura ramane stabila si are rezerve de rezistenta. Stabilitatea componentelor nestructurale este controlata.

4

(4) Constructia ramane capabila sa sustina incarcarea gravitationala.Degradari si pagube oricat de mari.

Cerintele de performanta conform Normativ P100–1/2006. a) Nivel de performanta. (1) DL–Degradation Limitation– Limitarea degradarilor; (2) LS–Life Safety–Siguranta vietii. b) Nivel de hazard. (1) IMR= 30 ani; (2) IMR= 100 ani. c) Obiectivele de performanta: (1) Degradari structurale/nestructurale controlate.Cladirea nu este scoasa din uz

(2) Structura ramane stabila si are rezerve de rezistenta. Stabilitatea componentelor nestructurale este controlata. Cladirea se poate repara in conditii economice. Din punct de vedere al proiectarii, cerintele de performanta DL si LS sunt

satisfacute daca sunt indeplinite conditiile de verificare asociate starilor limita SLU si SLS. Astfel, pentru SLU, conditiile de verificare se refera la exigenta de existenta si rigiditate (control explicit) si respectiv la exigente de ductilitate si stabilitate histeretica (control implicit). Similar, pentru SLS, trebuiesc respectate exigentele de rigiditate (control explicit).

3. Metode de calcul pentru determinarea raspunsului seismic.

3.1 Metoda de calcul static liniar, F.S.E. – Forte Seismice Echivalente; 3.2 Metoda de calcul dinamic liniar, C.M.S.R. – Calcul Modal cu Spectru de

Raspuns; 3.3 Metoda de calcul dinamic liniar I.E.M.D. – Integrarea directa a Ecuatiilor

diferentiale Modale Decuplate; 3.4 Metoda de calcul static incremental neliniar – „Push-over”; 3.5 Metoda de calcul dinamic neliniar I.E.M.C.–Integrarea directa a Ecuatiilor

diferentiale de Miscare Cuplate. Codul seismic romanesc recomanda pentru proiectarea curenta metodele F.S.E.

si C.M.S.R. Se indica alegerea unei anumite metode de calcul in functie de tipul constructiei (regulate sau neregulate in plan sau in elevatie) si de necesitatea reducerii factorului de comportare (in cazul structurilor neregulate).

Fortele seismice de proiectare se stabilesc pe baza unui coeficient de comportare (de reducere) q, corelat cu ductilitatea potentiala a structurii. Sursele factorului de reducere rezulta din:

– aplicarea masurilor constructive, qov1; – diferenta dintre rezistentele efective si rezistentele de proiectare, qov2 ; – redundanta structurala (articulatiile plastice nu se formeaza simultan in cadrul mecanismului de cedare), qov3. Corespunzator, fortele laterale de calcul, in functie de forta elastica de cod, Fcod

vor fi: F1= qov1. Fcod; F2= qov1. qov2 .Fcod; F3= qov1. qov2 . qov3. Fcod.

5

3.1 Metoda F.S.E. reprezinta varianta simplificata a metodei C.M.S.R., aplicata cand modul propriu fundamental de vibratie de translatie este predominant. Efectele actiunii seismice se determina prin calcul static liniar cu fortele seismice conventionale echivalente laterale aplicate separat pe cele doua directii orizontale principale ale structurii.Forta taietoare de baza se determina pe fiecare din cele doua directii, pentru primul mod propriu de vibratie de translatie pe acea directie.

Metoda F.S.E este intuitiva si simpla din punct de vedere ingineresc fiind potrivita pentru structuri care satisfac urmatoarele conditii, pe cele doua directii principale orizontale:

- criterii de regularitate in plan si elevatie din punct de vedere al alcatuirii structurale;

- perioadele proprii ale primelor doua moduri de vibratie, de translatie, corespunzatoare directiilor principale, sa fie mai mici decat 1,6 secunde. 3.2 Metoda C.M.S.R. are la baza suprapunerea raspunsurilor modale maxime

asociate modurilor proprii semnificative. Fiecare mod propriu de vibratie este caracterizat de frecventa, de vectorul propriu (forma de vibratie ) si de fractiunea din amortizarea critica modala. Se determina raspunsul maxim pentru fiecare mod propriu de vibratie semnificativ si prin suprapunerea raspunsurilor maxime (cu reguli de compunere modala) se calculeaza raspunsul maxim total.

In calculul modal trebuie considerate toate modurile de vibratie care contribuie semnificativ la raspunsul modal. Criteriul frecvent utilizat in codurile de proiectare considera un anumit numar de moduri proprii de vibratie pentru care masa modala efectiv antrenata in miscare reprezinta cel putin 80% din masa totala a structurii.

Daca raspunsurile modale care au contributii semnificative in raspunsul structural total pot fi considerate independente, atunci efectul total maxim este estimat prin regula de combinare SRSS-Square Root of Square Sum (radacina patrata din patratul radacinilor). Daca raspunsurile dinamice corespunzatoare unor moduri alaturate nu sunt independente, atunci regula de suprapunere este combinatia patratica completa CQC- Completely Quadrat Combination .

4. Evaluarea deplasarii structurii in cursul seismului Metoda Spectrului de capacitate.

Metoda Spectrului de capacitate se bazeaza pe compararea capacitatii structurii de a se deforma si a inmagazina energie cu cerintele impuse de miscarea seismica (fig. 1). Reprezentarile grafice fac posibila evaluarea stadiilor de degradare a structurii la actiunea seismica definita prin spectrul cerintelor.

Parametrul esential in caracterizarea raspunsului seismic al unei structuri, atat in satisfacerea exigentelor de siguranta a vietii, cat si a celor de limitare a degradarilor, este deplasarea laterala. Din acest motiv, asigurarea prin conceptie a unei rigiditati laterale suficiente devine primordiala in proiectarea seismica. In acest sens, raspunsul seismic al constructiilor cu vibratii de torsiune majore provocate de cuplarea modurilor de vibratie de torsiune cu cele de translatie, este unul nefavorabil, cu sporuri semnificative ale deplasarilor laterale.

6

Acc

eler

atie

spec

trala

SA

[g]

Spectrul cerintelor (SA-SD)

Curba capacitatii structurii (A-D)

Punctul de intersectie defineste

stadiul de degradare al structurii

Deplasare spectrala SD [cm]

Reprezentarea grafica a metodei spectrului de capacitate Fig. 1

Modul in care structurile raspund unei excitatii seismice, se exprima prin spectrele de raspuns ale deplasarilor structurale, dS , ale vitezelor vS , sau ale acceleratiilor, aS , intre care exista urmatoarele relatii aproximative:

( ) ( ) ( )2, , ,a d vS S Sω ξ ω ω ξ ω ω ξ= = ....... (1)

Unde, T

fmk ππω 222 === - pulsatia (frecventa circulara) a oscilatorului liniar de

masa ( m ) si rigiditate ( k ), cu perioada proprie neamortizata T;

ωξ

mc

2= - factorul de amortizare a oscilatorului liniar;

c - coeficientul de amortizare prin frecare interna a materialului vascos din care este confectionata structura (pentru solide - modelul Voigt). Prin spectre seismice de raspuns se intelege reprezentarea grafica a valorilor spectrale maxime ale raspunsului unui set de sisteme cu caracteristici dinamice proprii diferite, in functie de perioada proprie neamortizata si fractiunea din amortizarea critica. Spectrele de raspuns sunt caracteristice unei anumite miscari a terenului, fiind specifice amplasamentului in care a fost facuta inregistrarea. Parametrii de care depinde raspunsul seismic (ag,β) au fost imbunatatiti ca urmare a prelucrarii complete a datelor instrumentale disponibile pentru diferite zone ale teritoriului.

Obtinerea spectrelor seismice de raspuns se poate face direct prin discretizarea accelerogramei cutremurului, acuratetea rezultatelor depinzand de marimea intervalului de timp in care a fost discretizata inregistrarea. Deoarece spectrele seismice prezinta numai valori maxime ale raspunsului, independent de istoria miscarii terenului in timp, caracterul lor este aproximativ static. De asemenea spectrele seismice nu furnizeaza informatii referitoare la durata miscarii seismice.

In aplicatiile practice se folosesc spectre medii de raspuns, care pot descrie o miscare seismica medie intr-o anumita zona. Aceste spectre au un caracter conventional, obtinandu-se prin medierea spectrelor de raspuns normalizate la un nivel unic de intensitate a mai multor cutremure inregistrate; pun in evidenta, prin intermediul spectrului Fourier, continutul de frecventa al accelerogramei din care sunt

7

obtinute. Astfel poate fi evaluata energia totala a sistemului cu un grad de libertate dinamica-1GLD, la sfarsitul cutremurului, ignorand amortizarea,β.

Configuratia spectrelor de raspuns depinde de proprietatile geofizice si dinamice ale terenului din amplasamentul in care este situata structura. In terenuri slabe, componentele cu frecvente inalte sunt rapid atenuate, iar cele cu frecvente joase devin predominante si in consecinta efectele seismice maxime se vor intalni la cladirile cu structura de rezistenta flexibila. In terenurile tari, situatia se inverseaza.

In proiectarea antiseismica a centralelor nuclearo-electrice si a altor obiective de importanta deosebita (baraje, constructii militare etc), se desemneaza cutremurul de proiectare in termenii unui set de curbe, cunoscute ca spectrul de proiectare pentru diferite valori ale fractiunii din amortizarea critica. Spectrul de proiectare este o relatie, relativ aplatizata, dintre acceleratie, viteza, deplasare si perioada, obtinuta prin analizarea, evaluarea si combinarea statistica a unui numar de spectre de raspuns, ale unor cutremure puternice inregistrate sau degenerate sintetic. Valorile numerice ale acceleratiilor, vitezelor si deplasarilor din spectrul de proiectare, sunt obtinute prin multiplicarea valorilor maxime ale acceleratiilor, vitezelor si deplasarilor, la nivelul terenului, cu asa numitii factori de amplificare dinamica, care pun in evidenta atat conditiile locale de teren, cat si cele de focar pentru un cutremur oarecare. Acest coeficient dinamic, denumit si factor de amplificare dupa R.G. – Regulatory Guide 1.60 ale U.S. Atomic Energy Commission sau factor de amplificare spectrala dupa Newmark si Hall, reprezinta un parametru de baza in realizarea spectrului de raspuns de proiectare. Factorul de amplificare dinamica pentru acceleratii este raportul dintre acceleratia spectrala maxima si acceleratia maxima in camp liber. Cunoscandu-se valorile maxime ale acceleratiilor ( maxa ), vitezelor ( maxv ) si deplasarilor ( maxd ) in camp liber, precum si valorile spectrale pentru acceleratiile absolute ( max

aS ), vitezele relative maxime ( maxvS ) si deplasarile relative ( max

dS ), s-au calculat factorii de amplificare dinamica, adica raportul:

max

max

max

max

max

max

;dS

sivS

aS

F dvaad = ,

pentru fractiunile de amortizare critica %20%10,%5,%2,%0 si=ξ . Concluzii:

• Dependenta neliniara inversa dintre M – magnitudinea cutremurului si adF – factorul de amplificare dinamica. Astfel, in urma producerii ultimilor seisme, se poate constata:

30.08.1986 - kmhM 133;0,7 == pentru 67,3%5 =→= adFξ 30.05.1990 - kmhM 90;7,6 == pentru 73,3%5 =→= adFξ 31.05.1990 - kmhM 79;1,6 == pentru 37,4%5 =→= adFξ

• Factorii de amplificare dinamica sunt la fel de mari in comparatie cu cei dati de R.G. 1.60 sau de AECL Canada, indiferent daca statiile seismice sunt amplasate pe: - roci sedimentare (Bucuresti, Bacau, Focsani, Iasi); - roci tari (Vrancioaia, Muntele Rosu, Istrita),

8

• Factorii de amplificare dinamica pentru cutremurele vrancene ( 67,3=adF ), au valori mai mari decat cele din normele americane ( 13,3=adF ) sau canadiene ( 92,2=adF ), pentru o amortizare %5=ξ . Factorul de amplificare dinamica 92,2=adF a fost folosit la proiectarea CNE Cernavoda.

• Aceeasi concluzie ca la punctul anterior pentru factorii de amplificare dinamica exprimati in viteze:

52,2...61,2...51,3:max

max

vS

F vad =

Spectrele seismice elastice nu pot evalua posibilitatea aparitiei unor avarii asteptate la un cutremur viitor deoarece degradarea structurala implica dezvoltarea unor deformatii postelastice.

Spectrul seismic conform Normativului P100-2006 Fig. 2

Metodologiile de obtinere a spectrelor de raspuns inelastic din spectre de raspuns elastic folosesc echivalenta dintre energia disipata prin histereza si amortizarea vascoasa.

Raspunsul dinamic (in timp) al unui sistem neliniar este foarte dificil de modelat, de aceea in practica se folosesc cu precadere metode de calcul neliniare statice de tip „Push-over" pentru determinarea comportamentului structurii. Aceste metode permit, prin folosirea conjugata a spectrelor de raspuns inelastic, determinarea raspunsului maxim al structurii, evaluat in deplasari si apoi in eforturi.

Din punctul de vedere practic al dimensionarii structurilor la actiunea seismica, exista doua moduri de a aborda problema rezistentei acestora, pentru care factorul cuantitativ este ductilitatea (deplasarea). Pe de o parte regasim prevederile constructive ale codurilor de proiectare dublate de reducerea corespunzatoare a fortelor seismice conventionale de calcul.

De cealalta parte se afla abordarea teoretica si modelizarea in element finit, in care se porneste de la o discretizare suficient de fina a structurii si se obtine in urma unei analize neliniare, raspunsul „real” al acesteia in cazul unui anumit tip de eveniment seismic. Desi mult mai greu de pus in practica, aceasta ultima solutie este varianta care trebuie aleasa in cadrul proiectelor de tehnicitate deosebita.

•

• •

B •

C

D

A

9

Calculul dinamic al structurilor nu poate fi in general efectuat pe un model liniar. Acest gen de model se preteaza doar pentru studiul vibratiilor acelor sisteme ale caror amplitudini raman moderate. Aceasta nu este insa cazul structurilor amplasate in zone seismice. Din momentul in care amplitudinile constructiei devin importante, raspunsul materialului din care este alcatuita structura trece dincolo de domeniul elastic si comportarea sistemului devine neliniara.

Desi o structura reala este in general mult mai complexa decat un oscilator cu 1GLD un grad de libertate dinamic, putem deseori sa reducem studiul acesteia la un astfel de model, iar un model simplu ne poate permite sa abordam notiunile esentiale de ductilitate, spectre inelastice si de rezolvare numerica a sistemelor neliniare.

Pentru sistemul liniar, exista o corespondenta biunivoca intre forta si deplasare. In mod traditional, dimensionarea unei astfel de structuri necesita doar o estimare a fortelor care actioneaza asupra acesteia. Modul de gandire actual care se bazeaza pe echilibrul fortelor active si reactive este in general preferat de ingineri.

Pentru sistemul elastoplastic, sau de maniera mai generala neliniar, nu mai exista o relatie biunivoca intre forta si deplasare. Forta nu mai reprezinta parametrul semnificativ, fiindca forta maxima pe care o poate prelua sistemul este in continuare limitata de caracteristicile de rezistenta ale acestuia, dar aceasta forta maxima corespunde unei infinitati de valori ale deplasarilor, dintre care unele pot fi in afara limitei de stabilitate a sistemului. Ca urmare, parametrul fundamental ce trebuie analizat in cadrul proiectarii este deplasarea maxima, mD , sau, in mod echivalent, -ductilitatea, µ .

Proprietatea unui material, a unui element sau a unei structuri de a se deforma plastic, pastrandu-si nealterata capacitatea de rezistenta, este definita prin notiunea de ductilitate.Problema asigurarii unei comportari ductile se impune nu numai pentru a se prelua efectele cutremurelor puternice de catre elementele structurilor de rezistenta, ci si in scopul obtinerii unei comportari structurale care sa permita avertizarea fata de o eventuala apropiere de momentul cedarii. Proprietatile de ductilitate sunt evidentiate prin reprezentarea relatiei dintre un efort si o deplasare:

- la nivelul materialului, prin relatia dintre eforturile unitare si deformatiile specifice (ex.: ductilitatea de deformatie);

- la nivelul sectiunilor, prin relatia dintre eforturile sectionale si deformatiile specifice (ex.: ductilitatea de curbura);

- la nivelul elementelor, prin relatia dintre eforturile sectionale si deplasari (ex.: ductilitatea de deplasare unghiulara / liniara);

- la nivelul structurii in ansamblu, prin relatia dintre un efort generalizat global si o deplasare globala (ex.: moment de rasturnare-deplasarea laterala de nivel). Metoda cea mai simpla in Ingineria seismica de a calcula deplasarea neliniara a

unei structuri este de a apela la regula lui Newmark (1960) privind conservarea deplasarilor: maximul deplasarii relative a unui oscilator simplu cu comportare neliniara (reprezentata de un model „elastic-plastic perfect”) este identica cu a unui oscilator simplu echivalent elastic liniar de aceeasi frecventa proprie si amortizare (dar de o rigiditate redusa in raport cu rigiditatea elastica a oscilatorului initial). De remarcat ca echivalenta deplasarilor nu este justificata decat pentru perioade mari,

10

adica pentru oscilatoare suficient de suple in raport cu continutul frecvential al excitatiei seismice.

Aspectul analizarii deplasarilor nu apare din nefericire exprimat in mod clar in toate codurile de proiectare seismica care incearca sa pastreze posibilitatea utilizarii unei logici ingineresti de proiectare bazata pe forte. Fortele sunt evaluate printr-un calcul elastic si apoi reduse printr-un coeficient de reducere, R , a carui marime este data de regulament. Valoarea acestui coeficient depinde de materialul folosit pentru structura (otel, beton, zidarie) si de schema sa structurala (cadre, diafragme, …), altfel spus, de valoarea maxima admisa a deplasarii pe care sistemul o poate accepta sau, de o maniera echivalenta, de ductilitatea maxima acceptabila.

In acest sens,denumirea analizei neliniare tip „Push-over” sau „Impingere progresiva” provine de la fundamentul metodei: stabilirea unei curbe unice „efort-deplasare”, care sa caracterizeze comportarea structurii de rezistenta supusa la o excitatie – „impingere” monoton crescatoare, din ce in ce mai puternica. Criteriile de verificare ale elementelor structurale „primare” si nestructurale „secundare” sunt definite comparand deformatia maxima efectiva produsa de seism cu capacitatea lor maxima de a se deforma si inmagazina energie. Este vorba de un calcul static aplicat pe un model neliniar sau liniar echivalent, actionat de o serie de incarcari gravitationale (greutatea moarta, sarcini utile, sarcini climatice-zapada) care raman constante pe tot parcursul experimentului numeric si de incarcari laterale orizontale-seism, care cresc incremental. Aceste din urma incarcari sunt multiplicate cu factorul crescator λ pana la obtinerea starii de deteriorare plastica considerata ca limita acceptabila pentru securitatea structurii respective. Incarcarile laterale sunt aplicate la nivelul maselor modelului structural si reproduc fortele de inertie reprezentative din actiunea seismica, avand o repartitie in general asemanatoare cu aceea a deplasarilor provenite din modul I fundamental de vibratie (diagrama vectorilor proprii, iΦ ). Aceasta repartitie este riguros exacta pentru un sistem monomodal, in domeniul elastic de comportare a materialului. Analiza neliniara static echivalenta tip „Push-over” bazata pe repartitia fortelor laterale corespunzatoare modului fundamental de vibratie, nu este insa pertinenta pentru un calcul seismic, decat daca modul fundamental devine preponderent, adica masa antrenata in vibratie reprezinta peste 80% din masa totala a structurii.Aceasta implica o dispozitie cvasi-regulata in plan si pe verticala atat a maselor, cat si a rigiditatilor. Repartitia eforturilor orizontale din seism este deasemenea uneori (arbitrar) aleasa in functie de tipul structurii, astfel: dispozitie liniara-triunghiular inversa pentru o structura regulata in cadre de inaltime H (de tip: x

HΦ = ), dispozitie

parabolica pentru o structura regulata cu pereti portanti (de tip:1,5x

H Φ =

), dispozitie

uniforma pentru o structura etajata realizata in cadre - etaj tip „piloti” (parter flexibil). In cazul unei structuri cu distributia maselor si rigiditatilor oarecare, Chopra

(1995) a propus o analiza specifica tip „Push-over modal”, capabila de a tine seama si de participarea modurilor superioare in vibratia structurii.Aceasta revine la a realiza o

11

analiza tip „Push-over” pentru fiecare mod propriu de vibratie, structura fiind asimilata cu un oscilator simplu si utilizand o repartitie a eforturilor laterale asemanatoare cu deformata modala caracteristica pentru fiecare din aceste moduri.

Tinand seama de fiecare mod de vibratie, spectrul in deplasari furnizeaza direct deplasarea modala corespunzatoare, pe baza regulei de echivalenta a deplasarilor modificate. Aceste deplasari sunt in consecinta combinate tinand cont de factorii de participare modali dupa regula de compunere modala SRSS-Square Root of Square Sum (radacina patrata din suma patratelor), sau dupa regula CQC-Completely Quadrat Combination (combinatia patratica completa).

Eforturile sunt apoi determinate in functie de deplasarile obtinute si in raport cu legile de comportare neliniare ale elementelor utilizate.

Raspunsul structural total maxim (in eforturi sau deplasari) este estimat mai precis cu regula SRSS sau CQC in cazul cand miscarea seismica are o compozitie spectrala cu banda lata de frecventa si o durata efectiva mai mare ca perioada proprie fundamentala de vibratie a structurii. Regula SRSS se va aplica cand raspunsurile modale cu contributii semnificative pot fi considerate independente, modurile proprii de vibratii fiind clar separate. Regula de compunere CQC se va aplica cand modurile de vibratie corespunzatoare oscilatiilor j si k oarecare, nu pot fi considerate independente; in acest caz se va considera un coeficient de corelatie modala.

Curba „Push-over” reprezentand capacitatea de rezistenta a unei structuri supuse actiunii seismice, se poate obtine plecand de la un calcul static neliniar efectuat pe un model Element Finit avand la baza o lege constitutiva specifica. Astfel, materialul beton armat impune un comportament neliniar al materialului datorita fisurarii la intindere si zdrobirii la compresiune a betonului si respectiv curgerii plastice a otelului moale de constructii. Aceste neliniaritati constitutive pot fi luate in considerare prin legi de comportament structural monoton sau ciclic care se pot reprezenta in 3 mari familii:

- Modele globale, bazate pe legi biliniare elasto-plastice, cu/fara ecruisare (ex. pentru otel ) sau respectiv pe legi triliniare-Takeda (ex. pentru betonul armat) care leaga momentul incovoietor de curbura sau forta taietoare de deformatia specifica unghiulara.Aceste modele necesita un numar mic de parametrii pentru a defini curba primei incarcari (rigiditatea la incovoiere K EI= sau la taiere K GA= ) ori comportamentul ciclic (util pentru calculul dinamic temporal); - Modele locale cu ajutorul carora se poate descrie comportarea fiecarui material constitutiv din care sunt alcatuite elementele structurii: fier, beton , aderenta fier-beton, zidarie, s.a.; - Modele semi-globale sau modele multistrat sau modele cu fibra. Astfel, in teoria grinzii incovoiate se considera descrierea geometrica bidimensionala a unei sectiuni presupusa a se comporata pe plan cinematic dupa ipoteza J.Bernoulli a sectiunilor plane si normale, fara deformatii de forfecare sau, respectiv dupa ipoteza S.Timoshenko a sectiunilor deplanate (distorsionate) datorita efectului eforturilor unitare tangentiale.

In acest spirit, programul de calcul numeric CASTEM 2000, imbunatatit sub forma CAST3M, creat de Pegon/1993, Guedes/1997 si Combescure/2001, este cu

12

predilectie folosit de inginerii structuristi din Comunitatea Europeana pentru modelarea raspunsului constructiilor supuse actiunii seismice. O analiza statica inelastica biografica de tip „Push-over” se poate efectua cu programul de calcul IDARC 2D-versiunea 4.0. Legea histeretica triliniara adoptata pentru simularea comportarii elementelor din beton armat include degradarea de rigiditate, deteriorarea de rezistenta si lunecarea. Pe baza consideratiunilor prezentate se traseaza curba de capacitate „Push-over” care traduce comportarea (raspunsul) structurii sub sarcina excitatoare (in primul rand seismul). Astfel, se pune in abscisa-deplasarea D determinata la varful structurii si in ordonata-forta taietoare V (reactiunea) calculata la baza structurii. Determinarea valorii deplasarii laterale de curgere plastica la nivel structural se poate defini ca deplasarea corespunzatoare atingerii nivelului maxim al fortei pentru un sistem echivalent elasto-plastic ce are aceeasi rigiditate ca si sistemul de referinta. Efortul de taiere reprezinta suma fortelor laterale exterioare multiplicate cu un parametru crescator, λ (fig. 3). Se calculeaza caracteristicile de rigiditate si dinamice ale structurii:

- Rigiditatea initiala, iK , corespunde pantei curbei de capacitate in partea sa elastica; itg K constα = .

- Rigiditatea efectiva, eK , corespunde la 60% din valoarea fortei taietoare de

curgere plastica; 1

0,6 ye

VK

D= [kN/m]

Rezulta perioadele de vibratie initiala, iT , si respectiv efectiva, eT :

11

1iT T

f= = [s]

2ie i

e e

K MT TK K

π= = [s]

Deci, curba „efort V - deplasare D ” constituie o caracteristica intrinseca a structurii din punct de vedere al efectului actiunilor laterale orizontale (vant, seism, franarea „pisicii” pe podul rulant s.a.) de natura statica sau dinamica.

Curba „V D− ” pune in evidenta capacitatea structurii de a disipa energia si in consecinta furnizeaza o estimare a mecanismelor de plastificare asteptate, precum si distributia deteriorarii structurale progresive, in functie de intensitatea crescanda a fortelor seismice excitatoare si de marimea deplasarilor orizontale corespunzatoare.

Dupa cum s-a vazut, curba de capacitate „Push-over” se poate obtine plecand de la un calcul static neliniar care insa uneori este dificil de a se realiza datorita problemelor privind convergenta rezolvarii ecuatiilor diferentiale care caracterizeaza fenomenul fizic si a greutatilor intampinate in modelarea cu Element Finit.

Cateodata este mai simplu si mai putin costisitor de a se utiliza metode simplificate bazate pe o suita de calcule lineare si pe legi constitutive de comportare „elastica-perfect plastica”. In orice caz, in toate cazurile, pertinenta rezultatului obtinut prin proceduri iterative depinde de capacitatea algoritmului utilizat de a tine cont si a modela corespunzator alterarea progresiva a comportamentului structurii in sensul degradarii rigiditatii si cresterii flexibilitatii elementelor structurale; acest

13

proces devine evident odata cu aparitia deformatiilor plastice sau, pentru structuri in cadre, odata cu formarea articulatiilor plastice.

1D yD

La proiectare, formarea succesiva a articulatiilor plastice trebuie controlata in cadrul fenomenului de adaptare a structurii. Se recomanda ca liniile dirijate de creare a articulatiilor plastice sa se formeze succesiv la capetele sirurilor de grinzi, incepand de jos in sus. Stalpii vor reprezenta liniile finale elastice. Dirijarea liniilor de plastificare de-a lungul capetelor riglelor pare solutia cea mai indicata, daca se tine seama ca ductilitatea riglelor este mult mai ridicata decat a stalpilor.

Grinzile fiind elemente supuse in principal la momente incovoietoare si forte taietoare pot fi ductilizate relativ usor. Sporirea capacitatii de plastificare a sectiunii grinzii se obtine prin consolidarea zonei comprimate, adoptarea unor procente de armare reduse pentru ca armatura longitudinala sa ajunga la curgere inaintea zdrobirii betonului si utilizarea unor oteluri cu palier de curgere. In aceste conditii, se obtin grinzi cu ductilitate de 10÷20.

Stalpii fiind elemente supuse la forte de compresiune mari, cu momente incovoietoare si forte taietoare, sunt cu mult mai greu de ductilizat. Efortul axial de compresiune este cauza principala a fragilizarii elementului. Printr-o fretare transversala adecvata, deformarea transversala este blocata, iar starea de tensiune de compresiune axiala se modifica in compresiune triaxiala, transformand materialul casant si fragil, intr-unul rezistent si ductil. Cum ductilitatea este invers proportionala cu tensiunea de compresiune, se recomanda ca valoarea efortului unitar mediu de compresiune sa nu depaseasca (0,25÷0,35) bR . Cu aceste masuri se pot obtine pentru stalpi valori ale ductilitatii de 2÷5.

Pentru a realiza apropierea comportarii modelului de calcul numeric de comportarea structurii reale in cadre, se promoveaza o metoda simplificatoare bazata pe formarea succesiva a articulatiilor plastice (cu capacitate mare de deformatie) ca urmare a aplicarii teoremei statice de maximum a incarcarii de cedare.Este necesar de a se parcurge toate fazele prin care trece structura actionata de un sistem de incarcari ce creste proportional de la valoarea zero pana la cea corespunzatoare cedarii, in cadrul unui calcul biografic pe un mecanism favorabil de disipare de energie.

[ ]V kN – forta taietoare la baza; 1

n

ii

V F λ=

= ⋅∑

( )V f D= yV

0,6 yV

D[m] – deplasarea la varf

•

Ki

Curba de capacitate Fig. 3

α

•

14

- Determinarea momentelor incovoietoare capabile de plastificare in toate sectiunile critice ale elementelor de rezistenta (stalpi, rigle) ale structurii.Aceasta se va realiza cu ajutorul legii constitutive „moment-curbura”, rezultata din analiza raspunsurilor sectionale. Diagrama de moment incovoietor trebuie sa satisfaca simultan conditiile de echilibru si de plastifiere.

- Calculul eforturilor efective din structura datorita incarcarilor verticale gravitationale si respectiv a solicitarilor incrementale produse de aplicarea unui sistem de forte orizontale laterale unitare reprezentand actiunea seismica.

- Determinarea amplasarii urmatoarei articulatii plastice si a incarcarii laterale corespunzatoare. Modelarea structurii cu noua articulatie si iterarea momentelor incovoietoare.

- Incrementarea incarcarii laterale pana ce se obtine articulatia plastica urmatoare in diagrama de moment incovoietor si, in final, pana la obtinerea starii imita de „ruina” - mecanism de cedare plastica (prin deplasari, forta taietoare etc.). Acesta poate fi un mecanism de cedare general prin formarea articulatiilor plastice la capetele riglelor sau un mecanism de cedare local prin formarea articulatiilor plastice in stalpi, la un anumit nivel flexibil (deformatii ample localizate).

Observatie: Urmarind aplicarea metodei, repartitia incarcarii orizontale initiale poate fi mentinuta sau modificata pentru a se tine seama de deformata mecanismului. Cunoscand momentul incovoietor de plastificare, plM , pentru doua valori ale efortului normal, N , se determina prin interpolare liniara, momentul de plastificare a unui element, ( )plM N , pentru un efort normal, N – fig. 4.

( ) ( ) α+= 1NMNM plpl

( ) ( ) 12

1

12 NNNN

NMNM plpl −−

=−α

( ) ( ) ( ) ( )( )1212

11 NMNM

NNNNNMNM plplplpl −⋅

−−

+=

Diagrama Moment incovoietor plastic – Forta axiala

Fig. 4

•

•

• ( )1plM N ( )plM N ( )2plM N

1N N 2N N

plM

} α

15

Se determina in final incrementul de forta ΔF necesar pentru ca momentul incovoietor ( )M N sa atinga valoarea momentului de plastificare.

( ) FdFdMMNM i ∆⋅+= ; F

dFdNNN i ∆⋅+= ....... (2)

( ) ( ) ( )( )1212

1

1 NMNMNN

NFdFdNN

NMFdFdMM plpl

i

pli −⋅−

−∆⋅++=∆⋅+ ....... (2’)

Rezulta,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

11 2 1

2 1

2 1

2 1

ipl i pl pl

pl pl

N NM N M M N M NN NF

M N M NdM dNdF dF N N

− − + − −∆ =

−− ⋅

−

….... (3)

La cladirile etajate cu structura in cadre cu umplutura de zidarie supuse actiunii seismice se va tine seama de efectul de diafragma, pana la iesirea din lucru a zidariei de umplutura. Simplificat se poate admite o schema de calcul prin asimilarea cadrului cu zidarie de umplutura cu o grinda cu zabrele, stalpii preluand rolul talpilor, grinzile pe cel al montantilor, iar zidaria de umplutura pe cel al diagonalelor comprimate.

Suprarezistenta structurii asociata mecanismului de cedare ultim, se calculeaza cu raportul dintre forta taietoare de baza determinata la formarea mecanismului de cedare plastica a structurii si cea corespunzatoare aparitiei primei articulatii plastice.

Interesul construirii curbei „Push-over” in cadrul aplicarii metodelor de analiza neliniara in deplasari apare imediat in determinarea punctului de performanta (punct de functionare) al unei structuri folosind factorul cuantitativ in amortizare, ξ, si spectre de raspuns elastice (cu valori de amortizare marite) sau, respectiv, o aproximare in ductilitate, µ , si spectre inelastice de calcul. Pentru aceasta este necesar de a se suprapune o curba reprezentand capacitatea rezistenta a unei structuri rezultata dintr-o analiza statica neliniara tip „Push-over” cu o curba reprezentand solicitarea provocata de seism. Aceasta excitatie este evidentiata direct printr-o curba in format ADRS – Acceleration Displacement Response Spectrum. Curba ADRS se obtine raportand pe abcisa deplasarea spectrala ( dS [cm]) corespunzatoare unui seism si pe ordonata – spectrul de raspuns in pseudo-acceleratii ( aS [g]), plecand de la o amortizare de 5%. Dreptele radiale secante care pornesc din origine semnifica curbe izofrecventiale ( f = const.) sau izoperiodice ( 1T

f= ) si trebuiesc interpretate cu

precautie in cadrul folosirii spectrelor inelastice in format ADRS. Aceasta deoarece deplasarea maxima a oscilatorului, mD , si acceleratia, yA , care produce efortul la limita de curgere, sunt legate printr-o relatie care depinde direct de ductilitatea, µ . Ca urmare, panta secantei este functie de perioada printr-o relatie care se modifica cu ductilitatea.

2

2m yTD Aµπ

=

……. (4)

16

De mentionat ca aceasta curba de capacitate „Push-over” ce caracterizeaza comportarea structurii cu mai multe grade de libertate dinamica, nu poate fi direct suprapusa cu spectrul ADRS si de aceea este necesar sa sufere in prealabil o conversiune in spectrul de capacitate corespunzator unui sistem echivalent cu un singur grad de libertate dinamica. In acest scop se omogenizeaza parametrii sai in acceleratii, aS si respectiv deplasari spectrale,

dS . Astfel,

1a

VSGα

= ……. (5)

( )1 1

d VDS

PF=

Φ ……. (5’)

Unde, α1 – coeficientul de masa modala a primului mod de vibratie; 1PF – factorul de participare modala (de distributie a acceleratiilor seismice) corespunzator primului mod de vibratie;

1

11

21

1

n

i iin

i ii

mPF

m

=

=

⋅Φ=

⋅Φ

∑

∑ ……. (6)

mi–masa concentrata la un nivel i oarecare al structurii; 1iΦ – amplitudinea primului mod de vibratie (vectorul propriu) la nivelul i ; 1VΦ – amplitudinea primului mod de vibratie la varful structurii.

Masa pendulului se considera egala cu masa totala a constructiei. Intr-o viziune moderna, actiunea seismica poate fi privita ca un proces de

alimentare cu energie a unei structuri care, daca este judicios proiectata pe baza conceptiei inelastice de ductilitate, absoarbe, disipa si restituie energia indusa (inapoi in terenul de fundare). Capacitatea unei structuri de a absorbi energia mecanica prin deformatii plastice in ambele sensuri este caracterizata prin conceptul de ductilitate. Atenuarea raspunsului structurii la excitatia seismica prin deformatii neelastice reprezinta amortizarea prin ductilizare.

Ductilitatea efectiva, µ , este raportul dintre deformatia elasto-plastica maxima, Dm, si deformatia la pragul elastic (la curgere), yD . Atenuarea raspunsului prin deformatii plastice este evidentiat de raportul subunitar Dψ dintre forta de curgere, yF , si forta ce confera structurii o inalta rezistenta elastica, eF .

1m

y

DD

µ = > ; 1yD

e

FF

ψ = < ……. (7)

Din ipoteza conservarii deplasarii maxime si egalarea energiilor induse (elastica si respectiv elasto-plastica) in modelul dinamic „Forta-Deplasare” (fig. 5) in baza celor doua conceptii de proiectare: elastica si inelastica (fara ecruisaj), rezulta coeficientul Dψ care caracterizeaza atenuarea (amortizarea) raspunsului prin deformatii neelastice datorita ductilitatii.

12 1Dψµ

=−

…….(7’)

17

Fortele seismice corespunzatoare comportarii inelastice a structurii se vor obtine reducand fortele seismice elastice prin inmultire cu factorul Dψ . Cu cat structura va avea o capacitate de deplasare plastica mai mare, cu atat fortele seismice de calcul vor fi mai mici. Astfel, la o structura de beton armat ductila ( 5µ = ), fortele de calcul se vor reduce la o treime ( Dψ =1/3), fata de fortele elastice.

Amortizarea care evalueaza energia disipata de structura pe parcursul incursiunilor sale in domeniul post-elastic, depinde deci de deplasarile pe care aceasta le va suferi pe durata unui seism.

In final, intersectia intre curba „Push-over” si spectrul ADRS furnizeaza un PP punct de performanta ce marcheaza neliniaritatile care afecteaza structura; va rezulta o amortizare care in majoritatea cazurilor practice nu va coincide cu cea initiala.

Actualizarea acestei amortizari este deci necesara in vederea calculului unui

nou spectru ADRS. Cu acest spectru se va determina printr-un calcul iterativ un alt punct de performanta si in consecinta, o noua deplasare. Amortizarea echivalenta corespunzatoare acestei deplasari trebuie sa fie compatibila cu reprezentarea solicitarii seismice. Deplasarea asteptata este cea pentru care factorul de ductilitate la deplasare laterala calculat coincide cu cel al spectrului inelastic intersectat. Aceasta metoda de a determina punctul de performanta al structurii se numeste metoda in amortizare, deoarece factorul cuantitativ este amortizarea. In continuare se evalueaza eforturile M , N , V si deplasarile liniare si unghiulare si se verifica rezistenta si respectiv rigiditatea structurii.

Calculul amortizarii echivalente , eqξ , este bazata pe reprezentarea comportarii dinamice a structurii idealizate si anume pe energia disipata de un oscilator elasto – plastic cu ecruisaj (fig. 6).

0 0,05eqξ ξ= +

D (deplasarea)

F (forta)

eF

yF

O yD eD mD

F

12

12

e e e

e p y m y

E F D

E F D D−

= ⋅

= ⋅ −

Diagrama Forta – Deplasare. Energia absorbita. Fig. 5

D

eE (energia elastica)

e pE − (energia elasto-plastica)

18

Coeficientul 0,05 reprezinta amortizarea vascoasa prin frecari interne a materialului din care este alcatuita structura (beton armat, in cazul de fata). Factorul de amortizare critica care caracterizeaza global amortizarea unui anumit material variaza intre 2% pentru otel si 18% pentru zidarie sau prefabricate.

Pentru a tine cont de comportarea dinamica specifica unui tip de structura compusa dintr-un anumit material, se foloseste in calculul practic o amortizare efectiva, 0 0,05ef kξ ξ= + . Unde, k – coeficient empiric care depinde de capacitatea de disipare a energiei,deci de comportarea dinamica (cu amortizare histeretica) a unui tip de structura (cu comportare ductila-casanta); coeficientul este legat de tipologia si varsta structurii, precum si de durata seismului;

0ξ – amortizarea vascoasa echivalenta corespunzatoare factorului amortizarii histeretice, 0β ;

( )0 max

214

y m y mD

m m

a d d aEE a d

ξπ π

−= ⋅ = ……. (8)

DE – energia disipata prin amortizare; ( )4D y m y mE a d d a= − ……. (9)

maxE – energia de deformatie maxima; max 1

2 m m

Ea d

= ……. (9’)

Calculul punctului de performanta se mai poate face si prin compararea curbei privind capacitatea structurii de a disipa energie cu curba sub forma unui spectru referitoare la cererea de energie necesara a se disipa. Din acest motiv metoda mai este denumita si metoda in ductilitate, deoarece factorul cuantitativ este ductilitatea.

iK (rigiditatea initiala)

eK (rigiditatea efectiva/echivalenta)

d (deplasarea spectrala)

a (acceleratia

ma

ya

yd md

maxE

Reprezentarea comportarii structurii idealizate Fig. 6

O

19

Cererea de energie este caracterizata prin punctul PGA-Peak Ground Acceleration de pe curba si perioada de colt, cT , corespunzatoare sfarsitului platoului spectral.

Utilizarea de spectre elastice (metoda in amortizare) se diferentiaza esential de metoda bazata pe utilizarea spectrelor inelastice (metoda in ductilitate) prin calculul factorului, R ,de reducere a ordonatelor spectrului elastic; factorul permite evaluarea de spectre reduse corespunzatoare (de fapt spectre supra-amortizate).

Factorul de reducere a eforturilor se poate scrie sub forma: a) ae

a

SRSξ = – pentru metoda cu cuantificare in amortizare;

Rξ se poate exprima in functie de amortizarea elastica, eξ si de amortizarea echivalenta, 0ξ .

0

el

el

Rkkξξ

ξ ξ=

′+ ……. (10)

Coeficientul k′ depinde de parametrii curbei de capacitate – yA , eT , respectiv de parametrii curbei de cerere de energie – PGA, cT .

b) ae

y

SRAµ = – pentru metoda cu cuantificare in ductilitate.

Se noteaza: aeS – acceleratia spectrului elastic initial (ξ =5%); aS – acceleratia spectrului redus; yA – acceleratia la limita elastica (la curgere) a oscilatorului inelastic; 2

y yA Dω=

0T – perioada elastica. In acest caz factorul de reducere depinde de valoarea perioadei de vibratie in

raport cu valoarea perioadei de colt. Astfel,

- pentru cT T< , ( )11c

TR

Tµ

µ −=

+; ....... (11)

- pentru cT T≥ , Rµ µ= . ....... (11’)

Observatie: In legatura cu stabilirea valorii perioadei proprii fundamentale de vibratie a unor cladiri existente inalte, care au suferit mai multe evenimente seismice, pe baza inregistrarilor de la cutremurul San-Fernando (9.02.1971, M 6,4 Richter, focar 8,4 km adancime; 3 accelerometre pe bloc la 66 de cladiri inalte, doar pe 25 cladiri au functionat) se pot concluziona urmatoarele:

- prin modelarea raspunsului structurilor folosindu-se accelerogramele inregistrate la sol, s-a constatat ca se obtine o concordanta cu inregistrarile la cele 3 nivele numai daca se iau in consideratie si modurile de oscilatie superioare primelor 3 moduri de vibratie care se admit in mod obisnuit in practica de calcul;

- din analiza accelerogramelor de pe model rezulta ca se obtine o concordanta si mai buna daca se modifica dupa (5÷6) s. perioada fundamentala a oscilatiei introduse in computer si de asemeni se modifica corespunzator ductilitatea si rigiditatea pe nivele.

Asa se comporta probabil constructia reala: dupa primele oscilatii in urma carora crapa peretii, structura devine mai flexibila si creste perioada proprie de vibratie ramanand

20

in continuare sa oscileze numai scheletul de rezistenta propriuzis, constructia devenind mai ductila.

Factorul de reducere se reprezinta grafic functie de perioada pentru diferite valori ale ductilitatii.

Diferenta principala intre cele doua metode se constata trasand spectrele reduse. Ca urmare,

- in metoda cu cuantificare in amortizare aceste spectre sunt calculate cu perioada constanta – fig. 7;

- in metoda in ductilitate aceste spectre sunt calculate considerand o deplasare constanta (sau ductilitate constanta) – fig. 8.

Pentru aceeasi structura si acelasi spectru de acceleratie elastic exista posibilitatea obtinerii unor puncte de performanta diferite in raport cu spectrele reduse considerate – fig. 9. Pentru un coeficient unitar de disipare a energiei ( 1k = ;

2,7µ = ), metoda de aproximare in ductilitate (spectre inelastice) da acelasi rezultat cu metoda in amortizare. Daca insa 1k ≠ , metoda in amortizare da o deplasare superioara.

In sfarsit, o alta comparatie intre cele doua metode de calcul, respectiv un alt

mod de a determina punctul de performanta al structurii, este de a reprezenta curbele de variatie ale amortizarii eqβ ξ= (factorul amortizarii histeretice echivalate cu amortizarea vascoasa), in functie de ductilitatea µ . Astfel,

- amortizarea curbei de capacitate care depinde de energia disipata de oscilatorul inelastic, pentru 1k = , este:

( )2 1µβ

πµ−

= ; ....... (12)

- amortizarea curbei privind necesarul de energie se poate scrie sub forma:

0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

•

• • •

•

dS (cm)

aS (cm)

Efectul cresterii amortizarii asupra perioadei de tranzitie cT pentru metoda in amortizare.

Fig. 7

Perioade constante

5% 10%

15%

21

2

21

p

β µπµ

=−

, ....... (12’)

Unde,

24s p c

py

a R T TD

µπ

= ....... (13)

sa - acceleratia nominala la sol; pR - coeficient de amplificare ( 2,5pR ).

Intersectia celor doua curbe ale amortizarii se constituie in punctul de performanta al structurii.

aS (m/s2)

dS (m)

•

•

•

•

2µ =

1,5µ =

4µ =

1µ =

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0

2

4

6

8

10

12

14

Efectul cresterii ductilitatii asupra perioadei de tranzitie cT pentru metoda in ductilitate

Fig. 8

Deplasare constanta

22

5. Aplicarea metodei spectrului de capacitate 5.1 Varianta ATC40

Pentru aplicarea metodei spectrului de capacitate este necesara parcurgerea urmatorilor pasi:

1. Se alcatuieste modelul de calcul pentru constructia analizata; se efectueaza analiza statica fizic neliniara; se traseaza diagrama „forta taietoare de baza – deplasare la ultimul nivel” al constructiei.

2. Se convertesc valorile diagramei rezultate, determinate pe modelul structural cu mai multe grade de libertate dinamica, in valori corespunzatoare unui sistem echivalent cu un singur grad de libertate dinamica, cu ajutorul formulelor (5), (5’). Masa pendulului se considera egala cu masa totala a constructiei.

3. Se converteste spectrul elastic de proiectare corespunzator unui factor de amortizare ξ=5% in formatul „acceleratie spectrala – deplasare spectrala” sau se obtine direct spectrul inelastic prin prelucrarea unei accelerograme.

4. Asezarea pe acelasi grafic a celor doua spectre: de capacitate si de cerinte. 5. Alegerea unui punct de performanta ce apartine spectrului de capacitate.

corespunzator acestui punct se determina factorul de amortizare vascoasa echivalenta. 6. Calcularea factorilor de reducere a spectrului cerintelor, SRA si SRV. Aceste

factori de reducere se aplica in domeniul acceleratiilor, respectiv vitezelor si se calculeaza dupa cum urmeaza:

12.2ln68.021.3 eff

ASRβ−

= ....... (14)

• •

• •

•

yA

PGA 1,0

( )aS g - acceleratie spectrala

µ - ductilitate

Comparatie intre punctele de performanta date de diferite metode, cand 0 cT T<

Fig. 9

S.E. – Spectrul elastic cu amortizare 5%; S.R.(ξ) – Spectrul redus, metoda in amortizare; S.R.(μ) – Spectrul redus, metoda in ductilitate; C.C. – Curba de capacitate; P.P. – Punct de performanta.

0,35ga g= ⋅

platou spectral cT

5%ξ =

P.P. (µ )

P.P. (ξ )

C.C

S.R.(ξ)

S.R.(μ)

S.E

0 1µ 2µ

23

65.1ln41.031.2 eff

VSRβ−

= ....... (15)

7. Reducerea spectrului elastic al cerintelor si redesenarea pe acelasi grafic a acestuia si a spectrului de capacitate.

8. Determinarea intersectiei dintre spectrul redus al cerintelor cu spectrul de capacitate. Daca punctul de intersectie este in apropierea punctului de performanta (deplasarea obtinuta nu difera cu mai mult de 5% fata de deplasarea corespunzatoaree punctului de performanta), atunci alegerea de la pasul 5 este corecta si deplasarea corespunzatoare devine deplasarea maxima asteptata pentru actiunea seismica considerata. Daca punctul de intersectie se situeaza in afara intervalului de toleranta, atunci se selecteaza un alt punct si se reia calculul de la punctul 5. 5.2 Varianta FEMA356 – Metoda coeficientilor

Metoda coeficientilor – FEMA356 Fig. 10

6. Procedeu de calcul static neliniar al structurilor conform Normativului P100-2006.

Procedeul face parte din categoria celor care consideră deplasările structurale drept parametru esenţial al răspunsului seismic al structurilor. Aplicarea procedeului implică următoarele operaţii principale: 6.1 Stabilirea caracteristicilor de comportare pentru elementele structurii. 6.2 Construirea curbei „forţă laterală – deplasare la vârf”.

24

6.3 Transformarea curbei „forţă laterală – deplasare la vârf” pentru construcţia reală cu mai multe grade de libertate (MDOF) în curba corespunzătoare sistemului echivalent cu un grad de libertate (SDOF). 6.4 Selectarea spectrelor de deplasare inelastice relevante din baza de date, atunci când aceasta există, sau construirea spectrelor avand in vedere seturi de accelerograme compatibile cu spectrul de proiectare (de acceleraţie); caracteristicile structurii cu un grad de libertate utilizate la construirea spectrelor sunt cele stabilite în treapta 6.3 de calcul. 6.5 Stabilirea cerinţei de deplasare laterală pentru stările limită considerate, determinarea valorilor corespunzătoare ale deplasărilor relative sau deformaţiilor în elementele structurale şi verificarea încadrării acestora în limitele admise. 6.1 Stabilirea caracteristicilor de comportare pentru elementele structurii.

Biliniarizarea curbei „forta-deplasare” Fig. 11

Procedeul de calcul se poate folosi şi la verificarea structurilor existente

oferind avantajul, în raport cu procedeele obişnuite de verificare bazate pe evaluarea gradului de asigurare seismică R (vezi Normativ P100/92), – că nu necesită precizarea factorului de comportare, q. În marea majoritate a cazurilor valoarea acestui coeficient nu poate fi determinată practic la construcţiile existente. Procedeul evaluează mult mai precis gradul de degradare şi vulnerabilitatea construcţiei, considerând drept principal parametru al comportării la seism-deplasarea laterală a structurii. 6.2 Construirea curbei „forţă laterală – deplasarea la vârf” pentru constructia data

Curba se obţine printr-o analiza statica neliniara, de tip biografic, utilizând programe de calcul specializate care iau în considerare modificările structurale la fiecare pas de încărcare. Încărcările gravitaţionale corespunzătoare grupării seismice de calcul se menţin constante.

Calculul permite determinarea ordinii probabile a aparitiei articulaţiilor plastice, respectiv determinarea mecanismului de cedare plastica.

Forţa laterală

F

dSLS dy du dULS Deplasare laterală, d

formarea mecanismului cinematic plastic

apariţia articulaţiilor plastice

Degradare limitată

Siguranţă limitată

Fy

25

Se recomandă ca diagrama să fie construită până la o deplasare cu cca 50% mai mare decât cerinţa de deplasare corespunzătoare stării limită ultime, pentru a evidenţia evoluţia procesului de degradare până în apropierea prăbuşirii şi implicit vulnerabilitatea clădirii faţă de prăbuşire. 6.3 Echivalarea structurii MDOF cu un sistem SDOF

Curba stabilită pentru structura reală se converteşte într-o relaţie „forţă – deplasare” pentru sistemul echivalent cu un grad de libertate dinamica pentru ca parametrii acesteia să poată fi puşi în relaţie directă cu spectrele răspunsului seismic, construite pentru sisteme cu un grad de libertate. Notaţii:

φ – vectorul formei deplasărilor normalizate (cu valoarea unitate la vârf);

∑=n

1imM – masa sistemului MDOF (suma maselor de nivel mi);

F – forta tăietoare de bază a sistemului MDOF; { } { } ∑=⋅⋅=∗ 2

iT MM φφφ im – masa generalizată a sistemului echivalent SDOF;

{ } { } ∑=⋅⋅=∗i

T 1ML φφ im – coeficient de transformare. Relaţiile de echivalenta (16) si (17) între mărimile răspunsului SDOF,

deplasările d∗ şi forţele F∗ şi mărimile asociate răspunsului MDOF (d şi F), rezultă:

dmm

dL

Mdii

2ii

∑∑== ∗

∗∗

φφ

....... (16)

( )F

mmFFL

MMF 2i

2iii

2

∑∑ ∑==

⋅=

∗

∗∗

φ

φε

im ....... (17) În vederea stabilirii parametrilor structurali definitorii pentru spectrele

răspunsului seismic inelastic, curba „F∗ - d∗” urmează să fie idealizată sub forma unei diagrame biliniare (fig. 11). În acest scop forţa de iniţiere a curgerii, Fy se considera egală cu rezistenţa ultimă a sistemului, corespunzătoare formării mecanismului de cedare plastica.

Rigiditatea iniţială a sistemului idealizat se determină astfel încât capacitatea de absorbţie de energie să nu se modifice prin schematizarea curbei (ariile celor două curbe să fie egale).

In cazul idealizării curbei „forta-deplasare” sub forma unei diagrame biliniare fără consolidare, în domeniul post-elastic, deplasarea la curgere dy rezultă:

−=

y

mmy F

Ed2d ……. (18)

unde, dm, Em – deplasarea, respectiv energia de deformaţie (aria situată sub curba)

corespunzătoare formării mecanismului plastic.

26

6.4 Selectarea spectrelor de răspuns Cerinţele de deplasare ale sistemului SDOF echivalent, pentru starea limită

ultimă (ULS), se obţin din spectrele de deplasare ale răspunsului seismic inelastic. Se pot folosi, dacă există, spectre aproximative, specifice amplasamentului. În caz contrar, spectrele se pot calcula folosind programe de calcul specializate, utilizând accelerograme înregistrate, simulate sau artificiale compatibile cu spectrul de proiectare din cod.

Se aproximeaza spectrul inelastic de deplasare, SDi(T) cu ajutorul relaţiei (19). *

i ed SD (T) cSD (T)= = ……. (19) c - coeficient de amplificare al deplasărilor în domeniul inelastic; SDe(T) - spectrul de răspuns elastic. Parametrii care caracterizează valorile spectrale, respectiv cerinţele de

deplasare, sunt: - perioada T∗ a sistemului SDOF echivalent, determinata cu formula (20);

*y

*y

FMd

2T π=∗

....... (20) - coeficientul seismic c*

Mg

Fc

** y

y=

....... (21) 6.5 Controlul deplasărilor structurale

După determinarea cerinţelor de deplasare pe sistemul echivalent SDOF, acestea se convertesc în cerinţele de deplasare ale structurii reale MDOF, inversând relaţia (16):

∗∗

∗

∗

∑∑== d

mm

dMLd 2

ii

ii

φφ

……. (22) Corespunzător acestor deplasări globale, se determină mecanismul de cedare

plastica, eforturile in elementele fragile (care si-au consumat capacitatea de ductilitate), deplasările relative de nivel şi deplasările individuale ale elementelor (rotiri dezvoltate în articulaţiile plastice punctuale echivalente etc) şi se verifică dacă sunt îndeplinite condiţiile corespunzatoare starii limită considerate.

27

Bibliografie 1.Aldea A., Arion C., Vacareanu R., Lungu D. – „Evaluarea vulnerabilitatii la cutremur a cladirilor.Metode de calcul si prioritati de consolidare ”, Buletin AICPS nr. 1/2003, pag 14-25. 2.Chen A.C., Chen F.W. – „Constitutive Relationship for Concrete”, Journal of the Engineering Mechanics Division, vol. 101, nr. EM 4, 1975 , pp. 465-481. 3.Chopra A. K. – „Dynamics of structures. Theory and applications to earthquake engineering”, Englewood Cliffs, N.J. Pretience Hall, 1995. 4.Cismigiu Al. –„Dupa cutremurul moldavic din 4 Martie 1877.Spre noi tipuri de structuri antiseismice”, „Arhitectura”, nr.4, 1977, pag. 1-23. 5.Combescure D. – „Modélisation des structures de génie civil sous chargement sismique à l’aide de CASTEM 2000”, Rapport CEA-DEMT/EMSI/RT/01-008, 2001. 6.Ginju S. – „Contributii la analiza numerica neliniara a structurilor industriale tinand cont de efectul amortizarii si degradarea structurala”, Teza de doctorat, Universitatea Tehnica de Constructii Bucuresti, 2004. 7.Gulkan P., Sozen M.A. – „Inelastic Responses of Reinforced Concrete Structures to Earthquake Motions”, Journal of the American Concrete Inst., 71(12), 604-10, 1974. 8.Ieremia M.,Sidorenco E.,Ginju S– „Analiza numerica neliniara a structurilor”,vol II „Modelarea raspunsului structural”, Ed. Conspress, Bucuresti, 2005. 9.Newmark N.M., Veletsos A.S. – „Effects on inelastic behavior on the response of simple system to earthquake motions”, Proceedings of the 2nd World Conference on Earthquake Engineering, Japan 2:895-912. 10. Nica-Udangiu G.R. – „Studiu de caz privind analiza modala a structurii de rezistenta a blocului „Scala” Bucuresti”, Referat doctorat, Universitatea Tehnica de Constructii Bucuresti, Martie 2007. 11. Popa T. – „Consideratii privind metodele de calcul la torsiune a cladirilor”, „Constructii”, nr. 2, 2000, pag 16-20. 12.Toba S. –„Consideratii asupra ductilitatii cadrelor din beton armat”, Referat doctorat: „Concepte moderne de elasticitate, plasticitate si element finit”, Universitatea Tehnica de Constructii Bucuresti, 14.02.2008. 13.Tulei E., Cretu D., Topa N., –„Controlul performantelor unei structuri metalice multietajate supuse la actiuni seismice”, A 3-a Conferinta Nationala de Inginerie Seismica, Universitatea Tehnica de Constructii Bucuresti, 09.12.2005. 14.* * * Cahier technique AFPS, Nr. 26, 2006 –„Méthodes en déplacement: Principe- Codification-Application”. 15.* * * Eurocode8, pr.EN1998, „Calcul des structures pour leur résistance aux séismes” Règles générales, actions sismiques et régles pour les bâtiments”, 2003. 16. FEMA (2000). Prestandard and commentary for the seismic rehabilitation of buildings, FEMA 356. Washington, D.C.: Federal Emergency Management Agency. 17. FEMA (2003). Prestandard and commentary for the seismic design of buildings, FEMA 450. Washington, D.C.: Federal Emergency Management Agency.