lucrarea 2 STATICA

8/16/2019 lucrarea 2 STATICA

1/54

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA2

CALCULUL STRUCTURILOR NEDETERMINATE PRIN METODA FORŢELOR

ACŢIUNEA FORŢELOR

1) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura.1, la acţiunea forţelor exterioare.

Se cunosc:

,! " " # $ " %! " &% L m H m p kN m F kN M kN m= = = = = ×

Rezolvare:4I 0

I 0

2I 0

F 4I 0

p

L L/3

3H/4

H

1) Sta'ilirea gradului de nedeterminare statică:

(radul de nederminare statică se sta'ile te cu relaţia:* ) *& ) + sn r l c= + − = + − × =

Structura este de trei ori static nedeterminată.

+) Alegerea sistemului de 'ază:

Sistemul de 'ază reprezintă, sistemul ata at sistemului statict nedeterminat, la care se suprlegături exterioare sau interioare c t sunt necesare pentru ca acesta sa de-in static determinat.

n locul fiecărei legături suprimate se introduce un efort static nedeterminat, notat, de o'icei, cu1, +,.. X X Transformare sistemului real /n sistem de 'ază se poate face /n diferite feluri, dintre toate -arian

alege cea mai con-ena'ilă din punct de -edre al calculelor.1


2/54


TEMA2

n cazul sistemului nostru, sunt prezentate mai 0os c te-a -ariante de sisteme de 'aza ce pot fi atasistemului nedeterminat.

arianta ce con-ine fig +. a).

4I 0

I 0

2I 0

F 4I 0

p

3,8 1,27

2,25

3

X 1

X 2

X 3

a)

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

X 3

X 2

X 1

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

X3

X 1

X 2

') c)

+


3/54


TEMA2

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

X 1 X 1

X 2

X 2

X 3

X 3

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

X 1

X 2

X 2

X 2

d) e)fig +

) Ecuaţiile de ec2ili'ru elastic:

Se o'ţin prin scrierea condiţiilor de compati'ilitate pe direcţia legăturilor suprimate:3 deplasarea a'solută pe direcţia necunoscutelori X , este egală cu zero:

Explicitat:

11 1 1+ + 1 1

+1 1 ++ + + +

1 1 + +

###

p

p

p

X X X X X X X X X

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

× + × + × + ∆ =× + × + × + ∆ =× + × + × + ∆ =

%) 4alculul coeficienţilor i al termenilor li'eri

%.1) 4oeficienţii principali i secundari:

3 se calculează cu relaţiile:+

#

l i

ii

M dx EI

δ =∑∫

#

l i i

i i M M dx

EI δ δ ×= =∑∫ 3 unde: ,i M M : momentele /nco-oietoare produse pe sistemul de 'ază static determinat de necunos X

repecti- X , egale cu unitatea.Trasarea diagramelor unitare:

#i

! X ∆ =


4/54


TEMA2

3 sistemul incărcat cu 1 X :

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

5,25

3

M 1

1 1 X =#" 1 " #" "

1 5, +5 5, +5 " 5, +5 " 5, +5 .

A" C" "# A " " "

"# #E # # E

M M kN m M M kN m

M kN m M kN m M kN

= = × = × = = ×= × = × = × =

3 sistemul incărcat cu + X :

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D

E

M 2

5,07

+ 1 X =# A " C # M M M M = = = =

5,#6 E M kN m= ×3 sistemul incărcat cu X :

%


5/54


TEMA2

1 X =# A M = "#" 1 ,! ,! " #" ,! " ,! "C" A" "C "#C " " " # M M kN m M M kN m M kN m= = × = × = = × = ×

,! " 1,+6 #E # E M kN m M kN m= × = ×

3,8 1,27

2,25

3

A

B

C

D

E

M 3

3,8

3,8

1,27

C!lc$l$l c%&'ici&n(il%r din sis)&m$l d& &c$!(ii*

+ +111

# # ##

# # # #

1 1 + +, +5 1* ) * ) *+ + 5, +5 + 5, +5) 5, +5 5, #6 5, +5

+ + & %

%,5 7, + %,7% 6!, &6

l M dx

EI E I E I E I

EI EI EI EI

δ = = × × × × × + × × + × + × × + ×× × ×

= + + =

∑∫

++

++# ##

1 1 + 1#,!&5,#6 5,#6 5,#6

% +

l M dx

EI E I EI δ = = × × × × × =×∑∫

+

# ##

+ +

#

# # # #

1 1 + 1, ! , ! , ! , ! +, +5 , !% +

5,#6*+ , ! + 1, +6 + , ! 1, +6)

& %

%,56 +, %7 %, 6% %1,!

l M dx EI E I E I

E I

EI EI EI EI

δ = = × × × × × + × × ×× ×

+ × × + × − × × =×

= + + =

∑∫

5


6/54


TEMA2

1 +1+ +1

# ##

1 5,#6 1&,!6*5,+5 5,#6)

% +

l M M dx

EI E I EI δ δ

×= = = − × × × = −×∑∫ 1

1 1

##

#

# # #

+,+5*+ ,! + 5,+5 ,! , ! 5,+5 ,!)

&

5,#6*+ 5, +5 ,! + 5, +5 1, +6 5, +5 1, +6 5, +5 ,!)

& %

5, +6 !, %+ % ,&7

l M M dx

EI E I

E I

EI EI EI

δ δ ×= = = × × × + × × + × + × +× ×

+ × × × − × × − × + ×× ×

= + =

∑∫

++ +

# ##

5,#6 1, 5*+ 5, #6 1, +6 5, #6 ,!)

& %

l M M dx

EI E I EI δ δ

×= = = × × × − × = −× ×∑∫

Suma coeficienţilor:

, 16!, &6 1#, !& %1,! + *% , &7 1&,!6 1, 5) 1!+, +6

sn

ii

δ =

= + + + × − − =∑

%.+) Termenii li'eri, se calculează cu relaţia:

#

l p i

ip M M

dx EI

×∆ =∑∫ 8nde p M , reprezintă momentul produs, pe sistemul de 'ază static determinat, de /ncărări.

11

##

#

# # #

+,+5 *+ +1&,& + 1#!,& 5,+5 +1&,& 5,+5 1#!,& )&

5,#6* + 1#!,& 5, +5 + %&7, & 5, +5 1#!,& 5, +5 %&7, & 5, +5)

& %

1%& ,5& 1+##, + +& , +%

l p

p M M dx

EI E I

E I

EI EI EI

×∆ = = − × × × + × × + × + × +×

+ × − × × + × × − × + ××−= − + =

∑∫

&


7/54


TEMA2

48 kN 30 kN/m

3,8 1,27

2,25

3

A

C B

DE

3,8 1,27

2,25

3

216,6

108,6

469,36

M p

++

# ##

5,#6 !!7,#7* + %&7, & 5,#6 1#!, & 5, #6)

& %

l p

p

M M dx

EI E I EI

×∆ = = × − × × + × = −×∑∫

6


8/54


TEMA2

##

#

#

# # #

1 1 1* ,! +1&,&) ,!

% %

+,+5*+ +1&,& ,! + 1#!, & ,! 1#!,& ,! +1&,& 1#!)

&

5,#6*+ 1#!, & ,! + %&7, & 1, +6 1#!, & 1, +6 %&7, & ,!)

& %

&5,1& 1 7#,+ +#,+7 1%

l p

p

M M dx

EI E I

E I

E I

EI EI EI

×∆ = = − × × × × −×

− × × × + × × + × + × −×

− × × × + × × − × − ××

= − − − = −

∑∫

#

65,&! EI

Suma termenilor li'eri:

1*+& ,+% !!7,#7 1%65,&!) +&+!,#1

sn

p =

∆ = − + + = −∑5) erificarea coeficienţilor i a termenilor li'eri.

4oeficienţii sunt corecţi calculaţi dacă este /ndeplinită condiţia:+

, 1 #

s l n s

i ssi

M dx EI

δ δ =

= =∑ ∑∫

3,8 1,27

2,25

3M ss

33,8

9,05

1,09

6,8

!


9/54


TEMA2

+

##

#+ +

#

+ +

#

# # # # #

1 1 +* )+ +1 1 +* ,! ,!) ,!% +

+,+5 *+ &,! + 7,#5 + &,! 7,#5)&

5,#6 *+ 7,#5 + 1,#7 + 7,#5 1,#7)& %%,5 %,56 1%+,+& #,7% 1!+, +6

l s

ss M dx EI E I

E I

E I

E I

EI EI EI EI EI

δ = = × × × × × +×

+ × × × × +×

+ × × + × + × × +×

+ × × + × − × ××

= + + + =

∑∫

Condiţie înde linită! coe"icienţii sunt corect calculaţi#

Termenii li'eri sunt corecţi calculaţi dacă este /ndeplinită condiţia:

1 #

s l n p s

p sp

M M dx

EI =×∆ = ∆ =∑ ∑∫

##

#

#

# #

1 1 1+1&,& ,! ,!% %

+,+5 *+ +1&,& &,! + 1#!,& 7,#5 1#!,& &,! +1&,& 7,#5)&

5,#6 * + 1#!,& 7, #5 + %&7, & 1, #7 %& , & 7, #5 1#!, & 1, #7)& %

&5,1& +!5 ,67 +7#,7%

l p s

sp M M

dx EI E I

E I

E I

EI EI EI

×∆ = = − × × × × × −×

− × × × + × × + × + × +×

+ × − × × − × × + × + ××

= − − +

∑∫

# #+&+!,#1

EI = −

Condiţie înde linită! termenii li$eri sunt corect calculaţi#

&) 9ezol-area sistemului de ecuaţii:

11 1 1+ + 1 1

+1 1 ++ + + +

1 1 + +

#

##

p

p

p

X X X

X X X X X X

δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

× + × + × + ∆ =

× + × + × + ∆ =× + × + × + ∆ =

7


10/54


TEMA2

1 +# # # #

1 +# # # #

1 +# # # #

6!,&6 1&,!6 % ,&7 +& ,+%#

1&,!6 1#,!& 1, 5 !!7,#7 #

% , 7 1, 5 %1,! 1%65,&!#

X X X EI EI EI EI

X X X EI EI EI EI

X X X EI EI EI EI

× − × + × − =

− × + × − × − =

× − × + × − =

Ec2i-alent cu:

1 +

1 +

1 +

6!,&6 1&,!6 % ,&7 +& ,+%1&,!6 1#,!& 1, 5 !!7,#7

% , 7 1, 5 %1,! 1%65,&!

X X X X X X

X X X

× − × + × =− × + × − × =

× − × + × =

Soluţia sistemului:A 1&.!6−

% . 7

1#.!&

1. 5−1. 5−

%1.!

:= : !!7.#7

1%65.&!

:=

; A1−

:⋅:= detA A:=

detA 5.#&! 1#×=

;

5. +1

7%.+15

+.!++

=

1

+

5, +1

7%,+15

+,!++

X kN

X kN

X kN

===

6) Trasarea diagramelor de eforturi:

1#


11/54


TEMA2

48kN

30kN

3,8 1,27

2,25

3

5,321kN

94,215kN

32,826kN

94,215kN

13,04

53,321kN

N

T

5,321kN

32,822kN

81,178kN

53,321kN

127,037

11


12/54


TEMA2

91,84

44,06

15,963

M

75,88

22,04

!) erificarea diagramelor de eforturi:

!.1) erificări statice:

3 +&ri'ic!r&! n%d$l$i "*

1+


13/54


TEMA2

48

5,321

53,21

8 1

, 1 7 8

15,963

75,88

13,04

9 4

, 2 1 5

B 9 1

, 8 4

5 , +1 %! 5, +1 #7%, +15 1 ,#% !1,16! #71,!% 65,!! 15,7& #

X , M

= − + + == − − == − − =

∑∑∑

3 +&ri'ic!r&! di! r!m&i M. prin m&)%d! LM+*

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

22,0448

5,321

94,215

32,822

30

1


14/54


TEMA2

,!* ) ++,#% %! +,+5 5, +1 5,+5 +,!++ 1,+6 # ,! * 1, +6)

+7%,+15 5,#6 #

LM+ θ θ θ θ θ

θ

= − − × − × + × − × × +

+ × =

!.+) erificărea elastică a diagramei de momente /nco-oietoare:


15/54


TEMA2

CE%&RI %E REA'E(E

+) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura.+, la acţiunea cedărilor de reazem

Se cunosc:#, ! " " # $ " %! " 1 " 1,% L m H m p kN m F kN / cm ϕ = = = = = =

3,8m 1,27m

2,25m

3m

A

B

C

D E

v

Fig. 2

1) Se adoptă acela i sistem de 'ază:

15


16/54


TEMA2

4I 0

I 0

2I 0

F 4I 0

3,8 1,27

2,25

3

X 1

X 2

X 3

+) Sistemul de ecuaţii de ec2ili'ru elastic are forma:

11 1 1+ + 1 1

+1 1 ++ + + +

1 1 + +

c

c

c

X X X L X X X L X X X L

δ δ δ δ δ δ δ δ δ

× + × + × =× + × + × =× + × + × =

) 4oeficienţii au -alorile:

+ +111

# # ##

# # # #

1 1 + +, +5 1* ) * ) *+ + 5, +5 + 5, +5) 5, +5 5, #6 5, +5

+ + & %

%,5 7, + %,7% 6!, &6

l M dx

EI E I E I E I

EI EI EI EI

δ = = × × × × × + × × + × + × × + ×× × ×

= + + =

∑∫

++

++# ##

1 1 + 1#,!&5,#6 5,#6 5,#6

% +

l M dx

EI E I EI δ

= = × × × × × =×∑∫ +

# ##

+ +

#

# # # #

1 1 + 1,! , ! , ! , ! +, +5 , !

% +

5,#6*+ , ! + 1, +6 + , ! 1, +6)

& %

%,56 +, %7 %, 6% %1,!

l M dx

EI E I E I

E I

EI EI EI EI

δ = = × × × × × + × × ×× ×

+ × × + × − × × =×

= + + =

∑∫

1&


17/54


TEMA2

1 +1+ +1

# ##

1 5,#6 1&,!6*5,+5 5,#6)

% +

l M M dx

EI E I EI δ δ

×= = = − × × × = −×∑∫ 1

1 1

##

#

# # #

+,+5*+ ,! + 5,+5 ,! , ! 5,+5 ,!)

&

5,#6*+ 5, +5 ,! + 5, +5 1, +6 5, +5 1, +6 5, +5 ,!)

& %

5, +6 !, %+ % ,&7

l M M dx

EI E I

E I

EI EI EI

δ δ ×= = = × × × + × × + × + × +× ×

+ × × × − × × − × + ×× ×

= + =

∑∫

++ +

# ##

5,#6 1, 5*+ 5, #6 1, +6 5, #6 , !)

& %

l M M dx

EI E I EI δ δ

×= = = × × × − × = −× ×∑∫

Suma coeficienţilor:

, 16!, &6 1#,!& %1,! + *% , &7 1&,!6 1, 5) 1!+, +6

sn

ii

δ =

= + + + × − − =∑%) 4alculul termenilor li'eri:

Termenii li'eri se calculează cu relaţia generală:

* )1

ik ic i k L R= ± × ∆ ± × ∆∑

8nde :31 3 acţiunea -irtuală 1i X = "3 i∆ 3 deplasarea după direcţia 1i X = "3 * )ik R reacţiunile din reazemulk0

Sis)&m$l 1nc rc!) c$ !c(i$n&! /ir)$!l1 1 X =

16


18/54


TEMA2

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

!1,1

X 1

!1,2

1,1 1 5, +5 5, +5 x R kN m= × = ×1,1 1 1 x R kN = =

11, % ,1%151 # 1 # 5, +5 #,1+!

1!#c L ×= × + × − × = −

Sis)&m$l 1nc rc!) c$ !c(i$n&! /ir)$!l+ 1 X =

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

!2,1

X 2

!2,2

+,1 1 5,#6 5,#6 x R kN m= × = ×+,1 1 1 x R kN = =

+1, % ,1%15

1 # 1 # 5, #6 #,1+%1!#c

L ×= × + × + × =

1!


19/54


TEMA2

Sis)&m$l 1nc rc!) c$ !c(i$n&! /ir)$!l 1 X =

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

!3,2

X 3

!3,1

,1 1 1, +6 1, +6 x R kN m= × = ×,1 1 1 x R kN = =

+1, % ,1%151 #,#1 1 # 1, +6 #,#+1

1!#c L ×= − × + × + × =

1#,1+! #,1+% #, #+1 #, #16

sn

ici

L=

= − + + =∑

5) erificarea termenilor li'eri:

Termenii li'eri sunt corect calculaţi dacă este /ndeplinită următoarea relaţie:

* )

1* 1 ) * )

sn sk ic sc i k

i L L R

== = ± × ∆ + ± × ∆∑ ∑ ∑

17


20/54


TEMA2

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

s3

X 3

s2

X 1

X 2

s1

1 1 s R kN =+ + s R kN =

1 1,+6 1 5, +5 1 5,#6 1,#7 s R kN = × − × + × =1, % ,1%151 #,#1 1 # + # 1,#7 #,#16

1!# sc L ×= − × + × + × + × =


21/54


TEMA2

; +. #+ 1#×+5!.665−

=

6) Trasarea diagramelor de eforturi:

Sistemul de 'ază de-ine:

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

258,775

2302

391,395

#i! r!m! d& '%r(& !xi!l&*

+1


22/54


TEMA2

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

2302

2043,225

391,395

#i! r!m! d& '%r(& ) i&)%!r&*

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

DE

391,395

258,775

391,395

2043,225

++


23/54


TEMA2

#i! r!m! d& m%m&n)&*

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

983,345

1071,478

1174,185 190,84 9287,672

1071,478

M

!) erificarea diagramei de momente, prin >M :

391,395

2302

258,775

9 2 8 7

, 6 7 2

* ) 7+!6,&6+ +5!,665 + #+ 1, +6 + #+ 5,#6 71, 75 5, +511&61,1% 11&61,1% #

LM+ θ θ θ θ θ = − × − × + × × + × × − ×= − =

+


24/54


TEMA2

ACŢIUNEA )ARIAŢIEI %E *E(+ERA*UR&

) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura. , la acţiunea -ariaţiilor neuniforme temperatură, din fig. :

5 5 + %# %# ,! " " 1# " +,1 1# $ " 1+) L m H m E d!N cm I cmα − ×= = = = × =

+%


25/54


TEMA2

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D

E

10 0 10 0

10 0 20 0

8 0


26/54


TEMA2

3 se adoptă acela i sistem de 'ază i, ca urmare, coeficienţii sistemului de ecuaţii de condiţie numodifică.

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

DE

10 0 10 0

10 0 20 0

8 0

X 1

X 2

X 3

+) Sistemul de ecuaţii de condiţii:

11 1 1+ + 1 1

+1 1 ++ + + +

1 1 + +

###

)

)

)

X X X X X X X X X

δ δ δ δ δ δ δ δ δ

× + × + × + ∆ =× + × + × + ∆ =× + × + × + ∆ =

) 4oeficienţii:

+&


27/54


TEMA2

+ +111

# # ##

# # # #

1 1 + +, +5 1* ) * ) *+ + 5, +5 + 5, +5) 5, +5 5, #6 5, +5

+ + & %

%,5 7, + %,7% 6!, &6

l M dx

EI E I E I E I

EI EI EI EI

δ = = × × × × × + × × + × + × × + ×× × ×

= + + =

∑∫

++

++# ##

1 1 + 1#,!&5,#6 5,#6 5,#6

% +

l M dx

EI E I EI δ = = × × × × × =×∑∫

+

# ##

+ +

#

# # # #

1 1 + 1, ! , ! , ! , ! +, +5 , !

% +

5,#6*+ , ! + 1, +6 + , ! 1, +6)

& %

%,56 +, %7 %, 6% %1,!

l M dx

EI E I E I

E I

EI EI EI EI

δ = = × × × × × + × × ×× ×

+ × × + × − × × =×

= + + =

∑∫

1 +1+ +1

# ##

1 5,#6 1&,!6*5,+5 5,#6)% +

l M M dx EI E I EI

δ δ ×= = = − × × × = −×∑∫ 1

1 1##

#

# # #

+,+5*+ ,! + 5,+5 ,! , ! 5,+5 ,!)

&

5,#6*+ 5, +5 ,! + 5, +5 1, +6 5, +5 1, +6 5, +5 ,!)

& %

5, +6 !, %+ % ,&7

l M M dx

EI E I

E I

EI EI EI

δ δ ×= = = × × × + × × + × + × +× ×

+ × × × − × × − × + ×× ×

= + =

∑∫

++ +# ##

5,#6 1, 5*+ 5, #6 1, +6 5, #6 , !)& %

l M M dx EI E I EI δ δ

×= = = × × × − × = −× ×∑∫

%) 4alculul termenilor li'eri:

Termenii li'eri se calculează ce relaţia generală:

%%

i) ) !x i ) i) ) N M 4α α ∆∆ = ± × ×Ω + ± × ×Ω∑ ∑

n care:) α 3 coeficientul de dilatare termică liniară"

%!x) 3 temperature /n axul 'arei: +

% %% i &!x

) ) ) += "%) ∆ 3 diferenţa de temperatură /ntre fi'rele extreme ale secţiunii trans-ersale a 'arei:% %i &) ) ) ∆ = −

+6


28/54


TEMA2

4 3 /nălţimea secţiunii trans-ersale a 'arei"

3 Tr!s!r&! di! r!m&l%r d& '%r(& !xi!l&*

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

X "11

N 1

1

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

X "12

N 2

1

+!


29/54


TEMA2

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

X "12 N 3

1

3


30/54


TEMA2

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

10 0

10 0

10 0 20 0

8 0

X 1

X 2

X 3

Termenii li'eri:

1 1 1 111 , , , , ,

5 5

5

* )

1# 1 +1# 7 5,#6 1# * # # 5,#6 5,+5)#,!1 + #,7&%

15&,%1 1#

% % % %% A" "# "C #E

) ) !x #E ) N M A" M "# M "C M #E A" "# "C #E

) ) ) ) ) 4 4 4 4

α α

− −

−

∆ ∆ ∆ ∆∆ = × ×Ω + × − ×Ω + ×Ω + ×Ω − ×Ω

= − × × + × − × × × + + − × × =

= − ×

+ + + +++ , ,+, , , , , ,

5 5

5

* ) * )

+ 11# * 15 1# +,+5) 1# *# # # 5,#6 5,#6)

#,7&% +

%#,!% 1#

% % % %% % A" "# "C #E

) ) !x A" !x "# ) N A" N "# M A" M "# M "C M #E A" "# "C #E

) ) ) ) ) )

4 4 4 4α α

− −

−

∆ ∆ ∆ ∆∆ = × ± ×Ω ± ×Ω + × ± ×Ω ± ×Ω ± ×Ω ± ×Ω

= × − × − × + × + + + × × × =

= − ×

, , , , , ,

5 5

5

* )

1# 1 + 1 11# 1# +,+5 1# @# # ,! ,! * ,! ,! 1,+6 1,+6)A#,7&% + #,7&% + +

7,#!& 1#

% % % %% A" "# "C #E

) ) !x "# ) N "# M A" M "# M "C M #E A" "# "C #E

) ) ) ) )

4 4 4 4α α

− −

−

∆ ∆ ∆ ∆∆ = × ×Ω + × ± ×Ω ± ×Ω ± ×Ω ± ×Ω

= − × × + × + + × × × + × − × × + × ×

= ×

5 5* 15&,%1 %#,!% 7,#!&) 1# 15!,1&% 1#i) − −∆ = − − + × = − ×∑#


31/54


TEMA2

5) erificarea termenilor li'eri:

Termenii li'eri sunt corect calculaţi dacă este /ndeplinită condiţia:

%%

i) s) ) !x s ) s) ) N M 4

α α ∆∆ = ∆ = ± × ×Ω + ± × ×Ω∑ ∑ ∑

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

N s

1

2

1

3,8 1,27

2,25

3M ss

33,8

9,05

1,09

6,8

5 5

5

1# 1 1# 11# * 15 1# %,5 7 5,#6) 1# @ ,! ,!

#,!1 + #,7&% ++ 1 1

* %,+5 7,#5 1,#7 #,5%5)A 15!,1% 1##,7%& + +

s) − −

−

∆ = × − × − × − × + × − × × × + × ×

+ × − × × + × × = − ×

&) 9ezol-area sistemului de ecuaţii:

6 % +# +,1 1# 6+ 1# 151, + 1# E I kN m−× = × × × = ×

1


32/54


TEMA2

1 +

1 +

1 +

6!,&6 1&,!6 % ,&7 + &,51&,!6 1#,!& 1, 5 &1,65

% ,&7 1, 5 %1,! 57,1

X X X X X X

X X X

× − × + × =− × + × − × =

× − × + × = −

Soluţia:

; 55.!#7

&. 67−

=

6) Trasarea diagramelor de efortui secţionale:

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

DE

10 0 10 0

10 0 20 0

8 0

36,379

55,809

35,177

+


33/54


TEMA2

55,809kN

19,43kN

35,177kN

N #

35,177kN

19,43kN

36,379kN

105,53

138,24

52,07

46,44

M

32,71


34/54


TEMA2

ECUAŢIA CELOR *REI (O(EN*E

Calculul ,rinzilor continue

B C D

6,3m 3,15m 4,2m

40kN

A

1) (radul de nedeterminare:

& sn = − =

+) Sistemul de 'ază:

Structura este static nedeterminată de ori, sistemul de 'ază static determinat se o'ţine suprim nlegaturile de continuitate corespunzătoare momentelor din /ncastrarea 1, respecti-e din reazemele +

%


35/54


TEMA2

*apar articulaţii), care legături se /nlocuiesc cu momentele corespunzătoare, care constituie ne pro'lemei.

A adar sistemul de 'ază:

2 3 4

6,3m 3,15m 4,2m

40kN

1M 1 M 2 M 2 M 3 M 3 M 4

Ecuaţia celor trei momente, se aplică astfel:

$%1 $ M $%1 M $%1 M $ M $

$&1M $&1M $&1

' $ ' $&1

=entru noduli*BB B

1 1 1 1 , 1 1 , 1+ * ) #i i i i i i i i i i i i il M l l M l M l m l m− + + + − + +× + × + × + × + × + ×

C%n'%rm r&l!(i&i d& m!i s$s.p&n)r$ rind! d!) s& p%) scri& $rm )%!r&l& r&l!(ii*

1 + 1,+1 # # + *# &, ) &, # # &, B #n%d M M m⇒ × + × + × + × + × + ×1 + +,1 +,+ &, + *&, ,15) ,15 &, BB ,15 B #n%d M M M m m⇒ × + × + × + × + × + ×

+ % ,+ ,%,15 + * ,15 %,+) %,+ ,15 BB %,+ B #n%d M M M m m⇒ × + × + × + × + × + ×

3 p& 3!r! 5-2. n$ s$n) inc rc!rc ri &x)&ri%!r&. d&ci

1 +

1 + +,

+ ,+ ,%

1+,& &, #&, 1!,7 ,15 ,15 BB

,15 1%,6 * ,15 BB %,+ B )

M M M M M m

M M m m

++ + = −

+ = − +

C%&'ici&n(ii m66. r&sp&c)i/& m6 s& !s&sc 1n )!3&l& s)!nd!rdi7!)&0

5


36/54


TEMA2

S& inl%c$i&sc c%&'ici&n(ii m66 8i m6 . s& r&7%l/! sis)&m$l. !p%i c$ r&7$l)!)&l& %3(in$)&. s& s&p!r!)& inc rc!) c$ m%m&n)&l& r&7$l)!)& din sIs)&m. 8i s& r&7%l/ c! % rind simpl$ r&7&m!) 0

9n 'in!l s& !s!m3l&!7 )%!)& di! r!m&l&0

++, ,+B BB #,+5 *%# ,15 ) 77,++5m m= = × × =

+,% %,B BB #,+5 *%# %,+ ) 16&,%m m= = × × =

1 +

1 +

+

1+,& &, #&, 1!,7 ,15 1+,5&

,15 1%,6 1#5 ,%%

M M M M M

M M

++ + = −

+ = −

S%l$(i! sis)&m$l$i*

1

+

%

+.!!35.65736#.%+!#

M M M M

=

2

6,3m

1

2,88 5,759

1,37 1,37

#1,37

M 2,88

5,759

&


37/54


TEMA2

2 3

3,15m42,47 83,53

5,759 70,428

40

#

42,47

83,53

1,062

M

70,428

22,55

5,759

3 4

4,2m

40kN 70,428 0

100,77 67,23

#

100,77

67,23

2,51

70,428

56,5

M

6


38/54


TEMA2

B C D

6,3m 3,15m 4,2m

40kN

A

100,77

67,53

42,47

83,53

1,37

70,428

31,218 22,55

5,759

2,88

#

M

CA%RE -*A*IC NE%E*ER(INA*E

%) 9ezol-area grinzii de mai 0os, prin metida forţelor.

!


39/54


TEMA2

3m

42kN

3m 3m

42kN

2,25m

1

3 5

2 4 6

5: S)!3ilir&! r!d$l$i d& n&d&)&rmin!r& s)!)ic *

* ) + * 1#) + & 1 sn r 3 N = + − × = + − × =3 structura este static nedeterminată 1 dată.

2: Al& &r&! sis)&m$l$i d& 3!7 *

3 se inlocuie te 'ara +35, cu necunoscuta X 5

3m

42kN

3m 3m

42kN

2,25m X 1

X 1

1

3

2 4 6

5


40/54


TEMA2

n cazul general c nd gradul de neterminare este mai mare de +:

3 coeficienţii principali se calculează cu relaţia:+i

ii 3

N l

EAδ

×= ∑

"

3 coeficienţii secundari:

i i

3

N N l EA

δ × ×=∑8nde: ,i N N =forţele axiale din 'arele sistemului de 'ază, statict determinat, produse de /ncărcări egale cuunitatea.

3 termenii li'eri se calculează cu:

p iip

3

N N l EA× ×∆ =∑ "

8nde p N =forţele axiale produse de /ncărcările reale pe sistemul de 'ază static determinat.

%eterminarea "orţelor i N

3m 3m 3m

2,25m

1

1

3

2 4 6

5

1

( "0 1

H "0 1

( "0 6

H "0 6 N2%4 N4%2

N3%5 N5%3

N 3 % 4 N 4 % 3

N2%3

N2%4

2 , 2

5 ) *

s NN

2%3

3%2

%#


41/54


TEMA2

3 r&!c(i$nil&*

1 & # H H = =1 & #+ + = =

+ 5 7 5,#&+5 ,65l − = + =+,+5 +,+5#,65" cos #,!" sin #,&

,65 ,65) α α α = = = = = =

L! % prim /&d&r& s& p%!)& c%ns)!)! c *

1 + 1 & 5 & % # N N N N − − − −= = = =

S&c(i%n m 3!r&l&* 2-;.


42/54


TEMA2

+ %# cos X N α −= → = −∑+# sin, N α −= → = −∑

%eterminarea "orţelor p N

3m

42kN

3m 3m

84kN

2,25m

1

3

2 4 6

5

( "56kN 1

H "0 1

( "70kN 6

H "0 6

N%d$l 5*

1

( "56kN 1

H "0 1 N 1%2

N 1 % 3

1 +1 1 + 1

11

cos5 cos # sin1# %+ sin # 5&

sin

N X H N N , N N

α α α

α α

−− −

−−

= − = → + + × = → = → − × = =

∑∑

N%d$l 2*%+


43/54


TEMA2

2 N 2%1 2%4N

N 2%3

1 + + % + %

++

cos# # 5&sin

# # #

X N N N , N N

α α

− − −

−−

= → + = = → = → = =∑∑

N%d$l <

42kN 3

N 3 % 1

N 3 % 4

N 3%5

N 3%2

%1 % 5

+ 1 %5

11%# cos cos # sincos# sin sin %+ # 6#sin

N X N N N , N N N N

α α α α α α α

−− − −

− − −−

= − = →− × + × + = → = → + × + × − = =∑∑

>rin !n!l% i&*

& %

& 5

cos6#sin16#

sin

N

N

α α

α

−

−

= −

=

B+ + '-. $m +' 1 N EA p N +1 N l × 1 p N N l 1 X N

1%2 3 0 EA %74,67 0 0 38,34 %74,67

1%3 3,75 0 EA 94,33 0 0 38,34 94,33

2%4 3 %0,8 EA 74,67 1,92 %179,208 38,34 43,998

%


44/54


TEMA2

2%3 2,25 %0,6 EA 0 0,81 0 38,34 %23,004

3%5 3 %0,8 EA 94,33 1,92 %226,392 38,34 63,658

3%4 3,75 1 EA %24,33 3,75 %91,2375 38,34 14,01

4%6 3 0 EA %94,33 0 0 38,34 %94,33

5%6 3,75 0 EA 116,67 0 0 38,34 116,67 4%5 2,25 %0,6 EA 0 0,81 0 38,34 %23,004

9,21/EA 496,838/EA

d 11 D1p

11 1

7,+1 %7&,! ! ,65 !, % X X X kN EA EA EA

×+ = − → =

ARCE -*A*IC NE%E*ER(INA*E

5) 9ezol-area arcului din figură prin metoda forţelor

70kN 40kN

1

2

3

18m 9m 9m

5m

50 ?r!d$l d& n&d&)&rmin!r&*

5 + sn = − =

20 Al& &r&! sis)&m$l$i d& 3!7 *

%%


45/54


TEMA2

70kN 40kN/m

A

C

B

18m 9m 9m

5m X 1

X 2

! $s m + +

70kN 40kN/m

$. + $.)+s + + + +s+ + s$s m-'-$ + +


46/54


TEMA2

1

2

3

18m 9m 9m

5m X 1

! $s m + +

! $

ntr3o secţiunei putem scrie:

11 1

11 1

, cos, * )

N N X M M X @ x

ϕ = − ×= − ×


47/54


TEMA2

Momentul dintr3o secţiunei :

+

% +#* ) * ) * & )&

' x x @ x l x xl

× × ×= × − = × −

1* ) * ) M x X @ x= − ×

3 c%sid&r m sis)&m$l d& 3!7 1nc rc!) c$ n&c$n%sc$)!+ X

1

2

3

18m 9m 9m

5m

X 1

! $s m + +

!

$


48/54


TEMA2


49/54


TEMA2

&+ +

++# ## # #

1 1555+l l x x xds dx EI EI EI EI

δ = = = × =∫ ∫

&%

1+ +# # ## # #

#

1 1 +# 1 5 5* * & )) * )& +6 1+7&

+1

l l x x x @ xdx x xdx EI EI EI

EI

δ × × ×= − × = − × − × = − × −

= −

∫ ∫

=e grinda /ncastrată, ata ată sistemului de 'ază, momentul are urmăoarea lege de -ariaţie:3 pe inter-alul:

# 1! # p M ÷ → =1! +6 6# * 1!) p M x÷ → = − × −

* +6)+6 & 6# * +6) %# * +6)+ p

x M x x −÷ → = − × − − × − ×

Asadar a-em:

+6 +6+

1 + +# ## 1! 1!

# #

1 1 +# +#@ * 6# * 1!) * & ) * 6# * +6) +# * +6) ) * & )

& &

1 ++##5* 1+%# ,1+5 7,!65)

l

p p x x

M @ds x x dx x x x dx EI EI

EI EI

× ×∆ = − × = − − × − × × − + − × − − × − × × −

= − × − − =

∫ ∫ ∫

+6 +6+

+# ## 1! 1!

# #

1 1@ * 6# * 1!) * 6# * +6) +# * +6) )

1 5+76%#* +6+1 +565!#)

l

p p M xds x xdx x x xdx EI EI

EI EI

∆ = × = − − × − × + − × − − × − ×

= − − = −

∫ ∫ ∫

9ezol-ăm sistemul i o'ţinem:

1 +# # #

1 +# # #

%!1 +1 ++##5#

+1 1555+ 5+76%##

X X EI EI EI

X X EI EI EI

× − × + =

− × + × − =

A cărui soluţie este:

%7


50/54


TEMA2

1

+

+!56%

X kN

X =

70kN 40kN

A

C

B

5m

!

4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5

1

2 3 4

5

6

74

285


51/54


TEMA2

+

+

+

+!5 cos 6% sin +!5 #,7&% 6% #,+&! +75+ +!5 sin 6% cos +!5 #,+&! 6% #,7&% 5

6% 7 +!5 ,! %16

N T M

ϕ ϕ ϕ ϕ

= − × − × = − × − × = −= − × + × = − × + × = −= × − × = −

+!5 cos 6% sin +!5 #,77 6% #,1 ! +7++!5 sin 6% cos +!5 #,1 ! 6% #,77 %+!5 1 ,5 6% %,6 5##

N T M

ϕ ϕ ϕ ϕ

= − × − × = − × − × = −= − × + × = − × + × == × − × =

+!5 cos 6% sin +!5 1 +!5+!5 sin 6% cos 6% 1 6%+!5 1! 6% 5 %6

C

C

C

N C T

M

ϕ ϕ ϕ ϕ

= − × − × = − × = −= − × + × = × == × − × =

%

%

%

+!5 cos *6% 6#) sin +!5 #,77 *6% 6#) * #,1 !) +!+% +!5 sin *6% 6#) cos +!5 * #,1 !) *6% 6#) #,77 %

+!5 ++,5 6% %,6 6# %,5 565#

N T M

ϕ ϕ ϕ ϕ

= − × − − × = − × − − × − = −= − × + − × = − × − + − × == × − × − × =

5

5

5

+!5 cos *6% 6#) sin +!5 #,7&% *6% 6#) * #,+&!) +6%5 +!5 sin *6% 6#) cos +!5 * #,+&!) *6% 6#) #,7&% !#

+!5 +6 6% ,! 6# 7 &6!%

N T M

ϕ ϕ ϕ ϕ

= − × − − × = − × − − × − = −= − × + − × = − × − + − × == × − × − × =

&

&

&

+!5 cos *6% 6# %# %,5) sin +!5 #,7+ *6% 6# %# %,5) * #, !5)& +!5 sin *6% 6# %# %,5) cos +!5 * #, !5) *6% 6# %# %,5) #,7+%,5+!5 1,5 6% +,+ 6# 1 ,5 %# %,5 6%&5+

N T

M

ϕ ϕ ϕ ϕ = − × − − − × × = − × − − − × × − = − × + − − × × = − × − + − − × × =

= × − × − × − × × =

+!5 cos *6% 6# %# 7) sin +!5 #,!6% *6% 6# %# 7) * #,%!&) %+!5 sin * 6& 6# %# 7#) cos +!5 #,%!& *6% 6# %# 7) #,!6% 16

7+!5 & 6% # 6# 1! %# 7 6 !#+

"

"

"

N " T

M

ϕ ϕ ϕ ϕ

= − × − − − × × = − × − − − × × − = −= − × + − − × × = × + − − × × = −

= × − × − × − × × =

51


52/54


TEMA2

1

2 3 4

5 6

C

A BT

74

41

5

34

74

443

80

53

173

1

2

3 45

6

C

A B

N 285

292

295 292

285 282

331

422

274

5+


53/54


TEMA2

1

2

3 4

5

6

C

A B

M

294

417

3500

4760

5750

7465 7380

6784

5


54/54

Date post:	05-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	mihai-cojocari
View:	249 times
Download:	2 times

lucrarea 2 STATICA

Documents